La Transformacion de Mobius Alumno: Alberto Vargas Rodrıguez.

1.-Definicion y propiedades basicas.

Se denomina transformacion lineal fraccionalo transformacion de Mobius, a las funcionesracionales de la forma

w D L.z/ Daz C b

cz C d;

donde a; b; c; d 2 C; con ad � bc ¤ 0:Si c ¤ 0; entonces notemos que

lKımz!�d

c

L.z/ D lKımz!�d

c

az C b

cz C dD1:

Por otro lado

lKımz!1

L.z/ D lKımz!1

aC b=z

c C d=zDa

c;

mientras que si c D 0; entonces1

lKımz!1

L.z/ D lKımz!1

az C b

dD1:

Por lo tanto se puede extender la transformacionde Mobius L W C ! C; a L W C ! C; dondeC D C [ f1g; y su extension quedarıa de lasiguiente manera

L.z/ D

�az C b

cz C dsi z 2 Cnf�d

cg

1 si z D �d

cy c ¤ 0

a

csi z D1 y c ¤ 0

1 si z D1 y c D 0:

Estas funciones seran analıticas en Cnf�d=cg

si c ¤ 0; y analıticas en todo C; (enteras) sic D 0. Y justamente en los puntos donde latransformacion L.z/ D w; de Mobius es analıticase tendra que

L0.z/ Ddw

dzDa.cz C d/ � c.az C b/

.cz C d/2

1Observemos que la condicion de que ad � bc ¤ 0; nosdice que no puede pasar simultaneamente que c D d D 0.

Dad � bc

.cz C d/2;

ası que la condicion ad � bc ¤ 0; nos dice quela transformaciones que consideramos sean noconstantes. Ası que tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 1 Las transformaciones de MobiusL W C ! C; dadas como

L.z/ Daz C b

cz C d;

son analıticas y ademas conformes en cada puntode C; distinto de �d=c; y enteras en caso de quec D 0. Donde su derivada es de la forma

L0.z/ Dad � bc

.cz C d/2:

Sera posible hallar la transformacion inversa deuna transformacion de Mobius dada, a partir dela ecuacion

w Daz C b

cz C d;

la cual se obtiene despejando a z; y queda de lasiguiente manera

L�.w/ D z D�dw C b

cw � a;

que vuelve a ser una transformacion de Mobius,ası se verifica que LıL�.w/ D w; y L�ıL.z/ D z:Por lo tanto tenemos el siguiente nuevo resultado,

Proposicion 2 Toda transformacion de MobiusL W C ! C; dada como

L.z/ Daz C b

cz C d;

tiene por transformacion inversa L�1 W C ! C;

L�1.w/ D�dw C b

cw � a;

1

que sera de nuevo de Mobius. Mas aun L W C !C; en una transformacion biyectiva del planoextendido en el plano extendido.

2.-Razon cruzada y su invarianza bajo unatransformacion de Mobius.

Ahora investiguemos que sucede con la compo-sicion de dos transformaciones de Mobius, paraesto sean

L1.z/ Da1z C b1

c1z C d1; L2.z/ D

a2z C b2

c2z C d2;

entonces

L1.L2.z// Da1Œ.a2z C b2/=.c2z C d2/�C b1

c1Œ.a2z C b2/=.c2z C d2/�C d1

Da1.a2z C b2/C b1.c2z C d2/

c1.a2z C b2/C d1.c2z C d2/

D.a1a2 C b1c2/z C .a1b2 C b1d2/

.c1a2 C d1c2/z C .c1b2 C d1d2/;

mientras que L2.L1.z//; se obtiene de la ultimaidentidad permutando los numeros 1 y 2. Ademasobservemos que

.a1a2 C b1c2/.c1b2 C d1d2/

� .a1b2 C b1d2/.c1a2 C d1c2/

D .a1d1 � b1c1/.a2d2 � b2c2/ ¤ 0;

es decir, tanto L1 ı L2; como L2 ı L1; son trans-formaciones de Mobius.

