LecturaUnidad 1

Sitio: Universidad Privada TelesupCurso: Matemtica Bsica - SI1Libro: LecturaImprimido por: HUMPIRE JAUREGUI JUAN ALBERTOFecha: mircoles, 11 de abril de 2012, 08:52

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Tabla de contenidosIntroduccin

Tema 01

Tema 02

Tema 03

Tema 04

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a) Presentacin y contextualizacin

La matemtica como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teora de Conjuntos.Los smbolos primitivos para armar expresiones matemticas y consecuentementeuna red matemtica, son los del modelo o Teora de Conjuntos cuyos entes,conectivos y puntuacin se pueden presentar como elementos y conjuntos. Por ello, aquel alumno refuerza sus nociones bsicas sobre agrupacin y operaciones entre conjuntosas como sus apreciaciones crticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia

Identifica y determina conjuntos reconociendo sus elementos, as mismo realizaoperaciones para resolver situaciones problemticas y representa resultados endiagramas.

c) Capacidades

1. Identifica claramente la idea o nocin de conjunto y determina conjuntos porcomprensin y extensin.

2. Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados segn sean los casos deunin, interseccin, diferencia o complemento

3. Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresagrficamente sus resultados.

4. Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le daadems de identificar el dominio y rango de las relaciones

d) Actitudes

Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje.

Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formacin profesional y queadems son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.

Acta con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollode los temas.

e) Presentacin de ideas bsicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 01: Teora De Conjuntos, comprende el desarrollo de lossiguientes temas:

TEMA 01: Idea y Determinacin de Conjuntos

TEMA 02: Operaciones con Conjuntos

TEMA 03: Producto Cartesiano

TEMA 04: Relaciones

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Tema 01: Idea y Determinacin de Conjuntos

La Teora de Conjuntos es una divisin de las matemticas que estudia laspropiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobreel tema fue realizado por el matemtico alemn Georg Cantor,GottlobFrege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y mstarde reformulada por Zermelo.

1) IDEA Y DETERMINACIN DE CONJUNTO:

En matemtica utilizaremos la idea de conjunto con el mismo significado que se le da en lavida diaria, es decir, un conjunto es una coleccin, agrupacin o reunin de objetosllamados ELEMENTOS y que pueden ser determinados ya sea POR EXTENSIN o porCOMPRENSIN.Generalmente designaremos los conjuntos con letras maysculas de imprenta y anotaremossus elementos entre llaves. Diremos que un conjunto est definido por extensin si enumeramos todos loselementos que lo forman. Un conjunto est definido por comprensin si establecemos una propiedad quecaracteriza a todos los elementos del conjunto y slo a ellos.

Ejemplo:El conjunto de las notas musicales se escribe:Por extensin: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.Por comprensin: A = {x / x es nota musical}.

Observacin: x / x se lee x tal que x.Por otra parte, un conjunto se puede representar grficamente mediante diagramas deVenn; stos son curvas o polgonos cerrados, dentro de los cuales se indican mediantepuntos los elementos que pertenecen al conjunto.En el ejemplo:

Un conjunto est bien definido si se puede establecer sin dudar si un elemento pertenece ono al conjunto.

Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es mes del ao} M est biendefinido? Si es as, cules son sus elementos?Solucin:M s est bien definido porque es fcil identificar sus elementos.M = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, setiembre, octubre,noviembre, diciembre}

Si consideramos el siguiente conjunto: M = {x / x es alto} M est bien definido? Porqu?

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Solucin:M no est bien definido porque no es fcil identificar sus elementos.

Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo:que a pertenece al conjunto S. En smbolos: a S.que b no pertenece a S. En smbolos: b S.

Observacin:

Cardinal De Un Conjunto: es el nmero natural que indica la cantidad de elementos quetiene un conjunto.As: A={ x/x Z, -2 < x

Para todo x, y...Cuantificador existencial

Existe al menos un x, y...Cuantificador existencial nico

Existe exactamente un x, y...Negacin del cuantificador existencial

No existe ningn x, y...

