un anÁlisis de las obras matemÁticas...
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UN ANÁLISIS DE LAS OBRAS MATEMÁTICAS PROPUESTAS
EN LA ENSEÑANZA DE LOS NÚMEROS ENTEROS DESDE LA PERSPECTIVA
DE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO (TAD)
LEYDI YOHANA ORDÓÑEZ CRUZ
0646412
MAYERLINE CHAVARRO MARÍN
0533238
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
LÍNEA DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
SANTIAGO DE CALI, 7 DE SEPTIEMBRE DE 2012
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UN ANÁLISIS DE LAS OBRAS MATEMÁTICAS PROPUESTAS EN LA ENSEÑANZA
DE LOS NÚMEROS ENTEROS DESDE LA PERSPECTIVA DE LA TEORÍA
ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO (TAD)
LEYDI YOHANA ORDÓÑEZ CRUZ
0646412
MAYERLINE CHAVARRO MARÍN
0533238
Trabajo de grado presentado como requisito para acceder al título de
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICA
WILDEBRANDO MIRANDA VARGAS
Tutor
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
LÍNEA DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
SANTIAGO DE CALI, 7 DE SEPTIEMBRE DE 2012
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________________________________
Evaluador 1.
_______________________________
Evaluador 2.
______________________________
Director.
4
Agradecimientos
En primera instancia, agradecemos a Dios, por permitirnos culminar este
trabajo de grado, al darnos paciencia, fortaleza y perseverancia para conseguir
éste título como profesionales.
También agradecemos a la Universidad del Valle, que nos acogió en el seno del
alma mater y nos transformó en Licenciadas en educación Básica con énfasis en
Matemáticas.
A su vez queremos manifestar una enorme gratitud a nuestros familiares, entre
ellos, padres, hermanos, abuelos, tíos, esposos e hijos, los cuales nos brindaron su
apoyo total en todo momento y formaron parte de este gran sueño.
De la misma manera agradecemos a nuestros amigos por darnos el ánimo
cuando creíamos desfallecer.
Y por último como no agradecer a nuestro tutor Wildebrando Miranda Vargas
quien con sus conocimientos, transformó los nuestros, orientando nuestro
trabajo con paciencia y dedicación; gracias a él y a sus sugerencias hoy llegamos
a la meta.
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TABLA DE CONTENIDO
Página
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 8 Capítulo 1 ........................................................................................................................... 12
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. ...................................................................... 13
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................................. 20
1.2.1 Objetivo general. .................................................................................................. 20
1.2.2 Objetivos específicos. ......................................................................................... 20
1.3 JUSTIFICACIÓN ......................................................................................................... 21 Capítulo 2 ........................................................................................................................... 24
2.1 REFERENTES TEÓRICOS ..................................................................................... 25
2.1.1 Desde la Propuesta unitaria de Bruno. ............................................................ 25 2.1.1.1 Las transferencias entre las dimensiones: ................................................. 27 2.1.1.2 Los números negativos desde la Visión Unitaria ..................................... 28
2.1.2 Desde la Teoría Antropológica de los Didáctico (TAD). ................................ 28
2.1.2 Concepto de Obra Matemática (OM). ........................................................... 30
2.1.4 Desde lo curricular. ........................................................................................... 33
2.1.5 Desde las Matemáticas. ..................................................................................... 39 Capítulo 3 ........................................................................................................................... 50
3.1 METODOLOGÍA ...................................................................................................... 51
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................... 53
4.1 ANÁLISIS DEL PLAN DE ÁREA................................................................................ 54
4.2 ANÁLISIS DE LOS TEXTOS ESCOLARES. ............................................................. 58
4.2.1 Análisis de la praxis (tareas y técnicas). ......................................................... 65
4.2.2 Análisis de las obras matemáticas (Bloque tecnológico teórico). .............. 71
4.3 CONTRASTE ENTRE EL ANÁLISIS DEL PLAN DE ÁREA Y LOS TEXTOS
ESCOLARES. ..................................................................................................................... 85
CAPÍTULO 5 ..................................................................................................................... 91
CONCLUSIONES ................................................................................................................. 91
BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................... 91
5.1 CONCLUSIONES..................................................................................................... 92 ANEXOS………………………...…………………………………………………………………………97
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INDICE DE TABLAS
Tabla 1: Coherencia horizontal. (MEN, 2006) ........................................................................ 35
Tabla 2 Coherencia vertical. MEN (2006). .............................................................................. 37
Tabla 3: Identificación de los textos escolares "serie códigos matemáticas 6 y serie código matemáticas 7". ................................................................................................................... 61
Tabla 4: Contenidos y estándares referidos en los textos escolares "Serie código matemáticas 6 y serie código matemáticas 7" ........................................................................................... 62
Tabla 5: Contextualización de los números enteros en los textos escolares analizados. ......... 65
Tabla 6: Técnica de solución para agrupación de las tareas. ................................................. 76
Tabla 7: Cantidad de tareas propuestas por nivel (básico, medio y avanzado) según el contenido del texto escolar de 6º. ......................................................................................... 82
Tabla 8: Cantidad de tareas propuestas por nivel (Básico, medio y alto) según contenido del texto escolar de 6º. ............................................................................................................... 83
Tabla9: Cantidad de tareas propuestas por nivel (Básico, medio y avanzado) ....................... 84
según contenido del texto escolar de 7º. ............................................................................... 84
Tabla 10: Contraste entre los contenidos propuestos en el plan de área de 6º y el texto escolar"serie código matemáticas 6". ................................................................................... 85
Tabla 11: Contraste entre los contenidos propuestos en el plan de área y el texto escolar “serie códigos matemáticas 7”. ............................................................................................. 86
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Transferencia entre las dimensiones…………………………………………………..…………..27
Ilustración 2. Estructura de obra matemática……………………………………………………………….……..31
Ilustración 3. Texto escolar código matemáticas 6, editorial SM…………………………………………..52
Ilustración 4. Texto escolar código matemáticas 7, editorial SM…………………………………………..52
Ilustración 5. Estructura plan de área de la institución escolar……………………………………………..54
Ilustración 6.Mapa conceptual, números naturales del texto “serie Código matemáticas 6”.63.
Ilustración 7.Mapa conceptual, números naturales del texto “serie Código matemáticas 7”.64
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RESUMEN
Este trabajo, de carácter exploratorio, se sitúa en la perspectiva de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (TAD) y el interés que representó fué el de abordar la enseñanza
de los números enteros de manera integrada teniendo en cuenta los sistemas numéricos. De
esta manera se pone en cuestión la propuesta que plantea Bruno (perspectiva unitaria) la cual
brinda pistas acerca de la construcción de los sistemas numéricos.
Nuestro interés principal es el de poder determinar ¿Cuáles son las potencialidades y
limitaciones de las obras matemáticas propuestas en una institución escolar de la ciudad de
Cali, teniendo en cuenta lo que la obra matemática plantea para la construcción del concepto
de número entero?
Para realizar el presente trabajo, se hizo una revisión al currículo propuesto en una
institución escolar ubicada en la ciudad de Cali la cual la denotaremos con (IE), a través de la
descripción y análisis de: plan de área de matemáticas y textos escolares de matemáticas,
Código matemáticas 6 y Código matemáticas 7 de editorial SM, con ellos se realizó un
contraste teniendo en cuenta los referentes teóricos en los que se enmarca este trabajo tales
como la TAD y la Perspectiva Unitaria propuesta por Bruno (1997).
En este sentido, la propuesta metodológica tuvo en cuenta: análisis de documentos
oficiales (Lineamientos y Estándares) y textos escolares de matemáticas de 6º y 7º de la
educación básica y el plan de área de matemáticas de la (IE).
Durante la realización de este trabajo se pudo evidenciar que en los textos escolares
hay una gran ausencia de elementos claves para la construcción de : igualmente es
importante mencionar que el tratamiento de las nociones, propiedades y conceptos de los
números enteros, está en cierta medida expuestos en el texto escolar como una manera
algorítmica de hacer, olvidándose un poco de la estructura misma de los objetos.
Palabras clave: TAD (Teoría Antropológica de lo Didáctico), OM (Obra Matemática),
OMr (Obra matemáticas de referencia), Números enteros.
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INTRODUCCIÓN
Este trabajo de grado tiene como fin, hacer un análisis de las obras matemáticas
propuestas1 en una institución escolar bajo la perspectiva de la TAD, específicamente
en las OM que durante la transición de a se propone en los textos escolares,
teniendo en cuenta algunas investigaciones que se han realizado sobre la enseñanza y
la construcción de los números enteros en una institución escolar.
Es así como partiremos enunciando los aspectos relevantes que dieron origen a
la construcción de y aquellas herramientas que se han puesto de manifiesto en
algunas investigaciones, para que nuestro análisis se fundamente en la esencia
matemática de los sistemas numéricos.
Ahora bien, se reconoce que la complejidad del aprendizaje de las matemáticas
esta mediado por los diferentes instrumentos y herramientas usadas en la escuela para
hacer alguna conceptualización formal, en este caso el fuerte de este trabajo son las
tareas que se proponen en las obras matemáticas analizadas; reconocemos la
importancia de que las matemáticas no son en sí mismas mero conocimiento sino que
hacen parte de un sistema concreto de actividades que la humanidad pone de
manifiesto al momento de hacer matemáticas en la medida que las relaciona con su
entorno.
Por esta razón nuestro interés principal es realizar un análisis en términos de las
limitaciones y potencialidades observadas en las OM propuestas (textos escolares,
1 Retomamos el término currículo propuesto para designar uno de los 3 niveles en que se puede interpretar el
currículo. En efecto, las pruebas TIMSS (1997) realizan su propuesta evaluativa en 3 niveles: El currículo propuesto,
el currículo desarrollado y el currículo logrado. Para nuestro caso sólo nos interesa el currículo propuesto que lo
materializamos a través del análisis de los textos escolares, el plan de área de matemáticas y dos documentos legales
que son referente para el trabajo en matemáticas en Colombia: Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas
(1998) y Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (2006). El concepto de currículo propuesto lo
relacionamos con el de Obra Matemática Propuesta, que se enmarca dentro de la perspectiva de la TAD en la cual
se desarrolla este trabajo.
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plan de área de matemáticas, y documentos oficiales como Lineamientos Curriculares
de Matemáticas (1998) y Estándares Básicos de Competencias (2006)) partiendo de
una obra matemática de referencia que da pautas para la construcción de . Para ello,
las tareas juegan un papel importante en tanto permiten a los estudiantes hacer una
manipulación del objeto de estudio y a partir de ello ir haciendo una construcción
apropiada del objeto manipulado, es decir, nos interesa saber ante la propuesta
realizada en los textos escolares, cómo éstas ponen de manifiesto la integración de los
sistemas numéricos y cómo las tareas propuestas permiten construir una OM que
permita a desarrollar la praxis y el logos.
En el primer capítulo, el trabajo busca hacer una contextualización del problema
en donde se menciona las dificultades presentes de introducir en la escuela con
relación a lo concreto y lo formal según algunos autores (Bruno, 1997; González, Ortiz,
Alfonso., Sanz, Ortiz, Alfonso., 1990; Cid y Bolea, 2002), para el que se plantea la
importancia de introducir los números enteros en un entorno algebraico.
De esta manera los elementos van a ir respondiendo a nuestra hipótesis de
trabajo que plantea que las OM propuestas en la institución escolar carecen (o al
menos son limitadas) de una perspectiva integrada (Bruno, 1997) lo que puede llegar a
limitar una mejor construcción de en la institución escolar.
En el capítulo dos, se abordan algunos elementos de la TAD, en donde se
mencionan dos fenómenos presentes en la enseñanza de las matemáticas llamados
autismo escolar y atomización de la enseñanza (Gascón, 1998), también se menciona
el concepto de OM que brinda pautas en nuestro análisis de la relación que deben
tener las tareas con la razón de ser de estas, en nuestro caso con la introducción de .
Para ello mencionamos los aportes que Bruno (1997) realiza con relación a las
dimensiones en la enseñanza de los sistemas numéricos desde una visión unitaria, en
la cual encontramos cierta familiaridad con la propuesta de enseñanza de Cid y Bolea
(2007) y algunas cuestiones que se plantean desde la TAD.
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Desde lo curricular nuestro análisis está basado en lo que desde el Ministerio de
Educación Nacional plantean Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998) y
los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (2006), con relación a los
sistemas numéricos, en donde se proponen la integración de los procesos, contextos y
conocimientos para hacer una enseñanza y aprendizaje genuino, en la cual argüimos
que poco se especifica del cómo se pueden llegar a abordar estas propuestas en el
aula de clase dejando demasiada libertad de interpretación al docente de matemáticas,
y entendiendo eso sí, que la naturaleza de dichos documentos está en brindar unas
pautas justificadas para abordar la difícil tarea de la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas en nuestras escuelas colombianas.
En el referente matemático se retoma la propuesta de introducir en un entorno
algebraico (Cid & Bolea, 2001) a través de la construcción de una OMr que tiene en
cuenta algunas cuestiones generatrices de dónde puede llegar a emerger .
En el capítulo tres, se expone la metodología realizada para nuestro análisis,
que tuvo en cuenta en 3 fases: En la primera fase ampliamos el marco teórico y
seleccionamos las obras matemáticas propuestas a analizar. (Textos escolares, plan
de área). En la segunda fase se construyó la obra matemática de referencia, con la
cual encontramos las potencialidades y limitaciones de introducir en un entorno
algebraico. En la fase tres se realizaron los análisis de las obras matemáticas
propuestas que responderá o no a nuestra hipótesis de trabajo.
Por último en el capítulo cuatro, menciona el análisis realizado en (IE), a través
de los documentos propios del área de matemáticas como lo son: plan de área de
matemáticas y los textos escolares de matemáticas usados en (IE); con estos
elementos se realiza el análisis teniendo en cuenta los referentes teóricos del capítulo
dos y la problemática planteada en el capítulo uno, para encontrar las posibles
limitaciones y potencialidades de la construcción de los números enteros según la OM
que emerge del currículo propuesto.
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De esta manera se realiza un contraste de los análisis con la obra matemática
de referencia mencionada en el capítulo dos y con ello las conclusiones que
responden a nuestra hipótesis de trabajo en el capítulo 5.
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Capítulo 1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. OBJETIVO GENERAL.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS JUSTIFICACIÓN.
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1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Distintos planteamientos de investigación (Bruno, 1997; Bruno, 2001; Bruno,
2003; Cid & Bolea, 2007; González et al. 1990) manifiestan que existen diversas
dificultades en la enseñanza de los números enteros tales como: Introducir los números
enteros en un entorno aritmético, enseñarlos basándose en modelos concretos
(haciendo referencia a situaciones de la vida real), los números enteros como extensión
de los naturales pues contribuye a asociarlos con las características de tales como el
cardinal.
Es importante mencionar que en Colombia la enseñanza de los números enteros
( ) comienza alrededor de los grados 6º o 7º de básica secundaria. Sin embargo,
algunas de las dificultades vienen desde los primeros años de escolaridad; en estos
años se construyen ideas tales como, “la operación de adición siempre aumenta”, “la
sustracción siempre disminuye”, estas son, según algunos autores, unas de las
concepciones más difíciles de ser modificadas.
En primer lugar, un elemento fundamental en la introducción de los números
enteros es identificar su estructura y con ello poder enseñarla a partir de una estrategia
que ayude a desarrollar los procedimientos correctos, para que cuando el estudiante
afronte cálculos con números enteros los pueda resolver de manera exitosa,
reconociendo las limitaciones de y el porqué de la necesidad de estudiar ,
haciendo una reflexión adecuada de lo que permite este nuevo sistema numérico.
Para algunos investigadores, lo importante es que las conceptualizaciones
correctas estén ligadas a una situación en la que las operaciones tengan una
interpretación válida en donde se pueda reconocer y comprender las propiedades y
reglas matemáticas que hacen válido dicho objeto de estudio. “Restar un negativo es
equivalente a sumar un positivo” es una de esas reglas; adquiere significación en
situaciones habituales de temperatura y dinero y hace referencia a números efectivos, y
no meramente a símbolos, como se menciona a continuación:
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Cabe la alternativa, entendiendo el número en su versión lógica de generalizar
todas las situaciones anteriores, en que aparece el negativo como opuesto del
positivo (González, et al., 1990, p. 131).
Según estos autores, dichas consideraciones siempre tienen que estar
presentes en las situaciones de enseñanza, en las instituciones educativas, aunque no
se apoyan en estudios rigurosos al respecto.
Pero autores como Cid & Bolea (2007) arguyen que afirmaciones como la
siguiente pueden contribuir a concepciones erróneas para las construcciones
posteriores que se realizan en las instituciones2, sobre los sistemas numéricos.
