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Variables Aleatorias
Concepto Discreta y Continua
Fun. de densidadFun. de probabilidad
F. de distribucin
Esperanza y Varianza
Propiedades
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El resultado de un experimento aleatorio puede
ser descrito en ocasiones como una cantidad
numrica.
En estos casos aparece la nocin de variablealeatoria
2.1 Concepto de Variable aleatoria
Funcin ue asi!na a cada elemento del espaciomuestral un n"mero
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2.1 Variable #leatoria$ %otacin
- &as letras may"sculas 'X, Y, Z, etc(
representar)n a las variables aleatorias.
- &a letra !rie!a * representar) un elemento
!enrico del espacio muestral.
-X'*( ser) la representacin +uncional de la
variable aleatoriaX.
- &as letras min"sculas 'x, y, z, etc(
representar)n valores particulares en el
recorrido de la variable.
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3.- Dadas dos v.a. X e Y, definidas sobre un
mismo espacio de probabilidad, se puede definir la
suma, resta, producto y cociente (con
denominador no nulo), obtenindose otra
aplicacin que verifica tambin la condocin de
v.a.
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X !"mero de caras que aparecen al lan#ar dos monedas
V. #. D,-CE/#
$
%
&
( )X
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Funcin de probabilidad (V. A. Discretas)
' Asigna a cada posible valor deuna v.a.d. su probabilidad.
ecuerda los conceptos de
frecuencia relativa y
diarama de barras.
Ejemplo
X = Nmero de caras al
lanzar 3 monedas.
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?
X =!"mero de ampolletas
seleccionadasazules
X = 0 X = 1 X = 2
x 0 1 2
P(X = x ) 3/28 15/28 10/28
==&
*&*+ 3
$
&
3=
%%
%
3=
%$&
$
3=
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Funcin de densidad (V. A. Continuas)
-s una funcin no neativa de interal %insalo como la enerali#acin
del /istorama con frecuencias
relativas para variables continuas.
0Para u lo voy a usar
- Nnca lo !as a sar d"rec#amen#e.
- $s !alores no represen#an pro%a%"l"dades.
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Para qu sirve la f. densidad
' 0uc/os procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma
que son conocidas las probabilidades en intervalos.' 1a interal definida de la funcin de densidad en dic/os intervalos
coincide con la probabilidad de los mismos.
' -s decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el
!reaba2o la funcin de densidad.
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&na variable aleatoriaXes continuas" s recorr"does n "n#er!alo de la rec#a real.
2. Variables #leatorias Continuas
Funcin de Densidad de probabilidad$f ( x )
( )= b
aX dxxfbXaP )(
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E3emplo
$,
&
%)(
.&%%
&
&
>=
==
xexf
cdxce
xX
x
#an#o'lo(or)eo%#"enese')e*ec*oel"l"zando0
====>4
34)&%(& $.$)&%()4( eedxeXP x
X=concentracin diaria del contaminante por cada 14litros
?cal)"erad+anen#econ#am"nanes#edepolc",ndepro%lemanocrra
)eadpro%a%"l"dlaes./l0lose1cede",nconcen#raclas"nac",n
-con#am"depro%lemanocrr"r/)esa%e$edens"dad
de2nc",n#"enearro3onen#econ#am"nanc"er#oded"ar"a",nconcen#rac4a
.%$
.$,)(3
&
ltmg
xcexf x
X >=
la pro%a%"l"dad e ocrra el pro%lema de polc",n es6
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E3emplo
>
=
$%
$$)(
&&
xe
xxH
x
laramen#e H(x) sa#"sace las cond"c"ones (1) 7 ()' por lo
#an#o Hcorresponde a la nc",n de d"s#r"%c",n acmlada
de al9na !ar"a%le alea#or"aX.
