Una Estrategia Creativa Para el Aprendizaje de la

Matemática en Secundaría:Construcción y uso de un

teodolito Casero

Participantes: Omar Erick Ledezma Maldonado

Institución: Colegio “San Calixto”

Introducción: Dentro del nuevo paradigma educativo en el cual la matemática carece de sentido en la

medida que no se percibe la aplicación real y verdadera de ella, es que he visto por

conveniente desarrollar e implementar algunas experiencias que permitan al estudiante usar y

aplicar la matemática de manera significativa, de tal manera que esta ciencia les permita

entender el desarrollo tecnológico y además les permita entender el mundo en el que vivimos.

Contexto: La matemática llamada “moderna” que estuvo en boga por los años 70 proponía una

Matemática completamente estructurada, enmarcada en la Teoría de Conjuntos y bajo la

construcción axiomática para desarrollar una teoría ( axiomas, definiciones, teoremas). Esta

forma de aprender la matemática a decir verdad tiene muchas ventajas, (la inmensa capacidad

deductiva que proporciona) sobre todo para aquellos a los cuales les gusta y les agrada la

matemática (que normalmente han sido los menos), pero tiene muchas más desventajas, la

principal es que esto no se llega a la gran mayoría de los estudiantes.

También la matemática se ha convertido en una especie de reto a vencer, sobre todo para los

alumnos de nuestras universidades, en las cuales se enseña la matemática “porque así debe

ser” , sin mostrar ni enseñar sus usos y aplicaciones.

Ninguna de estas es la adecuada visión para un conglomerado heterogéneo de estudiantes que

tienen distintos tipos de aprendizaje y distintos intereses. Esta creo que es la razón para que se

ha venido escribiendo y sugiriendo el implementar de una vez por todas una nueva visión de

la enseñanza de la matemática que logre que el estudiante se apropie (“está a mi servicio”) y

se identifique con la matemática (“es fácil y yo puedo usarla”).

Propósitos: Conocer una aplicación práctica de la trigonometría, de tal manera que se perciba la

utilidad de la matemática.

1. Medir la altura de distintos edificios de la ciudad de La Paz

2. Medir distancias entre puntos (en terreno plano)

3. Establecer astronómicamente la fecha del solsticio de invierno y del equinoccio de

primavera

4. Comprensión de que el avance técnico es un soporte del desarrollo científico.

Competencias:

Competencias Indicadores - Conoce los principios del diseño de un teodolito y sabe para que sirve.

- Construyó un teodolito casero

- Conoce el uso de un teodolito y aplica distintas técnicas para medir alturas y distancias.

- Ha desarrollado teóricamente distintas técnicas en clase y las ha llevado a la práctica al realizar mediciones reales.

- Resuelve problemas reales aplicando la trigonometría del triángulo rectángulo.

- Ha resuelto los tres problemas aplicados propuestos en este proyecto.

Contenidos:

Conceptuales Procedimentales - Resolución de triángulos rectángulos

- Técnicas trigonométricas para calcular alturas y distancias.

- Resolución de triángulos oblicuángulos.

- Técnicas trigonométricas para calcular alturas y distancias.

- Geografía - Equinoccios - Solsticios - Latitud - Longitud

- Técnicas para fijar astronómicamente las fechas de los solsticios y equinoccios.

Actitudinales.

- Comprende la gran utilidad de la matemática y entiende que el desarrollo de la civilización está íntimamente ligado al de la ciencia y la Tecnología.

Principios pedagógicos ignacianos desarrollados en la experiencia:

La educación que cada uno de nuestros alumnos recibe, no es para su sólo uso y beneficio,

estos conocimientos deben ser puestos al servicio de los demás, “SER PARA LOS DEMÁS”.

Es en este marco en el que se desarrolla este proyecto.

Desarrollo de la experiencia: Marco Teórico (en clases):

- Definiciones de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

- Teorema de Pitágoras y Teorema del Complemento

- Resolución de triángulos rectángulos

- Definiciones de ángulo de elevación y ángulo de depresión

- Leyes del Seno y del Coseno

- Resolución de triángulos oblicuángulos

- Desarrollo de técnicas para medir alturas y distancias.

- Geografía: equinoccios y solsticios.

o Técnica 1

C

D B d A

o Técnica 2

C

B A d

Practica # 1 - ¿Cuál es el Edificio más alto de la ciudad de La Paz?

En esta práctica se medirá la altura de seis edificios de la ciudad de La Paz.

1era. Etapa.- Desarrollo de los contenidos teóricos (1ra, 2da y 3ra semanas) - Desarrollo de la teoría necesaria en el aula ( dos semanas )

o Resolución de triángulos rectángulos. Aplicaciones.

o Resolución de triángulos oblicuángulos. Aplicaciones.

o Explicación y deducción de las técnicas necesarias para medir distancias

o Explicación sobre construcción y uso de un goniómetro

- Formación de grupos de 5 a 6 integrantes ( con un responsable por grupo)

- Entrega de una copia del proyecto a cada responsable de grupo.

