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Estudio mediante Dinámica Molecular del aluminio policristalino nanoestructurado
Trabajo Fin de Máster
Máster en Diseño Avanzado en Ingeniería Mecánica
Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla
Tutor: Johan Wideberg
Cotutores:
Juan José Meléndez Martínez
Departamento de Física. Universidad de Extremadura
Diego Gómez García
Departamento de Física de la Materia Condensada. Universidad de Sevilla
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ÍNDICE
ÍNDICE ...................................................................................................................................... 2 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3
Problema a estudiar. Importancia tecnológica y científica .................................................... 4 ESTADO DEL ARTE ................................................................................................................ 6 MÉTODO DE CÁLCULO ...................................................................................................... 10
Dinámica Molecular ............................................................................................................. 10 Potenciales EAM ................................................................................................................. 14 Metodología ......................................................................................................................... 15
RESULTADOS Y DISCUSIÓN ............................................................................................. 24 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS ....................................................................... 35 AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................... 36 BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 37
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INTRODUCCIÓN La Nanociencia es un área de rápido crecimiento y con gran impacto tecnológico. El
comportamiento de materiales en la escala nanométrica es diferente al que presentan a
escala macroscópica, resultando a veces en propiedades extraordinarias, lo que da lugar a
nuevas áreas de aplicación: materiales ultrarresistentes [1–3], resistentes a la radiación [4],
etc. Los nanosistemas tienen propiedades diferentes a las del mismo material no
estructurado, con potenciales nuevas aplicaciones, lo que hace interesante su estudio, que
debe abordarse desde varios frentes (experimental, teórico, simulación, etc.) y a diferentes
escalas de longitud. El desarrollo de nuevas aplicaciones en Nanociencia implica conseguir
una fuerte conexión entre experimentos, simulaciones atomísticas y modelos
macroscópicos.
Los experimentos realizados para estudiar los nanomateriales involucran trabajar en escalas
nanométricas y, por lo tanto, son muy costosos y difíciles de realizar. Experimentos
novedosos que permiten estudiar la evolución temporal de los materiales nanoestructurados
están en la escala temporal de los milisegundos [5,6]. Sin embargo, la escala de tiempo
relevante para transformaciones de fase, movimiento de defectos y nucleación generalmente
están en el rango pico - nanosegundo. Complementando los experimentos, las simulaciones
computacionales permiten analizar sistemas a diferentes escalas gracias a los avances en
software y hardware para la paralelización. Hoy en día, clusters de computadoras permiten
simular muestras de decenas de nanómetros durante varios nanosegundos [7].
A medida que avanzan los métodos experimentales, hay avances en el área de los métodos
de simulación que permiten estudiar estos sistemas a escala atómica. Uno de estos métodos
es el de Dinámica Molecular (DM), que se basa en resolver numéricamente las ecuaciones
de movimiento de un conjunto de átomos interactuando mediante potenciales clásicos.
Típicamente, las simulaciones por DM de materiales nanoestructurados están restringidas a
sistemas muy básicos, monocristales con un solo componente y con átomos ocupando
posiciones en una red sin impurezas o defectos. Utilizando condiciones de contorno
adecuadas, esto puede ser apropiado para simular muestras volumétricas. Sin embargo, la
mayoría de los materiales contienen defectos que, incluso en muy pequeñas cantidades,
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pueden modificar las propiedades mecánicas y electrónicas. Por ejemplo, las tensiones de
fluencia del cobre o del níquel tienen un valor medido del orden de 0.1 GPa, mientras que el
valor obtenido de las simulaciones es un orden de magnitud mayor. Estas diferencias
ocurren porque la presencia de dislocaciones [8] u otros defectos en el material real permite
que la plasticidad comience a tensiones mucho menores que en un monocristal perfecto.
Estudios tanto teóricos como experimentales han puesto de manifiesto que la cinética del
crecimiento de grano en materiales nanocristalinos puede ser diferente de la que
experimentan materiales de escala mesoscópica. Los efectos en la nanoescala sobre la
cinética pueden deberse a una variedad de factores, como son la función de las uniones
triples o de la rotación de los granos.
Problema a estudiar. Importancia tecnológica y científica
El presente trabajo fin de máster resume el proceso de investigación realizado por el autor
durante los últimos meses en el campo de la DM.
Los trabajos desarrollados están enfocados a la consecución de dos objetivos: El primero es
el de obtener los conocimientos y desarrollar las destrezas y metodologías de cálculo
mediante DM necesarias. El segundo de los objetivos es el de estudiar, mediante simulación
numérica, la evolución microestructural de un nanocristal metálico a temperatura constante.
Para abordar con rigor este problema es indispensable conocer la ley de movilidad de las
fronteras de grano en función de la temperatura.
Dos propiedades son las que determinan la capacidad de migración de una frontera de
grano: su energía y su movilidad. La energía de una frontera de grano viene determinada
por el exceso de energía de los átomos situados en las regiones desordenadas con respecto a
los situados en el interior de los granos. La movilidad es considerada como un parámetro
intrínseco de una frontera de grano y gobernada por la respuesta de esta ante una fuerza
motriz. Puesto que la movilidad de las fronteras de grano en un policristal depende de
factores como la geometría de la frontera, el ángulo de desorientación entre granos, el
tamaño de grano o la estructura local de defectos en la frontera, su estudio sólo puede
5
abordarse desde la perspectiva de una descripción atomística. Por ese motivo, nuestro
estudio de movilidad se realizará mediante DM a partir de un modelo para el aluminio
nanocristalino. La metodología desarrollada (que incluye la construcción del modelo
estructural, los parámetros para simulaciones dinámicas y las técnicas de análisis de
resultados) ha sido optimizada para este tipo de sistemas, y puede ser aplicada a estudios
posteriores.
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ESTADO DEL ARTE
El control de la estructura y dinámica de las fronteras de grano es un aspecto fundamental en
el desarrollo de materiales avanzados debido al efecto que estas fronteras tienen en su
comportamiento macroscópico [9]. Esto es particularmente relevante en el caso de metales
nanoestructurados, en los que la razón superficie/volumen es tan grande que las fronteras de
grano controlan gran parte de las propiedades físicas de interés. La importancia de las
fronteras de grano se debe a varios factores: en primer lugar, son defectos estructurales
relativamente energéticos que constituyen regiones preferentes de localización de otros
defectos que afectan a las propiedades físicas (por ejemplo, defectos puntuales o
dislocaciones). Además, el movimiento de las fronteras de grano controla la cinética durante
el procesado de policristales, y determina por tanto parámetros microestructurales como el
tamaño de grano o la textura, de los que dependen dichas propiedades. En particular, la
plasticidad de policristales depende crucialmente de la naturaleza y movilidad de dichas
fronteras en la medida en que el papel jugado por las dislocaciones sea marginal [10,11].
