Universidad San Martn de PorresFACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

ALUMNA: Paredes Asalde Carmen Rosa

TEMA: Momento de inercia de reas PROFESOR: Edwin Aldrin Cumpa Barrios

CHICLAYO, JUNIO 2013

INDICEINTRODUCCIN3OBJETIVOS4CAPTULO I: DEFINICIONES DE MOMENTO DE INERCIA DE REAS51.Definiciones6Momento de inercia respecto al eje x:6Momento de inercia respecto al eje y:7Producto de inercia:7Momento polar de inercia:7Ejemplo 18Ejemplo :10CAPTULO II: TEOREMA DE EJES PARALELOS121.Antecedentes13Momento de inercia respecto al eje x14Teorema de los ejes paralelos para el momento de inercia respecto al eje x.15Momento de inercia respecto al eje y15Producto de inercia16Momento polar de inercia162.Resultados18Ejemplo 119Ejemplo 221Ejemplo 324CAPTULO III: EJES GIRADOS Y EJES PRINCIPALES261.Antecedentes27Ejes girados28Momento de inercia respecto al eje x29Momento de inercia respecto al eje y29Producto de inercia30Momento polar de inercia30Ejes principales302.Resultados32Ejemplo 134Ejemplo 236CAPTULO IV: CRCULO DE MOHR391.Antecedentes40Determinacin de ejes principales y de momentos de inercia principales422.Resultados43Ejemplo 145

INTRODUCCIN

La dinmica toma un papel muy importante en la ingeniera civil ya que la aplicamos o la empleamos en casi todas las construcciones que hagamos. Las cantidades llamadas momentos de inercia surgen frecuentemente en los anlisis de problemas de ingeniera.

Los momentos de inercia de reas se utilizan en el estudio de fuerzas distribuidas y en el clculo de deflexiones de vigas.

El momento ejercido por la presin sobre una placa plana sumergida se puede expresar en trminos del momento de inercia del rea de la placa. En dinmica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos giratorios de objetos.

En este trabajo se define y se muestra cmo calcular los momentos de inercia de reas y objetos sencillos y luego se emplean los resultados llamados teoremas de los ejes paralelos para calcular momentos de inercia de reas y objetos ms complejos.

Ejemplo: La resistencia a la flexin de una viga y su capacidad para soportar cargas dependen de una propiedad de su seccin transversal llamada momento de inercia.

OBJETIVOS

Identificar la aplicacin de la dinmica en la ingeniera civil.

Calcular el momento de inercia de reas de diferentes objetos.

Determinar el mximo y mnimo momento de inercia para un rea

Reconocer el carcter aditivo del momento de inercia de reas y verificar el teorema de ejes paralelos.

CAPTULO I: DEFINICIONES DE MOMENTO DE INERCIA DE REAS

1. Definiciones

Considere un rea A en el plano x-y

Se definen cuatro momentos de inercia de A:

Momento de inercia respecto al eje x:

Donde y es la coordenada y del elemento diferencial de rea dA.

En ocasiones, este momento de inercia se expresa en trminos del radio de giro respecto al eje x, kx, el cual se define mediante

Momento de inercia respecto al eje y:

Donde x es la coordenada x del elemento dA. El radio de giro respecto al eje y, ky, est definido por

Producto de inercia:

Momento polar de inercia:

Donde r es la distancia radial desde el origen del sistema coordenado hasta dA. El radio de giro respecto al origen, ko, se define como:

El momento polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes x e y:

Al sustituir en esta ecuacin las expresiones para los momentos de inercia en trminos de los radios de giro se obtiene

Las dimensiones de los momentos de inercia de un rea son longitud, y los radios de giro tienen dimensiones de longitud. Las definiciones de los momentos de inercia Ix, Iy y Jo y las de los radios de giro tienen valores positivos para cualquier rea. No pueden ser negativos ni iguales a cero.

