un modelo de enseÑanza para el teorema de tales...
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UN MODELO DE ENSEÑANZA PARA EL TEOREMA DE TALES CON GEOMETRIA DINAMICA
Eugenio Filloy Yangue
CINVESTAV
Erika barquera Pedraza
CINVESTAV
Vicente Carrión Velázquez
CINVESTAV
Planteamiento
En esta investigación se aborda un modelo de enseñanza con el uso del Cabri, es un estudio experimental que se está realizando con niños de quinto y sexto grado de primaria en el Centro Escolar Hermanos Revueltas en el curso escolar 2006 –2007, 2007-2008, al mismo tiempo se aplicará a niños del Valle del Mezquital para el curso escolar 2007-2008, 2008-2009 con el objetivo de explorar cuales son las competencias necesarias para utilizar el teorema de Tales. Cuyo objetivo se refiere observar las obstrucciones naturales a la utilización de un sistema matemático de signos (SMS) en el que se puede presentar las nociones de variación proporcional geométrica, el análisis se centra en los alumnos cuando se les presenta que simulen la demostración del teorema de tales. Concerniente a las dos lecturas posibles, en dos SMS diferentes, Filloy (1999) concluye que una es irreducible a la otra. Una lectura se hace con el modelo de SMS geométrico y otro SMS aritmético. Todo ello usando la noción de significado, contrastándola con la de sentido de un texto que utiliza un SMS determinado.
Vamos a explorar la idea teórica de que la adquisición de nuevas competencias en la matemática elemental se puede considerar como el producto de la modificación de conceptos, acciones y procedimientos de SMS cuyas competencias ya son dominadas en algún grado. Wittgenstein (1964) acerca de lo que él piensa sobre el pensamiento matemático; nosotros, aquí, sólo estaremos presentando algunos procesos cognitivos que se desarrollan durante su aprendizaje y por ende su enseñanza.
Así, al observar cómo se aprende matemáticas, se presenta que siempre se están formando nuevas reglas al encontrar nuevos caminos que extiendan redes conceptuales anteriormente desarrolladas. Un aspecto medular de este punto de vista es la idea de sentido en contraste con la de significado, cuando se habla de SMS estratificados.
Filloy (1999) sostiene que las obstrucciones naturales que se presentan y la importancia que todo esto tiene para que los números racionales se expandan a un SMS estratificado, donde los signos numéricos tengan como referentes, tanto a las fracciones que se utilizan en el SMS de la aritmética elemental, como a los signos geométricos que denominamos razones entre magnitudes continuas. A partir de esos resultados, se puede observar, de manera nítida, que hasta que un usuario no tenga una correcta interpretación de todos los conceptos que están involucrados en el teorema de similaridad, aglutinados en los estratos de un
nuevo SMS, el usuario no puede contar con nociones estables, con las cuales pueda operar y establecer relaciones de orden, que pueda usar de la misma manera como lo hace con los SMS más primitivos, utilizados en las representaciones de los números racionales que se introdujeron, anteriormente, con el uso competente del SMS de la aritmética elemental. Con el modelo de enseñanza con el uso de cabrí se observará si se llega a las mismas conclusiones.
Marco teórico
El marco teórico elegido para analizar y diseñar modelos de observación experimental que
desentrañen las relaciones entre los actores de los fenómenos de comunicación en un aula
con tecnología para la enseñanza es el de los Modelos teóricos locales (Filloy, 1990; 1999).
En todo proceso de enseñanza y aprendizaje de un contenido matemático o científico hay
cuatro elementos esenciales: el sujeto que enseña, el sujeto que aprende (o los sujetos que
aprenden), el conocimiento matemático puesto en juego, y la comunicación que establecen
los sujetos involucrados. Cuando el conocimiento, a ser enseñado y aprendido, está
mediado por un entorno computacional cambian las relaciones entre estos elementos. Esto
se debe al hecho de que la interacción de los sujetos (alumnos y maestro) con la
computadora y entre los sujetos mismos está mediada por la interpretación simbólica de la
información dada a través de un mismo sistema de representación: el del ambiente
computacional.
Desde la perspectiva de los Modelos Teóricos Locales es necesario explicitar, para cada
proceso de enseñanza y aprendizaje, la manera en que entendemos cada uno de los
elementos del proceso; es decir, debemos definir: el modelo de enseñanza usado, el modelo
de procesos cognitivos con el cual se interpreta el comportamiento del sujeto que aprende,
el modelo que describe en el nivel formal al conocimiento matemático en cuestión, y el
modelo de comunicación con el cual se interpreta el intercambio de mensajes que realizan
los sujetos. La perspectiva teórica de los Modelos Teóricos Locales permite observar
fenómenos didácticos específicos considerando las cuatro componentes señaladas, sin
privilegiar ninguno de los enfoques de análisis posibles, como el gramatical, el
representacional o el conceptualista.
