una flor en forma de espiral.doc
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Una flor en forma de espiral
Una flor en forma de espiral.
En la corola de un girasol se forman
dos grupos opuestos de espirales. Hay
34 espirales en el sentido de las agujas
del reloj y 55 en sentido opuesto. Estos
nmeros pertenecen a la sucesin de
Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,
55, 89...
Fotografa: Rogelio Chovet
Carl Friedrich Gauss
Matemtico alemn (1777-1855)
La matemtica es la reina de las
ciencias y la aritmtica es la reina de
las matemticas
Matemtica para todos
El mundo de los nmeros Fascculo
Nmeros I
Descubriendo el mundo de los nmeros
Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
Qu tienen en comn
estos objetos?
Todos presentan nmeros que
llevan implcita una informacin.
En la cdula aparece el nmero
que identifica a cada ciudadano
mayor de una cierta edad. En
un billete se expresa la cantidad
de bolvares que representa
(bolvares 500) y la serie a la
que pertenece (149838217).
La etiqueta de cualquier producto en el mercado
presenta en nmeros la capacidad del envase, la
fecha de expedicin y la de vencimiento, as como
un cdigo de barras que identifica al producto.
Podramos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidiana
en las cuales los nmeros estn presentes.
En todas estas situaciones los nmeros utilizados responden a los principios del
SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL.
En este sistema de numeracin se utilizan diez smbolos
denominados dgitos o cifras que representan ideas de
cantidad.
Cada cifra tiene un valor diferente segn su posicin. Es
decir, la misma cifra colocada en diferente lugar representa
cantidades distintas.
El valor de una cifra depende de la posicin que ocupa en
el nmero. Cada posicin a la izquierda es diez veces
mayor que la que le precede.
0123456789
2 3 es diferente de 3 2
y se utilizan
las mismas
cifras
100 10 1
3 3 2
Centenas Decenas Unidades
3 centenas 3 decenas 2 unidades
Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
ca 2000 aos a.C.
Smbolos escritos, sistema
de numeracin posicional
babilnico
Prehistoria
Las ideas se comunican
verbalmente
ca 15000 aos a.C.
Paleoltico superior. La
invencin de marcas para
contar: las muescas
ca 3400 aos a.C.
Invencin de los smbolos
escritos representan ideas
de cantidades. Sistema
egipcio aditivo
s. V d.C.
Sistema posicional. Sistema
de numeracin maya de
base 20. Sistema de numeracin
Inca, base 10 verbal
y representacin en quip
s. XII d.C.
Sistema de numeracin
decimal en Europa
El actual sistema decimal de numeracin o sistema hind-arbigo, que utiliza el valor de posicin, es la culminacin
de muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeracin. Los babilonios al principio de 2000 a.C., los
chinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya haban desarrollado sistemas de numeracin posicionales.
Para escribir nmeros, las cifras cumplen la misma funcin que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observa
los diferentes smbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir nmeros.
Interesante
Al tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeracin
hind-arbigo, considerado como uno de los ms importantes
inventos de la humanidad, los incas en Sudamrica usaban el quip:
tiras de algodn con nudos que representaban la notacin posicional
como un sistema decimal de numeracin, es decir, un sistema de
base 10. Observa la representacin de cantidades en un quip.
La introduccin de un smbolo que representara la ausencia de cantidad encontr grandes
obstculos. Se deca: si los nmeros se inventaron para contar, es absurdo inventar un
smbolo para contar nada.
Los waraos en Venezuela poseen un sistema fontico muy vinculado con sus manos
1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano).
En los sistemas de numeracin de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos y
mayas, no se puede reconocer la magnitud de los nmeros por la longitud de su escritura.
Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeracin posicional: con una sola
mirada, sin leer los nmeros, se puede comparar con la longitud de su escritura.
215 31 102 348
Binario (base 2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
Babilnico
Maya Hind Griego
rabe
Egipcio
N m e r o s e n e l t i e m p o
Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
Descubriendo los nmeros
Si quisiramos contar el nmero de granos que hay sobre esta
mesa, buscaramos una manera de organizarlos sin tener que
contarlos uno por uno.
Una forma de contarlos es
agrupndolos de 10 en 10 y
pegar cada grupo de 10 en una
paleta.