Si un rea A es simtrica respecto al eje x, para cada elemento dA con coordenadas (x, y), existe un elemento dA correspondiente con coordenadas (x, y). Las contribuciones de estos dos elementos al producto de inercia Ixy del rea se cancelan: xy dA + (xy) dA = 0. Esto significa que el producto de inercia del rea es igual a cero. Se puede usar el mismo tipo de argumento para un rea que es simtrica respecto al eje y. Si un rea es simtrica respecto al eje x o al eje y, su producto de inercia es igual a cero.

Ejemplo 1:

Momentos de inercia de un rea triangular

Determine lx e Iy para el rea triangular mostrada.

Solucin

La altura de una tira de ancho dx en la posicin x es f(x) = (h/b) x, por lo que su rea es dA = f(x) dx.

Para evaluar lx, primero se determina el momento de inercia de la tira vertical dA respecto al eje x.

Sea dAs un elemento de la tira vertical dA

Integra la expresin para (Ix) tira con respecto a x desde x = 0 hasta x = b para determinar el Ix del tringulo.

Ejemplo 2:

Momentos de inercia de un rea circular

Determine los momentos de inercia y los radios de giro del rea circular mostrada.

Solucin

Elemento anular dA

Si se deja que r cambie una cantidad dr, se obtiene un elemento anular de rea dA = 2r dr.

El momento polar de inercia es:

Y el radio de giro respecto a O es

Los momentos de inercia respecto a los ejes x e y son

Y los radios de giro respecto a los ejes x e y son

El producto de inercia es igual a cero:

Razonamiento crtico

Por la simetra de este ejemplo, no hubo necesidad de integrar para determinar Ix, Iy e Ixy. Se recomienda estar alerta respecto a simetras que puedan reducir el trabajo. En particular, debemos recordar que Ixy = O si el rea es simtrica respecto a alguno de los ejes, x o y.

CAPTULO II: TEOREMA DE EJES PARALELOS

1. Antecedentes

Los valores de los momentos de inercia de un rea dependen de la posicin del sistema coordenado en relacin con el rea.

En algunas situaciones, los momentos de inercia de un rea se conocen en trminos de un sistema coordenado particular pero se requieren sus valores en trminos de un sistema coordenado diferente. Cuando los sistemas coordenados son paralelos, los momentos de inercia deseados pueden obtenerse mediante los teoremas. Adems, estos teoremas hacen posible determinar los momentos de inercia de un rea compuesta cuando se conocen los momentos de inercia de sus partes.

Suponga que se conocen los momentos de inercia de un rea A en trminos de un sistema coordenado x'y' con su origen en el centroide del rea, y se desea determinar los momentos de inercia con respecto a un sistema coordenado paralelo xy.

Las coordenadas del centroide de A en el sistema coordenado xy se denotan con es la distancia desde el origen del sistema xy hasta el centroide.

Es necesario obtener dos resultados preliminares antes de deducir los teoremas de los ejes paralelos. En trminos del sistema coordenado x'y', las coordenadas del centroide de A son:

Pero el origen del sistema coordenado x'y' est localizado en el centroide de A, por lo que ' = 0 y ' = 0. Por lo tanto,

Momento de inercia respecto al eje x

En trminos del sistema coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje x es:

Donde y es la coordenada del elemento de rea dA relativa al sistema coordenado xy. Si se observa que y = y' + dy, donde y' es la coordenada de dA relativa al sistema coordenado x'y'.

La primera integral a la derecha es el momento de inercia de A respecto al eje x, la segunda integral a la derecha es igual a cero. Por lo tanto, se obtiene:

Teorema de los ejes paralelos para el momento de inercia respecto al eje x.

ste es un teorema de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia de A respecto al eje x' que pasa por el centroide con el momento de inercia respecto al eje x paralelo.

Momento de inercia respecto al eje y

En trminos del sistema coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje y es:

La segunda integral a la derecha es igual a cero. Por consiguiente, el teorema de los ejes paralelos que relaciona el momento de inercia de A respecto al eje y' que pasa por el centroide con el momento de inercia respecto al eje y paralelo es:

Producto de inercia

En trminos del sistema coordenado xy, el producto ce inercia es:

La segunda y tercera integrales son iguales a cero. Se observa que el teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es

Momento polar de inercia

El momento polar de inercia Jo = Ix + Iy. Por lo tanto, se obtiene el teorema de los ejes paralelos para el momento polar de inercia,

Donde d es la distancia desde el origen del sistema coordenado hasta el origen del sistema coordenado xy.

