INTRODUCCIN

MECNICA PARA INGENIEROS

MCANICA DE SLIDOS MCANICA DE FLUIDOS

CUERPOS RGIDOS MCANICA DE SLIDOS

ESTTICA DINMICA ESTRUCTURAS ISOSTTICAS

CUERPOS DEFORMABLES

MCANICA DE MATERIALES

MCANICA DE MATERIALES = RESISTENCIA DE MATERIALES MCANICA DE MATERIALES CLCULO DE ESFUERZOS (RESISTENCIA) CLCULO DE DEFORMACIONES (RIGIDEZ)

ELEMENTOS MCANICOS O FUERZAS INTERNAS

Pxx: Pxy, Pxz: Mxx: Mxy, Mxz:

Fuerza axial, se representa generalmente con la letra P. Fuerzas cortantes, se representan generalmente con la letra V (Vy, Vz). Momento torsionante, se representa generalmente con la letra T. Momentos flexionantes, se representan generalmente con la letra M (My, Mz).

Nota. El primer subndice indica la cara (una cara esta definida por el eje de referencia que es perpendicular a ella) en la que acta el elemento mecnico, y el segundo subndice indica la orientacin del elemento mecnico con respecto a los ejes de referencia. 1 ESFUERZOS Y DEFORMACIN 1.1 Definicin de esfuerzo Esfuerzo = fuerza por unidad de rea Esfuerzo = Fuerza / rea [kg/cm2, Pascal (N/m2)]

Normal Esfuerzo Cortante

Esfuerzo normal ( ): la fuerza acta perpendicular al rea Esfuerzo cortante ( ): la fuerza acta paralelo al rea Se puede demostrar por esttica, que para poder suponer una distribucin de esfuerzos uniforme se requiere que la fuerza aplicada pase por el centroide de la seccin transversal.

Aplicando las condiciones de equilibrio ( Fvert = 0 y M = 0): P = dP = dA = dA Pb = x dP = x dA = x dA En las dos igualdades anteriores se supone que es un valor constante. Sustituyendo el valor de P de la primera igualdad en la segunda, se tiene: b dA = x dA b = x dA / dA = x dA / dA = x x : coordenada x del centroide de la seccin transversal 1.2 Esfuerzo normal El esfuerzo normal o axial es producido por fuerzas que actan perpendiculares al rea.

Tensin Esfuerzo normal Compresin El esfuerzo de tensin es provocado por fuerzas de tensin que tienden a alargar ala elemento sobre el cual actan (se consideran positivos los esfuerzos de tensin).

El esfuerzo de compresin es provocado por fuerzas de compresin que tienden a acortar al elemento sobre el cual actan (se consideran negativos los esfuerzos de compresin).

donde: A: rea de la seccin transversal L: longitud total de la barra : alargamiento o acortamiento total de la barra PROBLEMAS 1 Obtener los esfuerzos axiales en las tres barras.

Trazando el diagrama de fuerzas axiales tenemos:

Barra 1: = 5,000 / 10 = 500 kg / cm2 Barra 2: = 5,000 / 20 = 250 kg / cm2 Barra 3: = 15,000 / 15 = 1,000 kg / cm2 2 Obtener los esfuerzos axiales en las barras 1 y 2 de la siguiente armadura.

Se resuelve externamente la armadura, hallando las reacciones en los apoyos A y B:

MA = - 10,000 (4) 5,000 (8) + By (12) = - 40,000 40,000 + 12 By = - 80,000 + 12 By = 0 By = 6666.67 kg Fv = Ay 10,000 5,000 + 6666.67 = Ay 15,000 + 6666.67 = Ay - 8333.33 = 0 Ay = 8333.33 kg

Para mayor facilidad se resolver internamente la armadura por el mtodo de secciones:

M1 = 8333.33 (4) F2 (3) = 33333.32 3 F2 = 0 F2 = 11111.11 kg (compresin) M2 = 8333.33 (8) + F1 (3) 10,000 (4) = 33333.32 3 F2 = 66666.64 + 3 F1 40,000 = 0 F1 = - 8888.88 kg (tensin) Calculando los esfuerzos: Barra 1: = 8,888.88 / 20 cm2 = 444.44 kg / cm2 Barra 2: = 11,111.11 / 10 cm2 = 1,111.11 kg / cm2

3

Obtener el dimetro del tensor circular de acero de la siguiente estructura, si le esfuerzo axial mximo de tensin en el acero es de 1,520 kg / am2.

Utilizando el mtodo de seccin y haciendo M en 0 no se requiere hallar las reacciones en los apoyos de la estructura, de tal manera que se puede hallar directamente la fuerza de tensin F.

