CASO: COMPRA DE

AVIONES

Presentado por:

Maritza Caicedo Cód.: 1353912 Wilson Londoño Cód.: 1353903 Estefania Palma Cód.: 1353792

Descripción breve Se resolverá un caso sobre la compra de aviones, desde varios puntos de vista, y se

hacen análisis sobre qué pasaría si algunas condiciones cambiaran, todo esto usando modelos de programación lineal.

Caso: Compra de Aviones

Tipo de avión Corto Mediano Largo

Precio $ 3.500.000,00 $ 5.000.000,00 $ 6.700.000,00

Ganancia $ 230.000,00 $ 300.000,00 $ 400.000,00

Hangares 40 30 24

Presupuesto $ 150.000.000,00

a)

Variables:

𝑨𝒊 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑖 ;

𝑖 = 1,2,3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜𝑠, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜𝑠, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.

Función objetivo:

(Maximizar) 𝐺 = 230000𝐴1 + 300000𝐴2 + 400000𝐴3(𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)

Restricciones:

Por el presupuesto:

3500000A1 + 5000000𝐴2 + 6700000𝐴3 ≤ 150000000 (𝐷𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)

Por la cantidad de pilotos:

∑ Ai

3

i=1

≤ 30 (𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡𝑜𝑠)

Por hangares disponibles: 𝐴1

40+

𝐴2

30+

𝐴3

24≤ 1 (𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑎𝑛𝑔𝑎𝑟)

𝐴𝑖 ≥ 0

b) Estandarizando:

3500000A1 + 5000000𝐴2 + 6700000𝐴3 + 𝑆1 = 150000000

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝑆2 = 30

𝐴1

40+

𝐴2

30+

𝐴3

24+ 𝑆3 = 1

𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃

𝑆1 0 3500000 5000000 6700000 1 0 0 150000000 22,3881

𝑆2 0 1 1 0,001 0 1 0 30 30000

𝑆3 0 0,025 0,03333 0,0417 0 0 1 1 24 𝑍𝑗 0 0 0 0 0 0

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 -230000 -300000 -400000 0 0 0

𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃

𝐴3 400000 0,52238806 0,74626866 1 0,000000149 0 0 22,3880597 42,8571429

𝑆2 0 0,47761194 0,25373134 0 -0,000000149 1 0 7,6119403 15,9375

𝑆3 0 0,0032 0,0022 0 -0,0000000022 0 1 0,0672 20,7692

𝑍𝑗 208955,224 298507,463 400000 0,059701 0 0 8955223,88

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 -21044,7761 -1492,53731 0 0,059701 0 0

En el tablero final del simplex se puede observar que ninguna de las variables no

básicas podría mejorar la función objetivo, ya que el problema es de maximizar y

ningún costo reducido da negativo, cumpliéndose ya el criterio de parada y dando

la solución óptima mostrada a continuación:

𝐺 = 230000𝐴1 + 300000𝐴2 + 400000𝐴3 = 9.290.625,01

1 El resultado que se muestra está dado trabajando con todas las cifras.

𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝐴3 400000 0 0,46875001 1 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625

𝐴1 230000 1 0,53124999 0 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375

𝑆3 0 0 0,0005208 0 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156 𝑍𝑗 230000 309687,081 400000 0,0530344 44062,499 0 9290625,011

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 9687,08123 0 0,0530344 44062,499 0

Entra

Escriba aquí la ecuació

Sale

Escriba aquí la ecuación.

Entra

Escriba aquí la ecuación.

