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Una socioepistemología del aspecto

periódico de las funciones

Gabriela Buendía 1

RESUMEN

En este artículo presentamos una socioepistemología –o epistemología de prácticas–acerca de la periodicidad de las funciones, que tiene como aspecto principal la relaciónpredicción-periodicidad en el reconocimiento significativo de dicha propiedad. Tambiénmostramos una situación, cuyo diseño se fundamenta en la socioepistemología, que dacuenta de cómo esta relación se pone en marcha intencionalmente en contextosdidácticos interactivos, logrando una reconstrucción de significados situacionales sobreel aspecto periódico de las funciones. En la visión teórica con la que abordamos esteestudio, el saber matemático se problematiza y se reconoce que para hablar de él no sele puede considerar como un objeto acabado no cuestionable, sino como un complejode prácticas, de naturaleza social, que le den sentido y significado.

PALABRAS CLAVE : Práctica social, lo periódico, predicción.

ABSTRACT

We present a socioepistemology –or epistemology of practices- about the periodicity ofthe functions whose main aspect is the relation prediction- periodicity in the significantrecognition of this property. We present also a situation whose design is supported inthe socioepistemology and that shows how this relation starts up, intentionally, ininteractive didactic contexts achieving a situational meaning reconstruction regardingthe periodic aspect of the functions. In the theoretical vision that we use to undertakethis study, the mathematical knowledge it is problematized and, is recognized that tospeak about a mathematical knowledge, this cannot be considered like a finished andnot questionable object, but as a complex of practices, of social nature, that provide itwith sense and meaning.

KEYWORDS: social practice, periodicity, prediction.

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Relime Vol. 9, Núm. 2, julio, 2006, pp. 227- 251.

Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Enero de 2006

Centro de Investigación en Matemática Educativa, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Chiapas.

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RÉSUMÉ

Nous présentons une socioépistémologie -ou épistémologie de la pratique- au sujet dela périodicité des fonctions ayant comme aspect principal la relation prédiction-périodicitédans la reconnaissance significative de cette propriété. Nous présentons de même unesituation dont la conception est basée dans la socioépistémologie et qui montre commentcette relation se met en marche, intentionnellement, dans des contextes didactiquesinteractifs réussissant ainsi une reconstruction des significations situationnelles surl’aspect périodique des fonctions. Dans la vision théorique avec laquelle nous abordonscette étude, le savoir mathématique se problématise et il est reconnu que pour parlerd’un savoir mathématique celui-ci ne peut pas se considérer comme un objet fini sanspossibilité de le remettre en question, mais plutôt comme un complexe de pratiques, denature sociale, qui lui donnent un sens et une signification.

MOTS CLÉS: Pratique sociale, ce qui est périodique, prédiction.

RESUMO

Apresentamos una socioepistemologia –ou epistemologia de práticas- a respeito daperiodicidade das funções cujo aspecto principal é a relacão predição-periodicidade noreconhecimento significativo desta propiedade. Apresentamos também uma situaçãocujo traçado se fundamenta na socioepistemologia e que analisa como esta relaçãosegue, intencionalmente, em contextos didáticos interativos alcançando uma reconstruçãode significados situacionais sobre o aspecto periódico das funções. Na visão teóricacom que abordamos este estudo, o saber matemático se problematiza e se reconheceque para falar de um saber matemático, este não se pode considerar como um objetoacabado não questionável, mas sim como um complexo de práticas, de natureza social,que lhes dão sentido e significado.

PALAVRAS CHAVE: prática social, periódico, predição.

Introducción

La problemática fundamental que atiendela matemática educativa consiste en haberidentificado una confrontación entre la obramatemática y la matemática escolar. Enparticular, esta investigación sobre el

aspecto periódico de las funciones abordael fenómeno didáctico que surge de la pocacoherencia entre la existencia yaplicabilidad de una definiciónmatemática2 de periodicidad –componente

Una función es periódica en su dominio si y sólo si f (x) = f (x ± p) para todo x que pertenezca al dominio, en donde

p es un número real llamado periodo.

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esencial de la estructura matemática– ylo que se interpreta acerca de lo periódicoen los ambientes escolares.

Se ha considerado que la matemáticaescolar, en especial aquella del nivel deeducación superior –que atiende esteestudio–, se nutre no sólo de ella misma,sino de otros dominios científicos y delpropio contexto sociocultural; lamatemática toma sentido y significación deesas prácticas de referencia. En estereconocimiento, la adquisión de objetosmatemáticos no resulta ser el referenteúnico para hablar de la construccióndel conocimiento; también darán cuentade ello las prácticas relacionadas conla generación de dicho objeto.

Debido a que se reconoce a las prácticassociales como generadoras deconocimiento matemático entre los gruposhumanos, la socioepistemología es laaproximación teórica con la que se abordaeste estudio sobre la periodicidad. Sepresenta una relación entre la prediccióny la periodicidad, que proporciona unescenario donde se articulan elementosque pertenecen más al tipo de recursosutilizados para hacer matemáticas que ala propia estructura matemática; tal es elcaso del comportamiento de la gráfica deuna función.

La epistemología de prácticas que sepropone sobre lo periódico se fundamentaen esa relación predicción-periodicidad;por ello, daremos cuenta de su ingresoal sistema didáctico a través de unasituación, en la que la predicción es elargumento, formado por significados,procedimientos y aspectos cognitivos,que favorece una reconstrucciónsituacional de significados acerca de loperiódico.

Problemática

Se han identificado varias cuestiones acercade lo periódico en ambientes escolares,como la falta de sentido que tiene ladefinición matemática de las funcionesperiódicas (Cordero y Martínez, 2001) y laconfusión entre las series de objetos ygráficas repetitivas con aquellas que sonperiódicas (Shama y Movshovitz-Hadar,1997; Shama,1998). Adicionalmente,cuando los estudiantes discuten gráficas querepresentan movimientos periódicos, estapropiedad, más que tener un significadopropio en el movimiento o en la gráfica,parece ser la herencia de la función senoidalque los puede modelar. Lo periódico parecetransferirse automáticamente desde lapropiedad analítica del seno hacia cualquierotra gráfica o movimiento que resulte similar(Buendía, 2004; Buendía y Cordero, 2005).Esa falta de sentido se refleja tambiéncuando lo periódico no suele ser unacaracterística que resulta relevante anteotras propiedades, como la continuidad.

Lo anterior es un indicativo de que, alrededorde lo periódico, se han privilegiadoargumentos de corte analítico que toman alos conceptos matemáticos como objetoselaborados, alejados totalmente deargumentos situacionales.

