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Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Análisis y diseño de una misióninterplanetaria a un planeta exterior

Autor: Alberto Lobato Fernández

Tutor: Rafael Vázquez Valenzuela

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Análisis y diseño de una misióninterplanetaria a un planeta exterior

Autor:

Alberto Lobato Fernández

Tutor:

Rafael Vázquez ValenzuelaProfesor Titular

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de SevillaSevilla, 2014

Trabajo Fin de Grado: Análisis y diseño de una misióninterplanetaria a un planeta exterior

Autor: Alberto Lobato FernándezTutor: Rafael Vázquez Valenzuela

El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores:

Presidente:

Vocal/es:

Secretario:

acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Fecha:

Índice general

Nomenclatura X

1. Introducción 1

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. El problema de Lambert 5

2.1. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.1. Tangentes a la órbita en P1 y P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3. Anomalía excéntrica del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. El Teorema de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Transformaciones Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Transformación del punto medio en periapsis . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Método de Battin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Herramientas para el análisis 14

3.1. Propagador planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Cálculo de trayectorias interplanetarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. Esfera de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2. Ajuste de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Porkchop plots y el C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Diseño y análisis de una misión a Marte 21

4.1. Fechas de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.1. Conjunciones planetarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.2. Período sinódico y de repetición de características . . . . . . . . . . . 23

4.2. Evolución del C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1. Factores que afectan al C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

vii

Índice general

4.2.2. Estudio del C3 mínimo para diversos años. . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Lanzamiento e inyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1. Inyección en la órbita de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.2. Azimut de lanzamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.3. Definición de la órbita de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4. Aproximación a Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5. Trayectoria heliocéntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5.1. Elección de la órbita de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6. Resumen de la misión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6.1. Fase geocéntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6.2. Fase heliocéntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6.3. Fase planetocéntrica alrededor de Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Diseño y análisis de una misión a Saturno 42

5.1. Maniobra asistida por gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.1. Maniobra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.2. Maniobra en el espacio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.3. Maniobra con impulso en el periapsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2. DSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3. Configuraciones planetarias favorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1. Radio de periapsis en Júpiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2. Configuraciones planetarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4. Fechas de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.5. Trayectoria heliocéntrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5.1. Misiones balísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5.2. Misiones con maniobra asistida por gravedad propulsada . . . . . . . . 59

5.5.2.1. Tiempo de vuelo acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5.2.2. Tiempo de vuelo no acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.3. Misiones con maniobras de espacio profundo . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.3.1. Tiempo de vuelo acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.3.2. Tiempo de vuelo no acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5.3.3. Optimización completa 2016-2033 . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5.4. Comparación de las alternativas más favorables . . . . . . . . . . . . . 67

6. Conclusiones 71

6.1. Líneas de trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

viii

Índice general

A. Misión a Marte 75

A.1. Gráficas misión a Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.1.1. Año 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.1.2. Año 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.3. Año 2026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.1.4. Año 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.1.5. Año 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.1.6. Año 2033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2. Hora de lanzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B. Misión a Saturno 86

B.1. Optimización del problema con DSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Bibliografía 91

ix

Nomenclatura

Sol

' Mercurio

Venus

⊕ Tierra

Marte

X Júpiter

Y Saturno

a Semieje mayor de la cónica

α∞ Ascensión recta de la asíntota hiper-bólica de salida/llegada

αL Ascensión recta de la base de lanza-miento

AZ Azimut

C3 Medida de la energía por unidad demasa. Se define como C3 = V 2

∞

δ∞ Declinación de la asíntota hiperbólicade salida/llegada

−→e Vector excentricidad

E Anomalía excéntrica

ε Energía específica

f Anomalía verdadera de la órbitatransformada, página 12

γ Ángulo de trayectoria. Ángulo entre−→v y el vector unitario en polares −→eθ

−→h Momento cinético específico

H Anomalía hiperbólica

i Inclinación de la órbita

M Anomalía media

µ Parámetro gravitacional

N Anomalía media hiperbólica

Ω Ascensión recta del nodo ascendente.

ω Argumento del periapsis

p Parámetro. Se define como p = h2/µ

φL Latitud de la base de lanzamiento

RP Radio planetario

rp Radio de periapsis

SoI Esfera de influencia (Sphere of In-fluence)

TC Período de características repetidas

θ Anomalía verdadera

∆θ Ángulo de transferencia

tRLT Relative Launch Time

TS Período sinódico

V∞ Velocidad hiperbólica de exceso

x

Capítulo 1

Introducción

El creciente interés por la exploración del Universo, sumado a los avances tecnológicoslogrados como consecuencia de la II Guerra Mundial, dio lugar al inicio de la era espacialen el siglo XX. En 1955, en plena Guerra Fría, comienza una carrera espacial entre EstadosUnidos y la Unión Soviética que conduciría a la realización de los primeros viajes fuera de laatmósfera terrestre. Aunque los últimos años se centraron en el envío de vehículos tripulados ala Luna, es destacable el trabajo paralelo realizado por la Unión Soviética con el fin de visitarotros planetas. En particular, el Venera 3 logró convertirse en 1965 en el primer vehículo enimpactar sobre la superficie de otro planeta, Venus, dando comienzo a una nueva era de viajesinterplanetarios.

En la actualidad, las evoluciones tecnológicas han conducido a un aumento de las misioneslanzadas cada año. Entre las misiones en curso en 2014, pueden destacarse las siguientes:

Marte: misión Mars Science Laboratory, lanzada en 2011. Su propósito era situar elCuriosity Rover sobre la superficie marciana, a fin de realizar estudios geológicos yambientales. [8]

Júpiter: misión Juno, lanzada en 2011. Actualmente se encuentra en curso a Júpiter,tras haber realizado una maniobra asistida por gravedad alrededor de la Tierra enOctubre de 2013. [12]

Saturno: misión Solstice (Cassini-Huygens), lanzada en 1997, con el objeto de explorartanto el planeta como sus lunas. Realizó maniobras asistidas por gravedad en Venus,Tierra y Júpiter. [11]

Urano y Neptuno: planetas sobrevolados por la misión Voyager 2, lanzada en 1977.Actualmente se encuentra fuera del sistema solar. [9]

Si se toman todas las misiones llevadas a cabo a Marte, tanto sobrevuelos como aproximacio-nes a la superficie del planeta, se observa que desde 1960 hasta el año 2011 se han realizadoun total de 51 (figura 1.0.1).

Desde los inicios de las primeras misiones hasta la actualidad, los procedimientos seguidospara el diseño de las mismas han ido evolucionando, ya que la técnica y los conocimientosnecesarios se han ido desarrollando a la par que las sucesivas misiones. Como prueba de esteavance en el conocimiento, caben destacar los debates generados entre la comunidad científicaal ser propuesta, en 1961, la maniobra asistida por gravedad como un método para impulsarvehículos espaciales, cuya efectividad sería confirmada por la Explorer 10 en 1974.

1

1.1. Objetivos

1960 1962 1964 1969 1971 1973 1975 1988 1992 1996 1998 1999 2001 2003 2004 2005 2007 20110

1

2

3

4

5

6

7

Año de lanzamiento

nº d

e m

isio

nes

Misiones a Marte

FracasosÉxitos

Figura 1.0.1: Misiones a Marte lanzadas hasta la actualidad. Figura adaptada de [8].

Históricamente, el diseño de trayectorias para misiones interplanetarias ha estado basadoen la resolución del problema de Lambert, por el cual, dadas las fechas de partida y llegada,se obtenía la órbita heliocéntrica. Los datos obtenidos de esta forma se presentaban en formade diferentes gráficas y curvas de nivel para ser posteriormente analizadas. Sin embargo, alincrementarse la complejidad de las nuevas misiones, al dirigirse a planetas más alejados yemplear maniobras asistidas por gravedad, tal enfoque no resulta ser el más adecuado.

En este trabajo se emplearán tanto el enfoque tradicional como las nuevas técnicas ba-sadas en la optimización, a fin de detallar la tarea de diseño de trayectorias de misionesinterplanetarias. Para ello, se analizarán dos misiones, cada una ellas con un método diferen-te.

1.1. Objetivos

En el diseño de una misión interplanetaria, una de las primeras tareas a realizar es laobtención de la trayectoria orbital entre los planetas. De ella dependerán los sistemas quese embarquen en el vehículo espacial y las características que se exigirán a los mismos. Amodo de ejemplo, las exigencias del sistema de control térmico no serán las mismas cuandose planifican maniobras de aerobraking (frenado en las capas altas de la atmósfera de unplaneta) que cuando el frenado se realiza con un motor cohete.

Durante el estudio de dichas trayectorias, se distinguen dos fases principales:

Diseño preliminar, en el que se aborda un gran número de trayectorias y se escoge lamás favorable. En este caso, la precisión exigida en los cálculos no es demasiado elevada.

Diseño final en el que, con técnicas más precisas, se recalcula la trayectoria escogida y

2

Capítulo 1. Introducción

se validan los resultados obtenidos del punto anterior.

El objetivo de este trabajo es realizar el diseño y estudio preliminar de trayectorias de misionesinterplanetarias. Puesto que, como ya se ha indicado, las técnicas a emplear difieren en funcióndel planeta que se desee visitar, se abordarán los dos casos siguientes:

Misión a Marte entre los años 2016 y 2033.

Misión a Saturno entre los años 2016 y 2033.

Ambos son planetas superiores, con órbitas más alejadas del Sol que la órbita terrestre; sinembargo, mientras que Marte se incluye en el conjunto de planetas interiores, entre el Sol yel cinturón de asteroides, Saturno se clasifica como planeta exterior.

Debido a la complejidad de las misiones a planetas exteriores, se ha decidido analizaren primer lugar la misión a un planeta interior, de donde se extraerán ciertas conclusionesextensibles a la misión a Saturno, que facilitarán su desarrollo y entendimiento. Se ha escogidoMarte para dicho análisis previo por su proximidad a la Tierra, lo que facilitará la tarea deencontrar las órbitas adecuadas.

En cuanto a las fechas de partida, éstas deben programarse con el margen necesario para eldiseño y construcción el vehículo espacial. Por ello, se ha decidido establecer la fecha inicial delos estudios de este trabajo en el año 2016. En cuanto a la fecha final, año 2033, además de lasconsideraciones que se tratarán en el capítulo 4, hay que indicar que las trayectorias se diseñanteniendo en cuenta las limitaciones tecnológicas existentes a la fecha. Por lo tanto, no tienesentido planificar trayectorias con un horizonte temporal muy elevado, ya que la evolucióntecnológica en el espacio de 15 años podría hacer viables órbitas antes inalcanzables.

Como el objeto de este trabajo es la realización del estudio preliminar, la precisión quese exigirá en los cálculos de variables temporales será del orden de 1 día (aproximadamenteel 0,05 % del tiempo total de la misión).

El objetivo final de este trabajo consistirá, por tanto, en el diseño preliminar, entre 2016y 2033, de las trayectorias a Marte y Saturno bajo las condiciones siguientes:

Consideración de las restricciones energéticas impuestas por la tecnología de lanzadoresactual.

Lanzamientos desde la base estadounidense del Kennedy Space Center.

Elección de la órbita terrestre inicial más favorable.

Se situará al vehículo en una órbita circular alrededor de Marte a h = 400km / Saturnoa h = 10·RY.

La trayectoria heliocéntrica entre los dos planetas minimizará la suma total de impulsosa lo largo de la misión.

1.2. Estructura del trabajo

A continuación se especificarán los temas a desarrollar en cada uno de los capítulos deltrabajo.

3

1.2. Estructura del trabajo

A fin de generar las herramientas necesarias para el análisis de las misiones, se haceimprescindible el estudio del problema de Lambert, sobre el que éstas descansarán. Estatarea se llevará a cabo en el capítulo 2, donde se detallarán los conceptos previos necesariospara la resolución de dicho problema.

Una vez definido el problema de Lambert y un algoritmo de resolución, en el capítulo3 se introducirán las herramientas básicas que permitan el diseño y análisis de una misióninterplanetaria. Tanto los capítulos 2 como 3 constituyen la base para la generación de losprogramas de MATLAB necesarios para el análisis.

En el capítulo 4 se emplearán tales herramientas con el fin de diseñar una misión notripulada a Marte, entre los años 2016 y 2033. Se analizarán tanto la trayectoria heliocéntricacomo las fases de escape y llegada a Marte. En este capítulo se empleará el enfoque tradicional,apropiado en este caso al tratarse de un planeta cercano a la Tierra, lo cual permitirá elempleo de trayectorias balísticas. Se estudiarán diferentes alternativas y se escogerá la másadecuada en términos energéticos, teniendo en cuenta las limitaciones tecnológicas existentesen la actualidad.

Posteriormente, en el capítulo 5, se analizará una misión a Saturno, planeta exterior muyalejado de la Tierra, que hará necesario el empleo de nuevas técnicas de diseño. Se tratarán endetalle la maniobra asistida por gravedad, así como las maniobras de espacio profundo, comoherramientas imprescindibles para garantizar la viabilidad de la misión. De nuevo, una vezobtenidas diferentes opciones de misión, se escogerá aquella más favorable. En este capítulose hará uso de los conocimientos obtenidos del capítulo 4, lo que permitirá orientar el estudioen la dirección adecuada.

Por último, en el capítulo 6, se resumirán las conclusiones extraídas de este trabajo y sepropondrán lineas futuras de desarrollo, que permitan generar nuevas herramientas orientadasal diseño de misiones más complejas.

4

Capítulo 2

El problema de Lambert

Para realizar el análisis de una misión interplanetaria, es necesario considerar un ampliorango de órbitas de transferencia. Al elegir un conjunto de posibles fechas de salida y llegada,quedan fijados el tiempo de vuelo y los puntos inicial P1 y final P2 (puntos de salida y entradaen la esfera de influencia de los planetas de origen y destino). Dados estos datos iniciales,estaremos interesados en resolver el siguiente problema:

Conocidos un punto inicial P1, un punto final P2 y el tiempo de vuelo entre ambos,se pretende conocer la órbita que une P1 con P2 en ese espacio de tiempo.

Esto es lo que se conoce como problema de Lambert y su resolución nos permitirá disponerde información útil para el análisis de la misión.

Figura 2.0.1: Problema de Lambert aplicado a una órbita de transferencia entre la Tierra yMarte

A lo largo de la historia se han formulado diferentes métodos de resolución de este proble-ma, entre los que se encuentran el método de Gauss o la resolución del problema de Lamberten variable universal. Estos dos algoritmos presentan sin embargo un importante problema:son singulares cuando el ángulo de transferencia ∆θ (ángulo entre los vectores posición inicial−→r1 y final −→r2) es exactamente 180º. Debido al interés que adquieren en la práctica aquellasórbitas de transferencia con valores de ∆θ próximos a los 180º, se hace necesario emplearun algoritmo más complejo, que elimine las singularidades citadas. Dicho algoritmo, quedescribiremos en este capítulo, es el conocido como método de Battin [1].

Para el desarrollo del método se hace necesario introducir previamente un conjunto deconceptos, como un teorema del valor medio aplicado a la mecánica orbital (sección 2.1), elTeorema de Lambert (sección 2.2) y un método de transformaciones geométricas que facilitarála resolución del problema (sección 2.3). Una vez detalladas estas ideas previas, en la sección2.4 se describirá el método de Battin de resolución del problema de Lambert.

5

2.1. Teorema del valor medio


2.1.1. Tangentes a la órbita en P1 y P2

A fin de formular dicho teorema y obtener de él las conclusiones pertinentes, será nece-sario establecer primero la siguiente propiedad geométrica: la recta que une el foco con laintersección de las tangentes a la curva por P1 y P2 bisecta el ángulo de transferencia ∆θ.Llamaremos N al punto de intersección de las rectas tangentes a la curva en P1 y P2, comose muestra en la figura 2.1.1a, y F al foco de la curva.

Cálculo de la distancia FN en la parábola

Para demostrar la propiedad citada, calcularemos FN1 y FN2 y comprobaremos que FN =FN1 = FN2. En primer lugar, los ángulos a, b de la figura 2.1.1b vendrán dados por:

a =π

2 − γ1 −∆θ2

b =π

2 + γ2 −∆θ2

Aplicando la ley del seno a los triángulos FP1N1 y FP2N2 se obtiene:

FN1 =r1cos(γ1)

cos(−γ1 −∆θ/2)

FN2 =r2cos(γ2)

cos(γ2 −∆θ/2)

Para el caso de órbita parabólica, se cumple que γ = θ/2. Entonces ∆θ/2 = γ2 − γ1. Siademás igualamos la ecuación de la parábola para r1 y r2, se deduce que r1cos

2γ1 = r2cos2γ2.

Teniendo esto en cuenta se obtiene el resultado esperado:

FN1 =r1cosγ1cosγ2

= r1

√r2r1

= √r1r2

FN2 =√r1r2 = FN1 = FN (2.1.1)

(a) Tangentes y punto medio.

(b) Definiciones de F N1 y F N2

Figura 2.1.1

6

Capítulo 2. El problema de Lambert

Distancia FN en la elipse

Para el caso de órbita elíptica puede demostrarse (ver [1]) que la distancia entre el foco y elpunto N viene dada por:

FN·cos(E2 − E1

2

)= √r1r2 (2.1.2)

2.1.2. Teorema del valor medio

El teorema del valor medio establece que en toda curva suave que una los puntos P1 yP2, existe al menos un punto intermedio P0 en el que la tangente a la curva es paralela a lacuerda (recta que une P1 con P2).

Dados dos puntos P1 y P2, existirán infinitas cónicas que unan ambos puntos, de maneraque existirían además infinitos puntos P0. Estos puntos tienen sin embargo un propiedadinteresante:

Si llamamos −→r0 al vector posición del punto P0, se cumple que la dirección de −→r0 esconstante para todas las órbitas que pasan por P1 y P2, dependiendo ésta únicamentede −→r1 y −→r2 .

Para demostrarlo, hacemos lo siguiente:1 + ecosθ1 = p/r1−→e ·−→r1 = er1cosθ1

⇒p− r1 = −→e ·−→r1 ⇒p− r1 = −→e ·−→r1

p− r2 = −→e ·−→r2

Al restar ambas ecuaciones obtenemos

−→e ·(−→r2 −−→r1) = r1 − r2 (2.1.3)

Tomemos ahora la expresión del vector excentricidad particularizada para P0 (por definición−→v0 será paralelo a −→r2 −−→r1) y multipliquemos escalarmente por (−→r2 −−→r1):

µ−→e = −→v0 ×−→h − µ

−→r0r0

µ−→e ·(−→r2 −−→r1) = ((−→r2 −−→r1)×−→v0) ·−→h − µ

r0

−→r0·(−→r2 −−→r1) = − µr0

−→r0·(−→r2 −−→r1)(2.1.4)

Si sustituimos la ecuación (2.1.3) en (2.1.4), obtenemos el resultado buscado:−→r0·(−→r2 −−→r1) = r0(r2 − r1)

de donde se observa que efectivamente la dirección de −→r0 solo depende de la posición de lospuntos P1 y P2 y no de la órbita en sí.

Una cantidad que nos será útil más adelante es la distancia entre el foco y la intersecciónde FP0 con la cuerda. A esta distancia la llamaremos FS y se obtiene en función del ángulode transferencia como:

FS = √r1r2cos∆θ2 (2.1.5)

7


Figura 2.1.2: Teorema del valor medio

2.1.3. Anomalía excéntrica del punto medio

Denotemos por E1, E0, E2 a las anomalías excéntricas de P1, P0, P2 respectivamente. Em-pleando la ecuación (2.1.2), se obtiene:

FN1cos12(E0 − E1) =√r1r0

FN2cos12(E2 − E0) =√r0r2

Si denominamos −→r0p al vector posición de P0 de la parábola que une P1 y P2, tendremospor la ecuación (2.1.1):

FN1p =√r0pr1

FN2p =√r0pr2

Figura 2.1.3: Obtención de E0

De la figura 2.1.3 podemos ver que se cumple la siguiente relación de semejanza:

FN1pFN2p

= FN1FN2

8


Empleando esta ecuación y los resultados anteriores se llega a que la anomalía excéntricadel punto medio puede escribirse como:

E0 = 12(E1 + E2) (2.1.6)

Por último, para la parábola se puede obtener una expresión para el radio del punto medio[1]:

r0p = 14(r1 + r2 + 2√r1r2cos

∆θ2 ) (2.1.7)

Teniendo en cuenta las expresiones anteriores y una nueva relación de semejanza de lafigura 2.1.3 se tiene:

FN2cos12(E2 − E0) = FN2cos

14(E2 − E1) =√r0r2

FN2p =√r0pr2

FN2r0

= FN2pr0p

de donde se obtiene una ecuación para r0 que será útil más adelante:

r0 = r0p1

cos2 14(E2 − E1)

(2.1.8)

2.2. El Teorema de Lambert

El Teorema de Lambert defiende lo siguiente:El tiempo de vuelo orbital entre un punto P1 y otro P2 depende únicamente delsemieje mayor a, de la suma r1 + r2 y de la cuerda c.

La ecuación de Kepler que relaciona la anomalía media con la excéntrica, se escribe como:√µ·t = a3/2 [E − esen(E)]

En nuestro caso, estamos interesados en el tiempo empleado en viajar de P1 a P2,∆t = t2 − t1, donde t2 y t1 es el tiempo empleado en viajar del periapsis al punto P2 oP1 respectivamente. Entonces se tiene:

√µ∆t =a3/2 [E2 − E1 − esen(E2) + esen(E1)] =

=2a3/2[E2 − E1

2 − esen(E2 − E1

2

)cos

(E2 + E1

2

)]

Lagrange definió el siguiente cambio de variables para simplificar la ecuación anterior, yaque las anomalías excéntricas aparecen siempre sumándose o restándose.

