tubosconcentricos_2015

7/24/2019 TubosConcentricos_2015

1/72

6. MODELAMIENTO Y CLCULO NUMRICO DE INTERCAMBIADORES DE

TUBOS CONCNTRICOS

6.1. Introduccin

La presente aplicacin desarrolla el modelo matemtico e implementa el clculo

numrico de un intercambiador de doble tubo o tubos concntricos sobre una Hoja

Electrnica. Se presentan dos versiones para la solucin del modelo matemtico y que

corresponden a: una visin clsica del mtodo integrado Mtodo de Colburn- y a una

solucin rigurosa del modelo diferencial del fenmeno continuo de transferencia de

calor. Inicialmente se desarrollan los elementos conceptuales mnimos para el

entendimiento del fenmeno asociado y as finalmente permitir, junto con los

programas elaborados, diferentes anlisis sobre la operacin y condiciones del

proceso. Adicionalmente se hace una exploracin de algunas situacionescorrespondientes a configuraciones no convencionales en la disposicin de los flujos de

los fluidos y a tratamientos ms rigurosos en la parte conceptual y en los clculos,

especialmente cuando se da la presencia de rgimen laminar o de transicin. Se

efectan comparaciones entre las soluciones obtenidas por los dos mtodos, que se

denominarn Aproximadoy Riguroso, para establecer lmites y recomendaciones a

nivel de clculo y sus restricciones. El clculo denominada Riguroso, despus de ser

desarrollado e implementado, se puede observar que es relativamente sencillo y an

ms si se dispone de una plataforma numrica de fcil manejo, como podra ser la

opcin que se propone en este trabajo como una posible alternativa.

El objetivo del clculo numrico es de rdenes didctico y acadmico; se instala sobre

una herramienta numrica Hoja Electrnica ExcelTM de fcil manejo, ampliamente

difundida y de caractersticas casi universales, bastante amigable e interactiva y con

una adecuada presentacin. Adicionalmente, se implementa para el modelo

matemtico y su clculo numrico una estrategia acorde con los desarrollos

computacionales actuales.

Una vez realizada la implementacin en la Hoja Electrnica se valida contra datos anivel de bibliografa y el resultado es bastante bueno. Adicionalmente, la estrategia

numrica resultante es muy estable y expedita en trminos del tiempo de

computacin. Finalmente, se presentan algunos anlisis, con base en datos obtenidos

directamente de los programa desarrollados, para poner en evidencia la incidencia de


2/72

PginaAnlisis Conceptual, Modelamiento y Clculo Numrico en Ingeniera Qumica. HRangel J.

264

algunas variables y parmetros, lo mismo que los diferentes esquemas de flujo sobre

la operacin del intercambiador, y pone de manifiesto la utilidad y bondad de la

simulacin. En la parte inicial se hace una breve presentacin del equipo y algunos

elementos conceptuales del fenmeno como una referencia previa al anlisis de la

operacin.

Todo lo anterior se enmarca dentro del espritu investigativo para el desarrollo de

material con una intencin de aplicacin acadmica y quizs una posterior utilizacin a

nivel industrial. En general se estudia y analiza la posibilidad de implementar

programas de computacin para algunas operaciones de separacin y procesos

fisicoqumicos, a travs de herramientas que trabajan con lenguajes de alto nivel, que

se convierten en plataformas numricas relativamente sencillas, de una buena

presentacin y muy interactivas para el usuario.

2. Equipo

Los intercambiadores de doble tubo son los equipos de transferencia de calor ms

sencillos, fciles de operar y construir, y en algunas oportunidades una buena

alternativa econmica. Si el rea requerida en el proceso es relativamente baja o

moderada, menor de los 250 ft2, constituyen una buena opcin de solucin al

problema de intercambio de calor, fundamentalmente en el aspecto de costos y

construccin. Para situaciones que comprometan reas mayores, estos equipos

presentan problemas de eficiencia trmica, espacio, mantenimiento y problemas

hidrulicos; entonces son desventajosos frente a equipos ms compactos y eficientes

como los intercambiadores de tubos y coraza, intercambiadores de placas y otros

(12). Ver Aplicacin Intercambiadores de Placas en Anexo1.

El equipo, como su nombre lo indica, est constituido por dos tubos concntricos y

algunos pocos accesorios que los convierten en unidades muy sencillas y prcticas.

Sobre la parte descriptiva del equipo se puede consultar la bibliografa (5, 7, 8, 10).

La unidad bsica comnmente denominada horquillaest conformada por dos ramas y

con elementos adicionales, como puede verse en la figura 1. Los tubos utilizados son

algunos estndares, generalmente tubera IPS. Los dimetros usualmente van desde

2 hasta 4 en el tubo externo o nulo y de 1 hasta 3 en el tubo interno. Las

longitudes de la horquilla, longitud efectiva de cada rama, estn entre 12 hasta 20

pies. En el Anexose presentan los estndares de tubera IPS hasta un dimetro de

6.


3/72


265

Figura 1. Unidad bsica de un intercambiador de tubos concntricos (7).

3. Coeficientes de transferencia de calor

En este tem se presentan algunas ecuaciones y observaciones para el clculo de los

coeficientes de pelcula en el tubo y en el nulo, y posteriormente la forma para la

evaluacin del coeficiente total de transferencia de calor.

3.1 Coeficiente de transferencia en el tubo

Fundamentalmente se busca que estos equipos operen en rgimen turbulento para

que originen valores ptimos de los coeficientes de pelcula. Para el caso de la

condicin de flujo turbulento en un tubo, Re>10000, se tienen varias expresiones y se

presentan algunas como elementos de ilustracin, pero en la bibliografa convencional

se encuentra una gran cantidad de ecuaciones empricas que pueden ser utilizadas

para situaciones especficas y que en algunas eventualidades pueden ser ms

precisas. No se reporta la bibliografa en la parte bsica de transferencia de calor pues

es abundante y muy conocida.

La ecuacin de DittusBoelter para un fluido que se calienta o enfra en un tubo es

qp

8.0

k

CDG023.0

khD

(1)

Siendo:k Conductividad trmica del fluido, Btu/h.ft.0Fcp Calor especfico, Btu/lb.0F

Viscosidad, lb/h.ftD Dimetro interno del tubo, inG Flujo msico, lb/h.ft2q Se toma igual a 0.4 0.3 cuando el fluido se calienta o se enfra,

respectivamente.h Coeficiente promedio de transferencia de calor, Btu/h.ft2.0F


4/72


266

Dentro de las ecuaciones ms utilizadas a nivel prctico, debido a su consistencia y

precisin, se encuentra la expresin de Sieder y Tate la cual aglomera las condiciones

de calentamiento o enfriamiento y para ello utiliza el concepto de la temperatura de

pared, la cual ser motivo de una discusin posterior. La ecuacin es (7):

14.0

w

31

p8.0

k

CDG027.0

khD

(2)

w, es la viscosidad del fluido evaluada a la temperatura de pared.

Para rgimen de transicin, 10000 > Re> 2100, una de las expresiones ms utilizada

es (9)

14.0

w

31

p3/2

3/2

k

C125

DG)L/D(1116.0

khD

(3)

Donde L es la longitud bajo la cual se presenta el rgimen de transicin.

Para rgimen laminar, Re< 2100, flujo no desarrollado y descartada la presencia

simultnea de conveccin libre, se tiene la expresin (7)

14.0

w

3/1p L/Dk

CDG86.1

khD

(4)

El clculo de equipos con presencia de rgimen laminar a nivel de la bibliografa

convencional es quizs el que ms presenta error, debido a que se efecta sin tener

en cuenta algunas precisiones. Como se indic anteriormente la ecuacin es vlida

para flujo no completamente desarrollado, lo cual quiere decir que las capas lmites

trmica e hidrulica no se encuentran perfectamente definidas o, lo que es lo mismo,

los efectos de entrada no han desaparecido y que corresponde a la fase inestable.

Los efectos de entrada en el rgimen turbulento son relativamente despreciables y por

eso las expresiones anotadas anteriormente para esta condicin de flujo no los tienen

en cuenta, pues aqu predominan las fuerzas de inercia o sea las asociadas

fundamentalmente a la velocidad. Pero en rgimen laminar las fuerzas que


5/72


267

predominan son las viscosas y por lo tanto los efectos de entrada son importantes.

Para mejorar la precisin del clculo es necesario caracterizar la circunstancia

particular, que como se indicar ms adelante puede ser bastante significativa en la

solucin final del problema.

Para ello, inicialmente es necesario calcular la longitud requerida para obtener el flujo

completamente desarrollado, la cual se denomina Longitud Trmica de entradaLth,

(1). Entre los modelos para hacer clculo integrado de equipos de transferencia de

calor se encuentra que el denominado Modelo de Temperatura de Pared

Constante, el cual es el que mejor lo representa y se utiliza como referencia para

encontrar la expresin de la longitud trmica de entrada. Para el modelo de

temperatura de pared constante se ha encontrado que para esta posicin (13), x =

Lth, el nmero de Nusselt local de transferencia de calor tiende a ser constante e igual

a

66.3KDhx (5)

Donde x es la distancia desde el punto de entrada y hxes el coeficiente de pelcula

local.

La ecuacin 4 permite el clculo del coeficiente de pelcula promedio del fluido entre

x = 0 y x = L. Este coeficiente de pelcula promedio se obtiene integrando elcoeficiente local a lo largo de la superficie, as

A

0

xdAhA1

h (6)

Donde A es el rea de transferencia de calor convectiva. Para rgimen laminar y con

un modelo de temperatura de pared constante se ha encontrado que (1)

3/1x Cxh

(7)

Siendo C una constante de proporcionalidad.

