trigonometrí1

TRIGONOMETRÍA ETIMOLÓGICAMENTE:

Trigonometría, es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo del valor o medida de alguno de ellos.

EN LA ACTUALIDAD :

Trigonometría: es la rama de la matemática que estudia las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas.

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes cartesianos o de coordenadas rectangulares y su radio mide la unidad.

ÁNGULOS: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen común llamado vértice. Las semi-rectas son lados del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el lado final o terminal.

EL ÁNGULO GEOMÉTRICO es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser positivo o negativo. Si se considera al ángulo como una rotación de una semi-recta; bien en sentido contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo).

a o b ∠ b o a ∠

MEDICIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos se miden mediante varios sistemas, siendo los más usuales: el sistema Circular o

Radian, el sistema Sexagesimal y el sistema Centesimal.

EL SISTEMA CIRCULAR O RADIAN: Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. La unidad es el radian.

El ángulo llano mide π Radianes, o sea: 180º

El ángulo recto mide 2

π Radianes, es decir: 90º

Por ser la longitud de la circunferencia 2 π . r, que contiene 360°, entonces 2 π . r = 360°, por lo tanto:

1 radian = π 180º

= 57,296° = 57º 17’ 45” .∙. π = 3,14159

SISTEMA SEXAGESIMAL: Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60.La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el

cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1/3600 ava parte de la circunferencia de un círculo.

1

o

a0

b

Lado Final o Terminal

Lado Inicial

a0

o

b

VérticeVértice

Lado Final o Terminal

Lado Inicial

+ -

Un minuto (‘) es la 60

1 ava parte de un grado; un segundo (“) es la

60

1 ava parte de un

minuto, o sea 3600

1 ava parte de un grado.

Sistema Centesimal: La circunferencia también puede ser dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado centesimal posee 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales.

OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

ADICIÓN DE MEDIDAS ANGULARES:

EJEMPLOS:

1. Efectuar: 47° 23’ 42” + 241° 18’ 6” + 136° 22’ 11”

47° 23’ 42” 241° 18’ 6” Resultado: 424° 53’ 59” 136° 22’ 11” 424° 53’ 59”

2. Efectuar: 248° 41’ 38” + 121° 58’ 34” + 88° 46’ 56”

2° 2’ 248° 41’ 38” 121° 58’ 34” 88° 46’ 56” Resultado: 359° 47’ 8” 359° 147’ 128”

-120’ -120” 47’ 8”

SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS ANGULARES

EJEMPLOS:

1. Restar: 78° 43’ 28” de 119° 58’ 36”

119° 58’ 36” 78° 43’ 28”

41° 15’ 8”

2. Efectuar: 211° 36’ 15” - 198° 24’ 49”

35’ 60”211° 36’ 15”

- 198° 24’ 49” 13° 11’ 26

2

+75”

3. Efectuar: 96° 15’ 18” - 75° 49’ 52”

74’ 75’ 78” 95° 60’ 60” + 78”96° 15’ 18”

- 75° 49’ 52“ 20° 25’ 26”

MULTIPLICACIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR POR UN ESCALAR:

EJEMPLOS:

1. Efectuar: 6 (32° 7’ 9”)

32° 7’ 9” 6 192° 42’ 54”

2. Efectuar: (54° 25’ 48”). 9

58° 32’ + 4° + 7’

54° 25’ 48” 9

522° 288’ 432” -240’ -420”

48’ 12”

3

DIVISIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR ENTRE UN ESCALAR:

EJEMPLOS:

1. Efectuar: (162° 54’ 36”) : 9

162° 54’ 36” 9 72° 0’ 0” 18° 6’ 4”

0º

2. Dividir: (149° 38’ 54”) : 6

149° 38’ 54” - 29° + 120” 6

5 x 60’ = 300’ 174” 338’ 54” 24° 56’ 29” 38’ 0”

2´ x 60”

CONVERSIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL AL SISTEMA SEXAGESIMAL :

Para convertir la medida de un ángulo del sistema decimal al sexagesimal, se multiplican las cifras decimales por sesenta (60’) para convertirlos en minutos y si aún existen cifras decimales, se multiplican nuevamente por sesenta (60”) para convertirlos en segundos, siendo la parte entera del número dado, los grados y de las partes enteras de ambas multiplicaciones los minutos y segundos de la medida angular.

EJEMPLOS:

A ) 29,23° B ) 62, 4° 62° 24’

29, 23° 29°

0,23 0,4 .60 . 60’

13,80 13’ 24,0 62° 24’

0,8. 60

48,0 48”

29, 23° = 29° 13’ 48”

4

CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL CENTESIMAL:

Para convertir la medida de un ángulo dado en el sistema sexagesimal, se plantea una suma de fracciones en donde los grados son la parte entera, los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3600; y luego se efectúa la división para llevarlo a centesimal.

EJEMPLOS:

Transformar Al Sistema Centesimal:

1.- 48° 30’

48° + 60

30º = 48,5º

60

2910º

60

30º 2880º

60

30º

1

48º ==+=+

2.- 98° 7’ 30”

125º 98, 3600

250 353

3600

30º 420º 8000 352

3600

30º

60

7º º98 ==++=++

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES O VICEVERSA :

Para convertir radianes a grados, se multiplica la expresión dada por π º180

y para

transformar grados a radianes, se multiplica por 180º

π Rad.

EJEMPLOS:

1.- les.sexagesima grados a rad

3

2 Convertir π

120º 3

360º

3

180º . 2 180º .

3

2 rad

3

2 ====π

2.- les.sexagesima grados a rad. 12

7 Reducir

105º 12

260º 1

12

180º . 7 180º .

12

7 rad.

12

7 ====π

5

3.- Transformar 50° a radianes

50° = 50°.

rad 873 0, 87266 0, rad º180

0795 157,

º180

rad 3,14159 . 50º rad

180º

≈===π

4.- Expresar en radianes la expresión: 42° 24’ 35”

a) En primer lugar transformamos la expresión dada al sistema centesimal:

41º 42, 409º 42, 3600

675º 152

3600

35º 440º 1 200º 151

3600

35º

60

24º º42 ≈==++=++

b) Por ultimo se transforma del sistema decimal al sistema radial:

42,41° .

7402 0, 74019351 0, rad º180

2348319 133, rad

º180

14159 3, . 41º 42,

180º

≈===πrad

42° 24’ 35” ≈ 0,7402 rad

5.-Convertir a grados sexagesimales la expresión rad. 5

2

92º 22, 9183116º 22, 15,70795

360º

14159 3, . 5

180º . 2

180º .

5

2 ≈===π

0,92º 0,20’

60’ 60” rad 5

2 = 22° 55’ 12”

55,20’ 55’ 12,00” 12”

6

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

El círculo trigonométrico, es la circunferencia cuyo radio es la unidad.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1.- Seno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la ordenada “y” del punto P, es decir:Seno (α) = y

Sen α = y

2.- Coseno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la abscisa “x” del punto P, o sea:

Coseno (α) = xCos α = x

3.- Tangente: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la razón entre la ordenada “y” y la abscisa “x” del punto P.

Tangente (α) = αα Cos

Sen

x

y =

Tg α = αα Cos

Sen

x

y =

4.- La Cotangente: es la función inversa de la tangente, es decir:

Cotangente (α) = α tag

1

x

y ó

Ctg α = x

y

ó Ctg α = α tag

1

5.- La Secante: es la función inversa del coseno, por tanto:

7

0

r = 1P (x,y)

(1,0)y

(1,0)

y(0,1)

(0,- 1)

x

α

Secante (α) = α Cos

1

x

1 =

Sec α = x

1 ó Sec α = α Cos

1

6.- La Cosecante: es la inversa de la función seno, o sea:

Cosecante (α) = αSen

1

y

1 =

αα

Sen

1

y

1 ==Csc

El producto de toda función trigonométrica por su inversa, es igual a la unidad.