Cmo pueden usarse los teoremas de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia de un rea compuesta?

Suponga que se desea determinar el momento de inercia del rea respecto al eje y.

rea compuesta

Esta puede dividirse en un tringulo, un semicrculo y un recorte circular, que se llamarn partes 1, 2 y 3 respectivamente.

Las tres partes del rea

Usando el teorema de los ejes paralelos para Iy, es posible determinar el momento de inercia de cada parte respecto al eje y. Por ejemplo, el momento de inercia de la parte 2 (el semicrculo) respecto al eje y es:

Determinacin de

Se deben determinar los valores de. Una vez que se ha llevado a cabo este procedimiento para cada parte, el momento de inercia del rea compuesta es:

Observe que el momento de inercia del recorte circular se resta.

Puede observarse que la determinacin del momento de inercia de un rea compuesta en trminos de un sistema coordenado especfico implica la ejecucin de tres pasos:

Seleccionar las partes. Tratar de dividir el rea compuesta en partes cuyos momentos de inercia se conozcan o puedan determinarse con facilidad.

Determinar los momentos de inercia de las partes. Determinar el momento de inercia de cada parte en trminos de un sistema coordinado paralelo con su origen en el centroide de la parte, y despus usar el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia en trminos del sistema coordenado dado.

Sumar los resultados. Sumar los momentos de inercia de las partes (o restar en caso de un recorte) para obtener el momento de inercia del rea compuesta.

2. Resultados

Los teoremas de los ejes paralelos son relaciones entre los momentos y el producto de inercia de un rea, expresadas en trminos de un sistema coordenado x'y'z' con su origen en el centroide del reay un sistema coordenado xyz paralelo.

Los teoremas de los ejes paralelos hacen posible determinar los momentos y el producto de inercia de un rea compuesta en trminos de un sistema coordenado especfico, xyz, cuando se conocen los momentos y los productos de inercia de cada parte del rea compuesta en trminos de un sistema coordenado paralelo, con su origen en el centroide de la parte. Los valores de los momentos y el producto de inercia de las partes en trminos del sistema coordenado xyz pueden sumarse (o restarse en el caso de un recorte) para obtener los valores del rea compuesta.

Ejemplo 1:

Momentos de inercia de un rea compuesta

Determine Ix para el rea compuesta que se muestra en la figura.

Solucin

Se divide el rea compuesta en dos rectngulos

rea 1:

El momento de inercia del rea 1 respecto al eje x,' es:

Aplicando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia del rea 1 respecto al eje x es:

rea 2:

El momento de inercia del rea 2 respecto al eje x' es:

Aplicando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia del rea 2 respecto al eje x es:

Luego se suma los valores para las partes

El momento de inercia del rea compuesta respecto al eje x es

Ejemplo 2:

Momentos de inercia de un rea compuesta

Solucin

Seleccin de las partes: Se divide el rea en un rectngulo, un semicrculo y un recorte circular, que se llamarn partes 1, 2 y 3 respectivamente.

Determinacin de los momentos de inercia de las partes:

En la tabla siguiente se usa el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de cada parte respecto al eje y.

Suma De los resultados:

El momento de inercia del rea compuesta respecto al eje y es:

El rea total es:

Por lo que el radio de giro respecto al eje y es:

Razonamiento crtico

La integracin es un proceso aditivo, y sta es la razn por la que los momentos de inercia de las reas compuestas pueden determinarse sumando (o restando en el caso de un recorte) los momentos de inercia de las partes. Pero los radios de giro de reas compuestas no pueden determinarse sumando o restando los radios de giro de las partes. Esto puede verse en las ecuaciones que relacionan los momentos de inercia, los radios de giro y el rea. Para este ejemplo, lo anterior se puede demostrar en forma numrica.

