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Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Aeroespacial

Diseño de una Práctica de Laboratorio

para el Estudio de la Caída Libre

Autor: Ignacio Franco Bernal

Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández

Dpto. Física Aplicada III

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Aeroespacial

Diseño de una Práctica de Laboratorio para el

Estudio de la Caída Libre

Autor:

Ignacio Franco Bernal

Tutor:

Antonio de la Cruz González Fernández

Profesor titular

Dpto. Física Aplicada III

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

Trabajo Fin de Grado: Diseño de una Práctica de Laboratorio para el Estudio de la Caída Libre

Autor: Ignacio Franco Bernal

Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2016

El Secretario del Tribunal

i

RESUMEN

Este TFG surge de la necesidad de mejora de una práctica de laboratorio para la asignatura Física I, impartida

en el primer curso de la mayoría de los grados de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad

de Sevilla.

La práctica en cuestión trata de obtener empíricamente el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie

terrestre, 𝑔 = 9,8(𝑚/𝑠2) aproximadamente, mediante la realización de un experimento sencillo y explicativo en

el que se anotan las mediciones de distancia y tiempo para un cuerpo que se acelera sometido al campo

gravitacional.

Esto, sin duda, se refiere a las bien conocidas experiencias de caída libre o de rodadura por un plano inclinado.

El estado inicial de la práctica constaba de un montaje para caída libre, el cual no producía un valor de 𝑔 con las

suficientes precisión y exactitud como para verificar el cumplimiento de la Ley de Caída Libre.

Así pues, evitando experimentos con características distintas a las mencionadas, se ha llevado a cabo este estudio

con el fin de realizar los cambios necesarios para obtener unos mejores resultados. Se tratan tanto desde un punto

de vista experimental como teórico.

Partiendo del estado inicial, se procedió primero a implementar mejoras al montaje existente de caída libre,

aportando robustez e intentando evitar toda fuente de incertidumbre. A su vez, y para comprobar que los cambios

hubieran sido productivos, se amplió el abanico de opciones variando distintos parámetros para tener una

casuística con la que afinar más en el diseño. Aunque se advirtió una mejora notable, aún no cumplía las

perspectivas iniciales, y se optó por desarrollar desde cero una nueva experiencia, la rodadura de una esfera por

un carril inclinado.

Este fue el experimento con el que Galileo obtuvo sus importantes resultados sobre la aceleración de la gravedad,

por lo que pareció lógico intentar emular sus ensayos. Además, por la misma razón de ser de la práctica (con

carácter docente) esta opción ganó fuerza. Sin embargo, después de realizar distintas pruebas, los resultados

dejaron bastante que desear. La razón de esto es que los modelos teóricos utilizados para analizar los datos eran

demasiado ideales para lo que de verdad se estaba ensayando, que comprendía multitud de efectos indeseados e

insalvables. Después de esto, se desestimó la opción del plano inclinado como práctica de la asignatura,

quedando como definitiva la experiencia de caída libre.

Sin haber llegado a cumplir los objetivos iniciales, este trabajo puede servir como punto de partida para nuevos

intentos de mejora de esta práctica, sencilla a simple vista, pero de complejo perfeccionamiento.

ii

ÍNDICE

Resumen .................................................................................................................................................................. i

Índice ...................................................................................................................................................................... ii

Índice de Figuras .................................................................................................................................................. iv

Índice de Tablas .................................................................................................................................................... v

1 Introducción .................................................................................................................................................. 1 1.1. Punto de Partida ....................................................................................................................................... 2 1.2. Alcance .................................................................................................................................................... 3

2 Marco Teórico ............................................................................................................................................... 5 2.1. La Gravedad ............................................................................................................................................ 5

2.1.1. Experimentos de Galileo ....................................................................................................................... 6 2.1.2. Gravimetría general .............................................................................................................................. 8

2.2. Análisis de Datos ................................................................................................................................... 10 2.2.1. Teoría de Errores ................................................................................................................................. 10 2.2.2. Estadística ........................................................................................................................................... 12 2.2.3. Mínimos Cuadrados ............................................................................................................................ 13 2.2.4. Ajustes de Regresión Lineal ............................................................................................................... 14

3 Práctica de Caída Libre ............................................................................................................................. 17 3.1. Trabajo en el Laboratorio ...................................................................................................................... 17 3.2. Montaje Inicial....................................................................................................................................... 18

3.2.1. Componentes....................................................................................................................................... 19 3.2.2. Fundamento, Realización y Resultados .............................................................................................. 21 3.2.3. Conclusiones al Montaje Inicial ......................................................................................................... 25 3.2.4. Tipos de Análisis ................................................................................................................................. 25

3.3. Montaje Final......................................................................................................................................... 30 3.3.1. Mejoras Implementadas al Montaje ................................................................................................... 30 3.3.2. Ajuste y Toma de Datos...................................................................................................................... 33 3.3.3. Análisis y Resultados .......................................................................................................................... 35 3.3.4. Nuevas Mediciones y Resultados ....................................................................................................... 40 3.3.5. Conclusiones al Montaje Final ........................................................................................................... 41

3.4. Práctica Curso 2015-16 ......................................................................................................................... 42 3.5. Conclusiones a la Caída Libre ............................................................................................................... 43

4 Práctica de Plano Inclinado ....................................................................................................................... 45 4.1. Análisis del Problema ............................................................................................................................ 46

4.1.1. Hipótesis Generales y Sistema Ideal................................................................................................... 47 4.1.2. Presentación del Problema Completo ................................................................................................. 48 4.1.3. Modelo 1. Sistema Conservativo ........................................................................................................ 50 4.1.4. Modelo 2. Sistema No Conservativo .................................................................................................. 54

4.2. Realización Inicial ................................................................................................................................. 57 4.2.1. Alternativas ......................................................................................................................................... 57 4.2.2. Descripción del Montaje ..................................................................................................................... 59 4.2.3. Análisis de Datos y Resultados ........................................................................................................... 61

4.3. Montaje Mejorado ................................................................................................................................. 67 4.4. Conclusiones al Plano Inclinado ........................................................................................................... 69

iii

5 Conclusiones ................................................................................................................................................ 71

Anexos .................................................................................................................................................................. 73 Anexo I. Breve Historia del Concepto de Gravedad ....................................................................................... 73 Anexo II. Enunciado, Resolución y Tipos de Análisis de la Práctica Original ............................................... 78

AII.1. Enunciado........................................................................................................................................... 78 AII.2. Resolución .......................................................................................................................................... 81 AII.3. Tipos de Análisis ................................................................................................................................ 83

Anexo III. Información Sobre las Herramientas de Cómputo Utilizadas ....................................................... 95 AIII.1. Calculadora ....................................................................................................................................... 95 AIII.2. MatLab .............................................................................................................................................. 96 AIII.3. Excel ............................................................................................................................................... 102

Anexo IV. Enunciado y Boletín de la Práctica del Curso 2015-16 ............................................................... 104

Referencias ........................................................................................................................................................ 112

Bibliografía ........................................................................................................................................................ 113

iv

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Montaje Inicial ..................................................................................................................................... 3 Figura 2.1. Recreación del Experimento de Galileo .............................................................................................. 7 Figura 2.2. Balanza de Torsión ............................................................................................................................... 9 Figura 2.3. Geoide. Modelo Gravitatorio Terrestre ............................................................................................. 10 Figura 2.4. Accuracy & Precision ........................................................................................................................ 12 Figura 2.5. Campana de Gauss ............................................................................................................................. 13 Figura 3.1. Base, Abrazadera y Barra Soporte ..................................................................................................... 19 Figura 3.2. Regla, Cursores y Base ...................................................................................................................... 19 Figura 3.3. Electroimán, Interruptor y Fuente ...................................................................................................... 20 Figura 3.4. Célula Fotoeléctrica y Cronómetro .................................................................................................... 21 Figura 3.5. Esferas, Conectores y Caja Receptora ............................................................................................... 21 Figura 3.6. Puntos Experimentales y Recta de Mejor Ajuste, Montaje Inicial.................................................... 25 Figura 3.7. Simplificación en la Definición de Incertidumbre............................................................................. 26 Figura 3.8. Regresiones de los Tipos de Análisis................................................................................................. 29 Figura 3.9. Bomba de Vacío para Tubo de Vacío ................................................................................................ 30 Figura 3.10. Cronómetro 4-4 ................................................................................................................................ 31 Figura 3.11. Base Soporte Más Robusta .............................................................................................................. 31 Figura 3.12. Montaje con Mejoras Implementadas .............................................................................................. 32 Figura 3.13. Selección de Modo del Cronómetro ................................................................................................ 33 Figura 3.14. Nivelación y Ajuste de Distancias entre Sensores ........................................................................... 33 Figura 3.15. Diferencia Flancos de Bajada y Subida ........................................................................................... 36 Figura 3.16. Regresiones Esfera Grande. Montaje Final ..................................................................................... 37 Figura 4.1. Casuística de Estudio ......................................................................................................................... 45 Figura 4.2. Esquema Básico Plano Inclinado ....................................................................................................... 47 Figura 4.3. Fuerzas y Geometría del Sistema ....................................................................................................... 48 Figura 4.4. Esquema General Plano Inclinado ..................................................................................................... 49 Figura 4.5. Rozamiento Seco Estático y Dinámico.............................................................................................. 52 Figura 4.6. Función de la Geometría del Par Carril-Esfera .................................................................................. 53 Figura 4.7. Esquema del Efecto Magnus .............................................................................................................. 57 Figura 4.8. Tipos de Perfil .................................................................................................................................... 58 Figura 4.9. Estructura Soporte Ideal ..................................................................................................................... 58 Figura 4.10. Estructuras Alternativas ................................................................................................................... 59 Figura 4.11. Plataforma Elevadora Articulada ..................................................................................................... 59 Figura 4.12. Esquema Primera Realización Plano Inclinado ............................................................................... 60 Figura 4.13. Esferas Utilizadas en la Realización Inicial ..................................................................................... 60 Figura 4.14. Comparación de Regresiones, Primer Montaje de Plano Inclinado ................................................ 63 Figura 4.15. Comparación de Repeticiones, Primer Montaje de Plano Inclinado............................................... 63 Figura 4.16. Resultados de la Resolución de Sistemas por Matriz Inversa ......................................................... 64 Figura 4.17. Variación de Aceleración Lineal con Velocidad Lineal.................................................................. 66 Figura 4.18. Resultados de la Regresión Final: g y c ........................................................................................... 67 Figura 4.19. Comparación Posición de Lanzamiento y Repeticiones. g ............................................................. 68 Figura AI.1. Elementos y Capas del Universo Según Aristóteles ....................................................................... 73 Figura AI.2. Método de Eratóstenes ..................................................................................................................... 74 Figura AI.3. Validación Modelo Heliocéntrico ................................................................................................... 75 Figura AI.4. Razonamiento Deductivo de Galileo ............................................................................................... 75 Figura AI.5. Lente Gravitacional .......................................................................................................................... 77 Figura AII.1. Puntos Experimentales y Recta de Mejor Ajuste, Montaje Inicial ................................................ 82 Figura AIII.1. MatLab Runtime ........................................................................................................................... 97 Figura AIII.2. Ejemplo Real Statistics................................................................................................................ 103

v

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3.1. Mediciones Montaje Inicial ................................................................................................................ 23 Tabla 3.2. Cálculo de Medias e Incertidumbres. Montaje Inicial........................................................................ 24 Tabla 3.3. Resultados Montaje Inicial ................................................................................................................. 24 Tabla 3.4. Resultados por Distintos Análisis. Montaje Inicial ............................................................................ 27 Tabla 3.5. Características de las Tres Esferas ...................................................................................................... 34 Tabla 3.6. Medias de las Mediciones Nuevo Montaje ........................................................................................ 34 Tabla 3.7. Resultados Práctica 2015-16 ............................................................................................................... 43 Tabla 4.1. Datos de las Esferas Utilizadas ........................................................................................................... 61 Tabla 4.2. Comparación Cálculo de “g” con Valores Medios y Media de “g” Individual ................................. 65 Tabla AII.1. Medias, Cuadrados e Incertidumbres en los Tiempos .................................................................... 81 Tabla AII.2. Resultados Montaje Inicial .............................................................................................................. 82 Tabla AIII.1. Tipos de Cálculos Estadísticos ....................................................................................................... 95 Tabla AIII.2. Variables Estadísticas Útiles .......................................................................................................... 96

1

1 INTRODUCCIÓN

En el ámbito de la Ingeniería, una parte fundamental del desarrollo y el aprendizaje es, sin duda alguna, la

experimentación. Pues qué es la Ingeniería sino, en pocas palabras, aplicar conocimiento y técnica a la resolución

de cuestiones a las que se enfrenta el ser humano en su continuo trato con el mundo que le rodea para subsistir

y crecer de la mejor forma posible.

Para hacer Ingeniería, por tanto, resulta imprescindible comprender los sucesos observables en el entorno hasta

ser capaces de utilizarlos para lograr el fin perseguido. Esto se consigue de la mano de la ciencia fundamental

por excelencia, la Física. En el vasto alcance de esta ciencia, uno de los pilares fundamentales es el estudio de

las fuerzas presentes en la naturaleza, entre las que se encuentra la fuerza de atracción gravitatoria.

Pues bien, este Trabajo Fin de Grado pretende servir de ayuda a la enseñanza de los conocimientos que, desde

hace siglos, se vienen gestando en relación a esta interacción. Y no se hará de otra forma que intentando emular

o reproducir los experimentos iniciales con los que comenzó esta búsqueda de fundamento. Se tomarán como

modelos los realizados por Galileo: la caída libre de objetos y la rodadura por un plano inclinado.

Pero, ¿por qué estancar la expansión del conocimiento con métodos y herramientas “obsoletos”? Es cierto que

hoy día el resultado de esta práctica está más que superado (obtener un valor de la intensidad del campo

gravitatorio en la superficie terrestre de aproximadamente 𝑔 = 9,80665(𝑚/𝑠2)), aunque también es cierto que

no se han llegado a discernir ni el origen ni todas las propiedades de esta fuerza. Además, dado que tienen

carácter educativo, estos “simples” montajes representan la mejor manera de convencer al ensayador (el alumno)

de la validez del hallazgo más notable en este contexto, la Ley de Gravitación Universal, haciendo ver que la

teoría se corresponde con los datos medidos.

En este entorno docente la práctica de caída libre puede ser el experimento más extendido en el mundo (quizás

seguido de cerca por el uso de planos inclinados o péndulos) y, cómo no, constituye una de las prácticas

obligatorias habituales para los Grados de Ingeniería de la ETSI de Sevilla, en la asignatura Física I impartida

por el departamento de Física Aplicada III.

El montaje sobre el cual los alumnos realizaban la práctica de caída libre con el fin de hallar, de una forma

sencilla y visual, el valor de la aceleración de la gravedad tenía inicialmente unas características que no

favorecían este fin de una forma exacta.

En los subapartados de este capítulo de introducción se hablará sobre dichas características con el fin de dar una

visión global del estado inicial del experimento y de los posibles cambios y mejoras a implementar para

conseguir la máxima exactitud posible en los resultados sin perder la esencia de esta práctica, que es servir de

herramienta para demostrar un fenómeno físico. Por esto último se descartan, incluso antes de comenzar, todos

aquellos montajes en los que intervengan elementos que hagan perder esta sencillez característica de la caída de

cuerpos por efecto de la gravedad, ya sea en caída libre o rodando sobre un plano inclinado.

Todos los elementos usados para la realización de la práctica son del mismo fabricante, PHYWE Systeme

GmbH & Co. KG ®, proveedor habitual de material de laboratorio en diversos campos para la ETSI de Sevilla.

No obstante todo lo anterior, otra gran parte de este trabajo consistirá en el estudio de la parte teórica de la

experimentación; de la mano de la herramienta para la Física por antonomasia, la Matemática.

Creo que en la discusión de los problemas naturales, deberíamos

comenzar no con las escrituras, sino con experimentos y demostraciones.

-Galileo Galilei-

Diseño de una Práctica de Laboratorio para el Estudio de la Caída Libre

2

Y es que, en la mayoría de los casos, resulta prácticamente inviable asegurar que lo que se ejecuta en un ensayo

es realmente lo que se pretende ejecutar. Esto es, aplicado al caso de los experimentos tratados, resulta imposible

eliminar los efectos adversos que alteran las mediciones y, en consecuencia, los resultados. Tampoco resulta

realista pretender medirlos para su posterior procesado.

Por ello, el capítulo 2 de esta memoria se centra en esta parte teórica que resulta crucial para obtener modelos

matemáticos que, en cierta medida, reduzcan o mitiguen la sensibilidad de los resultados buscados a estos efectos

indeseados. Este capítulo se inicia con una introducción a la gravedad y a los distintos métodos que

históricamente se han desarrollado para su estudio.

Una vez hecha la puesta en situación del entorno histórico y teórico del proyecto, se presenta el capítulo 3 con

el completo desarrollo del experimento de caída libre. Se comienza con un estudio del montaje inicial (con el

que hasta el comienzo de este TFG se desarrollaba la práctica), continuando con el montaje surgido de las

mejoras implementadas (llamado montaje final) y se culmina con los resultados y conclusiones a la realización

de la práctica por parte de los alumnos del curso 2015-16.

El capítulo 4, dedicado a la práctica de plano inclinado, parte desde cero en su desarrollo pues este montaje

presenta a priori más problemas (o factores a tener en cuenta) que el de caída libre. Esto resulta evidente si se

contabilizan los posibles efectos adversos antes mencionados, y se comparan con los presentes en la caída libre.

Se detallan a continuación los dos montajes llevados a cabo, uno inicial y poco robusto, y otro mejor preparado.

Los resultados de esta experiencia se detallan en la última parte.

Para terminar con la memoria, en el capítulo 5 se determinan las conclusiones generales del proyecto, valorando

cada uno de los experimentos ensayados y estudiados; y eligiendo el definitivo para ocupar el puesto en las

prácticas obligatorias de la asignatura.

1.1. Punto de Partida

La propuesta de este TFG surgió de la necesidad de mejorar el montaje existente de la práctica. Esta necesidad

se debía principalmente a que, aun siendo lo más meticulosos posible al realizar la práctica, se obtenía un valor

de la aceleración de la gravedad de aproximadamente 𝑔 = 10,8 ± 1,7 (𝑚/𝑠2). No existía una única fuente de

incertidumbre para tan errado resultado, sino que se debían identificar y solucionar varios factores que lo

provocaban. A continuación se describirá básicamente el montaje inicial, que mediante caída libre pretende

hallar el valor de g, haciendo hincapié en las características relacionadas con estas fuentes de incertidumbre.

El montaje inicial para la práctica de caída libre consiste en un conjunto de piezas entre las que se encuentran

una barra soporte fijada a una base pesada apoyada sobre el suelo, en esta barra se afianzan otros componentes

como el electroimán y los sensores fotoeléctricos. Será la separación entre los dos últimos la que determine la

distancia recorrida por la bola al caer, ya que uno está situado justo debajo del electroimán y el otro a la distancia

que se requiera. También se encuentra una regla graduada de 1(𝑚) de longitud con su propia base situada justo

al lado de la anterior para medir la mencionada distancia. Por último, se tiene un contador digital, un interruptor

y una fuente de alimentación para todo el sistema. Todo esto puede apreciarse de forma ilustrativa en la Figura

1.1, sin embargo, no aparecen representados todos los cables necesarios para unir estos componentes, lo cual

supone una considerable maraña que puede obstaculizar o dificultar el progreso de la práctica.

Se empieza por lo más obvio, la exactitud en la medida de la distancia entre sensores o, lo que es lo mismo, la

precisión a la hora de fijar los puntos en los que comenzará y finalizará la cuenta del tiempo de caída. Esto

constituye una incertidumbre aleatoria debido a dos razones principales; la primera es que la regla tomará una

posición relativa al resto del montaje distinta en cada realización del experimento (ya que no está unida

solidariamente al resto del conjunto), y la segunda y más notoria es el hecho de que cada alumno hará medidas

a seis distancias distintas, moviendo el sensor inferior para cada una haciendo uso únicamente de la regla y de

su destreza visual.

La segunda gran fuente de incertidumbre presente en el procedimiento va de la mano con el fundamento teórico

y las simplificaciones realizadas al tratar los datos; para obtener el valor de g se suponen un desplazamiento y

una velocidad iniciales nulos para así obtener 𝑔 = 2𝑠 𝑡2⁄ . Con un montaje ideal no habría problemas, aunque

tanto en el inicial como en los sucesivos será un hito prácticamente insalvable el conseguir empezar la cuenta

del tiempo justo en el instante en que la bola empiece a caer, es decir, cuando la velocidad de la misma sea cero.

Capítulo 1. Introducción

3

Esto Implica que tampoco se asegura un recorrido inicial nulo.

Estos dos aspectos constituyen incertidumbres aleatorias, es decir, no pueden detectarse y corregirse a priori.

Cambiando las características del montaje y usando diferentes modos de análisis de datos podría conseguirse

limitarlas a incertidumbres “sistemáticas” en cierto modo, en el sentido de advertir patrones de error.

Los anteriores constituyen los principales bloques de incertidumbre a mitigar o, al menos, a reducir al máximo

posible en el experimento de la práctica. Sin embargo, no pueden olvidarse otros tipos existentes tales como los

introducidos por la precisión de los instrumentos de medida utilizados, la fuerza de rozamiento que experimenta

la bola con el aire al caer, el campo magnético residual del electroimán o la conservación de la verticalidad en

la disposición de los sensores. Todos estos corresponden a incertidumbres aleatorias que, en principio, no podrán

corregirse; aunque en comparación con las primeras pueden resultar despreciables, como se verá más adelante.

1.2. Alcance

Dado que el objetivo de este TFG es conseguir un montaje que permita la obtención de 𝑔 de forma sencilla,

eficaz y didáctica, el alcance de este proyecto será precisamente dejar en perfecto funcionamiento el montaje en

el laboratorio y el resto de material necesario para la realización de la práctica; como el correspondiente boletín,

material de apoyo y herramientas informáticas.

No será estrictamente necesario lograr un valor de la aceleración de la gravedad exactamente igual a 𝑔 =

9,80665 (𝑚/𝑠2), entre otras razones porque, aunque sea este el valor estándar, no tiene por qué ser el valor

exacto en el punto de la Tierra donde se realizará la práctica; aunque en nuestro caso, en el laboratorio, es bastante

parecido.

Además de alcanzar un valor de g más próximo al real, otro objetivo principal del proyecto es que el experimento

resultante sea robusto, esto es, permita que con un trato cuidadoso en mayor o menor medida se consiga este

valor final en cada realización de la experiencia. Este aspecto es clave, pues cada día realizarán esta práctica

multitud de alumnos que no necesariamente han de tener gran soltura en el laboratorio.

Para cumplir con estos objetivos se desarrollarán dos experimentos distintos, uno de caída libre y otro de

rodadura por un plano inclinado, para así tomar como definitivo el que mejor cumpla las expectativas

mencionadas. Se intentará aprovechar todo el material posible del anterior montaje y no emplear más

Figura 1.1. Montaje Inicial


4

componentes adicionales de los necesarios, intentando no incurrir en gastos extras.

En cuanto a las herramientas informáticas para el análisis de datos y obtención de resultados se intentará obtener

una aplicación independiente de interfaz clara y amigable con la única funcionalidad de presentar los resultados

adecuados para una determinada entrada de datos. Hasta ahora esto se llevaba a cabo mediante una hoja Excel

que calculaba la recta de regresión con todos sus parámetros para dos variables o vectores de entrada de datos.

Se valorará esta posibilidad durante el desarrollo del proyecto, si bien no tendrá por qué ser la solución final para

la herramienta que complemente la práctica.

5

2 MARCO TEÓRICO

ste apartado pretende recoger de manera estructurada todos los aspectos teóricos en los que se basan unas

prácticas experimentales como son las de caída libre o rodadura por un plano inclinado para la obtención del

valor de la aceleración de la gravedad. Se comenzará por asuntos de índole más genérica y se irá particularizando

hasta la aplicación objeto de este documento.

Se abordarán temas variados tales como una definición y breve introducción a la gravedad como una de las

interacciones fundamentales de la naturaleza y las principales teorías de la física que la involucran. También se

plantearán los métodos de medida, modelos y valores aceptados de la gravedad.

Después de esta temática general y para finalizar el capítulo, se ahondará en lo que supone la parte teórica más

importante de este proyecto, el análisis y tratamiento de datos y resultados experimentales. Esto vendrá muy

ligado a la Teoría de Errores, la cual también se discutirá, pues resulta indispensable controlar los niveles de

incertidumbre que se dan en una experiencia como la tratada.

2.1. La Gravedad

El término “gravedad”, del latín “gravitas”, hace referencia a una de las interacciones fundamentales de la

naturaleza por la cual los cuerpos con masa se atraen dando lugar a una aceleración, en términos generales. Es

también llamada “interacción gravitatoria” o “gravitación”.

Su entendimiento y explicación pueden abordarse desde múltiples puntos de vista que, históricamente, han ido

y siguen surgiendo a partir de fenómenos físicos, en principio, independientes entre sí. Es por ello que tratar de

dar aquí una visión global de esta “fuerza” resulta una ardua tarea.

La forma más amena de hacerlo es repasar las distintas teorías que, a lo largo de la historia, han intentado definir

de forma unívoca la gravedad, siguiendo así el hilo del razonamiento del ser humano en el eje temporal. A

continuación se hará referencia sólo a las leyes que resultan de aplicación al caso, dejando un breve resumen

histórico en el Anexo I.

Teorías cosmológicas aparte, puede decirse que aún no se ha llegado a desentrañar el comportamiento ni el

origen de esta fuerza en el nivel máximo de entendimiento. Hasta que no se disponga de una “Teoría del Todo”

que lo consiga se debe estudiar la gravedad particularizando las condiciones, esto es, acotando los rangos de las

magnitudes que pueden intervenir. Para el caso del experimento entre manos basta con aplicar la “Ley de

Gravitación Universal” cuyo resultado se admite, bajo nuestro rango de percepción sensorial, exacto.

1 2

2(2.1)

m mF G u

r

Se particulariza además para sólo dos masas 𝑚1 y 𝑚2, respectivamente la Tierra y la esfera que es lanzada, ya

sea en caída libre o rodando por un plano inclinado. Puede aplicarse una simplificación a la variable distancia

entre centros de gravedad de ambos cuerpos 𝑟, que es la suma del radio terrestre (unos 6370(𝑘𝑚)), el radio de

la esfera (alrededor de 1(𝑐𝑚)) y la altura de ensayo del experimento desde el suelo, la superficie terrestre, (sobre

E

Uno no puede discutir con un teorema matemático.

-Stephen Hawking-


6

1(𝑚)). Despreciando los dos últimos términos, la distancia queda como una constante.

Así, y con el valor conocido de 𝐺, se obtiene el valor constante aceptado para la aceleración gravitatoria media

en la superficie terrestre en la expresión (2.2). Obtener este valor será el objetivo a perseguir durante la

realización de este proyecto; para saber cómo hacerlo se presentan los siguientes subapartados.

2(2.2) 9.80665 ( / )g m s

2.1.1. Experimentos de Galileo

Este punto se centra en describir los primeros experimentos cuyo objetivo era el de medir la aceleración de la

gravedad y que dieron pie a experiencias posteriores más finas. Estos primeros pasos pueden reducirse a la

aportación del, por muchos considerado, “padre de la ciencia moderna”, Galileo. Se recomienda leer el Anexo I

antes de continuar, ya que situará al lector en el contexto apropiado en cuanto al nivel de conocimiento de la

época.

Galileo Galilei (1564 - 1642) fue responsable de numerosas contribuciones a la ciencia que, en diferentes

ámbitos, han sido decisivas para llegar al nivel de entendimiento de la naturaleza que hoy es aceptado. Afinando

en el grueso de su trabajo hacia la temática tratada aquí, se expondrán los experimentos en que se apoyó para

enunciar sus teorías relativas a la aceleración de los cuerpos por efecto de la gravedad, concepto en aquel

entonces más filosófico que físico.

Huelga mencionar que, hasta el siglo XX inclusive, se han llevado a cabo recreaciones de los experimentos de

Galileo por parte de la comunidad científica, con el objetivo de comprobar si los resultados obtenidos por este

fueron o no plausibles, es decir, si tenían el suficiente rigor como para ser aceptados. Otro motivo de lo anterior

radica en la discusión abierta de si realmente Galileo llevó a cabo esos experimentos, ya que estos aparecen poco

detallados en su obra. Además, Galileo no utiliza los resultados de estos experimentos como base de sus

enunciados, más bien los da como prueba para validarlos. Esta forma de trabajo ha provocado siempre cierta

inseguridad, aunque hay que tener en cuenta que es uno de los personajes que contribuyó a la revolución

científica, siendo uno de los primeros en basarse en la experimentación para explicar la naturaleza.

El más conocido experimento de Galileo es el famoso lanzamiento de dos objetos de distinto peso (masa) desde

la torre inclinada de Pisa, aunque hoy en día no se tiene constancia de que este hecho en particular llegara a

producirse, es decir, no viene a ser más que una leyenda. Por este motivo, no será uno de los tres experimentos

que a continuación se comentan.

Movimiento de Proyectiles: Con estas experiencias, Galileo postuló que la trayectoria descrita por un

objeto al que se le imprime una aceleración en dirección distinta de la vertical, es una parábola. Pero más

importante que esto es que definió este movimiento como la composición de dos, uno uniforme en la

dirección del tiro y otro uniformemente acelerado hacia abajo por efecto de la gravedad. Sus conclusiones

supusieron un gran impacto al rebatir las teorías aristotélicas hasta entonces aceptadas.

Péndulos: Llegó Galileo a demostrar experimentalmente que el periodo de oscilación del péndulo es

independiente tanto de la amplitud de oscilación, como de la masa ensayada; siendo proporcional a la raíz

cuadrada de la longitud del cable. Observó que esto se cumplía con mayor exactitud cuando la amplitud

ensayada era mucho menor que la longitud del cable. Esto también fue un golpe a las teorías peripatéticas

que defendían que objetos de distinto peso caían a velocidades distintas.

Planos Inclinados: Estos fueron, sin duda, los experimentos de mayor influencia en el esclarecimiento

del efecto de la gravedad. Esto merece citar las palabras de Galileo en su obra “Consideraciones y

demostraciones sobre dos nuevas ciencias” – 1636, que describen el experimento y los resultados

obtenidos:

“En un listón o, lo que es lo mismo, en un tablón de una longitud aproximada de doce codos, de medio

codo de anchura, más o menos y un espesor de tres dedos, hicimos una cavidad o pequeño canal a lo

largo de la cara menor, de una anchura de poco más de un dedo. Este canal, tallado lo más recto posible,

se había hecho enormemente suave y liso colocando dentro un papel de pergamino lustrado al máximo.

Después, hacíamos descender por él una bola de bronce, dura, bien redonda y pulida.

Capítulo 2. Marco Teórico

7

Habiendo colocado dicho listón de forma inclinada, se elevaba sobre la horizontal una de sus

extremidades, hasta la altura de uno o dos codos, según pareciera, y se dejaba caer (como he dicho), la

bola por dicho canal, tomando nota como en seguida he de decir del tiempo que tardaba en recorrerlo

todo. Repetimos el mismo experimento muchas veces para asegurarnos bien de la cantidad de tiempo y

pudimos constatar que no se hallaba nunca una diferencia ni siquiera de la décima parte de una

pulsación. Establecida exactamente esta operación, hicimos que esa misma bola descendiese solamente

por una cuarta parte de la longitud del canal en cuestión. Medido el tiempo de la caída, resulta ser

siempre, del modo más exacto, precisamente la mitad del otro. Haciendo después el experimento con otras

partes, bien el tiempo de la longitud completa con el tiempo de la mitad, con el de dos tercios, con el de

3/4 o con cualquier otra fracción, llegábamos a la conclusión, después de repetir tales pruebas una y mil

veces, que los espacios recorridos estaban entre sí como los cuadrados de sus tiempos. Esto se podía

aplicar a todas las inclinaciones del plano, es decir, del canal a través del cual se hacía descender la bola.

Observamos también que los tiempos de las caídas por diversas inclinaciones del plano guardan entre sí

de modo riguroso una proporción que es, como veremos después la que les asignó y demostró el autor.

En lo que a la medida del tiempo se refiere, empleamos una vasija grande llena de agua, sostenida a una

buena altura, que, a través de un pequeño canal muy fino, iba vertiendo un hilillo de agua, siendo recogido

en un vaso pequeño durante todo el tiempo en que la bola descendía, bien por todo el canal o sólo por

alguna de sus partes. Se iban pesando después en una balanza muy precisa aquellas partículas de agua

recogidas del modo descrito, con lo que las diferencias y proporciones de los pesos nos iban dando las

diferencias de los tiempos. Ocurría esto con tal exactitud que, como he indicado, tales operaciones,

repetidas muchísimas veces, jamás diferían de una manera sensible.”

Como se intuye, la principal traba sufrida por Galileo fue la exactitud en la medida del tiempo, la cual

resolvió ingeniosamente con su “reloj de agua”, aunque también utilizó péndulos e incluso su instrucción

en materias musicales para la medida del tiempo. Esta dificultad es la razón por la que Galileo no desarrolló

sus teorías con la experiencia de la caída libre, aceptando que al resolver el caso de la rodadura por un

plano inclinado se resolvía también el de la caída libre, argumento que también tropezaba con la física

aristotélica.

Desde entonces se ha emulado numerosas veces este experimento, intentando calcarlo de sus libros y notas

tal cual lo desarrolló Galileo (aunque su descripción no resulta exhaustiva: tamaño de la esfera, forma del

canal, etc.), y dando unos resultados equiparables a los mencionados por el autor. En la Figura 2.1 se

observa un ejemplo de estas recreaciones.

Figura 2.1. Recreación del Experimento de Galileo


8

La fórmula que hoy en día se utiliza para el cálculo de g mediante la medida del tiempo en el recorrido

de cierta distancia en caída libre no vio la luz hasta el desarrollo del Cálculo Diferencial, sin embargo,

Galileo ya dio una expresión para ella, en la cual usaba una serie, la suma de números impares

consecutivos, para contabilizar el espacio recorrido por cada unidad temporal, es decir,

proporcionalmente al tiempo al cuadrado.

(2.3)

(1) 1

(2) (1 3) 4

(3) (1 3 5) 9

...

x C

x C C

x C C

2( )x t t C 2 1

0 0 2( )x t x t v t g

Después de esta breve descripción de los estudios de Galileo puede reafirmarse que el experimento objeto de

este proyecto no supone ningún reto de investigación, sólo consiste en mejorar un procedimiento del siglo XVI

aprovechando el desarrollo de las herramientas de que se dispone hoy día, que es tal que permite obtener

resultados concluyentes con la caída libre. Obviamente el objetivo perseguido aquí no es el mismo que el de

Galileo, pues en aquel entonces, ni siquiera existía el concepto de “fuerza” que hoy entendemos, y menos aún

su definición como magnitud medible.

2.1.2. Gravimetría general

Las primeras medidas del valor numérico de la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre fueron

realizadas usando el péndulo simple. Ya Galileo descubrió que, siempre y cuando la amplitud de oscilación

fuese muy inferior a la longitud del hilo, el periodo de oscilación del péndulo era independiente de su amplitud,

aunque sí dependía de la longitud del hilo. Huygens también profundizó años después en el estudio de los

péndulos (construyó el primer reloj de péndulo); después de esta época ya sabía determinarse la fórmula del

periodo del péndulo (para pequeñas oscilaciones) a partir de las ecuaciones del movimiento, de Newton y

Lagrange, de donde puede obtenerse de forma directa el valor de g sin más que medir la longitud del cable del

péndulo y su periodo.

(2.4) 2L

Tg

2

24

Lg

T

Para reducir el nivel de incertidumbre debido a la imprecisión en la propia realización del experimento puede

repetirse varias veces para distintas longitudes del hilo.

El péndulo ha constituido el método principal en gravimetría durante siglos; tanto es así, que hoy día puede ser

el experimento de laboratorio (a nivel docente) más extendido después de la caída libre con el fin de calcular 𝑔.

De hecho, constituye otro de los montajes existentes en el laboratorio de Física de la ETSI, en el que los alumnos

deben realizar varias repeticiones de la experiencia midiendo la longitud del cable y el periodo de oscilación.

Aun persiguiendo el mismo fin, la naturaleza de ambos experimentos es distinta y la bondad de los resultados

se verá influida por muy diversos factores en cada caso, por lo que no puede juzgarse a priori cuál de ellos será

más favorable. Aunque no hay que olvidar que el verdadero fin es el educativo, que si comparten.

Una vez conocida la Ley de Hooke, otro aparato utilizado ampliamente para la medida de la aceleración del

campo gravitatorio terrestre fue lo hoy conocido como gravímetro relativo que, en sus inicios, consistía en colgar

una masa conocida de un resorte, en principio ideal, y obtener g midiendo su elongación.

(2.5) ;k x

F k x P m g gm

El problema residía en conocer de forma exacta el valor de la constante elástica del resorte en cuestión y, una

vez superado esto, asegurar un comportamiento lo suficientemente ideal en las deformaciones del muelle.

Resultó una gran mejora la invención de los resortes de longitud cero, usados ampliamente en gravimetría desde

1934 hasta el diseño de los gravímetros basados en las propiedades superconductoras de algunos materiales,

con exactitudes del orden del nGal (nanogal). El gal es la unidad de medida de la aceleración en el Sistema

Cegesimal de Unidades (CGS: centímetro, gramo y segundo) desarrollado por Gauss y prácticamente sustituido

por el Sistema Internacional de Unidades, excepto en algunos campos muy concretos en los que se mantiene.

1(𝐺𝑎𝑙) equivale a 1(𝑐𝑚/𝑠²), por lo que una precisión de 1(𝑛𝐺𝑎𝑙) resulta más que suficiente en gravimetría.


9

La siguiente experiencia que históricamente llevó al cálculo de 𝑔 fue la caída libre. Va en tercer lugar debido a

que cuando dio resultados aceptables fue cuando se desarrollaron herramientas capaces de medir el tiempo con

un nivel de precisión suficiente, de hecho, fue el péndulo la herramienta que durante muchos años fue usada

para este fin, medir 𝑔, y como soporte en todo el desarrollo de la Geodesia desde sus inicios.

Otro artefacto para medir la aceleración del campo gravitatorio es la balanza de torsión, ideada por John Michell

y mejorada por Cavendish. Básicamente se mide el ángulo girado por una varilla horizontal en cuyos extremos

había esferas pesadas pequeñas, de masa conocida. Este giro estaba provocado por la interacción gravitatoria de

esas primeras esferas con otras dos de masa mayor y también conocida. En otras palabras, se mide el par estático

de torsión del alambre del que colgaba la varilla, a través de su ángulo girado. El esquema de la Figura 2.2 resulta

bastante explicativo.