Luego se agrupan en
cuadros de exactamente 10
paletas.
Observa que cada cuadro
tiene 10 paletas y cada
paleta 10 granos.
Obtenemos finalmente:
2 cuadros
3 paletas
7 granos sueltos
Tenemos en total 237
granos!
100 100
10
10
10
7
Centenas
Decenas Unidades
2 Centenas
3 Decenas
7 Unidades
Yendo ms all
En caso de poder agrupar
10 cuadros de 10 paletas
en cada pila, obtenemos
unidades de mil.
Agrupamos 1 724 granos as:
1 724 granos
172 paletas y 4 granos
17 cuadros y 2 paletas y 4 granos
1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos
Unidades de mil Centenas Decenas unidades
1 7 2 4
Descubriendo operaciones: la adicin
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Conteo de unidades sucesivas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 + 3 = 7
Reno paletas y granos
165
+ 72
165
+ 72
237
Reto
Cuadrado Mgico
Coloca los nmeros del 1 al 9 de
manera tal que todas las columnas,
Nmeros triangulares filas y diagonales mayores sumen 15.
1 3 6 10
Representa y
escribe el prximo
nmero triangular
y
Sumando con paletas y granos
5
7
5
+ 7
12
+
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Descubriendo operaciones: la sustraccin
Quitando
8 - 5 = 3
Tengo 8 caramelos y
regalo 5
Completando
Tengo 5 caramelos y
necesito 8
Comparando
Vctor tiene 8 caramelos
y Mara tiene 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
La sustraccin ... o pido prestado
Alguna vez te has preguntado qu quiere decir pido prestado cuando ests efectuando
una sustraccin?
Fjate en el ejemplo.
Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La nica limitacin en esta
situacin es que tenemos slo monedas de 1, 10 y 100 bolvares.
Tenemos 245 bolvares as representados y necesitamos pagar 72 bolvares.
Qu podemos hacer?
Quitamos 2 bolvares.
Ahora para pagar los 70
restantes, slo tengo 4
monedas de 10.
Para poder tener las 7 que
necesito, cambiamos una
moneda de 100 en 10
monedas de 10.
Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los
72 bolvares, por lo que me quedan 173 Bolvares.
245
-72
173
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
Pido prestado al
2 una centena
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 9 12 15 18 21 24 27 30
4 16 20 24 28 32 36 40
5 25 30 35 40 45 50
6 12 36 42 48 54 60
7 49 56 63 70
8 32 64 72 80
9 81 90
10 30 100
Reto
Completa lo que falta de la tabla.
Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3,
4x4...
Sombrea en otro color los mltiplos de 5
que estn entre 20 y 50.
Qu observas?
Descubriendo operaciones: la multiplicacin
3 veces 5
3 x 5 = 15
Suma abreviada 3 filas de 5 fichas
rea de
rectngulos
3 x 5 5 + 5 + 5 3 filas de 5
fichas
rea de
rectngulos
La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar nmeros de
varias cifras.
Propiedad distributiva
(3 + 5) x 4
8 x 4
32
= (3 x 4) + (5 x 4)
= 12 + 20
= 32
3
5
4
3 5
4
4
Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar.
325 x 42 =
325 x (40 + 2) =
(325 x 40) + (325 x 2) =
(325 x 4 x 10) + 650 =
(1 300 x 10) + 650 =
13 000 + 650 =
13 650
Nmeros rectangulares
2 6 12 20
Representa y
escribe el prximo
nmero rectangular
y
120 Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
Descubriendo operaciones: la divisin
17 3
2 5
Dividendo
Residuo
Divisor
Cociente
17 = 3 x 5 + 2
Repartiendo
Se quiere repartir 17 caramelos entre tres
nios de manera que cada nio reciba la
misma cantidad. Cuntos caramelos le
tocan a cada nio?
Agrupando
Cuntos paquetes de tres caramelos
se pueden hacer con 17 caramelos?
5 caramelos
a cada nio!
... y sobran 2
caramelos.
5 paquetes!
... y sobran 2
caramelos.