Como consecuencia, resulta común queestudiantes y profesores que saben ladefinición analítica de periodicidad declarenque gráficas como las de la Figura 1 seanperiódicas. Es como si se generara unteorema factual que establece una relaciónbiunívoca entre periodicidad y loscomportamientos senoidales. O bien, en elmejor de los casos, se instituye una relaciónbiunívoca entre cualquier forma de repeticiónde una gráfica y la propiedad periódica.

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x(t) = Ae−λtsen( ϖ 2 − eλ 2t +ϕ)

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t

d

t

d

Figura 1. Gráficas senoidales.

Adicionalmente, la periodicidad es unconcepto que transita entre diferentesdisciplinas escolares que forman parte deuna sola cultura científica del estudiante;sin embargo, el discurso escolar y, muy enparticular, el del nivel superior, suelesepararlas de tal manera que, para el casode lo periódico, la propiedad cambia segúnel referente. En Cálculo, por ejemplo, unafunción es o no periódica si cumple o no ladefinición:

Decimos que una función f condominio X es periódica, si existe unnúmero real positivo k tal quef (t + k) = f (t) para todo t en X. Siexiste un número positivo k mínimocon esta propiedad, entonces estese llama el periodo de f(Swokowski, 1982).

Por su parte, al estudiar lo periódico conosciladores, como en ecuacionesdiferenciales, se habla de funciones casiperiódicas, o bien se define un periodoespecial –cuasiperiodo– que alude sólo altiempo:

La superposición de dosvibraciones con frecuenciascirculares inconmensurables 1 y

2 resulta en un proceso desuperposición de vibracionessinusoidales que ya no es periódico.

Señalamos que tales funcionessiempre tienen un carácteraproximadamente periódico, o,como decimos, son casi periódicas(Courant, 1979).

Comono es una función periódica, alnúmero se le llamacuasiperiodo. El cuasiperiodo es elintervalo de tiempo transcurridoentre dos máximos sucesivos dex(t)(Zill, 1988).

Pareciera entonces que, al abordarsituaciones periódicas en diferentescontextos, no basta conocer, aplicar ocomprobar una fórmula. En sí misma, ladefinición puede incluso tener diferentesformas y seguir diferentes objetivos3;adicionalmente, consideramos que,antes de hablar sobre la periodicidadcomo una propiedad terminada yaplicable, será preciso considerar sunaturaleza y sus significados en el senode situaciones y actividades que le dansentido.

Lo periódico

A la luz de la problemática mostrada enrelación con el aspecto periódico de lasfunciones, pensamos que su origenestriba en que en la matemática escolarno hay suficientes marcos de referencia,más al lá de los exclusivamentematemáticos, que permitan resignificar elconocimiento matemático. Queremosproponer, en consecuencia, marcos queconsideren la naturaleza del saber, sufunción y origen social.

ωω

2π / ϖ 2 − λ2

Consúltese, por ejemplo, la discusión presentada por Dormolen y Zaslavsky (2003), quienes mencionan que al

hacer matemáticas uno puede elegir una u otra definición por razones lógicas, pedagógicas o de carácter convencional,

y sería peligroso mezclar estas razones o creer que, finalmente, una definición es única o pura.

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Estamos planteando un escenario donde,alrededor de los aspectos meramenteanalíticos de la periodicidad, se dibujenmuchos más elementos que influyen ensu significado y construcción. Ya que nobastan su definición y operatividadmatemática, más que hablar deperiodicidad, nos referiremos a loperiódico, término que nos permitirá, porun lado, hacer evidente la inclusión deaspectos culturales, históricos einstitucionales que tienen que ver con laperiodicidad; por otro, separar el aspectoperiódico del sentido utilitario que le haimpregnado el sistema didáctico. Estoconfiere un carácter complejo a lageneración de conocimiento matemáticoy a su difusión institucional, ya que loperiódico puede constituir un lenguaje (sindefiniciones) antes de que aparezca lainstitucionalización de la periodicidad através de la definición.

Así, esta investigación trata de evidenciarque lo periódico adquiere sentido cuandolos seres humanos se enfrentan a la tareade buscar la predicción de una posiciónlejana que se tendrá sobre la gráfica delmovimiento, dada una cierta informaciónactual, lo cual favorece una distinciónsignificativa de la repetición que presentaun movimiento. Por tanto, la búsqueda deuna base de significados para lo periódicono descansa en un virtual encadenamientológico-matemático de objetos, sino en lapráctica de predecir (Cantoral, 2001). Deahí que se propone una epistemología deprácticas para lo periódico que articule losaspectos cognitivos, culturales, históricose institucionales de la periodicidad; endicha (socio)epistemología, la predicciónserá una práctica que favorezca laarticulación y la inclusión, funcional yarticulada, de lo periódico en el sistemadidáctico.

Objetivos

El objetivo de nuestra investigaciónconsiste en proponer una epistemología delo periódico cuyos elementos esténextraídos de las prácticas que realiza elindividuo al tratar con aspectos delcomportamiento repetitivo de gráficas defunciones que describen movimientos. Aesta epistemología de prácticas le hemosllamado socioepistemología de loperiódico.

Otro aspecto que aborda este trabajo esla transformación de las prácticas cuandose tiene la intención de que el conocimientoingrese al sistema didáctico. Para ello, sediseñó y puso en escena una situaciónfundamentada en la socioepistemología delo periódico, con el propósito de dar cuentaque la predicción es una prácticadesarrollada de manera intencional encontextos interactivos y juega el papel deargumento situacional. Esto permitereconocer la naturaleza de lo periódico yusarla significativamente.

En resumen, el objetivo de nuestrainvestigación tiene que ver con proponeruna socioepistemología de la periodicidady una situación cuyo diseño se fundamenteen ella. El aspecto principal de dichaepistemología de prácticas es la relaciónpredicción-periodicidad y cómo se pone enmarcha en contextos interactivos, lograndouna reconstrucción situacional del aspectoperiódico de las funciones.

La socioepistemología comoaproximación teórica

En la búsqueda de la matemática educativapor explicar cómo se construye el

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conocimiento, nuestra propuesta pretendehacer énfasis no sólo en los aspectoscognitivos alrededor de la construcción delobjeto matemático, sino en la propiapráctica social que conduce a laadquisición de dicho conocimiento. Elpropósito es dar evidencia y clarificar laexistencia de relaciones entre prácticassociales y conocimiento matemático queno sólo se circunscriben al ámbito didácticoactual, sino también pueden dar cuenta dela función de dicho conocimiento endiferentes momentos a lo largo de suhistoria, así como de su origen en el senode paradigmas sociales y de su vínculo conotras prácticas de referencia.

