trabajo energia y potencia

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTRE

FISICA 1

UNIDAD III TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y CONSERVACION DE ENERGIA.

Q. B. B. MARCOS MARTIN KU KUMUL

CLAKINI, CAMPECHE, ENERO DE 2006.

0

2.- PRESENTACION.

En términos generales el presente paquete didáctico contiene los conceptos de trabajo mecánico, tanto cuando la fuerza aplicada es paralela a la horizontal, como cuando la fuerza forma un ángulo con respecto a la horizontal. De igual forma contiene las definiciones de energía, energía potencial, energía cinética, sus ecuaciones y la resolución de problemas.

Asimismo también se presenta el teorema de conservación de la energía mecánica, así como la resolución de sus problemas, el concepto de potencia mecánica y sus problemas.

En la última parte se presentan los conceptos y resolución de problemas de oscilaciones armónicas.

1

3.- INDICE DE CONTENIDO.

Contenido Número de página

Portada 0

Presentación 1

Indice de contenido 2

Objetivos generales de laUnidad temática 4

Instrucciones generales para el uso del paquetedidáctico 4

Temas integrantes de laUnidad temática 5

Instrucciones específicaspara el autoaprendizaje 5

Objetivos por tema 6

Desarrollo del tema3.1. Concepto de trabajo 7

Ejercicios de aplicación del trabajo mecánico 7

Evaluación del tema 3.1 11

Bibliografía específica del tema 3.1. 12

Desarrollo del tema 3.2.Teorema del trabajo y la energía 12

Ejercicios de energía cinética 13


Bibliografía específica 15del tema 3.2

Desarrollo del tema 3.3. 15Potencia mecánicaEjercicios de potencia mecánica 16

2


Bibliografía específica deltema 3.3 19

Desarrollo del tema 3.4. 19Fuerzas conservativas y no conservativas

Ejercicios de energía potencial 20

Evaluación del tema 3.4. 21

Bibliografía específica del tema 3.4 22

Desarrollo del tema 3.5.Teorema de la conservación de la energía mecánica 22

Ejercicios del teorema de conservación de 24la energía mecánica.


Bibliografía específica del tema 3.5. 26

Desarrollo del tema 3.6 Oscilaciones armónicas 26

Ejercicios de Oscilaciones armónicas 34

Evaluación del tema 3.6. 35

Bibliografía especifica del tema 3.6 36

Evaluación de la UnidadTemática III. Trabajo, energía cinética y conservación de 37la energía.

4.- OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD TEMATICA

3

1.- El alumno conocerá el concepto de trabajo mecánico y resolverá problemas cuando la fuerza aplicada se efectúa en forma horizontal y con un cierto ángulo respecto a la horizontal.

2.- El alumno enunciará el concepto de energía, energía cinética y resolverá problemas de energía cinética.

3.- El alumno enunciará el concepto de potencia mecánica, conocerá sus ecuaciones y sus unidades así como resolverá problemas de potencia mecánicas.

4.- El alumno enunciará el concepto de energía potencial, sus ecuaciones, unidades y resolverá problemas de energía potencial

5.- El alumno enunciará el concepto del teorema de la conservación de la energía mecánica, su ecuación, y resolverá problemas del teorema.

6.- El alumno enunciará el concepto de oscilaciones armónicas, sus características, y resolverá problemas de oscilaciones armónicas.

7.- El alumno enunciará el concepto de fuerzas no conservativas, sus ecuaciones y resolverá problemas.

5.- INTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL PAQUETE DIDACTICO

1.- Conocer el concepto de trabajo mecánico, sus ecuaciones, despeje de las mismas y su utilización para resolver problemas.

2.- Conocer el concepto de energía, energía cinética, sus ecuaciones despeje de las mismas y utilizarlas en la resolución de problemas.

3.- Solucionar problemas de potencia mecánica, utilizando sus ecuaciones, y despejándolas para hallar los otros parámetros, así como convertir sus unidades como watts, caballos de fuerza y caballos de vapor.

4.- Conocer e interpretar la energía potencial, utilizar sus ecuaciones y despejarlas para hallar los otros parámetros en la resolución de problemas.

5.- Conocer e interpretar el concepto del teorema de conservación de la energía mecánica, utilizar sus ecuaciones en la resolución de problemas y despejarlas para hallar los otros parámetros.

6.- Conocer e interpretar las oscilaciones armónicas, sus características y la utilización de sus ecuaciones para resolver problemas.

6.- TEMAS INTEGRANTES DE LA UNIDAD TEMATICA.

4

a.- UNIDAD III. Trabajo, energía cinética, y conservación de energía.

Tema 3.1. Concepto de trabajoSubtema 3.1.1. Trabajo efectuado por fuerzas paralelas a la horizontal.Subtema 3.1.2. Trabajo efectuado por fuerzas que forman un ángulo con la horizontal.

Tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.Subtema 3.2.1. Concepto de energía cinética.Subtema 3.2.2. Resolución de problemas de energía cinética.

Tema 3.3. Potencia mecánicaSubtema 3.3.1. Definición, ecuaciones y unidades de la potencia mecánica.Subtema 3.3.2. Resolución de problemas de potencia mecánica.

Tema 3.4. Fuerzas conservativas y no conservativas.Subtema 3.4.1. Concepto de energía potencial, sus ecuaciones y sus unidades.Subtema 3.4.2. Resolución de problemas de energía potencial.

Tema 3.5. Teorema de la conservación de la energía mecánicaSubtema 3.5.1. Enunciado del teorema de conservación de la energía mecánica.Subtema 3.5.2. Resolución de problemas del teorema de la conservación de la energía mecánica.

Tema 3.6. Oscilaciones armónicasSubtema 3.6.1. Definición, características y ecuaciones de las oscilaciones armónicas. Subtema 3.6.2. Resolución de problemas de oscilaciones armónicas.

b. INSTRUCCIONES ESPECIFICAS PARA EL AUTOAPRENDIZAJE.

1.- Conocer el concepto trabajo mecánico, sus ecuaciones y resolución de problemas2.- Enunciar el concepto de energía cinética conocer sus ecuaciones y utilizarlas en la resolución de problemas.3.- Definir el concepto de potencia mecánica, conocer sus ecuaciones y utilizarlas en la resolución de problemas4.- Definir el concepto de energía potencial, conocer sus ecuaciones y utilizarlas en la resolución de problemas.5.- Definir el concepto del teorema de conservación de la energía mecánica, sus ecuaciones y sus unidades y resolver problemas.6.- Definir el concepto de oscilaciones armónicas, sus características, y resolver sus problemas.

c. Objetivos por tema.

5

1.- Aprender el concepto de trabajo mecánico2.- Utilizar las ecuaciones del trabajo mecánico para resolver problemas al respecto.3.- Aprender el concepto de energía cinética y resolver sus problemas.4.- Aprender el concepto de potencia mecánica, y resolver sus problemas5.- Aprender el concepto del enunciado del teorema de conservación de la energía mecánica.6.- Aprender el concepto de oscilaciones armónicas, sus características y resolver problemas de oscilaciones armónicas.

e. Desarrollo del Tema 3.1. Concepto de trabajo.

6

TEMA 3.1. CONCEPTO DE TRABAJO. SUBTEMA 3.1.1. CALCULO DEL TRABAJO PARA FUERZAS PARALELAS A LA HORIZONTAL.

