una solución exacta a la gravedad de bakry-Émery-ricci

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Una solución exacta a la gravedad deBakry-Émery-Ricci

Autor:Jonathan Ramírez

Supervisor:Ph.D. Pedro Bargueño

Ph.D. Marek Nowakowski

Trabajo de grado presentado como requisito paraoptar al título de Magíster en Ciencias - Física

en la

Facultad de CienciasDepartamento de Física

26 de agosto de 2020

I

Declaración de autorYo, Jonathan Ramírez, declaro que el trabajo titulado, «Una solución exacta a la gra-vedad de Bakry-Émery-Ricci» es de mi propia autoría. Confirmo que:

Este trabajo se realizó total o principalmente mientras se postulaba para el tí-tulo de Maestría en esta Universidad.

Cuando he consultado el trabajo publicado por otros, se hace la referencia cla-ramente.

Donde se ha citado el trabajo de otros, siempre se da la fuente. Esta tesis escompletamente trabajo propio.

He reconocido las principales fuentes de ayuda.

Cuando la tesis se basa en el trabajo realizado por otros, he dejado claro lo quehicieron los demás y lo que yo he aportado.

Firma:

Fecha:

II

ResumenUna solución exacta a la gravedad de Bakry-Émery-Ricci

La aparición de singularidades, la no definición de un tensor para la energía delcampo gravitatorio, la causa de la expansión acelerada del universo y la explicacióncon la materia oscura de las curvas de rotación de galaxias, ha motivado plantearteorías alternativas de la gravedad como f(R), escalar-tensor y MOND.

En la teoría de los espacios métricos de medida se generaliza el tensor de Ricci,de donde se obtiene el tensor de Bakry-Émery-Ricci (BER), el cual fue definido porBakry y Émery para estudiar procesos de difusión. Este tensor está formado porel tensor de Ricci más otros términos que involucran un campo escalar, donde, alcambiar la forma del campo, se pueden englobar ciertas características de teorías quevan más allá de la relatividad general como la teoría de Brans-Dicke (BD), CampoEscalar sin Masa (EM), f(R) y monopolo gravitacional, entre otras.

En este trabajo se construye el escalar de BER y se propone una acción que des-criba las nuevas ecuaciones de campo. Se resuelven las ecuaciones de campo modi-ficadas en simetría esférica y en el vacío. Se calculan los test clásicos de la relatividadcon lo cual se acota el valor del parámetro libre en el intervalo 0 < α < 2,5× 10−5.Se encuentra que α queda limitada por los valores permitidos para ω de la forma0 < α ≤ 1

ω+1 de la teoría de BD. Se halla que G/G0 6= 0. Se comparan las ecua-ciones de campo en el vacío para BER con las ecuaciones de BD y EM por medio deuna transformación conforme. También se encuentra la relación entre las densidadeslagrangianas para BER, BD, EM y el modelo de monopolo gravitacional.

III

AgradecimientosQuiero agradecer al profesor Pedro Bargueño por su dedicación y apoyo durante

el desarrollo de este trabajo, por la supervisión constante de las ideas incluidas eneste documento. Asimismo a los profesores del Departamento de Física que aporta-ron en mi desarrollo académico en el transcurso de la maestría.

A mi familia por su constante apoyo y compañía en este proceso.

IV

Índice general

Declaración de autor I

Resumen II

Agradecimientos III

Introducción 1

1. Elementos de Relatividad General 31.1. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ecuaciones de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Principio variacional en relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Test Clásicos de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1. Campo débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Perihelio Mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.3. Deflexión de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Gravedad de Bakry-Émery-Ricci 172.1. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Solución estática esféricamente simétrica . . . . . . . . . . . . . 19

3. Test clásicos para la gravedad de Bakry-Émery-Ricci 213.1. Campo débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Corrimiento del perihelio de Mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Deflexión de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Relación entre BER y otros modelos 314.1. Modelo Brans-Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. Campo escalar sin masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Monopolo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4. Transformación conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Conclusiones 38

A. Transformación conforme de la curvatura escalar 40

Bibliografía 44

V

Índice de figuras

1.1. Recta en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2. (a). Ángulo de deflexión de la luz cuando pasa cerca de un objeto de

masa M. (b). Diferencia de trayectorias de un rayo de luz deflectadopor la masa M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1. Trayectoria del planeta Mercurio obtenidos para BER. . . . . . . . . . . 26

4.1. Relación entre las ecuaciones de campo para el vacío entre BER, BD,EM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Relación entre las densidades lagrangianas para BER, BD, EM. . . . . . 37

VI

Índice de tablas

3.1. Algunos experimentos realizados que obtuvieron G/G. . . . . . . . . . 22

1

Introducción

La teoría general de la relatividad dio las herramientas necesarias para compren-der cómo describir la gravedad en concordancia con la relatividad especial, con locual se mostró al espacio-tiempo como un solo ente dinámico que se moldea depen-diendo del contenido de materia y energía. Esta teoría está basada sobre el principiode equivalencia, que proviene de la observación local de la igualdad que existe entrela masa inercial y la masa gravitacional de un objeto.

Una vez formulada la relatividad general (1916) Kaluza y Klein (1921) formula-ron una teoría que unificaba la gravedad con el electromagnetismo [1]. En esta seproponía un espacio-tiempo de 5 dimensiones donde la dimensión extra estaba en-rollada y solo podría ser detectada con experimentos en altas energías. Un efecto dela proyección de este espacio en el espacio-tiempo de 4 dimensiones dio como re-sultado en la densidad lagrangiana de Einstein-Hilbert un nuevo campo escalar [2]distinto al escalar de curvatura.

La relatividad general no tiene en cuenta el principio de Mach (1893) que pro-pone como causa de las fuerzas inerciales en sistemas acelerados la presencia demateria en el universo. Dirac (1938) encuentra con su hipótesis de grandes númerosque la constante de gravitación debería ser dependiente del tiempo para que su con-jetura sea consistente con la expansión del universo [3]. La aparición de un campoescalar tipo Kaluza y la hipótesis de Dirac, motivaron a Jordan a formular la teoríaescalar-tensor [4], la cual luego fue simplificada por Brans y Dicke. Así Brans y Dic-ke (1961) queriendo reconciliar el principio de Mach, suponían que la constante degravitación podría estar relacionada con el valor medio del campo escalar conectadocon la densidad de masa del universo. Esta ”constante” pasaría a ser variable, obte-niendo la acción de Brans-Dicke con un lagrangiano que contiene un campo escalaracoplado [5, 6].

La teoría escalar-tensor se ha intentado utilizar como argumento alternativo ala explicación de la materia y energía oscura, las cuales surgieron en las observa-ciones cosmológicas, donde se muestra que el universo se encuentra en una etapade expansión acelerada [7], expansión a la cual se le atribuye como causa la energíaoscura, otra observación viene de las curvas de rotación de las galaxias donde seevidencia el hecho que las velocidades de las estrellas en la periferia de las galaxiasse comportan fuera de lo esperado por la gravitación universal [8]. No se ha logradodar una explicación sin utilizar la materia oscura, esta sigue siendo un componentenecesario para explicar los datos observados.

Algunas teorías escalar-tensor tienen un campo escalar dinámico [9], otros cam-pos escalares provienen de la ruptura de simetría en la teoría de un monopolo gravi-tacional cuyo lagrangiano es conocido [10]. En estos casos cuando el campo escalares constante la solución corresponde a Schwarzschild.

Índice de tablas 2

El tensor de Bakry-Émery-Ricci (BER) fue definido por Bakry y Émery para estu-diar procesos de difusión [11]. Dicho tensor surge también de la generalización deltensor de Ricci en los espacios métricos de medida donde una variedad (M) está dotadade una métrica (gµν) y un campo escalar (ϕ) [12, 13]. Se han realizado estudios queanalizan este tensor desde el punto de vista matemático y se ha mostrado que estárestringido por condiciones de energía [14-16]. El tensor de BER está conformadopor el tensor de Ricci más otros términos que involucran un campo escalar, dondeal cambiar la forma del campo se pueden englobar ciertas características de la teoríaescalar-tensor que amplían la relatividad general.

El objetivo de este trabajo es proponer una acción que modifique las ecuacionesde campo de Einstein utilizando el tensor de BER y solucionar estas ecuaciones enausencia de materia y en simetría esférica, con el fin de aplicar los test clásicos y ana-lizar el papel que juega el campo escalar en la teoría. También se aclarará la relaciónque existe entre las ecuaciones modificadas y otras teorías como Campo Escalar sinMasa y la teoría de Brans-Dicke.

Este trabajo estará comprendido por tres partes así: (I) Se introduce al lector enel capítulo 1 los elementos básicos que componen la relatividad general, calculandoexplícitamente la aproximación a campo débil, el desplazamiento del perihelio deMercurio y la deflexión de la luz causada por la presencia del Sol. (II) En el capítulo2 se propone la acción de BER, se deducen las ecuaciones de campo para BER y seencuentra una solución en simetría esférica y en el vacío. En el capítulo 3 se realizanlos test clásicos hechos en el capítulo 1 para la solución encontrada y se da una brevediscusión sobre los resultados. (III) En el capítulo 4 se encuentra la relación que existeentre el tensor de BER y otras teorías como BD, Campo Escalar sin Masa, monopologravitacional. Finalmente en el capítulo 5 se dan las conclusiones de este trabajo y sepropone un estudio futuro.

3

Capítulo 1

Elementos de Relatividad General

En 1905 Einstein presentó la formulación de la teoría especial de la relatividaden donde postuló que todas las leyes de la Física deben ser válidas en cualquiersistema de referencia inercial y sobre la constancia de la velocidad de la luz paracualquier observador en este sistema. Estos postulados trajeron consecuencias sobrelas leyes de movimiento de Newton aceptadas hasta entonces, una consecuenciafundamental fue fusionar el espacio y el tiempo en un tejido único conocido comoel espacio-tiempo. Al aplicar la relatividad especial a la gravedad, Einstein encontróuna inconsistencia en la velocidad de propagación de la interacción gravitacionalque lo llevó a generalizar su postulado sobre los sistemas de referencia inercial. Elpropósito de este capítulo es introducir los conceptos y herramientas necesarias parael desarrollo de este trabajo.

1.1. Principio de equivalencia

Galileo Galilei obtuvo las primeras evidencias sobre la independencia de la ace-leración con respecto a la masa en la caída libre de objetos en el campo gravitacionalterrestre. Si se aplica la mecánica de Newton a la caída libre, se encuentran dos ti-pos de masa, una masa inercial que daba cuenta de la resistencia de un objeto a loscambios en su velocidad y la masa gravitacional, la cual es una medida de la in-teracción gravitacional con otros cuerpos, entonces el hecho que observó Galileo sedebía a la igualdad entre estas dos cantidades. Dicha relación llamó la atención deEinstein quien creía que esto era una extraordinaria propiedad de la naturaleza, yaque esto permitiría a un observador que se encuentra en un sistema de referenciaacelerado, no distinguirlo de un sistema que se encuentra en reposo en las cercaníasde un campo gravitacional, de forma que propuso el denominado principio de equi-valencia débil [17]:

No existe un experimento que indique si un objeto se encuentra en un sistema en movi-miento uniformemente acelerado o en un campo gravitacional uniforme.

Queriendo generalizar este principio, llegó a la conclusión que un observadoren caída libre al no sentir su peso, podría sentirse en una región del espacio dondeno hubiese campo gravitacional y podría pensar que se encuentra en un sistema dereferencia inercial. De esta forma propuso el principio de equivalencia fuerte:

Un observador en caída libre en un campo gravitacional es localmente equivalente a unobservador inercial. No es posible encontrar un experimento que distinga entre estas dossituaciones

Capítulo 1. Elementos de Relatividad General 4

1.2. Ecuaciones de campo de Einstein

El principio de equivalencia trajo consecuencias en la manera de describir elespacio-tiempo ya que para un observador es posible encontrar una transformaciónde coordenadas que desaparezca la acción del campo gravitacional a nivel local ycon esto asegurar ser un observador inercial, con lo cual el espacio-tiempo será lo-calmente Minkowski, sin embargo, dado que el campo gravitacional no es homogé-neo, esto no se cumple a nivel global. Este hecho podría sugerir que la geometríaapropiada para describir lo que sucede en presencia de un campo gravitacional co-rresponde a una geometría no Euclideana. Se asume entonces que la descripción delos eventos en el espacio-tiempo conforman una variedad de cuatro dimensiones,así la geometría viene descrita por una métrica Lorentziana gµν sobre la variedadRiemaniana diferenciable (M) [18, 19].