= tan-1 4 / 3 = 53.13 d = 3 sen = 3 sen 53.13 = 2.40 m M0 = - 1,000 (6) + F (2.40) = - 6,000 + 2.4 F = 0 F = 2500 kg El esfuerzo de tensin es: = 2500 / A Donde: = 1520 kg / cm2 A = D2 / 4 Por lo tanto: 1520 = 4 x 2500 / D2 D2 = 4 x 2500 / 1520 D2 = 2.09 cm2 D = 2.09 D = 1.44 cm Con la siguiente tabla se puede determinar el dimetro comercial del tensor:Nmero de designaci n 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dimetro nominal Pulg mm 1/4 5 / 16 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 1 1/8 1 1/4 1 3/8 1 1/2 6.4 7.9 9.5 12.7 15.9 19.0 22.2 25.4 28.6 31.8 34.9 38.1 Peso Kg / m 0.284 0.388 0.559 0.993 1.552 2.235 3.042 3.973 5.028 6.207 7.511 8.938 rea Cm2 0.32 0.49 0.71 1.27 1.98 2.85 3.88 5.07 6.41 7.92 9.58 11.40

Se seleccion D = 5 / 8 (A = 1.98 cm2) ya que es el rea ms prxima y adems mayor al calculado. Si se hubiera escogido D = 1 / 2 (A = 1.27 cm2) se tendra un esfuerzo mayor al permitido ya que:

= 2500 / 1.27 = 1,968.5 kg / cm2 >

max

= 1520 kg / cm2

4

La barra rgida AB, la cual tiene un peso de 1,000 kg, esta soportada por dos cables AC y BD, cada uno de los cuales tiene un rea transversal de 4 cm 2. Determinar la magnitud y la ubicacin de la carga P que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos axiales mximos de tensin de los cables AC y BD son 1,000 kg / cm2 y 500 kg / cm2 respectivamente.

De las tensiones de los cables se pueden obtener las reacciones en los apoyos C y D

FAC = Cy FAC = max x AAB = 1,000 x 4 = 4,000 kg Cy = 4,000 kg FBD = Dy FBD = max x ABD = 500 x 4 = 2,000 kg Dy = 2,000 kg Haciendo Fv = 0 se obtiene P: Fv = 4,000 + 2,000 - 1,000 P = 0 P = 5,000 kg Haciendo M = 0 en cualquiera de los apoyos se obtiene x:

MC = 5,000 (x) + 1,000 (1) 2,000 (2) = 5,000 x + 1,000 4,000 = 0 x = 0.6 m 1.3 Esfuerzo cortante El esfuerzo cortante o tangencial es producido por fuerzas que actan paralelas al rea. El esfuerzo cortante es provocado por fuerzas aplicadas que obliguen a que una seccin transversal de un slido tienda a deslizar sobre la seccin adyacente.

donde: A: rea de la seccin transversal del tornillo PROBLEMAS 1 Dos pedazos de madera son empalmados como se muestra en la figura siguiente. Si el esfuerzo cortante admisible en el pegamento es de 5 kg / cm2, determinar la longitud L de las piezas de empalme para que se pueda soportar una carga de 2,000 kg.

max = 5 kg / cm2 V = 2,000 kg = V / 2A A = V / 2 A = 2,000 / 2 (5) = 200 cm2 Cada fuerza de 2,000 kg acta sobre la mitad de L por lo tanto el rea es:

A = 30 x L /2 A = 15 L 15 L = 200 L = 200 / 15 L = 13.33 cm 2 La barra AB de la figura pesa 2,000 kg y esta apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie lisa sin rozamiento en A. Obtener el dimetro del perno ms pequeo que puede usarse en B, si el esfuerzo cortante admisible del perno es de 600 kg / cm2

El peso de la barra acta en direccin a la fuerza de gravedad (perpendicular al piso) por lo que se requiere hallar la componente paralela a la barra.

= cos-1 6 / 10 = 53 F = 2,000 / sen = 2,000 / sen 53 F = 2504.27 kg = V / 2A = max 600 = 2054.27 / 2A A = 1.71 cm2 En este punto se puede recurrir la tabla de dimetros mostrada anteriormente, la cual pide: D = 5 / 8 (A = 1.98 cm2) O bien se puede calcular de forma exacta: D2 = 4A / = 4 (1.71) / = 2.18 cm2 D = 1.48 cm 5 / 8

1.4 Esfuerzo de aplastamiento El esfuerzo de aplastamiento es in esfuerzo de compresin que se produce en la superficie de contacto de dos cuerpos

donde: d: dimetro del tornillo t: espesor de la placa de unin PROBLEMAS

1. La figura siguiente muestra la unin de una diagonal y la cuerda inferior de unaarmadura de madera. Despreciando el rozamiento, a) obtener la dimensin b si el esfuerzo cortante admisible es de 9 kg / cm2; b) calcular la dimensin c si el esfuerzo de aplastamiento admisible es de 70 kg / cm2.