La aritmética nos refiere que toda operación correctamente planteada puede
efectuarse ( p.4).
Es aquí donde se hacen presentes ciertas restricciones bajo la operación de
sustracción; estas restricciones admiten tener en cuenta las propiedades de los
números naturales para así, reconocer y comprender el dominio de ellas, es decir,
es una operación bien planteada pero que con la aritmética de los naturales no
se puede realizar.
González, et al. (1990) sustentan que muchos autores se empeñan en justificar
la existencia de a través de su introducción mediante situaciones concretas:
La interpretación de las cantidades negativas como aquellas que están
orientadas en sentido opuesto a las positivas, (…) los autores se fuerzan en
presentar interpretaciones concretas de los números enteros y de sus
2 Es importante aclarar que desde la TAD el concepto de institución no se limita a Institución escolar sino que
abarca todos aquellos lugares físicos o simbólicos donde se haga cualquier tipo de manipulación social de los
objetos matemáticos.
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operaciones a fin de que el estudiante aprecie que ese estudio es razonable y
justificado (p. 124-125).
Pero es bien sabido, que uno de los objetivos principales del conocimiento de las
matemáticas son los conceptos, que vienen asociados a una acción y sus múltiples
relaciones; los cálculos, los signos, los procedimientos y su inspiración: los problemas,
son la representación de los conceptos que deben permitir una comprensión plena de
su forma y su estructura.
Sin embargo, actualmente para introducir el concepto de números en los
primeros años de enseñanza se acude a los sistemas concretos (situaciones de la vida
real) para realizar cualquier tipo de representación numérica. Bruno (2001) intenta
explicar esta situación de la siguiente manera:
Una de las principales razones de estos hechos se encuentra en la necesidad
que tenían los matemáticos de asignar significados concretos a los números y a
las operaciones con ellos: ¿puede existir algo menor que la nada?, ¿por qué
menos por menos es más? (p. 415).
Sin embargo, quedarse en los sistemas concretos también puede llegar a
perjudicar la construcción de , dado que existen situaciones que no se pueden
representar en el plano de lo concreto, como por ejemplo, deducir las propiedades de
los enteros a partir de las tareas propuestas es una situación que difícilmente los
estudiantes puedan prever de una actividad de la vida real. (Cid & Bolea, 2007).
En la TAD las pautas están orientadas a que a partir de las tareas, los
estudiantes hagan dicha construcción y comprendan la existencia y necesidad de los
objetos estudiados; de esta manera el sentido de lo que se estudia, permite que los
temas se conecten y pueda existir una continuidad (que funciona como una narración)
durante el aprendizaje. (Gascón, 1998).
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La comprensión de los enteros sugiere un alto nivel de abstracción y es aquí
donde es importante que el estudiante comprenda de manera genuina las limitaciones
de los naturales y la relevancia que los enteros tienen, para poder ampliar el campo
numérico y algorítmico dado que en algunas operaciones son restringidas.
En tales exploraciones hay ciertas tareas que son más complejas que otras,
debido a que requieren un mayor nivel de abstracción y en un nivel puramente concreto
es difícil llegar a tal nivel de abstracción.
Es por eso que algunos autores afirman que:
La enseñanza del número entero no admite ser enteramente tratada de forma
creíble en el plano concreto (González, et al., 1990, p. 150).
Así mismo, es importante mencionar que la enseñanza de los enteros desde el
campo de acción axiomático, también puede causar errores que en ocasiones pueden
generar dificultades contundentes en la comprensión y coherencia de los sistemas
numéricos llevándolos a un formalismo vano.
Ubicarlos sólo en el plano de lo formal también tiene el peligro de reducirlos a un
formalismo vacío presto a ser olvidado a causar errores y confusiones
(González, et al., 1990, p.150).
Lo anterior indicaría la importancia de vincular o por lo menos ser críticos frente
a las dos formas: lo concreto haciendo referencia a situaciones de la vida real y lo
formal ubicándolos en el plano de lo axiomático), es decir, introducir y enseñar los
enteros sin darle más jerarquía a una que a otra, sino que en dicho proceso se debe
tener en cuenta de dónde y cómo partimos para hablar de los enteros y a dónde y
cómo vamos a formalizar la estructura de éste sistema numérico.
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Dado que el tratamiento usado en la enseñanza de los enteros en los ámbitos
escolares son introducidos como el resultado de una medida (situaciones de
temperatura y nivel del mar) y al momento de llevarlos a cálculos de lápiz y papel se
omite términos básicos que conforman éste sistema numérico ( la unidad relativa u
opuesta), se deja entrever una ausencia de realizar las representaciones inicialmente
usadas y esa es una de las posibles razones que podrían explicar el por qué se da la
desconexión que evoca una comprensión superficial de la estructura de . En efecto,
Cid & Bolea (2007) manifiestan que:
La familiaridad de los alumnos con los modelos concretos no parece ser tal, por
lo que su presentación puede resultar una dificultad añadida, antes que una
ayuda para el aprendizaje de los números negativos (p.5).
Esta última apreciación nos permite reconocer que la aritmética carece de
elementos claros para ser campo de acción de los números enteros, dado que la
justificación y/o aparición de ellos van más allá de lo operatorio, de la cantidad y de una
medida. Es decir, los números enteros representan cantidades desconocidas que se
atribuyen al campo de algebraico en donde los elementos manipulados o que hacen
parte de una expresión son números y también letras, esto exige reconocer las
propiedades de y no meramente definir las operaciones limitándolos a sumandos y
sustraendos; la comprensión genuina de debe estar dada en todos los elementos
que se representan, las operaciones que implican y las propiedades y definiciones que
hacen parte de dichas expresiones. (Cid & Bolea, 2007).
La opción de enseñar los números enteros en el campo de la aritmética, supone
la comprensión de ellos que intuitivamente se ha abordado en la escuela (Los números
para contar, ordenar, medir o etiquetar) y se aleja de lleno del concepto de número
entero y su campo de acción.
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La resolución aritmética de un problema se caracteriza por ser un procedimiento
fuertemente contextualizado y en el que todas las operaciones que se proponen
son efectuables. (Cid & Bolea, 2007, p. 4).
En la escuela no se ve la necesidad de hacer uso de los negativos puesto que
en él , el significado que tiene el signo negativo es de la sustracción, como una
cantidad que está disminuyendo, dejando de lado que es el opuesto aditivo de , como
propiedad inherente de los +
Es decir, existen razones que indican la importancia de enseñar los números
enteros en campo de acción de lo algebraico pues históricamente la justificación de
era inherente a la naturaleza y precisamente esto provocó que pasaran muchos años
antes de ser reconocidos; dicho reconocimiento cuestionó, incluso en los matemáticos
de la época la comprensión y la relación entre lo formal y lo real (González, et al.,
1990).
Algunos autores mencionan que la aritmética no debe ser el ámbito en los que
se aborden la enseñanza de los números enteros, dado que puede llevarlos a una
concepción errónea y se pierde la razón de ser de estos objetos matemáticos porque
los sistemas concretos carecen de elementos para realizar representaciones tales
como y . (Cid & Bolea, 2007).
Por lo tanto, al introducirlos de manera temprana en la escuela se impulsa a que
los enteros sean vistos como resultado de una medida y este es un obstáculo3 que ya
3 El concepto de obstáculo es retomado del trabajo de Bachelard(1938):
Es en términos de obstáculos que se debe plantear el problema del conocimiento científico. No se trata de considerar los obstáculos externos, como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu humano: es en el acto mismo de conocer, íntimamente, que aparecen, por una clase de necesidad funcional, son lentos y son problema. Es aquí que se encuentran las causas del estancamiento y aún de la regresión, es aquí que hay que encontrar las causas de la inercia que es eso que llamamos obstáculo. (p. 15 ).
Es decir, el concepto de obstáculo se miran en función de aquellos conocimientos que son funcionales
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fue salvado y discutido por los matemáticos de la historia, en donde lo realmente
importante es que se reconocieran los números enteros teniendo en cuenta su
estructura y campo de acción. (Cid & Bolea, 2007).
El inicio de la enseñanza de los números negativos debería permitir que los
estudiantes comprendan las limitaciones que presentan los Naturales y el pro qué de la
necesidad de los negativos, de esta manera se trabaja en soluciones en planteamiento
y solución de diferentes expresiones asociadas a los sistemas numéricos; es por ello
que es fundamental que se construyan en clase los sistemas numéricos de forma
unificada cuando de expresiones algebraicas se trata comprendiendo a cabalidad su
campo de acción (el algebraico). A esta manera unificada de plantear la enseñanza de
los números enteros se le conoce como perspectiva Unitaria (Bruno, 1997).
Es en este sentido y según lo expuesto anteriormente, que este trabajo intenta
explicitar como son las obras matemáticas propuestas en una institución escolar con
respecto a la enseñanza de los números , teniendo en cuenta la forma en como son
introducidos. De esta manera, se plantea el siguiente interrogante:
¿Cuáles son las potencialidades y limitaciones de las obras matemáticas
propuestas en una institución escolar desde la mirada de la TAD, con relación a la
construcción del concepto de número entero ?
en un contexto pero que en otros contextos pueden llegar a impedir construir un nuevo conocimiento. Se presentan resistentes al cambio y suelen ser fuente de errores en el sujeto.
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1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo general.
Analizar las obras matemáticas propuestas en una institución escolar, a la luz de
la TAD, con relación a la introducción del concepto de número entero.
1.2.2 Objetivos específicos.
1.2.2.1 Identificar las OM en el currículo propuesto en el libro de texto de 6º y 7º
y plan de área de matemáticas, con relación a la introducción del
concepto de número enteros en una institución escolar.
1.2.2.2 Contrastar en términos de potencialidades y limitaciones, las OM
propuestas (Textos escolares y plan de área), teniendo en cuenta la obra
matemáticas de referencia para propuesta por Cid y Bolea (2007) y la
perspectiva unitaria propuesta por Bruno (1998).
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1.3 JUSTIFICACIÓN
Como ya se ha dicho, la intención de este trabajo es hacer una exploración al
currículo propuesto en una IE con relación a la enseñanza de los números enteros para
contrastarlo con lo propuesto en la TAD, con relación a una OMr.
Una de las razones que explica el porque de la importancia de este trabajo tiene
que ver con un fenómeno llamado “atomización del proceso de enseñanza de las
matemáticas” que desde la TAD se menciona como la desestructuración en la
enseñanza que lleva a los estudiantes una cantidad de temas de manera aislada sin
que ellos realicen una reflexión clara frente a la actividad matemática. (Gascón, 1998).
Otro fenómeno a referir por la importancia que subyace en las cuestiones
matemáticas es el “autismo escolar” que se manifiesta por la poca relevancia y
conexión que se hace entre lo que se enseña y la razón de ser de lo que se enseña;
es así como, algunos autores mencionan que en las instituciones escolares y con ellas
en los currículos actuales hay una tendencia a que los conceptos matemáticos se vean
de manera aislada sin hacer una reflexión profunda del porqué se estudian ciertos
objetos matemáticos en la escuela.
Si a los fenómenos anteriormente mencionados, se suma los planteamientos de Cid
y Bolea (2007) que desde la TAD, plantean la necesidad de una reflexión profunda
sobre el uso de los modelos concretos en la enseñanza de los números enteros y la
necesidad de pensarse un abordaje de desde el campo algebraico, se tiene que
resulta útil realizar un análisis de cómo se hace dicho abordaje en nuestro medio
colombiano, específicamente en una institución escolar.
Igualmente, es importante mencionar que los dos documentos del MEN,
Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998) y Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas (2006), brindan una orientación para la enseñanza de
las matemáticas y son una guía para establecer el currículo en Colombia. En los
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Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998), se expone la enseñanza de los
sistemas numéricos y apoyado en los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas (2006), donde se plantea la pertinencia de que los conocimientos, los
procesos y contextos trabajados en matemáticas, sean cada vez más integrados, para
evitar caer en algunos fenómenos en la enseñanza y aprendizaje, en nuestro caso: la
atomización de la enseñanza y el autismo escolar.
Otro dato que sustenta la realización de este trabajo, está fundamentado en los
resultados de las pruebas TIMSS, realizadas en nuestro país en 2007, en donde se
observa un bajo desempeño de los estudiantes al aplicar, establecer y usar,
propiedades y cálculos en la ejecución de los diversos sistemas numéricos en contexto
(TIMSS, 2007).
Es decir, se nota que la problemática generalizada no es sólo en los números
enteros, sino de los sistemas numéricos como tal; si bien los enunciados de las
situaciones planteadas en TIMSS integran los sistemas numéricos y sus operaciones,
los aciertos por parte de los estudiantes colombianos no supera el 2% en las
respuestas válidas con relación a la población que realizó la prueba.
De otro lado, se considera importante el análisis de las OM en el currículo
propuesto, en tanto que, brindan pautas en la enseñanza de las matemáticas, las
cuales deben permitir una reflexión del trabajo en procesos integrados en la escuela,
que actualmente están segmentados, dado que en ellas, se menciona que el
aprendizaje de los sistemas numéricos que se da en las instituciones debe tener en
cuenta sus distintas representaciones y su poder descriptivo, que debe evolucionar
constantemente (MEN, 1998).
Se trata entonces, de promover la enseñanza de los sistemas numéricos de manera
integrada de modo que se aborden con éxito la estructura de los números enteros en
nuestro caso, con el nivel de abstracción necesario y así, ir accediendo a la
construcción de los diferentes sistemas numéricos de manera formal, encontrando las
23
conexiones que se han abordado desde los primeros grados de escolaridad. Es así
como se afirma que:
Se hace necesario utilizar situaciones numéricas, representaciones gráficas,
modelos, propiedades numéricas etc., que permitan a los alumnos establecer las
conexiones entre las distintas clases de números (Bruno, 1997, p. 122).
Observando la coherencia vertical y la coherencia horizontal propuesta por el
MEN (2006) y la forma orientadora de la enseñanza de las matemáticas, en donde se
propone una vinculación entre los procesos, conocimientos y contextos, se hace
necesario trabajar en una posible integración de los componentes del saber, de modo
que se puedan analizar las potencialidades y limitaciones de proponer una enseñanza
integrada de los sistemas numéricos.
Por lo tanto se puede observar que este análisis recobra importancia en la
medida que cuestiona de manera constructiva el sentido, la forma y razón de ser de
enseñar a partir de las tareas que se sugieren abordar desde el currículo propuesto.
En la medida que si se identifica el por qué enseñamos lo que enseñamos,
podríamos permitirle al estudiante llegar más allá de una simple manera de hacer como
simples reglas algorítmicas, dándole las pautas necesarias para querer explorar más
las matemáticas llevándolos de ser posible, a un pensamiento continuo, formal y
científico que tenga impacto en la vida social.
24
Capítulo 2
REFERENTES TEÓRICOS Desde la propuesta de Bruno.
Desde la TAD. Desde lo curricular.
Desde las Matemáticas.
25
2.1 REFERENTES TEÓRICOS
A lo largo de esta sección se presentan los elementos teóricos en los que se
fundamenta el análisis de este trabajo, los cuales, hacen referencia a lo que se plantea
en el proceso de enseñanza de los sistemas numéricos, en especial el de la enseñanza
de ; de esta manera se expondrán los referentes teóricos que desde la TAD
fundamentan el siguiente trabajo y aquellos referentes que están enmarcados dentro
del currículo propuesto que se han considerado como centrales en la construcción de
nuestro análisis. A continuación se mencionan uno a uno como síntesis y su orden de
aparición dentro de esta sección.
La perspectiva unitaria de Bruno.
Teoría Antropológica de lo Didáctico. (TAD)
Perspectiva curricular.
Los enteros desde una perspectiva matemática.
En éste orden de ideas los referentes que a continuación se mencionarán, son
centrales en la construcción de nuestro análisis que comprende el plan de área de una
institución y los textos escolares que se utiliza en los grados 6º y 7º, de educación
básica secundaria.
2.1.1 Desde la Propuesta unitaria de Bruno.
Bruno (1997) realiza aportes a una investigación que está situada desde el
pensamiento numérico y propone que partiendo de la experiencia que tienen los
estudiantes sobre los números, sea aprovechada para que se realice una comprensión
efectiva de los sistemas numéricos teniendo en cuenta sus representaciones,
estructuras y el campo de aplicación. Para ello esta investigación reconoce la
necesidad de currículos integrados para que los estudiantes puedan hacer las
conexiones pertinentes.