Para describir la curvatura sobre una variedad se tiene el tensor de Riemann:

Rρσµν = ∂µΓρ

νσ − ∂νΓρµσ + Γρ

µλΓλνσ − Γρ

νλΓλµσ, (1.1)

El tensor de Ricci se define tomando la contracción Rρµρν = Rµν, en donde Γα

µν sonlos coeficientes de la conexión. En particular cuando se exige nulidad de la derivadacovariante de la métrica (∇αgµν = 0), los coeficientes vienen dados por los símbolosde Christoffel:

Γαµν =

12

gαρ(∂µgρν + ∂νgρµ − ∂ρgµν), (1.2)

los cuales poseen la propiedad de ser simétricos (Γλαβ = Γλ

βα).

Las ecuaciones de movimiento de una partícula en un espacio-tiempo con métri-ca gµν sobre la que no actúan fuerzas externas vienen descritas por:

dxα

dλ2 + Γαµν

dxµ

dλ

dxν

dλ= 0, (1.3)

donde λ es un parámetro a escoger sobre la curva xα(λ). Cuando las curvas son tipotiempo, el parámetro adecuado corresponde al tiempo propio (τ). Para las curvastipo luz y tipo espacio, el parámetro tiempo propio no está definido. Nótese que laecuación (1.3) tiene la forma de la segunda ley de Newton, con una interpretaciónun tanto distinta, ya que el término con Γα

µν contiene información puramente geo-métrica, mientras que para Newton es el término que contiene la fuerza gravitatoriaque experimentaría otro cuerpo cercano. Así los cuerpos se mueven en trayectoriasgeodésicas afectados solamente por la forma geométrica del espacio-tiempo.

El espacio-tiempo ahora se entendería en términos geométricos descritos por elcontenido de materia que describen las ecuaciones de campo de Einstein:

Rµν −12

Rgµν = κTµν, (1.4)

donde Tµν representa el tensor de energía y R = gµνRµν, con lo cual, contrayendo(1.4) se tiene:

R = −κT,


con T = gµνTµν. Así que reemplazando (1.2) en (1.4), se encuentra otra forma deexpresar las ecuaciones de campo en términos del tensor de energía y su traza:

Rµν = κ

(Tµν −

12

Tgµν

), (1.5)

con κ = 8πG/c2 donde G corresponde a la constante de gravitación de Newton yc la velocidad de la luz en el vacío. De acuerdo a la aproximación de campo débil,usando la componente R00, donde la ecuación de Poisson es obtenida es posiblededucir κ. Debido a que la ecuación (1.5) es simétrica, esta representa un conjuntode 10 ecuaciones diferenciales de segundo orden para gµν.

1.3. Principio variacional en relatividad general

Es posible obtener las ecuaciones de campo en el vacío de la relatividad generalpartiendo del principio de mínima acción, utilizando la acción de Einstein-Hilbert:

SEH =∫ √

−gdx4R, (1.6)

donde al hacer que la variación de la acción (1.6) cumpla con:

1√−gδSEH

δgµν= 0, (1.7)

se obtienen las ecuaciones de campo de Einstein [19] en el vacío:

Rµν −12

Rgµν = 0. (1.8)

Con T = 0, se obtiene:

Rµν = 0, (1.9)

esta ecuación será utilizada en la siguiente sección para obtener la primera soluciónde las ecuaciones de Einstein.

1.4. Solución de Schwarzschild

Schwarzschild en 1916 obtuvo la primera solución exacta a las ecuaciones deEinstein utilizando consideraciones como: (a) un campo estático (la métrica no de-pende del tiempo), (b) el campo debe ser esféricamente simétrico, (c) el tensor deenergía-momento es cero y (d) el espacio-tiempo debe ser asintóticamente plano.Estas consideraciones se expresan usando el siguiente ansatz para la métrica:

ds2 = −e2α(r)dt2 + e2β(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2. (1.10)

Como la métrica (1.10) debe describir un espacio-tiempo asintóticamente plano,debe cumplir:

lımr→∞

e2β(r) = 1, (1.11)

lımr→∞

e2α(r) = c2. (1.12)


Dado que se tiene planteada la métrica (1.10), se procede a encontrar los símbolosde Christoffel (1.2) que no son cero, los cuales vienen dados por:

Γttr = ∂rα Γr

rr = ∂rβ Γrtt = e2α−2β∂rα

Γθrθ =

1r

Γrθθ = −re−2β Γφ

rφ =1r

Γrφφ = −re−2β sin2 θ Γθ

φφ = − sin θ cos θ Γφθφ = cot θ.

Una vez encontrados los símbolos de Christoffel, éstos son utilizados para cal-cular las componentes no nulas del tensor de Riemann (1.1), las cuales son dadaspor:

Rtrtr = ∂rα∂rβ− ∂2

r α− (∂rα)2 Rtθtθ = −re−2β∂rα

Rtφtφ = −re−2β sin2 θ∂rα Rr

θrθ = re−2β∂rβ

Rrφrφ = re−2β sin2 θ∂rβ Rθ

φθφ = (1− e−2β) sin2 θ.

Usando estas componentes del tensor de Riemann y la contracción Rµν = Rρµρν,

se encuentran las componentes del tensor de Ricci Rµν diferentes de cero, de formaque se obtiene:

Rtt = e2α−2β

[α′′ + (α′)2 − α′β′ +

2r

α′]

Rrr = −α′′ − (α′)2 + α′β′ +2r

β′

Rφφ = sin2 θRθθ Rθθ = e−2β[r(β′ − α′)− 1] + 1.

Teniendo en cuenta que en el vacío Tµν = 0 y que se cumple (1.9), las componen-tes del tensor de Ricci son equivalentes a:

α′′ + (α′)2 − α′β′ +2r

α′ = 0, (1.13)

− α′′ − (α′)2 + α′β′ +2r

β′ = 0, (1.14)

ye−2β[r(β′ − α′)− 1] + 1 = 0. (1.15)

Este sistema de ecuaciones se resolverá para α y β, de modo que sumando lasecuaciones (1.13) y (1.14), se obtiene que:

α′ + β′ = 0, (1.16)

si se reemplaza (1.16) en (1.15) se encuentra:

2rβ′ − 1 + e2β = 0, (1.17)

cuya solución viene expresada para β como:

e−2β(r) = 1 +Cr

, (1.18)

donde C es una constante por determinar. Usando la ecuación (1.16), se obtiene que:


α(r) + β(r) = constante, (1.19)

usando las condiciones (1.11) y (1.12): constante = ln c, así reemplazando en la ecua-ción (1.18):

e2α(r) = c2(

1 +Cr

), (1.20)

quedando la métrica de la siguiente forma con c = 1:

ds2 = −(

1 +Cr

)dt2 +

(1 +

Cr

)−1

dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dφ2) . (1.21)

Esta métrica tiene la forma de una perturbación a la métrica de Minkowski gµν =ηµν + hµν, en donde la componente gtt estará relacionada con el potencial newto-niano, de forma que la constante C será reconocida con el factor −GM si se haceG = 1, así que:

ds2 = −(

1− 2Mr

)dt2 +

(1− 2M

r

)−1

dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dφ2) . (1.22)

Esta solución describe la parte exterior de un espacio-tiempo con un objeto esféri-co estático de masa M, lo que se conoce como la solución exterior de Schwarzschild[18-21], donde existe el vacío expresado por las ecuaciones (1.9). La métrica (1.22)cumple que para grandes distancias (r → ∞), esta tiende a la métrica de Minkowski(expresada en coordenadas esféricas), cumpliendo así con que el espacio-tiempo seaasintóticamente plano.


1.5. Test Clásicos de la Relatividad General

La teoría de la relatividad general debía cumplir con las observaciones. Esto im-plicaba confrontar su resultados con los experimentos, uno de ellos era el de incluirla teoría de la ya conocida gravitación de Newton. Con esto presente, Einstein se diocuenta que con el planteamiento del principio de equivalencia, el efecto de la grave-dad de un cuerpo masivo como el Sol curvaría la trayectoria de un rayo de luz. Estehecho se confirmó en el eclipse del 29 de mayo de 1919 [22]. Otro importante argu-mento en favor de la relatividad fue la predicción del desplazamiento del periheliode Mercurio cerca de 43 segundos de arco por siglo. En esta sección se presentan lasconsideraciones necesarias para 3 de los principales test clásicos que cumple la re-latividad siguiendo [19, 23, 24]. Los resultados de esta sección serán utilizados paracomparar los nuevos resultados y sus implicaciones.

1.5.1. Campo débil

La aproximación a campo débil viene expresada teniendo en cuenta algunas con-sideraciones como: 1) la velocidad de las partículas es mucho menor que la velocidadde la luz c. 2) el campo gravitacional es débil, es decir que se considera como unaperturbación a un espacio plano y 3) el campo es estático (no cambia con el tiempo).Con lo cual se plantea la métrica:

gµν = ηµν + εhµν, (1.23)

donde ηµν representa la métrica de Minkowski. Teniendo en cuenta que ε 1 y que∂thµν ∂ihµν, se hace una aproximación a primer orden sobre ε y ∂thµν. Usando estopara los símbolos de Christoffel (1.2) se llega a que:

Γµνλ ≈

12

εηµρ(∂νhρλ + ∂λhρν − ∂ρhνλ).

Se impone la condición que las velocidades con las cuales se mueve una partículaen el campo gravitatorio sea v

c 1 de forma que el tiempo propio coincida con eltiempo medido en el sistema de referencia escogido

dτ ≈ dt.

Así, una partícula se mueve una distancia dxi dada por:

dxi = vdt ∼ εdt.

Sumando sobre los índices repetidos en la ecuación de la geodésica (1.3) se tiene:

d2xα

dt2 + Γαtt + Γα

jkdxj

dtdxk

dt+ 2Γα

tkdxk

dt= 0,

para la componente α = i, se encuentra que :

d2xi

dt2 + Γitt + Γi

jkdxj

dtdxk

dt+ 2Γi

tkdxk

dt= 0,

teniendo en cuenta que dxj

dtdxk

dt = v2 ∼ ε2 ≈ 0, se obtiene:

d2xi

dt2 + Γitt + 2Γi

tkdxk

dt= 0,


donde Γitk = 1

2 εηiρ(∂khρt − ∂ρhtk) representa un término tipo Coriolis, el cual no setiene en cuenta si se asume que no hay rotación, así que:

d2xi

dt2 + Γitt = 0

donde Γitt =

12 εηiρ(2∂thρt − ∂ρhtt) quedando ya que hµν no depende de t:

Γitt =

1

2εηit∂thtt +

12

εηij(2∂thjt − ∂jhtt),

Γitt = −

12

εηij∂jhtt = −12

ε∂ihtt,

así:

d2xi

dt2 −12

εηij∂jhtt = 0. (1.24)

Comparando con la aceleración que experimenta una partícula en un potencialgravitacional Φ:

d2~xdt2 = −~∇Φ, (1.25)

se reconoce:

12

εηij∂jhtt = −~∇Φ,

de donde

12

εhtt = −Φ,

con lo que gtt = ηtt + εhtt

gtt = −1− 2Φ, (1.26)

así usando la ecuación (1.22):

−(

1− 2Mr

)= −1− 2Φ. (1.27)

Con esto el campo gravitacional viene dado por

Φ = −Mr

, (1.28)

el cual corresponde al potencial gravitacional newtoniano. Así que:

~F = −m~∇Φ = −Mmr2 r, (1.29)

la ley de gravitación es obtenida en aproximación a campo débil teniendo en cuentaque las partículas de prueba m se muevan a velocidades donde v c.

1.5.2. Perihelio Mercurio

La energía de una partícula de masa m que se mueve por la acción de fuerzascentrales viene dada por la suma de la energía cinética y la energía potencial Ep(r):


E =12

mv2 + Ep(r). (1.30)

Expresando la velocidad v de la partícula en coordenadas polares (r, ϑ), se tieneque:

v2 =

(drdt

)2

+ r2(

dϑ

dt

)2

.