2) CONJUNTOS ESPECIALES:

Universo o Conjunto Universal

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe elnombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, sedenota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral ).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros nmerosnaturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

@ Conjunto de nmeros naturales (enteros mayores o iguales quecero) representados por la letra N dondeN={ 0, 1, 2, 3, .... }

@ Conjunto de nmeros enteros positivos y negativos representados por la letra Z dondeZ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

@ Conjunto de nmeros racionales (nmeros que se representan como el cociente de dosnmeros enteros {fracciones}). Estos nmeros se representan por una Q

@ Conjunto de nmeros irracionales (nmeros que no puedan representarse como elcociente de dos nmeros enteros) representados por la letra I.

@ Conjunto de los nmeros reales que son los nmeros racionales e irracionales es decirtodos, representados por R.

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Ejemplos:1) Denotar el Conjunto Universal conformado por los nmeros naturalesmenores que 60.U = { x/x N ; x

3) RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

a) Inclusin:

Definicin: Un conjunto A est incluido en otro B si y slo si todoelemento que pertenece a A, pertenece tambin a B. En smbolos:

Observaciones:@ A B se lee A est incluido en B@ se lee si y solamente si

@ " x se lee para todo x@ se lee entonces

Ejemplo:Sea A = {8, 20, 4, 10} y B = {20, 4}:Decimos que B A ya que todo elemento de B est en A.Grficamente:

b) Igualdad:

@ Definicin: Dos conjuntos A y B son iguales si y slo si A B y B A, es decir, dosconjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. En smbolos:

A = B A B y B A

Actividad:Sean: R = {x / x es una letra de la palabra RECITAL}

C = {x / x es una letra de la palabra CITA}L = {x / x es una letra de la palabra LA}A = {x / x es una letra de la palabra ALA}

Definir los conjuntos por extensin, graficarlos y decir qu inclusiones y qu igualdades severifican.Solucin:Los conjuntos por extensin:

R={r, e, c, i, t, a, l}C={c, i, t, a}L={l, a}A={a, l}

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Grficamente:

Se puede verificar:@ C R ( C est contenido en R)@ A R (A est contenido en R)@ L R (L est contenido en R)@ A = L (A es igual a L)Notemos que el conjunto vaco est incluido en cualquierconjunto.En smbolos: A, " A conjunto.

Existe alguna relacin de inclusin entre un conjunto Aconsigo mismo? Por qu?Si hay inclusin de un conjunto consigo mismo porque todoconjunto est incluido o contenido en s mismo.Aplicaciones Prcticas:1) Dar por extensin el conjunto A:

Solucin: El conjunto A est formado por x tal que x = 2n - 1; adems: x > 17 Los n son nmeros naturales, recordemos que:N= {0; 1; 2; 3; 4; 5;.} Para hallar el conjunto A, tendremos que encontrar los x = 2n 1

As tenemos:X = 2 (0) 1 = -1 AX = 2 (1) 1 = 1 A..X = 2(9) 1 = 17 A..X = 2(10)- 1 = 19 A..X = 2(11) 1 = 21 A..Rpta: A = {19; 21; 23; 25; 27; }

2) Halla el valor de x para que estos conjuntos sean unitarios:

Solucin:Se sabe que un conjunto unitario slo tiene un elemento, entonces vamos a igualar loselementos:En Z: En P:

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3)El conjunto A = {x2 + 3 / x N 0 < x < 5} y el conjuntoB = {x - 3 / x N 7 = x < 15} son iguales}Solucin:A = {4; 7; 12; 19} ; B= {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}Luego: A B

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Tema 02: Operaciones con Conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera, podemos definir ciertas operaciones que nos den comoresultado otro conjunto. A continuacin, veremos algunas de ellas:

INTERSECCIN DE CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, denominamos Ainterseccin B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B almismo tiempo. En smbolos:

A B = { x / x A x B }Ejemplo:Sea A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = {4, 8, 12, 16, 20}.Luego A B = {4, 8, 12}.Grficamente:

Completar segn corresponda:> A = f cualquiera sea el conjunto A.> A A = A cualquiera sea el conjunto A.

