tÍtulo del trabajo: anÁlisis mediante dinÁmica no …

TESINA DE LA OPCIÓN CURRICULAR EN LA MODALIDAD DE: PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

TÍTULO DEL TRABAJO:

ANÁLISIS MEDIANTE DINÁMICA NO LINEAL DE SERIES DE TIEMPO DE INTERLATIDO CARDIACO

PRESENTA: DIANA BUENO HERNÁNDEZ

México, D. F. 10 de Mayo de 2008

DIRECTOR: M. en C. Alejandro Muñoz Diosdado

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AGRADECIMIENTOS

"La gratitud es la memoria del corazón"

Jean Baptiste Massieu

Agradezco a:

La Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología del Instituto Politécnico

Nacional y a todos mis profesores por sus enseñanzas, que influyeron en mi formación

profesional y permitieron mi desarrollo como individuo en los aspectos académicos y

sociales.

Mi asesor M. en C. Alejandro Muñoz Diosdado, por compartir su experiencia y

conocimientos durante la elaboración del proyecto de investigación.

Al M. en C. Gonzalo Gálvez Coyt, por su amplia colaboración y dedicación durante la

realización de este trabajo.

Al Dr. Abraham Balderas López, que incondicionalmente me ofreció todo su apoyo y

su confianza para seguir adelante.

Héctor Reyes Cruz, mi compañero de trabajo, por su apoyo y esfuerzo durante el

desarrollo de nuestro proyecto.

“Los momentos más felices de mi vida han sido los pocos que he paso en el hogar en

el seno de mi familia.”

Thomas Jefferson.

A mis padres y hermanos, por el apoyo incondicional, su dedicación, tiempo

comprensión, y cariño que depositaron en mí, para llegar a lograr uno de mis objetivos

en la vida, terminar mi preparación profesional así como estar conmigo en mis éxitos y

fracasos, brindarme un consejo y la confianza aprender de mis errores y seguir

adelante.

A Dios, por que me ha permitido vivir este momento, además de mostrarme que por

más difíciles que sean los caminos en la vida, hay que vivirlos y tomar los correctos,

aquellos que hagan un beneficio en mi vida y de las personas que me rodean.

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ÍNDICE. ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS ....................................... PÁG.5

RESUMEN ............................................................... PÁG.7 I. INTRODUCCIÓN ............................................................... PAG.8 II. GENERALIDADES ............................................................. PAG.10 III. JUSTIFICACIÓN ............................................................. PAG.19 IV. OBJETIVOS ............................................................. PAG.20 V. METODOLOGÍA ............................................................. PAG.21 VI. RESULTADOS ............................................................. PAG.34 VII. DISCUSIÓN ............................................................. PAG.47 VIII. CONCLUSIONES ............................................................. PAG.49 IX. PERSPECTIVAS ............................................................. PAG.50 X. REFERENCIAS ............................................................. PAG.50 XI. ANEXOS ............................................................. PAG.55

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ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS TABLAS Tabla I.Valores promedios del método de DFA para las series de sanos y enfermos en

ambas fases.

Tabla II Empleando el método de Higuchi, se obtuvieron los promedios de la

dimensión fractal tanto para las series de sanos como para las personas que

presentan insuficiencia cardiaca, en la fase de sueño y vigilia.

FIGURAS Fig.1 Pasos sucesivos de la construcción de la curva de Koch.

Fig.2 Auto similitud exacta del copo de nieve de Koch.

Fig.3 Esquema del proceso de circulación sanguínea en el cuerpo humano.

Fig.4 Esquema de las partes del corazón, así como la conducción de la sangre

oxigenada (color azul) y desoxigenada (en color rojo).

Fig.5 Distribución de la sangre a través de la circulación pulmonar y sistemática.

Fig.6 Esquema que representa el sistema de conducción cardiaco y sus ondas

características.

Fig.7 Esquema que representa la señal de ECG, así como ejemplos de

electrocardiogramas.

Fig.8. Descripción de la despolarización y repolarización sobre un ECG.

Fig. 9. Esquema que muestra una de las principales causas de insuficiencia cardiaca.

Fig. 10.- Con un exponente de dimensión fractal β=0, un exponente de escalamiento

γ=0.5, indicando la presencia de ruido blanco, es decir, ausencia de correlaciones.

Fig. 11.- Con un exponente de dimensión fractal β=1, presencia de un exponente de

escalamiento γ=1, significa ruido 1/f indicando correlaciones de largo alcance.

Fig. 12.- Con un exponente de dimensión fractal β=2, relacionado con el exponente de

escalamiento γ=1.5, obtenemos la presencia de ruido Browniano, totalmente

correlacionado o correlaciones de corto alcance.

Fig. 13.- Formato utilizado para el procesamiento de las bases de datos, de pacientes

sanos y enfermos.

Fig. 14.- Gráfica de la base de datos para un paciente sano, de la serie de tiempo

nombrada nsr01.

Fig. 15.- En esta gráfica se muestra el procesamiento de los datos de la misma serie

de tiempo.

Fig.16.- Identificación de la fase de sueño y de vigilia.

Fig. 17.- Método de DFA, aplicado a series de tiempo de personas sanas para las

fases de sueño y vigilia.

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Fig.18.- Series de tiempo de interlatido cardiaco para personas con insuficiencia

cardiaca en las fases de sueño y vigilia, Método de DFA.

Fig. 19.- Gráficas de personas sanas con el método de Higuchi, en la fase de sueño y vigilia. Fig.20.- Series de pacientes con insuficiencia cardiaca analizadas con el método de

Higuchi, para la fase de sueño y vigilia.

Fig. 21. Izquierda: DFA para los datos de un joven sano (segmento de 6 horas con el

sujeto dormido). La pendiente es el exponente γ. No hay crossover. Derecha: La

gráfica del método de Higuchi, un segmento de 6h de una serie de intervalos RR de

una persona de 63 años del sexo femenino en la fase de sueño. No hay crossover.

Fig. 22. Izquierda: Gráfica DFA para los datos de un sujeto sano anciano (segmento

de 6h, sueño). La pendiente de la línea delgada es el exponente DFA γ. Sin embargo

hay un crossover, es decir se necesitan dos valores del exponente DFA como se

indica por las líneas en negro, el valor γ antes del crossover es cercano al ruido

Browniano y después del crossover es cercano al ruido 1/f. Derecha: Gráfica del

método de Higuchi, para un segmento de serie de tiempo de intervalos RR de una

persona de 58 años en la fase de sueño. Nótense las oscilaciones que indican la

aparición de periodicidades en la serie de tiempo de esta fase.

Fig.23- Método de Higuchi, segmento de 6h de una serie de tiempo de intervalos RR,

en la fase de vigilia. Las oscilaciones que indican la aparición de periodicidades son

marginales.

Fig. 24.- Arriba, observamos la presencia de oscilaciones y se trata de un paciente con

falla congestiva cardiaca, sin embargo en la gráfica de abajo no se observa ningún tipo

de periodicidad, como es el caso de los pacientes sanos, nuestro grupo control.

Fig. 25.- Aplicación de antilogaritmos, después de haber trabajado las series con el

método de Higuchi.

Fig.26.- Aplicación de la FFT de MATLAB, para caracterizar la frecuencia de cada

serie de tiempo.

Fig.27.- Ejemplo de las series de signos para la fase de sueño (arriba) y vigilia (abajo).

Fig. 28.- Gráficas de pacientes con CHF para la fase de sueño (arriba) y la fase de

vigilia (abajo) en bajas escalas.


vigilia (abajo) para escalas altas.

Fig. 30.- Gráficas de la serie NSR, para la fase de sueño (arriba) y fase de vigilia

(abajo) a bajas escalas.

Fig. 31.- Gráficas de sanos para la fase de sueño (arriba) y la fase de vigilia (abajo)

para escalas altas.

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I. INTRODUCCIÓN

En los últimos años se ha realizado diversa investigación [1-20] acerca del análisis de

series de tiempo, que se obtienen a partir de la dinámica de sistemas complejos. En

este proyecto se proponen elaborar nuevas técnicas de análisis de series de tiempo de

sistemas fisiológicos que serán aplicadas a series de interlatido cardiaco. Con estas

técnicas se espera que permitan complementar el análisis de señales fisiológicas que

pudieran utilizarse en diferentes ámbitos, el estudio de correlaciones en series

cardiacas empleando técnicas diferentes, como: el método DFA [8, 9] (Detrended

Fluctuation Analysis por sus siglas en inglés), así como FA y el método de Higuchi [12,

13]. Además de presentar los resultados obtenidos al aplicar el método DFA, FA y el

método de Higuchi a series de tiempo de interlatido cardiaco en personas sanas y con

insuficiencia cardiaca. Los sistemas fisiológicos muestran fluctuaciones que recuerdan

a aquellas que se encuentran en sistemas dinámicos alejados del estado del equilibrio.