Usando la conservación del momentum angular L = mr2 dϑdt , v2 queda expresada

como:

v2 =

(drdt

)2

+L2

m2r2 , (1.31)

reemplazando en (1.30), se expresa finalmente la energía de la partícula en funcióndel momentum angular L como:

E =12

m(

drdt

)2

+L2

2mr2 + Ep(r). (1.32)

Haciendo la sustitución de u = r−1, du = −u2dr, además como dudt = du

dϑdϑdt ,

recordando que dϑdt = L

mr2 y Ep(r) = −Mmr , reemplazando en (1.32) queda:

E =

(dudϑ

)2 L2

2m+

L2

2mu2 −mMu. (1.33)

Reescribiendo (1.33), finalmente se tiene la siguiente ecuación:(dudϑ

)2

+ u2 =2mE

L2 +2m2M

L2 u, (1.34)

derivando con respecto a ϑ la ecuación (1.34) se obtiene:(d2udϑ2 + u

)dudϑ

=

(m2M

L2

)dudϑ

. (1.35)

Teniendo en cuenta que dudϑ = du

dtdtdϑ = −m

L r 6= 0, esto permite cancelar los términosdudϑ . De forma que se obtiene la ecuación de Binet:

d2udϑ2 + u =

m2ML2 . (1.36)

La solución a la ecuación (1.36) tiene la forma:

u =Mm2

L2 (1 + e cos ϑ) , (1.37)

con e =√

1 + 2EL2

M2m3 , el cual representa la excentricidad de la orbita de una partículade masa m que gira en torno a una masa M, con energía E y momento angular L. Laecuación (1.37) representa la trayectoria conocida de una elipse obtenida partiendode la conservación de la energía. Sin embargo para incluir la relatividad general sedeben calcular las geodésicas tipo tiempo, esto quiere decir que gµν xµ xν = −1, conxµ = dxµ

dτ . Se parte entonces de la siguiente definición:


L ≡ gµν xµ xν. (1.38)

Usando la métrica (1.22) y teniendo en cuenta que gµν es diagonal, se expande Lquedando:

g00 x0 x0 + g11 x1 x1 + g22 x2 x2 + g33 x3 x3 = −1.

Como la métrica de Schwarzschild (1.22) tiene la forma:

ds2 = − f (r)dt2 + f−1(r)dr2 + r2dΩ2,

con esta métrica se escribe L en componentes:

L = − f (r)t2 +1

f (r)r2 + r2θ2 + r2 sin θφ2 = −1, (1.39)

con esto y usando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

ddτ

(∂L∂xµ

)=

∂L∂xµ

, (1.40)

aplicando (1.40) a (1.39) para µ→ 0, se tiene la siguiente ecuación:

f (r)t = C1, (1.41)

con C1 constante. Haciendo el mismo procedimiento para µ→ 3 se tiene:

r2 sin θ φ = C2 = r2φ, (1.42)

donde C2 es una constante. Para el caso θ = π2 la anterior ecuación se escribe como :

C2 = r2φ =Lm

,

reemplazando t y ϕ en (1.39) y despejando r:

r2 = − f (r) + C− L2

m2r2 f (r). (1.43)

Haciendo la siguiente sustitución u = r−1, du = −u2dr y teniendo en cuenta quedudt = du

dϑdϑdt , dϑ

dt = Lmr2 . Se obtiene la ecuación relativista de Binet:

d2udϕ2 + u =

Mm2

L2 + 3Mu2. (1.44)

Esta ecuación tiene un término adicional comparada con la ecuación (1.36) dadopor 3Mu2. Si se define entonces un parámetro de perturbación como:

ε =3M2

L2 m2,

utilizando la segunda y tercera ley de Kepler para escribirlo de una forma más con-veniente, quedando que:

ε =3M

a(1− e2). (1.45)


Los valores para el planeta Mercurio [25] son: e = 0, 20564, a ≈ 58× 106 km ycon M = 1, 475 km, da un valor de ε ≈ 8× 10−8, se propone una solución a primerorden para ε de la forma:

u = u0 + εu1, (1.46)

con u0 la solución (1.37) encontrada para el caso newtoniano. Reemplazando estasolución en (1.44) se encuentra para el término perturbativo:

d2u1

dϑ2 + u1 =Mm2

L2 (1 + e cos ϑ)2 ,

cuya solución viene dada por:

u1 =Mm2

L2

[(1 +

e2

2

)+ 2e cos ϑ +

e2

2cos 2ϑ

]. (1.47)

Con esto la solución (1.46) viene siendo:

u =Mm2

L2 (1 + e cos ϑ) + εMm2

L2

[(1 +

e2

2

)+ eϑ sin ϑ− e2

16cos 2ϑ

], (1.48)

despreciando términos de e2 y teniendo en cuenta que ε es un valor pequeño sin (εϑ) ≈εϑ y cos (εϑ) ≈ 1, se encuentra que:

u ≈ Mm2

L2 [1 + e cos (1− ε)ϑ] . (1.49)

Esta ecuación es similar a la ecuación (1.37). La diferencia es que el argumentodepende del valor (1− ε), lo que hace que el periodo de la trayectoria cambie:

2π

(1− ε)≈ 2π(1 + ε).

Entonces el ángulo con el cual cambia viene siendo:

∆φ = 2πε =6πM

a(1− e2). (1.50)

Como ε ≈ 8× 10−8(rad/rev), pasando a arcosegundo/rev, se tiene que:

2π × 8× 10−8(rad/rev)× 180π× 602 = 0, 103′′/rev

con este valor se puede calcular la corrección por siglo, teniendo que el periodoorbital de Mercurio [25] es de 0,241 años, se expresa entonces en términos de sigloscomo:

∆φ = 0, 103′′/rev× 1000, 241

≈ 42, 8′′/siglo.

Este valor correspondía al faltante observado por Le Verrier en 1859. El despla-zamiento del perihelio de Mercurio en función de los PPN (”Parametrized post-Newtonian”) β, γ, sin tener en cuenta los momento cuadrupolares del Sol [26] vienedado por:


∆φ =6πM

a(1− e2)

[13(2 + 2γ− β)

]. (1.51)

Según (1.50) los valores que predice la relatividad general son γ = β = 1.

1.5.3. Deflexión de la luz

Se hace un procedimiento similar al usado para el corrimiento del perihelio deMercurio, sin embargo se calculan las geodésicas tipo luz. Esto quiere decir que L =gµν xµ xν = 0 donde xν = dxν

dλ con λ un parámetro afín a lo largo de la geodésica.Usando la métrica (1.22) y teniendo en cuenta que gµν es diagonal, se expande Lquedando:

L = g00 x0 x0 + g11 x1 x1 + g22 x2 x2 + g33 x3 x3 = 0.

Como la métrica de Schwarzschild (1.22) tiene la forma:

ds2 = − f (r)dt2 + f−1(r)dr2 + r2dΩ2,

con esta métrica se escribe L en componentes:

L = − f (r)t2 +1

f (r)r2 + r2θ2 + r2 sin θφ2 = 0, (1.52)

con esto y usando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

ddλ

(∂L∂xµ

)=

∂L∂xµ

, (1.53)

se obtienen las ecuaciones:

f (r)t = C, r2φ = k,

− f (r)t2 +1

f (r)r2 + r2φ2 = 0,

donde k es una constante relacionada con la conservación del momento angular y Cconstante arbitraria.

Reemplazando t y φ en (1.52) y despejando r se tiene que:

r2 = C2 − k2

r2 f (r). (1.54)

Haciendo la siguiente sustitución: u = r−1, du = −u2dr y teniendo en cuentaque du

dλ = dudϑ

dϑdλ , dϑ

dλ = kr2 . Se obtiene la ecuación relativista de Binet para geodésicas

tipo luz:

d2udϑ2 + u = 3Mu2, (1.55)

en el caso en el cual la masa que genera el capo gravitacional sea nula, es decirM = 0, se obtiene

d2udϑ2 + u = 0, (1.56)


FIGURA 1.1: Recta en coordenadas polares.

cuya solución es:

u0 = R−10 sin (ϑ + δ), (1.57)

donde R0 es la distancia del origen del objeto hasta la curva y δ es el ángulo relacio-nado con ϑ0 (ver figura (1.2)). En términos de r se escribe:

r sin (ϑ + δ) = R0. (1.58)

La ecuación (1.58) corresponde a una recta en coordenadas polares ver figura(1.1), lo cual está de acuerdo con la trayectoria que seguiría un rayo de luz en elespacio libre de materia.

Se propone una solución de la ecuación (1.55) de tipo perturbativo, donde u0 esla solución (1.57) y ε ≡ 3M

R0:

u = u0 + εu1. (1.59)

Insertando esta solución en (1.55) a primer orden para ε, queda la ecuación:

d2u1

dϑ2 + u1 =R−1

02−

R−102

cos 2(ϑ + δ). (1.60)

La solución para esta ecuación diferencial es:

u1 =R−1

03[1 + cos2 (ϑ + δ)

].

La solución completa viene dada por (1.59):

u = R−10 sin (ϑ + δ) +

MR2

0

[1 + cos2 (ϑ + δ)

]. (1.61)

Esta ecuación muestra que el segundo término del lado derecho de (1.61) es unaperturbación de la solución para el caso M = 0.

En particular cuando r → ∞, el espacio-tiempo será visto como un espacio-tiempo de Minkowski, de forma que la trayectoria de la luz será recta (una rectacon un ángulo δ, figura (1.1)), de modo que para r → ∞, u ≈ 0:

0 ≈ R−10 sin (ϑ + δ) +

MR2

0

[1 + cos2 (ϑ + δ)

],

así, cuando u→ 0, ϑ→ π − δ:


FIGURA 1.2: (a). Ángulo de deflexión de la luz cuando pasa cerca deun objeto de masa M. (b). Diferencia de trayectorias de un rayo de luz

deflectado por la masa M.

0 ≈ R−10 sin (ϑ− π + δ) +

MR2

0

[1 + cos2 (ϑ− π + δ)

].

0 ≈ −R−10 sin (ϑ + δ) +

MR2

0

[1 + cos2 (ϑ + δ)

].

Aproximando a primer orden:

0 ≈ −R−10 (ϑ + δ) +

2MR2

0,

δ ≈ −ϑ +2MR0

. (1.62)

La recta de luz que entra paralela al eje x (figura (1.2)) tiene un ángulo δ = 0. Parar → ∞, u→ 0 y el ángulo ϑ→ 0, con lo que (1.61) queda:

0 ≈ R−10 sin (ϑ) +

MR2

0

[1 + cos2 (ϑ)

].

Si se toma la aproximación para ϕ→ 0, se obtiene que:

0 ≈ R−10 ϑ +

2MR2

0,

0 ≈ ϑ +2MR0

, (1.63)

con esto, sumando (1.62) y (1.63) resulta que:

δ =4MR0

. (1.64)

Si el rayo de luz pasa justo a una distancia R0 correspondiente al radio del sol,entonces M = 1, 47km y R0 = 696 500km, con lo que el ángulo de deflexión δ corres-ponde a:

δ = 8, 4× 10−6rad = 1, 74”. (1.65)


Este resultado fue confirmado por Eddington en el eclipse de 1919 y como resal-taría Thompson: ”El resultado representa uno de los mayores logros del pensamien-to humano”.

La expresión en términos de los parámetros PPN para la deflexión de la luz [26]viene dado por:

δ = 1, 7504(

1 + γ

2

), (1.66)

donde se evidencia que γ = 1 para el caso descrito por la relatividad general (1.65).

17

Capítulo 2

Gravedad de Bakry-Émery-Ricci

El tensor de BER surgió en el estudio de procesos de difusión hechos por Domi-nique Bakry y Michel Émery en 1985 [11]. Este tensor se ha generalizado y ha sidoestudiado desde el punto de vista matemático, mostrando que está restringido porcondiciones de energía [14-16]. El tensor de BER es definido por:

Rµν = Rµν −∇µ∇ν ϕ− 1α∇µ ϕ∇ν ϕ, (2.1)

con α constante, Rµν el tensor de Ricci y ϕ un campo escalar real arbitrario depen-diente de las coordenadas xµ.

