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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER MAESTRA EN ENSEANZA DE LA MATEMTICA
Curso: lgebra lineal Grupo: 1
1. Sea A =
0 11 0
, la matriz de un operador : T 2 2 en base cannica. Probar que si
a aA
a a
=
11 12
21 22
es la matriz de T relativa a una base cualquiera de 2 , entonces a 12 0 o a 21 0 .
Resolucin:
Como A =
0 11 0
es la matriz relativa a una base cannica de 2 , entonces
( ) ( ) ( )x x yT x, y A T x, y T x, yy y x
= = =
0 11 0
As, ( ) ( )T : , T x, y y, x = 2 2
Considere { }( ) ( )v a,b ,v c,d = = =1 2 una base cualquiera de 2 . Sea
a aA'
a a
=
11 12
21 22 la matriz relativa a la base de 2 , para hallar los elementos ija , i, j ,= 1 2 se
debe tener en cuenta que:
Los trminos de la primera columna de dicha matriz se obtienen a partir de ( )T v v v= + 1 1 1 2 2 , donde a = 11 1 y a = 21 2 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )T v v v T a,b b, a a,b c,d= + = = + 1 1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( )T a,b b, a a c, b d = = + + 1 2 1 2 La igualdad se cumple si
b a ca b d
= +
= +
1 2
1 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
bd ac a b,
ad bc bc ad+ +
= =
2 2
1 2
Por lo tanto:
bd ac a ba , a
ad bc bc ad+ +
= =
2 2
11 21
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Los trminos de la segunda columna de dicha matriz se obtienen a partir de ( )T v v v= + 2 1 1 2 2 , donde a = 12 1 y a = 22 2 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )T v v v T c,d d , c a,b c,d= + = = + 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( )T c,d d , c a c, b d = = + + 1 2 1 2 La igualdad se cumple si
d a cc b d
= +
= + 1 2
1 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
c d ac bd,
ad bc bc ad+ + = =
2 2
1 2
Por lo tanto:
c d ac bda , a
ad bc bc ad+ +
= =
2 2
12 22
De esta manera se obtiene la matriz
bd ac c dad bc ad bcA'a b ac bdbc ad bc ad
+ +
= + +
2 2
2 2 la matriz relativa a la base
{ }( ) ( )v a,b ,v c,d = = =1 2 de 2 .
Como { }( ) ( )v a,b ,v c,d = = =1 2 una base cualquiera de 2 , entonces ad cb ;
v1 y v 2 son vectores no nulos, por tanto a b+ >2 2 0 y c d+ >2 2 0 .
Lo anterior permite asegurar que c daad bc
+=
2 2
12 0 y que a b
abc ad
+=
2 2
21 0 .
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2. (a) Si : n nT P P es la transformacin definida por ( ) 'T p p p= + . Demuestre que T es un isomorfismo.
Resolucin: Definicin:
: A E F es un isomorfismo si A es una biyeccin lineal entre E y F.
Corolario: Sean E, F espacios vectoriales de la misma dimensin finita n. Una transformacin lineal : A E F es inyectiva si, y solamente si, es sobreyectiva y por tanto es isomorfismo. Lages Lima, E (1998). lgebra lineal.
Como : n nT P P , para demostrar que T es un isomorfismo, de acuerdo al corolario, bastar probar
que T es una transformacin lineal y que es inyectiva.
i. T es una transformacin lineal. ( ) ( ) ( ) nT p q T p T q , p,q P+ = +
En efecto, Si ( ) np x P , entonces ( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x= + definicin de T Si ( ) nq x P , entonces ( ( ) ) ( ) '( )T q x q x q x= + definicin de T Note que, si ( ), ( ) np x q x P , entonces ( ) ( ) np x q x P+ nP es sub-espacio vectorial Luego
( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 'T p x q x p x q x p x q x+ = + + + definicin de T ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) '( ) '( )T p x q x p x q x p x q x+ = + + + propiedad de derivadas ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( ) '( ) ( ) '( )T p x q x p x p x q x q x+ = + + + propiedad asociativa
( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )T p x q x T p x T q x+ = + definicin de T ( ) ( ) ( ) nT p q T p T q , p,q P+ = +
( ) ( ) nT p T p , p P , = En efecto, Si ( ) np x P , entonces ( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x= + definicin de T Note que, si ( ) np x P , , entonces ( ) np x P nP es sub-espacio vectorial Luego
( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) 'T p x p x p x = + definicin de T ( ) ( )( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x = + propiedad de derivadas
( )( ( ) ) ( ) '( )T p x p x p x = + propiedad distributiva ( ( ) ) ( ( ) )T p x T p x = definicin de T
( ) ( ) nT p T p , p P , =
Por lo tanto, : n nT P P , ( ) 'T p p p= + , es una transformacin lineal.
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ii. T es inyectiva.