Al realizar el análisis de series de tiempo fisiológicas se observan diferencias en el

comportamiento de escalamiento de las series de personas sanas y con insuficiencia

cardiaca. Aquellas series que mantienen las mismas características de escalamiento a

través de la señal entera, indica que son sistemas homogéneos y se caracterizan con

una sola dimensión fractal global, de forma que representa la existencia de

estacionareidad en la serie, esto quiere decir que al realizar un análisis estadístico de

las series, estas mantendrán sus valores estadísticos en cualquier segmento de la

serie de tiempo; sin embargo, en otras series de tiempo, como las de interlatido

cardiaco podemos observar un comportamiento de escalamiento en el cual se hace

evidente la no estacionareidad de la serie, y por la tanto la heterogeneidad. Al obtener

la dimensión fractal permite observar el comportamiento de la serie de tiempo, es decir

los cambios que sufre en la dinámica de la misma. Con el método de Higuchi, también

obtenemos la dimensión fractal de curvas auto afines en términos de la pendiente de

una línea recta que ajusta la longitud de la curva con respecto al intervalo de tiempo, lo

cual nos provee una estimación precisa de la dimensión fractal aun para un número

pequeño de datos, así como definir las regiones en las cuáles se divide la gráfica

resultante en el caso de que haya crossovers, es decir la diferencia de escalamiento

en la dinámica de la serie.

Hace alrededor de 20 años, ha comenzado una revolución en el mundo de las ideas

científicas que han sido conocidas por todos, surgen nuevas ideas que tratan de

describir y entender la multitud de fenómenos que se presentan en la naturaleza, el

cuerpo humano, así como en las diversas ramas de conocimiento; estas ideas de

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dinámica no lineal, tienen diversas aplicaciones en campos de la física, las

matemáticas, la biología, la medicina, la economía, la lingüística, solo por mencionar

algunos.

Fenómenos cardiológicos [21] han comenzado a ver desde otras perspectivas, se ha

podido proporcionar un entendimiento más profundo del comportamiento dinámico del

corazón, además de tener aplicaciones prácticas en el tratamiento de varias

enfermedades.

El corazón es una estructura cónica, con la base dirigida hacia arriba, el lado derecho

y atrás; la punta está en contacto con la pared del tórax en el quinto espacio

intercostal; con aproximadamente 12cm de longitud, 9cm de anchura y 6cm de grosor

máximo. Su masa promedia entre 250 y 300g en mujeres y varones adultos [22].

Órgano muscular hueco que recibe sangre de las venas y la impulsa hacia las arterias.

Se localiza por detrás de la parte inferior del esternón, y se extiende hacia la izquierda

de la línea media del cuerpo.

La insuficiencia ocurre cuando hay cambios en la función del corazón como la

debilitación de la bomba que resultan en congestión circular o insuficiente perfusión. El

término insuficiencia cardiaca significa una incapacidad del corazón para bombear

suficiente cantidad de sangre para satisfacer las necesidades corporales [23].

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II. GENERALIDADES En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red

vascular, las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposición de las

glándulas, etc. La importancia que tiene esta geometría fractal en el organismo es que

permite optimizar la función de los sistemas debido a que en el mínimo espacio tienen

la máxima superficie. Al existir estructuras con geometría fractal deben estar presentes

los fenómenos con características fractales al poder poseer estos fenómenos unos

patrones que se repiten constantemente en diferentes escalas de tiempo. Estos

fenómenos los podemos caracterizar con el uso de herramientas matemáticas,

permitiendo el estudio de fenómenos dinámicos en el cuerpo humano o en la

naturaleza y una aproximación más acorde con la complejidad y la ausencia de

linealidad existente en dichos procesos.

Hemos mencionado la palabra fractal, término el cual se refiere a un objeto semi-

geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes

escalas, otra característica importante es el hecho de que la dimensión de un

organismos fractal es fraccionaria, es decir, cuando hablamos de un línea conocemos

que su dimensión es uno (longitud), para un plano la dimensión en dos, en cuerpos

con volumen su dimensión es tres, longitud-anchura-altura, en cambio en un cuerpo

fractal se puede definir con una dimensión en fracciones. El término fractal fue

propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 deriva del Latín fractus, que

significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un

objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

---Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

---Posee detalle a cualquier escala de observación.

---Es auto similar (término enfocado hacia fines estadísticos) o auto-afinidad

(aproximaciones, geométrico). El fractal parezca idéntico a diferentes escalas.

---Se define mediante un algoritmo recursivo. En este caso si se sigue realizando la

misma forma en cada segmento de la figura (Fig. 1) podemos obtener al final, después

de varias repeticiones, ejemplos de fractales geométrico (Fig. 2).

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Fig1.- Pasos sucesivos de la construcción de la curva de Koch.

Fig.2.- Auto similitud exacta del copo de nieve de Koch.

Los fractales también se usan en las computadoras para reducir el tamaño de

fotografías e imágenes de vídeo. En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley

descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías

digitalizadas. Este descubrimiento generó la compresión fractal de imágenes, utilizada

en multimedia y otras aplicaciones basadas en la imagen.

En este trabajo, se utilizarán series de tiempo, una serie de tiempo se define como el

conjunto de valores numéricos de cualquier variable que cambia con el tiempo, son

generalmente conjuntos de valores dados como función del tiempo. Una serie de

tiempo puede caracterizarse por la combinación de una componente estocástica, una

o más propiedades periódicas y una componente de tendencia. Las componentes de

una serie de tiempo, son:

Tendencia, es la componente del comportamiento de la serie, su dinámica.

Ciclicidad ó Periodicidad, es un conjunto de fluctuaciones en forma de onda o ciclos.

Estacionalidad, son aquellos patrones de cambio, regularmente recurrentes a través

del tiempo.

Estacionaria, es aquella serie de datos cuyas propiedades estadísticas básicas,

permanecen constantes en el tiempo.

Estocástica, proceso aleatorio que evoluciona con el tiempo.

A estas series de tiempo se les aplicarón métodos de dinámica no lineal, es decir, la

dinámica no lineal es aquel comportamiento en el cual la relación causa-efecto es

impredecible.

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El sistema circulatorio del hombre y de los vertebrados poseen tres tipos de vasos

sanguíneos: arterias, venas y capilares (Fig. 3). Las dos primeras se distinguen entre

si por la dirección que lleva la corriente sanguínea en ellas, las arterias llevan sangre

desde el corazón hasta tejidos, y las venas se encargan de restituir la sangre de los

tejidos al corazón. Los capilares sirven de enlace entre arterias y venas; su función

más importante es el intercambio de materiales nutritivos, gases y desechos entre la

sangre y los tejidos, el órgano mas importante del sistema circulatorio es el corazón,

poderoso órgano muscular situado en la cavidad torácica directamente detrás del

esternón [24], es una bomba muscular doble, autorregulada, cuyos componentes

operan al unísono para impeler la sangre por todas las partes del organismo [25].

Fig.3.- Esquema del proceso de circulación sanguínea en el cuerpo humano.

El corazón es un músculo hueco que circunscribe cavidades en las cuales circula la

sangre. El corazón esta formado por cuatro cámaras de bombeo principales, los

ventrículos izquierdo y derecho; y las aurículas izquierda y derecha que actúan como

bombas cebadoras, separadas cada una de la otra y de las venas y arterias por medio

de válvulas. La válvula tricúspide se encuentra entre la aurícula y el ventrículo

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derecho; la válvula pulmonar esta, entre el ventrículo derecho y la arteria pulmonar; la

válvula aórtica se encuentra entre el ventrículo izquierdo y la arteria aorta (Fig.4).

Fig.4.- Esquema de las partes del corazón, así como la conducción de la sangre

oxigenada (color azul) y desoxigenada (en color rojo).

La función circulatoria del corazón se puede definir en tres tipos, estos son:

1) Sistema cardiovascular (circulación mayor)

2) Sistema pulmonar (circulación menor)

3) Sistema miocárdico (circulación coronaria)

El retorno venoso periférico proveniente de las venas cavas superior e inferior llena la

aurícula y el ventrículo derecho. Con la contracción auricular fluye más sangre a través

de la válvula tricúspide y se completa el llenado del ventrículo derecho. El ventrículo

derecho bombea en seguida la sangre desoxigenada a las arterias pulmonares y al

pulmón a través de la válvula pulmonar. La sangre oxigenada regresa del pulmón a la

aurícula izquierda en la vía de las cuatro venas pulmonares. La contracción en

secuencia de la aurícula y el ventrículo izquierdo bombea la sangre de retorno a los

tejidos periféricos. Durante el proceso de contracción ventricular, la válvula mitral

permanece cerrada para evitar reflujo de sangre hacia la aurícula (Fig.5).

El funcionamiento del corazón como bomba se divide en dos fases [26]:

• Sístole.- Es la contracción rítmica del corazón, principalmente de los ventrículos, es

la acción en la cual la sangre pasa del corazón hacia la aorta y a las arterias

pulmonares.

14

• Diástole.- Es la dilatación de las cavidades del corazón, el músculo ventricular se

encuentra relajado y las cavidades llenas de sangre, en esta fase las válvulas aórticas

y pulmonares se cierran para evitar que la sangre de estas arterias regrese a los

ventrículos.

Fig.5.- Distribución de la sangre a través de la circulación pulmonar y sistemática

El sistema de conducción cardíaco comprende (Fig.6):

a) Nodo Seno-Auricular (nodo S-A).- Localizado en la aurícula derecha, cuando el

corazón funciona normal el estímulo generado en esta región controla la frecuencia

cardiaca, por eso se le conoce como el marcapasos natural, genera el impulso

mas rápido que cualquier otro elemento del sistema de conducción y por lo tanto

es el primero en trasmitirlo, dicho estímulo es conducido hacia el nodo atrio-

ventricular, teniendo como medio ambas aurículas.

b) Nodo Aurícula-Ventricular (nodo A-V).- Situado en la aurícula derecha, el impulso

de nodo S-A permite la despolarización del nodo A-V, desprendiendo fibras de

conducción, conocidas como Haz de His.