Ese análisis sobre la naturaleza de lasprácticas sociales y de su papel en laconstrucción y difusión institucional delsaber matemático conforma el aspectosocial en el estudio de la construcción delsaber matemático. Con esto, se estableceun marco donde esa dimensión socialinteractúa, de manera sistémica, con ladidáctica, epistemológica y cognitiva delsaber para brindar una explicación másrobusta acerca de su construcción; alresultado de la conjunción de estasdimensiones se le ha llamadoaproximación socioepistemológica(Cantoral y Farfán, 1998; Cordero, 2001).Desde su génesis, esta visión teóricamarca una forma de hacer investigaciónen matemática educativa, donde sereconocen y estudian científicamente losmecanismos sociales de construcción delsaber matemático.

Si bien es cierto que los aspectos sociales,cognitivos, epistemológicos y didácticosdel conocimiento han sido abordados pordiferentes esquemas explicativos, unparadigma predominante es el objetomatemático como metáfora para explicarcómo se construye el conocimiento. Elenfoque que se ha asumido señala que

los objetos matemáticos existen previamentey que las dificultades didácticas yacen en ladistancia entre las imágenes formadas porel individuo y los objetos matemáticos(Cantoral, 2000). La respuestaepistemológica que se obtiene es guiada porla pregunta sobre cómo se constituye elobjeto de conocimiento; la cognitiva, porcómo el estudiante aprende el objeto, y ladidáctica, por cómo se enseña el objeto. Lasepistemologías formuladas en este marco,en el mejor de los casos, ayudan a tenercierto entendimiento sobre los conceptos ysus desarrollos, pero difícilmente logranestablecer relaciones funcionales queconjunten o unifiquen conceptos yestructuras a lo largo del sistema educativo(Cordero, 2003).

El énfasis en el aspecto social que proponela socioepistemología al concebir a lasprácticas sociales como metáfora paraexplicar la construcción del conocimientoreformula las dimensiones cognitiva,epistemológica y didáctica, pues se reconoceque el conocimiento se construye yreconstruye en el contexto mismo de laactividad que lleva a cabo el individuo alhacer matemáticas. Hay un reconocimientoa la complejidad del conocimientomatemático y a su naturaleza social, peroprincipalmente –y esto marca un panoramadistinto y amplio respecto a otrasperspectivas teóricas– propone entenderporqué y cómo los grupos humanos tuvierono tienen que hacer ciertas cosas paraconstruir ese sistema complejo deconceptos. Esas “ciertas cosas” son lasprácticas sociales que realizan los gruposhumanos para construir conocimiento(Cordero, 2005).

Así, el saber matemático se problematiza yse reconoce que, antes de hablar sobre unsaber matemático como un objeto acabadono cuestionable, “habrá que hacerlo sobreun complejo de prácticas, de naturaleza


social, que den sentido y significado alsaber matemático” (Cantoral, 2004, p. 6).Ello plantea un análisis en torno a lasprácticas de referencia y al paso delconocimiento hacia el saberinstitucionalizado, donde la nociónmatemática en cuestión tendrá quepresentarse centrada en su uso social ysu funcionalidad asociada. Tal situaciónresignifica al propio conocimiento, pero noen relación con establecer un significadonuevo en un contexto determinado, sinoen cuanto a su uso en la situaciónpropuesta, donde se debate entre sufunción y su forma acorde con lo queorganiza el grupo humano (Dominguez,2003).

Los aspectos tradicionalmente estudiadosdel saber necesariamente se modifican(Arrieta, 2003). El aspecto cognitivodeberá ahora ser guiado por la preguntasobre cómo los estudiantes y el profesor,interactivamente, construyen y reconstruyenidentidades, significados, sus realidades ysu propia cognición. El aspecto didácticoabordará cuestiones relativas a los contextosargumentativos que se proponen a losestudiantes y las formas y mecanismos paraargumentar y llegar a consensos.Finalmente, la dimensión epistemológica secentrará en analizar la naturaleza social dela construcción del conocimientomatemático, su conformación histórico-cultural y el papel esencial que juega en elmarco de otras prácticas de referencia.

Así, se establece una diferencia en lafundamentación y objetivos conaproximaciones teóricas que cuestionan el

binomio individual/social, aquellas dondelas prácticas sociales se proponen a nivelde contextos interactivos4 (Bauersfeld,1995) y las que toman a su objeto deestudio, como dada, externa al sujeto. Portanto, los esfuerzos educativos se centranen cómo el sujeto se apropia, construye oaprehende este objeto.

La socioepistemología pretende desarrollarestrategias de investigación con naturalezaepistemológica, donde ésta sea entendidacomo el estudio de las circunstancias quefavorecen la construcción del conocimiento,las cuales darán cuenta de la relación entreprácticas sociales y conocimientomatemático. Se pretende formar con dichoselementos una primera base designificaciones para los conceptos yprocesos matemáticos, buscando incidir, consu auxilio, en el discurso matemático escolar(Cantoral, 2001). Una epistemologíafundamentada en prácticas sociales, encontraposición a una de objetosmatemáticos, favorecerá el establecimientode relaciones funcionales, alejadas delutilitarismo, entre los diversos tópicos delsaber matemático (Cordero, 2003).

Una socioepistemología de lo periódico

Hemos comentado que lo periódico puedeconstituir un lenguaje (sin definiciones) antesde que aparezca la institucionalización de laperiodicidad a través de la definición, y queen el reconocimiento significativo de loperiódico proponemos a la predicción comouna práctica asociada. En esta sección, seintentará dar cuenta de ello5.

4 La matematización, práctica propuesta por Bauersfeld (1995), se refiere a la constitución interactiva de una práctica

social: los profesores y estudiantes se reúnen e interactivamente producen ciertas regularidades y normas de hablar y

actuar matemáticamente.

Para una revisión más completa de aspectos epistemológicos históricos de la periodicidad, puede consultarse Buendía

(2004).

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Los fenómenos naturales periódicos hansido piedra angular en el desarrollo de laciencia. Su comportamiento repetitivomotivó el interés del hombre por conocerlosy usarlos como unidades naturales detiempo: la periodicidad de los fenómenoscelestes fue el puente entre la prácticaempírica y la teoría de predicción.

En la repetición periódica la reglaabstracta evoluciona a partir dehechos concretos. El periodo fue lafundamentación y esencia de laprimera ciencia de las estrellas.Descubriendo y estableciendo losperiodos, el conocimiento se vuelveciencia (Pannekoek, 1961, p. 54).

Incluso antes de cualquier razonamientoteórico, culturas como la babilónica y laegipcia usaron lo periódico para hacerpredicciones (Montiel, 2005); elcomportamiento periódico poseía ciertosatributos especiales y utilizables paradesarrollar conocimiento.