Proposicion 3 La composicion de dos transfor-maciones de Mobius, es una transformacion deMobius.

Ahora veamos un resultado que tiene que ver conlos puntos fijos de una transformacion de Mobius.

Proposicion 4 Cada transformacion de Mobiusdistinta a la identidad tiene a lo sumo dos puntosfijos en C.

DemostracionPrimero supongamos que c D 0. Por definicion,entonces L.z/ sera de la forma

L.z/ D ˛z C ˇ;

donde ˛ D a=d y ˇ D b=d; claramente 1 es unpunto fijo para L; pues L.1/ D 1: Ahora si˛ ¤ 1; entonces ˇ=.1 � ˛/; es otro punto fijo. Ysi ˛ D 1; no hay mas puntos fijos.Ahora supongamos que c ¤ 0: Entonces

L.1/ Da

c¤1;

es decir el punto al infinito no es un punto fijo.Al igual que L.�d=c/ D1 ¤ �d=c: Por lo tantopara hallar los punto fijo hay que resolver lasiguiente ecuacion

z Daz C b

cz C d;

y de lo anterior podemos asumir que z ¤ 1, yz ¤ �d=c: Ası la ecuacion que debemos resolverse transforma en la siguiente ecuacion cuadratica

cz2 � .a � d/z � b D 0;

de donde se obtiene que

z Da � d ˙

p.a � d/2 C 4bc

2c:

Si .a � d/2 C 4bc ¤ 0, se obtienen dos puntofijos; mientras que si .a � d/2 C 4bc D 0, solo seobtendra por punto fijo a .a � d/=2c.

Y como corolario se tiene lo siguiente.

Corolario 1 La unica transformacion de Mobiusque tiene mas de dos puntos fijos, es la transfor-macion identidad I.z/ D z; a los cuales todos losdeja fijos.

Proposicion 5 Una condicion suficiente paraque dos transformaciones de Mobius L y eL seaniguales, es que la ecuacion

L.z/ D eL.z/;se satisfaga para tres puntos distintos z1; z2; z3:

2

DemostracionSi se cumple que L.zk/ D eL.zk/ con k 2 f1; 2; 3g;entonces eL�1.L.zk// D zk;donde la Proposicion 2 nos dice que eL�1 es tam-bien de Mobius, y de la Proposicion 3 tenemosque eL�1 ı L, vuelve a ser de Mobius, es decir latransformacion eL�1 ı L tiene tres puntos fijos,por lo tanto eL�1 ı L D I D L ıeL�1, ası L D eL.

El resultado anterior nos dice que no puedenexistir dos transformaciones de Mobius distintas,que tomen tres valores dados w1; w2; w3 que pro-vengan de tres valores distintos z1; z2; z3 dados.

Ahora estamos interesados en la transforma-cion de Mobius S W C ! C; donde para trespuntos z2; z3; z4 distintos (en el plano extendido)se cumpla que

S W C �! C

z2 7�! 0

z3 7�! 1

z4 7�! 1

si ninguno de los puntos z2; z3; z4 son1; entoncesla transformacion de Mobius que cumpla con estascaracterısticas es

S.z/ Dz � z2

z � z4�z3 � z4

z3 � z2

mientras que si z2; z3 o z4 son iguales a 1; en-tonces las transformaciones de Mobius buscadasseran,

z3 � z4

z � z4;

z � z2

z � z4;

z � z2

z3 � z2

respectivamente.Ahora debido a la Proposicion 5; sabemos quedicha transformacion con estas caracterısticases unica, por lo tanto tiene sentido la siguientedefinicion.

Definicion 1 La razon cruzada de cuatro nume-ros complejos (en el plano extendido) z1; z2; z3; z4

distintos, denotada como .z1; z2; z3; z4/; se defini-ne como la imagen de z1; bajo la transformacionde Mobius que toma a los puntos z2; z3; z4; y losmanda a 0; 1;1, respectivamente.