La propuesta de los Modelos teóricos locales hace énfasis sobre el significado dado por el
uso. Se sabe que cuando los estudiantes se enfrentan a problemas nuevos, problemas para
los cuales el conocimiento de que disponen no es suficiente, generan estrategias y códigos
personales en un intento de encontrar la solución a partir del conocimiento de que disponen,
generando nuevos significados para este conocimiento previo y nuevas maneras de
representar las nuevas acciones que realizan. (Filloy y Rojano, 1989; Filloy, Rojano y
Solares, 2002; Solares, 2002). Es en estos procesos de generación de estrategias y códigos
que se generan a su vez significaciones intermedias del conocimiento matemático puesto en
juego. Para estudiar el significado pragmático del conocimiento matemático es necesaria
una herramienta de análisis que permita abordar los textos que producen los alumnos
cuando están enfrentando problemas nuevos. Usaremos la noción semiótica de los Sistemas
matemáticos de signos (Filloy, 1990; 1999) para llevar a cabo este análisis.
La construcción de un Modelo teórico local para el estudio de un fenómeno didáctico
específico requiere la definición de los estratos del Sistema Matemático de Signos en
cuestión, los estratos más concretos, los intermedios y los más abstractos1. A su vez, la
definición de estos estratos requiere la definición de sus características sintácticas,
semánticas y pragmáticas2, en términos de su naturaleza de sistemas de signos.
En un salón de clases están siempre presentes estratos de distintos niveles de abstracción
que dependen de las tendencias cognitivas (Filloy y Rojano, 1984; 1989; Filloy, 1991), de
los antecedentes de los estudiantes y del modelo de enseñanza. En un aula con tecnología
están presentes los estratos del Sistema Matemático de Signos de los estudiantes y del
profesor, y de los sistemas (matemáticos) de signos de los entornos interactivos
computacionales empleados.
La noción semiótica de Sistema Matemático de Signos nos permite abordar los fenómenos
de comunicación en el aula a partir de la consideración de la producción y la
descodificación de textos matemáticos que hacen los sujetos. Estos textos son producidos
mediante la combinación de materias de la expresión heterogéneas manifestada en la
presencia de textos de segmentos de lenguaje natural, algebraico, figuras geométricas,
diagramas, códigos personales, etc. Aunque estos segmentos proceden de sistemas de
signos que tienen sus propias reglas de producción de textos, su combinación en los textos
matemáticos conlleva la combinación de las reglas de los lenguajes entre sí, de modo que
los textos matemáticos son producidos desde Sistemas Matemáticos de Signos regidos por
reglas nuevas, creadas a partir de las reglas de los distintos lenguajes que incorpora (Filloy,
1999).
Los Sistemas Matemáticos de Signos son producto de un proceso de abstracción
progresiva, ya sea en la historia de las matemáticas o en la historia personal de los sujetos.
1 Decimos que un estrato M es más abstracto (Filloy, 1999; p.78, 79) que otro L si dos “textos” T y T’, producidos tanto en M como en L, son “equivalentes” en M pero no en L; es decir, pueden ser elaborados mediante las mismas acciones, procedimientos y conceptos en M pero no en L. Esta definición depende de T y T’. 2 De manera muy general, se entiende por sintaxis el estudio de las diversas combinaciones de
signos que dan lugar a combinaciones de ellos que tienen la propiedad de estar “bien formadas”.
La semántica investiga, de un modo más bien abstracto, de qué tratan los signos; es decir, las
relaciones de los signos con aquello que constituye su interpretación, aunque al margen de los contextos específicos en que los signos son usados por los usuarios, aspecto que corresponde a la
pragmática (Acero et. al., 1985).
Este proceso de abstracción hace que los sistemas que se usan estén formados por estratos
provenientes de distintos momentos del proceso. La interpretación de los textos
matemáticos o, dicho más precisamente, la lectura/transformación de un texto
matemático/espacio textual matemático (Talens y Company, 1984; Puig, 1997) puede
hacerse usando distintos estratos del Sistema Matemático de Signos, recurriendo a
conceptos, acciones o propiedades, que están descritos en algunos de los estratos.