2da. Etapa.- Construcción del teodolito (1ra y 2da semanas)

- Entrega de una cartilla para la construcción de un goniómetro (teodolito) a cada

responsable de grupo.

- Construcción del teodolito usando materiales caseros

- Presentación inicial del goniómetro (durante la segunda semana), donde se harán

las observaciones y correcciones del caso.

3era. Etapa Entrenamiento en el uso del teodolito (3ra semana)

- Realización de ejercicios prácticos en los predios del Colegio San Calixto:

o Medir la altura (sobre el patio de secundaria) de una de las torres de la

Iglesia de San Calixto. (27 metros aproximadamente)

o Medir la altura del Ed. Alianza (Sucre esquina Indaburo) desde el patio de

primaria. (35 metros aproximadamente)

o Cada grupo deberá contar con el siguiente material:

§ Teodolito o goniómetro debidamente construido

§ Trípode o pedestal estable donde se colocará el goniómetro

§ Cinta métrica de 30 m. profesional o casera (cuerda con un nudo

cada metro).

§ Tiza

§ Cuaderno de campo

o Se seguirá la siguiente metodología:

§ Escoger un punto C, de la parte superior del edificio, del cuál se

medirá la altura sobre el nivel del suelo.

§ Marcar dos puntos A y B en línea recta y en dirección con el punto

del edificio del cual se medirá la altura. Llámese A al punto más

lejano. (los puntos A y B deben estar separados por 10 a 20 m

entre si, esta distancia debe medirse con la cinta métrica)

§ Ubicar el trípode con el teodolito “exactamente” sobre el punto A

y, medir a continuación el ángulo de elevación α del punto C

§ Ubicar el trípode con el teodolito “exactamente” sobre el punto B

y, medir a continuación el ángulo de elevación β del punto C

o En cada caso, todos los integrantes de cada grupo deben realizar las

medidas de los ángulos de elevación α y β desde los puntos A y B

respectivamente; luego se tomará el promedio de estas observaciones que

serán los valores definitivos de estos ángulos. Llenar con estos datos la

siguiente tabla en el cuaderno de campo.

Nombre Punto A ( ángulo α ) Punto B (ángulo β )

Promedios Α β

o Las mediciones de cada ángulo realizadas por los integrantes del grupo, no

deben variar excesivamente (se sugiere como máximo 1° de variación). En

caso de existir mucha variación, el responsable de grupo debe encargarse

de que se realice responsablemente la repetición de la toma de medidas.

o Finalmente se sustituyen los valores de α, β y d en la fórmula respectiva

para calcular la altura h del edificio.

αββα

tgtgtgtgdh

−××

= Ó βα ctgctgdh−

=

4ta. Etapa.- Trabajo de Campo (4ta semana)

Se sugiere realizarla un día domingo a las 7:30 de la mañana.

En esta etapa se realiza la medición de los seis edificios:

o Edificio Alameda ( en la Av. 16 de Julio - El Prado)

o Torre de la Basílica Menor de San Francisco ( Plaza San Francisco)

o Cúpula de la Catedral Metropolitana (Plaza Murillo).

o Obelisco ( Av. Camacho empalme con la Av. Mariscal Santa Cruz)

o Edificio del Banco Central de Bolivia ( c. Mercado esq. c. Ayacucho)

o Palacio de Comunicaciones ( Av. Mariscal Santa Cruz esq. c. Oruro)

Debe seguirse la misma metodología practicada en la etapa anterior, para lo cual el profesor

debe verificar el uso de los cuadernos de campo.

5ta. Etapa.- Elaboración de un Informe (4ta semana)

La presentación de un informe por grupos con los siguientes puntos.

o Carátula

o Introducción (¿de qué se trata el trabajo?)

o Objetivos (¿Qué se quiere?)

o Marco teórico (¿Qué conocimientos se necesitan?)

o Desarrollo y proceso (construcción del teodolito, toma de medidas,

presentación de tablas, etc.)

o Cálculos y resultados (las alturas de los edificios escogidos)

o Conclusiones y comentarios (logros, dificultades e impresiones)

o Bibliografía

6ta. Etapa.- Criterios de Evaluación (4ta semana) La evaluación será realizada tanto por el profesor como por los alumnos:

El teodolito (evaluación grupal realizada por el profesor) (5 ptos)

o Graduación adecuada del cuadrante (elevación) y de la base horizontal

(acimut)

o Verticalidad , movilidad y firmeza de la barra que soporta al cuadrante

o Horizontalidad, movilidad y firmeza del cuadrante.

o La mira debe estar paralela a la línea 0˚ - 180˚ del cuadrante

o Diseño general. (estética, precisión, comodidad)

o Uso de un trípode.

El informe (evaluación grupal realizada por el profesor) (10 ptos.)

o Se evaluaran todos los puntos ya especificados del informe

o Coherencia de los resultados obtenidos.

o Capacidad de reflexión sobre los errores cometidos.

o Conclusiones propias precisas y concretas.

o Un buen marco teórico

La Coevaluación (evaluación realizada por los alumnos) (15 puntos)

o Cada grupo realizará la evaluación de cada uno de sus miembros en los

siguientes aspectos (

§ Construcción del teodolito (sobre 5 ptos.)

