trabajo y-energia-mécanica

Elaborado: MAOPROFEFECHA. 02/03/2015

TRABAJO Y ENERGÍA

INTRODUCCIÓN

La aplicación de las leyes de Newton a problemas en que intervienen fuerzas variablesrequiere de nuevas herramientas de análisis. Estas herramientas consisten en losconceptos de trabajo y energía cuya aplicación simplifica los problemas ya que no serequiere como varia la fuerza durante el movimiento

Describiremos las técnicas para tratar sistemas de este tipo con la ayuda de undesarrollo importante, llamado Teorema del trabajo y la energía.

Comenzaremos describiendo el concepto de trabajo, el cual proporciona un eslabónentre los conceptos de fuerza y energía mecánica.

Se verá que los conceptos de trabajo y energía se pueden aplicar a la dinámica de unsistema mecánico sin recurrir a las leyes de Newton. Sin embargo, es importante notarque los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las leyes de Newton y, porlo tanto, no requieren ningún principio físico nuevo.

Los conceptos de trabajo y energía se pueden aplicar a una amplia variedad defenómenos en los campos del electromagnetismo y la física atómica y nuclear.


rΔFw

ΔxFw //

xTrabajo realizado por una fuerza constante:

Consideremos un objeto que experimenta un desplazamiento, a lo largo de unalínea recta por la acción de una fuerza constante F, que forma un ángulo con eldesplazamiento, tal como se indica en la figura

El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar de lafuerza por el desplazamiento

En Newton. metro = joule ( N.m = J )

Como la componente de la fuerza paralela al desplazamiento es

podemos expresar el trabajo como:

Entonces se puede decir que el trabajo es igual al producto de la componente de lafuerza paralela al desplazamiento por la magnitud del desplazamiento.

θ

Fcosθ//F


Sí graficamos F// versus X

El área encerrada representa el trabajo realizado por la componente de la fuerzaparalela al desplazamiento. En toda gráfica, fuerza (solo su componente paralela aldesplazamiento) versus desplazamiento, el área bajo la curva nos da el trabajorealizado por la fuerza.

Téngase en cuenta que el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento es muyimportante pues:

Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección del desplazamiento, eltrabajo es positivo

La fuerza F realiza un trabajo positivo


Si la fuerza es siempre perpendicular al desplazamiento, el trabajo realizado por ella escero

F no tiene componente en la dirección del Desplazamiento por lo que su trabajo escero. De esta última expresión podemos decir que toda fuerza perpendicular aldesplazamiento efectúa trabajo cero

si la fuerza tiene una componente en dirección opuesta al desplazamiento, el trabajoes negativo

La fuerza F realiza untrabajo negativo

Ejemplo 1:

Si una masa m= 5 Kg realiza un movimiento circular uniforme con una rapidez v=80m/s. Determine el trabajo realizado por la fuerza centrípeta

En el movimiento circular

la fuerza centrípeta es

siempre perpendicular al

movimiento

Solución: El DCL de la masa nos indica que la fuerza centrípeta es siempre


)(xF

perpendicular al desplazamiento por lo tanto el trabajo es cero

Ejemplo 2:

En el sistema mostrado en lafigura, determínese el trabajorealizado por cada una de lasfuerzas que actúa sobre elbloque de 80 Kg ( =53º)

El bloque se desliza sobre un plano inclinado 37º con la horizontal

Trabajo realizado por una fuerza variable:

Consideremos un objeto que se esta desplazando a lo largo del eje x, mientras unafuerza variable actúa sobre ella tal como se indica en la figura.

En el intervalo [xi, xi +x], x es tan pequeño que la fuerza en dicho intervalo se puedeconsiderar constante e igual a F(xi)


W Δw F(x )Δxi i

El objeto se desplaza a lo largo del eje x, desde x=x1 hasta x=x2, En este caso nopodemos calcular el trabajo, como en el caso de una fuerza constante, pero podemosimaginar que el objeto experimenta desplazamientos muy pequeños Δx , entonces lafuerza, F(x), es aproximadamente constante sobre este intervalo, y para este pequeñodesplazamiento el trabajo será:

el trabajo total será entonces la suma de los trabajos realizados en cada uno de estospequeños desplazamientos

esta manera de obtener el trabajo para el caso de una fuerza variable es bastantetediosa, sobre todo, si el desplazamiento que sufre el objeto es bastante grande, sinembargo es posible obtener el trabajo de una manera más sencilla si se conoce cual esla dependencia de la fuerza con la posición