Hoy, bajo una estructura que privilegia loanalítico y lo algebraico, dichos atributossuelen quedar relegados. El discursomatemático escolar ha favorecido unaidentificación tan estrecha de lo periódicocon las funciones trigonométricas, quetermina por excluir otras. De ahí que, si unfenómeno físico puede ser modelado pormedio de la función seno, adquiere comoconsecuencia la propiedad de serperiódico. La periodicidad pareciera nosignificar nada por sí misma, más que a laluz del comportamiento repetitivo suigeneris de la función seno.

La investigación en este campo señala quela asociación entre la función seno y supropiedad de periodicidad no es evidentede forma inmediata. Aun cuando el senoera conocido y manejado desde principiosde nuestra era como una línea de la

circunferencia, su carácter funcional yperiódico no se consideraban relevantes.Movimientos típicamente periódicos, comoel resorte, fueron inicialmente estudiadossin hacer referencia a las funcionestrigonométricas. Esta situación se prolongóhasta mediados del siglo XVIII,aparentemente porque nadie había vistoalgún uso razonable para ellas (Katz,1987).

Sin un referente obligado hacia losaspectos analíticos, algunoscomportamientos periódicos fueron deinterés científico para varios autores.Hooke, por ejemplo, utiliza la gráfica delarco coseno para representar en quétiempos el peso colgado de un resorte estáen una posición dada, pero no emplea estetérmino trigonométrico, sino se queda sólocon la geometría de la situación. Taylor, alabordar el problema de la cuerda vibrante,maneja también el arco seno, lo cual lepermite estudiar los tiempos periódicos delmovimiento.

Al hablar entonces de movimientosperiódicos parece existir un uso porseparado del comportamiento quepresenta el tiempo y del que indica eldesplazamiento; tal distinción esfundamental para desarrollar el conceptode función periódica como relación entrevariables, pero ocultará de alguna manerael comportamiento sui generis de loperiódico: cómo se comporta cada uno desus componentes.

Montiel (2005) afirma que fueron quizá losnuevos usos de las cantidadestrigonométricas lo que las despojó de sucarácter geométrico, pues pasaron de serconsideradas como líneas en un círculo acantidades que describían ciertosfenómenos, particularmente movimientosperiódicos. En dichos usos se reflejan losparadigmas de un época; por ejemplo, el


interés en la descripción analítica demovimientos como rasgo característico delos desarrollos científicos del siglo XVIII,lo cual ayudó a la consolidación de laalgoritmia del cálculo.

El interés de Euler, quien en el siglo XVIIIestableció formalmente la periodicidadcomo una propiedad de la función seno,radicó en describir un movimiento queocurría a través del tiempo. Esto resultódistinto a lo que le era contempóraneo –centrado más en las propiedades deltiempo– y fue necesario, hasta entonces,manipular a la expresión arco seno –formapara el seno más utilizada en la época–para expresar el tiempo como variableindependiente y el desplazamiento comovariable dependiente. De esta manera,Euler podría realizar diversos cálculosrelacionados con la descripción delmovimiento de osciladores armónicos;entre ellos, predecir la posición dado untiempo determinado.

El objetivo central de las ciencias físicas –adelantarse a los acontecimientos,determinar leyes que gobiernencomportamientos de sistemas– parecepermear lo que sucede en ambientesmatemáticos (Cantoral, 2001). Así,podemos identificar prácticas, como lapredicción propia de contextos físicos, conel uso y reconocimiento de lo periódico. Sibien esa práctica de predicción favore elpaso hacia un estudio analítico delmovimiento, reconoce también lanaturaleza del objeto sobre el que setrabaja.

La generación de conocimiento parecetener que ver, entonces, con un tránsitocontinuo entre disciplinas científicas quesurge mediante el reconocimiento de las

prácticas involucradas. Esta es la fuenteque nos permite investigar cómo podemosdotar de un contexto significativo a laconstrucción de conocimiento matemático,en particular el que atañe a lo periódico.La atención se cincunscribe no sólo a losresultados matemáticos obtenidos (comoel manejo analítico formal de unapropiedad periódica para el seno), sinotambién a las actividades y herramientasutilizadas alrededor de su construcción(como la necesidad de predecir sobre elcomportamiento de un movimiento o laidentificación del comportamiento de cadauna de las variables que éste involucra).Podemos notar en torno a lo periódicoaspectos que conciernen más conprácticas en las que se involucra elindividuo y menos con aspectosexclusivamente analíticos de laperiodicidad.

Por otra parte, al hacer una revisión sobrelas investigaciones acerca de laperiodicidad, identificamos otros elementosvinculados a un reconocimiento útil de loperiódico. Ellos forman parte de los marcosde significación para lo periódico quequeremos proponer y que no tratan sólode la producción matemática del alumno.

a) Acerca del comportamiento de unafunción

Retomamos el trabajo desarrollado porEuler, quien fue el primero en introducir lasfunciones trigonométricas al análisis y, porende, en estudiar sus propiedades dentrode este contexto. Cuando Euler se refiereal carácter periódico de la función seno, lohace en realidad haciendo énfasis en sucomportamiento. Veamos la siguientegráfica (Figura 3):

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Primero, digamos que la abscisa es x = 0, entonces la ordenada A A1 = a , A A2 = 2 a, A A3 = 3 a, etc . En la otra dirección A A-1 = a , A A-2 = 2 a, A A-3 = 3 a, etc y la curva pasa por cada uno d e estos puntos (Euler, 1948 )

Figura 3. Trabajo de Euler sobre lo periódico.

La propiedad periódica parece estartratada como una cualidad que definecierto tipo de comportamiento, ya que serefiere al número infinito de partes de lasque consta la gráfica: son los intervalosAE1A1, A1 F1A2, A2 E2 A3, A3 F2A4, etc. Señala,además, que los intervalos E1 E2 , E2 E3,E1 E-1 , E-1E-2 , así como F1 F2 , F1 F-1 , F-1F2 ,son iguales a . De esta manera,haciendo referencia al comportamiento dela función, específicamente a lo que ahoraequivale a los mínimos o máximos, quedaestablecido que la longitud del periodo derepetición es precisamente .

Shama (1998), en un estudio cognitivosobre el entendimiento del concepto deperiodicidad entre alumnos de nivel medio,reporta que los estudiantes suelen citarcomo ejemplos periódicos situacionesdinámicas, de tal manera que terminanidentificando a la periodicidad como unproceso, no como un objeto. Esto los llevaa cometer errores al identificar como

periódicos a fenómenos que no lo son,debido a la transferencia de propiedades delproceso a su producto, ya que establecenque por medio de un algoritmo repetitivo opatrón se obtiene necesariamente unfenómeno periódico.