El trabajo es una magnitud escalar producido sólo cuando una fuerza mueve un cuerpo en su misma dirección. Su valor se calcula multiplicando la magnitud de la componente de la fuerza localizada en la misma dirección en que se efectúa el movimiento del cuerpo, por el desplazamiento que éste realiza.

Si la fuerza que mueve el cuerpo se encuentra totalmente en la misma dirección en que se efectúa el desplazamiento, el ángulo θ es igual a cero o 90° ya que el coseno de 0 ó 90° es igual a 1, donde el trabajo será igual a:

T = F d.

Se realiza un trabajo de un joule (1 J) cuando al aplicar una fuerza de un Newton a un cuerpo, este se desplaza un metro. De donde:

1 J = N.m.

Resolución de problemas de trabajo mecánico.

1.- Una persona levanta una silla cuyo peso es de 49 Newtons hasta una altura de 0.75 metros. ¿Qué trabajo realiza?

Datos Fórmula Sustitución.

P = F = 49 N T = Fd T = 49 N x

0.75 m.d = h = 0.75 m T =

36.75 N.m

T = T = 36.75 Joules

2.- Determinar el trabajo realizado al desplazar un bloque 3 metros sobre una superficie horizontal, si se desprecia la fricción y la fuerza aplicada es de 25 Newtons.

Datos Fórmula Sustitución

T = T = Fd T = 25 N x 3 m

d = 3 m T = 75 N.mF = 25 N T = 75 N.m

3.- ¿Qué peso tendrá un cuerpo si al levantarlo a una altura de 1.5 metros se realiza un trabajo de 88.2 Joules?.

7


P = F F = T/d F = 88.2 N.mh = d = 1.5 m 1.5 mT = 88.2 J F = 58.8 N= 88.2 N.m

4.- Un ladrillo tiene una masa de 1 kg, ¿a qué distancia se levantó del suelo si se realizó un trabajo de 19.6 Joules?.

Datos Fórmulas Sustitución

m = 1 kg P = mg P = 1 kg x 9.8 m/seg2.g = 9.8 m/seg2. d = T/F P = F= 9.8 kgm/seg2.T = 19.6 J F = 9.8 Newtons19.6 N.m d = 19.6 N.md = h= 9.8 NP = F d = 2 metros

5.- Un viajero levanta su petaca de 196 Newtons hasta una altura de 0.5 metros. ¿Qué trabajo realiza?


F = 196 N T = Fd T = 196 N x 0.5 m =h = d = 0.5 m T = 98 Joules.T = ¿

SUBTEMA 3.1.2. CALCULO DEL TRABAJO MECANICO PARA FUERZAS QUE FORMAN UN ANGULO RESPECTO A LA HORIZONTAL.

Cuando la fuerza aplicada para desplazar un cuerpo, se aplica con un cierto ángulo respecto a la horizontal, diferente de 0°

8

y 90°, entonces para calcular el trabajo mecánico realizado, se utiliza la siguiente ecuación.

T = Fd cos θ.

Donde T = trabajo realizado en N.m = joule = J

F cos θ = Componente de la fuerza en la dirección del

movimiento en Newtons (N).

d = desplazamiento en metros (m).

PROBLEMAS DE TRABAJO MECÁNICO PARA FUERZAS QUE SE

APLICAN CON UN ÁNGULO RESPECTO A LA HORIZONTAL.

1.- Un bloque cuya masa es de 3 kg es jalado por una fuerza de 45 Newtons con un ángulo de 30° respecto a la horizontal, desplazándolo 5 metros. Calcular el trabajo realizado para mover el bloque.


F = 45 N T = Fd cos θ T = 45 N x 5 m x cos 30°

θ = 30° T = 45 N x 5 m x 0.8660

d = 5 m T = 194.85 N.mT = T = 194.85 Joules

2.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 Newtons que forma un ángulo de 25° respecto a la horizontal, al desplazar 2 metros al cuerpo.


T = ¿ T = F d cos θ T = 200 N x 2 m x 0.9063

F = 200 N T = 362.52 N.md = 2 m T = 362.52

Joules.θ = 25°

3.- ¿A que distancia, se desplazará un cuerpo, si se le aplica una fuerza de 350 N, con un ángulo de 60° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 500 Joules?.

9


d = ¿ d = T/F cos θd = 500 N.m/350 N x 0.5

d = 500/175 = 2.85 m

F = 350 Nθ = 60°T = 500 J

4.- ¿A que distancia se desplazará un cuerpo, si se le aplica una fuerza de 600 N, con un ángulo de 75° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 750 Joules?


d = ¿ d = T/F cos θd = 750 N.m/600 N x 0.2588

d = 500N.m/155.28 N = 3.22 metros.

F = 600 Nθ = 75°T = 750 J

5.- ¿Con que ángulo se desplazará un cuerpo, si sobre él se realiza un trabajo de 825 Joules y se desplaza una distancia de 5.25 metros, al aplicarle una fuerza de 450 Newtons?


θ = ¿ cos θ = T/Fd cos θ = 825 N.m/450 N x 5.25 m.

T = 825 J cos θ = 825 N.m/2362.5 N.m.

F = 450 N cos θ = 0.3492d = 5.25 m θ = cos-1 0.3492 = 69.5°.

e. Evaluación del tema 3.1. Concepto de trabajo.

1.- Este término se define como una magnitud escalar, producido solo cuando una fuerza mueve un cuerpo en su misma dirección.

10

A. ÍmpetuB. ImpulsoC. TrabajoD. MomentoE. Energía

2.- ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20 newtons que actúa a través de una distancia paralela de 8 metros?

A. 190 JoulesB. 165 JoulesC. 170 JoulesD. 178 JoulesE. 160 Joules

3.- Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 newtons sobre un barco, cuando lo desplaza a una distancia de 15 metros. ¿Cuál es el trabajo realizado?

A. 98 kJB. 75 kJC. 85 kJD. 60 kjE. 92 kj

4.- Un empuje de 30 libras se aplica a lo largo de un asa de una cortadora de césped, produciendo un desplazamiento horizontal de 40 pies. Si el asa forma un ángulo de 30° con el suelo. ¿Qué trabajo fue realizado por la fuerza de 30 libras?

A. 1048 lb.ftB. 1040 lb-ftC. 2033 lb.ftD. 1150 lb.ftE. 2200 lb.ft

5.- ¿Qué trabajo realiza una fuerza de 60 newtons al arrastrar un bloque a través de una distancia de 50 metros, cuando la fuerza es transmitida por medio de una cuerda que forma un ángulo de 30° con la horizontal?

A. 2550 JoulesB. 2300 JoulesC: 2490 JoulesD. 2330 JoulesE. 2600 Joules

Bibliografía específica del tema 3.1. Concepto de trabajo. Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.

11

e. Desarrollo del Tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.

TEMA 3.2. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍASUBTEMA 3.2.1. CONCEPTO DE ENERGIA CINETICA

SUBTEMA 3.2.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA CINETICA.

Energía Cinética

Encontrar una definición precisa para la energía no es algo sencillo, sin embargo podemos decir:

La energía es una propiedad que caracteriza la interacción de los componentes de un sistema físico que tiene la capacidad de realizar un trabajo. Es importante señalar que la energía de diferentes formas, sin embargo, no se crea de la nada, ya que cuando hablamos de producir energía, en realidad nos referimos a sus transformación de una energía a otra, ya que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma. En conclusión: un cuerpo tiene energía si es capaz de interaccionar con el sistema del cual forma parte, para realizar un trabajo. La unidad de energía en el Sistema internacional es el Joule (J).Dos de los principales tipos de energía son la energía potencial y energía cinética.