La mayor parte de los estudios experimentales sobre dinámica de fronteras de grano se han
orientado a determinar la dependencia de su velocidad con la temperatura, la fuerza motriz y
los parámetros cristalográficos. Así, se ha constatado que la velocidad de las fronteras de
grano es proporcional a la fuerza motriz, en el supuesto de que los efectos de arrastre sean
mínimos; su dependencia con la temperatura es tipo Arrhenius [11], y no siempre existe
correlación entre la difusión en fronteras de grano y la velocidad de las mismas [11].
Además, la migración de fronteras de grano es extremadamente sensible a la presencia de
impurezas [12–14].
En cualquier caso, el conocimiento de la dinámica de fronteras de grano a escala atómica es
un primer paso a la hora de desarrollar un modelo multiescala de la plasticidad de
policristales. A escala mesoscópica, un policristal está constituido por un conjunto de
fronteras de topología variable; la velocidad de deformación macroscópica está relacionada
con el promedio estadístico de la velocidad de las fronteras. Según esto, la plasticidad de los
policristales es una consecuencia directa del movimiento de las fronteras de grano en
condiciones de microestructura invariante. Recientemente han cobrado un auge especial los
policristales nanoestructurados; como ya se ha indicado, la plasticidad de estos sistemas
7
presenta unas características específicas que no pueden extrapolarse de las ecuaciones
constitutivas válidas para sistemas micro- y submicrométricos.
Con relación a los problemas mencionados, y dadas las dificultades que presenta el estudio
experimental, las técnicas de simulación numérica por ordenador se han ido aplicando
progresivamente en los últimos años al estudio de la dinámica de las fronteras de grano en
condiciones de no equilibrio [15]. Una buena parte de los trabajos de simulación de la
dinámica de fronteras de grano se dedica al estudio de su movilidad en función de parámetros
microestructurales o de variables externas [16–33]. Mediante DM ha sido posible demostrar
que la migración y el deslizamiento de las fronteras de grano ocurren simultáneamente y, si
las restricciones geométricas impuestas por los puntos triples de la estructura de granos no
son severas, ambos derivan en rotación de los propios granos, que se produce en el sentido de
máximo gradiente de la energía de las fronteras de grano [21]. La DM también ha sido
utilizada con éxito para estudiar el fenómeno de fluencia Coble y el papel que el
deslizamiento y la migración de las fronteras de grano desempeñan en él [20]. Finalmente,
cabe destacar que la DM ha permitido estudiar la correlación entre deslizamiento de fronteras
de grano, fluencia difusional y crecimiento normal de grano [20].
El movimiento de las fronteras de grano es uno de los problemas sin resolver clásicos de la
Ciencia de Materiales y ha despertado, y sigue haciéndolo, enorme interés por parte de
numerosos investigadores y grupos de investigación. Los estudios de crecimiento de grano en
policristales sólo proporcionan movilidades medias de fronteras de grano. Si todas las
fronteras se comportasen de un modo similar, éste sería un buen método, aunque la integridad
de la estructura no permitiría tal situación. Por el contrario, la migración de fronteras de
grano se ve fuertemente afectada por la cristalografía y composición química, además de por
la temperatura y las tensiones internas durante el proceso. Dichas dependencias no pueden ser
obtenidas del estudio de los propios policristales, sino del estudio del comportamiento de
fronteras de grano de manera individual. A este respecto, se han conseguido resultados
importantes del estudio experimental de una única frontera de grano, en bicristales [34–37].
En primer lugar, se ha demostrado que la velocidad 𝑣 de migración de una frontera de grano
es proporcional a la fuerza motriz por átomo 𝑃, según: 𝑣 = 𝑀∆𝑃.
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El coeficiente de proporcionalidad entre ambas magnitudes se denomina movilidad de la
frontera, y se define formalmente como:
M = δvδP
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ P=0
[1]
Esta movilidad es usualmente considerada como una propiedad intrínseca de la frontera
independiente de la fuerza motriz, aunque en rigor depende de la fuerza aplicada a tensiones
altas, como ha sido puesto de manifiesto en recientes investigaciones [38]. Por otro lado, se
espera que la movilidad, como la velocidad de migración, sea función de la temperatura.
Dada la elevada importancia de la movilidad, sería de esperar que existiesen numerosos
experimentos en la literatura. Sin embargo, la complejidad de la realización de éstos ha hecho
que los ejemplos sean escasos. Así, nuestro conocimiento de los mecanismos fundamentales
que controlan la migración de las fronteras de grano de manera individual es todavía bastante
elemental debido a la complejidad estructural de las fronteras de grano, a su variabilidad y a
que la migración es un proceso intrínsecamente dinámico. Numerosos investigadores han
abordado este problema en las pasadas seis décadas. Mott [39] propuso un modelo de “islas”
en el que un grupo de átomos en un lado de la frontera se funde y después solidifica al otro
lado de la misma. Este modelo es conceptualmente sencillo, pero no es consistente con las
observaciones experimentales. A su vez, Gleiter [40] propuso un “modelo de terrazas”
(“kinkmodel”) en el cual las fronteras de grano incluyen salientes (las “terrazas”) y curvas.
Durante el proceso de migración, los átomos se separan de las terrazas de una frontera y
migran a las terrazas de la superficie cristalina opuesta, donde son reintegrados. Por otro lado,
la migración de un número muy limitado de fronteras de grano especiales ha sido entendida
como el movimiento de dislocaciones secundarias dentro de la red de lugares de coincidencia
(“Coincidence Site Lattice”, CSL)[41] que define la frontera. Ensayos experimentales
recientes [42] y simulaciones [43,44] evidencian la relevancia de un movimiento cooperativo
de un pequeño número de átomos en la migración de las fronteras de grano [45]. Ashby [46],
Bishop [47] y Cahn y Taylor [48] sugieren que la migración de fronteras de grano produce
además un movimiento tangencial acoplado de los granos opuestos. Zhang y Srolovitz
[49,50], estudiando también el mecanismo de migración, observaron tres tipologías diferentes
de movimiento de los átomos durante la migración de una serie de fronteras inclinadas del
9
tipo Σ5. Estos mismos autores generalizaron dichos estudios para fronteras de grano de tipo
[0 0 1] para metales puros sin defectos ni impurezas, identificando dos tipos de movimientos
de los átomos [51]. Por un lado existe un movimiento cooperativo en cadena, que se produce
en una dirección perpendicular a la de ordenación de los átomos; el segundo de los
mecanismos de migración se produce cuando los átomos se mueven predominantemente en
planos del tipo{0 1 0} o en el plano OXZ de la celda de simulación. Recientes simulaciones
por DM de la migración de una serie de fronteras simétricas producida por una deformación
por cizallamiento confirman dicho mecanismo. Adicionalmente, se sabe que la movilidad de
las fronteras de grano se ve fuertemente afectada por la presencia de pequeñas cantidades de
impurezas. Desafortunadamente, ninguno de los modelos presentados proporciona una
descripción general y completa del movimiento de las fronteras de grano.