Unin de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, denominamos A unin B al conjuntoformado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. En smbolos:

A B = { x / x A x B }

Ejemplo:Si consideramos el ejemplo anterior: A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}Grficamente:

Completar los siguientes casos particulares:A = A cualquiera sea el conjunto A.A A = A cualquiera sea el conjunto A.

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PROPIEDADES PARA LAS OPERACIONES DE UNIN E INTERSECCIN:La Unin e Interseccin tambin se conocen como operaciones Booleanas.

Diferencia De Conjuntos:

Sean a y b dos conjuntos. la diferencia de conjuntos A - B es:

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos a - b son aquellos elementos quepertenecen a a y no pertenecen a b.

Ejemplos

Si dados los conjuntos:A= { a,b,c,d }

B= { b,d }

La diferencia de conjuntos A - B es:

A-B ={ a,c }

Si:W = { x : x N X impar 0 < X < 13 }

Z= { 7,8,9,10,11,12,13 }

Entonces:

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W-Z = { 1,3,5 }

y

Z-W= { 8,10,12,13 }

Complemento de conjuntos:Cuando estudiamos algo en matemtica, trabajamos todo el tiempo con los elementos de unconjunto U al que llamamos universal o referencial. Si tomamos un conjunto A U,denominamos complemento de A, y notamos A, al conjunto formado por todos loselementos de U que no pertenecen a A.

En smbolos:A = { x / x U x A }Ejemplo:Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {3,6, 9}.Luego A = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.Grficamente:

APLICACIONES PRCTICAS:1) Dados los conjuntos:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y R = {3, 4, 5}Hallar:

a) (Q R)b) (P Q)c) (Q)d) (P - Q)

a) (Q R)Solucin:

(Q R) = {x/x Q o x R}= {l, 2, 4, 5} {3, 4, 5}= {l, 2, 3, 4, 5}= P

b) (P Q)

Solucin:

(P Q) = {x/x P o x Q}= { l, 2, 3, 4, 5} { l, 2, 4, 5}= {1, 2, 4, 5}= Q

c) (Q)Solucin:

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El conjunto Q consiste en los elementos que estn en Upero no en Q.

Q = {x/x U x Q}U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Q = {1, 2, 4, 5}Q = {3, 6}

d) (P - Q)Solucin:

P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5}P - Q = {3}(P-Q)= {1, 2, 4, 5, 6}

2)Una compaa tiene 350 empleados de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario,100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario.

a) Cuntos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos?b) Cuntos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento?c) Cuntos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos?

Solucin:De los datos que nos dan realizamos el diagrama de Venn, consideremos que el conectivoy hace referencia a la interseccin.

Respuestas:

a) 100 empleadosb) 40 empleadosc) 150 empleados

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3) En una encuesta aplicada a 1000 empleados de un centro comercial sobre el tipo detransporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente informacin:

431 empleados utilizan metropolitano.396 empleados utilizan taxi.101 empleados utilizan metropolitano y combi pero no taxi.176 empleados no utilizan ninguno de los tres medios considerados.341 utilizan combi.634 utilizan metropolitano o combi.201 utilizan slo metropolitano.a) Cuntos empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi?b) Cuntos empleados utilizan slo uno de los tres medios de transportemencionados?c) Cuntos empleados utilizan slo combi?d) Cuntos empleados utilizan metropolitano, combi y taxi?

Solucin:Debemos tener en cuenta que el conectivo o hace referencia a la Unin.