Loránd Eötvös realizó un diseño distinto de la balanza de torsión con el que consiguió probar la coincidencia de

los conceptos de masa inercial y masa gravitatoria, lo cual ya se sospechaba pero aún no se había probado con

la seguridad suficiente. Además, con ella pudo medir otras cosas, como la componente horizontal del campo

gravitatorio local 𝑔. Las balanzas de torsión siguen siendo útiles a día de hoy en diversos experimentos físicos.

Relacionando las masas de las esferas mencionadas y los ángulos medidos, Cavendish consiguió estimar la

densidad terrestre, de donde se obtiene de forma implícita el valor de la constante de gravitación universal.

2

3(2.6)

4

Tierra

Tierra Tierra Tierra

R gG g

M R

Durante todo el siglo XIX y primera mitad del XX se desarrollaron modelos de gravedad en superficie con una

precisión no muy alta, aunque suficiente para detectar las variaciones en la intensidad frente a cambios de altitud,

latitud e incluso atmosféricos. Gracias a las medidas de los diferentes artefactos llamados gravímetros o

gravitómetros que han ido evolucionando, en conjunto con el conocimiento del resto de efectos que intervenían

al valor de la gravedad local, se desarrollaron modelos de lo actualmente definido como “geoide”, que es el

cuerpo de forma casi esférica (achatado por los polos, casi un esferoide) que representa la superficie

equipotencial del campo gravitatorio terrestre. Se toma como geoide el más aproximado a la superficie media

de los océanos. Su obtención consiste en cartografiar los valores de 𝑔 alrededor de la superficie del planeta (o

de un área determinada, por ejemplo un país) haciendo mediciones cada cierta distancia cubriendo todo el área

objeto de estudio. Puede verse un ejemplo de geoide adelantando a la Figura 2.3.

Con la llegada de la electrónica digital y la evolución en las comunicaciones se ha conseguido perfeccionar estas

técnicas hasta el punto en que los instrumentos de medida de 𝑔 van a bordo de satélites que orbitan alrededor

del globo (lo que plantea muchos más problemas técnicos que hacerlo en tierra) consiguiendo unos modelos de

geoide tan precisos que se es capaz de detectar el impacto de un copo de nieve en la superficie.

El satélite GOCE de la ESA (Agencia Espacial Europea), lanzado en 2009 y cuya misión finalizó en 2013

reentrando en la atmósfera y desintegrándose, ha sido la herramienta que ha permitido obtener el modelo de

geoide más preciso hasta el momento. Esta precisión se debe principalmente a dos factores, la muy baja altitud

de su órbita y la tecnología de sus seis acelerómetros y sistema de corrección de perturbaciones embarcados; se

consigue afinar hasta 1(𝑚𝐺𝑎𝑙), lo que equivale a 1 − 2(𝑐𝑚) de altura en la superficie del geoide.

Figura 2.2. Balanza de Torsión


10

En la Figura 2.3 se muestran los gradientes de gravedad en una escala de colores (en mGal) a la izquierda, y la

forma que tendría la Tierra si fuese un inmenso océano cuya dinámica sólo se viese afectada por el campo

gravitatorio representando una superficie equipotencial, a la derecha.

Además de proporcionar el mejor modelo geopotencial en la historia, la precisión que ha aportado conlleva

multitud de aplicaciones de los resultados en distintos ámbitos de investigación científica acerca del planeta; por

ejemplo, en la dinámica de mareas y corrientes oceánicas, en estudios sobre el calentamiento global, puede servir

para encontrar fuentes de energía subterráneas e incluso detectó ondas de variación en la densidad atmosférica

provocadas por el terremoto de Japón en marzo de 2011, convirtiéndose así en el primer sismógrafo embarcado

en un satélite y pudiendo ser la fuente de información necesaria para el posible desarrollo de herramientas de

predicción de estos fenómenos naturales.

Como conclusión a este apartado puede decirse que hoy en día se dispone de una tecnología tal, que los

experimentos que se desarrollan en este proyecto no pueden tener otro objetivo que el docente, ya que todo

resultado que se obtenga, por muy cercano a los reales que sea, tendrá un nivel de incertidumbre que impide

siquiera compararlos con los valores actuales. Sin embargo, estas experiencias son la forma más intuitiva de

percibir el efecto de la gravedad para las personas y, a la vez, de poder explicar y entender sus características

básicas.

2.2. Análisis de Datos

En el apartado 3.1 del siguiente capítulo se dan exhaustivas indicaciones de cómo ha de llevarse a cabo la

realización del experimento para obtener unos datos lo más fiable posible. Admitiendo lo anterior, se admiten

como válidos y se procede a su análisis para la obtención de los resultados perseguidos. Esto no significa que

las mediciones no contengan incertidumbre, sino que se ha hecho todo lo posible para disminuirla.

Así, este apartado pretende dar las nociones necesarias sobre análisis de datos experimentales, razonándolas,

para poder calcular la incertidumbre de una forma fundamentada. Para ello se hará uso de herramientas

estadísticas y de resultados empíricos ampliamente utilizados. No se profundizará más de lo necesario en el

origen y desarrollo de todo lo anterior.

2.2.1. Teoría de Errores

En el ámbito de la Física y las Matemáticas, el DRAE define error como la “diferencia entre el valor medido o

calculado y el real”, poniendo de manifiesto las dos posibles maneras de obtener un error, típicamente indeseado.

Otra definición interesante es la de incertidumbre, que es la “falta de certidumbre” o certeza: “conocimiento

seguro y claro de algo, sin temor a errar”. Esta última, particularizada a la experimentación en materia de Física,

será el término que se manejará en este apartado, cuya premisa inicial es que todo valor numérico resultado de

Figura 2.3. Geoide. Modelo Gravitatorio Terrestre


11

una medición directa o indirectamente será susceptible a cierta incertidumbre.

La forma más sencilla de entender, razonar o justificar la presencia de incertidumbre en los resultados obtenidos

por el hombre en el estudio de su entorno es pensar que, cada vez que se mide o calcula algo, se usan herramientas

(materiales o no) de carácter discreto, mientras que multitud de esas magnitudes a medir o calcular (en general

el entorno) son continuas. Después de lo anterior, un mundo ideal consistiría, no en un mundo sin incertidumbre

en las mediciones, sino en uno donde se conociese el origen y las características de la misma. Esto no se cumplirá

ni en general ni en los experimentos involucrados en este proyecto; por ello este apartado resulta imprescindible

en cualquier trabajo experimental.

La llamada Teoría de Errores está estrechamente ligada a la Estadística, usando los resultados de la Teoría de la

Probabilidad tales como funciones analíticas de distribución y densidad de probabilidad, con sus respectivas

propiedades. Dado que la incertidumbre aquí tratada es experimental, rigurosamente debería hablarse de

inferencia, pues todos los resultados se basan en muestras cuyo posterior “procesado” surge de estimaciones e

hipótesis que deben contrastarse de alguna forma. Aun así, en la práctica se trabaja con modelos probabilísticos

en general y, más aun, en el caso de la regresión, que consiste en estimar la relación existente entre dos o más

variables, lo cual se recuerda que es la herramienta básica en los experimentos discutidos en este documento.

Toda la información anterior puede ampliarse todo lo que uno pretenda, pues ya desde mediados del siglo XVIII

se empieza a cimentar toda la Teoría de Errores de la mano de autores tan ilustres como Simpson, Laplace,

Poisson, Thiele, Poincaré y Gauss, entre otros. Desde estos inicios se ha ido perfeccionando y normalizando

todo lo relacionado con la correcta determinación de la incertidumbre presente en cualquier resultado

experimental.

El documento estándar de referencia es el GUM (Guide to the expression of Uncertainty in Measurement), que

como su propio nombre indica, consiste en una guía que define los procedimientos, métodos y todo lo

relacionado con el cálculo y la expresión de la incertidumbre en cualquier medida. Pero sin duda, lo más

importante del GUM es que representa el documento que estandariza todo lo anterior, con una aceptación

prácticamente general, desde su primera edición en 1993 y su divulgación gratuita desde 2008. Para el lector

interesado en profundizar sobre todos los resultados que en los restantes subapartados se dan, se recomienda

adquirir el GUM a través del enlace web de la referencia [1].

Después de esta introducción se pasa a exponer los principales resultados que servirán de base para los cálculos

realizados en la obtención de resultados de los capítulos 3 y 4.

Lo primero es hacer una clasificación de las incertidumbres en las medidas de una determinada experiencia,

según su tipología y origen. Según su tipología puede hablarse de errores sistemáticos, cuya característica

principal es que la desviación del valor real es constante y siempre en el mismo sentido, lo cual permite

eliminarlo en mayor o menor medida si se conoce su causa y magnitud aproximada. Otros son los errores

aleatorios, de los cuáles no hay certeza de su valor o sentido. Estos no pueden ser excluidos de los resultados de

un experimento, sólo pueden modelarse a base de repetir de la experiencia para finalmente dar una banda de

incertidumbre que defina la precisión del valor proporcionado. Obviamente los errores aleatorios son más

indeseados que los sistemáticos aunque, al fin y al cabo, toda incertidumbre lo es.

En cuanto al origen, existen cantidad de clasificaciones para incertidumbres experimentales, pero de forma

general pueden mencionarse las siguientes: Errores personales, tanto activos (montaje o ejecución del

experimento) como pasivos (durante la observación, por limitaciones sensoriales o subjetividades); errores

instrumentales relacionados con la robustez de los componentes utilizados o su grado de uso o deterioro. Este

último es distinto al error de escala, el cual comúnmente se categoriza como un tercero además de los

sistemáticos y los aleatorios. Esto es porque representa la sensibilidad del aparato, que normalmente es conocida.

Por último, en cuanto a la forma de presentación de la incertidumbre, puede diferenciarse entre errores absolutos

y relativos, estando los primeros dados en la unidad de medida de la magnitud en cuestión, y los segundos como

el porcentaje de la medida. Interesará usar una forma u otra dependiendo de la aplicación concreta.

Después de esta escueta clasificación de incertidumbres de observación, cabe definir otros conceptos

relacionados con los resultados de medición como accuracy o exactitud, que es la cualidad de exacto, lo cual es

definido por el DRAE como “dicho de un instrumento de medida: Que se ajusta lo más posible al valor real de

la magnitud medida”. También interesa el término precision o precisión, “dicho de un instrumento de medida:

Que permite medir magnitudes con un error mínimo”. La mejor manera de comprender la diferencia entre estos

conceptos viene dada en la Figura 2.4.


12

El carácter aleatorio de las incertidumbres mencionadas y en general de los resultados del experimento hacen

necesaria una breve introducción estadística en el siguiente apartado, antes de explicar el método analítico

concreto que se usará para el análisis de datos en el apartado 2.2.4, que es el ajuste de regresión.

2.2.2. Estadística

La Estadística se define como una ciencia formal, es decir, su funcionamiento se basa en conjuntos sistemáticos

de conocimientos racionales y coherentes. La intención de lo anterior es dejar clara la diferencia entre la

veracidad de los resultados de un determinado estudio estadístico y la fidelidad de las herramientas utilizadas

para ello, de base matemática. Multitud de los estudios estadísticos que se llevan a cabo suelen provocar cierta

inseguridad o desconfianza en la población debido a las características intrínsecas de la Estadística,

principalmente la subjetividad irremediable en aspectos tan básicos como la elección de variables y el grado de

dependencia entre ellas. Sin embargo, la base matemática sobre la que se fundamenta, como ya se ha dicho, hace

de la Estadística una ciencia exacta en sus herramientas; y que, para el grado de “subjetividad” del experimento

aquí tratado, no deja demasiada cabida a dudas o discordias en sus resultados.

Pasando a un ámbito más práctico, la Estadística puede dividirse en dos grandes ramas: Descriptiva e Inferencial,

ocupándose la primera de la descripción e interpretación de datos recolectados en diferentes estudios, y la

segunda de la generación de modelos y predicciones para determinados fenómenos con un cierto grado de

aleatoriedad, estando muy relacionada con la Teoría de la Probabilidad.

Esta Teoría de la Probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos.

Básicamente, trata de asignar un número a cada posible resultado de un experimento que los cuantifique y ordene

según sean más o menos factibles. Para ello, a lo largo de los años, se han ido desarrollando distintas funciones

de densidad y distribución de probabilidad, cuyas formulaciones y parámetros se ajustan a los de determinadas

variables aleatorias, que pueden ser los resultados de dichos experimentos.

En particular en este proyecto se hará uso de los resultados de una de las distribuciones más utilizadas, la

distribución normal o gaussiana. Es una distribución de variable continua caracterizada por dos parámetros, la

media y la varianza de la variable aleatoria en cuestión. Su función de densidad de probabilidad es la muy

conocida campana de Gauss de la Figura 2.5, con la media centrada como valor más probable y, en su forma

más general, simétrica.

2(2.7) : . . ; 1,..., ; ( , )ix va aleat i n n x N

Figura 2.4. Accuracy & Precision


13

Tiene multitud de propiedades que permiten que esta distribución sea ampliamente utilizada para modelar el

comportamiento estadístico de variables aleatorias de diversos campos. No es objeto de este trabajo exponer

todas estas propiedades, por lo que se aceptará la hipótesis de que para un tamaño de la población lo

suficientemente grande (tamaño muestral n) cualquier variable aleatoria puede aproximarse como una normal

de media y varianza las propias.

Esta propiedad será clave para definir las incertidumbres en los resultados que se obtendrán tras el análisis de

regresión explicado en el epígrafe 2.2.4.

2.2.3. Mínimos Cuadrados

El último ingrediente necesario es el llamado Método de Mínimos Cuadrados, introducido por Legendre y

desarrollado por Gauss, ampliamente utilizado en el campo de la optimización y el cálculo de incertidumbres.

Existen muchas variantes, sin embargo, para esta aplicación, basta con su forma más sencilla. Se trata de obtener

los parámetros (constantes) que particularizan, para una familia de funciones dada, la función que verifica que

la suma de los cuadrados de las diferencias entre dicha función y los puntos experimentales (en este caso, dados),

sea mínima.

Estas diferencias suelen tomarse en las ordenadas, es decir, en los valores de la variable dependiente. También

puede tomarse como referencia las diferencias en la variable independiente o como una “media” de ambas. En

particular para la aplicación objetivo, no es un aspecto determinante para los resultados obtenidos, como se

explica y comprueba en el apartado 3.2.4.

A continuación se plantea de forma resumida la formulación formal del problema de mínimos cuadrados para

el caso bidimensional aproximado por una función lineal de tipo polinómica:

(2.8) Sean 1

( , )n

k k kx y

los n pares de puntos resultado de un experimento, y

1( )

m

j jf x

una base

de m funciones linealmente independientes que se combinarán (linealmente) para obtener ( )f x , que

cumplirá algún criterio de mejor aproximación definiendo un error como ( )k k ke y f x , en este caso

minimizar el Error Cuadrático Medio del conjunto completo, definido como 2

1( )

n

cm kkE f e n

, o alternativamente el Error Cuadrático. Tomando f como un polinomio,1

1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ... m

m m mf x c f x c f x c f x c c x c x , se tiene que su Error Cuadrático

es 2

1 1

( ) ( ( ))n m

c k j j k

k j

E f y c f x

. Derivando respecto a los coeficientes e igualando a cero, se

minimiza el Error Cuadrático y, por tanto, el Error Cuadrático Medio; obteniendo un sistema de m

ecuaciones lineales y m incógnitas constantes de donde calcular los coeficientes de la función f(x), en

este caso, los coeficientes del polinomio.

1 1

2( ( ))( ( )) 0 ; 1,2,...,n m

ck j j k i k

k ji

Ey c f x f x i m

c

.

Figura 2.5. Campana de Gauss


14

Esta forma genérica se desarrollará en los apartados correspondientes a la obtención de resultados a partir de los

datos, y puede adelantarse ya que este método no es robusto frente a datos erróneos o que la simplicidad de su

definición se transforma en dificultad analítica para polinomios de grado mayor que la unidad; en definitiva, se

trata de un método sencillo, práctico y fiable, siempre y cuando se tenga una cierta precaución en la definición

del problema al que se aplique.

2.2.4. Ajustes de Regresión Lineal

Todo lo anterior sirve para fundamentar o preparar la introducción de la regresión lineal y la justificación de su

uso en el experimento tratado. La regresión representa una herramienta muy útil para el modelado de la

dependencia entre variables, siendo una o varias, tanto la parte dependiente como la independiente. En cuanto a

la regresión no lineal, presenta en general más inconvenientes que ventajas en comparación con la regresión

lineal, y más aún, en aplicaciones del tipo de la aquí tratada. Por tanto, dentro de la regresión lineal, se tomará la

más común para el estudio de los datos obtenidos, la regresión polinómica.

Esta elección se debe a que el conjunto de pares de datos de que se dispone debe cumplir una Ley Física, como

ya se ha visto, que puede estudiarse de varias formas, esto es, existen varias opciones para elegir las variables

dependiente e independiente; existiendo entre todas ellas una relación polinómica a lo sumo de grado dos. En

este punto cabe recordar que no es lo mismo un ajuste de regresión lineal que una recta de regresión lineal,

siendo esta última un caso particular de la primera para el caso de función polinómica de primer grado.

Un modelo de regresión lineal requiere la aceptación de ciertas hipótesis:

La relación entre las variables debe ser lineal.

Las distintas incertidumbres que afectan a las mediciones deben ser independientes (esto es aplicable

cuando, en el análisis, también se modelan las incertidumbres).

Las incertidumbres deben tener media nula y una varianza constante, pudiendo ser tratadas como variables

estocásticas. En caso de requerirse, podrán ser modeladas como N(0,𝜎2).

Resulta bastante complicado asegurar que se cumplen estas tres condiciones, en los experimentos presentados

sólo se tiene absoluta certeza de la linealidad entre variables, como dicta la Ley Física en cuestión.

Una vez introducido de forma general, se expondrán las pautas a seguir para obtener una regresión lineal de tipo

polinómica de grado uno, esto es, una recta de regresión; mediante el Método de Mínimos Cuadrados.

Se tiene un conjunto de 𝑛 pares de datos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖); 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, correspondientes a dos magnitudes físicas

medibles y cuya relación es lineal, en el sentido antes contraindicado, de la forma 𝑦(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥. Si se

particularizan las expresiones del apartado anterior se obtienen los valores de los coeficientes constantes de la

recta, aunque para simplificar las expresiones, vale la pena introducir primero el concepto de coeficiente de

correlación, que toma valores de 0 a 1 midiendo el grado de linealidad entre las dos variables bajo estudio, y se

calcula como:

2 2(2.9)

( )( )

xy x y

xx x yy y

SS S Sr

SS S SS S

donde:

(2.10) 1

1

1n

i

n

xy i ii

S n

S x y

1

1

n

x ii

n

y ii

S x

S y

2

1

2

1

n

xx ii

n

yy ii

S x

S y

Aplicando el Método de Mínimos Cuadrados se obtienen los valores de los coeficientes de la recta, que son la

pendiente de la recta b, y la ordenada en el origen a:

2 2(2.11)

xy x y y xx x xy

xx x xx x

SS S S S S S Sb a y bx

SS S SS S

Aunque estas expresiones son correctas, pueden generar una incertidumbre de redondeo mayor que utilizar

directamente:


15

1

2

1

( )( )(2.12)

( )

n

i ii

n

ii

x x y yb a y bx

x x

Llegados a este punto, sólo falta obtener las incertidumbres de estos coeficientes, para lo que se hará uso de las

definiciones introducidas en todo este subapartado 2.2. Hay que percatarse de que el razonamiento a seguir para

calcular estas incertidumbres procede de la distribución estadística que se admite siguen los datos estudiados, en

concreto, una distribución normal o gaussiana. Además de la precoz aceptación de las hipótesis, antes

mencionadas y otras, que esto conlleva; se intuye que de esta forma no se están teniendo en cuenta las

incertidumbres generadas en la propia realización del experimento, en la toma de datos, tales como las

incertidumbres de escala o instrumentales. Sin embargo, con los tamaños muestrales que se manejarán se

obtienen incertidumbres “estadísticas” de mayor magnitud que las anteriores, por tanto, se acepta su omisión en

el cálculo de las incertidumbres de los coeficientes.

Como se apreciaba en la Figura 2.5, al tomar como incertidumbre de una variable que se distribuye normalmente

el intervalo ±2σ, se cumple que el 95.5% de las veces la medición estará contenida en ese intervalo. Teniendo

esto en cuenta y operando, se deducen las expresiones para las incertidumbres de los coeficientes de la recta:

22 22 1

(2.13)2

xxb a b b x

SrE E E E x

b n S

Con todo esto se está preparado para atacar el análisis de los datos que se extraerán de los experimentos. Huelga

repetir que estos métodos serán tan fiables como lo sea la definición del problema completo (propiedades de las

incertidumbres, toma de datos, validez de las expresiones, etc.), y puede preverse una gran variabilidad en el

cálculo de la magnitud objetivo, la gravedad, en función de todas estas propiedades.

Para terminar se recuerda que el ajuste de una recta de regresión lineal por el mínimos cuadrados no es, ni mucho

menos, la única manera obtener un resultado y su incertidumbre a partir de ciertas medidas experimentales.

En los siguientes capítulos se desarrollará el contenido principal de este proyecto, el diseño y realización de los

experimentos de laboratorio para obtener el valor de la aceleración de la gravedad.


16

17

3 PRÁCTICA DE CAÍDA LIBRE

legado este punto del documento se está en condiciones más que suficientes de abordar la temática

principal del proyecto; el desarrollo de la mejora del montaje existente para la realización del experimento que

tiene como objetivo hallar el valor de la aceleración de la gravedad de forma sencilla y didáctica.

Históricamente, la caída libre ha sido la forma más intuitiva y simple de estimar este valor; es por ello que

constituye el experimento más extendido entre la comunidad docente a todos los niveles. Sin embargo, dadas

sus características resulta ser una técnica muy poco precisa incluso utilizando aparatos de tecnología actual.

Como ya se ha comentado el objeto de este trabajo es aumentar esta precisión, ya sea reestructurando este

montaje o planteando otro distinto pero conservando las características de sencillez y de estar fundamentado en

la observación de un fenómeno físico cotidiano. Hay que remarcar este último aspecto pues, con la tecnología

de que goza la sociedad hoy día, cualquiera es capaz de medir la aceleración de la gravedad con una precisión

mucho mayor que la que se conseguirá nunca con la experiencia de caída libre, en cualquier instante y lugar sin

más que usar su Smartphone equipado con acelerómetros.

Así pues, este capítulo recogerá todo lo relacionado con el experimento de caída libre, empezando por unas

sencillas directrices para trabajar en el laboratorio de forma segura y correcta. Se describe y analiza el estado

original de la práctica en el momento del comienzo de este TFG, sirviendo esto para el desarrollo del resto del

capítulo, que pasa por la elección del montaje final y los métodos de análisis realizados, y culmina con la

realización de las prácticas del curso 2015-2016 y sus consecuentes conclusiones.

3.1. Trabajo en el Laboratorio

Al igual que en una piscina, en un laboratorio (de la índole que sea) existen unas normas de seguridad y buenas

prácticas esenciales para evitar cualquier tipo de desperfecto (personal o material) y para asegurar que toda

actividad realizada en el mismo esté contemplada dentro de sus parámetros de diseño. Para conocer cuáles son

estas normas y procedimientos, el lector puede consultar alguna de las siguientes resoluciones legales:

Ley de Prevención de Riesgos Laborales (Ley 31/95 del 3 de diciembre de 2003), última actualización a

24 de julio de 2015.

Real Decreto 822/93, donde se recogen los Principios de la Buenas Prácticas de Trabajo en Laboratorio.

En ellas se hace referencia a elementos como EPIs (Equipos de Protección Individual), ropa de trabajo, equipos

de protección colectiva como CBSs (Cabinas Biológicamente Seguras), etc. También se clasifican y describen

los riesgos que conllevan los distintos tipos de laboratorios y materiales, y cómo actuar frente a casos de

emergencia.

Sin embargo, lo anterior atañe a la institución responsable del diseño, implementación y mantenimiento del

laboratorio en cuestión. Los pasos a seguir para un correcto planteamiento, montaje y ejecución de un

experimento relacionado con el estudio de fenómenos físicos con fines académicos obedecen al sentido común

y deben estar presentes siempre por el ejecutor de la experiencia. Pueden nombrarse algunas generalidades al

respecto:

Por supuesto, lo primero para asegurar un correcto funcionamiento del experimento y la obtención de unos

resultados fiables es la limpieza y el orden en el entorno de trabajo, eliminando cualquier agente que pueda

falsear resultados o provocar desperfectos (una aplicación de esto, dependiendo del experimento, puede

ser cerrar la ventana).

L


18

Es importante conocer bien el fundamento teórico en que se basa el experimento concreto, esto hará que

el ejecutor sepa qué hace y por qué lo hace en cada momento. Además, ayudará a cuidar los “pasos o

aspectos clave” en la realización, obteniendo normalmente un margen de incertidumbre menor.

Para utilizar cualquier herramienta o aparato del laboratorio, previamente se debe comprender su

funcionamiento, limitaciones y riesgos para así evitar deterioros, incidentes y también resultados erróneos.

No debe hacerse uso indebido de ningún material de laboratorio.

En cuanto a la toma de datos, como complemento al punto anterior, hay que conocer la sensibilidad del

aparato para tenerla en cuenta en el cálculo de incertidumbres.

Para el posterior análisis de datos, resulta importante tomar notas de todas las características que se crean

importantes en el montaje; puede servir para explicar ciertos comportamientos en los resultados.

En particular, para los ensayos de caída libre de objetos romos (esferas de acero) y rodadura por plano inclinado,

surgen ciertos aspectos a tener en cuenta a la hora de construir el montaje y ejecutar el experimento. Dado que

estos se basan en la medida de tiempo y distancia, la mayor complicación será disponer todos los elementos de

forma correcta y asegurarse de ello en cada medición. En este sentido pueden listarse algunas recomendaciones:

Asegurar la correcta alineación del montaje, ya sea vertical (en la caída libre) o inclinada (en plano

inclinado), para que los tiempos medidos sean precisos.

Comprobar que el modo de funcionamiento del cronómetro usado sea el adecuado según el montaje.

Medir exhaustivamente todas y cada una de las distancias esenciales, normalmente usando una regla

milimetrada móvil, por lo que resulta imprescindible una correcta alineación.

Repetir todo lo anterior cada vez que el conjunto sufra algún cambio, ya sea intencionado (cambio de

distancias o ángulos) o accidentales (como golpes, tirones o desplazamientos).

Además es prácticamente imprescindible hacer varias repeticiones de la experiencia para las mismas

condiciones, con el objetivo de erradicar incertidumbres aleatorias en la toma de muestras.

Para tener una idea de la precisión conseguida con el diseño de un experimento en particular, pueden

hacerse repeticiones en las mismas condiciones pero desmontando y volviendo a montar el conjunto

completo. Esto también reflejará la habilidad operativa del ejecutor.

Podrían enumerarse muchos más detalles aquí, aunque estos dependerán de los elementos concretos utilizados

y además pueden no resultar demasiado objetivos. Además de estos consejos o normas, cada individuo deberá

elegir todos los demás aspectos que crea oportunos y tenerlos en cuenta cada vez que lo considere necesario. En

el apartado 3.2 se comentan estos detalles para el montaje original de la práctica de caída libre.

3.2. Montaje Inicial

Como se introdujo en el apartado 1.1 el montaje existente presenta un principal punto de mejora, en pocas

palabras consiste en hacer que todo él se comporte como un “sólido rígido”, en el sentido de que no exista la

necesidad de variar su configuración en el transcurso de la realización de la práctica por parte de los alumnos.

Consiguiendo esto, se eliminaría la aleatoriedad del error cometido por cada alumno al ajustar las distancias

entre sensores. También se eliminaría parte de la aleatoriedad debida a la posición relativa entre la regla y el

resto del conjunto, aunque esto no significa que la medida de distancias llegue a ser exacta ya que siempre

existirá la incertidumbre provocada por la precisión del instrumento.

El objetivo a perseguir es conseguir una estimación final de la incertidumbre no mucho mayor que la debida a

la precisión de los instrumentos; solo un orden de magnitud por encima de la mayor de ellas, por ejemplo.

Seguidamente se presenta todo el material de que se compone este montaje que, en principio, será prácticamente

el mismo que se usará para su mejora. Después de esto, se hará un análisis del enunciado de la práctica, de su

realización y de los resultados obtenidos con los distintos tipos de análisis desarrollados para ello, explicando

los métodos utilizados.

Capítulo 3. Práctica de Caída Libre

19

3.2.1. Componentes

Las siguientes son las características principales de todos los elementos de que se compone el experimento.

Estos componentes son de la marca PHYWE Systeme GmbH & Co. KG ®, compañía alemana dedicada al

desarrollo y supervisión de todo el material y soporte necesarios para la educación en ciencias mediante la

experimentación. El lector interesado puede obtener más información sobre la compañía accediendo al enlace

contenido en la referencia [2].

Support base. Item no.: 02007-55. Con unos 3,5(𝑘𝑔) y compuesto de material no magnético de fundición,

es la base del conjunto principal; sus patas pueden regularse una cierta altura, lo cual ayuda a conseguir la

verticalidad necesaria para los sensores, se muestra en la Figura 3.1.

Right angle clamp. Item no.: 02040-55. Abrazadera con cuerpo de aluminio y tornillos de plástico que

permite varias configuraciones en la orientación relativa entre las barras a unir. Válida tanto para barras

de sección cuadrada como redonda. Se usan tres, para los dos sensores y el electroimán.

Support rod. Item no.: 02028-55. Barra soporte de sección cuadrada y revestimiento anticorrosión de

1(𝑚) de longitud. Va fijada a la base y en ella se acoplan el resto de componentes.

Meter scale. Item no.: 03001-00 + Cursors. Item no.: 02201-00 + Barrel base. Item no.: 02006-55.

Conjunto formado por la regla de madera graduada hasta los milímetros de 1(𝑚) de longitud, más dos

cursores como ayuda a la medición y una pequeña base pesada con tornillo para mantenerla en posición

vertical; respectivamente, en la Figura 3.2.

Hasta ahora solo se tienen componentes puramente estructurales; se pasa a presentar a continuación los

dispositivos que diferenciarán este montaje del que pudiese realizar un físico experimental del siglo XVII. Estos

son los que aportan la tan ansiada precisión que se necesita en una experiencia como la de caída libre.

Figura 3.2. Regla, Cursores y Base

Figura 3.1. Base, Abrazadera y Barra Soporte


20

Hay que buscar la precisión en dos magnitudes, distancia y tiempo, que son las involucradas en el desarrollo del

experimento. Mediante la tecnología electrónica actual de los aparatos que se describen a continuación se

consigue controlar de forma bastante satisfactoria la medida de los instantes de tiempo críticos durante el

procedimiento. También existen técnicas de esta índole para asegurar una gran precisión en la medida de las

distancias; estas técnicas pueden usar tecnología radar, láser, ultrasonidos, etc.; sin embargo no están tan

extendidas como las anteriores y su coste resultaría elevado para esta aplicación teniendo en cuenta, además,

que la ganancia de precisión que aportarían sería pequeña en comparación con la originada en la medición del

tiempo.

Con la explicación anterior se deduce que la principal fuente de incertidumbre en las mediciones se dará en la

medida de distancias entre los puntos donde comienza y acaba la medida temporal. Pero todo esto se discutirá

más adelante y en mayor profundidad con el apoyo del razonamiento planteado en el apartado 3.3.1.

Ball Release Unit. Electroimán cuya morfología está diseñada para servir de dispositivo liberador de una

esfera metálica al cortar la alimentación que crea el campo magnético necesario para mantener dicha bola

pegada al aparato.

Switch. Interruptor conectado en serie entre la fuente y el electroimán cuyo cometido es provocar el inicio

del experimento al cortar la corriente de forma sencilla, sin tener que desconectar la fuente. Sus

características son tales que soporta bien el corte, sin dar posibilidad a formación de arco voltaico u otros

inconvenientes. Se muestra junto con los anteriores componentes en la Figura 3.3.

Power Supply. Fuente genérica de alimentación. Opción de 5(𝑉) para los requerimientos del elemento a

alimentar, que es el electroimán anterior.

Los tres anteriores elementos no son de la misma compañía que el resto, Phywe; son de diferentes marcas

dedicadas también al suministro de material de laboratorio y que, por supuesto, cuentan con los cánones de

calidad exigidos por la Universidad de Sevilla necesarios para poder ser utilizados en el ambiente docente

correspondiente. Hay que mencionar que, como es lógico, en un laboratorio de Física como el de la ETSI de

Sevilla que cuenta con un almacén considerable y que se va nutriendo y renovando continuamente, es normal

combinar componentes de distintas procedencias y fechas en un mismo experimento, siempre asegurando la

compatibilidad y seguridad en todos los sentidos.

Light barrier, compact. Item no.: 11207-20. Sensor o célula fotoeléctrica que detecta cuando un haz de

luz infrarroja pasa desde uno de los lados de la horquilla, el emisor, hasta el receptor que se sitúa en el otro

brazo de la horquilla dentro de un agujero de cierta profundidad que evita interferencias con otros haces o

reflejos. Alimentado a 5(𝑉) y 80(𝑚𝐴), cuenta con una precisión de 20(𝜇𝑠) que es más que suficiente para

medir tiempos a las velocidades que trabaja el experimento.

Timer 2-1. Item no.: 13607-99. Con su casi 1(𝑘𝑔) de masa, su pantalla de cuatro dígitos de 7 segmentos,

alimentado a 5(𝑉) y 2,4(𝐴), con una resolución de 1(𝑚𝑠) y sus cuatro modos de funcionamiento;

representa el cronómetro perfecto para experimentos como este, en los que se necesita la medida de un

Figura 3.3. Electroimán, Interruptor y Fuente


21

único instante, pues su utilización resulta sencilla e intuitiva. Habrá que conectarlo, además de a la

correspondiente alimentación y tierra, a las dos células fotoeléctricas de forma que una proporcione el

inicio de la cuenta y la otra el fin; mediante los conectores mostrados en la Figura 3.4.

Bola de Acero + Conectores + Caja Receptora. Para terminar con la lista de material mencionar estos

elementos sencillos pero importantes. Sin esfera no habría caída libre, además es una bola de acero de

pequeñas dimensiones, esto ayuda a que los efectos de resistencia aerodinámica pierdan importancia. Los

conectores son cables, de tres colores que ayudan a que no exista confusión a la hora de realizar las

conexiones necesarias entre equipos, evitando así posibles daños en los mismos. En la medida de lo posible

estarán trenzados para evitar también posibles accidentes. Y sin la caja receptora con un pequeño troza de

goma espuma podrían dañarse los equipos o el suelo, también resulta necesaria. La Figura 3.5 muestra

unos ejemplos de estos componentes.

Para obtener más información sobre cada uno de estos componentes puede consultarse la web referenciada

anteriormente, tecleando el nombre o el código de dicho componente en el buscador. Los elementos más

complejos tendrán disponible su “datasheet”, donde se describen modos de funcionamiento, condiciones de

alimentación, etc.

3.2.2. Fundamento, Realización y Resultados

Dados los componentes y el montaje llevado a cabo con ellos y explicado anteriormente, es hora de analizar el

procedimiento de realización de la práctica para intentar advertir las fuentes de incertidumbre ya mencionadas

y/u otras que surjan durante este análisis.

El enunciado original de la práctica puede consultarse en el Anexo II (que contiene todo lo relativo a la primera

realización de la práctica). Está estructurado de forma que explica en este orden: objetivo, fundamento teórico,

descripción del instrumental y realización de la práctica. Cada una de estas partes consiste en una sucinta

descripción de su aspecto y, preservando la premisa de que el experimento debe ser simple y fácil de asimilar

para los alumnos, no podía ser de otra forma.

Figura 3.4. Célula Fotoeléctrica y Cronómetro

Figura 3.5. Esferas, Conectores y Caja Receptora


22

Para empezar, la ecuación que se utiliza para computar las mediciones sobre el montaje responde a la forma de

un movimiento uniformemente acelerado con condiciones iniciales de posición y velocidad nulas, como se

muestra en las ecuaciones (3.1):

(3.1) ( )a t cte g

2

0 0

0 0

1( )

2

, 0

s t s v t g t

s v

21( )

2s t g t

El uso de esta ecuación hace que no haya que preocuparse por las condiciones iniciales no ideales, pues no habrá

forma de calcularlas; también pasa para los efectos de otras fuerzas que puedan estar presentes en el sistema

como la resistencia aerodinámica causada por la corriente incidente de aire sobre la esfera o el campo magnético

residual del imán, que puede hacer disminuir la aceleración de la misma en los primeros instantes desde que se

suelta. Sin embargo, todos estos efectos resultan despreciables frente a la aceleración de la gravedad. Esta es la

principal ventaja ya comentada de la experiencia de caída libre para la determinación de la gravedad.

En cuanto a la descripción del instrumental y la realización de la práctica, además de lo estrictamente necesario

para saber cómo hacer funcionar el conjunto y manejar los distintos componentes, se describen cuántas medidas

deben hacerse y para cuántas distancias. En concreto se realizan tres medidas de cada distancia, siendo estas

seis, comenzando en 0,3(𝑚) y hasta 0,8(𝑚) distanciadas 0,1(𝑚) entre sí.

La elección de estos números de ensayos no es aleatoria, sino que se adecuará a la amplitud de las bandas de

incertidumbre deseadas, deseadas en el sentido de conseguir una incertidumbre debida al tamaño muestral menor

que la componente de incertidumbre debida a otras razones, que no puede ser eliminada o rebajada por más que

aumentemos la muestra. Todo con el objetivo de minimizar lo más posible la incertidumbre global en la

estimación de la aceleración de la gravedad. Como se observará más adelante, se obtienen unas incertidumbres

para los tiempos del orden de las de las distancias.

Una vez elegida la forma de toma de datos (varias distancias y varias medidas), toca hablar del método de análisis

de estas mediciones recogidas. Lo más habitual en experimentos de este tipo es obtener regresiones a partir de

las mediciones; y la regresión más frecuente, quizás por su sencillez y buenos resultados, es la regresión lineal.

En este caso se aplica a la ecuación anterior, de forma que la ecuación de la recta queda como en (3.2):

(3.2) y A Bx 20 ( )2

gs t

2

0

/2

y s A

B gx t

En el resumen teórico no explica qué implicación tiene que el coeficiente A no se obtenga igual a cero, sin

embargo lo plantea como pregunta al final del enunciado. Después de calcular y representar la recta de mejor

ajuste a los datos experimentales pide obtener g y su incertidumbre.

Como se aprecia, el enunciado es totalmente claro, conciso y completo para la correcta realización de la práctica.

En este punto cabe mencionar que otro objetivo, aunque secundario, de este proyecto es que la práctica de

laboratorio resultante requiera de un tiempo de realización similar al del resto de prácticas que serán llevadas a

cabo durante la misma sesión, para sincronizar grupos y que resulte lo más dinámica posible. Puede pasarse a

comentar la propia realización del experimento.

