UNIVERSIDAD NACIONAL

SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

ESCUELA ACADMICO-PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

Asignatura : Mtodos numricos

Tema : Trabajo de investigacin.

Docente : Maximiliano Ass Lpez.

Alumnos :

Cotos Ramrez Yoser 112.0904.357

Montenegro Torres Carlos 112.0904.360

HUARAZ ANCASH PER

2014-II

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INDICE

Contenido: Pgina

CAPTULO I. GENERALIDADES....................................................5

1.1 Antecedentes..............................................................................................................6

1.2 Planteamiento del problema........................................................................................6

1.3 Objetivos......................................................................................................................6

1.4 Alcances y limitaciones................................................................................................6

1.5 Justificacin..................................................................................................................7

1.6 definicin de variables.................................................................................................7

CAPTULO II. MARCO TEORICO............................................8

2.1 bases tericas..................................................................9

2.2 teora especializada en el tema10

CAPTULO III. METODO.........................17

3.1 tipo..18

3.2 diseo de investigacin...18

3.3 estrategia de prueba de hiptesis18

3.4 variables.18

3.5 poblacin18

3.6 muestra...18

3.7 tcnicas de investigacin...18

CAPTULO IV. PRESENTACION DE RESULTADOS..............................................19

CAPTULO V. DISCUCION..........................................................................................27

5.2 conclusiones.28

5.3 recomendaciones..28

5.4 referencias bibliogrficas.28

3

RESUMEN

El siguiente trabajo de investigacin, realizado con la ayuda de la programacin del matlab, se inici

con la informacin sobre el tema (clculo de la deformacin de vigas en voladizo), siguiendo con el

anlisis de las funciones de las fuerzas (cortante y momento flector), luego introducimos una la

codificacin en el matlab con los anlisis ya ellos anteriormente, listo ya para dar parmetros sobre la

viga y as podernos satisfacer con el resultado (graficar la deformacin).

En la primera parte se ve como es el diagrama de la fuerza cortante y del momento flector, que

previamente es calculado las reacciones.

En la segunda parte tambin vemos la deformacin de la viga pero buscando una ecuacin

diferencial ver la elasticidad que llega a ocurrir en la viga.

4

INTRODUCCIN

El estudio del comportamiento de vigas sometidas a diversas cargas es esencial para el

diseo estructural, entre los principales efectos producto de estas cargas tenemos el

diagrama de momento flector(DMF) y el diagrama de fuerza cortante(DFC), los

cuales nos dan una idea de los esfuerzos a los cuales est sometida nuestra viga; para el

anlisis de dichos diagramas haremos uso del software MATLAB, adems aremos un

cdigo matlab para el anlisis de la deformacin de una viga donde obtendremos como

resultado las reacciones y la grfica de la deflexin y se hizo uso del MATLAB el cual

nos permitir crear un algoritmo capaz de calcular y graficar estos diagramas haciendo

uso de los mtodos numricos.

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CAPITULO I

GENERALIDADES

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1.1 ANTECEDENTES:

La teora de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el clculo de esfuerzos

y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son slidos deformables, en teora de vigas se

hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones,

desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.

Los inicios de la teora de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados

por Leonard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de

coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricntrico de la viga, y los ejes Y y Z

coincidan con los ejes principales de inercia.

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

clculo de la deformacin de una viga y su grafica de deflexin, ante cargas

distribuidas

1.3 OBJETIVOS:

1.3.1 General:

Crear un algoritmo capaz de graficar el DFC y el DMF para el anlisis de una viga.

Crear un algoritmo capaz de graficar la deformacin de una viga.

1.3.2 Especficos:

Obtener las reacciones y el momento en el punto de empotramiento en base a los

parmetros definidos.

Describir la ecuacin de la curva a lo largo de la viga.