Existen entonces problemas abiertos, algunos de ellos cruciales, que merecen atención. Con
relación al movimiento de las fronteras de grano, se suele considerar que evolucionan bajo la
acción de la temperatura; el efecto de tensiones externas no ha sido estudiado
sistemáticamente. Además, se acepta generalmente que el movimiento de las fronteras de
grano es inducido por una fuerza motriz proporcional a la curvatura del grano, hipótesis que
no tiene una base atomística suficientemente clara. Finalmente, no existe una explicación
satisfactoria para la plasticidad de los policristales con tamaño de grano nanométrico que,
como ya hemos mencionado, no puede ser extrapolada de las leyes de los micro- y
submicrométricos.
En los últimos años se han realizado numerosas investigaciones destinadas a conocer las
propiedades de metales a nivel nanoestructural [52–55]. El presente trabajo consiste en el
estudio de nanocristales tridimensionales de aluminio sin impurezas mediante técnicas de
DM. En concreto, se abordará el estudio y análisis de la dinámica de las fronteras de grano
de nanocristales de aluminio a diferentes temperaturas para investigar las características del
crecimiento de grano, la energía media de las fronteras y su movilidad en distintas
condiciones de temperatura.
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MÉTODO DE CÁLCULO
Dinámica Molecular
El formalismo de la Dinámica Molecular permite conocer en detalle aspectos fundamentales
de sistemas cristalinos, como deformaciones, tensiones, temperaturas, velocidades, etc., a
partir de un modelo microscópico [56]. En esencia, este método consiste en resolver las
ecuaciones clásicas de movimiento de los constituyentes de un sistema a lo largo de un
cierto intervalo de tiempo. A partir de estos valores atomísticos se extrae información
macroscópica mediante promedios estadísticos.
En las simulaciones de MD se asume que la dinámica de las partículas está gobernada por
las leyes de la mecánica clásica. En otras palabras, el movimiento de las partículas se ajusta
a las leyes de movimiento de Newton. Para un sistema aislado de N partículas, la segunda
ley de Newton indica:
Fi (r1,...,rN ) = mi
d 2ridt 2
[2]
Fi = −∇iV (r1,...,rN ) = − ∂V (r1,...,rN )
∂ri [3]
Para N > 3 no siempre es posible obtener una solución analítica para estas ecuaciones, por lo
que hay que recurrir a métodos numéricos. La validez y exactitud del método numérico
utilizado dependen en gran medida de la forma del potencial de interacción entre
constituyentes, que a su vez depende del tipo de sistema que se esté estudiando (metales,
semiconductores, materiales orgánicos, etc.) y del grado de detalle que se busque. En general,
el potencial de interacción se escribe mediante una superposición de términos que involucren
átomos individuales (esto es, interacción con campos externos), pares, tripletes, etc.:
V = V1(ri )+ V2 (ri ,rj )+ V3(ri ,rj ,rk )+ ⋅⋅⋅k> j>i∑
j>i∑
i∑
j>i∑
i∑
i∑ [4]
11
Los términos más relevantes en esta expresión son el primero y el segundo, denominado
término de interacción por pares. Los términos de orden cuarto y superior no suelen tenerse
en cuenta, ya que aportan poco al cálculo de propiedades macroscópicas y tienen un coste
computacional muy alto. En todo caso, los potenciales empleados tienen que ser
consistentes con las situaciones a simular. En general, estos potenciales se expresan en
función de una serie de parámetros que se calibran ajustando los resultados obtenidos a
valores experimentales de magnitudes como parámetros reticulares, constantes elásticas y
dieléctricas, coeficientes de difusión, etc. Por lo tanto, no pueden ser usados en condiciones
de altas presiones o temperaturas, en las que pueden aparecer excitaciones iónicas o
electrónicas irreales.
En la simulación de metales, el método más empleado en la actualidad es el método de
átomo embebido (“Embedded-Atom Method”, EAM [57]) y su modificación MEAM
(“Modified Embedded-Atom Method”), que incluye fuerzas angulares; ambos métodos se
describen más adelante. Otros métodos son los de orden de ligadura, como AIREBO [58] o
Tersoff [59] y los métodos de intercambio de carga como REAX [60,61].
Una vez adoptado un potencial de interacción, el procedimiento para desarrollar una
simulación por DM de un sistema en equilibrio es el siguiente [20]:
1. Definir las condiciones iniciales de la simulación, entre otras: temperatura, número
de partículas, densidad, paso de tiempo, etc.
2. Especificar las posiciones y velocidades iniciales de cada partícula para inicializar
el sistema. En sistemas en equilibrio, se elige una distribución aleatoria de
velocidades (distribución de Maxwell-Boltzmann) termalizada a la temperatura del
sistema.
3. Calcular la fuerza inicial sobre cada partícula a partir de la expresión del potencial.
4. Calcular las nuevas posiciones a un paso de tiempo posterior para cada partícula,
integrando las ecuaciones de movimiento de Newton.
5. Calcular las nuevas velocidades y aceleraciones para las partículas.
6. Repetir los pasos 2 al 5 hasta que el sistema alcanza la condición de ergodicidad.
7. Analizar los datos obtenidos para calcular las propiedades de interés.
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Una cuestión importante es la elección del integrador numérico a emplear para resolver las
ecuaciones de Newton. Algunas propiedades deseables son las siguientes:
• debe ser rápido y requerir poca memoria;
• debe permitir el uso de un paso temporal grande;
• debe satisfacer lo mejor posible las leyes de conservación de energía y momento y la
simplecticidad (conservación del volumen de espacio fásico en la evolución de un
conjunto de trayectorias).La simplecticidad del algoritmo es una propiedad deseable,
debido a que si bien no conserva exactamente la energía, la misma oscila de manera
controlada y acotada [62] y
• debe reproducir las trayectorias clásicas lo mejor posible.
No existen algoritmos de integración con paso temporal constante que conserven la energía,
el momento y sean simplécticos [63], pero sí que posean dos de estas propiedades. Entre los
más utilizados se encuentran los algoritmos Verlet, Verlet en velocidad y “leap-frog”.
Todos estos métodos son equivalentes, generando trayectorias idénticas; las diferencias
entre ellos están en el tiempo de computación, la memoria empleada y la exactitud de cada
uno.