Lo primero, revisión de inventario, comprobar que no falte nada y que todo lo que haya esté en unas condiciones

aceptables para su uso. Seguidamente habría que inspeccionar todos los cables, que estén debidamente

conectados y hacer una prueba del cronómetro con las células fotoeléctricas. Al igual que comprobar si las

células, el electroimán y la caja están bien colocados, con ayuda de la regla y una pesa colgada a modo de

péndulo que ayuda a guardar la verticalidad del conjunto. Respecto a la regla convendría colocarla lo más cerca

posible de los agujeros emisor y receptor del haz de las células y no moverla más hasta la finalización completa

del experimento.

Todo preparado para iniciar los ensayos. Antes de apagar el interruptor, cortando la corriente y eliminando el

campo magnético que mantiene la bola sujeta arriba, hay que cerciorarse de que el conjunto está quieto; esto es

importante pues al estar todo suspendido de una varilla metálica esbelta cualquier toque produce un balanceo

subamortiguado bastante molesto.

Por supuesto, cada vez que se cambie la distancia entre células habrá que comprobar todos o casi todos los

aspectos anteriores de nuevo. El inconveniente es que, por muy escrupulosos que sean los cambios, al final la

precisión depende de cada persona, y a ese nivel no suele conseguirse un alto nivel de precisión. Aquí también


23

interviene el factor alumno de primero, al que no ha de suponérsele una destreza ni tan siquiera aceptable en el

ámbito del laboratorio.

Continuando con la práctica; durante las tres repeticiones para cada distancia podrían observarse fallos, tales

como un golpe al montaje, un tirón de uno de los cables o simplemente un tiempo medido que difiere mucho de

los otros dos por cualquier otra causa. En este caso se debe repetir la prueba tantas veces como sean necesarias

para garantizar que la medición es buena. Al realizar el experimento se advirtió una de estas medidas erróneas,

pero se aceptó como buena aposta para ver el efecto que ello provocaba en los resultados; en concreto fue la

marcada en rojo en la Tabla 3.1.

Como se aprecia aquí y como se cumple para el resto de las distancias, las medidas “buenas” coinciden

perfectamente difiriendo, en todo caso, en el tercer decimal que representa la precisión del cronómetro. Más

adelante se verá cómo afecta esta medida “mala” al cálculo de la incertidumbre del tiempo para esta distancia.

Se completa la Tabla 3.1 con el resto de muestras, añadiendo como incertidumbres, al ser una medida directa, la

precisión de la herramienta, en este caso será de 1(𝑚𝑠) para el tiempo y de 1(𝑚𝑚) para la distancia.

Tabla 3.1. Mediciones Montaje Inicial

𝒔 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒎) 𝒕𝟏 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔) 𝒕𝟐 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔) 𝒕𝟑 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔)

0,3 0,227 0,228 0,227

0,4 0,265 0,265 0,265

0,5 0,332 0,297 0,297

0,6 0,328 0,327 0,328

0,7 0,355 0,355 0,355

0,8 0,381 0,381 0,381

En la Tabla 3.2 se incluye la media de las tres medidas de tiempo para cada distancia y su valor al cuadrado, que

será la variable “x” en la recta de regresión. Según la Teoría de Errores pueden calcularse las incertidumbres de

las medias y sus cuadrados según las ecuaciones (3.3):

(3.3)

2

20

2

1 1

0

0

( )

2 2 2( 1) 1

2

n

i

i n nt

ttt tt

t

t t

En n n n

dfE E

dt E t E

t t E

Aplicando estas expresiones se obtienen para todas las medias excepto una (la de 0,5(𝑚)) que la incertidumbre

es menor que la dada por la precisión de la herramienta, aceptándose esta última como definitiva. Esto se traduce

en incertidumbres del orden de 10−4 para las medias al cuadrado exceptuando, claro, la distancia 0,5(𝑚). En la

Tabla 3.2 se indican también las incertidumbres finales ya redondeadas:


24

Tabla 3.2. Cálculo de Medias e Incertidumbres. Montaje Inicial

𝒔 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒎) < 𝒕 > ±𝑬<𝒕>(𝒔) Calculado < 𝒕 > ±𝑬<𝒕>(𝒔) Final < 𝒕 >𝟐± 𝑬<𝒕>𝟐(𝒔𝟐)

0,3 0,227333 ± 0,000667 0,227 ± 0,001 0,0517 ± 0,0005

0,4 0,265000 ± 0 0,265 ± 0,001 0,0702 ± 0,0005

0,5 0,308667 ± 0,023333 0,309 ± 0,023 0,0953 ± 0,014

0,6 0,327667 ± 0,000667 0,328 ± 0,001 0,1074 ± 0,0007

0,7 0,355000 ± 0 0,355 ± 0,001 0,1260 ± 0,0007

0,8 0,381000 ± 0 0,381 ± 0,001 0,1452 ± 0,0008

Mediante una herramienta de Excel facilitada a los alumnos, se calcula la recta de mejor ajuste sin más que

incluir los vectores de datos (𝑥, 𝑦) en sus correspondientes casillas. Ofrece los coeficientes de la recta, sus errores

y el coeficiente de correlación del conjunto de datos; así como otros parámetros estadísticos como medias y

varianzas.

Sin embargo, en este caso se realizó la regresión mediante MatLab, ya que otro de los objetivos de este proyecto

era llevar a cabo una interfaz con la misma funcionalidad que Excel pero que fuese una aplicación ejecutable

independiente, siendo el entorno MatLab una buena opción para su desarrollo. En el Anexo II puede consultarse

el código utilizado para hallar esta regresión y para representar la recta de mejor ajuste. Puede ejecutarse el

archivo “practica1.m”.

En este caso, el cálculo del coeficiente de correlación, que cuantifica el grado de “alineación” de los puntos, y

de las incertidumbres de los coeficientes de la recta se lleva a cabo mediante las fórmulas (3.4), ya que el código

MatLab implementado no lo contempla:

(3.4)

1

2 2

1 1

22 2

( )( )

( ) ( )

2 1;

2

n

i i

i

n n

i i

i i

B A B x

x x y y

r

x x y y

B rE E E x

r n

Aunque la incertidumbre de A no resulta necesaria para obtener el valor de la aceleración de la gravedad ni su

incertidumbre, es buena práctica calcularla y dejar constancia de ello. Se verá más adelante que la información

dada por A y su incertidumbre resulta ser de la misma importancia que la de B. Finalmente se obtuvieron los

valores expuestos en la Tabla 3.3 de los coeficientes de la recta, del de correlación y de la gravedad.

Tabla 3.3. Resultados Montaje Inicial

𝑨 ± 𝑬𝑨 (𝒎) 𝑩 ± 𝑬𝑩 (𝒎/𝒔𝟐) 𝒓 𝒈 ± 𝑬𝒈 (𝒎/𝒔𝟐)

0,01 ± 0,04 5,4 ± 0,8 0,997 10,8 ± 1,7

La incertidumbre de la gravedad simplemente, aplicando la Teoría de Errores al igual que en el caso de < 𝑡 >2

sale el doble que la de B, ya que la gravedad es el doble de B. Se añade a continuación en la Figura 3.6 la

representación de la recta de mejor ajuste junto con los puntos experimentales:


25

Como comentario final, y último apartado de la práctica hay que decir que el valor no nulo de A se debe a los

valores no nulos de las condiciones iniciales, en concreto al valor de la posición inicial al ser el valor de la

ordenada en el origen (término constante). El problema es que se está asumiendo una velocidad inicial nula, por

esta razón no puede asegurarse que A se corresponda exactamente con la posición inicial. Todo ello sin olvidar

las numerosas fuentes de incertidumbre presentes en el experimento, que explican el errado valor de la

aceleración de la gravedad obtenido.

3.2.3. Conclusiones al Montaje Inicial

Visto el resultado principal, la aceleración de la gravedad, puede concluirse que la exactitud del experimento no

es muy alta. Aunque, aun siendo el valor bastante distinto al real, su incertidumbre es tal que el valor queda

comprendido en la banda de incertidumbre. Se tiene una incertidumbre relativa mayor al 15%, por lo que

tampoco resulta ser muy preciso.

Lo anterior se debe a todos los aspectos mencionados, las incertidumbres sistemáticas como podría ser la

distancia inicial no nula surgida de la mala alineación del electroimán con la primera célula, la falta de

verticalidad, el campo magnético residual; o las aleatorias como las diferencias de distancia al variar el segundo

sensor, la desviación de la trayectoria por alguna perturbación externa, etc. También habrá que valorar la validez

del tipo de análisis teórico utilizado para el cómputo de mediciones, pues no sólo existe esa posibilidad para una

recta de regresión, y tampoco la recta es la única regresión posible, e incluso podría hacerse el análisis de

mediciones sin necesidad de una regresión; todo ello se deja para el siguiente apartado.

Como se comentó al comienzo de este apartado 3.2, el principal punto de mejora del montaje supone hacer que

todos los componentes del conjunto estén unidos como un sólido rígido y que no sea necesario cambiar su

configuración durante el experimento para obtener todos los resultados. Aunque quizás no se viese reflejado en

los cálculos teóricos de la incertidumbre, esto le aportaría una gran robustez con la que poder disminuir esa

amplia banda de incertidumbre en la práctica.

Antes de empezar a modificar el montaje convendría trabajar sobre los datos recogidos en esta primera

realización del experimento, probando distintas formas de análisis y comparando resultados. De esta forma

quizás se puedan definir mejor los principales aspectos de mejora del montaje.

3.2.4. Tipos de Análisis

Es importante darse cuenta de que entre las dos magnitudes que se miden directamente en el transcurso del

experimento, la que tiene una incertidumbre aleatoria mayor no es el tiempo, sino la distancia a la que se sitúan

las células. Aunque los instrumentos que miden ambas tengan la misma precisión (10−3), la regla no está situada

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16<t>2 frente a s

s (m)

<t>

2 (

s2)

Figura 3.6. Puntos Experimentales y Recta de Mejor Ajuste, Montaje Inicial


26

justo sobre los agujeros de las células por donde pasa el haz infrarrojo, de hecho, está bastante alejada de las

células y ni siquiera está fijada al resto del conjunto.

Lo anterior sirve para justificar el uso de una nueva recta de regresión que, aunque muy parecida a la primera,

podría aportar resultados distintos. Consiste en intercambiar las variables dependiente e independiente (𝑥, 𝑦):

(3.5)20

2

y A Bx

gs t

2 20

y A Bx

t sg

Esto no tiene ningún efecto en los cálculos de las bandas de incertidumbre. Serán los coeficientes de la recta los

que varíen su valor y su incertidumbre, pero la gravedad seguirá resultando igual. Realmente esto no debería ser

así, sin embargo hay que percatarse también de que las incertidumbres calculadas para A, B y g no tienen en

cuenta en ningún momento las incertidumbres ligadas a las mediciones individuales, a sus medias o a sus

cuadrados.

Las incertidumbres de A, B y g se obtienen mediante un desarrollo probabilístico basado en la premisa de que

los puntos medidos, las muestras, se distribuyen de acuerdo a una Normal o Distribución de Gauss. A raíz de

este modelo se obtiene un intervalo [�̅� − 𝐸𝑥 ; �̅� + 𝐸𝑥] en el que estarán contenidas las medidas con una

probabilidad del 95,5%. Esta forma de hallar la incertidumbre no cuenta con que cada muestra pueda tener

asociada otra incertidumbre, solo utiliza el tamaño muestral y los valores de estas.

Según lo anterior no se puede distinguir en los cálculos entre la incertidumbre introducida por el tiempo y la

introducida por la distancia, pues ambas regresiones (con ambas variables como variable dependiente) dan

exactamente el mismo resultado. No obstante, a efectos del cálculo de la incertidumbre en el resultado final,

carece de importancia hacerlo considerando ambas incertidumbres o asociándolas en una sola, pues la distancia

a la recta de mejor ajuste será la misma. La Figura 3.7 se explica por sí sola:

Para una parábola de mejor ajuste también puede asumirse esta condición, siempre que el punto experimental

no difiera mucho de la misma; es decir, con incertidumbres pequeñas.

Después de todo esto, explicar que además de esta recta de ajuste y su “inversa”, por así decirlo, se han llevado

a cabo otra recta de regresión más y una regresión parabólica. Al igual que en la primera recta se “admitía” que

la velocidad inicial era nula (directamente ni se estimaba), en la segunda se admitirá nula la posición inicial,

quedando como en (3.6):

(3.6) ( )a t cte g 2

0 0

0

1( )

2

0

s t s v t g t

s

0

( ) 1

2

s tv g t

t

De forma que la recta y su inversa quedarán de una forma algo más enrevesada, como:

(3.7)0

2

y A Bx

s gv t

t

0

2 2

y A Bx

st v

g g t

Figura 3.7. Simplificación en la Definición de Incertidumbre


27

En el caso de la regresión parabólica no se tendrá que realizar ninguna hipótesis adicional sobre las condiciones

iniciales, ya que cada una vendrá dada por el valor de un coeficiente. En este caso no es aplicable realizar la

regresión inversa:

(3.8)

2

2

0 0

1( )

2

y A Bx Cx

s t s v t gt

A continuación se presenta la Tabla 3.4 con cada una de estas regresiones y los resultados obtenidos de ellas. En

un afán de comparar los mismos cálculos utilizando distintas herramientas, se hicieron todos los cálculos por

triplicado, utilizando la calculadora, Excel y la App de MatLab, “Curve Fitting”. Esto ayuda a la parte del

proyecto sobre el desarrollo de la interfaz de cálculo; se van teniendo indicaciones de cómo actúa (que tipo de

algoritmo implementa) cada una y cuál puede ser más adecuada para este fin. Para saber cómo utilizar cada una

de las tres herramientas presentadas, el lector puede acudir al Anexo III de esta memoria, en el que se detallan

con vistas a la elección de una u otra opción.

Tabla 3.4. Resultados por Distintos Análisis. Montaje Inicial

En este aspecto, nótese que para el caso de regresión parabólica usando la calculadora, no se dan los valores de

las incertidumbres asociadas a los coeficientes. Esto se debe a que la complejidad que conllevan sus cálculos

(resolución de un sistema de ecuaciones no lineales de orden 3), no está justificada por el grado de precisión con

Hta.

Regresión

Calculadora Excel MatLab

Con 0,5 Sin 0,5 Con 0,5 Sin 0,5 Con 0,5 Sin 0,5

Rec

ta (

𝒕𝟐,𝒔

)

𝒔𝟎(𝒎) 0,016±0,04 0,0238±0,0004 0,02±0,04 0,024±0,004 0,02±0,04 0,024±0,007

𝒓 0,997 0,99998 0,997 0,99998 0,998 0,9998

𝒈(𝒎/𝒔𝟐) 10,8±0,8 10,71±0,07 10,8±0,8 10,71±0,07 10,7±0,7 10,72±0,13

Rec

ta (

𝒔,𝒕

𝟐)

𝒔𝟎(𝒎) 0,011±0,022 0,0236±0,0021 0,01±0,04 0,024±0,024 0,02±0,04 0,024±0,007

𝒓 0,997 0,99998 0,997 0,99998 0,997 0,9998

𝒈(𝒎/𝒔𝟐) 10,8±0,8 10,71±0,07 10,8±0,8 10,71±0,07 10,7±0,7 10,72±0,13

Rec

ta (

𝒕,𝒔

/𝒕)

𝒗𝟎(𝒎/𝒔) 0,14±0,08 0,164±0,004 0,1±0,3 0,164±0,013 0,16±0,23 0,164±0,022

𝒓 0,98 0,99998 0,98 0,99997 0,98 0,9998

𝒈(𝒎/𝒔𝟐) 10,2±1,6 10,17±0,08 10,2±1,6 10,17±0,08 10,2±1,5 10,17±0,14

Rec

ta (

𝒔/𝒕

,𝒕)

𝒗𝟎(𝒎/𝒔) 0,0±0,5 0,164±0,024 0,0±0,3 0,164±0,014 0,16±0,24 0,164±0,014

𝒓 0,98 0,99998 0,98 0,99997 0,98 0,9998

𝒈(𝒎/𝒔𝟐) 10,5±1,7 10,17±0,08 10,5±1,7 10,17±0,08 10,2±1,4 10,17±0,14

Pará

bola

(𝒕,𝒔

)

𝒔𝟎(𝒎) 0,262 0,01129 0,2±0,8 -0,01±0,06 0,0±0,6 0,01±0,09

𝒗𝟎(𝒎/𝒔) -1,66109 0,0906 5,34±0,24 0,2±0,4 0,0±4 0,1±0,6

𝒈(𝒎/𝒔𝟐) 16,1918 10,4012 16±18 10,0±1,4 10±14 10,4±2,0


28

el que se trabaja aquí (𝑛 = 6), además de sobrepasar el nivel de trabajo “manual” (pues se requiere para realizar

la práctica con la calculadora) pedido a un alumno de prácticas de primer curso.

También se vuelve a duplicar la casuística y los cálculos para cada uno de los anteriores en dos casos: el primero

con todos los puntos medidos, y el segundo eliminando el punto correspondiente a la tercera distancia, 0,5(𝑚).

Como ya se explicó, el tiempo que junto con la distancia define este punto es la media de tres repeticiones, donde

una de las cuales es descaradamente errónea.

A continuación se listan los comentarios a los resultados en función de las opciones probadas para cada aspecto

de los expuestos anteriormente:

Es ahora cuando se aprecia la diferencia entre incluir o no el punto erróneo en la regresión, para ello se

adjunta en la Tabla 3.4, además de los valores de los parámetros posición y velocidad iniciales y gravedad

con sus incertidumbres, el valor del coeficiente de correlación (para las rectas). Se aprecia cómo,

excluyendo el susodicho punto, la correlación entre el resto es más que buena. Sin embargo, los valores

en el otro caso (rondando 0,99) no son aceptables para un conjunto de datos como este, en el que se

requiere bastante más exactitud en la linealidad que la que ofrece una nube de puntos como esta; podría

decirse que es bastante “dispersa” para con la naturaleza del experimento.

Se reafirma la necesidad de ser meticulosos durante la realización del experimento y de asegurar que las

mediciones son mínimamente coherentes para obtener unos buenos resultados.

En cuanto a las distintas herramientas, lo primero es mencionar que los resultados obtenidos con la

calculadora y con Excel son prácticamente iguales. Esto quiere decir que ambos utilizan los mismos

algoritmos de resolución y con una precisión similar (teniendo en cuenta la requerida). Representa un

punto a favor para elegir Excel como herramienta para la interfaz que deberán usar los alumnos.

Por otra parte, utilizando la App “Curve Fitting” de MatLab, los resultados son también muy parecidos a

los anteriores, con lo cual se concluye que las tres herramientas utilizadas son igualmente válidas para el

análisis de los datos experimentales. Esto también se traduce en que los alumnos podrían utilizar

indistintamente cualquiera de las tres formas, solventando la posible falta de disponibilidad de alguna de

ellas (no todos tendrán MatLab, Excel y una calculadora a disposición pero, casi con toda seguridad, si

tendrán alguna de ellas).

Respecto a los casos de las rectas “inversas”, decir que no tiene ningún efecto sobre el resultado, todos los

casos son iguales exceptuando el de la recta (𝑠/𝑡, 𝑡) que incluye el punto erróneo con calculadora y Excel,

en el que se obtiene una gravedad tres décimas mayor que en el resto de los casos para esa recta. Esto se

deberá a que la variable independiente (𝑠/𝑡) es fracción de ambas variables medibles y, que frente a

muestras con una correlación lineal baja, provoca grandes fluctuaciones en los resultados. Puede decirse

que el análisis con esta recta no es muy robusto.

Como comparación de las tres ecuaciones: la que anula la posición inicial, (𝑡, 𝑠/𝑡), ofrece los valores de

la gravedad más cercanos al real, aunque esto no supone, en principio, que sea la mejor. Puede que al

corregir los errores del montaje los valores bajen, quedando estos como los más alejados del real. Además

ya se ha comentado que no parece ser una ecuación muy robusta. Sí parece más robusta la ecuación que

anula la velocidad inicial, (𝑡2, 𝑠), que proporciona unas bandas de incertidumbre menores. Por último, la

regresión parabólica, frente a su ventaja de no despreciar ninguna condición inicial, está la adversidad de

que al ser de un orden mayor y con el mismo tamaño muestral, devuelve unos márgenes de incertidumbre

demasiado elevados. También es la más susceptible a la presencia de mediciones erróneas, como puede

verse para calculadora y Excel, pero no para MatLab (esto indica que la App puede implementar la

detección y eliminación de puntos erróneos). Aun así, se seguirá considerando una opción importante de

aquí en adelante.

Para concluir con los tipos de análisis se muestran las representaciones de todas las regresiones anteriores en la

Figura 3.8. Están obtenidas mediante MatLab, pero no con la App “Curve Fitting”, sino con el código

desarrollado también en el Anexo II, a continuación de la primera resolución de la práctica. Mencionar que las

líneas rojas representan los intervalos de confianza al 95,5% en cada regresión, obtenidos a partir de las

desviaciones estándar. Este código se desarrolló al mismo tiempo que se probaba la App, para intentar imitarla

y comprender cómo computaba los datos. Finalmente los resultados obtenidos son los mismos, así que las

gráficas obtenidas con el código se corresponden exactamente con los números de la Tabla 3.4.


29

La primera fila de gráficas se corresponde con los cinco ajustes incluyendo el punto erróneo, la de abajo sin él.

Esto apoya la conclusión mencionada en el primero de los comentarios anteriores.

Para una observación más detallada de las gráficas y del procedimiento utilizado así como las funciones que

intervienen, se invita al lector a ejecutar el archivo “practica2.m” contenido en el conjunto de este proyecto en

MatLab, después de descomentar el último grupo de líneas de código, cuyo cometido es representar las gráficas

una por una. En caso de no disponer de este archivo puede copiarse el código desde el Anexo II en un nuevo

“script” de MatLab, todos los datos están definidos en él.

Sobre la calculadora no hay mucho que decir, sólo se darán nociones de cómo realizar rectas de regresión

apoyándose en el manual de instrucciones. Sobre Excel se comentarán tanto la “hoja” facilitada por el profesor

para realizar rectas de regresión lineal, como otras desarrolladas y complementos utilizados para el análisis de

datos y para las regresiones lineales parabólicas.

El hacer tanto hincapié en el desarrollo de un código que imite las características de la App “Curve Fitting” se

debe a que desde MatLab pueden obtenerse aplicaciones independientes, es decir, podría ser la herramienta con

la que generar la interfaz de usuario para el alumnado sin tener que depender ni de MatLab, ni Office y ni siquiera

de una calculadora para realizar la práctica, tan solo de uno de los ordenadores disponibles en el Centro de

Cálculo de la Escuela y una conexión a internet.

Respecto al “Curve Fitting” se incluyen como adjuntos a esta memoria los archivos con los casos estudiados,

que pueden cargarse desde la propia aplicación para cambiar opciones en las características del ajuste y observar

sus efectos. Se encuentran en la carpeta “Curve Fitting” junto con el resto de archivos entregables del proyecto.

Como resumen puede decirse que, con vistas al estudio de los resultados a obtener con el montaje mejorado, se

suprimirán los casos de rectas “inversas”, ya que como se ha visto no aportan ninguna ventaja y doblan el

volumen de cálculos. Se continuará probando las distintas ecuaciones y se intentará desarrollar otras nuevas. En

cuanto a las herramientas puede eliminarse también el caso de la calculadora pues, como se ha comprobado,

ofrece las mismas prestaciones que Excel pero con un coste temporal bastante mayor; por tanto, se usarán

MatLab y Excel en principio.

0.05 0.1 0.15

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

s frente a <t>2

<t>2 (s2)

s (

m)

0.05 0.1 0.15

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

S frente a <T>2

<T>2 (s2)

S (

m)

0.4 0.6 0.8

0.05

0.1

0.15

<t>2 frente a s

s (m)

<t>

2 (

s2)

0.4 0.6 0.8

0.05

0.1

0.15

<T>2 frente a S

S (m)

<T

>2 (

s2)

0.25 0.3 0.35

1.4

1.6

1.8

2

s/<t> frente a <t>

<t> (s)

s/<

t> (

m/s

)

0.25 0.3 0.35

1.4

1.6

1.8

2

S/<T> frente a <T>

<T> (s)

S/<

T>

(m

/s)

1.4 1.6 1.8 2

0.25

0.3

0.35

<t> frente a s/<t>

s/<t> (m/s)

<t>

(s)

1.4 1.6 1.8 2

0.25

0.3

0.35

<T> frente a S/<T>

S/<T> (m/s)

<T

> (

s)

0.25 0.3 0.35

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

s frente a <t>

s (

m)

<t> (s)

0.25 0.3 0.35

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

S frente a <T>

S (

m)

<T> (s)

Figura 3.8. Regresiones de los Tipos de Análisis


30

3.3. Montaje Final

Después de la extensa descripción del estado inicial de la práctica de caída libre contenida en el apartado 3.2, ya

pueden plantearse posibles mejoras y soluciones a los problemas detectados. Estos problemas resultan ser los

mismos que se intuían antes de dicha descripción; sin embargo, más que una simple intuición ahora puede

decirse con seguridad que todos ellos están involucrados en mayor o menor medida en la escasez de exactitud y

robustez que domina los resultados adversos de esta práctica.

Por tanto, en este punto, lo primero será plantear y llevar a cabo posibles mejoras sobre el montaje físico de la

práctica, intentando paliar todas las fuentes de incertidumbre mencionadas y otras que puedan surgir durante el

proceso. Una vez se tome la decisión de que el montaje es lo suficientemente robusto y no surjan más acciones

correctoras, se realizarán pruebas y se recolectarán las mediciones oportunas para poder realizar los análisis y

determinar, a través de sus resultados, el grado de mejora adquirido con las iniciativas efectuadas.

Respecto a los tipos de herramientas y métodos analíticos se comenzará con lo convenido en el apartado 3.2, y

se continuarán desarrollando en función de los resultados obtenidos con el nuevo montaje y también en función

del estudio paralelo llevado a cabo sobre la elaboración de la interfaz gráfica para uso del alumnado.

3.3.1. Mejoras Implementadas al Montaje

Aunque ya se han comentado a lo largo de esta memoria muchas de las causas o fuentes de incertidumbre del

montaje inicial, resulta importante remarcar dónde y por qué se producen las mediciones, los números, que

llevan esa incertidumbre asociada.

Por supuesto, el nexo de unión entre el experimento físico (el conjunto de elementos que conforman el montaje)

y el entramado analítico del que surgen los resultados (en concreto, el valor de la aceleración de la gravedad),

está definido por los vectores numéricos tanto de distancia como de tiempo.

Los valores de las componentes de estos vectores son los expuestos a esta incertidumbre, por tanto, con todo

esto lo que se pretende es no perder de vista que lo único que deben garantizar las medidas de mejora que se

tomen es definir perfectamente el proceso de medida tanto de la distancia como del tiempo, acotando al máximo

posible las bandas de incertidumbre.

Antes de comenzar a describir los cambios realizados en el montaje es preciso mencionar que, aunque se haya

dado por supuesto que el procedimiento se basará en la manipulación del conjunto original para su mejora,

también se sigue teniendo en cuenta la posibilidad de desarrollar un nuevo montaje, basado en otros

instrumentos, para analizar el movimiento de la caída libre de un cuerpo.

Sin embargo, dado que se pretende conservar la simplicidad y observabilidad propias de esta experiencia, una

de las únicas modificaciones que a priori podrían definirse como “nuevo montaje” sería la utilización de un tubo

de vacío dentro del cual tuviera lugar la caída, esto podría conseguirse con una bomba de vacío como muestra

la Figura 3.9; o un tubo abierto en cuyo interior se desarrollase una corriente de aire de características tales que

en cada punto del trayecto, la corriente tuviese una velocidad lo más parecida posible a la teórica de la esfera,

para así eliminar el efecto del rozamiento del aire. Esto podría conseguirse succionando desde el extremo final

del recorrido de la bola.

Figura 3.9. Bomba de Vacío para Tubo de Vacío


31

Resulta lógico pensar que ninguna de estas opciones es viable debido principalmente a dos razones: primero

porque la complejidad que conllevan va en contra del principio de simplicidad que tanto se ansía, cambiando

además la naturaleza del problema a analizar; y segundo debido a que representaría un uso poco efectivo de tales

materiales cuya adquisición puede incurrir en gastos innecesarios, comparando con el escaso aumento de

exactitud que aportarían.

Sin más, se pasa a listar las mejoras implementadas en el montaje:

En primer lugar, y como mejora más importante, se sustituye el sistema de dos células fotoeléctricas

movibles para varias distancias por un sistema de cinco células, cada una fijada a 20(𝑐𝑚) de las demás.

De esta forma la primera dará pie al inicio de la cuenta, y las siguientes ofrecen cuatro medidas de tiempo

de caída; a 20, 40, 60 y 80(𝑐𝑚) respectivamente. Queda un conjunto fijo, de sensores y varilla, que elimina

la aleatoriedad en el ajuste de distancias para cada realización del experimento.

El cambio anterior supone también el cambio de cronómetro, pues en el original solo es posible conectar

y obtener medidas de dos canales, es decir, dos células fotoeléctricas. Por suerte, el laboratorio cuenta con

varios tipos de cronómetros y se tuvo la oportunidad de disponer del siguiente:

Timer 4-4. Item no.: 13604-99. Frente al Timer 2-1 utilizado en el montaje inicial, este tiene las ventajas

de poseer 4 cronómetros independientes cada uno con su pantalla de cuatro dígitos como puede apreciarse

en la Figura 3.10, más modos de funcionamiento y conexión USB para configuración del funcionamiento

y extracción de datos. Además tiene una resolución de 1(𝑚𝑠) reducible en uno de sus modos a 1(𝜇𝑠). La

alimentación es similar al anterior. En conclusión, es el instrumento de medida temporal adecuado para

este montaje.

El siguiente cambio realizado tiene que ver con la robustez del sistema frente a los movimientos que pueda

sufrir el conjunto debido a golpes o a través de los cables de conexión al manejar el cronómetro o el

interruptor. Consiste en cambiar el pie soporte, donde va fijada la varilla con todas las células y demás

ítems, por otro más grande y pesado y con cogidas (agujero y tornillo) más potentes y efectivas. Otra

característica importante de esta base es que resulta muy versátil al tener seis posiciones (agujeros) donde

fijar varillas como muestra la Figura 3.11; esto servirá para la siguiente mejora.

Figura 3.10. Cronómetro 4-4

Figura 3.11. Base Soporte Más Robusta


32

Dados las seis posibles posiciones que presenta el pie anterior, se aprovecha esto para acoplar la regla

milimetrada a una de ellas, mejorando respecto a la condición anterior en dos aspectos: queda fijada

respecto al resto del conjunto, y además se sitúa más cerca de los puntos entre los que debe existir una

determinada distancia, los emisores y receptores de infrarrojo de las células. Esto no asegura una alta

precisión en las medidas al colocar las células, pues aún corresponde gran parte de ella a la destreza visual

del individuo; sin embargo supone un avance.

Respecto al péndulo utilizado para guardar la verticalidad entre los sensores en el montaje anterior no

cambia nada. Esto solo sirve para, a la hora de preparar el experimento, comprobar que los sensores de las

células están alineados verticalmente. Si no estuviese bien ajustado, la esfera no cortaría el haz de luz y

los cronómetros no se detendrían; por ello esto no supone una fuente de incertidumbre, solo una adversidad

en el proceso de puesta en marcha de la práctica.

Otra acción a tener en cuenta ahora, dado el aumento en el número de cables necesarios, es mantenerlos

recogidos o agrupados de alguna forma para evitar posibles accidentes. Por ejemplo, pueden trenzarse de

tres en tres para cada célula (alimentación, tierra y señal), o pueden usarse bridas para fijarlos a la varilla

soporte (siempre permitiendo un mínimo movimiento por posibles ajustes necesarios); también podrían

ser enfundados. En principio se dejarán trenzados.

Finalmente, después de todas estas medidas correctoras, se obtiene un montaje algo más aparatoso que el anterior

aunque mucho más robusto, mostrado en la Figura 3.12. Habrá que comprobar la eficacia de estos cambios

tomando medidas y analizando los resultados convenientemente.

Figura 3.12. Montaje con Mejoras Implementadas


33

3.3.2. Ajuste y Toma de Datos

Se precisa un subapartado como este, dedicado al ajuste del montaje y a la toma de datos, para definir unas

pautas a seguir para una correcta realización de la práctica. Esto es una extensión de las normas y consejos

expuestos en el apartado 3.1.

El ajuste consistirá en varios aspectos: asegurarse de que todas las conexiones están bien hechas y de que los

cables están en buenas condiciones. Las células deberán tener sus haces alineados perfectamente para asegurar

que la bola los atraviese durante su caída. Los aparatos deben estar correctamente alimentados, esto es

especialmente importante para asegurar la integridad de los mismos. En el cronómetro hay que seleccionar el

modo correcto de funcionamiento, es decir, el que comienza la cuenta con el cambio de nivel de tensión en la

entrada “starter” en los cuatro cronómetros y la finaliza con el cambio de tensión de cada entrada 1 a 4; el led

correspondiente ha de estar encendido, como muestra la Figura 3.13.

Los ajustes anteriores son secundarios, debido a que si alguno de ellos no se cumple los resultados serán

absurdos. Es el caso por ejemplo de que el tiempo 4 salga menor que el tiempo 3; esto indica que el modo del

cronómetro no es el adecuado. O que uno de los cronómetros esté a cero o a 9,999, el máximo, con lo que habría

que revisar las conexiones y/o la verticalidad de la célula con el resto.

Más importante que los anteriores es el ajuste de distancias. Son dos tipos: la distancia desde el punto más bajo

de la esfera cuando está unida al electroimán hasta el haz infrarrojo de la primera célula (la conectada al

“starter”), esta definirá la posición inicial teórica que servirá de referencia para comparar con las obtenidas en

las regresiones que proporcionen la posición inicial. Y las distancias entre cada dos células, que definen los

incrementos de distancia que forman uno de los dos vectores con los que realizar las distintas regresiones; cuanto

menos exactas sean estas medidas mayor será la incertidumbre y menor la correlación lineal (en los casos que

proceda). Un factor determinante para garantizar que esta última distancia es correcta es la horizontalidad de las

células; dado que el método de sujeción al soporte es un tornillo, puede usarse un nivel para tal ajuste, como

muestra la Figura 3.14.

Respecto a la posición inicial, es imposible garantizar que sea totalmente nula, ya que solamente para colocar la

bola en el imán ya se necesita un mínimo espacio. Se consigue reducir hasta unos 2 − 3 (𝑚𝑚), lo cual habrá que

tener en cuenta al analizar los datos resultantes de las pruebas. Como se verá en el resto del capítulo, esto

constituirá una incertidumbre sistemática insalvable hasta el final.

Con el propósito de garantizar la máxima precisión, para la toma de datos hecha como prueba de este nuevo

montaje se utilizó, además de la regla del conjunto, otra regla milimetrada más pequeña y manejable que permitió

medir las distancias entre sensores de forma exhaustiva, como también se aprecia en la Figura 3.14.

Figura 3.13. Selección de Modo del Cronómetro

Figura 3.14. Nivelación y Ajuste de Distancias entre Sensores


34

Después de repasar todos los aspectos anteriores sobre el ajuste del montaje se procede a la realización del

experimento y la toma de datos. Para ello, al igual que con el montaje inicial, habrá que tener ciertas precauciones

durante el proceso; sin embargo, con las mejoras implementadas serán menos y de menor importancia.

Principalmente habrá que evitar golpes al conjunto o tirones de los cables durante la realización, habiéndose

solventado el resto de fuentes de incertidumbre aleatorias conocidas.

Como tras el análisis de los resultados del montaje inicial se desechó la posibilidad de realizar rectas de regresión

“inversas” (intercambiando las variables dependiente e independiente) ya que proporcionaban los mismos

resultados; en el siguiente apartado dedicado a lo mismo se incluirán las mismas regresiones y alguna más para

seguir teniendo un aceptable abanico de posibilidades a la hora de elegir el análisis adecuado.

Para comparar los distintos análisis se realizará el experimento con tres esferas distintas, todas de acero, pero de

distintos tamaños, sus propiedades están recogidas en la Tabla 3.5:

Tabla 3.5. Características de las Tres Esferas

En el caso de que no se obtenga ninguna conclusión significativa por el hecho de usar las diferentes esferas, se

desechará esta iniciativa para próximas pruebas al igual que se desecharon las rectas de regresión “inversas” en

el montaje inicial. Esto es debido, por supuesto, a que se estaría triplicando el volumen de cálculo de datos sin

ningún beneficio.

Finalmente se procede a la toma de datos, resultando la Tabla 3.6. Se han realizado siete repeticiones con cada

esfera, lo cual supone un total de 3 · 7 · 4 = 84 instantes medidos. No se incluyen todas estas mediciones en la

presente memoria, sin embargo están recogidas en el archivo entregable nombrado como “practica3.m” para su

consulta. En este archivos, además de las mediciones, se recogen los cálculos de todas las variables intermedias

necesarias para los distintos análisis que se comentarán en el siguiente apartado y para la representación de

resultados.

Así pues, los tiempos expuestos en la Tabla 3.6 son las medias de las siete repeticiones para cada uno de los

cuatro instantes medibles para las tres esferas. Como se observa, las diferencias son casi inapreciables, como

debe ser, aunque ya que se ha iniciado el análisis con las tres esferas se continuará. En cuanto a las incertidumbres

constantes de 𝐸𝑡 = 1(𝑚𝑠), se toma directamente la precisión del aparato pues, al igual que como se explica en

el punto 3.2.2, tomando las medidas con cierta prudencia las incertidumbres dadas por la Teoría de Errores son

menores. Aun así, siempre hay que cerciorarse de que esto se cumple, y así se hizo.

Tabla 3.6. Medias de las Mediciones Nuevo Montaje

Esfera Diámetro ± 0,5 (mm) Masa ± 0,1 (g)

Grande 20 32,6

Mediana 17,5 21,8

Pequeña 12,5 8,4

Esfera 𝒕𝟏 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔) 𝒕𝟐 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔) 𝒕𝟑 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔) 𝒕𝟒 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒔)

Grande 0,162 0,248714 0,312143 0,367714

Mediana 0,163286 0,249571 0,313286 0,368571

Pequeña 0,166143 0,251429 0,314571 0,369571


35

3.3.3. Análisis y Resultados

Una vez realizada la prueba del experimento sobre el montaje denominado “final” (aunque esto no significa que

no puedan realizarse mejoras adicionales) y teniendo los datos oportunos se procede al análisis de los mismos

para la determinación de la aceleración de la gravedad, tanto de su valor como de la estimación de la

incertidumbre asociada. A partir de este momento todos los cálculos se harán empleando únicamente Excel, las

razones de esto vienen recogidas en el Anexo III.