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 0° - 90° - 180° - 270° y 360°

Ángulos

Funciones0° 90° 180° 270° 360°

Seno 0 1 0 -1 0Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 No 0 No 0Cotangente No 0 No 0 No

Secante 1 No -1 No 1Cosecante No 1 No -1 0

Los valores máximos y mínimos de las funciones: Seno y Coseno es 1 y –1, por lo tanto el Rango de ambos es el intervalo cerrado.

Rgo f seno = [-1 , 1]

Rgo f coseno = [-1 , 1]

La representación gráfica del seno es una curva llamada Sinousoide y la del coseno: Cosinousoide.

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

8

RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Por definición:

Sen α = y Ctg α = αα

Sen

Cos

y

x =

Cos α = x Sec α = α Cos

1

x

1 =

CuadrantesFunciones

I c II c III c IV c

Seno + + - -Coseno + - - +

Tangente + - + -Cotangente + - + -

Secante + - - +Cosecante + + - -

9

0

+ y

II c

I c

III cIV c

- x + x

- y

0

y

R = 10

x

αy

x

Tg α = αα Cos

Sen

x

y = = Csc α = αSen

1

y

1 =

IDENTIDADES PITAGÓRICAS:

El triángulo de la figura es rectángulo, y la circunferencia es el círculo trigonométrico (r = 1) y según el Teorema De Pitágoras tenemos:

y2 + x2 = r2

De acuerdo con las igualdades anteriores:

a.- Sen2 α + Cos2 α = 12

Sen2 α + Cos2 α = 1 (identidad pitogórica fundamental)

b.- Si la identidad fundamental se divide miembro a miembro entre el Cos2 α, tenemos:

Sen2 α + Cos2 α = 1

ααα

αα

22

2

2

2

Cos

1

Cos

Cos

Sen =+Cos

Según las identidades iniciales:

Tg2 α 1 = Sec2 α

c.- Dividiendo la identidad fundamental entre Sen2 α, nos queda:

Sen2 α + Cos2 α = 1

ααα

αα

22

2

2

2

Sen

1

Cos

Sen

Sen =+Sen

1 + Ctg2 α = Csc2 α

DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR EL VALOR DE LAS DEMÁS :

Para determinar los demás valores de las funciones trigonométricas conocida una de ellas, es necesario indicar el cuadrante donde se encuentra el ángulo dado y en caso de no darse, es de suponer que el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, donde todos los valores de las funciones trigonométricas son positivas.

Cuando uses alguna de las relaciones pitagóricas, debes recordar que la raíz cuadrada de un número real es doble y opuesta. Por ejemplo

10

X = ± a 2 = ± a .˙. a ∈ ℝ +

1. Calcula las demás funciones trigonométricas de α, sabiendo que Sen α = - 13

12 y que

cIII ∈α

1 Cos 22 =+ ααSen

5

12

5 . 13

13 . 12

13

5 -

13

12 -

Cos

Sen =+===

αααTag

1 Cos 13

12 - 2

2

=+

12

5

12 . 13

13 . 5

13

12 -

13

5 -

Sen

Cos =+===

αααCtg

1 Cos 169

144 2 =+ α

169

144 - 1 2 =αCos

12

13 -

12 . 1

13 . 1 -

13

12 -

1

1

13

12 -

1

Sen

1 =====

ααCsc

169

144 - 169 2 =αCos

169

25 2 =αCos

169

25 ±=αCos = ±

13

5

13

5 - Cos III : c =⇒∈ ααpero

11

2.- cII y x 7

24 - Tag ∈=xSi , calcular las demás funciones trigonométricas de x.

1 Tag 22 += ααSec 1 Cos 22 =+ xxSen

= 2xSec 2

7

24 -

+ 1 Cos - 1 22 xxSen =

1 49

576 2 +=xSec

22

25

7 - - 1

=xSen

49

625

49

49 576 2 =+=xSec

625

49 - 1 2 =xSen

7

25

49

625 x ±=±=Sec

625

49 - 625 2 =xSen

7

25 - x =Sec

25

24

625

576 x ±=±=Sen

7

25 -

1

1

xSec

1 x ==Cos

25

24 x II X c =⇒∈ Sen

25

7 -

25 . 1

7 . 1 - x ==Cos

24

7 -

24 . 25

25 . 7 -

25

24 -

25

7 -

Sen x

x Cos x ====Ctg

25

7 -

7

25 -

1

1

Sec

1 x Cos ===

α

12

3.- Sabiendo que .y 5

34 - cIVCsc ∈= ββ Calcula los demás valores de las funciones

trigonométricas de β.

34

34 . 5 -

34

5 -

5

34 1

1

Csc

1 ==

−==

ββSen (racionalizando)

1156

850 - 1

1156

34 . 25 - 1

34

34 . 5 - - 1 Sen - 1 Cos 1 Cos

2

2222 ==

==⇒=+ ββββSen

34

34 . 3

34

17 . 3 . 2

1156

306 Cos

1156

306

1156

850 - 1156

22 ±=±=±=⇒== ββCos

34

34 . 3 =βCos

3

5 -

34 . 3 . 34

34 . 34 . 5 -

34

34 . 3

34

34 . 5 -

Sen ====

βββ

CosTag

5

3 -

34 . 5 . 34

34 . 34 . 3 -

34

34 . 5

34

34 . 3

Cos ==

−==

βββ

SenCtg

3

34

34 . 3

34 . 34

34 . 3

34

34 . 3

34 . 1

34

34 . 3 1

1

Cos

1 ======

ββSec

EJERCICIOS

1.- Calcula los valores de las demás funciones trigonométricas sabiendo que:

a) 25

7 =ϕSen e) cIII con x 2 - x ∈=Csc

b) cII y 5

4 - ∈=ϕCos f) cIV y x

5

6 x ∈=Sec =

c) cIV con 12

5 ∈= ββTag g) cII con x

2

3 x ∈=Sen

d) cIII con x 7

24 x ∈=Ctg h)

13

3 x =Cos

13

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sea el triángulo rectángulo A B C, en donde A y B son ángulos agudos y el ángulo C es recto, y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se llama hipotenusa.

En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b cateto adyacente.

El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

c

a

x a opuesto Cat. Sen x ==

ahipotyenus

El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.

c

b

x a adyacente Cat. x ==

hipotenusaCos

La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el cateto

adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.

b

a

.

x opuestoa Cat. x ==

xaadyacenteCatTag

La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el cateto ayacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.

a

b

xa .

x a adyacente Cat. x ==

opuestoCatCtg

14

B

c a

x

A C

b

La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa ( c ) y el cateto

adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.

b

c

xa adyacente .

hipotenusa x ==Cat

Sec

La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.

a

c

xa opuesto .

hipotenusa x ==Cat

Csc

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 30º - 45º - 60º

Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º, usaremos un triángulo equilátero, cuyo lado miden 2 unidades longitud y al cual le trazaremos la altura que calcularemos a través del TEOREMA DE PITÁGORAS

Para el ángulo de 30º, el cateto apuesto (b) mide una (1) unidad de longitud, el cateto adyacente (h) mide 3 unidades de longitud y la hipotenusa (c) mide 2 unidades de longitud.

Los valores de las funciones trigonométricas de 30º se obtendrán al aplicar las definiciones de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

2

1

hipotenusa

30º a opuesto Cat. 30º ==Sen

2

3

30º a adyacente Cat. 30º ==

hipotenusaCos

3

3

3

1

30º .

30º a opuesto Cat. 30º ===

aadyacenteCatTag (Racionalizando)

15

h =

B

2

C

c = 2

A

b2 + h2 = c2

h2 = c2 - b2 22 b - c h =⇒ 3 1 - 4 1 - 2 h 222 === 30º

60º

3 1

3

30º a .

30º a adyacente Cat. 30º ===

opuestoCatCtg

3

3 . 2

3

2

adyacente .

hipotenusa 30º ===Cat

Sec (racionalizando)

2 1

2

opuesto .


Csc

El triángulo anterior será usado para calcular los valores para 60º, sólo que los catetos cambian, es decir, opuesto será el adyacente y viceversa.