En este trabajo hemos utilizado el algoritmo de Verlet en velocidad, que es una variante del
algoritmo de Verlet original[64]. El algoritmo de Verlet resulta de la combinación de dos
series de Taylor. Consideremos por simplicidad un movimiento monodimensional. La
posición de una partícula en un instante t + ∆t, x(t +∆t), se expresa como:
x(t + Δt) = x(t)+ dx(t)dt
Δt + 12d 2x(t)dt 2
Δt 2 + 13!d 3x(t)dt 3
Δt 3 + ⋅⋅⋅ [5]
donde x(t) es la posición en el instante t. Análogamente, la posición en t - ∆t es:
x(t − Δt) = x(t)− dx(t)dt
Δt + 12d 2x(t)dt2
Δt2 − 13!d3x(t)dt3
Δt3 + ⋅⋅⋅ [6]
Si sumamos ambas series, resulta para la posición en el instante t + ∆t:
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x(t + Δt) = 2x(t)− x(t − Δt)+ ax (t)Δt2 [7]
donde ax(t) es la aceleración de la partícula en el instante t.
Una característica del algoritmo de Verlet es que no se necesitan las velocidades para
calcular las trayectorias. Sin embargo, es útil determinar v(t) para estimar la energía cinética
y por tanto la energía total del sistema. La velocidad puede obtenerse a partir de:
vx (t) =x(t + Δt)− x(t − Δt)
2Δt [8]
El algoritmo de Verlet es un método a dos pasos, ya que involucra la estimación de x(t + ∆t)
a partir de la posición en el instante t y de la posición previa x(t − ∆t). Por lo tanto, no es
suficiente conocer la posición x(0) y la velocidad v(0) para inicializar el algoritmo. Una
manera de obtener x(−∆t) para t = 0 es usar el algoritmo de Euler, según el cual:
x(−Δt) = x(0)− vx (t)Δt [9]
El algoritmo de Verlet no incorpora la velocidad en forma explícita. En cambio, el
algoritmo de Verlet en velocidad [65] sí que lo hace.
El algoritmo de Verlet en velocidad sigue el siguiente esquema para un movimiento
monodimensional:
1. Calcular: v(t + 12Δt) = v(t)+ 1
2a(t)Δt [10]
1. Calcular: x(t + Δt) = x(t)+ v(t + 12Δt)Δt [11]
1. Derivar a(t + Δt) del potencial de interacción empleado x(t + Δt) [12]
1. Calcular: v(t + Δt) = v(t + 12Δt)+ 1
2a(t + Δt)Δt [13]
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Por último, es importante tener en cuenta las limitaciones de esta metodología. En primer
lugar, para que un sistema pueda estudiarse mediante DM es necesario que la longitud de
onda de De Broglie (λ = h / 2mE ) sea pequeña comparada con las distancias típicas de
evolución del sistema (en nuestro caso, las distancias interatómicas); el tamaño de la caja de
simulación también tiene que ser mucho mayor que estas distancias. Además, los tiempos
de simulación deben ser también mucho mayores que los tiempos típicos en el sistema a
simular (en nuestro caso, el inverso de la frecuencia de Debye del sistema).
Potenciales EAM Daw y Baskes [66] y Finnis y Sinclair [67] propusieron para la simulación de metales una
forma de potencial más avanzado que los simples potenciales aditivos por pares. La
metodología introducida por ellos se conoce como método del átomo embebido, EAM.
Las bases del método EAMse fundamentan en la teoría de la funcional de densidad. Esta
teoría presupone que la energía total de un sistema es una funcional de la densidad
electrónica solamente. Bajo esta idea inicial, Daw y Baskes aceptaron que la energía de
cohesión de un átomo puede calcularse como la suma de la energía electrostática asociada a
su propia densidad electrónica más la contribución debida a la densidad electrónica de los
átomos vecinos en la posición del átomo, considerada como constante en la región que
envuelve al átomo. De esta manera, tenemos por un lado la contribución electrostática
repulsiva asociada a la interacción de los núcleos atómicos, y por otro, la contribución
energética debida al embebimiento del átomo en la densidad electrónica del entorno Fi (ρi ) .
Según esto, el potencial EAM de interacción entre dos átomos en una matriz metálica consta
de dos partes [68]: una interacción aditiva por pares entre los átomos, y un término de varios
cuerpos que depende de la densidad local en el punto en el que cada átomo esté localizado.
Así, el potencial EAM se escribe formalmente como:
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U = 12
φij (rij )+ Fi (ρi )i=1
N
∑j≠i∑
i=1
N
∑ [14]
donde la función φij (rij ) es la función potencial aditiva por pares debida a la repulsión entre
los núcleos atómicos, ρi es la densidad atómica total y Fi (ρi ) es la llamada función de
embebimiento del átomo en la densidad electrónica del entorno. La densidad atómica se
aproxima como la superposición de las densidades atómicas individuales:
ρi = ρ ja (rij )
j≠i∑ [15]
donde ρ ja es la densidad aportada por el átomo j.
Una descripción completa de un sistema de N componentes requiere N(N+1)/2 funciones de
interacciones de pares φij (rij ) , N funciones ρ ja y N funciones de embebimientoFi (ρi ) .
Metodología
Construcción del sistema geométrico
El sistema analizado consiste en una caja de simulación cúbica de
100nm x 100 nmx 100 nm. Para generar un policristal de aluminio se utilizó el código
Fillatoms [69], complementado con el software Qhull [70]. El proceso consistió en definir
una teselación de Voronoi tridimensional en la caja de simulación [71,72] y rellenar cada
recinto (o grano) con átomos distribuidos según una red fcc de parámetro reticular igual al
del aluminio metálico. La caja de simulación así obtenida contiene 10 granos y alrededor de
60.000 átomos. Por último, se definieron condiciones de contorno periódicas en las tres
direcciones del espacio. Esto es especialmente importante para evitar los efectos de
frontera, también llamados de borde o de superficie, permitiendo reproducir de manera
16
fiable las condiciones a las que se ven sometidas las partículas del interior del material, que
determinan la mayoría de las propiedades de los sistemas macroscópicos.
LAMMPS - Scripts
Las simulaciones se han llevado acabo empleando el software de DM LAMMPS (“Large-
scale Atomic Molecular Massively Parallel Simulator”) desarrollado por Plimpton [73],
diseñado específicamente para ser ejecutado en paralelo de forma eficiente. LAMMPS es un
software de código abierto desarrollado en Sandia National Laboratories, una unidad del
Departamento de Energía de los Estados Unidos, que se distribuye libremente bajo los
términos de Licencia Pública GNU (GPL). Ofrece la posibilidad de simular una amplia
gama de tipos de partículas y de considerar una gran variedad de métodos y condiciones de
simulación.
