trabajo metodos unidad5

7/24/2019 Trabajo Metodos unidad5

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S SEP SNEST

DGEST

Instituto Tecnolgico de Toluca

Ingeniera Qumica

Mtodos Numricos

Trabajo de investigacin Unidad 6Diferenciacin y cuaciones Diferenciales

!resentan"

#lman$a %alverde &uis Daniel

!rofesor"Ing' #rturo (amargo )*nc+e$

Mete,ec- stado de M.ico a /0 de 1unio de 2/34


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Mtodos de un ,aso

&os mtodos de un ,aso tienen ,or objetivo obtener una a,ro.imacin de la solucin de un,roblema bien ,lanteado de valor inicial en cada ,unto de la malla- bas*ndose en el resultado

obtenido ,ara el ,unto anterior'

Mtodo de uler

l mtodo de uler rara ve$ se utili$a en la ,r*ctica ,ara obtener la solucin a,ro.imada de un,roblema de valor inicial- ,ero se estudia ,or su sim,licidad en la derivacin de la frmula y de ladeterminacin del error' &os mtodos de orden su,erior utili$an las mismas tcnicas- ,ero el*lgebra 5ue re5uieren es muc+o m*s com,licada'

(on el mtodo de uler se obtiene una solucin a,ro.imada de un ,roblema de valor inicial comoel 5ue se muestra en la ecuacin 37- en un conjunto finito de ,untos'

(1)

!ara em,e$ar- se determina la malla 8t/- t3- ''' - tN9 de ,aso +- donde t/: a y tN: b' nestos ,untos es donde se va a obtener la a,ro.imacin de la solucin'

!ara determinar la frmula del mtodo- se ,arte de un desarrollo de Taylor de la funcin

solucin yt7- alrededor de un ,unto de la malla- t i- su,oniendo 5ue la funcin yt7 ,oseederivadas ,rimera y segunda continuas en a- b7"

27

valuando esta e.,resin en t : ti;3- ,ara cual5uier i- se tiene"

07

!ero como ti;3< ti: +- resulta"


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=7

(omo yt7 satisface la ecuacin diferencial- en ,articular es y>ti7 : fti- yi7- entoncesreem,la$ando en la frmula =7 resulta"

47

)i se elimina de la frmula anterior el trmino del error- se ,uede escribir"

67

?esultando as la frmula del mtodo de uler ,ara a,ro.imar la solucin en un ,unto dela malla- teniendo una a,ro.imacin en el ,unto inmediato anterior' (omo la condicin enel ,unto a del ,roblema de valor inicial da el valor inicial yt/7: - se tiene entonces lasolucin a,ro.imada en todos los ,untos de la malla' )i se llaman y i : yti7- se tieneentonces la frmula de uler dada en la frmula @7"

Ejemplo

(onsideremos el siguiente ,roblema de valor inicial'

&a frmula de uler ,ara este ,roblema- tomando N ,untos en el intervalo A3- 2B sincontar el ,unto de ,artida a : 37- resulta"


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C7

#,licamos el mtodo de uler ,ara un ,aso + : /-2'

Teniendo en cuenta 5ue + : /-2- la cantidad de ,untos en el intervalo resulta ser N : 4- yentonces la tabla de valores obtenida con la frmula dada en C7 resulta"

i t y

/

1,00

2-////

31,20

2-=///

21,40

2-@6/

01,60

0-C/0

=1,80

4-/2C2

42,00

6-C0C=

#+ora- a,licamos la frmula el mtodo de uler con N : 2/ y N : 4/' ?e,resentamosgr*ficamente los ,untos obtenidos- com,ar*ndolos con la solucin e.acta- dada ,or la

funcin


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)e ve en los gr*ficos obtenidos- 5ue a medida 5ue nos alejamos del valor inicial- lasolucin a,ro.imada ,ierde ,recisin se aleja de la solucin e.acta7- ,ara el ,aso + :

3E2/' (uando se ac+ica el ,aso- la solucin mejora + : 3E4/7'

Anlisis del error

#l deducir la frmula de uler ,ara a,ro.imar la solucin de un !%I ti,o 37- al ,asar de lae.,resin 47 a la 67- se descart en la e.,resin el error- dado ,or

7

De esta frmula surge 5ue el error local de truncamiento en el mtodo es F+27'

Teniendo en cuenta 5ue- ,or ser y>> continua-

3/7

G tambin 5ue + : tNH t/7EN- se tiene 5ue des,us de N ,asos- el error global acumuladoes"