Ahora en base a esta definicion veamos una pro-piedad acerca de la razon cruzada y su invarianzamediante una transformacion de Mobius.

Proposicion 6 Si z1; z2; z3; z4, son numeroscomplejos distintos del plano extendido, y L esuna transformacion de Mobius entonces

.L.z1/; L.z2/; L.z3/; L.z4// D .z1; z2; z3; z4/:

DemostracionSi S.z/ D .z; z2; z3; z4/; (es decir S es la trans-formacion de Mobius que envıa z2 en 0, z3 en 1y z4 en 1) entonces la transformacion S ı L�1

(que es de Mobius) manda L.z2/; L.z3/; L.z4/ en0; 1;1 respectivamente.Por lo tanto a partir dela definicion de la razon cruzada se tiene que

.L.z1/; L.z2/; L.z3/; L.z4// D S ı L�1.L.z1//

D S.z1/ D .z1; z2; z3; z4/:

3.-Accion de la transformacion de Mobius encırculos y rectas.

Ahora vamos a probar que las transformacio-nes de Mobius mapean cırculos o lıneas rectas,en cırculos o lıneas rectas; a esta propiedad depreservar cırculos y rectas, la llamaremos simple-mente la propiedad de preservar cırculos, debidoa que una recta se puede considerar como uncırculo de “radio” infinito en el plano extendido.Para probar que las transformaciones de Mobiustiene la propiedad de preservar cırculos, iniciemosprobando el siguiente lema

Lema 1 La transformacion

L.z/ D1

z;

tiene la propiedad de preservar cırculos.

3

DemostracionIniciemos considerando la ecuacion algebraica

(1) A.x2 C y2/C Bx C Cy CD D 0;

donde A;B;C;D; x; y 2 R. Si A D 0; esta ulti-ma ecuacion se reduce a una ecuacion de unarecta. Ahora supongamos que A ¤ 0; entoncesdividimos por A, en la Ecuacion (1), y se tiene

.x2 C y2/CB

Ax C

C

Ay C

D

AD 0;

si se completan los cuadrados se obtiene que�x C

B

2A

�2C

�y C

C

2A

�2D �

D

AC

�B

2A

�2C

�C

2A

�2;

esta ecuacion tiene significado siempre y cuando

�D

AC

�B

2A

�2C

�C

2A

�2� 0;

ya que se interpreta este termino como el cuadra-do del radio. Esta ultima desigualdad equivale ala siguiente

(2) 4AD � B2 C C 2:

Por otro lado, en la Ecuacion (1) sustituimos lassiguientes identidades

x2 C y2 D zz; x Dz C z

2; y D

z � z

2i

y queda de la siguiente manera

Azz CB

2.z C z/C

C

2i.z � z/CD D 0:

Ahora el conjunto de puntos que satisface conesta ecuacion, al ser transformados por L; serande la forma

A

zzC

B

2.z C z/C

C

2i.z � z/CD D 0;

multiplicando en ambos lados por zz; se obtiene

Dzz CB

2.z C z/ �

C

2i.z � z/C A D 0;

que de nuevo vuelve a ser la ecuacion de un cırculosiempre que (1) sea la ecuacion de un cırculo, puesse sigue valiendo la desigualdad (2); o la ecuacionde una recta siempre que (1) sea la ecuacion deuna recta. Por lo tanto la transformacion L.z/ D1=z, tiene la propiedad de preservar cırculos.

Ahora estamos en condiciones ya de probar quecada transformacion de Mobius tiene la propiedadde preservar cırculos.

Proposicion 7 Toda transformacion de Mobius

(3) L.z/ Daz C b

cz C d;

tiene la propiedad de preservar cırculos.