Potencial empleado
La interacción entre átomos ha sido modelada empleando un potencial EAM para el
aluminio desarrollado por Y. Mishin y col.[74].La interacción entre los átomos según el
citado potencial EAM en los scripts de LAMMPS se impone según los siguientes
comandos:
pair_style eam/alloy
pair_coeff * * Al99.eam.alloy Al Al
pair_modify shift yes
El comando “pair_style” define el formato de interacciones aditivas por pares utilizadas,
EAM en este caso. A continuación, “pair_coeff* * Al99.eam.alloy Al Al”” realiza la lectura
del archivo Al99.eam.alloy, que contiene los valores de Fi (ρi ) ,φij (rij ) y ρi para el aluminio.
El parámetro “eam/alloy” posibilita el empleo de potenciales para aleaciones de aluminio,
extendiendo el empleo de los potenciales EAM. En nuestro caso solo interesan los
potenciales de interacción para el aluminio puro, de ahí los dos últimos parámetros de este
comando. El comando “pair_modify” con el argumento “shift yes” impone que el potencial de
interacción sea nulo a la distancia que define la red cristalina. Adicionalmente, este comando
17
añade un término energético a cada interacción entre pares que puede ser utilizado como
resultado de las simulaciones.
El procedimiento de simulación seguido consta de dos etapas diferenciadas. La primera
ellas es un proceso de relajación / minimización de energía de la caja de simulación. En la
segunda etapa, la caja de simulación se somete a procesos de calentamiento a diferentes
temperaturas, analizándose la evolución de diversas magnitudes de interés.
La relajación de la caja original es necesaria para garantizar la estabilidad del sistema de
fronteras de grano [75,76]. El algoritmo de minimización implantado en LAMMPS consiste
en un método implícito de Newton. El método comienza con una configuración arbitraria
para posteriormente ajustar iterativamente la posición de los átomos, de manera que la
energía potencial disminuya hasta alcanzar un mínimo local. Consideremos entonces un
sistema compuesto por N átomos, siendo p el vector que contiene las 3N coordenadas de
dichos átomos. La función a minimizar es la energía potencial total del sistema, que
depende de las coordenadas de los N átomos:
E(r1,..., rN ) = Epair (ri, rj )+ Ebond (ri, rj )+ Eangle(ri, rj, rk )+ Edihedral (ri, rj, rk, rl )+ Eimproper (ri, rj, rk, rl )+ Efix (ri )i∑
ijkl∑
ijkl∑
ijk∑
ij∑
i, j∑
[16]
donde el primer término es la suma de todas las interacciones entre pares de átomos no
conectados, incluyendo las interacciones de Coulomb de largo alcance. Los términos del
segundo al quinto representan las interacciones de unión y ángulo respectivamente. El
último término recoge la energía debida a las restricciones impuestas por el comando “fix”,
que en este caso consiste en imponer una presión externa nula que asegura que la forma de
la caja de simulación no varíe en el proceso de minimización de energía.Para una iteración k
del algoritmo de minimización, las posiciones de los átomos se modifican añadiendo un
vector “paso” d de manera que pk+1 = pk + d .
El método de Newton requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales con derivadas
parciales segundas de E. La matriz hessiana de E(p) está definida como:
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∇2E(p) =
∂2E(p)∂p1 ∂p1
…∂2E(p)∂p1 ∂pN
∂2E(p)∂pN ∂p1
∂2E(p)∂pN ∂pN
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, [17]
y el “paso” exacto del método de Newton viene dado por d = −[∇2E(p)]−1∇E(p)
La matriz hessiana de un sistema como el construido en este trabajo es muy grande y
costosa de manipular. Una excelente alternativa al método exacto consiste en calcular el
“paso” de Newton de manera inexacta, empleando una modificación del algoritmo del
gradiente conjugado conocida como “Hessian-free truncated Newton” [77,78], el empleado
para minimizar la energía en LAMMPS.
Cabe aquí recordar que un objetivo secundario del presente trabajo es el de optimizar los
scripts de LAMMPS desarrollados. El script de LAMMPS que minimiza la energía es el
siguiente:
min_style cg
fix 1 all box/relax iso 0.0 nreset 1
minimize 1.0e-6 0.001 10000 10000
min_modify line quadratic
El comando “minimize” lanza el proceso de minimización del sistema, ajustando las
coordenadas de los átomos de manera iterativa. El algoritmo de minimización lo define el
comando “min_style”. En nuestro caso “cg” indica que hemos empleado la versión de
Polak-Ribiere del algoritmo de gradiente conjugado [79]. En cada iteración el gradiente de
fuerza es combinado con la información de la iteración anterior para calcular la nueva
dirección de búsqueda. Las iteraciones concluyen cuando se cumple alguno de los criterios
de parada, que se definen para garantizar que nuestro sistema se encuentre en el mínimo de
energía potencial. Los criterios de parada son los siguientes:
19
• la diferencia de energía potencial entre iteraciones no debe ser mayor que el primer
argumento, 10-6 en nuestro caso.
• ninguna de las componentes x, y o z de la fuerza que actúa sobre cualquier átomo
debe superar el valor especificado en el segundo argumento, 0,001 eV/Å.
• El número máximo de iteraciones es 10000 (tercer argumento).
• El número total de evaluaciones de la fuerza es también 10000 (cuarto argumento).
El comando “min_modify” con argumento “line quadratic” se introduce para imponer un
algoritmo de búsqueda que intenta reducir las fuerzas a cero, mientras que garantiza que los
incrementos entre iteraciones en la energía del sistema sean negativos.
Tras la minimización de energía se sometió la caja de simulación a diversas simulaciones de
calentamiento a diferentes temperaturas. La temperatura de fusión para el aluminio es de 933
K; los algoritmos de DM funcionan bien hasta el 80 % de la temperatura de fusión de la
muestra [54,80], por lo que en este trabajo no hemos sobrepasado la temperatura de 745 K.
En concreto, se realizaron simulaciones a 300 K, 400 K, 500 K, 600 K y 745 K.
Imponer una temperatura equivale a definir una distribución de velocidades para el sistema.
Esto se hace con la orden:
velocity allcreate 300.0 82986 distgaussian mom no
En equilibrio, esta distribución debe ser de tipo gaussiano, de ahí el argumento
“distgaussian”. Además, el sistema tiene que tener, en conjunto, momento lineal nulo (porque
si no, el sistema se movería como un todo), de ahí el argumento “mom no”.