Al efectuarse el proceso de integracin anterior se obtiene que


6/72


268

xh23

h (8)

La relacin anterior puede remplazarse en la ecuacin 4 y como para L = x = L thelnmero de Nusselt local es igual a 3.66, ecuacin 5, se obtiene finalmente la

expresin que permite calcular la longitud trmica de entrada

42.0

Wreth PRD039.0L

(9)

Lo anterior indica que la ecuacin 4 es vlida para L


7/72


269

)Rlog()G01.01(25.2

L/Dk

CDG86.1

khD

e

3/1ra

14.0

w

3/1

p

(11)

Donde el nmero de Grashof, Gra, se expresa como

2112

22

21

2

23

ra

ss)tt(2)ss(

tgDG

(12)

Siendo:

, densidad del fluido

g, aceleracin de la fuerza de la gravedad

, expansin volumtrica

t, diferencia de temperatura convectiva

, viscosidad

s1, s2; densidades relativas del fluido a t1y t2, respectivamente

Las propiedades fsicas en la ecuacin 12 se evalan a la condicin media t12 del fluido

que se calienta, que para el caso se toma como ilustracin, pues la conveccin puede

aparecer en el fluido caliente y el procedimiento de clculo es similar. El factor de

correccin por la presencia de conveccin libre tiene sentido si es mayor que la

unidad, en caso contrario no se tiene en cuenta y el factor de correccin en la

ecuacin 11 es igual a uno.

3.2 Coeficiente de transferencia en el nulo

El clculo del coeficiente de pelcula cuando el fluido circula por la seccin anular seefecta usando el dimetro equivalente, que es la forma de llevar cualquier tipo de

configuracin geomtrica, como su nombre lo indica, al equivalente de un tubo, lo

cual permite la utilizacin de las expresiones encontradas para la forma tubular.


8/72


270

Por definicin, el dimetro equivalente De, para transferencia de calor, es igual a

cuatro veces el rea de flujo de fluidos sobre el permetro de transferencia de calor, o

sea

1

21

22

1

21

22

e DDD

D)DD()4/(4D

(13)

Siendo D2y D1el dimetro interno del nulo y el dimetro externo del tubo interno,

respectivamente.

Para el caso actual el rea de flujo en el nulo es

)DD()4/(a 212

2a (14)

En las expresiones presentadas para el clculo del coeficiente en el tubo se remplaza

el dimetro interno por el dimetro equivalente y su respectiva rea de flujo aa.

3.3 Coeficiente total de transferencia

Figura 2. Resistencia total a la transferencia de calor.

Siendo DEy DIlos dimetros externo e interno del tubo interno.

El coeficiente total de transferencia de calor se calcula con base en todas las

resistencias que aparecen en el proceso, como se presenta en la figura 2.

oti RRRR (15)

R ioRtRo

Tc TW tc

nulo TuboPared

Lk2)D/D(L

Ah1

Ah1R

teoii


9/72


271

En esta expresin, Ries la resistencia convectiva interna, Rt la resistencia conductiva

del tubo y Ro la resistencia convectiva externa. Expresando cada una estas

resistencias se obtiene

kL2 )D/D(LnAh 1Ah1R IEeoii (16)

Siendo Ai y Ae las reas convectivas interna y externa del tubo interno,

respectivamente; hi y ho los coeficientes de pelcula interno y externo,

respectivamente; DI y DE los dimetros interno y externo del tubo interno,

respectivamente; kt la conductividad trmica del tubo interno y L la longitud total de

transferencia de calor en el tubo.

Como aparecen dos reas convectivas, es necesario tomar una como referencia para

poder especificar el coeficiente total de transferencia. Convencionalmente, a no serque haya una especificacin diferente, el rea de referencia que se utiliza es la

externa del tubo interno (Ae).

La resistencia total en trminos del coeficiente total se expresa como

Lk2)D/D(Ln

Ah1

Ah1

UA1

t

IE

eoiie (17)

Reorganizando y simplificando la ecuacin 17 se obtiene

et

IE

oeiiA

Lk2)D/D(Ln

h1

A/Ah1

U1

(18)

Para el caso la relacin de Ai/Aees igual a DI/DEy el producto de hi(DI/DE) se designa

como hio, que indica el coeficiente del fluido que va por la parte interna corregido al

rea de referencia. Como Ae= DEL, la ecuacin 15 queda como

t

IEE

ooi k2)D/D(Ln.D

h1

h1

U1 (19)


10/72


272

En la gran mayora de casos, el espesor del tubo es muy pequeo y la conductividad

trmica de su material es relativamente elevada; entonces por lo general el ltimo

trmino de la derecha se deprecia; la expresin final resultante es

ooi

ooi

hhhhU

(20)

En la eventualidad en que los valores de los coeficientes individuales sean muy

elevados es necesario tener en la cuenta la resistencia del tubo.

El coeficiente total considerado hasta este momento no tiene en cuenta el factor de

obstruccin, pero debido a su gran importancia se desarrollar con ms detalle en una

seccin posterior, despus de haber presentado otros conceptos. Por eso, al

coeficiente total de la ecuacin 20 se le denomina Coeficiente Total Limpio de

Transferencia de Calory se designa como UC.

4. Modelo integrado. Mtodo de Colburn.

A continuacin se presentan los diferentes elementos y conceptos que conforman la

metodologa del modelo integrado y especficamente el mtodo de Colburn (2).

4.1 Diferencia total de temperatura

En esta parte se presenta la metodologa y el desarrollo para originar una expresin

algebraica de la diferencia total de temperatura. Inicialmente se estudian arreglos

convencionales como el flujo en contracorriente, en paralelo, y posteriormente se

abordan algunos casos complejos.

4.1.1 Arreglos en paralelo y en contracorriente

Es necesario generar una expresin integrada que permita calcular la fuerza motriz

global del proceso, o diferencia total de temperatura, para poder as algebraicamente

disear o apreciar estos intercambiadores de calor. Para ello lo primero que se

observa es que existen varias posibilidades de disposicin de los fluidos en el equipo

(direccin relativa de los fluidos en el equipo) siendo los dos ms convencionales los

flujos en paralelo y en contracorriente. En la figura 3 se presentan los perfiles de

temperatura para los dos casos mencionados.


11/72


273

Figura 3. Perfiles de temperatura para arreglos en contracorriente y paralelo

En este trabajo, el modelo de referencia o baseconsidera que el fluido caliente va

en el nulo y sus variables y parmetros se identifican con maysculas. Cuando el

fluido fro se ubica en el nulo posteriormente se indicar como quedan lasexpresiones del modelo.

Como puede observarse el comportamiento del perfil, en una forma cualitativa, es

bastante diferente y para saber cuantitativamente cul es ms ventajoso es necesario

plantear el modelo y originar una expresin integrada o integrar numricamente el

modelo diferencial del proceso. Lo que s se puede inferir en una primera visualizacin

de los perfiles es que el flujo en paralelo presenta un limitante termodinmico

desfavorable en el proceso de transferencia de calor. En el flujo en paralelo las

temperaturas a la salida tienden a parecerse y para un rea elevada las dostemperaturas de los fluidos son aproximadamente iguales, de tal forma que lo mximo

que puede lograrse es que t2 T2. Pero en el perfil para el flujo en contracorriente

puede observarse que t2 puede ser mayor que T2, y el limitante termodinmico es que

mximo t2podra ser aproximadamente igual a T1. Ello implica que en contracorriente

se puede dar que t2 > T2, aunque no necesariamente pues sto depende del rea del

equipo y de otros factores. A la diferencia (t2 -T2), cuando se presenta lo anterior, se

le denomina cruce de temperatura (7). Esto lgicamente constituye una ventaja

inicial muy importante para el flujo en contracorriente.

Para generar una expresin algebraica es necesario plantear el modelo matemtico del

proceso y hacer unas aproximaciones para poderlo integrar y uno de los ms

conocidos es el Modelo de Colburn (2). En el libro de Kern (7) se presenta la

deduccin en una forma detallada y aqu se precisan algunas cuestiones

T, t

t1

t2

T1

T2T

t t2t1

T1T

t

T2


12/72


274

fundamentales del mtodo. El modelo se plantea para la condicin estable y para

situaciones sin cambio de fase (en la eventualidad de que se presente cambio de fase

debe ser total e isotrmico, o sea para una sustancia pura). Los calores especficos se

consideran constantes y evaluados a la temperatura media respectiva; el proceso

fundamentalmente es adiabtico con respecto al medio ambiente. La suposicin mscrtica es la de que el coeficiente total de transferencia de calor es una funcin lineal

de la temperatura, lo cual lleva posteriormente a valorar unas temperaturas

particulares denominadas temperaturas calricas, a las cuales se evalan los

coeficientes individuales de pelcula para completar el desarrollo del modelo algebraico

propuesto. Se presenta en forma simplificada, con una intencin que hace referencia a

la metodologa, la generacin de la expresin algebraica para un arreglo en

contracorriente.

La metodologa en general implica el planteamiento diferencial del modelo matemticode la conservacin de energa y la ecuacin del equipo; se intenta integrar la ecuacin

diferencial en trminos de una sola variable dependiente, por medio de relaciones

algebraicas entre ellas, y se aplican las condiciones de frontera dependiendo del

arreglo a estudiar. Se busca que la expresin final quede solamente en trminos de

las temperaturas del proceso. Inicialmente es necesario plantear un balance de calor

sobre un diferencial de rea, como se indica en la figura 4.

