trigonometrÍa cpr. jorge juan xuvia-narón · 2015-10-29 · trigonometría departamento...

trigonometría Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 215 Leopoldo E. Álvarez

TRIGONOMETRÍA CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas secantes. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el punto donde éstas se cortan se denomina vértice del ángulo. La amplitud de un ángulo es su abertura. En función de ella los ángulos se clasifican en:

Agudo Su abertura es menor de 90º. Recto Su abertura es 90º. Obtuso Su abertura es mayor de 90º

Llano Su abertura es 180º.

Para medir un ángulo se utiliza distintos tipos de unidades:

Grado Sexagesimal, º Es el resultante de dividir un ángulo recto en, 90 partes iguales.

Si se divide un grado en, 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un minuto, ‘.

1º son 60’

Si se divide un minuto en, 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un segundo, “. 1’ son 60” Un ángulo sexagesimal se mide pues es grados, minutos y segundos.

Las unidades para medir ángulos aumentan o disminuyen de 60 en 60. Por esta razón a este sistema se le denomina sistema sexagesimal.

Radián

Ángulo al que le corresponde un arco de circunferencia cuya longitud es coincidente con el radio de la misma.

Un radián aproximadamente equivale a un ángulo de, 57’3º.

En esta unidad angular se verifica arco= ángulo . radio

De esta expresión se deduce el ángulo central que le corresponde a una circunferencia 2r= .r → = 2 radianes


Dados dos ángulos se dicen: Consecutivos Si comparten un lado y el vértice. La medida del ángulo que forman es la suma de los dos ángulos.

Opuestos Si comparten el vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales numéricamente.

Complementarios Si suman, 90º, es decir, entre los dos forman un ángulo recto.

Suplementarios Si suman, 180º, es decir, entre los dos forman un ángulo llano.

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo, , sea: r radio de la circunferencia.

P(x,y) punto genérico de la circunferencia, cuyas

coordenadas, x,y, están referidas a un sistema de referencia cartesiano, O,X,Y, cuyo origen coincide con el centro de dicha circunferencia.

ángulo que forman la semirrecta que une el origen del

sistema de referencia, O,X,Y, con el punto genérico de la circunferencia, P(x,y), y el semieje positivo del eje, X, del sistema de referencia cartesiano, O,X,Y.

Se definen entonces:

sen = cateto opuesto y

hopotenusa ro

cos = cateto contiguo x

hopotenusa ro

tg = cossen y cateto opuesto

x catooeto contiguo

ctg = 1 cos

sx cateto contiguo

tg sen y catetooo opuesto

sec = 1

cosr hipotenusax cateto cont guoo i

cosec = 1 r hipotenusa

sen y cateto opuo esto

Por la semejanza de los triángulos, OA’A, y, OB’B, las razones trigonométricas son independientes del radio de la circunferencia con la que se trabaje


Cada una de estas razones trigonométricas tienen una interpretación geométrica sobre la circunferencia, las cuales se deducen a partir de la semejanza de triángulos: Sea una circunferencia de radio, OP= 1

sen = MPOP

= MP

cos = OMOP

= OM

tg = MP AQ AQOM OA OP

= AQ

cotg = OM BR BRMP OB OP

= BR

sec = OP OQ OQOM OA OP

= OQ

cosec = OP OR ORMP OB OP

= OR

La gráfica que le corresponde a cada razón trigonométrica es: sen cos


tg cotg sec cosec

Los valores máximos y mínimos de las distintas razones trigonométricas, se observan en sus gráficas, y se producen en los ángulos divisorios de los cuadrantes en que se divide la circunferencia. Sus valores se deducen teniendo en cuenta los valores máximos y mínimos que pueden tomar las magnitudes que los definen, siendo éstos:

0º 90º 180º 270º 360º0 1 0 1 01 0 1 0 10

cos

cot0 0

0 01 1 1

1secco 1s

sen

tgg

ec

Asimismo los signos que les corresponden a estas funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes se deduce atendiendo a los signos que toman los valores de las variables, x= cos , y= sen , en ellos.

cos cot sec cos12º34º

er

er

cuadrantecuadrantecuadrante

sen tg g

cuadra te

ec

n


Los valores de algunas de las razones trigonométricas del primer cuadrante son:

0º 30º 45º 60º 90º

1 2 30 12 2 23 2 11 0cos

cot

sec

cos

2 2 230 1 3

333 1 0

32 31 2 2

32 32 2 1

3

sen

tg

g

ec

De las definiciones de las razones trigonométricas se deducen las primeras fórmulas trigonométricas: sen2 + cos2 = 1

Elevando al cuadrado las expresiones que definen a las razones trigonométricas, seno y, cos

ysenr

2

22

ysenr

cos xr

2

22cos x

r

sumando estos dos últimas expresiones miembro a miembro, se deduce una des las fórmulas trigonométricas básica para el desarrollo del resto de la trigonometría

2 2 2 2 2

2 22 2 2 2cos 1y x y x rsen

r r r r

tg2 + 1= sec2

Si se divide cada miembro de la identidad anterior por un mismo factor, la igualdad se mantiene. Utilizando como factor divisor al cuadrado del coseno, se deduce