Energía cinética. Todo cuerpo en movimiento tiene energía cinética. Por ejemplo una persona cuando camina o corre, un avión en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para su despegue, una corriente de agua, un disco que gira, la rueda de la fortuna, un pájaro al volar, una canica al rodar por el suelo, una manzana que cae de un árbol y en fin, todo aquello que está en movimiento tiene energía cinética. Un cuerpo suspendido a cierta altura, al ser soltado transforma su energía potencial gravitacional en energía cinética traslacional. Por ejemplo, para construir la Torre Latinoamericana, edificio ubicado en el centro de la Ciudad de México, fue necesario reforzar el suelo blando de esa área, mediante pilotes, los cuales fueron introducidos o clavados por medio de un martinete, elaborado básicamente por un gran mazo dentro de guías para mantenerlo correctamente en la dirección del blanco u objetivo.La ecuación que representa a la energía cinética es la siguiente:

Ec = ½ mv2.Donde Ec = energía cinética en Joulesm = masa del objeto en kgv = velocidad del objeto en m/seg.

12

Teorema del trabajo.- El trabajo de una fuerza externa resultante sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética del cuerpo.

PROBLEMAS DE ENERGIA CINETICA.

1.- Calcular en joules la energía cinética traslacional que lleva una bala de 8 gramos si su velocidad es de 400 m/seg.


Ec= Ec = ½ mv2. Ec= 0.5 x 0.008 kg (400 m/seg)2.

m = 8 gr= 0.008 kg Ec = 640 Joulesv = 400 m/seg

2.- Calcular la masa de un cuerpo cuya velocidad es de 10 m/seg y su energía cinética traslacional es de 1000 Joules.


m = m = 2Ec m= 2 (1000 N.m) =v = 10 m/seg v2. (10 m/seg)2

Ec = 1000 J m = 20 kg= 1000 N.m

3.- Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 3 kg si su energía cinética traslacional es de 200 Joules.


v = v = √2Ec v= √2 (200 N.m)m = 3 kg m 3 kgEc = 200 J v = 11.55 m/seg= 200 N.m

4.- Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m/seg.


Ec = ¿ Ec = ½ mv2. Ec = 0.5 x 4 kg x (24 m/seg)2.

m = 4 kg Ec = 1152 Joules.v = 24 m/seg

13

5.- Calcule la energía cinética de un automóvil de 3200 lb de peso que viaja a 88 pies/seg. Utilice para los cálculos el valor de la gravedad del sistema inglés (32 pies/seg2.)


P= 3200 lb m = P/g m = 3200 lb/32 ft/seg2.m = 100 slugs

v = 88 ft/seg Ec = ½ mv2. Ec = 0.5 x 100 slugs x (88 ft/seg)2.

g = 32 ft/seg2. Ec = 3.87 E 5 lb.ft.

e. Evaluación del tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.

1.- Un martillo de 0.6 kg se mueve a 30 m/seg inmediatamente antes de golpear una alcayata. Calcule su energía cinética.


2.- Se define como una propiedad que caracteriza la interacción de los componentes de un sistema físico que tiene la capacidad de realizar un trabajo.

A. ÍmpetuB. ImpulsoC. Cantidad de movimiento D. EnergíaE. Trabajo

3.- Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento

A. Energía EólicaB. Energía radianteC. Energía químicaD. Energía potencial E. Energía cinética

4.- La energía cinética de un cuerpo con relación a la velocidad tiene la siguiente relación.

A. Es igual al cuadrado de la velocidadB. Es igual a la raíz cuadrada de la velocidad.C. Es igual al cubo de la velocidadD. Es igual a la mitad de la velocidadE. Es igual a la raíz cúbica de la velocidad.

14

5.- La energía cinética de un cuerpo con relación a la masa del mismo tiene la siguiente relación:

A. Es igual al cubo de la masaB. Es igual al doble de la masaC. Es igual al cuadrado de la masaD. Es igual a la mitad de la masaE. Es igual a la raíz cuadrada de la masa.

f. Bibliografía específica del tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.

d. Desarrollo del tema 3.3. Potencia mecánica.

TEMA 3.3. POTENCIA MECANICA.SUBTEMA 3.3.1. DEFINICION DE POTENCIA MECANICA

SUBTEMA 3.3.2. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE POTENCIA MECANICA.

La potencia mecánica se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. Se mide en watts (W) y se dice que existe una potencia mecánica de un watt cuando se realiza un trabajo de un joule por segundo:1 W = J/seg.

Por ejemplo, mientras una persona sube por una escalera un bulto de cemento de 50 kg a un departamento que se encuentra en reparación en el cuarto piso de un edificio, otra persona utilizando una polea, sube otro bulto de 50 kg hasta el mismo piso en un menor tiempo, ¿quién realiza mayor trabajo? puesto que cada quien elevó un bulto de 50 kg a la misma altura el trabajo realizado es el mismo, sólo que uno lo efectuó en menor tiempo.

El hombre siempre ha buscado realizar su trabajo en el menor tiempo posible, de ahí la necesidad de introducir un nuevo concepto que señale claramente con qué rapidez se hace un trabajo, este concepto recibe el nombre de potencia. Por definición: Potencia mecánica es la rapidez con que se realiza un trabajo. Su expresión matemática es:P = T tdonde P = potencia en Joules/seg = watts (W).

T = trabajo realizado en Joules (J).t = tiempo en que se realiza en trabajo en segundos (seg).

Como se observa, la unidad usada en el Sistema Internacional para medir potencia es el watt y significa trabajo de un joule realizado en un segundo. (En honor al escocés James Watt, 1736-1819, famoso por la construcción de una máquina de vapor).

Sin embargo, todavía se emplean las siguientes unidades prácticas: el caballo de fuerza (H.P.) y el caballo de vapor (C.V.)1 H.P. = 746 Watts 1 C. V. = 736 Watts.

15

Como el trabajo es igual a T = Fd y como la potencia es P = T/d = Fd/t, pero d/t = v (velocidad) entonces la potencia es igual a:P = Fv.P = Potencia mecánica en Watts.F = Fuerza en en Newtons.v = velocidad en metros por segundo (m/seg).

Esta expresión permite calcular la potencia si se conoce la velocidad que adquiere el cuerpo, misma que tendrá una dirección y un sentido igual a la de la fuerza que recibe.

Para conocer la eficiencia (η) o rendimiento de una máquina que produce trabajo, tenemos la expresión:η = Trabajo producido por la máquina x 100.

Trabajo suministrado a la máquina.

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE POTENCIA MECANICA.

1.- Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos de cemento hasta una altura de 10 metros en un tiempo de 2 segundos, si cada bulto tiene una masa de 50 kg.

Datos Fórmula

P = ¿ P = T/t = Fd/tm = 30 x 50 kgm = 1500 kgh = 10 mt = 2 segSolución : Para elevar los 30 bultos a velocidad constante, debe desarrollarse una fuerza igual a su peso, donde :

F = P = 1500 kg x 9.8 m/seg2. = 14 700 Newtons.P = 14700 N x 10 m/2 seg = 73500 Watts.