La operacin

No produce el radio de giro correcto del rea compuesta.Ejemplo 3:

Secciones transversales de una viga

Las reas iguales que se muestran en la figura son opciones para la seccin transversal de una viga (una viga con la segunda seccin transversal se denomina viga 1). Compare sus momentos de inercia respecto al eje x.

Solucin

Seccin transversal cuadrada: El momento de inercia de la seccin cuadrada respecto al eje x es

Seccin transversal de la viga 1: El rea puede dividirse en partes rectangulares, introduciendo sistemas coordenados xy con sus orgenes en los centroides, se usa el teorema de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia respecto al eje x.

Su suma es:

Divisin en tres partes de la seccin transversal de la viga 1.

Sistemas coordenados paralelos xy con orgenes en los centroides de las partes

Determinacin de los momentos de inercia de las partes respecto al eje x.

Razonamiento crtico

El momento de inercia de la viga 1 respecto al eje x es 3.06 veces el de la seccin transversal cuadrada de igual rea. Por lo general, una viga con un momento de inercia ms grande tiene mayor resistencia a la flexibilidad y mayor capacidad para soportar cargas laterales. La seccin transversal de las viga 1 est diseada para obtener momentos de inercia ms grandes.

CAPTULO III: EJES GIRADOS Y EJES PRINCIPALES

1. Antecedentes

Si se aplica una fuerza vertical al extremo de la viga

Seccin transversal de una viga en voladizo

Se obtendr una deflexin mayor

La deflexin vertical mnima resulta cuando la seccin transversal de la viga est orientada de manera que el momento de inercia Ix sea mximo.

En muchas aplicaciones de ingeniera se deben determinar los momentos de inercia de reas con diversas orientaciones angulares relativas a un sistema coordenado, y la orientacin para la cual el valor de un momento de inercia es mximo o mnimo.

Ejes girados

Considere un rea A, un sistema coordenado xy y un segundo sistema coordenado x'y' que est girado un ngulo con respecto al sistema coordenado xy.

Sistema coordenado x'y' girado un ngulo respecto al sistema coordenado xy.

Suponga que se conocen los momentos de inercia de A en trminos del sistema coordenado xy. El objetivo consiste en determinar los momentos de inercia en trminos del sistema coordenado x'y'.

En trminos de la distancia radial r a un elemento diferencial de rea dA y al ngulo , las coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son:

Elemento diferencial de rea dA

Las coordenadas de dA en el sistema coordenado x'y' son:

En estas ecuaciones se usan identidades trigonomtricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ngulos, se obtienen ecuaciones que relacionan las coordenadas de dA en los dos sistemas coordenados:

Estas expresiones pueden emplearse para derivar relaciones entre los momentos de inercia de A en trminos de los sistemas coordenados xy y xy.

Momento de inercia respecto al eje x

De esta ecuacin se obtiene:

Momento de inercia respecto al eje y

Esta ecuacin proporciona el resultado

Producto de inercia

En trminos del sistema coordenado xy, el producto de inercia de A es:

Momento polar de inercia

En trminos del sistema coordenado xy es:

As, el valor del momento polar de inercia no cambia por una rotacin del sistema coordenado.

Ejes principales

Se ha visto que los momentos de inercia de A en trminos del sistema coordenado x'y' dependen del ngulo.

Para qu valores de el momento de inercia Ix', es mximo o mnimo?

Para contestar esta pregunta, resulta conveniente usar las identidades

Entonces:

El valor de para el cual Ix es mximo o mnimo se denotar con p.

Si

Significa que para un ngulo para el cual Ix' es mximo, Iy' es un mnimo y para un ngulo para el cual Ix' es mnimo, Iy' es mximo. Un sistema coordenado girado x'y' orientado de manera que Ix' e Iy' tengan valores mximo o mnimo se denomina conjunto de ejes principales del rea A.

Los correspondientes momentos de inercia Ix' e Iy' se llaman momentos de inercia principales.