2

3

60º a opuesto Cat. 60º ==

hipotenusaSen

2

1

60º a adyacente Cat. 60º ==

hipotenusaCos

60º a .

60º a opuesto Cat. 60º

adyacenteCatTag = = 3

1

3 =

60º a .

60º a adyacente Cat. 60º

opuestoCatCtg = =

3

3

3

1 = (racionalizando)

2 1

2

60º a .

hipotenusa 60º ===

adyacenteCatSec

3

3 . 2

3

2

60º a .

hipotenusa 60º ===

opuestoCatCsc (racionalizando)

Debes observar que los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º se intercambian por ser complementarios, es decir la suma de sus medidas es igual a 90º .

Los valores de las razones trigonométricas se obtendrán usando un cuadrado cuyos lados miden unas unidades de longitud y a la cual se le Trazará una diagonal cuya longitud será calculada mediante el TEOREMA DE PITÁGORAS.

16

B D

2

2

2

1

45º a opuesto Cat. 45º ===

hipotenusaSen (racionalizando)

2

2

2

1


hipotenusaCos (racionalizando)

1 1

1

45º a adyacente Cat.

45º a opuesto Cat. 45º ===Tag

1 1

1

45º a .


opuestoCatCtg

2 1

2

45º a adyacente .


Sec

2 1

2

45º a .

hipotenusa 45º ===

opuestoCatCsc

El ángulo de 45º es complementario con él mismo, ya que: 45º + 45º es igual a 90º.

EN RESUMEN

17

c= 2

45º

A

a = 1

b = 1 C

ÁngulosRazones

30º 45º 60º

Seno2

1

2

2

2

3

Coseno2

3

2

2 2

1

Tangente3

3 1 3

Cotangente 3 1

3

3

Secante

3

3 2

2 2

Cosecante 2 2

3

3 2

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos mide 90°, es decir, posee un ángulo recto.

Los lados que forman al ángulo recto, se llaman catetos y el lado que los une (el de mayor longitud) es la hipotenusa .

La suma de las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo es igual a 90°, por tanto, son complementarios y la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

ALTURA: la altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado desde un vértice a la recta que contiene el lado opuesto a dicho vértice. La altura de un triángulo se denota con la letra “h”

Todo triángulo posee tres vértices, por tanto, se pueden trazar tres alturas que se cortan en un ángulo llamado ORTOCENTRO.

Mediana: es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto tres medianas del triángulo se cruzan en un punto llamado Baricentro.

Mediatriz: es la recta perpendicular en el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado Circuncentro.

18

Bisectriz: la bisectriz de un ángulo interno de un triángulo es la semirrecta que divide al dicho ángulo en dos ángulos congruentes (de igual medida). Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en el punto llamado Incentro.

IMPORTANTE

Para la correcta notación de un triángulo, se deben coincidir que

a) Si el vértice de un triángulo es “A”, el lado opuesto es de longitud “a” o viceversa.

b) El lado opuesto al vértice “B”, es de longitud “b”.

c) El lado opuesto al vértice “C” es de longitud “c”.

En todo triángulo se cumple que: al ángulo de mayor medida se opone el lado de mayor longitud y el ángulo de menor medida es opuesto al lado de menor longitud.

Todo triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos internos y tres lados. En el caso de los triángulos rectángulos, por tener un ángulo interno recto (90º), se pueden resolver cuando se conocen dos de sus elementos, siempre y cuando no de ellos sea un lado.

Según lo anteriormente expuesto, existen cuatro casos según los datos conocidos; los cuales son:

Dados la longitudes de los catetos.

Para resolver este caso: se aplica el teorema de Pitágoras para conocer el otro lado, y la tangente de uno de los ángulos agudos, para determinar su medida y luego para calcular el otro ángulo agudo la relación: 90º =+ βα y se despejo de ella el ángulo agudo que falta por calcular.

EJEMPLO:

Resolver el triángulo rectángulo de figura adjunta

19

B

A C

ac

b

5" 0' 52º 4,56" 0' 52º X m 28 1, 50

64

b

a

xa adyacente Cat.

x a opuesto Cat. x ≈=⇒====Tag

x + B = 90º ⇒ B = 90º - x ⇒ B = 90º - 52 0’ 5” = 37º 59’ 55”

Dados las longitudes de un cateto y la hipotenusa.

En este caso, también se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado desconocido, para obtener la medida de los ángulos agudos se aplican las funciones trigonométricas seno y coseno según sea el cateto dado el apuesto o el adyacente al ángulo que se desea calcular

EJEMPLO: Resolver el siguiente triángulo

55" 10' 62º 54,7" 10' 62º B 466666666 0, 60

28

c

b

hip.

B a ady. Cat. ≈=⇒====βCos

5" 49' 27º 5,3" 49' 27º B 660,46666666 60

28

c

b

.

B a op.Cat ≈=⇒====

hipSen β

Comprueba que: x + β = 90º

Dados la longitud de un cateto y la medida de un ángulo agudo.

20

x

Cb = 50m

A

c

B

a = 64m

PITAGORAS

22222 b a c b a +=⇒+=c

2500 4096 50 64 22 +=+=c =

281,2157620 6596 ==c ~ 81,22m

2222 22 b - c a c b =⇒=+a

28 60 b c 2 2 22 −=−=a

553,0659966 2816 784 - 3600 ===a

a = 53, 06599665 ~ 53,07m

B

AC

a =?c = 60m

x

b = 28 m

Para resolver este caso, se aplican sólo las funciones trigonométricas principales (Seno, Coseno, o Tangente)

EJEMPLO :

Resolver el triángulo de la siguiente figura

m 86 1, 1,85786275 0,75355405

4 1,

37º Tag

4 1,

xTag

a b a x Tag . b

b

a

xa ady. .

x a op. Cat. x ≈====⇒=⇒==Cat

Tag

x + β = 90° ⇒ β = 90° - x = 90° - 37° = 53°

Dados la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo.Al igual que en el caso anterior, solo se pueden aplicar las funciones seno y coseno

915,7812498 0,78513681 . 20,1 16' 38º Cos . 20,1 x Cos . c b c

b

.

x a ady. Cat. x ====⇒==

hipCos

m 78 15, 915,7812498 ≈=b

Los ejercicios que se proponen a continuación, son combinaciones de estos casos y las medidas de los ángulos agudos serán de 30º, 45º y/o 60º decir para resolverlos sólo aplicarán las razones trigonométricas (Seno, Coseno y/o Tangente) y no necesitará la calculadora para obtener los valores de dichas razones trigonométricas.

EJEMPLO:

21

x = 37º a = 1,4m

a

c

a

.

37º a op. Cat. 37º ==

hipSen

m 2,33 82,32629619 30,60181502

4 1,

37ºSen

a ≈===c

c = 20,1mx = 38º 16´

x x

B

Cb

A

cB

c

a

hip.

x a op. Cat. ==xSen

16' 38ºSen . 1 20, Sen x . c ==a

44837949 12, 20,61932236 . 20.1 ==a

m 45 12, 44837949 12, ≈=a

a

x x

B

b = 50 mA

cB

C

a

Calcula el valor de x, según el triángulo de la figura adjunta

m 3 50 2

3 . 100 BD 60ºSen . BC BD

BC

BD

60º a op. Cat. 60º ==⇒=⇒==

hipSen

45ºSen

BD x BD 45ºSen . x

x

BD

AB

BD

hip.

45º a op. Cat. 45º =⇒=⇒===Sen

m 6 50 2

2 . 3 50 . 2

2

3 50 . 2

2

2 1

3 50

2

2

3 . 50 =====x

EJERCICIOS: Resuelve cada uno de los siguientes triángulos, aplicando las razones trigonométricas y sus

valores. (Sólo debes calcular el valor de x).