2 2

2 2

cos 1cos cos

sen

rompiendo la fracción del primer miembro

2 2

2 2 2

cos 1cos cos cossen


aplicando propiedades de potencias se escribe

2 211

cos cossen

aplicando la definición de las razones trigonométricas (tg )2 + 1= (sec )2

que se puede escribir en la forma tg2 + 1= sec2 1 + ctg2 = cosec2 Utilizando como factor divisor al cuadrado del seno, se deduce

2 2

2 2

cos 1sensen sen

rompiendo la fracción del primer término

2 2

2 2 2

cos 1sensen sen sen

aplicando propiedades de potencias se escribe aplicando la definición de las razones trigonométricas 1 + (ctg )2= (cosec )2

que se puede escribir en la forma 1 + ctg2 = cosec2 A partir de estas primeras fórmulas trigonométricas se pueden escribir todas las razones trigonométricas de un ángulo en función de la función trigonométrica seno o de la función trigonométrica tangente. seno tangente

2cos 1 sen 2

.cossec 1tg tgsen tg

tg

2cos 1

sen sentgsen

2

1 1cossec 1 tg

2cos 1cot

sseng

sen en

2sec 1 tg

2 2cos 11sen sen


2

1 1seccos 1 sen

211sec

tgcosen tg

Conocidas las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante es posible determinar las razones trigonométricas de ángulos de los otros cuadrantes que están relacionados con el del primero. Estos ángulos de los que se pueden determinar sus razones trigonométricas conocidas las de un ángulo, , del primer cuadrante son:

Ángulos Complementarios

Dos ángulos, , y, , son complementarios si se verifica += 90º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos complementarios los puntos A y B son simétricos respecto de la bisectriz del primer cuadrante, por lo que:

la ordenada, y= AA’, ó valor del seno del ángulo, , es igual a la abscisa, x’= BB’, ó valor del coseno del ángulo, = 90º-.

y= x’

la abscisa, x= OA’, o valor del coseno del ángulo, , es igual a la ordenada, y’= OB’, del ángulo, = 90º-

x= y’

La relación existente entre sus razones trigonométricas es

sen = sen (90-)= 'y x

r r = cos

cos = cos (90-)= 'x y

r r = sen

tg = tg(90-)= cos

cossen

sen = cotg

ctg = ctg(90-)= cos

cossen

sen = tg

sec = sec(90-)= 1 1

cos sen = cosec

cosec = cosec(90-)=1 1

cossen = sec


Ángulos Suplementarios

Dos ángulos, , y,, son suplementarios si se verifica

+= 180º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos suplementarios los puntos P y P’ son simétricos respecto al eje de ordenadas, Y, por lo que:

la ordenada, y= QP, ó valor del seno del ángulo, , es igual a la ordenada, y’= Q’P’, ó valor del coseno del ángulo, = 180º-.

y= y’

la abscisa, x= OQ, o valor del coseno del ángulo, , es opuesta a la abscisa, x’= OQ’, del ángulo, = 180º-

x= -x’


sen = sen (180-)= 'y y

r r = sen

cos = cos (180-)= 'x x

r r

= -cos

tg = tg(180-)= cos cossen sen

= -tg

ctg = ctg(180-)= cos cossen sen

= -ctg

sec = sec(180-)=1 1

cos cos

= -sec

cosec = cosec(180-)= 1 1

sen sen = cosec

Ángulos que se diferencian en 90º

Dos ángulos, , y,, se diferencian en 90º si se verifica = +90º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos que se diferencian en 180º los puntos P y P’ son simétricos y opuestos respecto del eje de abscisas, X, por lo que:


la ordenada, y, ó valor del seno del ángulo, , es igual a la opuesta de la abscisa, x’, ó valor del seno del ángulo, = 90º+.

y= -x’

la abscisa, x, ó valor del coseno del ángulo, , es igual a la ordenada, y’. ó valor del seno del ángulo, = 90º+

x= y’


sen = sen (90+)= 'y x

r r = cos

cos = cos (90+)= 'x y

r r

= -sen

tg = tg(90+)= coscossen

sen

= -ctg

ctg = ctg(90+)= cos

cossen

sen

= -tg

sec = sec(90+)= 1 1

cos sen = -cosec

cosec = cosec(90+)= 1 1

cossen = sec

Ángulos que se diferencian en 180º

Dos ángulos, , y, , se diferencian en 180º si se verifica

= +180º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos que se diferencian en 180º los puntos P y P’ son simétricos y opuestos respecto del eje de abscisas, X, por lo que:

la ordenada, y= QP, o valor del seno del ángulo, , es opuesta a la ordenada, y’= Q’P’, o valor del seno del ángulo, = 180º+.