ψ =12(E2 − E1) (2.2.1)

cos(φ) =ecos(E1 + E2

2

)(2.2.2)

9

2.3. Transformaciones Geométricas

De esta forma la ecuación de Kepler quedaría como:

√µ∆t = 2a3/2 (ψ − sen(ψ)cos(φ))

De la definición de la anomalía excéntrica, puede obtenerse que r = a(1 − ecos(E)). Sisumamos r1 + r2 se llega a:

r1 + r2 = 2a(1− cos(ψ)cos(φ)) (2.2.3)

La cuerda puede ser expresada también en términos de a, ψ, φ como

c = 2asen(ψ)sen(φ) (2.2.4)

De esta forma, de las ecuaciones (2.2.3) y (2.2.4) puede obtenerse φ y ψ en funciónúnicamente de a, r1 +r2 y c, de modo que el tiempo de transferencia dependerá sólo de dichosparámetros, con lo que se demuestra el teorema de Lambert.

Como resultará de utilidad más adelante, es interesante expresar el parámetro orbital enfunción de las cantidades ψ y φ, [1]:

p =2r1r2sen

2 ∆θ2

r1 + r2 − 2√r1r2cos∆θ2 cosψ

(2.2.5)

2.3. Transformaciones Geométricas

Basándonos en el Teorema de Lambert, sabemos que dados P1 y P2, el tiempo de vuelosolo depende de las cantidades r1 + r2, c y a.

Si mantenemos fijos en el espacio los puntos P1 y P2, podremos modificar la posición delos focos de las cónicas que unen ambos puntos sin alterar el tiempo de vuelo, siempre ycuando r1 + r2, c y a permanezcan inalterados. Al permanecer fijos P1 y P2, la cuerda semantiene constante, de modo que será necesario establecer una serie de restricciones de formaque r1 + r2 y a también lo sean.

Si el foco F se mueve en una elipse de focos P1 y P2 y semieje mayor a′ = 12(r1 + r2),

logramos mantener constante la suma r1 + r2. Restará entonces mantener a constante. Paraello, consideremos que conocemos el semieje mayor de la órbita (caso elíptico) que une P1con P2 en el tiempo deseado, al que denotaremos por a. Entonces se cumple que:

2a =FP1 + F ∗P1 = r1 + F ∗P1

2a =FP2 + F ∗P2 = r2 + F ∗P2

Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos una condición que debe cumplir el foco libreF ∗, de manera que a permanezca constante. Éste debe moverse en una elipse de focos P1 yP2 y semieje mayor a′′ = 1

2(4a− (r1 + r2)).

10


Figura 2.3.1: Transformación geométrica

El interés de estas transformaciones reside en el hecho de que algunas cantidades seconservan cuando r1 + r2, c y a son constantes. Puede comprobarse que r0 (radio del puntomedio), v0 (velocidad del punto medio), FS y E2−E1 son constantes que no se ven alteradastras la transformación.

2.3.1. Transformación del punto medio en periapsis

Basándonos en lo anterior, independientemente del valor de a de la cónica que una lospuntos P1 y P2, los focos F y F ∗ pueden trasladarse de modo que el eje mayor sea perpendi-cular a la cuerda (figura 2.3.2). El hecho de no conocer a priori la órbita que une P1 con P2,hará que no sepamos qué distancia separa a ambos focos; sin embargo no nos será necesarioconocerla para extraer ciertas conclusiones de la transformación.

Figura 2.3.2: Transformación del punto medio en peripasis

Con esta transformación se logra que el punto medio coincida con el periapsis de todas lasórbitas posibles que unen P1 y P2, independientemente del tiempo de vuelo. Dado un tiempode vuelo tv = t2− t1, como hemos visto que E0 = 1

2(E1 +E2), el tiempo empleado para ir de

11

2.4. Método de Battin

P0 a P2 será tv/2. La ecuación de Kepler que relaciona el tiempo de vuelo con la anomalíaexcéntrica quedará como:

√µ

(t2 − t1

2

)= a3/2 [E − e∗senE] (2.3.1)

Se ha definido la anomalía verdadera (tras la transformación) del punto P2 como f , la anoma-lía excéntrica asociada se denota por E = 1

2(E2−E1) y la excentricidad de la órbita buscadase establece como e∗. Se ha tenido además en cuenta que a es un invariante, de modo que elsemieje mayor de la órbita transformada es a∗ = a.

La anomalía verdadera f puede relacionarse con ∆θ mediante las relaciones siguientes:

sen(f) = c/2(r1 + r2)/2 cos(f) = FS

(r1 + r2)/2 =√r1r2cos

∆θ2

(r1 + r2)/2 (2.3.2)

2.4. Método de Battin

El método de Battin resuelve el problema de Lambert basándose en la transformacióndesarrollada en la sección anterior. Con ella pretende eliminar la singularidad existente en elresto de métodos cuando el ángulo de transferencia es ∆θ = 180º.

Battin escribe la ecuación (2.3.1) de la forma siguiente, donde recordamos que E repre-senta la anomalía excéntrica asociada al punto P2 una vez realizada la transformación (figura2.3.2): √

µ

a3

(t2 − t1

2

)= E − senE + (1− e∗)senE (2.4.1)

Como el semieje mayor a y el radio del punto medio (que coincide con el periapsis) soninvariantes, la ecuación del radio del periapsis para la órbita transformada, de donde seobtendrá (1− e∗), puede escribirse como:

rperiapsis = r0 = a(1− e∗) = r0psec2(E

2

)

donde se ha tenido en cuenta la ecuación (2.1.8). Como además r0p es invariante (al serlo elradio del punto medio de todas las órbitas que pasan por P1 y P2), podremos calcularlo delos datos previos a la transformación (ec. 2.1.7):

r0p = 14(r1 + r2 + 2√r1r2cos

∆θ2 )

Por otro lado, el semieje mayor puede expresarse en términos de E y del radio r0p mediantela expresión siguiente [1]:

2r0pa

=4tan2E

2(1 + tan2E

2 )(tan2 f2 + tan2E

2 )(2.4.2)

donde la única incógnita, tras despejar a, sería la anomalía excéntrica E (ya que f es conocido,ecs. (2.3.2)).

12


De este modo, la ecuación de Kepler, dada por la ecuación (2.4.1), podrá ser reescritacomo:√

µ

8r30p

(t2−t1)4tan3E

2[(tan2 f

2 + tan2E2 )(1 + tan2E

2 )]3/2 = E−sen(E)+

4tan3E2

(tan2 f2 + tan2E

2 )(1 + tan2E2 )

Al resolver esta ecuación para E, el valor del semieje mayor de la órbita se obtendrámediante la ecuación (2.4.2) y el parámetro orbital pmediante la expresión (2.2.5) (recordandoque ψ = 1

2(E2 − E1) = E).Queda así completamente definida la órbita que une a los puntos P1 y P2 en un tiempo

de vuelo t2 − t1; se ha resuelto el problema de Lambert.

13

Capítulo 3

Herramientas para el análisis

Para llevar a cabo el diseño de una misión interplanetaria se precisa una gran cantidadde información relativa a las diferentes trayectorias orbitales posibles. En primer lugar, seránecesario conocer la posición de los planetas de origen y destino en el conjunto de fechasen estudio. Para ello, en la sección 3.1 se introducirá un propagador planetario lineal. Unavez obtenidas las ubicaciones de los planetas de salida y llegada, se estará en disposición decalcular las posibles órbitas que unan ambos puntos en función del tiempo de vuelo. Contal fin se empleará la teoría de ajuste de cónicas, detallada en la sección 3.2. Por último yenfocado al análisis de los resultados, en la sección 3.3 se detallará la herramienta conocidacomo pork-chop plot.

3.1. Propagador planetario

El siguiente propagador planetario nos permitirá obtener los elementos orbitales de losplanetas teniendo en cuenta las perturbaciones que afectan sobre ellos. Está referido a la épocaJ2000 y los valores iniciales de los elementos orbitales, así como sus variaciones temporales,se obtienen de [14]* y serán válidos para el rango de fechas entre los años 1800 y 2050.

Se trata de un modelo lineal, por el que los elementos orbitales se obtienen de la formasiguiente:

(a, e, i,Ω, $, L) = (a0, e0, i0,Ω0, $0, L0) + d

dt(a, e, i,Ω, $, L)·T0 (3.1.1)

T0 representa el número de centurias julianas entre J2000 y el día en el que se pretendeconocer los elementos planetarios; se obtiene como:

T0 = JD − 245154536525

JD es el día juliano al que estamos propagando, 2451545 es el día juliano correspondienteal J2000 (1 Enero de 2000, 12:00UT) y CY = 36525 es el número de días de una centuriajuliana.

Para el cálculo del día juliano se hará uso de las siguientes ecuaciones:

J0 = 367A− INT7

4

[A+ INT

(M + 9

12

)]+ INT

275M9

+D + 1721013,5 (3.1.2)

*Se han observado errores en los valores de los elementos orbitales planetarios aportados por [5], de maneraque, por su mayor fiabilidad, se ha optado por tomar los resultados de [14].

14

Capítulo 3. Herramientas para el análisis

JD = J0 + UT

24 (3.1.3)

J0 devuelve el día juliano correspondiente al día D, mes M y año A, a las 00.00UT. JDes el día juliano a la hora UT especificada. INT denota que debe tomarse el valor entero delargumento.

Los elementos orbitales con que se trabajará se describen a continuación:

Ω : ascensión recta del nodo ascendenteω : argumento del perihelio$ : longitud del perihelio $ = ω + ΩM : anomalía mediaL : longitud media L = $ +M

a, e, i : semieje mayor, excentricidad e inclinación respectivamente

Obtención de la posición y velocidad en el sistema perifocalUna vez conocidos (a, e, i,Ω, ω,M), estamos interesados en obtener los vectores posicióny velocidad en el sistema de referencia perifocal. En primer lugar, obtendremos p = a(1−e2) y la anomalía excéntrica mediante la ecuación de Kepler como M = E − e sen(E).Con E obtenemos la anomalía verdadera θ a través de la ecuación siguiente:

θ = 2 arctan[√

1 + e

1− etan(E

2

)]

Finalmente, los vectores posición y velocidad en el sistema perifocal se obtienen como:

rF = p

1 + e cos(θ)

cos(θ)sen(θ)

0

(3.1.4)

vF =√µ

p

−e sen(θ)e+ cos(θ)

0

(3.1.5)

Obtención de la posición y velocidad en el sistema de referencia heliocéntricoSi denominamos H al sistema de referencia heliocéntrico, F al perifocal y S, S′ a unossistemas de referencia intermedios, la transformación entre H y F vendrá dada por:

HzH

−→Ω

SxS

−→iS′ zS′

−→ω

F

Para transformar un vector w cualquiera de un sistema de referencia a otro bastarátomar wF = CFHw

H , o la transformación inversa wH = (CFH)′wH con la matriz decambio traspuesta. De esta manera, se tendrá:

rH =(CFH)′rF (3.1.6)vH =(CFH)′vF (3.1.7)

15

3.2. Cálculo de trayectorias interplanetarias


En un principio, la trayectoria orbital entre dos planetas podría obtenerse resolviendoel problema de Lambert entre los puntos de salida y llegada. Sin embargo, la solución alproblema de Lambert es válida estrictamente para el problema de los dos cuerpos, en elcual se supone un sistema aislado del resto del universo, participando únicamente las fuerzasgravitatorias entre ambos cuerpos. En el estudio de una misión interplanetaria, el vehículono solo es atraído por un cuerpo (m1 - el Sol, por ejemplo), sino que sobre él actúan lasfuerzas gravitatorias de otros planetas. En particular, para una misión Tierra - Marte, seríanecesario considerar el efecto del Sol y de ambos planetas; se trataría de un problema decuatro cuerpos. Al no existir una solución del problema de Lambert para escenarios con másde dos cuerpos, se hace necesario realizar ciertas simplificaciones.

Existen dos métodos en los que se basan la gran mayoría de algoritmos de cálculo detrayectorias interplanetarias: el método de ajuste de cónicas y el de integración numérica delas ecuaciones del movimiento. Mientras que el primero realiza una serie de simplificacionesque restan precisión a los resultados, el segundo, más preciso, requiere de elevados tiemposde cálculo y su convergencia depende de la correcta elección de los valores iniciales. Debidoa que en el análisis preliminar de una misión interplanetaria es necesario el estudio de unagran cantidad de posibles órbitas de transferencia, el método de integración numérica se haceinapropiado por el elevado coste en tiempo de cálculo que conllevaría. Por esta razón, en estetrabajo se empleará el ajuste de cónicas, que se describirá al final de esta sección.

3.2.1. Esfera de influencia

Supongamos un vehículo sometido a la influencia de dos cuerpos masivos 1 y 2 (figura3.2.1). Cuando el vehículo se encuentra muy próximo al cuerpo 1, el efecto de 2 puede es-tablecerse como una perturbación sobre el movimiento kepleriano del vehículo alrededor de1.

−→r1 = −µ1−→r1r3

1+ µ2

∣∣∣∣∣−→r2r3

2−−→r12r3

12

∣∣∣∣∣ = −→g1 +−→g′2

De la misma forma, cuando el vehículo esté próximo a 2, el efecto de 1 podrá modelarse comouna perturbación.

−→r2 = −µ2−→r2r3

2+ µ1

∣∣∣∣∣−→r1r3

1−−→r12r3

12

∣∣∣∣∣ = −→g2 +−→g′1

De este modo,el lugar geométrico de puntos en el que se cumpla que g′2/g1 = g′1/g2separará las zonas de influencia de 1 y de 2. Cuando m1 m2, este lugar geométrico seaproxima a una esfera que rodea a 2, recibiendo el nombre de esfera de influencia (SoI -Sphere of Influence).

16


Figura 3.2.1: Problema de tres cuerpos. El centro de masas se representa como CM.

Dentro de la esfera de influencia, podrá suponerse que sobre el vehículo solo actúa lafuerza ejercida por 2, reduciendo el problema de los tres cuerpos a uno de dos cuerpos. Deforma equivalente, fuera de la esfera de influencia de 2, se supondrá únicamente el efectode 1 sobre el vehículo. Esta simplificación implica una pérdida de precisión de los cálculos,principalmente cuando el vehículo esté próximo a la esfera de influencia, en la que el efectode ambos cuerpos es equiparable.

3.2.2. Ajuste de cónicas

El método de ajuste de cónicas permite resolver de manera aproximada problemas de ncuerpos transformándolos en n− 1 problemas de 2 cuerpos. Así se consigue poder aplicar lasolución al problema de Lambert, válida solo en problemas de dos cuerpos. Para detallar elconcepto de ajuste de cónicas, se tomará como ejemplo el caso de una misión Tierra - Marte.

Fase geocéntrica.El vehículo partirá de una órbita de aparcamiento a 200km de la superficie terrestre.Inicialmente, éste se encontrará dentro de la esfera de influencia terrestre, por lo quepodrá despreciarse la atracción del Sol y de Marte. Así, en un sistema de referencialigado a la Tierra, el vehículo seguirá una trayectoria cónica con la Tierra en uno desus focos. La velocidad al alcanzar la esfera de influencia se denotará por −−→VSoI .

Figura 3.2.2: Ajuste de cónicas. Fase geocéntrica.

Fase heliocéntrica.Al salir de la esfera de influencia terrestre, el vehículo se encontrará en P1 y seguiráuna órbita heliocéntrica, con una velocidad inicial −→V1 = −→V⊕ +−−→VSoI .

17


Figura 3.2.3: Ajuste de cónicas. Fase heliocéntrica.

Movimiento relativo al planeta de destino.

Por último, al llegar a la esfera de influencia de Marte, la velocidad relativa al planetaserá −−−→VSoI2 = −→V2 −

−→V.

Figura 3.2.4: Ajuste de cónicas. Fase planetocéntrica de llegada.

El procedimiento puede simplificarse aún más al tener en cuenta los órdenes de magnitud delos radios de las esferas de influencia planetarias respecto de las distancias entre el Sol y losplanetas. Para el ejemplo que estamos tratando, se tiene lo siguiente:

Rplaneta RSoI Distancia Sol - PlanetaTierra 6378km 0,93·106km 150·106km

Marte 3397km 0,58·106km 228·106km

Cuadro 3.1: Comparativa de órdenes de magnitud

Como Rplaneta RSoI Dist.Sol−Planeta, al estudiar los tramos planetocéntricos, seconsiderará que la esfera de influencia se encuentra en el infinito. Así, la velocidad de salidade la SoI será la velocidad de exceso de la trayectoria hiperbólica de salida: −−→VSoI = −→V∞.Por otro lado, en el estudio de los tramos heliocéntricos, se supondrá la SoI como un punto,convirtiendo los puntos P1 y P2 en las posiciones de la Tierra y Marte respectivamente.

18


3.3. Porkchop plots y el C3

Una de las principales herramientas necesarias para el diseño de una misión interplanetariaes la conocida como pork-chop plot**. Se trata de un gráfico en el que se representan curvasde nivel del C3 para un conjunto de fechas de salida del planeta de origen y fechas de llegadaal planeta de destino. El C3 es una medida de la energía por unidad de masa, obtenidade la velocidad de exceso como C3 = V 2

∞, que permite comparar diferentes trayectorias entérminos energéticos, así como comprobar su viabilidad contrastándola con la capacidad delos lanzadores actuales.

En la figura 3.3.1 presentamos a modo de ejemplo una de estas gráficas. En el eje deabscisas se presentan diferentes fechas de partida de la Tierra (salida de la esfera de influenciaterrestre) en días julianos y en días del calendario gregoriano. Por otro lado, en el eje deordenadas se representan fechas de llegada a la esfera de influencia de Marte. Las zonasexteriores a la curva de nivel correspondiente a C3 = 28km2/s2 están asociadas a energíasmayores que ésta.

Fecha salida [JD−24·105]

Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 (Km2/s2)

5.655 5.661 5.667 5.673 5.679 5.685

x 104

5.675

5.685

5.695

5.705

5.715

5.725x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

16/9/2013 14/11/2013 13/1/2014 14/3/2014 13/5/2014 12/7/2014

3/4/2014

12/7/2014

20/10/2014

28/1/2015

7/5/2015

16/8/2015

Figura 3.3.1: Pork-chop plot para el estudio de una misión Tierra - Marte

Pueden distinguirse dos zonas de mínima energía separadas entre sí. La zona correspon-diente a menores tiempos de vuelo (inferior) representa trayectorias de Tipo I, en las que elángulo entre los vectores de salida y llegada es menor a 180º (figura 3.3.2). La zona superiorpor su parte, en la que el tiempo de vuelo es mayor, representa trayectorias de Tipo II, enlas que la posición inicial y final difieren en más de 180º (figura 3.3.3).

Este tipo de gráficas permitirá escoger, en el diseño de la misión interplanetaria, aquellafecha de salida y tiempo de vuelo que minimicen el C3 de partida, atendiendo además a unaserie de restricciones añadidas que se comentarán más adelante.

**Los diseñadores de misiones del JPL dieron este nombre a las curvas de nivel del C3 por su parecido enforma a las chuletas de cerdo.

19

3.3. Porkchop plots y el C3

−2 −1 0 1 2

x 108

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 108

x [km]

Figura 3.3.2: Ejemplo de transferencia entre la Tierra y Marte de Tipo I. El eje x apunta alPrimer Punto de Aries y las distancias se representan en km.

−2 −1 0 1 2

x 108

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 108

x [km]

Figura 3.3.3: Ejemplo de transferencia entre la Tierra y Marte de Tipo II. El eje x apunta alPrimer Punto de Aries y las distancias se representan en km.

20

Capítulo 4

Diseño y análisis de una misión aMarte

A lo largo de las últimas décadas se han llevado a cabo numerosas misiones a Marte, entorno a unas cincuenta, la mitad de ellas con éxito. Una de las principales razones por lasque las agencias espaciales se han centrado en este planeta es su proximidad a la Tierra ylas consecuencias que de ello se derivan. Al estar la Tierra y Marte relativamente cercanosen distancia y velocidad heliocéntrica, las energías necesarias para una misión interplanetariade este tipo están al alcance de la tecnología actual. Esto, sumado a un periodo sinódico deaproximadamente 2,14 años, ha favorecido el gran crecimiento en el número de misiones aeste planeta.

Este capítulo se centrará en el diseño de una misión no tripulada al planeta marcianoentre los años 2016 y 2033. El diseño de la misión consistirá en escoger aquellas trayectorias yfechas de lanzamiento y llegada más favorables, que cumplan además los siguientes requisitos:

Lanzamiento desde la base de Cabo Cañaveral (KSC, Kennedy Space Center).

Fecha de lanzamiento en el rango de años entre 2016 y 2033.

Restricción sobre el C3 de salida: C3 < 10km2/s2.

Órbita circular en torno a Marte de altitud h = 400km.

