PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER MAESTRA EN ENSEANZA DE LA MATEMTICA

Curso: lgebra lineal Grupo: 1

1. Sea A =

0 11 0

, la matriz de un operador : T 2 2 en base cannica. Probar que si

a aA

a a

=

11 12

21 22

es la matriz de T relativa a una base cualquiera de 2 , entonces a 12 0 o a 21 0 .

Resolucin:

Como A =

0 11 0

es la matriz relativa a una base cannica de 2 , entonces

( ) ( ) ( )x x yT x, y A T x, y T x, yy y x

= = =

0 11 0

As, ( ) ( )T : , T x, y y, x = 2 2

Considere { }( ) ( )v a,b ,v c,d = = =1 2 una base cualquiera de 2 . Sea

a aA'

a a

=

11 12

21 22 la matriz relativa a la base de 2 , para hallar los elementos ija , i, j ,= 1 2 se

debe tener en cuenta que:

Los trminos de la primera columna de dicha matriz se obtienen a partir de ( )T v v v= + 1 1 1 2 2 , donde a = 11 1 y a = 21 2 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T v v v T a,b b, a a,b c,d= + = = + 1 1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( )T a,b b, a a c, b d = = + + 1 2 1 2 La igualdad se cumple si

b a ca b d

= +

= +

1 2

1 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

bd ac a b,

ad bc bc ad+ +

= =

2 2

1 2

Por lo tanto:

bd ac a ba , a

ad bc bc ad+ +

= =

2 2

11 21

Los trminos de la segunda columna de dicha matriz se obtienen a partir de ( )T v v v= + 2 1 1 2 2 , donde a = 12 1 y a = 22 2 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T v v v T c,d d , c a,b c,d= + = = + 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( )T c,d d , c a c, b d = = + + 1 2 1 2 La igualdad se cumple si

d a cc b d

= +

= + 1 2

1 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

c d ac bd,

ad bc bc ad+ + = =

2 2

1 2

Por lo tanto:

c d ac bda , a

ad bc bc ad+ +

= =

2 2

12 22

De esta manera se obtiene la matriz

bd ac c dad bc ad bcA'a b ac bdbc ad bc ad

+ +

= + +

2 2

2 2 la matriz relativa a la base

{ }( ) ( )v a,b ,v c,d = = =1 2 de 2 .

Como { }( ) ( )v a,b ,v c,d = = =1 2 una base cualquiera de 2 , entonces ad cb ;

v1 y v 2 son vectores no nulos, por tanto a b+ >2 2 0 y c d+ >2 2 0 .

Lo anterior permite asegurar que c daad bc

+=

2 2

12 0 y que a b

abc ad

+=

2 2

21 0 .

2. (a) Si : n nT P P es la transformacin definida por ( ) 'T p p p= + . Demuestre que T es un isomorfismo.

Resolucin: Definicin:

: A E F es un isomorfismo si A es una biyeccin lineal entre E y F.

Corolario: Sean E, F espacios vectoriales de la misma dimensin finita n. Una transformacin lineal : A E F es inyectiva si, y solamente si, es sobreyectiva y por tanto es isomorfismo. Lages Lima, E (1998). lgebra lineal.

Como : n nT P P , para demostrar que T es un isomorfismo, de acuerdo al corolario, bastar probar

que T es una transformacin lineal y que es inyectiva.

i. T es una transformacin lineal. ( ) ( ) ( ) nT p q T p T q , p,q P+ = +

En efecto, Si ( ) np x P , entonces ( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x= + definicin de T Si ( ) nq x P , entonces ( ( ) ) ( ) '( )T q x q x q x= + definicin de T Note que, si ( ), ( ) np x q x P , entonces ( ) ( ) np x q x P+ nP es sub-espacio vectorial Luego

( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 'T p x q x p x q x p x q x+ = + + + definicin de T ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) '( ) '( )T p x q x p x q x p x q x+ = + + + propiedad de derivadas ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) '( ) ( ) '( )T p x q x p x p x q x q x+ = + + + propiedad asociativa

( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )T p x q x T p x T q x+ = + definicin de T ( ) ( ) ( ) nT p q T p T q , p,q P+ = +

( ) ( ) nT p T p , p P , = En efecto, Si ( ) np x P , entonces ( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x= + definicin de T Note que, si ( ) np x P , , entonces ( ) np x P nP es sub-espacio vectorial Luego

( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) 'T p x p x p x = + definicin de T ( ) ( )( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x = + propiedad de derivadas

( )( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x = + propiedad distributiva ( ( ) ) ( ( ) )T p x T p x = definicin de T

( ) ( ) nT p T p , p P , =

Por lo tanto, : n nT P P , ( ) 'T p p p= + , es una transformacin lineal.

ii. T es inyectiva.