Adicionalmente, tenemos que definir las condiciones en las que se encuentra el sistema y
cómo tiene lugar la simulación. Para ello, se emplea el comando “fix”. En nuestro caso,
utilizamos dos veces dicho comando, ya que queremos imponer que nuestro sistema se
encuentre a temperatura y a volumen constante:
20
fix 1 all temp/berendsen 300.0 300.0 0.5
fix 2 all nve
El primero de ellos controla la temperatura del sistema según el algoritmo de Berendsen [81].
El segundo impone que el volumen debe permanecer constante. Así, las simulaciones se
realizan en el colectivo NVT.
Por último, tenemos que definir algunos parámetros fundamentales para la realización de las
simulaciones. El “timestep” empleado es el utilizado por LAMMPS por defecto para
metales, 0.001 ps. El número de “steps”, y por consiguiente la duración de las simulaciones,
se define con el comando “run”. En nuestro caso, todas las simulaciones dinámicas han
tenido una duración de300 ps, es decir 300.000 “steps”.En todas las simulaciones realizadas
se han impuesto condiciones de contorno periódicas en las tres direcciones del espacio.
Metodología de análisis de resultados
Identificación de las fronteras de grano
Para identificar de las fronteras de grano se empleó la metodología CNA (“Common
Neighbor Analysis”) [82]. En esta técnica, la estructura atómica local de sólidos y líquidos se
caracteriza mediante 4 índices que denotaremos como i, j, m, n. Consideremos un par de
átomos en una estructura. El primer índice i es igual a la unidad si el par de átomos son
considerados como primeros vecinos y 2 en caso contrario. El índice j indica el número de
vecinos comunes del par considerado, mientras que el m indica el número de enlaces entre los
vecinos comunes [83]. Finalmente, n diferencia entre diagramas con índices i, j y m iguales y
diferente unión entre vecinos comunes.Consideraremos que dos átomos son primeros vecinos
si la distancia entre ellos es igual o menor al parámetro reticular de la red cristalina.
La figura 1 muestra varios ejemplos de estructuras cristalinas y sus índices CNA. En
concreto, 1a muestra una estructura fcc, formada cuando un par de primeros vecinos
comparten 4 vecinos comunes, los cuales tienen dos enlaces entre sí. La figura 1b muestra el
diagrama 1422 que representa a la estructura hcp. Las figuras 1c y 1dd se refieren a la
21
estructura bcc, diagramas 1441 y 1661. En la figura, la esfera roja (i) y la amarilla (j)
representan un par de primeros vecinos, azul claro (k) son los vecinos comunes del par (i)-(j).
Figura 1. Representación CNA de algunos pares [84]
Los diagramas CNA permiten identificar unívocamente las distintas estructuras
cristalinas.Cuando la estructura cristalina de un determinado átomo es desconocida, la
metodología CNA lo etiqueta como “de tipo desconocido”; en nuestro caso, estos átomos son
los que definen las fronteras de grano.
Los diagramas CNA están claramente definidos para cristales perfectos, como se muestra en
la Tabla 1, y se utilizan para distinguir entre diferentes estructuras. Según esta tabla, en una
estructura fcc perfecta todos los pares de átomos tienen un diagrama del tipo 1421. Por otro
lado, en una estructura hcp, la mitad de las parejas de vecinos más cercanos tienen un
diagrama 1421 y la otra mitad 1422. Con el contrario, la estructura cristalina bcc no está
balanceada, contiendo 3/7 partes de los pares de átomos con diagrama 1441 y el resto, 4/7
con 1661.
22
Diagrama CNA fcc bcc hcp
1421 1 0 0.5
1422 0 0 0.5
1441 0 3/7 0
1661 0 4/7 0
Tabla 1. Presencia relativa de los diferentes diagramas CNA en diferentes estructuras cristalinas [84].
Contaje del número de granos y cálculo de su tamaño
El procedimiento seguido consistió en la obtención de diez imágenes de secciones de la
muestra en determinados momentos de las simulaciones de calentamiento a diferentes
temperaturas. A continuación se obtuvieron los tamaños de los cortes de los granos en dichas
secciones de la muestra empleando el programa ImageJ [85].
Medida de la velocidad de las fronteras de grano
La medida de la velocidad de las fronteras de grano se ha llevado a cabo mediante el
seguimiento de determinadas fronteras. Para ello, se procedió a aislar las fronteras elegidas,
22 en nuestro caso, y a calcular el desplazamiento del centro de masas de cada una de
dichas fronteras. Posteriormente, se realizó un análisis estadístico para la generalización de
los resultados obtenidos.
Medida de la rotación de los granos
Para estudiar la rotación de los granos de nuestro cubo de simulación se ha seguido el
siguiente procedimiento:
• En el instante inicial, se seleccionan dos átomos pertenecientes a un mismo grano que
estén suficientemente alejados entre sí;
23
• el segmento que une dichos átomos define una dirección;
• cada cierto tiempo se mide la situación de dicho par de átomos definiendo la nueva
dirección que delimita el segmento que los une;
• se calcula en ese instante el ángulo formado por el segmento instantáneo y el inicial.
La rotación se ha medido cada 25 ps en torno a los ejes X y Z de la caja de simulación.
Visualización de los resultados
Para visualizar los resultados de las simulaciones se ha empleado el programa Ovito,
visualizador científico de código abierto que permite representar los archivos de resultados de
LAMMPS[86].
24
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Partimos de una geometría inicial consistente en un cubo de 100 nm x 100 nm x 100 nm,
con 10 granos y 59.442 átomos de aluminio. La energía potencial del sistema antes de la
minimización es -192.715 eV. La geometría inicial tiene el siguiente aspecto:
a) b)
Figuras 2a y 2b. Geometría inicial.
Los colores de los átomos en las figuras anteriores se han asignado según el análisis CNA
realizado a nuestro dominio. Así, los átomos de color gris (45.638 átomos) corresponden a
una estructura fcc, y los representados en azul son aquellos definidos por el análisis CNA
como “otros”, es decir no poseen ninguna estructura cristalina reconocible (13.804 átomos);
dichos átomos son los que conforman las fronteras de grano en la caja de simulación.
Tras la minimización de la energía (que consistió en 5689 “steps”), el tamaño de la muestra
pasó a ser de 100.27 nm x 100.27 nm x 100.27 nm. El tamaño medio de grano en el sistema
minimizado es 20 ± 7nm y su energía potencial total es -194.671 eV. Por otro lado, el
análisis CNA arroja unos resultados de 45.650 átomos en fcc y 13.792 en fronteras de
grano. El sistema minimizado se utilizó en todos los casos como punto de partida para las
simulaciones dinámicas bajo las distintas condiciones indicadas más arriba. Las siguientes
figuras corresponden a las vistas equivalentes a la figura 2 en el sistema minimizado.
