trabajo en grupo #2 de analisis

7/23/2019 Trabajo en Grupo #2 de Analisis

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UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABITRABAJO GRUPAL DE ANALISIS

NOMBRES:

Vera Ponce Cristopher Enrique

Garca Romero Eduardo Paul

CARRERA:

Ingeniera Elctrica

CURSO:

2 Semestre A

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

An!lisis "umrico

DOCENTE:

Ing# $arcos Ponce %ara

FECHA DE ENTREGA:

&unes '( de agosto del 2)'*

ABRIL-AGOSTO 2015

INDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCION.........................................................3


2/22

EPLICACION DE LOS EJERCICIOS!

I. M"#$%$ A&'()#*+$!

a+ E,plique el concepto de modelo matem!tico con sus propias pala-ras . e,plique un

e/emplo di0erente del presentado en clase11111111111#-+ 3emuestre de donde sale la ecuaci4n 5'61111111111######*7(c+ 3etermine el 8alor de la 8elocidad para )9 29 9 :9 ;9 ') . '2 d+ 3etermine la 8elocidad en rgimen permanente del paracaidista creando un programa

para calcular la 8elocidad en cada instante# ?-tenga la gr!0ica de 8elocidades

respecto del tiempo11111111111111111111111###>7'@

II. M"#$%$ N,"*+$.13

a+ E,plique el concepto de mtodo numrico con sus propias pala-ras1#'@-+ E,plique de donde sale la ecuaci4n 526111111111111##'@7'c+ E,plique qu es lo trataremos de hacer calculando el pro-lema mediante un mtodo

numrico111111111111111111111111#'d+ 3etermine el 8alor de la 8elocidad para )9 29 9 :9 ;9 ') . '2


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en di0erentes lapsos de tiempo de un paracaidista que parte desde un reposo# Primeramente

de0iniremos lo que es un modelo matem!tico#

n modelo matem!tico parte de un pro-lema del mundo real por un proceso de

a-stracci4n9 apro,imaci4n e idealiDaci4n para llegar a un modelo real# Se le denomina

$%($porque es una imitaci4n del pro-lema 8erdadero9 '(porque conser8a

-astante parecido con la realidad# 3espus del $%($ '(pasamos al $%($

'##*+$#

Para desarrollar el modelo se de-en seguir dos cosas

En primer lugar ha. que decidir que 8aria-les son signi0icati8as . cuales no lo son# na

8eD decididas las 8aria-les importantes se de-en distinguir las 8aria-les dependientes .

las 8aria-les independientes# Adem!s9 puede ha-er un tercer tipo de 8aria-les llamadas

par!metros# En segundo lugar9 se de-en especi0icar las relaciones


4/22

I. M"#$%$ A&'()#*+$:

U& 8''+'*%*;#' +$& ,&' ';' % ? ;'(#' % ,& ?($@$ '$;##*+$ *$. A8(*, ('

+,'+*& '&'()#*+' 8'' +'(+,(' (' ($+*%'% ' % , ; '@' ( 8''+')%';.

C$&;*% , ( +$*+* % ;*;#&+*' ; *?,'( ' 12.5 >?;?.

S 8*%:

' E98(*, ( +$&+8#$ % $%($ '##*+$ +$& ;,; 8$8*'; 8'('@'; 98(*,

,& 8($ %* %( 8;'%$ & +(';.

n modelo matem!tico es una descripci4n matem!tica a-stracta . simpli0icada relacionada

con una parte de la realidad . creada para un prop4sito particularF pero no es una

representaci4n totalmente precisa de una situaci4n 0sica9 es una idealiDaci4n# Adem!s el

prop4sito de un modelo matem!tico es entender un 0en4meno . posi-lemente hacer

predicciones con respecto al comportamiento 0uturo# As9 por e/emplo9 un gr!0ico9 una

0unci4n o una ecuaci4n pueden ser modelos matem!ticos de una situaci4n espec0ica#

E8($ % '(?,&'; ;*#,'+*$&; %$&% ; '8(*,& ($; $%($; '##*+$;:

U& ;#,%*' '$' 8'' +$8' ,&' $#$+*+(#'. L' 8*' ;'&' ?,'%'

50.004 (' ;?,&%' ;'&'


5/22

&a respuesta de lo que ahorr4 en ) semanas es H > ;))#))#

Si dudas de la respuesta puedes compro-arla sumando H*)#))9 H:)#))9 H()#))9

H;)#)) ### hasta completar las ) semanas#

@ D,;# % %$&% ;'( (' +,'+*& 1.

v(t)=gm

c(1e(

c

m )t) [1 ]

&a ecuaci4n 5'6 se origina de la segunda le. del mo8imiento de "eJton9 en donde la