Sale

Escriba aquí la ecuación.

c)

Algoritmo primal:

(Maximizar) 𝐺 = 230000𝐴1 + 300000𝐴2 + 400000𝐴3

Sujeto a:

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 ≤ 30

𝐴1 +4

3𝐴2 +

5

3𝐴3 ≤ 40

3500000A1 + 5000000𝐴2 + 6700000𝐴3 ≤ 150000000

𝐴𝑖 ≥ 0

Algoritmo Dual asociado:

(Minimizar) 𝐺′ =3

100000𝑊1 +

4

100000𝑊2 + 1500𝑊3

Sujeto a:

0,00001𝑊1 + 0,00001𝑊2 + 35𝑊3 ≥ 2,3

0,00001𝑊1 +4

300000𝑊2 + 50𝑊3 ≥ 3

0,00001𝑊1 +5

300000𝑊2 + 67𝑊3 ≥ 4

𝑊𝑖 ≥ 0

Estandarizando:

(Minimizar) 𝐺′ = 0,0003𝑊1 + 0,0004𝑊2 + 1500𝑊3 + 𝑀𝑅1 + 𝑀𝑅2 + 𝑀𝑅32

Sujeto a:

0,00001𝑊1 + 0,00001𝑊2 + 35𝑊3 + 𝑆1 + 𝑅1 = 2,3

0,00001𝑊1 +4

300000𝑊2 + 50𝑊3 + 𝑆2 + 𝑅2 = 3

0,00001𝑊1 +5

300000𝑊2 + 67𝑊3 + 𝑆3 + 𝑅3 = 4

A continuación se resolverá por el método de las M.

𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃

𝑅1 M 0,00001 0,00001 35 -1 0 0 1 0 0 2,3 0,065714

𝑅2 M 0,00001 0,0000075 50 0 -1 0 0 1 0 3 0,06

𝑅3 M 0,00001 0,000006 67 0 0 -1 0 0 1 4 0,059701

𝑍𝑗 0,00003M 0,0000235M 152 -M -M -M M M M

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0,00003M-0,00003

0,0000235M-0,0004

152M-1500 -M -M -M 0 0 0

2Siendo 𝑅𝑖 las variables artificiales correspondientes a cada restricción.

Entra

Escriba aquí la ecuación.

Sale

Escriba aquí la ecuación.

𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃

𝑅1 M 0,000004776 0,0000068657 0 -1 0 0,52238806 1 0 -0,52238806 0,21044776 0,4029

𝑅2 M 0,000002537 0,0000030224 0 0 -1 0,74626866 0 1 -0,74626866 0,01492537 0,02

𝑊3 M 0,000000149 0,00000008955 1 0 0 -0,0149254 0 0 0,01492537 0,05970149 -4

𝑍𝑗 0,000007313

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗

0,00000731343284M-

0,00007612

0,000002189M-

0,000373119

0 -M -M 1,2686567

2M-22,33809

0 0 -M

𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃

𝑅1 M 0,000003 0,00000475 0 -1 0,7 0 1 -0,70 0 0,20 0,28571429

𝑆3 0 0,34 0,405 0 0 -134000 100000 0 134000 -100000 2000 -0,0149254

𝑊3 1500 0,0000002 0,00000015 1 0 -0,02 0 0 0,02 0 0,06 -3

𝑍𝑗 0,000003M

-0,0003

0,00000475M-0,0004

1500 -M 0,000007

M-30 0 M

-0,7M+30

0

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0,000003M

-0,0006 0,00000475M-0,0008

0 -M 0,000007

M-30 0 0

-0,7M+30

-M

𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆 𝜃

𝑆2 0 0,000004286 0,000006786 0 -1,42857 1 0 1,42857 -1 0 0,28571423 66666,66667

𝑆3 0 0,000009143 0,000013143 0 -1,91428 0 1 1,91428 0 -1 0,40285714 44062,5

𝑊3 1500 0,000000286 0,000000286 1 -0,028571429 0 0 0,028571429 0 0 0,06571429 230000

𝑍𝑗 0,000428571 0,000428571 1500 -42,8571429 0 0 42,85714286 0 0

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0,000128571 0,000028571 0 -42,8571429 0 0 0,000428571

4286-M -M -M

𝐶𝑗 0,0003 0,0004 1500 0 0 0 M M M

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐻𝑆

𝑆2 0 0 0,00000063 0 -0,53125 0 -0,46875 0,53125 -1 0,46875 0,096875

𝑊1 0,0003 1 1,4375 0 -209375 0 109375 209375 -0,00002896 -109375 44062,5

𝑊3 1500 0 -0,00000012 1 0,03125 1 -0,03125 -0,03125 0 0,03125 0,053125

𝑍𝑗 0,0003 0,00024375 1500 -15,937496 0 -14,063 15,9375 0 14,062503 92,906253

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 -0,0001563 0 -15,937496 0 -14,063 -M -M -M

3 El resultado que se muestra tiene como factor multiplicador 100.000, por esta razón la respuesta es 92.290.625 millones de dólares.

