un problema de administración de recursos

8/18/2019 Un Problema de Administración de Recursos

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Un problema de administracde recursos•

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres comida a un lago que alberga a tres especies de peces.Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de

del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimeCada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio d

unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C.ara un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo

unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades

Cada semana se proporcionan al lago 25 !!! unidades del alime000 unidades del alimento B y 55 000 del C. "i suponemopeces se comen todo el alimento,

#cu$ntos peces de cada especie pueden coe%istir en el lago&


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El modelo de insumo-producde Leontief •

"uponga un sistema econ'mico que tiene n indu(%isten dos tipos de demandas en cada industria• la primera, una demanda externa desde a*uera

sistema. or e+emplo, si el sistema es un pas, lademanda e%terna puede pro-enir de otro pas.

• "egunda, la demanda que ace una industria a oindustria en el mismo sistema. or e+emplo, en (Unidos la industria automotriz demanda parte deproducci'n de la industria del acero.


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El modelo de insumo-producde Leontief •

"uponga que ei representa la demanda e%terna e+ercida sobre industria. "uponga que ai+ representa la demanda interna que lindustria e+erce sobre la i-/sima industria. 0e *orma m$s concrrepresenta el nmero de unidades de producci'n de la industrinecesitan para producir una unidad de la industria j. "ea x 1 la pde la industria i. Aora suponga que la producci'n de cada induigual a su demanda es decir, no ay sobreproducci'n. a demes igual a la suma de demandas internas y e%ternas.

• or e+emplo, para calcular la demanda interna de la industria 2obser-a que la industria 1 necesita a21 unidades de producci'nindustria 2 para producir una unidad de su propia producci'n. "producci'n de la industria 1 es x 1, entonces a21 x 1 se trata de latotal que necesita la industria 1 de la industria 2. 0e esta *ormdemanda interna total sobre la industria 2 es a21 x 1 a22 x 2 6


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•

Al igualar la demanda total a la producci'n de caindustria se llega al siguiente sistema de ecuacio

a11%1 a12%26a1n%ne17%1a21%1 a22%26a2n%ne27%2

an1%1 an2%26ann%nen7%n


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•

8 bien, reescribiendo el sistema en la *orma del inicial se obtiene.

19a11%1 9 a12%2969a1n%n7e19a21%1 19a22%26a2n%n7e27

9an1%1 9an2%2619ann%n7en


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El modelo de Leontief aplicaun sistema económico con t

industrias•

"uponga que las demandas e%ternas en un sisteecon'mico con tres industrias son 1!, 25 y 2!,respecti-amente.

• "uponga que a117!.2, a127!.5, a137!.15, a217!.4a227!.1, a237!.3,a317!.25, a327!.5 y a337!.15.

• (ncuentre la producci'n de cada industria de maque la o*erta sea e%actamente igual a la demand


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Solución

•

(n este caso n=3, 1 9 a11 7 !.:, 1 9 a22 ! !.; y 1 !.:5 y el sistema


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Sistemas homo!neos deecuaciones•

Un sistema general de m % n ecuaciones lineales se llamahomo!neo"i todas las constantes b1, b2, . . . bm, son cero=

• "i alguna o algunas de las constantes b1, . . . ,bm es o son de cero, decimos que el sistema lineal es no homo!neoel sistema general omog/neo est$ dado por)

a11%1 a12%26a1n%n7!a21%1 a22%26a2n%n7!

an1%1 an2%26ann%n7!


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Solución tri"ial o solución ce

•

ara sistemas generales no omog/neos, x 1 7 x 2 x n 7 ! es siempre una soluci'n

• llamada solución tri"ial o solución cero, por ls'lo se tienen dos posibilidades)

a la soluci'n tri-ial es la nica soluci'nb e%iste un nmero in>nito de soluciones adem$s d

as soluciones distintas a la soluci'n cero se llamansoluciones no tri"iales.


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Sistema homo!neo #ue tie$nicamente la solución tri"ia•

?esuel-a el sistema omog/neo de ecuaciones

2 x 1 4 x 2 @ x 3 7 !

4 x 1 5 x 2 @ x 3 7 !

3 x 1 x 2 9 2 x 3 7 !


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Solución sta es la -ersi'n omog/nea del sistema del eAl reducir en *orma sucesi-a, se obtiene despu/s de di-idprimera ecuaci'n entre 2

?2?294?1?3?393?1

?1?192?2?3?35?

2

?3 9 ?3

?1?1?3?2?2 92?3


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Un sistema homo!neo con unn$mero in&nito de soluciones

•

?esuel-a el sistema omog/neo x 1 2 x 2 9 x 3 7 !

3 x 1 9 3 x 2 2 x 3 7 !

9 x 1 9 11 x 2 @ x 3 7 !