634 utilizan metropolitano o combi: 201 + (101 + a + b + e) + d = 634201 + 341 + d = 634d = 92431 empleados utilizan metropolitano: 201 + 101 + d + e = 431201 + 101 + 92 + e = 431e = 37341 utilizan combi: 101 + e + a + b = 341101 + 37 + a + b = 341a + b = 203396 empleados utilizan taxi: (d + e) + b + c = 396129 + b + c = 396b + c = 267Los que utilizan transporte son: 1000 176 = 824Entonces: 201 + 101 + ( a + b ) + c + (d + e) = 824201 + 101 + ( 203 ) + c + (129 ) = 824C = 190Ahora hallamos b : b + c = 267b + 190 = 267b = 77Ahora hallamos a: a + b = 203a + 77 = 203

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a = 126

En el grfico:

Respuesta:

a)

(201 + 101 + 126) = 428 empleados utilizan metropolitano o combi pero no taxi.b) (201 + 190 + 126) = 517 empleados utilizan slo uno de los tres medios de transportemencionados.c) 126 empleados utilizan slo combi.d) 37 empleados utilizan metropolitano, combi y taxi.

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Tema 03: Producto CartesianoPAR ORDENADO:Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio deordenacin que establece cul es primer elemento y cul el segundo.Un par ordenado de componentes a, b se denota (a, b). En general en el parordenado: (a, b) a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" sellama segunda componente u ordenada.Ejemplo:Son pares ordenados: (3; 5) , (-2; 7), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS:

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) diremos que son iguales si sus correspondientescomponentes son iguales, esto es:(a, b) = (c, d) a = c b = d.Ejemplo:Determinar los valores x e y, si los siguientes pares ordenados son iguales:(4, 2x-10) = (x-1, y+2)Solucin: teniendo en cuenta el concepto de igualdad de pares ordenados, se tiene:4 = x 1 ; 2x 10 = y + 2 5 = x 2(5) 10 = y + 2 -2 = y

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS:

Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos productocartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A yla segunda componente b pertenece al conjunto B.

As tenemos:A X B = {(a, b) / a A b B}Ejemplo 1:Sean: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4} . Hallar AXB e indicar su cardinal. Representarlogrficamente.Solucin: A X B = {(1; 2), (1; 4), (3;2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}Adems el cardinal de AXB ser:Card. (AXB) = n(AXB) = n(A) X n(B) = 3 X 2 = 6Representacin Grfica:

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El Plano Cartesiano:

Ejemplo 2:Sean los conjuntos A y B. A={a, b, c} y B={m, n, o}El producto cartesiano A x B estar definido como:

AxB={(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}

El producto cartesiano BxA estar definido como: BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

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Ejemplo: Representar en el plano cartesiano AxB:

Sean A = {x / x R 1 < x 3 }, B = {x / x R -2 x < 2 }.

Solucin:

Se debe tener en cuenta que los elementos de A y B son reales, por lo tanto en el grfico setomarn en cuenta todos los puntos que corresponden a los intervalos de valores para A yB.La representacin geomtrica de A X B es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectngulo PQRS y los puntos quepertenecen a los segmentos PQ y QR.

Propiedades Del Producto Cartesiano:

1)A X B B X A (est sujeto a los elementos de los conjuntos)2)A x = x A = 3)A X (B C) = A X B A X C4)A X (B C) = A X B A X C5)A X (B - C) = A X B - A X CEjemplo:Se tiene los productos: A={1,2 }, B={1,b,c }, C={0}, D=

A x B={(1,1),(1,b),(2,1),(2,b),(2,c) }

A x C={(1,0),(2,0)}

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C x A={(0,1),(0,2)}

A x D=

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Tema 04: Relaciones

DEFINICIN:Sean A y B conjuntos no vacos. Una relacin binaria de A en B o relacin entre loselementos de A y B es todo subconjunto R del producto cartesiano A x B , esto es:

Tal que: R = {(x;y) A x B / p(x,y)}

Donde: p(x,y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relacin.Si R es una relacin y (a,b) R , decimos que est relacionada con b.Ejemplo:

Dados los conjuntos: B={1; 3; 5} y C={2; 4; 6} Hallar loselementos de las relaciones:R1={(x;y) B X C / x + y = 7}R2 ={(x;y) B X C / y = 6 }

Solucin:BXC ={(1;2), (1;4), (1;6), (3;2), (3;4), (3;6), (5;2), (5;4), (5;6)}Y las Relaciones R1 y R2 son:R1={(1;6), (3;4), (5;2)}R2={(1;6), (3;6), (5;6)}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN:

Dominio:

Sea R una relacin.Definimos el dominio de R como el conjunto formado por las primeras componentes de lasparejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lorepresentamos por comprensin as:

Rango:

Sea R una relacin.Definimos el rango de R como el conjunto formado por las segundas componentes de lasparejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos r ( R ) o ran ( R ). Dicho conjunto lorepresentamos por comprensin as:

Ejemplo:1) Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A > B la relacin tal que "x +

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y < 8 , determine:

a) Conjunto Solucin b) Dominio c) Rango d) Diagrama de Venn Eulere) Diagrama de Coordenadas.