Sale

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Escriba aquí la ecuación.Sale

Escriba aquí la ecuación.

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Escriba aquí la ecuación.

Sale

Escriba aquí la ecuación.

Entra

Escriba aquí la ecuación.

Después de hacer cada iteración, se llega al tablero anterior cumpliéndose el criterio

de parada para una función de minimización. Para empezar el algoritmo se

dividieron algunas restricciones en 100.000 para evitar trabajar con cifras muy

grandes.

d)

Algoritmo Simplex Dual

Se procederá a resolver por el Algoritmo Simplex Dual el problema dual asociado.

(Minimizar) 𝐺′ = 150000000𝑊1 + 30𝑊2 + 𝑊3

Sujeto a:

−3500000𝑊1 − 𝑊2 −1

40𝑊3 + 𝑆1 = −230000

−5000000𝑊1 − 𝑊2 −1

30𝑊3 + 𝑆2 = −300000

−6700000𝑊1 − 𝑊2 −1

24𝑊3 + 𝑆3 = −400000

𝐶𝑗 150000 0,03 0,001

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝑆1 0 -3500 -0,001 -0,000025 1 0 0 -230

𝑆2 0 -5000 -0,001 -0,00001875 0 1 0 -300

𝑆3 0 -6700 -0,001 -0,000015 0 0 1 -400

𝑍𝑗 0 0 0 0 0 0 0

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 -150000 -0,03 -0,001 0 0 0

𝜃 22,38805 30 66,666667

𝐶𝑗 150000 0,03 0,001

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝑆1 0 0 -0,47763582 -0,01716504 1 0 -0,522441418 -21045,8284

𝑆2 0 0 -0,25373134 -0,00323399 0 1 -0,74626866 -1492,53731

𝑊1 150000 1 0,0000001493 -0,00223881 0 0 0,0000001493 0,05970149

𝑍𝑗 150000 0,02238806 0,000932836 0 0 -0,02238806 8955,2235

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 -0,01 -0,000067164 0 0 0

𝜃 0,0159367 0,020768192 0 0,042855

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Escriba aquí la ecuación.

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Escriba aquí la ecuación.

Sale

Escriba aquí la ecuación.

Entra

Escriba aquí la ecuación.

Se puede evidenciar que el problema Dual es mucho más sencillo de resolver por

el algoritmo Simplex Dual, pues nos evita la creación de variables artificiales debido

a las restricciones de mayor o igual.

e) No era necesario resolver el problema Dual, pues en el último tablero del problema

Primal resuelto por el método simplex se puede conocer los precios sombra

correspondiente a cada variable. Por otro lado, al resolver el problema Dual, el

resultado serán los precio sombras correspondientes a las variables del problema

primal.

4 El resultado que se muestra tiene como factor multiplicador 1.000, por esta razón la respuesta es 92.290.625 millones de dólares.

𝐶𝑗 150000 0,03 0,001

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝑊1 𝑊2 𝑊3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝑊2 0,03 0 1 0,006770833 -2,09375 0 1,09375 44062,5

𝑆2 0 0 0 -0,000520833 0,006770833 1 -0,46875 9687,5

𝑊1 150000 1 0 0,000000005 -0,000520833 0 -0,0000003 0,0531 𝑍𝑗 150000 0,03 0,000984328 -0,015922969 0 -0,01403203 9290,324

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 0 -0,000015672 -0,015922969 0 -0,01403203

𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝐴3 400000 0 0,46875001 1 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625