Teniendo en cuenta los espacios métricos de medida donde se restringe la variedadRiemaniana (M, g) a un triplete de la forma (M, g, m) con m una medida suave sobrela variedad, definida por [12]:

dm = eϕdvol(g), (2.2)

donde adicional a la métrica gµν se tiene un campo escalar ϕ, el cual modifica lamedida sobre la variedad que define la métrica [13]. El tensor de BER puede servisto como una generalización del tensor de Ricci:

Rµν = exp(

ϕs1

n− s′

) [Rµν +

n− 2n− s′

∇µ∇ν ϕ +n− 2

(n− s′)2∇µ ϕ∇ν ϕ

+1

n− s′gµν∇σ∇σ ϕ− n− 2

(n− s′)2 gµν∇ρ ϕ∇ρ ϕ

], (2.3)

donde s′ es un valor de peso sobre la variedad n-dimensional [12].

2.1. Ecuaciones de campo

Para encontrar las ecuaciones de campo de Einstein usando el tensor de BER, sepropone la acción de BER en ausencia de materia utilizando el escalar modificadode Ricci siguiendo [12, 13], de forma que la acción de BER es:

SBER =∫ ( 1

2κR)

dm. (2.4)

Así conR = gµνRµν y (2.1):

SBER =∫

d4x√−g

eϕ

16πG

(R− 1

αgµν∇µ ϕ∇ν ϕ−ϕ

), (2.5)

Capítulo 2. Gravedad de Bakry-Émery-Ricci 18

donde se ha usado κ = 8πG y la definición del operador D’Alembert ≡ gρλ∇ρ∇λ.

Haciendo variación de la acción (2.5) con respecto a la métrica gµν, se obtiene:

δSBER =∫

d4xδ(√−g)

eϕ

16πG

(R− 1

αgµν∇µ ϕ∇ν ϕ−ϕ

)(2.6)

+∫

d4x√−g

eϕ

16πG

(δ(R)− 1

αδ(gµν)∇µ ϕ∇ν ϕ− δ(gµν)∇µ∇ν ϕ

).

Teniendo en cuenta δ(√−g) = − 1

2√−ggµνδ(gµν) y R = gµνRµν

δSBER =∫−d4x

12√−ggµν

eϕ

16πG

(R− 1

αgσλ∇σ ϕ∇λ ϕ−ϕ

)δ(gµν)

+∫

d4x√−g

eϕ

16πG

(Rµνδ(gµν)− 1

αδ(gµν)∇µ ϕ∇ν ϕ− δ(gµν)∇µ∇ν ϕ

)+∫

d4x√−g

eϕ

16πG[gµνδ(Rµν)], (2.7)

agrupando términos:

δSBER =∫

d4x√−g

eϕ

16πG[Rµν −

12

gµνR +1

2αgµνgσλ∇σ ϕ∇λ ϕ +

12

gµνϕ

−1α∇µ ϕ∇ν ϕ−∇µ∇ν ϕ]δ(gµν) +

∫d4x√−g

eϕ

16πG[gµνδ(Rµν)].

La segunda integral pertenece al término de frontera de Gibbons-York-Hawkingpara teorías escalar-tensor [27], con f (ϕ) = eϕ

16πG :

∫d4x√−g f (ϕ)[gµνδ(Rµν)] =

[gµν f (ϕ)−∇µ∇ν f (ϕ)

]δ(gµν) + δS f

GYH, (2.8)

δSBER =∫

d4x√−g

eϕ

16πG[Rµν −

12

gµνR +1


12

gµνϕ

−1α∇µ ϕ∇ν ϕ−∇µ∇ν ϕ + gµν f (ϕ)−∇µ∇ν f (ϕ)]δ(gµν),

como se mostrará más adelante, para el vacío en BD se cumple que φ = 0, ,estoimplica que f (ϕ) = 0, además ∇µ ϕ∇ν ϕ = −∇µ∇ν ϕ, de forma que el términogµν f (ϕ)−∇µ∇ν f (ϕ) se anula.

Imponiendo que la variación de la acción permanezca invariante bajo cualquiervariación de gµν:

1√−gδSBER

δgµν= 0, (2.9)

se obtiene que:


Rµν −12

gµνR +1


12

gµνϕ− 1α∇µ ϕ∇ν ϕ−∇µ∇ν ϕ = 0. (2.10)

Usando la definición para el tensor de BER ecuación (2.1), la ecuación de campode Einstein generalizada [12, 13] en el vacío queda:

Rµν −12

gµνR = 0. (2.11)

Esta ecuación se reduce a la ecuación de campo de Einstein (1.4) en el vacío cuan-do el campo escalar es constante. Nótese que cuando el campo es constante (2.2)indica un cambio de escala en las unidades de la métrica.

Usando la ecuación de Einstein generalizada (2.11) se define el tensor de Einsteinmodificado:

Gµν ≡ Rµν −12

gµνR. (2.12)

En el vacío implica que

Gµν = 0, (2.13)

lo cual está de acuerdo con (2.11) así que contrayendo se encuentra:

gµνRµν −12

gµνgµνR = 0,

lo cual implica que:R = 0

insertando este resultado en (2.12):

Rµν = 0. (2.14)

Con esto utilizando (2.1) finalmente queda:

Rµν −∇µ∇ν ϕ− 1α∇µ ϕ∇ν ϕ = 0. (2.15)

Esta ecuación será utilizada para calcular las componentes del tensor de Riccimodificado en la siguiente sección.

2.1.1. Solución estática esféricamente simétrica

Asumiendo el siguiente ansatz para la métrica:

ds2 = −e f (r)dt2 + e− f (r)dr2 + r2dΩ2, (2.16)

con dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 el elemento de línea para la 2-esfera. Con la ecuación(2.15) dada la métrica (2.16), los símbolos de Christoffel (1.2) diferentes de cero vie-nen dados por:


Γttr =

12

f ′(r) Γrrr = −

12

f ′(r) Γrtt =

12

e2 f (r) f ′(r)

Γθrθ =

1r

Γrθθ = −re f (r) Γφ

rφ =1r

Γrφφ = −e f (r)r sin2 θ Γθ

φφ = − sin θ cos θ Γφθφ = cot θ

con f ′(r) ≡ d f (r)dr . Las componentes del tensor de Riemann (1.1) diferentes de

cero son:

Rtrrt =

12[ f ′(r)2 + f ′′(r)] Rt

θθt =12

e f (r)r f ′(r) Rtφφt = Rt

θθt sin2 θ

Rrtrt = Rt

rrt e2 f (r) Rrθθr = Rt

θθt Rrφφr = Rt

φφt

Rθtθt =

e2 f (r) f ′(r)2r

Rθrθr = −

f ′(r)2r

Rθφφθ = (e f (r) − 1) sin2 θ

Rφtφt = Rθ

tθt Rφrφr = Rθ

rθr Rφθφθ = 1− e f (r)

Contrayendo para encontrar el tensor de Ricci: Rσν = Rρσρν ahora, las compo-

nente del tensor (2.1) son:

Rtt =2e2 f (r)[ f ′(r)(2 + r f ′(r) + rϕ′(r)) + r f ′′(r)]

r,

Rrr = −2[αr f ′(r)2 + α f ′(r)(2 + rϕ′(r)) + r(8ϕ′(r)2 + α f ′′(r) + 8αϕ′′(r))]

αr,

Rθθ = 4− 4e f (r)[1 + r( f ′(r) + ϕ′(r))],

Rφφ = Rθθ sin2 θ. (2.17)

Usando (2.14) se obtiene:

e f (r) =1

1 + α− (2M)1+α

(1 + α) r1+α, (2.18)

ϕ(r) = (1 + α) + α ln( r

2M

), (2.19)

ds2 = −(

11 + α

− (2M)1+α

(1 + α) r1+α

)dt2 +

(1

1 + α− (2M)1+α

(1 + α) r1+α

)−1

dr2 + r2dΩ2.

(2.20)Esta métrica tiene la forma (1.22) cuando la constante α perteneciente al tensor de

BER se hace cero. Para r → ∞ la métrica (2.20) no tiende a la métrica de Minkowskiya que depende de α. Esto será relacionado en el capítulo 4 con la métrica de unmonopolo gravitacional. Teniendo en cuenta que la métrica (2.20) depende de α yque para el caso particular en el que α = 0 se recupera la métrica de Schwarzschild,este parámetro α, será acotado de forma que cumpla con las limitaciones actualesque se tienen de las mediciones hechas en el sistema solar para β− 1 y γ− 1, con elobjetivo que se recuperen los test clásicos de la relatividad como lo son campo débil,la deflexión de la luz y el corrimiento del perihelio de Mercurio.

21

Capítulo 3

Test clásicos para la gravedad deBakry-Émery-Ricci

3.1. Campo débil

Usando la componente gtt de la métrica de BER:

gtt =1

1 + α− (2M)1+α

(1 + α) r1+α.

Dado que la componente gtt es una función analítica para α, esto permite desa-rrollar en serie de potencias gtt alrededor de α = 0, esto motivado por el hecho quepara α → 0 se recupera Schwarzschild. Se asume que α 1, así que si se hace unaexpansión a primer orden sobre α donde se obtiene:

gtt ≈(

1− 2Mr

)−[(ln 4− 2)M + 2M ln M

rr

]α− α,

reescribiendo lo anterior se tiene:

≈(

1− 2Mr

)−(

1− 2Mr

)α +

2Mα ln( r

2M

)r

− α.

Introduciendo el campo (2.19) presente en las ecuaciones de campo para BER, lacomponente gtt se escribe como:

gtt ≈(

1− 2Mr

)−(

1− 2Mr

)α +

2Mr

(ϕ(r)− (1 + α))− α,

gtt ≈ 1− 2Mr

[2− ϕ(r)]− α.

Entonces si se reemplaza en (1.26) queda:

−[

1− 2Mr

[2− ϕ(r)]− α

]= −1− 2Φ.

Despejando Φ se identifica que:

Φ = −Mr[2− ϕ(r)] + α. (3.1)

Asumiendo que el potencial Φ cumple con:

~F = −m~∇Φ.

Capítulo 3. Test clásicos para la gravedad de Bakry-Émery-Ricci 22

Se encuentra que la fuerza viene dada por:

~F = −m~∇(−M

r[2− ϕ(r)]

),

con esta ecuación y reemplazando ϕ(r) se puede escribir como:

~F = −(

Mmr2

) [2− (1 + α)− α ln

( r2M

)]r− αMm

r2 r.

Si se reescribe esta expresión:

~F = −(

Mmr2

) [1− α− α ln

( r2M

)]r− αMm

r2 r,

simplificando queda:

~F = −(

Mmr2

) [1 + α ln

(2M

r

)]r. (3.2)

Si se compara con la ecuación (1.29), aparece un término extra debido al campoescalar. Este término se puede interpretar como el valor dependiente de la posiciónpara G de forma que existiría una dependencia con la posición dada por:

G(r) = G0

[1 + α ln

(2M

r

)], (3.3)

con G0 = 6, 674× 10−11 Nm2

kg2 . Si se asume que G(r) cambia con el tiempo, se cumpliríaque:

GG0

= −ϕ = −αrr

, (3.4)

donde r corresponde a la velocidad radial medida desde la superficie del cuerpoque genera el campo gravitatorio. Con α = 0, G(r) corresponde a una constante G0.Por otro lado para α 6= 0, y teniendo en cuenta la hipótesis de Dirac [3], la razónGG0

tendría valores distintos de cero. Este hecho motiva a revisar algunos resultadospara la medición en la variación de G lo cuales se muestran en la tabla (3.1) donde semuestran valores distintos de cero con una incertidumbre que da un intervalo sobreel cual α puede tomar valores diferentes de cero.

Experimento G/G(10−12/año)Viking Lander Ranging Data (1983) [28]. 2± 4Lunar laser ranging.(1996) [29] 1± 8Estrella de neutrones binaria (1991) [30] −0,6± 2Pulsar-White Dwarf Binary (1994) [31] −9± 18

TABLA 3.1: Algunos experimentos realizados que obtuvieron G/G.