Clculo mental
2 436 : 12 152 : 8
2 436 = 2 400 + 36
(2 400 + 36) : 12 =
2 400 : 12 + 36 : 12 =
200 + 3 =
203
Compruebo
203 x 12 = 2 436
152 = 160 - 8
(160 - 8) : 8 =
160 : 8 - 8 : 8 =
20 - 1 =
19
Compruebo
19 x 8 = 152
Retos
Qu nmero dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmente
por 7 da como resultado 10?
Qu nmero dividido 5 veces por la mitad es igual a 100?
Gauss dio seales de ser un genio antes de cumplir tres aos. A esa edad aprendi a
leer y a hacer clculos aritmticos con tanta habilidad que descubri un error en los
clculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabaa
de Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemtica, la fsica
y otras ramas de la ciencia, como la astronoma, fueron de una importancia extraordinaria.
A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente ancdota: A los diez aos de
edad, su maestro le propuso en clase el clculo de una suma complicada para su edad.
Apenas el maestro haba terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa del
maestro su pizarra con el resultado de la suma.
Observa el problema que el maestro propuso:
Calcular la suma de los nmeros enteros consecutivos desde 1 hasta 100
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100
Leonardo Pisano
Apodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250)
Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio
(de aqu se origina el sobrenombre, figlio di Bonaccio).
Viaj al frica septentrional, a Egipto, Siria y Grecia,
donde aprendi los mtodos algebraicos rabes y el
sistema de numeracin hind-arbigo. Con su obra
Liber Abaci, difundi en Europa la notacin rabe de
los nmeros, la cual usa nueve cifras y el cero, y
tambin la barra horizontal para escribir fracciones.
Se reconocen como nmeros de Fibonacci los nmeros
de la sucesin 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los que
cada nmero es la suma de los dos trminos que lo
preceden.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1 121
Algoritmo de la divisin
Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12
Un billete de Bs. 1 000 no lo
puedo repartir entre 12.
Cambio el billete de Bs. 1 000
en 10 monedas de 100.
1353 12
Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100.
Reparto entre 12.
Le toca una moneda de Bs. 100 a cada
uno y sobra una moneda de Bs. 100.
1353 12
12 1
1
Bs. 100 a
cada uno
Cambio la moneda de Bs. 100 en 10
monedas de Bs. 10.
Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10.
Las reparto entre 12.
Le toca una moneda de Bs. 10 a cada
uno y sobran 3 monedas de Bs. 10.
Bs. 10 a
cada uno
1353 12
12 11
15
12
3
Cambio las 3 monedas de Bs. 10 en
monedas de Bs. 1.
Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1
Las reparto entre 12.
Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno
y sobran 9 monedas de Bs. 1.
Bs. 2 a cada uno
1353 12
12 112
15
12
33
24
9
A cada uno le toca un total de Bs. 112
y sobran 9 monedas de Bs. 1 1 353 =
112 x 12 + 9
-
-
-
-
-
-
E l m u n d o d e l o s n m e r o s
Fascculo
Matemtica pa r a t o d o s
122 Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
Nmeros y cdigos
Un cdigo es un grupo de smbolos que relacionados representan informacin.
Los cdigos existen hace miles de aos, tal como se aprecia en los jeroglficos,
el alfabeto griego, nmeros romanos, el cdigo Morse.
Actualmente hablamos del cdigo gentico (ADN), cdigo de barras, cdigo
bidimensional, etc.
En esta seccin hablaremos del cdigo de barras.
El cdigo de barras es un elemento identificador que se visualiza como una
combinacin de 30 o ms rayas negras de diferente grosor y de cifras que pueden
ser ledas por un lector ptico (scanner) que reconoce caracteres. Este cdigo
proporciona informacin individual de cada producto o servicio y facilita el manejo
de la informacin por su precisin ya que cada artculo tiene una identificacin
nica en cualquier parte del mundo. Por ejemplo:
3 representa el pas de origen
065890 caractersticas del fabricante
000643 caractersticas del producto
Para verificar si el cdigo corresponde a ese producto la computadora realiza las
siguientes operaciones:
1) Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha.
2) Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda.
3) Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la
derecha.
4) Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado
y la decena superior debe coincidir con el nmero clave. De no ser as hay
algn error en el cdigo o en la lectura que amerita ser revisado.
