Probabilidad condicionada

PROBABILIDADESDefinicin frecuencista de probabilidad:

La probabilidad de que ocurra un evento es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese evento, si fuera repetido muchas veces.

Esta definicin frecuencista o emprica es una de las formas como se calculan las probabilidades pero tambin existen otras aproximaciones como la probabilidad clsica. La probabilidad clsica data del siglo XVII en los trabajos de dos matemticos, Pascal y Fermat. Gran parte de esta teora fue creada para intentar resolver problemas relacionados con los juegos de azar y asume que los resultados son equiprobables. La probabilidad clsica o "a priori" y la frecuencia relativa o "a posteriori" son conocidas como probabilidad objetiva. Existe tambin la probabilidad subjetiva o Bayesiana, que se debe a Thomas Bayes, reverendo ingls del siglo XVIII, y que ha sido desarrollado por De Finetti en los aos 1930. Para estos autores, la probabilidad es siempre una medida subjetiva del grado de certeza sobra la aparicin de un suceso, ya que se supone que dicha certidumbre depende de la cantidad de informacin que posee el sujeto; por ejemplo, asignar probabilidad de que salga cara en una moneda es distinta de 0,5 si se sabe que la moneda est trucada.

Curiosidades:

El naturalista francs Count Buffon (1707-1788) lanz una moneda 4040 veces. Resultado: 2048 caras, proporcin 2048/4040=0,5069 o 50,69% de caras.

Alrededor del 1900, el estadstico ingls Karl Pearson lanz una moneda 24 mil veces! Resultado: 12012 caras, proporcin 12012/24000=0,5005 o 50,05% de caras.

Durante la II guerra mundial, el matemtico australiano John Kerrich, mientras estaba en prisin lanz una moneda 10 mil veces. Resultado: 5067 caras, proporcin 5067/10000=0,5067 o 50,67% de caras.

El lenguaje de Probabilidades

Definicin:

Un experimento aleatorio es un proceso (repetible) cuyo resultado no se conoce de antemano.

Si se repite un experimento aleatorio bajo las mismas condiciones y anotamos las frecuencias relativas de un suceso. Observaremos que estas tienden a estabilizarse alrededor de un nmero que est entre cero y uno. Este valor recibe el nombre de probabilidad.

Espacios Muestrales y Eventos

Sea el experimento aleatorio = lanzar una moneda tres veces

Podemos contar el nmero de resultados posibles de este experimento con un diagrama de rbol:

o escribir los resultados como un conjunto: = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}

Definicin:

Un espacio muestral es el conjunto de todos los valores posibles de un experimento aleatorio.

Escriba el espacio muestral S para los siguientes experimentos:

a) Lanzar una moneda y se observa el lado visible

b) Lanzar dos dados y se registra los nmeros que aparecen en cada dado:

= {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}

c) Lanzar dos dados y anotar la suma de los valores:

d) Tomar una muestra aleatoria de tamao 10 de un lote de piezas y contar cuantas tienen defectos.

e) Seleccionar aleatoriamente un estudiante y anotar el tiempo que estudi estadstica en las ltimas 24-horas.

f) El tiempo que espero la llegada de la micro en el paraderoDefinicin: Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral S.

Se dice que un evento A ocurre si cualquiera de los elementos o resultados en A ocurren.

Habitualmente se usan los diagramas de Venn, de la teora de conjuntos, para visualizar el espacio muestral y los eventos.

Considere el experimento de lanzar dos dados y se registra los nmeros que aparecen en cada dado.

= {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}

Marque los resultados que corresponden a los siguientes eventos:

a) Evento A = "No sale seis"

b) Evento B = "Sale exactamente un seis"

c) Evento C = "Salen exactamente dos seis"

d) Evento D = Sale al menos un seis

La unin de dos eventos, representada por A o B, se denota por:

La interseccin de dos eventos, representado por A y B, se denota por:

El complemento de un evento, representado por no A, se denota por:

Definicin:

Dos eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si no tienen elementos en comn. As, si un evento ocurre, el otro no puede ocurrir.

Mutuamente excluyentes?En cada caso, determine si la siguiente lista de eventos es mutuamente excluyente:

a) Un vendedor hace una venta:

A = la venta excede $5 mil pesos

B = la venta excede $50 mil pesos

b) Un vendedor hace una venta:

A = la venta es de menos de $5 mil pesos

B = la venta es de entre $10 mil y $50 mil pesos

C = la venta es de ms de $100 mil pesos

Reglas de Probabilidades

Para cualquier evento A, le asignamos el nmero P(A) llamado la probabilidad del evento A.

