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Contenido
• Trabajo por fuerza constante: Definición. Unidad de medida, trabajo positivo, negativo o nulo.
• Trabajo realizado por varias fuerzas.• Trabajo realizado con fuerzas variable en trayectoria
rectilínea• Trabajo en trayectoria curva• Teorema del Trabajo y Energía cinética: a. Definición de
energía cinética. b. fuerza constante, c. fuerzas variables, d. limitaciones.
• Potencia: definición. Potencia media. Potencia instantánea. Unidades de medida.
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El trabajo realizado por una fuerza consante F que se
mueve un desplazamiento s está definido por:
el producto de la componente de la fuerza en la dirección del
desplazamiento por la magnitud del desplazamiento
donde es el ángulo de la dirección de la fuerza y la
dirección del movimiento.
s ( o escribiremos d) es el desplazamiento.
sFsFW )cos(
Trabajo (realizado por una fuerza constante)
s
5
Unidades de
medida del
trabajo :
El trabajo es una magnitud escalar
Si F tiene la misma dirección que el desplazamiento,
entonces = 0°, y W= Fs
Sistema de unidades Trabajo
SI Joule (J) 1 J= 1N m
Británico libra·pie
cgs Ergio= dina·cm
Otros eV (electronvolt)
1J=0.7376 lb·pie ; 1 lb·pie= 1.356 J ; 1eV=1.60x10-19 J
El trabajo puede ser:a. Trabajo positivo: la fuerza tiene la misma dirección que el desplazamiento.b. Trabajo negativo: la fuerza tiene dirección opuesta al desplazamiento.c. Trabajo nulo: el desplazamiento es cero, o la fuerza es cero, o son
perpendiculares la direcciones de la fuerza y el desplazamiento.
Ángulo ϴ Cos ϴ Trabajo Conclusión
Entre 0° y 90° Mayor que 0 Positivo La fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento
Entre 90° y 180° Menor que 0 Negativo La fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento
90° 0 Nulo La fuerza tiene una componenteperpendicular al desplazamiento
En el movimiento circular, el trabajo realizado por la fuerza centrípeta es cero, ¿por qué?
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No se realiza trabajo en la para
moverla horizontalmente (¿por
qué?)
Se realiza trabajo al levantar la
caja (¿por qué?)
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Trabajo negativo y trabajo total
Trabajo total (o neto) realizado por varias fuerzas:
a. Método 1. El trabajo total realizado por las fuerzas sobre el
cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por las
fuerzas individuales:
b. Método 2. Buscar la fuerza neta y aplicar la definición
321 WWWWW itotal
sFW
sFW
)cos(
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Ejemplo : Suponga que usted hala un paquete con una
fuerza de 98 N que forma un ángulo 55° respecto a la horizontal
por una distancia de 60m. ¿Cuál es el trabajo total realizado por
usted sobre el paquete?
Obsérvese que (F cos) es la componentede la fuerza en la dirección del movimiento. (en la dirección del desplazamiento del paquete)
Solución
JW
mNW
FdW
3490
55cos6098
cos
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Problema: Una fuerza F = (6ˆi - 2ˆj) N actúa en una partícula que
adquiere un desplazamiento r = (3ˆi +ˆj) m. Encuentre el trabajo
realizado por la fuerza en la partícula.
Ejemplo : Un bloque de masa 0.23 kg se deliza hacia abajo en un
plano inclinado en 25° a una velocidad constante. El bloque se deliza
1.5 m. ¿Cuál es el trabajo hecho por la fuerza normal, por la gravedad,
y por la fricción? ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el bloque?
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La fuerza normal
La fuerza de fricción
NmgF
mgF
maF
rf
rf
95.025sen8.923.0sen
0sen
NmgF
mgF
maF
n
n
04.225cos8.923.0cos
0cos
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Trabajo realizado por cada fuerza
Trabajo realizado por la fuerza normal:
Trabajo realizado por la fuerza de fricción:
Trabajo realizado por la fuerza gravitacional
Entonces, el trabajo total o trabajo neto es:
JdFW nn 090cos5.104.2cos
JdFW frfr 40.1180cos5.195.0cos
JmgddFW gg 40.165cos5.18.923.0coscos
0neto n fr gW W W W J
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Gráfico fuerza-posición
El trabajo realizado por una fuerza es igual al área debajo de la
curva y el eje x (si el área se encuentra debajo del eje x este
trabajo es negativo)
Fuerza constante
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Trabajo realizado por fuerza
variable
xFWf
i
x
x
x
0lim
f
f
i
i
xx
x xxxx
F x F dx
f
i
x
x
x
W F dx Trabajo realizado por una fuerza variable, desplazamiento rectilíneo
Trabajo realizado por fuerza variable en cualquier trayectoria
𝑊 = 𝑃1
𝑃2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑙
Trabajo realizado por una fuerza variable en una trayectoria curva
Esta integral se denomina integral de línea.
Sólo la componente de la fuerza neta paralela a la trayectoria, realiza trabajo sobre la partícula.
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Ejemplo: Una fuerza actúa en una partícula varía con x, como se
muestra en la figura .Calcule el trabajo realizado por la fuerza al moverse
la partícula desde x = 0 to x = 6.0 m.
Solucion El trabajo realizado es igual al área debajo de la curva
entre x= 0 to x= 6.0 m. Esta área es igual al área de un retácgulo entre
x= 0 a 4 m más el área del trígulo entre x= 4 a 6m. El área del
rectángulo es (5.0 N)(4.0 m) = 20 J, y el área del triángulo es
½(2m)(5N)=5J. Entonces, el trabajo total es =25J
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Problema: Un objeto está sometido a una fuerza como se muestra
en la figura. ¿Cuál es el trabajo entre 0 a 1.00m?