1.-

2.-

22

100m

D

A C

B

xEl lado BD (altura del triángulo ABC) es común para los triángulos rectángulos ABD y BCD, por lo tanto se debe calcular en primer lugar. Por ser el cateto opuesto al ángulo de 60º se aplica el seno; ya que se conoce longitud de la hipotenusa45°

60°

B

150 m

60°B30°B

C

D-------- X ------A

B

60°B 30°BD-------- X ------A

3.-

4.-

200 m

5.-

23

300 m

B

X

D----- 200m -----B

60°B

60°B 30°B

C

C

30°B 60°

h = X

C

A

B D

B

A

C 60°B 30°B

F

AD = BEBC = 4 mDE = x

FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

Sen (α + β) = Sen α . Cos β + Sen β. Cos α.

Sen (α − β) = Sen α .Cos β – Sen β . Cos α.

Cos (α + β) = Cos α . Cos β – Sen α . Sen β

cos (α − β) = Cos α . Cos β + Sen α . sen β

) (

) (Sen

Tag . Tag - 1

Tag Tag ) ( Tag

βαβα

βαβαβα

++=+=+

Cos

) - (

) - (Sen

Tag . Tag 1

Tag - Tag ) (

βαβα

βαβαβα

CosTag =

+=+

EJEMPLOS.

1.- Calcula el valor de las funciones trigonométricas principales para 75°:

75° = (45° + 30°) = (α + β )

24

D ----------- X ------------ E

a) Sen (α + β) = Sen α . Cos β + Sen β . Cos α.

Sen (45° + 30°) = Sen 45° . Cos 30° + Sen 30°. Cos 45°

4

2 6

4

2

4

6

2

2 .

2

1

2

3 .

2

2 75º

+=+=+=Sen

b) Cos (α + β) = Cos α .Cos β - Sen α . Sen β.

Cos (45° + 30°) = Cos 45°. Cos30° - Sen45°. Sen30°

4

2 - 6

4

2 -

4

6

2

1 .

2

2 -

2

3 .

2

2 75º ===Cos

c)

2 - 6

2 6

) 2 - 6 (4

) 2 6 ( 4

4

2 - 6

4

2 6

)º30 º45(

)º30 º45(Sen )º30 º45(

+=+=

+

=++=+

CosTag

(se debe racionalizar)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4

3 . 4 2 8

2 - 6

2 12 2 6

2 - 6

2 2 . 6 2 6

2 6

2 6 .

2 - 6

2 6 22

22+=++=++=

+++

= 3 2 4

3 4 8 +=+

Tag 75° = 2 + √3

2.- Calcula el valor de las funciones trigonométricas principales para 15°

15° = (60° - 45°) = (α − β )

a) Sen (α − β) = Sen α . Cos β – Sen β . Cos α

25

Sen (60° - 45°) = Sen 60° . Cos 45° - Sen 45° . Cos 60°

4

2 - 6

4

2 -

4

6

2

1 .

2

2 -

2

2 .

2

3 15º ===Sen

b) Cos (α − β) = Cos α . Cos β + Sen α . Sen β

Cos (60° - 45°) = Cos 60°. Cos 45° + Sen 60° . Sen 45°

4

6 2

4

6

4

2

2

2 .

2

3

2

2 .

2

1 15º

+=+=+=Cos

c) 6 2

6 - 6

) 6 2 (4

) 2 - 6 4(

4

6 2

4

2 - 6

º15

15ºSen 15º

+=

+=

+==

CosTag

(Racionalizando)

2 - 6

) 2 ( ) 2 ( . ) 6 ( 2 - ) 6 (

) 2 ( - ) 6 (

) 2 - 6 (

2 - 6

2 - 6 .

2 6

2 - 6 22

22

2 +==+

( )

3 - 2 4

3 - 2 4

4

3 4 - 8

4

3 . 4 2 - 8

4

2 12 2 - 6 ====+=

EJERCICIOS

1.- Calcular el valor de las funciones trigonométricas principales para los ángulos:

a) 150° = (180° - 30°) d) 240° g) 2880°

b) 3 π / 4 e) 5/6 π η) 135° = (180° − 45°)

c) 225° f) 420° i) 315° = (360 ° - 45°)

2.- Sabiendo que: .IV con 13

5 - Sen :quey III con

5

3 - cc ∈=∈= ββααCos Determina: Sen ( α + β);

Cos ( α + β), Sen ( α − β) y Cos (α − β) y el cuadrante al cual pertenece tanto (α + β) como (α − β).

26

3.- Calcula los valores de Sen (α − β), Cos (α − β) y tg (α − β) y el cuadrante al cual pertenece la solución,

sabiendo que: .12

5 Tagy

17

8 - == βαSen

4.- Si 25

7 Sen y II con

13

12 - c =∈= βααCos , calcula los valores de las funciones trigonométricas

principales para (α + β) y (α − β) y determina el cuadrante al cual pertenecen dichas soluciones.

FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO DOBLE

Sen 2 α = 2 sen α . cos α

Cos 2 α = cos2α – sen2 α

Tag - 1

Tag 2 2

2ααα =Tag

EJEMPLOS

1.- Utilizando las fórmulas del ángulo doble, calcula los valores de las funciones trigonométricas para 120°

120° = 2 (60°) = 2 α .

a) Sen 2 α = 2 Sen α . Cos α

Sen 120° = sen 2 (60°) = 2 sen 60° . cos 60°

( )2

3 2

4

1 . 3 . 2

2

1 .

2

3 . 2 60º 2 120º ====Sen

b) Cos 2 α = Cos2 α − Sen2 α

60º Sen - 60º Cos )60º ( . 2 Cos 120º 22==Cos

2

1 -

4

2 -

4

3 -

4

1

2

3 -

2

1 120º

22

===

=Cos

c) ααα2Tag - 1

Tag 2 2 =Tag

27

( ) 3 - 2 -

3 2

3 - 1

3 2

3 - 1

3 . 2

º60Tag - 1

60º Tag 2 )(60º 2 Tag 120º

22======Tag

EJERCICIOS

1.- Usando las fórmulas del ángulo doble, calcula los valores de las funciones trigonométricas principales de los ángulos.

a) 540° d) 360° g) 2 070º

b) 180° e) 720° h) 1 791º

c) 60° f) 90° i) 1 425º

FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO MEDIO (MITAD).

2

Cos - 1

2

αα ±=Sen

2

Cos 1

2

αα +±=Cos

α

αα

αααα

sC - 1

Cos 1

Sen

Cos 1

Cos - 1

2

Sen

oTag =

+=

+±=

1.- Mediante la aplicación del ángulo mitad, calcula el valor de las funciones trigonométricas para

EJEMPLOS

28

a) 15°

CI 30º 15º . 2 15º 2

∈=⇒=⇒= ααα .

1

2 2

3 - 2

2

2

3 - 1

2

30º Cos - 1

2

Cos - 1

2

30º Sen

2

±=±=±=±== αα

Sen

2

3 - 2

4

3 - 2 15º ±=±=Sen

2

3 - 2 15ºSen I 15º c =⇒∈Pero

1

2

2

3 2

2

2

3 1

2

30º Cos 1

2

30º Cos

2

+

=+

±=+±==αCos

2

3 2

4

3 2 15º

+±=+±=Cos

3 2

1

) 3 2(2

2

2

3 2 2

1

2

3 1

2

1

30º Cos 1

30ºSen

Cos 1

Sen

2

+=

+=

+=

+=

+=

+=

ααα

Tag

Racionalizando:

( ) 3 - 2 3 - 4

3 - 2

3 - 2

3 - 2

3 2

3 2 .

3 2

1 22

===−−

+

b)180º

π

45º 5º 22, . 2 5º 22, 2

5º 22,

8

180º

8

=⇒=⇒=⇒== αααπ

29

1

2 2

2 - 2

2

2

2 - 1

2

º45 Cos - 1

2

45º Sen

2

±=±=±==α

Sen

2

2 - 2

4

2 - 2 22.5º ±=±=Sen

2

2 - 2 5º 22,Sen I 5º 22, : c =⇒∈Pero

1

2 2

2 2

2

2

2 1

2

45º Cos 1

2

45º Cos

2

+

±=+

±=+±==αCos

2

2 2

4

2 2 5º 22,

+±=+±=Cos

2

2 2 22,5º Cos I 22,5º : c

+=⇒∈Pero

( )( ) 2

2 - 2

2 2

2 - 2 2

2

2 2

2 - 2

2

2 2

2 - 1

º45

45º Cos - 1

2

45º Tag

2

======

SenTag

α

( ) ( ) ( )2

2 - 2 2

2

2 - 2 2

) 2 (

2 - 2 . 2

2

2 .