Le asignamos una probabilidad a cada resultado en el espacio muestral, entre 0 y 1, tal que la suma de estas probabilidades es igual a 1, y

La probabilidad de cualquier evento es la suma de las probabilidades de los resultados que hacen aquel evento.

Si los resultados del espacio muestral son equiprobables (igualmente probables), la probabilidad de un evento A es simplemente la proporcin de resultados de A en el espacio muestral.

Esta ley es la definicin de Probabilidad a priori o clsica

Asignando Probabilidades a eventosExperimento = lanzar dos dados. Asuma que los 36 puntos en el espacio muestral son equiprobables. Cul es la probabilidad de los siguientes eventos?

a) Evento A = " No sale seis"

= {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)} P(A) =

b) Evento B = "Sale exactamente un seis"

P(B) =

c) Evento C = "Salen exactamente dos seis"

P(C) =

d) Evento D = "Sale al menos un seis"

P(D) =

e) Compare 1 - P(A) con P(D)

f) Considere la suma de los valores de dos dados:

Cul es la probabilidad de obtener una suma de 3?

Cul es la probabilidad de obtener una suma de al menos 11?

Dado cargado?

Se sospecha que un dado est cargado en el sentido que tienden a salir nmero grandes. Queremos docimar la siguiente hiptesis:

: El dado no est cargado (todas las caras tienen la misma probabilidad).

: El dado est cargado hacia los nmeros ms grandes.

Suponga que usted obtiene los datos al lanzar dos veces el dado. Entonces el espacio muestral es:

= {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}

Se sugiere la siguiente regla de decisin: rechazar si la suma de los dos dados es 11 o ms extremo.

a) Cul es la direccin del extremo?

b) Cul es el valor-p si al tirar los dados suman 11?

c) Es, ese resultado estadsticamente significativo al 5%? Al 10%?

Probabilidad Condicional

En ocasiones, el conjunto de todos los "resultados posibles" puede constituir un subconjunto del espacio muestral original.

Definicin:

La probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado que el evento B ocurri est dada por:

, donde

Nota: de esta relacin se deduce que podemos escribir la interseccin de otra manera usando la regla de la multiplicacin:

El ao 2004 la Universidad de Talca tena 5453 estudiantes, en la tabla se muestra el detalle de la composicin.

MujeresHombresTotal

Pregrado246128485309

Postgrado6777144

Total252829255453

a) Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea un estudiante de postgrado?

b) Cul es la probabilidad de que una mujer elegida al azar sea estudiante de postgrado?

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado informacin adicional a la situacin de partida:Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva informacin (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un nmero par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente frmula:

Donde:P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.P (B A) es la probabilidad del suceso simultneo de A y de BP (A) es la probabilidad a priori del suceso AEn el ejemplo que hemos visto:P (B/A) es la probabilidad de que salga el nmero 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un nmero par (suceso A).P (B A) es la probabilidad de que salga el dos y nmero par.P (A) es la probabilidad a priori de que salga un nmero par.Por lo tanto:

P (B A) = 1/6P (A) = 1/2 es decir 3/6P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3Luego, la probabilidad de que salga el nmero 2, si ya sabemos que ha salido un nmero par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).2 ejemplo:En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusin de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori).Adems, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso interseccin de A y B) es del 0,05.Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si est obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).P (B A) = 0,05

P (A) = 0,25P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es as, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el nmero 2, condicionada a que haya salido un nmero impar.La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6.Probabilidad compuesta

La probabilidad compuesta (o regla de multiplicacin de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada:La probabilidad de que se den simultneamente dos sucesos (suceso interseccin de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.La frmula para calcular esta probabilidad compuesta es:

Ejemplo 1: Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 aos casados) y el suceso B (varones mayores de 40 aos con ms de 2 hijos) y obtenemos la siguiente informacin:Un 35% de los varones mayores de 40 aos estn casados. De los varones mayores de 40 aos y casados, un 30% tienen ms de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varn mayor de 40 aos est casado y tenga ms de 2 hijos (suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,35

P (B/A) = 0,30P (B A) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 aos estn casados y tienen ms de 2 hijos.2 ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan ingls) y el suceso B (alumnos que hablan alemn) y obtenemos la siguiente informacin:Un 50% de los alumnos hablan ingls. De los alumnos que hablan ingls, un 20% hablan tambin alemn (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable ingls y alemn (suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,50P (B/A) = 0,20P (B A) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan ingls y alemn.Independencia de sucesos

Escenario I

Sea el experimento de lanzar un dado.