Figura 4. Esquema para el balance diferencial de calor. Flujo en contracorriente

Un balance de calor convectivo y de calor sensible para los dos fluidos sobre un

diferencial de rea origina

dx

t/x t/x+dx

x

T/x+dxT/x

t1

t2

T1

T2

T, tT

t


13/72


275

dx"adAdonde);tT(dAUdTWCdtwcdQ xpp (21)

Donde a es el rea por unidad de longitud (ft2/ft) y que se encuentra generalmente

tabulada en las especificaciones de tubera IPS. Ver Anexo.

Debido a que el modelo considera que no se presentan prdidas, un balance de calor

desde la entrada hasta la posicin xgenera la siguiente relacin entre T y t,

)tt(WC

wcTT)TT(WCt)tt(wc 1

P

p22p1p (22)

La relacin anterior permite obtener la ecuacin diferencial en trminos de una

variable dependiente, en este caso t, que despues de algn manejo matemtico

resulta en

p

P

p1

P

p2x

wc

t)1WC

wc(t

WC

wcT''aU

dxdt

(23)

La solucin de esta ecuacin diferencial de primer orden es inmediata y se integra

desde x = 0 hasta x = L, donde t = t1y t = t2, respectivamente. Al utilizar la relacin

de un balance de calor global se obtiene

)tt(WC

wcTT)TT(WC)tt(wcQ 12

P

p1221p12p (24)

Finalmente, despus de algunas simplificaciones y reagrupamientos, para un arreglo

en contracorriente se obtiene

(25)

Como puede observarse en la ecuacin 25 la diferencia total es la media logartmica

de las diferencias de temperaturas en los extremos del intercambiador. A la diferencia

)tT()tT(Ln

)tT()tT()t(

12

21

1221T


14/72


276

(T1- t2) se le denomina t2o thy a (T2 t1) como t1o tc, y corresponden a las

diferencias en los extremos caliente y fro, debido a que se encuentran all las mayores

y menores temperaturas para flujo en contracorriente, respectivamente.

Una forma comn de presentacin para la diferencia de temperatura total del procesopara flujo en contracorriente es

(26)

Si se efecta un desarrollo para el flujo en paralelo se encuentra una expresin

similar, pero las diferencias de temperatura en los extremos son diferentes

(27)

Para continuar con el anlisis de la eficiencia trmica de los dos arreglos es necesario

colocar algunos valores y se busca que cada caso sea representativo de alguna

situacin particular de inters.

Tabla 1. Datos para el clculo comparativo de la MLDT.

T1(0F) T2(0F) t1(0F) t2(0F)

300 200 100 180

300 300 100 180

300 200 100 220

300 200 100 200

Para la primera situacin se encuentra que MLDTC > MLDTP y el proceso puede

realizarse con cualquiera de los arreglos; aunque con una gran ventaja para el arreglo

en contracorriente. En el segundo caso el fluido caliente se comporta isotrmicamente(por ejemplo, condensacin isotrmica de vapor de agua) y por ello T1 = T2; se

observa que el clculo produce el mismo valor de la MLDT, o sea que para este caso

podra ser indiferente el tipo de arreglo, pero estrictamente no es correcto puesto que

es necesario ver otras variables que participan en el proceso global de transferencia y

1

2

12C

tt

Ln

tt)MLDT(

)tT(t

)tT(t

tt

Ln

tt)MLDT(

221

112

1

2

12P


15/72


277

en particular cuando se presenta rgimen laminar. Para el tercer caso se requiere que

t2 > T2, lo cual implica que en un arreglo en paralelo no sea posible realizar este

proceso. De lo cual se infiere que en algunos casos el flujo en paralelo no solamente

es menos ventajoso, sino que el proceso no puede efectuarse.

En el ltimo caso t2= T2lo cual implica que para un arreglo en paralelo se requiere un

rea infinita y por ello necesariamente debe utilizarse flujo en contracorriente. Pero al

calcular la MLDT se presenta un problema numrico de indeterminacin del tipo 0/0,

debido a que t2 = t1. Para ello es necesario aplicar el teorema de LHopital y

matemticamente el problema puede plantearse, para los datos especficos del caso,

como

x-100MLDT (x)= ;si x 100

xLn( )100

(28)

y que al aplicar el teorema resulta

100x)

100x

(Ln

100x)x(MLDT

(29)

De todo lo anterior puede concluirse que el flujo en contracorriente es mucho ms

ventajoso en la gran mayora de oportunidades y el flujo en paralelo se podra utilizar

en situaciones muy particulares como cuando uno de los fluidos se comporta

isotrmicamente; y en especial cuando hay rgimen laminar con la presencia

simultnea de conveccin libre, la cual puede ser favorecida por la forma del perfil que

presenta este arreglo.

Como una gran conclusin puede decirse que el arreglo en contracorriente es la mejor

estrategia para transferir calor, en trminos que implica una mayor transferencia de

calor en un equipo especificado o una menor rea del equipo si se pretende

dimensionarlo. Esto es vlido en un proceso de transferencia de calor sin reaccin

qumica, pues en este caso particular no es la forma ms adecuada y correcta de

operacin. En la Aplicacin de Analisis Trmico en reactores de lecho fijo se

realiza un amplia discusin sobre el tema en particular y se advierte sobre la

extensin equivocada de utilizar el arreglo en contracorriente en equipos con

presencia de reaccin qumica. El esquema en contracorriente es el ms frecuente en la


16/72


278

prctica industrial; probablemente se deba a que por extensin un reactor tubular se

asimila con un comportamiento anlogo al de un intercambiador de tubos. Sin embargo,

como lo seala Rase (11), la semejanza es slo remota.

De aqu en adelante el arreglo que se utilizar es en contracorriente, a no ser que sediga algo diferente. Ms adelante se generan expresiones, con base en estos dos

arreglos bsicos, para otros arreglos complejos, los cuales sern motivo de discusin

posterior.

4.1.2 Arreglos complejos

En algunas oportunidades se utilizan arreglos denominados complejos y generalmente

presentan en una forma simultnea los dos arreglos convencionales ya mencionados.

As el clculo de la diferencia total en estos arreglos complejos aprovecha lasexpresiones obtenidas para las disposiciones en paralelo y contracorriente y la

solucin del problema es fundamentalmente algebraica.

4.1.2.1 Arreglos en serie paralelo

Este tipo de arreglo se emplea usualmente como una alternativa de solucin cuando

se presentan problemas hidrulicos originados por elevadas cadas de presin en una

de las corrientes. Se indica en la figura 5.

Figura 5. Equipo con corrientes paralelas (7).

La corriente que tiene problemas de cada de presin se divide en corrientes paralelas

y la otra corriente fluye en serie a lo largo del intercambiador. Considrese la situacin

en que cada una de las corrientes paralelas atraviesa una parte proporcional igual de

la longitud del equipo. El resultado en la disminucin en la cada de presin es


17/72


279

bastante bueno y es una mejor alternativa que la utilizacin de una derivacin, la cual

compromete un rea adicional importante mientras que la disminucin de la cada de

presin no es tan drstica. Adicionalmente, cuando se emplea una derivacin se

presenta una disminucin notable en la diferencia total de temperatura y en el

coeficiente total U, lo cual implica un rea adicional elevada para cumplir con losrequerimientos de calor del proceso; por esto, no es una buena alternativa como para

tener en cuenta.

Como se indica en la figura 5, si el fluido fro que va por el tubo y es el que presenta

problemas de cada de presin, y si para ello se utilizan dos corrientes paralelas, la

reduccin terica es de 1/8 con respecto al valor inicial, pues la longitud de friccin y

la velocidad msica se reducen a la mitad y P es proporcional a Gt2L. En la prctica

este valor es menor debido a que en la solucin integral del problema es necesario

suministrar ms rea, lo cual implica una cada de presin adicional por aumento en lalongitud del equipo. La gran ventaja que tiene la utilizacin de corrientes paralelas es

que la diferencia total de temperatura, con respecto a un arreglo inicial en serie, casi

no disminuye. En general, e independientemente del nmero de corrientes paralelas,

las diferentes zonas quedan operando en contracorriente.

Para encontrar la expresin de la diferencia total de temperatura del proceso es

necesario utilizar desarrollos algebraicos bsicos para que finalmente la expresin

quede en funcin nicamente de las temperaturas de proceso y del nmero de

corrientes paralelas. En (7) se encuentra el desarrollo para cuando se utilizan dos

corrientes paralelas en el fluido caliente y despus presenta expresiones

generalizadas; considera que es conveniente expresar la diferencia total del proceso

en trminos de la diferencia mxima (T1 - t1) as,

)tT(t 11 (30)

Para una corriente caliente en serie y ncorrientes paralelas del fluido fro se tiene la

expresin

11

12

12

21

n/1

tTtT

'P)tt(n

TT'R

'R1

'P1

'R1'R

Ln1'R'nR'P1

(31)


18/72


280

Para cuando R = 1 se presenta una indeterminacin en la ecuacin 31 y aplicando el

teorema de LHopital se obtiene

(32)

Para una corriente fra en serie y ncorrientes calientes en paralelo se obtiene

11

21

12

21

n/1

tTtT

"P)tt()TT(n

"R

"R"P

1)"R1(Ln

"R1n"P1

(33)

4.1.2.2 Arreglo en serie paralelo

Figura 6. Arreglo en serie paralelo.

Para el arreglo correspondiente a la figura 6 se presentan dos zonas, con respecto a la

disposicin de los fluidos. En la zona I se observa que los fluidos van en paralelo,

mientras en la zona II estn en contracorriente. La idea es originar una expresin o

mtodo de clculo que permita valorar la diferencia total de temperatura del proceso.