Este apartado representa la comprobación de si los cambios realizados sobre el montaje proporcionan o no un

grado de mejora suficiente como para aceptar este montaje como “final”, constituyendo una de las dos opciones

(junto con la resultante del plano inclinado) para establecerse como práctica de la asignatura de Física para los

alumnos de primer curso.

Todo lo aquí comentado se apoya en el archivo “practica4.xlsx”, en el cual están recogidos los análisis de los

datos proporcionados tanto por este montaje final como por el inicial. Se incluye aquí el “inicial” para dejar

constancia de la obtención de los resultados expuestos en el apartado 3.2.4 y para poder comparar resultados de

un vistazo.

Este archivo se compone de tres hojas: “Mediciones”, “Cálculos y Datos” y “Resultados”. La primera contiene

las mediciones exactas tomadas en el laboratorio, cuyos valores se recogen además en el archivo “practica3.m”

comentado anteriormente. Respecto a este archivo, puede decirse que su cometido es el mismo que

“practica4.xlsx”, pero en MatLab. Esto se debe a dos razones, realizar una transición de herramienta informática

gradual (que se explica en el Anexo III) y, sobre todo, obtener una representación análoga a la Figura 3.8, del

apartado 3.2.4, comparando gráficamente los resultados de las regresiones en los dos montajes.

La segunda consta de dos partes, primero se encuentra la tabulación de todas las variables, intermedias o no,

necesarias para llevar a cabo todos los ajustes de regresión. Hay que decir que todas las casillas están vinculadas

a los datos de la hoja “Mediciones”, con lo cual, para hacer el análisis a los datos de otra prueba, no hay más que

cambiar los de esta última. Seguidamente se encuentran las propias regresiones realizadas para los casos

parabólicos. Se incluyen aquí y no en la hoja “Resultados” debido a que para su cómputo se ha hecho uso de un

complemento de Excel, llamado “Real Statistics”, desarrollado por el Dr. Charles Zaiontz, independiente de

Microsoft. Entre sus muchas posibilidades, esta herramienta permite hacer regresiones polinómicas de grado

dos mediante el método de mínimos cuadrados. De las tablas obtenidas al ejecutar dicho complemento en

“Cálculos y Datos” se llevan los resultados finales a la última hoja “Resultados”. En el Anexo III se detallan las

características de esta herramienta.

La tercera hoja, como puede intuirse, contiene los resultados de todos los casos en forma de tabla. Sólo se dan

los valores de los parámetros posición inicial, velocidad inicial y gravedad con sus incertidumbres, además de

los coeficientes de correlación (lineal o parabólica según proceda). No se incluyen resultados intermedios como

los valores de los coeficientes de las regresiones porque en la mayoría de los casos coinciden con los anteriores.

En cada hoja de este archivo (y en general para todos los archivos Excel de este proyecto) se incluyen cuadros

de texto con la descripción del contenido correspondiente y comentarios a los resultados observados. Serán

tratados como complementos a este apartado.

Después de esta explicación se exponen primero las regresiones utilizadas, es decir, las ecuaciones cuyos

coeficientes se calcularán en base a los datos. Como se comentó en el último apartado del montaje inicial 3.2.4,

se llevarán a cabo las dos rectas y la parábola, eliminando los casos de recta inversa. Se incluye en este momento

una nueva recta de regresión que usará valores medios, esto es, se calcularán los valores medios entre cada dos

mediciones para hallar una recta en términos de velocidad, como en (3.9).

(3.9) 1

1

i i

i i

s s

mi t tV

1

2

i it t

miT

Su obtención se basa en que bajo una aceleración uniforme, la velocidad aumentará linealmente con el tiempo,

y utilizando velocidades medias y tiempos medios, se obtiene la ecuación de la recta (3.10-3), con 𝑣0 la velocidad

inicial, idealmente nula. Finalmente quedarán los cuatro ajustes dados por las ecuaciones (3.10):


36

(3.10)

2

0 0

0 0

0

2

0 0

1. ; 02

2. ; 02

3.

14.

2

m m

gs s t v

s gv t s

t

V v gT

s s v t gt

Esta tercera ecuación presenta la ventaja de que, aun siendo una recta y teniendo sólo dos coeficientes a estimar

(para la aceleración y la velocidad inicial), no necesita de hipótesis simplificativas en relación a la posición

inicial; simplemente no está contenida en ella. En contra, al ser los puntos usados en la regresión valores medios

entre cada dos puntos de la medición, resulta que la muestra será siempre de tamaño (𝑛 − 1), siendo (𝑛) el

número de puntos de la medición. Teniendo en cuenta que en este caso 𝑛 = 4, reducir una unidad para la

regresión provoca un aumento muy considerable de las bandas de incertidumbre. Se comentará la eficacia o no

de esta ecuación después de la presentación de resultados.

Ya se han comentado las tres esferas y las cuatro ecuaciones, falta explicar los distintos conjuntos de datos. Los

correspondientes al montaje inicial, incluyendo o no el dato erróneo, son debidos a la misma razón que la

expuesta en el apartado 3.2.4, comparando los resultados puede advertirse la importancia de ser cautos en la

toma de datos. Los dos conjuntos para el montaje final también persiguen este fin.

Y es que la primera prueba realizada con este montaje fue la llamada “en flancos de bajada”, esto hace referencia

al modo de funcionamiento del cronómetro, más específicamente al de los sensores que detienen la cuenta de

tiempo. Este instante puede venir dado por dos hitos distintos: que el haz se corte (flanco de bajada) o que vuelva

a verse (flanco de subida). El sensor que inicia la cuenta de los cuatro cronómetros está en flanco de subida, es

decir, empieza a contar cuando la esfera ya ha pasado. Así pues, si se activa el modo “flancos de bajada” en los

sensores restantes se estará calculando el tiempo que tarda la esfera en recorrer no 20(𝑐𝑚), sino 20 − 2 · 𝑅(𝑐𝑚),

siendo R el radio de la esfera en (cm). Todo esto se entiende mejor con el esquema de la Figura 3.15.

Para la esfera “grande” (𝑅 = 1(𝑐𝑚)) esto supone disminuir la distancia de ensayo en un 10%, lo cual puede

provocar fluctuaciones importantes en los resultados. Pero más peligroso es que la incertidumbre cometida sea

pequeña (que de hecho lo es) pues, como se explicó en el apartado 3.2.2, puede pasar desapercibida incluyendo

en los resultados una incertidumbre sistemática inadvertible.

Esta primera prueba errónea no fue adrede, sin embargo se han computado sus datos para tener una idea de la

magnitud de esta fluctuación en los valores finales. Se pretende estudiar todo posible aspecto que pueda influir

en la bondad de los resultados y estimar el grado de esta influencia.

Así pues, queda como conjunto de datos definitivo, el nombrado “en flancos de subida”. Antes de exponer los

resultados debe hacerse un recuento de los casos a analizar para este nuevo montaje:

Figura 3.15. Diferencia Flancos de Bajada y Subida


37

3 esferas de distintas dimensiones (sólo para montaje final)

4 ecuaciones de regresión

4 conjuntos de datos:

- Montaje inicial con dato erróneo

- Montaje inicial sin dato erróneo

- Montaje final en flancos de bajada

- Montaje final en flancos de subida

Con todo, se tiene un total de 4(2 · 3 + 2 · 1) = 32 valores distintos para g. Resulta ser un buen muestrario sobre

el que comparar, hacer hipótesis y sacar conclusiones.

Antes de empezar a analizar los resultados obtenidos con los cálculos del archivo “practica4.xlxs”, conviene

comparar gráficamente las regresiones con las obtenidas mediante MatLab para el montaje inicial. Esto se hace

con el código implementado en “practica3.m”, el cual puede también consultarse y copiarse del Anexo II si no

se dispone del archivo. El objetivo de este archivo es la Figura 3.16.

Las gráficas de la parte superior se corresponden con los cuatro ajustes realizados para los datos tomados en

“flancos de bajada”, y las de la parte inferior a “flancos de subida”; todo para la esfera grande (como en el

montaje inicial). Aunque sea esta segunda opción la correcta, se observa que sus bandas de incertidumbre son

bastante más amplias que las del caso erróneo, flancos de bajada. Puede parecer contradictorio, sin embargo,

esto ocurre principalmente por la imprecisión en la toma de datos y la sensibilidad a incertidumbre debido al

pequeño tamaño muestral, como sugieren las gráficas del tercer ajuste (𝑛 = 3).

En el archivo también se computan y representan los datos correspondientes a las esferas mediana y pequeña y,

para confirmar el párrafo anterior, puede verse que los casos con menores bandas de incertidumbre son los

correspondientes a “flancos de subida”. Para visualizar esto, ejecute el archivo “practica3.m”.

Continuando con el proceso en Excel, se recomienda seguir leyendo con la hoja “Resultados” del archivo

“practica4.xlxs” por delante. Las casillas rellenas en color rojo representan resultados inadmisibles en cuanto a

la incertidumbre obtenida para la gravedad, solo se han marcado los casos extremos (en los que la incertidumbre

0 0.1 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1s frente a <t>2

<t>2 (s2)

s (

m)

0 0.2 0.41

1.5

2

2.5s/t frente a <t>

<t> (s)

s/t

(m

/s)

0.2 0.3 0.42

2.5

3

3.5

4Vm frente a Tm

Tm (s)

Vm

(m

/s)

0 0.2 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1s frente a <t>

<t> (s)

s (

m)

0 0.1 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1s frente a <t>2

<t>2 (s2)

s (

m)

0 0.2 0.41

1.5

2

2.5s/t frente a <t>

<t> (s)

s/t

(m

/s)

0.2 0.3 0.4-2

0

2

4

6

8Vm frente a Tm

Tm (s)

Vm

(m

/s)

0 0.2 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1s frente a <t>

<t> (s)

s (

m)

Figura 3.16. Regresiones Esfera Grande. Montaje Final


38

es del mismo valor que la propia g), sin embargo hay otros casos que tampoco deberían ser aceptados como

definitivos por ser su incertidumbre aproximadamente un orden menor que 𝑔 (en concreto los del “Ajuste 3”).

Las casillas con fondo verde hacen referencia a los casos con mejores resultados tanto para 𝑔 como para su

incertidumbre. Como puede apreciarse, en el montaje final en flancos de subida, ninguno de los ajustes

(ecuaciones) proporciona buenos resultados para ambos valores.

Se listan a continuación los comentarios correspondientes a las distintas comparaciones posibles:

Montaje inicial: CON y SIN el dato erróneo.

Además de lo ya expuesto en el apartado 3.2.4, pueden sacarse algunas conclusiones sobre el

comportamiento de las distintas ecuaciones en función del grado de correlación de la muestra:

- En las dos primeras rectas no afecta demasiado al valor de 𝑔, variando como mucho en 0,05(𝑚/𝑠²).

En la parábola es al contrario, se obtienen casi 16(𝑚/𝑠²) en presencia del punto erróneo y 9,98(𝑚/𝑠²)

sin él. Usando la tercera recta también varía mucho el resultado, con unos 13(𝑚/𝑠²) contra

9,93(𝑚/𝑠²). Este último es el valor más cercano al real obtenido con el montaje inicial.

- Es la incertidumbre de 𝑔 (y en general las incertidumbres de todos los parámetros) la que aumenta

en más de un orden de magnitud añadiendo el punto en todos los casos.

- Dicho lo anterior, puede advertirse que las ecuaciones más robustas son las dos primeras. Esto tiene

sentido dado que la tercera cuenta con un punto menos que el resto y la cuarta, al ser una regresión

polinómica de grado dos, ha de calcular un parámetro más que el resto. A pesar de ello, son las tercera

y cuarta opciones las que brindan valores más cercanos al real, las más exactas.

Montaje final: Flancos de BAJADA y SUBIDA.

Pueden compararse para ver cómo afecta la imprecisión en el ajuste de las distancias durante la preparación

del montaje pues, aunque el fallo fue la elección del modo de funcionamiento, esto equivale a que cada

instante medido corresponda a una distancia reducida (en el diámetro de cada esfera) respecto a la tenida

en cuenta en los cálculos.

El efecto en las aceleraciones es el contrario al esperado pues, al recorrer una distancia menor que la

implementada en el modo flancos de bajada, los cálculos deberían ofrecer una aceleración mayor. Sin

embargo es con los flancos de subida donde se aprecia mayor aceleración. La razón de esto no puede

apreciarse a simple vista de las aceleraciones, hay que tener en cuenta las variaciones en posición y

velocidad iniciales, lo cual resulta bastante complejo.

Como se auguró antes de la obtención de resultados, este efecto resulta inadvertible, pues las variaciones

que provoca en los parámetros calculados no excede los 0,5(𝑚/𝑠²) en el caso de la aceleración gravitatoria,

cifra que podría achacarse al resto de fuentes de incertidumbre del experimento.

Montaje final: Distintas ESFERAS.

El primer parámetro a comparar en este caso es el coeficiente de correlación, puede dar una idea de la

esfera que ofrece unos resultados más homogéneos. Sin embargo, dependiendo del caso ensayado

(flancos) y del tipo de análisis (ecuaciones) no se observa que ninguna de las tres destaque en este sentido.

Comparando los valores de los parámetros (sobre todo 𝑔) sí se observa una cierta tendencia en la mayoría

de los casos: 𝑔 aumenta conforme disminuye la dimensión de la esfera, aunque en rangos poco apreciables.

La validez de esta “conclusión” es dudosa ya que no se cumple para todos los casos y además no se está

teniendo en cuenta la variación del resto de parámetros.

En conclusión, esta comparación no aporta información relevante para la mejora del montaje. Puede seguir

utilizándose la esfera “grande” en el experimento, ya que necesita menor precisión en el ajuste de

verticalidad de los sensores.


39

Hasta aquí se han comparado los aspectos secundarios que fueron surgiendo conforme se desarrollaba el nuevo

montaje y la toma de datos. Ahora se expone la comparación entre el montaje inicial (sin dato erróneo) y el

montaje final (en flancos de subida), cuyas conclusiones constituyen el objetivo de este apartado y de haber

llevado a cabo el “montaje final”:

El aspecto que más llama la atención es el aumento de las incertidumbres de todos los parámetros

(particularidad que ya se ha comentado y razonado en base al menor tamaño muestral). Esto resulta

infranqueable sin aumentar el número de sensores del montaje. El objetivo a perseguir es encontrar el

ajuste que proporcione la menor banda de incertidumbre con una exactitud suficiente.

Se ha comprobado que haciendo variaciones pequeñas en alguno de los puntos (𝑠, 𝑡) los resultados son

descabellados para los ajustes de ambos montajes. Es cierto que el montaje final es mucho más sensible

que el inicial, pero este hecho no importa a la hora de evaluar la mejora del montaje dado que resulta igual

de malo un resultado de 𝑔 = 13(𝑚/𝑠²) que 𝑔 = 48(𝑚/𝑠²) para el fin perseguido.

En consecuencia y teniendo en cuenta la robustez del montaje final frente al inicial (fundamentada en su

condición de “sólido rígido” explicada en todo el apartado 3.2) puede asegurarse que el montaje final

proporciona resultados más fiables que el inicial, siempre y cuando la toma de datos se realice con cierta

delicadeza.

Respecto a las ecuaciones siguen siendo válidas las observaciones hechas en el apartado 3.2.4 sobre los

“Ajustes 1, 2 y 4”. A continuación se valorarán todos algo más en detalle:

- Ajuste 1: 2

0 0; 02

gs s t v

Se comentó que esta parecía la opción más “robusta”, lo cual se confirma viendo que es la que menor

diferencia ofrece para los ensayos con las tres esferas. Además la posición inicial calculada es

“pequeña”, y aunque este valor debería ser de unos 2 − 3(𝑚𝑚) (que es la mínima distancia a la que

pudo ajustarse el montaje), se admite su valor en torno al 7% de la distancia total como aceptable.

El principal inconveniente de este ajuste (al igual que el segundo) es la necesidad de una hipótesis.

Debido a ello se obtiene un valor de 𝑔 = 11(𝑚/𝑠²) y de 𝑠₀ = 5,5(𝑐𝑚).

- Ajuste 2: 0 0; 0

2

s gv t s

t

Este ajuste ocupa el segundo puesto en cuanto a robustez, y es que aun teniendo las mismas

características que el anterior (polinomio de grado 1 y 4 muestras) su variable dependiente (s/t) está

sujeta a una incertidumbre aleatoria según la Teoría de Errores mayor que los de “s” y “t”. Por este

mismo motivo se intuye que la precisión es algo menor que en el “Ajuste 1”.

Aun con los inconvenientes anteriores se obtiene un valor de 𝑔 = 9,3(𝑚/𝑠²) para la gravedad; más

exacto que el anterior. La razón de esto puede atribuírsele a que no es lo mismo suponer nula la

posición inicial que la velocidad inicial. Comparando los valores de las condiciones iniciales en

ambos ajustes, parece razonable pensar que la hipótesis 𝑠₀ = 0 es más exacta que la de 𝑣₀ = 0.

Puede hacerse una comparación entre las incertidumbres relativas de ambos. Tomando el valor

obtenido de 𝑣₀ = 0,45 (𝑚/𝑠) y calculando la velocidad media de la esfera en todo el trayecto 𝑣𝑚 =

𝑠4/𝑡4 se obtiene su relación Ɛ𝑣₀ = 21%. El de la posición inicial se compara directamente con el

recorrido total, obteniendo Ɛ𝑠₀ = 7%. Esta comparación no es nada fidedigna, solo pretende dar una

idea de las implicaciones que conllevan estas hipótesis.

- Ajuste 3: 0m mV v gT

Ventaja principal: se sigue conservando la simpleza de la recta para la regresión sin la necesidad de

hipótesis adicionales. Esto desemboca en su inconveniente principal: aumento en un orden de

magnitud de la incertidumbre calculada, que sigue siendo aproximadamente de un orden menor que

el valor de 𝑔, véase la Figura 3.16 anterior. Aquí entra en juego el nivel de precisión que se desee

conseguir con el experimento. No es mucho, aunque hasta ahora es el único ajuste cuyo resultado

tiene un margen de incertidumbre que contiene el valor real de la aceleración de la gravedad.

A pesar de este aumento en la incertidumbre, este ajuste presenta una exactitud y una robustez (al


40

menos frente al cambio de esfera) mayores que el anterior; siendo más acertado el valor de 𝑔 y más

cercano a cero el de la velocidad inicial. Esta robustez va en contra de lo que dicta el valor del

coeficiente de correlación, que solo consta de dos nueves.

Se obtiene una gravedad de 𝑔 = 9,7(𝑚/𝑠²) y una velocidad inicial de 𝑣₀ = 0,34(𝑚/𝑠). Con estos

valores en la ecuación parabólica se obtendría una posición inicial de 1,4(𝑐𝑚), también próxima a

cero. En principio es la mejor de las opciones.

- Ajuste 4: 2

0 0

1

2s s v t gt

Los resultados para este ajuste son muy parecidos a los del “Ajuste 3” en cuanto a los valores de los

parámetros, de hecho son mejores, sin embargo ofrecen unas incertidumbres bastante mayores. La

causa principal de esto es que el método de mínimos cuadrados penaliza mucho al tener que calcular

otro coeficiente. Estas incertidumbres llegan a ser de la misma magnitud y mayores a los propios

parámetros, lo cual resulta inadmisible.

Pero aun así, los resultados son los mejores, 𝑔 = 9,87(𝑚/𝑠²), y los valores más cercanos a cero para

las condiciones iniciales de todos los ajustes. También es el segundo más robusto en cuanto a las

esferas por detrás del “Ajuste 1”, habiendo una variación máxima en 𝑔 de 0,05(𝑚/𝑠²).

El coeficiente de correlación cuadrática es alto, con cuatro nueves decimales, lo que indica que los

datos se ajustan bien a la parábola calculada. Esto confirma que estas grandes incertidumbres están

exclusivamente provocados por las exigencias del método de mínimos cuadrados.

3.3.4. Nuevas Mediciones y Resultados

Son tres las causas que motivan una nueva realización del experimento y se listan a continuación:

Todos los estudios expuestos en el subapartado 3.3.3 explican, razonan y justifican los distintos métodos

de análisis realizados para distintos montajes, distintas configuraciones y distintas esferas. Sin embargo,

cada uno de estos casos sólo se ha apoyado en una única realización del experimento y, en total,

representan sólo dos días de mediciones en el laboratorio.

Al igual que en cada caso se realizaron varias repeticiones, lo ideal es repetir el proceso de ajuste del

montaje completo, con lo que se evitarían posibles fallos que sean fuente de incertidumbre que alterase

los resultados obtenidos y, por tanto, las conclusiones halladas anteriormente.

Otra cuestión a plantearse es si la estructuración seguida para llegar a los métodos de análisis desde los

datos medidos es la óptima. Concretamente, en el punto 3.3.3 y en los anteriores se tomaron los cuatro

instantes de tiempo medidos como la media de las diversas repeticiones. Tal vez sea más correcto calcular

𝑔 y su incertidumbre en cada repetición y tomar como valor final de cada configuración la media de estas.

Por último, dado que ya se han explotado las posibilidades en cuanto a los ajustes y aprovechando la

utilización de varias esferas, se analizará la dependencia de los resultados (aceleración de la gravedad) con

distintas propiedades de las mismas (masa, diámetro, área, volumen y densidad).

Este apartado se apoya en el archivo “practica5.xlsx”, el cual sólo consta de una hoja, “Datos y Regresiones”,

en la que pueden encontrarse la tabla de datos, la de regresiones junto con los cálculos para la parabólica, algunas

conclusiones de lo anterior y un escueto análisis de la relación mencionada en el tercero de los puntos anteriores.

Si se comparan los resultados de las mismas configuraciones en las tablas de los archivos “practica4” y

“practica5” se observa cómo, para todas ellas, los rangos de los valores de 𝑔 y sobre todo los de su incertidumbre

están más acotados en el segundo, el de las nuevas mediciones. Lógicamente puede apreciarse también que sus

coeficientes de correlación r tienen un “9” más que en el caso anterior de forma casi generalizada.

En primera instancia lo lógico es pensar que esta diferencia está causada por el único cambio que se ha realizado

durante el análisis (ya que el montaje sigue siendo el mismo), que es el indicado en el segundo de los anteriores

puntos.

Sin embargo, durante esta realización del experimento se hicieron 1 repetición con las esferas mediana y pequeña

y 4 con la grande, estas últimas para comparar este nuevo método con el anterior usando los mismos datos. En

la tabla de regresiones se incluye la columna “gm” (grande media) que corresponde al mismo análisis que


41

“practica4” (cada instante es la media de todas las repeticiones) y los valores siguen siendo igual de buenos que

los individuales; siendo además muy parecidos (del orden de 10−3(𝑚/𝑠2)) a los obtenidos al hacer la media de

las 𝑔 de las cuatro repeticiones (incluidos a la derecha de la tabla de regresiones con el encabezado “Pruebas B.

Grande”).

Por tanto, en el caso de esa columna, la única diferencia respecto a “practica4” son los datos medidos

experimentalmente, lo cual lleva a rechazar que la causa sea el análisis, dejando como única opción lo

mencionado en el primero de los puntos de este subapartado, el ajuste y la puesta a punto del montaje

experimental cada día de realización. Con esto se reafirma de forma justificada lo que se viene aceptando durante

todo el proyecto, la importancia de ser exhaustivo y meticuloso durante la preparación y la realización de la

experiencia.

Hay que mencionar la inclusión de otra ecuación para el ajuste lineal de los datos, además de las cuatro expuestas

anteriormente. Se trata del ajuste explicado en las expresiones (3.10), que tiene como ordenada en el origen un

tiempo inicial 𝑡0 y que proporciona unos resultados bastante buenos en comparación con los ajustes previos.

Pueden consultarse las conclusiones incluidas en “practica5” para conocer más detalle.

Respecto al tercero de los puntos introductorios de este subapartado, se estudia la correlación lineal de las

propiedades de estas esferas tanto con 𝑡0 como con 𝑔. No pueden sacarse resultados fiables de esto, pero servirá

de preámbulo para el siguiente montaje, subapartado 3.4.

3.3.5. Conclusiones al Montaje Final

Basándose en todas las observaciones anteriores, este apartado trata de valorar cualitativamente la mejora

realizada sobre el experimento de caída libre.

La conclusión más incuestionable es sin duda que, con las mejoras implementadas, se ha aumentado la exactitud

de los resultados aunque también se ha reducido la precisión. Se podría haber mantenido un nivel de precisión

similar al obtenido con el montaje inicial habiendo utilizado un mayor número de células, más puntos

experimentales en los ajustes; sin embargo el material de laboratorio no es ilimitado, y además el conjunto

comenzaría a ser poco manejable en cuanto a su peso y tamaño.

Lo anterior es cierto con la premisa de que la toma de datos se realizase de forma “correcta”, es decir, siendo

escrupulosos y vigilando cualquier aspecto que pueda influir durante el proceso. Desafortunadamente, esto no

puede asegurarse para todos los casos de una práctica en grupo de alumnos de primer curso en la que, además

de este experimento de obtención del valor de la aceleración de la gravedad, también se llevan a cabo otras

experiencias simultáneamente. Con esto se refuerza la conclusión de que, además de la exactitud y la precisión

en los resultados obtenidos durante este proyecto, la robustez del conjunto resulta crucial para que en todas las

pruebas los resultados sean, al menos, parecidos.

Realmente habrá que esperar a la realización de las prácticas de Física del próximo curso para verificar este

aumento de robustez, aunque teniendo en cuenta que para realizar el experimento solo habrá que colocar la

esfera en el imán y abrir y cerrar el interruptor, parece razonable admitir esta hipótesis.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, el método de análisis que más convendría utilizar es el dado por el “Ajuste

3”, que representa una solución de compromiso entre la exactitud ofrecida (máxima con el “Ajuste 4”) y el grado

de precisión conseguido (máxima para las rectas de los “Ajustes 1 y 2”).

Ya se han comentado las características, ventajas e inconvenientes de usar esta recta de regresión cuyas variables

son valores medios. Además de ser la “solución de compromiso”, es importante notar que el valor real de la

aceleración de la gravedad quedará comprendido en su margen de incertidumbre con alta probabilidad.

Respecto a las herramientas informáticas hay que recordar que el archivo “practica4.xlsx”, además de ser la

recopilación de los datos ensayados durante el desarrollo del montaje final, puede servir para futuras pruebas sin

más que cambiar los datos de entrada, las mediciones. Queda propuesto como posible base para el material de

que los alumnos dispondrán para la realización de la práctica.

En resumen al montaje final, se han alcanzado los objetivos perseguidos, quizás no en el grado deseado (que

sería obtener un valor 𝑔 = 9,80665 ± 0,00000(𝑚/𝑠²)) pero suficiente. Aunque la caída libre representa el

experimento más sencillo y directo para determinar la aceleración de la gravedad, y aun disponiendo de

tecnología más que suficiente para llevarlo a cabo; después de todo este proceso sigue vigente la dificultad de

relacionar la experimentación con la teoría.


42

3.4. Práctica Curso 2015-16

Debido a una demora excesiva en el progreso y finalización de este proyecto y llegada la fecha prevista para la

realización de las prácticas de Física I por los alumnos de varias titulaciones, se desarrolló un nuevo boletín de

prácticas, así como el ajuste de algunos detalles en el “montaje final” por parte del personal docente para llevar

a cabo este fin. Se exponen a continuación los cambios implementados y los resultados obtenidos, observados

directamente sobre la memoria de prácticas de dos alumnos de GITI evaluados satisfactoriamente.

En primer lugar, las modificaciones en la práctica se resumen en dos:

En el montaje experimental: cambio de barra soporte para todas las células fotoeléctricas y el electroimán;

sustituyendo la barra lisa a la cual se fijaban los componentes mediante tornillo, por una varilla roscada

con la misma métrica que incorporan los agujeros de los componentes. Siendo el paso del tornillo de

1(𝑚𝑚), resulta obvia la mejora en precisión y comodidad al realizar el ajuste de distancias previo a la

ejecución de la experiencia.

En el análisis de datos: uso de una nueva recta de regresión para la obtención de g a través de los

coeficientes de dicha recta. Se obtiene de forma análoga a los primeros ajustes realizados, es decir,

partiendo de la ecuación que relaciona la distancia recorrida con el cuadrado del tiempo y suponiendo el

estado de reposo inicial, pero despejando como variable dependiente el tiempo en lugar de la distancia y

añadiendo como “parámetro de error” (valor de la ordenada en el origen, A) un tiempo inicial 𝑡0; como se

muestra en (3.11):

2120 0 2 01

2

0 0

2 2(3.11)

, 0

x x v t gt x t t g xx gt t

gx v y A Bx

Después de leer el punto 3.2.4, el lector puede percatarse de que esta nueva ecuación no es más que el

resultado de hacer la raíz cuadrada de la llamada en ese apartado “ecuación inversa” del ajuste 1 y, como

ya se comentó, esta acción influía en los valores y las incertidumbres de los coeficientes de la recta, pero

no en los obtenidos para la aceleración de la gravedad.

Lo que sí cambia es la interpretación de la ordenada en el origen A, que pasa a medir tiempo. En el ámbito

de este experimento puede resultar más complicado o, mejor dicho, menos intuitivo interpretar los valores

obtenidos para este 𝑡0 que para 𝑥0 o 𝑣0 pues, como se ha mencionado a lo largo de la memoria, la principal

fuente de incertidumbre del montaje radica en la medida de las distancias, no del tiempo. Sin embargo,

resulta igualmente válido analizar esta nueva condición inicial que las anteriores, además de que representa

una nueva oportunidad de dar con el ajuste (la recta) más adecuado, esto es, con un resultado de 𝑔 más

exacto y preciso.

Después de aclarar los cambios principales introducidos en la práctica, hay que mencionar también los cambios

en su desarrollo, esto es, cómo se ha enfocado en relación a todos los factores variables que se han venido

estudiando a lo largo de este proyecto.

Ya que durante todo el proceso se han utilizado tres esferas distintas, comparando sus resultados, como objetivo

secundario (ya que el principal es el cálculo de 𝑔) se plantea analizar si este valor de 𝑔 depende del cambio de

esfera (en términos de masa, tamaño y densidad).

Así pues, el proceso de medición y análisis queda ligeramente modificado como sigue: Para cada esfera se

realizan tres repeticiones de la caída, midiendo los cuatro tiempos correspondientes. Para cada repetición, se

obtiene el valor de 𝑔 (y su incertidumbre) calculando la recta de mínimos cuadrados, siendo la media de las tres

𝑔 el resultado final de 𝑔 de cada esfera. Por último, después de la representación de estas rectas de ajuste, se

piden las que relacionan g con la masa, la sección y la densidad de las esferas para concluir si existe o no una

relación entre estas variables.

Analizando la citada memoria, que puede consultarse junto con el enunciado en el Anexo XX, el primer y más

importante comentario atañe a los valores de 𝑔 y su incertidumbre obtenidos. Como se observa en la Tabla 3.7,

hay una clara mejora tanto en precisión como en exactitud, obteniendo incertidumbres del orden de las décimas

o centésimas de (𝑚/𝑠2) para las tres esferas, y siendo las máximas desviaciones del valor de 𝑔 del orden de las

décimas de (𝑚/𝑠2). No hay más que comparar esto con el resultado obtenido al principio de este capítulo para

el montaje inicial (10,8 ± 1,7 (𝑚/𝑠2)) para admitir la mejora. Es más, estos resultados superan con creces a los

obtenidos durante este estudio presentados en este capítulo. La razón de lo anterior radicará en los cambios


43

introducidos (sobre todo en el montaje), así como en la prudencia en la realización del experimento por parte de

los alumnos.

Tabla 3.7. Resultados Práctica 2015-16

Causa de esta mejora también puede atribuirse al nuevo análisis utilizado, el cual, como se mencionó en el

subapartado 3.3.4, ofrece unos resultados mejores en cuanto a precisión y exactitud en los valores de 𝑔 y su error

que con los ajustes implementados desde el principio del capítulo.

No hay que olvidar que la memoria analizada está evaluada con un diez, siendo de las mejores prácticas llevadas

a cabo por los alumnos. Con esto se quiere hacer notar que las mejoras citadas arriba, además del aumento en la

robustez del experimento, no tienen por qué ser totalmente ciertas. Para poder asegurar esto, habría que analizar

los resultados de todos los alumnos y comprobar que, ciertamente, los valores de 𝑔 y su incertidumbre están

acotados en un intervalo adecuado, así como que se obtienen las mismas conclusiones en cuanto a las

dependencias con las magnitudes.

Como último comentario a la nueva práctica, decir que el análisis de las dependencias observadas de 𝑔 con las

tres magnitudes indicadas resulta bastante interesantes desde el punto de vista docente. Sin embargo, las causas

de las relaciones lineales obtenidas pueden ser muy variadas, por lo que las conclusiones que de ellas se obtengan

pueden no ser para nada exactas. Para justificar lo anterior, se menciona una posible causa que, a lo largo del

proyecto, se ha observado:

Y es que, durante las sucesivas pruebas ensayadas, uno de los factores del montaje más influyentes en los

resultados ha sido siempre la mitigación de las condiciones iniciales no nulas, que se traduce a efectos de montaje

en asegurar una distancia lo más pequeña posible entre la parte inferior de la esfera experimentada y el primero

de los sensores, que da comienzo a la cuenta del tiempo en los cronómetros. Bajo esta suposición, si al cambiar

de esfera durante la práctica no se ajustó está distancia, los resultados pueden parecer coherentes al mostrar una

relación lineal, pudiendo estar justificada por razones físicas (por ejemplo, el rozamiento del aire) como sería

conveniente, o también pueden ser el resultado de una incertidumbre de tipo sistemática que modifica los

resultados de manera imperceptible.

3.5. Conclusiones a la Caída Libre

Durante todo el capítulo se ha confirmado lo que desde el principio se vino advirtiendo: Aun siendo un

experimento de base teórica tan sencilla como este, y teniendo su realización pocas fuentes de incertidumbre a

priori; conforme más casos se aplicaban y más factores se tenían en cuenta, mayor complejidad surgía en su

análisis y de menos certeza se gozaba en los resultados. Aun así, se ha conseguido ajustar bastante bien el

montaje y obtener resultados de mejor calidad que los originales.

Así como el “montaje inicial” constituyó el punto de partida de este análisis, el montaje resultante puede servir

de base para futuras mejoras. Una idea para ello es usar un sensor más, lo que desde el punto de vista de la Teoría

de Errores mejoraría bastante la precisión de las soluciones. Aunque el nicho de mejora que parece más próspero

es el perfeccionamiento de las técnicas de análisis, pues aquí se ha utilizado exclusivamente el ajuste de regresión

lineal por el método de mínimos cuadrados.

Dado que la experimentación es parte fundamental del desarrollo de la teoría, su perfeccionamiento resulta

necesario, y es por ello que se continuará este proyecto siguiendo los pasos de Galileo, intentando llegar a

mejores resultados mediante un experimento con similar fundamento teórico, pero con distintas características:

la rodadura por un plano inclinado.

Esfera 𝒈𝟏 ± 𝑬𝒈𝟏 𝒈𝟐 ± 𝑬𝒈𝟐 𝒈𝟑 ± 𝑬𝒈𝟑 𝒈 ± 𝑬𝒈

Pequeña 10,08 ± 0,25 9,99 ± 0,15 9,99 ± 0,15 10,02 ± 0,11

Mediana 9,89 ± 0,06 9,81 ± 0,15 9,81 ± 0,15 9,84 ± 0,07

Grande 9,80 ± 0,03 9,83 ± 0,13 9,80 ± 0,03 9,81 ± 0,04


44

45

4 PRÁCTICA DE PLANO INCLINADO

l propósito de este cuarto capítulo es el diseño y realización de un experimento, distinto al de caída libre,

aunque con el mismo fin: calcular el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

Aunque no puede decirse que la caída libre sea un caso límite de la rodadura por un plano inclinado (dado que

al no haber contacto no hay rodadura y el problema cambia), Galileo usó esta comparación en sus estudios,

obteniendo varias conclusiones interesantes que han dado lugar, hoy día, a leyes, principios y enunciados

universales de la Física. En el otro extremo estaría la rodadura por un plano horizontal, en el que la gravedad no

produce movimiento sobre la esfera.

Los resultados de los experimentos de Galileo no fueron determinantes debido principalmente a una razón, la

presencia de las fuerzas de fricción; que también constituirán las mayores dificultades para el desarrollo del

presente montaje.

Es sabido que la caída libre es el experimento más sencillo (quizás superado por el péndulo) para calcular el

valor de 𝑔. Sin embargo, dados los rangos de tiempo, distancia y velocidad con que se trabaja, los resultados

que se obtienen pueden no ser lo suficientemente exactos y precisos, como se ha comprobado en el capítulo

anterior. Esta es la razón de continuar este proyecto con otro experimento distinto que, aunque presente más y

mayores dificultades que el anterior, podría proporcionar mejores resultados.

Hay que mencionar que este aumento de dificultad no radica en la dinámica básica, pues como se ha dicho, la

caída libre guarda cierta similitud con el plano inclinado, y por tanto las ecuaciones que describen el movimiento

de la esfera serán similares. El problema es que para explicar las fuerzas de fricción se tienen unas ecuaciones

surgidas de la experimentación, empíricas, que no llegan a describir todos los casos; además de estar sujetas a

coeficientes, que son constantes o no para ciertos rangos de otras magnitudes. Todo ello hace que estas

ecuaciones sirvan casi únicamente como relaciones entre variables bajo ciertas condiciones. Habrá que estimar

estos coeficientes y estas relaciones para el montaje que se desarrolle, aquí radica esta dificultad.

Vistas estas complicaciones, ¿por qué utilizar este experimento en lugar de la caída libre? ¿Qué ventajas

presenta? Pues, si es cierto que presenta alguna ventaja, será la misma que motivó a Galileo, hacer más fácil la

medición de magnitudes, en concreto el tiempo, mediante la disminución de velocidad de la esfera. Para Galileo

esto sí suponía una gran mejora ya que los métodos de medida de tiempo en su época no disponían de gran

precisión, ni mucho menos, como puede intuirse al leer su descripción del “reloj de agua” en el apartado 2.1.1.

Pero en este caso puede medirse el tiempo con una precisión de milisegundos. Por tanto, el anterior motivo

pierde peso. Sin embargo, en comparación con la caída libre, este experimento ofrece la posibilidad de calcular

momentos de inercia y coeficientes de fricción, y con ello realizar estudios o prácticas más allá de la obtención

del valor de 𝑔.

Figura 4.1. Casuística de Estudio

E


46

En lo relativo al resto de particularidades que envuelven al experimento, mencionar que se seguirá utilizando

Excel como herramienta informática para el cómputo de datos, ya que los cálculos necesarios son equivalentes

a los de la práctica de caída libre. También hacer hincapié en una de las características que desde el comienzo

del proyecto ha sido fundamental: conservar la sencillez del experimento en la observación de un fenómeno

físico como es la bajada de una esfera rodando por un plano inclinado. Si no se deseara esto anterior, no tendría

sentido diseñar una práctica de laboratorio así.