Para la realización de dicha tarea se representarán un conjunto de curvas que muestren lastendencias de diferentes magnitudes de interés. En primer lugar, en la sección 4.1, se estudiaráel movimiento relativo de la Tierra y Marte a fin de escoger posibles fechas para el desarrollode la misión. Posteriormente, en la sección 4.2 se resumirán los factores que afectan a laenergía de salida por unidad de masa (C3) y se analizarán los mínimos de dicha variable a lolargo de las posibles fechas ya obtenidas. Una vez acotado el rango de fechas en función delC3, la sección 4.3 analizará aquellos aspectos relativos al lanzamiento e inyección en la órbitade transferencia. Del mismo modo, se definirán los parámetros de estudio más relevantesen la aproximación a Marte (sección 4.4). En la sección 4.5 se escogerá aquella órbita detransferencia más adecuada atendiendo a los factores introducidos y por último, en la sección4.6 se resumirán las características de la misión en su conjunto.

21

4.1. Fechas de estudio


Debido a las limitaciones energéticas de los vehículos lanzadores, la tarea del diseño deuna misión interplanetaria se traduce en encontrar aquellas órbitas que minimicen los requi-sitos de propulsión. Para disponer de un punto de partida, se emplearán los conocimientosderivados del problema plano simplificado, en el que las órbitas de los planetas son circularesy coplanarias. Bajo esta suposición, se tiene que la órbita de transferencia de mínima energíaque une las órbitas de la Tierra y Marte es la de Hohmann. Por ello, en el problema real seestudiarán aquellas configuraciones próximas a la conjunción de ambos planetas.*

4.1.1. Conjunciones planetarias

Debido a que el instante de llegada a Marte (t2) es desconocido, se hace necesario tomaruna transferencia de referencia, con un determinado tiempo de vuelo tv, de manera quet2 = t1 + tv y pueda conocerse la posición del planeta de destino en función de t1. Paraobtener, en el caso de órbitas no coplanarias y elípticas, las fechas de conjunción entre laTierra y Marte, se tomará como referencia una pseudo-transferencia de Hohmann, que unalas órbitas de ambos planetas con un ∆θ = 180º. No se trata realmente de una transferenciade Hohmann ya que no es tangente a las órbitas de los dos planetas, al no ser éstas circularesni tener sus lineas de ápsides alineadas. El tiempo de vuelo de esta transferencia será

tH(t1) = π

√a3(t1)µ

(4.1.1)

donde puede verse que depende del instante de salida t1. Supóngase en primera aproxima-ción que los siguientes elementos orbitales de Marte: Ω, ω, a, e , no varían de formasignificativa en períodos de tiempo del orden de tH ; esto será comprobado más adelante. Deeste modo, para la conjunción de referencia Tierra - Marte se tendrá:

Ω⊕(t1) + ω⊕(t1) + θ⊕(t1) + 180º = Ω(t1 + tH) + ω(t1 + tH) + θ∗

'Ω(t1) + ω(t1) + θ∗

donde θ∗ es la anomalía verdadera del punto de llegada a la órbita marciana, y no necesa-riamente ha de coincidir con la posición de Marte. De esta ecuación puede obtenerse θ∗, demodo que el semieje mayor de la transferencia de Hohmann será:

r∗(t1 + tH) 'p(t1)

1 + e(t1)·cos(θ∗)

a = r∗ + r⊕(t1)2

Una vez que se dispone del tiempo teórico para una transferencia tipo Hohmann entre lasórbitas terrestre y marciana (ecuación 4.1.1), será necesario exigir que el vector posición de laTierra en el instante de salida (−→r⊕(t1)) y el de Marte en el instante de llegada (−→r(t1 + tH))formen 180º. De esta forma, cuando el vehículo complete la maniobra de transferencia, suposición coincidirá con la de Marte. Para ello, en la figura 4.1.1 se representado el ánguloformado entre −→r⊕(t1) y −→r(t1 + tH) para un conjunto de fechas iniciales t1 comprendidas

*Se entenderá por conjunción aquella posición relativa entre los planetas 1 y 2 tal que los vectores −→r1(tsalida)y −→r2(tllegada) formen un ángulo de 180º.

22

Capítulo 4. Diseño y análisis de una misión a Marte

entre los años 2016 y 2033. De dicha gráfica pueden obtenerse las fechas en las que ocurrirá laconjunción planetaria (para una transferencia tipo Hohmann, con tv = tH(t1)), como aquellasen las que el ángulo entre −→r⊕(t1) y −→r(t1 + tH) llega a los 180º. El rango de fechas en las quese realizará el estudio se ubicará en torno a dichas conjunciones de referencia.

5.6 5.6889 5.7778 5.8667 5.9556 6.0444 6.1333 6.2222 6.3111 6.4

x 104

0

50

100

150

200

250

300

t1 [JD−24·105]

tH Transf. Hohmann [días]

Ángulo rTierra

(t1) // r

Marte(t

1+t

H) [º]

14/3/2012 20/8/2014 25/1/2017 2/7/2019 7/12/2021 15/5/2024 20/10/2026 27/3/2029 2/9/2031 8/2/2034

Figura 4.1.1: Estudio de las conjunciones de referencia entre la Tierra y Marte para los años2014-2033. La linea verde representa un ángulo entre ambos planetas de 180º.

Puede observarse además que los tiempos de vuelo de las transferencias tipo Hohmmanvarían entre tH = 237 días y tH = 280 días. Tomemos este último valor y empleemos laecuación (3.1.1):

(a, e, i,Ω, $, L)(t2) − (a, e, i,Ω, $, L)(t1) = d

dt(a, e, i,Ω, $, L)·(t2 − t1)

CY

De las variaciones lineales de los elementos orbitales, obtenidas de [14], se deriva lo si-guiente:

∆1−2e = 0,00007882·280/36525 = 0,604·10−6

∆1−2a = 0,0001847·280/36525 = 1,416·10−6AU

∆1−2ω = 0,736984·280/36525 = 5,649·10−3[º]∆1−2Ω = −0,292573·280/36525 = −2,243·10−3[º]

de donde se comprueba la validez de la suposición realizada; en efecto, las variaciones de loselementos orbitales de Marte en períodos de tiempo del orden de tH pueden ser despreciadas.

4.1.2. Período sinódico y de repetición de características

Como se observará más adelante, aquellas trayectorias de mínima energía de salida es-tán asociadas a fechas relativamente próximas a las conjunciones de referencia. Es por ellointeresante conocer el período de repetición de las mismas. Como puede verse en la figura

23

4.2. Evolución del C3

4.1.1, dichas conjunciones se repiten de forma periódica. Definamos la velocidad angular dela Tierra alrededor del sol como ω⊕ y la de Marte como ω. Entonces, la velocidad angularrelativa de Marte respecto de la Tierra será ω = ω⊕ − ω y su período T = 2π/ω. De estaforma, el período sinódico -período con el que se repite una misma configuración relativa dedos planetas-, podrá obtenerse como:

TS = 11/T⊕ − 1/T

Para el caso que tratamos en este capítulo, se tiene un período sinódico TS = 779,936 dıas =2,14 anos. Así, se observará que las situaciones de mínima energía de salida se repetirán cada2,14 anos. Sin embargo, el valor de dicha energía mínima no será el mismo entre un períodosinódico y el siguiente. Esto se debe a que las órbitas de los planetas son elípticas y no copla-narias, haciendo que no sólo el ángulo relativo entre los planetas, sino también sus posicionesinerciales, influyan en el valor del C3.

Es por ello interesante introducir el concepto de “período de características repetidas”[13], al que denotaremos por TC . Éste representa el período con el que se repite una mismaconfiguración inercial de dos planetas. Como las perturbaciones que afectan a las órbitas delos planetas tienen un efecto reducido en tiempos del orden de varios años, podrá considerarseque tras un período de características repetidas, las posiciones heliocéntricas de la Tierra yMarte serán aproximadamente las mismas y el valor mínimo del C3 será similar.

Los períodos sidéreos de Marte y la Tierra vienen dados por T = 686,9804 dıas y T⊕ =365,2564 dıas. Si calculamos k· T⊕

T, donde k es un número entero, obtendremos el número

de revoluciones de Marte por cada k años. Si para algún k obtuviésemos un número entero,existiría estrictamente un TC . Como estamos interesados en obtener una aproximación delTC , bastará con que la cantidad k· T⊕

Tsea próxima a un entero.

Para k = 15, se obtiene k· T⊕T

= 7,975; es decir, por cada 15 años Marte recorre 7,975veces su órbita. En primera aproximación, el período de características repetidas podrá es-tablecerse como TC = 15 anos. Es necesario recalcar que se trata de una aproximación, quesumada con las pequeñas perturbaciones, hará que el C3 de salida, pese a ser similar, no serepita exactamente cada 15 anos.


En esta sección se tratarán en detalle aquellos factores que hacen variar el valor del C3 desalida, tanto en el espacio de una misión en concreto (un año determinado), como a lo largode diferentes misiones o años.

4.2.1. Factores que afectan al C3

Tómese a modo de ejemplo el porkchop plot del año 2016 (figura 4.2.1). Como se indicó enla sección 3.3, pueden distinguirse dos zonas separadas en las que el C3 se minimiza, asociadascon transferencias de Tipo I (∆θ < 180º) y Tipo II (∆θ > 180º). Al alejarnos de ellas, el C3comienza a aumentar, haciendo inviables las misiones para dichas configuraciones.

Además, existe una región aproximadamente diagonal que separa las trayectorias Tipo Iy II, en la que el C3 alcanza valores muy elevados. Ésta está relacionada con transferencias

24



Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

5.73 5.735 5.74 5.745 5.75 5.755 5.76

x 104

5.75

5.76

5.77

5.78

5.79

5.8x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

4/10/2015 23/11/2015 12/1/2016 2/3/2016 21/4/2016 10/6/2016 30/7/2016

21/4/2016

30/7/2016

7/11/2016

15/2/2017

26/5/2017

3/9/2017

(a)

5.735.735

5.745.745

5.755.755

5.76

x 104

5.75

5.76

5.77

5.78

5.79

5.8

x 104

0

500

1000

1500

2000

2500

Fecha salida

Fecha llegada

(b)

Figura 4.2.1: Pork chop plot y representación del C3 para una misión Tierra - Marte consalida en el año 2016. Fechas en [JD-24·105] días.

muy próximas a la conjunción; es decir, con un ∆θ ' 180º. Debido a que las órbitas de laTierra y Marte no son coplanarias, cuando ∆θ = 180º, el único plano que puede contener alos vectores −→r⊕(t1), −→r(t2) y al Sol es aquél con una inclinación i = 90º. La trayectoria detransferencia para este caso se convierte, por tanto, en una órbita heliocéntrica polar, queresultará inviable en la práctica debido a los elevados valores del C3 que conlleva, hecho quese analizará a continuación.

Para realizar una estimación del C3 en las órbitas polares, supóngase en primer lugarórbitas planetarias circulares. En este caso, para una transferencia tipo Hohmann polar setendrá

aH =r⊕ + r

2 = 1 + 1,523722 = 1,26186AU

v1 =√

2µr1− µ

a=√

2− 11,26186 = 1,098871UV

25


v∞ =√v2⊕ + v2

1 = 1,485772UV = 44,2533 km/sC3 =v2

∞ = 1958 km2/s2

Para alcanzar la velocidad v1 se hace necesario contrarrestar la velocidad orbital de laTierra, perpendicular a v1, de modo que se obtiene un C3 muy elevado.

La única órbita que une la Tierra con Marte con un ∆θ = 180º sin ser polar es latransferencia nodal (figura 4.2.2). En ella, el inicio de la trayectoria es un punto de la órbitaterrestre que intersecta con la línea de nodos de Marte. El punto de llegada será el nodoopuesto perteneciente a la órbita marciana. En esta situación, el plano de la órbita no quedadeterminado y podrá escogerse como se desee; normalmente buscando minimizar el C3 desalida o el V∞ de llegada.

Figura 4.2.2: Conjunción entre dos planetas. Transferencias polar (verde) y nodal (rojo).

La transferencia nodal puede observarse en los porkchop plots como un punto que une lasregiones de transferencias de Tipo I con las de Tipo II (figura 4.2.3).


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 (Km2/s2)

5.81 5.816 5.822 5.828 5.834 5.84

x 104

5.83

5.84

5.85

5.86

5.87

5.88x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

13/12/2017 12/2/2018 12/4/2018 11/6/2018 10/8/2018 9/10/2018

1/7/2018

9/10/2018

17/1/2019

27/4/2019

5/8/2019

13/11/2019

Transferencia nodal

Figura 4.2.3: Pork chop plot de 2018.

26


Con el tiempo, el punto correspondiente a la transferencia nodal se traslada a lo largo dela linea de transferencias con ∆θ = 180º del porkchop plot. Cuando la Tierra está próxima alperihelio de su órbita y Marte al afelio, este punto se acerca a las regiones de mínima ener-gía. Pese a las ventajas energéticas de la transferencia nodal, ésta presenta un inconvenienteimportante. Al tratarse de una transferencia singular, un pequeño retraso en el lanzamientoprovocaría un gran aumento en la inclinación de la nueva órbita de transferencia, modificán-dose ésta considerablemente. Sería por tanto necesario una precisión muy elevada y rediseñarla misión para contemplar el caso de un retraso. Por ello, este tipo de misiones no se llevana cabo en la práctica.

4.2.2. Estudio del C3 mínimo para diversos años.

Como ya se ha señalado, el hecho de que las órbitas de la Tierra y Marte no sean co-planarias ni circulares hace que el mínimo valor del C3 de salida varíe entre las distintasoportunidades de salida (separadas por el período sinódico). Por ello resulta conveniente rea-lizar un estudio de la evolución de dicho parámetro para diferentes años. Como además seespera que cada 15 años aproximadamente (TC) se repitan los valores del C3 mínimo, se hadecidido realizar el estudio para un período de características repetidas, partiendo desde elaño 2016.

En la figura 4.2.4 se presenta la evolución del C3 mínimo. Si se parte del año 2016, setiene que en el año 2031 se habrá completado un período TC . Por tanto es de esperar, comoademás puede comprobarse en la figura, que el C3 mínimo del año 2033 sea próximo al delaño 2016.

2016 2018 2020 2022 2024 2026 2028 2031 20330

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Año

C3

[Km

2 /s2 ]

8.9

7.8

13.2

18.417.7

11.8

9.1 9.0 8.4

8.0 8.5

16.5

13.8

11.2

9.1 8.9 8.2

7.8

Tipo ITipo II

Figura 4.2.4: Evolución del C3 mínimo entre los años 2014 y 2033

Una vez obtenidos estos datos, es necesario considerar el tipo de misión que se va allevar a cabo. Si se trata de una misión tripulada, el tiempo de vuelo se convierte en otro

27

4.3. Lanzamiento e inyección

factor importante a tener en cuenta, puesto que ha de minimizarse el tiempo de exposiciónde la tripulación a la radiación presente en el espacio. En este caso, se elegirían únicamentetrayectorias de Tipo I, por sus menores tiempos de vuelo. Al tratarse en este capítulo eldiseño de una misión no tripulada, no se descartarán las trayectorias de Tipo II.

Atendiendo a la restricción de C3 < 10km2/s2, las posibles fechas para el inicio de lamisión se reducen a 2016, 2018, 2026 (solo Tipo II), 2028, 2031 y 2033.


El problema del lanzamiento e inyección consiste en encontrar aquellas ventanas de lanza-miento que permitan situar al vehículo en una órbita de aparcamiento adecuada, coplanariacon la asíntota de salida de la esfera de influencia terrestre. De esta forma se evitarán manio-bras adicionales de cambio de plano, que aumentarían la cantidad requerida de propulsantepara la misión. Se obtendrá además la expresión del impulso necesario para alcanzar la tra-yectoria de salida adecuada que permita el viaje a Marte.

4.3.1. Inyección en la órbita de salida

La órbita de salida de la esfera de influencia terrestre será hiperbólica con una velocidadde exceso V∞ =

√C3. Alcanzar dicha órbita de manera directa, desde el lanzamiento, resulta

inviable. Esto reduciría los márgenes o ventanas de lanzamiento a instantes puntuales, re-quiriéndose además una elevada precisión en dicha maniobra. Por ello, en el lanzamiento sesitúa al vehículo en una órbita de aparcamiento, desde la que se efectuará la inyección en laórbita de salida.

Supóngase una órbita de aparcamiento de semieje mayor a y radio de perigeo rp. Elincremento de velocidad necesario para la inyección en la órbita de salida será

∆Vi =√

2µ⊕rp

+ C3 −√

2µ⊕rp− µ⊕

a(4.3.1)

Típicamente, los lanzadores sitúan al vehículo en una órbita baja de aparcamiento (circu-lar), con hpark = 200km. Teniendo esto en cuenta, podrían considerarse dos posibilidades;inyección directa desde la órbita de aparcamiento o inyección desde una órbita intermedia([10]).

Considérese en primer lugar el caso de inyección desde una órbita intermedia. A fin deminimizar el ∆Vi, interesará que el radio de perigeo rp sea reducido (cuando C3 > −µ⊕/ase tiene que (4.3.1) es monótona creciente con rp) y el semieje mayor a sea elevado. Porser una de las órbitas ampliamente utilizadas en la práctica, se podría emplear como órbitaintermedia una GTO (Geosynchronous Transfer Orbit) o próxima a ella, con rp = 6578,14kmy ra = 35000km. Con estos datos y un C3 = 9km2/s2, se tendría un ∆Vi = 1,310km/s. Sinembargo, para alcanzar la órbita intermedia GTO se precisaría de un impulso previo ∆V0,que transforme la órbita de aparcamiento circular, elevando el apogeo hasta ra = 35000km.En resumen, para la inyección del vehículo en la órbita de salida será necesario efectuar dosmaniobras impulsivas (desde la órbita de aparcamiento inicial hasta la órbita intermedia ydesde la órbita intermedia hasta la órbita de salida):

∆V0 =2,316km/s∆Vi =1,310km/s

28


En un principio, la inyección desde una órbita intermedia no presenta ventaja alguna, puestoque la inyección directa requeriría un incremento de velocidad

∆Vd = ∆V0 + ∆Vi = 3,626km/s

La inyección desde la órbita intermedia adquiere sentido cuando se dispone de un cohete condos etapas superiores. Si se denota la masa de propulsante por mp y la masa inicial (incluidoel propulsante) por m0, se tiene

mp

m0= 1− exp

(−∆VIsp·g

)

donde Isp es el impulso específico y g = 9,81m/s2. En los cálculos siguientes se tomará unimpulso específico de valor Isp = 320s.

Inyección directaLa masa total del vehículo en la órbita de aparcamiento será m0 = mprop +mp +mPL,donde mprop es la masa de la etapa de propulsión, mp el propulsante y mPL la cargade pago que porta el vehículo. De esta forma, la relación entre carga de pago y masainicial vendrá dada por:

mPL

m0= 1− mprop

m0− mp

m0= exp

(−∆VdIsp·g

)− mprop

m0= 0,315− mprop

m0(4.3.2)

Inyección indirectaLa masa total en la órbita de aparcamiento inicial vendrá dada por m0 = mprop1 +mp1 + mprop2 + mp2 + mPL, donde mprop1 y mprop2 son las masas de las etapas 1 y 2de propulsión, mp1 y mp2 el propulsante necesario para el primer y segundo impulso ymPL la carga de pago.

mp1 = m0

[1− exp

(−∆V0Isp·g

)]

mp2 = (m0 −mprop1 −mp1)[1− exp

(−∆ViIsp·g

)]

Entonces, se tendrá

mp2m0

=(exp

(−∆V0Isp·g

)− mprop1

m0

)[1− exp

(−∆ViIsp·g

)]

de manera que la relación entre carga de pago y carga inicial será

mPL

m0=1− mprop1

m0− mp1

m0− mprop2

m0− mp2

m0=

=exp(−∆V0Isp·g

)−(exp

(−∆V0Isp·g

)− mprop1

m0

)[1− exp

(−∆ViIsp·g

)]− mprop1 +mprop2

m0=

=0,478−(

0,478− mprop1m0

)·0,341− mprop1

m0− mprop2

m0=

=0,315−(

0,659·mprop1m0

+ mprop2m0

)(4.3.3)

29


Por tanto, siempre que se cumpla la relación

0,659·mprop1m0

+ mprop2m0

<mprop

m0

resultará más conveniente, en términos de capacidad de transporte de carga de pago, lainyección de un cohete con dos etapas desde una órbita intermedia. A modo de ejemplo, si setoma mprop1 = mprop2, la relación anterior queda como

0,659·mprop1mprop

+ mprop1mprop

= 1,659·mprop1mprop

< 1

De esta manera, para realizar la inyección en dos fases (y considerando que ambas etapastienen la misma masa) será preciso que cada etapa de propulsor tenga una masa mprop1 <0,603·mprop, donde mprop representaba la masa del propulsor en una sola etapa.

En la práctica los incrementos en carga de pago que se logran con la inyección en dosfases son reducidos y la masa inicial m0 del lanzador en tierra se hace demasiado elevada. Poresto, resulta más conveniente la inyección directa desde una órbita de aparcamiento circular,maniobra que se analizará a continuación. Se tomará en este capítulo una altitud de la órbitade parking hpark = 200km.

Para un lanzador Delta IV y una única etapa superior, se tiene la siguiente relación (figura4.3.1) entre el C3 y la carga útil (carga de pago + interfaz con el lanzador o PAF) partiendode una órbita baja circular.

Usefu

l Lo

ad

Mass (kg

)

–20 –10 0 10 20 30 40

C3 Launch Energy (km2/sec2)

50 60 70 80 90 100

7,000

6,000

6,500

5,000

5,500

4,000

4,500

3,000

3,500

2,000

2,500

1,000

1,5000

500

Useful Load Mass—PAF Mass = Payload Mass

PAF PAF Mass

1194-41575-41666-41194-51575-51666-5

239 kg240 kg244 kg400 kg418 kg419 kg

Variable Perigee Altitude (185-km minimum)Medium

M+ (5,2)

M+ (4,2)

M+ (5,4)

Figura 4.3.1: Carga de pago en función del C3 de salida para diferentes versiones del lanzadorDelta IV (figura obtenida de [15]).