3.2. Corrimiento del perihelio de Mercurio

Usando la ecuación (1.43) y la métrica para BER (2.20)

r2 = −e f (r) + C− L2

m2r2 e f (r). (3.5)

Como dudt = du

dϑdϑdt , dϑ

dt = Lmr2 . Sustituyendo u = r−1, du = −u2dr queda:

(1u2

dudϑ

)2

= −m2

L2

(1

1 + α− (2M)1+αu1+α

(1 + α)

)1u4 +C

m2

L21u4 −

(1

1 + α− (2M)1+αu1+α

(1 + α)

)1u2 ,

multiplicando por u4:

(dudϑ

)2

= −m2

L2

(1

1 + α− (2M)1+α

(1 + α)u1+α

)+ C

m2

L2 −(

11 + α

− (2M)1+α

(1 + α)u1+α

)u2,

repartiendo términos y reescribiendo:

(dudϑ

)2

+u2

(α + 1)= C

m2

L2 −m2

L2(α + 1)+

m2(2M)α+1

L2(α + 1)uα+1 +

(2M)α+1

(α + 1)uα+3,

derivando con respecto a ϑ:

d2udϑ2 +

u(α + 1)

=m2(2M)α+1

2L2 uα +(2M)α+1

2(α + 1)(α + 3)uα+2. (3.6)

Esta ecuación corresponde a la ecuación relativista de Binet para BER, así que ex-pandiendo a primer orden para α:

d2udϑ2 +u =

m2ML2 + 3Mu2 +

[u + M(ln 8− 2)u2 + 3Mu2 ln (Mu) +

m2ML2 ln (2Mu)

]α.

(3.7)Tomando que εα ≈ 0 eso implica que: 3Mαu2 ln (Mu) ≈ 0, m2 M

L2 ln (2Mu)α ≈ 0,queda:

d2udϑ2 + u =

m2ML2 + 3Mu2 +

[u + M(ln 8− 2)u2] α,

agrupando términos y tomando k = ln 8− 2:

d2udϑ2 + (1− α)u =

m2ML2 + 3M

(1 +

kα

3

)u2,

renombrando ω2 = (1− α) y M′ = M(

1 + kα3

)d2udϑ2 + ω2u =

m2ML2 + 3M′u2. (3.8)

Cuando M′ = 0, la solución que se propone es de la forma:

u = A + B sin (ωϑ) + C cos (ωϑ),


d2udϑ2 = −Bω2 sin (ωϑ)−ω2C cos (ωϑ),

con la cual reemplazando en (3.8):

−Bω2 sin (ωϑ)−ω2C cos (ωϑ) + ω2(A + B sin (ωϑ) + C cos (ωϑ)) =m2M

L2 ,

A =m2Mω2L2 ,

para ϕ = 0 con B = 0.

u0 = A (1 + e cos (ωϑ)) , (3.9)

se reconoce que la excentricidad e = CA , C queda por determinarse. Se quiere ahora

solucionar la ecuación para M′ 6= 0.Definiendo el parámetro de perturbación como:

εα ≡3MM′α

L2 m2,

donde el valor de εα ≈ 10−8, se propone una solución a primer orden en εα de laforma:

u = u0 + εαu1, (3.10)

reemplazando u en la ecuación (3.8):

d2u0

dϑ2 + εαd2u1

dϑ2 + u0 + εαu1 =Mm2

L2 + 3M′(u0 + εαu1)2.

Simplificando términos:

(d2u0

dϑ2 + u0

)+ εα

d2u1

dϑ2 + εαu1 =Mm2

L2 + 3M′(u20 + 2εαu1u0 +ε

2αu2

1),

εαd2u1

dϑ2 + εαu1 = 3M′(u20 + 2εαu1u0).

Como u0 se reemplaza teniendo en cuenta (3.9):

εαd2u1

dϑ2 + εαu1 = 3M′[(

m2Mω2L2

)2

(1 + e cos (ωϑ))2 + 2εαu1m2Mω2L2 (1 + e cos (ωϑ))

].

Haciendo la aproximación para ε2α ≈ 0:

εαd2u1

dϑ2 + εαu1 = εα

[m2Mω4L2 (1 + e cos (ωϑ))2

]+

2ω2

ε2αu1 (1 + e cos (ωϑ)) ,

εαd2u1

dϑ2 + εαu1 = εαm2Mω4L2 [1 + e cos (ωϑ)]2 ,


eliminado εα:d2u1

dϑ2 + u1 =m2Mω4L2 [1 + e cos (ωϑ)]2 ,

d2u1

dϑ2 + u1 =m2Mω4L2 [1 + 2e cos (ωϑ) + e2 cos2 (ωϑ)],

con cos2 (ωϑ) = 12 +

cos (2ωϑ)2 :

d2u1

dϑ2 + u1 =Mm2

L2ω4

(1 + 2e cos (ϑω) + e2

(12+

cos 2(ωϑ)

2

)),

agrupando:

d2u1

dϑ2 + u1 =Mm2

L2ω4

[(1 +

e2

2

)+ 2e cos (ωϑ) +

e2

2cos 2(ωϑ)

]. (3.11)

Se propone una solución para u1 en (3.11) de la forma:

u1 = A + B(ωϑ) sin (ωϑ) + C cos (2ωϑ),

escribiendo las derivadas:

du1

dϑ= B(ω sin (ωϑ) + (ω2ϑ) cos (ωϑ))− 2ωC sin (2ωϑ),

y

d2u1

dϑ2 = Bω2[2 cos (ωϑ)−ωϑ sin (ωϑ)]− 4Cω2 cos 2(ωϑ).

Con esto, reemplazando en el lado izquierdo de (3.11):

Bω2[2 cos (ωϑ)−ωϑ sin (ωϑ)]− 4Cω2 cos (2ωϑ)+ A+ B(ωϑ) sin (ωϑ)+C cos (2ωϑ),

haciendo una expansión a primer orden para α:

A+(2B+ c) cos ϑ− 4C cos 2ϑ+[4C cos 2ϑ+12(4B+C)ϑ sin ϑ− 2 cos ϑ(B+ 4Cϑ sin ϑ)]α,

despreciando términos cuadráticos para e en el lado derecho de (3.11) y haciendouna expansión a primer orden para ω(α):

Mm2

L2 (1 + 2e cos ϑ) +Mm2

L2 (2 + 4e cos ϑ + eϑ sin ϑ) α,

igualando se reconoce que: A = Mm2

L2 , C = 0, B = e Mm2

L2 , entonces:

u1 =Mm2

L2 + eMm2

L2 (ωϑ) sin (ωϑ),

así la solución u = u0 + εαu1 viene dada por:

u =m2Mω2L2 (1 + e cos (ωϑ)) + εα

(Mm2

L2 + eMm2

L2 (ωϑ) sin (ωϑ)

), (3.12)


FIGURA 3.1: Trayectoria del planeta Mercurio obtenidos para BER.

Multiplicando y dividiendo por ω2 al término que tiene εα y sacando factor co-mún:

u =m2Mω2L2

(1 + e cos (ωϑ) + εαω2 + eω2(εαωϑ) sin (ωϑ)

),

como εαω 1, entonces: sin (εαωϑ) ≈ εαωϑ y cos (εαωϑ) ≈ 1.

u ≈ Mm2

L2ω2

(1 + e cos (ωϑ) cos (εαωϑ) + eω2 sin (εαωϑ) sin (εαωϑ)

),

u ≈ Mm2

L2ω2

(1 + eω2 cos (ωϑ) cos (εαωϑ) + eω2 sin (εαωϑ) sin (εαωϕ)

),

u ≈ Mm2

L2ω2

[1 + ω2e cos (ωϑ−ωεϑ)

],

u ≈ Mm2

L2ω2

[1 + ω2e cos (ω−ωε)ϑ

], (3.13)

esta ecuación es similar a la ecuación (1.37), sin embargo los parámetros de la elipse(r0, e, ε) dependen ahora de α:

r0(α) = (1− α)L2

Mm2 , e(α) = (1− α)e, (3.14)

además el argumento (1− ε)ω, hace que el periodo de la trayectoria cambie como:

2π

(1− ε)ω≈ 2π(1 + ε)ω ≈ 2π(1 + ε)(1 +

α

2),

2π

(1− ε)ω≈ 2π(1 +

α

2+ ε),

entonces el ángulo con el cual cambia viene siendo:

∆φα = 2π(α

2+ ε)=

6πMa(1− e2)

+ πα,

escribiendo de forma equivalente:


∆φα = ∆φ + πα. (3.15)

Como ∆φ = 2πε ≈ 5, 03× 10−7rad, entonces debe cumplirse que πα < ×10−7radde lo contrario la contribución de α sería significativa al cambio de ∆φα. Teniendo encuenta esto, se puede escribir:

∆φα =6πM

a(1− e2)[1 + α] , (3.16)

con (1.51) se escribe que:

1 + α =13(2 + 2γ− β). (3.17)

reescribiendo en términos de (γ− 1) y (β− 1):

32

α = (γ− 1)− 12(β− 1). (3.18)

Dado que γ− 1 = 2α por (3.30) se encuentra que:

α = β− 1, (3.19)

entonces, teniendo en cuenta los datos para β− 1 obtenidos en [26, 32], donde β−1 = (−2, 7± 3,9)× 10−5, con lo que α = |(−2, 7± 3,9)× 10−5|.

3.3. Deflexión de la luz

Usando la ecuación (1.54) y la métrica para BER (2.20):

r2 = C2 − k21

r2 e f (r). (3.20)

Como dudλ = du

dϑdϑdλ , dϑ

dλ = k1r2 sustituyendo u = r−1, du = −u2dr(

1u2

dudϑ

)2

= −(

11 + α

− (2M)1+αu1+α

(1 + α)

)1u2 +

C2

k21

1u4 ,

multiplicando por u4, repartiendo términos y reescribiendo:(dudϑ

)2

+u2

1 + α=

C2

k21+

(2M)1+α

(1 + α)uα+3.

Derivando con respecto a ϑ:

d2udϑ2 +

u(α + 1)

=(2M)α+1

2(α + 1)(α + 3)uα+2. (3.21)

Haciendo una expansión en serie para α y despreciando términos mayores o igualesa α2 queda:

d2udϑ2 + u = 3Mu2 + u [1 + Mu(ln 8− 2)] α,

agrupando términos de u, u2:


d2udϑ2 + (1− α)u = (3M + M(ln 8− 2)α)u2.

Nombrando k = (ln 8− 2) y definiendo: M′ = M(

1 + kα3

)y ω2 = (1− α):

d2udϑ2 + ω2u = 3M′u2.

En el caso que M′ = 0:

d2udϑ2 + ω2u = 0. (3.22)

Cuya solución es:

u0 = R−10 sin [ω(ϑ + δ)], (3.23)

donde R0 es la distancia del origen del objeto hasta la curva, en términos de r:

r sin [ω(ϑ + δ)] = R0,

nuevamente se propone una solución de tipo perturbativo, con u0 la solución (3.23)y ε ≡ 3M′

R0:

u = u0 + εu1,

d2u0

dϑ2 + εd2u1

dϑ2 + ω2u0 + εu1 = 3M′(u0 + εu1)2,

(d2u0

dϑ2 + ω2u0

)+ ε

d2u1

dϑ2 + εu1 = 3M′(u20 + 2εu1u0 +ε

2u21),

εd2u1

dϑ2 + εu1 = 3M′(u20 + 2εu1u0),

εd2u1

dϑ2 + εu1 = 3M′R−20 sin2 [ω(ϑ + δ)] + 2ε2u1 sin [ω(ϑ + δ)],

εd2u1

dϑ2 + εu1 = εR−10 sin2 [ω(ϑ + δ)],

d2u1

dϑ2 + u1 = R−10 sin2 [ω(ϑ + δ)],

reescribiendod2u1

dϑ2 + u1 =R−1

02−

R−102

cos [2ω(ϑ + δ)].