A continuación se estudiarán todos los aspectos necesarios para este diseño, su realización material y la

obtención de resultados oportuna. En primer lugar se hará un estudio teórico del problema mecánico del plano

inclinado, del cual se obtendrán las ecuaciones que se utilizarán para el análisis de datos. Seguidamente, y

teniendo en cuenta los resultados de lo anterior, se propondrá un primer montaje, intentando asegurar la robustez

y evitar la aparición de errores. Una vez terminado, habrá que hacer pruebas cuyos resultados dictarán la validez

del montaje y del método de análisis, pudiendo incurrir en modificaciones.

Sea cual sea el resultado final de este proceso, se comparará con el obtenido para la caída libre y se decidirá cuál

de los dos experimentos será aceptado para formar parte de las prácticas de la asignatura. Podría existir la

posibilidad de mantener ambos experimentos en la práctica aunque quizás conlleve demasiada complicación

debido a que ambas comparten material. Si fuese factible resultaría una ventaja para el factor “duración de la

práctica”, que se ha visto reducido al evitar el cambio de distancias entre sensores. Esto último se discutirá en el

capítulo de conclusiones.

4.1. Análisis del Problema

Hay distintas formas de analizar un problema mecánico como este: esfera de dimensiones conocidas cayendo

bajo el efecto de la aceleración de la gravedad por un plano inclinado un ángulo dado. Se ha escrito “cayendo”

de forma intencionada ya que, aunque lo que se pretende es que la esfera ruede sobre el plano, también puede

existir un deslizamiento entre las superficies de ambos sólidos.

Los métodos pueden ser: análisis del problema dinámico (uso directo de la 2ª Ley de Newton), del problema

cinemático (análisis vectorial de composición de velocidades) y el problema energético (aplicación del Teorema

de Conservación de la Energía Mecánica). Podrán usarse uno, dos o los tres a la vez para obtener las relaciones

y expresiones deseadas.

En el modelo ideal del sistema, en que ambos sólidos serían ideales (indeformables, lisos y homogéneos), se

obtienen soluciones muy simples con las que dar con el valor de 𝑔. Sin embargo, haciéndolo así, los resultados

son tremendamente erróneos. Este sistema no tiene nada de ideal, están presentes multitud de efectos no ideales

que provocan estos errores.

El más llamativo de estos efectos es, sin duda, el responsable de que la esfera ruede, no deslice; es la fuerza de

rozamiento. La naturaleza de esta interacción es la que permite que un ser humano camine por el suelo, que un

coche avance sobre sus ruedas, o de que un avión vuele. El análisis teórico y cuantitativo de esta fuerza tan

importante resulta ser bastante complejo en comparación con la Ley de Caída Libre, por ejemplo. Esto se debe

a muchas razones pero, básicamente, puede decirse que los valores que alcanza esta fuerza dependen fuertemente

de las características físicas de los cuerpos involucrados (masa, forma, rugosidad y viscosidad superficial, etc.),

mientras que para cuantificar la aceleración del campo gravitatorio sólo están implicadas las masas y la distancia

entre ellas.

Además, existen varios tipos de fuerza de rozamiento, las cuáles serán analizadas en este apartado. La presencia

de este tipo de fuerza afecta a todos los métodos de análisis (dinámico, cinemático y energético). Y aunque se

ha centrado esta explicación en este efecto “no ideal”, también existen otros que incluso pueden dar más

problemas ya que sus efectos son impredecibles; son los que van en contra de las hipótesis generales que se

enunciarán a continuación, como por ejemplo la no homogeneidad de la esfera.

Seguidamente se planteará el problema completo definiendo las variables necesarias para el resto del capítulo y

se dará el modelo analítico ideal, que es aquel en el que los rozamientos no trabajan y, por tanto, no existen

pérdidas energéticas. Como este modelo no explica bien la realidad, se formulará otro que si tenga en cuenta

alguna de estas pérdidas, en concreto la causada por la rodadura.

Capítulo 4. Práctica de Plano Inclinado

47

4.1.1. Hipótesis Generales y Sistema Ideal

Para poder desarrollar un modelo teórico que describa el comportamiento dinámico de cualquier sistema es

necesario siempre hacer una serie de hipótesis simplificativas cuyo alcance dependerá de la naturaleza del propio

sistema. Para el experimento anterior, caída libre, no se listaron estas hipótesis debido a que se partió de un

experimento ya generado y a la sencillez de la experiencia. En este caso se enuncian las siguientes:

Se admiten la perfecta esfericidad y la homogeneidad de las esferas o cáscaras esféricas a utilizar, así como

que la superficie con la que contacten las mismas, ya sea un plano o los bordes de un carril, es

perfectamente recta y lisa, sin imperfecciones superficiales.

Se consideran condiciones de atmósfera estándar para el entorno en el que se practicarán las pruebas, aire

a 25(º𝐶) y 101325(𝑃𝑎) de presión y en calma, sin perturbaciones que puedan modificar los resultados.

Todas las incertidumbres tenidas en cuenta se obtendrán de forma analítica o serán tomadas de la fuente

fidedigna correspondiente, por ejemplo el fabricante de un instrumento del montaje.

Las hipótesis anteriores y las que surjan posteriormente están sujetas a posibles cambios o anulaciones si

fuese necesario en un momento determinado del desarrollo, con todas sus consecuencias.

Como se aprecia son unas hipótesis bastante razonables, tampoco son necesarias otras suposiciones más

complejas. Después de esto se puede empezar planteando el sistema idealmente, sin incluir los elementos de

medida que también forman parte de él.

El sistema dinámico se constituye por una esfera o cáscara esférica de un radio alrededor de los 2(𝑐𝑚), que se

suelta desde el extremo más alto de un carril de apertura menor al diámetro de la esfera, que forma con la

horizontal un cierto ángulo conocido. En el esquema de la Figura 4.2 muestra esta configuración.

El siguiente paso para definir este modelo ideal es listar las fuerzas que intervienen, así como terminar de

determinar la geometría del problema. En la Figura 4.3 se localizan las siguientes magnitudes:

Fuerzas:

Peso, (𝑚�⃗�) cuya componente paralela al plano provoca el movimiento de la esfera hacia abajo, y

cuya componente perpendicular da sentido a la siguiente.

De reacción normal, (�⃗⃗⃗�) a la superficie de contacto que al admitirse puntual, en este caso, se dirige

hacia el centro de la esfera.

Fuerza de rozamiento, (𝐹𝑟⃗⃗⃗⃗ ) en los puntos de contacto esfera-carril. En principio será considerado

rozamiento estático seco, más adelante se hará un estudio en profundidad de esta interacción.

Resistencia aerodinámica, (�⃗⃗⃗�) que es el rozamiento viscoso del aire.

Figura 4.2. Esquema Básico Plano Inclinado


48

Geometría:

- Centro de masas de la esfera, (𝐺) y origen del sistema de referencia utilizado en el análisis.

- Longitud del carril, (𝐿) total a recorrer por la esfera, en principio será del orden de 1(𝑚).

- Radio de la esfera, (𝑅) que estará en torno a 1 ó 2(𝑐𝑚).

- Semi-ancho del canal, (𝑏) su relación con el radio de la esfera será discutida en apartados venideros.

- Ángulo de inclinación del plano, (𝛽) su rango de valores también será analizado con posterioridad.

Lo anterior sirve para situar el problema y basta para comenzar con el desarrollo de los modelos mencionados,

se comienza por el modelo “más ideal” a implementar, en el cual sólo intervendrán fuerzas conservativas, es

decir, la fuerza de rozamiento se definirá como rozamiento seco y estático. Seguidamente se dará un toque más

realista al análisis añadiendo el efecto de “rozamiento por rodadura”, que describe este caso en particular.

4.1.2. Presentación del Problema Completo

Con objeto de no saturar la presente memoria de figuras, se expone a continuación el esquema general del

sistema donde se representan todas las variables que puedan surgir en el desarrollo de cualquiera de los modelos.

Se instará al lector a que visualice este esquema, Figura 4.4, para aclarar las explicaciones posteriores. Nótense

las diferencias con el modelo ideal de las Figuras 4.2 y 4.3.

El esquema consta de cuatro vistas, las necesarias para definir de la forma más sencilla y unívoca posible los

parámetros ya nombrados y los que seguidamente se detallan:

Vista A, vista general donde la porción de esfera que se superpone al carril es solo debida a la relación

entre el radio de la misma y el ancho del carril.

Vista B y C, vistas para esquematizar las fuerzas de reacción normal y de rozamiento en los dos puntos

de contacto entre sólidos.

Vista D, fuerzas que participan en la ecuación de momento utilizada en el sistema, respecto al centro de

masas de la esfera. En esta perspectiva la superposición esfera-carril se debe exclusivamente a la

deformación de los sólidos y está exagerada.

Figura 4.3. Fuerzas y Geometría del Sistema


49

El resto de magnitudes o variables que intervienen son las siguientes:

Fuerzas y Momentos: peso (𝑚�⃗�), de reacción normal (�⃗⃗⃗�), de rozamiento (𝐹𝑟⃗⃗⃗⃗ ), de arrastre o resistencia

aerodinámica (�⃗⃗⃗�), resultante en el centro de masas de la esfera (𝑚�⃗�) y momento resultante respecto al

centro de masas de la esfera (𝑀𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ).

Ángulos: de inclinación del canal respecto a la horizontal (𝛽) y el formado por las reacciones normales en

los puntos de contacto con la horizontal (𝛿), que puede relacionarse con las distancias características (𝑏) y

(𝑅) siguientes como: (cos 𝛿 = 𝑏/𝑅).

Distancias: radio de la esfera (𝑅), brazo de la fuerza de rozamiento para el cálculo de momentos o [𝑅 ∗

sen 𝛿] (ℎ), semi-ancho del canal (𝑏) y semi-longitud de contacto entre esfera y canal por deformación de

los materiales (𝑐).

Puntos: centro de masas de la esfera (𝐺), puntos de contacto entre la esfera y el carril a lo largo del

segmento de contacto debido a la deformación de los materiales: 𝐴 y 𝐵 están contenidos en el plano (𝑦, 𝑧);

mientras que 𝐴′ y 𝐵′ están en el extremo de dicho segmento. El sistema de referencia estará centrado en

𝐺, trasladándose con la esfera, y formando el triedro a derechas tal y como se aprecia en el esquema.

Como último comentario al esquema, las zonas marcadas en rojo grueso representan la distancia o área de

contacto entre los sólidos para los casos en que no se considere puntual. Esto supone desmantelar la hipótesis

primera, la perfecta esfericidad y rectitud del canal, pero resulta necesario para el segundo modelo. Los anteriores

serán, en principio, todos los parámetros necesarios para desarrollar todas las ecuaciones de los dos modelos.

Figura 4.4. Esquema General Plano Inclinado


50

4.1.3. Modelo 1. Sistema Conservativo

Para este modelo conservativo se supondrá nula la distancia 𝑐, siendo el caso indeformable del contacto puntual

de la esfera con el carril. Esto hace que no cuente con fuerzas de rozamiento disipativas, pues también se supone

nula la fuerza de resistencia aerodinámica. Entonces, además del peso y la reacción normal, solo quedará la

fuerza de rozamiento estático, que es la que permite que la esfera ruede en lugar de deslizar.

Para obtener las ecuaciones correspondientes a las características de este modelo se recurre al análisis vectorial

dinámico y cinemático del problema. En primer lugar se definen las fuerzas y momentos presentes en el sistema,

así como los vectores que dan los brazos para el cálculo de momentos (nótese que al suponer nula la distancia 𝑐

los puntos de aplicación de 𝑁, que son (𝐴′, 𝐵′), coinciden con (𝐴, 𝐵)).

(4.1)

sen cos

sen cos

sen cos

sen cos

sen cos

rA rB r

A

B

G G

ma ma

mg mg mg

F F F

N N N k

N N N k

M M k

GA R R k

GB

ı

k

ı

R R

ı

Como puede deducirse de las hipótesis iniciales y de la tercera expresión de (4.1), se está suponiendo que el

movimiento de la esfera sobre el carril es ideal, esto implica que sea simétrico respecto al plano vertical paralelo

al carril que pasa por el centro de la esfera. Lo anterior se plasma en las igualdades siguientes y se traduce en

que se supone que no existirá pivotamiento de la esfera en ningún instante sobre los puntos de apoyo del carril.

Además, en presencia de pivotamiento, habría necesariamente deslizamiento.

(4.2)rA rBF F

k

A continuación, se plantea la ecuación global de equilibrio dinámico de la esfera, teniendo en cuenta las fuerzas

mencionadas:

(4.3) : rA rB A BF ma mg F F N N

De la ecuación vectorial (4.2) se obtienen dos ecuaciones escalares no triviales separando en componentes:

(4.4)

sen 2 sen 2

cos0 cos 2 sen

2sen

0 0

rr

Fma mg F a g

m

mgmg N N

El siguiente paso es realizar el equilibrio de momentos del sistema calculado en el centro de masas de la esfera,

donde cada término se corresponde con los siguientes:

(4.5)

:

0

cos sen

cos sen

0

0

G G g FrA FrB NA NB

g

FrA rA r r

FrB rB r r

NA A

NB B

M M M M M M M

M GG mg

M GA F F R F R k

M GB F F R F R k

M GA N

M GB N


51

Quedando, pues, el módulo del momento resultante como sigue (tal y como se ha definido en la Figura 4.4 y en

las expresiones (4.1)):

2sen

(4.6) 2senG r

G r

G G

M RF kM RF

M M k

Para relacionar los resultados de los equilibrios, expresiones (4.3) y (4.6), es necesario recurrir al estudio

cinemático del problema, desde el punto de vista del sólido rígido.

Mediante la fórmula para el cálculo de velocidades relativas entre los puntos de la esfera (𝐴, 𝐺) o (𝐵, 𝐺) se obtiene

la relación entre las velocidades lineal y angular de su centro de masas, ya que ambos puntos 𝐴 y 𝐵 pertenecen

al EIR (eje instantáneo de rotación) de la esfera, y no incluyen más incógnitas en el sistema al ser su velocidad

lineal instantánea nula:

0 sen

(4.7)

sen

A

A G G

v v R

v v GA v v v v

RGA AG

ı

Y con la expresión del momento resultante como el producto de la aceleración angular por el momento de inercia

𝐼 de una esfera (𝛾 = 2 5⁄ ), de una cáscara esférica (𝛾 = 2 3⁄ ) o de cualquier otra configuración esférica (valor

genérico):

(4.8) 2

2

G

G

M I

d dM mR

dt dt

I mR

Se obtiene la expresión para el momento resultante en función de la aceleración lineal de la esfera (cuyo módulo

es positivo según se ha definido):

(4.9) ;sen sen

G G

G

M M kd a mR

k M adt R

k

Pueden ya combinarse las expresiones últimas de (4.6) y (4.9) obteniendo:

2(4.10)

2senr

ma F

La cual, combinada con la primera ecuación de (4.3), proporciona la relación entre la aceleración lineal del

centro de masas de la esfera, el ángulo de inclinación del carril y el valor de la aceleración de la gravedad en

función de la geometría del problema:

2

sen(4.11)

1sen

ga

Esta expresión se utilizará para analizar las mediciones mediante regresión, comprobando la validez de este

modelo ideal o irreal. Para ello resulta más cómodo utilizar magnitudes medibles como son las longitudes 𝑅 y 𝑏

en lugar del ángulo 𝛿 para la geometría:

2 2

sen(4.12)

11

ga

b R

Aunque para que esto se cumpla, hay que asegurarse de que se da la condición de no deslizamiento, aceptada

desde el principio:


52

(4.13) r sF N

Donde µ𝑠 es el coeficiente de rozamiento estático y la fuerza de rozamiento estático se obtiene de las mismas

expresiones que (4.11):

2

sen(4.14)

sen2 1

r

mgF

Por tanto, el ángulo de inclinación máximo para que se verifique la condición viene dado en (4.15), con la

geometría tanto en función del ángulo como de las distancias:

2 2 2

2 2

sen 11 1

(4.15) tansen 1

s s

b R

b R

Pero surge como nueva incógnita el coeficiente de rozamiento estático. Toda fuerza de rozamiento lleva asociado

un coeficiente de rozamiento que, en función de diversos parámetros relacionados con los materiales, las formas

y el medio, dictan en qué fracción la fuerza de rozamiento se corresponde con la fuerza (o velocidad) de

referencia.

En el caso del rozamiento seco se distinguen dos coeficientes distintos para los mismos materiales: estático y

dinámico; que básicamente se diferencian en que no haya o si haya movimiento relativo entre los puntos de los

sólidos en contacto (deslizamiento), siendo el coeficiente estático mayor que el dinámico por norma general

(debido entre otras razones a los enlaces entre átomos de ambos sólidos).

En función de las componentes de fuerza tangente y normal al contacto entre sólidos pueden darse dos casos,

deslizamiento o no deslizamiento. En este caso, de rodadura, esto dependerá básicamente del ángulo de

inclinación del carril; al llegar al llamado “ángulo de rozamiento”, que es el que provoca la situación de

deslizamiento inminente, el análisis se complica teóricamente pero sobre todo en la práctica, pues el equilibrio

que se mantendría entre la rodadura y el deslizamiento dependería, además de todo lo anterior, de diversos

comportamientos no ideales (rugosidades, pequeños baches, etc.). Debido a lo anterior, no sólo se intentará

evitar, sino que se supondrá que no existe deslizamiento en ningún caso de los analizados.

Para verificar lo anterior se necesita un valor del coeficiente estático. Su obtención implicaría la realización de

otro experimento distinto y, ya que lo realmente interesante es la rodadura, no resulta razonable llevarlo a cabo.

En lugar de esto puede tomarse un rango de valores de µ𝑠 lo suficientemente amplio como para asegurar que el

real esté contenido en él, obtenido de la fuente adecuada, y verificar el rango de ángulos de no deslizamiento.

Para simplificar esto puede hacerse lo siguiente:

Figura 4.5. Rozamiento Seco Estático y Dinámico


53

Despejando µ𝑠 de (4.15) y fijando un valor del ángulo de inclinación, queda ese término que es función de la

geometría del par carril-esfera con 𝑏/𝑅, si se la llama 𝑓(𝑏/𝑅) y se representa frente a su variable independiente,

que es 𝑏/𝑅, se obtienen las gráficas de la Figura 4.6:

La gráfica de la izquierda corresponde al valor del coeficiente 𝛾 para la esfera maciza y la de la derecha para la

cáscara esférica. Así, en el caso de la esfera, siempre que 𝑏/𝑅 ≤ 0,9, el coeficiente de rozamiento estático deberá

ser mayor que 0,285 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝛽:

2 2

2 2

25

23

1(4.16) tan tan

11

: , / 0,90 0,285 tan(4.17)

: , / 0,75 0,400 tan

s

s

s

b R bf

b R R

esfera b R

cáscara b R

Con todo lo anterior, además de eliminar la necesidad de calcular µ𝑠 experimentalmente, se asegura que la

configuración de los sólidos en juego es la adecuada para evitar el deslizamiento; siempre considerando que no

existen factores que alteren las hipótesis admitidas, claro.

Para aplicar esto, se necesita el citado rango de valores de µ𝑠 para cada pareja de materiales. Pordrían obtenerse

de diversas tablas comúnmente aceptadas, sin embargo, siendo el caso particular de la rodadura de una esfera

sobre un carril, los coeficientes dados no serían de aplicación.

Análisis Energético

En cuanto al análisis energético, puede partirse directamente del Principio de Conservación de la Energía

Mecánica (4.18) aplicado al presente sistema sin incluir más términos, ya que se define conservativo:

(4.18) E T U cte

Donde 𝐸 es la energía mecánica, 𝑇 la cinética y 𝑈 la potencial. Se obtendrán las expresiones para estas energías

aplicadas al movimiento de rodadura sin deslizamiento sobre un carril inclinado.

Así, se define la energía potencial en función de la altura inicial de la esfera relativa al punto final del recorrido,

que es [𝐿 · sen𝛽], y la cinética vendrá dada por dos componentes: la de traslación del centro de masas y la de

rotación del mismo alrededor de un eje:

2 21 1

2 2

(4.19) sen

(4.20)

U mgL

T mv I

Considerando que el único rozamiento presente es el estático, que en el punto inicial las velocidades lineal y de

rotación son nulas y que, como se ha indicado, el punto final está a “altura” cero, se tiene:

Figura 4.6. Función de la Geometría del Par Carril-Esfera


54

2 21 1

2 2

0

(4.21) ; 0sen

; 0

f i

f i i

f f

f i f

E T UT U

T T T Tmv I mgL

U U U U

Tomando la relación entre las velocidades lineal y de rotación de las expresiones (4.7), la ecuación queda en

función del buscado valor de la aceleración de la gravedad y de la velocidad de la esfera al final del recorrido,

pudiendo despejarse una u otra:

22

2

1 sen

2 sen(4.22)

2 sen

1 sen

f

f

g vL

Lv g

La velocidad final (𝑣𝑓) y la distancia total recorrida (𝐿) se definen en el último punto de medida del tiempo, esto

es, donde se encuentra el sensor más bajo (aunque podría hacerse en cualquiera de los sensores). En todo caso,

esta ecuación así expuesta podría servir para realizar comparaciones en los apartados venideros con los

resultados obtenidos, siempre y cuando hubiese forma de calcular la velocidad final de la esfera (el cronómetro

tiene un modo que lo permitiría, aunque esto supondría perder una de las 4 medidas, y esto no es viable).

Aquí no se estudian los efectos del rozamiento viscoso del aire, con los datos de 4.2 y 4.3 podría intentar

estimarse en base a la divergencia de los resultados respecto de estos modelos. Para ello, con la segunda forma

de (4.22) puede resultar interesante calcular cuál es el valor teórico de esta velocidad final admitiendo que 𝑔 =

9.80665(𝑚/𝑠2).

Por último, hay que notar que suponiendo condiciones iniciales y sustituyendo 𝑣𝑓 y 𝐿 en (4.22), se obtiene de

nuevo la expresión (4.11), que proporciona la relación entre 𝑎, 𝛽 y 𝑔, por lo que el análisis energético ofrece el

mismo resultado que el dinámico, lo cual era de esperar.

2

212

1sen

(4.23)sen

fv a tg a

L a t

4.1.4. Modelo 2. Sistema No Conservativo

La definición hasta ahora hecha de “deslizamiento” resulta más aplicable a un prisma cayendo por un plano

inclinado, en general, a dos cuerpos con movimiento relativo entre ellos a través de una superficie de contacto;

pero en el caso en cuestión, de una bola rodando por un carril cuyo contacto se limita a dos puntos teóricos, no

parece ser demasiado explicativa. Es por ello que se incluye en este modelo el efecto de la llamada fuerza de

rozamiento por rodadura.

Para analizar este nuevo concepto de rozamiento podría empezarse por diferenciar entre cuerpos totalmente

rígidos y deformables.

En el caso de materiales totalmente rígidos los contactos serían puntuales lo cual, según las definiciones

tradicionales de fuerza de rozamiento, no provocarían tipo alguno de trabajo al no haber deslizamiento entre el

punto de la esfera y el carril en contacto en cada instante, sería un contacto estático. Si esto ocurriese así, al dar

un pequeño impulso a una bola sobre un plano horizontal, esta no se detendría nunca (ya que tampoco se

consideran otros rozamientos como el viscoso).

Como lo anterior tampoco se cumple es necesario considerar unas pequeñas deformaciones de los materiales,

tanto de la esfera como del carril, que provocan que el teórico punto de contacto se convierta en una pequeña

superficie que en este caso, al ser un carril y no un plano, puede aproximarse por un segmento de contacto

colineal con la arista de contacto del carril. Es ahí donde se mide la distancia 𝑐 en el esquema de la Figura (4.4).

En el contacto a lo largo de este pequeño segmento únicamente uno de sus puntos no deslizará (los puntos 𝐴′ y

𝐵′ de la citada figura), sin embargo, sobre el resto de puntos de contacto existirá un deslizamiento. Para solventar

este particular caso se define la fuerza de rozamiento por rodadura.


55

Como toda fuerza de rozamiento, lleva asociado un coeficiente (µ𝑟) que puede ser estimado de varias formas

dependiendo de la fuente consultada. Se eligió la dada en (4.24) por ser simple y estar definida por la geometría

del problema:

(4.24) r

c

R

Para hallar el coeficiente de rozamiento por rodadura es necesario conocer cuánto se deforman las superficies,

por la semi-longitud de contacto entre esfera y canal, 𝑐. Esto hace imposible determinarlo analíticamente con

esta expresión; siendo igualmente imposible medir directamente esa longitud.

Los cambios en la dinámica del problema radican en los puntos de aplicación considerados para las dos fuerzas

que intervienen en el contacto entre sólidos, la fuerza de rozamiento por rodadura y la de reacción normal. La

primera sigue aplicándose en 𝐴 y 𝐵, pero la normal se aplica ahora en 𝐴′ y 𝐵′. Este es el único cambio

significativo para la dinámica; además, por supuesto, del valor de la fuerza de rozamiento. Visualícese de nuevo

la Figura 4.4, Vista D.

Una vez expuesto el modelo, pueden adaptarse las ecuaciones del modelo anterior incluyendo los cambios en la

geometría del problema y la definición (4.24).

Las expresiones (4.1) son iguales en este caso, exceptuando los vectores para el cálculo de momentos, ya que

los puntos 𝐴 y 𝐵 se han adelantado una pequeña distancia 𝑐 a lo largo del eje 𝑥, dando los puntos 𝐴′ y 𝐵′:

' sen cos(4.25)

' sen cos

GA c Rı R k

GB c Rı R k

Los equilibrios se obtienen de igual forma; siendo idéntico al del modelo anterior el de fuerzas (aunque se

modifique el valor de 𝐹𝑟), y distinto el de momentos. Ahora la fuerza de reacción normal si provoca un momento

alrededor del eje 𝑧:

' '

' '

' ... cos sen(4.26)

' ... cos sen

NA A

NB B

M GA N cN cN k

M GB N cN cN k

Quedando la siguiente expresión para el momento resultante; de forma análoga a (4.6) del modelo anterior:

(4.27) 2sen ( )G rM RF cN

Para relacionar las variables angulares con las lineales se procede de la misma forma que anteriormente, sin

embargo, aparece un pequeño contratiempo: Se define la velocidad lineal del centro de masas con una única

componente en el eje x (como es lógico), pero al operar las velocidades relativas con los nuevos vectores

posición entre (𝐺, 𝐴′) y (𝐺, 𝐵′) se obtiene un término en el eje 𝑦:

'

'

' sen(4.28) '

0 ;A G

A G

GA R cv v GA

v v v

ı

ı

Esta es la consecuencia de aplicar la cinemática del sólido rígido a un caso que contempla la deformación de los

materiales (𝑐: semi-longitud de deformación). Por tanto, para seguir con este estudio habrá que despreciar ese

término justificando que:

(4.29) senc R

Eliminado este inconveniente, queda la misma expresión del momento que en (4.9). Así, al combinarla con

(4.27) se obtiene la ecuación equivalente a la (4.10) del modelo anterior:

2

(4.30)2sen

r

m ca F N

R

Y si se combina igualmente con la primera de (4.3):

2 2

tan(4.31)

cossen 1 1

sen sen

a cg g

R


56

Como la (4.11), la expresión (4.31) servirá para analizar los datos mediante regresión, así se sustituyen los

mismos parámetros geométricos:

2 2

2 2 2 2

tan(4.32)

cos1 1 1

1 1

a cg g

R b Rb R b R

En esta ocasión, la ecuación cuenta con una incógnita extra, la distancia 𝑐. A priori puede parecer un problema,

pero ambas (tanto 𝑔 como 𝑐) pueden obtenerse de los coeficientes obtenidos en la regresión.

Una vez se obtengan los resultados para 𝑐, se podrá estimar el coeficiente de rodadura según la expresión

proporcionada para ello en (4.24) -sin olvidar que esta distancia 𝑐 no será constante-. Esto no tiene otro fin que

comparar los valores resultantes con los comúnmente dados en la literatura y/o artículos relacionados. En los

apartados sobre análisis de resultados se discutirá sobre la validez y robustez de estas comparaciones.

Análisis Energético

El estudio energético en este caso es similar al del modelo 1, pero teniendo en cuenta que ahora no se conserva

la energía mecánica del sistema, sino que existen unas pérdidas debidas al rozamiento disipativo presente:

(4.33) ... 0f i rE T U W

Donde 𝑊𝑟 es el trabajo realizado por la rodadura. La magnitud de un término como este no puede compararse

con la energía disipada por un bloque deslizando por un plano inclinado, aunque hay que dar una expresión para

él y, en caso de resultar despreciable, podrá obviarse razonadamente.

La expresión final de (4.34) cuantifica esta pérdida, describiéndola como el trabajo realizado por el momento

producido por la fuerza de reacción normal �⃗⃗⃗�, al recorrer una cierta distancia en términos de revoluciones (en

radianes) 𝜙:

2

cos cos(4.34)

2sen 2sen

sen

r N

r rN r

W M

Rmg LmgM N c W

L L

h R

Sustituyendo los términos cinético y potencial en la expresión (4.33) de igual forma que en el modelo anterior:

(4.35) 2 21 12 2 2

22

2

cos

2sen

1 sen1

2 sen 2 tan sen

f i r

rf f i

rf

T U W

Lmgmv I mgh

v gL

Esta expresión se ha despejado de forma análoga a la (4.22) para ver claramente cuál es la influencia de las

pérdidas en la relación de 𝑔 y la velocidad final de la esfera; es el término que multiplica a 𝑔.

Ampliación del Modelo 2

Para terminar con este primer apartado teórico del capítulo de plano inclinado, mencionar que podrían tenerse

en cuenta otros tipos de interacciones disipativas, en concreto la resistencia aerodinámica que ofrece el aire a la

esfera que rueda.

Una ventaja de este estudio sería poder obtener un término disipativo que sea proporcional a la velocidad de la

esfera en cada instante o a la velocidad al cuadrado. Con ello podrían modelarse los efectos no lineales que

(como se verá más adelante) se han observado en los resultados.

En general, podría estudiarse la aerodinámica de la esfera que rueda por un carril inclinado mediante distintas

consideraciones; como el efecto Magnus, Figura 4.7. Sin embargo, el desarrollo de este modelo no es trivial


57

(habría que realizar pruebas para estimar rangos de número de Reynolds, tener en cuenta la superficie de cada

esfera ensayada, añadir la particular geometría del problema a los cálculos, etc.) y no merece la pena la

complicación que todo esto conlleva para intentar contabilizar unas pérdidas que, según multitud de estudios,

son despreciables.

Además, muy superiores a estas pérdidas y a las de rodadura son los efectos no ideales que incumplen las

hipótesis iniciales de perfecta esfericidad y superficie plana y lisa, que pueden provocar que el movimiento no

sea simétrico: pequeñas vibraciones, saltos o pivotamiento. En general, todo tipo de efectos que no pueden ser

tenidos en cuenta en el estudio teórico y que, en algunos casos, serán insalvables.

4.2. Realización Inicial

Este apartado trata la parte más técnica del proceso de realización de la práctica de plano inclinado. A diferencia

de la práctica de caída libre esta parte desde cero, habiendo un abanico de posibilidades más amplio en cuanto a

cómo realizar el montaje de forma más eficiente, sencilla y robusta. Aunque más que en el hecho de partir de

cero, esto radica en la propia naturaleza de ambos experimentos. La caída libre, además de los sistemas de

medida, solo involucra a un objeto que cae desde cierta altura y, como es lógico, se elige una esfera de metal

para minimizar otras fuerzas distintas a la de atracción gravitatoria que puedan alterar los resultados.

Sin embargo, para el plano inclinado hay varios aspectos clave, pues implica un movimiento relativo entre dos

sólidos en contacto con todo lo que ello conlleva, además de poder configurarlo con el ángulo que se desee.

Por tanto, en este apartado se verán las principales alternativas que pueden considerarse para el montaje antes

de decidir cuál se implementará. Cuando se haya elegido, se describirá cómo se llevó a cabo la primera prueba

del experimento de plano inclinado; esto es, cómo se montó, cómo se ensayó, la forma de analizar los datos

medidos y las conclusiones a los resultados obtenidos.

4.2.1. Alternativas

En primer lugar, volver a repetir lo que desde el comienzo se mantiene como condición insalvable, mantener la

sencillez en la experiencia que permita comprobar una Ley Física desde la más pura observación de su

consecuencia, el movimiento uniformemente (en teoría) acelerado de un cuerpo bajo la acción del campo

gravitatorio.

Por tanto, se elimina cualquier método estático, como la medida de la elongación de un resorte del que cuelga

una masa a varios ángulos de inclinación del plano; o el uso de dinamómetros más modernos.

Una opción acorde al objetivo sería utilizar un sistema comercializado también por el proveedor habitual,

referencia [2]. Puede buscarse en la web anterior tecleando “air track” y, como su nombre hace intuir, consiste

en un carril en forma de V invertida, con pequeños orificios en ambas caras separados una distancia suficiente

como para permitir la sustentación del cuerpo móvil, de geometría similar que va colocado encima, mediante

Figura 4.7. Esquema del Efecto Magnus


58

aire a presión que sale por los mismos. El laboratorio del departamento ya tiene implementado este montaje, sin

embargo, se perdería la posibilidad de estudiar la rodadura de la esfera por el canal, y esto ya se ha convertido

en un objetivo secundario de este proyecto (y quizás de la futura práctica obligatoria).

Esto permite eliminar el rozamiento dinámico entre los cuerpos, que será uno de los inconvenientes

fundamentales de este experimento, como ha podido comprobarse en el análisis teórico de 4.1. Lo que habría

que estudiar en profundidad serían las pérdidas aerodinámicas: cómo afecta la corriente de aire a la aceleración

del cuerpo. Sin embargo, como se ha mencionado en 4.1, este efecto puede considerarse despreciable y no

supondría mayor complicación.

Finalmente queda la opción clásica, la llevada a cabo por Galileo y la que desde el comienzo quiere reproducirse,

la rodadura de una esfera por un plano inclinado o, siendo más estrictos, por un canal inclinado para controlar

que la trayectoria de la esfera sea la deseada. Así, podrá usarse cualquier objeto que sea perfectamente recto de

longitud aproximadamente 1(𝑚), con algún tipo de acanaladura igualmente recta y lisa.

En este sentido, la opción que parece más acertada es el uso de un perfil metálico ya que resulta ser duro, poco

deformable por el paso de la esfera y con propiedades superficiales adecuadas para evitar efectos indeseados;

además de fácilmente adquirible. Dependiendo de la esbeltez del mismo habría que decidir si asentarlo o no

sobre otro cuerpo, que aporte robustez y evite vibraciones o pandeos.

En cuanto a la geometría y/o configuración del perfil, a priori existen dos claras posibilidades: un perfil en V en

el que la esfera contacta con la superficie de las bandas, o un perfil en U donde el apoyo se da en los cantos;

como en el esquema de la Figura 4.8:

Se prevé que las dos opciones tendrán comportamientos similares, pero la U resultará más sencilla a la hora de

implementarla con el resto del montaje, pues tiene una superficie horizontal en la que apoyar, manteniendo la

verticalidad de forma más segura. Además, como se ha explicado en 4.1, la causa de las pérdidas energéticas

por rodadura es el contacto no puntual entre sólidos debido a la deformación de los mismos. Con el perfil en U,

este contacto puntual teórico pasa a ser un “segmento” de contacto, mientras que con el perfil en V el contacto

sería superficial aumentando estas pérdidas por rozamiento, con lo cual resulta preferible la U.

Una vez solucionada la selección de carril se necesitan otros componentes para fijarlo, pero no sólo el carril,

sino también los sensores con los que medir las magnitudes oportunas. Sobre estos sensores se hablará en el

siguiente apartado, pero se adelanta que lo más lógico es aprovechar el material de la práctica de caída libre.

Así pues, se necesita algún sistema que fije el carril y los sensores con el ángulo deseado de inclinación de forma

precisa. Existen varios mecanismos que pueden realizar esta función; la estructura de la Figura 4.9 sería ideal

pues tanto los ángulos como las posiciones relativas de los distintos componentes (que irían fijados a ella) se

mantienen; siempre que se admita que la estructura no se deforma.

Figura 4.8. Tipos de Perfil

Figura 4.9. Estructura Soporte Ideal


59

Un inconveniente sería la limitación en la elección de ángulos, habría que habilitar un rango y número de

posiciones adecuado. Otra dificultad radica en lo remarcado como unión en la imagen, ya que esta estructura

habría que construirla de forma casera y, en principio, en madera.

Otras configuraciones se muestran en la Figura 4.10, permitiendo cualquier ángulo deseado o cambiando de eje

la elección de ángulo. En estas habría que cerciorarse de que el conjunto queda fijo, como un sólido rígido.

Lo que tienen en común estas opciones es su requisito principal, que todo el conjunto quede fijo con el ángulo

que se haya escogido. Estas propuestas servirán de orientación para la primera realización en el laboratorio.

El último elemento del montaje a discutir es la esfera a utilizar: tamaño, densidad, material, superficie, etc. El

estudio de todas estas propiedades puede resultar el más complejo de todo el montaje si se hace desde un punto

de vista teórico, ya que habría que analizar todo el apartado 4.1 (la dinámica de la esfera rodando por un canal)

teniendo en cuenta además las propiedades anteriores, desarrollando modelos propios de medios continuos.

Como lo anterior resulta inviable, la elección de esfera se hará en función de los resultados que ofrezcan distintas

pruebas, esto es, se hará de manera empírica. Se probarán pelotas de diversos materiales .

La seleccionada como mejor opción será aquella que ruede sin deslizar y de forma simétrica respecto al eje del

canal de rodadura, manteniendo así las hipótesis aceptadas en todo el estudio de 4.1.

4.2.2. Descripción del Montaje

Lo primero fue adquirir un perfil en U de aluminio de longitud algo superior a 1(𝑚) y sección cuadrada de lado

16(𝑚𝑚). Como soporte principal, para el perfil y los demás componentes, se tomó un tablón de madera, lo

suficientemente largo y ancho, 𝐿𝐿 × 𝑊 × 𝑃(𝑐𝑚). Para elevar uno de los extremos de dicho tablón se utilizó una

plataforma elevadora articulada, ajustable mediante tornillo, similar a la mostrada en la Figura 4.11. Esto permite

el ajuste del ángulo de inclinación con una precisión bastante buena.

La plataforma simplemente se apoyó en la mesa del laboratorio, el extremo superior del tablón en la plataforma

y el inferior también en la mesa. A su vez, el perfil de aluminio se apoyó en el tablón, instante este en el que se

descubrió que el tablón no era la mejor forma de dar un soporte al sistema ya que pandeaba, dejando el carril

apoyado únicamente en dos puntos, no en toda su longitud. Esto último no representa un problema grave, ya que

el carril seguía siendo recto; aunque empeoró mucho la robustez del montaje.