Aurícula derecha

Ventrículo derecho

Venas cava superior e inferior

Válvula tricúspide

Válvula pulmonar

Arteria pulmonar

Circulación sistémica

Pulmones

Vena pulmonar

Aorta

Aurícula izquierda

Ventrículo izquierdo

Válvula mitral

Válvula aórtica

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c) Haz de His (haz A-V).- Este haz distribuye el potencial de acción a cada uno de los

ventrículos, a través de las ramas diseminadas en los ventrículos, los extremos de

estas ramas son conocidos como fibras de Purkinje.

d) Fibras de Purkinje.- Conducen el impulso desde las aurículas a los ventrículos y lo

estimulan.

Fig.6.- Esquema que representa el sistema de conducción cardiaco y sus ondas

características.

Latir es una función propia del corazón, se manifiesta desde el nacimiento y durante el

desarrollo de nuestra vida [24]. Todos los tejidos necesitan suministro constante de

oxígeno conducido por la sangre circulante. La función impulsora de la sangre del

corazón, sigue una sucesión cíclica. Las fases sucesivas del ciclo, a partir de la

sístole auricular, son las siguientes:

a) Sístole auricular, a lo largo de la aurícula se propaga la onda de contracción,

estimulación por el nodo seno-auricular, con los cual se llenan los ventrículos. La

conducción del impulso por el nodo aurículo-ventricular es más lenta que a lo

largo de otras porciones del tejido nodal. Lo que explica la breve pausa después

de la sístole auricular, antes de que comience la sístole ventricular.

b) Al comienzo de la sístole ventricular, empieza a contraerse la musculatura de la

pared ventricular, estimulada por el impulso propagado por el haz del tejido nodal

y procedente del nodo aurículo-ventricular. Al momento se cierran ambas

válvulas cardiacas y se registra el primer tono de los ruidos cardiacos.

c) La presión en los ventrículos aumenta hasta que se equilibre con la de las

arterias, permanecen cerradas las válvulas semilunares.

d) Cuando la presión intra-ventricular sobrepasa a las de las arterias, se abren las

válvulas semilunares y la sangre brota en las arterias pulmonares y aorta,

comienza la diástole ventricular.

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e) Los ventrículos entran en reposo, su presión desciende y se percibe el segundo

ruido cardiaco.

f) En el período de descenso de la presión, no sale ni entra sangre a la cavidad

ventricular.

g) Debido a la persistente relajación de las paredes ventriculares, se genera una

diferencia de presión, lo cual permite que tanto la válvula mitral como la

tricúspide se abran y comience la sístole auricular.

El fenómeno eléctrico generado durante el proceso de conducción del estímulo al

músculo cardiaco, se registra en forma de electrocardiograma (ECG), en el que se

refleja la propagación eléctrica de la despolarización y la repolarización en las cámaras

cardiacas. Las células cardiacas en reposo se encuentran polarizadas; pero la

estimulación eléctrica las despolariza y se contraen [27]. Por lo tanto, el corazón es

recorrido por una onda progresiva de estimulación que provoca la contracción del

miocardio, el ECG (Fig. 7) hace una suma total de cada una de las despolarizaciones

y repolarizaciones que se llevan a cabo en el proceso de conducción, para

posteriormente registrar estos valores en un electrocardiograma.

Fig. 7.- Esquema que representa la señal de ECG, así como ejemplos de

electrocardiogramas.

Es importante considerar que en un corazón sano, el latido normal se origina de la

contracción de ambas aurículas y la relajación de los ventrículos, con una frecuencia

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cardiaca de 60 a 70 latidos por minuto, dependiendo de distintos factores como la

genética, estado físico, psicológico, condiciones ambientales, postura, edad y sexo. El

ECG se manifiesta como una serie de ondas (Fig.8), cada una caracterizada por un

nombre, amplitud y duración, las más importantes son:

• Onda P.- Indica la despolarización de la aurícula, la difusión del impulso generado

por el A-V sobre las aurículas.

• Complejo QRS.- Representa la despolarización ventricular y repolarización de las

aurículas.

• Onda T.- Representa la repolarización de los ventrículos.

• Intervalo P-Q.- Indica el tiempo requerido para que el estímulo generado en el nodo

S-A pueda ser conducido hacia el nodo A-V.

• Segmento S-T.- Representa el tiempo que se encuentra entre la parte final de la

transmisión del impulso a través de los ventrículos y su repolarización.

Fig.8.- Descripción de la despolarización y repolarización sobre un ECG.

El electrocardiógrafo es el equipo que nos permite medir la diferencia de potencial

eléctrica, estos potenciales son del orden de mV, y presentan componentes en

frecuencia de 0 a 200Hz, sin embargo, para fines de diagnóstico médico el rango de

frecuencia es de 0 a 100Hz [26].

Fisiológicamente, Warren y Otead [28] definieron la insuficiencia cardiaca como el

estado resultante de la incapacidad del corazón para impulsar el volumen suficiente

de sangre hacia los tejidos del organismo, con la finalidad de cubrir las necesidades

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metabólicas. La insuficiencia cardiaca congestiva (Fig.9) indica una serie de

síndromes, los cuales están asociados a:

1) Fracaso del ventrículo izquierdo como bomba.

2) Fracaso del ventrículo derecho como bomba.

3) Hipertensión venosa pulmonar.

4) Hipertensión venosa general.

Cuando el corazón no alcanza a cubrir las necesidades metabólicas en un estado de

reposo, el volumen sistólico disminuye, este problema puede causar un leve infarto al

miocardio o hasta la muerte. Las personas que padecen insuficiencia cardiaca pueden

mejorar su condición o sustituir la función, en este caso según el daño al corazón, por

medios quirúrgicos, terapias, prótesis, cambios en su estilo de vida, así como

medicación. Al no existir una cura a esta enfermedad, es importante proporcionar al

médico los elementos necesarios para que pueda realizar sus diagnósticos de manera

rápida y sencilla, así como el evaluar la recuperación de su paciente y si el tratamiento

sugerido es el adecuado.

Fig. 9.- Esquema que muestra una de las principales causas de insuficiencia cardiaca.

Se trabajo con el intervalo RR, el cual es el tiempo existente entre cada pico R, en un

electrocardiograma (ECG), se consideraron para la realización del trabajo de

investigación, ya que son los puntos más grandes y por lo tanto de fácil identificación

mediante la programación de algoritmos. Es importante conocer como es que el

corazón llevaba a cabo el proceso de circulación sanguínea, que factores intervienen,

que función realiza cada elemento, para de esta forma entender su funcionamiento y

aplicarle los métodos de dinámica no lineal e interpretar los resultados obtenidos de

los mismos.

19

III. JUSTIFICACIÓN

El corazón de una persona en descanso impulsa aproximadamente 5 litros de sangre

por minuto, es decir 75 ml por latido, esto indica que cada minuto pasa por el corazón

un volumen de sangre equivalente a toda la que contiene el organismo humano, pero

esto no quiere decir que toda ella, cada minuto pasa por el corazón.

Cada año, casi 930,000 personas en los Estados Unidos mueren a causa de las

enfermedades cardiovasculares (ECV). Casi 500,000 de estas muertes se deben a la

enfermedad coronaria, unos 179.5 mil se deben a infartos del miocardio. Se estima

que el costo total asociado con las enfermedades cardiovasculares en los Estados

Unidos para 2005 es $393.5 mil millones. En comparación, el costo total del cáncer en

2004, fue $190 mil millones [29]. Las enfermedades coronarias son la primera causa

de muerte de hispanoamericanos, siendo responsable de la muerte de más de 27,000

personas cada año. Según la publicación de la Asociación Americana del Corazón,

Heart and Stroke Statistics en el 2004, el 32.6 por ciento de las muertes de mujeres

latinas/hispanas se puede atribuir a las enfermedades del corazón y cerebrales [29].

Las enfermedades del corazón o enfermedades coronarias son condiciones que

afectan a los vasos que proveen de sangre, oxígeno y nutrientes a los músculos

cardiacos. Si estos vasos se bloquean en una persona puede disminuir su capacidad

de irrigación sanguínea y podría provocarle desde un dolor hasta la muerte. Las

enfermedades coronarias se desarrollan debido a factores como: alta presión

sanguínea (hipertensión), diabetes, colesterol alto, fumar, factores genéticos. Según

estadísticas del INEGI, en México, la quinta causa de morbilidad hospitalaria en el

periodo de 1998 a 2005, son las enfermedades del sistema circulatorio y se prevee

que van en aumento [30].

Los vasos sanguíneos que van desde la aorta hasta los capilares, se ramifican y

dividen. Cada división se vuelve a ramificar y dividir, y continúa hasta que los

conductos son extremadamente angostos y las células solo pueden pasar una detrás

de otra. La estructura de este sistema tiene carácter fractal. Debido a adaptación

fisiológica, los vasos sanguíneos tienen que apretar y comprimir una línea

extremadamente larga y hacerla entrar en un área muy pequeña, el sistema

circulatorio debe comprimir una superficie de área grande en un volumen limitado. La

única forma en que la sangre pueda circular a través de estos sistemas y

ramificaciones, es que el sistema tenga estructura fractal.

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En el sistema circulatorio, también están presentes fenómenos fractales, por lo tanto

para su interpretación se necesita la aplicación de dinámica no lineal, como en el caso

del corazón donde la red de fibras del corazón que conducen los impulsos eléctricos a

los músculos que se contraen, también es fractal. Con esta red nombrada His-

Purkinje, comienzan en esta área las aplicaciones de la dinámica no lineal. El espectro

de frecuencias del corazón, presenta bajo determinadas condiciones, un

comportamiento caótico, el cual sigue leyes fractales, la única forma de explicar este

fenómeno y entenderlo para llevar a cabo nuevas aplicaciones médicas y mejorar la

vida del paciente, es explicarlo como una estructura fractal.