Se plantea una solución para la parte no homogénea de la forma:

u1 = Aω2 + B cos [2ω(ϑ + δ)],

du1

dϑ= −2Bω sin [2ω(ϑ + δ)],


d2u1

dϑ2 = −4Bω2 cos [2ω(ϑ + δ)],

reemplazando la solución planteada en la ecuación diferencial,

−4Bω2 cos [2ω(ϑ + δ)] + Aω2 + B cos [2ω(ϑ + δ)] =R−1

02−

R−102

cos [2ω(ϑ + δ)],

agrupando:

−3Bω2 cos [2ω(ϑ + δ)] + Aω2 =R−1

02−

R−102

cos [2ω(ϑ + δ)],

con lo cual ω2A =R−1

02 y B =

R−10

6ω2 entonces:

u1 =R−1

02ω2 +

R−10

6ω2 cos [2ω(ϑ + δ)],

usando 2 cos2 [ω(ϑ + δ)]− 1 = cos [2ω(ϑ + δ)]:

u1 =R−1

02ω2 +

R−10

3ω2 cos2 [ω(ϑ + δ)]−R−1

06ω2 ,

quedando:

u1 =R−1

03ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

],

La solución completa viene dada por u = u0 + εu1 y ε = 3M′R0

:

u = R−10 sin [ω(ϑ + δ)] +

M′

R20ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

], (3.24)

en términos de r:

R0

r= sin [ω(ϑ + δ)] +

M′

R0ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

],

r sin [ω(ϑ + δ)] = R0 − rM′

R0ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

], (3.25)

esta ecuación muestra que el término M′R0ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

]es una perturbación

de la solución de M′ = 0.Para r → ∞, la solución tiende asintóticamente a la métrica de Minkowski, así

que para r → ∞ la trayectoria de la luz es una recta, de modo que para r → ∞, u ≈ 0en (3.24):

0 ≈ R−10 sin [ω(ϑ + δ)] +

M′

R20ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

],

así, cuando u→ 0, ϑ→ π − δ

0 ≈ R−10 sin [ω(ϑ− π + δ)] +

M′

R20ω2

[1 + cos2 [ω(ϑ + δ)]

],

aproximando a primer orden:


0 ≈ −ωR−10 (ϑ + δ) +

2M′

ω2R20

,

0 ≈ −ϑ− δ +2M′

ω3R0,

reemplazando ω y M′

δ ≈ −ϑ +2M(1 + kα

3 )

R0(1− α)3 .

Expandiendo a primer orden para α:

δ ≈ −ϑ +2MR0

[1 +

(32+

k3

)α

], (3.26)

la recta de luz que entra paralela al eje x (figura (1.2)) tiene un δ = 0, para r → ∞,ϑ→ 0, con lo que (3.24) queda:

0 ≈ R−10 sin [ωϑ] +

M′

R20ω2

[1 + cos2 [ωϑ]

],

tomando la aproximación para ϑ→ 0:

0 ≈ R−10 (ωϑ) +

2M′

R20ω2

,

0 ≈ ϑ +2M′

R0ω3 .

Reemplazando ω y M′, teniendo entonces que:

0 ≈ ϑ +2M(1 + kα

3 )

R0(1− α)3 ,

expandiendo a primer orden para α:

0 ≈ ϑ +2MR0

[1 +

(32+

k3

)α

], (3.27)

como k = (ln 8− 2), haciendo K =(

32 +

k3

), sumando (3.27) y (3.26) se obtiene:

δ =4MR0

[1 + Kα] , (3.28)

ya que Kα es del orden de α con (1.65), entonces:

δ = 1, 74′′(1 + α). (3.29)

Teniendo en cuenta (1.66), si se compara con (3.29):

γ− 1 = 2α. (3.30)

Teniendo en cuenta medidas registradas por la sonda Cassini [33] para γ− 1 =(2, 1± 2,3) × 10−5, se obtiene según (3.30) que: 0 < α < 10−5, con esto, α aparececomo una corrección del orden de ≈ 1, 74× 10−5arcoseg. Por otro lado se presenta elmismo orden de magnitud que en el caso hallado para β− 1.

31

Capítulo 4

Relación entre BER y otros modelos

4.1. Modelo Brans-Dicke

Brans y Dicke queriendo incorporar el principio de Mach a la gravitación in-trodujeron un campo escalar que representaría el valor de G dependiendo de laposición en el espacio-tiempo. Con esto el principio variacional sobre la acción deEinstein-Hilbert [5] tendría la forma:

δ∫

dx4√−g(

116π

R + GLmateria

)= 0, (4.1)

donde Lmateria es la densidad lagrangiana de materia y R el escalar de Ricci. Divi-diendo entre G (4.1) y haciendo φ ≡ 1/(16πG) se tiene la densidad lagrangianapara Brans-Dicke [34]:

LBD = φR−ω1φ

gµν∂µφ∂νφ + Lmateria. (4.2)

Las ecuaciones de campo que se obtienen variando LBD con respecto a gµν son:

Gµν =8π

φT(m)

µν +ω

φ2 (∇µφ∇νφ− 12

gµν∇αφ∇αφ) +1φ(∇µ∇νφ− gµνφ). (4.3)

La ecuación para el campo escalar φ [34] viene dada por:

φ =1

2ω + 3

[8πT(m) + φ

dVdφ− 2V

]. (4.4)

Para el vacío T(m)µν = 0 y φ = 0, trazando (4.3) se encuentra que:

−R =ω

φ2 (gµν∇µφ∇νφ− 12

gµνgµν∇αφ∇αφ) +1φ

gµν∇µ∇νφ,

−R =ω

φ2 (gµν∇µφ∇νφ− 2∇αφ∇αφ),

R =ω

φ2∇αφ∇αφ. (4.5)

Reescribiendo (4.3) se obtiene:

Rµν −12

gµνR =ω

φ2 (∇µφ∇νφ− 12

gµν∇αφ∇αφ) +1φ∇µ∇νφ,

y reemplazando (4.5):

Capítulo 4. Relación entre BER y otros modelos 32

Rµν −12

gµν(ω

φ2∇αφ∇αφ) =

ω

φ2 (∇µφ∇νφ− 12

gµν∇αφ∇αφ) +1φ∇µ∇νφ,

Rµν− ω

2φ2 gµν∇αφ∇αφ =ω

φ2∇µφ∇νφ− ω

2φ2 gµν∇αφ∇αφ +1φ(∇µ∇νφ),

Rµν =ω

φ2∇µφ∇νφ +1φ∇µ∇νφ. (4.6)

Haciendo el cambio de variable: ϕ = ln φ → 1φ∇µ∇νφ = ∇µ ϕ∇ν ϕ +∇µ∇ν ϕ y

teniendo en cuenta que ∇µ ϕ = 1φ∇µφ, finalmente se escribe:

Rµν = (ω + 1)∇µ ϕ∇ν ϕ +∇µ∇ν ϕ, (4.7)

comparando con el tensor de Ricci modificado para BER:

Rµν = Rµν −1α∇µ ϕ∇ν ϕ−∇µ∇ν ϕ,

en el vacío, según (2.14),Rµν = 0:

Rµν =1α∇µ ϕ∇ν ϕ +∇µ∇ν ϕ.

Se reconoce que1α= ω + 1. (4.8)

Así haciendo el cambio de variable ϕ = ln φ y α = 1ω+1 es posible obtener el

tensor de BER (2.1) partiendo de las ecuaciones de BD en el vacío. Dada la relación(4.8), α queda limitada por los valores permitidos para ω de la forma 0 < α ≤ 1

ω+1 .Con las restricciones sobre ω dadas por las mediciones de la sonda Cassini [35],donde ω > 4× 104, se espera que 0 < α < 2,5× 10−5, lo cual es consistente con larelación que se tiene con las parámetros PPN en las ecuaciones (1.66) y (1.51).

Para establecer si existe una relación entre las densidades lagrangianas de BDy BER, se tiene en cuenta que la densidad lagrangiana en ausencia de materia deBrans-Dicke (en el frame de Jordan) [34] viene dada por :

LBD = φR−ω1φ

gµν∇µφ∇νφ. (4.9)

Dada la equivalencia entre las ecuaciones de campo de BD (4.7) y BER (2.1), se aplicael cambio de variable ϕ = ln φ y α = 1

ω+1 , de forma que el segundo término de (4.9)se convierte en:

−ω1φ

gµν∇µφ∇νφ = −eϕωgµν∇µ ϕ∇ν ϕ.

Con esto (4.29) queda:

LBD = eϕ

(R−

(1α− 1)

gµν∇µ ϕ∇ν ϕ

), (4.10)

dado que se usó la condición:


φ = 0gµν∇µ∇ν(eϕ) = gµνeϕ(∇µ ϕ∇ν ϕ +∇µ∇ν ϕ) = 0∇µ ϕ∇ν ϕ = −∇µ∇ν ϕ,

entonces (4.10) queda:

LBD = eϕ

(R− 1

αgµν∇µ ϕ∇ν ϕ + gµν∇µ ϕ∇ν ϕ

),

así que:

LBD = eϕ

(R− 1

αgµν∇µ ϕ∇ν ϕ− gµν∇µ∇ν ϕ

), (4.11)

comparando este resultado con (2.5) se encuentra que:

LBD = LBER, (4.12)

dando una relación entre las densidades lagrangianas para BER y BD.

4.2. Campo escalar sin masa

Los campos escalares tienen gran interés en gravitación, puesto que se les haintentado atribuir campos gravitacionales de gran alcance [36] y además queriendointroducir el principio de Mach en la gravitación [37], se han propuesto diversas teo-rías que involucran un campo escalar, una de ellas se conoce como Einstein-massless(EM) [38, 39], la cual propone una acción en ausencia de materia con la forma:

SEM =∫

d4x√−g[

R− 12

gµν∇µφ∇νφ

]. (4.13)

Las ecuaciones para el vacío que se obtienen [9] son:

Rαβ −12

gαβR = 8π∇αΦ∇βΦ− 4πgαβgµν∇µΦ∇νΦ, (4.14)

donde Φ representa el campo escalar sin masa y está relacionado con el tensor deenergía-momento del campo escalar. Contrayendo, (4.14) se puede expresar como:

Rαβ = 8π∇αΦ∇βΦ. (4.15)

Como se tiene la equivalencia entre las ecuaciones de campo para BER y BD, semostrará ahora cómo pasar de las ecuaciones (4.15) a las ecuaciones de BD y BER.

Usando el tensor de Ricci transformado (ver Apéndice (A) ) con φ = Ω2:

Rµν = Rµν −∇µ∇ν ln φ− 12

gµν ln φ +12∇µ ln φ∇ν ln φ− 1

2gµνgλα∇λ ln φ∇α ln φ.

(4.16)Sea la transformación conforme gµν = φgµν y la transformación del campo Φ =√

2ω+316π ln φ

φ0entonces (4.14) se transforma:


Rµν −∇µ∇ν ln φ− 12

gµν ln φ +12∇µ ln φ∇ν ln φ− 1

2gµνgλα∇λ ln φ∇α ln φ

=2ω + 3

2∇µ ln φ∇ν ln φ,

(4.17)

simplificando:

Rµν = ∇µ∇ν ln φ + (ω + 1)∇µ ln φ∇ν ln φ +12

gµν ln φ +12

gµνgλα∇α ln φ∇λ ln φ,

(4.18)

ahora se usa la identidad:

ln φ =φ

φ− gαβ∇α ln φ∇β ln φ, (4.19)

y el hecho que φ = 0, entonces (4.18) queda:

Rµν = (ω + 1)∇µ ln φ∇ν ln φ +∇µ∇ν ln φ, (4.20)

ya que (4.20) es equivalente a (4.7) haciendo el cambio ϕ = ln φ, entonces, las ecua-ciones de campo EM en el vacío son equivalentes a las ecuaciones de campo de BDen el vacío y por ende a BER.

Los resultados se resumen en la figura (4.1).

FIGURA 4.1: Relación entre las ecuaciones de campo para el vacíoentre BER, BD, EM.

Nótese que cuando el campo escalar φ = constante, las tres ecuaciones de campoen la figura (4.1) coinciden a (1.8).

4.3. Monopolo gravitacional

Este modelo corresponde a una solución a las ecuaciones de Einstein para unamétrica fuera de un monopolo gravitacional que surge de la ruptura de simetríaglobal de O(3), donde se muestra que el espacio alrededor del monopolo tiene undefecto topológico dado por el déficit de un ángulo sólido [10] evidenciado en lamétrica:

ds2 = −dt2 + dr2 + r2(1− 8πGη2)dΩ2. (4.21)


El modelo que describe un monopolo es descrito por un lagrangiano de la forma:

L = ∂µ ϕ∂µ ϕ− 14

λ(ϕa ϕa − η2)2, (4.22)

donde η y λ están relacionados con la masa y el tamaño del núcleo del monopolo.Comparado con:

lımr→∞

e f (r) =1

1 + α,

la métrica (2.20) tiene la forma:

ds2 = − 11 + α

dt2 + (1 + α)dr2 + r2dΩ2, (4.23)

haciendo el cambio de variable: t =√

11+α t ; r = 1√

(1+α)ρ, se obtiene:

ds2 = −dt2 + dρ2 + ρ2(

1− α

1 + α

)dΩ2. (4.24)

Comparando la métrica (4.24) con (4.21), αα+1 corresponde un ”hueco” en una

pieza de ángulo sólido. Entonces la métrica del monopolo (4.24) no es localmenteplana. Por lo tanto, en r → ∞ la métrica no es asintóticamente plana, de forma quese obtiene:

L = ∂µ ϕ∂µ ϕ− 14

λ(ϕa ϕa − α2(α + 1)−2). (4.25)

El lagrangiano (4.25) presenta entonces una forma de monopolo gravitacional deacuerdo a (4.22).

