dinámica del movimiento rotacional - unproyecto.org momento angular, momento cinético o momento de...
TRANSCRIPT
Torca, momento angular, momento cinético o momento de torsión: La habilidad de una fuerzapara rotar o girar un cuerpo alrededor de un eje.
Solamente la componente de la fuerza
perpendicular al radio causa el torque.
= r (Fsenq)
De manera equivalente, solamente la
distancia perpendicular entre la línea
de fuerza y el eje de rotación,
conocido como brazo de momento o
brazo de palanca r, pueden usarse
para calcular el torque.
= rF = (rsenq)F
𝜏 = 𝑟 × 𝐹 𝑟= es la posición del eje hasta el punto de aplicación de la fuerza 𝐹= es la fuerza aplicada 𝜏= torca
Eje
Punto de aplicación de la fuerza
Momento de torsión
• Es una magnitud vectorial
• Se mide en 𝑁 ⋅ 𝑚
• La dirección del momento de torsión es:
– Perpendicular al plano formado por los vectores 𝑟
y 𝐹, + en sentido antihorario, - en sentido horario.
xApunta hacia afuera de la página Apunta hacia adentro de la página
Línea de acción de la fuerza
F1
F2
F3Línea de acción
Línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza
Brazo de momento
• Brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación
F2
F1
F3
r
rr
Procedimiento para el cálculo de la torca de una fuerza
Paso 1. Identifique eje de rotación, fuerza y distancia desde el eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Haga un dibujo.
Paso 2. Trace la línea de acción de la fuerza.
Paso 3. Dibuje y asigna un nombre al brazo de momento.
Pasto 4. Calcule el brazo de momento.
Paso 5. Calcule el momento de torsión mediante:
Momento de torsión = fuerza x brazo de momento
Ejemplo 1: Una fuerza de 80 N actúa en el
extremo de una llave de 12 cm como se muestra.
Encuentre el momento de torsión.
• Extienda línea de acción, dibuje, calcule r.
= (80 N)(0.104 m) =
8.31 N m
r = 12 cm sen 600
= 10.4 cm
Fuente: Paul Tippens, 2007
Alternativo: Una fuerza de 80 N actúa en el
extremo de una llave de 12 cm como se
muestra. Encuentre el momento de torsión.
Descomponga la fuerza de 80-N en componentes como se muestra.
Note de la figura: rx = 0 y ry = 12 cm
= (69.3 N)(0.12 m) = 8.31 N m como antes
positivo
12 cm
Fuente: Paul Tippens, 2007
Procedimiento para el cálculo de la torca neta por varias fuerzas
• Paso 1. Construya un dibujo y nombre el eje, la fuerza y la posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al eje.
• Paso 2. Dibuje las líneas de acción para cada fuerza
• Paso 3. Calcule los brazos de momento.• Paso 4. Calcule los momentos de torsión debidos
a cada fuerza individual. Recuerde los signos.• Paso 5. Calcule el momento neto sumando
algebraicamente los momentos de las fuerzas individuales.
Ejemplo 2: Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo que se
muestra abajo:
300300
6 m 2 m4 m
20 N30 N
40 NA
Encuentre
debido a cada
fuerza. Considere
primero la fuerza
de 20 N:
r = (4 m) sen 300
= 2.00 m
= Fr = (20 N)(2 m)
= 40 N m, mr
El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y negativo.
20 = -40 N m
r
negativo
Fuente: Paul Tippens, 2007
Ejemplo 2 (cont.): A continuación encuentre el momento de torsión debido a la fuerza de 30 N en
torno al mismo eje A.
300300
6 m 2 m4 m
20 N30 N
40 NA
Encuentre debido a
cada fuerza. Considere a
continuación la fuerza de
30 N.
r = (8 m) sen 300
= 4.00 m
= Fr = (30 N)(4 m)
= 120 N m, mr
El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y negativo.
30 = -120 N m
rnegativo
Fuente: Paul Tippens, 2007
Ejemplo 2 (cont.): Finalmente, considere el momento de torsión debido a la fuerza de 40-N.