y= -y’

la abscisa, x= OQ, o valor del coseno del ángulo, , es opuesta a la abscisa, x’= OQ’, del ángulo, = 180º+

x= -x’



sen = sen (180+)= 'y yr r

= sen

cos = cos (180+)= 'x xr r

= -cos

tg = tg(180+)= cos cossen sen

= tg

ctg = ctg(180+)= cos cossen sen

= ctg

sec = sec(180+)= 1 1

cos cos

= -sec

cosec = cosec(180+)= 1 1sen sen

= -cosec

Ángulos Opuestos

Dos ángulos, , y,, son opuestos si se verifica += 360º

Se dibuja una circunferencia de radio, r, con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Se observa que en los ángulos opuestos los puntos P y P’ son simétricos respecto al eje de abscisas, X, por lo que:

la ordenada, y= QP, o valor del seno del ángulo, , es opuesta a la abscisa, y’= Q’P’, o valor del seno del ángulo, = 360º-.

y= -y’

la abscisa, x= OQ, o valor del coseno del ángulo, , es igual a la abscisa, x’= OQ’, del ángulo, = 360º-

x= x’


sen = sen (360-)= sen (-)='y y

r r

= -sen


cos = cos (360-)= cos (-)='x x

r r = cos

tg = tg(360-)= tg (-)=cos cossen sen

= -tg

ctg = ctg(360-)= Ctg (-)=cos cossen sen

= -ctg

sec = sec(360-)= sec (-)=1 1

cos cos = sec

cosec = cosec(360-)= cosec (-)=1 1

sen sen

= -cosec

Si se tienen en cuenta estas últimas expresiones y la que proporciona la definición del producto escalar de dos vectores, a, y, b, en la que viene implícito el coseno del ángulo, , que dichos vectores, a, y, b, forman entre sí, se obtiene la expresión del: Coseno de la diferencia de dos ángulos

Se dibuja una circunferencia de radio unidad con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y. Las coordenadas cartesianas de los puntos, A, y, B, en este sistema coordenado vienen dadas por las expresiones

A(x,y)= A(cos, sen ) B(x’,y’)= B(cos, sen )

En estas condiciones se tiene: O(0,0) Origen del sistema de coordenadas cartesiano,

O, X, Y, y centro de una circunferencia de radio unidad, sobre la que van a estar situados los extremos de los vectores, a,b.

a,b Vectores de módulo unidad, con origen es el punto, O, extremo situado sobre la circunferencia de radio unidad. A(x,y), B(x',y')

Coordenadas de los puntos extremos de los vectores, a,b, en el sistema de coodenadas rectangulares, O, X, Y.

(cos , sen )

(cos , sen )


, ángulos que los vectores, a,b, forman respectivamente con el semieje positivo, X, del sistema de coordenadas cartesiano, O, X, Y.

Las coordenadas de los puntos, A, y, B, en el sistema de coordenadas rectangular, O, X, Y, son:

cos

1

1

x

ysen

A(x,y)= A(cos ,sen )

'cos1'

1

x

ysen

B(x',y')= B(cos , sen )

las componentes de los vectores, a, y, b, en el sistema de coordenadas rectangular, O, X, Y, vienen dadas por

a= A-O= (cos ,sen )-(0,0)= (cos ,sen ) b= B-O= (cos , sen )-(0,0)= (cos , sen )

el producto escalar de estos dos vectores, a,b, en el sistema de coordenadas rectangular, O, X, Y, y que es un sistema ortonormal se puede escribir mediante las expresiones

a.b= a.b.cos (-)= 1.1.cos (-)= cos (-)

Por otro lado este mismo producto escalar en el sistema ortonormal, O, X, Y, se puede desarrollar según la expresión:

a.b= (cos ,sen ).(cos , sen )= cos .cos + sen .sen

igualando ambos resultados se deduce

cos (-)= cos .cos + sen .sen expresión de la que se deducen: Coseno de la suma de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del: Desarrollo del coseno de la diferencia cos (-) Desarrollo de los ángulos opuestos sen (360º - )= sen (-)=-sen cos (360º - )= cos (-)=cos se tiene entonces

cos (+)= cos (-(-))= cos .cos (-) + sen .sen (-)= cos .cos + sen .(-sen )= cos .cos - sen .sen

Su demostración geométrica sería para una circunferencia gonomiométrica, o circunferencia de radio, r= OA= OB= 1, en la que se verifican las igualdades:

cos = OSON

OS= ON.cos (1)

cos = RSMN

RS= MN.cos (2)


cos = NBMB

NB= MB.cos (3)

sen = MNMB

MN= MB.sen (4)

cos = 1

O O OOB

N N N (5)

sen = 1

N NB

NB B BO

(6)

de donde se tiene (1) (2) (5)

cos (+)=1

OR OOB

R = OR= OS - RS= ON.cos - MN.cos =

(4) (3) cos .cos - MB.sen .cos = cos .cos - NB.sen = (6)

cos .cos - sen .sen cos (+)= cos .cos - sen .sen Seno de la diferencia de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del: Desarrollo del coseno de la suma cos (+) Desarrollo de los ángulos complementarios sen (90º - )= cos cos (90º - )= sen se tiene entonces: sen (-)= cos (90 - (-))= cos((90-) + )= cos (90-).cos - sen (90-).sen = sen .cos - cos .sen sen (-)= sen .cos - cos .sen Seno de la suma de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del: Desarrollo del seno de la diferencia sen (-) Desarrollo de los ángulos opuestos sen (360º - )= sen (-)= -sen cos (360º - )= cos (-)= cos se tiene entonces: sen (+)= sen (- (-))= sen .cos (-) – cos .sen (-)= sen .cos - cos .(-sen )= sen .cos + cos .sen


sen (+)= sen .cos + cos .sen Tangente de la suma de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del: Desarrollo del seno de la suma sen (+) Desarrollo del coseno de la suma cos (+) se tiene entonces:

cos .cos .

cos cos

cos.