Es por ello que es importante conocer y utilizar técnicas de dinámica no lineal que

permitan describir el comportamiento de los sistemas fisiológicos, ya que dichas

técnicas permiten obtener un análisis más confiable del comportamiento de los

sistemas fisiológicos.

Mandelbrot [21] ha mencionado que si sólo pensamos dentro del contexto de la

geometría de Euclídes que se nos enseña en la escuela, entonces las estructuras

anatómicas son complicadas. Pero entenderlas como fractales es posible describirlas

de manera extremadamente sencilla, con muy poca información, pero de importante

relevancia para el campo de aplicación en el área médica.

IV. OBJETIVOS Generales. ---Desarrollar técnicas de análisis de series de tiempo de sistemas fisiológicos usando

dinámica no-lineal con la finalidad de establecer descripciones más completas de los

mecanismos no lineales que caracterizan al sistema.

---Interpretar los resultados obtenidos de la aplicación de los métodos de dinámica no

lineal (método DFA, FA y el método de Higuchi), durante la fase de sueño y vigilia en

personas sanas y con insuficiencia cardiaca.

Particulares. ---Comprender conceptos de fractalidad, dinámica no lineal y series de tiempo.

---Entender y aplicar los métodos de DFA, FA y el método de Higuchi.

---Programación en MATLAB de los algoritmos de los métodos de dinámica no lineal,

ya mencionados.

21

V. METODOLOGÍA Los métodos utilizados en la realización de esta investigación son:

Método DFA. El método DFA, se ha usado para detectar correlaciones. En 1993,

Peng et al. [31] introdujeron el método DFA, este método está basado en las

variaciones del clásico caminante al azar y se ha usado para detectar correlaciones,

por ejemplo en secuencias altamente heterogéneas de DNA y otras señales

fisiológicas [8,32]. El método DFA tiene algunas ventajas sobre métodos

convencionales [32], estas ventajas son que permite la detección de correlaciones de

largo alcance en series altamente no estacionarias y evita la detección espuria de

correlaciones de largo plazo aparentes que son un artefacto de la no estacionareidad y

además puede ayudar a identificar diferentes estados del mismo sistema de acuerdo a

sus diferentes comportamiento de escala [9,33]. Se parte de una serie de tiempo

inicial (de longitud total N), primero esta serie se integra [ ]∑ =−=

N

i aveBiBky1

)()( .

Después, la serie se divide en cajas de igual longitud n. En cada una de estas cajas,

una recta de mínimos cuadrados (o una curva polinomial de orden k) se ajusta a los

datos (ésta se llama la tendencia local yn(k), en cada caja). Para k = 1 se tiene el

método DFA-1, cuando k = 2 corresponde al método DFA-2 y así sucesivamente para

cada incremento en k. Después, los puntos de la línea se restan de la serie integrada

y(k) en cada caja. La raíz media cuadrática de la fluctuación de esta serie integrada y

sin tendencias se calcula por medio de:

[ ]∑=

−=N

kn kyky

NnF

1

2)()(1)(

Este cálculo se repite sobre todas las escalas de tiempo (tamaños de caja), desde

n=minbox hasta n=maxbox, para obtener un comportamiento de ley de potencias entre

F(n) y n. Donde, F(n) se incrementaría con el tamaño de la caja. Una relación lineal en

una gráfica log-log indica la presencia de un escalamiento de ley de potencias (fractal): γnnF ∝)(

Este proceso es tomado sobre varias escalas (tamaño de las cajas), para obtener una

ley del comportamiento del poder F(n) = nγ, con una γ el cual es el exponente que

refleja las propiedades de la señal o también denominado el exponente de

escalamiento, el cual permite caracterizar las fluctuaciones que se encuentran en un

sistema no lineal. Siendo γ =1/2 representa la ausencia de correlaciones, es decir,

ruido blanco (Fig.10); γ =1 significa ruido 1/f, correlaciones de largo alcance (Fig.11);

mientras q γ =1.5 representa un ruido Browniano (Fig.12), totalmente correlacionado o

correlaciones de corto alcance.

22

Método FA. En el método de FA [34], j es el número de latidos cardiacos y es

considerado con respecto al tiempo. De hecho, hay una función limitante del

incremento entre una variable discreta j y el tiempo de la señal fisiológica nombrada

t , siendo ∑ ==

j

k kj rt1

, donde kr es el k-veces el intervalo RR. Por lo tanto se usa el

número de latidos j como la variable de tiempo de la dinámica del intervalo RR. De

esta manera, la escala de tiempo será un sinónimo de escala del latido cardiaco, y

viceversa. Para estudiar la dinámica del interlatido cardiaco, se emplea la función de

estructura kjjkj rrf −−=, para un segmento de la serie de interlatido cardiaco con

respecto a k escala del latido, empleando q

kjf , , donde q representa el orden de la

función de fluctuaciones.

Álvarez Ramírez et al, trabajan el método FA para el tratamiento de las series de

datos, series de pacientes con insuficiencia cardiaca, así como elementos básicos de

teoría de control, la esencia de la teoría del control radica en el término de "feedback",

el cual se define como la realimentación" o "retroalimentación". Para el estudio de la

dinámica del latido cardiaco durante las diferentes fases (sueño y vigilia) se pueden

incluir elementos de la teórica de control clásica, la idea es que se puede usar una

metodología en el dominio de la frecuencia para obtener una idea de los principales

mecanismos de control del sistema cardio-respiratorio, y con ello determinados

fenómenos como consecuencia, en este caso se sabe que las respuestas del sistema

cardio-respiratorio varían según la edad y enfermedad. Actualmente, el interés de

diversos investigadores es el análisis de la variabilidad del ritmo cardiaco como una

herramienta de análisis no-invasiva del Sistema Nervioso Autónomo, así como

describir la complejidad de los datos y poder discriminar entre diferentes series de

tiempo, además de caracterizarlas, es por ello que la dinámica no-lineal y el análisis de

fluctuaciones involucra cuestiones tales como: el exponente de Lyapunov, sección de

Poincare, exponente fractal de Hurst, el método DFA, método FA y el método de

Higuchi. En los últimos años, el dominio del tiempo se ha usado para estudiar

propiedades escalares de la función de fluctuación, sin embargo, el análisis en el

dominio de la frecuencia es el más adecuado para el sistema cardio-respiratorio

cuando este es visto como un actuador de un sistema de control retroalimentado.

Algunos conceptos de teoría de control que emplearon en su trabajo con la finalidad

de permitirles visualizar los componentes del sistema cardio-respiratorio [34] son:

a) Proceso Regulado: Las funciones fisiológicas del cuerpo pueden ser consideradas

23

como procesos regulados. Algunas variables deben ser controladas para asegurar la

operación del proceso continuo, como la presión sanguínea.

b) Sistemas de Control: Los principales mecanismos de control son localizadas en el

Sistema Nervioso Autónomo. Los valores medidos son transmitidos a los sistemas de

control, donde son comparados con valores pre-establecidos.

c) Actuadores: Las acciones correctivas generadas por el sistema de control son

utilizados para cubrir o cerrar separaciones entre los valores de los niveles medidos y

los niveles deseados de las señales fisiológicas. Tales señales de control son hechas

por actuadores de control. Las acciones finales de control son implementadas, como

respuestas cardiacas y respiratorias para regular la presión sanguínea así como los

niveles de O2 en todo el cuerpo.

De esta manera, se puede observar una cercana relación, en el corazón como un

actuador, el cual sea capaz de responder a los principales comandos de control

generados por el Sistema Nervioso Autónomo. De acuerdo a los conceptos de la

teoría de control, si el sistema cardio-respiratorio representa el actuador final de un

sistema de control estable, entonces la dinámica de este debería contener un

esquema capaz de rechazar situaciones exógenas, presentar baja sensibilidad a

frecuencias altas para evitar comportamientos inestables debidos a la dinámica de alta

frecuencia y mediciones de ruido.

Método de Higuchi. La dimensión fractal de objetos similares, en el plano son

definidos en términos de la distribución isotropica de sus partes, la cual puede estar

ajustada por un factor particular de escala. Esta propiedad cambia en caso de una

misma afinidad fractal, pues su distribución espacial es no isotrópica, y el factor

escalar es distinto para cada dirección. Higuchi [12, 13] propone un método para

calcular la dimensión fractal de curvas similares en términos de la pendiente de una

línea recta que se ajusta a lo largo de la curva contra el intervalo de tiempo (el “lag”),

en un gráfico log, log. Con este método, se considera una serie finita de datos

tomados en intervalos regulares v(1), v(2), v(3),…, v(N). De estas series construimos

nuevas series de tiempo νmk definidos por promedios de v(m), v(m+k), v(m+2k),…,

v(m+[(N-k)/k].k) donde m=1,2,3,..,k. y [ ] es la notación de Gauss y k, m son

integradores que indican el tiempo inicial y los intervalos de tiempo respectivamente.