Como la tangente es una funcin peridica y determina la orientacin de los ejes principales dentro de un mltiplo arbitrario de 90.

Para un valor dado de tan 2o, existen mltiples races 2o +n (180).

La orientacin del sistema coordenado x'y' se determina en funcin de un mltiplo de 90.

2. Resultados

Los momentos y el producto de inercia de un rea en trminos de un sistema de coordenadas girado x'y' puede expresarse en trminos de los momentos y los productos de inercia respecto al sistema coordenado xy y el ngulo.

Las ecuaciones pueden expresarse en formas tiles:

Un valor de para el cual el momento de inercia obtenido es un mximo o un mnimo, se denota por . Si es un mximo en = , es un mnimo en = y si es un mnimo, es un mximo. El sistema coordenado girado x'y' correspondiente a = define los ejes principales del rea A, y los momentos de inercia respecto a los ejes principales son los momentos de inercia principales. El producto de inercia correspondiente a = es igual a cero.

Para valores dados de Ix, Iy, e Ixy, el ngulo puede determinarse mediante la ecuacin:

Esta ecuacin define de manera nica los ejes principales, y determina la orientacin del sistema coordenado x'y' slo en funcin de un mltiplo de 90. Entonces 0 + 90, 0 + 180, y 0 + 270 tambin son soluciones, lo que resulta en cuatro orientaciones vlidas del sistema coordenado.

La determinacin de los ejes principales y los momentos principales de inercia para un rea A y un sistema coordenado xy dados implica la realizacin de tres pasos:

Determine Ix, Iy, e Ixy.

Determinar en funcin de un mltiplo de 90.

Elija la orientacin del sistema coordenado x'y' para determinar los momentos de inercia principales.

Ejemplo 1:

Ejes principales y momentos de inerciaDetermine un conjunto de ejes principales y los correspondientes momentos de inercia principales del rea triangular que se muestra en la figura.

Solucin

Determinamos los momentos y los productos de inercia

Determinamos

Lo anterior resulta en

Calculamos los momentos de inercia:

Ejemplo 2:

Ejes principales y girados

Los momentos de inercia del rea mostrada, en trminos del sistema coordenado xy que se muestra en la figura, son .

a) Determinar

b) Determinar un conjunto de ejes principales y los correspondientes momentos de inercia principales.

Solucin

a) Determinacin de lx', ly' e Ix'y' Haciendo en las ecuaciones, se obtiene los momentos de inercia en :

Determinacin de

Se sustituyen los momentos de inercia en trminos del sistema coordenado xy para obtener

As . Los ejes principales correspondientes a este valor se muestran en la figura.

Clculo de Ix e Iy

Se sustituye para obtener los momentos de inercia principales:

Conjunto de ejes principales correspondientes a

Razonamiento crtico

Recuerde que la orientacin de los ejes principales se determina slo en funcin de un mltiplo arbitrario de 90. En este ejemplo designar los ejes de la figura a como los ejes positivos x e y, pero cualquiera de estas elecciones es igualmente vlida.

CAPTULO IV: CRCULO DE MOHR

1. Antecedentes:

Dados los momentos de inercia de un rea en trminos de un sistema coordenado particular, se han presentado ecuaciones para determinar los momentos de inercia con respecto a un sistema coordenado girado. La orientacin de los ejes principales y los momentos de inercia principales. Tambin es posible usar un mtodo grfico llamado crculo de Mohr.

Sistema coordenado xy y sistema coordenado girado xy

Primero se describir como construir el crculo de Mohr y despus se explicar cmo funciona. Suponga que se conocen los momentos de inercia Ix, Iy e Ixy de un rea en trminos de un sistema coordenado xy,y que se desean determinar los momentos de inercia para un sistema coordenado girado xy.

Sistema coordenado xy y sistema coordenado girado xy.

La construccin del crculo de Mohr implica la realizacin de tres pasos:

Establecer un conjunto de ejes horizontal y vertical, y graficar dos puntos: el punto 1 con coordenadas (Ixy, Ixy) y el punto 2 con coordenadas (Iy,-Ixy).