El espacio muestral es S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

a) Cul es la probabilidad de obtener un dos?

b) Suponga que sabemos que el resultado es par; cul es ahora la probabilidad de obtener un dos?

Escenario II Sea el experimento de lanzar una moneda dos veces.

El espacio muestral es S={CC, SC, CS, SS}.

a) Cul es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento?

b) Cul es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento dado que sali cara en el primer lanzamiento?

Compare los resultados en los dos escenarios

En el segundo caso, la informacin no cambi la probabilidad buscada, es decir saber que "sali cara en el primer lanzamiento" no cambi la probabilidad de "que salga cara en el segundo lanzamiento".

Esto es as porque los lanzamientos de la moneda son eventos independientes.Definicin:

Dos eventos A y B son independientes si

=

,o

=

.

Si saber que un evento ocurri no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro evento, entonces los eventos son independientes.

Si dos eventos A y B son independientes, entonces la regla de la multiplicacin:

.

Considere el experimento de lanzar una moneda 6 veces.

1. Cul de las siguientes secuencias tiene mayor probabilidad?

(a) SCSCCS

(b) CCCSSS

(c) CCCCCC2. Si observamos SSSSSS, en el siguiente lanzamiento ser ms probable que salga una cara o un sello?

SERNAC realiza una encuesta acerca de la calidad del servicio de reparacin de automviles en 86 talleres:

TallerAtencin

BuenaRegular

Autorizado186

No autorizado3428

a) Cul es la probabilidad de que un taller elegido al azar d una buena atencin?

b) Cul es la probabilidad de que un taller elegido al azar sea no autorizado?

c) Cul es la probabilidad de que un taller elegido al azar sea no autorizado y d una buena atencin?

d) Cul es la probabilidad de que los talleres no autorizados den una buena atencin?

e) Son los eventos "no autorizado" y "buena atencin" disjuntos?

f) Son los eventos " no autorizado " y "buena atencin" independientes?

g) Si fueran independientes, cuntos talleres no autorizados que dan buena atencin esperara encontrar?

Dos sucesos son independientes entre s, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones:P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.P (B A) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidsad del suceso B.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso BSi el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B tambin es independiente del suceso A.Ejemplo 1: analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (B A) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))P (A/B) = P (B A) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))P (B A) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algn grado de dependencia entre ellos.Ejemplo 2: analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (B A) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))P (A/B) = P (B A) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))P (B A) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.

MS SOBRE PROBABILIDAD CONDICIONADA.

ERRORES TPICOS. Probabilidad condicionada

-Asociar el mismo valor a P(A|B) y a P(B|A).

-Calcular el valor de P(A|no B) a partir del de P(A|B) aplicando la regla del suceso complementario. sta se cumple en el caso de P(A|B) y P(no A|B).

Probabilidades condicionadas en rboles.

Adems

P(A|B) =p(A y B)/ (p(A y B) + P(no A y B))

P(no A|B) =p(no A y B)/ (p(A y B) + P(no A y B))

P(A|no B) =p(A y no B)/ (p(A y no B) + P(no A y no B))

P(no A| no B) =p(no A y no B)/ (p(A y no B) + P(no A y noB))

Probabilidades condicionadas a partir de diagramas de Venn.

Se extrae una carta de la baraja. Se consideran los siguientes sucesos. {Extraer oro} y F={extraer figura}.

a) Dibuja el diagrama de Venn correspondiente al problema y determina el rea de sus zonas.

b) Cmo se visualizara P(oro|figura)?

c) y P(figura|no oro)?

Soluciones

Probabilidad condicionada a partir de Tablas: Un problema resuelto.

Consideremos la eleccin de un representante del alumnado teniendo en cuenta su procedencia y sexo. En la siguiente tabla se muestra la distribucin del alumnado del centro de acuerdo a estas dos caractersticas.

ChicoChicaTOTAL

Pueblo A83038

Pueblo B323062

TOTAL4060100

Consideremos los sucesos A={ser de A}, B={ser de B}, C={ser chica}

a) Calcula P(A)

Solucin:

Usando la regla de La place: casos posibles 100, casos favorables: 38. Valor de P(A)=38/100=0,38.

b) Calcula ahora la misma probabilidad pero conociendo el hecho de que la persona elegida ha sido una chica. Por tanto se pide P(A|C).

Solucin:Los casos posibles se han reducido de 100 a 60 (dado que se conoce la circunstancia de que la elegida es una alumna), mientras que el nmero de casos favorables pasa a ser de 30 (chicas que provienen de A). La probabilidad pedida es 30/60=0,5. El hecho de saber que la elegida es una chica da ms certidumbre al hecho de ser de A al ser P(A)