2.- Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es de 37500 Watts, para elevar una carga de 5290 Newtons hasta una altura de 70 metros.

Datos Fórmula

t = ¿ P = Fd/t despejando t tenemos:P = 37500 Watts t = Fd/P.F = 5290 Newtonsh = 70 m.

Sustitución y resultado:

t = 5290 N x 70 m/37500 N.m/seg. = 9.87 seg.

16

3,. La potencia de un motor eléctrico es de 50 H.P.¿A qué velocidad constante puede elevar una carga de 9800 Newtons?

Datos Fórmula

P = 50 H.P. P = Fv despejando v tenemos: v = P/F.v = ¿F = 9800 N.

Sustitución y resultados.Conversión de unidades:

50 H. P. x 746 W = 37300 Watts.1 H.P.

v = 37300 N .m/seg = 3.81 seg.9800 N

4.- Determinar en watts y en caballos de fuerza, la potencia que necesita un motor eléctrico para poder elevar una carga de 20 x 103 N a una altura de 30 metros en un tiempo de 15 segundos.Datos Fórmula. Sustitución.

P = ¿ P = Fd/t P = 20 x 10 3 N x 30 m F = 20 x 103 N 15 segd = 30 m P = 40000 Watts.t = 15 seg P = 40000 W x 1 H.P/746 W = 53.62 H.P.

5.- Un motor cuya potencia es de 70 H.P. eleva una carga de 6 x 10 3 N a una altura de 60 metros. ¿En qué tiempo la sube?

Datos Fórmula.

P = 70 H.P. P = Fd/t. despejando t tenemos: t = Fd/P.F = 6 x 103 N.h = d = 60 m

Sustitución y resultado:

Conversión de la potencia a watts:

70 H.P. x 746 Watts = 52220 Watts. 1 H.P.

t = 6 x 10 3 N . x 60 m = 6.89 seg.52220 N.m/seg.

e. Evaluación del tema 3.3. Potencia mecánica.

17

1. Este parámetro se define como la rapidez con que se realiza un trabajo, su unidad es el watt.

A. ImpulsoB. ÍmpetuC. Cantidad de movimiento D. Potencia mecánicaE. Energía cinética.

2.- Este parámetro se obtiene al dividir el trabajo mecánico entre el tiempo que se emplea en realizar dicho trabajo.

A. Cantidad de movimientoB. Potencia mecánicaC. ÍmpetuD. Energía CinéticaE. Impulso

3.- La potencia mecánica con relación al trabajo mecánico, tiene la siguiente relación:

A. Es igual a la raíz cuadrada del trabajoB. Es inversamente proporcionalC. Es igual al cuadrado del trabajoD. Es igual al doble del trabajoE. Es directamente proporcional

4. La potencia de un motor eléctrico en watts es de 1960 watts ¿Cuál es la potencia en caballos de vapor (C.V.)

A. 3.88B. 1.55C. 3.57D. 2.66E. 4.35

5. Si un estudiante de 50 kg de masa sube al tercer piso de su escuela, que se encuentra a 11 metros de altura, en 15 segundos. ¿Qué trabajo realiza por unidad de tiempo?

A. 299.44 wattsB. 156.23 wattsC. 188.44 wattsD. 250.25 wattsE. 123.56 watts

18

f. Bibliografía específica del tema 3.3. Potencia mecánica. Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.

d. Desarrollo del tema 3.4. Fuerzas conservativas y no conservativas.

TEMA 3.4. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVASSUBTEMA 3.4.1. CONCEPTO DE ENERGIA POTENCIAL.

SUBTEMA 3.4.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA POTENCIAL.

Energía Potencial. Cuando levantamos un cuerpo cualquiera, a una cierta altura (h), debemos efectuar un trabajo igual al producto de la fuerza aplicada por la altura a la que fue desplazado. Este trabajo se convierte en energía potencial gravitacional, llamada así pues su origen se debe a la atracción gravitacional ejercida por la tierra sobre el cuerpo. Así pues, debido a la atracción de la tierra, si el cuerpo se deja caer, será capaz de realizar un trabajo del mismo valor sobre cualquier objeto en el que caiga, ya que puede comprimir un resorte, perforar el piso e introducir pilotes hechos de hormigón armado en terrenos frágiles.Como el trabajo (T) realizado para elevar un cuerpo es igual a la energía potencial gravitacional (EPG), tenemos:

EPG = T = Ph.

La fuerza requerida para elevar un cuerpo a una cierta altura es igual a su peso, por lo tanto:F = P = mg

Donde la energía potencial gravitacional es igual a:

EPG = Ph = mgh.

g = 9.8 m/seg2. Sistema Internacionalg = 32.2 ft /seg2. Sistema Inglés.

La energía potencial gravitacional de un cuerpo localizado a una cierta altura depende del nivel tomado como referencia. Por ejemplo, si un bloque de madera de 2 kg de masa está sobre una mesa cuya altura es de 1 metro y se levanta a una altura de 0.6 metros arriba de la mesa, el bloque tendrá una energía potencial gravitacional respecto a la mesa igual a:EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/seg2 x 0.6 m= 11.76 J.Pero respecto al suelo, su altura es de 1.6 metros, por lo tanto considerando este nivel de referencia su energía potencial gravitacional es de:EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/seg2 x 1.6 m = 31.36 J.

19

PROBLEMAS DE ENERGÍA POTENCIAL.

1.- Un cuerpo de 4 kg se encuentra a una altura de 5 metros. ¿Cuál es su energía potencial gravitacional?.


m = 4 kg Ep = mgh Ep = 4 kg x 9.8 m/seg2 x 5 mh = 5 metros Ep = 196 JoulesEp =?

2.- Calcular la altura a la que debe estar una persona, cuya masa es de 60 kg, para que su energía potencial gravitacional sea de 5000 Joules.

Datos Fórmula Sustituciónh= h = Ep h= 5000 N.mm = 60 kg mg 60 kg x 9.8 m/seg2.Ep 5000 J h = 8.5 metros.= 5000 N.mg = 9.8 m/seg2.

3.- Calcular la masa de una piedra que tiene una energía potencial gravitacional de 49 Joules si se eleva a una altura de 2 metros.


m = m = Ep m = 49 N.m______ =Ep = 49 J gh 9.8 m/seg2.x 2 m= 49 N.m m = 2.5 kgh= 2 m

4.-Un carburador de 250 gramos se mantiene a 200 mm sobre un banco de trabajo que está a 1 metro del suelo. Calcule la energía potencial con (a) respecto a la parte superior del banco (b) el piso.


m = 0.250 kg EP= mgh a) Ep = 0.250 kg x 9.8 m/seg2 x 0.200 m.

h1 = 0.200 m a) Ep = 0.49 Joules.h2 = 1.2 m b) Ep = 0.250 kg x 9.8 m/seg2 x

1.2 m.g = 9.8 m/seg2. b) Ep = 2.94

Joules.a) Ep = banco= ?b) Ep = piso = ?

20

5.- Una unidad comercial de aire acondicionado de 800 libras de peso es elevada por medio de un montacargas a 22 pies del piso. ¿Cuál es la energía potencial con respecto del piso?.

Datos Fórmulas Sustitución.

