TAREA - CONCEPTOS GEOMETRICOS

NELSON DAVID RODRIGUEZ MORALES

PRESENTADO A:

TOPOGRAFIA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

FUNDACION UNIVERSITARIA AGRARIA DE COLOMBIA

BOGOTA D.C.

2012

Conceptos Geométricos

Angulo: Es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Ángulo nulo: Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo: Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0

rad y menor de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g

(grados centesimales).

Ángulo recto: Un ángulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g

centesimales).

Ángulo llano, extendido o colineal: El ángulo llano tiene una amplitud de rad Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo oblicuo Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completoo perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1

Ángulo convexo o saliente: Es el que mide menos de rad. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo, reflejo o entrante: Es el que mide más de rad y menos de rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Mediana: Es la línea que mide cada vértice con el punto medio del lado opuesto en un triangulo, es decir existen tres vértices. Estas dividen al triangulo en áreas iguales, las tres medianas se intersectan en el centro de gravedad del triangulo, el baricentro o el centroide. Dos tercios de longitud entre cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante esta en el baricentro y el punto medio del lado opuesto.

Mediatriz: Es el segmento de la línea perpendicular que cruza por entre dos circunferencias trazada por su punto medio. Se puede definir como las rectas que tienen puntos equidistantes a los extremos del segmento. También se llama simetral.

Las mediatrices de un triangulo son aquellas que pasan perpendicularmente a los lados que pasan por su punto medio. Estas se cortan en un punto llamado circucentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triangulo, es decir la circunferencia circunscrita al triangulo.

El perímetro: Es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. El perímetro junto con el área son magnitudes determinantes de un polígono o una figura geométrica, se utiliza para medir la frontera como una valla. Es la medida del contorno de una superficie.

El Semiperimetro: Es la mitad de un perímetro. El Semiperimetro aparece con bastante frecuencia en la formulas de los triángulos. La formula para hallar el semiperimetro conociendo los lados: a, b y c son:

Triangulo: Es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las

rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Sus ángulos son agudos y como máximo uno de ellos es de 90° o es obtuso, y la suma de los tres ángulos debe ser 180°.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Triángulo Equilátero: Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres

ángulos internos miden 60 grados ó radianes.) Triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con

dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno ("cojo", en griego): Si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

OblicuángulosObtusángulos

Acutángulos

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

o Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo equilátero isósceles escaleno

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Ley de Senos

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

Ley de Cosenos

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Regla de Simpson:

Es una regla que se usa para obtener la regla de Kepler, es un método de integración numérica que se usa para obtener la aproximación de la integral:

.

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada1

es equivalente a

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión

de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada[1]

es equivalente a

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

Error

El término error E(f), llamado error global, corresponde a[1]

donde h = (b − a) / 2 y ξ pertenece al intervalo [a,b].

Se puede calcular una estimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos) está acotado como[2]

donde, de nuevo h = (b − a) / 2 y .

Regla de Simpson compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula

compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.

Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo

tenemos:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

El máximo error viene dado por la expresión

Radiación Simple: Es un método básico de medición de ángulos y distancias.

Consiste en estacionar en un punto de coordenadas conocidas y medir coordenadas polares (ángulo y distancia reducida) a los puntos cuya posición se

quiere determinar. Su observación respecto a los ángulos puede ser orientada o no.

Sus instrumentos de medida son:

Taquímetro y estadía (en desuso), o goniómetro y medida electromagnética de distancias.

Utilidad del métodoLa radiación es útil para tomar caracteres y detalles en torno a un punto

conocido. Por lo general el punto que se conoce es una estación de la poligonal es decir el contorno formado por tramos rectos que enlazan los puntos a levantar, y la orientación angular se hará con base a la medida del punto anterior o siguiente.

Es un método viable y muy adecuado para hacer un levantamiento de una zona con alta visión del terreno desde un punto. Se puede establecer un sistema de coordenadas local teniendo la precaución de elegir unas coordenadas para la estación desde la que se radia suficientemente grande para que no tener coordenadas negativas de los puntos levantados. A veces se intenta situar el eje Y próximo al Norte, operación que se puede hacer con la ayuda de una brújula.

Es la medición de un terreno por levantamiento topográfico utilizando el teodolito con ayuda de cintas y plomadas que permite hallar coordenadas (x,y y h). Este es utilizado para medir puntos en el espacio, con esto se realiza el levantamiento, localizamos puntos y hacemos un plano o grafico del terreno al que trabajamos. Por lo general entre mayores puntos hallemos más fácil, evidente y conciso será el levantamiento, conociendo con más exactitud los puntos trabajados y encontrando mayores detalles del campo donde se realiza.

Su labor es ayudar a afirmar el terreno es apto por medio del estudio de doscientos puntos o más, esto debido a que cada detalle del terreno colabora en función de localizar y entender un espacio cualquiera, ya sea un campo lleno de arboles o un edificio lleno de escaleras y pasadizos; su importancia radica en definir los detalles y caracterizar el levantamiento por medio de diferentes puntos.  

La radiación es en muchas ocasiones un método complementario de la poligonal.

Con las coordenadas de A, el acimut y la distancia reducida, se calculan las coordenadas de los puntos P1, P2...

XP = XA + AP · sen AP,

YP = YA + AP · cos AP

Si además se miden los desniveles desde A a los puntos radiados, también se puede calcular la cota:

ZP = ZA + ZAP