26
Durante el proceso escolar de los estudiantes en el estudio de los números y sus
propiedades es conveniente tener en cuenta la visión unitaria de los números, de la
siguiente manera:
Es importante que el conocimiento sobre los números que los estudiantes
adquieren sea parte de un proceso continuo en donde se puedan realizar las
conexiones pertinentes entre las limitaciones y potencialidades de cada sistema
numérico, para que de esta manera se puedan observar la adjunción de los sistemas
numéricos de modo tal que los conocimientos previos se integren a los nuevos y los
nuevos conocimientos a los previos con la potencialidad que tienen. (Bruno, 2001).
Algunos autores plantean que durante la escolaridad se realiza un trabajo fuerte
con las operaciones en los diferentes sistemas numéricos y los estudiantes dan cuenta
de estas maneras de operar en cada uno de ellos (los sistemas numéricos), sin
embargo no existe una visión unitaria que contribuya a establecer las correctas
relaciones que existen entre los sistemas numéricos y es aquí en donde el proceso
tiene una ruptura dado que las propiedades intrínsecas de cada sistema numérico las
desconoce, así den cuenta por separado de su parte operatoria. (Bruno, 2001).
El conocimiento numérico abarca diversos aspectos relativos a los números, las
operaciones, las propiedades y la forma en que se representan cada uno de ellos.
Estos aspectos adquieren relevancia en la forma como sean tratados en la escuela.
Bruno (2001), plantea tres dimensiones para hacer tal desarrollo, que propicia la
conexión de los diferentes sistemas numéricos, las dimensiones abstracta, de recta y
contextual favorece la enseñanza en tanto se realice una transferencia adecuada entre
cada una de ellas.
En la dimensión abstracta se sitúan los conocimientos referidos a los sistemas
numéricos como estructuras matemáticas y las formas de escritura con los números.
La dimensión de recta hace referencia a la representación de los números sobre una
27
recta, puntos y vectores. La dimensión contextual hace referencia a la utilidad de los
números y su uso. (Bruno, 1997).
El conocimiento numérico no se limita al conocimiento de las tres dimensiones,
sino también abarca las transferencias entre ellas, es decir, la expresión de una
dimensión de un conocimiento dado en otra.
2.1.1.1 Las transferencias entre las dimensiones:
La transferencia entre las dimensiones permite una visión unificada de los
sistemas numéricos y de los procesos que con ellos se trabajen, para que haya una
construcción adecuada y no se promueva el aprendizaje como núcleos aislados.
El esfuerzo en la enseñanza debe encaminarse en que en las tareas que se
planifiquen deben predominar las trasferencias. Dado que éstas (las dimensiones)
permiten pasar por los diferentes procesos de aprendizaje y reconocer la estructura de
lo que se estudia y así los estudiantes puedan encontrar en la parte operatoria, en la de
redactar y resolver tareas con las técnicas adecuadas o no, de desarrollo permitiendo
un reconocimiento genuino de las limitaciones que tienen los conocimientos anteriores
y las potencialidades del nuevo conocimiento.
A continuación se representa como se dan las transferencias mediante la
ilustración, que simboliza la manera de ver un triángulo en el que las flechas uniendo
los vértices indican las transferencias de una dimensión a otra.
Ilustración 1: Transferencia de las dimensiones (Bruno, 1997. p. 7)
28
2.1.1.2 Los números negativos desde la Visión Unitaria
La visión unitaria descrita por Bruno (1997), la concretamos para el caso de los
números negativos, en donde se propone una enseñanza de los números negativos
que considere las tres dimensiones y que siga una secuencia de extensiones que
avance hacia los números reales.
Es decir, la Perspectiva Unitaria de Bruno (1997) pone de manifiesto una
enseñanza unificada que parte de los números enteros y tiene en cuenta los
fenómenos didácticos presentes en cada subconjunto de . Plantear una enseñanza
dada por secuencias de extensión permite una comprensión unificada en la
construcción de los números y tiene en cuenta lo aspectos particulares que intervienen
en los distintos sistemas numéricos.
Dado que la enseñanza de los sistemas numérico se da por extensión es decir,
se introduce , luego + continúa con (-) y se van construyendo con + e , hasta
llegar a “ ” y la construcción por extensión va reconociendo las limitantes de los
primeros conjuntos numéricos, una vinculación oportuna de los sistemas numéricos
implica tener en cuenta que la unicidad debe permitir el uso de los sistemas numéricos
en cualquier contexto, basados en las dimensiones como lo menciona Bruno (1997).
Bruno (1997), menciona la importancia de enseñar los sistemas numéricos
desde una perspectiva unitaria reconociendo las limitaciones de Naturales y
potencialidades de los enteros, de esta manera los estudiantes pueden reconocer que
los sistema numéricos van surgiendo en la medida que van respondiendo a inquietudes
que con los naturales eran limitadas.
2.1.2 Desde la Teoría Antropológica de los Didáctico (TAD).
En este apartado se retomarán algunos de los planteamientos de la TAD, que
servirán para el posterior análisis del currículo propuesto, en tanto que en la TAD se
29
menciona de manera precisa qué deben permitir las tareas, las cuales deben estar
presentes en la escuela cuando de construir un concepto matemático se trata.
La TAD surge como una necesidad que se observaba presente en la teoría de
situaciones didácticas, en ella son explícitos los objetos de estudio que relacionaban de
manera puntual el contrato didáctico, mencionando brevemente que la enseñanza y
aprendizaje se daba a partir del saber, el profesor y el alumno y mencionaba que las
problemáticas se asociaban estrictamente al ámbito escolar.
La TAD por el contrario generaliza el objeto de estudio de la teoría de
situaciones, pues nos remite a nuevos problemas que antes eran exclusivos del ámbito
escolar, el carácter de esta teoría es eminentemente social en cuanto amplia el campo
de investigación dado que se centra en el sujeto haciendo matemáticas y tiene en
cuenta los diferentes contextos, que dan lugar a la manipulación de objetos
matemáticos, estos lugares son llamados por Gascón (1998) instituciones.
El punto crucial al respecto, es que la TAD sitúa la actividad matemática, y en
consecuencia la actividad del estudio en matemáticas, en el conjunto de actividades
humanas y de instituciones sociales. De esta manera esta teoría se centra en el
estudio de todos los tipos de manipulación institucional de las matemáticas asumiendo
nuevos retos científicos de investigación. (Gascón, 1998).
Ella menciona varios fenómenos en la enseñanza de las matemáticas, de los
cuales nos centraremos en dos, el primero “la atomización de la enseñanza” la cual
refiere que en la escuela se encuentra arraigada la segmentación de los contenidos o
enseñanza de los mismos sin conexión alguna, de ahí que las conceptualizaciones que
realizan los estudiantes carezca de utilidad y significado.
El segundo fenómeno a mencionar es el “autismo temático” relacionado con el
anterior y que se puede sintetizar como una especie de encierro en los temas, lo cual
tiene como consecuencia más inmediata el olvido de las razones de aprender
determinado objeto matemático; de esta manera los estudiantes no tienen acceso a la
30
importancia de establecer conexiones entre lo que se aprende y el porqué de lo que se
aprende (Gascón, 1998).
La intervención que se realice en la enseñanza de las matemáticas debe salvar
este tipo de fenómenos que hacen que el aprendizaje se realice de manera
desconectada, a partir de eventos que propician la ejecución de tareas que en los
diferentes momentos permiten construir de manera operatoria, conceptual y teórica los
modelos matemáticos estudiados. Gascón (1998) propone que algunos aspectos que
intervienen en la enseñanza de las matemáticas tales como: las tareas, las técnicas,
tecnologías y teorías, deben evidenciar el proceso que debe alcanzar los estudiantes
cuando demuestra dominio de los objetos matemáticos de estudio.
Estos procesos adquieren significado en tanto se puedan generalizar y servir
como herramienta para la construcción de un concepto, de esta manera la estructura
de Z se sitúa en el campo algebraico dado que brinda las pautas generatrices en su
construcción, dado que en lo aritmético refiere a los números mientras que el álgebra
vista como una herramienta no solo generaliza lo que se hace en aritmética sino que
es capaz de hacer justificables las razones de ser del comportamiento de todos
aquellos objetos que surgen en las matemáticas.
2.1.2 Concepto de Obra Matemática (OM).
En el enfoque antropológico se hace referencia a un elemento llamado obra
matemáticas que si bien no está definido como tal, se propone un modelo que describe
su estructura y sus características.
Se postula que una obra matemática, como toda obra humana, surge siempre
como respuesta a un conjunto de cuestiones y como medio para llevar a cabo,
en el seno de cierta institución, determinadas tareas problemáticas (Gascón,
1998, p. 11).
31
La OM que desde la TAD se propone, debe permitir si bien no resolver si trabajar
en algunos cuestionamientos en cualquier institución establecida, esta busca que una
forma en particular y no única pero si necesaria en la enseñanza de las matemáticas y
presenta la siguiente forma: Cómo se construye, cómo se llega, cómo obtener, cómo
alcanzar etc. Para poder llegar a un acercamiento dentro de esta cuestión que se pone
de manifiesto (OM), es necesario conocer los mecanismos que intervienen en las
praxeologías (OM); es así como hay que tener en cuenta qué tipos de problemas son
los que contribuyen a ello. (Gascón, 1998).
A continuación se muestra una ilustración en donde se pone en evidencia los
diferentes elementos que componen una obra matemática.
Ilustración 2: Estructura de obra matemática.
La ilustración 2 expone como una OM u organización matemática surge como
respuesta a un conjunto de cuestiones que interesa resolver a una comunidad o grupo
(que en esta teoría se llamará instituciones) de estudio. Es así como se abordan
diferentes tareas que bien son llamadas Tipos de problemas o Tareas problemáticas4.
4 Para evitar la confusión entre términos nosotros simplemente hablaremos de tareas, sin hacer una clasificación
exhaustiva entre los distintos tipos de tareas que puedan llegar a existir. En este sentido, se entenderá como tarea a
todo aquello que interesa y se proponga para ser abordado en el seno de una institución y que se materializa
32
De esta manera las diferentes actividades que intervienen para la elaboración y
construcción de una respuesta a una cuestión planteada conforman los Tipos de
problemas siempre y cuando exista una Técnica matemática capaz de abordarlos y de
generar muchos más problemas del mismo tipo. (Gascón, 1998).
Las Técnicas definidas inicialmente como “una manera de hacer” hacen su
aparición demostrando que están allí con una determinada forma, pues al exponerla,
esta debe ser comprensible y justificada, de manera que al aplicarla tenga validez y su
discurso argumente aquellas cuestiones que dan origen a los tipos de problemas.
(Gascón, 1998).
Igual que la Tecnología justifica las Técnicas que establece sus limitaciones y
alcances, es necesario disponer de un discurso lo suficientemente amplio que justifique
las Tecnologías. A este discurso se le conoce con el nombre de Teoría o Tecnología de
la Tecnología. Se establece en este sentido que la teoría es transparente e
incuestionable dado que permite y justifica de manera formal todo lo que
aparentemente es obvio. (Chevallard, Bosch, Gascón, 1997).
El concepto de OM representa uno de los conceptos más importantes para este
trabajo ya que al tratar de explicitar la integración de los sistemas numéricos en el
proceso de estudio de los números enteros en principio, tal explicitación actuará sobre
las Obras Matemáticas Propuestas (OMp).
Las obras matemáticas son así el resultado final de una actividad matemática
que, como toda actividad humana, presenta dos aspectos inseparables: la
práctica matemática que consta de tareas (materializadas en tipos de
problemas) y técnicas útiles para llevar a cabo dichas tareas, y el discurso
razonado sobre dicha práctica que está constituido por dos niveles, el de las
tecnologías y el de las teorías (Gascón, 1998, p.13).
mediante preguntas, ejercicios y demás actividades propuestas para ser realizadas por los sujetos pertenecientes a
dicha institución.
33
Igualmente se habla de que la actividad presenta una complejidad creciente, lo
cual permite hablar de diferentes tipos de OM. Es así como hay OM con determinada
características que se hacen explicitan en las instituciones ellas son las obras
matemáticas puntuales, locales y regionales que se enunciaran a continuación:
Las obras matemáticas cuyas praxeología son puntuales hacen referencia a
una manera de hacer de terminada tarea usando un pequeño conjunto de
técnicas para solucionarlas. Cuando los temas que estructuran la enseñanza se
articulan en torno a un discurso tecnológico común, se habla de una praxeología
local. Y por último si las praxeología locales se estructuran en base a una teoría
conforman praxeología regionales (Gascón, 2009, p. 92)
Es importante mencionar que las praxeología bien sean puntuales, locales o
regionales, no son únicas en todas las instituciones, son relativas a ellas pues éstas
hacen parte de un currículo determinado y se categorizaran según su estructura.
(Gascón, 2009).
Lo anterior da cuenta de la estructura de las OM, en donde se mencionan
brevemente algunos de los elementos que la componen y que son pertinentes para
este trabajo.
2.1.4 Desde lo curricular.
En este apartado se muestra que no existe en los documentos oficiales
(Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998) y Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas (2006)) un planteamiento específico que haga
referencia a los diferentes sistemas numéricos por separado, si no que se realizan
planteamientos que dejan ver la enseñanza de los números de una manera integrada
en el pensamiento numérico. En efecto el MEN (1998) plantea que:
34
Una de las situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico
hace referencia a la comprensión del significado de los números, a sus
diferentes representaciones, a la utilización de su poder descriptivo (p. 26).
En la cita anterior se observa que la integración en la enseñanza de los sistemas
numéricos, es una propuesta para llevar a cabo una comprensión cercana de la
estructura de los números, como lo plantea Bruno (1997), cuando menciona las
transferencias de las dimensiones en tanto permiten unificar el conocimiento de los
sistemas numéricos, y tiene en cuenta cada una de las posibles representaciones
existentes que se deben abordar en las instituciones escolares que supone plantear el
campo de acción y estructura que los compone.
Se observa que los Lineamientos Básicos de Competencias en Matemáticas
(1998) son una guía que orientan de manera general el currículo en las instituciones,
no lo hace de manera puntual, pues carece de planteamientos que permitan determinar
cómo es el trabajo a seguir en cada sistema numérico de modo tal que se vea una
conexión clara entre los procesos, conocimientos y contextos.
La propuesta y la estructura curricular de cada institución debe buscar un trabajo
integrado de los distintos pensamientos para ello se planteó la coherencia horizontal
que entre en ellos se encuentra. Es decir, la relación que tiene un estándar especifico
con los estándares de los demás pensamientos. De igual manera se explicitó la
coherencia vertical que expone la relación entre estándares del mismo pensamiento en
los diferentes conjuntos de grados. Lo anterior haciendo referencia al concepto de
número entero ( ) en los grados 6° y 7°. (MEN, 2006).
35
Tabla 1: Coherencia horizontal. (MEN, 2006)
En la tabla anterior se exponen los estándares del conjunto de grados 6º y
séptimo asociados a los sistemas numéricos, podemos observar que nuestro eje
articulador es el pensamiento numérico dado que hace referencia a las operaciones
con números, en este mismo sentido los estándares mencionados en el pensamiento
geométrico se articulan con el pensamiento numérico en tanto se puede ver el uso de
los números como segmentos orientados al aplicarlos en transformaciones geométricas
o representaciones cartesianas. De igual manera los sistemas numéricos se vinculan
de manera directa con el pensamiento aleatorio dado que este sistema permite ver los
problemas en diferentes sistemas de representación y el variacional permite verlo
desde conceptos más generales como el concepto de Función, es decir, se trata de ver
las funciones numéricas como dependencia entre magnitudes que contienen a en
tanto manejo de cantidades positivas y negativas.
Por lo tanto, en la elaboración de la tabla se buscó mostrar la conexión existente
entre cada pensamiento teniendo en cuenta el estándar que hace referencia a los
Coherencia horizontal
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento espacial y sistemas geométricos
Pensamiento métrico y sistemas de medidas
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Sexto a séptimo
Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de igualdad, las de las distintas formas de desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre fi guras Bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y
geográfica.
Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación.
Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.
Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.
36
sistemas numéricos en general, pues no se explicitan estándares para un sistema
numérico en particular.
Se puede observar que en los diferentes pensamientos, existe una relación en
cuanto a la solución de los problemas de los diferentes conceptos a trabajar, pero que
de igual manera no especifica el trabajo con los números enteros en sí. Lo que en
primer momento deja notar que puede llegar a existir una intención de proponer la
enseñanza de los sistemas numéricos de manera integrada.
Por otro lado, retomando las transferencias que plantea Bruno (2001) y
aplicándolo a los estándares escritos en la tabla anterior, se puede decir que entre ellos
(los estándares), existe una transferencia entre las tres dimensiones que deja ver la
integración de los sistemas numéricos en general, sin embargo, es difícil hacerse a una
idea de cuál es la OM que se pretende enseñar o que se propone para ser abordada
desde un punto de vista más riguroso que pueda generar OM de tipo local y global.