DemostracionPrimero supongamos que c D 0; en este casola transformacion se reduce a la forma L.z/ D˛z C ˇ; donde ˛ D a=d; y ˇ D b=d; la cual esuna transformacion con la propiedad de preser-var cırculos, pues es una combinacion de unarotacion, una homotecia y una traslacion. Ahorasuponiendo que c ¤ 0: Entonces afirmamos quela transformacion L se puede ver de la siguienteforma

L.z/ Da

cC

bc � ad

c.cz C d/;

en efecto basta observar que si

z1 D L1.z/ D cz C d; z2 D L2.z1/ D1

z1;

L3.z2/ Da

cCbc � ad

cz2;

donde L1 y L3 son transformaciones que tienen lapropiedad de preservar cırculos, y L2 en base a elLema 1, tambien tiene la propiedad de preservarcırculos, ademas podemos escribir a la transfor-macion L mediante la composicion L3 ıL2 ıL1;ası por lo tanto L tambien tendra la propiedadde preservar cırculos.

4

De la transformacion L dada en (3) sea ı D �d=c,la singularidad de L. Si consideramos alguncırculo o lınea recta que pase por ı; entoncessabemos que sera transformado por T; en alguncırculo o lınea recta, la cual debera contener al1; pues L.ı/ D1; por lo tanto L. / debera seruna lınea recta (en C), pues ningun cırculo (enC) contiene al infinito. De igual forma si tenemoscualquier otro cırculo o recta que no pasan porı; entonces su imagen al ser transformada por L,no contendra al infinito, luego sera forzosamentetransformado en un cırculo, pues si fuera unalınea recta, contendrıa al infinito.

Corolario 2 Sea ı D �d=c, la singularidad dela transformacion L de Mobius en (3). EntoncesL transforma cada lınea recta o cırculo que pasapor ı; en una lınea recta; y cualquier otra lınearecta u otro cırculo es transformado en un cırculo.

4.-Familias de cırculos y puntos fijos de lastransformaciones de Mobius.

Para poder estudiar mas a fondo las transforma-ciones de Mobius y la forma en que “transforman”al plano complejo, estudiemos cierto tipo de estastransformaciones, ası como cierta familia de cırcu-los y/o lineas rectas. Para esto sean p; q 2 C, ypara estos puntos consideramos al conjunto detodos los cırculos y lineas rectas que pasan porp; q, aunque practicamente todos los elementosde esta familia son cırculos, pues solo una lınearecta pasa por p y q a la vez. A esta familia sele suele llamar los cırculos de Steiner de primertipo con respecto a los puntos p y q. Ahora con-sideremos a la transformacion de Mobius de laforma

(4) w D S.z/ Dz � p

z � q;

la cual envıa p al 0 y q a 1. La manera en quemodifica la transformacion S a la familia de cırcu-los anteriormente mencionada (cırculos de Steinerde primer tipo) se puede apreciar en la Figura 1.

Figura 1: Todo cırculo o recta que pase por p y q estransformado en un rayo que pasa por el origen y seextiende hasta el infinito

Ahora en el “plano imagen” (el que tiene pordominio a la variable w, a veces llamado “planow”) los cırculos de Steiner (de primer tipo) sonmandados a “rayos” que pasan por el origen, esdecir lıneas rectas que pasan por 0 y se extiendenhasta 1.Ahora si en el plano w, le agregamos a la familiaortogonal de estos rayos, que no seran mas quecırculos concentricos centrados en 0, es decir quecumplan con la ecuacion jwj D c, con c � 0 cons-tante. Estos cırculos en conjunto con los rayos quepasan por el origen, se puede considerar como unsistema de coordenadas polares, en donde cada

5

cırculo intersecta a un rayo en angulos rectos.Por otra parte si estos cırculos concentricos sontransformados vıa la transformada inversa de S;esto es S�1; al ser tambien una transformacionde Mobius (Proposicion 2), entonces estos cırcu-los seran transformados en cırculos en el plano z,como se muestra en la Figura 2. A estas curvas re-

Figura 2: En el primer dibujo de arriba a abajo, semuestran las dos clases de cırculos de Steiner. Abajose muestra la familia ortogonal a los rayos que pasanpor el origen y que generan a los cırculos de Steiner desegundo tipo.