Desde la perspectiva teórica de los Sistemas Matemáticos de Signos, se puede decir que
hay un proceso de comunicación cuando los sujetos utilizan las posibilidades
proporcionadas por un Sistema Matemático de Signos para la producción de textos
matemáticos. Estos procesos de producción requieren procesos de significación, con reglas
(la componente discursiva) que deberán ser tomadas en cuenta por la componente cognitiva
de la producción de signos matemáticos. Es de interés para este proyecto de investigación
observar la adquisición de nuevas competencias de producción de textos que se da con la
expansión de Sistemas Matemáticos de Signos intermedios a nuevos sistemas que los
contienen. Estas expansiones de estratos corresponden a procesos de abstracción en los
cuales, durante un proceso de enseñanza y aprendizaje, un alumno que era incapaz de
transformar un texto T en un texto T’ mediante un Sistema Matemático de Signos L
modifica el estrato del sistema en el que están descritos los medios de transformación
(acciones, conceptos y propiedades de acciones y conceptos) creando un nuevo Sistema
Matemático de Signos M más abstracto en el cual los textos T y T’ se identifican como
equivalentes.
Finalmente, esta perspectiva teórica permite definir un Modelo de Enseñanza como un
conjunto de secuencias de textos matemáticos Tn cuya producción y descodificación por
parte del aprendiz le permitirá interpretar todos los textos Tn en un Sistema Matemático de
Signos más abstracto cuyo código hace posible descodificar los textos Tn como mensajes
con un código matemático socialmente bien establecido, el que estaba propuesto por las
metas educacionales del Modelo de Enseñanza. En este proyecto de investigación interesa
aborda el análisis de la adquisición de las competencias de producción y descodificación de
las secuencias de textos, consideradas competencias de comunicación en el aula con
tecnología para la enseñanza de matemáticas y ciencias.
Metodología
Los elementos teóricos introducidos permiten diseñar observaciones experimentales
pertinentes para el estudio de los fenómenos de comunicación en un aula con tecnología. El
esquema (1) describe el desarrollo de la experimentación.
Esquema 1. Desarrollo de la experimentación.
En este proyecto de investigación se llevará a cabo un estudio longitudinal con grupos de
alumnos de 10 a 16 años de edad (de 5º y 6º grados de primaria y 1º, 2º y 3er grados de
secundaria, un grupo por grado) en un aula equipada con diferentes piezas de tecnología
especializada para la enseñanza de las matemáticas y la modelación matemática en
ciencias. En ambos casos se trabajará con actividades diseñadas específicamente para el
estudio de los fenómenos de comunicación, que se abordarán de acuerdo con un modelo de
aprendizaje colaborativo, en un ambiente de enseñanza controlada y de acuerdo a los
currículos correspondientes a matemáticas y ciencias, cubriendo temas de: aritmética,
geometría, pre-álgebra, matemáticas de la variación y el cambio, y modelación matemática
en ciencias (este último no está incluido de manera explícita en el currículo vigente).
La recolección de datos propuesta para este proyecto incluirá:
˙ Notas de campo y video-grabación de clases con el uso de tecnología. ˙ Entrevistas clínicas video-grabadas. ˙ Producciones de los estudiantes, realizadas con los distintos medios a su
disposición: papel y lápiz, los ambientes computacionales interactivos, y las exposiciones y discusiones grupales usando el pizarrón electrónico y el equipo de cómputo en red.
Implementación de un sistema para una enseñanza controlada Modelo Teórico Local
Elección de la población a estudiar dentro del sistema de enseñanza controlada
Aplicación de una evaluación diagnóstica a la población seleccionada para medir su eficiencia en el uso de los SMS que se consideran estratos más concretos del nuevo SMS más abstracto.
Clasificación de la población en estratos o perfiles según el desempeño en el diagnóstico
Elección de un subgrupo de la población en el que estén presentes las distintas clases a observarse en entrevista clínica
Estudio de casos: observación, mediante entrevista clínica individual videograbada, de los sujetos del subgrupo elegido
Análisis e interpretación de las entrevistas realizadas
El problema en la perspectiva de un Nuevo Modelo Teórico Local y diseño de éste
Se llevará a cabo un análisis cualitativo de los datos (según Miles y Hubermann, 1990),
para lo cual el material video-grabado será trascrito y clasificado, a fin de producir un
registro sistemático del mismo.
Las herramientas tecnológicas a las que se recurrirá son:
Software:
˙ Cabri- Géomètre. Este entorno didáctico permite cerrar la brecha entre percepción y geometría, proponiendo un micromundo para la enseñanza de la geometría con manipulación directa.