4.3.2. Azimut de lanzamiento.

El lanzamiento, como se indicó al inicio del capítulo, se establecerá desde la base delanzamientos del KSC, situada a una latitud φL = 28,6º. Por motivos de seguridad, losvalores permitidos para el azimut de lanzamiento desde el KSC son aquellos comprendidosentre Azmin = 35º y Azmax = 120º.

30


Para evitar maniobras de cambio de plano en la órbita de aparcamiento, dicha órbita seencontrará en el plano que contiene al centro de la Tierra, al vector velocidad de exceso −→V∞y a la base de lanzamiento en el instante de lanzamiento. Mediante trigonometría esférica, dela figura 4.3.2 (donde ΣL = AzL) se obtiene la expresión siguiente del azimut de lanzamiento:

cotan(AzL) = cosφL·tanδ∞ − senφL·cos(α∞ − αL)sen(α∞ − αL) (4.3.4)

donde AzL es el azimut de lanzamiento, φL y αL la latitud y ascensión recta de la base delanzamiento respectivamente, δ∞ (DLA - Declination of the Launch Asymptote) la declinaciónde la asíntota de salida y α∞ (RLA - Right ascension of the Launch Asymptote) la ascensiónrecta de la asíntota de salida.

Figura 4.3.2: Plano de lanzamiento y representación de δ∞(DLA) y α∞ (RLA) (figura obte-nida de [13])

La diferencia entre ascensiones recta de la asíntota de salida y base de lanzamiento sesustituye por el tRLT (Relative Launch Time), que representa una medida del ángulo recorridopor la Tierra desde el último paso de la base por la ascensión recta α∞ hasta el instante delanzamiento, en que la base se encuentre en αL:

tRLT = 24− α∞ − αL15 (4.3.5)

Mediante esta definición, puede estudiarse el azimut de lanzamiento en función de δ∞independientemente del día exacto del lanzamiento. En función del tRLT , el plano y azimutde lanzamiento se irán modificando. Haciendo uso de las ecuaciones (4.3.4) y (4.3.5) se obtienela figura 4.3.3, en la que se representa el azimut de lanzamiento frente al tRLT para diferentesDLA dadas.

En la figura 4.3.3 puede observarse que para valores −φL < δ∞ < φL existen dos ventanasde lanzamiento, la primera de ellas con tRLT < 12h y la segunda con tRLT > 12h. Además, elazimut de lanzamiento para dicho caso recorre todos los valores permitidos, Az ∈ [35º, 120º].Cuando |δ∞| > φL, aparece un rango de valores de azimut no válidos para el lanzamiento.

31


−50

−40

−40

−35

−35

−35

−30

−30

−30

−30

−30−28.6

−28.6

−28.6

−28.6

−28.6−25−25

−25

−25

−25

−25−20

−20

−20

−20

−20

−20

−10

−10

−10

−10

−10

−10

0

0

0

0

0

0

10

10

10

10

10

10

20

20

20

20

20

20

25

25

25

2525

25

28.6

28.6

28.6

28.630

30

30

30

30

35

35

35

40

40

40

50

Azimut de lanzamiento [º]

t RLT

[h]

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 1200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Figura 4.3.3: Curvas de nivel para δ∞(DLA) en función del azimut y tRLT . (φL = 28,6º)

Conforme |δ∞| aumenta, dicho rango también aumenta, hasta que deja de existir un azimutválido dentro de los límites de la base escogida Az /∈ [35º, 120º].

El valor límite de la declinación DLA puede obtenerse de la figura 4.3.2 como

cos(δmax∞ ) = ±sen(Az)·cos(φL)

Si se representa δmax∞ en función del Az y se incluyen los límites de Az de la base, Az ∈[35º, 120º], se obtienen aquellos valores de DLA límites, a partir de los cuales no sería posibleel lanzamiento, desde la base del KSC, hacia una órbita de aparcamiento coplanaria con laórbita de salida. En la figura 4.3.4 puede observarse que aquellos valores límite del δ∞ son:

δmin∞ = −60º δmax∞ = 60º (4.3.6)

Además, para valores de |δ∞| > 40º, existirá una única ventana de lanzamiento diaria, enlugar de dos (figura 4.3.3). Por ello, será conveniente que

δmin∞ = −40º δmax∞ = 40º (4.3.7)

De esta forma, se dispondrá de un intervalo de tiempo mayor durante el cual será posiblerealizar el lanzamiento.

4.3.3. Definición de la órbita de salida

A continuación se procederá a la obtención de los elementos orbitales de la órbita deescape. Para ello será necesario haber definido previamente la órbita heliocéntrica, disponerdel valor de la declinación de la asíntota de salida δ∞ y haber fijado la hora de lanzamientoen términos del tRLT .

32


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180−90−80−70−60−50−40−30−20−10

0102030405060708090

Azimut de lanzamiento [º]

δ ∞ p

erm

itida

s [º

] Azimutmínimo enKSC = 35º

Zona de δ∞ permitidos

Azimutmáximo enKSC = 120º

Figura 4.3.4: Valores límite de DLA para lanzamientos desde el KSC

Semieje mayor aEl valor del semieje mayor de la hipérbola puede obtenerse directamente a partir delC3 que resulte de la órbita heliocéntrica de transferencia:

√C3 = V∞ =

√−µ⊕a

(4.3.8)

Excentricidad eConocidos el semieje mayor de la órbita hiperbólica y el radio del perigeo rp = R⊕ +hpark = 6578,14km, se calcula la excentricidad mediante la ecuación siguiente:

rp = a·(1− e) (4.3.9)

Inclinación iComo se ha señalado previamente, el plano y azimut de lanzamiento se modifican enfunción de tRLT . En concreto, los elementos orbitales que variarán serán la inclinación,ascensión recta del nodo ascendente y argumento del perigeo. Una vez se fija el tRLT , elazimut de lanzamiento viene dado por la ecuación (4.3.4). Conocido éste, la inclinaciónde la órbita puede obtenerse mediante la expresión siguiente (ver figura 4.3.5):

cos(i) = sen(AzL)·cos(φL) (4.3.10)

Recordando que los valores permitidos de azimut se encontraban en el intervalo Az ∈[35º, 120º], se tendrá lo siguiente:

imin = acos[sen(90)·cos(φL)] = 28,6ºi1 = acos[sen(35)·cos(φL)] = 59,76ºi2 = acos[sen(120)·cos(φL)] = 40,50º

33

4.4. Aproximación a Marte

Por tanto, en función del tRLT , la inclinación del plano de la órbita de escape variaráen el rango i ∈ [28,6º, 59,76º].

Ascensión recta del nodo ascendente ΩLa RAAN o ascensión recta del nodo ascendente puede ser obtenida a partir del AzLresultante y de la inclinación ya calculada. De la figura 4.3.5 se deduce la ecuación

cos(AzL) = sen(i)·cos(αL − Ω) (4.3.11)

Conocida la ascensión recta de la asíntota de salida RLA o α∞ y el tRLT escogido, laascensión recta de la base de lanzamiento se calcula mediante la ecuación (4.3.5). Paraconocer si la cantidad α−Ω ∈ [0, 180º] o α−Ω ∈ [180º, 360º] , puede hacerse uso de laley de senos:

sen(i)sen(φL) = sen(AzL)

sen(αL − Ω)

Argumento del perigeo ωPor último, puesto que el impulso para transformar la órbita de aparcamiento en laórbita hiperbólica de escape ha de aplicarse en el perigeo, es conveniente conocer elvalor de ω. Éste se calcula mediante la expresión siguiente (ver figura 4.3.6):

cos(θ∞ + ω − 360º) = cos(δ∞)·cos(α∞ − Ω) (4.3.12)

donde θ∞ es la anomalía verdadera de la asíntota de salida y se calcula como θ∞ =acos(−1/e).

Figura 4.3.5: Triángulo esférico 1 Figura 4.3.6: Triángulo esférico 2

4.4. Aproximación a Marte

Al entrar el vehículo en la esfera de influencia de Marte, éste describirá un movimientohiperbólico con el planeta en un foco. La velocidad de exceso V∞ con la que se llegue dependeráde la trayectoria heliocéntrica escogida. Para el año 2016, cuyo porkchop plot se representóen la figura 4.2.1, se muestran las curvas de nivel de la velocidad de exceso a Marte en lafigura 4.4.1.

Puede observarse que los mínimos del C3 de salida no tienen por qué coincidir con losmínimos de la velocidad de exceso de llegada V∞. Tómese como ejemplo aquella trayectoria(Tipo II) con salida el día juliano 2457420 y llegada el día 2457700. Para este caso, se tiene

34



Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

V∞ de llegada a Marte [km/s]

4

4

4

4 44.5

4.5

4.5

4.5

4.5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

66

66

66

6

6

77

77

7

7

7

77

7

7

7

7

5.73 5.735 5.74 5.745 5.75 5.755 5.76

x 104

5.75

5.76

5.77

5.78

5.79

5.8x 10

4

4/10/2015 23/11/2015 12/1/2016 2/3/2016 21/4/2016 10/6/2016 30/7/2016

21/4/2016

30/7/2016

7/11/2016

15/2/2017

26/5/2017

3/9/2017

Figura 4.4.1: V∞ de llegada a Marte para misiones iniciadas en el año 2016.

un C3 = 10km2/s2 y una velocidad de exceso V∞ = 4km/s. Como la órbita de aparcamientogeocéntrica se estableció circular con hpark = 200km, el impulso para alcanzar la órbita deescape tendrá un valor de

∆V1 = 3,67km/s

Si al llegar a Marte se desea orbitar en torno a él, será necesario disminuir la velocidad delvehículo. Como se desea una órbita de aparcamiento circular con hpark = 400km, se requeriráun impulso, en valor absoluto, de

∆V2 =√

2µrp

+ V 2∞ −

√2µrp−µa

(4.4.1)

∆V2 = 2,85km/s

Para reducir el valor de este último impulso, podría recurrirse a maniobras de aerobraking,empleadas en misiones a Marte como la Mars Reconnaissance Orbiter (MRO). En este tipode maniobras, se sitúa al vehículo en una órbita elíptica con un radio de apoapsis elevadoy un periapsis situado en las capas altas de la atmósfera marciana. Con ello, se logra porun lado disminuir notablemente el ∆V2 (en la ecuación (4.4.1) ∆V2 disminuye al aumentara) y por otro ir reduciendo progresivamente el radio de apoapsis mediante el efecto de laresistencia atmosférica. Una vez el radio de apoapsis ha sido reducido al valor deseado, seaplica un pequeño impulso (∆V3) en dicho punto para elevar el periapsis y situarlo fuera de laatmósfera. Pese a ser necesarios dos impulsos en lugar de uno, la suma de ambos es menor queel impulso de circularización necesario sin maniobras de aerobraking. Durante las maniobrasde aerobraking, cuya duración en el caso de Marte puede extenderse hasta los 150 días (comoen el caso del MRO), se precisan pequeñas correcciones debido al complejo comportamientode las capas altas de la atmósfera de Marte, que dificulta su modelado y cálculos precisos dela maniobra.

35

4.5. Trayectoria heliocéntrica

En esta sección se pretende concluir que, en el diseño global de la misión, convendráminimizar la velocidad de exceso de llegada V∞ independientemente de si se realizan o nomaniobras de aerobraking. Con ello se logrará reducir los impulsos, y por tanto la masa depropulsante, necesarios para la circularización de la órbita en Marte.

4.5. Trayectoria heliocéntrica

Si se tienen en cuenta los aspectos desarrollados hasta ahora, el problema del diseño deuna misión no tripulada a Marte consiste en escoger aquella órbita de transferencia entreambos planetas que cumpla las restricciones siguientes:

Lanzamiento desde la base de Cabo Cañaveral (KSC, Kennedy Space Center). Equivalea restringir los posibles valores de la declinación de la asíntota de salida entre δmin∞ =−40º y δmax∞ = 40º, a fin de disponer de dos ventanas de lanzamiento diarias.

Fecha de lanzamiento en el rango de años entre 2016 y 2033.

Restricción del C3 de salida: C3 < 10km2/s2. Supone limitar el estudio a los años 2016,2018, 2026 (Tipo II), 2028, 2031 y 2033.

Órbita circular en torno a Marte de altitud h = 400km. Se buscarán aquellas configu-raciones con V∞ de llegada a Marte reducido, de modo que también lo sea el impulsode circularización necesario.

4.5.1. Elección de la órbita de transferencia

Para la elección de la trayectoria de transferencia, se han obtenido los porkchop plotspara los años en estudio, que se presentan en el Apéndice A.1. Tales gráficas se han obtenidoen torno a las conjunciones de referencia, para tiempos de vuelo mayores a 100 días y conuna precisión de un día. El mallado realizado consta de 300 posibles días de salida y 500 díasde llegada. Dichos valores se han escogido de tal forma a fin de que el mallado contuviesesiempre las regiones importantes de mínimo C3.

Del mismo modo, también en el Apéndice A.1, se han representado las gráficas de V∞ yδ∞ con una precisión de un día.

Los datos obtenidos, tanto de C3, V∞ como δ∞, han podido ser contrastados y valida-dos con los aportados por [7] y [3]. Del mismo modo, los resultados de C3 mínimo que sepresentaron en la gráfica 4.2.4 concuerdan con los calculados en [3].

Mediante las matrices de C3 y V∞ asociadas a las gráficas citadas, se han calculado losimpulsos necesarios a lo largo de la misión para cada caso. Con estos datos, se han obtenidoaquellas trayectorias que presentan un mínimo en el C3 (cuadro 4.1) y las que minimizan lasuma total de ∆V de la misión (cuadro 4.2). Puesto que algunas de las órbitas con mínimoΣ∆V no cumplían la restricción de C3 < 10km2/s2, se han buscado además los mínimos deΣ∆V sujetos a la restricción sobre el C3 de salida (cuadro 4.3)

36


Tipo Año C3 [km2/s2] V∞ [km/s] ∑∆V [km/s] Fecha de salida tv [días]I 2016 08.88 05.20 7.30 2457439 20/2/2016 182II 2016 08.01 05.44 7.45 2457464 16/3/2016 314I 2018 07.76 03.27 5.98 2458258 19/5/2018 234II 2018 08.52 04.83 7.02 2458218 9/4/2018 324I 2026 11.80 03.13 6.08 2461359 14/11/2026 258II 2026 09.14 03.45 6.14 2461362 17/11/2026 244I 2028 09.05 04.95 7.13 2462115 9/12/2028 221II 2028 08.93 03.92 6.42 2462133 27/12/2028 243I 2031 09.02 05.46 7.50 2462894 27/1/2031 192II 2031 08.24 05.46 7.47 2462945 19/3/2031 257I 2033 08.42 03.97 6.43 2463692 4/4/2033 179II 2033 07.80 05.27 7.31 2463692 4/4/2033 330

Cuadro 4.1: Órbitas con C3 mínimo.

Tipo Año C3 [km2/s2] V∞ [km/s] ∑∆V [km/s] Fecha de salida tv [días]II 2016 12.16 03.67 6.41 2457397 9/1/2016 275I 2018 07.83 02.96 5.81 2458252 13/5/2018 205II 2026 09.23 02.57 5.68 2461344 30/10/2026 313II 2028 09.08 02.98 5.88 2462100 24/11/2028 302II 2030 10.87 03.48 6.24 2462861 25/12/2030 281I 2033 09.13 03.32 6.07 2463705 17/4/2033 202

Cuadro 4.2: Órbitas de impulsos mínimos.

Tipo Año C3 V∞√C3 + V∞

∑∆V DLA Fecha de salida tv[km2/s2] [km/s] [km/s] [km/s] [JD] [días]

II 2016 9.97 4.07 7.22 6.57 11º 2457418 30/1/2016 284I 2018 7.83 2.96 5.76 5.81 -36º 2458252 13/5/2018 205II 2026 9.23 2.57 5.61 5.68 28.6º 2461344 30/10/2026 313II 2028 9.08 2.98 6 5.88 29º 2462100 24/11/2028 302II 2031 9.97 3.62 6.78 6.28 18º 2462870 3/1/2031 287I 2033 9.13 3.32 6.34 6.07 -56.2º 2463705 17/4/2033 202

Cuadro 4.3: Órbitas de impulsos mínimos condicionados a C3 < 10Km2/s2.

Puesto que la variable que interesa minimizar en el diseño de la misión es la cantidad depropulsante necesaria, directamente relacionada con Σ∆V , nos centraremos en la tabla 4.3,en la que se ha incluido además el valor correspondiente a la declinación de la asíntota desalida en cada caso.

En la figura 4.5.1 se ha representado el incremento de velocidad necesario en cada planetaen función de la velocidad de exceso V∞ que se desea alcanzar (salida de la SoI terrestre)o con la que se llega al planeta (llegada a la SoI marciana). Puede comprobarse que lapendiente de la curva de Marte es mayor que la de la Tierra. Por tanto, para aquellos casoscon√C3 + V∞ = cte, la suma de los impulsos necesarios será menor cuando C3 sea elevado

37

4.6. Resumen de la misión

(dentro de los límites establecidos) y V∞ reducido. Observando la tabla 4.3, si se comparanlos años 2018 y 2026, con valores próximos de

√C3 + V∞ , puede comprobarse la tendencia

citada. Tomando de nuevo la tabla 4.3, puede descartarse el año 2033, por encontrarse la

2 2.5 3 3.5 41.5

2

2.5

3

3.5

4

V∞ [km/s]

∆ V

[km

/s]

Tierra

Marte

Figura 4.5.1: Comparativa de los ∆V en cada planeta en función de V∞.

declinación DLA fuera de los límites establecidos. Al tratarse de una misión no tripulada, eltiempo de vuelo no supone un inconveniente notable. Por ello y por minimizarse la suma delos impulsos necesarios a lo largo de la misión, ésta se establecerá en el año 2026.


El objeto de esta sección es presentar las características de la misión escogida atendiendoa los análisis previos. Como ya se ha indicado, se tratará de una misión no tripulada a Marte,con salida de la Tierra en el año 2026. Las tres fases principales de la misión se recogen acontinuación.

4.6.1. Fase geocéntrica

La fecha obtenida en el cuadro 4.3 se corresponde con el instante de salida del vehículode la esfera de influencia terrestre. Puesto que ha de aplicarse un impulso en la órbita deaparcamiento, interesará conocer el instante en el que realizarlo. Mediante la ley horaria paraórbitas hiperbólicas:

tan(θ/2) =√

1 + e

e− 1 tanh(H/2)

N = e·senh(H)−H

N =√µ⊕−a3 ∆t

y calculando el semieje mayor y excentricidad mediante las ecuaciones (4.3.8) y (4.3.9), seobtiene el tiempo que transcurre desde el perigeo de la órbita de escape hasta que el vehículo

38


alcanza una distancia r = r⊕SoI = 0,93·106km. Dicho tiempo resulta de ∆t = 3,1 dıas. Laórbita de escape de la esfera de influencia terrestre tiene las siguientes características:

a = −43185,309kme = 1,1523

δ∞ = 28,6ºα∞ = 134,6º

En la figura 4.6.1 se ha representado la ascensión recta de la asíntota de salida en funciónde las fechas de salida y llegada. De dicha gráfica se ha obtenido el valor de α∞.


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

RLA [º]

120

120

120

120

120

120

120 140

140

140

140

140

140

140

140

140

160

160

160

160

16016

0160160

160

160

160

180

180

180

180

180180

180

180

180

180

180

200

200 200

200

200

200

200

200

200

200

200

220

220 220220

220

220 220

220

220

6.125 6.13 6.135 6.14 6.145 6.15 6.155

x 104

6.145

6.155

6.165

6.175

6.185

6.195x 10

4

28/7/2026 16/9/2026 5/11/2026 25/12/2026 13/2/2027 4/4/2027 24/5/2027

13/2/2027

24/5/2027

1/9/2027

10/12/2027

19/3/2028

27/6/2028

Figura 4.6.1: RLA o α∞ de la asíntota de salida.

La fecha en la que deberá realizarse el impulso en la órbita de aparcamiento será el díajuliano 2461341, correspondiente al día 27/10/2026. Atendiendo a la gráfica 4.3.3, las ventanasde lanzamiento diarias se corresponderán con los intervalos tRLT ∈ [0−6]h y tRLT ∈ [14−24]h.Es interesante disponer de dichas ventanas de lanzamiento expresadas en hora UT (UniversalTime). De la sección A.2, donde se detalla el procedimiento de cálculo de dichas cantidades,se obtienen los resultados siguientes:

t1 ∈ [12h, 1min 26/10/2026 − 18h, 0min 26/10/2026]t2 ∈ [01h, 58min 27/10/2026 − 17h, 56min 27/10/2026]

Éstas son las 2 ventanas de lanzamiento disponibles los días 26 y 27 de octubre de 2026para la misión escogida. Una vez lanzado el vehículo y situado en la órbita de aparcamiento,proceso cuya duración no suele exceder los 30min, éste orbitará hasta pasar por el perigeode la órbita de escape, punto en el que se aplicará el impulso. Teniendo en cuenta que laprecisión empleada en la obtención de los porkchop-plots es del orden de un día y que lasórbitas heliocéntricas de transferencia apenas se modifican en períodos de tiempo del mismoorden, las variaciones temporales que supone lanzar en uno u otro instante dentro de lasventanas t1 y t2 podrán obviarse.