P = 800 lb Ep = Ph Ep = 800 lb x 22 ft = h = 22 ftEp = ¿ Ep = 17600 lb.ft.

e. Evaluación del Tema 3.4. Fuerzas conservativas y no conservativas.

1. Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso. Calcule la energía potencial del bloque en relación al piso.

A. 22.3 joulesB. 18.4 joulesC. 15.7 joulesD. 25.6 joulesE. 12.3 joules

2.- Es la energía que posee un cuerpo debido a su posición

A. Energía eléctrica B. Energía potencialC. Energía eólicaD. Energía químicaE. Energía potencial

3.- Es el parámetro indispensable para hacer cálculos de la energía potencial.

A. pesoB. velocidadC: masaD. gravedadE. fuerza

4.- En un problema de energía potencial, la misma es directamente proporcional a estos dos parámetros.

A. aceleración y velocidadB. peso y fuerzaC. masa y alturaD. aceleración angular y velocidad angularE. masa y velocidad.

21

5.- La energía potencial, con respecto al peso de un cuerpo tiene la siguiente relación.

A. Es igual a la raíz cuadrada del peso.B. Es inversamente proporcionalC. Es igual al doble del pesoD. Es igual a la mitad del pesoE. Es directamente proporcional.

f. Bibliografía específica del tema 3.4. Fuerzas conservativas y no conservativas. Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.

d. Desarrollo del tema 3.5. Teorema de la conservación de la energía mecánica.

SUBTEMAS 3.5.1. Y 3.5.2. DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA, Y APLICACIONES DEL TEOREMA.

Con mucha frecuencia, a velocidades relativamente bajas tiene lugar un intercambio entre las energías potencial y cinética. Por ejemplo, supongamos que se levanta una masa m hasta una altura h y, luego se deja caer, como se muestra en la figura siguiente:

Una fuerza externa ha incrementado la energía del sistema, dándole una energía potencial, Ep = mgh en el punto más alto. Esta es la energía total disponible para el sistema y no puede modificarse, a menos que se enfrente a una fuerza de resistencia externa. A medida que la masa cae, su energía potencial disminuye debido a que se reduce la altura sobre el piso. La disminución de energía potencial reaparece en forma de energía cinética a causa del movimiento. En ausencia de la resistencia del aire, la energía total

Máxima= Ep = mgh Ec = 0h

Y

Ep + Ec = mgY. + ½ mv2.= mgh= ½ mv2f.

Ep = 0, final Ec = ½ mv2f.

Vf

O

V

22

permanece igual (Ep + Ec). La energía potencial sigue transformándose en energía cinética hasta que la masa llegue al piso (h = 0). En esta posición final, la energía cinética es igual a la energía total, y la energía potencial es cero. Es importante señalar que la suma de Ep y Ec es la misma en cualquier punto durante la caída.Energía total = Ep + Ec = constante.

Se dice que la energía mecánica se conserva. En nuestro ejemplo, la energía total en el punto más alto es mgh y la energía total a ras de suelo es ½ mv2, si se desprecia la resistencia del aire. Ahora podemos enunciar el principio de la conservación de la energía mecánica:Conservación de la energía mecánica: En ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potencial y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema.

Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en el inicio y el final del proceso de que se trate. En cualquiera de esos puntos, si la velocidad no es igual a cero, existe una energía cinética, y si la altura no es cero hay una energía potencial. Así pues, podemos escribir:(Ep + Ec)inicial = (Ep + Ec) Final. (1)mgho + ½ mv2

o. = mghf + ½ mv2f. (2)Los subíndices o y f indican los valores iniciales y finales, respectivamente. La ecuación (2), por supuesto, se aplica cuando no participan fuerzas de fricción.

En el ejemplo donde se plantea el caso de un objeto que cae a partir del reposo desde una posición inicial ho, la energía total inicial es igual a mgho (Vo = 0) y la energía total final es 1/2mv2f (h=0).

mgho = 1/2mv2f. (3)

Resolviendo esta ecuación para vf obtenemos una ecuación útil para determinar la velocidad final, a partir de las consideraciones generales sobre la energía de un cuerpo que cae desde el reposo sin que lo afecte la fricción.vf = √2gho. (4).

Una gran ventaja de este método es que la velocidad final se determina a partir de los estados de energía inicial y final. La trayectoria real no tiene importancia cuando no hay fricción. por ejemplo, se obtiene la misma velocidad final si el objeto sigue una trayectoria curva partiendo de la misma altura inicial ho.

23

PROBLEMAS DE LA CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECANICA.

1.- Una masa de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1.6 metros por arriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, a) ¿Cuál será su velocidad cuando regrese a su punto más bajo?. ¿Cuáles son sus energías potencial y cinética?

Solución: a) La conservación de la energía total requiere que (Ep + Ec) sea la misma al principio y al final. Por lo tanto:

mgho + 0 = 0 + 1/2mv2f. De donde se puede eliminar las masas y obtener: _____ __________________vf = √2gho. = √2 (9.8 m/seg2) x 1.6 m = 5.60 m/seg.

Ep = mgh = 40 kg x 9.8 m/seg2.x 1.6 m = 627 Joules.

Ec = ½ mv2. Ec = 0.5 x 40 kg x (5.60 m/seg)2.= 627 Joules.

2.- Si se arroja una pelota de 0.200 kg verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 27.77 m/seg, ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? Despréciese la fuerza de rozamiento.?

Ec = Ep = 1/2mv2 = mgh. despejando h tenemos:h = 1/2mv2./mg = 0.5 x 0.200 kg x (27.77

m/seg)2/0.200 kg x 9.8 m/seg2. = 39.34 metros.

3.-Se deja caer una piedra de 500 gr, desde la azotea de una casa de 6 metros de altura. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre?. No considere la fuerza de rozamiento. ____ ________________vf = √2gho. = √2 x 9.8 m/seg2 x 6 m = 10.84 m/seg

4.- ¿A qué altura se encontrará una piedra de 500 gr que se deja caer, si su energía potencial es de 29.4 Joules y la velocidad con que llega al suelo es de 5.42 m/seg?

Solución: Cuando se suelta la piedra, su energía cinética es cero y la Energía potencial 29.4 joules, así que la energía mecánica total es:

ET = Ec + Ep . ET = 0 + 29.4 J = 29.4 Joules.Ahora calculamos la energía cinética cuando la piedra lleva una velocidad de 5.42 m/seg :Ec = ½ mv2. = 0.5 x 0.5 kg x (5.42 m/seg)2. = 7.34 Joules.Como se conserva la energía mecánica total, la energía potencial en ese punto es:Ep = ET- Ec = 29.4 J – 7.34 J = 22.06 J

Despejando h de la fórmula de Ep:

Ep = mgh. h = Ep/mg = 22.06 N.m/0.5 kg x 9.8 m/seg2. =

24

22.06 N.m/4.9 N = 4.50 metros.

5.- Una bala de plomo de 10 gramos choca contra un bloque de madera, firmemente sujeto a la pared, con una velocidad de 500 m/seg, penetrando en el bloque a una distancia de 15 cm. ¿Qué cantidad de calor se produce debido a la fuerza de rozamiento que detiene a la bala? ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento?

Solución: La energía cinética de la bala, antes del choque, se convierte en calor debido al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Por lo tanto calcularemos primero la energía cinética:

Ec = ½ mv2. = 0.5 x 0.010 kg x (500 m/seg)2. = 1250 Joules.