sultantes se les llamara los cırculos de Steiner desegundo tipo tambien llamados cırculos de Apolo-nio, esto debido a que si los cırculos en el planow cumplen que jwj D c, entonces en el plano z

se cumple que

jS.z/j D

ˇz � p

z � q

ˇD c:

Ahora por otro lado, recordemos que de la Pro-posicion 4, toda transformacion de Mobius tieneen C, a lo mas dos puntos fijos, por lo tantoconsideremos a L una transformacion de Mobiusque tiene dos puntos fijos que nombraremos p yq. Ahora si nos fijamos en la familia de cırculosde Steiner (de ambos tipos) al ser transformadosde nuevo en cırculos hacia el plano w y dadoque p y q son puntos fijos, entonces la familia decırculos de Steiner transformada coincidira conlos cırculos de Steiner de p y q pero ahora en elplano w:Ahora el objetivo sera de describir con detalle sidado un circulo (de Steiner) que pasa por p y q, acual cırculo (de Steiner) es mapeado con precision.Para llevar a cabo esta tarea consideremos de nue-vo a la transformacion S.z/ D .z � p/=.z � q/

definido en (4). Ahora se define la transformacionR W C ! C, como

R.w/ D S ı L ı S�1.w/;

puesto que S�1.0/ D p D L.p/, y S�1.1/ D

q D L.q/, se tiene que la transformacion R tienepor puntos fijos a 0 e 1, por lo tanto la transfor-macion R debera ser de la forma

R.w/ D kw; w 2 C;

con k 2 C, constante. Por lo tanto R tiene unaforma muy simple de expresarse y eso nos ayu-dara a entender mas acerca de la transformacionL, pues observemos que en principio se tiene losiguiente

S ı L D R ı S(5)

es decir

L.z/ � p

L.z/ � qD k

z � p

z � q;(6)

6

a esto se le llama la forma normal de L. Esto nosda una “formula” para L, en terminos de solotres constantes: p; q (lo puntos fijos de L) y laconstante k 2 C. De cierta manera esta formade ver a L, nos dice mas que si estuviera de laforma .az C b/=.cz C d/. Ahora observemos quea partir de (5), tenemos que

L D S�1 ıR ı S;

esta forma de ver a la transformacion L, nos su-giere que debemos ver a L como el resultado detres operaciones a saber: Primero S que “envıa”los puntos fijos al 0 e1, despues R que lo que ha-ce es multiplicar por una constante, y por ultimoS�1 que “regresa” el 0 y a 1, a sus respecti-vos puntos fijos. A partir de esto resulta crucialestudiar en particular a la transformacion R; omas bien a la constante k, para comprender elcomportamiento de L.En general se presentan tres casos.

Si k es un numero real positivo, es decir sik > 0. Entonces R es una homotecia, y a latransformacion L, se le llamara tranformacionhiperbolica. La accion de L sera de mover pun-tos a lo largo de los cırculos de Steiner de primertipo, como si se tratara de un flujo, de un puntofijo hacia el otro, tal y como se muestra en laFigura 3. Ademas sabemos de antemano que todatransformacion de Mobius deja invariantes a loscırculos de Steiner de ambos tipos, pero en estacaso todavıa pasa mas, pues si C1 es un cırculode Steiner de primer tipo, entonces C1 coninci-dira con su imagen bajo L, es decir C1 D L.C1/.

Si k tiene modulo uno, es decir si k D ei� , latransformacion L, con esta propiedad es llamadatransformacion elıptica, observemos que enestos casos la transformacion R; va a ser unarotacion alrededor del origen, esto hara que latransformacion L, traslade los puntos a lo largode los cırculos de Steiner de segundo tipo (veasela Figura 4), pero en general a cada uno los de-jara invariantes, es decir si C2 es un cırculo deSteiner de segundo tipo con respecto a los puntos

Figura 3: En la primera figura de arriba a abajo, semuestra la accion de una tranformacion hiperbolica,y en la segunda figura se muestra el efecto que tienela tranformacion R sobre el plano w que sera el deexpandir.

fijos de L, entonces se cumplira que C2 D L.C2/,en caso de que jkj D 1.