6/32

337

!or lo tanto- el error global en el mtodo de uler es F+7'

l ,rocedimiento anterior ,uede a,licarse a todos los mtodos estudiados' l orden delerror global resulta siem,re uno menos 5ue el orden del error local de truncamiento elerror del c*lculo de yi;3,ara un solo ,aso7'

Mtodos de T!ylor

)e ,resenta de nuevo el ,roblema de valor inicial cuya solucin se intenta a,ro.imar"

37

(omo en el mtodo de uler- se determina ,rimero la malla 8t/- t3- ''' - tN9 de ,aso +- dondet/: a y tN: b' n estos ,untos es donde se va a obtener la a,ro.imacin de la solucin'

l mtodo de uler se obtuvo a,licando el desarrollo de una funcin en ,olinomios deTaylor con n : 3- ,ara a,ro.imar la solucin de la ecuacin diferencial del ,roblema 37' lerror local de este mtodo- dado ,or el error de la frmula de Taylor- result F+27-llevando a un error global de F+7' (on el objeto de encontrar un mtodo 5ue mejore las,ro,iedades de convergencia- se ,ueden utili$ar- de la misma manera- ,olinomios deTaylor de mayor grado'

)e su,one 5ue la solucin yt7 del ,roblema de valor inicial 37 tiene n;37 derivadascontinuas' )i se +ace un desarrollo de Taylor de la funcin yt7 alrededor del ,unto t ise

tiene"

27


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,ara algn nmero Jientre tiy t' )i se evala la e.,resin 27 en t : t i;3- ,ara cual5uier i- ycomo ti;3 < ti: +- se tiene- ,ara Jientre tiy ti;3

07

(omo y satisface la ecuacin diferencial- en ,articular es y>ti 7 : fti-yi7- y derivandosucesivamente teniendo en cuenta 5ue y es funcin de t- ,or lo 5ue se deber* a,licar laregla de la cadena7- se tiene"

y>>ti 7 : f>ti- yi7 : ft3 ; fyy>7i: ft; fyf7i

y>>>ti7 : f>>t

i-y

i7 : Af

tt3 ; f

tyy> ; f

yt3 ; f

y> f ; f

yf >B

i: Af

tt ; f

tyf ; f

yt3 ; f

yyy>7f ; f

yf

t;

fyf7Bi

:Aftt ; 2ftyf ; fyyf2; fyft; fy2f7Bi

y en general- yn7ti 7 : fn


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Dado el !%I descri,to ,or la e.,resin 37 tenemos 5ue el mtodo de Taylor de orden 3-tomando n : 3 en la frmula 47- resulta"

67

%emos 5ue el mtodo de Taylor de orden 3 resulta ser el mtodo de uler'

l error local de este mtodo- 5ue obviamente no se conoce- es 3E2 f>> K + 2- ,or lotanto- es F+27- mientras 5ue el error global resulta ser F+7

Mtodo de T!ylor de orden 2

)egn la e.,resin 47 ,ara n : 2- el mtodo de Taylor de orden 2 es"

@7

sta frmula tiene un error local de F+07- y un error global de F+27' s m*s ,recisa 5uela frmula de uler- ,ero re5uiere el c*lculo de la derivada de la funcin ft- y7'

Mtodo de T!ylor de orden 4

)egn la e.,resin 47 ,ara n : =- el mtodo de Taylor de orden = es"

sta frmula tiene un error local de F+47- y un error global de F+=7' )u ,recisin esmayor 5ue las frmulas 67 y @7- ,ero tiene el inconveniente del c*lculo de +asta la tercerderivada de ft- y7'

Ejemplo


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)ea el ,roblema de valor inicial

# continuacin- se a,lican las frmulas de los mtodos de uler- Taylor de orden 2 y = al,roblema de valor inicial- y se com,aran los errores- teniendo en cuenta la solucine.acta- 5ue en este caso se ,uede calcular'

!ara obtener las frmulas @7 y C7- se necesita calcular- a,licando la regla de lacadena- las derivadas de orden 3- 2 y 0 de la funcin ft- y7 : t y"

f >t- yt77 : y ; t y> : y ; t t y7 : y3 ; t27

f >>t- yt77 : y>3 ; t27 ; y 2 t : t y 3 ; t27 ; 2 t y : 0 t ; t07 y

f >>>t- yt77 : 0 ; 0 t27 y ; 0 t ; t07 y> : 0 ; 0 t27 y ; 0 t ; t07 t y : 0; 6 t2 ; t=7 y

