05 conjuntos
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¿Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección de objetos
considerada como un todo.
Los objetos de un conjunto son llamados elementos o miembros del conjunto.
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc.
Un conjunto no posee elementos repetidos.
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Ejemplo
a A (a pertenece a A) b A (b no pertenece a A)
a
Relación de pertenencia
e
i
b
co
u
V
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Formas de expresión de un conjunto Para indicar un conjunto de utilizan llaves.
Hay distintas formas de expresarlo Enumerando sus elementos
A = {a, e, i, o, u}
Indicando alguna caracterización de sus elementos
A = { x / x es una vocal }
Tal que
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Conjunto vacío
Es aquel que no contiene elementos Representación: o {} Ejemplo:
B = { x / x N ^ 2x = 1}
B es un conjunto que no contiene elementos dado que ningún número natural
multiplicado por 2 puede dar como resultado 1
B = {}
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Cardinalidad de un conjunto
Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto
Ejemplo:
La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5
La cardinalidad de B = { x / x N ^ 2x = 1} es 0
Un conjunto puede contener infinitos elementos.
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Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos o si ambos son vacíos
Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A = B ?
A = C ?
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Subconjuntos de un conjunto
Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es también elemento de A, diremos que B es un subconjunto de A B es una parte de A B está incluido A.
Esto se simboliza como B A
B
A
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Subconjuntos de conjuntos
Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A C C A pues 1 C y 1 A.
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Conjunto de partes de un conjunto Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto
de partes de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A, y lo denotaremos P(A).
En otras palabras:
P(A) = { B / B A }
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Conjunto de partes de un conjunto Ejemplos
A = {1} A tiene 1 elemento
P(A) = { {}, {1} } P(A) tiene 2 elementos
A = {1, 2} A tiene 2 elementos
P(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} } P(A) tiene 4 elementos
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Operaciones de conjuntos
Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos a partir de otros existentes: Unión Intersección Diferencia Complemento
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Operaciones de Conjuntos
A B = {x / x A x B }
UNION
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Operaciones de Conjuntos
A B = { x / x A x B }
INTERSECCION
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Operaciones de Conjuntos
B – A = {x / x B x A }
DIFERENCIA
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Operaciones de Conjuntos
Si A B CBA= {x / x B x A }
CBA = B – A
COMPLEMENTO
B
A
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Ejercicios Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular A B = A B = A – B = B – A = A B C = A – ( B – C) =
{ 1,2 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
{ 3 }{ 4, 5 }
{ 2 }
{ 2, 3 }
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EjercicioColorear la parte que representa el conjunto
(A B) – ( A C)
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EjercicioColorear la parte que representa el conjunto
(A B) – ( A C)
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Autoevaluación
En esta dirección
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evaluteo.htm
hay una autoevaluación de conjuntos.
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Producto Cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x A ^ y B }
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Producto Cartesiano
Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.
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Producto Cartesiano
Ejemplo: A = { oro, copa, basto, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1), (copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }
Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
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Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
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Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
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Producto Cartesiano
Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
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Gráfico cartesiano Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }
el gráfico cartesiano de A x B es:
La primera componente de cada
elemento del producto cartesiano es la
abscisa
La segunda componente de cada
elemento del producto cartesiano es la
ordenada
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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R –1 x 1 } B = R
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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R 2 x < 5 }B = { x / x R 1 < x 3}
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Relación entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados
de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.
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Relación entre elementos de conjuntos Se llama relación entre los conjuntos A y B a un
subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.
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Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los
elementos de A con los de B
b está relacionado
con 1
3 es el correspondiente
de d
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Conjuntos de salida y de llegada de un relación A es el conjunto de salida y B es el conjunto
de llegada
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Dominio de una relación
Dom(R) = x / xA (x,y) R
Dom(R) = {b, c, d}
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Imagen de una relación
Im(R) = y / yB (x,y) R
Im(R) = {1, 3, 4}
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Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y
significa que (x,y) R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R.
Ej: b R 1 porque (b,1) R
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Relación definida en un conjunto Cuando los conjuntos de partida y de llegada
de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A.
Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A
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Relación definida en un conjunto Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el
par (Ana,Luis) R. Note que los pares que verifiquen R son un
subconjunto de H x H.
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Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos
Los vértices del grafo son los
elementos A y las aristas dirigidas representan los elementos de R
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Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación y 0 que no hay relación
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Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto Si establecemos una relación entre los elementos
de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación
Propiedad reflexiva Propiedad simétrica Propiedad asimétrica Propiedad antisimétrica Propiedad transitiva
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Propiedad reflexiva La propiedad reflexiva dice que todos los elementos
de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
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Propiedad simétrica La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R
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Propiedad Simétrica
Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes
relaciones en A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
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Propiedad asimétrica Una relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.
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Propiedad antisimétrica Una relación es
antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.
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Propiedad antisimétrica
Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes
relaciones en A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
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Propiedad transitiva La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.
R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R
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Propiedad transitiva
Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes
relaciones en A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
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Ejercicio
Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones
R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
R2 = {(1, 1)}.
R3 = {(1, 2)}.
R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
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Ejercicio
Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}
Escribir por extensión a R.
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Casos especiales
Como casos especiales de las relaciones en un conjunto se define:
Relaciones de orden: Permite ordenar los elementos a través de la relación.
Relación de equivalencia: Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto
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Relación de orden La relación de orden es aquella en que los elementos
pueden ordenarse a través de la relación. Ejemplo
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Relación de Orden
Pueden definirse dos tipos de relación: Relación de orden amplio. Relación de orden estricto.
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Relación de orden amplio Una relación de orden amplio es aquella
que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
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Relación de orden amplioEjemplo: R = “… es menor o igual que…”
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Ejemplo: Indicar si las siguientes relaciones son de orden amplio
Sea A es el conjunto de los naturales y
R = {(x,y) / x,y A ^ “x divide a y”}
Sea A es el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado y
R = {(x,y) / x,y A ^ “x está incluído en y”}
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Relación de orden estricto Una relación de orden estricto es aquella que
cumple con las propiedades asimétrica y transitiva, y no cumple con la propiedad reflexiva.
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Relación de orden estrictoEjemplo: R = “… es menor que…”
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Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto
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Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto mediante su clasificación, determinando una partición del mismo en clases de equivalencia.
Se llama partición de un conjunto A, a todo
conjunto de subconjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, de modo que la unión de
dichos conjuntos formen el conjunto A.
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Clase de Equivalencia Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto
sobre el que está definida, llamaremos clase de equivalencia del elemento a K, al subconjunto a de K formado por todos los elementos de K que están relacionados con a por R. Esto es:
a = {x / x K ^ a R x }
Así, llamamos
representante de la clase al elemento a y diremos que, si x a, a es equivalente a x
por R
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Conjunto Cociente Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto
sobre el que está definida, llamaremos conjunto cociente K por R y lo notaremos K/R a la partición de K formada por todas las clases de equivalencia determinadas en K dada R.
Es decir, el conjunto cociente es el conjunto de todas las
clases de equivalencia que se puedan formar con los
elementos de K, dada R.
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Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo.
R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x".
R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".
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Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas.
El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias.
H/R es una partición de H.
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Ejercicio
¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?
R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},
donde S = {a / a es cualquier persona}
S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.