Por ultimo en caso de que k, sea un numerocomplejo cualquiera distinto al de los casos an-teriores, es decir que k D jkjei� , con jkj ¤ 1 y� ¤ 0, en este caso a la transformacion L se le lla-mara transformacion loxodromica. Donde laaccion de L sera una combinacion de una trans-formacion hiperbolica con una transformacionelıptica.

Cabe notar que las anteriores tipos de trans-formaciones se consideran en base a una transfor-macion de Mobius que tiene dos puntos fijos, sinembargo existe una clasificacion mas para el caso

7

Figura 4: En la primera figura de arriba a abajo, semuestra la accion de una tranformacion elıptica, y enla segunda figura se muestra el efecto que tiene la tran-formacion R sobre el plano w que sera el de rotar.

en que la transformacion de Mobius L solo tengaun punto fijo el cual sea finito, a este tipo de trans-formaciones se le llamaran transformacionesparabolicas. Y para este tipo de transforma-ciones desamos hallar tambien su forma normalcomo se hizo en (6). Para esto introducimos ahoraa la transformacion S W C ! C, dada como

w D S.z/ D1

z � p;

donde ahora p es el unico punto fijo para L. Latransformacion S “envıa” p a 1, y debido a quela composicion R D S ıL ı S�1, tiene solo comopunto fijo a 1, entonces R es simplemente unatraslacion, es decir R.w/ D w C ˇ, donde ˇ 2 C

es alguna constante. Ası L esta completamentedeterminada por los numeros p (su unico puntofijo) y ˇ. Por lo tanto a partir de la identidadS ı L D R ı S , llegamos a que

(7)1

L.z/ � pD

1

z � pC ˇ

y a esta expresion se le llama tambien la formanormal para una transformacion parabolica.Ahora para visualizar como es que actuan latransformacion R y a la vez L, coloquemos lineassobre el plano complejo, paralelas a la direcciondel numero complejo ˇ, y orientadas en su mismosentido a este, tal y como se muestra en la Figura5.

Figura 5: Se trazan lineas paralelas en la misma di-reccion y sentido que indica el punto ˇ .

Si ahora sobre el plano w, se aplica S�1, entoncesestas lineas pasan a ser cırculos, dado que estaslineas al ser paralelas en C, todas ellas enton-ces se intersectan en el infinito, por lo tanto loscırculos generados por S�1 a partir de las lineasparalelas se intersectaran en p (pues S.p/ D1),ademas su interseccion sera solo en ese punto ysera de manera tangencial. A estos cırculos lesson llamados cırculos degenerados de Steiner, yestos se pueden apreciar en la Figura 6Si ahora se dibujan a la familia de rectas per-pendiculares a las dibujadas en la Figura 5, yse aplica a la transformacion inversa de S , esdecir S�1, la nueva familia de cırculos obtenidos

8

Figura 6: La primera figura de arriba a abajo se mues-tran los cırculos de Steiner degenerados con respectoal punto p. En la segunda figura se muestra a la fa-milia de rectas a las que son enviados los cırculos de-generados de Steiner con respecto a p, y el efecto detraslacion provocado por R.

sera como la mostrada en la Figura 7. En dondeesta nueva familia de circulos sera perpendiculara la anterior familia de cırculos, esto debido aque S�1 es conforme.Ahora una vez que se ha hablado como es queactuan las transformaciones S y R, podemos darpaso a describir como es que la tranformacionL actua sobre la familia de cırculos degeneradosde Steiner respecto a p, pero esto ya resulta cla-ro debido a la descomposicion de L dada comoL D S�1 ıR ı S , y debido a la forma tan simplede R al ser una traslacion, entonces el efecto quetendra L sobre los cırculos degenerados de Stei-ner en p, sera solo de girarlos, pues la traslacionR en el plano w no modifica la posicion relativa

entre las lineas paralelas dibujadas con direcciona ˇ.