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$"endo el 9r"co de la nc",n el s"9"en#e6
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Cambio de variable
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Esperanza y varianza de una variable aleatoria
De+. de Esperanza$ la esperanza matem)tica esuna !eneralizacin del concepto de media
aritmtica. Dada una muestra de n valores
observados de un variable X5 con sus respectivas
+recuencias$
n
nffffrecxxxX
...5...5
&%
&% ==
n
ii nf
%
&a media muestral es$
==
==
n
i
ii
n
i
ii
n
fxxf
n
x
%%
% :rec.rela#"!a
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Por tanto5 la +recuencia relativa se puede
considerar como la probabilidad ue tiene el valor
xi de presentarse en la muestra total de tama6on.&ue!o5
( ) ( ) ====
=
n
i
iii
i xXPxxn
fxXP
%
Esta +orma de expresar la media de la muestra5
su!iere la de+inicin de Esperanza en el caso
discreto
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-i!ni+icado de la esperanza$
1.Como valor medio terico de todos los valores
ue puede tomar la variable. epresenta una
medida de centralizacin.
2. Como centro de !ravedad de los puntos ue
corresponden a los valores de la variable5asi!n)ndoles una cantidad de masa
proporcional a la +uncin de densidad en cada
punto.
.-i la v.a. es la !anancia o prdida en undeterminado 3ue!o al azar5 la esperanza
representa la !anancia por 3u!ada. 7n 3ue!o es
euitativo si su esperanza es cero.
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1.4a esperanza es l"neal' es dec"r6 cales"era sean
las !.a.Xe Y:
E [X+Y] = E [x] + E [Y]
E[aX+b] = a E [x] + b, a y b constantes
2. $" las !.a.Xe Y son "ndepend"en#es'
E [XY] = E [x] E [Y]3. 4a esperanza es# "nlenc"ada por los !alores
e#remos de la !ar"a%le de%"do a s "n#erpre#ac",n
como cen#ro de 9ra!edad de na masa l"neal.
Propiedades de la Esperanza
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. $" Y = g(X) es una variable obtenida a partir de X
mediante una funcin continua g, la esperanza de
la ne!a !ar"a%le Y, se obtiene utilizando la
frmula:
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) ( )
== +
v.a.cessi
v.a.dessi
)(Xdxxfxg
Xxpxg
XgEYE
ii
i
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5. $" X e Y son dos !.a. con d"s#r"%c",n %"!ar"an#e
con#"na de .d.p. f(x,y), (x,y), es na nc",n
con#"na' la Esperanza ma#em#"ca de! = *(X, Y)
es:
[ ] [ ] ( ) ( ) +
+
== dy,,),( dxyxfyxhYXhEZE
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De+inicin de varianza
4a !ar"anza m"de la d"spers",n med"a de los !alores
de na !ar"a%le respec#o de s !alor med"o.
En el caso de na mes#ra de #ama;o n la d"spers",n
de n !alor respec#o de s cen#ro se pede med"r por
( )&
xxi la med"a ar"#m
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e"n"c",n6 $" X es na !.a. con esperanza "n"#a "#X$, se
llama Varianza de X' a la esperanza de la ne!a
!ar"a%le
)(6)7( && X!arXE xx ==
( )[ ] 5&XEXY =
spon"endo e e"s#e
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4a Desviacin t8pica o est)ndar de na !ar"a%le alea#or"aX'
es la ra+z cadrada pos"#"!a de la !ar"anza se de"ne como6
&&&&& 6)7(6767 XEXEXE xx ==
Propiedades
$ea X na !ar"a%le alea#or"a con med"a % !ar"anza >2.