24

La longitud de la curva esta definida como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−+= ∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

kmN

im ukimikm

kkL

1)1(()(1)( νν

Posteriormente, la longitud de la curva para el intervalo k, esta dado por <L(k)>, y el

valor promedio sobre k determina Lm(k). Finalmente si DkkL −∝)( . Entonces la curva

es fractal con dimensión D. Para el caso de curvas con afinidad propia, esto esta

relacionado con el exponente espectral β por medio de la siguiente relación, β=5-2D,

donde, D esta en el rango1<D<2 luego 1<β<3. Higuchi mostró que este método provee

una precisa estimación de la dimensión fractal. Además el método de Higuchi ha

permitido definir con claridad dos o más regiones en las cuales se divide la gráfica del

)(kLm vs log k en el caso de que haya crossovers, es decir los puntos que dividen a

diferentes regiones de escalamiento con diferentes valores de la dimensión fractal D.

Existe también una relación entre γ y D, γ =3 - D. Es importante mencionar que existe

una relación entre el exponente DFA y la dimensión fractal de Higuchi (Fig. 10 a 12),

por lo cual todas las observaciones y resultados de la dinámica correlacional se

pueden obtener con DFA o con Higuchi, aunque este último es más preciso.

Generación de ruidos teóricos, así como la aplicación del método DFA y su relación

con el método de Higuchi.

25

Fig. 10.- Con un exponente de dimensión fractal β=0, la presencia de un exponente de

escalamiento γ=0.5, indicando la presencia de ruido blanco, es decir, ausencia de

correlaciones.

26

Fig. 11.- Con un exponente de dimensión fractal β=1, presencia de un exponente de

escalamiento γ=1, significa ruido 1/f indicando correlaciones de largo alcance.

27

Fig. 12.- Con un exponente de dimensión fractal β=2, relacionado con el exponente de

escalamiento γ=1.5, obtenemos la presencia de ruido Browniano, totalmente

correlacionado o correlaciones de corto alcance.

Potencial Espectral.- La densidad de potencia espectral es un método utilizado para

analizar las fluctuaciones temporales de las series de tiempo. Una serie de tiempo

puede ser descrita en el dominio del tiempo como )(tx o en el dominio de la

frecuencia en términos de la amplitud ),( TfX donde f es la frecuencia. Esta amplitud

puede ser calculada por medio de la transformada de Fourier aplicada a )(tx en el

intervalo Tt <<0 .

dtetxTfXT

ift∫=0

2)(),( π

La expresión dftfX 2),( es la contribución de la energía a la energía total de )(tx

de aquellas componentes con frecuencias entre f y f + df. La potencia espectral [35] se

define como: ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∞→ T

TfXfS

T

2),(lim)(

Donde, ),( TfX es la Transformada de Fourier de la serie de tiempo )(tx , T es el

tiempo de monitoreo total con tT ∆=η , donde t∆ es el tiempo de muestreo. Para

series auto afines, la potencia espectral se comporta como una ley de potencias con

frecuencia dada por, β−= ffS )( . Primero, )( fS se calcula por medio de la

28

transformada rápida de Fourier (FFT), y el exponente espectral β se estima por la

pendiente de la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a log(S(f)) vs log(f) y, de

acuerdo con Malamud y Turcotte [1], β caracteriza las fluctuaciones temporales de la

serie de tiempo, el valor de β está relacionado con el tipo de correlaciones presentes

en una serie de tiempo, es decir, para un ruido blanco descorrelacionado se tiene

un β =0; para el movimiento browniano el cual es un ruido correlacionado de corto

alcance se tiene β igual a 2; y el ruido 1/f, exhibe correlaciones de largo alcance,

tiene un β =1. El valor de β es una medida de la persistencia o antipersistencia en

una serie de tiempo [1]. Es bien conocido que el espectro de potencias puede ser

considerado como la transformada coseno de Fourier de la función de correlación tal

como lo establece el teorema de Weiner-Khintchine [36]. Por lo tanto, se puede decir

que el valor de β está relacionado con el tipo de correlaciones presentes en una serie

de tiempo.

Transformada de Fourier.- Es una aplicación que hace corresponder a una función f

con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera

siguiente:

Para que esta definición tenga sentido, algunas condiciones técnicas tienen que ser

satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una función integrable en el

sentido de la integral de Lebesgue.

Definición formal: Sea f una función compleja definida en la recta e integrable con

respecto a la medida de Lebesgue, en símbolos, La transformada de

Fourier de f es la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Por medio del

teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua. La

transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

29

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia, y así

obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo. La transformada que

empleamos en esta investigación, es la Transformada Rápida de Fourier o FFT, la cual

es la abreviatura usual, por sus siglas en inglés Fast Fourier Transform, de un eficiente

algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa.

Se define como: Sean x0,...., xn-1 números complejos. La transformada discreta de

Fourier (DFT, por sus siglas en inglés) se define como

La evaluación directa de esa fórmula requiere O(n²) operaciones aritméticas. Mediante

un algoritmo FFT se puede obtener el mismo resultado con sólo O(n log n)

operaciones. En general, dichos algoritmos dependen de la factorización de n.

La idea que permite esta optimización es la descomposición de la transformada a

tratar en otras más simples y estas a su vez hasta llegar a transformadas de 2

elementos donde k puede tomar los valores 0 y 1. Una vez resueltas las transformadas

más simples hay que agruparlas en otras de nivel superior que deben resolverse de

nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel más alto. Al final de este proceso, los

resultados obtenidos deben reordenarse.

Las bases de datos de interlatido cardiaco se obtuvieron de la página web de

Physionet [37], estas son señales de grabaciones de ECG (electrocardiograma),

tomadas por grabadores ambulatorios de ECG con un ancho de banda de 0.1 a 40Hz.

Dichas series están avaladas por Nacional Institute of Biomedical Imaging and

Bioengineering, Nacional Institutes of Health y Nacional Institute of General Medical

Sciences.

Se consideraron dos bases de datos, las de personas sanas, esta serie se considerará

como el grupo control, para poder comparar con respecto a los pacientes enfermos, la

segunda base de datos; la primer base de datos se identifica con el nombre “Normal

Sinus Rhythm RR Interval Database”, cuenta con 54 casos de personas sanas con

edades entre los 28 y 72 años, dichas series son tanto sexo femenino como

masculino. En el caso de las personas enfermas se descargaron dos bases de datos

para obtener una representación significativa de pacientes con insuficiencia cardiaca y

realizar una comparación adecuada, estas series se nombraron de la siguiente forma,

la primer base de datos es “Congestive Heart Failure RR Interval Database” con 29, de

los cuales se analizaron 25 casos, las edades de esta base de datos oscilan entre los

30

34 y 79 años para ambos sexos y la segunda base es “BIDMC Congestive Heart

Failure Database” contiene 15 casos, de los cuales se analizaron 12, con edades entre

los 22 y 71años tanto para mujeres como para hombres. Dichas bases de datos se

observan de la siguiente manera:

[14:30:00.580] 145 N 0 0 0 [14:30:01.180] 295 N 0 0 0 [14:30:01.776] 444 N 0 0 0 [14:30:02.368] 592 N 0 0 0 [14:30:02.968] 742 N 0 0 0 [14:30:03.572] 893 N 0 0 0 [14:30:04.176] 1044 N 0 0 0 [14:30:04.768] 1192 N 0 0 0 [14:30:05.364] 1341 N 0 0 0 [14:30:05.968] 1492 N 0 0 0 [14:30:06.564] 1641 N 0 0 0 [14:30:07.164] 1791 N 0 0 0 [14:30:07.772] 1943 N 0 0 0 [14:30:08.368] 2092 N 0 0 0 [14:30:08.968] 2242 N 0 0 0 [14:30:09.556] 2389 N 0 0 0 [14:30:10.164] 2541 N 0 0 0 [14:30:10.772] 2693 N 0 0 0 [14:30:11.372] 2843 N 0 0 0 [14:30:11.968] 2992 N 0 0 0

La base de datos contiene el tiempo transcurrido entre el sensado del primer punto R

hasta el siguiente y así sucesivamente durante aproximadamente 24 horas continuas,

además de otras anotaciones indicadas por el personal responsable del área, las

cuales no se van a utilizar; para comenzar a trabajar con los algoritmos de los métodos

de dinámica no lineal, se realizó un tratamiento de las bases de datos, como primer

paso después de las descarga de las bases, se cargaron en Excel, se observó el

formato de las series y posteriormente se separaron en columnas de horas, minutos y

segundos (Fig. 13), después de tener las series separadas en estas tres columnas, se

prosiguió convirtiendo el tiempo en segundos.

Después de tener el tiempo en segundos, se obtuvó el tiempo de intervalo RR en

segundos, restando el primer dato con el dato anterior y así sucesivamente, con lo

cual formamos las series de interlatido cardiaco y se copiaron en un block de notas

donde se guardaron con extensión .TXT, y poder trabajarlas en MATLAB con los

programas de dinámica no lineal.

31

HORAS MINUTOS SEGUNDOS TIEMPO EN SEGUNDOS

INTERVALO RR EN SEGUNDOS

10 0 0.112 36000.112 0.784 10 0 0.896 36000.896 0.784 10 0 1.752 36001.752 0.856 10 0 2.612 36002.612 0.86 10 0 3.472 36003.472 0.86 10 0 4.324 36004.324 0.852 10 0 5.184 36005.184 0.86 10 0 6.048 36006.048 0.864 10 0 6.904 36006.904 0.856 10 0 7.768 36007.768 0.864 10 0 8.636 36008.636 0.868 10 0 9.496 36009.496 0.86 10 0 10.36 36010.36 0.864 10 0 11.216 36011.216 0.856 10 0 12.068 36012.068 0.852 10 0 12.916 36012.916 0.848 10 0 13.764 36013.764 0.848 10 0 14.62 36014.62 0.856 10 0 15.46 36015.46 0.84 10 0 16.32 36016.32 0.86

Fig. 13.- Formato utilizado para el procesamiento de las bases de datos, de pacientes

sanos y enfermos.