También es importante mencionar que los estándares carecen de un discurso
más potente que articule lo formal y lo concreto, aunque tanto los Estándares (2006)
como los Lineamientos (2006) plantean que la idea del contexto debe ubicarse tanto en
las propias matemáticas, como en la vida cotidiana y en otras disciplinas, no existe una
razón de ser explicita de esas retóricas, es decir, la idea de los contextos no ha sido
trabajado de manera exhaustiva y esto permite que el docente piense que esos
modelos representen el saber, por ello si no se hace una reflexión más exhaustiva, los
contextos puede limitar un poco las construcciones matemáticas que podrían ser objeto
de estudio en las instituciones escolares y de esta manera, los mismos estándares
estarían dejando demasiadas interpretaciones al lector.
37
En cuanto a la coherencia vertical, se pudo extraer los siguientes ítems:
Coherencia vertical
Pensamiento Numérico Pensamiento Variacional
De 1° a 3° Identifico regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo.
Reconozco y describo equivalencias entre expresiones numéricas y describo como cambian los símbolos aunque el valor siga igual.
De 4° a 5° Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones.
Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones entre distintos datos.
De 6° a 7° Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calculadoras o computadores.
Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa, entre variables, de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.
De 8° a 9° Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.
Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
De 10° a 11° Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.
Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómica y racionales y sus derivadas.
Tabla 2 Coherencia vertical. MEN (2006).
En lo anterior se expone que hay un nivel de complejidad en este concepto, que
refiere a los números en general (sistemas numéricos), en los diferentes conjuntos de
grados, y con bastante énfasis tanto en el pensamiento numérico como en el
pensamiento variacional pasando de identificar, justificar, establecer conjeturas, por
resolver problemas, establecer relaciones y diferencias en correspondencia con los
números, sus relaciones y operaciones, sin hacer una distinción clara de los sistemas
numéricos, que para el caso de este trabajo, se enfoca en los números enteros.
De esta manera, el planteamiento de coherencia vertical del MEN (2006), orienta
los currículos de modo que se establezcan las diferentes relaciones entre los
conocimientos, procesos y contextos, sin embargo carece de las pautas puntuales de
cómo hacerlo o por lo menos de una orientación de cuáles puedan ser aquellas
posibles OM en las cuáles hay que prestar mayor atención.
38
se observa por lo tanto, que se mencionan relaciones entre estándares de
manera muy general sin hacer una reflexión de la forma de llevar estas cuestiones a
aula, es así como carece de elementos que explique la transferencia en el sentido de
Bruno (2001) que se da entre los pensamientos, los contextos y los procesos.
La coherencia vertical propuesta busca integrar pero sin elementos de cómo se
realiza dichas cuestiones en las instituciones. A pesar de que en el documento Nº. 9
MEN (2008), denominado Estándares en el aula, intenta acercarse al cómo pueden
llegarse a realizar dichas construcciones, se olvidan las razones de ser de los objetos
matemáticos que se estudian en la escuela, con lo cual, en lugar de propiciar
ambientes aptos para un aprendizaje cada vez más formal se puede llegar a terminar
en muchas ocasiones, reduciendo el estudio de cuestiones matemáticas a situaciones
de la vida real con el objetivo de que sean más cercanas al estudiante pero que
muchas veces distan de los conceptos que se van a construir. Sin decir por ello que
dichas cuestiones de la vida real no sean importantes.
El gran problema a nuestro modo de ver radica en que al no existir un análisis en
la enseñanza de lo que pueden limitar o potenciar realmente dichos modelos de la vida
real, se puede agudizar la visión de la transparencia de los objetos matemáticos como
si su justificación y explicitación no fuesen necesarios y se justificasen sólo por el
hecho de estar en un contexto de la vida cotidiana o de otras disciplinas. E incluso, el
contexto matemático como tal parece que fuese auto justificado, salvo en aquellos
apartados en donde se hace una reflexión de lo que se puede hacer en el aula.
Por ejemplo, los estándares mencionan los sistemas numéricos, sin embargo no
se ve de manera explícita como se hace la transferencia, de los diferentes conjuntos
numéricos. El modelo de conceptos, procesos y contextos pueden llegar a tal
generalidad que no permita una discusión sobre los propios objetos matemáticos que
se debe enseñar. Se pueden relacionar la propuesta de los estándares con el
fenómeno de enseñanza llamado “autismo” mencionado por Gascón (1998), dado que
hay ausencia de las razones de ser de dicha orientación, del por qué se proponen de
esta forma, de cuáles son las desventajas de dicha orientación y de las dificultades que
39
se pueden presentar, para que el docente las tenga presente y no incurra en ellas y de
hacerlo, tenga conocimiento de cómo guiar el trabajo en clase.
Es cierto que el aspecto de coherencia vertical y horizontal rescata la idea de
integrar las competencias trabajadas en las aulas de clase por los estudiantes y
podemos decir que es un planteamiento potente que va en contra de los fenómenos de
la atomización y autismo en la enseñanza, sin embargo, con la propuesta presente en
dichos documentos, no se ve de manera explícita las conexiones que se deben hacer
entre las competencias que enuncia cada uno de los conocimientos, los procesos y los
contextos.
2.1.5 Desde las Matemáticas.
A continuación se realizarán algunas reflexiones de tipo epistemológico que
intentan sustentar la idea de que los números enteros necesitan llevarse al campo de lo
algebraico para sus aspectos estructurales ( , *, ≤) puedan estudiarse de una
manera justificada. Se retoma la propuesta de Cid & Bolea (2007) para la construcción
de una Obra Matemática de Referencia (OMr) que ilustra algunos elementos que
deberían hacer parte en la enseñanza de los números enteros así como los elementos
justificativos (logos) que pueden llegar a permitir construir el anillo Z totalmente
ordenado.
La aparición de los números negativos fue temprana aunque su reconocimiento
con el estatus de número no corrió con la misma suerte, pues tuvo que pasar mucho
tiempo para dotarlos de un cimiento teórico.
Durante el proceso de reconocimiento de los números enteros, surgieron
inquietudes en donde se fortalecía la hipótesis de dejar lo concreto a un lado y
ubicarlos en un campo formal, dado que esto permitía justificaciones netamente
axiomáticas que defendían las conexiones existentes de los sistemas numéricos
(González, et al., 1990).
40
Los números enteros son objetos matemáticos y ayudan a pensar en un campo
conceptual y formal más amplio en tanto era evidente aceptarlos por la representación
que de ellos se hacían en espacios vectoriales, estructuras algebraicas o funciones,
esta concepción de ellos no es parcial sino posible dado que en muchas ecuaciones en
principio aparecían como soluciones inéditas.
La creación no es arbitraria, sino que involucra actividades con objetos
matemáticos ya existentes y tiene que ver en muchos casos con necesidades de
las ciencias y de la vida diaria (González, et al. 1990, p. 61).
De esta manera tenía que haber una forma que pudiese explicar y justificar los
números negativos que en cierta medida se contraponían a las nociones primitivas que
se tenían de los , es por ello que su aparición es retomada desde el entorno
algebraico dado que este aparece en las diferentes ramas de las matemáticas y por
ello creando el principio de permanencia pues este le daba un resultado coherente,
formalmente valido y totalmente satisfactorio.
Así se ampliaba el campo formalmente numérico, construyéndose un nuevo
conjunto a partir de , de tal manera que se pudiera establecer un
isomorfismo entre y una parte de , que se suele llamar + o conjunto de los
enteros positivos” . (González, et al., p. 63).
Por lo tanto, este nuevo sistema numérico y la estructura previamente
establecida ampliaba las respuestas a ecuaciones con solución negativa y en cuanto a
las operaciones de sustracción se podían realizar así el primer término fuera menor que
el segundo, quedaba revocada la restricción que en estaba presente.
Es importante mencionar que la enseñanza actual, propone contextos,
conocimientos y procesos que deben ser llevado a la escuela en tanto estos integrados
permiten un mejor aprendizaje por parte de los estudiantes, esto implica que muchos
de los elementos históricos de sean saltados u omitidos, es por eso que la propuesta
que se lleva al aula de clase debe tener en cuenta conceptualizaciones que con
41
anterioridad fueron estudiados para encontrar las conexiones pertinentes que hacen de
los números enteros un objeto de enseñanza importante en la escuela.
Para ello, dentro del currículo deben existir obras matemáticas que permitan
hacer dichas construcciones de tipo epistemológico para encontrar la razón de ser de
estos objetos y el porqué de la necesidad de un estudiar un nuevo sistema numérico
con mayor apertura que que salva las restricciones del anterior sistema numérico.
Por lo anterior, es pertinente construir una OMr, que sirva de modelo para
analizar las posibles limitaciones y potencialidades de introducir a en un entorno
algebraico basándose en una perspectiva integrada según Bruno (1997). Básicamente
en este apartado presentamos algunos elementos reflexivos de tipo matemático que
servirán para la construcción de dicha OMr.
Ecuaciones tales como , tiene solución en los naturales de manera
limitada, pues solo su solución es válida y pertenece a los naturales cuando Este
tipo de limitaciones de los naturales requieren de la creación de otro sistema numérico
en donde las soluciones no generen discusiones que ya antes se habían establecido, y
es así como surgen los números negativos. (González, et al., p. 92).
En los números Naturales se pueden determinar y realizar operaciones de
manera limitada, dado que existen ecuaciones lineales que carecen de solución en .
Una de las potencialidades de es que amplía la solución de algunas ecuaciones
lineales que al tener solución negativa carecían de sentido, dado que cuenta con el
cero como referencia y comprende los sentidos negativo y positivo.
Actualmente, existen situaciones en las que surge la necesidad de disponer de
cantidades negativas, tales como la temperatura bajo cero en lugares con climas
extremadamente fríos, un buzo cuando está en plena acción en el mar, algunas
pérdidas o ganancias, entre otras situaciones que surgen en la vida cotidiana y que las
42
personas comúnmente empiezan a tener una manipulación sobre ellas. Sin embargo,
esta perspectiva presenta limitaciones como lo menciona Cid & Bolea (2007):
Los modelos concretos pueden contribuir a que los alumnos adquieran creencias
erróneas sobre los números negativos y sus operaciones porque enfatizan las
estructuras de espacio vectorial y espacio afín, en lugar de la estructura de
cuerpo totalmente ordenado (o anillo totalmente ordenado) p.16.
Las concepciones creadas bajo los modelos concretos han sido fuente de
discusiones anteriormente y que en principio presentaron un obstáculo, cuando se veía
a los números negativos como medida de magnitudes opuestas o relativas, de allí
viene que el campo de acción algebraico es necesario para que los enteros y sus
representaciones, sean vistos como un nuevo conjunto numérico que tiene
potencialidades más amplias que los naturales. (Cid & Bolea, 2007)
Existen situaciones en la escuela que ponen de manifiesto la restricción de
algunas operaciones bajo la concepción de los números naturales, operaciones como
la mencionada anteriormente pero bajo la condición que no pueden efectuarse,
es así como es relevante hablar de un sistema numérico que permita realizar las
distintas operaciones que en los Naturales tenían alguna restricción.
Una de las cuestiones que se abordan con el reconocimiento y legitimación de
, es las posibles soluciones para expresiones como que en tenía
ciertas limitaciones y cuyas soluciones debían tener en cuenta las siguientes
condiciones.
Que en cuyo caso es un número natural.
Que y entonces carece de sentido.
43
Si bien existen algunas similitudes entre los naturales y los enteros, ubicarlos en
entorno algebraico implica tener en cuenta que el segundo sistema numérico es la
continuación del primer sistema numérico, que sus objetivos y técnicas son similares
(Cid & Bolea, 2007).
Algunos autores mencionan que la necesidad de justificar los enteros radica en
encontrar la familiaridad que tiene con los naturales y ser muy claro con las diferencias
que los subyacen, dado que éste amplía las operaciones y propiedades, permitiendo
una mayor ejecución al momento de operarlos y utilizarlos.
Lo que caracteriza al cálculo algebraico es que la simetrización aditiva y
multiplicativa de N permite reducir las cuatro operaciones aritméticas a dos: la
suma y el producto, cuyos signos se omiten. En consecuencia, los signos “+” y
“–” que en aritmética son signos operativos binarios, en álgebra pasan a ser
signos predicativos o signos operativos unarios. (Cid & Bolea, 2007, p. 7).
Comprender estas diferencias son claves para establecer el cálculo algebraico,
pues la construcción que se realice permite encontrar las relaciones que existen entre
cada uno de los sistemas numéricos y en éstas intervienen las letras como términos
desconocidos cuyos cálculos nunca pierden los objetivos y permite reconoce las
propiedades que interviene como medio para encontrar información sobre el sistema y
se convierte en objeto de estudio en sí mismo (Cid & Bolea, 2007).
Situaciones como éstas son las que permiten recurrir al sistema numérico de ,
de la siguiente manera, mencionaremos aquellas definiciones, propiedades, teoremas y
demás que permiten la construcción de un sistema numérico que potencializa las
operaciones aditivas con los números naturales bien llamados extensión de . (Muñoz,
2002).
Antes de ser mencionadas las cuestiones netamente formales que componen la
estructura de es importante nombrar algunas cuestiones que se deben llevar a la
escuela y que de hacerlo permitirían hacer una construcción más apropiada de los
44
enteros. Existen algunas preguntas que se deben llevar a los estudiantes de modo que
los cuestione y los invite a pensar en su aprendizaje, esas preguntas se mencionan
continuación:
¿Qué diferencia hay entre los naturales y los enteros?
¿Qué operaciones se pueden realizar en que no se pueden realizar en
los Naturales?
¿Cuáles son las limitaciones y potencialidades de si las hay, en relación
a los Naturales?
¿Es posible construir expresiones algebraicas que hagan ver el carácter
unario de los símbolos “+” y “-“ ?
Cuestiones como las mencionadas anteriormente, pueden contribuir a que los
estudiantes empiecen a tener nociones acertadas de los naturales con relación a los
enteros; también pueden cuestionarse la utilidad del nuevo conjunto numérico en tanto
que amplía los conceptos y objetos trabajados anteriormente, haciendo así una
unificación de los sistemas numéricos como lo menciona Bruno (1997).
De esta mima manera se plantean que encontrar las diferencias entre lo
aritmético y lo algebraico, tiene en cuenta las propiedades de los elementos que los
conforman y así, estos elementos son tenidos en cuenta para el estudio de ellos
mismos. Cid & Bolea (2007)
La propuesta de Cid & Bolea (2007), de enseñar los números negativos teniendo
en cuenta el entorno algebraico, implica tener unas cuestiones de manera global que
se circunscriben y amplían las preguntas mencionadas anteriormente y se convierten
en cuestiones globales que de tenerse en cuenta se justificaría de manera directa la
necesidad de introducir en un entorno algebraico, dado que los modelos concretos
presentan limitaciones que poco se salvan en la escuela.
Es así como Cid & Bolea (2007), explicita algunas cuestiones que son
generatrices y de hacerlo permiten que emerja .
45
¿Cómo encontrar la expresión algebraica canónica que soluciona un problema
verbal aritmético cuando alguno de los datos que intervienen en su resolución es
desconocido? (Cid & Bolea, 2007, p.10).
Estas cuestiones de carácter global responden a necesidades intrínsecas de las
matemáticas que en ocasiones se trabajan en el campo aritmético y sin embargo,
algunas veces no permiten que surja porque se trabajan desde los naturales y esto
último evita que se vean o se encuentren las potencialidades de los enteros para
encontrar dicho dato desconocido que ahora está precedido por un signo negativo, con
el cual se debe asumir la “+” y “-“, como operación unaria y no binaria.(Cid & Bolea,
2007).
Cid & Bolea (2007) resumen en los siguientes puntos, las razones que existen para la
elección de un entorno algebraico donde se pueda trabajar justificadamente:
a) Debido a la constante contextualización en el campo de la aritmética que hay
que hacer de , resulta inadecuado introducir los números negativos en la
aritmética.
b) La mayoría de instituciones escolares fomentan la idea de que el número sólo
puede entenderse como resultado de una medida.
c) Lo modelos concretos en donde suelen introducirse los números enteros
promueven la idea de estructura de espacio vectorial y espacio afín, en lugar de
su estructura de anillo totalmente ordenado, lo que puede alejar aún más las
miradas hacia su campo algebraico.