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(ectores ) matrice


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(ector renlón de ncomponentes•

Un -ector de n componentes se de>ne como uncon+unto ordenado de n nmeros escritos de lasiguiente manera)

x 1, x 2, . . . , x n


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(ector columna de ncomponentes

x 1 se denomina la primera componente del -ector, x 2 eseunda componente, y as sucesi-amente. (n t/rminogenerales, x k se denomina la k -!sima componente del -

Componentes de un "ector


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E*emplos de "ectores


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E*emplos de "ectores


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+atri,


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enlones ) columnas de unmatri,


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Cinco matrices


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+atrices iuales ) matricesdistintas


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Suma de matrices


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+ultiplicación de una matri,un escalar


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roductos "ectorial ) matric


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Solución

a demanda del primer artculo es 3!, y el *abricarecibe D2! por cada artculo -endido. or consigurecibe 3!2! 7 D@!! de las -entas del primer a"i

se sigue este razonamiento, se -e que la cantidadde dinero que recibe es)

3!2! 2!15 4!1: 1!4! 7 @!! 3! 4!! 7 D2 !2!


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roducto escalar de dos"ectores


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roducto de dos matrices

• "ea A 7 aij una matriz m % n, y sea B 7 bij una matriz n % p.

el producto de A y B es una matriz m % p, C 7 cij, en donde)

cij / renlón i de A1 columna j de B1

(s decir, el elemento ij de AB es el producto punto del rengl'n i dcolumna j de B. "i esto se e%tiende, se obtiene

cij / ai1b1j ai2b2j 4 ainbnj

Si el n$mero de columnas de A es iual al n$mero de renB entonces se dice

#ue A ) B son compatibles ba*o la multiplicación.


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roducto de dos matrices de2


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1a. columna deB

1a. rengl'nde A


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2a. columna deB

1a. rengl'nde A


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1a. columna deB

2o. rengl'nde A


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2a. columna deB

2o. rengl'nde A


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El producto de una matri, de 2 % 3 ) un


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El producto de una matri, de 2 % 3 ) un3 % 9 est' de&nido pero el producto dematri, 3 % 9 ) una de 2 % 3 no lo est'


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Continuación4


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Le) asociati"a de la multiplicac


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Le) asociati"a de la multiplicacde matrices

• "ea A 7 aij una matriz de n % m, B 7 bij una mm % p y C 7 cij una matriz de p % q. (ntonces laasociati"a

ABC1 / AB1C

se cumple y ABC, de>nida por cualesquiera de losde la ecuaci'n, es una matriz de n % q.

Le)es distributi"as de la


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Le)es distributi"as de lamultiplicación de matrices

"i todas las sumas y todos los productos siguientede>nidos, entonces

AB C1 / AB AC

Y

A B1C / AC BC

+ultiplicación de matrices c


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+ultiplicación de matrices cuna combinación lineal de lacolumnas de 8


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Escritura de las columnas de


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Escritura de las columnas decomo combinación lineal de columnas de A


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+ultiplicación por blo#ues


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+ i i


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+atrices conmutati"as

S l ió


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Solución

8 li ió d d + ;


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8plicación: cadena de +ar;o

< d t i d


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+atri, identidad

1 si i7 j

! si iE j


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Solución de sistemas de


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Solución de sistemas deecuaciones linealesen t!rminos de su matri,

in"ersa


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=ranspuesta de una matri,


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=ranspuesta de una matri,

(n correspondencia a toda matriz e%iste otra que, tien

propiedadesmuy similares a las de la matriz original.

"ea A 7 aij una matriz de m % n. (ntonces la transpde A, que se escribe A F, es la matriz de n % m que se o

al intercambiar los renlones por las columnas d

0e manera bre-e, se puede escribir A F 7 aij . (n otrapalabras6


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6btención de las transpuest


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pde tres matrices

+atri, sim!trica


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+atri, sim!trica

a matriz cuadrada A de n G n se denomina sim

si A F 7 A. (s decir, las columnas de A son tambi/nrenglones de A.

+atri, trianular superior ) matri,


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)trianular inferior

>actori,aciones LU de una


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matri,"e muestra la *orma en la cual se escribe una matriz cuadrada como ude una matriz triangular in*erior con diagonal principal de unos por u

triangular superior.

(sta *actorizaci'n resulta til para resol-er sistemas lineales con unacomputadora y se puede utilizar para probar resultados importantes smatrices.

(n ese proceso se puede reducir una matriz a la *orma escalonada por?ecuerde que la *orma escalonada por renglones de una matriz cuadra

matriz triangular superior con unos y ceros en la diagonal principal.

ara los prop'sitos de esta secci'n se pretende reducir por renglones a la *orma triangular superior donde los nmeros di*erentes de cero endiagonal principal no son necesariamente unos. (sto se logra no insistque cada pi-ote sea igual a 1.

E?E+L6: Encuentre una


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factori,ación LU de una mat

?2 ?292?1?3?33H2?1?4 ?4?1

?3 ?395H:?2?3 ?39H4?2 ?4 ?49

2!H3?2


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• el producto de las matrices de permutaciones elemen

llama matri, de permutación. 0e *orma alternati-amatriz de permutaci'n es una matriz n % n cuyos rengson los renglones de In, pero no necesariamente en elorden.

• Aora, acer las n permutaciones de antemano es eqa multiplicar A por la izquierda por P. (s decir,

PA es una matriz que debe ser reducida por renglones matriz triangular superior sin realizar permutacionesadicionales.

E?E+L6: Una factori,ación


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LU

un problema de administración de recursos

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