Después de tener las series, se graficaron las series de personas sanas para observar

su comportamiento (Fig.14), algunas de estas gráficas mostraban datos muy grandes,

con un tiempo superior a los 6s, éstas series presentan datos incongruentes.

Fig. 14.- Gráfica de la base de datos para un paciente sano, de la serie de tiempo

nombrada nsr01.

32

Debido a información basada en bibliografía el intervalo RR se encuentra entre 0.3 a

1.2 segundos, la presencia de estos datos incongruentes se debe a que las series

contienen artefactos causados por errores en el grabado de la señal, movimiento del

paciente o de los electrodos, así como por los algoritmos utilizados para localizar los

puntos R, por tal motivo se les dió un tratamiento para eliminarlos, se realizó un

programa en MATLAB para sustituir estos datos por el promedio del dato anterior y el

siguiente (Fig. 15).

Fig. 15.- En esta gráfica se muestra el procesamiento de los datos de la misma serie

de tiempo.

Después de tener las series de tiempo sin datos incongruentes, se aplicaron los

métodos de dinámica no lineal, previamente descritos, a las series de interlatido; se

continúo con la separación de las series de tiempo en la fase de sueño y de vigilia

para cada uno de los casos. Esta separación se llevo a cabo considerando para la

fase del sueño las seis horas continuas en las que se presentó el ritmo cardiaco

promedio más alto, mientras que para la fase de vigilia, se caracterizó con las seis

horas del ritmo cardiaco promedio más bajo., se consideraron únicamente 6 horas

para poder garantizar el hecho de que la persona se encontraba dormida. Para

seleccionar estos intervalos de horas, se elaboró un programa en MATLAB, el cual

mostraría una gráfica del promedio de interlatido con respecto a la hora, en tales

gráficas se identifico la fase de sueño y vigilia (Fig. 16), se prosiguió a tomar los datos

de interlatido para dichas horas y con ello realizar series de sueño y vigilia para cada

base de datos y por paciente, en algunos casos no fue posible llevar a cabo la

identificación de las fases, la finalidad de construir estas nuevas series es el identificar

33

una dinámica característica entre ambas fases, al momento de aplicarles los métodos

de DFA y el de Higuchi.

Fig.16.- Identificación de la fase de sueño y de vigilia.

Al obtener los resultados con el método de Higuchi, nos permitió observar una serie de

oscilaciones en algunos casos, para lo cual se volvió a utilizar MATLAB para eliminar

la tendencia.

Posteriormente se aplicaron antilogaritmos a las series obtenidas después de haber

empleado el método de Higuchi, para tenerlas igualmente espaciadas. A las series de

antilogaritmos se les aplicó la FFT (Transformada Rápida de Fourier), para obtener la

frecuencia características de la serie.

Después de obtener todas estas series se construyeron nuevas series, con el objetivo

de separar la parte lineal y no lineal de las tres bases de datos para cada paciente,

para lo cual se realizó un nuevo programa, consistiendo para la serie de signos, el

restar los datos subsiguientes, al obtener un resultado positivo se colocaba un uno, si

el resultado era negativo se cargaba un -1, pero si el resultado era cero, este se

dejaba igual. En el caso de las series de amplitud se trabaja con el valor absoluto de la

diferencia de los datos, y con estos datos se construía la nueva serie de datos.

34

VI. RESULTADOS El análisis DFA ha sido utilizado en el análisis de correlaciones en series de tiempo de

interlatido cardiaco. Por ejemplo en 1996, Iyengar et al [38] sugirieron que el

envejecimiento esta asociado a una irrupción en la correlación de largo alcance del

fractal que caracteriza los interlatidos cardiacos sanos. Ellos descubrieron que el

método DFA y el análisis espectral de los sujetos jóvenes tienen interlatidos con un

fractal expresado a través de un exponente único (en el caso de DFA, γ ≈ 1). Mientras,

que para individuos sanos y grandes, las series de interlatido, tienen dos regiones

sobre el rango corto, las fluctuaciones del HRV presentan un proceso aleatorio

parecido al de la marcha (γ ≈ 1.5) asemejándose al ruido blanco (γ ≈ 0.5). De acuerdo

con Iyengar et al [19] esta relación de edad pierde organización fractal (el paso de uno

a dos exponentes) en la dinámica del latido cardiaco se puede reflejar la degradación

del sistema regulatorio y de la forma de adaptación del stress. Alvarez-Ramírez et al.

[37] mostraron que los sujetos jóvenes con NSR reflejan un sistema cardio-respiratorio

con la misma respuesta en condiciones de sueño y de vigilia y para un porcentaje

significativo de sujetos ancianos sanos encontraron una respuesta diferente durante la

fase de vigilia.

Los resultados obtenidos de aplicar el método DFA para las series de interlatido

cardiaco de personas sanas (Fig.17) y enfermas con insuficiencia cardiaca (Fig.18), se

muestran en tablas, debido a que se sacó el promedio de todos los exponentes de

escalamiento, tanto para la fase de sueño como para la de vigilia, así mismo para las

base de datos de personas sanas y enfermas, obteniéndose lo siguiente:

Tabla I.- Valores promedios del método de DFA para las series de sanos y enfermos

en ambas fases.

Fase de vigilia Fase de sueño

Sanos γw = 1.0026 ± 0.0179 γs = 0.9731 ± 0.0136

Enfermos γw = 0.9859 ± 0.0558 γs = 0.8681 ± 0.0442

35

Fig. 17.- Método de DFA, aplicado a series de tiempo de personas sanas para las

fases de sueño y vigilia.

Fig.18.- Series de tiempo de interlatido cardiaco para personas con insuficiencia

cardiaca en las fases de sueño y vigilia, Método de DFA.

36

Con el método de Higuchi, también se realizó una tabla (Tabla II) con el promedio para

ambas fases del exponente de dimensión fractal de Higuchi., obteniéndose:

Tabla II.- Empleando el método de Higuchi, se obtuvieron los promedios de la

dimensión fractal tanto para las series de sanos como para las personas que

presentan insuficiencia cardiaca, en la fase de sueño y vigilia.

Fase de vigilia Fase de sueño

Sanos Dw = 1.8245 ± 0.0080 Ds = 1.8826 ± 0.0046

Enfermos Dw = 1.8632 ± 0.0229 Ds = 1.9378 ± 0.0123

Fig. 19.- Gráficas de personas sanas con el método de Higuchi, en la fase de sueño y vigilia.

37

Fig.20.- Series de pacientes con insuficiencia cardiaca analizadas con el método de

Higuchi, para la fase de sueño y vigilia.

Al observar estos resultados, con el método de DFA aplicado a 54 sujetos de la base

de datos NSR, con segmentos de 6h tanto en la fase de vigilia como en la de sueño

(Fig. 17). Aunque para algunos de estos sujetos hay diferencias en los valores de γ, en

promedio no hubo diferencias significativas (Tabla I) entre los valores de γ (el nivel de

significancia igual a 0.05), es decir ruido 1/f, como podemos observar se tiende a un

ajuste lineal para este tipo de series y estos resultados se pueden comprobar con los

trabajos de Alvarez-Ramírez et al. pero no con los trabajo de Ivanov et al. Se

calcularon las correlaciones en las dos fases pero ahora utilizando el método de

Higuchi (Fig. 19,20) y se obtuvieron valores significativamente diferentes aunque

cercanos (Tabla II). Las diferencias entre estos resultados y los publicados por

Alvarez-Ramírez parecen explicarse por la presencia de crossovers en la dinámica de

correlaciones (Fig. 20, derecha), el crossover es un rompimiento en alguna medida

estadística de las series de tiempo, como la dimensión fractal de Higuchi, el exponente

DFA o el exponente espectral. Las series de tiempo de sujetos sanos no muestran

crossovers (Fig.21, izquierda) mientras que en la mayoría de las de personas

ancianas se encontraron crossovers (Fig.22, izquierda), hay un cambio en los valores

del exponente DFA cercano al movimiento browniano para bajas escalas (γ ≈ 1.5) a

ruido 1/f sobre escalas grandes (γ ≈ 1). Esto se observa también con el método de

Higuchi. Para los pacientes con CHF hubo diferencias significativas tanto con DFA

como con Higuchi. En promedio, siempre las correlaciones de largo alcance son

mayores para la fase de vigilia que para la de sueño.

38

Fig. 21. Izquierda: DFA para los datos de un joven sano (segmento de 6 horas con el

sujeto dormido). La pendiente es el exponente γ. No hay crossover. Derecha: La

gráfica del método de Higuchi, un segmento de 6h de una serie de intervalos RR de

una persona de 63 años del sexo femenino en la fase de sueño. No hay crossover.

Fig. 22. Izquierda: Gráfica DFA para los datos de un sujeto sano anciano (segmento

de 6h, sueño). La pendiente de la línea delgada es el exponente DFA γ. Sin embargo

hay un crossover, es decir se necesitan dos valores del exponente DFA como se

indica por las líneas en negro, el valor γ antes del crossover es cercano al ruido

Browniano y después del crossover es cercano al ruido 1/f. Abajo: Gráfica del método

de Higuchi, para un segmento de serie de tiempo de intervalos RR de una persona de

58 años en la fase de sueño. Nótense las oscilaciones que indican la aparición de

periodicidades en la serie de tiempo de esta fase.