4.4. Transformación conforme

Una transformación de la métrica que sigue

gµν = Ω2gµν, (4.26)

se conoce como una transformación conforme, donde Ω2 es una función de las coor-denadas espacio-temporales. Si se aplica al elemento de línea:

ds2 = gµνdxµdxν, (4.27)

se obtiene que

ds2 = Ω2ds2. (4.28)

Esto indica que las escalas medidas por la nueva métrica gµν cambian en un factor deΩ respecto a las medidas con gµν, sin embargo, esta transformación deja inalteradoel ángulo entre dos vectores cuando se transforma de gµν a gµν [6, 40]. Así un vec-tor tipo tiempo, tipo espacio o nulo mantienen su carácter con respecto a la nuevamétrica gµν [6].

La acción en ausencia de materia para Brans-Dicke [34] viene dado por :

SBD =∫

d4x√−g(

φR−ω1φ

gµν∇µφ∇νφ

). (4.29)


Para encontrar cómo se transforma el lagrangiano de BD bajo una transforma-ción conforme de la forma (4.26), se tiene en cuenta la relación entre los escalares deRicci usual y el transformado R y R respectivamente (Apéndice (A)) quedando:

R = Ω2R + 6gσν∇ν∇σ ϕ + 6gσν∇σ ϕ∇ν ϕ, (4.30)

dondeϕ = ln Ω, ∇µ ϕ ≡ ∂ϕ

∂xµ. (4.31)

Aplicando (4.30) al primer término de (4.29) con√−g = Ω−4√−g:√

−gφR = φΩ−2√−g[R + 6gσν∇ν∇σ ϕ + 6gσν∇σ ϕ∇ν ϕ]. (4.32)

Escogiendo φΩ−2 = 1:

Ω =√

φ, (4.33)

con (4.31) y (4.33):

ϕ =12

ln φ, (4.34)

haciendo 2ϕ = ln φ → ∇µ∇ν ϕ = − 12φ2∇µφ∇νφ + 1

2φ∇µ∇νφ y ∇µ ϕ = 12φ∇µφ

reemplazando en (4.32):

√−gφR =

√−g[R + 6gσν(− 1

2φ2∇σφ∇νφ +1

2φ∇σ∇νφ) +

64φ2 gσν∇σφ∇νφ],

simplificando:

√−gφR =

√−g[R− 3

2φ2 gσν∇σφ∇νφ +3φ

gσν∇σ∇νφ)],

para el segundo término de (4.10):

−√−gω

1φ

gµν∇µφ∇νφ =−ω

φ2

√−g ˜gµν∇µφ∇νφ, (4.35)

usando que para el vacío en BD: φ = 0, la acción (4.29) queda:

SBD =∫

d4x√−g[R− 3

2φ2 gσν∇σφ∇νφ− ω

φ2

√−g ˜gµν∇µφ∇νφ],

simplificando:

SBD =∫

d4x√−g(R− 2ω + 3

2φ2˜gµν∇µφ∇νφ),

se hace ahora φ =√

2ω + 3 ln(

φφ0

)así la acción en el marco de Einstein es:

SBD =∫

d4x[

R− 12

gµν∇µφ∇νφ

]√−g. (4.36)

La densidad lagrangiana de BD presente en (4.36) bajo una transformación con-forme es equivalente a (4.13) la cual contiene la densidad lagrangiana de EM. Lasrelaciones entre las densidades lagrangianas encontradas se resumen en la figura(4.2).


FIGURA 4.2: Relación entre las densidades lagrangianas para BER,BD, EM.

La aplicación de la transformación conforme de la forma (4.26) a la densidadlagrangiana contenida en la acción de BD (4.29) y a la densidad lagrangiana de BER(2.5) en el frame de Jordan, ha llevado a obtener la acción de EM (4.13) en el marcode Einstein. Esta transformación conforme muestra distintas formas de expresar lamisma teoría de la gravedad en ausencia de materia. Esto se ve en el caso cuandoel campo escalar es constante, los lagrangiano de BD, EM, BER son equivalentessalvo una constante de proporcionalidad. Si bien la transformación conforme (4.26)es interpretada como una transformación de escala, al pasar del marco de Jordan almarco de Einstein, bajo esta transformación aparecen términos adicionales como una”quinta fuerza” en la ecuación geodésica [34]. Al escoger distintas transformacionesconformes se obtienen diferentes teorías de las cuales se muestran algunas en lasfiguras (4.1) y (4.2). Estas teorías también surgen de acuerdo a la forma en cómose quiere interpretar el campo escalar. Por un lado como un campo adicional a lagravedad (EM) donde las ecuaciones de campo (1.9) se ven modificadas gracias aun término en el lagrangiano de la forma Lφ [6], el cual puede ser visto como untensor de energía dependiendo de φ tal como está escrito el lado derecho de ecuación(4.14). También se interpreta el campo escalar como una modificación a la geometríadel espacio-tiempo (BER) donde el campo es mezclado para generalizar el tensor deRicci.

38

Capítulo 5

Conclusiones

En el capítulo 2 se obtuvieron las ecuaciones de campo con la acción propuestausando el escalar de BER. Las soluciones a las ecuaciones de campo para BER fueronencontradas obteniendo una métrica modificada según (2.20), en donde el campo es-calar perteneciente al tensor de BER modifica la geometría del espacio-tiempo, mos-trando los efectos causados en las correcciones encontradas en las ecuaciones (3.15),(3.29) y (3.2).

Dada la métrica en la solución de las ecuaciones para BER, en el capítulo 3 serealizan los test clásicos: la aproximación a campo débil, corrimiento del periheliode Mercurio y la deflexión de la luz. Según (3.4), el campo escalar perteneciente altensor de BER representa la variación respecto al tiempo de G, siendo esta variaciónproporcional a α, así la ley de gravitación universal se ve modificada por un términodebido al campo escalar. Teniendo en cuenta los resultados sobre las mediciones enla curvatura del espacio producida por un cuerpo de masa M en el radio r en el sis-tema solar dado por γ− 1 = (2, 1± 2, 3)× 10−5, se encuentra una restricción para0 < α < 2,5× 10−5. Esta observación es consistente con los valores obtenidos en lasecuaciones (3.15) y (3.28), donde α aparece como un término adicional.

La comparación del tensor de BER con otros modelos en el capítulo 4 permitióencontrar una relación con el modelo de BD donde sus ecuaciones de campo en elvacío son equivalentes aplicando el cambio de variable ϕ = ln φ y α = 1

ω+1 . Elparámetro α de las ecuaciones de campo propuestas para BER está limitado por losvalores permitidos para el parámetro libre de las ecuaciones de campo para BD ωpor la relación 0 < α ≤ 1

ω+1 . Esto de acuerdo con el intervalo encontrado para 0 <

α < 2,5× 10−5 y su relación con γ− 1. Por otro lado, las ecuaciones de campo paraEM pueden ser obtenidas utilizando una transformación conforme de las ecuacionespara BER de acuerdo como se expresa en la figura (4.1). La métrica modificada (2.20)no es asintóticamente plana como se muestra en la ecuación (4.24) evidenciandouna métrica tipo monopolo (4.21), donde el término α

α+1 aparece como un déficitde ángulo sólido asociado con un defecto topológico perteneciente a un monopologravitacional.

Capítulo 5. Conclusiones 39

Trabajo futuro

Como trabajo futuro se propone modificar el tensor de Ricci por el tensor de BERusando la métrica de Friedmann-Robertson-Walker para encontrar las ecuacionesde Friedmann en función del parámetro α y el campo escalar ϕ. Dado que α para elcaso del sistema solar está restringido por γ, podría darse que a nivel cosmológicoeste parámetro tenga valores diferentes y el campo escalar sea un candidato a lafuente de energía oscura. Tanto el campo escalar como α podrían tener relación conel parámetro de Hubble o la constante cosmológica.

40

Apéndice A

Transformación conforme de lacurvatura escalar

Una transformación conforme transforma una métrica gµν en otra métrica g∗µν

de acuerdo a:g∗µν = Ω2gµν, (A.1)

donde Ω es una función regular de las coordenadas espacio temporales [34]. Se des-peja gµν de (A.1)

gµν = Ω−2g∗µν, (A.2)

con la inversa dada por:

gµν = Ω2gµν∗ . (A.3)

Con los símbolos de Christoffel dados por:

Γµνλ =

12

gµρ(∂νgρλ + ∂λgρν − ∂ρgνλ), (A.4)

se desarrolla el primer término ∂νgρλ con lo que queda:

∂νgρλ = ∂ν(Ω−2g∗ρλ)

= ∂ν(Ω−2)g∗ρλ + Ω−2∂νg∗ρλ

= −2g∗ρλΩ−3∂νΩ + Ω−2∂νg∗ρλ

= Ω−2(−2g∗ρλΩ−1∂νΩ + ∂νg∗ρλ)

= Ω−2(−2g∗ρλ∂ν ϕ + ∂νg∗ρλ),

donde se utilizó el cambio de variable ϕ = ln Ω. Si se reemplaza este resultado enlos Christoffel:

Γµνλ =

12

Ω2gµρ∗ [Ω−2(−2g∗ρλ∂ν ϕ + ∂νg∗ρλ)

+Ω−2(−2g∗ρν∂λ ϕ + ∂λg∗ρν)−Ω−2(−2g∗νλ∂ρ ϕ + ∂ρg∗νλ)],

repartiendo 12 Ω2gµρ

∗ en la ecuación anterior, se encuentra que:

Γµνλ =

12

gµρ∗ (−2g∗ρλ∂ν ϕ + ∂νg∗ρλ)

+12

gµρ∗ (−2g∗ρν∂λ ϕ + ∂λg∗ρν)−

12

gµρ∗ (−2g∗νλ∂ρ ϕ + ∂ρg∗νλ),

Apéndice A. Transformación conforme de la curvatura escalar 41

agrupando los términos que contiene derivadas de g∗:

Γµνλ =

12

gµρ∗ (∂νg∗ρλ + ∂λg∗ρν − ∂ρg∗νλ) +

12

gµρ∗ (−2g∗ρλ∂ν ϕ− 2g∗ρν∂λ ϕ + 2g∗νλ∂ρ ϕ),

definiendo Γµ∗νλ = 1

2 gµρ∗ (∂νg∗ρλ + ∂λg∗ρν − ∂ρg∗νλ), para escribir de forma simplifica-

da:

Γµνλ = Γµ

∗νλ +12

gµρ∗ (−2g∗ρλ∂ν ϕ− 2g∗ρν∂λ ϕ + 2g∗νλ∂ρ ϕ),

repartiendo 12 gµρ∗ :

Γµνλ = Γµ

∗νλ − gµρ∗ g∗ρλ∂ν ϕ− gµρ

∗ g∗ρν∂λ ϕ + gµρ∗ g∗νλ∂ρ ϕ).

Usando que gµρ∗ g∗ρλ = δ

µλ se escribe:

Γµνλ = Γµ

∗νλ − δµλ∂ν ϕ− δ

µν ∂λ ϕ + gµρ

∗ g∗νλ∂ρ ϕ),

contrayendo gµρ∗ ∂ρ ϕ = ∂

µ∗ϕ

Γµνλ = Γµ

∗νλ − (δµλ∂ν ϕ + δ

µν ∂λ ϕ− g∗νλ∂

µ∗ϕ). (A.5)

Usando la definición para el tensor de Riemann:

Rρσµν = ∂µΓρ

νσ − ∂νΓρµσ + Γρ

µλΓλνσ − Γρ

νλΓλµσ. (A.6)

Desarrollando el primer término ∂µΓρνσ, se escribe que :

∂µΓρνσ = ∂µ(Γ

ρ∗νσ)− ∂µ(δ

ρσ∂ν ϕ + δ

ρν∂σ ϕ− g∗νσ∂

ρ∗ϕ)

= ∂µ(Γρ∗νσ)− δ

ρσ∂µ∂ν ϕ− δ

ρν∂µ∂σ ϕ + ∂µ(g∗νσ∂

ρ∗ϕ)

= ∂µ(Γρ∗νσ)− δ


ρν∂µ∂σ ϕ + ∂

ρ∗ϕ∂µ(g∗νσ) + g∗νσ∂µ∂

ρ∗ϕ.