𝐴1 230000 1 0,53124999 0 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375

𝑆3 0 0 0,0005208 0 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156

𝑍𝑗 230000 309687,081 400000 0,0530344 44062,499 0 9290625,01

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 9687,08123 0 0,0530344 44062,499 0

Precios Sombra para cada variable.

f) Modelo Primal resuelto por WinQSB5

MODELO PRIMAL RESUELTO POR SOLVER

5 Los valores mostrados en los pantallazos como X1, X2, X3, corresponden a las variables 𝐴1, 𝐴2 𝑦 𝐴3, respectivamente.

Solución óptima,

corresponde a la

cantidad de

aviones a comprar.

Capacidad usada en las

restricciones, se

evidencia que se gastó

el total del presupuesto,

se asignaron todos los

pilotos, y se usó el

98,44% e la capacidad

de los hangares.

Ganancia que

proporciona la

cantidad de

aviones que

se compran

de cada tipo.

Intervalo

permisible en los

cuales se pueden

variar los recursos

sin que afecte la

F.O.

Intervalo

permisible en los

cuales se pueden

variar los

recursos sin que

afecte la F.O.

Precio sombra

correspondiente a cada

variable, también indica la

solución óptima del problema

Dual, e indica la cantidad

que cuesta aumentar un

recurso en la F.O.

Es lo que falta para

completar los recursos

máximos, el valor

0,0156 representa que

el espacio vacío que

quedo en los hangares

es del 1,56%.

Costos reducidos de cada

variable, las variables

básicas tienen costo

reducido 0, el costo

reducido de 𝑥2 afecta

negativamente la F.O.

Modelo Primal resuelto por Solver

El problema Primal resuelto por Solver, nos muestra la cantidad de aviones a

comprar y el beneficio reportado por estos así como el presupuesto que se usó, la

capacidad del hangar y el número de pilotos usados.

g) La solución del problema primal es 𝑋𝑏 = 𝐵−1𝑏, conociendo 𝐵−1 del ultimo tablero de

simplex, y usando b como �̅� = (150000000, 35, 1) podemos hallar la nueva solución

así:

𝑋𝑏 = [0,0000003120 −1,90375 0

−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1

] [150000000

351

]

𝑋𝑏 = [8,59375

26,40625−0,018

] = [𝐴3

𝐴1

𝑆3

]

Como 𝑆3 es la variable de holgura asociada a la capacidad del hangar, se puede

evidenciar que para aumentar la cantidad de pilotos también se debe invertir en la

ampliación de la capacidad del hangar además de los 100.000 USD que ya había

que invertir, por esta razón, no es recomendable esta decisión. También podemos

tener en cuenta que 35 no está dentro del valor permisible que se evidencia en el

ítem f con la solución en WinQSB, por esta razón al cambiar este valor la función

objetivo también se modifica.

h) La solución del problema primal es 𝑋𝑏 = 𝐵−1𝑏, conociendo 𝐵−1 del ultimo tablero de

simplex, y usando b como �̅� = (200000000, 30, 1) podemos hallar la nueva solución

así:

𝑋𝑏 = [0,0000003120 −1,90375 0

−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1

] [200000000

301

]

𝑋𝑏 = [29,68750,3125−0,244

] = [𝐴3

𝐴1

𝑆3

]

Como 𝑆3 es la variable de holgura asociada a la capacidad del hangar, se puede

evidenciar que para aumentar el presupuesto también se debe invertir en la

ampliación de la capacidad del hangar.

i) Es justificable invertir en la ampliación de la capacidad de los hangares porque esta

restricción es la que condiciona el rango de permisibilidad de la cantidad de pilotos

(asociado a la cantidad de aviones), y tampoco permite hacer una gran inversión

para la compra de aviones porque se necesita ampliar la capacidad del hangar.

j) Se trata de un cambio en una columna no básica de A, así pues se calcula la nueva

columna como 𝑌𝑗∗ = 𝐵−1𝑎𝑗

∗ y se revisa 𝑧𝑗∗ = 𝐶𝐵𝑌𝑗

∗.