Para poder justificar las propiedades fundamentales que caracterizan a , e intentando
solucionar las anteriores problemáticas, Cid & Bolea (2007) plantean la necesidad de
iniciar el estudio de los números negativos junto con el estudio del álgebra escolar. De
esta manera proponen la enunciación de preguntas generatrices que permitan estudiar
a desde un entorno algebraico. Y es así que a la cuestión inicial ¿Cómo encontrar la
46
expresión algebraica canónica que soluciona un problema verbal aritmético cuando
alguno de los datos que intervienen en su resolución es desconocido?, agregan:
En aquellos problemas en los que la solución viene dada por expresiones algebraicas diferentes según los valores como sumandos o sustraendos que pueden tomar ciertos parámetros del sistema, ¿cómo encontrar una expresión algebraica única que dé solución al problema en todos los casos?
¿Qué consecuencias tiene considerar los sumandos y sustraendos como nuevos números y en qué modifica esa decisión las propiedades que cumplen “ todos” los números? (Cid & Bolea, 2007, p. 10).
Las cuestiones anteriores pueden llegar a poner de manifiesto la necesidad de un logos
que permita observar y reconocer los elementos estructurales en la construcción de .
Pero eso sólo es posible si se toma el estudio de en un entorno algebraico, porque
las propiedades que enunciamos a continuación y que inicialmente relacionan a + con
, no pueden hacerse creíbles en un plano puramente aritmético:
Definamos las siguientes operaciones en
La razón de ellas radica en que representa
y análogamente sería
Proposición 1
(La conmutatividad en N hace válida la segunda igualdad).
Proposición 2.
47
Teorema 1.
Los enunciados anteriores expresados de manera axiomática y que hacen parte
del logos indican la relación existente entre los naturales o enteros positivos ( +), de
ahí que son isomorfos pues las operaciones previamente definidas al realizarlas
permiten encontrar la solución según el sistema numérico que se trabaje. A
continuación se muestran las propiedades que permiten reducir las 4 operaciones de la
aritmética a 2 en el campo algebraico y que permiten ir ampliando la construcción de Z
a partir de su estructura algebraica y de orden:
Teorema 2.
Sean m, n, p y q elementos que perteneces a , entonces:
i.
ii. .
iii.
iv. .
v.
Proposición 3.
Finalmente, cuando existe un no nulo único tal
que
48
Es así como se denomina + al conjunto de los enteros positivos o y por (-)
al conjunto de los enteros negativos o inverso de +.
Estas condiciones establecen las soluciones existentes en los enteros dado que
( ,+) es un grupo. Es importante aclarar que existen ecuaciones de la forma ,
que a pesar de ser lineal la solución no pertenece a , dado que ( , ) no es un grupo,
de la única manera que existe una solución de esta ecuación es cuando b es múltiplo
de a. sin embargo esa idea que ( ∙) no es un grupo, permitiría inclusive ver e
introducir otros sistemas numéricos como los racionales, dado que ( ∙) si es un
grupo, esto fortalecerá la idea de la enseñanza de los sistemas numéricos de manera
unificada.
La definición que de se da bajo la operación sustracción tiene la siguiente
forma si no existe el natural tal que no existe la
diferencia es decir no es mayor que
Para dar solución a expresiones como la anterior debemos recurrir al sistema
numérico de . A continuación se explicitan algunas definiciones y propiedades que
hacen parte de una obra matemática de referencia. Es importante mencionar cómo se
da el orden en : definamos como como
Proposición 4.
De esta manera los números enteros se definen de la siguiente forma conjuntista.
Y que { }
Además en la estructura de orden se destaca la no presencia de una cota
inferior, ni superior, determinando las condiciones bajo las cuales es completamente
ordenado.
49
La anterior reconstrucción permitirá, además de tener una OMr, acercarse a las
limitaciones y potencialidades de las obras matemáticas propuestas según el objeto de
estudio de este trabajo. Tal reconstrucción pone de manifiesto las limitaciones
impuestas en el sistema numérico de los Naturales para a su vez, ir construyendo el
sistema numérico de los enteros, que constituyen con las operaciones de adición y
multiplicación, un anillo conmutativo y unitario.
50
Capítulo 3
METODOLOGÍA
51
3.1 METODOLOGÍA
La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) basa la mayoría de sus análisis
en el contraste entre las Obras Matemática (OM) que circulan en las diferentes
instituciones, con relación a las Obras Matemáticas de Referencia (OMr), es así como,
al realizar este trabajo tomamos como referencia algunos trabajos relacionados con los
análisis que aquí se desarrollaron. En la realización de cada uno de los elementos que
conforman este trabajo se particularizaron los momentos de la ejecución distribuidos
por fases, los cuales permitieron recoger la información que da cuenta de su desarrollo.
Las siguientes son las fases que se llevaron a cabo:
Fase I: Esta fase se desarrolló en un tiempo de tres meses, la ampliación del
marco teórico del presente trabajo, al igual que la selección de los textos escolares
“código matemáticas 6 y código matemáticas 7, Editorial SM”, y los elementos del
currículo propuesto (Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas,
Lineamientos Curriculares en Matemáticas y plan de área de la institución de la ciudad
de Cali.
Fase II: Esta etapa del trabajo se ejecutó en un tiempo de tres meses, durante
este tiempo se llevó a cabo la construcción de una OMr la cual sirvió como base de
análisis de las posibles limitaciones y potencialidades de introducir a Z en un entorno
algebraico, a la luz de Eva Cid & Pilar Bolea (2007) y desde la perspectiva unitaria
propuesta por Bruno (1997).
Fase III: Esta etapa del trabajo se llevó a cabo en un tiempo de tres meses,
durante el cual se realizó el análisis de las OM propuestas (Textos escolares,
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, Lineamientos Curriculares de
Matemáticas y Plan de Área de una institución escolar) en relación a lo que plantea Eva
Cid y Pilar Bolea (2007) y la perspectiva Unitaria propuesta por Bruno (1997) lo cual
permitió llegar a la conclusión de si se logró o no, el objeto inicial en el que se intentaba
determinar algunas limitaciones y potencialidades en la enseñanza de los sistemas
numéricos de manera integrada en el currículo propuesto.
52
Por otro lado se presenta las respectivas caratulas de los textos escolares que
son una de las fuentes principales de análisis en este trabajo, aclarando que ambos
textos son de la misma Editorial SM.
Para la realización de nuestro análisis usamos cuatro preguntas que consideramos son
claves, abarcan los elementos teóricos abordados y que nos `brindan las pautas de
estudio, que a su vez son trasversales a las diferentes OM analizadas y contienen al
currículo, los números enteros y las tareas.
1. ¿Cuáles son los conceptos matemáticos encontrados en las OM analizadas en
relación a los números enteros?
2. ¿Las OM propuestas analizadas se encuentran dentro del currículo vigente?
3. ¿cómo se relaciona la propuesta de las OM con la perspectiva unitaria de Bruno
(1997)?
4. ¿Qué tipo de tareas se encuentran inmersas y cual es el apoyo teórico que las
justifica desde la praxis y el logos?
Ilustración 3: Texto escolar, Código matemáticas
6, editorial SM.
Ilustración 4: Texto escolar, Código
matemáticas 7, editorial SM.
53
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DEL PLAN DE ÁREA.
ANÁLISIS DE LOS TEXTOS ESCOLARES.
54
4.1 ANÁLISIS DEL PLAN DE ÁREA.
Con el fin de tener una visión general de la organización del plan de área de la institución
en la cual se llevó a cabo el análisis del presente trabajo, se plantea a continuación un mapa
conceptual que deja ver la estructura que tiene el plan de área de matemáticas, la cual es
objeto de análisis en el presente trabajo. Estructura del plan de área (Mapa conceptual).
Ilustración 5: Estructura del plan de área de la Institución Escolar.
Plan de área de la institución escolar.
55
El plan de área de la institución escolar en la cual se llevó a cabo el análisis del
presente trabajo, plantea en un inicio todos los estándares básicos de competencias en
matemáticas en los diferentes pensamientos para los diferentes ciclos de educación
básica primaria y básica secundaria, en el plan de asignatura hace una especificación
por cada grado de los estándares que se desarrollan, los contenidos, los logros,
indicadores de logros y las competencias. De igual manera se proponen unos objetivos
generales del área y unos objetivos específicos por nivel (pre-escolar, básica primaria,
básica secundaria y media vocacional).
En esta parte es relevante mencionar cuáles son esos objetivos que dicho plan
de área plantea para el nivel de básica secundaria y media vocacional, dado que es
aquí donde se propone la temática de los números enteros.
Objetivos específicos para el nivel de básica secundaria y media vocacional:
Identificar los diferentes sistemas numéricos y las relaciones y operaciones que
se dan en ellos.
Explorar y descubrir propiedades y regularidades de los números, utilizando
habitual y críticamente materiales y medios para verificar predicciones, realizar y
comprobar cálculos y resolver problemas.
Desarrollar capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los
sistemas numéricos, geométricos, métricos, analíticos, lógicos, de conjuntos de
operaciones y relaciones, así como su utilización para la interpretación y
solución de los problemas de la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana.
Comprender la dimensión práctica de los saberes matemáticos teóricos, así
como la dimensión teórica de los conocimientos prácticos y la capacidad para
desarrollar competencias.
Utilizar el sentido crítico de los distintos contenidos y formas de información y la
búsqueda de nuevos conocimientos con su propio esfuerzo.
Avanzar en la construcción activa de herramientas básicas para diferentes tipos
de cálculo.
56
Reconocer la geometría como herramienta de exploración y representación del
espacio.
Dentro de los objetivos que plantea el plan de área, se visualizan varios que hacen
referencia a los sistemas numéricos haciendo énfasis en la identificación de cada uno
de ellos y sus relaciones, más no se propone el por qué ni el para qué se deben
alcanzar dichos objetivos, este parece ser un común denominador en el plan de área
de las diferentes instituciones, pues no hay en ellos una justificación clara y explícita
que valide la importancia de la enseñanza de los contenidos temáticos.
En el plan de área de la IE no hay argumento fuerte que demuestre por qué y para
qué de enseñar determinado contenido, lo que hace que los temas carezcan de una
razón de ser de su enseñanza en ésta institución, en lo que se observa presente el
fenómeno de enseñanza llamado “autismo temático”.
Puede observarse como el currículo oficial que proponen las sucesivas reformas,
los documentos de las administraciones educativas y los libros de texto
aprobados por éstas, consideran implícitamente que, más allá del nivel de
organización de los temas, todo es transparente e incuestionable. (Gascón,
2003, p.3)
Por lo anterior, se puede decir que incluso en el plan de área de la IE analizada,
se observa en la propuesta de enseñanza que presenta falencias integradoras de los
sistemas numéricos. Dado que en la organización se observa que es rigurosa en
cuanto a la estructura, sin embargo no se clarifica el cómo se conectan la enseñanza
de los contenidos propuestos.
Por consiguiente estamos de acuerdo con que es importante que en la
enseñanza, de los sistemas numéricos, hay cuestiones que se deben tener en cuenta
para que el estudiante haga una construcción adecuada, que le permita encontrar la
relación entre los sistemas numéricos identificando así, las limitaciones que se
encontraban en los naturales y lo que hace necesario la aparición de los enteros.
57
Es así como se observa que el plan de área de matemáticas de dicha IE, carece
de elementos que indiquen las razones por las cuales la estructura se presenta de esa
forma, sin dejar ver de manera clara las cuestiones propias del saber, más allá de una
organización superflua que no determina razones netamente intrínsecas a las propias
matemáticas.
Ejemplo de alguna de estas cuestiones son.
a. La OM que plantea el plan de área intenta articular, las diferentes propuestas u
orientaciones de los Estándares de competencias en matemáticas, sin embargo
se queda mucho en la teoría y se olvida de las cuestiones que se deben
enseñar, generalizando lo que hay que hacer en el aula, pero no puntualizando
del cómo se lleva a cabo la enseñanza y para qué se hace, esto lo podemos
relacionar con el fenómeno denominado por Gascón como “Segmentación de la
enseñanza” en tanto se proponen contenidos aislados sin especificar la relación
existente entre ellos o las transferencias que se pueden realizar..
b. El plan de área carece de elementos en donde se puedan identificar las OM que
trabaja, dado que deja al que lo lee interpretaciones de forma y metodología;
pues las OM a las que hace referencia están direccionadas en cuanto a
contenidos puntuales y estándares, pero no se establecen de manera clara las
relaciones entre éstas para la enseñanza de , aunque si deja ver por los
contenidos que el campo de acción en el que se abordan los números enteros
sigue siendo aritmético por las operaciones asociadas que se encuentran, dado
que las ecuaciones están en otro tiempo distinto al inicio de la introducción de
los enteros.
c. Si bien es cierto que el plan de área de una institución debe ser una guía en el
proceso de enseñanza y aprendizaje, éste, en muchas ocasiones presenta
limitaciones al momento de proponer una estrategia de cómo llegar a ella. Como
58
ejemplo particular, en el plan de área que es objeto de nuestro análisis, se
propone que el alumno, debe actuar, formular, probar, construir modelos,
construir lenguajes, conceptos, teorías, pero que para ser posible todo lo
anterior, el profesor debe proponer a los estudiantes situaciones que ellos
puedan vivir, en donde los conocimientos adquiridos estarán como solución
adecuada a las tareas que se les plantean. De acuerdo a ello se puede
observar que allí se proponen los contextos cotidianos como competencia
primordial en el aprendizaje del estudiante, pero dejan de lado los contextos
matemáticos que son también parte fundamental de este proceso.
d. Por último la perspectiva unitaria de Bruno (1997), propone la enseñanza de los
sistemas numéricos reconociendo las limitaciones del conjunto numérico
trabajado anteriormente, es así como, las tareas deben estar encaminadas a
que los estudiantes realicen distintas relaciones entre los que se aprende, la
forma y su razón de hacer, actividad que las dimensiones abordan y que pueden
permitir en los estudiantes competencias de interpretación, argumentación y
razonamiento en la medida que los formulan.
Por lo tanto se ve como en la propuesta de Cid & Bolea (2007) este plan de área
presentaría importantes limitaciones con una OM de este tipo, porque carece de
cuestiones generatrices que deben responder a las razones de ser de lo que se
enseña, las cuales serían una orientación clara y puntual para los docentes que deben
adoptarlas en sus clases y se enmarcaría en el fenómeno de enseñanza llamado
autismo temático, dado que no se explicitan las relaciones del saber sabio y el saber
enseñado.
4.2 ANÁLISIS DE LOS TEXTOS ESCOLARES.
Existe una praxeología asociada a las tareas que permiten usar diferentes
técnicas, tecnologías o teorías para solucionar las situaciones presentadas en una
institución. Estas soluciones se relacionan con cuestiones matemáticas que
59
potencializa la búsqueda de una respuesta válida o no, a determinada situación.
(Gascón, 2001).
Sin embargo estas cuestiones deben ser transformadas y adaptadas a la
situación para que se lleve a cabo un estudio adecuado de las tareas planteada. En
esta ocasión para el análisis que se llevó a cabo de los textos escolares,
presentaremos, una serie de niveles de dificultad para cada tarea propuesta en ellos, a
los cuales les asignamos una caracterización, dado que el libro nos las plantea. Dichos
niveles se identifican con color verde, rojo y amarillo, dependiendo del nivel de
dificultad que tenga cada una de las tareas:
Nivel de dificultad básico (NB): En este nivel de dificultad, el texto escolar ubica
todas aquellas tareas cuya solución requiere de la parte algorítmica, es decir son
aquellas tareas que como su nombre lo indica, tienen un nivel de complejidad básico,
en donde las solución evalúa la comprensión de la definición o concepto de aquello que
se está trabajando, en nuestro caso, los números enteros.
Para contextualizar un poco lo anterior, se expone a continuación la ejemplificación
de las tareas que se encuentran en este nivel de dificultad:
Como se puede observar, las tareas que en este nivel se proponen, plantean
enunciados donde se le pide al estudiante: expresar, representar, hallar, efectuar,
ordenar, describir, enumerar, en determinadas situaciones matemáticas. Estas
expresiones requieren de un saber llevar a cabo cierto algoritmo para la solución.
Nivel de dificultad medio (NM): En este nivel de dificultad, el texto propone aquellas
tareas que requieren de un grado de dificultad un poco mayor que el anterior, pues aquí
se requiere averiguar, comprobar, calcular, realizar, completar, sustituir, resolver
Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros negativos: -5 -1 -2 -25
Representa en una recta todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor que 2 y menor que 7
60
problemas, donde no solo se necesita de la parte algorítmica, sino de la claridad en los
conceptos y propiedades que se utilizan para la solución de determinada tarea, por
ejemplo:
Nivel avanzado (NA): En este nivel de dificultad, el texto ubica todas aquellas tareas
que requieren la solución de expresiones polinómicas, resolución de problemas con
una incógnita, efectuar cálculos, argumentar la falsedad o veracidad de un enunciado,
las cuales son tareas en donde el estudiante debe tener los elementos técnicos-
tecnológicos del sistema numérico que se está trabajando. Por ejemplo:
Lo anterior, deja ver un poco la intencionalidad del texto al categorizar de alguna
manera las tareas propuestas, de acuerdo a los niveles de dificultad que ellas
presenten.