Entre las dos zonas el fluido caliente lleva una temperatura intermedia que se

denominar Txy la cual es necesario expresarla en trminos de las temperaturas de

entrada y salida que son las que se conocen. Debido a que Txno se puede obtener en

forma completamente explcita, sto implica que es necesario un proceso de ensayo y

error.

Del balance global se tiene que

1

'P

1n

'P1n/1

t1

t2I

T1

T2

I

II

t2II

t2TX


19/72


281

IIIIIIIIIIII )t(AU)t(AUQQQ (34)

con

IIC

IIIP

I MLDT)t(yMLDT)t( (35)

Si se considera que AI= AII= A/2 y que UI= UII= U, se obtiene de la ecuacin 34

)t(UA2

)MLDTMLDT(UAQ

IIC

IP

(36)

Lo cual implica que

2)MLDTMLDT(

)t(II

CI

P (37)

Tanto la MLDTPI como la MLDTCII son funciones de Tx, y como esta temperatura

intermedia del fluido caliente no puede obtenerse en una forma completamente

explcita, esto implica que necesariamente debe acudirse a un proceso iterativo.

Las ecuaciones de soporte son:

En la zona I un balance de calor entre el fluido caliente y el fluido fro produce

12

2112x

I2 tt

TTR;t)TT(

R2

t

(38)

En una forma similar en la zona II se origina

1X1II

2 t)TT(

R

2t (39)

Relacionando las zonas a partir de las ecuaciones de diseo y balances de calor en el

fluido caliente se tiene que


20/72


282

IIC

IP

x12xMLDT

MLDT)TT(TT (40)

Las ecuaciones 38, 39 y 40 son funciones de Tx y puede plantearse el siguiente

proceso iterativo: suponer un Txy con este valor calcular t2Iy t2

IIde las ecuaciones 38

y 39, respectivamente. Con estos valores se pueden evaluar MLDTPIy MLDTC

IIy por

medio de la ecuacin 40 se obtiene un nuevo valor de Tx. Si no son iguales se sigue

iterando hasta que se satisfaga un criterio de error permitido entre el valor supuesto y

el valor calculado. Al tener el Txsolucin se calcula la diferencia total del proceso por

medio de la ecuacin 37.

4.2. Factor de obstruccin Rd

A medida que transcurre el tiempo en que funciona un intercambiador se desarrollauna resistencia adicional a la transferencia de calor debida a la sedimentacin,

incrustacin, deterioro del material u otra circunstancia que hace que se presente una

disminucin en la velocidad de transferencia de calor. A esta resistencia adicional se le

denomina factor de obstruccin Rd.

Figura 7. Perfiles de temperatura y el factor de obstruccin.

Cuando un equipo est nuevo o en condiciones limpias (recin efectuada su limpieza)las temperaturas de salida se conocen como temperaturas limpias de salida, t2 y T2.

Si se denomina el tiempo de operacin del equipo, se tiene que para = 0 se

originan las temperaturas limpias, que corresponden a los perfiles en lneas

punteadas, como se indica en la figura 7.

75

125

175

225

275

325

0 0.2 0.4 0.6 0. 1

Distancia Adimensional

t2'T2't2T2

Temperaturas

t,T


21/72


283

Para el tiempo cero la ecuacin de diseo de Fourier es

'MLDTAU'Q C (41)

La MLDT se calcula con las temperaturas superindicadas como primas, lo mismo que

Q. UCes el coeficiente total limpio de transferencia de calor y es el calculado mediante

la expresin o ecuacin 20, con base en los coeficientes individuales de pelcula de los

fluidos.

Para un tiempo transcurrido de funcionamiento se habr desarrollado un factor de

obstruccin Rd y la ecuacin de Fourier ser

MLDTAUQ (42)

Siendo Q el flujo de calor, U el coeficiente global y la MLDT los valores que en ese

momento hay en el equipo. Como consecuencia de la aparicin de R dse presenta una

disminucin del flujo de calor y por ello t2es menor y T2es mayor, con respecto a las

condiciones limpias.

El coeficiente global U en ese momento se calcula como

dC RU

1U1

(43)

Es importante anotar que para efectos de clculo en el mtodo integrado se considera

que U cambia porque Rd va aumentando, pero el valor de UC permanece

sustancialmente constante (7). Lo anterior no es estrictamente cierto, pero para

efecto de clculos no completamente rigurosos es vlida la suposicin. Esta

aproximacin permite calcular UCcon las temperaturas del proceso, que son las que

en la prctica se conocen. Lo anterior permite dimensionar y apreciar

intercambiadores de calor en una forma muy rpida y sencilla. Dentro de los

programas elaborados se desarrolla una opcin de clculo menos imprecisa y all el UC

se calcula con las temperaturas de salida a condiciones limpias y sirve de contraste

para observar que tan vlida es la aproximacin indicada anteriormente.


22/72


284

Cuando se tiene un tiempo de operacin especificado del equipo, generalmente

corresponde al perodo de mantenimiento de los equipos que existen en la planta, la

expresin de Fourier se expresa como

dCD

RU1

U1 (44)

UD se denomina el coeficiente global de diseo y Rd el factor de obstruccin para el

perodo especificado de la operacin.

El concepto del factor de obstruccin aparece inicialmente como un indicador de la

obstruccin que va apareciendo con el tiempo, pero puede utilizarse indirectamente

con otros propsitos. Una de las primeras aplicaciones es que permite predecir, con un

clculo relativamente sencillo, qu tan obstruido o sucio se encuentra un equipo, sinnecesidad de tener informacin previa de su funcionamiento, tanto del tiempo de

funcionamiento como de las temperaturas iniciales limpias. Para ello se valora la

ecuacin de Fourier, Q = UAMLDT, con los datos reportados en ese momento. Lo

anterior permite calcular el coeficiente U actual y adicionalmente con las expresiones

para los coeficientes de pelcula y sus temperaturas respectivas se calcula el UC.

Mediante la siguiente expresin se obtiene el factor de obstruccin que tiene el equipo

hasta ese momento.

UUUUR

C

Cd

(45)

Un valor de Rd= 0,003 para un perodo normal de operacin es un buen punto de

referencia que se puede utilizar para indicar qu tan obstruido est un equipo. Si el Rd

calculado de la ecuacin 45 es igual o mayor que el Rd de referencia, indica que el

equipo est obstruido o sucio y se recomienda su mantenimiento para limpieza. Si el

valor calculado es relativamente pequeo quiere decir que el equipo esta

sustancialmente limpio. Si el factor de obstruccin es menor que 0,003 puede

esperarse un perodo adicional de operacin, segn el valor calculado de R d.Si ste es

bastante pequeo y negativo, quiere decir que UCU y el equipo est sustancialmente

limpio. Si el Rdcalculado es mucho mayor que el de referencia se dice que el equipo

est obstruido y necesita limpieza.


23/72


285

Otra aplicacin indirecta del concepto del factor de obstruccin es su utilizacin para

apreciar intercambiadores de calor. Apreciar un intercambiador es valorar si para

unas condiciones de proceso determinadas (flujos, temperaturas, factor de

obstruccin requerido y cadas de presin permitidas) un equipo disponible (con

geometra completamente especificada) sirve o no trmica e hidrulicamente, lo cualimplica que deba tener el rea suficiente y las cadas de presin adecuadas.

Con las condiciones del proceso y el rea del equipo se puede calcular el UDpor medio

de la ecuacin de Fourier, ecuacin 44, y con las expresiones respectivas para los

coeficientes de pelcula se puede conocer UCy por medio de la siguiente ecuacin se

puede evaluar el Rdofrecido por el equipo,

UU

UUR

C

C

d

(46)

Hay que tener en cuenta que el Rdcalculado en esta forma es ms un indicador de

rea que su concepto original de obstruccin. Si el Rd ofrecido es mayor que el

requerido el equipo sirve, pero puede tener un exceso de rea si la diferencia es

grande. Si el Rdofrecido es menor que el requerido implica que al equipo le falta rea.

Si es igual a cero o negativo quiere decir que le falta bastante rea y an en las

condiciones limpias no cumple con las condiciones del proceso, como ocurre cuando el

valor es negativo.

Otra aplicacin del factor de obstruccin se presenta cuando se pretende dimensionar

intercambiadores; para este caso el equipo no esta completamente configurado

geomtricamente, se requiere un determinado factor de obstruccin y se busca

calcular el rea total requerida para el proceso, para unas cadas de presin

permitidas. Si se conocen los dimetros de los tubos y las condiciones del proceso se

puede calcular UCy con el factor de obstruccin requerido se evala el coeficiente total

UD, y as se puede obtener el rea total por medio de la ecuacin de Fourier, ecuacin

44. En algunas ocasiones ms abiertas es necesario efectuar un proceso iterativo, el

cual implica suponer una pareja de tubos y efectuar el procedimiento anterior hasta

encontrar la mejor configuracin que cumpla con los requerimientos del proceso. Lo

anterior es una primera aproximacin de optimizacin trmica que hace referencia al

equipo ms pequeo que satisfaga los requerimientos trmicos e hidrulicos del

proceso.


24/72


286

4.3 Temperaturas calricas

La mayor debilidad del modelo algebraico es suponer que el coeficiente global de

transferencia es constante, lo cual fue necesario aproximar para poder efectuar el

proceso de integracin y as lograr una expresin algebraica para la diferencia total de

temperatura. Se trata de encontrar ahora las temperaturas a la cual debe ser

evaluado el coeficiente total Uxpara que el proceso quede operando con una diferencia

total que corresponde a la encontrada, o sea la MLDT.