El calor es igual a la energía cinética; esto es, 1250 Joules que convertidos a calor nos dan 298.61 calorías mediante la conversión con el equivalente mecánico del calor.

1 cal = 4.186 Joules. 1250 Joules (1 cal/4.186 Joules) = 298.61 cal.

La fuerza de rozamiento la obtenemos de la fórmula del trabajo:

T = Fd. despejando F = T/d. F = 1250 N.m/0.15 m = 8333.33 N.

e. Evaluación del tema 3.5. Teorema de Conservación de la energía mecánica.

1.- El enunciado “La energía total de un sistema se conserva cuando no hay fuerzas de rozamiento”. Corresponde a: A. Conservación de la potencia mecánica B. Conservación de la energía cinética totalC. Conservación de la energía potencial totalD. Conservación de la energía mecánica totalE. Conservación del trabajo total.

2.- El enunciado “En ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potencial y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema.”

A. Conservación de la energía cinética totalB. Conservación de la energía potencial totalC. Conservación de la energía mecánica totalD. Conservación de la potencia totalE. Conservación del trabajo total

3.- De acuerdo a la teoría de la conservación de la energía mecánica, esta es:

25

A. VariableB. ConstanteC. Es igual a la unidadD. Es igual al 100%E. Es igual al 50%.

4.- De acuerdo a la teoría de la conservación de la energía mecánica, un cuerpo antes de ser soltado a una cierta altura con relación al suelo, su energía potencial con respecto a la energía total es de:

A. 90 %B. 50%C. 0%D. 1 %E. 100%

5.- De acuerdo a la teoría de la conservación de la energía mecánica, cuando se suelta un cuerpo desde una cierta altura y este llega al suelo, este tendrá una energía potencial igual al:

A. 25%B. 100%C. 50%D. 0%E. 90%

f. Bibliografía específica del tema 3.5. Teorema de conservación de la energía mecánica. Física, conceptos y aplicaciones. Paul E. Tippens. Ed. McGraw-Hill. Sexta Edición 2001.

d. Desarrollo del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.

TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICAS

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, es decir se repite a intervalos iguales de tiempo. Puede ser descrito en función del movimiento circular uniforme, considerándolo como la proyección sobre cualquier diámetro de un punto que se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante como se ve en la figura siguiente.

26

Al observar el movimiento armónico que describe el punto A de la figura anterior al moverse de un lado a otro de la línea recta formada por P y Q, podemos apreciar que su velocidad cambia en forma constante: cuando está en el punto central O su velocidad es la máxima, mientras en P y Q la velocidad es momentáneamente nula; después aumenta poco a poco hasta llegar a O donde es máxima para de nuevo disminuir hasta llegar a cero en el otro extremo de la trayectoria.

Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una aceleración. Dicha aceleración siempre se dirige a la posición central de equilibrio y su valor varía de la siguiente forma: cuando se inicia el movimiento en cualquiera de los extremos P o Q hacia el centro o punto O, en los extremos se tiene la mayor aceleración, la cual disminuye a medida que se acerca al centro donde se hace nula; después de pasar el punto central, nuevamente aumenta la aceleración hasta llegar a su valor máximo, cuando llega al otro extremo, en el que la velocidad de hace nula. Por lo tanto en la posición de equilibrio la aceleración es nula y la velocidad tendrá su valor máximo, y en los extremos la aceleración tendrá su valor máximo y la velocidad nula.

En el movimiento armónico simple resultan útiles los siguientes conceptos:

Elongación.- Es la distancia de una partícula a su punto de equilibrio. Puede ser positiva o negativa, según esté hacia la derecha o a la izquierda de la posición de equilibrio.

Amplitud. Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio de la circunferencia.

Para calcular la elongación de una partícula oscilatoria en cualquier instante de tiempo t se usa la expresión: Y = r cos 2 π F t. obtenida mediante la siguiente deducción:

Al representar a la elongación con la letra Y y al considerar que la elongación de una partícula oscilatoria es igual a la proyección sobre el diámetro horizontal del radio r descrita por el móvil de la figura siguiente se tiene que el valor de Y equivale al cateto adyacente, por lo cual su valor es:Y = r cos θ. (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), sustituyendo 2 y 3 en 1:

P QAO

r

VL

a

27

Y = r cos 2 π F t.

Donde: Y = elongación de la partícula en metros. r = radio de la circunferencia en metros. F = frecuencia en ciclos/seg t = tiempo en segundos (seg)

Velocidad de oscilación.- Es el resultado de proyectar la velocidad lineal del movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de la circunferencia como se ve en la figura siguiente, de modo que la expresión matemática de la velocidad de oscilación será:v = - vL sen θ (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), vL = ω r (4), sustituyendo 2, 3 y 4 en 1 queda:v = - 2 π F r sen 2 π F t.donde v = velocidad de oscilación en m/seg.

F = frecuencia en ciclos/seg.r = radio de la circunferencia en metros (m)t = tiempo en segundos (seg).

VL

Y

rθ

A

C

D B

VL

VL

VL

VL

v

θ

θ

28

Como se observa en la figura anterior, cuando la velocidad lineal es paralela al diámetro (puntos A y C), la velocidad de oscilación del cuerpo será mayor y tendrá un valor igual a la velocidad lineal. Cuando la velocidad lineal es perpendicular al diámetro (puntos B y D) su proyección sobre el diámetro es nula, por lo tanto su valor es cero.

Aceleración de una partícula oscilante.- En el MAS, la aceleración de una partícula oscilante tiene un valor igual a la proyección sobre el diámetro de la aceleración radial ar, del movimiento circular uniforme de un cuerpo como se ve en la figura siguiente, por lo que la expresión matemática de la aceleración de una partícula oscilante será:

a = - ar cos θ.como ar = ω2 r.ω = 2 π Fθ = ω tθ = 2 π F t.tendremos que :a = - 4 π2 F2 r cos 2 π F t.puesto Y = r cos 2 π F t., la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante también se puede expresar como:a = - 4 π2 F2 Y.donde a = aceleración en m/seg2.

F = frecuencia en ciclos/seg.Y = elongación en metros (m).El signo de la aceleración de una partícula oscilante es negativa, por que

su sentido es siempre contrario al sentido del movimiento.Si observamos la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante,

tenemos que ésta es directamente proporcional a la elongación, pero de sentido contrario. De la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante puede despejarse la frecuencia quedando de la siguiente manera: ___________ ____F = √ - a/4 π 2Y = 1 / 2 π √ - a/Y

a

ar

θ

θ

VL

29

GRAFICAS SINUSOIDALES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

En el movimiento armónico simple (MAS) la elongación, la velocidad y la aceleración se expresan en funciones trigonométricas sencillas de un ángulo. Se le denomina simple para distinguirlo de un movimiento amortiguado. Una curva senoide es la gráfica del seno de un ángulo trazada en función del ángulo. Toda onda de esta forma recibe el nombre de senoide o sinusoide. Para trazar las gráficas sinusoidales del MAS, recordemos lo siguiente :1.- La Elongación Y es la distancia que separa al móvil del centro o posición de equilibrio. Es positiva si está a la derecha de su posición de equilibrio y negativa si está a la izquierda. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión:Y = r cos ω t .