39


En el algoritmo 4.1 se recoge toda la información relativa a esta fase de la misión.

Algoritmo 4.1 Fase geocéntrica1. Atendiendo a factores externos, como puede ser la meteorología, se escogerá el instante

de lanzamiento (expresado en hora UT), comprendido en las siguientes ventanas:

t1 ∈ [12h, 1min 26/10/2026 − 18h, 0min 26/10/2026]t2 ∈ [01h, 58min 27/10/2026 − 17h, 56min 27/10/2026]

En función del instante escogido, se tendrá un tRLT determinado. Mediante la ecuación(4.3.5) se obtendrá la diferencia α∞−αL, que se introducirá en la ecuación (4.3.4) paraobtener el azimut de lanzamiento AzL.

2. Se lanzará el vehículo hacia una órbita de aparcamiento circular con hpark = 200km, enla que permanecerá hasta su paso por el perigeo de la órbita de escape. Los elementosorbitales de la órbita de aparcamiento serán:

a = 6578,14kme = 0i depende de AzL(tRLT ) y se obtiene de la ecuación (4.3.10)Ω depende de tRLT , se obtiene de la ecuación (4.3.11)

3. Cuando el vehículo pase por el perigeo de la órbita hiperbólica de escape, será necesarioun impulso de valor ∆V1 = 3,6359km/s. El argumento de latitud de la órbita deaparcamiento que define el punto donde realizar la maniobra impulsiva se denota poru1. Su valor depende de tRLT y se obtiene de la ecuación (4.3.12), sustituyendo ω poru1.

4. Una vez en la órbita hiperbólica de escape, el vehículo empleará unos 3 días en salirde la esfera de influencia terrestre. Por tanto, este suceso tendrá lugar el día juliano2461344, que se corresponde con el día 30/10/2026.

4.6.2. Fase heliocéntrica

La órbita heliocéntrica de transferencia se caracteriza por una fecha de salida de la esferade influencia de la Tierra el día 2461344 y de llegada a la esfera de influencia de Marte el día2461657. El tiempo de vuelo es de 313 días. Los elementos orbitales son los siguientes:

a = 189853464,0724km = 1,269AU

e = 0,21815

i = 1,0059º

Ω = 36,8233º

ω = 5,3955º

40


Las anomalías verdaderas que ocupan la Tierra y Marte en la órbita heliocéntrica son, res-pectivamente, θ⊕ = 354,4858º y θ = 201,5340º. Éstos parámetros han sido obtenidos resol-viendo el problema de Lambert, descrito en capítulos anteriores. En la figura se representala órbita resultante. Los ejes no se han escalado proporcionalmente a fin de resaltar las dife-rentes inclinaciones de las órbitas terrestre y marciana (i⊕ = 0º, i = 1,849º), así como elplano de la órbita de transferencia.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 108−3

−2

−1

0

1

2

3

x 108

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

7

x

Figura 4.6.2: Fase heliocéntrica de la misión Tierra - Marte. Se representan la órbita terrestre(azul), la órbita marciana (rojo) y la de transferencia (verde). El eje x apunta al PrimerPunto de Aries y las distancias se representan en km.

4.6.3. Fase planetocéntrica alrededor de Marte

El vehículo llega a la esfera de influencia de Marte el día juliano 2461657, que se correspon-de con el día 8/9/2027. La velocidad de exceso será V∞ = 2,57km/s. Por tanto, suponiendoque se desea circularizar la órbita directamente, sin recurrir a maniobras de aerobraking, seránecesario un impulso que vendrá dado por la expresión:

∆V2 =√

2µrpark

+ V 2∞ −

√µrpark

Teniendo en cuenta el valor de V∞ citado y que la órbita de aparcamiento se sitúa a unaaltitud de 400km sobre la superficie marciana, se tendrá un impulso de circularización devalor:

∆V2 = 2,042km/s

41

Capítulo 5

Diseño y análisis de una misión aSaturno

En el capítulo anterior fue posible encontrar trayectorias entre la Tierra y Marte con ener-gías de salida relativamente reducidas, algunas de ellas con un C3 < 10km2/s2. Sin embargo,cuando el planeta de destino se encuentra a distancias mucho mayores que la existente entrela Tierra y Marte, el C3 aumenta hasta valores fuera del alcance de la tecnología existenteen la actualidad. En concreto, si se desea realizar una misión a Saturno, a una distancia delSol de rY = 9,53AU , el C3 de salida de la esfera de influencia terrestre será siempre superiora 128,26km2/s2*. En la figura 4.3.1 puede observarse que dicho valor no puede ser alcanzadopor el lanzador Delta IV.

Sin embargo, existen en la actualidad misiones a Saturno, como la Cassini-Huygens, enlas que se ha logrado solventar dicha limitación. Esto es posible gracias a la realización demaniobras asistidas por gravedad, que modifican la velocidad heliocéntrica del vehículo y suenergía, sin la necesidad de emplear propulsante.

En la primera sección de este capítulo se modelará la maniobra asistida por gravedad,tanto en el plano como en el espacio, y se introducirá la posibilidad de aportar un impulsoañadido sobre el vehículo durante el sobrevuelo. Tras ello, en la sección 5.2 se describirán lasmaniobras en el espacio profundo como una posibilidad de optimizar el diseño de la misión.Una vez introducidas ambas herramientas, se tratará de resolver una misión entre los años2016 y 2033 entre la Tierra y Saturno, con sobrevuelo en Júpiter. Para ello, en las secciones5.3 y 5.4 se analizarán las configuraciones planetarias más adecuadas para la realización dela misión, así como las fechas de partida más favorables. Por último, en la sección 5.5, seanalizarán diferentes propuestas de misión y se escogerá aquella que minimice la cantidadnecesaria de propulsante.

5.1. Maniobra asistida por gravedad

Como ya se ha señalado, el elevado coste energético de las misiones interplanetarias aplanetas exteriores puede mitigarse mediante el empleo de maniobras asistidas por gravedad.El interés de dicha maniobra reside en que permite modificar la velocidad heliocéntrica, tanto

*Este valor del C3 mínimo para transferencias a Saturno es el asociado a una transferencia de Hohmman,supuestas las órbitas planetarias coplanarias y circulares.

42

Capítulo 5. Diseño y análisis de una misión a Saturno

en módulo como dirección, de un vehículo al sobrevolar un planeta. De esta forma, puedemodificarse la energía cinética del vehículo sin que sea necesario emplear propulsante y unmotor cohete.

La maniobra asistida por gravedad fue realizada por primera vez el año 1974 por laMariner 10, que sobrevoló Venus a fin de acelerarse y alcanzar Mercurio. En los últimos añosha sido ampliamente utilizada en diferentes misiones, destacando la Voyager II, que realizóvarias maniobras consecutivas, en Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. En la figura 5.1.1se representan los incrementos de velocidad logrados por la Voyager II en cada una de lasmaniobras realizadas.

Figura 5.1.1: Maniobras asistidas por gravedad realizadas por la Voyager II. Figura pertene-ciente al JPL.

5.1.1. Maniobra plana

En esta sección se describirá la maniobra asistida por gravedad para el caso plano, en elque todas las órbitas son coplanarias. La notación empleada se describe a continuación:

−→vH1 : velocidad heliocéntrica con la que el vehículo se aproxima al planeta.

−→vH2 : velocidad heliocéntrica tras efectuar la maniobra.

−→vP1 : velocidad inicial relativa al planeta.

−→vP2 : velocidad final relativa al planeta.

−→VP : velocidad heliocéntrica del planeta “P”.

43


Cuando el vehículo entra en la esfera de influencia del planeta en cuestión “P”, describeun movimiento hiperbólico, al igual que sucedía en las fases planetocéntricas del capítuloanterior. La velocidad de exceso de dicha hipérbola será −→v∞ , de manera que su módulocumple v∞ = vP1 = vP2 . Por otro lado, la velocidad planetocéntrica de aproximación

−→vP1 se

obtiene como −→vP1 =

−→vH1 −

−→VP (5.1.1)

La velocidad de exceso de salida vendrá dada por−→vP2 =

−→vH2 −

−→VP (5.1.2)

En la figura 5.1.2 se presentan los triángulos de velocidades asociados a la maniobra.

Figura 5.1.2: Maniobra asistida por gravedad. Triángulos de velocidades. Figura adaptada de[10].

El ángulo que forman los vectores−→vP1 y

−→vP2 con la velocidad del planeta −→VP se denominan

Γrelp1 y Γrelp2 respectivamente. El ángulo formado por−→vH1 y

−→vH2 con −→VP se denota por Γ1 y

Γ2. Cuando las órbitas de los planetas se consideran circulares, Γ1 y Γ2 coincidirán con losángulos de trayectoria γ1 y γ2 (ángulo formado entre el vector velocidad y la normal al vectorposición de ese punto). El ángulo formado por las asíntotas de la órbita hiperbólica representala deflexión que experimenta el vector velocidad planetocéntrico y se expresa mediante δ. Suvalor depende de la excentricidad de la órbita relativa al planeta “P”, δ = 2·arcsen(1/e).

Al establecer que el vehículo se aproxima al planeta con la velocidad de exceso v∞, se estásuponiendo que su esfera de influencia se encuentra en el infinito. Esto conlleva una pérdidade información, de modo que la órbita hiperbólica planetocéntrica no queda completamentedefinida. Al conocer v∞, el semieje mayor viene dado por a = −µ/v2

∞, pero la excentricidadno está determinada y puede escogerse como se desee. En lo que sigue se empleará el radiode periapsis como variable independiente, que se relaciona con la excentricidad medianterp = a·(1 − e). Para evitar esta indeterminación sería necesario integrar numéricamentetoda la trayectoria, considerando el efecto de diferentes cuerpos celestes. Debido a las grandesdistancias recorridas, en las misiones reales puede modificarse el radio de periapsis mediantepequeñas correcciones en la fase heliocéntrica, de forma que la simplificación empleada eneste capítulo no introducirá errores importantes.

44


Debido también a dicha simplificación, en el problema plano existirán dos posibles valoresde Γrelp2 (figura 5.1.3) en función de la posición con que se llegue a la esfera de influenciaplanetaria. En particular, la relación existente entre ambas posibilidades será Γ2

relp2 = Γ1relp2+

2·δ. De nuevo, dicha ambigüedad podrá obviarse al considerar que, con pequeñas correccionesen la órbita heliocéntrica, puede controlarse con precisión la posición de llegada a la esferade influencia.

Figura 5.1.3: Configuraciones posibles de la maniobra asistida por gravedad. Caso plano.

A fin de diseñar una misión interplanetaria con maniobras asistidas por gravedad, resultainteresante conocer los incrementos de energía que pueden obtenerse al realizar dicha manio-bra en los diferentes planetas del sistemas solar. Tómese en primer lugar la expresión de laenergía específica ε = v2

2 −µr . Teniendo en cuenta la corta duración de la maniobra asistida

por gravedad, la distancia heliocéntrica del cuerpo al entrar y salir de la esfera de influenciaplanetaria apenas se verá modificada. Por tanto, la variación de la energía específica debidaa la maniobra será

∆ε = 12[(vH2 )2 − (vH1 )2

](5.1.3)

Sustituyendo las ecuaciones (5.1.1) y (5.1.2) en (5.1.3) se obtiene la expresión siguiente de lavariación de energía por unidad de masa:

∆ε = −→VP·(−→vp2 −

−→vp1

)(5.1.4)

Atendiendo a las definiciones de los ángulos ϕ y β de la figura 5.1.4, la ecuación (5.1.4) puedeser reescrita como

∆ε = 2Vpv∞sen(δ

2

)cos(β) (5.1.5)

Figura 5.1.4: Maniobra asistida por gravedad. Definición de los ángulos β y ϕ.

45


Considerando además la relación existente entre δ y el radio de periapsis sen(δ/2) =1/(1+rpv2

∞/µp), donde µp es el parámetro gravitacional del planeta “P”, se llega a la expresión

∆ε = 2Vpv∞cos(β)1 + rpv2

∞µp

(5.1.6)

donde se observa que el incremento de energía es mayor cuando el radio de periapsis rpes reducido y cuando µp y Vp son elevados. En cuanto al ángulo β, ∆ε será máximo paraβ = 0. Por tanto, para un planeta con radio Rp, el incremento de energía máximo que puedeobtenerse al realizar una maniobra asistida en torno a él será

∆εmax = 2Vpv∞1 + Rpv2

∞µp

Como se pretende diseñar una misión a Saturno, se han calculado los ∆εmax para losplanetas inferiores a Saturno. Los resultados se muestran en la figura 5.1.5.

0 10 20 30 40 500

100

200

300

400

500

600

V∞ [Km/s]

∆ε [K

m2 /s

2 ]

MercurioVenusTierraMarteJúpiter

Figura 5.1.5: ∆εmax en función de v∞ tras maniobras asistidas por gravedad en diferentesplanetas.

Puede observarse como, para velocidades de exceso mayores a 10km/s, Júpiter llega aduplicar el ∆ε máximo del resto de planetas. Por otro lado, para velocidades v∞ < 10km/s,tanto Venus como la Tierra constituyen opciones interesantes para realizar la maniobra asis-tida por gravedad.

5.1.2. Maniobra en el espacio tridimensional

Al ser plano el movimiento del vehículo en la órbita planetocéntrica, las conclusionesanteriores son también válidas en el problema tridimensional. Sin embargo, se hace necesariodefinir la orientación del plano orbital respecto de la eclíptica. Para ello se define el plano B,

46


que corta al planeta por su centro y es perpendicular a la asíntota de llegada. Sobre dichoplano se mide el ángulo ζ (figura 5.1.6) como aquél que forman la intersección entre el planoB y el plano orbital con −→T , donde −→T es una paralela al plano de la eclíptica contenida enel plano B. De esta manera, para definir una maniobra asistida por gravedad en el espaciotridimensional se precisan las siguientes variables:

−→vP1 , rp, ζ (5.1.7)

Si por el ajuste de cónicas, en el caso bidimensional, rp estaba indeterminado y existíandos posibles valores de Γrelp2, en el caso tridimensional tanto rp como ζ podrán adoptarcualquier valor, siempre que se cumpla rp > RP .

Figura 5.1.6: Maniobra asistida por gravedad en el espacio. Figura adaptada de [13].

Hay que señalar que la maniobra descrita hasta ahora consiste en la realización de una ór-bita balística alrededor de un planeta, de forma que no se precisa el empleo de ningún sistemade propulsión. Esto sin embargo presenta un inconveniente, que se tratará a continuación.

Supóngase que se desea realizar una misión entre la Tierra y Saturno, llevando a cabouna maniobra asistida por gravedad en Júpiter. En el sistema de referencia heliocéntrico setendrán dos segmentos de órbita, el segmento 1 unirá la Tierra con Júpiter y el segmento 2Júpiter con Saturno. Las variables del problema que interesa conocer son las siguientes:

Salida de la Tierra: V ⊕∞ , δ⊕∞, α⊕∞, T0

Maniobra asistida por gravedad en Júpiter: rp, ζ, T1 y vP1 = vP2

Llegada a Saturno: V Y∞, δY∞, αY∞, T2

Las velocidades indicadas son escalares, es decir, se emplea como variable el módulo de lavelocidad. Tómese como variables de control las fechas de salida de la Tierra T0, la fechade llegada y salida de Júpiter T1 (se despreciará en primera aproximación la duración de lamaniobra asistida por gravedad) y la fecha de llegada a Saturno T2. Si se resuelve el problemade Lambert para el segmento 1, con T0 y T1, quedarán definidos V ⊕∞ , δ⊕∞, α⊕∞ y vP1 = vP2 . Si

47


se resuelve de nuevo el problema de Lambert para el segmento 2, con T1 y T2, se obtendránlos valores de V Y∞, δY∞, αY∞ y un nuevo valor de vP2 , que no tendrá por qué coincidir con elanterior.

Tras resolver el primer segmento, podría modificarse la velocidad heliocéntrica−→vH2 para

alcanzar Saturno mediante las variables ζ y rp (que controla δ); sin embargo, por el triángulode velocidades de la figura 5.1.2, al modificar rp (δ) no sólo cambia la dirección de

−→vH2 , sino

también su módulo. En resumen, una vez conocido vP2 , no pueden fijarse a la vez el móduloy la dirección del vector

−→vH2 . Como conclusión final, se tiene que las variables T0, T1 y T2 no

pueden ser independientes.Debido a esto y al número de variables presentes, resultará adecuado realizar un balance de

ecuaciones e incógnitas. A continuación se recogerán las variables (incógnitas) que intervienenen el problema. Se obviará la variable

−→vP2 ya que puede obtenerse conocidos

−→vP1 , rp y ζ.

Salida de la Tierra: V ⊕∞ , δ⊕∞, α⊕∞, T0,−→r0(3)

Maniobra asistida por gravedad en Júpiter:−→vP1 (3), rp, ζ, T1,

−→r1(3)

Llegada a Saturno: V Y∞, δY∞, αY∞, T2,−→r2(3)

Se tienen por tanto 23 incógnitas. Del propagador planetario se obtienen, para cada planeta,3 ecuaciones que relacionan cada componente del vector −→r con la fecha correspondiente T .Así, del propagador se obtendrán 9 ecuaciones. El problema de Lambert permite obtener las3 componentes del vector velocidad al inicio y final de un segmento, o equivalentemente losvalores de V∞, δ∞ y α∞. Es decir, la resolución del problema de Lambert es equivalente al usode 6 ecuaciones. Como conclusión, para el ejemplo de la misión Tierra - Júpiter - Saturno, setienen 21 ecuaciones con 23 incógnitas, de manera que existen 2 grados de libertad.

Al existir tan solo dos grados de libertad, si se fijan por ejemplo los tiempos de vuelo t⊕−Xv

y tX−Yv , la fecha de partida T0 vendrá dada por la formulación del problema, restringiendo laversatilidad del diseño de la misión. Si se fijan T0 y t⊕−Xv , el tiempo de vuelo tX−Yv quedarádeterminado, pudiendo alcanzar valores inapropiados para el objeto de la misión.

Si se pretende optimizar el diseño de la misión, se hace necesario introducir nuevos gradosde libertad. Esto puede hacerse mediante dos enfoques diferentes. El primero de ellos, que setratará a continuación, consiste en el empleo de maniobras asistidas por gravedad sumadasa un impulso en el periapsis. El segundo enfoque, más empleado en la práctica, consiste enel uso de maniobras de aceleración en el espacio “Deep Space Manouver” o DSM, que sedescribirán más adelante.

5.1.3. Maniobra con impulso en el periapsis

El añadir un impulso en el periapsis de la maniobra asistida por gravedad permite incluirun nuevo grado de libertad en el problema. Esto hará posible optimizar el diseño y encontraraquellas soluciones más favorables.

A fin de aplicar dicha maniobra al ejemplo propuesto anteriormente, en el que se resuelveel problema de Lambert en 2 segmentos (Tierra - Júpiter y Júpiter - Saturno), se supondránconocidos

−→vP1 y

−→vP2 . La maniobra se dividirá a su vez en 2 tramos:

48


Tramo de aproximaciónComprende el segmento de órbita hiperbólica desde el infinito (entrada en la SoI) hastael periapsis. Las expresiones del semieje mayor y del radio de periapsis de este tramoson las siguientes:

a1 = − µ

(vP1 )2

rp = a1·(1− e1)

Tramo de salidaComprende el segmento de órbita hiperbólica desde el periapsis hasta el infinito (salidade la SoI). Para este tramo se tiene:

a2 = − µ

(vP2 )2

rp = a2·(1− e2)

Los valores de a1 y a2 son conocidos, ya que hemos supuesto conocidas las velocidades hiper-bólicas de exceso vP1 y vP2 . Por otro lado, para que la órbita completa sea continua, ambosperiapsis deberán coincidir, de manera que:

a1·(1− e1) = a2·(1− e2) (5.1.8)

Se tiene así una ecuación con 2 incógnitas (e1 y e2). La ecuación restante se obtendrá teniendoen cuenta la definición del ángulo θ∞ de las órbitas hiperbólicas

θ∞ = arcos(−1e

)

De la figura 5.1.7 puede observarse que el ángulo formado entre−→vP1 y

−→vP2 es θ∞1 +θ∞2−π,

donde θ∞1 y θ∞2 vienen dados por las expresiones siguientes:

θ∞1 = arcos(− 1e1

) (5.1.9)

θ∞2 = arcos(− 1e2

) (5.1.10)

Por tanto, la ecuación restante será:−→vP1 ·−→vP2

vP1 vP2

= cos [θ∞1 + θ∞2 − π] = −cos [θ∞1 + θ∞2] (5.1.11)

Resolviendo numéricamente el sistema de ecuaciones formado por (5.1.8) y (5.1.11) se ob-tienen los valores de e1 y e2. Una vez obtenidas las excentricidades de los dos tramos de lamaniobra, el impulso necesario en el periapsis vendrá dado por la expresión siguiente:

∆V =√

2µrp− µ

a2−√

2µrp− µ

a1(5.1.12)

Como se ha indicado, el incluir un impulso en el periapsis de la maniobra asistida porgravedad aumenta el número de grados de libertad. En este caso, las incógnitas serán:

49

5.2. DSM

Figura 5.1.7: Maniobra asistida por gravedad con impulso en el periapsis

Salida de la Tierra: V ⊕∞ , δ⊕∞, α⊕∞, T0,−→r0(3)

Maniobra asistida por gravedad en Júpiter:−→vP1 (3), rp, ζ, T1,

−→r1(3), vP2 (modulo) y ∆V

Llegada a Saturno: V Y∞, δY∞, αY∞, T2,−→r2(3)

Se tienen por tanto 25 incógnitas y 22 ecuaciones (las 21 anteriores más la ecuación (5.1.12)reescrita como 5.1.13).