Para un estudio cognitivo como el que hizoShama, la explicación de este fenómenodidáctico (aquello que se repite es periódico)se lleva a cabo a través de la dialécticaproceso-objeto. Sin duda, esta es unacuestión cognitiva relevante que, en unmarco de prácticas sociales, señalaherramientas como el comportamiento deuna función para argumentar acerca de loperiódico. La pregunta de investigación toma,necesariamente, matices más ricos: ¿Quétiene que ver una cuestión como elcomportamiento de una función paradistinguir significativamente el proceso delobjeto periódico? La metáfora para explicarla generación de conocimiento matemáticoha cambiado.

2aπ

2aπ


Callahan et al. (1992) mencionan que,al tratar de describir y entender losprocesos naturales, se buscan patronesque puedan predecir lo que va a pasaren el futuro. Dichos autores señalan queel interés de la ciencia gira alrededor deejemplos de comportamientos periódicoso casi periódicos. Para clarificar estepunto, c i tan el ejemplo delcomportamiento de poblaciones“predador-presa”, donde los númerossuben y bajan cada diez años en algocomo un patrón periódico. La gráfica quepresentan (Figura 4) no es periódica; sinembargo, analizar ese comportamientocasi periódico permite preguntas quehacen avanzar a la ciencia, como “si unacant idad que estamos estudiandorealmente fluctúa de manera periódica,¿por qué sucede esto?”

1820 1840 1860 1880 1900 1920

Figura 4. Comportamiento periódico.

El empleo del adjetivo “casi” o “cuasi”también lo hallamos en libros de texto paracalificar cierto tipo de comportamientosrepetitivos, como el movimiento de unoscilador amortiguado (Figura 5). Lafunción que modela esa clase demovimientos no es periódica, ya que laamplitud de la función seno vadisminuyendo conforme pasa el tiempo.Sin embargo, “aun cuando el movimientono es verdaderamente periódico, podemosdefinir un cuasiperiodo T

d = 2 como

el tiempo entre los máximos sucesivos deldesplazamiento” (Boyce y DiPrima, 1987).

π / µ

Figura 5. El cuasiperiodo.

Es interesante notar que la expresióncuasiperiodo se refiere a considerar lo queanteriormente, en oscilaciones noamortiguadas, era el periodo de la función,pero ahora lo atiende sólo en relación conla repetición que presenta el eje x. Ahorabien, se hace necesaria una distinciónentre los componentes del comportamientode una función: el comportamiento en eleje x y en el eje y, lo cual es fundamentalpara distinguir entre algo periódico y algoque no es verdaderamente periódico.

Las ideas anteriores pretenden evidenciarque en un reconocimiento significativo yútil de la propiedad periódica estáninvolucrados muchos más elementos quelos exclusivamente analíticos, como laatención al comportamiento de cadavariable en la función.

b) Dualidad local-global

Dreyfus y Eisenberg (1983) identifican quela visualización global es un elementonecesario para que el estudiantereconozca lo periódico. Su estudioconsistió en indagar cómo los alumnosmanejan características de las funcionescomo linealidad, suavidad(diferenciabilidad) y periodicidad, por locual aplicaron un cuestionario de 34preguntas a 84 estudiantes de primersemestre en dos universidades israelitas

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El marco de su investigación se basó enel concepto imagen de lo que es unafunción y en las intuiciones delestudiante.

En el caso de la periodicidad, pidieronque se continura el trazo de cada unade las siguientes gráficas (Figura 6). Losestudiantes optaron por seguir la gráficade una manera periódica: 0% para elcaso a, 13% para el caso b, 40% para elcaso c y 79% para el caso d.

Figura 6. Visualización global de lo periódico.

Esto, concluyen los autores, parecesugerir la necesidad de una visualizaciónglobal de la información geométrica parala que la periodicidad sea evidente.

Cordero y Martínez (2002) mencionanque los modelos de predicción en lasfunciones periódicas son principalmenteglobales e integran caracterizacioneslocales y globales. Por tal motivo, espreciso especificar tanto el estado inicialde una función (caracterización local)como su comportamiento (periodo) parapoder hacer predicciones en un instanteposterior o anterior (conocer todo en uncierto margen), lo cual muestra la Figura

7b. Entonces, la periodicidad es unarepresentación integral que estácaracterizada por lo local y lo global enuna relación dialéctica.

De acuerdo con Cordero y Martínez, estemodelo de predicción en las funcionesperiódicas contrasta con el empleadotradicionalmente en el cálculo. El sistemade predicción local (Figura 7a) se utilizaen el cálculo y generalmente es preferidopara hacer predicciones. La manera de

predecir en este sistema consiste en tomarinformación sobre el comportamiento delas propiedades (posición y variación) delsistema en una vecindad infinitesimal(instante) en el espacio (t, f (t)), a fin deconocer la solución en cualquier instanteanterior o posterior (conocer todo en uncierto margen). Aquí, sólo importan lascaracterizaciones locales. En cambio, elsistema de predicción global (Figura 7b)se ocupa para movimientos periódicos oque se repiten, donde se establecennuevas caracter izaciones quedeterminan el movimiento; por tanto, estesistema de predicción necesita integrarlas caracterizaciones locales y globales.


Otro ejemplo de esta dualidad local-globalen fenómenos periódicos lo hallamos enNorth (1997), quien menciona la existenciade sistemas, como el de los electrones,que presentan una existencia discontinua,por lo cual su análisis debe ser distinto alpuntual para captar su comportamiento,que se manifiesta en todo un período. Conel fin de aclarar esta proposición, Northhace un símil con el sistema musical, yaque “en un instante, una nota musical noes nada, sino que requiere todo el periodopara manifestarse” (1997, p. 337).

La socioepistemología que se propone enesta investigación habla, ante todo, delreconocimiento a la naturaleza de loperiódico como una construcción social enla que los aspectos analíticos de laperiodicidad se nutren de otros de carácter

cultural, histórico e institucional. El usosignificativo y articulado de esta propiedada lo largo de un sistema didácticoinvolucra, por un lado, reconocer elcomportamiento del objeto en cuestión (lagráfica o la función) a través del quedistingue a cada una de las variablesinvolucradas; por otro, emplear una visióndual local-global para que la naturaleza detal comportamiento sea significativa. Lapráctica de predicción aparece como unafuente que favorece el reconocimientosignificativo de dichos elementos.

En la siguiente sección, se presenta unasituación en cuyo diseño se planteaintencionalmente la práctica de predicciónen un escenario de movimientosrepetitivos. Más que consistir en una seriede actividades para desarrollar habilidades

Figura 7a. Sistema de predicción local.

Figura 7b . Sistema de predicción global.