25
a) b)
Figuras 3a y 3b. Geometría inicial tras proceso de minimización de energía.
Comenzaremos esta exposición de los resultados mostrando la evolución de la energía
potencial en función del tiempo para diferentes temperaturas. En la figura 4se observa la
evolución de la energía por átomo para átomos pertenecientes al interior de los granos, es
decir con estructura cristalina fcc y para átomos pertenecientes a las fronteras de grano. La
figura muestra una ligera disminución de la energía por átomo con el tiempo de simulación
tanto en fronteras como en el interior de los granos; este hecho indica que el estado de
partida de las simulaciones dinámicas corresponde en buena aproximación al mínimo
absoluto de energía del sistema. La figura 4 revela también que la energía por átomo es
mayor en las fronteras que en el interior de los granos, como cabía esperar.
26
Figura 4. Energía por átomo en el interior (fcc) y en las fronteras (GB) de los granos
El tamaño medio de grano a 745 K y tras 300 ps resultó ser también 20 ± 7 nm, lo que indica
que el tamaño medio de los granos se mantiene prácticamente constante a las temperaturas
empleadas en este estudio. Este resultado es notable, puesto que cabría esperar a priori que
un policristal nanoestructurado con un tamaño de grano del orden de 20 nm experimentase
crecimiento de grano estático como, de hecho, ocurre en el níquel [80]. La ausencia de
crecimiento de grano podría atribuirse, en principio, a la menor energía por átomo en el
aluminio comparado con otros metales nanoestructurados [80].
La principal evolución microestructural observada consiste en una migración de
prácticamente todas las fronteras a las temperaturas utilizadas en este estudio. Para ilustrar
esta evolución, la Figura 5 muestra una comparación de los cambios microestructurales
producidos en la muestra para tres secciones perpendiculares a 745 K. En estas figuras, los
átomos que aparecen en color rojo tienen una estructura hcp aunque, dado que su número es
muy pequeño, este hecho no permite hablar de ningún cambio estructural apreciable.
-‐3,27
-‐3,26
-‐3,25
-‐3,24
-‐3,23
-‐3,22
-‐3,21
-‐3,2
0 50 100 150 200 250 300
Energía po
r átomo (eV)
Tiempo (ps)
FCC
GB
27
t =0 ps t =10ps t =300 ps
Figura 5.- Evolución de la estructura cristalina a 745 K. Cada fila de figuras corresponde a una sección distinta de la caja de simulación.
Para estudiar la velocidad de movimiento de las fronteras se calculó el desplazamiento una
determinada frontera de grano a lo largo del tiempo para diferentes temperaturas; estos datos
se incluyen en la Figura 6. Las líneas rectas continuas corresponden al ajuste por mínimos
cuadrados de los valores calculados.
28
Figura 6. Desplazamiento de una determinada frontera de grano en función del tiempo para varias temperaturas.
Los valores de las pendientes de dichas rectas (esto es, de la velocidad de la frontera a las
distintas temperaturas), así como los coeficientes de regresión correspondientes, se resumen
en la Tabla 2.A la vista de los resultados reflejados en la Figura 6y la Tabla 2, podemos
concluir que la velocidad de una frontera de grano aumenta con la temperatura, y se mantiene
prácticamente constante a una temperatura dada.
Temperatura
(K)
Pendiente (m/s) R2
400 1.3 ± 0.7 0.92195
500 2.2 ± 0.3 0.99517
600 2.9 ± 0.8 0.97934
745 3.4 ± 0.7 0.989
Tabla 2. Rectas de regresión de la evolución de la posición de una determinada frontera de grano.
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300 350
Desplazam
iento Frontera de Grano (nm)
Tiempo (ps)
400K
500K
600K
745K
29
Los resultados presentados hasta aquí pueden analizarse alternativamente en términos de la
movilidad de las fronteras de grano. En efecto, en general se suele aceptar que el crecimiento
de grano estático en el que la fuerza motriz para el crecimiento de un grano 𝑓 es proporcional
a la curvatura del mismo. En ese caso, la relación entre la velocidad de la frontera 𝑣 y la
fuerza motriz es lineal:
𝑣 = 𝑀𝑓 [18]
y el coeficiente de correlación entre ambas magnitudes se denomina movilidad de la frontera,
𝑀.
Pese a que algunos recientes trabajos de simulación indican que la movilidad es función de la
velocidad de las fronteras (ver, por ejemplo, [38]), la mayor parte de los datos recogidos en la
literatura indican que, por el contrario, la movilidad es una característica intrínseca de las
fronteras. En nuestro caso, puesto que la curvatura de los granos no varía apreciablemente (y,
por tanto, tampoco la fuerza motriz), la movilidad de las fronteras es constante a una
temperatura dada.
En cuanto a la dependencia de la movilidad con la temperatura, esta sigue una ley tipo
Arrhenius, de la forma:
𝑀 𝑇 = 𝑀! 𝑒𝑥𝑝 −𝑄𝑘!𝑇
[19]
donde 𝑄 es la energía de activación para el proceso de capilaridad; para una fuerza motriz
constante, la velocidad de las fronteras también debe mostrar tal dependencia, por tanto. La
Figura 77 corresponde al diagrama de Arrhenius para la velocidad de las fronteras de grano
en nuestro modelo del aluminio. El ajuste a los puntos experimentales de una ley exponencial
arroja un valor para la energía de activación de 0.072 ± 0.008 eV.
El resultado obtenido para la energía de activación que aparece en [19] es notable. En efecto,
en un proceso puramente difusivo de migración de una frontera de grano en un metal, sería de
esperar que la movilidad fuese proporcional al coeficiente de autodifusión del catión metálico
30
y, por tanto, que la energía de activación para el proceso de migración coincidiera con la de
difusión. Sin embargo, la cinética de fronteras de grano en un policristal real, aun cuando sea
de naturaleza puramente difusiva, es más compleja, lo que hace que ambas energías de
activación no coincidan en general. Por ejemplo, Zhang y colaboradores han demostrado [87]
que el coeficiente de difusión depende fuertemente del ángulo de desorientación de la
frontera a temperaturas bajas, pero es prácticamente constante a temperaturas altas. Puesto
que la orientación de los granos que forman el sistema en estudio en este caso es, en
principio, aleatoria, el valor de energía de activación que se obtiene de la Figura 7 no puede
identificarse con ningún proceso difusivo concreto.
Figura 7.- Diagrama de Arrhenius de la velocidad media de las fronteras de grano.