T es inyectiva s y slo s { }( )Nu T = 0 , es decir: { }( ) ( ( ))nNu T p( x ) P T p x= = 0 Sea ( ) nnp x a a x a x a x= + + + +20 1 2 , entonces '( ) nnp x a a x a x n a x = + + + +2 11 2 32 3 , luego

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) '( ) n nn n nT p x p x p x a a a a x a a x a n a x a x= + = + + + + + + + + +2 10 1 1 2 2 3 12 3 Si ( ) ( )p x Nu T , entonces ( ( ) ) nT p x P= 0 definicin de Nu(T)

( ) '( ) np x p x x x x+ = + + + +20 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) n n nn n na a a a x a a x a n a x a x x x x+ + + + + + + + + = + + + + 2 1 20 1 1 2 2 3 12 3 0 0 0 0La igualdad se cumple si se verifican las ecuaciones:

n n

n

a a

a a

a na

a

+ =

+ = + = =

0 1

1 2

1

02 0

00

Resolviendo el sistema se obtiene: na a a a= = = = =0 1 2 0

Luego { } { }( ) n nNu T x x x P= + + + + = 20 0 0 0 0 , por tanto T es inyectiva.

Por el corolario mostrado, T es un isomorfismo.

(b) Probar que la siguiente transformacin lineal es inyectiva y obtenga una inversa lineal a la izquierda para ella

( ) ( ): ( ) ( )P P ; p x x p x = +22 4 1C C

Resolucin: i. C es inyectiva.

C es inyectiva s y slo s { }( )Nu = 0C , es decir: { }( ) ( ) ( ( ))Nu p x P p x x x x x= = + + + +2 3 42 0 0 0 0 0C C Sea ( )p x a a x a x= + + 20 1 2 ,

( )( )( ( ) )p x x a a x a x= + + +2 20 1 21C definicin de C ( )( ( ) )p x a a x a a x a x a x= + + + + +2 3 40 1 0 2 1 2C definicin de C

( )x x x x a a x a a x a x a x+ + + + = + + + + +2 3 4 2 3 40 1 0 2 1 20 0 0 0 0 hiptesis La igualdad se cumple si se verifican las ecuaciones:

a

a

a a

a

a

=

= + =

=

=

0

1

0 2

1

2

00

000

Resolviendo el sistema se obtiene: a a a= = =0 1 2 0

Luego { } { }( )Nu x x P= + + = 2 20 0 0 0C , por tanto C es inyectiva.

ii. Hallando la inversa lineal a la izquierda. Sea S : P P4 2 la inversa lineal a la izquierda de C, entonces

( )S x + =2 1 1 , pues ( ) x= +21 1C ( )S x x x+ =3 , pues ( )x x x= +3C ( )S x x x+ =4 2 2 , pues ( )x x x= +2 4 2C Considere:

( )S b b x b x b x b x a a x a x+ + + + = + +2 3 4 20 1 2 3 4 0 1 2 Se sabe que nP es isomorfo con n+ 1, as ( )nn na a x a x a x a , a , a , , a+ + + + 20 1 2 0 1 2 ,

la aplicando el isomorfismo entre nP y n+ 1 en S, permite determinar la regla de correspondencia

de la inversa a la izquierda de C.

( ) i i i i i ii i i

S b ,b ,b ,b ,b b , b , b= = =

= 4 4 4

0 1 2 3 40 0 0

As,

( ) ( ) ( )S x S , , , , , ,+ = =2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ), , , , + + + =0 2 0 2 0 2 1 0 0

+ =

+ = + =

0 2

0 2

0 2

100

( ) ( ) ( )S x x x S , , , , , ,+ = =3 0 1 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ), , , , + + + =1 3 1 3 1 3 0 1 0

+ =

+ = + =

1 3

1 3

1 3

010

( ) ( ) ( )S x x x S , , , , , ,+ = =4 2 2 0 0 1 0 1 0 0 1 ( ) ( ), , , , + + + =2 4 2 4 2 4 0 0 1

+ =

+ = + =

2 4

2 4

2 4

001

Note que { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 es una base de 4 , luego ( ) ( ) ( )S x S , , , , , ,= =3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ), , , , =3 3 3 0 0 0

=

= =

3

3

3

000

( ) ( ) ( )S x S , , , , , ,= =4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ), , , , =4 4 4 0 0 0

=

= =

4

4

4

000

Se generan los siguientes sistemas de ecuaciones:

( )

+ + =

+ + = + = = =

0 2

1 3

2 4

3

4

100100

Cuya solucin es , = = = = =0 1 2 3 41 0

( )

+ + = + + = + = = =

0 2

1 3

2 4

3

4

010200

Cuya solucin es , = = = = =1 0 2 3 41 0

( )

+ + = + + = + = = =

0 2

1 3

2 4

3

4

001300

Cuya solucin es , , = = = = =0 2 1 3 41 1 0

As se tiene

( ) ( )S b ,b ,b ,b ,b b ,b ,b b= 0 1 2 3 4 0 1 2 0

Por tanto S : P P4 2 , ( ) ( )S b b x b x b x b x b b x b b x+ + + + = + + 2 3 4 20 1 2 3 4 0 1 2 0 es la inversa lineal a la izquierda de C, pues PS I= 2C , en efecto:

( ) ( )( )( )S a a x a x S a a x a a x a x a x+ + = + + + + +2 2 3 40 1 2 0 1 0 2 1 2C ( ) ( )( )S a a x a x a a x a a a x + + = + + + 2 20 1 2 0 1 0 2 0C ( )( )S a a x a x a a x a x+ + = + +2 20 1 2 0 1 2C

Es decir: ( )( ( ) ) ( ) , ( )S p x p x p x P= 2C