0uerDa est! de0inida por la masa . la aceleraci4n

M$%($ M'##*+$En este caso usaremos este modelo matem!tico porque tomamos como e/emplo el

pro-lema del paracaidista

F=m a

Es decir que la aceleraci4n sera igual a la deri8ada de la 8elocidad con respecto al tiempo

a=

dv

dt

K reemplaDando en la 04rmula original quedara de la siguiente manera

a=dv

dt=

F

m

Siendo la 0uerDa resultante L la suma de la 0uerDa Ld m!s la 0uerDa Lu

F=FD+Fu

En donde la 0uerDa Lu es la que se opone al desplaDamiento del paracaidista . la 0uerDa Ld

es la que esta 0a8orecida por la masa . por la gra8edad

FD=mg;Fu=cv

3espus se procede a reemplaDar . reordenar9 con lo cual se o-tiene una ecuaci4n analtica

o ecuaci4n di0erencial ordinaria


6/22

dv

dt=

F

m=

m gc vm

=gc

mv (t)

Ahora procedemos a resol8er . reemplaDar de manera analtica los 8alores de esta =ltima

ecuaci4n9 para as hallar una e,presi4n que nos permita calcular la 8elocidad del

paracaidista en distintos lapsos de tiempo

dv

dt=g

c

mv

dv

dt=gkv

k=c

m

dv= (gkv)dt

dvgkv

=dt

dt=t+c 1

dvgkv

=dv

k

u

1

= dvu k

=1

k dv

u=

1k ln (u )+c2=

1

k ln ( gkv )+c2

u=gk v

dv=kdv

dv=dv

k

1k ln ( gkv )+c 2=t+c1

P!gina :


7/22

1k ln ( gkv )= t+c 1c 2

c=c1c2

ln ( gkv )=ktkc

eln (gkv)=ektekc

gkv=ekt ekc

g=ekc

gkv=ekt ekc

t=0 ;v=0 inicial

gkv=g ekt

kv=gg ekt

v ( t)=g m

c (1ekt)

v ( t)= g mc

(1e(c

m)t)

+ D#*& ( '($ % (' ($+*%'% 8'' 04 24 !4


8/22

m=68.1 kg

c=12.5 kg /seg

g=9.8m/ seg2

t=0,2,4,6,8,10,12seg

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los ) segundos de

ha-er a-ierto el paracadas

v (0 )=(9.8

m

seg

2

)(68.1kg )

12.5kg /seg (1e

(12.5 kg/ seg

68.1 kg ) 0seg

)=0m /seg

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los 2 segundos de


v(2 )=(9.8

m

seg

2

)(68.1 kg)

12.5 kg/ seg (1e

(12.5kg / seg

68.1kg

) 2 seg

)=16.40m/seg

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los segundos de


v (4 )=(9.8

m

seg

2

)(68.1kg)

12.5 kg/ seg (1e

(12.5 kg/ seg

68.1 kg )4seg

)=27.77m /seg

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los : segundos de


v(6 )=(9.8

m

seg

2

)(68.1 kg )

12.5 kg /seg (1e

(12.5kg/seg

68.1kg

) 6 seg

)=35.64m /seg

P!gina ;


9/22

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los ; segundos de


v (8 )=(9.8 mseg2 )(68.1kg )

12.5kg /seg(1e(

12.5 kg/ seg68.1 kg ) 8seg)=41.10m /seg

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los ') segundos de


v (10)=(9.8 mseg2 ) (68.1 kg)

12.5kg /seg(1e(

12.5kg/ seg68.1 kg )10seg)=44.87m /seg

C!lculo mediante el mtodo analtico de la 8elocidad del paracaidista a los '2 segundos de


v(12)=(9.8 mseg2 ) (68.1 kg)

12.5 kg/ seg(1e(

12.5kg / seg68.1kg )12 seg)=47.49m /seg

K si representamos estos resultados en una ta-la quedara de la siguiente manera

T*8$ & ;?,&%$; V($+*%'% & ;?) )#))2 ':#)

2(#((

: @*#:

; '#')

') #;(

'2 (#>

P!gina >


10/22

% D#*& (' ($+*%'% & "?*& 8'& %( 8''+'*%*;#' +'&%$ ,&

8$?'' 8'' +'(+,(' (' ($+*%'% & +'%' *&;#'. O@#&?' (' ?*+' %

($+*%'%; ;8+#$ %( #*8$.