?eem,la$ando en 47- la frmula iterativa ,ara el mtodo de uler resulta"

7

)egn la frmula 67- reem,la$ando las derivadas corres,ondientes se obtiene la frmuladel mtodo de Taylor de orden 2"

3/7

!or ltimo- reem,la$ando las derivadas en la frmula @7- resulta la frmula del mtodo de

Taylor de orden ="


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337

(on el valor de + : /-24 se obtuvieron los valores 5ue se muestran en la tabla- ,ara losmtodos de uler y de Taylor de orden 2 y =- segn las frmulas 3/7 y 337- y los erroresabsolutos de todos los mtodos- res,ecto de la solucin e.acta- 5ue en este caso se,uede calcular en forma analtica- mediante se,aracin de variables'

t e"!#t! E$ler ErrorE$ler T!ylor 2

ErrorT!ylor 2 T!ylor 4

Error T!ylor4

/-//3-///////

/3-///////

//-///////

/3-///////

/ /-//////// 3-//////// /-////////

/-243-/03@=0=

33-///////

//-/03@=0=

/@3-/0324//

///-///=0=/

@ 3-/03@0C2C3 4-3264


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Mtodos de %$n&e '$tt!

&os mtodos de Taylor tienen la ,ro,iedad de un error local de truncamiento de orden

su,erior- ,ero la desventaja de re5uerir el c*lculo y la evaluacin de las derivadas de ft-y7' sto resulta algo lento y com,licado- en la mayora de los ,roblemas- ra$n ,or la cual-en la ,r*ctica casi no se utili$an' l mtodo de uler- lamentablemente re5uiere de un,aso muy ,e5ueLo ,ara una ,recisin ra$onable'

&os mtodos de ?unge utta tienen el error local de truncamiento del mismo orden 5uelos mtodos de Taylor- ,ero ,rescinden del c*lculo y evaluacin de las derivadas de lafuncin ft- y7'

)e ,resenta de nuevo el ,roblema de valor inicial cuya solucin se intenta a,ro.imar"

37


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(omo en los mtodos anteriores- se determina ,rimero la malla 8t/- t3- ''' - tN9 de ,aso +-donde t/: a y tN: b' n estos ,untos es donde se va a obtener la a,ro.imacin de lasolucin'

n esencia- los mtodos de ?unge


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47

donde

67

y las constantes a- b- - se deben determinar- de manera 5ue la e.,resin 47 coincidacon el desarrollo de Taylor de y de orden m*s alto ,osible'

!ara ello- utili$ando un desarrollo de Taylor ,ara funciones de dos variables- tenemos 5ue"

@7

donde el subndice i indica 5ue todas las derivadas est*n evaluadas en el ,unto t i- yi7'

?eem,la$ando 3y teniendo en cuenta la e.,resin de 2- usando @7 tenemos 5ue"

C7

agru,ando los trminos de C7 ,or las ,otencias de +- y reem,la$ando en la e.,resin 47el valor de 3y 2- resulta

7

?eacomodando trminos en 7- resulta"


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3/7

!or otro lado- se +ace un desarrollo de Taylor de orden 0 de la funcin yt7- calculado en el,unto ti;3- obteniendo"

337

#,licando regla de la cadena ,ara las derivadas de f- se tiene"

327

(om,arando las e.,resiones 3/7 y 327- e igualando los coeficientes de + y +2- se tiene"

307

)ucede 5ue se tienen cuatro incgnitas- ,ero tres ecuaciones- con lo 5ue 5ueda un gradode libertad en la solucin del sistema dado en 307' )e trata de usar este grado de libertad,ara +acer 5ue los coeficientes de +0en las e.,resiones 3/7 y 327 coincidan' stoobviamente no se logra ,ara cual5uier f'

ay muc+as soluciones ,ara el sistema 307- una de ellas es


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3=7

obteniendo as la siguiente frmuladel mtodo de ?unge utta de orden 2"

347

,ara i desde / +asta N


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Ejemplo

(on el mtodo ?=- obtener una a,ro.imacin del valor de y3-47 ,ara el siguiente,roblema de valor inicial- tomando un ,aso + : /-3'

l ,rimer ,aso ,ara resolver este ,roblema es determinar la malla de ,untos en donde seva a obtener la solucin'

(omo en este caso + est* dado- se tiene 5ue N : 3-4 < 37E/-3 : 4'