˙ LXR Test. Este programa permite el control y la evaluación del avance de los estudiantes en red y de manera instantánea.
Hardware:
˙ Red de cómputo (10 computadoras PC). Con los siguientes programas instalados: Cabri- Géomètre, y LXR Test.
˙ Pizarrón electrónico (Smart Board). Montado para trabajar en red. ˙ View Screen (para calculadoras), retroproyector y scanner. Para las presentaciones
y discusionesgrupales.
Se distribuirán las actividades a los diferentes grupos de alumnos, cada grupo de dos o tres
personas trabajará con una de las computadoras, los grupos intercambiarán los resultados
ya sea vía la red interna, en sesiones de discusión general o por medio de presentaciones al
resto del grupo escolar, en las cuales se hará uso del pizarrón electrónico.
MODELO DE ENSEÑANZA
A continuación, presentamos, como una serie de Textos escritos, un posible Modelo de
Enseñanza a la introducción del Teorema de Tales sobre la semejanza y la proporcionalidad
de figuras rectilíneas.
El modelo está organizado a partir de una sucesión de Textos matemáticos llamados Temas
(aquí se presentan nueve). Esto permite una mayor interactividad entre el texto y los
lectores. Los conceptos son presentados a partir de situaciones concretas, creando todos los
elementos para su generalización y presentación en abstracto. Sólo entonces, se requerirá
que el estudiante se enfrente a multitud de nuevas situaciones concretas; una vez resueltas
éstas, se le estimulará a resolver ejercicios. La imaginación, aquí ligada a la visión, permite
utilizar los hechos conocidos para resolver los nuevos problemas geométricos que se van
presentando.
P
Q
R
Se comienza reflexionando sobre los conceptos básicos y las maneras como éstos se van
entretejiendo para desembocar en nociones y resultados más complejos. Se tratan los
resultados elementales acerca de paralelismo y perpendicularidad. La congruencia será el
tema principal usado en otras lecciones, mientras que la semejanza se desarrolla al final.
Una vez
Con la opción POLÍGONO REGULAR construye un triángulo equilátero PQR.
Ahora, mide cada uno de los ángulos en los vértices P, Q, R. ve a la herramienta de medición y
selecciona “medida de ángulo” toca tres de los vértices y te va a dar la medida del vértice que
tocaste en medio, realiza lo mismo para las otras dos. ¿Cuánto mide cada uno?
________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Si arrastras el vértice P, ¿Qué le ocurre al triángulo?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
A
BC
Dibuja dos triángulos equiláteros de diferente tamaño pero con los mismos ángulos ¿crees que sea
posible? ___________________________________________________________________
Anota las conclusiones a las que te lleva lo que has realizado.
________________________________________________________________________________
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Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los triángulos equiláteros anteriores.
_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Ahora dibuja tres triángulos que tengan el mismo ángulo y diferente medida:
Triángulo 1 sus ángulos son: _______________ cada uno de sus lados mide: ___________
Triángulo 2 sus ángulos son: _______________ cada uno de sus lados mide: ___________
Triángulo 3 sus ángulos son: _______________ cada uno de sus lados mide: ___________
Dibújalas.
ACTIVIDAD 12
Triángulos semejantes
Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.
Mide cada uno de los ángulos en los vértices A,B,C. ¿Cuánto mide cada uno?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Si arrastras el vértice A, ¿Qué le ocurre al triángulo?
________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Ahora dibuja dos triángulos con los mismos ángulos pero sus lados de tamaño distinto, colócale
cuales son las medidas de sus lados y cuáles de sus ángulos.
A
B
C
A
B
C
Cuál es el nombre de los triángulos:___________________________________________________
¿Tienen sus ángulos iguales?____________________________________________________
¿Por qué? _________________________________________________________________
Ahora dibuja dos triángulos que tengan el mismo ángulo y diferente medida de los dos triángulos:
¿Los tres triángulos que tienes en está hoja porque no son iguales? ___________________
¿Qué condiciones deben cumplir para que lo sean? _________________________________
___________________________________________________________________________
En el archivo que tienes en Word, contesta las preguntas como lo realizaste en las hojas y las
figuras que realizaste en Cabrí, selecciona con la flechita y copia, pega en Word y guardas.
ACTIVIDAD 13
Triángulos semejantes
Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.