∆V =√

2µrp

+ (vp2)2 −√

2µrp

+ (vp1)2 (5.1.13)

Ahora el problema constará de 3 grados de libertad.En los análisis que se llevarán a cabo más adelante, se fijarán como grados de libertad las

variables T0, T1 y T2, se resolverá el problema de Lambert en los tramos 1 y 2 y se calcularáel ∆V de la maniobra asistida por gravedad, así como la suma total de impulsos necesariosa lo largo de toda la misión Σ∆V .

5.2. DSM

Las maniobras de espacio profundo o Deep Space Manouvers consisten en impulsos adi-cionales sobre el vehículo durante su órbita interplanetaria. Debido a que la efectividad delimpulso depende de la posición orbital del vehículo (en concreto, de su velocidad), variandoel punto en que se aplique la DSM podrán lograrse resultados más favorables en términos del∆V .

Mientras que en el enfoque anterior, -misión con maniobra asistida por gravedad impulsiva-, se obtuvo un problema con 3 grados de libertad, en la formulación con maniobras en el es-pacio profundo se tendrán, para una misión Tierra - Júpiter - Saturno, un total de 10 gradosde libertad. La definición del problema con DSM se detallará a continuación.

50


El método empleado para resolver misiones con DSM se basa en la división de la trayecto-ria en distintos segmentos. Entre dichos segmentos existirá continuidad en posición, pero noasí en velocidad. Tales discontinuidades en la velocidad se corresponderán con las maniobrasimpulsivas y el minimizar su módulo será el objeto principal del problema de optimización.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

Dados una fecha de salida T0, un valor del C3, la declinación de la asíntota de salidade la Tierra δ∞, así como la ascensión recta de la misma, α∞, se propagará la órbitaresultante durante un tiempo de vuelo η1·(T1 − T0).

T1 será la fecha de llegada a Júpiter, donde se efectuará una maniobra asistida porgravedad balística. η1 ∈ [0, 1] representará la fracción de tiempo del tramo Tierra -Júpiter en la que se efectúa la DSM.

Una vez propagada la órbita, podrán calcularse los vectores posición y velocidad antesde la DSM, −→r1 ,

−→v1i. Mediante el propagador planetario, se conocerá además la posiciónde Júpiter en T1, −→r2 . Como se conoce además el tiempo de vuelo entre la DSM y Júpiter,(1 − η1)·(T1 − T0), podrá resolverse el problema de Lambert entre ambos puntos. Seobtendrán así los vectores velocidad −→v1f y −→v2i.

El impulso en la primera DSM será ∆V1 = v1f − v1i.

Dados un radio de periapsis para la maniobra en Júpiter rp y un valor del ángulo ζ,podrá calcularse el vector velocidad heliocéntrica de salida de Júpiter, −→v2f .

Dados−→r2 y−→v2f , se propagará de nuevo la órbita durante un tiempo de vuelo η2·(T2−T1).

T2 será la fecha de llegada a Saturno y η2 ∈ [0, 1] denotará a la fracción de tiempo deltramo Júpiter - Saturno en que se efectúa la segunda DSM.

Si se repite el procedimiento anterior, tras propagar la órbita se dispondrá de un vectorposición −→r3 y velocidad antes de la DSM −→v3i. Del propagador planetario se obtendrá laposición de Saturno en T2 como −→r4 . Tras resolver el problema de Lambert entre −→r3 y−→r4 para un tiempo de vuelo (1− η2)·(T2 − T1), se dispondrá de los vectores velocidadtras la DSM, −→v3f y al llegar a Saturno, −→v4 .

El impulso en la segunda DSM será por tanto ∆V2 = v3f − v3i.

Los impulsos en la órbita de aparcamiento terrestre y de circularización en Saturno seobtendrán de la ecuación (4.3.1).

En resumen, las 10 variables independientes que se tienen en el problema con DSM son:

T0, T1, T2, C3, δ∞, α∞, η1, rp, ζ y η2

Los rangos de variación de dichas variables serán:

C3: se hará variar entre 0 y 90km2/s2, donde el límite superior se ha escogido en basea la figura 4.3.1.

δ∞ ∈ [−40º, 40º]. La elección de este intervalo está basada en las conclusiones extraídasde la sección 4.3.2.

51

5.3. Configuraciones planetarias favorables

Figura 5.2.1: Deep Space Manouver, DSM.

α∞ ∈ [0, 360º]

η1 y η2 ∈ [0,01, 0,99]. Debido a cuestiones prácticas relativas a la evolución y control dela misión [6], se ha tomado un cierto margen entre las DSMs y las maniobras asistidapor gravedad e inyección desde la Tierra.

rp > 10·RX. Su justificación se trata en la sección 5.3.1.

ζ ∈ [0, 360º]

Una vez formulado el problema, se hace necesario determinar qué valores de estas 10 variableshacen que la suma de los impulsos a lo largo de la misión se minimice. Debido a la acusadano linealidad del problema, la optimización del mismo resulta compleja. Existen ademásun gran número de mínimos locales, lo cual requiere el empleo iterativo de algoritmos deoptimización que comiencen desde valores iniciales diferentes, permitiendo hallar así el mayornúmero posible de dichos mínimos locales y encontrar, entre todos ellos, el menor valor posiblede la suma de impulsos Σ∆V . Puesto que la descripción del método de optimización empleadoescapa del objeto de este capítulo, se ha estimado conveniente su inclusión en el ApéndiceB.1. En él se detalla la elección de las diferentes tolerancias y valores iniciales que permitenobtener los resultados que se presentarán más adelante en este capítulo.


A la hora de diseñar la misión entre la Tierra y Saturno, convendrá conocer cuáles sonlas posiciones relativas entre la Tierra, Júpiter y Saturno más convenientes. El objetivo deldiseño será de nuevo reducir la suma de impulsos durante la misión completa, Σ∆V . En esta

52


sección, el subíndice 1 hará referencia a las variables a la entrada de la SoI del planeta desobrevuelo, mientras que el subíndice 2 se referirá a las variables a la salida.

5.3.1. Radio de periapsis en Júpiter

La introducción de una maniobra asistida por gravedad en Júpiter aumenta la comple-jidad del problema y añade nuevas variables a considerar. En particular, debe cumplirse larestricción sobre el radio de periapsis del sobrevuelo, rp > RX. Si además se consideran efec-tos atmosféricos y los intensos cinturones de radiación que rodean al planeta joviano, el radiode periapsis no debería ser menor que 10·RX. Para el estudio de dicha restricción se ha ob-tenido la gráfica 5.3.1, cuyo cálculo se detallará a continuación. En adelante se consideraránmaniobras asistidas por gravedad impulsivas.

Dado un valor de vp1 y rp, la excentricidad e1 se obtiene como

e1 = 1− rpa1

= 1 + rpµ

(vp1)2

De la ecuación (5.1.9) se deriva el valor de θ∞1 y, si además se conoce el ángulo δ, la velocidadde exceso de salida podrá ser calculada mediante la ecuación (5.1.10) y:

θ∞2 = δ − θ∞1 + π

a2 = rp1− e2

vp2 =√−µa2

De esta manera, dados δ, vp1 y rp, pueden obtenerse las curvas de la figura 5.3.1, que repre-sentan las posibles relaciones entre vp1 y vp2 para un radio de periapsis dado (rp = 10·RX).Por ejemplo, para un δ = 100º y una velocidad de exceso de llegada vP1 = 6km/s, si sefija el radio de periapsis rp = 10·RX, la velocidad de exceso de salida será vP2 = 8,9km/s.Cualquier vP2 < 8,9km/s tendrá asociada un radio de periapsis rp > 10·RX, de maneraque la restricción impuesta se cumplirá siempre que vp2 se encuentre por debajo de la curvacorrespondiente para cada δ dado.

5.3.2. Configuraciones planetarias

En esta sección se pretende obtener una primera aproximación de las posiciones relativasentre la Tierra, Júpiter y Saturno más favorables. Los resultados que se deriven serán em-pleados más adelante como valores iniciales para la optimización del problema. Debido a lacomplejidad del problema tridimensional, se hará uso del problema plano simplificado, conórbitas planetarias circulares, a fin de extraer ciertas conclusiones de partida.

La trayectoria heliocéntrica completa ha sido dividida en dos tramos: Tierra - Júpiter yJúpiter - Saturno. Para diferentes posiciones relativas entre dichos planetas, ∆θX⊕ y ∆θYX, seha resuelto el problema de Lambert para ambos tramos y diferentes tiempos de vuelo. Losresultados obtenidos se representarán mediante las gráficas siguientes:

C3 de salida de la SoI terrestre. Figura 5.3.2c.

∆V de salida de la Tierra. Se considera una órbita de aparcamiento de altitud hpark =200km. Figura 5.3.2a.

53


5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

V1P

V2P

δ = 50º

δ = 60º

δ = 70º

δ = 80º

δ = 90º

δ = 100º

δ = 110º

Figura 5.3.1: Relaciones entre velocidades de exceso de llegada y salida que cumplen rp <10·RX.

∆V de circularización en Saturno. Se considera una órbita de aparcamiento final a unaaltitud hpark = 10·RY. Figura 5.3.2b.

vX1 , velocidad de exceso de llegada a Júpiter. Figura 5.3.2d.

vX2 , velocidad de exceso de salida de Júpiter. Figura 5.3.2e.

Γrelp1, ángulo entre vX1 y VX. Figura 5.3.3a.

Γrelp2, ángulo entre vX2 y VX. Figura 5.3.3b.

Mediante estas gráficas se pretende obtener el tiempo de vuelo de cada tramo, así como losángulos ∆θX⊕ y ∆θYX que cumplan las siguientes restricciones:

El valor del C3 de salida (equivalentemente ∆V de salida) debe ser lo menor posible.

vp1 y vp2 deben ser lo más próximos posibles en módulo, de forma que el impulso aefectuar durante la maniobra asistida por gravedad sea reducido.

El radio de periapsis rp de la órbita planetocéntrica joviana deberá ser mayor que10·RX.

El valor de ∆V de circularización en Saturno deberá ser lo más pequeño posible.

54


600 700 800 900 1000 1100 12006

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Tiempo de vuelo T−J [días]

∆ V

sal

ida

Tie

rra

[km

/s]

∆θ = 70º∆θ = 90º∆θ = 110º∆θ = 130º∆θ = 150º∆θ = 170º

(a) ∆V de salida de la Tierra en función del tiempo devuelo entre Tierra y Júpiter.

1200 1400 1600 1800 2000 22003

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Tiempo de vuelo J−S [días]

∆ V

circ

ul. S

atur

no [k

m/s

]

∆θ = 40º∆θ = 70º∆θ = 100º∆θ = 130º∆θ = 160º∆θ = 190º

(b) ∆V de circularización en Saturno en función deltiempo de vuelo entre Júpiter y Saturno.

700 800 900 1000 1100

20

40

60

80

100

120

140

160

180


C3

salid

a T

ierr

a [k

m2 /s

2 ]

∆θ = 70º

∆θ = 90º

∆θ = 110º

∆θ = 130º

∆θ = 150º

∆θ = 170º

(c) C3 de salida de la Tierra en función del tiempode vuelo entre Tierra y Júpiter.

600 700 800 900 1000 1100 12005.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5


v 1P [k

m/s

]

∆θ = 70º∆θ = 90º∆θ = 110º∆θ = 130º∆θ = 150º∆θ = 170º

(d) Velocidad de exceso de llegada a Júpiter

1200 1400 1600 1800 2000 22002

4

6

8

10

12

14

16

18


v 2P [k

m/s

]

∆θ = 40º∆θ = 70º∆θ = 100º∆θ = 130º∆θ = 160º∆θ = 190º

(e) Velocidad de exceso de salida de Júpiter

Figura 5.3.2: Tierra - Saturno. Estudio plano para diversos valores de ∆θX⊕ y ∆θYX.

55


600 700 800 900 1000 1100 1200120

130

140

150

160

170

180

190

200

210


Γ relp

1 [º]

∆θ = 70º∆θ = 90º∆θ = 110º∆θ = 130º∆θ = 150º∆θ = 170º

(a) Ángulo Γrelp1 en Júpiter en función del tiempo devuelo entre Tierra y Júpiter.

1200 1400 1600 1800 2000 22000

50

100

150

200

250

300

350

400


Γ relp

2 [º]

∆θ = 40º∆θ = 70º∆θ = 100º∆θ = 130º∆θ = 160º∆θ = 190º

(b) Ángulo Γrelp2 en Júpiter en función del tiempode vuelo entre Júpiter y Saturno.

Figura 5.3.3: Tierra - Saturno. Estudio plano para diversos valores de ∆θX⊕ y ∆θYX.

Tómense primero las gráficas 5.3.2a y 5.3.2c. En el problema plano, es de esperar queaquellas transferencias de menor C3 estén asociadas con ángulos ∆θX⊕ = 180º. Sin embargo,debido a las conclusiones extraídas del diseño de la misión a Marte, se obviarán las transfe-rencias en perfecta conjunción y se analizarán los valores de ∆θX⊕ < 170º (transferencias tipoI). De la curva del C3 de salida se observa que el valor mínimo se alcanza para ∆θX⊕ = 170ºy un tiempo de vuelo entre la Tierra y Júpiter de unos 850 días.

∆θX⊕ = 170ºt⊕−Xv = 850 dıas

Con estos datos, de las figuras 5.3.2d y 5.3.3a se obtiene un vX1 = 6km/s y Γrelp1 = 160º.

Una vez obtenido el valor de vX1 , será necesario obtener un tiempo de vuelo tX−Yv talque los valores de δ y vX2 cumplan la restricción de la figura 5.3.1. Para ello, centrémonosprimero en la figura 5.3.2b. En ella se observa que los menores valores del ∆V en Saturnose alcanzan para ∆θYX entre 70º− 100º. Por otro lado, en la maniobra asistida por gravedadinteresará que vX2 > vX1 , de forma que el impulso en el periapsis sea positivo y se aprovecheen su totalidad para aumentar la energía cinética del vehículo. Además, para valores devX2 > 6km/s (figura 5.3.1), la diferencia |Γrelp1 − Γrelp2| = δ deberá ser menor de 110º. Portanto, Γrelp2 deberá encontrarse en el intervalo [50º, 270º]. De la figura 5.3.3b, se observa quela curva con ∆θYX = 70º cumple dicha restricción para tX−Yv > 1200 dıas, mientras que la

curva con ∆θYX = 100º la cumple para tiempos de vuelo más elevados, tX−Yv > 1900 dıas. Sin

embargo, para dichos tiempos de vuelo, la curva de ∆θYX = 100º de la figura 5.3.2e muestra

valores de vP2 < vP1 . Por tanto, en el segmento Júpiter - Saturno, se considerarán ∆θYX = 70º

y tiempos de vuelo del orden de tX−Yv = 1800 dıas, para los cuales se minimiza el ∆V decircularización en Saturno.

∆θYX = 70ºt⊕−Xv = 1800 dıas

56



Una vez que disponemos de la configuración planetaria más favorable para la misiónTierra - Júpiter - Saturno, interesará conocer en qué fechas se cumplen dichas posiciones.En un principio, se acotará el inicio de la misión a los años 2016-2033. En la figura 5.4.1 serepresenta el ángulo entre Tierra y Júpiter, así como el existente entre Júpiter y Saturno,para diferentes fechas de salida T0, considerando que T1 = T0 + 850 y T2 = T1 + 1800.

5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4

x 104

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

[º]

T0 [JD−24·105]

Tierra−JúpiterJúpiter−Saturno

13/3/2012 8/12/2014 3/9/2017 30/5/2020 24/2/2023 20/11/2025 16/8/2028 13/5/2031 6/2/2034

Figura 5.4.1: Posiciones relativas entre la Tierra, Júpiter y Saturno. En línea discontinua sepresentan los valores de 170º (azul) y el intervalo [60º-80º] (rojo)

Las posibles fechas de salida T0 que cumplen la configuración planetaria descrita en lasección anterior se obtienen cuando el ángulo Tierra - Júpiter alcanza los 170º a la vez queel ángulo Júpiter - Saturno alcanza el valor de 70º (se ha establecido el intervalo [60º-80º]).De la figura se observa que las posibles fechas de inicio de la misión (en días Julianos) son:

T0 = 2458130 11/1/2018T0 = 2460550 27/8/2024T0 = 2460940 21/9/2025

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5.5. Trayectoria heliocéntrica.


En esta sección se presentarán los resultados obtenidos para el diseño de una misión Tierra- Júpiter - Saturno entre los años 2016 y 2033. Se han analizado tres enfoques diferentes parael diseño de la misión.

El primero de ellos, con sólo dos grados de libertad, se trata de una misión completamentebalística, en la que los impulsos tienen lugar sólo en la inyección desde la Tierra y en lacircularización en Saturno. La maniobra asistida por gravedad en Júpiter es también balística,sin impulsos adicionales.

Posteriormente, se analizarán los datos obtenidos para una misión en la que la maniobraasistida por gravedad consta de un impulso en el periapsis de la órbita planetocéntrica.

Tras esto, se describirán las distintas soluciones encontradas para una misión con manio-bras de espacio profundo y una maniobra asistida por gravedad en Júpiter balística.

Por último se compararán las alternativas escogidas y se impondrán nuevos criterios quepermitan escoger una de ellas.

5.5.1. Misiones balísticas

A fin de simplificar el problema, los resultados que se presentan a continuación han sidoobtenidos del problema de tres grados de libertad con maniobra asistida por gravedad im-pulsiva, en la que se ha minimizado el valor de dicho impulso hasta valores que pueden serdespreciados. No será por tanto una maniobra puramente balística, pero se aproximará biena ella.

El algoritmo de optimización de dicho problema de 3 grados de libertad se ha ejecutadodesde las condiciones iniciales siguientes (basadas en los resultados de las secciones anteriores):

T0 = 2458130, T1 = T0 + 850, T2 = T1 + 1800

T0 = 2460550, T1 = T0 + 850, T2 = T1 + 1800

T0 = 2460940, T1 = T0 + 850, T2 = T1 + 1800

Salvo en el primer caso, los mínimos se encuentran en torno a las fechas óptimas derivadasde la sección 5.4. Como dichas fechas fueron obtenidas para el caso de una maniobra asistidapor gravedad propulsada en la que se minimizase Σ∆V , éstas no tendrían por qué coincidirrealmente con las de la misión completamente balística.

T0 T1 T2 t⊕−Xv tX−Yv tv

2458321 2459454 2461194 1133 días 1740 días 2873 días 7,871 años21/7/2018 27/8/2021 2/6/2026(a) Fechas y tiempo de vuelo

C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V1714,800 35,064 3·10−5 ' 0 4,519 39,583

(b) C3 [km2/s2] e impulsos [km/s]

Cuadro 5.1: Misión balística con salida el día T0 = 2458321

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C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V267,374 11,928 6·10−5 ' 0 5,687 17,615





C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V595,099 18,979 −5·10−5 ' 0 4,641 23,620



En los tres casos que se presentan, pueden observarse valores excesivamente elevados delC3, que en ningún caso cumplen la restricción de C3 < 90km2/s2. La suma de impulsos a lolargo de la misión es también elevada y podrá ser reducida en las secciones siguientes.

Se concluye por tanto que una misión balística Tierra - Saturno con maniobra asistida porgravedad en Júpiter no es la opción más adecuada en términos del Σ∆V y del propulsantenecesario (directamente relacionado con la suma de los impulsos).

5.5.2. Misiones con maniobra asistida por gravedad propulsada

En este apartado se optimizará el problema de 3 grados de libertad del problema de unamisión con maniobra asistida por gravedad impulsiva.

Las condiciones iniciales empleadas serán de nuevo las basadas en los resultados de lasección 5.4:

T0 = 2458130, T1 = T0 + 850, T2 = T1 + 1800

T0 = 2460550, T1 = T0 + 850, T2 = T1 + 1800

T0 = 2460940, T1 = T0 + 850, T2 = T1 + 1800

Además, por razones que se presentarán más adelante, se ha decidido resolver el problemade dos formas diferentes:

1. Con restricciones sobre el tiempo de vuelo de cada tramo. Se establece que t⊕−Xv ytX−Yv < 2000 días.

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2. Sin restricciones sobre el tiempo de vuelo.

5.5.2.1. Tiempo de vuelo acotado

Al partir de las condiciones iniciales anteriormente citadas, el problema converge haciamínimos en torno a ellas. No obstante, a fin de comprobar la validez de los desarrollos dela sección 5.3, se decidió iniciar los algoritmos de optimización desde condiciones inicialesdiferentes. Con ello pudo observarse que, de nuevo, el problema convergía hacia los mismosvalores mínimos, asociados a las fechas calculadas como las óptimas del problema plano (omuy próximas a ellas). Los resultados de la optimización se presentan a continuación:



C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V78,268 6,339 0,000153 3,686 10,025


Cuadro 5.4: Misión con maniobra impulsiva. Salida el día T0 = 2458132



C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V109,783 7,414 0,489260 5,396 13,299

(b) Impulsos




C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V109,605 7,408 0,126750 5,296 12,831



En los tres casos, puede comprobarse que el tiempo de vuelo tX−Yv alcanza la cota superiorde 2000 días. Es por ello que se ha decidido repetir la optimización obviando dicha restricción.Con ello se pretende comprobar que no existen mínimos con tX−Yv muy próximos a los 2000

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días, hecho que haría reconsiderar el valor de tal restricción. En el caso de que los tX−Yv

óptimos excedan en gran medida los 2000 días, será necesario hacer un balance entre el costedel tiempo de la misión y el coste del propulsante necesario en cada caso.