!or lo tanto- los ,untos en donde se va a determinar la solucin- dados ,or la frmula ti :3 ; /-3 i- ,ara i :3-2-0-=-4- son"

t3: 3-3

t2: 3-2t0: 3-0t=: 3-=t4: 3-4

Una ve$ establecida la malla del ,roblema- tenemos- ,ara i : /"

?esulta entonces-

y a,licando sucesivamente la frmula de ?=- ,ara i desde 3 +asta =- se obtienen losdatos 5ue se muestran en la siguiente tabla- donde adem*s se muestra el valor de lasolucin e.acta ,ara cada ,unto de la malla'


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6'0' Mtodos rgidos y de ,asos mlti,les

E#$!#iones r)&id!s

&a rigide$ es un ,roblema es,ecial 5ue ,uede surgir en la solucin de ecuacionesdiferenciales ordinarias' Un sistema rgido es uno 5ue tiene com,onentes 5ue cambianr*,idamente- junto con com,onentes de cambio lento' n muc+os casos- loscom,onentes de variacin r*,ida son transitorios- desa,arecen r*,idamente- des,us delo cual los com,onentes de variacin lenta son los 5ue dominan la solucin' !ero- aun5ueel fenmeno transitorio e.iste en slo un ,erodo ,e5ueLo- ,uede determinar el ,aso deltiem,o en la a,licacin de un mtodo numrico'

&as ecuaciones rgidas son a5uellas cuyas soluciones contienen escalassignificativamente diferentes ,ara la variable inde,endiente' (uando la escala m*s grandees la de inters- ,ero la escala m*s ,e5ueLa dicta el tamaLo de ,aso de un mtodo con

base en la estabilidad- se dice 5ue la ecuacin es rgida'

Tanto las DF como los sistemas de DF ,ueden ser rgidos' !or ejem,lo- una DFrgida es la 5ue se muestra a continuacin"

37

)i se considera la condicin inicial y/7 : /- la solucin analtica 5ue se obtiene est* dada,or"


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27

&a solucin- al ,rinci,io- se encuentra dominada ,or el trmino e.,onencial r*,ido e


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&a familia de los mtodos multi,asos de ear se ada,ta ,articularmente bien ,ara brindaruna solucin numrica de sistemas de DF rgidos' %eamos cmo se deducen lasfrmulas de estos mtodos'

6'=' Mtodos multi,aso

Mtodos de Ge!r

?ecordemos 5ue la frmula general de los mtodos multi,asos est* dada ,or"

@7

y tambin- 5ue esta frmula da el valor e.acto ,ara ytn;37 cuando yt7 es un ,olinomio degrado menor o igual a si se cum,len las siguientes restricciones de exactitudtambinllamadasrestricciones de consistencia)"

C7

&a familia de los mtodos multi,asos de ear est* identificada ,or tener todos loscoeficientes bi- e.ce,to b


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&os ;3 coeficientes de esta frmula ,ueden obtenerse a,licando las restricciones deconsistencia C7- an*logamente como se +i$o con los mtodos de #dams- resultando"

3/7

.,licitando las ecuaciones ,ara cada j- y desarrollando las sumatorias- se obtiene elsiguiente sistema de ecuaciones"

337

&a solucin del sistema 337 determina en forma nica los ;3 coeficientes necesarios,ara el mtodo de ear de orden '

!or ejem,lo- la frmula del mtodo de ear de tercer orden- se obtiene resolviendo elsistema dado en 337- ,ara el valor : 0"

327

?esolviendo el sistema dado en 327- se obtienen los valores" b


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307

(uando se im,lementa este algoritmo- se deben guardar en memoria los valores Pn


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(on este ,unto calcula una nueva ,endientem:2:f .i;+ - yi;3+7

y con esta dos ,endiente calcula el yi;3

yi;3:yi;3;27Z+E2jem,lo

dyEd.7:y.2


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!unto medio

l metodo de ,unto medio calcula la ,endiente en un ,unto inicial . i-yi7m:3:f .i-yi7

y con el estima un nuevo ,unto locali$ado a la mitad de la distancia +V

.i;/'4Z+ - yi;/'4Z3+7(on este ,unto calcula una nueva ,endiente

m:2:f .i;/'4Z+ - yi;/'4Z3+7y con esta nueva ,endiente calcula el yi;3

yi;3:yi;27Z+

jem,lodyEd.7:y.[2


24/32

.i yi 3 .i;/'4+ yi;/'43+ 2 Gi;3:2Z+

/ 3


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rafica con la solucin analtica y numrica'

Mtodos generales ,ara ,roblemas con valores en la frontera- lineales y no


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ms de la posicin que del tiempo, a

menudo se modelizan a partir de una o

ms ecuaciones diferenciales, con

condiciones impuestas sobre ms de un

punto. Es decir, estn modelizadospor problemas de frontera.