Figura 4.10. Estructuras Alternativas

Figura 4.11. Plataforma Elevadora Articulada


60

Con lo anterior se tenía ya la estructura básica, a falta de los componentes necesarios para medir los tiempos de

caída. Dado que el fundamento es el mismo que en la caída libre, las magnitudes a medir también lo son. Por

ende puede utilizarse el mismo sistema de medición para ello. Si se observa la Figura 3.12 que muestra el

montaje final de la caída libre, se verá el conjunto de sensores fijados entre sí mediante una varilla; este será el

conjunto a usar. Esta forma resulta bastante eficiente para asegurar que las distancias entre sensores no cambian.

Además, facilita la opción ya comentada de realizar ambos experimentos en la misma sesión de prácticas.

Para acoplar este subconjunto a la estructura base se utilizó un par de cada elemento mostrado en la Figura 3.1:

una base, una barra soporte y una abrazadera. Las barras se colocaron a modo de patas para el subconjunto de

sensores, de forma que este quedaba en horizontal.

Para digerir mejor toda esta descripción, se incluye el esquema de la Figura 4.12, en el que se acentúan las

imperfecciones y aspectos que hacen desconfiar de los resultados que puedan obtenerse de este primer montaje.

Lo que no se aprecia en el esquema es que las bases utilizadas para los sensores sirvieron de sujeción para el

carril de aluminio, ya que este deslizaba por el tablón inclinado. Con esto se consiguió “fijar” el montaje

completo (siempre que no sufriera contactos bruscos), para poder realizar las primeras pruebas con un nivel de

seguridad suficiente en los datos.

En cuanto a los componentes extra, necesarios para las mediciones (fuente, interruptor y cronómetro) siguen

realizando la misma función y en su misma configuración que en el montaje de caída libre. Es importante

controlar la posición y tensión de los cables para no provocar torsión en el montaje (mantener la simetría) o

modificar el ángulo de inclinación.

Para fijar esto último, el ángulo de inclinación del carril, puede usarse un transportador (aunque debería ser

exageradamente grande); también podría ajustarse mediante la altura relativa del extremo superior del carril

respecto del inferior conociendo la longitud aunque, lo más sencillo y preciso, sería utilizar el móvil (entendiendo

un smartphone) equipado con cámara y descargando cualquier App gratuita que permita medir el ángulo

formado por la mesa y el carril. En esta primera realización se tuvo un cuidado especial debido al pandeo del

tablón soporte.

Por último, se escogieron cuatro esferas de distintas propiedades atendiendo a ningún criterio en especial, como

se ha comentado en el apartado 4.2.1. Se muestran en la Figura 4.13 y en adelante se nombrarán como:

Figura 4.12. Esquema Primera Realización Plano Inclinado

Figura 4.13. Esferas Utilizadas en la Realización Inicial


61

Morada, pelota maciza de goma, bastante densa y de color morado.

Goma espuma, pelota maciza de goma espuma, por lo que su densidad en ínfima.

Pimpón, una pelota de pimpón, lo más aproximado a una cáscara esférica teórica.

Squash, una pelota de squash, compuesta principalmente de caucho y con diversos tratamientos.

Para las dos primeras se usará el coeficiente 𝛾 = 2/5, para la tercera 𝛾 = 2/3 y para la cuarta habrá que

calcularlo, pues es una cáscara de grosor no despreciable. Este momento de inercia se calcula con (4.36):

5 5

2 1

3 3

2 1

2(4.36)

5

R RmI

R R

Donde 𝑅2 y 𝑅1 son los radios externo e interno respectivamente. Estos pueden consultarse en la Tabla 4.1 junto

con el resto de propiedades que podrán intervenir en la elección de una u otra esfera. La densidad dada en ella

no es la del material, sino la de la esfera completa, es decir, teniendo en cuenta los huecos interiores (cuya masa

de aire es despreciable):

Tabla 4.1. Datos de las Esferas Utilizadas

Una vez elegidos todos los componentes y explicado el montaje de los mismos se está en disposición de llevar

a cabo el experimento. Para tener una muestra de tamaño suficiente que permita observar el efecto de dos

factores sobre los resultados (el ángulo de inclinación del canal y el tipo de esfera utilizada), se hicieron siete

repeticiones para cada esfera presentada y para cuatro ángulos distintos, lo que hacen un total de 4 ∗ 4 ∗ 7 = 112

repeticiones, y cada una lleva asociada cuatro instantes de tiempo que serán los que se analicen en el siguiente

apartado.

Antes de ello, recalcar que las pruebas se llevaron a cabo con especial cuidado (asegurando las distancias entre

sensores y ángulo de inclinación) y se desecharon algunas tomas cuyas mediciones se confirmaban erróneas a

simple vista. Esto resultó necesario dada la poca confianza que ofrece el montaje de esta primera prueba o

realización inicial.

4.2.3. Análisis de Datos y Resultados

Para todos los análisis del experimento de plano inclinado se usarán los resultados de los subapartados 4.1.3 y

4.1.4. Se comienza exponiendo las ecuaciones resultantes para los modelos 1 y 2 de este estudio (ecuaciones

(4.12) y (4.32)), que servirán para obtener 𝑔 en el primero y 𝑔 y 𝑐 en el segundo. Estas son las ecuaciones (4.37)

y (4.38) respectivamente:

Los factores que acompañan a 𝑔 y 𝑐 en los coeficientes 𝐴 y 𝐵 son constantes que varían exclusivamente con la

esfera ensayada, por tanto y por comodidad se usarán las constantes 𝐶1 y 𝐶2 en adelante, tanto en este texto como

en los archivos correspondientes.

Esfera m (g) R (mm) ρ (kg/m³) γ I (kg·m²)·𝟏𝟎𝟔 Superficie

Morada 50 21,5 1201,06 2/5 9,245 Goma Pulida

Goma Espuma 5,1 22,5 106,89 2/5 1,033 Rugosa

Pimpón 2,6 20 77,59 2/3 0,693 Plástico Liso

Squash 23,6 20 / 16 704,26 0,551 5,202 Goma Rugosa


62

2 2

1

(4.37) 0 sen

11

0 sen

y A x B

ga

b R

ga

C

2 2

2 2 2 2

2 1

(4.38) tancos

1 1 11 1

tancos

y A x B

a cg g

R b Rb R b R

a cg g

C C

Teniendo resuelta la variable 𝑥 de las ecuaciones, falta obtener las aceleraciones a partir de los datos recogidos

en el laboratorio, los tiempos. Para ello, en primer lugar se procede de igual forma que en el capítulo anterior de

caída libre: regresión de los datos implementados en varias ecuaciones posibles, aunque con la diferencia de que

ahora la aceleración “constante” a la que están sometidas las esferas no es 𝑔 sino 𝑎, calculando la primera con

la expresión (4.37). Este caso resulta bastante más engorroso que el anterior debido al volumen de datos

disponible pero, aun así, se lleva a cabo en el archivo Excel “practica6.xlsx”. Este archivo contiene cuatro hojas:

“Datos”, con las mediciones de tiempos y el resto de variables necesarias para los análisis. Solo se define

la constante 𝐶1 debido a que en este archivo solo se busca hallar los rangos de 𝑔 de una forma general, ya

que se sabe de antemano que esta forma de análisis no resulta efectiva por las grandes incertidumbres en

este experimento. Se incluye una breve descripción de esta primera prueba del experimento de plano

inclinado.

“Regresiones”, que contiene los valores e incertidumbres de los parámetros posición y velocidad inicial,

aceleración y gravedad; resultado de los ajustes de regresión para cada caso y cada ecuación. En total

suman 4 ∗ 4 ∗ 7 ∗ 5 = 560 regresiones, pues se utilizan las cuatro ecuaciones iniciales1 (apartado 3.3.3) y

la implementada en la práctica de caída libre del curso 2016-17 (apartado 3.4). esto hace intratable el

análisis de cada regresión, por ello se ramifica en las siguientes hojas:

“Análisis Repeticiones”, contiene una tabla con los valores medios, máximos y mínimos de 𝑔 de las siete

repeticiones de cada caso, representados en varias gráficas. Esto se hace principalmente para reducir la

casuística y centrar el análisis en observar la reproducibilidad del experimento en función de la esfera, el

ángulo y la ecuación de ajuste. Como conclusión de esto puede decirse que la variabilidad en cada

repetición depende sobre todo de la esfera, siendo la Morada la que tiene un rango de 𝑔 más amplio.

“Análisis Medias”, solo se tabulan las medias de 𝑔 y del coeficiente de correlación 𝑟 para cada caso, con

el objetivo de comparar “de un vistazo” todos los resultados en función de todas las características cuyas

variaciones dan lugar a los casos; estas son esferas, ecuaciones y ángulos. Los tres parámetros provocan

efectos de similar magnitud en los valores de 𝑔, por tanto no puede obviarse ninguno del análisis o

resultado a priori.

Comenzando por las ecuaciones, cabe mencionar que durante el ensayo no se intentó conseguir unas

condiciones iniciales nulas (de hecho, de las regresiones se obtienen 𝑥0 y 𝑣0 en torno a 0,12(𝑚) y 0,3(𝑚/𝑠)

respectivamente). Por ello, los peores resultados deberían obtenerse de las expresiones que suponen nulas

estas condiciones. Se reescriben las ecuaciones ya expuestas en el capítulo 3:

1 Respecto a la ecuación cuadrática del llamado en el capítulo 3 “Ajuste 4”, mencionar que se ha sustituido el método utilizado entonces (dado en la referencia

[6]) por el uso de la función ESTIMACION.LINEAL de Excel. Con este volumen de datos resulta más rápido y cómodo.


63

(4.39)

2

0 0

0 0

0

2

0 0

0 0 0

1) ; 02

2) ; 02

3)

14)

2

25) ; , 0

m m

as s t v

s av t s

t

V v aT

s s v t at

t t s s va

El problema con la 3) y la 4) es que son las peor condicionadas, como ya se explicó. Aun así, excepto la

1) todas dan resultados semejantes con diferencias en torno a 1(𝑚/𝑠2). La diferencia máxima entre esferas

roza los 2(𝑚/𝑠2); igual que entre los ángulos ensayados (excepto con la pelota de squash, en la que la

pendiente es más acusada).

Si se tuviese que elegir una combinación de características para este montaje sería: Ensayar la pelota de pimpón

en el rango de ángulos 5,5° − 10° y analizar los datos mediante la parábola de regresión, ecuación 4). Para

justificarlo, se muestra la Figura 4.14 con la comparación entre Pimpón y Squash:

Se aprecia como el ángulo en el rango escogido no afecta tanto al valor de 𝑔 en Pimpón como en Squash. La

elección de esfera también se debe a lo observado en la tercera hoja “Análisis Repeticiones”, donde la que tiene

el rango de resultados más acotados (y con ello mejor reproducibilidad) es la misma, Pimpón:

3,5

8,5

13,5

1) 2) 3) 4) 5)

Pimpón

3,5 5,5 7,5 10

g (m/s²)

3,5

8,5

13,5

1) 2) 3) 4) 5)

Squash

3,5 5,5 7,5 10

Figura 4.14. Comparación de Regresiones, Primer Montaje de Plano Inclinado

4

6

8

10

12

14

1) 2) 3) 4) 5)

Morada 5,5

4

6

8

10

12

14

1) 2) 3) 4) 5)

Pimpón 5,5

Figura 4.15. Comparación de Repeticiones, Primer Montaje de Plano Inclinado


64

Para terminar con este archivo “practica6.xlsx” y con sus regresiones, recalcar que con tanta incertidumbre

(diferencias entre casos mencionadas, del orden de la unidad de (𝑚/𝑠2)) no resulta adecuado el análisis de

regresión, por lo menos a este nivel, siendo a la vez muy engorroso trabajar con tal volumen de datos. Así se

justifica también que sólo se haya prestado atención a los valores de 𝑔, sin haber analizado condiciones iniciales

o el coeficiente de correlación.

Debido a todo lo anterior se continúa el análisis de datos desde otra perspectiva: tomando la misma expresión

del anterior ajuste 4), que es la ecuación cinemática del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y que

contiene tres incógnitas: 𝑥0, 𝑣0 y 𝑎. Al disponer de cuatro pares de datos es posible resolver el sistema de

ecuaciones 3x3 dos veces en cada caso, esto es, la primera con los pares de datos {(𝑠1, 𝑠2, 𝑠3), (𝑡1, 𝑡2, 𝑡3)} y la

segunda con los {(𝑠2, 𝑠3, 𝑠4), (𝑡2, 𝑡3, 𝑡4)}, proporcionando información útil en cuanto a los efectos que introducen

las indeseadas incertidumbres.

Esto se lleva a cabo en el archivo “practica7.xlsx”, que también consta de 4 hojas:

“Datos”, que contiene únicamente los tiempos medidos, sus medias y datos sobre las esferas; en este caso

no se hace uso de variables intermedias como en el archivo anterior. Se incluye igualmente la breve

descripción del montaje ensayado.

“Matriz -1”, que contiene la resolución de los sistemas dos a dos mediante el cálculo de la matriz de

coeficientes inversa con las funciones de Excel “MINVERSA” y “MMULT”. Los sistemas resueltos

corresponden a las medias de los tiempos de las siete repeticiones, así como a cada una de las siete

repeticiones de dos casos particulares (Morada a 3,5° y Squash a 10°).

El propósito era utilizar este método en todo el análisis, sin embargo, resulta bastante tedioso en

comparación con el método de la siguiente hoja, por lo que queda como una prueba de otro camino para

la resolución de sistemas.

Aunque no se continúe de esta forma, ya que los sistemas están resueltos, se procede a pintar los resultados.

En este caso, el eje de las abscisas de todas las gráficas se corresponde con los ángulos de inclinación,

representado en las ordenadas los valores 𝑥0, 𝑣0, 𝑎/2 y 𝑔, en distintos formatos. Con estas gráficas se

refuerza lo concluido con “practica6”, esto es, tendencias más o menos lineales de 𝑣0, 𝑎/2 y 𝑔 con el

ángulo de inclinación, grandes bandas de incertidumbre (aunque no calculadas, son evidentes) y

comportamiento de las esferas poco predecible. Se presenta la gráfica que muestra todas las 𝑔 obtenidas

de los tiempos medios en la Figura 4.16:

También se reafirma que la pelota de pimpón es la que da una aceleración de la gravedad más ajustada al

valor real y con menor variación en el rango de ángulos 5,5° − 10°. Este hecho, aunque bueno para el

desarrollo del proyecto, no hace que el experimento ensayado sea fiable, no hay que olvidar los numerosos

efectos observados y no observados que no se están teniendo en cuenta.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 5 7 9

g (m/s²)

Morada 1ºtramo

Morada 2ºtramo

Goma Esp 1ºtramo

Goma Esp 2ºtramo

Pimpón 1ºtramo

Pimpón 2ºtramo

Squash 1ºtramo

Squash 2ºtramo

Figura 4.16. Resultados de la Resolución de Sistemas por Matriz Inversa


65

“Sencilla”, que básicamente ofrece los mismos resultados que la hoja anterior, aunque de una forma más

sencilla y concisa; por ello no solo se resuelven los sistemas con los tiempos medios, sino que se resuelven

todos, para cada una de las repeticiones.

Se trata de despejar el sistema de ecuaciones de manera tradicional, siguiendo los siguientes pasos:

1

1

1

2

1

1

1

; 1,2,3.

2 ; 1,2.(4.40)

; 1.

( ) / 2; 1,2.

i ii

i i

i ii

i i

i i

i i i

i i i

x xVm i

t t

Vm Vma i

t t

a aai

v v v

v Vm Vm i

Así se rellena una tabla con todas estas variables intermedias, posteriormente se utiliza la ecuación (4.37)

para calcular las 𝑔 de cada repetición de cada caso (completando los resultados hallados en la hoja “Matriz

-1”), y por último se utilizarán las ecuaciones (4.37) y (4.38) para calcular las rectas de regresión

mencionadas al principio del subapartado y poder por fin comparar los dos modelos teóricos del apartado

4.1.

Si se pintan los resultados se obtendrá una gráfica muy parecida a la de la Figura 4.16, pues los cálculos

son los mismos y, además, se ha comprobado que el hecho de tomar la media de tiempos para calcular 𝑔

o tomar la media de las 𝑔 calculadas independientemente en cada repetición, no tiene mayor efecto que

0,1(𝑚/𝑠2) en el peor de los casos. Esto se cumplirá siempre que las repeticiones se lleven a cabo con la

suficiente precisión y cuidado. Se muestra el extracto de la tabla que compara estos valores:

Tabla 4.2. Comparación Cálculo de “g” con Valores Medios y Media de “g” Individual

Esfera Ángulo (°) g1 g2 <g1> <g2>

Mora

da

3,5 7,861041222 7,188671977 7,929831346 7,271643302

5,5 8,670625783 7,839593652 8,761435881 7,977239859

7,5 8,459415999 7,681113731 8,506001818 7,754773147

10 9,617623251 9,027362733 9,618339478 9,026848551

Gom

a E

spum

a 3,5 5,00406647 4,352583443 5,010913138 4,363274949

5,5 7,115707298 6,435845336 7,124256794 6,446096008

7,5 7,196203099 6,352284364 7,201231409 6,357791508

10 7,462532175 6,720119442 7,471598183 6,723818721

Pim

pón

3,5 7,298628095 6,459128387 7,299237653 6,459270824

5,5 8,747300012 7,816760576 8,748268932 7,81825494

7,5 8,719665962 7,814772481 8,719792007 7,814767879

10 8,867457339 7,761540231 8,867477593 7,762716685

Squas

h

3,5 3,565965489 2,916116678 3,575301948 2,938463063

5,5 6,674045369 6,183647462 6,674677329 6,186455397

7,5 7,641939142 6,730596944 7,648324816 6,744076039

10 8,026098426 7,316294892 8,029569135 7,325062883


66

“Análisis”, donde se recogen las citadas regresiones además de las gráficas y comentarios oportunos.

Antes de realizar esta regresión conviene representar algunos datos intermedios calculados en “Sencilla”

que ayuden a vislumbrar los rangos manejados.

Referente a las repeticiones, no se vuelve a repetir el estudio hecho con el archivo “practica6.xlsx”; las

conclusiones serán las mismas. Así pues, todas las gráficas utilizarán las medias de las siete repeticiones.

Empezando por la variable 𝛥𝑎/𝛥𝑣, todos los valores son negativos (al menos en las medias), lo cual

implica que a medida que transcurre la experiencia (que la bola va adquiriendo velocidad), su aceleración

lineal resultante disminuye en lugar de seguir constante. Y esto sugiere que existe algún fenómeno de

rozamiento cuyo efecto aumenta con la velocidad, puede ser la misma rodadura o quizás la resistencia

aerodinámica con el aire. Si se representa frente a 𝛽 se observa una no muy clara tendencia decreciente,

Figura 4.17. Esto solo apoya la conclusión anterior, pues a mayor ángulo, mayor velocidad adquiere la

bola a igual distancia recorrida. Es curioso que la pelota de pimpón vuelva a ser la que presenta un efecto

de forma más estable (mayor linealidad):

En cuanto a los coeficientes de los sistemas, esto es, los parámetros iniciales y la aceleración lineal, no

merece la pena mostrar las gráficas en esta memoria (aunque están disponibles en el archivo), pues no

aporten nada nuevo a priori: 𝑥0 está en torno a cero con los del segundo tramo negativos, lo que concuerda

con que las 𝑣0 del segundo tramo sean mayores que las del primero. Estas últimas crecen con el ángulo de

inclinación. Las aceleraciones lineales son lineales con el ángulo a simple vista (deberían representarse

frente a 𝑠𝑒𝑛(𝛽) o 𝑡𝑎𝑛(𝛽), pero se manejan ángulos lo suficientemente pequeños), aunque esto se deja para

la regresión posterior. Como es habitual con movimiento uniformemente acelerado, se grafica también 𝑥

frente a 𝑡2en todos los casos medios.

La gráfica para 𝑔 es la misma que la Figura 4.16, como ya se ha indicado. Se pasa entonces a calcular el

par de regresiones mediante las ecuaciones (4.37) y (4.38). Ambas comparten pendiente, pues la única

diferencia entre ellas es el coeficiente 𝐴, y que todos los términos se dividen por 𝑐𝑜𝑠(𝛽) en el segundo

modelo para despejarlo precisamente de 𝐴. Dados los ángulos ensayados, no ha de existir mucha diferencia

entre las 𝑔 resultantes con uno u otro modelo.

Una vez implementadas las regresiones en esta hoja “Análisis”, se obtienen dos valores de 𝑔 para cada

esfera (uno por cada tramo de tres pares de datos) en el Modelo 1; y otros dos para el Modelo 2, así como

dos valores de la semilongitud de contacto 𝑐. Los resultados no son nada esclarecedores.

Los valores de 𝑔 en función de las esferas varían hasta 2(𝑚/𝑠²), y hasta 1(𝑚/𝑠²) de un tramo a otro,

disminuyendo. El hecho de que 𝑔 disminuya del primer al segundo tramo quiere decir que no se está

teniendo en cuenta algún otro tipo de efecto que cause el frenado de la esfera al rodar.

Y en cuanto al esperado valor de 𝑐 (pues se recuerda que la obtención de este parámetro ha sido uno de

los objetivos del análisis durante todo el capítulo), varían entre 1 − 4,5(𝑐𝑚), lo cual resulta absurdo

recordando que las esferas rondan los 2(𝑐𝑚) de radio. Se presentan en la Figura 4.18 estos resultados:

-0,55

-0,5

-0,45

-0,4

-0,35

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

3 4 5 6 7 8 9 10

Δa/Δ

v (1

/s)

β (°)

Morada

GomaEspumaPimpón

Squash

Figura 4.17. Variación de Aceleración Lineal con Velocidad Lineal


67

Por tanto, puede concluirse que sea cual sea el tipo de análisis que se lleve a cabo sobre los datos recogidos en

el laboratorio experimentando el montaje inicial de plano inclinado, no se consiguen acotar los resultados lo

suficiente como para continuar el estudio con el cálculo de incertidumbres ni con posibles mejoras como el

estudio energético del problema.

Se ha venido advirtiendo que la tercera esfera (la pelota de pimpón) tenía un buen comportamiento; en la Figura

4.18 se ve que es en la que más varía la aceleración de la gravedad en ambos tramos del recorrido, pero también

es con la qe se obtiene una 𝑐 menor. Con esto se quiere hacer hincapié en que quizás sus buenos resultados sean

una mera casualidad: siete repeticiones no es una muestra demasiado extensa y la robustez de las regresiones y

de la resolución de sistemas no es muy buena.

4.3. Montaje Mejorado

Después de analizar los resultados obtenidos con las mediciones de la realización inicial, se hizo clara la

necesidad de mejorar la calidad del montaje. Esto era ya casi una certeza antes de obtener ningún resultado vista

la forma en que se colocaron y fijaron los componentes, además de la necesidad de precisión extra en

comparación con el experimento de caída libre debida a su mayor complejidad.

Además, para llegar a ser una práctica de laboratorio para alumnos de Física I, es necesario que el montaje sea

robusto y preciso, por lo que aunque los resultados para el primer montaje hubieran sido aceptables, habría que

rehacer el conjunto.

Así pues, gracias al trabajo de un profesor del laboratorio, se rehízo este montaje utilizando unas piezas distintas

pero similares a las de la realización inicial. Las mejoras principales consistieron en:

Hacer del conjunto un “sólido rígido”, entrecomillado porque siempre ha de permitir el ajuste del ángulo

de inclinación. Esto se hizo utilizando las barras, bases y abrazaderas utilizadas durante todo el proyecto,

las de la Figura 3.1.

Aportar precisión a la medida de distancias entre sensores, para lo que se instaló un carril de aluminio

similar al anterior, pero milimetrado.

Permitir un buen ajuste del ángulo de inclinación, lo que se consiguió con su regulación mediante tornillo.

Una vez el montaje estuvo lo suficientemente ajustado se procedió a la toma de datos, con el fin de aplicarles

los mismos cálculos que en el apartado 4.2 para verificar su validez. En este momento se descubrió una

importante fuente de incertidumbre, o más bien, un fallo de diseño en el montaje: el perfil de aluminio torsionaba,

y esto provocaría que la esfera pivotara sobre uno de los cantos, causando efectos de rebote, vibraciones y

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

g (m

/s²)

g Modelo 2

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11g

(m/s

²)

g Modelo 1

0

1

2

3

4

5

Mo

rad

a

Go

ma

Esp

Pim

pó

n

Squ

ash

c (c

m)

Semilongitud de Contacto (c)

Tramo 1

Tramo 2

Figura 4.18. Resultados de la Regresión Final: g y c


68

deslizamiento que harían que las mediciones no se correspondiesen con los modelos teóricos.

Al realizar las pruebas, se optó por variar algunas condiciones sobre el anterior: En lugar de utilizar cuatro esferas

distintas (ya que no se obtuvo ningún resultado servible de ello) de materiales plásticos, se ensayó una única

esfera de cristal, una canica, de radio algo menor que las anteriores (𝑅 = 1,5(𝑐𝑚)). Solo se ensayó un ángulo de

inclinación (𝛽 = 6,5°) que estaba comprendido en el rango que se ha observado “estable”, y además no es muy

grande (lo que ocasionaría efectos adversos con mayor magnitud). Por último, para poder comparar casos en

función de algún parámetro, se duplicaron las medidas con el ánimo de alterar las condiciones iniciales, esto es,

se realizaron cuatro repeticiones soltando la canica desde el borde del canal (que se situaba a unos 7(𝑐𝑚) del

sensor inicial) y otras cuatro soltándola muy pegada al sensor que da comienzo a la cuenta del tiempo.

Se han tratado las mediciones recogidas en el archivo “practica8.xlsx”, que consta únicamente de la hoja

“Montaje Mejorado”, y a continuación se describen los resultados obtenidos y las conclusiones observadas:

Al tener solo un ángulo se reduce mucho la casuística de análisis, por lo que únicamente pueden estudiarse

los efectos del cambio de ecuación y la reproducibilidad (similitud entre repeticiones) en los dos casos

ensayados, desde el borde y desde el sensor. En la gráfica de la Figura 4.19 se resumen los resultados para

las regresiones de las cinco ecuaciones (las mismas que en el archivo “practica6”):

Como puede verse, en el caso de lanzar la canica desde el borde, es decir, con mayores posición y

velocidad iniciales, el experimento resulta más reproducible (los resultados de cada repetición son más

parecidos), no siendo así en el caso en que lanzamos intentando anular las condiciones iniciales.

Esto es curioso, pues durante todo el proyecto se han intentado anular estos valores para aportar datos más

teóricos y robustos a las ecuaciones. Quizás en el caso del plano inclinado sea mejor evitar la transición

inicial desde el reposo, o quizás simplemente haya sido casualidad en la toma de datos.

En cuanto a los valores de 𝑔, mencionar que no varían tanto como en el apartado 4.2, pero sigue habiendo

demasiada diferencia, al igual que entre ecuaciones.

En conclusión al montaje mejorado, primero decir que debe seguir mejorando (la torsión del carril, añadir más

sensores,…) pues las bandas de error obtenidas del cálculo de las regresiones no resulta aceptable. En segundo

lugar, debería hacerse el estudio completo como en montaje inicial (con las mismas cuatro esferas, para varios

ángulos), aunque puede que esto no sirva de mucho ya que parece que las causas de los errados resultados tienen

más parte de teórico que de experimental. Habría que desarrollar modelos teóricos más realistas.

5

6

7

8

9

10

11

1 2 3 4 5

g (m

/s²)

Desde el Borde

5

6

7

8

9

10

11

1 2 3 4 5

g (m

/s²)

Desde el Sensor

Figura 4.19. Comparación Posición de Lanzamiento y Repeticiones. g


69

4.4. Conclusiones al Plano Inclinado

El plano inclinado fue un experimento muy útil para Galileo debido, como ya se sabe, a que le facilitó la

medición del tiempo en comparación con la caída libre. Sin embargo, para el fin de hallar el valor de la

aceleración de la gravedad con unas exactitud y precisión actuales no sirve, en la configuración propuesta en

este TFG.

Si se afinaran los modelos teóricos usados no es descabellado pensar que se obtuviesen resultados aceptables

tanto con el montaje mejorado como con el inicial. Pero esto supone la estimación de efectos no ideales cuya

dificultad escapa a los límites del estudio. Por ejemplo, la estimación de la resistencia aerodinámica que soporta

la esfera cuando rueda en el seno del aire apoyada sobre un canal.

Podrían proponerse otros montajes (con distintos instrumentos de medida, mayor tamaño muestral, materiales

diferentes, o incluso sustituyendo la esfera que rueda por un sólido que deslice con un coeficiente de rozamiento

conocido), sin embargo este es el que guarda la sencillez propia de la caída libre, objetivo también del montaje

resultante.


70

71

5 CONCLUSIONES

O puede decirse que las conclusiones a este TFG sean excelentes, ya que no se ha conseguido obtener

una práctica de laboratorio con las características requeridas que devuelva un valor de 𝑔 lo suficientemente

preciso y exacto como para mostrar al experimentador (el alumno) la veraz relación que existe entre la teoría y

el mundo real.

No obstante, se ha conseguido mejorar el punto de partida hasta donde las propiedades intrínsecas de los

experimentos ensayados han permitido, y además se ha realizado un extenso estudio de los tipos de montaje y

herramientas utilizados, resultando un buen abanico de posibles puntos de partida para siguientes mejoras.

Comenzando con el experimento de caída libre, conforme se ha ido desarrollando el proyecto, y sobre todo

durante el estudio del plano inclinado, se ha reforzado el hecho de que este sea el experimento más extendido a

nivel docente. Pues, ¿qué otra forma más clara y explícita hay de calcular una aceleración lineal que mediante

el muestreo de distancia y tiempo? Quizá no sea la más precisa ni robusta (siempre podrían obtenerse mejores

resultados afinando experimentos con péndulos o resortes), pero sí es la más perceptible y comprensible.

Resulta obvio admitir que el cambio que ha provocado la mejora más notoria en este montaje ha sido la adición

y fijación de más células fotoeléctricas, en lugar de disponer sólo de una y tener que ajustarla varias veces a lo

largo de la prueba. Sobre todo la fijación de las mismas y del resto de componentes para lograr el conjunto como

“sólido rígido”, pues se ha visto reducido el número de muestras y con él han aumentado las bandas de

incertidumbre.

Para posibles mejoras futuras al montaje final de caída libre aquí expuesto, podría solucionarse lo anterior

añadiendo más células (con una o dos sería suficiente). Podrían realizarse más modificaciones, pero esta sería la

más fructífera.

En el caso del plano inclinado no es tan sencillo. Las fuentes de incertidumbre son más y mayores, como se ha

comentado durante todo el capítulo. Esto hace que intentar eliminar esas fuentes en base a los resultados

observados resulte inútil.

Además de las peores condiciones de este experimento comparado con la caída libre, hay que tener en cuenta

que los modelos teóricos implementados no tienen en cuenta algunos factores que podrían estimarse con un

estudio más profundo, para hacer corresponder los modelos con la realidad en la máxima medida. Este puede

ser un camino a seguir para siguientes mejoras de este experimento, aunque no la más significativa:

El montaje mejorado expuesto en el capítulo 4 tiene aún muchos puntos de mejora, para lo cual también se

podría hacer un estudio teórico a partir de los resultados observados en este proyecto. Podrían elegirse de manera

fundamentada factores como los materiales de esfera y carril, la relación entre sus dimensiones características,

el ángulo óptimo para minimizar los posibles efectos no ideales, una longitud de recorrido total prudente, la

distancia entre sensores y su número, etc. Pero, aunque la elección de todos estos factores se haga en base a la

teoría, siempre deberán ser comprobadas de manera experimental, como es obvio.

En definitiva, en cuanto al trabajo de laboratorio y admitiendo que quiere conservarse la característica

fundamental (cálculo de aceleración mediante medidas de distancia y tiempo), puede decirse que la caída libre

tiene poco más que ofrecer y que el plano inclinado está por perfeccionar.

Respecto a las herramientas analíticas utilizadas, el ajuste por regresión parece consolidarse también como la

mejor opción, tanto por las características de los datos obtenidos del experimento (tamaño muestral, relación

directa con una expresión analítica, necesidad de parámetros estadísticos como resultado,…) como por la

comodidad de su uso.

La elección de una ecuación a la que practicarle la regresión no resulta fácil, se han probado varias en varios

casos y en ambos experimentos, pero solo se han advertido ciertas diferencias entre ellas en distintas situaciones,

N


72

lo cual no es suficiente como para admitir la prevalencia de una sobre otra. Como se comentó en el apartado

3.3.4 de la memoria, la ecuación implementada en la práctica del curso 2015-16 ofrece buenos resultados en

general, además de aportar un significado físico palpable a los resultados mediante al valor de la ordenada en el

origen, 𝑡0, que es otra condición inicial del problema como 𝑥0 y 𝑣0. Si en el futuro se añadieran más células a

los montajes, seguramente se obtendrían resultados más exactos con la regresión parabólica, que no necesita

hipótesis y calcula las condiciones iniciales necesarias.

También hay que hacer mención al fallido intento de desarrollar una aplicación independiente que compute las

mediciones introducidas para devolver regresiones. La razón de no llevarla a buen fin fue el gran tamaño

resultante en términos de bytes, sin embargo esto se debió a que se eligió MatLab como herramienta

desarrolladora.

Hoy por hoy existen multitud de lenguajes de programación, más sencillos y eficientes con los que poder haber

realizado esto, aunque siendo de GIA el autor de este TFG, se adoptó MatLab como la única opción desde el

principio. Otra mejora a la práctica consistiría por tanto en programar una aplicación básica que cumpliera con

los cometidos señalados; aunque no resulta imprescindible, ya que con la hoja Excel “lineal.xls” y la calculadora,

el alumno tiene herramientas más que suficientes.

Como se indica en 1.2, el alcance de este proyecto era dejar en perfecto funcionamiento la práctica de laboratorio

para los alumnos de primero. Así pues, dado que los resultados del experimento de plano inclinado fueron

negativos, y se abandonó la idea de la aplicación para el tratamiento de datos, los únicos cambios realizados son:

La mejora del montaje experimental para la caída libre, aportando una gran robustez en comparación con

el estado inicial del mismo, teniendo como resultado mayor precisión y exactitud en el cálculo de la

aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

Actualización del contenido teórico de la práctica, utilizando los ensayos realizados con distintas esferas

para relacionar sus características con los cálculos de g.

Como se ha dicho al principio, en este sentido no se ha conseguido una mejora excelente, pero en cierto sentido

se han definido los posibles caminos a tomar en el perfeccionamiento de esta práctica de laboratorio, que no

tiene otro objetivo que el de demostrar, de la manera más directa e inequívoca posible, el cumplimiento de una

Ley que constituye uno de los pilares de la Física actual.

A pesar de no haber alcanzado el objetivo final, y además del trabajo realizado, a veces tedioso sobre todo en lo

relativo al análisis de datos, la realización de este proyecto ha sido gratificante para el autor, pues se ha tratado

con una de las interacciones más importantes y menos conocida de nuestro entorno, la gravedad.

73

ANEXOS

Anexo I. Breve Historia del Concepto de Gravedad

El ser humano lleva desde sus inicios intentando dar una explicación a todo el entorno que le rodea, ya sea el

porqué de la naturaleza líquida del agua, de la misma muerte o del paso periódico diario de una gran bola de luz

por el cielo.

Históricamente el estudio de la gravedad fue independiente al de otros campos, sin embargo es necesario hacer

un resumen de la evolución de las teorías en materia astronómica para posteriormente fusionar ambos aspectos,

dando lugar a las leyes de la Física que hoy en día se conocen y admiten.

Las primeras fuentes de las que hoy se tiene constancia se remontan a la época de los griegos, que dieron el

primer modelo “realista” del universo. En él, la Tierra ocupaba el centro, la Luna y el Sol giraban en círculo a

su alrededor, y las estrellas eran puntos fijos en una “esfera celeste” que también rotaba en torno a la Tierra; esto

representa un modelo Geocéntrico del cosmos. Aunque esta teoría fue admitida desde Platón y Aristóteles, y

desarrollada por Ptolomeo, hasta bien entrado el siglo XV; se tiene constancia de otras de esta misma época, por

ejemplo, Aristarco de Samoa propuso un modelo heliocéntrico poco después que Aristóteles, pero no tuvo

aceptación.

En cuanto a la gravedad en el sentido del por qué las cosas caen hacia el suelo, fue también Aristóteles quien dio

una explicación, más cosmológica que científica, para ello. Con la premisa de que la Tierra era el centro y

ayudado por su definición de los cuatro elementos fundamentales, tierra, agua, aire y fuego; defendió que cada

uno tenía su lugar en el universo, disponiéndose los más densos más cercanos al centro del mismo (tierra), como

muestra el esquema de la Figura AI.1. Así por ejemplo, el humo (que era casi todo aire) tendía a subir a su

posición natural, y una roca tendía a la suya, el centro.

Figura AI.1. Elementos y Capas del Universo Según Aristóteles


74

Pero no todo eran teorías cosmológicas sin fundamento experimental, el hombre ha ido perfeccionando técnicas

para cuantificar todo lo que en su entorno percibía, es decir, realizar mediciones. Resulta interesante hacer un

repaso cronológico de las diversas técnicas que ha ido desarrollando el ser humano a lo largo de la historia para

medir el efecto de las principales interacciones perceptibles en la naturaleza.

La medida de grandes magnitudes, a escala de planetas, no es tan reciente como puede pensarse. Comenzando

por medidas de pequeñas cantidades de grano mediante la balanza, cuyo uso se estima posible desde el año 5000

a.C., o con medidas corporales de distancia como pies o brazas; continuando con medidas de largas distancias

como jornadas solares; cada vez el abanico de magnitudes susceptibles a medida era mayor.

Puede darse como primer hito de medición a gran escala la medida del perímetro terrestre por parte de

Eratóstenes, allá por el año 280 a.C., mediante observaciones solares en distintos puntos del globo como muestra

la Figura AI.2 y obteniendo una precisión sorprendentemente buena. Algunos afirman que fue un golpe de

suerte, pero el valor dado por Eratóstenes tenía en torno al 1% de error en referencia al valor actualmente

aceptado, obtenido utilizando mediciones satelitales.

Este valor perduró muchos años, incluso estuvo a punto de utilizarse en los cálculos de Colón para la distancia

a recorrer en su viaje a las Indias; aunque se usó otro menos preciso, de menor valor, que hacía viable la

realización de la travesía.

El ya mencionado Aristarco, casi contemporáneamente a Eratóstenes, propuso un modelo heliocéntrico y llegó

a calcular la relación entre las distancias desde la Tierra al Sol y a la Luna a partir de las fases lunares. También

mediante observación de eclipses, consiguió dar una relación entre los radios de ambos astros y las distancias a

ellos. Aunque sus resultados dejaron bastante que desear, sus métodos eran correctos, aportando un gran avance

al uso de la geometría en el ámbito astronómico.