Obtener la grfica de deformacin de la viga

1.4 JUSTIFICACIN.

Es importante conocer el correcto comportamiento de una viga

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1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES:

1.5.1 Alcances.

1.5.2 Limitaciones.

1.6 DEFINICIN DE VARIABLES:

1.6.1. Variable independiente: La variable independiente es la carga distribuida la cual se aplicara

en la viga.

1.6.2. Variable dependiente: Viene a ser la deformacin de una viga y su grafica de deflexin.

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CAPITULO II

MARCO TERICO

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2.2 BASES TEORICAS

TEORA DE VIGAS EULER-BERNOULLI

La teora de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el clculo de

esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son slidos deformables, en teora

de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular

aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran

elementos unidimensionales.

Los inicios de la teora de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados

por Leonard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de

coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricntrico de la viga, y los ejes Y y Z

coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos bsicos de la teora de vigas para

la flexin simple de una viga que flecte en el plano XY son:

1. Hiptesis de comportamiento elstico. El material de la viga es elstico lineal, con mdulo

de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.

2. Hiptesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical slo depende

de x: uy(x, y) = w(x).

3. Hiptesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra slo sufren desplazamiento

vertical y giro: ux(x, 0) = 0.

4. La tensin perpendicular a la fibra neutra se anula: yy= 0.

5. Hiptesis de Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga,

siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

Las hiptesis (1)-(4) juntas definen la teora de vigas de Timoshenko. La teora de Euler-

Bernouilli es una simplificacin de la teora anterior, al aceptarse la ltima hiptesis como

exacta (cuando en vigas reales es slo aproximadamente cierta). El conjunto de hiptesis (1)-

(5) lleva a la siguiente hiptesis cinemtica sobre los desplazamientos:

MATERIALES UTILIZADOS EN VIGAS

A lo largo de la historia, las vigas se han realizado de diversos materiales; el ms idneo de los

materiales tradicionales ha sido la madera, puesto que puede soportar grandes esfuerzos de

traccin, lo que no sucede con otros materiales tradicionales ptreos y cermicos, como el

ladrillo.

La madera sin embargo es material ortotrpico que presenta diferentes rigideces y resistencias

segn los esfuerzos aplicados sean paralelos a la fibra de la madera o transversales. Por esa

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razn, el clculo moderno de elementos de madera requiere bajo solicitaciones complejas un

estudio ms completo que la teora de Navier-Bernouilli, anteriormente expuesta.

A partir de la revolucin industrial, las vigas se fabricaron en acero, que es un material

istropo al que puede aplicarse directamente la teora de vigas de Euler-Bernouilli. El acero

tiene la ventaja de ser un material con una relacin resistencia/peso superior a la del hormign,

adems de que puede resistir tanto tracciones como compresiones mucho ms elevadas.

2.2 DEFINICIN DE TRMINOS

VIGA

Es un elemento estructural de seccin transversal variable o constante a lo largo de su

longitud, siendo una de las dimensiones mayor que las de su seccin transversal. Esta

principalmente diseado para trabajar a flexin.

FLEXIN

Es la deformacin que sufre la viga y que es perpendicular a su eje longitudinal, siendo la

magnitud de la flexin la DEFLEXIN.

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS

Las diversas fuerzas aplicadas a una viga llegan a producir fuerza cortante y momento

flexionante internos. En la primera escena se muestra una viga subsiguientemente se aplican

fuerzas a ella (Figura 4.1) y, debido a estas cargas, la viga sufre una deformacin. Para ver lo

que ocurre internamente en la viga es necesario realizar un corte en una seccin C (Figura

4.2).

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La viga se divide en dos partes para estudiar lo que ocurre en el corte. Se realiza un cambio de

perspectiva para favorecer la visin de las acciones internas que equilibran al cuerpo con las

fuerzas externas aplicadas y, entonces, visualmente acciones las fuerzas V y M. Posteriormente se

dibujan los esfuerzos que causa la flexin en la viga (Figura 4.4 b)

Convencin de signos

Para analizar vigas sometidas a cargas se ha adoptado una convencin de signos para que los

cortantes y momentos estudiados tengan significado. En el paquete didctico se dan los

ejemplos y circunstancias en los que un momento se considera positivo o negativo. Se

empieza con una escena donde se observan dos vigas sin carga alguna (Figura 4.5).

