Traza (lgebra lineal)

Traza de una matriz de 44.

En lgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A denxn est denida como la suma de los elementos de ladiagonal principal de A. Es decir,

tr(A) = a11 + a22 + + ann

donde a representa el elemento que est en la la i-simay en la columna j-sima de A.Debido al especial comportamiento de la traza de unamatriz al cambiar de base puede denirse unvocamen-te la traza de una aplicacin lineal, independientementede cual sea la base elegida. Si un espacio vectorial de di-mensin nita est dotado de un producto escalar, y setiene una base ortonormal entonces la traza de un endo-morsmo de dicho espacio viene dada por:

tr f :=Pkhf(ek); ekiPuede comprobarse que si Af es la matriz de dicha apli-cacin respecto a dicha base la cantidad anterior es iguala la traza de la matriz A. Y de hecho si Bf es la matriz dela misma aplicacin respecto a cualquier otra base orto-normal se tiene:

tr f = tr Af = tr Bf

1 Propiedades de la traza de unamatriz

La traza es un operador lineal:

tr (A+B) = tr (A) + tr (B)tr (rA) = r (tr (A))siendo A y B matrices cuadradas, y r unescalar.

Como la diagonal principal no se ve afectada altransponer la matriz,

trAT= tr (A)

Si A es una matriz de n m y B una matriz dem n , entonces

tr (AB) = tr (BA)Para demostrarlo, tenemos en cuenta que elproducto de las matricesA yB viene dado por[AB]ij =

Pmk=1[A]ik[B]kj

con lo cual, podemos expresar la traza de ABcomotr (AB) = Pni=1[AB]ii =Pn

i=1

Pmk=1[A]ik[B]ki

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa delsumatoriotr (AB) = Pmk=1Pni=1[A]ik[B]ki =Pm

k=1

Pni=1[B]ki[A]ik =

Pmk=1[BA]kk =

tr (BA)

Notar queAB es unamatriz cuadrada de nn, mientras que BA es una matriz cuadrada demm .

Sean A;B;C matrices cuadradas de orden n n .Entonces las traza del producto ABC tiene la pro-piedad de ser cclica; es decir

tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)

Si A es una matriz cuadrada de orden n con nautovalores reales o complejos (incluyendo multipli-cidad): 1; :::; n entonces:

tr (A) =nXi=1

i

Esto puede verse fcilmente teniendo en cuenta la corres-pondiente forma cannica de Jordan de la aplicacin li-neal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una ma-triz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser

1

2 4 ENLACES EXTERNOS

la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz esla suma de los elementos de la diagonal de la forma deJordan, es decir, la suma de autovalores.

2 Traza de un operador linealEl concepto de traza denido para matrices puede gene-ralizarse a espacios de dimensin innita, aunque en esoscasos no cualquier operador tiene una traza denida, sinouna clase amplia de operadores denominados operadoresde clase traza u operadores de traza nita.

3 Vase tambin Traza de un cuerpo Operador de clase de traza

4 Enlaces externos Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Trace of a squarematrix (en ingls), Encyclopaedia of Mathematics,Springer, ISBN 978-1556080104

Weisstein, Eric W. Matrix Trace. En Weisstein,Eric W.MathWorld (en ingls). Wolfram Research.

35 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias5.1 Texto

Traza (lgebra lineal) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Traza_(%C3%A1lgebra_lineal)?oldid=80639066 Colaboradores: MagisterMathematicae, RobotQuistnix, Davius, TXiKiBoT, Dusan, Sergio Alvar, Muro Bot, Nasil, SieBot, Leticia89, PipepBot, Takashi kuri-ta, Raulshc, UA31, LucienBOT, Louperibot, Luckas-bot, Amirobot, Nallimbot, Ptbotgourou, Yonidebot, Xqbot, Jkbw, Flan-Dercirijillo,SimonLHuillier, EmausBot, Ebrambot, ChuispastonBot, KLBot2, Vagobot, Elvisor, Daruib, Now004 y Annimos: 5

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