Gráfica de F(x) versus x

Supongamos que la fuerza varía con la posición tal como se indica en la figura

El área sombreada de la figura (entre xi y xi +x) es aproximadamente:

Si pretendemos calcular el área total entre x1 y x2 debemos dividir toda el área entre x1

y x2 en pequeñas áreas como la indicada en la figura y luego sumarlas , esto nos daría;

x)iF(xiΔw

Δx)iF(x

Δx)iF(xA


xkF

FR

esta ultima expresión es idéntica a la encontrada para el trabajo de una fuerza variable

es decir el área bajo la curva es igual al trabajo realizado por la fuerza variable. Elresorte es un ejemplo de fuerza variable proporcional

TRABAJO REALIZADO POR UN RESORTE

Supóngase que el resorte inicialmente en su posición de equilibrio, es estirado unadistancia x por una fuerza aplicada Fapli , si en esa posición el resorte se encuentra enequilibrio entonces por la ley de acción y reacción podemos afirmar que la fuerza queejerce el resorte es de la misma magnitud pero en sentido opuesto, se puedecomprobar experimentalmente que la magnitud de esta fuerza es proporcional a ladeformación x que a sufrido el resorte desde su posición de equilibrio, es decir:

el signo negativo nos indica que la fuerza apunta siempre hacia la posición de equilibrio

Wx)iF(xA


0FFapli

xkF apli

Medición experimental de la constante elástica de un resorte

La masa m estira el resorte desde su posición deequilibrio una distancia x, en esta nueva posiciónde equilibrio:

mgkx

de aquí inmediatamenteobtenemos el valor de laconstante elástica:

xmgk

Conocida la fuerza podemos ahora determinar cuales el trabajo efectuado por esta fuerza variable enmover el resorte desde la posición inicial xi hasta laposición final xf

Supongamos que la fuerza aplicada estira muylentamente el resorte tal como se indica en lafigura

El resorte se estira muy lentamente desde x1 hasta x2 por acción de la fuerza aplicadaFapli, en todo momento , de esta manera en todo momento la fuerzaaplicada es igual a la fuerza ejercida por el resorte

entonces:

entonces el trabajo neto realizado es cero:

0WW Fapli


2

2fkx

2

2ikx

W

Si determinamos cuál es el trabajo realizado por la fuerza aplicada conoceremos cuáles el trabajo realizado por el resorte.

En la figura se indica como varia la fuerza aplicada con la deformación del resorte. Elárea sombreada entonces nos dará el trabajo efectuado en estirar el resorte desde laposición xi hasta xf

Gráfica de la fuerza aplicadaFapli versus la posición, el áreasombreada nos da el trabajorealizado por ella desde xi hastaxf

y el trabajo realizado por el resorte será:

2

2ikx

2

2fkx

Wapli

)ixf)(x2

fkxikx(trapeciodeláreaWapli


w F Δxx

2 2v vm f iF ( )x d 2 2

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

Consideremos una partícula de masa m moviéndose en la dirección del eje x por acciónde la fuerza resultante Fx , por sencillez supondremos que esta fuerza es constanterealizando la partícula un MRUV, tal como se indica en la figura

¿Cuál será entonces el trabajo realizado por la fuerza resultante?

Como la fuerza resultante es constante y esta en la dirección del desplazamiento eltrabajo será:

Por la segunda ley de newton se puede establecer que:

además como la aceleración es constante, por cinemática:

remplazando la aceleración obtenemos:

Sí reemplazamos esta expresión en la ecuación del trabajo obtendremos:

Vemos pues que para calcular el trabajo no es necesario conocer la fuerza resultante F,solo es necesario saber cual es la velocidad inicial y final de la partícula.

da22iv2

fv

maxF

2

2imv

2

2fmv

W


2

2mvkE

kΔEi)k(Ef)k(EW

Al semiproducto de la masa por el cuadrado de su rapidez se le define como la energíacinética de la partícula.