Por último, hay que indicar que de las tres fechas de partida obtenidas, tan sólo la primera,asociada al cuadro 5.4, cumple la restricción sobre el C3.

5.5.2.2. Tiempo de vuelo no acotado

Al eliminar la restricción superior sobre el tiempo de vuelo se obtienen los resultadossiguientes:



C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V76,601 6,279 −0,000108 3,599 9,878





C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V105,543 7,273 0,660650 5,169 13,103





C3 ∆V⊕ ∆VX ∆VY Σ∆V104,1147 7,226 0,206820 4,628 12,061



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En los tres casos se mejoran los resultados anteriores, tanto en términos de C3 como deΣ∆V . Sin embargo, de nuevo, tan solo en la misión asociada a T0 = 2458133 se cumple larestricción del C3.

Si comparamos las tablas 5.4 y 5.7, se observa que en el C3 pasa de 78,268km2/s2 a76,601km2/s2 y que la suma de impulsos también se ve reducida de 10,025km/s a 9,878km/s.Sin embargo, el tiempo de vuelo pasa de 2773 días (7,6 años) a 3681 días (10,1 años), lo cualsupone un incremento del 30 %.

5.5.3. Misiones con maniobras de espacio profundo

En esta sección se presentarán los resultados de la optimización del problema con DSMde 10 grados de libertad.

En primer lugar se han resuelto tres problemas de optimización independientes entre sí,cada uno partiendo desde una condición inicial diferente para T0, dejando variar la fecha desalida entre T0 ± 150 días.

T0 = 2458130

T0 = 2460550

T0 = 2460940

Cada uno de estos problemas ha consistido a su vez en la ejecución del algoritmo de opti-mización active-set desde 100 condiciones iniciales diferentes, todas ellas con el mismo valorinicial de T0. Para cada una de dichas condiciones iniciales, se ha escogido el valor inicial delas 9 variables restantes según lo descrito en el anexo B.1. Además, al igual que en la secciónanterior, se ha resuelto el problema de dos formas diferentes:

1. Con restricciones sobre el tiempo de vuelo de cada tramo. Se establece que t⊕−Xv ytX−Yv < 2000 días. Sección 5.5.3.1.

2. Sin restricciones sobre el tiempo de vuelo. Sección 5.5.3.2.

Con ello podrá comprobarse de nuevo qué reducciones se obtienen en la suma de impulsos dela misión a costa de incrementar la duración de la misma.

Puesto que los valores anteriores de T0 fueron obtenidos para una misión con maniobraasistida por gravedad impulsiva, sin DSM, se ha realizado posteriormente un análisis másextenso, en el que se ha creado una muestra de 5000 condiciones iniciales, cada una con unT0 inicial diferente contenido en el espacio de la misión (2016-2033) (sección 5.5.3.3).

5.5.3.1. Tiempo de vuelo acotado

A continuación se muestran los resultados obtenidos para tiempos de vuelo (de cadasegmento, Tierra - Júpiter y Júpiter - Saturno) menores a 2000 días iniciando el algoritmodesde las tres condiciones iniciales para T0 descritas arriba:

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C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V78,305 6,3400 0,0077 0,0039 3,6862 10,0378


δ∞ α∞ η1 η2 rp ζ

−8,8193º 200,801º 0,248 0,048 16,638·RX 355,824º(c) Variables de control restantes

Cuadro 5.10: Misión con DSM con salida el día T0 = 2458134



C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V90,000 6,7481 1,0084 0,3540 5,5023 13,6128



20,2962º 126,8759º 0,577 0,294 19,164·RX 184,774º(c) Variables de control restantes




C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V88,630 6,7009 0,6597 0,1894 5,4066 12,9566





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En este punto, al haber restringido el intervalo de variación de las diferentes variables, elC3 no excederá nunca el valor máximo impuesto de 90km2/s2.

En primer lugar, atendiendo al cuadro 5.10, se observa que el algoritmo ha convergidohacia una fecha de salida próxima a la inicial T0 = 2458130, obteniéndose el mínimo para lafecha T0 = 2458134. Si se compara esta misión con la del cuadro 5.4, se observan resultadossimilares, pese a ser misiones enfocadas desde puntos diferentes (maniobra asistida por gra-vedad impulsiva frente a una misión con dos DSMs). La fecha de salida difiere en tan solo 2días y la suma de impulsos es también muy próxima en ambos casos: Σ∆V = 10,0378km/sfrente a Σ∆V = 10,025km/s. Del mismo modo, los tiempos de vuelo son muy similares entresí.

En cuanto a los resultados del cuadro 5.11, se observa que el C3 ha alcanzado el valormáximo de 90km2/s2 y el valor de Σ∆V es demasiado elevado si se compara con el resto depropuestas. Por ello esta misión será descartada.

Por último, la opción de misión del cuadro 5.12 será también descartada, por sus elevadosvalores de C3 y Σ∆V .

En estos dos últimos casos se observa que los resultados no han convergido hacia T0próximos al inicial, lo que lleva a concluir que los estudios realizados (para misiones conmaniobra asistida por gravedad impulsiva) en la sección 5.4 no son extensibles a misiones conDSM.

5.5.3.2. Tiempo de vuelo no acotado

En esta sección se repetirá la optimización anterior, eliminando las restricciones impuestassobre el tiempo de vuelo.

Al igual que en la sección análoga para misiones con maniobras asistidas por gravedadimpulsivas, al dejar libre la variación de los tiempos de vuelo, los mínimos se desplazan haciamisiones de mayor duración y dan lugar a disminuciones del C3 y Σ∆V . En algunos casos sinembargo, los mínimos se encuentran asociados a tiempos de vuelo excesivamente elevados, loque llevará a descartar dichas soluciones.

En primer lugar, en el cuadro 5.13, al compararlo con el cuadro 5.10 (con la misma fechade salida), se logra una reducción del C3 de 78,305km2/s2 a 76,415km2/s2. La suma deimpulsos también disminuye, de 10,0378km/s a 9,8895km/s, pero el tiempo de vuelo se veincrementado de 7,592 años a 10,397 años (un 36,9 %).

En las otras dos soluciones (cuadros 5.14 y 5.15), pese a lograrse elevadas reducciones delC3, el impulso en la primera DSM ha de aumentar para contrarrestar esta falta de energía,de manera que la suma total de impulsos no se reduce demasiado. Por otro lado, los tiemposde vuelo se hacen prohibitivos al ser necesarios 16 años para la consecución de la misión. Poresta razón se descartarán estas dos soluciones del análisis final.

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C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V76,415 6,2729 0,0064 0,0017 3,6083 9,8895







C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V51,074 5,3407 1,7960 0,4506 3,6787 11,2660







C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V52,281 5,3866 1,6919 0,0032 3,6011 10,6827





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5.5.3.3. Optimización completa 2016-2033

Como se indicó anteriormente, puesto que las condiciones iniciales de partida empleadas enlas secciones anteriores fueron obtenidas para misiones sin DSM, se ha estimado convenienterepetir la optimización para todo el espacio de la misión. Se han empleado un total de 5000condiciones iniciales (generadas con el algoritmo B.1) y el tiempo aproximado de ejecucióndel programa ha sido de 2,5 horas. El problema se ha resuelto tanto con restricciones deltiempo de vuelo (2000 días por segmento) como sin ellas. Los resultados obtenidos en amboscasos son los siguientes:



C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V78,1277 6,3337 0,0094 0,0061 3,6859 10,0351




Cuadro 5.16: Misión con DSM con tiempo de vuelo acotado.



C3 ∆V⊕ ∆VDSM1 ∆VDSM2 ∆VY Σ∆V76,9061 6,2904 0,0051 0,0024 3,5887 9,8866




Cuadro 5.17: Misión con DSM con tiempo de vuelo no acotado.

Del cuadro 5.16 se observa que la solución converge a una muy próxima a la presentadaen el cuadro 5.10. Los impulsos se reducen de Σ∆V = 10,0378km/s a Σ∆V = 10,0351km/sy el incremento del tiempo de vuelo es de tan solo 2 días. Por tanto, en la comparación finalse considerará esta última solución en lugar de la correspondiente al cuadro 5.10.

En cuanto al cuadro 5.17, al compararlo con 5.13, con un pequeño incremento del C3 selogra una reducción de los impulsos de Σ∆V = 9,8895km/s a Σ∆V = 9,8866km/s y deltiempo de vuelo en 306 días (unos 10 meses). Por esta razón, al igual que en el caso anterior,

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se considerará el cuadro 5.17 en el análisis final, en lugar del cuadro 5.13.

5.5.4. Comparación de las alternativas más favorables

El objetivo de esta última sección es comparar y escoger aquella trayectoria heliocéntricaque presente más ventajas para la misión a Saturno. Las diferentes alternativas a compararson:

Misión con maniobra asistida por gravedad propulsada en Júpiter con duración limitada(cuadro 5.4). Se denotará por GA1.

Misión con maniobra asistida por gravedad propulsada en Júpiter sin límites en el tv(cuadro 5.7). Se denotará por GA2.

Misión con dos DSM con tiempo de vuelo acotado (cuadro 5.16). Se denotará porDSM1.

Misión con dos DSM con tiempo de vuelo no acotado (cuadro 5.17). Se denotará porDSM2.

Sus características principales se resumen en el cuadro siguiente:

GA1 GA2 DSM1 DSM2

T0 13/1/2018 14/1/2018 13/1/2018 13/1/2018tv 7,6 años 10,1 años 7,6 años 9,6 años

Σ∆V 10,025 km/s 9,878 km/s 10,035 km/s 9,887 km/sC3 78,27 km2/s2 76,60 km2/s2 78,13 km2/s2 76,91 km2/s2

Carga 650 kg 750 kg 650 kg 750 kgδ∞ −9,305º −12,359º −9,064º −11,505º

Cuadro 5.18

Los datos aportados de carga se corresponden con la carga útil capaz de inyectar ellanzador Delta IV en función del C3 (figura 4.3.1). Puesto que serán necesarias maniobrasimpulsivas en el transcurso de la misión, para obtener la masa útil real (disponible para equi-pos de experimentación) habrá que restar a la carga del cuadro 5.18 la masa de propulsantenecesaria para las mismas.

Del cuadro se observa que las soluciones más favorables se sitúan en torno a las mismasfechas de partida, entre el 14 y 15 de Enero de 2018. Para las misiones GA1 y GA2, para lasque no se aportaron previamente los valores de δ∞, se han calculado dichos datos, a fin decomprobar que se encuentran en el rango exigido de [−40º, 40º].

Se comprueba además la gran similitud entre las misiones GA1 y DSM1, así como entreGA2 con DSM2. Pese a lograrse, con GA1 y GA2, valores algo menores de Σ∆V , éstos seasemejan en gran medida a los de DSM1 y DSM2 respectivamente. Es por tanto necesariotener en cuenta otras consideraciones a la hora de seleccionar entre misiones con maniobraasistida por gravedad propulsada o misiones con DSM.

El factor más importante a tener en cuenta, que llevará a la elección preferente de misionescon DSM , es la dificultad de comunicación entre la Tierra y el vehículo cuando éste seencuentra realizando un maniobra asistida por gravedad. Puesto que en dichas maniobras el

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periapsis de la órbita planetocéntrica puede quedar oculto detrás de Júpiter y no ser visibledesde la Tierra, se complica el envío de información al vehículo justo en el instante en queéste debe realizar el impulso. Sin embargo, en las misiones con DSM , en los instantes en quehay que llevar a cabo los impulsos no existirá dicho problema.

Con todo ello, se descartarán las misiones GA1 y GA2 frente a DSM1 y DSM2, restandoúnicamente la tarea de seleccionar una de estas dos últimas opciones. Teniendo en cuenta losvalores de C3 y Σ∆V , así como la masa que puede transportarse en cada caso, la opciónDSM2es más atractiva que DSM1. El único inconveniente de dicha misión es que son necesarios2 años más para completarla. Teniendo en cuenta las duraciones típicas de las misionesinterplanetarias y que la misión aquí diseñada solo consta de una maniobra asistida porgravedad (frente a los tours entre varios planetas que se realizan en las misiones reales yreducen considerablemente su duración), se tomará finalmente la trayectoria DSM2 como ladefinitiva.

Por tanto, los datos finales de la misión Tierra - Júpiter - Saturno son los correspondientesal cuadro 5.17, donde se incluye toda la información relativa a la misma.

Se mostrarán por último las figuras asociadas a la trayectoria heliocéntrica escogida en5.5.1 y 5.5.2. En amarillo se muestran los segmentos anteriores a cada DSM y en naranja losposteriores a los mismos.

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−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

x 109

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

9

x

Figura 5.5.1: Trayectoria heliocéntrica Tierra - Saturno. El eje x apunta al Primer Punto deAries y las distancias se representan en km.

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−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

x 109

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 109

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 107

x

Figura 5.5.2: Trayectoria heliocéntrica Tierra - Saturno. El eje x apunta al Primer Punto deAries y las distancias se representan en km.

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Capítulo 6

Conclusiones

En este último capítulo se presentarán las conclusiones extraídas de la realización de estetrabajo.

A fin de realizar el análisis y diseño de misiones interplanetarias en el espacio tridimen-sional, se hace imprescindible el disponer de un algoritmo de resolución del problemade Lambert que no presente singularidades para transferencias próximas a la conjun-ción. Dichos algoritmos tendrán asociada una mayor complejidad teórica; sin embargo,puesto que las soluciones óptimas tienden a ∆θ próximos a los 180º, éstos aportaránresultados más precisos.

El empleo de propagadores planetarios lineales aporta buenos resultados y resulta con-veniente para los tiempos de vuelo usuales en misiones interplanetarias, como se com-prueba de la validación de las soluciones obtenidas con documentos oficiales de lasAgencias Espaciales. Además, su simplicidad de cálculo permite reducir el tiempo deejecución, acelerando considerablemente los procesos de optimización que parten de ungran número de condiciones iniciales.

El método de ajuste de cónicas supone una buena aproximación a la hora de realizarun estudio preliminar de las diferentes trayectorias posibles. Pese a disponer de unamenor precisión, la velocidad de cálculo que se logra, frente a algoritmos de integraciónnumérica en problemas de más de dos cuerpos, facilita el análisis preliminar de la misión,al ser necesario disponer de un elevado número de alternativas.

Las oportunidades de lanzamiento para misiones balísticas a Marte ocurren cada 2,14años, mientras que las situaciones de mínima energía por unidad de masa (C3) se repitencada 15 años aproximadamente.

Las transferencias muy próximas a la oposición resultan en trayectorias heliocéntricaspolares, con valores del C3 restrictivos e inalcanzables por los lanzadores espaciales.La única excepción es la transferencia nodal, que supone una solución singular muyconcreta y poco empleada en la práctica, debido a sus requisitos de precisión en ellanzamiento e instrumentación.

En cuanto a la fase de lanzamiento, en términos de carga útil, resulta más favorablela inyección directa desde una órbita baja circular que la inyección desde una órbitaintermedia GTO.

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6.1. Líneas de trabajo futuro

Los azimut permitidos en la base de lanzamiento determinarán los valores de la decli-nación de la asíntota de salida (δ∞) que se pueden alcanzar en la inyección sin recurrira maniobras de cambio de plano. Entre los valores de δ∞ permitidos, podrán existirsubintervalos de declinaciones con ventanas de lanzamiento mayores, lo cual supondríauna ventaja considerable frente a posibles adversidades durante la fase de lanzamiento.

La trayectoria heliocéntrica balística de transferencia entre la Tierra y Marte que mi-nimiza la suma de impulsos de inyección y circularización entre 2016 y 2033 ocurre enel año 2026. El tiempo de vuelo resultante es de 313 días, unos 10,5 meses, adecuadopara misiones no tripuladas.

Para el diseño de misiones a planetas exteriores, más alejados que Marte, las órbitasbalísticas tienen asociados valores del C3 y tiempos de vuelo demasiado elevados. Sehace por tanto necesario el empleo de maniobras asistidas por gravedad -sean o noimpulsivas- y maniobras de espacio profundo o DSMs.

Entre las propuestas de misión para Saturno, el empleo de una maniobra asistida porgravedad balística en Júpiter no es suficiente para lograr valores reducidos del C3 y dela suma de impulsos (Σ∆V ). Por ello se hace imprescindible la realización de impulsosañadidos a lo largo de la misión, ya sea durante la maniobra asistida por gravedad o enlos segmentos orbitales intermedios (DSMs).

Las trayectorias entre Tierra y Saturno entre 2016 y 2033, con maniobra asistida porgravedad en Júpiter, que minimizan la suma de impulsos convergen hacia fechas desalida en Enero de 2018, con tiempos de vuelo entre 7,5 y 9,5 años. Los valores del C3obtenidos (alrededor de 77km2/s2) limitan considerablemente la carga útil a transportarfrente a las que se obtienen en misiones a Marte.


Para finalizar, se propondrán una serie de modificaciones o ampliaciones de los estudiosrealizados como trabajo futuro:

Puesto que las leyes horarias para órbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas tienenformulaciones diferentes, el propagador orbital programado en este trabajo compruebaprimero el tipo de órbita y posteriormente la propaga. En términos de velocidad decálculo, resultaría conveniente modificar dicho propagador, de modo que emplease laformulación en variable universal, igual para los tres tipos de órbitas.

Como se ha indicado en las conclusiones, el ajuste de cónicas aporta buenos resul-tados con tiempos de cálculo reducidos. Existe sin embargo una solución intermedia,entre el ajuste de cónicas y las técnicas de integración de trayectorias, conocida como“Pseudostate-Theory” [4]. Esta teoría conlleva un pequeño incremento en el tiempo decálculo pero tiene la ventaja reducir enormemente los errores introducidos por la pre-sencia de un tercer cuerpo. Se podría proponer, por tanto, el empleo de este método enlugar del ajuste de cónicas.

Como linea de desarrollo futuro, se recomendaría realizar la tarea de diseño final detrayectorias, partiendo de las condiciones iniciales aquí presentadas. Mediante el empleode técnicas numéricas podría integrarse el problema de tres y cuatro cuerpos y mejorarla precisión de los cálculos realizados en este trabajo.

72

Capítulo 6. Conclusiones

En cuanto a las maniobras asistidas por gravedad, en el capítulo 5 se introdujo elángulo ζ para definirlas. Pese a estar basado en documentos oficiales de la NASA [13],puede resultar no ser el más adecuado, ya que, para obtener trayectorias de Júpitera Saturno, su valor se moverá en el intervalo [0, 360º] en función de cómo se llegue aSaturno. Existen sin embargo otros ángulos, como el definido en [17], cuyo intervalode variación queda más acotado cuando se desean trayectorias que escapen de Júpiterhacia Saturno. Esto reduciría el número de valores posibles a adoptar por la variable ypor tanto el tiempo empleado en la optimización. Se propone modificar la formulaciónde la maniobra asistida por gravedad mediante este nuevo ángulo y comprobar lasreducciones de tiempo que se obtienen con él.

Por último, se recomendaría como trabajo futuro ampliar las tareas realizadas con tra-yectorias con DSM y generalizarlas para más planetas. Podría considerarse el númerode planetas en los que realizar maniobras asistidas por gravedad como una nueva va-riable independiente del problema, de modo que el algoritmo de optimización buscasela secuencia idónea de maniobras asistidas por gravedad que minimizase la suma deimpulsos. Con ello podrían lograrse resultados más similares a los de las misiones ac-tuales (como, por ejemplo, la misión Solstice), con importantes reducciones tanto delpropulsante necesario como del tiempo de vuelo.

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74

Apéndice A

Misión a Marte

A.1. Gráficas misión a Marte

A continuación se representarán las curvas empleadas en el análisis de la misión interpla-netaria a Marte. Para cada año estudiado, se presentan las gráficas de C3 de salida, V∞ yDLA o δ∞. En ellas se incluye además en forma de punto negro aquella combinación de fechasde salida y llegada correspondientes al mínimo de la suma de los incrementos de velocidadnecesarios a lo largo de la misión, condicionados a C3 < 10km2/s2.