.

.coscos

c.coscos

.

.

cos.co

ocos .

s

ssensen

sensen

sensentg

se

sensen

n

cos .cos cos .cos cos cos

ccos .cosos .cos cos .cos cos .cos

.cos cos

1

.

1. . .se sen se

sen sentg

n sen tg

sen sg

tg

e

n

nt

1 .tg tgtg

tg tg

Tangente de la diferencia de dos ángulos Se deduce su expresión a partir del: Desarrollo de la tangente de la suma tg (+) Desarrollo del ángulo opuesto tg (360º-)= -tg se tiene entonces:

tg (-)= tg (+ (-))=( ) ( )

1 . ( ) 1 .( ) 1 .tg tg tg tg tg tg

tg tg tg tg tg tg

1 .tg tgtg

tg tg

Seno del ángulo doble Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo del seno de la suma sen (+) expresión en la que se igualan los dos ángulos, = . se tiene entonces: sen (2)= sen (+)= sen .cos + cos .sen = 2.sen .cos


sen (2)= 2.sen .cos Coseno del ángulo doble Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo del coseno de la suma cos (+) expresión en la que se igualan los dos ángulos, = . se tiene entonces: cos (2)= cos (+)= cos .cos - sen .sen = cos2 - sen2

teniendo en cuenta que los cuadrados del seno y del coseno están relacionados por la expresión

sen2 cos2 = 1 y que cada uno de ellos se puede escribir en función del otro según: sen2 = 1 - cos2 cos2 = 1 - sen2

se tienen para el desarrollo del coseno del ángulo doble dos expresiones más que vienen dadas por:

cos (2)= cos2 - sen2 = (1 - sen2 ) - sen2 = 1 - sen2 - sen2 =1 - 2sen2 ó cos (2)= cos2 - sen2 = cos2 - (1 - cos2 )= cos2 - 1 + cos2 = 2cos2 - 1

cos (2)= cos2 - sen2 = 1 - 2sen2 = 2cos2 - 1 Tangente del ángulo doble Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo de la tangente de la suma tg (+) expresión en la que se igualan los dos ángulos, = . se tiene entonces:

tg (2)= tg (+)= 2

21 . 1tg tg tg

tg tg tg

2

221

tgtgtg


Seno del ángulo mitad Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo del coseno del ángulo doble cos 2= 1 - 2sen2 llamando

A= 2 = 2A

en la expresión del coseno del ángulo doble: cos 2= 1 - 2sen2 se hace el cambio anterior

cos A= 1 - 2sen2 2A

despejando de esta expresión el término que contiene a la razón trigonométrica seno

2sen2

2A

= 1 - cos A

sen2

2A

= 1 cos

2A

de donde

cambiando la letra, A, por la letra, , que es la utilizada habitualmente para los ángulos se tiene

Coseno del ángulo mitad Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo del coseno del ángulo doble cos 2= 2cos2 - 1 llamando

A= 2 = 2A

en la expresión del coseno del ángulo doble se: cos 2= 2cos2 - 1

1 cos2 2

sen

1 cos2 2A Asen


se hace el cambio anterior

cos A= 2cos2

2A

- 1

despejando de esta expresión el término que contiene al cuadrado de la razón trigonométrica coseno

2cos2

2A

= 1 + cos A

cos2 2A

= 1 cos

2A

de donde

cambiando la letra, A, por la letra, , que es la utilizada habitualmente para los ángulos se tiene

Tangente del ángulo mitad Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo del seno del ángulo mitad

sen 2

Desarrollo del coseno del ángulo mitad

cos 2

se tiene entonces:

1 cos2 1 cos

tg

1 coscos2 2A A

1 coscos2 2

1 cos 1 cos1 cos22 2

1 cos2 1 cos1 coscos2 22

sentg


Suma de tangentes Aplicando la definición de las razones trigonométricas se escribe

tg + tg = cos cossen sen

desarrollando la suma de estas fracciones

tg + tg = .co

cos coss cos .

cos .cossen sen sensen

teniendo en cuenta que el numerador de la fracción obtenida es el desarrollo del seno de la suma de ángulos, se tiene

tg + tg = .cos cos .

cos cos cos .cos cos .cos( )sen sen se e en s n s n

( )

cos .cossentg tg

Diferencia de tangentes Aplicando la definición de las razones trigonométricas se escribe

tg - tg = cos cossen sen

desarrollando la resta de estas fracciones

tg - tg = sen - sen sen cossen cos

cos cos cos cos teniendo en cuenta que el numerador de la fracción obtenida es el desarrollo del seno de la diferencia de ángulos, se tiene

tg - tg = .cos cos .