R;$(,+*& %( +*+*$:

En este programa realiDaremos el c!lculo de las 8elocidades mediante la 04rmula del

mtodo analtico . el mtodo numrico de Euler aplicando dos -ucles 0or9 uno para cada

mtodo9 . 8ectores para guardar los 8alores de las 8elocidades en un espacio de memoria9

as como tam-in del uso de los comandos de gra0ica como plot9 hold on . grid on# En la

gr!0ica apreciaremos cual es la di0erencia entre el mtodo analtico . numrico9 . las

8ariaciones que e,isten entre las 8elocidades de am-os mtodos#

C%*?$ & M'#('@ E98(*+'+*& 8';$ ' 8';$m:;#' F

c'2#*F

g>#;F

e2#(';2;';2;*>)*2@*@:)2;(('@*2(

F

V'*'@(; G($@'(; 8'' ($; "#$%$;A&'()#*+$ N,"*+$

En esta parte declaramos las 8aria-les

constantes que usaremos en los mtodos

analtico . numrico para el c!lculo de las

apro,imaciones#

t)F

r)F

disp


11/22

rr'F

8'


12/22

Nam-in usamos el comando hold on para

que la gr!0ica anterior no desapareDca .

que la siguiente gra0ica se ane,e a la

anterior#

grid on

title


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D;'$(($ & M'#('@:

P!gina '@


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II. M"#$%$ N,"*+$:

' E98(*, ( +$&+8#$ % "#$%$ &,"*+$ +$& ;,; 8$8*'; 8'('@';.

n mtodo numrico es un procedimiento mediante el cual se o-tiene9 casi siempre de

manera apro,imada9 la soluci4n de ciertos pro-lemas realiDando c!lculos puramente

aritmticos . l4gicos# n tal procedimiento consiste de una lista 0inita de instrucciones

precisas que especi0ican una secuencia de operaciones alge-raicas . l4gicas9 que producen

o -ien una apro,imaci4n de la soluci4n del pro-lema o -ien un mensa/e# En general9 al

emplear estos instrumentos de c!lculo se introducen errores llamados de redondeo#

@ E98(*, % %$&% ;'( (' +,'+*& 2.

dv

dt

v

t=

v (ti+1 )v (ti )ti+1ti

[2]

En la 0ormula 526 se aprecia que reemplaDamos la deri8ada por el cociente incremental con

lo cual tenemos una ecuaci4n que 8iene dada por la 8ariaci4n de la 8elocidad . tiempo

calculados so-re inter8alos 0initos# Es decir que e,iste una 8elocidad 8


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K si reemplaDamos los 8alores en la ecuaci4n encontrada en la resoluci4n analtica .

o-tenemos

dv

dt=g

c

mv

dv

dt

v

t=

v (ti+1 )v(ti )ti+1ti

v ( ti+1)v (ti )ti+1ti

=gc

mv

v(ti+1 )=v ( ti )+[gcmv(ti )] (

ti+1ti)

K como resultado nos dar! una ecuaci4n que se conoce como el mtodo de Euler9 la cual

consiste en ir incrementando paso a paso la 8aria-le independiente . hallando la siguiente

imagen con la deri8ada#

N,$ '($ 6 '($ '*$ 7 8&%* 9 #''$ % 8';$

+ E98(*, ," ; ($ #'#'$; % '+ +'(+,('&%$ ( 8$@(' %*' ,&

"#$%$ &,"*+$.

$ediante el mtodo numrico tratamos de encontrar la soluci4n de manera apro,imada al

pro-lema del paracaidista9 en este caso tratamos de apro,imar el resultado de las

8elocidades en distintos lapsos de tiempo a los resultados del mtodo analtico9 pero al

gra0icarlos se o-ser8a que e,iste un margen de error que depende del tamao de paso

ingresado en la 04rmula del mtodo de Euler# Por lo tanto en el mtodo numrico se trata

de encontrar un resultado apro,imado al del mtodo analtico9 aplicando c!lculos

aritmticos . l4gicos#

% D#*& ( '($ % (' ($+*%'% 8'' 04 24 !4


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v(ti+1 )=v ( ti )+[gcmv(ti )] (ti+1ti)

D'#$;:

m=68.1 kg

c=12.5 kg /seg

g=9.8m/ seg2

t=0,2,4,6,8,10,12se g

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los )

segundos de ha-er a-ierto el paracadas

v(0 )=0 m

seg+[9.8 m

seg2

12.5 kg

seg2

68.1 kg (0 mseg)] (0 seg )=0m /seg

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los 2


v (2 )=0 m

seg+[9.8 m

seg2

12.5 kg

seg2

68.1 kg (0 mseg )] (2seg )=19.60m / seg

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los


v(4 )=19.60 m

seg+[9.8 m

seg2

12.5 kg

seg2

68.1 kg (19.60 mseg)] (2 seg )=32.00m /seg

P!gina ':