Unos mil setecientos años después, sobre 1540, fue Copérnico quien, con su modelo heliocéntrico, comenzó a

romper la creencia de que la Tierra era el centro del universo. Fue después de su muerte cuando esta idea se

extendió entre los estudiosos de la época, produciendo una gran discordia en la comunidad científica.

El siguiente gran paso en el ámbito astronómico puede atribuirse al trabajo de dos grandes investigadores, Tycho

Brahe y Johannes Kepler. El primero, aunque nunca aceptó el modelo heliocéntrico, fue un gran observador y

recogió a lo largo de su vida los datos que sirvieron a Kepler para el desarrollo matemático de su idea de que las

órbitas que describían los cuerpos celestes alrededor del Sol (pues sí aceptó el modelo de Copérnico) no eran

círculos perfectos, sino elipses.

Esto último representa un gran cambio en cuanto a las premisas en el estudio de la naturaleza desde los griegos

hasta entonces. Y es que la naturaleza debía ser perfecta y armónica, siendo la mejor muestra de perfección la

presencia de la circunferencia en los fenómenos observables del cosmos. Incluso el mismo Kepler dudó en este

aspecto con su “¡Oh, ridículo de mí!” al no entender como los astros preferían orbitar describiendo elipses en

lugar de círculos.

Contemporáneamente a Kepler, Galileo también estudió los cuerpos celestes. Haciendo uso del telescopio por

primera vez en la historia de la astronomía descubrió cuatro de las lunas de Júpiter e hizo un exhaustivo estudio

Figura AI.2. Método de Eratóstenes


75

de las fases de Venus, cuyas conclusiones daban validez al modelo heliocéntrico como muestra la Figura AI.3.

A su vez observó la superficie lunar, con sus valles, montañas y cráteres.

También se dedicaba al estudio de los efectos de la gravedad terrestre. Habiendo aceptado el modelo de

Copérnico y, por tanto, suprimiendo la idea aristotélica de una “gravedad” que ordena los elementos en sus

respectivas capas naturales, había que estudiar y redefinir la gravedad. Eran muchas las cuestiones a resolver.

Por ejemplo, si la Tierra rota sobre su propio eje, ¿por qué al dejar caer un cuerpo desde cierta altura, éste no se

desplaza horizontalmente? ¿O por qué no salen los objetos despedidos de la superficie si la Tierra se desplaza

alrededor del Sol? De esta cuestión surgió la idea de inercia, que extrapoló al movimiento de los planetas

alrededor del Sol, respondiendo también a la pregunta de por qué se desplazan los planetas: porque ya lo hacían.

Este concepto de inercia surgió también de sus estudios sobre planos inclinados, en los que defendía que si una

esfera bajando por un plano inclinado desde una altura inicial se aceleraba, y subiendo se frenaba hasta detenerse

a la misma altura que la inicial; en el plano horizontal la esfera debía mantener su velocidad constante

indefinidamente (lo cual no ocurría por efectos que achacó al rozamiento) pues nunca alcanzaría la altura inicial.

El esquema de la Figura AI.4 se explica por sí solo. Esta forma de razonamiento, es decir, llevar al límite los

efectos observados en la experimentación, es una de las características que hizo a Galileo llegar a conclusiones

que hoy sabemos que son tan importantes.

¿Por qué al dejar caer dos cuerpos de distinto peso desde cierta altura, éstos llegan a la vez? De aquí obtuvo que

debía existir una fuerza que afectase por igual a todos los cuerpos, y observando las progresiones de velocidad

tanto en caída libre como por planos inclinados llegó a la conclusión de que todos los objetos experimentaban

una aceleración que era uniforme.

Aun con todas estas conclusiones sobre los fenómenos relacionados con la gravedad, no llegó a explicar o

fundamentar el porqué de la fuerza de la gravedad, sin embargo, su trabajo fue decisivo para el posterior

desarrollo de la Ley de Gravitación Universal.

Figura AI.3. Validación Modelo Heliocéntrico

Figura AI.4. Razonamiento Deductivo de Galileo


76

En este punto cabe mencionar que el propósito de este proyecto es mejorar la precisión en la medición de la

magnitud de esa aceleración uniforme a la que se refirió Galileo en su publicación de 1638. El principal problema

en la realización del experimento era la medida del tiempo, asunto que como se comenta en el apartado 2.1.1 de

la memoria, no representa un problema hoy en día. También faltaba base física y soporte matemático, aunque la

esencia del experimento es la misma que la de los desarrollados en aquella época.

Y fue unos años después, en 1687, cuando Newton publicó su obra “Philosophiæ naturalis principia

mathematica” en la que expuso todos sus estudios que contenían los tres principios de la dinámica o las tres

leyes de Newton y la Ley de Gravitación Universal. Newton fue un gran matemático, consiguió demostrar todos

estos comportamientos en la naturaleza que a lo largo de la historia fueron observados de forma teórica, y la

validez de sus Leyes perduró intacta hasta Einstein. Aun así, hoy en día siguen denominándose “Leyes”, pues

aun no siendo totalmente precisa o completa, ha representado y representa uno de los hallazgos más importantes

y útiles en la historia de la Física.

Es importante mencionar que, con sus hallazgos, Newton consiguió explicar que la “fuerza de la gravedad” (en

el sentido de la atracción que sufrían los cuerpos hacia el centro terrestre) y las fuerzas que dominaban el

movimiento de los planetas alrededor del Sol eran la misma. Así se justificaba el origen de las leyes de Kepler,

la razón de las mareas y los postulados de Galileo respecto a la caída libre, entre otros. Siendo clara la

trascendencia de este concepto de gravitación, también ha de recordarse que el origen de esta interacción era aún

desconocido.

En cuanto a la Ley de la Gravitación Universal, es digno de mención el trabajo realizado también por Hooke, el

cual fue el primero que predijo que la fuerza de atracción gravitatoria era inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia entre los cuerpos; si bien fue Newton quien lo demostró matemáticamente por petición del

primero con el resultado de la ecuación (AI.1):

1 2

2( .1)

m mAI F u

r

1 2

2

m mF G u

r

Donde G era la constante de proporcionalidad que determinaba la intensidad de la fuerza de atracción

gravitatoria. Esto condujo también a la aceptación general de las Leyes de Kepler sobre el movimiento de los

planetas, pues aún había intelectuales que las rechazaban.

Respecto al valor de la constante G, cabe comentar que su valor se obtuvo implícitamente en 1798 por Henry

Cavendish durante su experimento de la balanza de torsión cuyo objetivo fue calcular la densidad terrestre, otro

gran hito en la historia de las mediciones. Obtuvo una densidad 5.448 ± 0.033 veces mayor que la del agua,

cuando la aceptada hoy en día es 5.510 veces la del agua. Con ello y con el radio terrestre implícito en los

cálculos de Eratóstenes se consiguió posteriormente obtener el valor de la Constante de Gravitación Universal

de Newton G, con un error alrededor del 1%, obteniendo 6,74 · 10−11(𝑁 · 𝑚2 𝑘𝑔2⁄ ) frente al valor de (AI.2)

aceptado hoy. De ahí y conociendo las órbitas de los planetas del Sistema Solar, se obtuvieron las masas de los

planetas y el Sol, pues ya se había estimado el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre en

unos 9,8(𝑚/𝑠2).

2

2

11( .2) 6,67384(80) 10 ( )N m

kgAI G

Sin embargo, aunque fue una de las primeras constantes de la naturaleza descubiertas, su precisión es muy pobre.

Así que, permitió el cálculo de la masa de los astros de nuestro sistema solar (Tierra, Sol, etc.), pero con poca

precisión.

Llegados a este punto podría concluir aquí el repaso histórico del estudio de la gravedad, pues los resultados

obtenidos mediante los experimentos que trata este proyecto, surgen de aplicar las Leyes de la Física

mencionadas, las cuales son válidas en el ámbito o entorno de dichos experimentos.

No obstante, es sabido que una Ley es Ley si se cumple siempre, para todas las observaciones empíricas que

reúnan las condiciones bajo las que se acepta. Con la Ley de Gravitación Universal pudieron calcularse las

trayectorias de los planetas alrededor del Sol, dando resultados exactos para todos ellos excepto para Mercurio.

La precesión calculada según esta Ley para el perihelio de la órbita de Mercurio es de 531 segundos de arco por

siglo, aunque la real es de 574, es decir, existe una discrepancia de 43’’ de arco por siglo, lo cual resulta

inadmisible para la aceptación de una Ley, la cual debería “funcionar” en todos los casos.


77

Este hecho quedó sin solución hasta Einstein, que en 1915 publicó su Teoría General de la Relatividad.

Afirmando que los objetos masivos curvan el espacio de tres dimensiones, se explicaba el retraso en la órbita de

Mercurio ya que es el planeta más cercano al Sol, estando presente este efecto y siendo perceptible en los cálculos

según Newton.

Consecuencia de lo anterior fue que la gravedad no podía ser definida como una fuerza por sí misma, sino que

era la consecuencia perceptible de la curvatura sufrida por el espacio. Así, podía decirse que la Tierra viajaba en

línea recta (no en el sentido euclídeo de la palabra), aunque debido a la deformación causada por la masa (y

también la energía) la gravedad hacía que la órbita descrita en el espacio (ahora sí, euclídeo) fuese una elipse.

Einstein también llegó a demostrar que la luz, al igual que el espacio, se curvaba por el efecto de la masa y la

energía. En la Figura AI.5 puede apreciarse como en el núcleo de la galaxia espiral mostrada parece haber cinco

condensaciones brillantes. Esta es la prueba de que la luz también se curva:

Pues bien, resulta que la central y más tenue sí es el centro de la galaxia espiral, sin embargo las cuatro más

brillantes, las externas, son en realidad imágenes de lo mismo, y ni siquiera pertenece al núcleo de la galaxia,

sino que es un cuásar lejano. Esto se conoce gracias a la información contenida en el espectro electromagnético

de la luz, la radiación, que llega al punto de observación. Este efecto es llamado lente gravitacional y hace que

debido a la presencia de galaxias con grandes masas, la luz que pase cerca se deforme o incluso amplifique,

creando imágenes dobles o múltiples.

Y durante casi un siglo, la Teoría de Einstein ha sido aceptada aunque no se hubiera demostrado empíricamente.

Fue en 2004 cuando se descubrió una incompatibilidad entre la Teoría de la Relatividad General de Einstein y

la Teoría Cuántica de Campos, que hasta la fecha ha conseguido explicar tres de las interacciones fundamentales

de la naturaleza. La Gravedad Cuántica es el campo de la Física teórica dedicado a intentar unificar las cuatro

interacciones, es decir, la Teoría del Campo Unificado con la Teoría de la Relatividad General. El resultado sería

la hipotética Teoría del Todo, a la cual hizo alusión Laplace con estas palabras:

“Se podría concebir un intelecto que en cualquier momento dado conociera todas las fuerzas que animan la

naturaleza y las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como

para someter los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos

del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado

estarían frente a sus ojos.”

Pierre-Simon Laplace.

Figura AI.5. Lente Gravitacional


78

Anexo II. Enunciado, Resolución y Tipos de Análisis de la Práctica Original

AII.1. Enunciado


79


80

El anterior es el enunciado proporcionado a los alumnos para la realización de la práctica, así como para el

análisis posterior de los resultados para la obtención del valor de la aceleración de la gravedad y su error. Además

de este enunciado, también se proporciona material extra sobre Teoría de Errores, necesario para el cálculo de

las incertidumbres involucradas en la práctica. Esto y demás información relativa a las prácticas puede

encontrarse en la web dada en la referencia [3].


81

AII.2. Resolución

Se adjunta el código implementado en MatLab en el archivo “practica1.m”para la resolución de la práctica

experimental de la asignatura Física I, como primera prueba para analizar el estado inicial del montaje y del

método de obtención de resultados. También se incluye el informe con el que responder a las cuestiones

planteadas en el enunciado. Esto representa un complemento a lo expuesto en el punto 3.2.2 de la memoria.

practica1.m:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% PRÁCTICA FÍSICA I. CAÍDA LIBRE. RECTA DE REGRESIÓN. %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 2. Se pide representar 's' (distancia) frente a '<t>^2' (^2 de la media)

s = [.3:.1:.8]; % distancias en metros.

t2 = [.0517 .0702 .095 .1074 .1260 .1452]; % t cuadrado en segundos^2.

plot(s,t2,'d','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g','MarkerSize',8),

grid on, title('<t>^2 frente a s'), xlabel('s (m)'), ylabel('<t>^2 (s^2)')

axis([.2 .9 .04 .16]) %Ajustamos los ejes para una correcta visualización.

% 3. Obtener la 'Recta de Mejor Ajuste'. Usamos la función 'polyfit'.

P = polyfit(s,t2,1) % Nos devuelve: P=[B,A], siendo: s=A+B<t>^2.

R = corrcoef(s,t2) % De aquí obtenemos el coeficiente de correlación (r).

% 4. Representar la 'Recta de Mejor Ajuste'.

t22 = polyval(P,s); hold on, plot(s,t22,'LineWidth',2),

% Para comprender mejor el funcionamiento de las funciones utilizadas,

% teclear "help función" en la ventana de comandos.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Podría haberse utilizado otra herramienta como la calculadora o la Hoja de Excel “Lineal.xls”

proporcionada por el profesor para calcular la regresión, aunque se ha optado por MatLab.

Apartado 1: Valor medio del tiempo, sus cuadrados y los errores de ambos para cada distancia:

Para hallar los errores de los tiempos medios y sus cuadrados se recurre a la Teoría de Errores, resultando:

2

0

2

0.1 2 ; 21

n

ii i

t t ttt

x x dfAII E E E t E

n n dt

Tabla AII.1. Medias, Cuadrados e Incertidumbres en los Tiempos

𝒔 ± 𝟏𝟎−𝟑(𝒎) < 𝒕 > ±𝑬<𝒕>(𝒔) Calculado < 𝒕 > ±𝑬<𝒕>(𝒔) Final < 𝒕 >𝟐± 𝑬<𝒕>𝟐(𝒔𝟐)

0,3 0,227333 ± 0,000667 0,227 ± 0,001 0,0517 ± 0,0005

0,4 0,265000 ± 0 0,265 ± 0,001 0,0702 ± 0,0005

0,5 0,308667 ± 0,023333 0,309 ± 0,023 0,0953 ± 0,014

0,6 0,327667 ± 0,000667 0,328 ± 0,001 0,1074 ± 0,0007

0,7 0,355000 ± 0 0,355 ± 0,001 0,1260 ± 0,0007

0,8 0,381000 ± 0 0,381 ± 0,001 0,1452 ± 0,0008


82

Apartado 2 y 4: Representación de los puntos experimentales 𝑠 frente a < 𝑡 >2, y de la recta de mejor

ajuste calculada en el Apartado 3:

Apartado 3: Cálculo de la recta de mejor ajuste 𝑠 = 𝐴 + 𝐵 < 𝑡 >2:

Mediante la función “polyfit” de MatLab, indicando los dos vectores de datos (distancias y tiempos medios al

cuadrado) y que la regresión que efectúe sea de grado 1 (es decir, una recta), se obtienen los coeficientes B y A

respectivamente, además de la matriz con los coeficientes de correlación lineal, cuyos términos cruzados

corresponden al valor “𝑟” y la diagonal es la unidad:

>> practica1

P =

5.4083 0.0135

R =

1.0000 0.9974

0.9974 1.0000

De esta forma, se observa que A no es nulo como debería, aunque resulta un valor pequeño. El valor de “𝑟” dicta

que el conjunto de seis puntos no guarda una relación lineal demasiado exacta, esto puede deberse al tercero de

ellos, el de la distancia 0,5(𝑚), pues como se aprecia en la Tabla AII.1 es el único cuyas tres medidas no son

prácticamente iguales, provocando un aumento de la incertidumbre en el valor medio del tiempo y su cuadrado.

Se vuelve a plasmar el resultado ya expuesto en el subapartado 3.2.2 en la Tabla AII.2, con los resultados del

ajuste realizado:

Tabla AII.2. Resultados Montaje Inicial

𝑨 ± 𝑬𝑨 (𝒎) 𝑩 ± 𝑬𝑩 (𝒎/𝒔𝟐) 𝒓 𝒈 ± 𝑬𝒈 (𝒎/𝒔𝟐)

0,01 ± 0,04 5,4 ± 0,8 0,997 10,8 ± 1,7

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16<t>2 frente a s

s (m)

<t>

2 (

s2)

Figura AII.1. Puntos Experimentales y Recta de Mejor Ajuste, Montaje Inicial


83

Apartado 5: Obtención de 𝑔 y su error a partir de la pendiente de la recta de mejor ajuste, B:

Simplemente haciendo 𝑔 = 2𝐵 se obtiene la aceleración de la gravedad. Para su error se vuelve a recurrir a la

Teoría de Errores, calculándose como 𝐸𝑔 = 2𝐸𝐵, siendo 𝐸𝐵 =2𝐵

𝑟√

1−𝑟2

𝑛−2, con 𝑛 = 6 el tamaño muestral, en este

caso. Finalmente resulta:

𝒈 = 𝟏𝟎, 𝟖 ± 𝟏, 𝟕 (𝒎/𝒔𝟐)

Como comentario final, mencionar que este valor difiere mucho del real teórico (9,80665), aunque con ese

margen de error tan elevado queda comprendido en el espacio de soluciones.

Cuestión: Porqué del valor no nulo de A:

Este hecho representa que el valor de la posición inicial de la bola no es cero, sino que existe una pequeña

distancia no tenida en cuenta, y que al recorrer dicha distancia la bola se acelera y adquiere una velocidad

tampoco tenida en cuenta. Todo ello puede desembocar en que el valor de 𝑔 obtenido sea tan inexacto.

AII.3. Tipos de Análisis

Este último apartado del anexo contiene copias de los códigos MatLab de los archivos “practica2.m” y

“practica3.m”, en los cuales se apoyan respectivamente los apartados 3.2.4 y 3.3.3 de la memoria para justificar

el uso de unas u otras técnicas de análisis de los datos recogidos en esta primera realización de la práctica, con

el montaje inicial y también en la principal toma de datos del montaje final, antes de pasar totalmente a trabajar

en entorno Excel.

practica2.m:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% MONTAJE INICIAL. POLYFIT. COMPARACIÓN TIPOS DE ANÁLISIS %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Con este archivo se obtienen los coeficientes para 3 ajustes, 2

% rectas y 1 parábola. En el caso de las rectas se intercambian las

% variables independiente y dependiente entre sí para comparar los

% resultados por ambos caminos, teniendo ya 2*2+1 ajustes. También, para

% todos los ajustes, se duplican los cálculos en el caso en que se desecha

% una de las medidas, de la cual se tiene la certeza de que es errónea;

% con esto se puede comprobar cómo varía el coeficiente de correlación 'r'

% cuando las medidas no tienen precisión suficiente. Finalmente se cuenta

% con (2*2+1)*2=10 ajustes, se verán en este archivo 2 formas de

% representación: 1 gráfica por ajuste y 1 sola gráfica para todos.

% Las funciones usadas aquí (polyfit y polyval) permiten, manipulando el

% número de inputs y outputs, obtener cierta información sobre estos

% errores; sin embargo, no se seguirá desarrollando este archivo debido a

% que, después de indagar sobre el funcionamiento de estas y otras

% funciones de MatLab dedicadas al ajuste polinómico de curvas, se ha

% optado por usar la función 'fit', la cual abarca todas las capacidades

% de 'polyfit' y 'polyval' y resulta más flexible en su uso.

% Aun así, también se calcula y representa un error que se aproxima al

% doble de la desviación estándar de la bondad del ajuste en cada caso, lo

% cual significará un intervalo de confianza del 95% si se supone una

% distribución Normal para los ajustes y otras hipótesis que no se

% desarrollarán aquí.

% DEFINICIÓN DE LOS DATOS:


84

% En primer lugar se definen los vectores de datos a utilizar, teniendo en

% cuenta que las magnitudes medidas en el laboratorio son 's' y 't' y que

% el resto se obtienen de las mismas. Hay que introducir los datos con el

% número de decimales preciso calculado previamente según la Teoría de

% Errores contenida en el material de la práctica:

s = .3:.1:.8; % distancias en metros.

t = [.227 .265 .309 .328 .355 .381]; % tiempos en segundos.

t2 = t.^2; % t cuadrado en segundos^2.

st = s./t; % s/t en m/s.

% Se definen también los vectores de datos habiendo eliminado la tercera

% medida, la cual diverge bastante de todos los ajustes realizados. En los

% ajustes con estos datos se obtendrán coeficientes de correlación 'r'

% adecuados, no tan pequeños como con los anteriores.

S = [.3 .4 .6 .7 .8]; % distancias en metros.

T = [.227 .265 .328 .355 .381]; % tiempos en segundos.

T2 = T.^2; % t cuadrado en segundos^2.

ST = S./T; % s/t en m/s.

% CÁLCULO Y REPRESENTACIÓN DEL AJUSTE I:

% Ahora se calculan los mencionados ajustes, que serán lineales y de

% tipo polinómico con rectas (grado 1) y parábolas (grado 2). Se usarán

% para ello las funciones de MatLab 'polyfit' y 'polyval', las cuales

% dan el polinomio de mejor ajuste en el sentido de mínimos cuadrados

% y evaluan dicho polinomio para su representación, respectivamente;

% también aportan la primera estimación de la incertidumbre en los

% ajustes antes mencionada. Con la función 'corrcoef' se obtiene el

% coeficiente de correlación 'r'.

% Lo anterior es general para los dos tipos de cálculo y representación,

% I y II, la diferencia entre ambos es el uso de 'plot' y 'subplot'

% respectivamente para representar. Se aconseja comentar uno de los dos

% apartados (I o II) para no realizar cálculos por duplicado; para

% des/comentar fácilmente: seleccione el texto con el ratón y Ctrl+T/R.

% A1. Recta(t2,s): s=(g*t2)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'.

% Primero preparación de la gráfica:

figure(1), hold on, grid on,

axis([3*t2(1)/2-t2(2)/2,3*t2(6)/2-t2(5)/2,...

3* s(1)/2- s(2)/2,3* s(6)/2- s(5)/2]),

title('s frente a <t>^2'), ylabel('s (m)'), xlabel('<t>^2 (s^2)'),

% Ahora se pintan los puntos experimentales:

plot(t2,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...

'MarkerFaceColor','g','MarkerSize',8),

% Cálculo de los coeficientes del ajuste:

[PA1,SA1] = polyfit(t2,s,1);

% Devuelve: P=[B,A], siendo: s=A+B<t>^2.

% SA1: Variable 'structure' con diversos parámetros para el

% cálculo de errores usando 'polyval'.

rA1 = corrcoef(t2,s); % Coeficiente de correlación (r).

% Se evalúa el polinomio para pintar la regresión y se representa:

[aux1,dA1] = polyval(PA1,t2,SA1); plot(t2,aux1,'LineWidth',2),

plot(t2,aux1+dA1*2,'r',t2,aux1-dA1*2,'r'), hold off,

% Devuelve: aux1: Polinomio 'PA1' evaluado en 's'.

% dA1: Aproximación a la desvición estándar del ajuste.

% Los siguientes ajustes son equivalentes:

% A2. Recta(T2,S): S=(g*T2)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'. Preciso.


axis([3*T2(1)/2-T2(2)/2,3*T2(5)/2-T2(4)/2,...

3* S(1)/2- S(2)/2,3* S(5)/2- S(4)/2]),

title('S frente a <T>^2'), ylabel('S (m)'), xlabel('<T>^2 (s^2)'),

plot(T2,S,'p','MarkerEdgeColor','k',...



85

[PA2,SA2] = polyfit(T2,S,1);

rA2 = corrcoef(T2,S);

[aux2,dA2] = polyval(PA2,T2,SA2); plot(T2,aux2,'LineWidth',2),

plot(T2,aux2+dA2*2,'r',T2,aux2-dA2*2,'r'), hold off,

% B1. Recta(s,t2): t2=(g*s)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'.


axis([3* s(1)/2- s(2)/2,3* s(6)/2- s(5)/2,...

3*t2(1)/2-t2(2)/2,3*t2(6)/2-t2(5)/2]),

title('<t>^2 frente a s'), ylabel('<t>^2 (s^2)'), xlabel('s (m)'),

plot(s,t2,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PB1,SB1] = polyfit(s,t2,1);

rB1 = corrcoef(s,t2);

[aux3,dB1] = polyval(PB1,s,SB1); plot(s,aux3,'LineWidth',2),

plot(s,aux3+dB1*2,'r',s,aux3-dB1*2,'r'), hold off,

% B2. Recta(S,T2): T2=(g*S)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'. Preciso.


axis([3* S(1)/2- S(2)/2,3* S(5)/2- S(4)/2,...

3*T2(1)/2-T2(2)/2,3*T2(5)/2-T2(4)/2]),,

title('<T>^2 frente a S'), ylabel('<T>^2 (s^2)'), xlabel('S (m)'),

plot(S,T2,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PB2,SB2] = polyfit(S,T2,1);

rB2 = corrcoef(S,T2);

[aux4,dB2] = polyval(PB2,S,SB2); plot(S,aux4,'LineWidth',2),

plot(S,aux4+dB2*2,'r',S,aux4-dB2*2,'r'), hold off,

% C1. Recta(t,st): st=v0+(g*t)/2; s0=0; calcula 'v0' y 'g'.


axis([3* t(1)/2- t(2)/2,3* t(6)/2- t(5)/2,...

3*st(1)/2-st(2)/2,3*st(6)/2-st(5)/2]),

title('s/<t> frente a <t>'), ylabel('s/<t> (m/s)'), xlabel('<t> (s)'),

plot(t,st,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PC1,SC1] = polyfit(t,st,1);

rC1 = corrcoef(t,st);

[aux5,dC1] = polyval(PC1,t,SC1); plot(t,aux5,'LineWidth',2),

plot(t,aux5+dC1*2,'r',t,aux5-dC1*2,'r'), hold off,

% C2. Recta(T,ST): ST=v0+(g*T)/2; s0=0; calcula 'v0' y 'g'. Preciso.


axis([3* T(1)/2- T(2)/2,3* T(5)/2- T(4)/2,...

3*ST(1)/2-ST(2)/2,3*ST(5)/2-ST(4)/2]),

title('S/<T> frente a <T>'), ylabel('S/<T> (m/s)'), xlabel('<T> (s)'),

plot(T,ST,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PC2,SC2] = polyfit(T,ST,1);

rC2 = corrcoef(T,ST);

[aux6,dC2] = polyval(PC2,T,SC2); plot(T,aux6,'LineWidth',2),

plot(T,aux6+dC2*2,'r',T,aux6-dC2*2,'r'), hold off,

% D1. Recta(st,t): t=(-2*v0)/g+(2*st)/g; v0=0; calcula 'v0' y 'g'.


axis([3*st(1)/2-st(2)/2,3*st(6)/2-st(5)/2,...

3* t(1)/2- t(2)/2,3* t(6)/2- t(5)/2]),

title('<t> frente a s/<t>'), ylabel('<t> (s)'), xlabel('s/<t> (m/s)'),

plot(st,t,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PD1,SD1] = polyfit(st,t,1);

rD1 = corrcoef(st,t);

[aux7,dD1] = polyval(PD1,st,SD1); plot(st,aux7,'LineWidth',2),

plot(st,aux7+dD1*2,'r',st,aux7-dD1*2,'r'), hold off,

% D2. Recta(ST,T): T=(-2*v0)/g+(2*ST)/g; v0=0; 'v0' y 'g'. Preciso.



86

axis([3*ST(1)/2-ST(2)/2,3*ST(5)/2-ST(4)/2,...

3* T(1)/2- T(2)/2,3* T(5)/2- T(4)/2]),

title('<T> frente a S/<T>'), ylabel('<T> (s)'), xlabel('S/<T> (m/s)'),

plot(ST,T,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PD2,SD2] = polyfit(ST,T,1);

rD2 = corrcoef(ST,T);

[aux8,dD2] = polyval(PD2,ST,SD2); plot(ST,aux8,'LineWidth',2),

plot(ST,aux8+dD2*2,'r',ST,aux8-dD2*2,'r'), hold off,

% E1. Parábola(t,s): s=s0+v0*t+(g*t^2)/2; calcula 's0','v0' y 'g'.


axis([3*t(1)/2-t(2)/2,3*t(6)/2-t(5)/2,...

3*s(1)/2-s(2)/2,3*s(6)/2-s(5)/2]),

title('s frente a <t>'), ylabel('s (m)'), xlabel('<t> (s)'),

plot(t,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PE1,SE1] = polyfit(t,s,2);

rE1 = corrcoef(t,s);

[aux9,dE1] = polyval(PE1,t,SE1); plot(t,aux9,'LineWidth',2),

plot(t,aux9+dE1*2,'r',t,aux9-dE1*2,'r'), hold off,

% E2. Parábola(T,S): s=s0+v0*t+(g*t^2)/2; 's0','v0' y 'g'. Preciso.


axis([3*T(1)/2-T(2)/2,3*T(5)/2-T(4)/2,...

3*S(1)/2-S(2)/2,3*S(5)/2-S(4)/2]),

title('S frente a <T>'), ylabel('S (m)'), xlabel('<T> (s)'),

plot(T,S,'p','MarkerEdgeColor','k',...


[PE2,SE2] = polyfit(T,S,2);

rE2 = corrcoef(T,S);

[aux10,dE2]= polyval(PE2,T,SE2); plot(T,aux10,'LineWidth',2),

plot(T,aux10+dE2*2,'r',T,aux10-dE2*2,'r'), hold off,

% CÁLCULO Y REPRESENTACIÓN DEL AJUSTE II:

% A1. Recta(t2,s): s=(g*t2)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'.

% Se calculan los coeficientes del ajuste:

[PA1,SA1] = polyfit(s,t2,1);

% Devuelve: PA1=[B,A], siendo: s=A+B<t>^2.

% SA1: Variable 'structure' con diversos parámetros para el

% cálculo de errores usando 'polyval'.

rA1 = corrcoef(s,t2); % Coeficiente de correlación (r).

% Se evalúa el polinomio para pintar la regresión:

[aux1,dA1] = polyval(PA1,s,SA1);

% Devuelve: aux1: Polinomio 'PA1' evaluado en 's'.

% dA1: Aproximación a la desvición estándar del ajuste.

% Los siguientes ajustes son equivalentes:

% A2. Recta(T2,S): S=(g*T2)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'. Preciso.

[PA2,SA2] = polyfit(S,T2,1);

rA2 = corrcoef(S,T2);

[aux2,dA2] = polyval(PA2,S,SA2);

% B1. Recta(s,t2): t2=(g*s)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'.

[PB1,SB1] = polyfit(t2,s,1);

rB1 = corrcoef(t2,s);

[aux3,dB1] = polyval(PB1,t2,SB1);

% B2. Recta(S,T2): T2=(g*S)/2; s0=0,v0=0; calcula 'g'. Preciso.

[PB2,SB2] = polyfit(T2,S,1);

rB2 = corrcoef(T2,S);

[aux4,dB2] = polyval(PB2,T2,SB2);

% C1. Recta(t,st): st=v0+(g*t)/2; s0=0; calcula 'v0' y 'g'.


87

[PC1,SC1] = polyfit(st,t,1);

rC1 = corrcoef(st,t);

[aux5,dC1] = polyval(PC1,st,SC1);

% C2. Recta(T,ST): ST=v0+(g*T)/2; s0=0; calcula 'v0' y 'g'. Preciso.

[PC2,SC2] = polyfit(ST,T,1);

rC2 = corrcoef(ST,T);

[aux6,dC2] = polyval(PC2,ST,SC2);

% D1. Recta(st,t): t=(-2*v0)/g+(2*st)/g; v0=0; calcula 'v0' y 'g'.

[PD1,SD1] = polyfit(t,st,1);

rD1 = corrcoef(t,st);

[aux7,dD1] = polyval(PD1,t,SD1);

% D2. Recta(ST,T): T=(-2*v0)/g+(2*ST)/g; v0=0; 'v0' y 'g'. Preciso.

[PD2,SD2] = polyfit(T,ST,1);

rD2 = corrcoef(T,ST);

[aux8,dD2] = polyval(PD2,T,SD2);

% E1. Parábola(t,s): s=s0+v0*t+(g*t^2)/2; calcula 's0','v0' y 'g'.

[PE1,SE1] = polyfit(t,s,2);

rE1 = corrcoef(t,s);

[aux9,dE1] = polyval(PE1,t,SE1);

% E2. Parábola(T,S): s=s0+v0*t+(g*t^2)/2; 's0','v0' y 'g'. Preciso.

[PE2,SE2] = polyfit(T,S,2);

rE2 = corrcoef(T,S);

[aux10,dE2]= polyval(PE2,T,SE2);

% Se usa la función 'subplot' para representar todas las gráficas en un

% único 'Figure'. Para cada una, lo primero será representar los puntos

% experimentales y luego la regresión calculada, sea recta o parábola.

% Quedará de forma que las 5 gráficas superiores correspondan a los

% ajustes hechos con todos los puntos, mientras que las inferiores serán

% las obtenidas con los ajustes en que se ha eliminado el punto erróneo.

figure(11), % se define una nueva 'Figure' para no pisar las anteriores.

% A1. Recta(t2,s).

subplot(2,5,1), hold on, grid on,

axis([3*t2(1)/2-t2(2)/2,3*t2(6)/2-t2(5)/2,...

3* s(1)/2- s(2)/2,3* s(6)/2- s(5)/2]),

title('s frente a <t>^2'), xlabel('<t>^2 (s^2)'), ylabel('s (m)'),

plot(t2,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(t2,aux3,'LineWidth',2),

plot(t2,aux3+dB1*2,'r',t2,aux3-dB1*2,'r'), hold off,

% A2. Recta(T2,S).


axis([3*T2(1)/2-T2(2)/2,3*T2(5)/2-T2(4)/2,...

3* S(1)/2- S(2)/2,3* S(5)/2- S(4)/2]),

title('S frente a <T>^2'), xlabel('<T>^2 (s^2)'), ylabel('S (m)'),

plot(T2,S,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2,aux4,'LineWidth',2),

plot(T2,aux4+dB2*2,'r',T2,aux4-dB2*2,'r'), hold off,

% B1. Recta(s,t2).


axis([3* s(1)/2- s(2)/2,3* s(6)/2- s(5)/2,...

3*t2(1)/2-t2(2)/2,3*t2(6)/2-t2(5)/2]),

title('<t>^2 frente a s'), xlabel('s (m)'), ylabel('<t>^2 (s^2)'),

plot(s,t2,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(s,aux1,'LineWidth',2),

plot(s,aux1+dA1*2,'r',s,aux1-dA1*2,'r'), hold off,


88

% B2. Recta(S,T2).


axis([3* S(1)/2- S(2)/2,3* S(5)/2- S(4)/2,...

3*T2(1)/2-T2(2)/2,3*T2(5)/2-T2(4)/2]),

title('<T>^2 frente a S'), xlabel('S (m)'), ylabel('<T>^2 (s^2)'),

plot(S,T2,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(S,aux2,'LineWidth',2),

plot(S,aux2+dA2*2,'r',S,aux2-dA2*2,'r'), hold off,

% C1. Recta(t,st).


axis([3* t(1)/2- t(2)/2,3* t(6)/2- t(5)/2,...

3*st(1)/2-st(2)/2,3*st(6)/2-st(5)/2]),

title('s/<t> frente a <t>'), xlabel('<t> (s)'), ylabel('s/<t> (m/s)'),

plot(t,st,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(t,aux7,'LineWidth',2),

plot(t,aux7+dD1*2,'r',t,aux7-dD1*2,'r'), hold off,

% C2. Recta(T,ST).


axis([3* T(1)/2- T(2)/2,3* T(5)/2- T(4)/2,...

3*ST(1)/2-ST(2)/2,3*ST(5)/2-ST(4)/2]),

title('S/<T> frente a <T>'), xlabel('<T> (s)'), ylabel('S/<T> (m/s)'),

plot(T,ST,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T,aux8,'LineWidth',2),

plot(T,aux8+dD2*2,'r',T,aux8-dD2*2,'r'), hold off,

% D1. Recta(st,t).


axis([3*st(1)/2-st(2)/2,3*st(6)/2-st(5)/2,...

3* t(1)/2- t(2)/2,3* t(6)/2- t(5)/2]),

title('<t> frente a s/<t>'), xlabel('s/<t> (m/s)'), ylabel('<t> (s)'),

plot(st,t,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(st,aux5,'LineWidth',2),

plot(st,aux5+dC1*2,'r',st,aux5-dC1*2,'r'), hold off,

% D2. Recta(ST,T).


axis([3*ST(1)/2-ST(2)/2,3*ST(5)/2-ST(4)/2,...

3* T(1)/2- T(2)/2,3* T(5)/2- T(4)/2]),

title('<T> frente a S/<T>'), xlabel('S/<T> (m/s)'), ylabel('<T> (s)'),

plot(ST,T,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(ST,aux6,'LineWidth',2),

plot(ST,aux6+dC2*2,'r',ST,aux6-dC2*2,'r'), hold off,

% E1. Parábola(t,s).


axis([3*t(1)/2-t(2)/2,3*t(6)/2-t(5)/2,...

3*s(1)/2-s(2)/2,3*s(6)/2-s(5)/2]),

title('s frente a <t>'), ylabel('s (m)'), xlabel('<t> (s)'),

plot(t,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(t,aux9,'LineWidth',2),

plot(t,aux9+dE1*2,'r',t,aux9-dE1*2,'r'), hold off,

% E2. Parábola(T,S).


axis([3*T(1)/2-T(2)/2,3*T(5)/2-T(4)/2,...

3*S(1)/2-S(2)/2,3*S(5)/2-S(4)/2]),

title('S frente a <T>'), ylabel('S (m)'), xlabel('<T> (s)'),

plot(T,S,'p','MarkerEdgeColor','k',...


89


plot(T,aux10,'LineWidth',2),

plot(T,aux10+dE2*2,'r',T,aux10-dE2*2,'r'), hold off,

% PRESENTACIÓN DE RESULTADOS POR PANTALLA:

% Se muestran por pantalla los coeficientes de cada ajuste, el doble de la

% media en cada punto de la desviación estándar, y su correspondiente

% coeficiente de correlación, de forma que cada fila contiene los valores

% [(CXi) BXi AXi dXi rXi], donde: 'X=A,B,...' e 'i=1,2,...':

format long,

Coefs = [PA1,0,mean(dA1)*2,rA1(1,2);PA2,0,mean(dA2)*2,rA2(1,2);...

PB1,0,mean(dB1)*2,rB1(1,2);PB2,0,mean(dB2)*2,rB2(1,2);...

PC1,0,mean(dC1)*2,rC1(1,2);PC2,0,mean(dC2)*2,rC2(1,2);...