Solucin:a) El conjunto solucin es R = { ( x , y) A X B / x + y < 8 } = { ( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 ) } .b) El dominio es Dom(R) = { 2, 3, 4 } c) El rango es Ran(R) = { 4, 6 }d) El diagrama de Venn Euler (tambin llamado diagrama sagital o de flechas) es:

e) El Diagrama de Coordenadas es:

2) Siendo N el conjunto de los nmeros Naturales, se define la siguiente relacin:R={(x;y) N2 / x + y 4}Hallar la relacin R e indicar los elementos del dominio y rango.

Solucin:

Tengamos en cuenta que: N x N = N2 Recordemos que el conjunto de los nmeros Naturales es:N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; } Usando la regla de correspondencia de la Relacin: x + y 4 ; empezamos a dar valoresnaturales a x y se puede hallar tambin los valores naturales de y teniendo en cuantaque debe cumplir la Regla de Correspondencia:x + y = 4 y = 4 x

x 0 1 2 3 4

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y 4 3 2 1 0

As tenemos: R={(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)} Dom(R)={0; 1; 2; 3; 4} Ran(R)={0; 1; 2; 3; 4}

3) Si: S={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} y la relacin R={(x,y) S x S / y es mltiplo de x; x y}hallar la suma de todos los elementos del Dom(R))

Solucin:R={(3;6), (3;9), (4;8), (5;10)}Dom(R)={3; 4; 5}La suma pedida es: 3 + 4 + 5 = 12

4) Dado el universo U={1; 2; 3; 4} y las relaciones:R1={(x;y) U2 / x = y}R2={(x;y) U2 / x = 3}R3={(x;y) U2 / x = y}Hallar: R3 (R1 ? R2)

Solucin:R1={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4)}R2={(3;1), (3;2), (3;3), (3;4)}R3={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;2), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4), (4;4)}(R1 R2) = {(1;1), (2;2), (3;1),(3;3), (3;2), (3;4), (4;4)}R3 (R1 R2) = {(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4)}

TIPOS DE RELACIONES:

Relacin ReflexivaR es una relacin reflexiva en un conjunto A no vaco, si y slo si cada elemento de l estrelacionado consigo mismo:Ejemplo:A = { 1 , 2 , 3 }R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }R es una relacin Reflexiva porque todos los elementos de A estn relacionados consigomismo.Relacin SimtricaR es una relacin simtrica en un conjunto A no vaco, si y slo si cada par de elementosde l satisface lo siguiente: a R b b R aEjemplo: A = { 1 , 2 , 3 }R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }R es una relacin simtrica porque para todo par (a; b) que pertenecea la relacin tambin se tiene el par (b; a) que pertenece a la relacin.

Relacin AntisimtricaR es una relacin anti simtrica en un conjunto A no vaco, si y slo si cada par deelementos de l satisface lo siguiente: a R b b R a a = bEjemplo:A = { 1 , 2 , 3 }

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R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }R es una relacin Anti simtrica porque para todo par (a; b) que pertenece a la relacin, nose tiene el par (b; a) en la relacin.Relacin TransitivaR es una relacin transitiva en un conjunto A no vaco , si y slo si cada tro de elementosde l satisface lo siguiente: a R b b R c a R cEjemplo:A = { 1 , 2 , 3 }R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }R es una relacin Transitiva porque para todo par (a; b) y (b; c) que pertenecen a larelacin, tambin el par (a; c) pertenece a la relacin.

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