Su uso ha sido principalmente en el rea comercial, pero tambin se est utilizando
en control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entre
otros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, sta,
adems de cobrarle recoge la informacin del tipo de producto, el tamao,
ubicacin, fecha de expedicin, etc. Todo el cdigo responde a normas aprobadas
por el Cdigo Universal de Productos (UPC). La utilizacin del cdigo de barras
en la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recoleccin de
datos en los comercios e industrias.
Nmero clave
123 Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
Nmeros y deportes
Interesante:
Un jugador de ftbol puede
correr entre 11 y 13 kilmetros
durante un partido completo.
Cmo sera la prctica de deportes si no tuviramos nmeros?
Qu perderamos?
Cmo podramos determinar el ganador de un partido?
Cundo decimos que un partido se termin?
Cmo mediramos la cancha para cada deporte?
Cuntos jugadores tendra cada equipo?
Qu tamao y peso tendran las pelotas para cada deporte?
Cmo podramos saber qu equipo gana un campeonato?
Cmo podramos determinar el mejor jugador de un campeonato?
Sin nmeros, la prctica deportiva perdera gran parte de su inters. Eso sin contar con el
hecho de que en algunos casos sera imposible de llevarse a cabo, ya que careceramos
de cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y el
nmero de jugadores, entre otras cosas.
Adems, qu sera de la aficin al bisbol, por ejemplo, si no pudiramos saber qu equipo
va ganando el campeonato, o qu jugador va punteando en nmero de hits conectados?
A veces nos parece que un jugador de ftbol corre muchsimo durante un partido completo
pero, podramos saber cunto corre realmente si no pudiramos contar con nmeros?
A continuacin te ofrecemos informacin numrica fundamental para la prctica de dos
deportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el ftbol.
15 m
28 m
1,8 m
5,8 m
altura del tablero: 2,75 m
100 a 110 m
7,32 m
5,05 m
64 a 75 m
11,1 m
altura del arco: 2,44 m
El baln de ftbol debe tener una circunferencia mxima entre 69 y 70 cm. Debe estar a
una presin de 1,1 atmsferas.
El baln del baloncesto debe tener una circunferencia mxima de 75 a 78 cm y un peso
de 600 a 650 gramos. Se infla a una presin de aire tal, que cuando se deje caer de una
altura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mnima de 1,20 m y mxima
de 1,40 m.
124 Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
Ventana didctica
El cero en no ms de cinco pasos
Se juega entre dos personas.
El jugador A introduce en la calculadora un nmero de tres cifras menor o igual a 900.
El jugador B debe reducir el nmero a cero en no ms de cinco pasos.
Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones bsicas, en las cuales slo use nmeros de una cifra.
Ejemplo:
El jugador A introduce el nmero 703 en la calculadora.
El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento.
Tres juegos con la calculadora
La calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas,
puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimacin, para
reforzar concepciones bsicas en el manejo de nmeros y para desarrollar estrategias
de resolucin de problemas.
Lo increble es que esto podemos lograrlo tan slo jugando con ella. A continuacin
proponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio.
- 3 = : 7 = : 5 = : 5 = - 4 =
Eliminando cifras
Cada participante trabaja con su propia calculadora.
Se propone un nmero de siete cifras, ninguna de las cuales se repite.
Se pide eliminar un dgito del nmero, aplicando solamente una operacin.
Se pide el relato de lo realizado y se califica segn el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Se introduce 5382749.
Se pide eliminar el 7. El participante reporta slo la
operacin sobre el dgito que debe
ser eliminado
menos siete.
Pierde un punto
El participante reporta slo la
operacin y los dgitos con los que
la hizo
menos siete, cero, cero.
Ni gana ni pierde el punto
El participante reporta la operacin
y el nmero que resta
menos setecientos.
Gana un punto
Los factores morochos
Cada participante trabaja con su propia calculadora.
Se propone un nmero que sea un cuadrado perfecto.
Se pide estimar qu nmero multiplicado por s mismo d el nmero propuesto.
Se pide que se efecte la multiplicacin.
Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Se propone 3969.
Se puede seguir el siguiente procedimiento:
- El participante reporta 631, que tiene ms cifras que la raz cuadrada del nmero propuesto y de cuya cifra
de las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del nmero propuesto
(9). Pierde dos puntos.