§ Participación en la práctica de campo (sobre 5 ptos.)

§ Elaboración del informe (sobre 5 ptos.)

o Se tomarán en cuenta los siguientes criterios:

§ Esfuerzo

§ Responsabilidad

§ Cumplimiento

§ Participación

Finalmente el puntaje de cada alumno será el promedio entre la calificación asignada por el

profesor al grupo y la calificación individual resultante de la coevaluación.

Practica # 2 Cálculo astronómico de la fecha del Solsticio de Invierno

1era. Etapa.- Desarrollo de los contenidos teóricos Para esta práctica, se debe dar el correspondiente marco teórico sobre estaciones,

equinoccios, solsticios, medidas de la tierra. Además es posible desarrollar una transversal

con la historia y el desarrollo de las culturas andinas (Intiwatanas). Inclusive se puede viajar a

Copacabana para presenciar el solsticio de invierno en el Intiwatana mal llamado “Horca del

Inca”

. 2da. Etapa.- Toma de Medidas (del 22 de Mayo al 22 de Julio)

Se debe medir cada día – durante 60 días - la altura del Sol al mediodía, (es decir el

ángulo de elevación del Sol) registrando en una planilla la fecha, la hora, el nombre de quien

realizó la medida, el ángulo de elevación y la dirección (norte o sur), la planilla será el

elemento fundamental para el trabajo

3era. Etapa.- Elaboración de un Informe y Conclusiones

- Se presentará un informe de la práctica realizada con el formato detallado para la

práctica # 1.

- Se discutirá en clase los resultados obtenidos

4ta. Etapa.- Criterios de Evaluación La evaluación será similar a la explicada en la práctica # 1

El informe (evaluación grupal realizada por el profesor) (10 ptos.)

o Se evaluaran todos los puntos ya especificados del informe

o Coherencia de los resultados obtenidos.

o Capacidad de reflexión sobre los errores cometidos.

o Conclusiones propias precisas y concretas.

o Un buen marco teórico

La Coevaluación (evaluación realizada por los alumnos) (10 puntos)

o Cada grupo realizará la evaluación de cada uno de sus miembros en los

siguientes aspectos

§ Participación en la práctica de campo (sobre 5 ptos.)

§ Elaboración del informe (sobre 5 ptos.)

Práctica # 3 Medición de Distancias - Medición de distancias inaccesibles y medición de alturas usando triángulos

oblicuángulos

o Las distancias a ser medidas son:

§ La cañada del río Choqueyapu a la altura de la Cancha Zapata

§ La cañada del río Choqueyapu a la altura del Cuartel de la Policía

Militar en San Jorge. (en el supuesto de construir un puente entre

“San Jorge” y el sur de “Miraflores”).

§ La cañada del río Orckojahuira a la altura del Hospital “Luís Uria

de la Oliva” (en el supuesto de construir un puente entre el Barrio

“Petrolero” y la “Villa Copacabana”)

§ La anchura del cauce del río Irpavi a la altura del final de Irpavi (en

el supuesto de tener que construir otro puente sobre el río)

§ La distancia entre el cerro Santa Bárbara y el cerro Laikacota (en el

supuesto de construir una rampa que una los dos cerros por encima

de la Av. del Ejercito)

§ La cañada del río Orckojahuira a la altura Villa Armonía (en el

supuesto de construir un puente entre “Villa Armonía” y el sur de

“Miraflores”)

§

o El procedimiento y las técnicas son exactamente las mismas que para la

práctica # 1, solo que ahora se la realiza de manera horizontal ( y no

vertical como en la práctica # 1)

Conclusiones: - Para los alumnos ha sido una agradable y novedosa experiencia el realizar el

aprendizaje fuera del aula

- Los alumnos han podido determinar cual es el edificio más alto de La Paz

Edificio

“Alameda”

Palacio de

Comunicaciones

Banco Central

de Bolivia Obelisco Torre Iglesia

San Francisco

Cúpula de la

Catedral

86 metros 75 metros 98 metros 27 m. 29 metros 46 metros

- Ya en el momento de la aplicación existen muchas fallas técnicas que el profesor

debe corregir.

- La poca precisión y las evidentes limitaciones en la construcción de los

instrumentos caseros produce errores considerables en los resultados.

- Para el 21 de Junio se tuvo la medida más baja de la declinación del Sol,

determinando así que esta fecha corresponde al solsticio de Invierno (48° en

promedio)

- Los alumnos son capaces de asumir la responsabilidad de evaluar a sus similares.

- La tercera práctica no fue llevada a cabo por las dificultades de tiempo y espacio.

Impacto: Considero que la temática sobre resolución de triángulos ha quedado marcada fuertemente en

los alumnos, aunque existen problemas

Proyecciones: Mientras más reales sean las aplicaciones de la matemática, más significativo será el

aprendizaje, por los tanto me parece que hay que apuntar la materia en este sentido

implementando proyectos de aula y; para futuros proyectos, la utilización de aulas virtuales y

foros vía internet.