Posteriormente a cada una se le aplican acciones externas diferentes, una fuerza vertical a la

primera viga y a la segunda momentos. Con esto se observa una deformacin cncava delas vigas como se muestra en las figura 4.6. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, en arquitectura, se ha venido usando hormign armado y algo ms tardamente el pretensado y elpostensado. Estos

materiales requieren para su clculo una teora ms compleja que la teora de Euler-Bernouilli.

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DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE

Para la secuela de clculo, el paquete rene tres casos de vigas, de diferentes claros, diferente

ubicacin de apoyos, y con diferentes tipos de cargas aplicadas a ellas (puntuales,

distribuidas, triangulares). Con esto se trata de abarcar lo escenarios ms comunes en que

una viga est sometida a fuerzas. En cada ejemplo se ve la metodologa usual para

determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Para el primer ejemplo

se presenta un viga simplemente apoyada en los extremos, sometida una carga puntual y una

distribuida parcial (Figura 4.9).

El primer paso es la determinacin de las reacciones. Con una animacin, los apoyos son

transformados en flechas indicando el sentido de la reaccin. Este diagrama de cuerpo libre se

mantiene a lo largo de toda la escena. Se contina estableciendo un eje de referencia y

posteriormente se efecta un corte para analizar las acciones internas a una distancia x del

origen del eje de referencia (Figura 4.10).

Se obtiene el diagrama del cuerpo libre del lado izquierdo del corte y se analizar todas las

fuerzas que se encuentran en ese lado por equilibrio se obtienen las ecuaciones para la fuerza

cortante V y el momento flexionante M (Figura 4.11).

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Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localizacin del corte) se mueve

hacia la derecha hasta pasar la carga de los 10 kN. Aqu el diagrama de cuerpo libre del lado

izquierdo de la viga ha cambiado debido a la presencia de la nueva carga y, en consecuencia,

habr nuevas ecuaciones para V y M (Figura 4.12).

Realizado esto, la placa se mueve nuevamente ahora ms all de los 3.5 m. Aqu aparecen

nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces nuevas ecuaciones

para V y M son obtenidas. Para explicar de manera visual cmo se consideran las cargas

distribuidas, mediante una animacin sta se transforma en una carga puntual y se acota su

distancia al corte.

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No es estrictamente necesario estudiar la viga de izquierda a derecha, y que, en el caso del

ltimo corte, resulta ms conveniente analizar el diagrama de cuerpo libre del lado derecho del

corte. Se cambia el eje de referencia y se consiguen las ecuaciones para V y M. stas se

comparan con las obtenidas inicialmente para el mismo corte, notando una disminucin

considerable de elementos en las expresiones (Figura 4.14).

A continuacin se muestran grficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las

variaciones de fuerza cortante y momento flexionante de esta viga en particular

Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V y M para todas las secciones, se procede

a obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

El primer diagrama a graficar es el de fuerza cortante. Para ello aparece debajo del diagrama

de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el diagrama, con x como abscisas

y V en unidades de kN como ordenadas. Antes de que aparezca la grfica de cortante, en el

diagrama de cuerpo libre de la viga, aparece una placa transparente

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En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada rango,

adems de texto explicativo de cmo se obtiene la grfica. Despus, con ayuda de una

animacin, se consigue el diagrama: la placa transparente avanza por la viga (que representa

la posicin x, el corte donde se estudia la viga) y en el eje de referencia se van graficando los

valores para V a medida que avanza la placa 4.17).

Una vez que se consigue el diagrama de cortante, se resalta alguna cualidad del diagrama para

este ejemplo, que el cortante ms grande se encuentra en los apoyos.

Finalizada la obtencin del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama de

momentos. Se vuelve a empezar con los mismos elementos con que comenz el diagrama de

cortante.