cos cos cos .cos cos .cos( )sen sen se e en s n s n

( )

cos .cossentg tg

Transformación de suma de senos en productos Llamando a + b= A a - b= B

sumando estas dos expresiones se tiene 2a= A + B de donde


2

A Ba

restando estas dos expresiones se tiene 2b= A - B de donde

2

A Bb

con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la suma de senos sen A + sen B= sen (a+b) + sen (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del seno de la suma y del seno de la diferencia se escribe

sen A + sen B= sen (a+b) + sen (a-b)= (sen a.cos b+cos a.sen b) + (sen a.cos b-cos a.sen b) eliminando los paréntesis y sumando los términos semejantes se reduce a sen A + sen B= sen a.cos b + cos a.sen b + sen a.cos b - cos a.sen b= 2.sen a.cos b escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

sen A + sen B= 2.sen 2

A B .cos 2

A B

cambiando la letra, A, por la letra, , y la letra, B, por la letra, , que son las utilizadas habitualmente para los ángulos se tiene

sen + sen = 2.sen 2

.cos

2

Transformación de resta de senos en productos Llamando a + b= A a - b= B


2

A Ba


2

A Bb


con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la resta de senos sen A - sen B= sen (a+b) + sen (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del seno de la suma y del seno de la diferencia se escribe

sen A - sen B= sen (a+b) - sen (a-b)= (sen a.cos b+cos a.sen b) - (sen a.cos b-cos a.sen b) eliminando los paréntesis y sumando los términos semejantes se reduce a sen A - sen B= sen a.cos b + cos a.sen b - sen a.cos b + cos a.sen b= 2.cos a.sen b escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

sen A - sen B= 2.cos 2

A B .sen 2

A B


sen sen = 2.cos 2

.sen

2

Transformación de suma de cosenos en productos Llamando a + b= A a - b= B


2

A Ba


2

A Bb

con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la suma de cosenos cos A + cos B= cos (a+b) + cos (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del coseno de la suma y del coseno de la diferencia se escribe

cos A + cos B= cos (a+b) + cos (a-b)= (cos a.cos b-sen a.sen b) + (cos a.cos b+sen a.sen b) eliminando los paréntesis y sumando los términos semejantes se reduce a


cos A + cos B= cos a.cos b - sen a.sen b + cos a.cos b + sen a.sen b= 2.cos a.cos b escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

cos A + cos B= 2.cos 2

A B.cos

2A B


cos + cos = 2.cos 2

.cos 2

Transformación de resta de cosenos en productos Llamando a + b= A a - b= B


2

A Ba


2

A Bb

con estas igualdades se puede desarrollar la expresión de la resta de cosenos cos A - cos B= cos (a+b) - cos (a-b)

teniendo en cuenta el desarrollo del coseno de la suma y del coseno de la diferencia se escribe

cos A - cos B= cos (a+b) - cos (a-b)= (cos a.cos b-sen a.sen b) - (cos a.cos b+sen a.sen b) eliminando los paréntesis y sumando los términos semejantes se reduce a cos A + cos B= cos a.cos b - sen a.sen b - cos a.cos b - sen a.sen b= -2.sen a.sen b escribiendo las letras, a, y, b, en función de las letras, A, y, B se tiene

cos A - cos B= -2.sen 2

A B.sen

2A B



cos cos = -2.sen 2

.sen

2

Otras expresiones

Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo de la transformación de la suma de senos en producto Desarrollo de la transformación de la resta de senos en producto

se tiene entonces:

cos 2cos .

2 .coscos 2

2 2

2s

sen s

esen

n

n

e

dividiendo por, 2, el segundo miembro y reescribiendo la fracción en forma de un cociente de fracciones se tiene

cos

2cos

2cos c

cos2 2

2

cos 22

.

2

os

.

22

sen

sense

sen sensenn

teniendo en cuenta la definición de la razón trigonométrica tangente

2 .coscos 2 2cos

2cos

22cos .

2 2 2

2

2

2cos

sensensen sen sen tg

sen

tg

cos 2cos

2

tgsensen tg

Teorema del seno

La longitud de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

2a b c RsenA senB senC

R radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.


Se considera el triángulo cuyos lados tienen las longitudes, a, b, y, c, respectivamente, y que tiene por ángulos, A, B, y, C.

Los lados y ángulos opuestos tienen la misma letra, distinguiéndose la de los lados por ser letras minúsculas, y la de los ángulos por ser letras mayúsculas. Se traza la altura de este triángulo, la cual tiene una longitud, h. La altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos y a la base en dos segmentos de longitudes, m, y, n. Se verifica:

Aplicando al triángulo rectángulo cuyos lados miden, a, m, y, h, siendo, a, su hipotenusa la definición de la razón trigonométrica, sen , se escribe

sen B= ha

de donde h= a.sen B

Análogamente aplicando al triángulo rectángulo cuyos lados miden, b, n, y, h, siendo, b, su hipotenusa, la definición de la razón trigonométrica, sen , se escribe

sen A= hb

de donde h= b.sen A igualando ambos resultados obtenidos para la longitud de la altura, h h= b.sen A= a.sen B= h expresión que en forma de razón o fracción se puede escribir

a b

senA senB

Se puede generalizar este resultado a la longitud del tercer lado del triángulo y su ángulo opuesto.

a b c k

senA senB senC

estas razones son iguales a una constante, k, llamada constante de proporcionalidad, k, y que gráficamente su valor coincide con el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo

Teorema del coseno

El cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados del triángulo menos el doble del producto de la longitud de estos dos lados por el coseno del ángulo que estos lados forman.


a2= b2+c2-2bc.cos A

Se considera el triángulo cuyos lados tienen las longitudes, a, b, y, c, respectivamente, y que tiene por ángulos, A, B, y, C.