A.1.1. Año 2016

tv=100 días

tv=200 días

tv=300 días


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

5.73 5.735 5.74 5.745 5.75 5.755 5.76

x 104

5.75

5.76

5.77

5.78

5.79

5.8x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

4/10/2015 23/11/2015 12/1/2016 2/3/2016 21/4/2016 10/6/2016 30/7/2016

21/4/2016

30/7/2016

7/11/2016

15/2/2017

26/5/2017

3/9/2017

Figura A.1.1: Porkchop plot 2016

75


4

4

4

44

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

66

66

66

6

6

77

77

7

7

7

77

7

7

7

7


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]


5.73 5.735 5.74 5.745 5.75 5.755 5.76

x 104

5.75

5.76

5.77

5.78

5.79

5.8x 10

4

4/10/2015 23/11/2015 12/1/2016 2/3/2016 21/4/2016 10/6/2016 30/7/2016

21/4/2016

30/7/2016

7/11/2016

15/2/2017

26/5/2017

3/9/2017

Figura A.1.2: V∞ 2016

−50

−50

−50

−50

−50

−50

−50

−40

−40

−40

−40

−40

−40

−40

−40

−40

−30

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−30

−30 −30

−30

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−30

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−20

−20

−10

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−10

−10

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0

0

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0

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0

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10

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20

20

20

20

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20

20

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30

30

30

30

40

40

40

40

40

40


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

DLA [º]

5.73 5.735 5.74 5.745 5.75 5.755 5.76

x 104

5.75

5.76

5.77

5.78

5.79

5.8x 10

4

4/10/2015 23/11/2015 12/1/2016 2/3/2016 21/4/2016 10/6/2016 30/7/2016

21/4/2016

30/7/2016

7/11/2016

15/2/2017

26/5/2017

3/9/2017

Figura A.1.3: DLA 2016

76

CapítuloA. Misión a Marte

A.1.2. Año 2018

tv=100 días

tv=200 días

tv=300 días


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

5.81 5.815 5.82 5.825 5.83 5.835 5.84

x 104

5.83

5.84

5.85

5.86

5.87

5.88x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

12/12/2017 31/1/2018 22/3/2018 11/5/2018 30/6/2018 19/8/2018 8/10/2018

30/6/2018

8/10/2018

16/1/2019

26/4/2019

4/8/2019

12/11/2019


33.5

3.5

4

4

4

44

44.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.54.

54.5

4.5

5

55

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]


5.81 5.815 5.82 5.825 5.83 5.835 5.84

x 104

5.83

5.84

5.85

5.86

5.87

5.88x 10

4

12/12/2017 31/1/2018 22/3/2018 11/5/2018 30/6/2018 19/8/2018 8/10/2018

30/6/2018

8/10/2018

16/1/2019

26/4/2019

4/8/2019

12/11/2019

Figura A.1.5: V∞ 2018

77


−50

−50

−50

−50

−50

−50

−50

−40

−40

−40

−40

−40

−40

−40

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−30

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−30

−30

−30

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−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−10

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−10

−10

−10

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−10

−10

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0

0

0

0

0

0

0

0

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1010

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10

2020

20

20

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20

20

20

20

3030

30

30

30

30

30

40

40

40

40

40

40

40


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

DLA [º]

5.81 5.815 5.82 5.825 5.83 5.835 5.84

x 104

5.83

5.84

5.85

5.86

5.87

5.88x 10

4

12/12/2017 31/1/2018 22/3/2018 11/5/2018 30/6/2018 19/8/2018 8/10/2018

30/6/2018

8/10/2018

16/1/2019

26/4/2019

4/8/2019

12/11/2019


A.1.3. Año 2026

tv=100 días

tv=200 días

tv=300 días


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

6.125 6.13 6.135 6.14 6.145 6.15 6.155

x 104

6.145

6.155

6.165

6.175

6.185

6.195x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28/7/2026 16/9/2026 5/11/2026 25/12/2026 13/2/2027 4/4/2027 24/5/2027

13/2/2027

24/5/2027

1/9/2027

10/12/2027

19/3/2028

27/6/2028


78


3

3

33.5

3.5

3.5

3.5

3.5

4

4

4

44

4

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

5

5

55

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]


6.125 6.13 6.135 6.14 6.145 6.15 6.155

x 104

6.145

6.155

6.165

6.175

6.185

6.195x 10

4

28/7/2026 16/9/2026 5/11/2026 25/12/2026 13/2/2027 4/4/2027 24/5/2027

13/2/2027

24/5/2027

1/9/2027

10/12/2027

19/3/2028

27/6/2028

Figura A.1.8: V∞ 2026

−10

−10

−10

−10

−10

−10

−10−10

−10

−10

−10

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0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10 20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

30

30

30

30 30

30

30

30

40

40

40

40

40

40

40

50

50

50

50

50

50

50


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

DLA [º]

6.125 6.13 6.135 6.14 6.145 6.15 6.155

x 104

6.145

6.155

6.165

6.175

6.185

6.195x 10

4

28/7/2026 16/9/2026 5/11/2026 25/12/2026 13/2/2027 4/4/2027 24/5/2027

13/2/2027

24/5/2027

1/9/2027

10/12/2027

19/3/2028

27/6/2028


79


A.1.4. Año 2028

tv=100 días

tv=200 días

tv=300 días


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

6.2 6.205 6.21 6.215 6.22 6.225 6.23

x 104

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

16/8/2028 5/10/2028 24/11/2028 13/1/2029 4/3/2029 23/4/2029 12/6/2029

4/3/2029

12/6/2029

20/9/2029

29/12/2029

8/4/2030

17/7/2030


3

3.5

3.5

3.54

4

4

4

4

44.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

5

5

5

5

5

5

56

6

6

6

6

66

6

7

7

7

7

7

7

7

7

7


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]


6.2 6.205 6.21 6.215 6.22 6.225 6.23

x 104

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27x 10

4

16/8/2028 5/10/2028 24/11/2028 13/1/2029 4/3/2029 23/4/2029 12/6/2029

4/3/2029

12/6/2029

20/9/2029

29/12/2029

8/4/2030

17/7/2030

Figura A.1.11: V∞ 2028

80


−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20 −20

−20

−20

−20

−10−10

−10

−10

−10−10

−10

−10

−10

−10

−10

−10

−10

0

0

0

0

00

00

0

0

0

0

000

1010

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

20

20

20

20

20

20

20

30

30

30

30

30

30

30

40

40

40

40


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

DLA [º]

6.2 6.205 6.21 6.215 6.22 6.225 6.23

x 104

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27x 10

4

16/8/2028 5/10/2028 24/11/2028 13/1/2029 4/3/2029 23/4/2029 12/6/2029

4/3/2029

12/6/2029

20/9/2029

29/12/2029

8/4/2030

17/7/2030


A.1.5. Año 2031

tv=100 días

tv=200 días

tv=300 días


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

6.28 6.285 6.29 6.295 6.3 6.305 6.31

x 104

6.3

6.31

6.32

6.33

6.34

6.35x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

25/10/2030 14/12/2030 2/2/2031 24/3/2031 13/5/2031 2/7/2031 21/8/2031

13/5/2031

21/8/2031

29/11/2031

8/3/2032

16/6/2032

24/9/2032


81


3.5

4

4

44.5 4.

5

4.5

4.54.5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

66

6

6

7

7

7

7

7

77

7

7

7

7


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]


6.28 6.285 6.29 6.295 6.3 6.305 6.31

x 104

6.3

6.31

6.32

6.33

6.34

6.35x 10

4

25/10/2030 14/12/2030 2/2/2031 24/3/2031 13/5/2031 2/7/2031 21/8/2031

13/5/2031

21/8/2031

29/11/2031

8/3/2032

16/6/2032

24/9/2032

Figura A.1.14: V∞ 2031

−30

−30

−30

−30

−30

−30

−30

−30

−20

−20

−20

−20

−20−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−20

−10

−10

−10

−10

−10

−10−10

−10

−10

−10

−10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

DLA [º]

6.28 6.285 6.29 6.295 6.3 6.305 6.31

x 104

6.3

6.31

6.32

6.33

6.34

6.35x 10

4

25/10/2030 14/12/2030 2/2/2031 24/3/2031 13/5/2031 2/7/2031 21/8/2031

13/5/2031

21/8/2031

29/11/2031

8/3/2032

16/6/2032

24/9/2032


82


A.1.6. Año 2033

tv=100 días

tv=200 días

tv=300 días


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

C3=V∞2 [Km2/s2]

6.355 6.36 6.365 6.37 6.375 6.38 6.385

x 104

6.375

6.385

6.395

6.405

6.415

6.425x 10

4

10

12

14

16

18

20

22

24

26

13/11/2032 2/1/2033 21/2/2033 12/4/2033 1/6/2033 21/7/2033 9/9/2033

1/6/2033

9/9/2033

18/12/2033

28/3/2034

6/7/2034

14/10/2034


3.544

4

4

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

4.5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

66

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

77

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]


6.355 6.36 6.365 6.37 6.375 6.38 6.385

x 104

6.375

6.385

6.395

6.405

6.415

6.425x 10

4

13/11/2032 2/1/2033 21/2/2033 12/4/2033 1/6/2033 21/7/2033 9/9/2033

1/6/2033

9/9/2033

18/12/2033

28/3/2034

6/7/2034

14/10/2034

Figura A.1.17: V∞ 2033

83


−50

−50

−50

−50

−50

−50

−50

−50

−40

−40

−40

−40

−40

−40

−40

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0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10


Fec

ha ll

egad

a [J

D−

24·1

05 ]

DLA [º]

6.355 6.36 6.365 6.37 6.375 6.38 6.385

x 104

6.375

6.385

6.395

6.405

6.415

6.425x 10

4

13/11/2032 2/1/2033 21/2/2033 12/4/2033 1/6/2033 21/7/2033 9/9/2033

1/6/2033

9/9/2033

18/12/2033

28/3/2034

6/7/2034

14/10/2034


84


A.2. Hora de lanzamiento

Este anexo pretende detallar el cálculo de las ventanas de lanzamiento expresadas en horaUT (Universal Time).

En la sección 4.6 se obtuvo la ascensión recta de la asíntota de salida como α∞ = 134,6º.Se tiene además que la longitud de la base de lanzamiento del KSC es λ = −80,6º. Por otrolado, de la referencia [5] se ha obtenido una expresión que permite calcular el GST0 para undía dado:

T0 = J0 − 245154536525

GST0 = 100,4606184 + 36000,77004·T0 + 0,000387933·T 20 − 2,583·10−8·T 3

0

Ya que el día juliano 2461340 se corresponde con el día 26 de octubre de 2026 a las 12:00h,para obtener estrictamente el valor de GST0 (00:00h UT) para los días 26 y 27, sustituimos enlas ecuaciones anteriores los días J0 = 2461339,5 y J0 = 2461340,5. Se obtienen los siguientesvalores del GST0:

GST0(26/10/2026) = 34,3838ºGST0(27/10/2026) = 35,3694º

Una vez conocidos GST0, λ y α∞, puede obtenerse el tiempo transcurrido desde las 00:00UT hasta el paso del meridiano de la base del KSC por la ascensión recta de la asíntota desalida α∞ como:

GST0 + ω⊕·t+ λ = α∞

donde ω⊕ es la velocidad angular de rotación de la tierra ω⊕ = 360/86164 [º/s]. Para los dosdías en cuestión, se obtiene que el paso por la asíntota de salida ocurre a las horas siguientes:

t(26/10/2026) = 12h, 1min [UT ]t(27/10/2026) = 11h, 57min [UT ]

Las ventanas de lanzamiento se situaron en tRLT ∈ [0− 6]h y tRLT ∈ [14− 24]h, de maneraque el tiempo que debe transcurrir desde el último paso por la asíntota hasta el instante delanzamiento vendrá dado por

∆t = tRLT [h]·360º24h /ω⊕

Con todo ello, se obtienen las siguientes ventanas de lanzamiento expresadas en hora UT:

t1 ∈ [12h, 1min 26/10/2026 − 18h, 0min 26/10/2026]t2 ∈ [01h, 58min 27/10/2026 − 11h, 57min 27/10/2026]t3 ∈ [11h, 57min 27/10/2026 − 17h, 56min 27/10/2026]

85

Apéndice B

Misión a Saturno

B.1. Optimización del problema con DSM

Como se indicó en la sección 5.2, el problema del diseño de una misión entre la Tierra ySaturno con una maniobra asistida por gravedad en Júpiter consta de 10 grados de libertad.La optimización de la misión consiste en obtener el menor valor posible de Σ∆V , dadas ciertasrestricciones sobre los parámetros de control.

Las restricciones sobre las variables C3, δ∞, α∞, η1, η2, ζ y rp se detallaron en la sección5.2. Restará únicamente definir ciertos límites sobre las fechas de llegada y salida de cadauno de los planetas. En particular, se ha establecido que el inicio de la misión tenga lugarentre los años 2016 y 2033. De esta manera, se tendrá:

2457388 < T0 < 2463962

En cuanto a las variables T1 y T2, debido al tiempo medio de transferencia entre Tierra-Júpiter y Júpiter-Saturno, se ha tomado que (T1 − T0) y (T2 − T1) > 100 días y, a fin deacotar la duración de la misión, (T1 − T0) y (T2 − T1) < 2000 días. En análisis con tiemposde vuelo no acotado se ha eliminado la restricción superior de los 2000 días.

También en la sección 5.2 se citó la gran no linealidad del problema, así como la existenciade numerosos mínimos locales. Para demostrar esta característica del problema, se han fijadolas variables T0, T1, T2, C3, δ∞, α∞, η1 y η2 y se ha dejado variar tanto el ángulo ζ como elradio de periapsis de la maniobra asistida por gravedad rp. Los valores de Σ∆V asociados serepresentan en la figura B.1.1. En ella puede observarse la existencia de numerosos mínimoslocales y de un mínimo absoluto (para los valores de ζ y rp representados). Además, secomprueba que en algunos puntos de la superficie los gradientes conducen a mínimos que sealejan progresivamente del mínimo absoluto.

Esto hace que el algoritmo de optimización empleado (“active-set” en Matlab) encuentreun mínimo diferente cada vez que se ejecuta con una condición inicial distinta. Por tanto,será necesario optimizar desde un número suficiente de condiciones iniciales, de manera queaumente la probabilidad de encontrar el mínimo absoluto.

Debido a la disparidad de valores que adoptan cada una de las variables del problema, seha decidido adimensionalizarlas a la hora de aplicar los algoritmos de optimización:

Las variables temporales T0, T1, T2 se han adimensionalizado con un Tref = 1·105. Deesta forma, 24,57388 < T0 < 24,63962. Si se desea obtener una precisión del orden de

86

CapítuloB. Misión a Saturno

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

5

10

15

20

25

30

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

rp/R

Jupiter

ζ [º]

∆ V

/100

Figura B.1.1: Impulsos a lo largo de la misión frente a rp/RX y ζ.

un día, la tolerancia a emplear deberá ser de 1·10−5.

El C3, puesto que varía entre 0 y 90km2/s2, se ha adimensionalizado con C3ref =100km2/s2.

Las variables angulares, δ∞, α∞, ζ se adimensionalizan respecto a 2π radianes.

El radio de periapsis rp se ha adimensionalizado respecto del radio de Júpiter, RX.

Por último, la suma de impulsos a lo largo de la misión se ha adimensionalizado respectode ΣVref = 100km/s, debido a los valores que alcanza dicha variable a lo largo delproceso de optimización.

Cabe señalar que la adimensionalización de las variables temporales se ha tomado respectodel Tref señalado a fin de que T/Tref adoptara valores similares al resto de variables adimen-sionalizadas, sin que fueran necesarias tolerancias exigentes para obtener errores del ordende días o menores. Tolerancias de menos de 1·10−5 darían errores de menos de un día, peroincrementarían innecesariamente la precisión del resto de variables, ralentizándose además elproceso de optimización. Debido a que, en el espacio de las misiones tratadas, una toleran-cia de un día supone errores respecto del tv del orden del 0,05 % (1/2000 = 0,0005), se hadecidido finalmente establecer la tolerancia de las variables de control en TOLx = 1·10−5.

Teniendo esto en cuenta, así como que los algoritmos de optimización empleados se basanen funciones de orden 2, la precisión de la función objetivo (que devuelve el valor asociadode Σ∆V ) será TOLfun = (TOLx)2 = 1·10−10.

El Jacobiano es calculado de forma numérica, proceso en el cual se deja que las compo-nentes del vector de control varíen en incrementos entre 1·10−6 y 1·10−5.

Por último, se describirá el algoritmo empleado para generar las condiciones inicialesdesde las que partirá la optimización. Si se tiene en cuenta que existen 10 variables indepen-dientes, si se desea que cada una de ellas tome 3 valores diferentes, se obtendría un total de103 combinaciones posibles. Para condiciones iniciales con 4 valores distintos por grado delibertad, el número total de dichas condiciones iniciales ascendería a 10,000. Debido a ello seha optado por generar dos algoritmos diferentes para generar las condiciones iniciales.

87


El primero de ellos (algoritmo B.1) pretende crear una población (conjunto de condicionesiniciales) bien distribuida, en la que las muestras estén formadas por valores representativosdel intervalo de variación de cada una de las variables independientes, pero sin contemplartodas las combinaciones posibles entre los valores escogidos para cada variable.

El segundo algoritmo (B.2) escoge una serie de valores representativos para cada gradode libertad y genera todas las combinaciones posibles entre los valores de las diez variables.El objeto de dicho algoritmo es ser más exhaustivo que el anterior, pero tiene la desventajade requerir grandes poblaciones para representar adecuadamente a cada una de las variables.

Algoritmo B.1Supóngase que se desea iniciar la optimización desde n condiciones iniciales diferentes. En-tonces el algoritmo quedará como sigue:

1. Se crean los siguientes vectores de datos:

Vector de C3, al que llamaremos Cvect3 , de n componentes, que varían linealmenteentre 0 y el valor máximo 90.Vector de T0 de n componentes, que varían linealmente entre los años 2016 y 2033(en días julianos). Cuando se realizan los estudios de la sección 5.5.3 partiendo decondiciones iniciales de T0 determinadas, este vector se forma con dicho valor deT0 repetido n veces.Vectores de δ∞, α∞ y ζ que varían linealmente entre [0, 2π], con n componentes.Vectores de η1, η2 que varían entre [0,01, 0,99] de forma lineal, con n componentes.Vector de rp que varía entre [10, 30]·RX linealmente, con n componentes.

2. Para cada individuo de la población se escogen los valores del vector de control.

Se toma el valor de C3 de forma aleatoria entre el vector Cvect3 , sin que el valorescogido se repita en el resto de individuos.Se generan tiempos de vuelo de manera aleatoria para las dos fases de la misión:tv1 y tv2, sin que se repitan en el resto de individuos. Esto se consigue mediantela expresión siguiente:

tv1 = 100 + rand· (tmaxv1 − 100)

donde rand es un número aleatorio entre 0 y 1 y tmaxv1 es el tiempo de vuelo máximopara el segmento Tierra - Júpiter, asociado a las restricciones antes impuestas. Seha tenido en cuenta que tminv1 = 100dıas.Con tv1 y tv2 se obtienen T1 y T2, al ser sumados al vector de T0.El resto de variables: δ∞,α∞,ζ, η1,η2 y rp, se escogen de forma aleatoria entre losvectores descritos en el punto 1, sin que su valor se repita en el resto de individuos.

88

CapítuloB. Misión a Saturno

Algoritmo B.2En este caso, se requiere especificar el número de valores que se desea que adopten cada una delas variables. Estos números se denotarán por: nC3, nT0, nT1, nT2, nδ∞ , nα∞ , nη1 , nη2 , nrp , nζ .Debido al procedimiento seguido en este algoritmo, se exige que nT0 = nT1 = nT2. Los puntosa seguir son los siguientes:

1. Se crearán los siguientes vectores:

Vector de C3, de nC3 componentes, que varía linealmente entre 0 y el valor máximo90.Vector de T0 de nT0 componentes, que varían linealmente entre los años 2016 y2033 (en días julianos).Vector tv1 de nT1 componentes, formado como:

tv1 = tminv1 + pesos1·(tmaxv1 − tminv1 )

donde pesos1 es un vector de nT1 componentes que varía de forma lineal entre 0y 1.Vector tv2 de nT2 componentes, se forma igual que tv1.Vectores de δ∞, α∞ y ζ que varían linealmente entre [0, 2π], con nδ∞ , nα∞ y nζcomponentes respectivamente.Vectores de η1, η2 que varían entre [0,01, 0,99] de forma lineal, con nη1 y nη2 com-ponentes.Vector de rp que varía entre [10, 30]·RX linealmente, con nrp componentes.

Aunque estos vectores varían dentro de los intervalos citados, se ha decidido que susprimeras y últimas componentes no coincidan con los extremos del intervalo. Con esto seconsigue evitar, en el caso de variables angulares, que aparezcan en el mismo vector losvalores 0 y 2π. Para una variable genérica var, la primera componente del vector creadoserá varmin+(varmax−varmin)/(n+1) y la última varmax−(varmax−varmin)/(n+1).

2. Se generan todas las combinaciones posibles entre las componentes de los 10 vectoresanteriores y, para cada combinación, se generan dos nuevos vectores: T1 y T2, obtenidoscomo la suma de T0 + tv1 y T1 + tv2 respectivamente. En total, se tendrá un total denC3·nT0·nT1·nT2·nδ∞·nα∞·nη1·nη2·nrp·nζ combinaciones posibles.

A modo de ejemplo, tómese nC3 = 2, nζ = 2 y el resto de variables con n = 1. En este casoexistirán 4 combinaciones, es decir, el número de condiciones iniciales para el problema deoptimización será de 4. Éstas serán:

C3 T0 T1 T2 δ∞ α∞ η1 η2 rp/RX ζ

30 2460675 2461725 2462775 0 180º 0,5 0,5 20 120º30 2460675 2461725 2462775 0 180º 0,5 0,5 20 240º60 2460675 2461725 2462775 0 180º 0,5 0,5 20 120º60 2460675 2461725 2462775 0 180º 0,5 0,5 20 240º

89


Tras iniciar el proceso de optimización desde las condiciones iniciales generadas por el al-goritmo B.1 y B.2, se ha observado que el primero necesita de un menor número de muestrasiniciales que el segundo para hallar los mismos mínimos. Debido a la aleatoriedad del algo-ritmo B.1, esta tarea se ha repetido varias veces, resultando siempre ser más rápido (menoscondiciones iniciales necesarias) que B.2.

90

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