determinantes - álgebra lineal

DefinicionDesarrollo por Cofactores

Propiedades de los DeterminantesAplicaciones

DETERMINANTES

Martha C. Moreno

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia

Martha C. Moreno DETERMINANTES



DETERMINANTES

Martha C. Moreno




Definicion




Definicion

Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada

A un numero real: det(A) = |A|




Definicion



det : Mn×n −→ R




Definicion



det : Mn×n −→ R

A −→ det(A) = |A|




Nota




Nota

El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n × n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n − 1× n − 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1× 1.




Nota


Definicion




Nota


Definicion

Si la matriz A = (a11), entonces




Nota


Definicion

Si la matriz A = (a11), entonces det(A) = |A| = a11




Definicion




Definicion

Sea A una matriz cuadrada de tamano n × n




Definicion


A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n...

......

......

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

......

...

an1 an2 . . . anj . . . ann




Definicion


A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n...

......

......

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

......

...

an1 an2 . . . anj . . . ann

a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de

tamano n − 1× n− 1 denominada el menor ij, y denotado por




Definicion


A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n...

......

......

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

......

...

an1 an2 . . . anj . . . ann



Mij .




Definicion


A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n...

......

......

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

......

...

an1 an2 . . . anj . . . ann



Mij .

Mij Se define como la matriz obtenida de A eliminando en A la fila

i y la columna j




Mij =

a11 . . . a1j−1 a1j+1 . . . a1n...

......

......

...ai−11 . . . ai−1j−1 ai−1j+1 . . . ai−1n

ai+11 . . . ai+1j−1 ai+1j+1 . . . ai+1n...

......

......

...an1 . . . anj−1 anj+1 . . . ann

n−1×n−1




Ejemplo




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:

M11 =




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:

M11 =

(5 104 2

)




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:

M11 =

(5 104 2

)

M32 =




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:

M11 =

(5 104 2

)

M32 =

(2 34 10

)




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:

M11 =

(5 104 2

)

M32 =

(2 34 10

)

M21 =?




Ejemplo

Si A =

2 −1 34 5 100 4 2

Entonces:

M11 =

(5 104 2

)

M32 =

(2 34 10

)

M21 =? M33 =?




Definicion




Definicion

El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de

la matriz A:




Definicion


la matriz A: Cij , y se define como:




Definicion



Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |




Definicion




Ejemplo




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 =




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

C12 =




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2

C21 =




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2

C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2

C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8

C22 =




Definicion




Ejemplo

Sea A =

(4 8−2 −3

)

C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3

C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2

C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8

C22 = (−1)2+2| − 3| = (−1)4(4) = 4




Desarrollo por Cofactores





Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:






A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann






A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .


Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:






A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .



detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin






A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .



detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin

Se dice que el determinante de la matriz A se desarrollo por la filai .




Ejemplo




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d

),




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d

),si desarrollamos el determinante por la fila

1:

det(A) = |A|




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | =




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| =




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 =




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Si A =

1 2 −13 4 20 3 9

,




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Si A =

1 2 −13 4 20 3 9

,desarrollado por la primera columna:




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Si A =

1 2 −13 4 20 3 9


det(A) =




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Si A =

1 2 −13 4 20 3 9


det(A) =

1(−1)1+1

∣∣∣∣4 23 9

∣∣∣∣+ 3(−1)2+1

∣∣∣∣2 −13 9

∣∣∣∣+ 0(−1)3+1

∣∣∣∣2 −14 2

∣∣∣∣




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Si A =

1 2 −13 4 20 3 9


det(A) =

1(−1)1+1

∣∣∣∣4 23 9

∣∣∣∣+ 3(−1)2+1

∣∣∣∣2 −13 9

∣∣∣∣+ 0(−1)3+1

∣∣∣∣2 −14 2

∣∣∣∣det(A) =




Ejemplo

Sea A =

(a b

c d


1:

det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc

Si A =

(4 8−2 −3

),entonces:

det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4

Si A =

1 2 −13 4 20 3 9


det(A) =

1(−1)1+1

∣∣∣∣4 23 9

∣∣∣∣+ 3(−1)2+1

∣∣∣∣2 −13 9

∣∣∣∣+ 0(−1)3+1

∣∣∣∣2 −14 2

∣∣∣∣det(A) = 1(36 − 6) + (−3)(18 − (−3)) + 0 = 30− 63 = −33




Regla de Sarrus




Regla de Sarrus

Para el caso especial de las matrices de tamano 3× 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2× 2usando diagonales, este metodo se conoce como:




Regla de Sarrus

Para el caso especial de las matrices de tamano 3× 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2× 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus




Regla de Sarrus


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33




Regla de Sarrus


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

El metodo consiste en repetir las dos primeras columnas acontinuacion de la ultima para formar diagonales de tres elementos:




Regla de Sarrus




Propiedades de los Determinantes





det(A) = det(At)





det(A) = det(At)

Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =





det(A) = det(At)

Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0





det(A) = det(At)


Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) =





det(A) = det(At)


Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)





det(A) = det(At)



Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) =





det(A) = det(At)



Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) = αdet(A)





det(A) = det(At)




Si A es de tamano n × n y α ∈ R, entoncesdet(αA) =





det(A) = det(At)




Si A es de tamano n × n y α ∈ R, entoncesdet(αA) = α

ndet(A)




Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) =




Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)





Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =





Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0






Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) =






Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) = 0




Ejemplo




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

3a 3b 3c−d −e −f

4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣=




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

3a 3b 3c−d −e −f

4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣=72




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

3a 3b 3c−d −e −f

4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

3a 3b 3c−d −e −f

4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

a + g b + h c + i

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣=




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

3a 3b 3c−d −e −f

4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

a + g b + h c + i

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6




Ejemplo

Si:

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:

∣∣∣∣∣∣

d e f

g h i

a b c

∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

3a 3b 3c−d −e −f

4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

a + g b + h c + i

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= −6 ¿Porque?




∣∣∣∣∣∣

−3a −3b −3cd e f

g − 4d h − 4e i − 4f

∣∣∣∣∣∣=




∣∣∣∣∣∣

−3a −3b −3cd e f

g − 4d h − 4e i − 4f

∣∣∣∣∣∣= 18




∣∣∣∣∣∣

−3a −3b −3cd e f

g − 4d h − 4e i − 4f

∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?




∣∣∣∣∣∣

−3a −3b −3cd e f

g − 4d h − 4e i − 4f

∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

a d g

c f i

b e h

∣∣∣∣∣∣=




∣∣∣∣∣∣

−3a −3b −3cd e f

g − 4d h − 4e i − 4f

∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

a d g

c f i

b e h

∣∣∣∣∣∣=6




∣∣∣∣∣∣

−3a −3b −3cd e f

g − 4d h − 4e i − 4f

∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣

a d g

c f i

b e h

∣∣∣∣∣∣=6 ¿Porque?




Ejemplo




Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣=





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1(−1)4

∣∣∣∣∣∣

−1 1 63 −2 −1−3 2 5

∣∣∣∣∣∣=





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1(−1)4

∣∣∣∣∣∣

−1 1 63 −2 −1−3 2 5

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

−1 0 03 1 −19−3 −1 23

∣∣∣∣∣∣=





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1(−1)4

∣∣∣∣∣∣

−1 1 63 −2 −1−3 2 5

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

−1 0 03 1 −19−3 −1 23

∣∣∣∣∣∣=

(−1)(−1)2∣∣∣∣1 −19−1 23

∣∣∣∣ =





2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8

∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1(−1)4

∣∣∣∣∣∣

−1 1 63 −2 −1−3 2 5

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

−1 0 03 1 −19−3 −1 23

∣∣∣∣∣∣=

(−1)(−1)2∣∣∣∣1 −19−1 23

∣∣∣∣ =−(23− 19) = −4




Propiedades




Propiedades

Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:

det(AB) =




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann


det(AB) = det(A)det(B)




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann



det(An) =




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann



det(An) = (det(A))n




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann



det(An) = (det(A))n

Si A es no singular, entonces




Propiedades


det(A) = a11a22.....ann



det(An) = (det(A))n

Si A es no singular, entonces det(A−1) = 1det(A)




Ejemplo




Ejemplo

Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:




Ejemplo


det(4A) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )

3−17 = −1

56




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )

3−17 = −1

56o tambien:

det((2A)−1) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )

3−17 = −1

56o tambien:

det((2A)−1) = 1det(2A) =

123det(A)

= −156




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )

3−17 = −1

56o tambien:

det((2A)−1) = 1det(2A) =

123det(A)

= −156

det(A+ A) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )

3−17 = −1

56o tambien:

det((2A)−1) = 1det(2A) =

123det(A)

= −156

det(A+ A) =det(2A) = 23(−7) =




Ejemplo


det(4A) = 43(−7) = −448

det(A−1) = 1−7 = −1

7

det(2A−1) = 23−17 = −8

7

det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )

3−17 = −1

56o tambien:

det((2A)−1) = 1det(2A) =

123det(A)

= −156

det(A+ A) =det(2A) = 23(−7) = − 56




Ejercicio




Ejercicio

Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?




Ejercicio


Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?




Ejercicio



Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:

det(A) =?




Ejercicio




det(A) =?

Si A es una matriz cuadrada antisimetrica, enonces:det(A) =?




Ejercicio




det(A) =?

Si A es una matriz cuadrada antisimetrica, enonces:det(A) =?

Si A es una matriz cuadrada n × n, enonces:det(αA) =?




INVERSA DE UNA MATRIZ




Teorema

Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0




Teorema


Definicion




Teorema


Definicion

Sea A = (aij), una matriz cuadrada

C =

c11 c12 · · · c1nc21 c22 · · · c2n. . . . . . . . . . . .

cn1 cn2 · · · cnn

se denomina la matriz de cofactores de A




Definicion

Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define

como la transpuesta de la matriz de los cofactores.

Es decir:




Definicion



Es decir:

adj(A) = C t




Definicion



Es decir:

adj(A) = C t

Proposicion

Sean A = (aij) matriz cuadrada y A la matriz obtenida de A

cambiando la fila i por la fila j, entonces:

aj1ci1 + aj2ci2 + . . . + ajncin = 0, si i 6= j




Demostracion

A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .





Demostracion

A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


det(A) =




Demostracion

A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


det(A) = 0




Demostracion

A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ...+ ajncin,




Demostracion

A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


A =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .

aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .


det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ...+ ajncin, para i 6= j




Teorema




Teorema

A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · In




Teorema


Demostracion

Sea B = (bij ) = A · adj(A)




Teorema


Demostracion

Sea B = (bij ) = A · adj(A)

B =

a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .


c11 c21 · · · cj1 · · · cn1. . . . . . . . . . .

c1i c2i · · · cji · · · cni. . . . . . . . . . .

c1n c2n · · · cjn · · · cnn




Demostracion-Continuacion





bij = (ai1 ai2 · · · ain)

cj1cj2...cjn






cj1cj2...cjn

bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn






cj1cj2...cjn


bij =

{det(A), si i = j






cj1cj2...cjn


bij =

{det(A), si i = j

0, si i 6= j




Matriz inversa




Matriz inversa

Del teorema anterior se tiene que si A es no singular, entonces:

A−1 = 1det(A)adj(A)




REGLA DE CRAMER




Consideremos el sistema:a11x1 + a12x2 + ....... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ....... + a2nxn = b2

.....

....

an1x1 + an2x2 + ....... + annxn = bn




En forma simplificada:

AX = B





AX = B

Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion





AX = B


X = A−1B





AX = B


X = A−1B

X = 1det(A)adj(A)B





AX = B


X = A−1B

X = 1det(A)adj(A)B

X = 1det(A)

c11 c21 · · · cj1 · · · cn1. . . . . . . . . . .

c1i c2i · · · cji · · · cni. . . . . . . . . . .

c1n c2n · · · cjn · · · cnn

B




x1x2...xn

= 1

det(A)

c11 c21 · · · cj1 · · · cn1. . . . . . . . . . .

c1i c2i · · · cji · · · cni. . . . . . . . . . .

c1n c2n · · · cjn · · · cnn

b1b2...bn




xi =




xi =1

det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]




xi =1


xi =1

det(A)




xi =1


xi =1

det(A)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .

an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣




xi =1


xi =1

det(A)

∣∣∣∣∣∣∣∣


an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣

xi =




xi =1


xi =1

det(A)

∣∣∣∣∣∣∣∣


an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣

xi =det(Ai )det(A)




xi =1


xi =1

det(A)

∣∣∣∣∣∣∣∣


an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣

xi =det(Ai )det(A)

Donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando lacolumna i por B


determinantes - álgebra lineal

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