2

2 - 2 5 22,

2

2====Tag

( )

1 - 2 2

1 - 2 2 22,5º ==Tag

c) Calcula los valores de las funciones trigonométricas principales a través del ángulo mitad, sabiendo que

Sen α = 13

5 con α ∈ IIc

30

1

2 13

25

2

13

12 13

2

13

12 1

2

13

12 - - 1

2

Cos - 1

2

±=

+

±=+

±=

±=±= ααSen

( ) 26

26 . 5

26

26 . 5

26

26 .

26

5

26

5

26

25

2±=±=±=±=±=

26

26 5 -

2

Sen II :Pero c =⇒∈ αα

1

2 13

1

2

13

12 - 13

2

13

12 - 1

2

13

12 - 1

2

Cos - 1

2

±=±=±=

+

±=±= ααCos

( ) 26

26

26

26

26

26 .

26

1

26

1

2

2±=±=±=±=α

Cos

26

26 -

2

Cos II c =⇒∈ ααComo

5 5

25

5 . 13

13 . 25

13

5

13

25

13

5

13

12 13

13

5 13

12 1

13

5

13

12 - - 1

Cos - 1

2

====

+

=+

=

==α

ααSen

Tag

EJERCICIOS:

1.- A partir del semi-ángulo (ángulo mitad), calcula los valores de las funciones trigonométricas principales de los siguientes ángulos (Recuerda los cuadrantes en donde se encuentran ubicados los ángulos dados).

a) 8

πb) 30° c)

4

7 π

d) 8

7 πe) 105° f) cIV con

5

3 - Sen que sabiendoa ,

2

∈= ααα

FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE ÁNGULOS

( ) ( )

2

- Cos .

2

Sen 2 Sen

βαβαβα +=+Sen

31

( ) ( )

2

- Cos .

2

Cos 2 Sen -

βαβαβα +=Sen

( ) ( )

2

- Cos .

2

Cos 2 Cos

βαβαβα +=+Cos

( ) ( )

2

- Sen .

2

Sen 2 - Cos -

βαβαβα +=Cos

( )

βαβαβα

Cos .

Sen Tag Cos

Tag+=+

( )

βαβαβα Cos .

- Sen Tag - Cos

Tag =

EJEMPLOS:

Transformar en productos (Factorizar) cada una de las siguientes expresiones:

a)

5º Cos . 45ºSen 2 2

10º Cos .

2

90º Sen 2

2

40º - 50º Cos .

2

40º 50º Sen 2 40ºSen 50º ==+=+Sen

5º Cos 2 5º Cos . 2

2 . 2 40ºSen 50º ==+Sen

b)2

50º Sen .

2

90º Cos 2

2

20º - 70º Sen .

2

20º 70º Cos 2 20ºSen - 70º =+=Sen

25ºSen . 2 45ºSen . 2

2 . 2 25ºSen . 45º Cos . 2 20ºSen - 70º ===Sen

c)

30º Cos . 60º Cos 2 2

60º Cos .

2

120º Cos . 2

2

30º - 90º Cos .

2

30º 90º Cos 2 30º Cos 90º ==+=+Cos

2

3

2

3 .

2

1 . 2 30º Cos 90º ==+Cos

d)

( )

2

40º - Sen .

2

110º Sen 2 -

2

75 - 35º Sen .

2

75º 35º Sen 2 - 75º Cos - 35º =+=Cos

( ) 20ºSen . 55ºSen 2 20ºSen . 55ºSen 2 - - 75º Cos - 35º ==Cos

32

e) 2

4x Cos .

2

10x Sen 2

2

3x -7x Cos .

2

3x 7x Sen 2 3x Sen 7x =+=+Sen

2x Cos .5x Sen 2 3x Sen 7x =+Sen

f) 2

3x Sen .

2

5x Cos 2

2

x -4x Sen .

2

x 4x Cos 2 Sen x -4x =+=Sen

g) 2

6a Cos .

2

10a Cos 2

2

2a - 8a Cos .

2

2a 8a Cos 2 2a Cos 8a =+=+Cos

3a Cos . 5a Cos 2 2a Cos 8a =+Cos

h) 2

30º - 60º Cos .

2

30º 60º Sen 2 30ºSen 60ºSen 60º Cos 60º

+=+=+Sen

15º Cos . 2 15º Cos . 2

2 . 2 15º Cos . 45ºSen 2

2

30º Cos .

2

90º Sen 2 60º Cos 60º ====+Sen

EJERCICIOS

1.- Factorizar cada una de las siguientes expresiones.

a) Sen 35° + Sen 25° h) Sen 4 x + Sen 2 x

b) Sen 35° - Sen 35° i) Sen 105° - Sen 15°

c) Cos 465° - Cos165° j) Cos 30° - Sen 30°

d) Cos 80° - Cos 20° k) Cos 60° - Sen 60°

e) Tag 20° + Tag 50° l) Tag 45° - Tag 15°

f) Tag 30° + Tag 60° m) Tag 60° + Ctg 60°

g) Tag 50° – Tag 25°

2.- Demostrar transformando en producto (factorizando) cada una de las siguientes expresiones:

a) Sen 40° + Sen 20° = Cos 10°

33

b) Sen 105° + Sen 15° = 2

6

c) 3

3

15º Cos 75º

15ºSen - 75ºSen =+Cos

d) 2 - 35º Cos - 25º

40º Cos - 50º Cos =Cos

e) 2

6

40º Cos - 50º

25ºSen - 35ºSen =Cos

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo es oblicuángulo si no posee entre sus ángulos internos un ángulo recto, es decir, los ángulos

internos o son agudos a dos agudos y uno obtuso.

Recuerda que:

- Se ha convenido que la notación de sus ángulos agudos sean Â, B, Ĉ y las longitudes de sus correspondientes

lados opuestos se identificarán como: a, b y c.

- La suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°, es decir; Â + B + Ĉ = 180°.

Para resolver un triángulo oblicuángulo, sólo se usan las leyes del seno y/o del coseno.

B

A

LEY DE LOS SENOS

En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante; esto es:

34

C

a

b

c

ϕβα Sen

c

b

Sen

a ==Sen

En la resolución de los triángulos oblicuángulos se aplica dos a dos según los datos conocidos y el

desconocido (incógnita).

βα

b

Sen

a

Sen=

ϕα Sen

c

Sen

a =

ϕβ Sen

c

b =Sen

LEY DE LOS COSENOS

En todo triángulo oblicuángulo ABC, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados.

α Cos . c . b . 2 - c b 222 +=a

β Cos . c . a . 2 - c a 222 +=b

ϕ Cos . b . a . 2 - b a 2 22 +=c

En estas relaciones, sólo se puede despejar el coseno del ángulo y nunca ninguno de los lados.

SOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

Cuando se conocen tres elementos de un triángulo oblicuángulo, (no todos los ángulos) se dice que el triángulo está bien determinado o en forma única.

En la resolución de los triángulos oblicuángulos se pueden presentar los siguientes casos:

1.- Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Se recomienda aplicar la ley de los senos para calcular en primer lugar el lado opuesto del segundo ángulo dado.

2.- Conocidos dos ángulos y el lado comprendido entre ellos se debe calcular en primer lugar la medida del tercer ángulo y después mediante la aplicación de la ley de los senos cualquiera de los lados restantes (desconocidos).

35

3.- Dados los dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados.

Para resolver los triángulos rectángulos, según este caso se aplica la ley de los senos y se calcula en primer lugar la medida del ángulo opuesto al segundo de los lados conocidos, cuando el 1 ≤αSen ≤.