Figura 7: La primer figura de arriba a abajo se mues-tra el efecto que tiene la tranformacion L sobre loscırculos degenerados de Steiner en R, y se muestrajunto con su familia ortogonal. Abajo se muestran laslineas perpendiculares, a las lineas que, tienen la mis-ma direccion de ˇ .

5.-Transformaciones de Mobius que dejan in-variante al disco unitario.

Por ultimo estudiemos a las transformacionesde Mobius que dejan invariante al disco unitarioD D fz 2 Cjjzj < 1g. Por invariante nos refe-riremos a todas aquellas transformaciones (deMobius) holomorfas, biyectivas con inversa holo-morfa en D.

Definicion 2 Se denota al conjunto de todas lafunciones que dejan invariante al disco unitarioD, como �.D/. Y denotamos a �0.D/, a todas las

9

funciones que dejan invariante al disco unitario yque tienen a 0 como punto fijo.

Antes de dar a conocer el resultado que nos ha-bla de las transformaciones que dejan invariantea D, enunciemos el siguiente resultado conocidocomo el Lema de Schwarz, el cual nos ayudara al-canzar nuestro objetivo.

Lema de Schwarz Sea f W D ! D holomorfacon f .0/ D 0. Entonces jf .z/j � jzj para todaz 2 D y jf 0.0/j � 1. Si se cumple que jf .z0/j Djz0j en un punto z0 ¤ 0, o si jf 0.0/j D 1, entoncesexiste � 2 R tal que f .z/ D ei�z para todoz 2 D.

Proposicion 8

1. El conjunto �0.D/, esta formado por el con-junto de funciones de la forma f .z/ D ei�z,z 2 D, donde � 2 Œ0; 2��, esto es el conjuntode las rotaciones.

2. El conjunto �.D/, esta formado por el con-junto de las funciones de la forma

f .z/ D ei�z � z0

1 � z0z; z 2 D

donde � 2 Œ0; 2�� y z0 2 D.

Demostracion1. Claramente toda rotacion esta en el conjun-to �0.D/. Ahora sea f 2 �0.D/. Entonces f yf �1 cumplen con las hipotesis del Lema de Sch-warz, entonces jf .z/j � jzj y jzj D jf �1.f .z//j �jf .z/j para cada z 2 D, por lo tanto jf .z/j D jzjpara todo z 2 D y de nuevo el Lema de Schwarzimplica que f es entonces una rotacion.2. Primero probemos que si z0 2 D, entonces lafuncion definida como

fz0.z/ D

z � z0

1 � z0z; z 2 D

esta en �.D/, en efecto basta con probar quefz0.D/ D D, pues ya sabemos que toda tranfor-

macion de Mobius es biyectiva en C. Primero

notemos que si jzj D 1, entonces

fz0.z/fz0

.z/ Djzj2 � z0z � z0z C jz0j

2

1 � z0z � z0z C jz0j2jzj2D 1

por lo tanto f .@D/ D @D, pues sabemos quetoda tranformacion de Mobius preservar cırculos(Proposicion 7) y ademas como f .z0/ D 0 2 D,entonces fz0

.D/ D D, luego fz02 �.D/.

Ahora si definimos T� .z/ D ei�z, z 2 D, con� 2 Œ0; 2��, entonces T� ; fz0

2 �.D/, por lo tantosu composicion T� ı fz0

va a estar en �.D/.Ahora supongamos que f 2 �.D/, entonces seaz0 D f

�1.0/, por lo tanto f ıf �1z02 �0.D/, luego

por la primera parte de esta proposicion se tieneque existe � 2 Œ0; 2��, tal que f D T� ı fz0

, locual concluye con la demostracion.

10