Los lados y ángulos opuestos tienen la misma letra, distinguiéndose la de los lados por ser letras minúsculas, y la de los ángulos por ser letras mayúsculas. Se traza la altura de este triángulo, la cual tiene una longitud, h. La altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos y a la base en dos segmentos de longitudes, m, y, n. Se verifica:

m+ n= c expresión de la cual se deduce que m= c-n

Por ser rectángulo el triángulo cuyos lados miden, b, n, y, h, siendo, b, su hipotenusa se puede aplicar el teorema de Pitágoras por lo que se escribe

h2+n2= b2

Aplicando a este mismo triángulo la definición de la razón trigonométrica, cos , se escribe

cos A= nb

de donde n= b.cos A

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo cuyos lados miden respectivamente, a, m, y, h, siendo, a, su hipotenusa

a2= h2+m2= h2+(c-n)2 Se desarrolla el cuadrado de la suma y se escribe a2= h2+m2= h2+(c-n)2= h2+c2+n2-2cn teniendo en cuenta la expresión de, b2, obtenida anteriormente a2= h2+m2= h2+(c-n)2= h2+c2+n2-2cn = b2+c2-2cn teniendo en cuenta la expresión de, n, obtenida anteriormente a2= h2+m2= h2+(c-n)2= h2+c2+n2-2cn = b2+c2-2cn= b2+c2-2bc.cos A Teorema de las tangentes

La razón de la suma a la diferencia de la longitud de los lados de un triángulo es igual a la razón de la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos.


D

2

2

A Btga b

A Ba b tg

Se deduce a partir de la expresión del: Desarrollo del teorema del seno

a b c

senA senB senC

Desarrollo de las reglas de las proporciones

Desarrollo de la transformación de la suma de senos en productos.

sen + sen = 2.sen 2

.cos

2

Desarrollo de la transformación de la resta de senos en productos.

sen sen = 2.cos 2

.sen

2

aplicando estos conceptos a dos lados cualesquiera de un triángulo

a b

senA senBa b

senA sena b

senB A senB

reescribiendo las fracciones

a b senA sa b senA senB

enB

transformando la suma de senos y la resta de senos en productos

2 .cos

2 22cos .

2 2

A B A BsensenA seA B A BsenA senB

a ba b sen

nB

simplificando en esta expresión los doses, y teniendo en cuenta la definición de las funciones trigonométricas, tangente y cotangente

Teorema del cateto

La altura trazada sobre la hipotenusa divide a un triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos semejantes al primero.

cot22cos .

2 .cos2 2 2.

2 2 22

A BgA B A B A BsenA senB s

A B A B A Bsen tgsenA senB A Bta ba e

gn tgb


El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de este cateto sobre la hipotenusa a2= c.m b2= c.n

Cada uno de los catetos de un triángulo rectángulo es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.

.c a n c .b a m Aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos, BDA, y, DAC, se tiene c2= n2+h2= n2+m.n= n.(n+m)= n.a b2= m2+h2= m2+m.n= m.(m+n)= m.a

Teorema de la altura

La altura trazada sobre la hipotenusa divide a un triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos semejantes al primero.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo, ABC, es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

h2= m.n

La altura de un triángulo rectángulo considerando la hipotenusa como base es media proporcional o geométrica de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

.h m n

En el triángulo, ABC, rectángulo en el ángulo, C, la altura, h, sobre la hipotenusa determina los triángulos rectángulos, BDC, y, DAC. Estos triángulos tienen dos ángulos iguales, el ángulo recto y los ángulos, A, y, A*, ambos complementarios del ángulo, B. Estos triángulos son pues semejantes atendiendo al criterio 1 del teorema de Tales. Sus lados son proporcionales, verificándose:

o eo

lado de BDA m h alado de DAC h be n

De la primera igualdad se deduce la expresión del teorema de la altura h2= m.n

De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo dos son los catetos, b, y, a. La altura sobre la hipotenusa, c, está relacionada con los otros dos lados del triángulo por la expresión:

D


S= . .2 2

a b c h

de donde a.b= c.h

h= .a bc

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. a2= b2+c2

Si los lados de un triángulo verifican el teorema de Pitágoras, entonces el triángulo es rectángulo.