Vamos a estudiar aqu problemas de

frontera que involucran una ecuacin

diferencial ordinaria de segundo orden,

con condiciones de frontera de tipo

Diriclet !es decir, el valor de la funcin

en los puntos e"tremos, o frontera del

intervalo#, como se muestra en la

ecuacin !$#

!

$

#

El siguiente teorema garantiza la

e"istencia % unicidad de un problema

como el planteado en !$#&

'eorema&

(upongamos que la funcin f en el

problema con valor en la frontera dado

por !$# es continua en el con)unto&

D * +!t, %, %# - a t b, /0

% 0, /0 % 01

% que las derivadas primeras de f

respecto de las variables % e % son

continuas en D. (i se cumplen las

condiciones&


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Entonces el problema de valor en la

frontera tiene una solucin 2nica.

3orolario

(i el problema lineal con valor en la

frontera dado por&

!

4

#

satisface las condiciones&

i# p!t#, q!t# % r!t# son continuas en 5a, b6

ii# q!t# 7 8 en 5a, b6

entonces el problema tiene solucin

2nica.

a% dos grupos de m:todos que pueden

plicarse para resolver en forma

um:rica problemas de frontera. ;no de

los son los m:todos del disparo lineal,

ue pueden utilizarse tanto en problemas

neales % no lineales, pero a menudo

resentan problemas de inestabilidad.os m:todos de diferencias


28/32

del error de truncamiento. Por la

inestabilidad de las apro"imaciones de

diferencias


29/32

!

t

i

#

%

!t

i

#

A

r

!

t

i

#

En la e"presin dada en !B#, se deben

apro"imar los valores de %!ti# e %!ti#,

mediante cocientes de diferencias


30/32

!

F

#

(umando miembro a miembro !# % !F#,

se eliminan los t:rminos que tienen % e%, resultando&

!

G

#

plicando el teorema del valor

intermedio, se puede reducir el t:rmino

del error, resultando&

!

H

#

sta a,ro.imacin de la derivada segunda dada en C7 es llamada frmula de lasdiferencias centradas ,ara y>>ti7' Teniendo en cuenta la e.,resin del error en C7-esta frmula tiene orden de ,recisin 2'

#n*logamente- +aciendo un desarrollo de Taylor de orden 2 alrededor de ti-evaluando este desarrollo en ti;3 y enti


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5ue- reordenando trminos resulta"

337

)i llamamos Pia la a,ro.imacin de yti7- las condiciones de frontera ya7 : a e yb7: b- resultan

P/ : a PN;3 : b 327

y des,reciando el error dado 5ue se usan las a,ro.imaciones7 se obtiene el mtodode diferencias finitas ,ara la ecuacin 27- dado ,or la frmula

307

,ara cada i : 3- '''- N'

)i reacomodamos trminos en 307- de manera 5ue cada incgnita P ia,are$ca unasola ve$ en cada ecuacin- tenemos"

3=7

,ara cada i : 3- '''- N'

sto resulta ser un sistema de N ecuaciones en las N incgnitas P3- '''- PNdado5ue P/ y PN;3 son datos7 cuya matri$ tiene forma tridiagonal- como se a,recia mejor en la


32/32

forma matricial # -: .- donde la matri$ de coeficientes y el vector de trminosinde,endientes est*n dados ,or"

347

ste sistema tiene solucin nica- cuando se cum,len las condiciones dadas en elsiguiente teorema"

Teorem!/

)u,ongamos 5ue ,- 5 y r son funciones continuas en Aa- bB' )i 5t7 ^ / en Aa- bB-entonces el sistema tridiagonal dado en 347 tiene solucin nica siem,re ycuando + R 2E&- siendo & : ma.S,t7S- t _ Aa- bB 7

&as condiciones de este teorema garanti$an solucin nica al ,roblema de frontera dadoen 07- ,ero ,ara asegurarnos 5ue el error de truncamiento sea del orden de +2- debemosasegurarnos 5ue y=7es continua en Aa- bB'

trabajo metodos unidad5

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