- El participante reporta 633, un nmero que tiene ms cifras que la raz cuadrada del nmero propuesto y de
cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del nmero propuesto. Pierde un punto.
- El participante reporta 75, que tiene el mismo nmero de cifras que la raz cuadrada del nmero propuesto y
de cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del nmero propuesto. Ni gana
ni pierde puntos.
- El participante reporta 67, que tiene el mismo nmero de cifras que la raz cuadrada del nmero propuesto y
de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del nmero propuesto. Gana un punto.
- El participante reporta 63, la raz cuadrada del nmero propuesto. Gana dos puntos.
Gana el que acumule 10 puntos
Gana el que acumule 10 puntos
Estrategias sugeridas al docente
Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1 125
Tengo que pensarlo
El nmero de la casa de Yolanda
Si el nmero de la casa de Yolanda es mltiplo de tres,
se trata de un nmero comprendido entre el 50 y el 59.
Si el nmero de la casa no es mltiplo de 4, entonces
es un nmero comprendido entre 60 y 69.
Si el nmero no es mltiplo de 6, entonces se trata de
un nmero comprendido entre el 70 y el 79.
Cul es el nmero de la casa de Yolanda?
Sumas iguales
En la figura cada letra representa
una cifra.
Todas las cifras (1 al 9) estn
representadas por una letra distinta.
Se sabe que la suma de cada
columna o fila es igual a 13.
Cul cifra representa la letra E?
C B A
D
G F E
H
I
13
13
13
13
Dos mil
Utilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas los
signos + - x : de tal manera que obtengas 2 000.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2 000
El cubo
Coloca las cifras del 1 al 8 en cada
vrtice del cubo de tal forma que
la suma de las cifras de los vrtices
de cada cara sea 18.
Edificio en Tokio, Japn
Fibonacci
La sucesin 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe el
nombre de sucesin de Fibonacci.
Escribe los nmeros que corresponden
al noveno y duodcimo lugar.
1
12 3
5 8 _ _ _
126 Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1
A jugar!
Materiales
Dos juegos de cartas como los siguientes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Versin 1 Dos jugadores
1 El jugador N 1 selecciona cuatro cartas verdes.
2 El jugador N 2 selecciona una carta amarilla.
3 El jugador N 1 debe combinar los nmeros de
sus cuatro cartas verdes con operaciones aritmticas
bsicas (+, -, x, :) hasta obtener el nmero
escrito en la carta amarilla.
4 Si resuelve el problema, gana un punto.
5 Si el jugador N 1 no puede resolver el problema,
el jugador N 2 tiene la oportunidad de resolverlo
y gana un punto si lo logra.
6 Se inicia el juego siguiente barajando las cartas
y cambiando los roles de los jugadores.
Versin 2 Hasta 4 jugadores
1 Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este
caso, se necesitaran dos juegos de cartas verdes.
2 Cada jugador toma cuatro cartas verdes y una
amarilla.
3 Cada uno trata de resolver el problema planteado
en la versin 1.
4 Cuando un jugador falla, el jugador a su derecha
tiene la oportunidad de resolverlo y ganar un punto
adicional. De fallar este tambin, le toca el turno al
jugador de la derecha y as sucesivamente.
5 El juego termina cuando se agotan las posibilidades
de resolucin para todos los problemas.
3 4 5 9 2 4 : [5 - (9:3)] = 2
Ejemplo:
Gana quien primero complete 10 puntos
Fundacin POLAR Matemtica para todos Fascculo 8 - El mundo de los NMEROS 1 127
Informacin actualizada
Bibliografa
De Guzmn, Miguel (1994). Para pensar mejor. Editorial
Pirmide. Madrid, Espaa.
Daz, Godino J. y otros (1999). Didctica de la
matemtica. Editorial Sntesis. Madrid Espaa.
Jimnez, Douglas (1999). La aventura de la matemtica.
Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela.
Marcano, Gisela (2001). La multiplicacin (mimeografa).
Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela.
Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos
(mimeografa). Fondo Editorial Cenamec, Caracas,
Venezuela.
Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Nmeros y
operaciones. Editorial Sntesis. Madrid, Espaa.