Para ello es necesario hacer lo supuestos indicados en la deduccin de la expresin de

la MLDT y adicionalmente considerar una forma de la variacin del coeficiente en

funcin de la temperatura. Colburn (7) presenta una expresin de la forma

testancons'by'a),t'b1('aU (47)

En un desarrollo de la ecuacin diferencial del fluido fro (7) y teniendo en cuenta la

forma de variacin del coeficiente total U e integrando a lo largo de la trayectoria de

transferencia se llega a que

)tUtU

(Ln

tUtUAQ

12

21

1221

(48)

Siendo U1y U2 los coeficientes totales evaluados en el terminal caliente (T1, t2) y el

terminal fro (T2y t1), para el flujo en contracorriente.

Colburn propone un coeficiente total de tranferencia U tal que el equipo opere con una

diferencia total correspondiente a la MLDT, al cual designa como Ux; entonces se

deben encontrar las temperaturas que denomin calricas tcy Tc. De tal forma que la

ecuacin inicial de Fourier se puede plantear como

)tUtU(Ln

tt

UA

Q

12

21

12x

(49)

Donde Uxse evala como


25/72


287

1

2

12

12

21

1221

cx

t

tLn

ttt)t'b1('at)t'b1('a

Ln

t)t'b1('at)t'b1('a

)t'b1('aU

(50)

Para encontrar las temperaturas calricas se expresa la fraccin calrica como

12

1cc tt

ttF

(51)

Si se definen

h

c

2

1

1

12c

tt

tt

r

UUUK

(52)

al sustituir en la ecuacin 50 se obtiene

cc

cc K

1

rLn

)1K(Ln1

))1r/(r()K/1(F

(53)

Finalmente las expresiones para calcular las temperaturas calricas son

)TT(FTT

)tt(Ftt

21c2c

12c1c

(54)

El procedimiento para calcular las temperaturas calricas puede resumirse as: con las

respectivas temperaturas en cada uno de los terminales se evalan los coeficientes

totales locales U2 = f (hio(t2),ho(T1)), y U1 = f (hio(t1),ho(T2)). Con U2 y U1 puedecalcularse Kc= (U2, U1), ecuacin 52. Finalmente con Kc y r se obtiene Fc (ecuacin

53) y con ste se calculan las temperaturas calricas tcy Tc(ecuacin 54).

6.4.4 Temperatura de pared


26/72


288

Para la elaboracin de modelos integrados y en particular cuando se presenta rgimen

laminar, en el clculo de intercambiadores de calor se pueden suponer varias

condiciones de frontera para flujo completamente desarrollado y esto implica que la

tendencia del nmero local Nusselt sea diferente (1). Ver tabla 2.

Tabla 2. Condiciones de frontera para flujo laminar completamente desarrollado (1).

Condicin de frontera

Temperatura de Pared Flujo de calor Perfil de Velocidad Numero local de NusseltConstante Variable Parablico 3.66Variable Constante Parablico 4.36

Constante Variable Uniforme 5.75Variable Constante Uniforme 8.00

Para la mayora de los casos prcticos cuando se utilizan intercambiadores de calor se

considera que el modelo es de temperatura de pared constante y un perfil de

velocidad parablico, lo que implica un flujo de calor variable, y el cual se ajusta

bastante bien al comportamiento real de lo que sucede en la operacin. Por eso en el

modelo integrado que se utiliza para dimensionar intercambiadores de calor, tanto

para flujo laminar como para flujo turbulento, se denominan Modelo de

Temperatura de ParedConstante. ste en s, es una aproximacin, pero quizs la

ms cercana al evento real de un clculo no completamente riguroso.

Con este concepto o aproximacin se completa el modelo integral y se habla de una

temperatura de pared del proceso, tw, que se calcula a partir de las temperaturas

calricas y los coeficientes individuales de pelcula. Es importante anotar que la

expresin respectiva de la temperatura de pared es diferente segn la ubicacin de los

fluidos en el equipo.

Q

Figura 8. Esquema de las temperaturas del modelo. Fluido fro en el tubo interno.

Tc

tc

twho

hio


27/72


289

Si el fluido fro se calienta en el tubo interno, ver figura 8, un balance de calor

para generar la expresin de twdel proceso es

iooiooo

wc

io

cw

ioo

cc h/1Rh/1R;R

)tT(

R

)tt(

RR

)tT(Q

(55)

De estas expresiones se obtiene

)tT(hh

hTt

)tT(hh

htt

ccoio

iocw

ccoio

ocw

(56)

En una forma similar, si el fluido caliente se ubica en el tubo internose generan

las siguientes expresiones para la temperatura de pared del proceso

)tT(hh

hTt

)tT(hh

htt

ccoio

ocw

ccoio

iocw

(57)

En el modelo integrado desarrollado por Colburn se presenta un pequeo

inconveniente en el proceso de clculo y es que para evaluar la temperatura de pared

del proceso es necesario conocer las temperaturas calricas y para calcular stas es

necesario conocer la temperatura de pared. Lo anterior se puede resolver mediante un

proceso de ensayo y error o un proceso iterativo, lo cual implica suponer un valor de

tw y validarlo con la ecuacin respectiva. Para evitar el proceso iterativo (7) se

modifica la expresin para calcular la temperatura de pared y utilizando los

coeficientes de pelcula sin correccin por la viscosidad; as, cuando el fluido caliente

va en el tubo

)tT(/h/h

/hTt

)tT(/h/h

/htt

ccootio

ioiocw

ccootio

oocw

(58)


28/72


290

Donde la viscosidad de cada uno de los fluidos debe evaluarse a su respectiva

temperatura calrica, segn las expresiones

c

14.0

wo

c

14.0

wt

T,;

t,;

(59)

En general el procedimiento anterior no introduce un error importante, y en los

programas pueden utilizarse las dos opciones de clculo para la temperatura de pared.

El modelo de temperatura de pared constante ha sido utilizado extensivamente en la

generacin de expresiones empricas para la valoracin de coeficientes de pelcula e

indirectamente es un elemento que permite corregir la circunstancia de calentamiento

o enfriamiento del fluido y como referencia se utiliza la temperatura de pared tw.

Generalmente se presenta en trminos de una correccin a la viscosidad del fluido

por medio de un grupo adimensional de la forma

q

w

(60)

El valor de q usualmente es de 0.14 que corresponde a los mejores ajustes a nivel

experimental. Si un fluido en el equipo se calienta, el valor de debe ser mayor que la

unidad, ya que la temperatura de pared twes mayor que la temperatura calrica del

fluido; al contrario si el fluido se enfra el valor de es menor que la unidad.

En la figura 9 se presenta un esquema ms detallado del clculo del coeficiente global

a las temperaturas calricas para una condicin de rgimen turbulento en ambos

fluidos y el procedimiento simplificado para el clculo de las temperaturas de pared.

Para rgimen laminar, que corresponde a situaciones muy particulares, en la parte

correspondiente a los programas se detalla su forma de clculo; lo mismo sucede con

el rgimen de transicin. En la figura 9 el clculo comienza en los terminales y hacia

abajo para poder evaluar U1y U2y con estos valores calcular Kcy as ascender por la

columna central y llegar finalmente al valor de Uc. Lo anterior constituye el mtodo

integrado de Colburn y especficamente para el clculo de intercambiadores de calor

de doble tubo en rgimen turbulento.


29/72

Figura 9. Modelo Integrado de Colburn. Rgimen turbulento.

U1, Uc, hio(t1), ho(T2) UC, hio(tc), ho(Tc)

31

p8.0

t

t

io

k

CDGDEk

027.0h

o

o

oot

t

ioio

hh,

hh

,

ooi

ooiC hh

hhU

t

ioh

31

p8.0

ae

eo

o

k

CGDDk

027.0h

)tT(

/h/h/h

tt ccootio

oocw

;

14.0

wt

14.0

wo

o

oh

)tT(/h/h

/htt 12

ootio

oo11w

3

1p

8.0ae

eo

o

k

CGDDk

027.0h

t 2w

14.0

wt

,14.0

wo

3

1p

8.0t

Et

io

k

CDGDk

027.0h

t

oo

oot

t

ioio

hh,

hh

)TT(FTT

)tt(Ftt

21c2c

12c1c

h

ooi

ooic1 hh

hhUU

)K,r(fF;t/tr;

UUU

K cc211

12c

t1

T2


30/72


292

4.5 Cadas de presin

El clculo de las cadas de presin en un intercambiador de tubos concntricos es fcil

debido a que su configuracin geomtrica es relativamente sencilla. La cada de

presin para el fluido que circula por el tubo se calcula mediante la expresin

Dg72LfG

P2

tft

(61)

Siendo

Gt, flujo msico, w/at, lb/h.ft2

L, longitud total efectiva de friccin, ftg, aceleracin de la fuerza de gravedad gravedad, ft/h2, 4.18e8, densidad del fluido, lb/h.ft3

D, dimetro interior del tubo, ftf, es el factor de friccin, adimensional

Esta ecuacin calcula cadas de presin en psi y donde f es el factor de friccin

adimensional y el cual puede calcularse mediante las siguientes expresiones

2300R;R16

f

2300R;R

264.00035.0f

ee

e42.0e

(62)

sta es la nica cada de presin importante debido a que los cambios de direccin del

fluido en el equipo, para el fluido que va en el tubo, se alivia mediante una U. Para el

caso del fluido que circula en la seccin anular hay que considerar las prdidas por

retorno.

Para el clculo de la cada de presin en el nulo se utiliza el dimetro equivalente

para fluidos y para el caso se denomina como De y es igual a

1221

21

22

e DD)DD()DD()4/(

4'D

(63)

Donde D2es el dimetro interno del nulo y D1el dimetro externo del tubo interno,

respectivamente.