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De igual forma, a la izquierda aparecen las ecuaciones (ahora de momento flexionante) para

los rangos ya conocidos. Lo que sigue tiene la misma base de animacin que el diagrama

anterior, pero aqu aparece graficado el diagrama de momentos Posterior a la obtencin del

diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de la grfica. En este ejemplo, se hace ver

que en los apoyos de una viga simplemente apoyada el momento ser nulo el diagrama de

momentos ayuda a entender la manera en que la viga se flexiona. Para esto, el diagrama de

cuerpo libre de la viga se flexiona con una animacin hasta el punto en que puede verse la

relacin entre la deflexin y el diagrama de momentos (figura 4.17)

17

CAPITULO III

METODO

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3.1.TIPO:

La investigacin que se realiz clculo de la deformacin de una viga y su grafica de

deflexin, ante cargas distribuidas, pues se puede aplicar en la construccin de

edificaciones en nuestro pas y tener aun mayor seguridad.

3.2.DISEO DE INVESTIGACION:

Diseo de investigacin es: INVESTIGACION EXPERIMENTAL O CUANTITATIVA.

3.3.ESTRATEGIA DE PRUEBA DE HIPOTESIS:

a. Codificacin en el matlab de los clculos de la deformacin.

b. Tener el diagrama final de la deformacin ante cargas dadas.

3.4.VARIABLES:

Variables independientes: Las cargas distribuidas.

Variables dependientes: Deformacin de una viga y su grafica de deflexin.

3.5.POBLACION:

Vigas y voladizos.

3.6.MUESTRA:

Deformacin de una viga y su grafica de deflexin, ante cargas distribuidas.

3.7.TECNICAS DE INVESTIGACION, INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE

DATOS, PROCESAMIENTO Y ANALISIS DE INFORMACION:

Primero recopilamos informacin sobre el tema.

Luego lo analizamos los clculos necesarios para introducirlos al matlab.

Creamos una funcin capaz de graficar la deformacin de la viga, dando los datos

necesarios para calcularlo.

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CAPITULO IV

PRESENTACION DE RESULTADOS,

CONTRASTACION DE HIPOTESIS, ANALISIS E

INTERPRESTACION

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4.1 PARA LA VIGA MOSTRADA LAS REACCIONES EN EL EMPOTRAMIENTO

SERN:

Partiendo de la esttica = 0 ; = 0 ; = 0

AX=0

Ay=P+QL/2

MA=PL/2 + 3Q(L^2)/8

P: peso de la viga(N)

Q: carga distribuida(N.m)

L: longitud de la viga(m)

Programacin en matlab:

Comenzamos definiendo nuestra funcin, a la cual llamaremos viga

A continuacin ingresamos los comandos input, que sern nuestros parmetros.

Definiremos nuestro momento flector, en el intervalo de longitud, es decir de 0 a L,

pero como, la carga no es constante a travs de esta y varia a partir de la mitad de la

viga, tomamos su variacin hasta L/2; repetimos este paso para el intervalo de

longitud L/2 a L.

Insertamos el comando subplot(2,2,1) con el cual podremos obtener las tres grficas

de inters en una misma ventana.

Repetimos estos tanto para el clculo de la fuerza cortante y la elstica de la viga.

Cdigo matlab: function viga%(P,Q,L)

delta=0;

teta=0;

EI=2

%disp('ingrese el peso de la viga')

P=input('ingrese el peso de la viga:')

Q=input('ingrese la carga distribuida:')

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L=input('ingrese la longitud de la viga:')

Ay=P+(Q*L/2)

MA=(P*L/2)+(3*Q*L*L/8)

figure

grid on

x=0:0.1:L;

n=length(x);

for i=1:n

if x(i)

22

(P/24)*L^3-(Q/32)*L^4)/EI

Luego de codificar compilamos y nos vamos a la ventana command window donde llamamos a nuestra funcin viga, seguido de lo cual el programa solicitara que ingresemos los valores de los parmetros. Como ejemplo ingresamos valores tales como P=10 N; Q=5 N.m; L=2m.