A
BC D
E
¿Cuántos triángulos observas? _______________________________________________________
Escribe sus vértices: __________________________________________________________
Escribe cuánto mide cada uno de sus vértices, con ayuda de la herramienta “medida de ángulo”
Triángulo 1 triángulo 2
Ángulo ABC = __________ Ángulo EBD = ____________
Ángulo BCA= ___________ Ángulo BDE = ____________
F
GH
PUNTO
Busca la herramienta “recta paralela” ….. Toca primero el punto y después el segmento FG. Y
obtienes esto.
F
GH
PUNTO
Ya tienes dos triángulos semejantes, mide sus ángulos y vas a comprobar que _________________
________________________________________________________________________________
En ese mismo triángulo dibuja otro triángulo… ¿Se puede? ________________________________
ACTIVIDAD 14
Triángulos semejantes
Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.
Se cuenta que Thales de Mileto (aprox. 611-545 a.C), uno de los "siete sabios de Grecia",
utilizando la semejanza resolvió dos problemas:
calculó la altura de una pirámide en Egipto determinó la distancia de una embarcación a la costa
¿Cómo crees que utilizó la semejanza para el calculo de las piramides?
Vamos a construir un triángulo como el que se observa en la imagen:
a). Mostrar ejes y rejillas.
b). Hacer un triángulo equilátero ABC, esto quiere decir que tiene un ángulo de 90º.
Para hacer los otros, coloca un punto como se muestra en la figura:
punto
A
B C
c). Ve a la quinta ventana y selecciona “recta paralela”
toca el punto y después el segmento AB.
A
BC
R
S
T
V
punto
A
B C
c). Hacemos el otro triángulo, con el mismo procedimiento.
punto
A
B C
punto
¿Cuántos triángulos semejantes podemos hacer? _______________________________________
¿Por qué? ___________________________________________________________________
¿Cuántos triángulos observas? _______________________________________________________
Escribe sus vértices: ___________________________________________________________
Escribe cuánto mide cada uno de sus ángulos, con ayuda de la herramienta “medida de ángulo”
Triángulo 1 triángulo 2 triángulo 3
De acuerdo a la clase anterior, podemos observar que los lados de los triángulos son:
________________________________________________________________________________
Los ángulos de los tres triángulos son: _________________________________________________
¿Por qué? _______________________________________________________________________
En el mismo triángulo que tienes dibuja otros dos triángulos semejantes, ¿es posible?
________________________________________________________________________________
¿Por qué? _______________________________________________________________________
ACTIVIDAD 15
Triángulos semejantes
Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.
Con ayuda de tú transportador mide los ángulos de los triángulos:
¿Cómo se llama el triángulo? ________________ ¿Por qué? _______________________________
¿Cuánto mide el ángulo a? ___________
¿Cuánto mide el ángulo b?___________
¿Cuánto mide el ángulo c? ___________
¿Cómo se llama el triángulo? _________
¿Por qué? ________________________
¿Cuántos triángulos hay? ________________________
- Señala cada uno de ellos colocándole una letra en cada uno de sus vértices.
TRIÁNGULO 1 sus vértices son: _______________________________
TRIÁNGULO 2 sus vértices son:________________________________
a
b c
TRIÁNGULO 3 sus vértices son:________________________________
TRIÁNGULO 4 sus vértices son:________________________________
TRIÁNGULO 5 sus vértices son:________________________________
- Con ayuda de tus escuadras y transportador construye cinco triángulos semejantes.
¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? ________________________________________
¿Cómo son estos triángulos entre sí? _____________ ¿Por qué? _____________________
Ahora puedes prender la computadora, abrir cabrí y hacer los triángulos.
¿Cómo se te hace más sencillo hacer los triángulos, con Cabrí ó con escuadras y
transportador?_________________________ ¿Por qué? ___________________________
Actividad 16
I Con ayuda de tu transportador mide cada uno de los ángulos:
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?
II Construye tres triángulos semejantes al siguiente triángulo, mide los ángulos con tú
transportador para comprobar que son semejantes.
III. Otra forma de saber si son triángulos semejantes es:
8 cm
4 cm
22 cm
11 cm
Si nos dividimos las medidas de los lados, de los dos triángulos tenemos:
22
8=
11
4=
¿Cuál es el resultado de las divisiones?
Por ello podemos decir que los triángulos son semejantes.
IV. Mide los lados de los siguientes triángulos y comprueba que son semejantes:
V. Con tus escuadras y transportador realiza tres triángulos semejantes, mide sus ángulos y mide
los lados para dividirlos.