Sistema local

Comportamiento

Variación

Predicción

Conocer todo

f(t)

t

Sistema globalPeriodo

Comportamiento

Predicción

Conocer todo

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predictivas, queremos dar cuenta de cómoen un escenario de predicción –que no essólo el acto de poder o no predecir– seponen en marcha:

• Significados acerca de movimientosy gráficas repetitivas o periódicasque pone en juego un estudiante,los cuales se reflejan a través deargumentos situacionales.

• Los procedimientos, que son lasoperaciones inducidas por lossignificados; en particular, losvisuales, algebraicos o numéricospara poder predecir.

• Aspectos cogntivos, como ladualidad proceso-objeto o lasconstrucciones mentales acerca dela gráfica de una función6, queinfluyen y son influidos por loselementos anteriores.

• El argumento, que se refiere a lanueva reorganización de estoselementos en esquemas explicativos.En la situación, la predicción setransforma en el argumento quefavorece la reconstrucción designificados acerca de lo periódico.

La situación

Para la reproducción intencional de lasprácticas y estudiar su ingreso al sistemadidáctico, hemos diseñado una situaciónque será el marco de referenciaepistemológico, a fin de dar cuenta sobrecómo esos elementos extraídos de la

6 Kaldrimidou e Ikonomou (1998) reportan que, al tratar con la representación gráfica de una función, el estudiante

puede tener diferentes concepciones: La curva es considerada independientemente de su sistema de ejes; sólo en

relación con el eje x o l se le concibe en función de los dos ejes.

actividad humana se transforman en losargumentos y herramientas que utiliza elalumno para llevar a cabo su interacciónen el salón de clases.

El diseño de la situación tiene como baselos elementos identificados alrededor dela construcción de lo periódico: la relaciónde lo periódico con lo dinámico, labúsqueda de patrones de comportamiento,la necesidad de una visión local-global, labúsqueda de una unidad de análisis y laimportancia de la predicción como unapráctica que potencia la aparición dedichos elementos. Por eso, nos referimosa la predicción como una práctica, no sólocomo una actividad hecha al momento conintenciones muy puntuales, no asociadascon la construcción del conomientomatemático.

La situación (consultar Anexo) consta detres secuencias. Cada una se fundamentaen los elementos de lo periódico quehemos mencionado e intenta reflejarmomentos en la resignificación de loperiódico. Planteamos la existencia detodo un escenario predictivo formado portodas las secuencias de la situación(descripción del movimiento, actividad depredicción, reconocimiento de loperiódico).

Secuencia 1. Consta de dos actividades:

Actividad 1. Se presentan ocho gráficasde movimientos repetitivos y se pidedescribirlos.

Actividad 2. Se pide agrupar las gráficasanteriores por semejanzas y diferencias.

Una socioepistemología del aspecto periódico de las funciones

Figura 8. Resignificación de lo periódico.

241

Los elementos aluden, por un lado, a larelación de lo periódico con algo dinámico;por otro, a la asociación no discriminadade la propiedad periódica con la repeticiónde la gráfica de un movimiento.

Momento 1: Las gráficas que representanmovimientos repetitivos son periódicas.

Secuencia 2. Consta de dos actividades:

Actividad 1. Para cada una de las gráficasanteriores, se pide predecir la posición delmóvil en el tiempo 231.

Actividad 2. Se pide agrupar las gráficasanteriores por semejanzas y diferencias.

Los elementos se refieren a lasherramientas que permiten predecir sobrela gráfica, así como a la percepción delcomportamiento de las variables queconforman la gráfica.

Momento 2: Existen diferentes maneras enlas que una gráfica puede repetirse.

Secuencia 3 . Consta de una solaactividad:

Actividad 1. Se pregunta cuáles de lasgráficas son periódicas.

Los elementos señalan a la identificación

de la predicción como una práctica quefavorece la reconstrucción de lossignificados sobre la repetición presenteen la gráfica de un movimiento, al igualque la emergencia de la propiedadperiódica como un atributo particular ysignificativo.

Momento 3: La periodicidad es unapropiedad que califica cierto tipo derepetición.

La Figura 8 presenta cómo se articula eldiseño. De entrada, propone unaconfrontación entre las clasificaciones de lasgráficas antes y después de predecir(Secuencia 1, actividad 2- Secuencia 2,actividad 2). Los criterios que se ponen enjuego para agrupar por semejanzas ydiferencias pueden ser percibidos dediferente manera cuando sólo se consideraque la gráfica es repetitiva, en comparacióncon atender al modo y tipo de repetición; taldistinción influye en la predicción realizadasobre cada una de las gráficas. Una vezconfrontadas dichas clasificaciones,tenemos un escenario para resignificar loperiódico, donde la relación periodicidad-predecir puede percibirse a través deargumentos y herramientas situacionales.En el marco de la situación es que decimosque la práctica de predicción se percibecomo el argumento de la periodicidad.

confrontaciónfavorecida por la predicción

SECUENCIA 1 SECUENCIA 2

SECUENCIA 3

Reconstrucción de significadosacerca de la repetición de un

movimiento

Relime242

Aspectos metodológicos

El aspecto metodológico de la situación tieneque ver con un análisis a priori, donde lasocioepistemología inicial de lo periódicoinforma acerca de lo hipotético, una puestaen escena y un análisis a posteriori para tratarlo que realmente hicieron los alumnos. Laconfrontación entre ambos análisis generauna socioepistemología final o revisada, quepermite hablar sobre los elementospropuestos y su articulación.

La situación se aplicó tanto a grupos deestudiantes (cuyas edades son de 19 y20años) como a profesores de nivel superior,al igual que en diversos programas deposgrado en Matemática Educativa. Setrabajó en equipos de tres a cincointegrantes, dependiendo del número departicipantes. Todos los equipos fueronexplícitamente conformados para trabajarcon la situación en modalidad de laboratorio,mientras que el investigador participó con laintención de favorecer contextos discursivos.

Realizar varias puestas en escenas permiteanalizar los distintos argumentos y

herramientas situacionales. Si bien unargumento es una construcción hecha paraconvencer, cada uno de los argumentos decorte discursivo forma parte de un esqueletoque, al analizarse de manera global y en elmarco de la situación, puede dar cuenta dela predicción como el argumento de lasituación, que permite explicar lareconstrucción de lo periódico.

Algunos resultados de la puesta enescena

Presentamos algunos ejemplos de la puestaen escena con el propósito de ilustrar tantolas herramientas y los argumentossituacionales como la resignficación de loperiódico en un escenario predictivo.