La energía cinética Ek de una partícula de masa m y velocidad v se define como:

es la energía asociada a todo cuerpo en movimiento, la energía cinética es unacantidad escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo (Joules)

La definición de energía cinética nos permite expresar el trabajo de la fuerza resultantecomo:

El trabajo realizado por la fuerza resultante es igual al cambio en la energíacinética de la partícula, a esta importante relación se le conoce como el teoremadel trabajo y la energía cinética

Aún cuando este importante teorema llamado “teorema del trabajo y la energía cinética”ha sido demostrado suponiendo una fuerza constante en magnitud y dirección, esvalido aun si la fuerza F fuera variable

En general si sobre una partícula

actúan varias fuerzas, siendo F

lafuerza resultante, tal como se indicaen la figura, entonces el trabajorealizado por la fuerza desde la

mgFvv

Nfk

v2


3)C(W2)C(W1)C(W

CF

posición inicial a hasta la posición final es igual al cambio en la energía cinética de lapartícula

ENERGÍA POTENCIAL

El concepto de energía cinética, esta asociado con el movimiento de un objeto. Seencontró que la energía cinética de un objeto puede cambiar únicamente si se realizatrabajo sobre él, Ahora introduciremos otra forma de energía mecánica, llamadaenergía potencial, la cual esta asociada con la posición o la configuración de un objeto.

Se descubrirá que la energía potencial de un sistema se puede pensar como unaenergía almacenada en él y que puede convertirse en energía cinética. El concepto deenergía potencial solo se puede aplicar cuando se esta tratando con una claseespecial de fuerzas llamadas “fuerzas conservativas”. Si solo actúan fuerzasconservativas sobre un sistema, como las de gravitación o las elásticas.

FUERZA CONSERVATIVA

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferenciaentre los valores iniciales y final de una función que sólo depende de las coordenadas

Características:

Si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula entre dos puntos, esindependiente de la trayectoria:

El trabajo solo depende de las posiciones inicial y final

El trabajo efectuado por una fuerza conservativa a través

de una trayectoria cerrada es 0.


mgypE

Toda fuerza conservativa tiene asociada a ella una función, llamada energíapotencial EP tal que el trabajo realizado por esta fuerza conservativa es igual amenos el cambio de su energía potencial

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

La energía potencial es la energía que tiene todo cuerpo inmerso en el campogravitatorio terrestre respecto de un nivel de referencia dado.

Se define la energía potencial gravitacional como:

donde : m: es la masa del cuerpo, g: la aceleración de la gravedad, y: la coordenadavertical medido desde un nivel de referencia.

Así tenemos que:

Si la masa se encuentra porencima del nivel de referenciasu energía potencial serápositiva

Si la masa se encuentra en elmismo nivel de referencia suenergía potencial es cero

Si la masa se encuentra pordebajo del nivel de referenciasu energía potencial seránegativa

Observamos que para mover el cuerpo,debemos aplicar una fuerza externa al sistemaF sobre el cuerpo, y otra fuerza –F sobre latierra. Estas fuerzas son opuestas, por latercera ley de Newton. Fijamos nuestro sistemade referencia en la tierra.Si consideramos un incremento de altura talque podamos considerar al campo gravitatorioconstante, el peso del cuerpo permaneceráconstante en todo el recorrido y será tambiénconstante la fuerza F


P

FDurante el ascenso lafuerza F da energíacinética al cuerpo (realizatrabajo positivo)

Durante el ascenso elpeso P quita energíacinética al cuerpo (realizatrabajo negativo) que setransforma en Ep.

En el punto superior (v=0)la energía dada por F seha acumulado como Epot.

1

2

P

Durante el descenso el pesoP realiza trabajo positivotransformando la energíapotencial acumulada encinética.

En el punto más bajotoda la energía potencialse ha transformado encinética.

En el punto superior el cuerpotiene Ep.2

- 0)

3

12

mgf i f iW mg h h mgh mgh

12 1 2

mgW mgy mgy

El trabajo realizado por la fuerza externa F al experimentar un desplazamiento d será:

Trabajo realizado por el peso:

Supongamos que levantamos un objeto de masa m desde el suelo hasta una altura h.

La fuerza de gravedad o peso realiza trabajo negativo sobre m cuando la partícula semueve de 1 hacia 2 restando energía cinética al cuerpo que se transforma en energíapotencial gravitatoria. Si ahora dejamos que la fuerza de gravedad actúe, (trayectoriade 2 a 1) podemos recuperar toda la energía como energía cinética. La fuerza de


gravedad transforma ahora la energía potencial en energía cinética realizando trabajopositivo.