Desarrollando el segundo término −∂νΓρµσ:

−∂νΓρµσ = −∂ν(Γ

ρ∗µσ) + ∂ν(δ

ρσ∂µ ϕ + δ

ρµ∂σ ϕ− g∗µσ∂

ρ∗ϕ)

= −∂ν(Γρ∗µσ) + δ

ρσ∂ν∂µ ϕ + δ

ρµ∂ν∂σ ϕ− ∂ν(g∗µσ∂

ρ∗ϕ)

= −∂ν(Γρ∗µσ) + δ


ρµ∂ν∂σ ϕ− ∂

ρ∗ϕ∂ν(g∗µσ)− g∗µσ∂ν∂

ρ∗ϕ,

ahora el término ΓρµλΓλ

νσ:

ΓρµλΓλ

νσ = (Γρ∗µλ − δ

ρλ∂µ ϕ− δ

ρµ∂λ ϕ + g∗µλ∂

ρ∗ϕ)(Γλ

∗νσ − δλσ ∂ν ϕ− δλ

ν ∂σ ϕ + g∗νσ∂λ∗ ϕ)

= Γρ∗µλΓλ

∗νσ − δλσ Γρ∗µλ∂ν ϕ− δλ

ν Γρ∗µλ∂σ ϕ + g∗νσΓρ

∗µλ∂λ∗ ϕ−

− δρλΓλ∗νσ∂µ ϕ + δ

ρλδλ

σ ∂µ ϕ∂ν ϕ + δρλδλ

ν ∂µ ϕ∂σ ϕ− δρλg∗νσ∂µ ϕ∂λ

∗ ϕ−− δ

ρµΓλ∗νσ∂λ ϕ + δ

ρµδλ

σ ∂λ ϕ∂ν ϕ + δρµδλ

ν ∂λ ϕ∂σ ϕ− δρµg∗νσ∂λ ϕ∂λ

∗ ϕ+

+ Γλ∗νσg∗µλ∂

ρ∗ϕ− δλ

σ g∗µλ∂ρ∗ϕ∂ν ϕ− δλ

ν g∗µλ∂ρ∗ϕ∂σ ϕ + g∗µλg∗νσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ,


luego el término −ΓρνλΓλ

µσ:

−ΓρνλΓλ

µσ =− (Γρ∗νλ − δ

ρλ∂ν ϕ− δ

ρν∂λ ϕ + g∗νλ∂

ρ∗ϕ)(Γλ

∗µσ − δλσ ∂µ ϕ− δλ

µ ∂σ ϕ + g∗µσ∂λ∗ ϕ)

=− Γρ∗νλΓλ

∗µσ + δλσ Γρ∗νλ∂µ ϕ + δλ

µ Γρ∗νλ∂σ ϕ− g∗µσΓρ

∗νλ∂λ∗ ϕ+

+ δρλΓλ∗µσ∂ν ϕ− δ

ρλδλ

σ ∂ν ϕ∂µ ϕ− δρλδλ

µ ∂ν ϕ∂σ ϕ + δρλg∗µσ∂ν ϕ∂λ

∗ ϕ+

+ δρνΓλ∗µσ∂λ ϕ− δ

ρνδλ

σ ∂λ ϕ∂µ ϕ− δρνδλ

µ ∂λ ϕ∂σ ϕ + δρν g∗µσ∂λ ϕ∂λ

∗ ϕ−− Γλ

∗µσg∗νλ∂ρ∗ϕ + δλ

σ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂µ ϕ + δλ

µ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂σ ϕ− g∗νλg∗µσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ.

Entonces el tensor de Riemann queda:

Rρσµν =∂µ(Γ

ρ∗νσ)− δ


ρν∂µ∂σ ϕ + g∗νσ∂µ∂

ρ∗ϕ−

− ∂ν(Γρ∗µσ) + δ


ρµ∂ν∂σ ϕ− g∗µσ∂ν∂

ρ∗ϕ+

+ Γρ∗µλΓλ

∗νσ − δλσ Γρ∗µλ∂ν ϕ− δλ




ρλδλ



∗ ϕ−− δ


ρµδλ



∗ ϕ+

+ Γλ∗νσg∗µλ∂

ρ∗ϕ− δλ

σ g∗µλ∂ρ∗ϕ∂ν ϕ− δλ

ν g∗µλ∂ρ∗ϕ∂σ ϕ + g∗µλg∗νσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ−− Γρ

∗νλΓλ∗µσ + δλ

σ Γρ∗νλ∂µ ϕ + δλ


∗νλ∂λ∗ ϕ+


ρλδλ



∗ ϕ+

+ δρνΓλ∗µσ∂λ ϕ− δ

ρνδλ

σ ∂λ ϕ∂µ ϕ− δρνδλ


∗ ϕ−− Γλ

∗µσg∗νλ∂ρ∗ϕ + δλ

σ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂µ ϕ + δλ

µ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂σ ϕ− g∗νλg∗µσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ−− ∂

ρ∗ϕ∂ν(g∗µσ) + ∂

ρ∗ϕ∂µ(g∗νσ).

Haciendo Rρ∗σµν = ∂µ(Γ

ρ∗νσ)− ∂ν(Γ

ρ∗µσ) + Γρ

∗µλΓλ∗νσ − Γρ

∗νλΓλ∗µσ:

Rρσµν =Rρ

∗σµν − δρσ∂µ∂ν ϕ− δ

ρν∂µ∂σ ϕ + g∗νσ∂µ∂

ρ∗ϕ+

+ δρσ∂ν∂µ ϕ + δ

ρµ∂ν∂σ ϕ− g∗µσ∂ν∂

ρ∗ϕ− δλ

σ Γρ∗µλ∂ν ϕ− δλ




ρλδλ



∗ ϕ− δρµΓλ∗νσ∂λ ϕ+

+ δρµδλ



∗ ϕ + Γλ∗νσg∗µλ∂

ρ∗ϕ− δλ

σ g∗µλ∂ρ∗ϕ∂ν ϕ−

− δλν g∗µλ∂

ρ∗ϕ∂σ ϕ + g∗µλg∗νσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ + δλσ Γρ∗νλ∂µ ϕ + δλ


∗νλ∂λ∗ ϕ+


ρλδλ



∗ ϕ + δρνΓλ∗µσ∂λ ϕ− δ

ρνδλ

σ ∂λ ϕ∂µ ϕ−− δ

ρνδλ


∗ ϕ− Γλ∗µσg∗νλ∂

ρ∗ϕ + δλ

σ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂µ ϕ+

+ δλµ g∗νλ∂

ρ∗ϕ∂σ ϕ− g∗νλg∗µσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ− ∂ρ∗ϕ∂ν(g∗µσ) + ∂

ρ∗ϕ∂µ(g∗νσ),

ahora Rσν = δµρ Rρ

σµν:


Rσν = R∗σν − δµρ δ


µρ δ

ρν∂µ∂σ ϕ + δ

µρ g∗νσ∂µ∂

ρ∗ϕ+

+ δµρ δ


µρ δ

ρµ∂ν∂σ ϕ− δ

µρ g∗µσ∂ν∂

ρ∗ϕ−

− δµρ δλ

σ Γρ∗µλ∂ν ϕ− δ

µρ δλ

ν Γρ∗µλ∂σ ϕ + δ

µρ g∗νσΓρ


− δµρ δ

ρλΓλ∗νσ∂µ ϕ + δ

µρ δ

ρλδλ

σ ∂µ ϕ∂ν ϕ + δµρ δ

ρλδλ

ν ∂µ ϕ∂σ ϕ− δµρ δ

ρλg∗νσ∂µ ϕ∂λ

∗ ϕ−− δ

µρ δ


ρµδλ

σ ∂λ ϕ∂ν ϕ + δµρ δ

ρµδλ

ν ∂λ ϕ∂σ ϕ− δµρ δ

ρµg∗νσ∂λ ϕ∂λ

∗ ϕ+

+ δµρ Γλ∗νσg∗µλ∂

ρ∗ϕ− δ

µρ δλ

σ g∗µλ∂ρ∗ϕ∂ν ϕ− δ

µρ δλ

ν g∗µλ∂ρ∗ϕ∂σ ϕ + δ

µρ g∗µλg∗νσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ+

+ δµρ δλ

σ Γρ∗νλ∂µ ϕ + δ

µρ δλ

µ Γρ∗νλ∂σ ϕ− δ

µρ g∗µσΓρ

∗νλ∂λ∗ ϕ+

+ δµρ δ

ρλΓλ∗µσ∂ν ϕ− δ

µρ δ

ρλδλ

σ ∂ν ϕ∂µ ϕ− δµρ δ

ρλδλ

µ ∂ν ϕ∂σ ϕ + δµρ δ

ρλg∗µσ∂ν ϕ∂λ

∗ ϕ+

+ δµρ δ

ρνΓλ∗µσ∂λ ϕ− δ

µρ δ

ρνδλ

σ ∂λ ϕ∂µ ϕ− δµρ δ

ρνδλ

µ ∂λ ϕ∂σ ϕ + δµρ δ

ρν g∗µσ∂λ ϕ∂λ

∗ ϕ−− δ

µρ Γλ∗µσg∗νλ∂

ρ∗ϕ + δ

µρ δλ

σ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂µ ϕ + δ

µρ δλ

µ g∗νλ∂ρ∗ϕ∂σ ϕ− δ

µρ g∗νλg∗µσ∂

ρ∗ϕ∂λ

∗ ϕ,

utilizando que δµρ δ

ρµ =n y tomando Γλ

∗ρσ = 0

Rσν =R∗σν −∂σ∂ν ϕ− ∂ν∂σ ϕ + gνσgαµ∂µ∂α ϕ+∂ν∂σ ϕ + n∂ν∂σ ϕ− ∂ν∂σ ϕ+

+ ∂σ ϕ∂ν ϕ + ∂ν ϕ∂σ ϕ− gνσgαµ∂µ ϕ∂α ϕ + n∂σ ϕ∂ν ϕ + n∂ν ϕ∂σ ϕ− ngνσgλα∂λ ϕ∂α ϕ−− ∂σ ϕ∂ν ϕ− ∂ν ϕ∂σ ϕ + gνσgαµ∂α ϕ∂µ ϕ− ∂ν ϕ∂σ ϕ− n∂ν ϕ∂σ ϕ + ∂ν ϕ∂σ ϕ−− ∂σ ϕ∂ν ϕ− ∂ν ϕ∂σ ϕ + gνσgαµ∂µ ϕ∂α ϕ + gνσgµα∂α ϕ∂µ ϕ + ∂ν ϕ∂σ ϕ− ∂σ ϕ∂ν ϕ,

simplificando:

Rσν = R∗σν + (n− 2)∇ν∇σ ϕ + gνσgαµ∇µ∇α ϕ− (n− 2)∇σ ϕ∇ν ϕ + (n− 2)gνσgλα∇λ ϕ∇α ϕ

para el escalar de Ricci R = gσνRσν:

R = gσνR∗σν +(n− 2)gσν∇ν∇σ ϕ+ngαµ∇µ∇α ϕ− (n− 2)gσν∇σ ϕ∇ν ϕ+(n− 2)ngλα∇λ ϕ∇α ϕ

R = Ω2R∗ + (2n− 2)gσν∇ν∇σ ϕ + (n− 2)(n− 1)gσν∇σ ϕ∇ν ϕ

R = Ω2R∗ + 2(n− 1)gσν∇ν∇σ ϕ + (n− 2)(n− 1)gσν∇σ ϕ∇ν ϕ

para n = 4:

R = Ω2R∗ + 6gσν∇ν∇σ ϕ + 6gσν∇σ ϕ∇ν ϕ

R∗ = Ω−2(R− 6gσν∇ν∇σ ϕ− 6gσν∇σ ϕ∇ν ϕ) (A.7)

44

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una solución exacta a la gravedad de bakry-Émery-ricci

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