En#onces6
!ar"X#!ar"X#Y#!ar"XYeXd
$X!ar$$X!arc
X!ar$X!arb
$$!ara
+=+==
==+
=
tienesev.a.i.,dosson8i)
)()()
)()()
constante9$)()
&&&
&
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/eorema$ $eaXna !ar"a%le alea#or"a g(X)na nc",n no ne9a#"!a
deXcon dom"n"o en R. En#onces6
$)6(7
))(( > $$
XgE$XgP '
/eorema$ (es"9aldad de *e%s*e!). $ea Xna !ar"a%le alea#or"a
con esperanza !ar"anza "n"#as' se !er""ca
$,)var())((&
> hh
XhXEXP
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Funciones de una Variable #leatoria
/eorema $ea X na !ar"a%le alea#or"a d"scre#a con recorr"do RX
nc",n de pro%a%"l"dades px(x). $ea Y=H(X)na #ransormac",n no a
no so%re X' con "n!ersa X=H-1(Y)en el recorr"do de Y, RY. En#onces la
nc",n de pro%a%"l"dad de Y, py(y)' es# dada por6Yx %yyHp '))(( %
YXY %y
dy
ydHyHfyf
=
'
)())(()(
%%
/eorema $ea X na !ar"a%le alea#or"a con#"na con nc",n de
dens"dad fx(x) $ea H(X) na nc",n mon,#ona' con#"na
d"erenc"a%le. $" Y=H(X), en#onces s nc",n de d"s#r"%c",n es# dada
por6
=
edecrec"en#ess"crec"en#eess"
)())((%)())(()(
%
%
XHtH&XHtH&t&
X
XY
la nc",n de dens"dad de Yes6
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E3emplo
$eaXna !ar"a%le alea#or"a con nc",n de d"s#r"%c",n FX(t) nc",n
de dens"dadfX
(t). $ea Y= abX' b@0' en#onces como Yes na nc",n
mon,#ona crec"en#e de la !ar"a%le X#enemos' de acerdo al #eorema
an#er"or' e la nc",n de d"s#r"%c",n acmlada la nc",n de
dens"dad de Yson respec#"!amen#e6
=
= bat
fbtfb
at
&t& XYXY
%
)()( 3
En es#e caso se #"ene de "nmed"a#o e la med"a la !ar"anza de Yes#n dadas por
men#erespec#"!a'3 &&&)()( XY bXbEaYE =+=
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E3emplo
ons"deremos la !ar"a%le alea#or"a X' ca nc",n de d"s#r"%c",n es#
dada por
%9)( ==
= ba
b
at&t& XZ 3donde
$%)( & >= tet& tX s"
4a orma es#ndar deXse de"ne por la #ransormac",nZ= (X- )/.e acerdo al ejemplo an#er"or' la nc",n de d"s#r"%c",n de A es#
dada por
Bs+'
$%
,%)( %
&
>+
=
+
tet&
t
Z s"
9
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9 Ceal"zando los clclos' #enemos e = 1/2 = 1/2' en#onces
%%)( )%( >= + tet& tZ s"
:"nalmen#e' comoZ= -/X/' en#onces
Bs+' la orma es#ndar de na !ar"a%le alea#or"a s"empre #endr med"a
cero !ar"anza n"#ar"a.
%)%()($)(&& ===+= Z!arZE 3
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E3emplo
$eaXna !ar"a%le alea#or"a con#"na con nc",n de d"s#r"%c",n FX(D)'
#al eFX
(t) = 0' para #odo t 0. $" Y=X1/2' en#onces
$)(&)( & >= ttfttf XY s"
$)()(& >= tt&t& XY s"
No#emos e' apar#e de ser X na !ar"a%le alea#or"a con#"na' ellade%e ser pos"#"!a' #al e s ra+z cadrada sea realF de lo con#rar"o el
resl#ado no es !l"do.
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E3emplo
ons"deremos la !ar"a%le alea#or"a X e #"ene nc",n de dens"dad
fX(x) = 2(1 7x)' 0 GxG 1' de#erm"nemos la nc",n de dens"dad Y = eX.
eyyyyfY
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E3emplo
$ea X na !ar"a%le alea#or"a con#"na con nc",n de dens"dad
f(x)=1/2' -1G x G1. e#erm"nemos la d"s#r"%c",n de la ne!a !ar"a%le
Y=X2.
r"mero no#emos e RX=(-1'1)' en#onces RY=H0'1). Bs+
"nmed"a#amen#e sa%emos e
>