Ahora bien, en el análisis de los textos escolares seleccionados, presentaremos
un esquema de preguntas, que se usan en determinada institución por medio de una
OMr explicada en el marco teórico, y aplicada en este caso, al texto escolar “serie
código matemáticas 6 y serie código matemáticas 7”, en donde nos centraremos en el
Expresa cada uno de los siguientes números como producto de un entero negativo por una diferencia de enteros
a. -16 b. -4 c. -30
Iván y Paola gastan en el supermercado $57000. Compran tres cajas de leche y, además, un lote de productos de la pescadería por un valor de $15000 ¿Cuánto costo cada caja de leche?
El producto de un número por el doble de su opuesto es uno de los cuatro números siguientes. Señálalo y halla el valor del número de partida: a. 25 b. 18 c. -72 d. 32
Escribe verdadero (v) o falso (f), según corresponda.
a. La suma de dos números enteros positivos es un entero positivo ( ). b. La diferencia de dos números enteros de diferente signo siempre es
positiva ( )
61
tipo de actividad que propone y en la praxeología que se puede desarrollar para validar
los enunciados propuestos por el texto guía.
Partiremos por enunciar los aspectos relevantes que tiene el texto escolar como
las OM en uso en la IE, que será uno de los puntos de referencia de nuestro análisis.
Nombre de texto Serie Código Matemáticas 6 y Serie Código Matemáticas 7.
Editorial SM
Año de publicación 2008
Dirección editorial César Camilo Ramírez Sepúlveda.
Autores José Ramón Vizmanos, Máximo Anzola, María Paz Bujanda, Serafín Mansilla, Manuel Bellon
(“Resolución de problemas”), Ignacio Fernández Bayo (“Mural de Matemáticas”), José Luis
Urquiza, Mauricio Villegas Rodríguez.
Editorial SM. Cr 85 K46 A66 of. 502.
Bogotá, D.C.
ISBN de la obra: 987-958-705-254-1.
Tabla 3: Identificación de los textos escolares "serie códigos matemáticas 6 y serie código matemáticas 7".
Nos proponemos como primer ejercicio enunciar los contenidos explícitos en los
textos escolares, anteriormente mencionados que darán origen a nuestra hipótesis de
trabajo. Esto nos permitirá realizar un análisis integrado de los dos textos, que
posteriormente nos proporcionarán las pautas de análisis del cómo se amarran los
contenidos enunciados con las tareas (la praxis) y el tipo de conceptualización o
definición (el logos) usado por el texto escolar, para identificar la técnica para la
resolución de las tareas planteados desde las pautas que nos brinda la TAD teniendo
en cuenta la OMr mencionada en el capítulo 2.
62
Tabla 4: Contenidos y estándares referidos en los textos escolares "Serie código matemáticas 6 y serie código
matemáticas 7"
De esta manera en nuestro análisis y observando la propuesta que los textos
escolares, particularizando específicamente en la tareas (ejemplos, actividades,
ejercicios a resolver, resolución de problemas), buscamos evaluar qué tanto permiten
teniendo como referente principal lo que menciona la TAD al respecto, dado que
existen cuestiones que para ser resueltas requieren de una estructura que los
determine.
Así mismo, consideramos importante explicitar que gran parte de las cuestiones
matemáticas asociadas al saber hacer, inmersas en las instituciones, se encuentran
previamente estructuradas en un nivel temático y nominalmente organizadas; pero para
afirmar esto, es pertinente conocer la estructura que compone en nuestro caso los
textos escolares. (Gascón, 2002).
A continuación se muestra un mapa conceptual del texto escolar “serie código
matemáticas 6” en donde se hacen explícitos los contenidos abordados en los textos
escolares con relación a los números naturales. A partir de esta estructura se puede
decir que el texto escolar hace un breve repaso por el sistema de numeración decimal
en donde el estudiante debe tener en cuenta el dominio y manejo de las cuatro
operaciones básicas.
C
O
N
T
E
N I
D
O
CÓDIGO MATEMÁTICAS 6 EDITORIAL SM
Estándares CÓDIGO MATEMÁTICAS 7 EDITORIAL SM
Estándares
Posiciones relativas. De los números naturales a los números enteros. Números enteros en la recta numérica. Valor absoluto. Adición de números enteros. Opuesto de un número entero. Sustracción de números enteros. Multiplicación de números enteros. División de números enteros. Propiedad distributiva. Operaciones combinadas con números enteros. Resolución de problemas. Actividades.
Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas en diferentes contextos y dominios numéricos.
Números enteros. Valor absoluto Relación de orden entre los números enteros. Adición de números enteros. Sustracción de números enteros. Resolución de problemas Organiza tus ideas. Actividades.
Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas en diferentes contextos y dominios numéricos.
63
Observando el mapa conceptual anterior propuesto por el texto escolar,
podemos decir que es completo con relación a las temáticas a abordar en la enseñanza
de los números naturales, pues hace referencia a su estructura, los elementos que la
contiene y operaciones, sin embargo, este mapa se presenta como la propuesta que
hace el texto escolar “Serie código matemáticas 6”, que en nuestro análisis
realizaremos más a fondo en el apartado que tiene que ver con las tareas que propone
(praxis) y los enunciados matemáticos(Logos) a los que hace referencia.
Ilustración 6: Mapa conceptual, números naturales del texto escolar "serie código
matemáticas 6".
64
A continuación explicitaremos el mapa conceptual del texto escolar en donde se
enuncia la organización en la propuesta de enseñanza de los números enteros.
En la ilustración 7 se puede observar que contiene elementos claves de los
enteros y con ellas, la transición de los naturales a los enteros, movilizando contenidos
precisos sobre las propiedades y elementos, las operaciones de multiplicación y
división se presentan en la siguiente unidad.
En la TAD, se definen unas técnicas, tecnologías y teorías que deben haber
presentes determinadas tareas. La propuesta que hace el texto escolar “Serie Código
Matemáticas 6 y serie código matemáticas 7”, deja ver la relación entre las praxeología
o formas de hacer de determinada tarea, ubicando cada una de ellas en un nivel de
dificultad determinado, de acuerdo a lo que se requiera que el estudiante realice.
Ilustración 7: Mapa conceptual, números enteros. "Serie código matemáticas 6".
65
4.2.1 Análisis de la praxis (tareas y técnicas).
Caracterización de los textos escolares teniendo en cuenta la forma como
introducen los números enteros.
Algunos procesos matemáticos asociados a las matemáticas experimentales han
adquirido relevancia en el ámbito educativo de la institución en donde se encuentran
inmersos los textos escolares de este estudio, para ello se realizó una tabla que
describe de manera particular los dos textos y que contiene los datos en donde se
encuentra el objeto de estudio a analizar en cuanto a la secuencia que se da desde el
inicio con el concepto de número entero.
CÓDIGO MATEMÁTICAS 6 EDITORIAL SM. CÓDIGO MATEMÁTICAS 7 EDITORIAL SM
¿Cómo se introduce el concepto de número entero?
El texto inicia con una contextualización sobre la temperatura 0°C que indica punto de congelación del agua.
Continúa con una tira cómica que describe como se origina el cero.
Plantea una breve historia de cómo eran llamados anteriormente los números enteros “números absurdos”.
El texto inicia con un contexto acerca de los alimentos, en especial aquellos que necesitan una temperatura determinada para que se conserve en buen estado.
Continua con una tira cómica que plantea la necesidad de conocer y operar con los números enteros para hacer un buen negocio.
Hay una pequeña reseña histórica sobre la aparición de los números enteros por primera vez y el sistema de numeración chino que involucraba a los números enteros dado que utilizaban dos colores para distinguir los números positivos de los números negativos.
Estructura de la presentación del tema de los números enteros.
Posiciones relativas. De los números naturales a los números enteros. Números enteros en la recta numérica. Valor absoluto. Comparación de números enteros. Adición de números enteros. Opuesto de un número entero. Sustracción de números enteros. Multiplicación de números enteros. División de números enteros. Propiedad distributiva. Sacar factor común. Operaciones combinadas con números enteros. Operaciones con paréntesis. Resolución de problemas. Organiza tus ideas. Actividades.
Números enteros. Valor absoluto Relación de orden entre los números enteros. Adición de números enteros. Sustracción de números enteros. Resolución de problemas Organiza tus ideas. Actividades.
Tabla 5: Contextualización de los números enteros en los textos escolares analizados.
66
Existen también datos de orden histórico, que ubica a los números enteros como
fuente de discusión, es así como el texto escolar menciona en breve algunos de los
momentos álgidos en el reconocimiento de los enteros con su estatus de número; en él
se hace una pequeña reseña, sobre la aparición de los números enteros y el sistema
de numeración chino, en donde se utilizaban dos colores para distinguir los números
positivos de los números negativos.
Muestra de tareas.
A continuación se mencionan 26 tareas propuestas por los textos escolares, de las
cuales se escogió una muestra la cual llamaremos T1, T2, T3,…Tn a las que les daremos
una posible solución y clasificamos según el criterio para desarrollar la técnica
1. Expresa con números enteros las siguientes informaciones:
a) El avión está volando a 9500 m de altura
b) La temperatura mínima de ayer fue de 3°C bajo cero.
c) El garaje está en el segundo sótano.
d) El buceador está nadando a 20 m de profundidad.
2. Indica el significado de los números -2, 0 y +4 en las siguientes situaciones:
a) En un ascensor.
b) En una cuenta bancaria.
c) En un termómetro.
d) En el mar.
3. Representa en la recta numérica:
a) Los números enteros mayores que 7 pero menores que 13.
b) Los números enteros comprendidos entre -5 y 1.
c) Los números enteros comprendidos entre -11 y -3.
d) Los números enteros positivos menores que 10.
4. Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros positivos:
5. Calcula el valor absoluto de estos números:
a) |-9|
67
b) |+5|
c) |-3|
d) |+7|
e) |0|
f) |-8|
6. Halla el número que tiene por valor absoluto 7 y está situado entre -8 y -6.
7. Escribe los números enteros que tengan por valor absoluto cada uno de los
siguientes números.
a) 3
b) 7
c) 12
d) 435
e) 0
8. Hallar el opuesto de cada uno de los siguientes números:
a) -4
b) +8
c) +15
d) -301
9. Copia en tu cuaderno y completa con el signo < o el signo > estas expresiones.
a) +4 ___ +1
b) -1 ___ -6
c) 0 ___ +3
d) -8 ___ +2
Calcula el resultado en el siguiente caso:
a) ¿Cuánto hay que sumarle a -6 para obtener -4?
10. En una resta de dos números enteros, uno de ellos es +15, y la diferencia es
-2 ¿Cuál es el otro?
11. Ayer a las 2:00, el termómetro marcaba 2°C. a las 00:00 la temperatura
descendió 5°C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las 00:00?
12. Natalia gana 18 créditos cada vez que avanza un nivel en un videojuego.
¿Cuántos créditos gana si avanza cuatro niveles?
68
13. Efectúa estas operaciones.
a) (+9) + (+3)
b) (-10) + (+15)
14. Comprueba si se cumplen estas igualdades:
a) -[(+4) + (+3)] = -(+4) + -(+3)
15. Averigua los números que faltan en estas igualdades.
a) (-5) – (-6) = (-5) + ___ = ___
b) (-12) - ___ = (-12) + (+6) = ___
16. Calcula el resultado de estas multiplicaciones.
a) (+8) x (+3)
b) (-3) x (-1)
17. Averigua los números que faltan en estas igualdades:
a) (-30) / ___ = +5
b) ___ / (-8) = +4
18. Obtén el resultado utilizando la propiedad distributiva:
a) (-9) x [8 + (-9)]
19. Los dos miembros de estas igualdades se diferencian en unos paréntesis.
Indica cuales son correctas y cuáles no.
a) 21 - (12 - 8 ) = 21 - 12 - 8
b) [(-13) + 9 ] -5 = (-13) + 9 - 5
20. Escribe (v) o (f) según corresponda.
a) La suma de dos números enteros positivos es siempre un número
positivo.
b) La suma de dos números enteros con diferente signo es positiva, si el
número entero del mayor valor absoluto es negativo.
c) La diferencia de dos números enteros de diferente signo siempre es
positiva.
21. Escribe cada uno de estos números como el cociente de otros dos.
a) -5
b) +8
c) -100
69
d) -2
22. Expresa cada número como suma de un entero negativo y un cociente de
enteros.
a) 14
b) -16
c) -43
d) 54
23. Escribe -28 como producto de -4 por una suma de dos sumandos.
24. Saca factor común en cada una de estas operaciones y obtén el resultado.
a) (-5) x 7 + (-5) x (-12)
b) (-9) x (-12) + (-9) x 13
25. Expresa estas operaciones como producto de dos números enteros, sacando
factor común.
a) 2+8
b) 3 + (-9)
26. El producto de un número por el doble de su opuesto es uno de los cuatro
números siguientes. Señala y halla el valor del número de partida.
a) 25
b) 18
c) -72
d) 32
A continuación se mencionan las técnicas empleadas en la solución de las tareas
propuestas en los textos escolares, en ellas se hace una descripción breve de las
herramientas conceptuales y algorítmicas que debe tener el estudiante para solucionar
las tareas.
Para realizar esta parte vamos a proponer algunas categorías de análisis para la
solución de las tareas propuestas en los textos escolares Serie Código Matemáticas 6 y
Serie Código Matemáticas 7, donde lo que se pretende es categorizar las tareas
planteadas según algunos aspectos en común que presentan y que de acuerdo a ello,
70
se puede dar solución mediante determinado criterio, por ello se presenta a manera de
aclaración a lo que hace referencia cada uno de ellos.
Criterios para desarrollar la Técnica:
Para realizar esta parte vamos a proponer algunas categorías de análisis según lo
encontrado en los textos y que responden a Técnicas en su mayoría independientes
que permiten solucionar la mayor parte de las tareas propuestas:
1. Posiciones relativas: al plantear ésta como una estrategia de solución el
estudiante debe tener en cuenta el valor relativo de los números, de esta manera
reconoce la posición de ellos y la distancia que existe entre el número propuesto
y el cero (0); de esta manera el estudiante ha de reconocer el valor relativo de
los números, la posición que ocupa, la distancia de él al origen cero (0) y
ubicarlo según el contexto en el que la tarea se enuncie.
2. Relación de orden. En esta técnica el estudiante debe reconocer el valor
relativo de los números y la posición de ellos, que es mínimo y máximo, menor y
mayor, reconociendo la dirección del número y valor numérico o circunstancial
que éste toma.
3. Planteamiento de ecuación: esta técnica hace referencia a la propuesta que
debe hacer el estudiante en la solución de un problema que se le presenta,
donde lo que debe es hallar valores a aquello que no se conoce en el problema
y para lo cual debe tener claras determinadas propiedades que le permiten la
solución de dicha ecuación que ha planteado, como por ejemplo el inverso
multiplicativo y el inverso aditivo.
4. Criterio algorítmico: esta técnica hace referencia a todos esos modos de hacer
o de resolver determinada tarea, en los cuales se deben claridad en la solución
71
de las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) y las
propiedades de cada una de ellas.
4.2.2 Análisis de las obras matemáticas (Bloque tecnológico teórico).
Los textos escolares código matemáticas 6 y código matemáticas 7, introducen
de manera contextualizada los números enteros, de esta forma permiten reconocer la
necesidad intrínseca de estudiarlos de esta manera, dado que hacen parte de la vida
cotidiana.
A continuación se hace un desarrollo de algunas formar de hacer y aplicar la técnica
para la solución de las tareas propuestas por el texto escolar.
Solución: para resolver estos enunciados se debe tener en cuenta que si partimos
del cero hacia arriba nos ubicamos en los números enteros positivos, y que del cero
hacia abajo nos estaremos ubicando en los números enteros negativos. Igual sucede
cuando partimos del cero hacia la izquierda o derecha respectivamente. Por lo tanto en
el punto a, tendremos que 9500 mt me representa un número entero positivo, dado
que se ubica arriba del cero, en el b, cuando nos menciona la temperatura bajo cero,
nos indica un número entero negativo (-3°C), en el c, se tiene en cuenta que el sótano
esta debajo del primer piso, por lo tanto el segundo sótano me representa (-2), y el d,
me representa de igual manera un número entero negativo, pues la profundidad me
representa un número entero negativo, por lo tanto seria (-20 m).