Theoni, Pappas (2000). More joy of mathematics. World
Publishing Tetra. EE.UU.
Revistas
Boletines de la Enseanza de la Matemtica. ASOVEMAT.
Venezuela
Educacin Matemtica. Grupo Editorial Iberoamrica.
Serapio Rendn 125, Col. San Rafael 06470, Mxico, DF.
For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336
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Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. Martin
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Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogot,
Colombia.
Videos
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Abierta. Caracas, Venezuela.
Pginas web
Math resources inc : http://www.mathresources.com
Teacher created materials. http://www.teachercreated.com
Editorial Sntesis. http://www.sintesis.com
Resultados
El nmero de la casa de Yolanda: Es el 76.
Fibonacci: El noveno es 34 y el duodcimo es 144.
Sumas iguales: E vale 4.
Dos mil: tiene mltiples respuestas.
6 3
1 8
5
7 2
4
Un corro alrededor del mundo
Si todos los muchachos del mundo quisieran darse las
manos, podran hacer un corro todos alrededor del mar. Si
todos los muchachos del mundo quisieran ser marineros,
haran con sus barcas un hermoso puente sobre las olas.
Se podra hacer un corro alrededor del mundo, si toda la
gente del mundo quisiera darse la mano.
Pal Fort
Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantes
y sabiendo que la circunferencia mxima de la Tierra es de
aproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno de
nosotros sera un eslabn de 1 m, entonces tendramos una cadena
que podra rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algn da,
todos los habitantes de la Tierra nos diramos las manos.
El cubo:
Ernesto Medina Dagger
La matemtica y el Premio Lorenzo Mendoza Fleury*
Naci en Caracas en 1961. Realiz sus
estudios de Fsica en la Universidad
Central de Venezuela, gradundose con
honores (summa cum laude) en 1985.
Obtuvo el ttulo de PhD en 1991 en el
Instituto Tecnolgico de Massachusetts.
Actualmente es investigador asociado
del IVIC, profesor titular de la UCV y
pertenece al Sistema de Promocin del
Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio
Lorenzo Mendoza Fleury de Fundacin
Polar en el ao 1993.
Fotografa: F. Fernndez
Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Fsica cuando se empez a
pensar en trminos de simetras. Una simetra se expresa matemticamente como una
invariancia (ausencia de cambios) bajo una operacin como la de traslacin espacial,
temporal o, por ejemplo, una rotacin. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamos
alrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientacin final de la
original, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotacin de 90 grados. En la Fsica,
las operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservacin de
energa (invariancia temporal), la ley de conservacin de momentum (invariancia
traslacional) y la de conservacin de momento angular (invariancia rotacional). La
presencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en el
tiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sin
embargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas de
estas simetras, lo cual da lugar a la formacin de patrones o formas que varan de
mltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como
orden en la naturaleza. Los rompimientos de simetra dan lugar a muchos fenmenos
con que convivimos, como la formacin de cristales, los populares imanes o magnetos
y la misma estructura que observamos del universo hoy en da. Sin el rompimiento de
simetra no existiran los electrones, protones y neutrones que componen los tomos
y por lo tanto los tomos mismos. No existira la vida.
Un fenmeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetra, es el
surgimiento, paradjico, de una simetra extica, la asociada a la invariancia de escalas.
Formas y objetos que vemos a una escala de magnificacin particular, se repiten a
cualquier otra magnificacin por encima o por debajo de la primera dando origen a
patrones que son construidos en base a s mismos. Esto es lo que conocemos como
fractales y son las estructuras ms ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza.
El estudio de simetras y su rompimiento est hoy en el corazn de todos los campos
de la fsica: la teora de campos, la cosmologa, la fsica de partculas, la fsica del estado
slido y fenmenos crticos.
* El Premio Lorenzo Mendoza Fleury fue creado por Fundacin Polar en 1983, para reconocer el talento,
creatividad y productividad de los cientficos venezolanos. Se otorga cada dos aos a cinco de nuestros ms
destacados investigadores y en el ao 2003, su undcima edicin, lo recibieron los qumicos Scrates Acevedo
y Yosslen Aray, el fsico Jess Gonzlez, el mdico Jos R. Lpez Padrino y el matemtico Lzaro Recht.