Nota: La amplitud es la máxima elongación, cuyo valor es igual al radio r de la circunferencia.2.- La velocidad de oscilación v, es el resultado de proyectar la velocidad lineal vL del movimiento circular de un cuerpo, sobre el diámetro de la circunferencia. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión:v = - vL sen θ. como VL = ω r y θ = ω t por lo tanto:v = - ω r sen ω t.

La velocidad de oscilación será positiva si el móvil va a la derecha y negativa si va a la izquierda.3.- La aceleración de una partícula oscilante a, tiene un valor igual a la proyección sobre el diámetro de la aceleración radial ar del movimiento circular uniforme de un móvil. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión: a = - ar cos θ.como ar = ω2 r y θ = ω t, por lo tanto:a = - ω2 r cos ω t.

Oscilador Armónico.

Otro ejemplo de movimiento armónico simple es el que presenta el resorte de la figura siguiente, el cual tiene suspendido un cuerpo en su extremo inferior:

30

Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene suspendido el resorte, éste se estira (inciso b de la figura) y al soltar el cuerpo la fuerza de restitución del resorte tratará de que recupere su posición de equilibrio, pero al pasar por ella y debido a la velocidad que lleva, por inercia sigue su movimiento comprimiendo el resorte (inciso c de la figura), por ello vuelve a actuar la fuerza de restitución ahora hacia abajo y nuevamente el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Sin embargo, por la inercia no se detiene y se estira nuevamente, así actúa otra vez la fuerza de restitución jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesiva estos movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se comporta como un oscilador armónico. Si no existieran fuerzas de fricción, el movimiento del cuerpo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio, continuaría indefinidamente.

Conforme aumenta la fuerza del tirón aplicado al cuerpo, la fuerza de restitución encargada de que el cuerpo recupere su posición de equilibrio, también aumenta en la misma proporción. Según la Ley de Hooke la fuerza de restitución que actúa para que un cuerpo recupere su posición de equilibrio es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de restitución es opuesta al desplazamiento su signo es negativo y la expresión matemática siguiente resume lo expuesto:

F = - kd.donde F = fuerza de restitución en Newtons (N)

k = constante del resorte cuyo valor depende del tipo de material elástico de que se trate y cuyas unidades son N/m.d = desplazamiento experimentado por el cuerpo elástico de que se trate en metros (m).

El periodo de un vibrador armónico simple, como es el caso del resorte de la figura anterior depende de su rigidez. Por lo tanto, a

(a) posición de equilibrio

(b) Fuerza debida al tirón.

(c) Fuerza de restitución.

31

mayor rigidez del resorte, menor es su periodo. Si un resorte es más rígido que otro realizará una fuerza de restitución mayor para un desplazamiento dado y su aceleración también será mayor. La rigidez del resorte se expresa mediante la constante del resorte k equivalente a la fuerza de restitución por unidad de desplazamiento.donde: k = F/d (1).Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 metros actúa una fuerza de restitución de 0.98 Newtons, y cuando se desplaza 0.2 metros actúa una fuerza de 1.9 Newtons, su constante del resorte será igual a:k = 0.98 N/0.1 m = 9.8 N/m ó bien k = 1.96 N/0.2 m = 9.8 N/m

De acuerdo con la Ley de Hooke: F = - kd, el signo (-) significa que el sentido de la fuerza de restitución es opuesto al del desplazamiento o elongación del resorte; y de la Segunda Ley de Newton tenemos: F = ma, siendo a, la aceleración del resorte en cualquier instante, de donde:F = ma = -kd (2). por consiguiente : a = - (k/m) d (3).

La ecuación 3 nos indica que la aceleración de un cuerpo vibrador con un movimiento armónico simple, es directamente proporcional a su desplazamiento o elongación en cualquier instante.

En forma experimental se ha encontrado que el periodo de un vibrador armónico simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la constante del resorte (k). Estos resultados experimentales se expresan matemáticamente con la siguiente ecuación, la cual nos permite calcular el periodo de vibración de un cuerpo con un MAS, y en el que se observa que su valor es independiente de la amplitud.

___________T = 2 π √ m/k (4)donde T = periodo en segundos (seg)

m = masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg).k = constante del resorte en N/m.

PENDULO SIMPLE.

Un péndulo simple está constituido por un cuerpo pesado suspendido en un punto sobre un eje horizontal por medio de un hilo de masa despreciable. Cuando se separa un péndulo de su posición de equilibrio y después se suelta, oscila a uno y otro lado del mismo efecto de su peso, como se ve en la figura siguiente:

32

El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de movimiento armónico simple (MAS) y su periodo puede ser calculado con la siguiente ecuación:

_______T = 2 π √ l/g

Donde: T = periodo del péndulo en segundos (seg). l = longitud del péndulo en metros (m) se mide desde el punto donde está suspendido hasta el centro de gravedad del cuerpo pesado que constituye al péndulo). g = aceleración de la gravedad igual a 9.8 m/seg2.

De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del péndulo:

1ª.- El periodo de las oscilaciones, por muy pequeñas que sean, no depende de la masa del péndulo ni de la amplitud del movimiento, sino de su longitud.2ª.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración debido a la acción de la gravedad.La ecuación empleada para calcular el periodo de un péndulo, se puede deducir a partir de la figura anterior. En ella representamos la longitud del péndulo con l, al peso con P, a la masa m, y al desplazamiento con d. Como P = mg y sus dos componentes rectangulares son F y F’, y si además consideramos pequeño al ángulo θ, por lo cual los triángulos abc, y cde, son prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:

F/mg = d/l (1)reordenando términos: F/d = mg/l = k (2).De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior sabemos que:

T = 2 π √ m/k (3).

a

θl

bd c

F F’

e

P = mg

33

Sustituyendo 2 en 3 tenemos:

______T = 2 π √ m/mg/l (4)

___Por lo tanto T = 2 π √ l/g

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.

1.- Un cuerpo describe un movimiento armónico simple con un radio de 0.1 m. Si su periodo es de 3 segundos. Calcular a) Su elongación a los 6 segundos. b) su velocidad a los 6 segundos. c) Su velocidad máxima.

Datos Fórmulas

r = 0.1 m F = 1/TT = 3 seg a) Y = r cos 2 π F ta) Y 6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V max = ¿

Sustitución y resultados:

F = 1/3 seg = 0.33 ciclos/seg.a) Y = 0.1 m cos 2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 6 seg Y = 0.1 m cos 12.43 radianes.

12.43 rad x 57.3°/1 rad = 712.24°.cos 712.24° = cos (720°- 712.24°) = cos 7.76° = 0.9909Y = 0.1 m x 0.9909 = 0.099 m.

b) v = -2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 0.1 m x sen 712.24°sen 712.24° = - sen (720° - 712.24°) = - sen 7.76° = - 0.1349v = - 0.21 m/seg x -0.1349 = 0.028 m/seg.c) La velocidad maxima se tiene cuando el cuerpo está pasando por un punto

de equilibrio y la elongación es cero. Situación que se presenta cuando el ángulo es de 90° o bien de 270°.

v max = -2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 0.1 m x (+-1) = +- 0.21 m/seg ( la velocidad máxima es positiva si elegimos el ángulo de 270°.

2.- Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su aceleración máxima.