T1: Expresa con números enteros las siguientes informaciones: a. El avión está volando a 9500 m de altura b. La temperatura mínima de ayer fue de 3°C bajo cero. c. El garaje está en el segundo sótano. d. El buceador está nadando a 20 m de profundidad.
T2: Representa en la recta numérica: a. Los números enteros mayores que 7 pero menores que 13. b. Los números enteros comprendidos entre -5 y 1. c. Los números enteros comprendidos entre -11 y -3. d. Los números enteros positivos menores que 10.
72
Solución: Para representar los intervalos mencionados es necesario conocer la recta
numérica y tener claro que según la definición del texto los números positivos se
encuentran a la derecha del cero y los números negativos se ubican a la izquierda del
cero. Por lo tanto en el punto a, la respuesta seria
a.
b.
c.
d.
Solución: Para dar solución a esta situación es necesario tener en cuenta que el
valor absoluto de un número entero es la distancia entre el número y cero (0), y
T3: Calcula el valor absoluto de estos números: a. |-9| b. |+5| c.|-3| d.|+7| e.|0| f.|-8|
73
que siempre el valor absoluto será una cantidad positiva porque indica básicamente
una distancia. Por lo tanto las respuestas serian:
a. |-9| = 9 b. |+5| = 5 c.|-3| = 3 d.|+7| = 7 e.|0| = 0 f.|-8| = 8
Solución: Para desarrollar los siguientes tareas tenemos que tener en cuenta cómo se
desarrollan los signos de agrupación en un polinomio aritmético, es así como en la
primera expresión debemos multiplicar los signos para deshacer los signos de
agrupación y después de ello resolver las operaciones con los signos que quedan
planteados. Aplicado lo anterior tenemos que la solución de a, es 12 y la solución de b,
es +5
Solución: Para dar solución a este ejercicio es necesario tener claro que el opuesto de
un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y distinto signo.
Por lo tanto la solución sería:
a. -4 = +4 b. +8 = -8 c. +15 = -15 d. -301 = +301
Solución: la solución de esta operación se podría realizar mediante una ecuación
donde se plantee una resta con una incógnita que sería el minuendo o el sustraendo de
la operación. En este caso:
T4. Efectúa estas operaciones. a. (+9) + (+3) b. (-10) + (+15)
T6. En una resta de dos números enteros, uno de ellos es +15, y la diferencia es -2 ¿Cuál es el otro?
T5. Hallar el opuesto de cada uno de los siguientes números:
a) -4 b)+8 c)+15 d) -301
74
Solución: En este caso para determinar la falsedad o veracidad de los enunciados
que se plantean, es necesario tener en cuenta algunos conceptos y/o procedimientos
para resolver operaciones con números enteros, planteando una expresión que tenga
en cuenta el enunciado, teniendo en cuenta los posibles planteamientos triviales y darle
valor de verdad, de esta manera con casos particulares, se puede llegar a generalizar
el enunciado y encontrar el valor de verdad respectivo, es así como, las respuestas
correctas serian:
V, F y F, respectivamente.
Por ejemplo:
a. Verdadero: 10 + 3 = 13, por contraejemplo tendríamos -10 + (-3) = - 10 – 3 = -13
b. Falso: 12 + ( -4) = 12 – 4 = 8 por contraejemplo tendríamos -12 + 4 = -8
c. Falso: 11 – ( - 4) = 11 + 4 = 15, por contraejemplo tendríamos -11 – (+4) = -7
Solución: Para dar solución a este problema es necesario plantear una operación
que exprese el enunciado de manera matemática, es así como en la siguiente
expresión 2 – (+5) = 2 – 5 = -3, el dos indica la temperatura inicial a las 2:00,como la
temperatura en determinada hora descendió usamos el (-), como operador que
disminución y el (+5) la temperatura que marca a las 00:00 horas el termómetro, de
esta manera la temperatura actual en ese momento es (-3ºC) bajo cero.
T7. Escribe (v) o (f) según corresponda. a. La suma de dos números enteros positivos es siempre un número positivo. b. La suma de dos números enteros con diferente signo es positiva, si el número entero del
mayor valor absoluto es negativo. c. La diferencia de dos números enteros de diferente signo siempre es positiva.
T8. Ayer a las 2:00, el termómetro marcaba 2°C. a las 00:00 la temperatura descendió 5°C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las 00:00?
T9. Escribe cada uno de estos números como el cociente de otros dos. a. -5 b. +8 c. -100 d. -2
75
Solución: Para dar solución a este ejercicio se debe tener en cuenta la
descomposición de números en sus factores primos, los criterios de divisibilidad,
m.c.m, M.C.D y la ley de los signos. Para este caso algunas de las posibles soluciones
podrían ser:
a. -5 /1 = -5 ó 5 / -1 = -5 ó 25 / -5 = -5 etc.
b. 8 / 1 = 8 ó 16 / 2 = 8 ó 32 / 4 = 8 etc.
c. -200 / 2 = -100 ó 400 / -4 = -100 ó -600 / 6 =-100 etc.
d. 8 / -4 = -2 ó -10 / 5 = -2 etc.
Solución: Para dar solución a este planteamiento se debe tener claridad acerca de la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, por tanto una posible
solución sería:
-4 x (5 + 2) = (-4 x 5) + (-4 x 2) = -20 + (-8) = -20 – 8 = -28
Solución: Este ejercicio se puede realizar a tanteo por medio de una ecuación,
escribiendo la expresión y tomando como posibles soluciones las que nos dan como
opciones de respuesta. Es así como al plantear la expresión se deben tener en cuenta
los signos asociados a cada número y al enunciado, esto último porque de no tenerse
en cuenta podemos pensar que hay dos soluciones. Es así como la siguiente expresión
y solución de ella puede permitirnos encontrar la respuesta correcta.
T10. Escribe -28 como producto de -4 por una suma de dos sumandos.
T11. El producto de un número por el doble de su opuesto es uno de los cuatro números siguientes. Señalar y hallar el valor del número de partida.
a. 25 b. 18 c. -72 d. 32
76
Tomando como muestra los enunciados anteriores y algunas de las soluciones
que le dimos a estos enunciados, nos encontramos con algunas técnicas específicas
con las cuales podemos solucionar los que se derivan de ellos y aún aquellos que no
escribimos porque en su estructura son parecidos a los que les presentamos en éste
texto.
Es así como hemos identificado que existen definiciones y conceptos claves
para la solución de los ejercicios que plantea el texto escolar.
Es decir, existe una organización aritmética escolar que nos permite analizar y
construir los elementos más relevantes de los números enteros teniendo en cuenta las
técnicas identificadas de tipo algorítmico que permiten desarrollar cada ejercicio
independientemente que tengan una variabilidad entre sí.
Técnica Tareas.
1 Posiciones relativas. 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8.
2 Relación de orden. 4, 9.
3 Planteamiento de
ecuación.
11,12, 13.
4 Criterio algorítmico 10, , 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,
27.
Tabla 6: Técnica de solución para agrupación de las tareas.
77
Podemos observar en la tabla anterior que la técnica de criterio algorítmico se
encuentra recargada de tareas en comparación a la técnica de planteamiento de
ecuación, que podría propiciar en muchos casos una manera más adecuada de
introducir en un entorno algebraico dado que permite el trabajo con cantidades
desconocidas y relaciona los signos que anteceden los enteros, en este sentido el texto
escolar plantea muy pocas tareas que pongan de manifiesto el trabajo con esta
técnica.
Elementos tecnológico-teóricos
Ahora mencionaremos las características de las técnicas y los elementos
tecnológico-teóricos que se encuentran inmersos en la construcción de número entero
en los textos escolares analizados.
A continuación daremos una descripción concreta de los conceptos, definiciones,
teoremas y características claves que están en los textos y que permiten el uso de
determinada técnica al momento de solucionar un problema matemático relacionado
con los números enteros. Estos elementos los mostraremos de manera explícita para
posterior a ello hacer una clasificación de cuales determinan una técnica usada y
encontraremos los aspectos tecnológico-teóricos que hacen parte de la construcción de
los números enteros presentes en la obra matemática propuesta por el texto escolar,
presente en nuestro análisis.
Enunciados matemáticos (Em) propuestos por el texto escolar para el desarrollo
de los números enteros
Em1. La ubicación de un objeto con respecto a un punto de referencia determina la
posición relativa del mismo. Para determinar posiciones relativas se establecen
sentidos contrarios:
Arriba/abajo
78
Atrás/adelante
Antes/después
Sobre/bajo
Em2. Los números enteros ( ) son los números enteros positivos, los enteros
negativos y el cero.
Em3. Los puntos situados a la derecha del cero representan los enteros positivos y los
situados a la izquierda, los enteros negativos.
Em4. El valor absoluto de un número entero a se define como la distancia entre a y 0.
Se simboliza /a /y es siempre una cantidad positiva.
Em5. Dado dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Em6. Dado dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor
absoluto.
Em7. Al sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos
y al resultado se le añade el signo de los sumandos.
Em8. Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores
absolutos y se añade al resultado el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.
Em9. Dos números enteros son opuestos si su suma es 0. El opuesto de un número
entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y distinto signo.
Em10. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Em11. El opuesto de una adición es igual a la adición de los opuestos de los
sumandos.
Em12. Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo.
Em13. Para calcular el producto de dos números enteros:
se halla el producto de sus valores absolutos.
Al resultado se añade el signo más (+) si ambos tienen el mismo signo, y
el signo menos (-) si tienen distinto signo.
Em14. Para calcular el cociente de dos números enteros:
Se halla el cociente de sus valores absolutos.
Al resultado se le añade el signo (+) si ambos tienen el mismo signo, y el
signo (-) si tienen distinto signo.
79
Em15. La propiedad distributiva: el producto de un número entero por una suma es
igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.
Em16. Sacar factor común consiste en escribir en forma de producto una suma en la
que todos los sumandos poseen un factor común.
Em17. Para realizar operaciones con números enteros en las que no haya paréntesis,
se sigue este orden:
Se hacen las multiplicaciones y las divisiones.
Se hacen las adiciones y las sustracciones
Em18. Se puede seguir el orden que se prefiera cuando:
En las operaciones hay solamente adiciones y sustracciones.
En las operaciones hay solamente multiplicaciones y divisiones.
Em19. Para realizar una serie de operaciones con números enteros, se sigue este
orden:
Se resuelven los paréntesis incluidos en cada corchete.
Se resuelven los corchetes.
Se hacen las multiplicaciones y las divisiones.
Se hacen las adiciones y las sustracciones.
Em20. El número entero positivo y su correspondiente negativo se llaman opuestos.
Em21. Un número entero está formado por:
Un signo (+ o -) que indica si es positivo o negativo.
Un número que sigue al signo y que representa su valor absoluto.
Em22. Dos números enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.
Em23. El conjunto de dos números enteros se denota por Z.
Em24. a<b: si a esta representada en la recta numérica, entonces a esta a la izquierda
de b.
Em25. a>b: si a esta representada en la recta numérica, entonces a esta a la izquierda
de b.
80
Em26. Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores
absolutos y se pone el mismo signo.
Em27. Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores
absolutos (al mayor se le resta en menor) y se pone el signo del que tiene mayor valor
absoluto.
Em28. Para sumar varios números enteros se puede:
Sumar de dos en dos de izquierda a derecha.
Sumar los números positivos por un lado, los negativos por otro, y sumar
los resultados.
Em29. Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto del segundo.
Em30. Para calcular el producto de dos números enteros:
se halla el producto de sus valores absolutos.
Se añade al resultado el signo según la regla de los signos.
Em31. Se puede aplicar la propiedad distributiva en sentido contrario transformando
una suma en un producto; esta operación se llama sacar factor común.
Em32. Para calcular el cociente exacto de dos números enteros:
se halla el cociente de sus valores absolutos.
Se añade al resultado el signo según la regla de los signos.
Em33. Para realizar operaciones con números enteros en las que no hay paréntesis
agrupando operaciones, se sigue este orden:
se calculan las multiplicaciones y las divisiones.
Se calculan las adiciones y las sustracciones.
Em34. Si aparecen varias operaciones del mismo orden, se hacen de izquierda a
derecha.
Em35. Para realizar operaciones con números enteros en las que haya paréntesis, se
sigue este orden:
se resuelven las operaciones que estén dentro de los paréntesis. Si hay
varios, unos dentro de otros, se empieza por los interiores.
Se calculan las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha.
Se calculan las adiciones y las sustracciones.
Em36. Cuando delante de un paréntesis hay un signo (- ) se puede:
81
Realizar primero las operaciones del paréntesis y luego cambiar el signo.
Quitar los paréntesis, cambiando el signo de los números que tiene
dentro, y luego operar.
Tareas propuestas en la unidad de los números enteros del libro de texto 6° y 7º.
En la parte introductoria del texto, donde se presentan las características de éste, en
la pág. 17 se especifica el tipo de ejercicio que se propone al final de cada tema, en
esta parte de ejercicios propuestos el estudiante debe aplicar los nuevos conceptos y
procedimientos que permiten la consolidación de los contenidos de la página, los
cuales se enumeran a partir del primer ejercicio de la primera página de contenido
hasta el último antes de la autoevaluación. Estos ejercicios, el texto los clasifica según
el grado de complejidad en:
Nivel Básico
Nivel Medio
Nivel Avanzado
Cuya caracterización ya se realizó.
De esta manera, encontramos los planteamientos observando que en su mayoría,
se presentan tareas de nivel básico y medio. Para lo cual plantearemos en un cuadro
la cantidad de cada uno de ellos, propuestos al final de cada tema:
A. Posiciones relativas.
B. De los números naturales a los números enteros.
C. Números enteros en la recta numérica.
D. Valor absoluto.
E. Comparación de números enteros.
F. Adición de números enteros.
G. Opuesto de un número entero.
82
H. Sustracción de números enteros.
NIVELES
CONTENIDOS
A B C D E F G H
Nivel Básico
1 2 1 4 3 2 2 2
Nivel Medio
1 1 1 2 1 2 2 2
Nivel Avanzado
0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla 7: Cantidad de tareas propuestas por nivel (básico, medio y avanzado) según el contenido del texto escolar de
6º.
En los ejercicios que se plantean en la unidad de los números enteros, del texto de
grado 6°, hasta operación de sustracción, se observa un nivel de complejidad básico,
pues en su mayoría se presentan ejercicios de un grado de complejidad básico
correspondiente al 56%, un 40% de ejercicios con un grado de complejidad medio,
atribuyendo un 0% a los ejercicios de nivel avanzado.
De igual manera, al finalizar la unidad 10, correspondiente a la unidad de números
enteros, el texto presenta unas actividades de resolución de problemas compuesta por
61 situaciones problemas, de las cuales 22 problemas, tienen un grado de complejidad
Básico que corresponde a un 36%, 31 problemas que tienen un grado de complejidad
Medio correspondiente a un 51%, y 8 problemas con un grado de complejidad
avanzado que corresponde a un 13%.
Similar al análisis anterior, se planteará la segunda parte del contenido, donde se
encuentra:
A. Multiplicación de números enteros.
B. División de números enteros.
C. Operaciones combinadas con números enteros.
D. Sacar factor común.
E. Operaciones combinadas con números enteros.
83
F. Operaciones con paréntesis.
Aunque en las dos últimas temáticas, consideramos que se pueden trabajar en
un solo apartado, el texto los propone por separado.
NIVELES
CONTENIDO
A B C D E F
Nivel Básico
1 1 2 1 1 0
Nivel Medio
1 4 3 2 1 3
Nivel Avanzado
0 0 0 0 0 0
Tabla 8: Cantidad de tareas propuestas por nivel (Básico, medio y alto) según contenido del texto escolar de 6º.
Igualmente, al finalizar esta unidad se plantean unos problemas matemáticos,
los cuales están conformados por los tres niveles de complejidad, distribuidos de la
siguiente manera:
De 62 problemas que se encuentran en esta sección, 15 problemas tienen un
grado de complejidad básico que corresponde a un 24%, 38 problemas tienen un grado
de complejidad medio correspondiente a un 61 %, y 9 problemas con un grado de
complejidad avanzado que corresponde a un 15%.
De acuerdo a los datos anteriores, es de notar que las tareas que propone el
texto escolar Serie Código Matemáticas 6 presentan la mayor concentración de tareas
en un nivel básico y medio, dejando con un bajo porcentaje las tareas de nivel
avanzado.
De esta manera, el texto propone introducir los números enteros en un entorno
aritmético puesto que las tareas que allí encontramos son de tipo algorítmicas y en las
cuales hay mayor concentración y cantidad de tareas; mientras que las tareas de nivel
avanzado que propone el texto escolar son escasas y éstas son las que deberían
84
permitir una mejor comprensión de los enteros dado que se encuentran en el campo de
acción algebraico, pues las técnicas que las solucionan son más de planteamiento y
solución de ecuaciones
Tareas propuestas en la unidad de los números enteros del texto escolar grado 7º
En esta unidad los ejercicios se clasifican de la misma manera. A continuación se
presentan la cantidad de ejercicios y el nivel de complejidad que presentan.