Al presionar enter obtenemos el valor de las reacciones en el punto de empotramiento,

adems del diagrama del momento flector, fuerza cortante y la elstica de la viga.

23

Ventana de comando con los objetivos obtenidos

Cuadro de diagramas DFC DMF y la curva

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4.2 DEFORMACIN DE UNA VIGA

Consideremos una viga horizontal de L=20 m de longitud apoyada en los extremos. Si la viga tiene una carga uniformemente distribuida de W = 100 Kg/r encontrar la ecuacin que describe la viga al deformarse.

Viga sostenida en los extremos

En el origen se tiene un empuje vertical hacia arriba de W-L = 100X20 Kg. punto P cualquiera sobre la viga con coordenadas (x , y ) se tiene una c el punto medio del segmento OP dada por w-x. El momento M est dado.

Donde E es el mdulo de elasticidad e I es el momento de inercia de una transversal. Esta ecuacin diferencial se puede resolver en MATLAB simplemente integrando dos veces con respecto a X desde x = 0 hasta X = 20. Para podemos usar la instruccin int. Entonces, para realizar estas integraciones primero reescribimos la ecuacin diferencial como.

En MATLAB esto lo declaramos con d2y = w*(L*x-x~2/2)/(E*l) primera integral la

obtenemos con dy = int(d2y) a segunda integral con y = int(dy)

Luego calculamos las dos constantes de integracin y sustituimos los valores de las constantes.

Hemos escogido E =1000, I =100, w =100, L = 10. El archivo.m completo es el siguiente

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Cdigo matlab:

clc clear close all syms x E I w L a=input('ingrese el modulo elasticidad E: '); b=input('ingrese el momento de inercia I: '); c=input('ingrese la carga distribuida W: '); d=input('ingrese la longitud horizontal de la viga L: '); d2y=w*(L*x-x^2/2)/(E*I); dy=int(d2y) y=int(dy) C2=0; C1=-w*L^3/3/(E*I); y=y + C1*x; fprintf('La solucion es y= ' ) pretty(y) x1=[0:1:20]; y1=subs(y,[E, I, w, L],[1000, 100, 100, 10]); y2=subs(y1,'x',x1); ymx=5*w*L^4/(24*E*I); ymax=subs(ymx,[E, I, w, L],[1000, 100, 100, 10]) plot(x1,y2)

Al correr este archivo-m obtenemos:

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Grafica de la deformacin:

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CAPITULO V

DISCUSIN

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5.1.CONCLUSIONES:

Este proyecto ha sido para nosotros la mayor de las experiencias en cuanto al desarrollo

a travs del MATLAB por el hecho de obtener como resultado lo que se esperaba. As

como tambin por haber cumplido con los objetivos y requerimientos establecidos. Solo

resta esperar que esta investigacin sea de provecho para aquellos que desean

considerarla como un punto de partida para nuevos proyectos o simplemente para su

experimentacin personal.

La grafica deflexin de las vigas, tiene su importancia ya que veremos la forma en que

se deformara la viga y as poder sacar conclusiones de ello.

5.2.RECOMENDACIONES:

Tener cuidado en la introduccin de variables al programa del matlab ya que si no

fuese as te dara error.

Ser especficos al dar los parmetros en el clculo de la deformacin.

5.3.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

Resistencia de materiales, Timoshenko.

Anlisis estructural, zshames.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga/viga.htm

http://www.esic.es/editorial/editorial_revista_esic.php?tematica=777

http://books.google.com.pe/books?hl=es&lr=&id=W8ZUc16m770C&oi=fnd&pg

=PR3&dq=ayuda+en+comandos+de+matlab&ots=Wlf7PzkJWh&sig=ZIFWuoX

PiJY3KRMdcpo6GP8AihE#v=onepage&q=ayuda%20en%20comandos%20de%

20matlab&f=false