Se puede observar la apariencia de componentes periódicas en las series de tiempo

de intervalos RR de pacientes con falla congestiva cardiaca, esto se observa en la

gráfica del cálculo de la dimensión fractal de Higuchi, en la que se observa un

crossover en dirección opuesta al crossover observado en las personas ancianas

sanas, así como la presencia de oscilaciones en la personas con CHF, principalmente

39

en la fase de sueño , estas oscilaciones no se encontraron en las personas sanas en

ninguna de las dos fases (Fig.23).

Fig.23- Método de Higuchi, segmento de 6h de una serie de tiempo de intervalos RR,

en la fase de vigilia. Las oscilaciones que indican la aparición de periodicidades son

marginales.

El método de Higuchi sin tendencia nos permite observar mucho mejor la aparición de

oscilaciones en personas enfermas sobre todo en la fase de sueño. Para hacer más

evidente lo que sucede en esta parte de la gráfica de Higuchi, se amplió esta para

aquellas personas cuyas series hacían evidente este fenómeno, posteriormente se

eliminó la tendencia (Fig.24, arriba), en personas sanas no se observa algún tipo de

periodicidad (Fig. 24, abajo).

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14chf004w

logK

logL

Derivative

Higuchi's methodwithout tendency

40

Fig. 24.- Arriba, observamos la presencia de oscilaciones y se trata de un paciente con

falla congestiva cardiaca, sin embargo en la gráfica de abajo no se observa ningún tipo

de periodicidad, como es el caso de los pacientes sanos, nuestro grupo control.

Después de tener las series sin tendencia, se aplicó antilogaritmos a las series de

tiempo, para obtener series igualmente espaciadas (Fig. 25).

Fig. 25.- Aplicación de antilogaritmos, después de haber trabajado las series con el

método de Higuchi.

A las series de antilogaritmos se les aplicó la FFT (Fig.26), para obtener la frecuencia

características de la series, como podemos observar, la frecuencia se encuentra entre

0.4 y 0.5, sin embargo la amplitud es muy pequeña es de aproximadamente 0.03 del

coeficiente de Fourier y por lo tanto no se puede determinar una frecuencia

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1chf004s

K

log

L

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025nsr47s

logK

logL

Derivative

Higuchi's methodwithout tendency

41

característica, la cual se considerada como un marcador de tono del sistema nervioso

simpático pero con una componente de actividad vagal.

Fig.26.- Aplicación de la FFT de MATLAB, para caracterizar la frecuencia de cada

serie de tiempo.

En las siguientes gráficas (Fig. 27) podemos observar ejemplos de series de signos y

de amplitud, con la finalidad de obtener mayor información acerca de la serie de

interlatido cardiaco, a estas series se les aplicó el método de DFA, tanto a las series

de personas sanas como de personas enfermas.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035chf004s

Frecuencia

Am

plitu

d de

los

coef

icie

ntes

de

Fou

rier

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

log TC

log

F

chf204ss

alpha = 0.45804

42

Fig.27.- Ejemplo de las series de signos para la fase de sueño (arriba) y la fase de

vigilia (abajo).

A continuación se representan los datos obtenidos de las series de signos y amplitud

en escalas bajas, tanto para la fase de sueño como para la fase vigilia, para pacientes

con CHF (Fig.28) y nuestro grupo control, la serie NSR. Las series de la fase de sueño

se representan con la letra S y la fase de vigilia con la letra W.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

log TC

log

F

chf204ws

alpha = 0.42927

0 5 10 15 20 25 30 35

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Pacientes_Enfermos

Sabajas Sbajas Ssbajas

Normal=0.70507Signos=0.35308Magnitud=0.79102

γ

43


vigilia (abajo) en bajas escalas.

Las siguientes gráficas son de las series de signos y amplitud tanto para la fase de

sueño (Fig.29, arriba) como para la fase vigilia (Fig.29, abajo), en escalas altas, para

pacientes con CHF.

0 5 10 15 20 25 300.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6


γ

Pacientes Enfermos

Wabaja Wbajas Wsbaja

0 5 10 15 20 25 30 350.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2


Saaltas Saltas Ssaltas

γ

44


vigilia (abajo) para escalas altas.

Estas gráficas son como las anteriores, con la única diferencia de que estas series

corresponde al grupo control NSR (Fig.30,31).

0 5 10 15 20 25 300.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3


γ

i f

Waalta Waltas Wsalta

0 10 20 30 40 50 60

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

Normales=1.13232Absoluto=0.73074Signos= 0.47011

γ

Pacientes_Sanos

Sbajas Sabajas Ssbajas

45

Fig. 30.- Gráficas de la serie NSR, para la fase de sueño (arriba) y fase de vigilia

(abajo) a bajas escalas.

0 10 20 30 40 50 600.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6 Normales=0.99105Absoluto=0.78676Signos= 0.49458

γ

Pacientes_Sanos

Wbajas Wabajas Wsbajas

0 10 20 30 40 50 60

0.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.001.051.101.151.20

γ

Pacientes_Sanos

Saltas Saaltas Ssaltas


46

Fig. 31.- Gráficas de sanos para la fase de sueño (arriba) y la fase de vigilia (abajo)

para escalas altas.

Después de observar las gráficas, correspondientes a las series de signos, podemos

decir que las series de magnitud son series de correlaciones de largo alcance,

mientras que las series de signos presentan anticorrelaciones. Las correlaciones de

personas sanas son diferentes a las correlaciones de pacientes CHF, tanto para series

de tiempo de magnitud y signos. Ashkenazy et al. proponen una relación empírica, la

cual es: αsigno ≈ 1/2( αoriginal + αmagnitud), dicha relación es solo para bajas escalas, sin

embargo a través de estas series y su procesamiento estadístico, hemos encontrado

una relación diferente, la cual es válida tanto para bajas como altas escalas de tiempo,

esta relación, se describe como: αsigno ≈ 1/4( αoriginal + αmagnitud).

0 10 20 30 40 50 600.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3


γ

Pacientes_Sanos

Waltas Waaltas Wsaltas

47

VII. DISCUSIÓN

Con el método de análisis multifractal [39, 40], se obtuvó que el promedio del grado de

multifractalidad de las series de la base de datos NSR es mayor que el promedio del

grado de multifractalidad de los datos en las bases de CHF; es conocido que el

envejecimiento y la CHF son factores que causan pérdida de multifractalidad en la

series de tiempo de interlatido cardiaco, este hecho está relacionado con la pérdida

gradual de la adaptabilidad del corazón con la edad, el corazón de los jóvenes sanos

tiene un amplio repertorio de respuestas en caso de que el sujeto sea sometido a

esfuerzo extra o a algún tipo de estrés, se activan mecanismo fisiológicos para poder

realizar este esfuerzo o actividad y así mantener la homeostasis en el cuerpo y

funcione normal, sin embargo en las personas de mayor edad, esta activación de los

mecanismos es lenta [41]. Otro aspecto importante es que el ancho promedio del

espectro multifractal para los segmentos de sueño y de vigilia de personas sanas no

tienen diferencias significativas y el resultado para personas con CHF es el mismo,

esto significa que el ancho promedio de los espectros multifractales de los segmentos

de sueño y de vigilia de sujetos con CHF no tienen diferencias significativas.

Por lo tanto, en el análisis multifractal la diferenciación entre las fases de sueño y de

vigilia no es consecuencia del ancho del espectro, sin embargo, lo es de la simetría de

los espectros, estos tienden a ser asimétricos para los sanos en las dos fases y

asimétricos para los pacientes de CHF en las ambas fases.

Para relacionar el método de análisis multifractal, con otros métodos como es el caso

del método de Higuchi, es importante tener en cuenta el concepto de complejidad, en

términos del espectro multifractal los espectros de paciente con CHF son menos

complejos que los espectros de personas sanas, debido a que se necesita un conjunto

pequeño de dimensiones fractales para describir las series de tiempo de intervalos RR

de pacientes con CHF, es decir, éstos espectros pierden multifractalidad y

complejidad, por lo cual, se considera que está asociado a la aparición de

componentes periódicas en las series de tiempo de intervalos RR de pacientes con

CHF, como podemos observar con el método de Higuchi es importante mencionar que

estas oscilaciones no se encontraron en las personas sanas en ninguna de las dos

fases (Fig. 21, abajo), en cambio, en los pacientes con CHF se les encuentra en la

fase de sueño y casi nunca en la fase de vigilia (Fig. 22 abajo).

Aunque existen diversos métodos para calcular el espectro multifractal, en el presente

trabajo se ha utilizado el método propuesto por Chhabra y Jensen [5-7]. La serie de

48

tiempo puede considerarse como una medida singular P(x) si se normaliza la serie. Se

calcula la curva f(α) vs α llamada espectro multifractal, primero recubriendo la medida

con cajas de longitud L=2n y calculando las probabilidades Pi(L) en cada una de las

cajas. Entonces se construye la familia uni-paramétrica de medidas normalizadas con

∑=

j

qj

qi

i LPLPLq )]([

)]([),(µ

Finalmente, para cada valor de q se evalúan los numeradores de los lados derechos

de las ecuaciones:

L

LqLqqf i

ii

L ln

)],(ln[),(lim)( 0

∑→=

µµ

L

LPLqq i

ii

L ln

)](ln[),(lim)( 0

∑→=

µα , para tamaños de caja decrecientes (n creciente). Se

extraen f(q) y α(q) de las pendientes de las gráficas de los numeradores de dichas

ecuacions versus lnL. El parámetro q es el orden del momento de la medida y

proporciona información suficiente para explorar diferentes regiones de la medida

singular. El ancho del espectro multifractal es ∆α (grado de multifractalidad) se calcula

restando el punto máximo donde el espectro toca al eje de las α’s (αmax) y el punto

mínimo (αmin), se realizó una interpolación por medio de splines cúbicos para calcular

dichos puntos. El α0 es el punto en el eje de las α’s donde el espectro alcanza su

máximo.