A. Números enteros. Valor absoluto
B. Relación de orden entre los números enteros.
C. Adición de números enteros.
D. Sustracción de números enteros.
NIVELES
CONTENIDO
A B C D
Nivel Básico
1 1 2 1
Nivel Medio
1 0 3 2
Nivel Avanzado
0 0 0 0
Tabla9: Cantidad de tareas propuestas por nivel (Básico, medio y avanzado)
según contenido del texto escolar de 7º.
En el texto de grado séptimo no se encuentra diferencia alguna en relación a las
tareas que se venían proponiendo, se observó en esta última tabla, que la mayor
concentración de ellas (las tareas) se encuentra en un nivel básico y un nivel medio, el
texto escolar carece de tareas de nivel avanzado, es así como, la obra matemática
propuesta en los textos escolares abordan tareas puntuales y no hacen una
aproximación al logos que vienen dado por tareas locales.
85
4.3 CONTRASTE ENTRE EL ANÁLISIS DEL PLAN DE ÁREA Y LOS TEXTOS
ESCOLARES.
Lo que en esta parte del trabajo se pretende es hacer un contraste, entre lo que se
propone en el plan de área de la Institución Escolar (IE) y lo que se propone en los
textos escolares analizados en este trabajo, de igual manera poder observar de forma
más clara como se plasma en esta obra matemática la coherencia vertical y la
coherencia horizontal en cuanto al tema del sistema numérico analizado.
Para ello se iniciará presentando un contraste en los contenidos propuestos por
ambos, el plan de área concerniente a grado sexto y el texto escolar “serie código
matemáticas 6” para determinar la presencia o no, de la relación existente en el
desarrollo de los números enteros, tanto en el grado 6° como en el grado 7°. Lo anterior
se observa en las siguientes tablas:
PLAN DE ÁREA DE MATEMÁTICAS: temas y subtemas TEXTO ESCOLAR SERIE CÓDIGO MATEMÁTICAS 6: contenidos
Números Enteros y sus subconjuntos. Escritura por extensión y comprensión.
Posiciones relativas.
Análisis de la pertenencia, la unión e intersección entre estos conjuntos.
De los números naturales a los números enteros.
Concepto de número opuesto (inverso aditivo). Valor absoluto. Opuesto de un número entero.
Representación de enteros en la recta numérica. Números enteros en la recta numérica.
Relaciones de orden. Comparación de números enteros.
Adición y sustracción de enteros. Propiedades. Adición de números enteros.
Multiplicación y división de enteros. Propiedades
Multiplicación de números enteros. Propiedad distributiva.
División de números enteros.
Sacar factor común. Operaciones combinadas con números enteros. Operaciones con paréntesis.
Tabla 10: Contraste entre los contenidos propuestos en el plan de área de 6º y el texto escolar
"serie código matemáticas 6".
Haciendo un paralelo entre el plan de área y el texto escolar de grado 6º, se
puede observar que en principio hay una correlación directa dado que el plan de área
86
propone la enseñanza de los sistemas numéricos en particular el de los números
enteros y sus propiedades y el texto escolar también lo menciona, sin embargo el plan
de área carece de elementos que justifiquen la razón por la cual se enseñan los
contenidos que enuncian y el texto escolar por su parte en las tareas que propone se
observa el nivel operatorio y algorítmico que los establece.
A continuación de mencionan los contenidos propuestos en grado séptimo en el
plan de área de matemáticas y el texto escolar “serie código matemáticas 7”.
PLAN DE ÁREA DE MATEMÁTICAS: temas y subtemas.
TEXTO ESCOLAR SERIE CÓDIGO MATEMÁTICAS 7 Contenidos.
Números enteros. Números enteros. Valor absoluto.
Recta numérica. Relación de orden entre los números enteros.
Operaciones entre enteros. Adición de números enteros.
Propiedades de las operaciones entre enteros. Sustracción de números enteros.
Potenciación. Multiplicación de números enteros.
Radicación.
División exacta de números enteros
Ecuaciones.
Operaciones combinadas con números enteros
Tabla 11: Contraste entre los contenidos propuestos en el plan de área y el texto escolar “serie códigos
matemáticas 7”.
En el caso de grado séptimo existe una correlación directa entre los contenidos
propuestos en el plan de área y el texto escolar de grado séptimo, en este caso la obra
matemática que en el plan de área se expone con relación a los textos escolares son
puntuales en tanto brindan pautas de manera muy general de la enseñanza de los
enteros y la transición que se da de a .
Dando una visión articuladora con relación al plan de área y los Lineamientos
Curriculares (1998) y Estándares Básicos de Competencias de Matemáticas (2006) en
cuanto a los contenidos a desarrollar en el tema de los sistemas numérico
concernientes a los enteros, se puede observar una secuencialidad en los
conocimientos a adquirir, existiendo un orden para alcanzar su dominio.
87
Sin embargo se ven presentes el fenómeno de enseñanza llamado “atomización
de la enseñanza” dado que no se ve de manera clara la conexión que se hace entre los
contenidos de un nivel a otro.
Si bien es cierto el plan de área menciona los estándares determinados por el
documento del MEN (2006), no existe una correlación directa entre las formas de hacer
en la propuesta de aula establecida; no posee de manera explícita cómo se lleva a
cabo la integración de los sistemas numéricos y la secuencialidad que se da de los
naturales a los enteros.
Observando la estructura de los textos escolares se puede decir que aunque hay
algunas justificaciones que pertenecen al logos para la introducción del concepto de
número entero en los textos escolares cuando hacen referencia al nivel avanzado,
estas carecen de elementos potentes que puedan explicar las razones de ser de las
tareas propuestas para ser abordadas, dado que la mayoría de enunciados
matemáticos le están dando al estudiante una forma algorítmica de hacer limitando las
riqueza que tienen las definiciones principales que le dan forma y estructura a los
números enteros y esto asociado a las pocas tareas que propone el texto escolar
permite identificar que hay ausencia de un concepto fuerte en la estructura y campo de
acción de .
Con relación a las tareas que proponen los textos para desarrollar las habilidades
en los estudiantes se puede observar que hay unos estándares a los que tales tareas
no responden de manera adecuada, dado que carecen de elementos que para la
ejecución de técnicas de abordaje de los siguientes aspectos.
Justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un
problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.
Resolver y formular problemas cuya solución requiere de la potenciación o
radicación.
88
En los aspectos anteriores, como se mencionó, se observan tareas que requieren
de una justificación para la solución, sin embargo no hay una ejemplificación genuina
explicita de los pasos que se deben realizar y tampoco se ve clara algunas preguntas
que podría ser cuestiones que los estudiantes se planteen antes de interpelar a una
solución de manera algorítmica y vacía.
Relacionando las tareas propuestas por el texto escolar y las dimensiones que
plantea Bruno (2001), se observa que de manera ligera se enuncian tareas de tipo de
recta, aunque el texto escolar no realiza una explicación profunda de lo que debe
permitir ésta dimensión y esto hace que exista una ruptura en la comprensión de los
sistemas numéricos, en donde el estudiante carece de herramientas propias para la
identificación de las restricciones de los naturales y posibilidades que brinda .
Es así como, las dimensiones (Abstracta, de recta y contexto) que deben permitir al
estudiante pasar de una a otra encontrando así técnicas para la solución de
determinada tareas en las cuestiones de plantear y resolver y lo que plantea la TAD al
respecto, el texto escolar no abordan en este sentido sus explicaciones, dado que en
un gran porcentaje se da paso a tareas rutinarios sin establecer las relaciones
existentes entre ellos.
Haciendo una comparación entre los enunciados matemáticos (Em), planteados por
los textos escolares y relacionándolos con la obra matemática de referencia, los textos
escolares están faltos en su mayoría del logos dado que en sus enunciados forman
parte de las maneras de hacer algorítmica u operatoria y no hay preguntas que puedan
cuestionar al estudiante explorando las respuestas posibles del porque aprende esos
contenidos matemáticos, provocando un aprendizaje bastante segmentado. Esto se
puede explicar si se tiene en cuenta la propuesta de Bolea & Cid (2007) de introducir
en un entorno algebraico. Los textos escolares analizados se enmarcan en un entorno
puramente numérico, donde lo algebraico tiende a ser una mera ejemplificación de lo
que se propone para ser estudiado.
89
La propuestas de los textos escolares tienen una problemática implícita en tanto
manifiesta tareas simples que se resuelven con técnicas básicas, reduciendo el
problema al estudiante considerándolo incapaz de realizar tareas más complejas
pertenecientes al logos, si bien la praxis es importante correlacionarla con el logos
evitaría enseñanzas instantáneas. Es decir, se observa en los textos escolares que los
porcentajes de tareas evidencien la falencia de tecnología y teoría, que los estudiantes
pueden realizar.
Si bien es cierto, se ve una leve intención de los textos escolares analizados por
hacer una transición de a , haciendo la revisión entre líneas se observa que dicha
transición es superficial dado que bajo el título de “naturales a enteros”, sólo se
menciona que con relación a la temperatura es importante saber que indica y para ello
se debe anteceder dicha medida con un signo + ó -, que introduce a los enteros con
relación a la posición relativa.
Por lo tanto, la propuestas presentes en las OM analizadas evidencian limitaciones
en tanto se generaliza los contenidos a desarrollar, mostrando obras matemáticas
puntuales que permiten solo la forma de hacer algorítmica, en el plan de área se
mencionan objetivos, estándares y contenidos, en donde poco se evidencia la conexión
de ellos, quedando así aspectos generales y con detalle que son más bien vanos y
poco articuladores.
Por otro lado, la introducción de los números enteros carece de una sistematización
que aluda a los aspectos integradores como lo menciona Bruno (2001) con relación a
la unicidad de los sistemas numéricos, dado que los textos intentan hacer una relación,
sin embargo se quedan cortos en el logos en sus dos componentes (tecnologías y
teorías) que es de alguna manera uno de los componentes que ayudan a establecer las
potencialidades y limitaciones de los nuevos sistemas numéricos. De ahí que ésta
puede ser una dificultad añadida al introducir en un entorno aritmético.
90
Es así como podemos identificar lo que mencionan algunas investigaciones como la
de Cid (2007), una de ellas es que introducir en un entorno algebraico permite ver las
generalidades que en lo aritmético no se pueden trabajar por las limitaciones que
presentan los naturales.
Otro aspecto que se debe mencionar es que los modelos concretos dejan ver los
números enteros como objetos intermediarios de cálculo e impide ver la potencialidad
que contiene al poder modelizar determinados sistemas y que los números
antecedidos por signos son los que permiten avalarlos como números negativos y
números positivos. (Cid & Bolea, 2007).
Finalmente, tal como lo menciona Bruno (2001) sería importante pensarse
propuestas didácticas que planteen una visión unitaria de los sistemas numéricos. En
los planes de área y libros de texto podría materializarse este trabajo que a largo plazo
vaya impactando las aulas de clase, siempre y cuando, se reconozcan las razones de
ser a las que responde las obras matemáticas relacionadas con los sistemas
numéricos, en este caso , y se analice la posibilidad de introducir en entornos
algebraicos y no puramente aritméticos.
91
CAPÍTULO 5
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
92
5.1 CONCLUSIONES
Con relación a los análisis del plan de área, es necesario en las instituciones
escolares, pensarse los planes de área como un elemento importante a la hora de
explicitar las obras matemáticas que se pretenden enseñar. No será suficiente plantear
unos criterios generales, y una secuenciación de contenidos para ser abordados, sino
que se necesita un proceso de estudio donde los docentes puedan conocer las razones
de ser de lo que se propone para ser enseñado. Esto exigiría cambiar la rigidez
curricular que prima en muchas instituciones de nuestro medio, donde se tiende a
considerar el conocimiento matemático como un corpus acabado de una vez por todas,
y de esta manera, la transparencia del saber puesto en juego parece responder a la
cultura pre-científica mencionada por Gascón (1998).
Si bien es cierto que los textos escolares son una guía que orienta el quehacer del
maestro en la escuela proponiendo una manera de cómo llevar a cabo determinadas
estrategias para la construcción del conocimiento matemático en el estudiante, no se
puede pasar por alto que también se debe hacer una crítica frente a lo que dichos
textos contienen, pues se puede observar en los textos escolares “Serie Código
Matemáticas 6 y Serie Código Matemáticas 7” que la obra matemática con relación a
los números enteros tiende a ser de tipo puntual en la medida en que la mayoría de
ellas se encuentran en un nivel de desempeño básico orientada a un solo tipo de tareas
con técnicas, la mayoría de ellas de tipo algorítmica, lo cual no permite que el
estudiante cuestione aquello que está aprendiendo, como tampoco permite que el
estudiante explore y proponga situaciones que lo lleven a una ampliación de las obras
matemáticas puntuales a locales. Es decir, la ausencia de un logos más potente y
articulador hace que probablemente se oculte el por qué el campo de lo aritmético es
insuficiente para introducir con eficiencia el estudio de .
Tanto el plan de área de las instituciones como los textos escolares deben
proponerse la enseñanza de una manera integrada (en el sentido de OM como mínimo
93
locales), pues de esta manera se le permite al estudiante, descubrir el por qué y el para
qué de los conocimientos que adquieren, que puedan determinar de esta manera las
limitaciones que tienen ciertos contenidos que hacen necesario el surgimiento de otros
y las potencialidades que a su vez dichos contenidos tienen en su construcción del
conocimiento matemático.
El análisis de los textos escolares mostró desde la Teoría Antropológica de lo
Didáctico, que existe una limitación frente a las tareas, dado que en el texto no se ve
una orientación fuerte en la manera de desarrollar el concepto de número entero, pues
se olvidan las razones de ser de las OM propuestas, lo cual puede agudizar los
fenómenos de autismo temático y atomización de la enseñanza de las matemáticas
que se han explicitado en este trabajo.
No solo los textos escolares presentan una limitación en la construcción del
conocimiento matemático, también se puede encontrar dicha limitación en la
organización matemática propuesta en el currículo (Estándares Básicos de
competencias en Matemáticas (2006), Lineamientos Curriculares de
Matemáticas(1998), plan de área de matemáticas), pues estos tienden a sustraerse de
una razón de ser de lo que se enseña (desde el punto de vista de los conceptos
matemáticos involucrados), lo que a su vez, debería tenerse en cuenta para brindar
pautas a los docentes en formación en el sentido de que puedan ser críticos frente a
las propuestas curriculares emanadas del MEN, donde tomen conciencia de que el
conocimiento matemático no debe ser tomado como transparente y debe ser la fuente
inicial de dónde partan las problemáticas didácticas que se deberán asumir en la
institución escolar.
Igualmente, el trabajo realizado sugiere tener mucho cuidado con los modelos
concretos al abordar la enseñanza de los enteros en la escuela, dado que la literatura
ha mostrado que pueden existir efectos contraproducentes en dicho enfoque al
propiciar un significado de demasiado alejado de su naturaleza algebraica lo que
puede llegar a ser fuente de numerosos obstáculos.
94
Por otro lado, dado que no existen suficientes trabajos sobre cómo llevar a cabo
el abordaje de desde obras matemáticas de tipo local y regional teniendo en cuenta
entornos algebraicos, estamos de acuerdo tal como lo plantea Cid & Bolea (2007) en
que la mejor sugerencia por el momento para los docentes, es emplear reflexivamente
los modelos concretos sin abusar de su uso y reconociendo las problemáticas
asociadas al trabajo con estos modelos que pueden surgir en dicha introducción y que
suelen ser ignoradas por muchos de los profesores.
Finalmente como aporte fundamental desde nuestra formación y realización de
este trabajo de grado, enmarcado en el currículo propuesto, podemos decir que existen
cuestiones que debemos tener siempre presentes en nuestro quehacer como docentes
de matemáticas, dado que las propuestas en los textos escolares y planes de área,
suelen tener ausencias que suelen pasar inadvertidas en el complejo mundo de la
escuela, es decir, debemos reformular de manera crítica estas OM para que la
enseñanza de las que somos parte responsable en las instituciones no agudicen los
efectos negativos que se mencionan en las investigaciones, sino que al contrario,
puedan ser un aporte para mejorar la formación de nuestros estudiantes y a su vez, la
de nosotras mismas.
95
5.2 BIBLIOGRAFÍA
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http://www.icfes.gov.co/timss/phocadownload/2010/informe%20ejecutivo%20tim
ss.pdf
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ANEXOS
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