Datos Fórmulas

r = 0.15 m F = 1/TT = 4 seg a) Y = r cos 2 π F t

34

a) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V max = ¿ d) a max = - 4 π 2F2 Ymaxd) a max= ¿

Sustitución y resultados:

F = ¼ seg = 0.25 ciclos/seg.a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 3.6 seg = 0.15 m x 5.65 radianes.5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°.cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073Y 3.6 seg = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.

b) V 3.6 seg = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 0.15 m x sen 323.86°sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901.V 3.6 seg = -0.236 m/seg x – 0.5901 = 0.14 m/seg.

c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/seg.

d) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/seg)2 (0.15 m) = - 0.37 m/seg2.

3.- Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm,

Datos Fórmulas Sustitución ___

l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/9.8 m/seg2

T = 1.27 seg.

F = 1/T F = 1/1.27 seg = 0.79 ciclos/seg.g = 9.8 m/seg2.

T = ¿

F = ¿

e. Evaluación del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.

1.- Se define como un movimiento periódico, es decir, se repite a intervalos iguales de tiempo.

A. Movimiento circular uniforme B. Movimiento armónico simpleC. Movimiento rotacionalD. Movimiento tangencial

35

E. Movimiento lineal

2.- Se define como la distancia de una partícula a su punto de equilibrio

A. Aceleración de la partícula oscilanteB. AmplitudC. Velocidad de oscilaciónD. ElongaciónE. Longitud de onda de la partícula oscilante

3.- Se define como la máxima elongación cuyo valor es igual al radio de la circunferencia.

A. Velocidad de oscilaciónB. Aceleración de la partícula oscilanteC. Longitud de onda de la partícula oscilanteD. Elongación E. Amplitud

4.- Se define como el resultado de proyectar la velocidad lineal del movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de la circunferencia.

A. Velocidad de oscilaciónB. AmplitudC. ElongaciónD. Longitud de onda de la partícula oscilanteE. Aceleración de la partícula oscilante

5.- Este parámetro tiene un valor igual a la proyección sobre el diámetro de la aceleración radial, del movimiento circular uniforme de un cuerpo

A. Velocidad de oscilaciónB. Elongación C. Aceleración de la partícula oscilanteD. AmplitudE. Longitud de onda de la partícula oscilante.

f. Bibliografía específica del tema 3.6. Oscilaciones armónicas. Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.

36

7. Evaluación de la Unidad Temática III. Trabajo, energía y conservación de la energía.

a.- Trabajo Documental. Los equipos 1 y 2 investigarán en libros y sitios de internet, el concepto de trabajo mecánico y resolverán 10 problemas de trabajo mecánico

Los equipos 3 y 4 investigarán en libros y en sitios de internet, el concepto de energía, tipos de energía, el concepto de energía cinética y resolverán 10 problemas de energía cinética, hallando la misma, así como la masa y la velocidad del objeto.

Los equipos 5 y 6 investigarán en libros y en sitios de internet, el concepto de potencia mecánica, sus unidades, ecuaciones y resolverán 10 problemas de potencia mecánica, en la cual se hallen la potencia, trabajo mecánico, velocidad en que se realice el trabajo y el tiempo en que se realiza el trabajo.

Los equipos 7 y 8, investigarán en libros y en sitios de internet, el concepto de energía potencial, sus ecuaciones, y resolverán 10 problemas de energía potencial, calculando la misma, la masa del objeto, el peso del mismo y la altura a la cual se encuentra.

Los equipos 9 y 10, investigarán en libros y en sitios de internet, el teorema de conservación de la energía mecánica, su ecuación principal y resolverán 10 problemas de aplicación del teorema, hallando energía cinética, energía potencial, la velocidad final con que llega un cuerpo al suelo, la altura desde la cual se encuentra un cuerpo.

Los equipos 11, 12 y 13, investigarán en libros y en sitios de internet, las oscilaciones armónicas, sus características y resolverán 10 problemas de aplicación.

b. Reactivos de evaluación de la Unidad Temática III Trabajo, energía cinética y conservación de la energía.

1.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 Newtons que forma un ángulo de 25°, respecto a la horizontal, al desplazar 2 metros a un cuerpo hacia el este . ¿Cuál es el trabajo si la fuerza es paralela al desplazamiento?

A. T1= 400 J, T2= 362.525 JB. T1= 84.52 J, T2=51.76 JC. T1= 51.76 J, T2= 84.525 J D. T1= 362.2 J, T2= 400 JE. T1= 93.26 J, T2= 87.70 J

2. Una persona levanta un bulto de cemento de 490 Newtons desde el suelo hasta colocarlo sobre su hombro a una altura de 1.45 metros

A. 1030.22 J

37

B. 32.09 JC. 675.86 JD. 378.3 JE. 710.5 J

3. Una persona aplica una fuerza de 20 Newtons a una caja para deslizarlo hacia el este, formando un ángulo de 37° con la horizontal y la desplaza 80 cm, ¿Qué trabajo realiza la persona?

A. 160 NewtonsB. 12.77 NewtonsC. 16.33 NewtonsD. 43.44 NewtonsE. 67.77 Newtons

4.- ¿Qué trabajo realiza una grúa al levantar, con velocidad constante, un contenedor de 20000 Newtons a una altura de 15 metros?


5. Una persona ejerce una fuerza de 50 Newtons, para detener un carrito de supermercado, logrando detenerlo a una distancia de 5 metros. ¿Qué trabajo realiza?

A. -125 JoulesB. -75 JoulesC. -225 JoulesD. -250 JoulesE. -150 Joules

6.- Una bala disparada por un revólver tiene este tipo de energía.

A. PotencialB. CaloríficaC. CinéticaD. MecánicaE. Eléctrica.

7.- ¿Con qué velocidad llega una pelota de 100 gramos al guante de un jugador , si lleva una energía cinética de 31.25 Joules?

A. 12.25 m/seg

38

B. 44 m/segC. 33.24 m/segD. 25 m/segE. 18.44 m/seg.

8.- Si la potencia del motor de una bomba es de 746 watts, ¿A qué velocidad constante puede elevar 200 litros de agua? (La masa de un litro de agua es de 1 kg)

A. 0.50 m/segB. 2.22 m/segC. 1.5 m/segD. 0.80 m/segE. 0.38 m/seg

9.- Una carga de 40 kg se eleva hasta una altura de 25 metros. Si la operación requiere de un minuto, encuentre la potencia en watts y en caballos de fuerza (H.P.).. A. 550 watts, 0.345 H.P. B. 250 watts, 0.850 H.P.C. 400 watts, 0.450 H.P.D. 163 watts, 0.219 H.PE. 200 watts, 0.570 H.P.

10.- Un cuerpo que se encuentra enganchado a un resorte, se estira 4 cm hacia abajo y al soltarlo vibra con un movimiento armónico simple. Si su frecuencia es de 0.3 ciclos/seg. Calcular a) Su elongación a los 2 segundos, b) Su velocidad a los 2 segundos c) su velocidad máxima.

A. Y= -2.35 cm, 6.1 cm/seg + o – 7.53 cm/segB. Y= -4.44 cm, 8.2 cm/seg, + o -8.34 cm/segC. Y= -6.55 cm, 4.3 cm/seg, + o -4.5 cm/segD. Y=- 3.55 cm, 2.34 cm/seg, + o – 3.37 cm/segE. Y= -1.22 cm, 4.66 cm/seg, + o - -2.22 cm/seg

39

trabajo energia y potencia

Documents