Como puede observarse en la figura se requiere determinar que superficie interviene en el esfuerzo cortante y cual en el esfuerzo de aplastamiento.

a) V = Fx = F cos 30 = 500 cos 30 V = 433.01 kg A = V / = 433.01 / 9 A = 48.11 cm2 A = 15 b = 48.11 b = 3.21 cm

b) A = V / = 433.01 / 70A = 6.18 cm2 A = 15 c = 6.18 c = 0.41 cm 2. Obtener el valor mximo de la fuerza T que se puede aplicar en la siguiente unin de placas de acero si: a) el esfuerzo a tensin admisible de la placa es de 1,500 kg / cm2. b) el esfuerzo cortante admisible del tornillo es de 3,000 kg / cm2. c) el esfuerzo de aplastamiento admisible de la placa es de 2,000 kg / cm2. d) determine la fuerza T mxima aplicable al sistema.

La diferencia entre los tres esfuerzos que se requiere hallar esta determinara por el rea en la cual actan las fuerzas, en la figura siguiente se puede ver a que rea corresponde cada esfuerzo.

a) T = A = 1,500 (20 x 1)T = 30,000 kg

b) T = A = 3,000 [4 x (22)/4]T = 37,699.11 kg

c) T =

ap A = 2,000 [2 x (2x1)] T = 8,000 kg

d) Tmax = 8,000 kg (con los otros valores, el sistema fallara por tensin y cortante)

1.5 Deformacin axial

P: fuerza axial (tensin o compresin) de la barra. L: longitud total de la barra. : deformacin total (alargamiento o acortamiento) de la barra. : deformacin unitaria (alargamiento o acortamiento) de la barra. Las deformaciones unitarias son adimensionales. Se les asignan signos positivos a los alargamientos y a los esfuerzos de tensin. Se les asignan signos negativos a los acortamientos y a los esfuerzos de compresin. 1.6 Relacin de Poisson

donde:

: relacin de Poisson (positiva) y su valor oscila entre 0 y 1 / 2. El signo negativo de la expresin es para tomar en cuenta que las deformaciones unitarias laterales y axiales son siempre de signo contrario. La relacin de Poisson vales 0.2 para el concreto y 0.3 para el acero. 1.7 Deformacin angular

V: fuerza cortante del elemento. L: longitud total del elemento. s: deformacin transversal total del elemento. : deformacin angular o distorsin del elemento. En un elemento sujeto a fuerza cortante no varan la longitud de sus lados, sino que nicamente experimentan un cambio de forma. Debido a que es siempre muy pequeo, se considera que tan

2 ESFUERZOS POR CARGA AXIAL 2.1 Definicin de elasticidad Elasticidad: es la propiedad de un material de recuperar por completo sus dimensiones originales al suprimir las fuerzas que se le aplican.

Cuando un material se comporta elsticamente y adems presenta una relacin lineal entre el esfuerzo y la deformacin unitaria, se dice que el material es elstico lineal. La mayor parte de los materiales estructurales (concreto, acero y madera) tienen una regin inicial en la grfica esfuerzo-deformacin ( - ) en la que el material se comporta tanto elstica como linealmente. 2.2 Ley de Hook Ley de Hook: El esfuerzo es proporcional a la deformacin unitaria.

2.2.1 Mdulo de elasticidad

E: mdulo de elasticidad o mdulo de Young 2.2.2 Mdulo de elasticidad al cortante

G: mdulo de elasticidad al cortante. Es posible demostrar que existe una relacin entre los valores de E y G, dada la siguiente expresin:

2.2.3 Diagramas esfuerzo-deformacin a) Acero

Lmite de proporcionalidad ( p):

Esfuerzo hasta el cual los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones unitarias. Esfuerzo ms all del cual el material no recupera su forma original al ser descargado. Esfuerzo para el cual ocurre un alargamiento considerable o fluencia del material, sin el correspondiente aumento de carga. Mximo ordenada deformacin. de la curva esfuerzo-

Lmite de elasticidad ( e):

Lmite de fluencia ( y):

Esfuerzo ltimo ( u):

b) Concreto simple

c) Madera

2.3 Deduccin de las frmulas de carga axial Para cada caso de esfuerzos normales, la ley de Hooke se puede escribir como: =E sustituyendo los valores de y por P / A y / L respectivamente:

La expresin anterior es vlida si se cumple las siguientes hiptesis: a) La carga P debe ser axial. b) La barra debe ser homognea y de seccin constante. c) El esfuerzo no debe sobrepasar el lmite de proporcionalidad del material. Los elementos que forman una estructura deben poseer: a) Resistencia (clculo de esfuerzos) b) Rigidez (clculo de deformaciones) A continuacin se presentan los valores del mdulo de elasticidad de los principales materiales utilizados en las estructuras: Acero Concreto E = 2000,000 kg / cm2 E = 8,000 f c (kg / cm2)

Si f c = 200 kg / cm2 entonces E = 113,000 kg / cm2

Madera pino

E = 100,000 kg / cm2

2.4 Clculo de esfuerzos por carga axial PROBLEMAS 1 Calcular el valor de la dimensin a de la siguiente barra cuadrada, si el esfuerzo axial mximo de tensin en la barra es de 2,500 kg / cm 2 y el valor mximo de la deformacin es de 1 cm. Suponer E = 1000,000 kg / cm2.

Se determina el rea considerando el esfuerzo de tensin: A = P / = 10,000 / 2,500 = 4 cm2 A = a2 = 4 cm2 a1 = 2 cm =PL/AE Se determina el rea considerando la deformacin: A = P L / E = 10,000 (900) / 1 (1000,000) = 9 cm2 a2 = 3 cm Se seleccionar a = 3 cm ya que es el que proporcionar un mayor rea, por lo tanto un menor esfuerzo. 2 Calcular el valor de la deformacin total de la siguiente barra, formada con tres barras circulares de diferente dimetro, si E = 2000,000 kg / cm2.

En el apoyo se tendr una reaccin de: Fv = 20,000 + 10,000 = 30,000 kg Se traza el diagrama de fuerzas axiales:

En la primera barra se tendr un esfuerzo de tensin (+) por lo tanto un alargamiento (+). A = D2 / 4 = (3)2 / 4 = 7.07 cm2 = P L / A E = 30,000 (400) / 7.07 (2000,000) = 0.85 cm. En la segunda barra se tendr un esfuerzo de tensin (+) por lo tanto un alargamiento (+). A = D2 / 4 = (2)2 / 4 = 3.14 cm2 = P L / A E = 10,000 (600) / 3.14 (2000,000) = 0.95 cm. En la ltima barra no acta ninguna fuerza, por lo tanto: =0

Sumando las deformaciones parciales resultantes se tiene: = 0.85 + 0.95 = 1.79 cm (alargamiento) 3 Calcular el valor mximo de P, si la deformacin total de la siguiente barra compuesta no debe exceder de 0.2 cm y no se deben exceder los esfuerzos axiales admisibles de cada una de las barras. A = 4.5 cm2 Bronce adm = 1,200 kg / cm2 E = 830,000 kg / cm2 A = 6 cm2 adm = 800 kg / cm2 E = 700,000 kg / cm2 A = 3 cm2 adm = 1,400 kg / cm2 E = 2000,000 kg / cm2

Aluminio

Acero

Se traza el diagrama de fuerzas axiales:

Se determinan las fuerzas posibles considerando los esfuerzos axiales admisibles: Bronce: = 3P / A P = A / 3 = 1,200 (4.5) / 3 = 1,800 kg = 2P / A P = A / 2 = 800 (6) / 2 = 2,400 kg

Aluminio:

Acero:

= 2P / A P = A / 2 = 1,400 (3) / 2 = 2,100 kg

Se determina la fuerza posible considerando la deformacin: =PL/AE = - 3P (60) / 4.5 (830,000) 2P (100) / 6 (700,000) + 2P (80) / 3 (2000,000) 0.2 = - 4.82-5 P 4.76-5 P + 2.67-5 P 0.2 = - 6.91-5 P P = 2894.36 kg Se selecciona P = 1800 kg, ya que es el menor, por lo tanto actuara con menor esfuerzo y cumplir con todos los dems requisitos. 4 A partir de la armadura de madera de la siguiente figura:

a) Revisar si los elementos propuestos son adecuados por resistencia, si el esfuerzoadmisible de compresin es de 90 kg / cm2 y el de tensin es de 180 kg / cm2. b) Calcular el desplazamiento vertical del nudo A, si para la madera E = 100000 kg / cm2.

Se resuelve la armadura para obtener las fuerzas actuantes:

= tan -1 (3 / 4) = 36.87 T = 10000 / sen 36.87 = 16663.63 kg C = 16663.63 cos 36.87 = 13333.28 kg

a) Se determinan los esfuerzos en las barras, y se comparan con los admisibles. T

= 16663.63 / (10 x 10) = 166.67 kg / cm2