Dibujar una lnea recta que conecte los puntos 1y 2. Usando la interseccin de sta lnea recta con el eje horizontal como centro, se dibuja un crculo que pase por los dos puntos.

Dibujar una lnea recta que pase por el centro del crculo en un ngulo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto I. Esta lnea interseca al crculo en el punto I con coordenadas (lx,Ixy) y en el punto 2 con coordenadas (Iy,-Ixy).

As, para un ngulo dado, las coordenadas de los puntos 1 y 2 determinan los momentos de inercia en trminos del sistema coordenado girado. Por qu funciona esta construccin grfica? Observe que la coordenada horizontal del centro del crculo es . El seno y el coseno del ngulo son

Donde R, que es el radio del crculo, est dado por

La coordenada horizontal del punto 1 es:

Y la coordenada horizontal del punto 2`es

La coordenada vertical del punto I es

Y la coordenada vertical del punto 2`es

Se ha mostrado que las coordenadas del punto I son y las del punto 2 son .

Determinacin de ejes principales y de momentos de inercia principales

Como los momentos de inercia e son las coordenadas horizontales de los puntos 1 y 2 del crculo de Mohr, sus valores mximo y mnimo se presentan cuando los puntos 1y 2coinciden con las intersecciones del crculo con el eje horizontal (la interseccin que se designa como 1es arbitraria; se ha designado el momento de inercia mnimo como punto 1).

La orientacin de los ejes principales puede determinarse midiendo el ngulo del punto 1 al punto 1. Y las coordenadas de los puntos 1 y 2 como los momentos de inercia principales.

Observe que el crculo de Mohr demuestra que el producto de inercia correspondiente a un conjunto de ejes principales siempre es igual a cero. Adems, para obtener una expresin analtica para las coordenadas horizontales de los puntos en que el crculo interseca al eje horizontal, que son los momentos de inercia principales:

Momentos de inercia principales =

2. Resultados:

Cuando se conocen los valores Ix, Iy e Ixy para un rea A, el crculo de Mohr puede usarse para determinar los valores de Ix, Iy, e Ixy para un ngulo dado:

Establecemos un conjunto de ejes horizontal y vertical y graficamos dos puntos: el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) y el punto 2 con coordenadas ( Iy, -Ixy).

Dibujamos una lnea recta que conecte los puntos 1 y 2. Usando la interseccin de esta lnea recta con el eje horizontal como centro, dibuje en crculo que pase por los dos puntos.

Dibujamos una lnea recta que pase por el centro del crculo en un ngulo 2 medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1. Esta lnea interseca al crculo en el punto 1 con coordenadas ( Ix, Ixy) y en el punto 2 con coordenadas (Iy,-Ixy).

El crculo de Mohr tambin puede usarse para determinar la orientacin de los ejes principales y los momentos de inercia principales.

Colocamos el punto I en uno de los puntos donde el crculo de Mohr interseca al eje horizontal. Entonces los valores de Ix e Iy obtenidos de los puntos 1 y 2 son los momentos de inercia principales. El ngulo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1 hasta el punto 1 es 2 por lo que es posible determinar la orientacin de los ejes principales.

Ejemplo 1

Crculo de Mohr

Los momentos y el producto de inercia del rea mostrada en trminos del sistema coordenado xy son Ix= 22 , Iy= 10e Ixy= 6. Utilice el crculo de Mohr para determinar los momentos de inercia Ix, Iy e Ixy para

Solucin

Graficamos el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy)=(22.6) y el punto 2 con coordenadas (Iy,-Ixy)=(10,-6).

Dibujamos una lnea recta que conecte los puntos 1 y 2. Utilizando como centro la interseccin de la lnea con el eje horizontal, dibuje un crculo que pase por los dos puntos.

Dibujamos una lnea recta a travs del centro del crculo en un ngulo 2=60, medido desde el punto 1 en sentido opuesto al de las manecillas del reloj. De las coordenadas de los puntos 1 y 2, Ix =14, Iy=18, y Ixy=8.