49

VIII. CONCLUSIONES

Se han analizado las correlaciones en las series de tiempo de intervalos RR en las

fases de sueño y de vigilia para sujetos sanos y pacientes con CHF. Se encontró los

métodos DFA y Higuchi que las correlaciones en ambas fases son diferentes para los

pacientes con CHF. Las correlaciones para las personas sanas parecen no tener

diferencias significativas aunque cuando se aplica el método de Higuchi se obtienen

diferentes valores de la dimensión fractal. Probablemente una mejor caracterización de

las correlaciones tomando en cuenta la presencia de crossovers pueda dar respuesta

definitiva a esta cuestión, porque algunos investigadores [34] han encontrado

diferencias significativas entre las correlaciones en ambas fases incluso para sujetos

sanos y otros investigadores [41] afirman que no hay diferencias. Con el análisis

multifractal se confirma que el grado de multifractalidad para sujetos sanos es mayor

que él de pacientes con CHF. No se encontraron diferencias significativas entre los

anchos de los espectros de los segmentos correspondientes a la fase de vigilia y de

sueño, tanto en personas sanas como en pacientes con CHF. Sin embargo, se han

encontrado diferencias en la simetría de los espectros, para las personas sanas los

espectros tienden a ser asimétricos en ambas fases y son asimétricos para los

pacientes de CHF en la fase de sueño y vigilia debido a que para describir las series

de interlatido cardiaco de pacientes de CHF se necesita un conjunto pequeño de

dimensiones fractales; es importante mencionar estos resultados, debido que

permiten establecer una relación directa entre el método de Higuchi y el método de

análisis multifractal, ya que se observó la aparición de componentes periódicas en las

series de tiempo de intervalos RR de pacientes con CHF, en las gráficas que usan

para calcular la dimensión fractal de Higuchi, estas oscilaciones parece que pueden

asociarse con la aparición de periodicidades en las series de tiempo de pacientes con

CHF en la fase de sueño. Se considera que éstas oscilaciones están asociadas con

periodicidades en las series de tiempo, esto es importante porque no se encontraron

tales oscilaciones en las personas sanas en ninguna de las dos fases, sin embargo, en

los pacientes con CHF se les encuentra en la fase de sueño principalmente y pocas

veces en la fase de vigilia [42].

50

IX. PERSPECTIVAS

Actualmente, se esta trabajando con la relación entre la dinámica no lineal y los

elementos básicos de teoría de control, con la finalidad de emplear técnicas basadas

en teoría de control para describir las series de tiempo de la evolución de sistemas

fisiológicos. Para posteriormente generar bases de interlatido cardiaco de personas

sanas y enfermas con las distintas cardiopatías, así como realizar una evaluación

tanto del paciente y de su terapia o tratamiento.

Además, la aplicación de los elementos de teoría de control, permite observar cuales

son los mecanismos que se encuentran alterados en una determinada cardiopatita, así

como la interacción tanto con el sistema nervioso como con todos los demás

mecanismo de regulación del corazón, que tiene el cuerpo para mantener la

homeostasis.

Después de haber trabajado con estas series, se puede enfocar a otro sistema

fisiológico y conocer la dinámica del mismo.

X. REFERENCIAS

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XI. ANEXOS Muñoz Diosdado A., Gálvez Coyt G., Bueno Hernández D., Reyes Cruz H., Del Río

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sujetos sanos y enfermos”.

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The 29th Annual International Conference of the IEEE-EMBS 2007, Agosto 2007.

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Arellanes González “New results in magnitude and sign correlations in heartbeat

fluctuations for healthy persons and congestive heart failure (CHF) patients”.

X Mexican Symposium on Medical Physics, Marzo 2008. (Proceedings)

63

New Results In Magnitude And Sign Correlations In Heartbeat Fluctuations For Healthy Persons And Congestive Heart Failure (CHF) Patients

A. Muñoz Diosdado, H. Reyes Cruz, D. Bueno Hernández, G. Gálvez Coyt, J.

Arellanes González

Mathematics Department, Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología UPIBI-

IPN, Av. Acueducto s/n, C. P. 07340, Mexico City

Abstract. Heartbeat fluctuations exhibit temporal structure with fractal and

nonlinear features that reflect changes in the neuroautonomic control. In this

work we have used the detrended fluctuation analysis (DFA) to analyze heartbeat

(RR) intervals of 54 healthy subjects and 40 patients with congestive heart failure

during 24 hours; we separate time series for sleep and wake phases. We

observe long-range correlations in time series of healthy persons and CHF

patients. However, the correlations for CHF patients are weaker than the

correlations for healthy persons; this fact has been reported by Ashkenazy et al.

[1] but with a smaller group of subjects. In time series of CHF patients there is a

crossover, it means that the correlations for high and low frequencies are

different, but in time series of healthy persons there are not crossovers even if

they are sleeping. These crossovers are more pronounced for CHF patients in

the sleep phase. We decompose the heartbeat interval time series into

magnitude and sign series, we know that these kinds of signals can exhibit

different time organization for the magnitude and sign and the magnitude series

relates to nonlinear properties of the original time series, while the sign series

relates to the linear properties. Magnitude series are long-range correlated, while

the sign series are anticorrelated. Newly, the correlations for healthy persons are

different that the correlations for CHF patients both for magnitude and sign time

series. In the paper of Ashkenazy et al. they proposed the empirical relation: αsign

≈ 1/2( αoriginal + αmagnitude) for the short-range regime (high frequencies), however,

we have found a different relation that in our calculations is valid for short and

long-range regime: αsign ≈ 1/4( αoriginal + αmagnitude).

Keywords: heart dynamics, nonlinear dynamics. PACS: 87.19.ug, 05.45.-a.

INTRODUCTION In last years, there have been interesting results in the analysis of heart rate variability

(HRV) by using the methods of non-linear dynamics. Particularly, the DFA method has

been used to show that there are differences in the long-range scaling of HRV between

64

healthy and unhealthy subjects [2-4] and young and elderly persons [5-6]. The

Higuchi’s method has been used for the same task [3, 6-7]. Multifractal analysis is

other non linear methodology extensively used for the study of physiological time series

[8-12]. We have applied these methods to study time series of RR intervals of subjects

with NSR and CHF patients, during sleep and wake phases, in order to characterize

the type of correlations in each time series [13]. We know that the fluctuations in the

dynamical output of any system can be characterized by their magnitude (absolute

value) and their direction (sign). These two quantities reflect the underlying interactions

in a system. The resulting “force” of these interactions at each moment determines the

magnitude and the direction of the fluctuations [1].

THE HRV DATABASES The HRV data were taken from the public databases of Physionet [14]. The HRV

data are signals derived from ECG recordings, which were made by using ambulatory

ECG recorders with a typical recording bandwidth of the order of 0.1-40 Hz. Each data

set includes recording over a period of 24h. Data for sleep phase were considered as

the six continuous hours of lowest heart average heart rate; waking hours were defined

as the six continuous hours of highest hear rate. We do not analyze the series in which

it was impossible to define this 6h-interval. The healthy cases were taken from the

normal sinus rhythm RR interval database which contains 54 cases (aged 28-72 years)

including male and female subjects, the unhealthy subjects were taken from the

congestive heart failure RR interval database which contains 29 cases (only 25 cases

analyzed) and other CHF data were taken from the BIDMC congestive heart failure

database which contains 15 cases (12 cases analyzed).

RESULTS We applied the DFA method to the NSR subjects, with 6h-segments of both sleep

and wake phases (Fig. 1), although for some subjects there are differences between

the γ-values (the DFA exponent), in the average, we found no significant differences

between the γ-values (level of significance 0.05), γw = 1.0026 ± 0.0179 (wake) and γs =

0.9731 ± 0.0136 (sleep), these values corresponds to 1/f noise. Time series of healthy

young subjects do not show crossovers whereas in the majority of the time series of

elder persons we have found crossovers, there is a change from values of the DFA

exponent close to the Brownian noise for short scales (γ ≈ 1.5) to 1/f noise over large

scales (γ ≈ 1). This fact can also be observed with the Higuchi’s method. For CHF

subjects we have found significant different values with both the DFA and the Higuchi’s

method. In average, the long-range correlations are greater for wake phases than for

sleep phases. For instance, for the data in the BIDMC congestive heart failure

database we obtained: γw = 0.9859 ± 0.0558 and γs = 0.8681 ± 0.0442. There are

65

crossovers in the CHF patients (Fig. 2). We decomposed the heartbeat interval time

series into magnitude and sign series, magnitude series are long-range correlated,

while the sign series are anticorrelated. Correlations for healthy persons are different

that the correlations for CHF patients both for magnitude and sign time series.

Ashkenazy et al. proposed the empirical relation: αsign ≈ 1/2( αoriginal + αmagnitude) for the

short-range regime, however, we have found a different relation that in our calculations

is valid for short and long-range regime: αsign ≈ 1/4( αoriginal + αmagnitude).

FIGURE 1. DFA for a healthy 40 years old person. We have long-range correlations

and there are not crossovers in both sleep and wake phases.

FIGURE 2. DFA for a CHF patient, there are different correlations for low and high

frequencies.

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