La primera actividad atañe a la descripciónque se realiza de cada movimiento. Haycaracterizaciones generales que utilizantodos los equipos pero, adicionalmente,resultó muy valioso notar que lascaracterísticas socioculturales del grupo encuestión “visten” la descripción. Por ejemplo,la descripción de la gráfica e Figura 9):

Caracterizacióngeneral

• Es un objeto queavanza y luego sedetiene por un periodode tiempo.I n m e d i a t a m e n t eregresa a su punto departida y hace lo mismo

• Varios (tres) objetosque hacen elmovimiento anterior:primero uno y, en cuantoacaba, el siguiente

Ejemplo particular

Cristina y Mercedes, alumnas de Licenciatura (19-20 años)

–M: De aquí me voy a la puerta del baño y esta partehorizontal es lo que me tardo en el baño peinándome.

–C: Podría ser todas las personas que van al baño yahí se quedan.

Karina, profesora de matemáticas trabaja en unequipo con otras tres mujeres

Una persona camina alejándose del sensor ydespués se mantiene un tiempo parada. Luego, otravuelve a hacer lo mismo. Es como una pasarela demodelos.

Gráfica

Figura 9. Descripción del movimiento.


En la segunda actividad se pide predecir.Para ello, tiene especial importancia ladescripción hecha en la primera secuenciaya que, por ejemplo, para la gráfica d(Figura 10), que se trata de un objeto queva y viene, pero cada vez se aleja unaunidad más y cada vez regresa una unidadmás, puede ser que al describirla se decidaque el objeto se detiene en el tiempo 12(tiempo visible), que vuelve a empezar oque continúa haciendo lo mismo. Así, nopodemos hablar de “la respuesta correcta”,sino de cómo se va construyendo unesquema explicativo, empezando porcómo es descrito el movimiento encuestión.

Figura 10. Gráfica d.

Un hallazgo valioso de nuestro trabajo esidentificar herramientas de distintanaturaleza que provocan distintosprocedimientos para predecir. Larelevancia de tales procedimientos norecae en sí mismos; no es la posesión ocarencia de alguno lo que nos explique surelación con la resignificación de loperiódico, sino su uso en el marco de unasituación que propone a la predicción comouna práctica intencional.

Es importante notar que los procedimientosse basan en la búsqueda de una unidadde análisis que se emplea de acuerdo conel comportamiento que presenta la gráfica.Adicionalmente, pueden identificarseherramientas de corte analítico, visual(gráfico) o aritmético, así como unamezcla entre ellas, que resultasignificativa. Presentamos algunosejemplos (Figura 11):

Ejemplo de una puesta en escena

Profesor de matemáticas, alumno dela maestría en Matemática Educativa

d (t) = 2 + sen ( t / 4 )d (231) = 2 + sen ( .231/ 4 )

Equipo de tres profesores dematemáticas, alumnos de la maestríaen Matemática Educativa

Gráfica Comentario

Hallar la expresión analítica querepresente a la curva es unaherramienta usual entre alumnos yprofesores de matemáticas cuyaformación ha sido fuertementeanalítica.

En este ejemplo, se identifica launidad de análisis en una tablatiempo-distancia que se escribehasta completar tres periodos.Después, se realizan operacionesaritméticas de división paraconocer el número de periodos(usar su comportamiento) y,posteriormente, una multiplicaciónpara tomar en cuenta elcomportamiento de la distancia(multiplicar por 1.5)

Identificación delcomportamientoen el eje x

ππ

Relime244

Profesora de matemáticas, alumna dela maestría en Matemática Educativa

Aquí, la distancia no va a variar. Vemosque de cero a dos se desplaza un cachito;de 2 a 4, uno; de 4 a 6, uno y un cachito;de 6 a 8, dos; de 8 a 10, dos y un cachito.Entonces, hay que ir juntando el tiempohasta llegar a 230-232.

Equipo de dos profesores dematemáticas, alumnos de la maestríaen Matemática Educativa

Equipo de tres profesores dematemáticas, alumnos de la maestríaen Matemática Educativa

En esta gráfica es “difícil” predecir,pues no hay un mismo periodo enel eje tiempo. Sin embargo, laidentificación de algún patrón esuna herramienta que puedeutilizarse.

Este es el procedimiento máscomún que se usa en todas lasgráficas después de hallar unaunidad de análisis: determinarcuántas veces se repite einterpretar el residuo o el resto parallegar al tiempo pedido.

Es importante notar que no hay quehacer ninguna operación extra, yaque el comportamiento en el eje esel mismo por todos los periodos.

Nótese que aun cuando estosestudiantes de maestríamencionan que “el periodo es 2”,el uso que realmente hacen de launidad de análisis denota quetomaron como periodo 4.

De ahí la importancia no sólo de laidentificación de una unidad deanálisis, sino de su uso. Esto esun resultado relevante de lainvestigación.

Figura 11. Herramientas para predecir.

La comparación entre las agrupacioneshechas antes y después de predecir nos daelementos para analizar la reformulaciónacerca de la repetición presente en una

gráfica que favorece la práctica de predecir.Un ejemplo significativo de la agrupaciónantes y después de predecir es el siguiente(Figura 12):


Estudiantesde maestría

Primera clasificación

Discontinuas: d, h

Tienen periodo yrepetitivas: a, e

Se alejan: b, f, h

Ondas senoidales: a, b,c, f

Segunda clasificación

En cuanto al procedimientode predicción:

a) Se divide el tiempo totalentre el periodo y seajusta el residuo: a, d, e

b) Se divide el tiempo totalentre el periodo, se ajustael residuo y se ajustadistancia: b, h

c) Se ajusta el tiempo,pero no en la distancia: c

d) Ajuste en el tiempo y enla distancias: f

Observaciones

El procedimiento depredicción hace quedistingan entre elcomportamiento que sepresenta en el tiempo yel comportamiento quese presenta en ladistancia. En ellofundamentan susegunda clasificación.

Figura 12. Comparación en las agrupaciones

Al discutir sobre la propiedad periódica delas funciones, en la tercera secuencia seutiliza la reconstrucción de signficadosacerca de la repetición de un movimientocomo argumento para lograr consensos.En el siguiente ejemplo, un estudiante delicenciatura pone en juego la distinciónentre el tipo de comportamiento que setiene en el eje x del que se presenta en eleje y, lo cual fue relevante para darle unsignificado a lo periódico tras realizar lapredicción:

Un ciclo es una vuelta. Periodo meda la idea de tener tiempos igualesen distancias iguales; es unmovimiento repetitivo. Un ciclo nosda la idea de cuántas veces se repiteun periodo. Entonces, el movimientopuede que esté aquí y se abra comoquiera y si llega de aquí a aquí ya secumplió un ciclo. Si es o no periódicoes difente. Ya si cumple con lacondición de tiempos iguales ydistancias iguales es periódico.