Encuentre debido a
cada fuerza. Considere a
continuación la fuerza de
40 N:
r = (2 m) sen 900
= 2.00 m
= Fr = (40 N)(2 m)
= 80 N m, cmr
El momento de torsión en torno a A es CMR (contrario a las manecillas del reloj) y positivo.
40 = +80 N m
300300
6 m 2 m4 m
20 N30 N
40 NA
r
positivo
Fuente: Paul Tippens, 2007
Ejemplo 2 (conclusión): Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo
que se muestra abajo:
300300
6 m 2 m4 m
20 N30 N
40 NA
El momento de torsión
resultante es la suma de los
momentos de torsión
individuales.
R = - 80 N mSentido de las manecillas del reloj (MR)
R = 20 + 30 + 40 = -40 N m -120 N m + 80 N m
Propiedades• La torca es vectorial: tiene magnitud y dirección• Factores que influyen en la magnitud de la torca
• Magnitud de la fuerza aplicada• A mayor fuerza mayor torca
• Dirección de la fuerza aplicada• Para un ángulo es de 90º, la torca es máxima• Para un ángulo de 0º la torca es nula
• Ubicación de la fuerza aplicada (punto de aplicación de la fuerza)• Mientras más lejos es la distancia desde el eje
mayor es la torca.
Problema:Calcule el torque neto en una varilla de 0.6-m alrededor el eje en la
izquierda. Actúan tres fuerzas en la varilla según el diagrama.
30°
0.3 m
4 N
5 N
6 N
Torca & Aceleración Angular
Consideremos un objeto puntual con masa m que
rota en un circulo.
La fuerza tangencialFt es
tt maF
El torca debido a la fuerza tangencial es Ft
rFt
I
El torque que actúa en la partícula es proporcional a la aceleración
angular
Analogo a la Segunda Ley de Newton del
movimiento con rotación
mr
rmat 2mr I
Que pasa en un cuerpo rígido?
La fuerza dFt es
tdF
El torque debido a la fuerza tangencial Ft es
El torque total es
d
tdma dmr
rdFt dmr 2
dmr 2 I
Ejemplo :
Una barra uniforme de longitud L y masaM se ata a uno de los
terminales de un pivote sin fricción y que gira libremente en el plano
vertical. La barra es liberada desde el reposo en posición horizontal.
¿Cuáles son la aceleración angular inicial de la barra y le aceleración
lineal inicial de terminal derecho?
La única fuerza que genera torque es la fuerza gravitacionalMg
Usando la relación entre la aceleración angular y aceleración tangencial
L
dmrI0
2
Ya que el momento de inercia de la varrilla cuando rota alrededor de un
terminal
Obtenemos
ta La punta de la barra cae
rápidamente que un objeto en
caida libre.
Fd2
LF
2
LMg I
L
dxx0
2
L
x
L
M
0
3
3
3
2ML
I
MgL
2
3
2 2ML
MgL
L
g
2
3
L2
3g
Momento angular• La cantidad de movimiento angular L se define
como:
vmrprL
El primer termino es cero porque el angulo es cero
La rapidez de cambio del momento angular de una particula es igual a la torca de la fuerza neta que actua sobre ella.
Momento angular
• La cantidad de movimiento angular total de un cuerpo rígido que gira sobre el eje z con velocidad angular ω
IL
IrmLL
rmrrmL
iii
iiiiii
)(
)(
2
2
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑟 × 𝑚 𝑣
Principio de conservacion de la cantidad de movimiento angular• Si el momento de torsion externo que actua sobre un
sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total es constante (se conserva).
Consideremos un sistema compuesto de dos cuerpos A y B que interactuanentre si pero sin ningun agente externo actuando. Si A ejerce una fuerzasobre B y aplicando la tercera Ley de Newton:
Entonces, la cantidad de movimiento angular esconstante.
𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil
• Traslación y rotación combinadas
– Cuerpo rígido con traslación y rotación:
– Dinámica:
2 21 1
2 2cm cmK Mv I
ext cm
z cm z
F Ma
I