𝑌𝑗∗ = [

0,0000003120 −1,90375 0−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1

] [

450000011

30

]

𝑌𝑗∗ = [

0,31250,6875

0,00313333]

𝑍𝑗∗ = [

230000300000400000

] [0,31250,6875

0,00313333] = 279378,333

𝑍𝑗∗ − 𝐶𝑗

∗ = 279378,333 − 300000 = −20621,667

Como no se cumple la condición de optimalidad se sigue iterando:

La mejor alternativa de inversión para la compra de los aviones es como se muestra

en el tablero anterior, ya que las ganancias totales ahora son 9.374.641 USD.

Verificando resultados en WinQSB

𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃

𝐴3 400000 0 0,3125 1 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625 45

𝐴1 230000 1 0,6875 0 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375 23,1818

𝑆3 0 0 0,00313333 0 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156 4,979 𝑍𝑗 230000 283125 400000 0,0530344 44062,499 0 9290625,01

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 -16875 0 0,0530344 44062,499 0

𝐶𝑗 230000 300000 400000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝐴3 400000 0 0 1 0,000000831 -0,418549814 -99,73415 12,51

𝐴1 230000 1 0 0 0,000000829 3,57919041 -219,4151 12,51

𝐴2 300000 0 1 0 -0,00000166 -2,160640596 319,14928 4,98 𝑍𝑗 230000 300000 400000 0,025034651 7601,689935 5385644 9374641,05

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 0 0 0,025034651 7601,689935 5385644

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k) Al tener una nueva variable (𝐴4) correspondiente al nuevo tipo de avión, se obtiene una nueva columna. Para saber si la solución actual sigue siendo optima, se calcula

𝑌𝑛+1 = 𝐵−1𝑎𝑛+1 y 𝑍𝑛+1 = 𝐶𝐵𝑌𝑛+1

𝑎𝑛+1 = [

70000000011

30

]

𝑌𝑛+1 = [0,0000003120 −1,90375 0

−0,0000003120 2,09375 0−0,0000000052 −0,0068 1

] [

700000011

30

]

𝑌𝑛+1 = [1,09375

−0,09375

−0,0432

]

𝑍𝑛+1 = [230000300000400000

] [1,09375

−0,09375

−0,0432

] = −206157,5

𝑍𝑛+1 − 𝐶𝑛+1 = −1289674,17 − 450000 = −243842,5

𝐶𝑗 230000 300000 400000 450000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS 𝜃

𝐴3 400000 0 0,46875001 1 1,09375 0,0000003120 -1,09375 0 14,0625 12,8571

𝐴1 230000 1 0,53124999 0 -0,09375 -0,0000003120 2,09375 0 15,9375 -170

𝑆3 0 0 0,0005208 0 -0,0432 -0,0000000052 -0,00677 1 0,0156 -0,36111

𝑍𝑗 230000 309687,081 400000 415937,5 0,0530344 44062,5 0 9290625

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 9687,08123 0 -34062,5 0,0530344 44062,5 0

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Verificando resultados en WinQSB

Es muy conveniente comprar el nuevo tipo de avión, pues sin aumentar los recursos disponibles se podrá aumentar la ganancia.

NOTA: Desde el literal e hasta el j, el tablero final de simplex que se usa, es el

presentado en el literal b de este trabajo.

𝐶𝑗 230000 300000 400000 450000 0 0 0

Variables Básicas

𝐶𝑗 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝑆1 𝑆2 𝑆3 RHS

𝐴4 400000 0 0,4285714 0,9142857 1 0,0000003 -1 0 12,8571

𝐴1 230000 1 0,57142856 0,0857143 0 -0,000000285 2 0 17,1429

𝑆3 0 0 0,0191577 0,0397516 0 0 -0,050292 1 0,575

𝑍𝑗 230000 324285,716 431142,86 450000 0,062756571 10000 0 9728571,43

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 0 24285,7163 31142,857 0 0,062756571 10000 0