17/22

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los :


v(6 )=32.00 mseg

+

[9.8 m

seg2

12.5 kg

seg2

68.1kg

(32.00 m

seg )] (2 seg )=39.85m /seg

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los ;


v(8 )=39.85 mseg

+

[9.8 m

seg2

12.5 kg

seg2

68.1 kg (39.85

mseg)]

(2 seg )=44.82m/ seg

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los ')


v (10)=44.82 m

seg+[9.8

m

seg2

12.5 kg

seg2

68.1kg (44.82 mseg )] (2 seg)=47.97m /seg

C!lculo mediante el mtodo numrico de Euler de la 8elocidad del paracaidista a los '2


v(12)=47.97 mseg

+[9.8 m

seg212.5

kg

seg2

68.1 kg (47.97 mseg)] (2 seg )=49.96m /seg

K si representamos estos resultados en una ta-la quedara de la siguiente manera

T*8$ & ;?,&%$; V($+*%'% & ;?) )#))

P!gina '(


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2 '>#:)

@2#))

: @>#;*

; #;2

') (#>(

'2 >#>:

D#*& (' ($+*%'% & "?*& 8'& %( 8''+'*%*;#' +'&%$ ,&

8$?'' 8'' +'(+,(' (' ($+*%'% & +'%' *&;#'. O@#&?' (' ?*+' %

($+*%'%; ;8+#$ %( #*8$.

R;$(,+*& %( +*+*$:

En este programa realiDaremos el c!lculo de las 8elocidades mediante la 04rmula delmtodo analtico . el mtodo numrico de Euler aplicando dos -ucles 0or9 uno para cada

mtodo9 . 8ectores para guardar los 8alores de las 8elocidades en un espacio de memoria9

as como tam-in del uso de los comandos de gra0ica como plot9 hold on . grid on# En la

gr!0ica apreciaremos cual es la di0erencia entre el mtodo analtico . numrico9 . las

8ariaciones que e,isten entre las 8elocidades de am-os mtodos#

C%*?$ & M'#('@ E98(*+'+*& 8';$ ' 8';$m:;#' F

c'2#*F

g>#;F

e2#(';2;';2;*>)*2@*@:)2;(('@*2(

F

V'*'@(; G($@'(; 8'' ($; "#$%$;A&'()#*+$ N,"*+$

En esta parte declaramos las 8aria-les

constantes que usaremos en los mtodos

analtico . numrico para el c!lculo de las

apro,imaciones#

t)F

r)F

disp


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3eclaramos un 8ector con espacios en

ceros9 para poder asignarles 8alores a los

espacios en -lanco mediante la 0unci4n

legth9 en este caso declaramos que este

8ector sea de una sola 0ila para realiDar el

c!lculo mediante el mtodo analtico#

0or i)',

rr'F

8'


20/22

end tamao de paso#

plot


21/22

P!gina 2'


22/22

C$8' (' ?*+' $@#&*%' & ;# '8'#'%$ +$& (' , $@#,*$; %*' (

M"#$%$ A&'()#*+$.

KC,(; ;$& ;,; %*&+*'; ;**(*#,%;

&as di0erencias en la gr!0ica de los dos mtodos es que los 8alores resultantes del mtodo

analtico son m!s e,actos que los del mtodo numrico9 por lo que la cur8a del mtodo

numrico tiene un margen de error no tan nota-le pero si es considera-le# &a cur8a del

mtodo numrico es di0erente a la del analtico porque sus resultados son apro,imaciones a

los 8alores del mtodo analtico#

KC$ +$&;?,*$; $@#& ,&' '8$9*'+*& ; 8+*;' %*' ( M"#$%$

N,"*+$

&a similitudes que e,isten en la gr!0ica de los dos mtodos es que am-os procesos arro/an

resultados apro,imados porque ning=n procedimiento matem!tico es el cien por ciento

e,acto siempre ha-r! un pequeo margen de error9 que puede a0ectar para 0uturos c!lculos

posteriores9 despus de todo estos modelos matem!ticos no son e,actos#

Para o-tener una apro,imaci4n m!s precisa del mtodo numrico podemos disminuir la

8ariaci4n del tiempo9 es decir9 reducir el tamao de paso ingresado . as o-tendremos un

8alor mucho m!s e,acto que antes9 . si lo gra0icamos o-ser8aremos que la gr!0ica se

aseme/a m!s a la del mtodo analtico#

CONCLUSIONES

Como conclusi4n el mtodo analtico se usa para calcular de manera e,acta un pro-lema

de la realidad mediante an!lisis matem!ticos . mediante c!lculos a8anDados como la

integraci4n# En cam-io el mtodo numrico es una apro,imaci4n de la soluci4n a un

pro-lema mediante c!lculos aritmticos tediosos# Estos dos mtodos se usan para la

resoluci4n de ecuaciones ordinarias

trabajo en grupo #2 de analisis

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