PD1,0,mean(dD1)*2,rD1(1,2);PD2,0,mean(dD2)*2,rD2(1,2);...

PE1 ,mean(dE1)*2,rE1(1,2);PE2 ,mean(dE2)*2,rE2(1,2)],

format short,

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En el último de los subconjuntos del código se sacan los resultados por pantalla de todos los ajustes realizados.

Para facilitar el trabajo al lector se deja a continuación una copia de estos resultados, para saber a qué parámetro

corresponde cada número se recomienda leer los comentarios del código:

>> practica2

Coefs =

0.185046571428571 -0.002441447619048 0 0.006888850236353 0.997035082792057

0.186930000000000 -0.004576000000000 0 0.000434220565634 0.999991575214211

5.372047418354256 0.016372146403962 0 0.037112807069118 0.997035082792057

5.349505967471244 0.024488775027485 0 0.002322855160104 0.999991575214211

0.191473751765318 -0.019458239177570 0 0.023947716988514 0.986683942690668

0.197174019177982 -0.033139055168363 0 0.001441481985772 0.999965755156386

5.084483872007890 0.144569538801039 0 0.123365265601974 0.986683942690668

5.071314748536320 0.168178185606431 0 0.007310205578008 0.999965755156386

8.095911186829492 -1.661089574485788 0.262121418251614 0.039471398197602 0.991384299179953

5.200622657783373 0.090602629852803 0.011197170556935 0.002733869867221 0.998038782192668


90

practica3.m:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% MONTAJE FINAL. OBTENCIÓN DE DATOS Y REPRESENTACIÓN. %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Desde las mediciones realizadas en el laboratorio (a 3 bolas, 7

% repeticiones por bola, y 4 medidas de tiempo por caída) se obtienen las

% variables necesarias para la APP "Curve Fitting" de MatLab, en la hoja

% de Excel "Lineal", así como en la calculadora. No olvidar teclear

% "format long" en la Command Window para visualizar todos los decimales

% necesarios.

% DATOS DE LA MEDICIÓN, TIEMPOS:

% Podemos introducir aquí los datos de otras mediciones y obtener

% directamente los valores de todas las variables a usar.

% Bola grande (d=0.02(m), m=32.6(g))

% Flancos de Bajada:

t1gB = [.172 .172 .172 .172 .172 .172 .172];

t2gB = [.259 .260 .259 .259 .259 .259 .259];

t3gB = [.324 .324 .323 .324 .324 .324 .323];

t4gB = [.380 .381 .380 .380 .380 .380 .380];

% Flancos de Subida:

t1gS = [.162 .162 .162 .162 .162 .162 .162];

t2gS = [.249 .248 .249 .249 .249 .249 .248];

t3gS = [.324 .324 .323 .324 .324 .324 .323];

t4gS = [.368 .367 .368 .368 .368 .368 .367];

% Bola mediana (d=0.0175(m), m=21.8(g))


t1mB = [.174 .173 .174 .174 .174 .174 .173];

t2mB = [.261 .260 .260 .261 .261 .260 .260];

t3mB = [.325 .323 .324 .325 .325 .324 .324];

t4mB = [.381 .380 .380 .381 .381 .381 .380];


t1mS = [.164 .164 .163 .163 .163 .164 .164];

t2mS = [.250 .250 .249 .249 .249 .250 .250];

t3mS = [.313 .314 .313 .313 .313 .313 .314];

t4mS = [.369 .369 .368 .368 .368 .369 .369];

% Bola pequeña (d=0.0125(m), m=8.4(g))


t1pB = [.176 .177 .176 .177 .176 .176 .177];

t2pB = [.262 .263 .262 .263 .263 .262 .263];

t3pB = [.326 .326 .326 .326 .326 .326 .326];

t4pB = [.382 .383 .382 .382 .382 .382 .383];


t1pS = [.166 .166 .166 .166 .167 .166 .166];

t2pS = [.252 .251 .251 .251 .252 .251 .252];

t3pS = [.315 .315 .314 .314 .315 .314 .315];

t4pS = [.370 .370 .369 .369 .370 .369 .370];

% VARIABLES A USAR EN LOS DISTINTOS AJUSTES:

% Si se cambian las distancias entre los sensores habrá que introducir en

% 's' y 'As' las nuevas distancias e incrementos. El resto de variables se

% obtienen de estas y de los tiempos.

% Generales:

s = [0.2 0.4 0.6 0.8]; % Distancias

As = [0.2 0.2 0.2]; % Incrementos distancia

% Bola Grande (g):


91

tgB=[mean(t1gB) mean(t2gB) mean(t3gB) mean(t4gB)];% Media de los 4 tiempos

tgS=[mean(t1gS) mean(t2gS) mean(t3gS) mean(t4gS)];

T2gB = tgB.^2; % Tiempos al cuadrado

T2gS = tgS.^2;

stgB = s./tgB; % Distancia / tiempo

stgS = s./tgS;

for i=1:3

AtgB(i) = tgB(i+1)-tgB(i); % Incrementos de tiempo

TmgB(i) = (tgB(i)+tgB(i+1))/2; % Tiempos medios

AtgS(i) = tgS(i+1)-tgS(i);

TmgS(i) = (tgS(i)+tgS(i+1))/2;

end

VmgB = As./AtgB; % Velocidades medias

VmgS = As./AtgS;

% Bola Mediana (m):

tmB = [mean(t1mB) mean(t2mB) mean(t3mB) mean(t4mB)];

tmS = [mean(t1mS) mean(t2mS) mean(t3mS) mean(t4mS)];

T2mB = tmB.^2;

T2mS = tmS.^2;

stmB = s./tmB;

stmS = s./tmS;

for i=1:3

AtmB(i) = tmB(i+1)-tmB(i);

TmmB(i) = (tmB(i)+tmB(i+1))/2;

AtmS(i) = tmS(i+1)-tmS(i);

TmmS(i) = (tmS(i)+tmS(i+1))/2;

end

VmmB = As./AtmB;

VmmS = As./AtmS;

% Bola Pequeña (p):

tpB = [mean(t1pB) mean(t2pB) mean(t3pB) mean(t4pB)];

tpS = [mean(t1pS) mean(t2pS) mean(t3pS) mean(t4pS)];

T2pB = tpB.^2;

T2pS = tpS.^2;

stpB = s./tpB;

stpS = s./tpS;

for i=1:3

AtpB(i) = tpB(i+1)-tpB(i);

TmpB(i) = (tpB(i)+tpB(i+1))/2;

AtpS(i) = tpS(i+1)-tpS(i);

TmpS(i) = (tpS(i)+tpS(i+1))/2;

end

VmpB = As./AtpB;

VmpS = As./AtpS;

% CÁLCULO DE LOS AJUSTES

% No se busca obtener los coeficientes ni sus incertidumbres de todos los

% casos, sólo obtener una representaciópn análoga a la Figura 3.8 de la

% memoria del proyecto pues, como se indica, se continúa el estudio

% analítico mediante Excel. Los comandos usados son análogos a los del

% archivo "practica2.m", para más información léanse los comentarios

% contenidos en él.

% Bola Grande. Flanco de Bajada:

figure(1); hold on;

[P,S] = polyfit(T2gB,s,1); [Y,d] = polyval(P,T2gB,S); % Ajuste (t2,s)



plot(T2gB,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2gB,Y,'LineWidth',2), plot(T2gB,Y+d*2,'r',T2gB,Y-d*2,'r'),


92

[P,S] = polyfit(tgB,stgB,1); [Y,d] = polyval(P,tgB,S); % Ajuste (t,s/t)


title('s/t frente a <t>'), xlabel('<t> (s)'), ylabel('s/t (m/s)'),

plot(tgB,stgB,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tgB,Y,'LineWidth',2), plot(tgB,Y+d*2,'r',tgB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(TmgB,VmgB,1); [Y,d] = polyval(P,TmgB,S);% Ajuste (Tm,Vm)


title('Vm frente a Tm'), xlabel('Tm (s)'), ylabel('Vm (m/s)'),

plot(TmgB,VmgB,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(TmgB,Y,'LineWidth',2), plot(TmgB,Y+d*2,'r',TmgB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tgB,s,2); [Y,d] = polyval(P,tgB,S); % Ajuste (t,s)


title('s frente a <t>'), xlabel('<t> (s)'), ylabel('s (m)'),

plot(tgB,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tgB,Y,'LineWidth',2), plot(tgB,Y+d*2,'r',tgB,Y-d*2,'r'),

% Bola Grande. Flanco de Subida:

[P,S] = polyfit(T2gS,s,1); [Y,d] = polyval(P,T2gS,S); % Ajuste (t2,s)



plot(T2gS,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2gS,Y,'LineWidth',2), plot(T2gS,Y+d*2,'r',T2gS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tgS,stgS,1); [Y,d] = polyval(P,tgS,S); % Ajuste (t,s/t)



plot(tgS,stgS,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tgS,Y,'LineWidth',2), plot(tgS,Y+d*2,'r',tgS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(TmgS,VmgS,1); [Y,d] = polyval(P,TmgS,S);% Ajuste (Tm,Vm)



plot(TmgS,VmgS,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(TmgS,Y,'LineWidth',2), plot(TmgS,Y+d*2,'r',TmgS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tgS,s,2); [Y,d] = polyval(P,tgS,S); % Ajuste (t,s)



plot(tgS,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tgS,Y,'LineWidth',2), plot(tgS,Y+d*2,'r',tgS,Y-d*2,'r'),

% Bola Mediana. Flanco de Bajada:

figure(2);

[P,S] = polyfit(T2mB,s,1); [Y,d] = polyval(P,T2mB,S); % Ajuste (t2,s)



plot(T2mB,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2mB,Y,'LineWidth',2), plot(T2mB,Y+d*2,'r',T2mB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tmB,stmB,1); [Y,d] = polyval(P,tmB,S); % Ajuste (t,s/t)



plot(tmB,stmB,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tmB,Y,'LineWidth',2), plot(tmB,Y+d*2,'r',tmB,Y-d*2,'r'),


93

[P,S] = polyfit(TmmB,VmmB,1); [Y,d] = polyval(P,TmmB,S);% Ajuste (Tm,Vm)



plot(TmmB,VmmB,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(TmmB,Y,'LineWidth',2), plot(TmmB,Y+d*2,'r',TmmB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tmB,s,2); [Y,d] = polyval(P,tmB,S); % Ajuste (t,s)



plot(tmB,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tmB,Y,'LineWidth',2), plot(tmB,Y+d*2,'r',tmB,Y-d*2,'r'),

% Bola Mediana. Flanco de Subida:

[P,S] = polyfit(T2mS,s,1); [Y,d] = polyval(P,T2mS,S); % Ajuste (t2,s)



plot(T2mS,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2mS,Y,'LineWidth',2), plot(T2mS,Y+d*2,'r',T2mS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tmS,stmS,1); [Y,d] = polyval(P,tmS,S); % Ajuste (t,s/t)



plot(tmS,stmS,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tmS,Y,'LineWidth',2), plot(tmS,Y+d*2,'r',tmS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(TmmS,VmmS,1); [Y,d] = polyval(P,TmmS,S);% Ajuste (Tm,Vm)



plot(TmmS,VmmS,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(TmmS,Y,'LineWidth',2), plot(TmmS,Y+d*2,'r',TmmS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tmS,s,2); [Y,d] = polyval(P,tmS,S); % Ajuste (t,s)



plot(tmS,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tmS,Y,'LineWidth',2), plot(tmS,Y+d*2,'r',tmS,Y-d*2,'r'),

% Bola Pequeña. Flanco de Bajada:

figure(3);

[P,S] = polyfit(T2pB,s,1); [Y,d] = polyval(P,T2pB,S); % Ajuste (t2,s)



plot(T2pB,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2pB,Y,'LineWidth',2), plot(T2pB,Y+d*2,'r',T2pB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tpB,stpB,1); [Y,d] = polyval(P,tpB,S); % Ajuste (t,s/t)



plot(tpB,stpB,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tpB,Y,'LineWidth',2), plot(tpB,Y+d*2,'r',tpB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(TmpB,VmpB,1); [Y,d] = polyval(P,TmpB,S);% Ajuste (Tm,Vm)



plot(TmpB,VmpB,'p','MarkerEdgeColor','k',...



94

plot(TmpB,Y,'LineWidth',2), plot(TmpB,Y+d*2,'r',TmpB,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tpB,s,2); [Y,d] = polyval(P,tpB,S); % Ajuste (t,s)



plot(tpB,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tpB,Y,'LineWidth',2), plot(tpB,Y+d*2,'r',tpB,Y-d*2,'r'),

% Bola Pequeña. Flanco de Subida:

[P,S] = polyfit(T2pS,s,1); [Y,d] = polyval(P,T2pS,S); % Ajuste (t2,s)



plot(T2pS,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(T2pS,Y,'LineWidth',2), plot(T2pS,Y+d*2,'r',T2pS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tpS,stpS,1); [Y,d] = polyval(P,tpS,S); % Ajuste (t,s/t)



plot(tpS,stpS,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tpS,Y,'LineWidth',2), plot(tpS,Y+d*2,'r',tpS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(TmpS,VmpS,1); [Y,d] = polyval(P,TmpS,S);% Ajuste (Tm,Vm)



plot(TmpS,VmpS,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(TmpS,Y,'LineWidth',2), plot(TmpS,Y+d*2,'r',TmpS,Y-d*2,'r'),

[P,S] = polyfit(tpS,s,2); [Y,d] = polyval(P,tpS,S); % Ajuste (t,s)



plot(tpS,s,'p','MarkerEdgeColor','k',...


plot(tpS,Y,'LineWidth',2), plot(tpS,Y+d*2,'r',tpS,Y-d*2,'r'),

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Anexo III. Información Sobre las Herramientas de Cómputo Utilizadas

95


Este anexo trata de servir como una referencia o ayuda para la correcta comprensión y utilización de las tres

herramientas que se han utilizado para computar las mediciones y obtener los resultados correspondientes a

todas las pruebas realizadas durante este proyecto y a cualquier montaje resultante de que dispondrán los

alumnos.

Uno de los objetivos de este proyecto era desarrollar una aplicación independiente, un ejecutable para Windows,

que poder facilitar a los alumnos para servir como herramienta de cálculo en el tratado de datos, regresiones y

resultados. Aunque la dificultad de los cálculos involucrados no es muy alta, la anterior es la razón de haber

incluido desde el principio MatLab como una opción para ello, pues ofrece multitud de posibilidades. Se

explicará más adelante por qué se desestimó esta idea y se volvió al uso de Excel definitivamente.

Se explicará hasta un nivel suficiente para comprender los métodos utilizados por estas herramientas de forma

básica y para poder manejarlas de forma razonada. Se comenzará con la calculadora, que representa el método

más artesanal; a continuación se hablará sobre MatLab y se terminará con Excel.

AIII.1. Calculadora

Esta es, hoy por hoy, sin duda la herramienta más artesanal -salvando el papel y lápiz- con la que cuenta un

estudiante de Ingeniería. No obstante, las calculadoras actuales cuentan con gran variedad de utilidades y

funciones precargadas que hacen esta tarea mucho más cómoda.

Como bien es sabido, los cálculos requeridos para la realización de esta práctica son de índole estadística,

pudiendo aprovechar uno de los modos implementados, en general, en cualquier calculadora científica actual.

Se darán aquí indicaciones para utilizar el modelo “CASIO fx-570ES”. Puede consultarse y descargarse el

manual de usuario en la referencia [4] para cualquier duda extra:

Se usará la calculadora para obtener regresiones lineales en el sentido de mínimos cuadrados en forma

polinomial de grados uno y dos, aunque dispone de más tipos de regresión lineal como logarítmica o

exponencial. Lo primero es seleccionar el modo “STAT” [ON] [MODE 3] y seleccionar uno de los tipos de la

siguiente tabla:

Tabla AIII.1. Tipos de Cálculos Estadísticos

Una vez seleccionado el tipo, por ejemplo el [2], se visualiza la pantalla del editor, donde introducir los datos.

Para rellenar la tabla con operaciones estadísticas básicas hacer [SHIFT] [1] y elegir la deseada. Una vez rellena la

tabla, pulsar [AC] para salir del editor de datos y volver a comandar [SHIFT] [1] para ver todas las opciones

disponibles. En este caso se desean obtener los parámetros de la recta o parábola de regresión, por tanto, a

continuación [7] y seleccionar el parámetro concreto.

Además de esto, en el menú [SHIFT] [1], hay muchos más datos que en algún caso pueden ser de utilidad, que de

hecho lo son para la posterior determinación de las incertidumbres asociadas al valor de los parámetros

obtenidos, según la Teoría de Errores. Uno de los más útiles para la utilidad perseguida y, a la vez, con una

nomenclatura menos intuitiva es [SHIFT] [1] [5], cuyo contenido es el de la Tabla AIII.2:


96

Tabla AIII.2. Variables Estadísticas Útiles

No hay más que navegar por los distintos menús para acceder a toda la información, y para mayor nivel de

detalle siempre puede consultarse el manual del usuario ya citado.

Para terminar con esta “guía” de uso de la calculadora puede decirse que la principal ventaja de esta herramienta

es la plena disponibilidad que se entiende tiene un alumno de primer curso Ingeniería de ella. También resulta

ventajoso desde el punto de vista docente, en el sentido de que el alumno aprenderá bien la Teoría de Errores

necesaria para llegar a todos los resultados pedidos, valores e incertidumbres de cada magnitud. Como

inconvenientes están la lentitud en la realización de los cálculos y sobre todo la variabilidad en los resultados

provenientes, por ejemplo, de un mal corte decimal o simplemente de un error de tecleo.

AIII.2. MatLab

Hay que mencionar que antes de comenzar este proyecto se ofrecían a los alumnos dos formas de llevar a cabo

los cálculos: mediante calculadora, a mano; o utilizando una tabla de Excel, “lineal.xls”, que proporciona todos

las variables estadísticas necesarias sólo con incluir los pares de datos adecuados.

Persiguiendo la idea de la aplicación ejecutable mencionada al principio se comenzó el proyecto computando

los datos de las pruebas en MatLab, intentando desarrollar código e investigando las opciones para lograr este

fin.

Esta línea se siguió hasta aproximadamente la mitad del perfeccionamiento del montaje de caída libre, capítulo

3 de la memoria, donde se hizo una transición definitiva de MatLab a Excel para el resto del proyecto. Este

momento coincide en la secuencia de archivos con los nombrados “practica3.m” y “practica4.xlxs”. Después de

investigar sobre esta capacidad de MatLab se decidió abandonar esta opción. La razón básica es que el resultado

de una aplicación desde MatLab sería demasiado complejo y pesado (en términos de memoria lógica) para su

fin, que es el cálculo de regresiones.

Funciones Básicas de Librería:

Antes de explicar nada sobre el intento de aplicación independiente, merece la pena mencionar algunas funciones

básicas de MatLab relacionadas con el ajuste de regresión:

[P,S,m] = polyfit(y,x,n)Devuelve los coeficientes del polinomio de ajuste de grado n de los vectores

de datos (x,y) en P.

[r,q] = corrcoef(y,x) r contiene la matriz de correlación lineal entre los vectores (x,y).

[Y,d] = polyval(P,x) Evalúa en Y el polinomio P (de igual formato que polyfit) para los valores

x.

Con las propiedades mencionadas de estas tres funciones es suficiente para realizar los cálculos necesarios, y así

puede comprobarse en los archivos adjuntos de este proyecto, “practica1.m”, “practica2.m” y “practica3.m”. En

ellos se incluyen además bastantes líneas de código dedicadas a la representación de los resultados. Además se

incluye el archivo “prueba1.m” en el que se tantean todas estas funciones.

Dependiendo de los inputs y outputs utilizados, estas funciones también dan información que puede resultar útil


97

para generar la aplicación. S es una variable tipo estructura que contiene información relativa a

descomposiciones algebraicas, grados de libertad del ajuste y residuos. Al incluir m como output se devuelve la

regresión centrada y escalada, y en m se almacenan la media y la desviación estándar de la distribución. En q

hay valores para comprobar la hipótesis de no correlación. Y finalmente, en d, se almacena también la desviación

típica de la muestra respecto al ajuste polinómico.

Pueden aprovecharse estas utilidades para diversos objetivos, por ejemplo, representar las bandas de

incertidumbre del 95% en el sentido de mínimos cuadrados como el doble de la desviación estándar, puede verse

el resultado al ejecutar el archivo “prueba1.m”.

Funciones y Métodos Específicos

A continuación se mencionan y explican brevemente las utilidades más específicas estudiadas para el desarrollo

de esa interfaz o aplicación.

En primer lugar mencionar algunas funciones estudiadas que tienen un gran potencial para el fin perseguido. El

fundamento son los “cfit objects” que básicamente encapsulan en una variable todos los resultados de realizar

el ajuste de unos datos a una función. Existen los llamados “cfit methods”, que son las funciones que tratan con

este tipo de variables. Por ejemplo, fit, que es la forma general de polyfit, ofreciendo más opciones sobre

todo en cuanto al tipo de ajuste (regresiones, interpolaciones, curvas, superficies, etc.).

Pero más interesante aún resulta la ya nombrada en la memoria del proyecto “App Curve Fitting Tool” que,

como su propio nombre indica, es una aplicación contenida en el paquete básico de MatLab que ha ido

mejorando en cuanto a funcionalidades y apariencia desde las primeras versiones, y que realiza ajustes de datos

a curvas y superficies aportando toda la información pertinente. En este proyecto, todos los desarrollos en

MatLab han sido llevados a cabo en la versión R2013b, y teniendo en cuenta la simplicidad de las funciones

utilizadas se entiende que no habrá problemas de compatibilidad con versiones más actuales.

Esta App resulta tan interesante porque contiene todas las funcionalidades (y muchas más) que se buscaban para

la aplicación independiente a desarrollar, es decir, el trabajo ya está hecho. Por ese motivo se utilizó para

comparar sus resultados con los obtenidos en el código anterior, “prueba1.m”, y conseguir adaptarlo de la mejor

forma posible.

De hecho, esta App tiene la opción “Generate Code”, que genera una “Function” en el editor que devuelve una

regresión del tipo especificado y con las opciones indicadas. Al analizar ese código generado se advierte que la

función usada es precisamente fit, con lo que no queda mucho por adaptar, esto es, con lo que se ha explicado

hasta ahora se tiene más que suficiente para preparar la interfaz para los alumnos. Se deja el archivo “prueba2.m”

con esta función cuyas características son iguales a las de los ajustes que se han ido realizando en “prueba1.m”.

Para probar esta función con los mismos datos, se la llama también desde este último archivo.

Una vez resuelta la parte teórica del problema queda la parte más técnica, que radica en cómo extraer un “.exe”

desde MatLab para Windows. Pues bien, instalando desde la propia ventana de comandos el “MatLab Compiler”

y algún que otro complemento más, no hay más que buscar información en la web acerca del formato de los

archivos, cómo desarrollar la interfaz, etc., para poder culminar. Pero resulta más fácil aún pues, al igual que

existe una “App Curve Fitting”, existe la “Application Compiler”, que precisamente genera aplicaciones

“standalone”, independientes, desde una interfaz más simple e intuitiva.

Y es justo llegados a este punto donde llega el problema insalvable, mostrado en la Figura AIII.1, causa de

abandono de esta idea de desarrollo de la aplicación independiente.

Figura AIII.1. MatLab Runtime


98

Dado que MatLab tiene su propio lenguaje de programación y por otras cuestiones, aunque las nombren como

“standalone application”, realmente necesitan este complemento, “MatLab Runtime” o “MCR” (MatLab

Compiler Runtime), que es un conjunto de librerías específicas de MatLab para poder ejecutar este tipo de

aplicaciones generadas mediante el Compiler en cualquier ordenador que no disponga del programa.

Estas librerías se distribuyen libremente por Mathworks, pero el problema es que el tamaño resultante del

paquete sería desproporcionado (como se aprecia en la figura anterior), casi medio GB. Después de consultar y

comprobar otras posibilidades se decidió dejar Excel como herramienta de cálculo para la práctica.

Todos los códigos de los archivos “.m” generados y comentados en este proyecto se dejan copiados en los

diferentes anexos: “practica1.m”, “practica2.m” y “practica3.m” en el Anexo II; y “prueba1.m”, “prueba2.m” y

“gravity.m” en el presente Anexo III.

Posibilidades Futuras

Aunque no sea viable la utilización de MatLab, está claro que las posibilidades que ofrece son enormes

comparadas con la calculadora o Excel. Por ello, para terminar este subapartado se mencionan un par de

herramientas más.

La primera es dejar constancia de que en MatLab existen modelos precargados de geoide, mapas de gravedad,

etc. En el archivo “gravity.m” pueden consultarse algunos, acompañados de un extracto del texto de su ayuda al

usuario, tecleando “help function”.

El segundo es un paquete de archivos, llamado “Polyfitn Tools” y desarrollado por John D'Errico, cuya

característica esencial es que pueden realizarse regresiones multivariables, es decir, en lugar de exclusivamente

con pares de datos (𝑥, 𝑦), con (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, … ). En primera instancia esto no es necesario para esta aplicación,

aunque si algún día se decidiera continuar mejorando esta práctica y tener en cuenta en la regresión los distintos

efectos observados debidos a características de las bolas u otros motivos; resultaría beneficioso contar con estas

funciones.

Además de esta característica principal cuenta con más ventajas, como las funciones “polydern.m”,

“polyvaln.m”, “polyn2sym.m” y “polyn2sympoly.m”, que calculan las derivadas parciales, evalúan los

polinomios y cambian el formato de la variable que almacena el polinomio. Para aprovechar todas estas

funcionalidades hay que disponer de otro paquete, “SymPoly Tools”, del mismo autor y de índole más genérica.

Para ampliar información en cualquier particularidad relacionada con MatLab se recomienda visitar la web del

desarrollador, disponible en la referencia [5], tanto para la documentación y soporte propios, como para dudas

y desarrollos ajenos de la comunidad. A continuación se dejan los códigos de los archivos “.m” comentados en

este anexo y posteriormente se hablará sobre la herramienta con la que finalmente resulta más adecuado trabajar

en este contexto, Excel.

prueba1.m:

clear all; clc; format long; close all;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% PRUEBA AJUSTE DE DATOS CON FUNCIONES BÁSICAS %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Datos. 's' y 't' son experimentales y 't2' y 'st' obtenidos de ellos:

s = .3:.1:.8; % distancias en metros.

t = [.227 .265 .309 .328 .355 .381]; % tiempos en segundos.

t2 = [.0517 .0702 .095 .1074 .1260 .1452]; % t cuadrado en segundos^2.

st = [1.32 1.509 1.62 1.831 1.972 2.1]; % s/t en m/s.

% AJUSTE POLINÓMICO GRADO 1:

% Representamos los puntos experimentales 's' frente a 't2' y obtenemos su

% recta de regresión lineal, todo en la 'Figura 1':


plot(t2,s,'d','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g','MarkerSize',8),

title('s frente a <t>^2'), xlabel('<t>^2 (s^2)'),ylabel('s (m)'),


99

axis([.04 .16 .2 1]),

% Seguidamente obtenemos y representamos la 'Recta de Mejor Ajuste'.

% Usamos la función 'polyfit' para calcular sus coeficientes y la función

% 'polyval' para evaluar los puntos de la Recta a representar en la

% 'Figura 1':

Plin = polyfit(s,t2,1), % Nos devuelve: P=[B,A], siendo: s=A+B<t>^2.

Rlin = corrcoef(s,t2), % Coeficiente de correlación (r).

aux1 = polyval(Plin,s); plot(aux1,s,'LineWidth',2), % Recta de Ajuste.

hold off,

% AJUSTE POLINÓMICO GRADO 2:

% Ahora representaremos los puntos experimentales como 's' frente a '<t>',

% para la parábola de regresión:


plot(t,s,'d','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g','MarkerSize',8),

title('s frente a <t>'), xlabel('<t> (s)'),ylabel('s (m)'),

axis([.2 .4 .2 1]),

Ppar = polyfit(s,t,2), % Nos devuelve: P=[C,B,A], siendo:s=A+B<t>+C<t>^2.

Rpar = corrcoef(s,t2), % Coeficiente de correlación (r).

aux2 = polyval(Ppar,s); plot(aux2,s,'LineWidth',2), % Parábola de Ajuste.

hold off,

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% PRUEBA REPRESENTACIÓN DE ERRORES CON POLYFIT Y POLYVAL %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

[P,S] = polyfit(t,s,2);

[spol,de] = polyval(P,t,S);


plot(t,s,'*b',t,spol+de*2,'r',t,spol-de*2,'r',t,spol,'g'), hold off,

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% PRUEBAS FUNCIONES: fit, coeffvalues, confint %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Se usan las funciones "fit" para realizar el ajuste directamente entre

% dos vectores indicando el tipo de regresión, en este caso parabólica

% como "poly2", polinomio de segundo orden. Con esta función también se

% obtiene el valor del coeficiente de correlación en la variable "err".

% Después con la función "confint" se hayan los intervalos de confianza

% (al 95% por defecto) de cada uno de los coeficientes de la regresión.

% Restando uno de los límites al valor del coef, se obtiene la

% incertidumbre de dicho coeficiente. Usa los mismos datos.

[cf,err] = fit(t',s','poly2');

R2 = err.rsquare,


plot(cf,t,s,'predobs'), hold off,

cf_coeff = coeffvalues(cf);

cf_confint = confint(cf);

a = [cf_coeff(1),(cf_confint(2,1) - cf_confint(1,1))/2];

b = [cf_coeff(2),(cf_confint(2,2) - cf_confint(1,2))/2];

c = [cf_coeff(3),(cf_confint(2,3) - cf_confint(1,3))/2];

coefsYerrors=[a;b;c], g=a(1), Eg=a(2),

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% PRUEBA DE prueba2.m GENERADA MEDIANTE "CURVE FITTING TOOL" %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Este apartado sirve para llamar a la función generada automáticamente

% desde la "App Curve Fitting Tool", prueba2.m, que realiza un ajuste

% parabólico similar a los anteriores y representando tanmbién las bandas

% de incertidumbre. El único añadido es la representación de los residuos


100

% con la curva ajustada con valor cero.

[fitresult, gof] = prueba2(t, s),

format short;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

prueba2.m:

function [fitresult, gof] = prueba2(t, s)

%CREATEFIT(T,S)

% Create a fit.

%

% Data for 'prueba2' fit:

% X Input : t

% Y Output: s

% Output:

% fitresult : a fit object representing the fit.

% gof : structure with goodness-of fit info.

%

% See also FIT, CFIT, SFIT.

% Auto-generated by MATLAB on 04-Jun-2016 12:27:06

%% Fit: 'prueba2'.

[xData, yData] = prepareCurveData( t, s );

% Set up fittype and options.

ft = fittype( 'poly2' );

% Fit model to data.

[fitresult, gof] = fit( xData, yData, ft, 'Normalize', 'on' );

% Create a figure for the plots.

figure( 'Name', 'prueba2' );

% Plot fit with data.

subplot( 2, 1, 1 );

h = plot( fitresult, xData, yData, 'predobs' );

legend( h, 's vs. t', 'prueba2', 'Lower bounds (prueba2)', 'Upper bounds (prueba2)',

'Location', 'NorthEast' );

% Label axes

xlabel( 't' );

ylabel( 's' );

grid on

% Plot residuals.

subplot( 2, 1, 2 );

h = plot( fitresult, xData, yData, 'residuals' );

legend( h, 'prueba2 - residuals', 'Zero Line', 'Location', 'NorthEast' );

% Label axes

xlabel( 't' );

ylabel( 's' );

grid on


101

gravity.m:

% GRAVITY FUNCTIONS ON MATLAB:

help geoidheight

% Implement a geopotential model to calculate geoid height

% N = geoidheight( LAT, LON, MODEL )

% N, are interpolated at M geocentric latitude, LAT, and M

% geocentric longitude, LON, from a grid of point values in the tide-free

% system, using the selected geopotential model, MODEL.

help gravitysphericalharmonic

% gravitysphericalharmonic Implement a spherical harmonic representation

% of planetary gravity.

% [GX GY GZ] = gravitysphericalharmonic( P ) implements the mathematical

% representation of spherical harmonic planetary gravity based on

% planetary gravitational potential. Using P, a M-by-3 array of

% Planet-Centered Planet-Fixed coordinates, GX, GY and GZ, arrays of M

% gravity values in the x-axis, y-axis and z-axis of the Planet-Centered

% Planet-Fixed coordinates are calculated for planet using 120th degree

% and order spherical coefficients for EGM2008 by default.

%

% Alternate formats for calling spherical harmonic gravity are:

% [GX GY GZ] = gravitysphericalharmonic( P, DEGREE )

% [GX GY GZ] = gravitysphericalharmonic( P, MODEL )

% [GX GY GZ] = gravitysphericalharmonic( P, MODEL, DEGREE )

%

% P :a M-by-3 array of Planet-Centered Planet-Fixed coordinates in

% meters where the z-axis is positive towards the North Pole. For

% Earth this would be ECEF coordinates.

%

% MODEL :a string specifying the planetary model:

% 'EGM2008' (Earth), 'EGM96' (Earth), 'LP100K' (Moon), 'LP165P'

% (Moon), 'GMM2B' (Mars), 'Custom', or 'EIGENGL04C' (EARTH). The

% default is 'EGM2008'.

%

% Examples:

%

% Calculate the gravity in the x-axis at the equator on the surface of

% Earth, using the 120 degree model of EGM2008 with warning actions:

% gx = gravitysphericalharmonic( [-6378.1363e3 0 0] )

%

% Calculate the gravity at 25000 meters over the south pole of Earth using

% the 70 degree model of EGM96:

% [gx, gy, gz] = gravitysphericalharmonic( [0 0 -6381.751e3], 'EGM96')

help gravitywgs84

% gravitywgs84 Implement the 1984 World Geodetic System (WGS84)

% representation of Earth's gravity.

% G = gravitywgs84( H, LAT ) implements the mathematical representation

% of the geocentric equipotential ellipsoid of WGS84. Using H, an array

% of M altitudes in meters, and LAT, an array of M geodetic latitudes in

% degrees, G, an array of M gravity values in the direction normal to

% the Earth's surface at a specific location is calculated using the

% Taylor Series method by default. Gravity precision is controlled via

% the METHOD parameter.

%

% Inputs for WGS84 are:

% H :an array of M altitudes in meters.

% LAT :an array of M geodetic latitudes in degrees where north

% latitude is positive, and south latitude is negative.

% LON :an array of M geodetic longitude in degrees where east


102

% longitude is positive, west is negative. This input is only

% available with METHOD 'CloseApprox' or 'Exact'.

% METHOD :a string specifying the method to calculate gravity:

% 'TaylorSeries' 'CloseApprox' or 'Exact'. The default is

% 'TaylorSeries'.

%

% Output calculated for the Earth's gravity includes:

% G :an array of M gravity values in the direction normal to the

% Earth's surface at a specific LAT LON location. A positive

% value indicates a downward direction.

% GT :an array of M total gravity values in the direction normal to

% the Earth's surface at a specific LAT LON location. A positive

% value indicates a downward direction. This option is only

% available with METHOD 'Exact'.

% GN :an array of M gravity values in the direction tangential to the

% Earth's surface at a specific LAT LON location. A positive value

% indicates a northward direction. This option is only available

% with METHOD 'Exact'.

%

% Examples:

%

% Calculate the normal gravity at 5000 meters, and 55 degrees latitude

% using the taylor series approximation method with error actions:

% g = gravitywgs84( 5000, 55, 'TaylorSeries', 'Error' )

%

% Calculate the normal and tangential gravity at 1000 meters, 0 degrees

% latitude and 20 degrees longitude using the exact method with warning

% actions, atmosphere, centrifugal effects, and no precessing:

% [g, gt] = gravitywgs84( 1000, 0, 20, 'Exact' )

AIII.3. Excel

Aunque es por muchos criticado, Excel siempre ha sido la hoja de cálculo informática por excelencia, y dispone

de multitud de herramientas y funcionalidades especializadas hasta un punto que ni por asomo se alcanzará en

este proyecto. Su uso aquí se limita a funciones básicas de las categorías de su librería “Matemáticas” y

“Estadística” en general pues, además de operaciones simples para la obtención de variables intermedias, el uso

principal radica por supuesto en el cálculo de ajustes de regresión.

Es decir, la hoja llamada “lineal.xls” que se facilitaba a los alumnos antes del comienzo de este proyecto resulta

más que suficiente para obtener las regresiones lineales de tipo polinómica de primer grado. Sin embargo, dado

que la ecuación estrella en la caída de los cuerpos relaciona espacio con tiempo al cuadrado, el ajuste de una

parábola de regresión ha estado muy presente durante todo el documento; y llevarlo a cabo mediante las

funciones básicas de las librerías de Excel ya no es tarea tan sencilla.

Después de buscar información para implementar la regresión polinómica de segundo orden, se decidió utilizar

un complemento para Excel llamado “Real Statistics”, desarrollado por el Dr. Charles Zaiontz y de libre

distribución a través de su página web en la referencia [6]. Ofrece muchas posibilidades en el terreno de la

Inferencia, con aplicaciones que pueden echarse en falta en las propias del programa.

En la Figura AIII.2 se muestra un ejemplo del output que proporciona este complemento cuando se le ingresan

dos vectores de datos, habiendo seleccionado previamente el modo “Regression” y “Multiple Linear

Regression”. Es una tabla con más información relativa al ajuste de la que pueda necesitarse.

Además del uso de este complemento, lo más complicado o menos habitual ha sido la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales 3x3, que básicamente consiste en usar la función “MINVERSA” para hallar la matriz inversa

de coeficientes y determinar la solución.

Teniendo en cuenta esta pequeña dificultad y las oportunidades de representación y manejo de datos, además de

estar bastamente extendido, Excel se reafirma como mejor opción de uso; quedando la calculadora como opción

para los más artesanales.


103

OVERALL FIT

Multiple R 0,9978061

R Square 0,995617

Adjusted R Square0,99269501

Standard Error0,01598983

Observations 6

ANOVA Alpha 0,05

df SS MS F p-value sig

Regression 2 0,17423298 0,08711649 340,7317005 0,00029017 yes

Residual 3 0,00076702 0,00025567

Total 5 0,175

coeff std err t stat p-value lower upper

Intercept 0,2404434 0,24933791 0,96432751 0,406017291 -0,5530611 1,0339479

Group 1 -1,51716643 1,67765849 -0,90433568 0,432479023 -6,85622448 3,82189163

Group 2 7,86653941 2,75697033 2,85332755 0,064931379 -0,90737063 16,6404494

Figura AIII.2. Ejemplo Real Statistics


104

Anexo IV. Enunciado y Boletín de la Práctica del Curso 2015-16

Anexo IV. Enunciado y Ficha de la Práctica del Curso 2015-16

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REFERENCIAS

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http://www.mathworks.com/

http://www.real-statistics.com/

113

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