EjemploA un cuerpo de 500 g, situado en el suelo, se aplica una fuerza constante de 15 N queactúa verticalmente y hacia arriba. Calcular el tipo de energía y su valor en lossiguientes puntos:a) En el suelo. b) 2 m del suelo. c) 5 m del suelo.Solución:

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Cuando se calculó el trabajo realizado por un resorte se encontró que éste sólo

dependía de la elongación inicial y final del resorte2 2kx kx

i fW2 2

a) Ecin = 0 ; E pot = 0.

b) Energía dada por la fuerza F: W F = F . h1 = 15 N . 2 m = 30 JEpot = m g h = 0,5 kg . 10 m/s2. 2 m = 10 JEk = 20 J

c) Energía dada por la fuerza F: W F = F . h2 = 15 N . 5 m = 75 JEpot = m g h = 0,5 kg . 10 m/s2. 5 m = 25 JEk = 50 J.

2 m

5 m


2

P e

k xE

2

W (E ) (E ) ΔEPe i Pe f Pe

Se define la energía potencial elástica como

entonces el trabajo realizado por el resorte se puede expresar:

es decir el trabajo realizado por la fuerza elástica es igual a menos el cambio de laenergía potencial elástica

LA ENERGÍA MECÁNICA

El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni sedestruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, laenergía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes ydespués de cada transformación. En el caso de la energía mecánica se puede concluirque, en ausencia de rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la sumade las energías cinética y potencial permanece constante. Este fenómeno se conocecon el nombre de Principio de conservación de la energía mecánica


kΔEW

CNC wWW

NCW

Si, por ejemplo, un niño desciende por un tobogán, la energía potencial que teníacuando estaba arriba se convertirá en energía cinética al descender. En el caso delpatinador de la ilustración siguiente, la energía cinética y la potencial se vantransformando una en otra según se mueve de un lado para otro.

Principio de su conservación

Supóngase que sobre una partícula de masa m actúan varias fuerzas 321 ,, FFF

no

conservativas y una fuerza conservativa CF

,

El trabajo realizado por la fuerza resultante esigual a la suma de los trabajos efectuados porcada una de las fuerzas individuales:

si llamamos al trabajo realizado portodas las fuerzas no conservativas

entonces el trabajo de la fuerza resultante sepuede expresar:

Por el teorema del trabajo - energía cinética , podemos decir;

C2F2F1FwwwwW

2F2F1FNC wwwW


PC ΔEw

pECEE

NCWΔE

pNCC ΔEWΔE NCipCFpC W)E(E)E(E

0WNC

ctePECEE

ctePECEE

pECEE

como Fc es conservativa el trabajo realizado será, según la ecuación :

reemplazando obtenemos:

si definimos la energía mecánica del sistema como:

entonces:

El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de laenergía mecánica del sistema

¿Que sucede si solo actúan fuerzas conservativas?

En este caso

y

esta importante relación nos indica que en todo momento la energía cinética y potencialdel sistema se mantiene constante y recibe el nombre de: principio de conservaciónde la energía mecánica del sistema

El principio de conservación establece que la suma de la energía cinética y potencial semantiene constante en todo momento,

En la figura podemos apreciar que hay una transformación de energía cinética enenergía potencial y de energía potencial en energía cinética durante todo elmovimiento, conservándose la energía mecánica.

NCpC W)EΔ(E


tiempototaltrabajoP

POTENCIA

Se define como el trabajo efectuado en la unidad de tiempo o la rapidez con la cual seefectúa el trabajo

Potencia media:

Es el trabajo total efectuado entre el tiempo total empleado

Potencia instantánea:

Determinemos el trabajo W realizado por una fuerza F en un intervalo de tiempo muy

pequeño t:

si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero obtendremos entonces la potenciainstantánea

Como en ese pequeño intervalo de tiempo el bloque se logra desplazar r, el trabajorealizado será:

esto nos permite expresar la potencia instantánea de la siguiente manera:

Ordenando adecuadamente:

el segundo termino de esta ultima expresión es justamente la velocidad instantánea

es decir:

W]sJ[,watt

segundojoule

ΔtΔwP

ΔtΔWlimP 0Δt

rΔFΔW

ΔtrΔF

0ΔtlimΔt

ΔW0ΔtlimP

ΔtrΔlimFP 0Δt

vFP


La potencia instantánea desarrollada por una fuerza F es igual al producto de lafuerza por la velocidad instantánea

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