31/72


293

Para el clculo de la cada de presin por friccin se utiliza la misma expresin que

para el tubo con la salvedad indicada anteriormente. Para la cada de presin

originada por las prdidas por retorno se calcula por medio de la expresin emprica

144g2VnP

2

ar

(64)

Donde nes el nmero de horquillas y las prdidas por regreso se calculan en psi.

La prdida total de presin en el nulo es la suma de las prdidas por friccin ms las

de retorno, as

144g2V

nDg72LfG

P

2

e

2

tat

(65)

Estas cadas de presin, tanto en el tubo como en el nulo, no deben exceder el valor

permitido o recomendado, pero deben estar tan cerca de este valor como sea posible.

Para el caso generalmente no deben exceder de 10-12 psi, en el caso de lquidos, y la

calculada debe estar muy cerca de este intervalo. Si la cada de presin es baja el

equipo trmicamente no est bien dimensionado, pues estos valores bajos en la cada

de presin implican poca turbulencia y por lo tanto bajos coeficientes de pelcula.

5.Mtodo integrado de las NTU

Existe otra metodologa para el clculo y apreciacin de intercambiadores de calor

denominada Mt od o d e la s N TU y de la cual se hace una breve presentacin

indicando sus ventajas y limitaciones, con respecto al mtodo anteriormente

desarrollado, denominado Mto do de l a M LDT oMt od o d e Co l b u r n.

El concepto de la eficiencia de un intercambiador fue propuesto por Nusselt y hace

referencia a la razn entre la transferencia de calor real y la mxima terica posible,donde esta mxima transferencia de calor posible implica la utilizacin de un rea de

transferencia de calor infinita; posteriormente Kays y London en el libro Compact Heat

Exchanger (13) trataron tal concepto con ms detalle y con miras a generar una

tcnica ms eficiente en el clculo de intercambiadores.


32/72


294

Figura 10. Perfiles de temperatura para arreglos en contracorriente y en paralelo

Para este enfoque se definen las capacidades calorficas de los fluidos WCpy wcpcomo

C; y al mayor valor se designa como CMXy al menor CMN.

En la figura 10 y para flujo en contracorriente, la mxima transferencia de calor se

presenta cuando la temperatura del fluido con CMNse aproxime a la temperatura de

entrada del fluido con CMX. Para flujo en paralelo un rea infinita produce unas

temperaturas de salida igual a las que se generan en un proceso de mezclado

adiabtico (t2= T2).

Para el caso en que wcp sea CMN y para flujo en contracorriente se tiene para la

eficiencia del intercambiador, ,

)tT(C

)TT(C

11MN

21MX

(66)

Si el CMNes el fluido caliente se tiene que

)tT(C

)tt(C

11MN

12MX

(67)

Para el flujo de calor se puede escribir la expresin

)tT(CQ 11MN (68)

T, t

t1

t2

T1

T2

T

t t2t1

T1T

t

T2


33/72


295

Para evaluar el flujo el calor que se transfiere en un equipo es necesario disponer de

una expresin que permita calcular la eficiencia del intercambiador. Para flujo en

contracorriente y cuando el fluido fro sea el CMN, y utilizando la expresin encontrada

para la diferencia total de temperatura para la MLDT, se tiene que

)tT()tT(

Ln

)]tT()tT[(UA)tt(CQ

12

21

122112MN

(69)

Las diferencias de temperaturas en los extremos se pueden expresar como

)tt()C

C1()tT(

)tt()11

()tT(

12MX

MN12

1221

(70)

Al sustituir las expresiones de la ecuacin 70 en la ecuacin 69 se origina

)C

C1(

CUA

expC

C1

)C

C1(

CUA

exp1

MX

MN

MNMX

MN

MX

MN

MN (71)

El mismo resultado se obtiene si el CMNcorresponde al fluido caliente.

Si al cociente UA/CMN se denomina el nmero de unidades de transferencia NTU, se

obtiene para flujo en contracorriente la siguiente expresin

)

C

C1(NTUexp

C

C1

)C

C1(NTUexp1

MX

MN

MX

MN

MX

MN

(72)

En una forma similar se origina una expresin para flujo en paralelo y que

corresponde a


34/72


296

MX

MN

MX

MN

C

C1

)C

C1(NTUexp1

(73)

Las expresiones 72 y 73 relacionan la eficiencia del intercambiador en funcin de las

NTU y de CMN/CMX, para intercambiadores en contracorriente y paralelo, en un solo

paso. En la figura 11 se presenta la ecuacin en forma grfica de la eficiencia del

intercambiador para un arreglo en contracorriente.

Una de las ventajas que presenta el mtodo de las NTU esque cuando se conoce el

valor del coeficiente total U de un intercambiador se pueden calcular rpidamente y en

una forma muy sencilla las temperaturas de salida del equipo, sin necesidad de un

proceso iterativo (13). Aunque sto no es completamente cierto, pues en el caso de

un intercambiador de doble tubo y con el mtodo de la MLDT, con las mismas

suposiciones, no es necesario efectuar el proceso de ensayo y error indicado. En

intercambiadores con varios pasos o en intercambiadores de placas quizs se aprecie

esta ventaja. Algunos simuladores de procesos qumicos como el HYSYS, utilizan el

mtodo de las NTU, como una opcin de clculo de apreciacin, si los cambios que se

presentan en el intercambiador son muy leves, lo cual permite suponer que el

Figura 11. Eficiencia de un intercambiador con un solo paso y flujoen contracorriente. R = CMN/ CMX

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5

NTU

Eficiencia,

R = 0.00R = 0.25R = 0.50R = 0.75R = 1.00


35/72


297

coeficiente total U fundamentalmente permanece constante; sto facilita los clculos

al conectar el intercambiador en la simulacin de un proceso global. Pero inicialmente

debe existir un mtodo que permita el clculo del coeficiente total del equipo, el cual

se realiza por medio de un mtodo integrado como el de Colburn, o un mtodo

riguroso mediante un modelamiento diferencial.

En situaciones en que se presentan varios pasos en el intercambiador puede ser una

opcin a tenerse en cuenta, pero implica que para su utilizacin sean necesarios

procedimientos iterativos, muy similares a los que se emplean en el denominado

mtodo de la MLDT. En la Aplicacin Modelamiento y Calculo Numrico de

Intercambiadores de Placas se presenta como una opcin algebraica de

dimensionamiento, pero con expresiones obtenidas de simulaciones con modelos

diferenciales. En la presente Aplicacin no se trabaja en detalle esta opcin, pues se

considera que para el caso en particular no introduce ninguna ventaja yadicionalmente el mtodo de la MLDT se considera ms sencillo y ms fcil de

generalizar.

En general el mtodo de las NTUse recomienda para calcular aproximadamente las

temperaturas de salida en intercambiadores de calor donde se conozca el valor del

coeficiente U o para control de procesos en situaciones especficas que requieran

respuestas rpidas para el manejo de la operacin.

6. Modelo diferencial

Como una opcin adicional de modelamiento y clculo numrico se presenta y

desarrolla el modelo diferencial para los arreglos convencionales y algunos arreglos

complejos. Se pone de manifiesto su mayor rigurosidad, generalidad y flexibilidad,

aunque se anota que en todas las eventualidades implica la utilizacin de una

herramienta numrica para integrar las ecuaciones diferenciales y la solucin de

problemas de valores de frontera. Para ello se propone y elabora la implementacin

sobre una Hoja Electrnica y se recuperan sus bondades numricas, interactividad y

sus caractersticas pedaggicas.

6.1 Flujo en contracorriente y paralelo

El proceso de transferencia de calor en un intercambiador es un fenmeno continuo

sobre una superficie y como tal debe ser expresado y solucionado en una forma


36/72


298

diferencial. Los modelos integrados son metodologas aproximadas que permiten

integrar las ecuaciones diferenciales y para ello es necesario efectuar una serie de

supuestos. En esta seccin se plantea y desarrolla un clculo diferencial riguroso y la

probabilidad de errores no es de la formulacin en s misma, sino en las ecuaciones de

soporte de propiedades o de la precisin de las ecuaciones empricas para lavaloracin de los coeficientes de pelcula.

En la figura 12 se presenta un diferencial de volumen como punto de partida para el

desarrollo del modelo.

Figura 12. Diferencial de volumen. Flujo en contracorriente.

En un diferencial de rea y para flujo en contracorriente se tiene que para el fluido fro

)ft/ft("a,dx"adAdonde);tT(dAUdTWCdtwcdQ 2

xpp

(74)

Lo cual origina las dos ecuaciones diferenciales

)tT(WC

"aUdxdT

)tT(wc

"aUdxdt

P

x

p

x

(75)

Con las siguientes condiciones de frontera

21

12

tt,TTLx

tt,TT0x

(76)

dQ

x

t/xt/x+dx

t1 t2

x=0

x=L

T2 T1


37/72


299

Sistema de ecuaciones diferenciales que presenta un problema de valor de frontera. El

problema de valor de frontera se encuentra en x = 0 donde T = T2y cuyo valor no se

conoce, y el punto de contraste se encuentra en x = L donde T = T1que es un valor

conocido. En la Aplicacin Anlisis trmico dereactores de lecho fijo se presenta

en detalle el mtodo de Newton para la solucin de problema de valores de frontera yall mismo se discute y presenta la solucin de los problemas de frontera sobre una

Hoja Electrnica, sin utilizar el sistema variacional de apoyo que necesita el mtodo de

Newton y las diferentes variantes de los denominados Mtodos S h o o t i n g (3, 4). Para

ello, en la parte concerniente a los programas, se presenta una breve explicacin para

su implementacin. En general la implementacin consiste en integrar las ecuaciones

diferenciales mediante una programacin lgica sobre la Hoja Electrnica y dadas las

caractersticas numricas de la plataforma las integracines posteriores, despus de

efctuada la instalacin, es un proceso de clculo automtico ante cualquier cambio de

entrada y la solucin del problema de valor de frontera se realiza como un problemaalgebraico que acta sobre un campo diferencial y utiliza una herramienta para

solucionar races denominada BUSCAR OBJET I VO.