Se puede generalizar el teorema de Pitágoras a todo tipo de triángulos sin necesidad de que éstos sean rectángulos. Únicamente hay que hacer la distinción de si el lado a determinar es opuesto a un ángulo agudo ó a un ángulo obtuso:

El ángulo opuesto es agudo

a2= h2+(c-n)2= b2-n2+(c-n)2= b2-n2+c2+n2-2c.n= b2+c2-2c.n

El ángulo opuesto es obtuso

a2= h2+(c+m)2= b2-m2+(c+m)2= b2-m2+c2+m2+2c.m= b2+c2+2c.m

El cuadrado del lado opuesto:

A un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A un ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. A un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Teorema de Tales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corte a los otros dos lados determina un triángulo semejante al primero. Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Esta definición de semejanza aplicada a un triángulo obliga a que se cumplan seis condiciones, tres para los ángulos y tres para los lados. El teorema de Tales permite reducir el número de condiciones que deben de cumplirse para que dos triángulos sean semejantes, existiendo tres formas de elegir dichas condiciones, recibiendo cada una de ellas el nombre de criterio de semejanza.

a b

c h

m


Criterio 1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. A= A’ Criterio 2 Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

' ' 'a b c

a b c

Criterio 3

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

' 'b c

b c A= A’

Altura de un triángulo conocidos sus lados

En el triángulo, CMA, se cumple:

hc2= b2-m2= b2 - 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 2

4 4 4

b c a b c b c a bc b c ac c c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 . 2 2 . 24 4

bc b c a bc b c a bc b c a bc b c ac c

2 22 2

2 2

. . .( ).( )4 4

b c a a b c a b c b c a a b c a b cc c

de donde se obtiene el valor de la altura del triángulo sobre el lado, c, en función de la longitud de los lados del triángulo.

hc= . .( ).( )

2a b c b c a a b c a b c

c

El área del triángulo conocidos sus lados viene dada por la fórmula de Herón que se basa en el resultado anterior. Si tomamos el lado, c, del triángulo como base se tiene:

. .( ).( ).. . 2

2 2 2c

a b c b c a a b c a b ccbase altura c h cA

. .( ).( )

4a b c b c a a b c a b c


Fórmulas de Briggs Se deducen a partir de la expresión del: Desarrollo del teorema del coseno a2= b2+c2-2bc.cos A Desarrollo del seno del ángulo mitad

1 cos2 2

sen

Desarrollo del coseno del ángulo mitad

1 coscos

2 2

pasando el término del teorema del coseno que contiene la razón trigonométrica, cos A, al primer miembro

2bc.cos A= b2+c2-a2 despejando de ésta la razón trigonométrica

2 2 2

cos2

b c aAbc

se llama 2p= a+b+c despejando de ésta la variable, p, se tiene

2

a b cp

Gráficamente la variable, p, representa el semiperímetro del triángulo. En la expresión del seno del ángulo mitad

1 cos

2 2A Asen

( ).( )2 .( )A p c p btg

p p a

( ).( )2 .( )B p a p ctg

p p b

( ).( )2 .( )C p a p btg

p p c


elevando al cuadrado ambos miembros

2 1 cos2 2A Asen

quitando el denominador del segundo miembro de la expresión anterior

22. 1 cos2Asen A

sustituyendo en ella los resultados obtenidos hasta ahora

2

22 2

2. 1 12

cos2

b c aAnbc

Ase

desarrollando la fracción del segundo miembro de la expresión anterior

2 2 2 2 2

222 (

2 22.

2)1 b c a bc b c a

bA

c bcsen

eliminando los paréntesis en el numerador de la fracción obtenida

2 2 2 2 2

222 ( )2.

2 22

2Ase bc a b c a bn

bcc

bcc b

sacando factor común, -1, en el numerador de la fracción

22 2 22

22

2.2 2 2

22 b c bcb c bc aA asenbc bc

teniendo en cuenta que la expresión que está entre paréntesis es el desarrollo del cuadrado de una resta, se escribe

22 222

22.2 2 2

2b c bc b ca aAsenbc bc

el numerador que resulta en la fracción anterior es una diferencia de cuadrados, por lo que su expresión proviene del producto de una suma por una diferencia. Se escribe entonces

2 2 (

2) . ( ))

2( a b cbc b

a b ca cc

b

quitando los paréntesis en los corchetes del numerador de la fracción anterior se tiene

2 2 ( ) . (( )

2 2 2) ( ).( )a b c

bc bc ba b c a b c a b c a b

cc

sumando en cada uno de los paréntesis del numerador un cero en forma de una letra sumada y restada, de forma que en cada uno de ellos aparezca escrita la suma de las longitudes de los tres lados del triángulo, a+b+c.


2 2 ( ).(( )

2 2 2) ( ).( )a b c

bc ba b c a b c a b c c c a c b

cb

cb

b

teniendo en cuenta la definición de la variable, p, se escribe

2 2 ( ).( 2) ( 2 ).( 2 )( )

2 2 22a b c ac c b b c ba b c

bc bcb

bc p p

c

sacando factor común, 2, en el numerador y simplificando este factor común con el denominador se tiene

2.( ). .( ) 2.( ). )2

2(p c p b p c p b

bc bc

de donde

2 2.( ).( )2.2A p c p bsen

bc

depejando la función trigonométrica, seno A, y simplificando

2 .( ).( ) ( ).(2

22

).