Esta distinción, que en un principio noparecía importante, brinda un escenariodonde pueden percibirse significadosreconstruidos acerca de la repetición deun movimiento, lo que favorece unaresignificación, a su vez, de lo periódico.

Para concluir, esta investigación planteala existencia de una relación entre lapráctica de predecir con la construccióndel atributo periódico de las funciones. Talrelación, llevada intencionalmente alescenario didáctico, favorece unaresignificación situacional de dichoatributo.

Análisis a posteriori

La situación que se mostró en este trabajotuvo fundamento en una socioepistemologíade lo periódico; de manera particular, seabordó el contexto de las funcionesperiódicas a través de sus gráficas. Loselementos principales se refirieron al uso

Relime246

del comportamiento de la gráfica como unaherramienta para la construcciónsignificativa de dicho atributo, así como ala predicción como una prácticaintencional, que fue motor de esaresignificación. Con los ejemplos sepretendió dar cuenta de cómo searticulaban dichos elementos.

Al predecir el comportamiento del móvil através de su gráfica tiempo-distancia, hayuna búsqueda de alguna unidadfundamental para comparar los estadosfuturos con el presente. Esta búsquedainicia no sólo con la tarea explícita derealizar una predicción, sino desde lamisma descripción del movimiento quepermite entender y reconocer el tipo demovimiento en cuestión.

La unidad de análisis tendrá que conteneren sí misma, de algún modo, informacióndel todo y depender completamente deltipo de repetición que presente la gráfica.Por tanto, esta unidad de análisis adquirirála característica de una relación dialécticaentre los análisis de tipo local y global paraque lo periódico del movimiento searelevante, un elemento identificado en lasocioepistemología propuesta. Podemosnotar esta identificación de la unidad deanálisis (“ver cómo se está repitiendo”) enlos diferentes tipos de procedimientosutilizados (analíticos, a través de tablas,usando la gráfica).

Al tratar con la gráfica de una funcióncreemos que, en primera instancia, dichagráfica pueda ser concebida sin relacióncon los ejes coordenados: es simplemente“repetitiva”. Cuando se busca una unidadde análisis para hacer la predicción, elcomportamiento presente en cada uno delos ejes se vuelve primordial, ya quedeterminará el tipo de repetición de lagráfica: puede ser repetitiva con relaciónal eje horizontal o al eje vertical. Esto

plantea una diferencia significativa conaquellas gráficas que se percibenrepetitivas, de acuerdo a ambos ejes almismo tiempo. Las estructuras mentalesasociadas con la gráfica de una función ycon la dialéctica proceso-objeto soninfluídas e influyen en el tipo deprocedimientos que se realizan, así comoen la reconstrucción de significados.

Esta necesidad de precisar elcomportamiento de cada variable (tiempo-distancia) en el marco de la práctica depredicción favorece una identificación útil delo periódico dentro del contexto de lasfunciones, lo cual va mucho más allá depoder aplicar o no una definición paradeterminar el carácter periódico de unmovimiento. Por tanto, lo que perciba unalumno acerca de la repetición de unmovimiento se reformula para dar cabida aun reconocimiento del atributo periódico,como sucedió con el último comentariopresentado.

Comentarios finales

Se presentó una problemática acerca delaspecto periódico de las funciones enambientes escolares, relacionada con elpoco significado de la definición formal depropiedad periódica y la asociación nodiscriminada de esta propiedad concualquier tipo de repetición que presenteuna gráfica. Resaltamos el predominio deargumentos de corte analítico, ante la faltade un marco de referencia suficientementerico que permitiera distinguir entrefenómenos y gráficas repetitivos deaquellos que son periódicos.

La revisión de investigaciones tocantes ala periodicidad y un análisis histórico sobreesta propiedad permitieron reconocer queel saber matemático se constituyesocialmente en ámbitos no escolares. Su


ingreso significativo al sistema didácticoobliga a considerar aspectos de lanaturaleza de dicho saber, que han quedadoocultos por el privilegio de los aspectosanalíticos: el papel de la predicción y el usode herramientas como el comportamientode una gráfica. Se puso, pues, atención enelementos cognitivos, culturales e históricosrelacionados con lo periódico.

La introducción intencional de lasocioepistemología de lo periódico en elsistema didáctico es propuesta a travésde situaciones cuyo diseño se fundamenteen los aspectos mencionados. La quehemos presentado, junto con datos de supuesta en escena, dan cuenta de cómo lapráctica social –predicción, en este caso–

7 Esta investigación se lleva a cabo en el proyecto Estudio del desarrollo del saber matemático en un marco

socioepistemológico, financiado por el Programa de Mejoramiento del Profesorado (Promep).

se transforma en el argumento que através de significados y procedimientossituacionales propicia una reconstrucciónde significados acerca de lo periódico.

Consideramos que lo periódico constituyetodo un lenguaje, incluso antes de queaparezcan los aspectos analíticos formalesde esta propiedad. Reconocer estosmarcos de significación para lo periódicopermitirá articularlo a lo largo del sistemadidáctico. Actualmente, estamostrabajando en contextos como secuenciasnuméricas e icónicas y diversas situacionesperiódicas, donde en su articulaciónsignificativa se percibe la identificación y usode una unidad de análisis, elemento de lasocioepistemología de lo periódico7.

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Gabriela Buendía AbalosCentro de Investigación en Matemática EducativaFacultad de IngenieríaUniversidad Autónoma de Chiapas

E-mail: [email protected].

Relime250

ANEXO

La situación: la predicción y lo periódicoSecuencia 1.

2 6 4 8 10 12

2

3

1

tiempo

distancia

2

4

tiempo

distancia 6

2 6 4 8 10 12 tiempo

2 3

1

distancia

2 3

1

distancia

2 6 4 8 10 12 tiempo

2

3

1

distancia

2 6 4 8 10 12 tiempo

2

4

2 6 4 8 10 12 tiempo

distancia

2

4

2 6 4 8 10 12 tiempo

distancia

2

3

1

distancia

2 6 4 8 10 12 tiempo

4

1. Suponga que un sensor está registrandoel comportamiento de un cuerpo durante undeterminado tiempo. Describa en cada casocómo se está moviendo el cuerpo para queel sensor dibuje las siguientes gráficas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)


2. Agrupe las gráficas anteriores deacuerdo con semejanzas y diferencias.

Secuencia 2.

1. Prediga cuál será la posición del móvilen el segundo 231. Argumente supredicción lo más ampliamente posible.

2. Agrupe las gráficas anteriores deacuerdo con semejanzas y diferencias.

Secuencia 3.

1. ¿Cuáles de las gráficas anteriores sonperiódicas?

Relime252

una socioepistemología del aspecto periódico de las funciones · una socioepistemología del...

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