Para el flujo en paralelo y con fines meramente didcticos, pues ya se anotaron sus

desventajas, la implementacin es muy similar y adicionalmente ms sencilla. Para el

arreglo en paralelo las condiciones de frontera son

22

11

tt,TTLx

tt,TT0x

(77)

Lo cual constituye para su integracin un problema de valores iniciales y no

compromete procesos iterativos. Es importante indicar que para este arreglo la

ecuacin diferencial del fluido caliente tiene un signo negativo.

Otra alternativa es integrar solamente una ecuacin diferencial, por ejemplo la del

fluido fro, y llevar la otra variable dependiente mediante una relacin algebraica de

conservacin de energa. Para el caso de flujo en contracorriente es de la forma

)tt(WC

wcTT xdxx

P

pxdxx (78)


38/72


300

6.2 Arreglo complejo

Figura 12. Arreglo complejo.

En la figura 12 se presenta un arreglo similar al descrito en el numeral 4.1.2.2y del

cual se gener una expresin que permite el clculo de la diferencia total de

temperatura. Se encuentr que para poder originar la expresin integrada fue

necesario efectuar una serie de suposiciones que hacen el clculo cada vez ms

aproximado. Se toma este caso como referente de ilustracin para comparar los

resultados y la precisin obtenidos entre los modelamientos integrado y el diferencial

para estudiar la bondad de las soluciones. Se observa que en el modelamientodiferencial las aproximaciones son casi nulas y la generalidad y flexibilidad del modelo

y su solucin son definitivamente mejores.

Las ecuaciones diferenciales para este arreglo son

)tT(WC

"aUdx

dT

)tT(WC

"aUdxdT

)tT(wc)F1(

"aU

dx

dt

)tT(wcF

"aUdxdt

IIII

P

xII

II

P

xI

IIII

p

xII

II

p

xI

(79)

t1

t2I

T1

T2

I

II

t2II

t2TX

x


39/72


301

Para una mayor flexibilidad se puede dividir la corriente fra en cualquier proporcin y

para ello Fes la fraccin en que se divide el flujo del fluido fro correspondiente a la

Zona I y por ende (1-F) para la Zona II. El modelo est formado por cuatro

ecuaciones diferenciales de primer y un problema de valor de frontera. Las

condiciones de frontera son

II2

II1

II

I2

I1

I

1II

xII

2I

xI

ttLx;tt0x

ttLx;tt0x

TTLx;TT0x

TTLx;TT0x

(80)

El problema del valor de frontera aparece para el fluido caliente en x = 0 ya que T x no

es conocido. Es necesario suponer un valor de Tx y la condicin de contraste se

presenta en z = L y que corresponde a que TII= T1, que es un valor conocido. Este

problema de valor de frontera se resuelve en una forma similar al planteado en la

ilustracin inmediatamente anterior. El clculo de los valores de cada una de las

propiedades fsicas y coeficientes se realiza punto a punto y adicionalmente puede

manejarse cualquier fraccin del fluido en cada una de las ramas, lo mismo que su

longitud. Para el clculo final de t2 se realiza un balance de energa entre las dos

corrientes t2I y t2II, como un proceso adiabtico. Esto compromete un proceso de

ensayo y error que se resuelve con la Hoja en forma automtica.

Como una alternativa para solucionar problemas hidrulicos se elabora el modelo

diferencial cuando se utilizan corrientes paralelas; pero su desarrollo e

implementacin se detallan en la parte correspondiente a los programas, anlisis y

conclusiones.

7. Programas, anlisis y conclusiones

Una de las primeras aplicaciones del mtodo integral es el clculo de las temperaturas

de salida en un intercambiador de tubos concntricos, para una condicin simplificaday que implica conocer el valor del coeficiente total de transferencia de calor U. De las

ecuaciones de conservacin de calor y de la ecuacin de diseo


40/72


302

UAMLDTQ

)TT(WCQ

)tt(wcQ

21P

12p

(81)

Se pueden calcular t2 y T2. El sistema algebraico es de dos por dos, pues las dosprimeras ecuaciones son dependientes. Mediante un procedimiento algebraico con

algunas adecuaciones se puede despejar una de las temperaturas de salida, la cual

depende del tipo de arreglo que se utilice. Para flujo en contracorriente se obtiene (7)

)1R)(wc/UA(1

)1R)(wc/UA(1

2p

p

eR1

Rt]e1[T)R1(T

(82)

y para flujo en paralelo se genera la expresin

)1R)(wc/UA(1

)1R)(wc/UA(1

)1R)(wc/UA(

2p

pp

e)1R(

Rt]1e[T]eR[T

(83)

Donde

12

21

P

p

ttTT

WC

wcR

(84)

Las ecuaciones anteriores se pueden solucionar por medio de un proceso de ensayo y

error o mediante un proceso iterativo. No se pueden calcular directamente debido a

que R es funcin de las mismas temperaturas de salida.

Sobre la Hoja Electrnica es muy fcil implementar una estrategia de clculo que

permita solucionar el problema numrico. Para ello existen varias opciones, pero en

particular se presenta una alternativa por la simplicidad, estabilidad y efectividad para

la solucin del problema. La idea fundamental es convertir el problema en la solucin

de una raz de una funcin no lineal y as poder utilizar la herramienta BUSCAR

OB JET I VO, que es un Mto do de N ew t o n para calcular races. El ProgramaNo_1

soluciona el clculo de las temperaturas de salida en un intercambiador de tubos

concntricos. En la figura 13 se presenta una imagen delPrograma No_1.


41/72


303

Para convertirlo en un problema de una sola variable se supone t2y se obliga a que se

cumplan las dos primeras expresiones de la ecuacin 81,lo cual se realiza por medio

de un COP I A DO ,que se puede visualizar en el programa mencionado en la figura 13.

En la Hoja Electrnica un copiado realizado en una forma lgica permite iterar y

solucionar una raz, la cual se recalcula automticamente ante cualquier cambio en losdatos. Con el valor supuesto de t2y su respectivo T2se obtiene un valor calculado de

t2(t2calc.) teniendo en cuenta la ecuacin del equipo, as

p

c1.cal2 wc

MLDTUAtt (85)

Figura 13. Clculo de las temperaturas de salida en un intercambiador de doble tubo. Programa No_1.

El lado derecho de la ecuacin 85 se calcula con los valores supuestos y se consigue la

solucin cuando la diferencia entre los valores supuesto y calculado es inferior a cierto

error permitido. La funcin a solucionar es Fun = t2calc. t2sup., y la variable

independiente es t2sup., sobre la cual acta el Mtodo de Newton por medio de laHerramienta BUSCAR OBJET I VO y la Macro est conectada con los botones de

opcinpara cada tipo de arreglo. Como puede verse la solucin es bastante sencilla

y no hay necesidad de utilizar las ecuaciones explcitas, ecuaciones 82 y 83,

recomendadas por Kern (7).


42/72


304

Algunas de las primeras observaciones que se pueden visualizar son: se transfiere

ms calor en un arreglo en contracorriente, lo cual se manifiesta en que la

temperatura t2 es mayor que su respectiva para flujo en paralelo, bajo una misma

referencia; el limitante termodinmico del flujo en paralelo y el cual aparece cuando A

-> lo que implica que t2= T2; en contracorriente, para reas grandespuede sucederque t2> T2, superando el limitante termodinmico del flujo en paralelo. Adems, si se

pretende dimensionar, clculo del rea, el flujo en contracorriente compromete

menores reas de transferencia de calor. El clculo que por defecto realiza el

Programa No_1puede efectuarse por medio del Mtodo de las NTU, pero tambin

implica un proceso iterativo y en general no presenta ninguna ventaja en particular.

Para solucionar el modelo integrado de Colburn, especficamente aplicado en un

primer intento al rgimen turbulento en ambos fluidos, se implementa y desarrolla el

Programa No_2. La restriccin, nicamente para rgimen turbulento, es ms de tipodidctico y facilidad de visualizacin que cualquier otro tipo de limitacin de la

plataforma numrica para buscar una generalizacin del clculo.La metodologa del

trabajo es presentar niveles de modelamiento y cobertura cada vez ms rigurosos y

generales y paralelamente desarrollar la parte conceptual, tanto de la fenomenologa

del proceso de transferencia como de la parte numrica. El programa tiene una

pequea base de datos de propiedades fsicas para algunas sustancias y las

dimensiones geomtricas de la tubera estndar IPS utilizada en estos equipos. Las

constantes para las propiedades fsicas se obtienen directamente de la Hoja

Electrnica y pueden ser cambiadas y revisadas por el usuario, si dispone deinformacin ms segura y precisa para el clculo en particular. El programa presenta

dos versiones en Hojas separadas dependiendo de la ubicacin de los fluidos en el

equipo y es con la intencin de desglosar un poco ms el clculo para una mejor

visualizacin y facilidad, para que el usuario de este material aprenda a desarrollar e

implementar sus propios programas y versiones.

El programa tiene los clculos trmicos e hidrulicos para el intercambiador de doble

tubo, de esta manera puede posteriormente utilizarse para dimensionamiento y

optimizacin en trminos trmicos e hidrulicos. El caso inicial del programacorresponde al problema 6.1 del libro de Kern (7) y sirve como referencia de

comparacin y validacin de los resultados, debido a que se presentan algunas

diferencias en el procedimiento de clculo.