A p c p b p c p bsenbc bc

De la expresión

1 coscos

2 2A A

elevando al cuadrado ambos miembros

2 1 coscos2 2A A

quitando los denominadores en esta expresión

22.cos 1 cos2A A

sustituyendo en ella los resultados obtenidos hasta ahora

22 2 2

cos2.cos2 2

1 b c ab

A Ac

desarrollando la fracción

2 2 2 2 2

22 2 ( )1

2 22.cos

2b c a bc b c a

bA

c bc

eliminando los paréntesis en el numerador de la fracción obtenida

2 2 2 2 2

222 ( )2.co

22s

2 2A

bc bcbc b c a b c bc a


teniendo en cuenta que los tres primeros términos del numerador son el desarrollo del cuadrado de una suma

2 2 22 2

2 22.cos

(2 2

)2

A ab c abc b

b bc

c c

el numerador que resulta en la fracción anterior es una diferencia de cuadrados, por lo que su expresión proviene del producto de una suma por una diferencia. Se escribe entonces

2 2

2 2( ) . ( )( ) b c a b c a

cb

ba

c bc

quitando los paréntesis en los corchetes del numerador de la fracción anterior se tiene

2 2 ( ) . ( )( )2 2

)2

( .( )b c abc bc

b c a b c a b c a bbc

c a

sumando en el segundo paréntesis del numerador un cero en forma de una letra sumada y restada, de forma que en dicho paréntesis aparezca escrita la suma de las longitudes de los tres lados del triángulo, a+b+c.

2 2 .( )( ) ( .( )) ( )

2 2 2b c a b c a b c a

bc bb c a b c aac bc

a

teniendo en cuenta la definición de la variable, p, se escribe

2 2 2( ) ( ) .

2 2.( ) ( 2 )

22b c a b cb c a

bc ba a

ba

c ca p p

sacando factor común, 2, en el paréntesis del numerador y simplificando este factor común con el denominador se tiene

2. . ( ) 2. ( )22p p a p p a

bc bc

de donde

2 2. ( )2.cos2A p p a

bc

depejando la función trigonométrica, cos A, y simplificando

2 . ( ) .( )cos2 .

22

A p p a p p abc bc

de los resultados obtenidos para los cuadrados del seno y del coseno del ángulo mitad se deduce

2

2

2

( ) ( )( ).( )2

.( )2 .( )cos2

p c p bAsenA p c p bbctg A p p a p p abc

hallando la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación anterior


Análogamente Fórmula de Herón

En honor de Herón de Alejandría, siglo I. Permite hallar el área de un triángulo cualquiera conocida la longitud de sus lados, a, b, c

.( ).( ).( )A p p a p b p c p semiperímetro del triángulo Se deduce a partir de la expresión del:

Desarrollo del seno del ángulo doble

sen (2)= 2.sen .cos llamando, 2= A

sen (A)= 2.sen 2A

.cos 2A

Desarrollo del seno del ángulo mitad en las fórmulas de Briggs

2 ( ).( )2A p c p bsen

bc

Desarrollo del coseno del ángulo mitad en las fórmulas de Briggs

2 .( )cos2A p p a

bc

se tiene para el área del triángulo representado

A= 12

.c.h

teniendo en cuenta la definición de la razón trigonométrica, seno, para el triángulo rectángulo cuyos lados miden, n, h, y, b, respectivamente, siendo, b, su hipotenusa

sen A= hb

de donde

( ).( )2 .( )A p c p btg

p p a

( ).( )2 .( )B p a p ctg

p p b

( ).( )2 .( )C p a p btg

p p c


h= b.sen A sustituyendo este resultado en la expresión anterior del área del triángulo

A= 12

.c.h= 12

.c.b.sen A

teniendo en cuenta el desarrollo del ángulo doble

A= 12

.c.b.sen A= 12

.c.b.2.sen 2A

.cos 2A

simplificando y sustituyendo el desarrollo del seno y del coseno del ángulo mitad por las fórmulas de Briggs

A= 12

.c.b.2.sen 2A

.cos 2A

= c.b. ( ).( ) .( ).p c p b p p a

bc bc

.

multiplicando las dos raíces por tener el mismo índice se escribe

A= 2 2

( ).( ) .( ) .( ).( ).( ). .. .p c p b p p a p p a p b p cbc b

bc b c

c cb

extrayendo factores de la raíz

A= c.b..( ).( ).( )p p a p b

bp

cc

simplificando esta expresión A=

ecuación que permite obtener el área de un triángulo conocidas las longitudes de sus lados.

Como en un triángulo se verifica que el valor de su superficie es siempre, A> 0, y que el valor de su semiperímetro es siempre, p> 0, se deduce:

p-a> 0; p> a; 2

a b c > a; a+b+c> 2a; b+c> a

p-b> 0; p> b; 2

a b c > b; a+b+c> 2b; a+c> b

p-c> 0; p> c; 2

a b c > c; a+b+c> 2c; a+b> c

El cálculo del área de un triángulo es un ejercicio muy frecuente. Algunas de las diferentes expresiones que permiten hallar el área de un triángulo además de esta vista son:

.( ).( ).( )p p a p b p c


. . . .2 2 2

base altura c h c b senAA 2 2

A= p.r r, radio de la circunferencia

. .4.c b cA

R R, radio de la circunferencia

trigonometrÍa cpr. jorge juan xuvia-narón · 2015-10-29 · trigonometría departamento...

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