4.- Dados un ángulo y los lados que lo forman. En primer lugar se calcula el tercer lado mediante la aplicación de la ley de los cosenos.

5.- Dados los tres lados. En este caso, se aplica la ley de los cosenos y se despejan los cosenos para calcular las medidas de los ángulos.

AREA DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

El área de los triángulos (AT) es igual al semi-producto de su base por la altura.

2

h . b =TA

Para calcular el área de un triángulo oblicuángulo, según el caso se pueden usar las siguientes fórmulas:

1.- Para los tres primeros casos.

α

ϕβSen 2

Sen . Sen .a

2

=TA

βϕβ

Sen . 2

Sen . Sen .b

2

=TA

ϕβα

Sen 2

Sen . Sen .c

2

=TA

2.- Para el cuarto caso

2

Sen . b . a

ϕ=TA

2

Sen . c . a

β=TA

36

2

Sen . c . b

α=TA

3.- Para el quinto caso.

( ) ( ) ( ) c - p . b - p . a - p p =TA

En donde: 2

c b a

++=p , es el semi-período

EJEMPLOS:

1.- Resuelve el triángulo oblicuángulo sabiendo que c = 23 cm, y los ángulos ϕα y miden respectivamente 20° y 15°:

258819 0,

86646 2,

258819 ,0

342020 0, . 23

15º

20ºSen . 23 a

Sen . c a

Sen

c

Sen

a ===⇒=⇒=SenSenϕ

αϕα

cm 39 30, =a

( ) ( ) 145º 35º - 180º 15º - 20º - 180º - - 180º - - 180º 180º =====⇒=++ ϕαϕαβϕβα

342020 ,0

192248 13,

342020 ,0

573576 0, . 23

20º

145ºSen . 23 b

Sen . a b

Sen

a

b ===⇒=⇒=SenSenSen α

βαβ

cm 57 38, =b

( )

( ) 517638,0

78 103,

258819 0, . 2

573576 0, . 342020 0, . 529

15ºSen . 2

145ºSen . 20ºSen . 23

Sen 2

Sen . Sen .c

22

====ϕ

βαTA

22 cm 5 200, cm 49 200, ≈=TA

2.- Resuelve el triángulo oblicuángulo, sabiendo que el lado “a” mide de 125 cm y los ángulos βα y miden 54° 40’ y 65° 10’ respectivamente.

( ) ( ) 10' 65º 40' 54º - 180º - 180º - - 180º 180º +=+==⇒=++ βαβαϕϕβα

10' 60º 50' 119º - 180º ==ϕ

37

815801 ,0

441625 113,

815801 ,0

907533 0, . 125

40' 54º

10' 65ºSen . 125

Sen . a b

Sen

a

b ====⇒=SenSenSen α

βαβ

cm 1 139, cm 06 139, ≈=b

815801,0

4345 108,

815801 ,0

867476 0, . 125

40' 54ºSen

10' 60ºSen . 125

Sen . a c

Sen

a

Sen

c ====⇒=αϕ

αϕ Sen

cm 133 =c

( )

( ) 815801 0, . 2

867476 0, . 907533 0, . 15625

40' 54ºSen . 2

10' 60ºSen . 10' 65ºSen . 125

Sen . 2

Sen . Sen .a

22

===α

ϕβTA

2cm 21 7539, 211435 7539,

631602 ,1

99246 12300, ≈==TA

3.- Resuelve el triángulo oblicuángulo en donde:

a = 11 cm, b = 21 cm y ϕ = 97° 50’ c2 = a2 + b2 – 2 a .b . Cos ϕ

c2 = 112 + 212 – 2 .11 . 21 Cos 97° 50’

c2 = 121 + 441 – 462 ( - 0,136292) = 562 + 62,9666904

c2 = 624,966904 cm 25 999 24, 966904 624, c ≈==⇒

a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . Cos α

a2 + 2 . b . c . Cosα = b2 + c2

2 . b . c . Cos α = b 2 + c 2 – a 2

38

050 1

945

25 . 21 . 2

121 - 625 441

25 . 21 . 2

11 - 25 21

.c b . 2

a - c b

222 222

=+=+=+=αCos

31" 50' 25º 9 0, 050 1

945 =⇒== ααCos

b2 = a2 + c2 – 2 . a . c. Cos β

14" 19' 56º .55454545.. 0, 550

305

25 . 11 . 2

441 - 625 121

c . a . 2

b - c a

222

=⇒==+=+= ββCos

2cm 42 114, 2

84 228,

2

990669 0, . 21 . 11

2

50' 97ºSen . 21 . 11

2

Sen . b . a ===== ϕ

TA

4.- Resuelve el triángulo oblicuángulo, sabiendo que:

a = 13 cm, b = 4 cm y c = 15 cm

a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . Cosα

222 c b Cos . c . b . 2 +=+ αa

2 . b . c. Cos α = b2 + c2 – a2

48" 7' 53º 6 0, 120

72

120

169 - 225 16

120

13 - 154

15 . 4 . 2

13 - c b

22 2222

=⇒==+=+=+= ααCos

15' 14º 969231 0, 390

378

390

16 - 225 169

15 . 13 . 2

4 - 15 13

c . a . 2

b - c a

222222

=⇒==+=+=+= ββCos

104

40 -

104

225 16 169

4 . 13 . 2

15 - 4 13

b . a . 2

c - b a

222222

=−+=+=+=ϕCos

12" 37' 112º 384615 0, - =⇒= ϕϕCos

16 2

32

2

15 4 13

2

c b a ==++=++=p

39

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cm ,80 9 96 1 . 12 . 3 . 16 15 - 16 . 4 - 16 . 13 - 16 . 16 c - p . b - p . a - p . p =====TA

5.- Resuelve el triángulo ABC según la siguiente figura

A

B a = 62,5

924989,0

955563 41,

924989 ,0

671289 0, . 5 62,

210' 112º

10' 42ºSen . 5 62,

Sen . a c

Sen

c

Sen

a ====⇒=SenSenα

ϕϕα

cm 36 45, 35790426 45, ≈=c

( ) ( ) 10' 42º 20' 112º - 180º - 180º - - 180º 180º +=+=⇒=⇒=++ ϕαβϕαβϕβα

30' 25º 30' 154º - 180º ==β

924989,0

90944 26,

924989,0

430511 0, . 5 62,

20' 112º

30' 25ºSen . 5 62,

Sen . a b

Sen

b

Sen

a ====⇒=SenSenα

ββα

cm 01 29, 08893 29, ≈=b

924989 0, . 2

671289 0, . 430511 0, . 25 3906,

20' 112ºSen . 2

0' 42ºSen . 30' 25ºSen .) 5 62, (

Sen 2

Sen . Sen . a

22

===α

ϕβTA

2cm 22 610,

849978,1

896781 1128, ==TA

6.- Resuelve el triángulo oblicuángulo en donde

40

112° 20’42°10’ C

c = 628 cm b = 480 cmϕ= 55° 10’

628

99218 393,

628

820818 0, . 480

628

10' 55ºSen . 480

Sen . b Sen

sen

c

Sen

b ====⇒=c

ϕβϕβ

24" 51' 38º 627376 0, =⇒= ββSen

( )ϕβϕβαϕβα - 180º - - 180º 180º +==⇒=++

( ) 36" 58' 85º 24" 1' 94º - 180º 10' 55º 24" 51' 38º - 180º ==+=α

820817 ,0

626,452333

820817 ,0

997536 0, . 628

10' 55º

36" 58' 85ºSen . 628

Sen . c a

Sen

c

Sen

a ====⇒=SenSenϕ

αϕα

2cm 21 763, 2058443 763, ≈=a

2cm 56 150348, 2

12 300687,

2

36" 58' 85ºSen . 480 . 628

2

Sen . c . b ==== α

TA

7.- Resuelve triángulo oblicuángulo en donde a = 525 cm, c = 421 cm y el ángulo α = 130° 50’