43/72

Figura 14. Imagen del Programa No_2. Mtodo integrado de Colburn. Flujo turbulento.


44/72


306

El programa tiene una estructura numrica de clculo por defecto que no es arbitraria

sino que es producto del exmen de las caractersticas propias de la Hoja Electrnica y

que posteriormente permite solucionar una gran cantidad de opciones de clculo sin

necesidad de alterar la estructura bsica. Esta estructura base permite apreciar el

intercambiador de tubos concntricos para unas condiciones de proceso y un equipoespecificados. La apreciacin se hace a travs de valorar el factor de obstruccin R d

(Factor de obstruccin ofrecido por el equipo) y el cual se compara con una valor

requerido. Adicionalmente la macro Calcular No de Horquillas realiza el clculo

automtico del nmero de horquillas para un valor de Rd requerido,

dimensionamiento, y lo aproxima a un nmero entero inmediatamente superior,

para que corresponda a un resultado ms real y prctico; teniendo en cuenta que por

esta estructura siempre se presentar un ligero sobredimensionamiento, expresado

como un exceso de factor de obstruccin, y la solucin final en algunos casos es

criterio de la persona que dimensiona y que resulta de la cultura y formacin deldiseador. El programa permite manualmente visualizar lo que se hace y as ser un

elemento formativo y no solamente una herramienta que calcula y arroja resultados.

Figura 15. Mensajes aclaratorios en algunas celdas. Programa 2.

El usuario puede colocar parmetros geomtricos o de proceso y observar

inmediatamente el clculo del factor de obstruccin y las cadas de presin, y as de

esta forma puede analizar como debe ir variando o cambiando los parmetros para

una optimizacin del equipo. Los valores de las celdas en negrilla son datos deentrada y que se pueden cambiar. Las celdas en negrilla y con un fondo

amarillo claro tienen losvalores calculados de las variablesque se consideran

las ms importantes del proceso y cuyos resultados no pueden ser modificados por el


45/72


307

ususario. Algunas celdas que contienen valores importantes poseen mensajes

aclaratorios de los mismos, como puede observarse en la figura 15.

El programa tiene la estructura de clculo sobre la Hoja Electrnica similar a la

presentada en el esquema de la figura 9. Para seguridad del programa la mayora del

mismo se encuentra protegido y solamente algunas pocas celdas, generalmente lascorrespondientes a valores de entrada, no estn protegidas; y hay otras que pueden

permitir algunos clculos adicionales elaborados por el usuario. Es importante indicar

la gran ventaja de la Hoja Electrnica, pues como es una matriz completamente

encadenada cualquier cambio de un valor de entrada o de un componente realiza un

clculo automtico de todo el problema, y en algunos casos, dependiendo del

problema, es necesario ejecutar la macro.

Para el caso de ilustracin los resultados son muy similares a los presentados en (7),

aunque en esta alternativa se precisa y efecta con mayor detalle y rigurosidad elclculo de las temperaturas calricas. Debido a que los dos fluidos son poco viscosos y

los cambios en las temperaturas de los mismos no son elevados, el clculo realizado a

las temperaturas promedios no introduce un error importante; pero sto no es

extensivo a todas las circunstancias. Al cambiarse la ubicacin de los fluidos la cada

de presin en el nulo se dispara debido a que la mayor velocidad msica se ubica en

el sitio de menor rea de flujo de fluidos. Por lo anterior se concluye que la mayor

velocidad msica debe ubicarse por la mayor rea de flujo, y as se compensan un

poco ms las cadas de presin. Adicionalmente si la menor velocidad msica va por la

mayor rea de flujo se presenta una disminucin de su coeficiente de pelcula lo cual

repercute en un menor valor del coeficiente total limpio UC, que para este caso de

ilustracin compromete una mayor rea de transferencia.

El programa permite encontrar el dimetro para una velocidad msica especificada

para obtener una cada de presin lo ms cercana a la requerida o tambin para un

dimetro conocido la velocidad msica mxima para que la cada de presin est muy

cerca del valor requerido o recomendado. Lo anterior es muy fcil de efectuar por

medio de la herramienta BUSCAR OBJETIVO y se deja como inquietud para el

usuario. Adicionalmente, cualquier valor de las condiciones del proceso que no se

conozca se puede calcular en una forma similar. Es importante anotar que por la

forma en que se desarrolla la estructura numrica del programa ste permite las dos

opciones de clculo ms importantes en los intercambiadores, como son la

evaluacin o apreciaciny el dimensionamiento. En el primer caso se dispone de


46/72


308

un equipo completamente definido geomtricamente y todas las condiciones de

proceso requeridas, entre las que se encuentran el factor de obstruccin requerido y

las cadas de presin permitidas, la idea es valorar si el equipo sirve para esas

condiciones de proceso. En este caso de apreciacin simplemente se colocan todos los

valores conocidos en el programa y se observan los resultados del factor deobstruccin ofrecido y las cadas de presin y con base en esto se puede decir si el

equipo sirve o no. Para este evento no es necesario utilizar la macro para calcular el

nmero de horquillas pues ste es un dato de proceso. Para la circunstancia de

dimensionamiento se efecta lo anterior repetidamente con varias parejas de tubos y

se utiliza la macro para calcular el nmero de horquillas hasta que se llega al equipo

ptimo, por lo menos en las partes trmica e hidrulica.

Una de los suposiciones que en algunas eventualidades puede originar un error de

clculo importante es la de considerar que el coeficiente limpio se puede calcular alas temperaturas del proceso, como se efecta en el mtodo clsico de Colburn. El

Programa No_3calcula el coeficiente limpio a las temperaturas limpias del proceso

t2 y T2 y de esta forma mejora la precisin del mismo; adicionalmente suministra

otras informaciones interesantes como las temperaturas a las condiciones limpias,

que es importante conocerlas en algunos casos cuando es factible que se pueda

presentar una vaporizacin en los tubos o temperaturas indeseables para el proceso

siguiente. Como la que se puede necesitar a la salida del intercambiador cuando se

conecta con un reactor qumico que requiere un intervalo preciso de temperatura de

operacin.

El clculo se realiza mediante un proceso iterativo muy similar al presentado en el

Programa No_1, pero aqu el UC se evala directamente como se hace en el

Programa No_2. En el Programa No_3 se detalla el proceso iterativo y el cual en

este caso permite calcular las temperaturas limpias con las cuales finalmente se

evala el coeficiente limpio. En la figura 16 se presenta una imagen del Programa

No_3.

Para el caso de ilustracin anterior, el equipo para el perodo de operacin trabajaraentre las condiciones limpias calculadas y las condiciones de proceso especificadas. Si

se presenta un perodo de operacin elevado o se origina un factor de obstruccin

importante el error entre los dos clculos es cada vez ms importante. En general se

tiene ms informacin del proceso y en una forma ms precisa. Para efectuar el


47/72


309

clculo numrico del nmero de horquillas es necesario anillar un proceso iterativo

para obtener dos races, L y t2, lo cual se realiza mediante la macro Temperaturas

Limpias.

Figura 16. Imagen del Programa No_3. Clculo de UCa condiciones limpias.

Es necesario que el programa cada vez tenga unas caractersticas ms generales y sea

ms flexible. Para ello es necesario que detecte la condicin de flujo que aparecen en

el nulo y en el tubo. Los Programas No_ 2y No_3corresponden a una condicin

turbulenta y se presentan por separado ms con una intencin acadmica y

pedaggica de facilidad de visualizacin y construccin que por limitaciones de la

herramienta numrica. El Programa No_4 tiene una cobertura para regmenes

laminar, de transicin, y turbulento; y se presenta en una versin original del Mtodo

de Colburn, o sea calculado con base en las temperaturas de proceso. En la figura 17

se presenta una imagen del Programa No_4.

En este programa se pueden precisar algunos conceptos del modelo integrado para

que no se originen algunos errores en el clculo. En general para flujo turbulento no

se presenta ningn cambio; los cambios y modificaciones se dan cuando aparece

rgimen laminar o de transicin.


48/72


310

Figura 17. Imagen del Programa No_4. Mtodo de Coburn para cualquier condicin de f lujo.

Cuando el coeficiente global UCse evala a las temperaturas calricas corresponde a

un coeficiente promedio; para ello se utilizan las expresiones para los coeficientes de

pelcula promedio para los fluidos como las indicadas anteriormente. As,

14.0

w

3/1

p L/Dk

CDG86.1

khD

(86)

Para rgimen laminar; Re < 2100, con L < Lthy descartada la conveccin libre.

14.0

w

31

p3/2

3/2

k

C125

DG)L/D(1116.0

khD

(87)

Con 10000 > Re> 2100, para rgimen de transicin.

El valor de L en las ecuaciones inmediatamente anteriores es as: para el fluido

ubicado en el tubo L = nL, siendo n el nmero de horquillas y L la longitud de la

horquilla. Para el fluido en el nulo L= L/2, si presenta mezcla al final del paso en


49/72


311

cada rama, y L = nL, si no se presenta mezcla. Para el caso se considera que se

presenta mezcla al final del paso debida al cabezal de retorno. Lo anterior implica que

se presenta regimen laminar o turbulento en toda la trayectoria, pues si se da cambio

en la condicin de flujo es necesario subdividir el clculo por zonas, lo cual se detallar

posteriormente.

Los coeficientes en los terminales, U1 y U2; son totales pero locales, lo cual implica

que los coef

tubosconcentricos_2015

Documents