La repetición del análisis anterior para 22 fronteras de grano de nuestra muestra demostró que
las velocidades de dichas fronteras de grano no son homogéneas, sino que existe una
distribución de velocidades. Así, para cada temperatura se realizó un estudio estadístico de
las velocidades de las fronteras de grano analizadas.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,001 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018 0,002 0,0022 0,0024 0,0026
ln(v)
1/T(1/K)
31
Figura 8. Histograma de velocidades de fronteras de grano a 745 K.
El histograma de la Figura 8 se ajusta a una distribución log-normal, de la forma:
𝑦 = !!!!"
exp −!"! !
!!!!! [20]
donde 𝑣! y 𝑤 son, respectivamente, el valor medio de la distribución y la desviación
estándar del logaritmo de la variable. El ajuste de la función [19] a los datos experimentales
se representa mediante una línea discontinua en la Figura 8. Los parámetros del ajuste son
𝑣! = 3.1 ± 0.1 m/s y 𝑤 = 0.32 ± 0.03, con R2 = 0.93904.
El hecho de que las fronteras migren a distintas velocidades implica que los granos de la
caja de simulación experimentan rotaciones. En principio, la orientación de cada grano
quedaría especificada indicando rotaciones con respecto a tres ejes independientes;
típicamente, mediante los tres ángulos de Euler. En este estudio no estamos interesados en
orientaciones absolutas, sino en el cambio en la orientación de un grano (el central) en el
32
transcurso del tiempo de simulación, para lo que basta con conocer cómo cambia en el
tiempo la orientación de dicho grano con respecto a dos ejes arbitrarios no paralelos. La
Tabla 3 recoge los ángulos de rotación del grano central de la caja de simulación en torno a
los ejes OZ y OX, calculados a 745 K en función del tiempo. En la figura 9 se representan
gráficamente los resultados de esta tabla. A la vista de estos resultados, parece claro que no
existe una tendencia clara de rotación de este grano.
Tiempo de
simulación (ps)
Rotación
alrededor del eje
OZ (grados)
Rotación
alrededor del eje
OX (grados)
25
50
-1.68
-0.43
-0.04
-0.05
75 0.33 -0.06
100 -0.67 -0.06
125 1.02 -0.02
150 -0.24 -0.01
175 -0.99 0.01
200 0.02 0.01
225 0.01 0.01
250 0.01 0.01
275 0.03 -0.01
300 0.01 0.01
Tabla 3. Ángulos de rotación respecto a los ejes OZ y OX observados a 745 K.
33
Figura 9. Ángulos de rotación respecto a los ejes OX y OZ medidos a 745 K en función del tiempo.
Existen diversos modelos que intentan justificar la correlación entre la velocidad de rotación
y la movilidad de los granos en un policristal. Estos modelos se clasifican en: i) modelos de
rotación rígida, que aceptan que los granos rotan debido a procesos que tienen lugar en las
proximidades de las fronteras de grano (como subida de dislocaciones); ii) modelos de
cizalladura, en los que la rotación se produce por deslizamiento de dislocaciones en el interior
de los granos. En todo caso, identificar alguno (o algunos) de estos procesos en nuestra caja
de simulación está fuera del objetivo del presente trabajo, y requeriría realizar simulaciones
con un número controlado de fronteras de grano de orientaciones bien definidas e identificar
los procesos cinéticos que tienen lugar en ellas.
Los resultados reportados en esta memoria son difíciles de comparar con datos
experimentales en policristales metálicos nanoestructurados, debido esencialmente a que los
experimentos realizados en estos sistemas, por su inherente complejidad, son limitados y
muchas veces poco precisos. En cambio, sí que están en buen acuerdo, al menos cualitativo,
con simulaciones mediante DM realizadas en otros sistemas similares, como el níquel [55,
80]. En este sistema, como en el que hemos estudiado aquí, existe una distribución de
-‐2,00
-‐1,50
-‐1,00
-‐0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
0 50 100 150 200 250 300 350
Energía po
r átomo (e
V)
Tiempo (ps)
"Ángulo girado respecto al eje z" "Ángulo girado respecto al eje x"
34
velocidades de migración de fronteras y, además, la movilidad sigue una dependencia con la
temperatura de la forma [19]. Sin embargo, en aquel caso se observa, por una parte, un
crecimiento de grano lineal y, por otro, una clara tendencia a la rotación de los granos durante
el proceso de crecimiento, que no se han observado aquí.
35
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
El presente trabajo se enmarca dentro del estudio de las propiedades de los policristales
metálicos, empleando para ello métodos computacionales de Dinámica Molecular.
En concreto, hemos utilizado la herramienta LAMMPS para construir un modelo de
nanocristales de aluminio. Modelo al que hemos sometido a diferentes procesos de
calentamiento y estudiado sus propiedades a nivel granular.
La construcción del modelo se ha llevado a cabo partiendo de una teselación de Voronoi
tridimensional realizada sobre una caja de simulación cúbica de 100 nm de lado. Dicha
teselación nos sirvió para construir lo que serían los límites de los granos. A continuación,
dichos granos se fueron poblando con átomos en estructura atómica dcc fcc de orientación
aleatoria. El resultado fue una caja de simulación que contenía 10 granos y alrededor de
60.000 átomos.
Partiendo de la posición de dichos átomos, se escribieron diferentes scripts de LAMMPS. El
primero de ellos, consistió en someter a nuestra caja de simulación a un proceso de
minimización de energía. Posteriormente, se le sometió a una serie de procesos de
calentamiento a diferentes temperaturas comprendidas entre 300 K y 745 K.
En dichos procesos de calentamiento, se analizaron las siguientes propiedades:
• evolución de la energía potencial atómica para diferentes temperaturas, distinguiendo
entre átomos de frontera y de interior de los granos;
• tamaño medio de los granos, para diferentes temperaturas, al comienzo y al final de
los procesos de calentamiento;
• migración de las fronteras, mediante el estudio de las velocidades a las que se
desplazan dichas fronteras a las diferentes temperaturas analizadas;
• diagrama de Arrhenius para la velocidad de las fronteras de grano en nuestro modelo
de aluminio y
• evolución de la rotación de los granos para las distintas temperaturas.
36
Respecto a los futuros trabajos a desarrollar tras la presentación de este trabajo, se
encuentran los siguientes, entre otros:
• estudio de los efectos de dislocaciones en la dinámica de fronteras de grano, que
desempeñan un papel crucial en sistemas metálicos;
• analizar el efecto de tensiones externas, como las que aparecen en condiciones de
fluencia a alta temperatura, y
• estudiar los efectos de la segregación de impurezas en la cinética de las fronteras de
grano.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo no hubiera sido posible sin el apoyo incondicional de mi querida Vero y por
supuesto sin el de mis tutores y amigos Juanjo, Diego y Johan, que me dieron la
oportunidad de trabajar en este tema tan apasionante.
37
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