T es inyectiva s y slo s { }( )Nu T = 0 , es decir: { }( ) ( ( ))nNu T p( x ) P T p x= = 0 Sea ( ) nnp x a a x a x a x= + + + +20 1 2 , entonces '( ) nnp x a a x a x n a x = + + + +2 11 2 32 3 , luego
( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) '( ) n nn n nT p x p x p x a a a a x a a x a n a x a x= + = + + + + + + + + +2 10 1 1 2 2 3 12 3 Si ( ) ( )p x Nu T , entonces ( ( ) ) nT p x P= 0 definicin de Nu(T)
( ) '( ) np x p x x x x+ = + + + +20 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) n n nn n na a a a x a a x a n a x a x x x x+ + + + + + + + + = + + + + 2 1 20 1 1 2 2 3 12 3 0 0 0 0La igualdad se cumple si se verifican las ecuaciones:
n n
n
a a
a a
a na
a
+ =
+ = + = =
0 1
1 2
1
02 0
00
Resolviendo el sistema se obtiene: na a a a= = = = =0 1 2 0
Luego { } { }( ) n nNu T x x x P= + + + + = 20 0 0 0 0 , por tanto T es inyectiva.
Por el corolario mostrado, T es un isomorfismo.
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(b) Probar que la siguiente transformacin lineal es inyectiva y obtenga una inversa lineal a la izquierda para ella
( ) ( ): ( ) ( )P P ; p x x p x = +22 4 1C C
Resolucin: i. C es inyectiva.
C es inyectiva s y slo s { }( )Nu = 0C , es decir: { }( ) ( ) ( ( ))Nu p x P p x x x x x= = + + + +2 3 42 0 0 0 0 0C C Sea ( )p x a a x a x= + + 20 1 2 ,
( )( )( ( ) )p x x a a x a x= + + +2 20 1 21C definicin de C ( )( ( ) )p x a a x a a x a x a x= + + + + +2 3 40 1 0 2 1 2C definicin de C
( )x x x x a a x a a x a x a x+ + + + = + + + + +2 3 4 2 3 40 1 0 2 1 20 0 0 0 0 hiptesis La igualdad se cumple si se verifican las ecuaciones:
a
a
a a
a
a
=
= + =
=
=
0
1
0 2
1
2
00
000
Resolviendo el sistema se obtiene: a a a= = =0 1 2 0
Luego { } { }( )Nu x x P= + + = 2 20 0 0 0C , por tanto C es inyectiva.
ii. Hallando la inversa lineal a la izquierda. Sea S : P P4 2 la inversa lineal a la izquierda de C, entonces
( )S x + =2 1 1 , pues ( ) x= +21 1C ( )S x x x+ =3 , pues ( )x x x= +3C ( )S x x x+ =4 2 2 , pues ( )x x x= +2 4 2C Considere:
( )S b b x b x b x b x a a x a x+ + + + = + +2 3 4 20 1 2 3 4 0 1 2 Se sabe que nP es isomorfo con n+ 1, as ( )nn na a x a x a x a , a , a , , a+ + + + 20 1 2 0 1 2 ,
la aplicando el isomorfismo entre nP y n+ 1 en S, permite determinar la regla de correspondencia
de la inversa a la izquierda de C.
( ) i i i i i ii i i
S b ,b ,b ,b ,b b , b , b= = =
= 4 4 4
0 1 2 3 40 0 0
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As,
( ) ( ) ( )S x S , , , , , ,+ = =2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ), , , , + + + =0 2 0 2 0 2 1 0 0
+ =
+ = + =
0 2
0 2
0 2
100
( ) ( ) ( )S x x x S , , , , , ,+ = =3 0 1 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ), , , , + + + =1 3 1 3 1 3 0 1 0
+ =
+ = + =
1 3
1 3
1 3
010
( ) ( ) ( )S x x x S , , , , , ,+ = =4 2 2 0 0 1 0 1 0 0 1 ( ) ( ), , , , + + + =2 4 2 4 2 4 0 0 1
+ =
+ = + =
2 4
2 4
2 4
001
Note que { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 es una base de 4 , luego ( ) ( ) ( )S x S , , , , , ,= =3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ), , , , =3 3 3 0 0 0
=
= =
3
3
3
000
( ) ( ) ( )S x S , , , , , ,= =4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ), , , , =4 4 4 0 0 0
=
= =
4
4
4
000
-
Se generan los siguientes sistemas de ecuaciones:
( )
+ + =
+ + = + = = =
0 2
1 3
2 4
3
4
100100
Cuya solucin es , = = = = =0 1 2 3 41 0
( )
+ + = + + = + = = =
0 2
1 3
2 4
3
4
010200
Cuya solucin es , = = = = =1 0 2 3 41 0
( )
+ + = + + = + = = =
0 2
1 3
2 4
3
4
001300
Cuya solucin es , , = = = = =0 2 1 3 41 1 0
As se tiene
( ) ( )S b ,b ,b ,b ,b b ,b ,b b= 0 1 2 3 4 0 1 2 0
Por tanto S : P P4 2 , ( ) ( )S b b x b x b x b x b b x b b x+ + + + = + + 2 3 4 20 1 2 3 4 0 1 2 0 es la inversa lineal a la izquierda de C, pues PS I= 2C , en efecto:
( ) ( )( )( )S a a x a x S a a x a a x a x a x+ + = + + + + +2 2 3 40 1 2 0 1 0 2 1 2C ( ) ( )( )S a a x a x a a x a a a x + + = + + + 2 20 1 2 0 1 0 2 0C ( )( )S a a x a x a a x a x+ + = + +2 20 1 2 0 1 2C
Es decir: ( )( ( ) ) ( ) , ( )S p x p x p x P= 2C