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Trabajo realizado por un resorte
sF kx Donde k es una consante
positiva (denominada
constante elástica)
2
max
1
2sW kx
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Teorema del Trabajo y la Energía Cinética
El trabajo total realizado por una fuerza neta sobre unapartícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula:
Wtotal = K = Kfinal - Kinicial
2 21 1
2 2total f iW mv mv
Teorema del trabajo y energía cinética para fuerza constante
• Consideremos una fuerza F constante que forma un ángulo θ=0º,
F
x
cos
cos0º
W F x
W F x
W F x
F ma Sustituyendo en la ec. anterior
W ma x
Como F= constante, a es const y el movimiento es rectilíneo uniformente variado. Entonces:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
1 1
2 2
f o
f o
f o
f o
v v a x
v va x
v vW m
W mv mv
21
2K mvDenominemos a K energía cinética,
Teorema de trabajo-energía: “el trabajo realizado por la fuerza neta sobreUna partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula”
f oW K K
W K
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Energía cinética
La energía cinética se define:
m = masa
v = magnitud de la velocidad
La unidad de medida en el SI es el Joule (J).
La energia cinética es una magnitud escalar.
La energía cinética siempre es no-negativa (cero o positiva)
2
2
1 mvK
Teorema del trabajo y energía cinética para fuerza variable para movimiento rectilíneo
• Consideremos una fuerza variable F.
• La aceleración es, aplicando la regla de la cadena,
• El trabajo total por la fuerza neta Fx es:
,xx x
x x xx x
dv dxa v
dt dt
dv dv dx dva v
dt dx dt dx
2 21 1
2 2
f f f
o o o
f
o
x x x
xtotal x x x
x x x
x
total x x f o
x
total f o
dvW F dx ma dx mv dx
dx
W mv dv mv mv
W K K K
Teorema de trabajo-energía para movimiento en una curva
• Sea F una fuerza variable, y ф el ángulo entre F y dl, siendo dl un elemento de desplazamiento a lo largo de la curva de P1 a P2.
• Sea dW el elemento de trabajo realizado sobre la partícula durante dl, entonces:
• El trabajo total realizado por F sobre la partícula al moverse de P1 a P2 es:
cosdW F dl Fdl F dl
2 2
1 1
cos
P P
P P
W F dl F dl
• Como la fuerza F es prácticamente constante en cualquier segmento infinitesimal dl de la trayectoria, podemos aplicar el teorema trabajo-energía de la partícula a cada segmento. Es decir:
• La suma de estos trabajos infinitesimales de todos los segmentos de la trayectoria es igual al cambio total de energía cinética en la trayectoria.
dW F dl
total f iW K K K
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Ejemplo : ¿Cuánto trabajo se requiere para detenerun automóvil de masa de 1000 kg viajando a 28 m/s?
Solución:
JW
W
mvmvKEW if
5
22
22
109.3
)28)(1000(2
1)0)(1000(
2
1
2
1
2
1
Análisis en tres dimensiones
• En tres dimensiones resulta:
f f f f
i i i i
x y z
x y z
r x y z
x y z
r x y z
F F i F j F k
d r dxi dy j dzk
dW F d r F dx F dy F dz
W dW F dx F dy F dz
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Ejemplo : Un esquiador de 58 kg se desliza en una
pendiente de 25° por encima de la horizontal. Una fuerza de fricción cinética de 70 N se opone al movimiento. Cerca de la parte más alta de la pendiente la rapidez del esquiador es de 3.6 m/s. ¿Cuál es la rapidez en el punto más bajo a 57 m cuesta abajo?
Trabajo neto= Wf+Wg :
Solution:
JW
dfW
f
rf
399015770
180cos
sin 25. cos0
cos25 cos90 0
58 9.8 0.42 57 13690
g
g
g
W mg d
W mg d J
W J
JWnet 9700
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Por el Teorema del trabajo y la energía cinética:
2 2
2 2
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
2
2 9700(3.6) 18.6 /
58
f i
f i
f i
f
W K mv mv
mv W mv
Wv v
m
v m s
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Ejemplo: Un ciclista de 65 kg corre una bicicleta de 10.0 kg con
una rapidez de 12 m/s.
(a) ¿Cuánto trabjo deben realizar los frenos para detener la
bicicleta con el ciclista?
(b) ¿Qué tan lejos viaja el ciclista si toma 4.0 s llegar al reposo?
(c) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de frenado?
a) Fricción = sólo la fuerza horizontal
Wneto = Kf -Ki <0
Wneto = 0 – (1/2) m vi2
Wneto = (1/2) (10+65) (12)2
Wneto = 5400 kg m 2 /s 2 = 5400 J
Solution:
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c) Fuerza de frenado
Wneto = Fneta d = FFriccion d
FFriccion = Wneto /d = (5400)J/(24 m) = 225 N
b) Encontramos la aceleración
v = v0+at
0 = v0 + at,
a= v0/t
a = 12/4 = 3 m/s2
x= x0+v0 t+(1/2)at2
x= 0 + (12)(4) + (1/2)(-3)(4)2
x= 48 -24 = 24 m
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Potencia es la rapidez con que se realiza un trabajo.
Potencia
Tiempo
TrabajoPotencia
( ) (potencia instantánea)Trabajo d
Potencia F Fv F vTiempo t
• Potencia media
• Potencia instantánea
media
WP
t
lim
0
W dWP
t t dt
Unidades de potencia
La unidad SI de potencia es el watts" (W).
Otras unidades de potencia:
Unidad de energía expresada en unidades de potencia:
WattSegundo
Joule1
1
1
1 550 / 746
1 1000
hp pie lb s W
kW W
1 3.6kWh MJ
El kWh= kilowatt-hora, es una unidad de energía