525

756615 0, . 421

525

50º 130ºSen . 421 Sen

Sen . c Sen

Sen

c

Sen

a ==⇒=⇒= ϕαϕϕα a

13" 21' 37º 606733 0, 525

534824 318, =⇒== ϕϕSen

41

( ) ( )13" 21' 37º 50' 130º - 180º - 180º - - 180º 180º +=+=⇒=⇒=++ βαβϕαβϕβα 49" 48' 11º 13" 11' 168º - 180º ==β

756615 ,0

1074807

756615 ,0

204729 0, . 525

50' 130º

49" 48' 11ºSen . 525 b

Sen . a b

Sen

b

Sen

a ===⇒=⇒=SenSenα

ββα

cm 06 142, =b

2

22723 45250,

2

204729 0, . 421 . 525

2

49" 48' 11ºSen . 421 . 525

2

Sen . c . a ==== β

TA

2cm 22625 11361 22625, ≈=TA

EJERCICIOS

Resuelve cada uno de los siguientes triángulos oblicuángulos, sabiendo que

1.- a = 125 cm 2.- c = 25 cm α = 54° 40’ α = 35° β = 65° 10’ β = 68°

3.- b = 275 cm 4.- b = 215 cm α = 125° 40’ c = 150 cm ϕ = 48° 50’ β = 42° 40’

5.- a = 512 cm 6.- b = 50,4 cm b = 426 cm c = 33,3 cm α = 48° 50’ β = 118° 30’

7.- b = 40,2 cm 8.- b = 51,5 cm a = 31,5 cm a = 62,5 cm

42

β = 112° 20° β = 40° 40°

9.- a = 320 cm 10.- b = 120 cm c = 475 cm c = 270 cm α = 35° 20’ α = 118° 40’

11.- a = 24,5 cm 12.- a = 6,34 cm b = 18,6 cm b = 7,30 cm c = 26.4 cm c = 9,98 cm

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo que aparezca en la igualdad.

Existen varios métodos para demostrar las identidades trigonométricas; pero aplicaremos el más sencillo, además también algunas sugerencias muy importantes y que se pueden seguir.

Es recomendable, expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y del coseno y efectuar las operaciones indicadas, en uno sólo de los dos miembros de la igualdad hasta llegar al otro. Si no se consigue este propósito entonces se debe aplicar los mismos artificios en el otro miembro.

PASOS GENERALES PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES

1. Conocer las ocho (8) relaciones básicas y sus formas alternativas, es decir, con sus respectivos despejes si los tuviera.

2. Conocer los procedimientos de adición y sustracción, cálculo del m.c.m. para reducir, transformar las fracciones obtenidas en otras equivalentes.

3. Conocer las técnicas de la factorización y de los productos notables.

4. Usar sólo procedimientos de sustitución y de simplificación que permitan trabajar solamente en uno de los dos miembros la identidad.

5. Seleccionar el lado de la igualdad que parezca ser el más complicado, e intentar transformarlo en el otro.

6. Si decides trabajar en ambos lados de la igualdad, debes hacerlo en forma independiente, es decir, sin transposiciones de términos.

43

7. Evitar sustituciones que introduzcan raíces.

8. Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que contengan únicamente senos y cosenos y luego simplificar (siempre en un solo lado).

9. Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el conjugado de cualquiera de ellos.

10. Simplificar la raíz cuadrada de una fracción usando conjugados para transformarla en el cociente con cuadrados perfectos.

EJEMPLOS

Demostrar cada una de las siguientes identidades trigonométricas:

1.-

xCos . x

x Cos 2 Sen x Ctg . 2 x

22

SenTag

+=+

xCos . x

x Cos 2 x Sen

x

x Cos 2

xCos

Sen x 2

SenSen

+=+

m.c.m. = Sen x . Cos x.

xCos . x

x Cos 2 x Sen

xCos . x

x Cos 2 x Sen 2222

SenSen

+=+ l.q.q.d.

2.-

xCos

x Csc x Ctg x =+Tag

xCos

x Csc

Sen x

x Cos

xCos

Sen x =+

m.c.m. = Sen x . Cos x

x

x Csc

xCos . x

x Cos Sen 2 2

CosSen

x =+

CosxSen

x Csc

xCos . x

1 =

44

x

x Csc

xCos

1 .

Sen x

1

Cos=

x

x Csc

xCos

1 . x

CosCsc =

x

x Csc

x

x Csc

CosCos=

3.-

Sen x xTag x

x Sec =+Ctg

Sen x

xCos

Sen x

Sen x

x Cos

xCos

1

=+

Sen x

xCos . x

xSen x Cos

xCos

1

22=

+Sen

Sen x

x Cos .Sen x

1

xCos

1

=

Sen x xCos

x Cos .Sen x =

Sen x x =Sen

4.-

Sen x

x Cos - 1

xCos 1

Sen x =+

Se multiplica y se divide el primer miembro por la expresión conjugada del denominador

Sen x

x Cos - 1

xCos - 1

x Cos - 1 .

xCos 1

Sen x =+

( )

( ) ( ) x

x Cos - 1

xCos - 1 . Cosx 1

xCos - 1 .Sen x

Sen=

+

45

( )

x

x Cos - 1

xCos - 1

xCos - 1 .Sen x 2 Sen

=

( )

x

x Cos - 1

x

xCos - 1 .Sen x 2 SenSen

=

x

x Cos - 1

Sen x

x Cos - 1

Sen=

5.-

xTag x

1

xTag x

x Tag - x Sec

+=

+ SecSec

Como el lado izquierdo tiene raíz, se multiplica y se divide la fracción de la cantidad sub-radical por la conjugada de cualquiera de los elementos de la fracción radical. En este ejercicio se usará la expresión conjugada del numerador.

xTag x

1

xTag x Sec

x Tag x Sec .

xTag x

x Tag - x Sec

+=

++

+ SecSec

( ) x Tag x

1

xTag x Sec

x Tag - x Sec

2

22

+=

+ Sec

( ) xTag x

1

xTag x

1 2 +

=+ SecSec

xTag x

1

xTag x

1

+=

+ SecSec

6.-

xSen 2 x 2Sen . 2=xTag

xSen 2 x Cos .Sen x . 2 . xCos

Sen x 2=

x Sen 2 Sen x . 2 . x 2=Sen

xx 22 sen . 2 sen . 2 =

7.- Cos 2 x = Cos4 x – Sen4 x.

46

Cos 2 x = (Cos2 x + Sen2 x) . (Cos2 x - Sen2 x)

Cos 2 x = 1 . (Cos2 x – Sen2 x)

Cos 2 x = Cos2 x – Sen2 x.

Cos 2x = cos 2 x.

8.-

x2Sen x

x 2 Cos 1 =+Ctg

x2Sen

x

x Cos x Sen - x Cos 1 22

=+

Sen

( )

x2Sen

x

x Cos xCos - 1 - x Cos 1 22

=+

Sen

x2Sen

Sen x

x Cos x Cos 1 - x Cos 1 22

=++

x2Sen

x

x Cos x Cos x Cos 22

=+

Sen

x2Sen

x

x Cos x Cos 2 2

=

Sen

x2Sen

x

x Cos 1

x Cos 2

2

=

Sen

x2Sen x

x Cos 2 .Sen x 2

=Cos

x2Sen x Cos .Sen x . 2 =

Sen 2 x = Sen 2 x

9.-

47

xTag - 1

x Tag 1

x2Sen - 1

x 2 Cos +=

xSen x

- 1

xSen x

1

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos 22

Cos

Cos+

=

xCos

Sen x - x Cos xCos

Sen x x Cos

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos 22+

=

xCos - x

Sen x x Cos

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos 22

Cos

+=

Sen x - x Cos

Sen x - x Cos .