Actividad 17
I Contesta lo que se te pide:
¿Qué debes de tomar en cuenta para saber si los dos triángulos son semejantes?
_________________________________________________________________________
Con tus escuadras y transportador, mide los siguientes triángulos y escribe lo que consideraste
para ver sin son semejantes:
¿Son semejantes? _____________ ¿Por qué?____________
3 cm
5 cm
8 cm
5 cm
II Construye dos triángulos semejantes y mide los ángulos con tú transportador
1.- Construye líneas paralelas, con tus escuadras:
Al colocar de esta manera la regla y la
escuadra estamos haciendo una línea
paralela, el un ángulo mide 90º
90º
Realiza dos triángulos semejantes,
utilizando tus escuadras:
III. ¿Son triángulos semejantes?
Dibuja los tres triángulos con el programa de Cabri y comprueba que son semejantes.
ACTIVIDAD 18 Triángulos semejantes
I Comprueba si los triángulos son semejantes
¿Los triángulos son semejantes?______________________________
¿Por qué? _______________________________________________
II Mide los ángulos del siguiente triángulo y realiza uno que sea semejante.
8 cm
13 cm
III. Mide los lados de los siguientes triángulos y comprueba que son semejantes:
A
B C
X
Y
M
N
¿Cómo lo realizaste? ______________________________________
IV. Utiliza el programa Geometer Sketchpad y realiza dos triángulos semejantes.
Actividad 19 Evaluación
I Contesta lo que se te pide:
¿Qué debes de tomar en cuenta para saber si dos triángulos son semejantes?
________________________________________________________________________________
A
BC
¿Cuántos triángulos miras?________________________ ¿Son semejantes? __________________
¿Por qué? _______________________________________________________________________
¿Qué consideraste para saber si son semejantes?________________________________________
II Utilizando tus escuadras y trasportador realiza dos triángulos semejantes
¿Los triángulos que realizaste son semejantes?__________________________________________
¿Por qué? __________________________________________________________________
III Utiliza tus escuadras
¿Dibuja como utilizas las escuadras para hacer rectas paralelas?
¿Qué ángulos se forman entre las rectas paralelas? ______________________________________
IV. Con el programa de Cabri realiza dos triángulos semejantes
Mide sus ángulos y sus lados.
V. Entrega las hojas y contesta a las preguntas que te van a realizar los observadores (Pasan a una
mesa con distintos triángulos manipulables, se les pide que seleccionen tres triángulos semejantes
para observar sus procedimientos de selección, visual, ángulos, lados)
Resultados
La investigación esta planeada para tres años, se encuentra a un año de la aplicación, en donde se parte de un examen de diagnostico, y el diseño de actividades pensadas en la utilización con Cabrí, cada una de ellas con un objetivo especifico, encaminadas a las rectificaciones de las respuestas erróneas a preguntas tales como:
“Compara la razón entre lo subido y lo avanzado en A con la razón entre lo subido y lo
avanzado en B ”.
¿Cuál es la relación entre las razones y ? ¿Son iguales o es una mayor que la otra? La respuesta “natural” dada es que la segunda era mayor dado que AA'< BB' y OA'< OB'.
Conclusiones
Para los estudiantes involucrados en este estudio, el sentido es conferido, en el nuevo SMS, por la utilización de nuevos signos de las maneras que los requieren cada uno de los pasos del proceso de análisis y resolución, visto todo el sistema de signos ligado por la concatenación de acciones desencadenadas por el proceso de solución de las diversas situaciones problemáticas que, con anterioridad, se consideraban irreducibles unas a las otras y que, ahora, gracias al uso del nuevo SMS, se resuelven con procesos que se
establecen como los mismos, esto es, se transfieren de la resolución de un problema a otro, convirtiendo lo que antes era una diversidad de problemas en lo que, ahora, se puede llamar una familia de problemas, cuyos miembros todos se pueden resolver con el mismo proceso.
Referencias
Filloy, Eugenio, Rojano, Teresa, Educational Álgebra A Theoretical and Empirical
Approach Series: Mathematics Education Library, Vol. 43 2007 220p. Hardcover Springer
Filloy, E. (1999) Aspectos teóricos del álgebra educativa, México, Grupo Editorial Iberoamérica (Sociedad Mexicana de Matemática Educativa).
Filloy, E., y Rojano, T. (1984). La aparición del lenguaje Aritmético-Algebraico.
L’Educazione Matematica, 5(3), 278-306.
Tres palabras claves
Teorema de Tales
Sistema matemático de signos (SMS)
Modelos Teóricos Locales