Sen x - x

Sen x x Cos

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos 22

Cos

+=

x Sen Sen x . x Cos 2 - x

x Sen - x Cos

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos 22

2222

+=Cos

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos

xCos .Sen x 2 - 1

x Sen - x Cos 2222

=

10.-

1

1 - x Tag

xCsc x

x Csc - x Sec

+=

+ xTagSec

1 x

1 - x Tag

Sen x

1

xCos

1

Sen x

1 -

xCos

1

+=

+ Tag

1 x

1 - x Tag

xCos .Sen x

x Cos Sen x xCos . x

x Cos -Sen x

+=

+ TagSen

1

x

Sen x

1 - x

Sen x

xCos x

x Cos -Sen x

+=

+Cos

CosSen

48

x

x Cos Sen x

xCos

x Cos -Sen x

xCos x

x Cos -Sen x

CosSen +

=+

x Cos x

x Cos -Sen x

xCos x

x Cos -Sen x

+=

+ SenSen

EJERCICIOS

Demostrar cada una de las siguientes identidades trigonométricas.

1.-

1 x

x Cos

x

Sen x =+SecCsc

2.-

Sen x x Ctg x

x Sec =+Tag

3.-

Sen x 1

x Cos

Sen x - 1

+=

Cosx

4.-

Sen x 1

x Cos

x Tag x

1

+=

+Sec

5.-

xSec -

x Csc x Sec

xCos -

x Cos Sen x

xSecxSen

+=+

6.-

x Tag 1

Tag - 1 x Sen 2 - 1

2

22

+= x

7.-

49

x

Sen x 2 Cos x Cos x Tag 2

2

Cos

+=+

8.-

xTag . x Sem xCs x

x Tag Sen x =++

Ctg

9.-

xCos x

Cos x Sen

xTag - 1

x 2 Cos . x Tag 33

2 ++=

Sen

x

10.-

x

x Cos 1

xCos 1

Sen x x Csc 2

Sen

+++

=

11.-

x Cos 1

x Sec

x

Sen x - x Tag 3 +

=Sen

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Las ecuaciones trigonométricas, es decir, as ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, se llaman:

a) Ecuaciones idénticas o identidades. Si se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos, cuyas funciones están definidos.

b) Ecuaciones condicionales, o simplemente, ecuaciones. Si solo se satisfacen en ciertos valores de los ángulos desconocidos.

Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las cuales la incógnita aparece como un ángulo de funciones trigonométricas cuyas soluciones pertenecen al intervalo 0° ≤ x ≤ 360º.

No existe un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se recomienda, transformar toda la ecuación de manera que quede expresada en términos de una sola función trigonométrica y luego resolverla como una ecuación algebraica cualquiera.

Muchas veces, se obtienen soluciones extrañas, por lo tanto se deben comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Además hay que recordar que las funciones trigonométricas repiten sus valores en los cuatro cuadrantes del plano de coordinadas rectangulares, siendo positivas en dos de ellos y negativa en los otros dos, es decir, hay dos cuadrantes en las que el valor de un ángulo de función trigonométricas tiene el mismo valor y signo.

50

EJEMPLOS:

1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas.

a) Sen x = Sen 80º

Para que se cumpla la igualdad, la medida del ángulo x debe ser igual a 80º

x = 80º

b) Cos x = Cos (60º - x)

para que la expresión se cumpla, es necesario que:

x = 60º - x

x + x = 60º

2 x = 60º

x = 2

60º

x = 30º

c)

= x 2 -

2

Tag x

πTag

= x 2 -

2

180º Tag x Tag

( ) x 2 - 90º Tag x =Tag

2x - 90º =x

90º x 2 =+x

3 x = 90º

3

90º =x

30º =x c) 2 Sen x = 1

51

Sen x = 2

1

El seno de un ángulo es 2

1 , cuando dicho ángulo es 30º, además el seno es positivo también en

el segundo cuadrante, por lo tanto, para encontrar el otro ángulo, se toma:

α + β = 180º

α = 180º - b = 180º - 30º = 150º

x = 30º, 150º

e) 2 Cos x = Ctg x

2 Cos x = x

x Cos

Sen

2 Cos x . Sen x = Cos x

2 Sen x = xCos

x Cos

2 Sen x = 1

Sen x = 2

1

Las soluciones son las del ejercicio d) x = 30º, 150º

f)

xSec x =Csc

xCos

1

Sen x

1 =

1 x

x Cos =Sen

Ctg x = 1

Por ser positivo el resultado, las soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrante, en donde la Ctg x es positiva.

En el primer cuadrante x = 45º

52

Para el tercer cuadrante:

α − β = 180º

α = 180º + 45º = 225º

Soluciones:

=+=

=

225º 45º 180º x

III

45º

I

C

C

x

g)

0 1 x Tag . x Cos 2 =−

0 1 - x

Sen x . x Cos 2 =Cos

2 Sen x - 1 = 0

2 Sen x = 1

Sen x = 2

1

Las Soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrantes, por ser el resultado positivo

Soluciones:

==

=

150º 30º - 180º

30º x

IC

x

II c

h)

4 Cos2 x = 3 – 4 Cos x

4 Cos2 x + 4 Cos x – 3 = 0

Esta ecuación se resuelve aplicando la resolvente por ser un una ecuación de 2º grado:

a = 4, b = 4 y c = - 3

53

( ) ( )

( ) 8

64 4 -

8

48 14 4 -

4 . 2

3 - . 4 4 - 4 4 -

a . 2

c . a . 4 - b b - x

22 ±=+±=±

=±=Cos

8

8 4 - x

±=Cos

2

1

8

4

8

8 4 - x1 ==+=Cos

2

3 -

8

12 -

8

8 - 4 - x 2 ===Cos (esta solución es extraña pregúntale al profesor)

La solución es 2

1 x1 =Cos

Soluciones:

==

=

300º 60º - 360º

IV

60º

c

x

x

IC

g) 3 + 3 cos x = sen2 x

3 + 3 Cos x = 1 – Cos2 x

por ser una ecuación cuadrática, se debe igualar a cero y además el polinomio de la ecuación se ordena en forma decreciente

Cos2 x + 2 Cos x + 3 – 1 = 0

Cos2 x + 3 Cos x + 2 = 0

a = 1; b = 3 y c = 2

( ) ( )

2

1 3 -

2

8 - 9 3 -

1 . 2

2 . 1 . 4 - 3 3 -

a . 2

c . a . 4 - b b - x

22 ±=±=±

=±=Cos

2

1 3 - x

±=Cos

1 - 2

2 -

2

1 3 - x1 ==+=Cos

2 - 2

4 -

2

1 - 3 - x 2 ===Cos (Solución extraña) ¿Por qué?

54

h) Cos x + 2 Sen2 x = 1

Cos x + 2(1 – Cos2 x ) = 1

Cos x + 2 – 2 Cos2 x = 1

- 2 Cos2 x + Cos x + 2 – 1 = 0

- 2 Cos2 x + Cos x + 1 = 0

a = - 2; b = 1 y c = 1

( ) ( )( ) 4

9 1

4

8 1 1 -

2 - . 2

1 . 2 - 4 - 1 1 -

a . 2

c . a . 4 - b b - x

22

−±=

−+±=

±=±=Cos

4

3 1 - x

−±=Cos

2

1 -

4

2 -

4

3 1 - x1 ==

−+=Cos (solución negativa, los ángulos que dan solución a la

ecuación pertenecen a los cuadrantes: )IIIy CCII .

1 1 4 -

4 -

4

3 - 1 - x 2 =+==

−=Cos (Solución positiva, los ángulos que solucionan a

la ecuación se ubican en los cuadrantes: ).IVy cCI

soluciones :

=

=+=

==

=

360º x

IV

240º 60º 190º

III

120º 0º 6 - 180º

II

0º

c

c

c

x

x

x

I c

EJERCICIOS:

55

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

1.- Sen x – 2 Sen x . Cos x = 0

2.- 3 Cos3 x = Sen2 x

3.- 2 Sec x = Tag x + Ctg x

4.- 2 Cos x = 1 – Sen x

5.- 2 Sen x + Csc x = 2

6.- Cos x + Cos 2 x = 0

7.- 2 Cos2 x – 3 Sen2 x = 0

8.- 2 Sen2 x + Cos x = 1

56

trigonometrí1

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