trabajo de metodos

5/24/2018 Trabajo de Metodos

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MTODOS COMPUTACIONALESPARA INGENIERA

INTEGRANTES

PATRICIO ROLDN, JUAN 10170143HUERTA ESPINOZA, JHERSON 11170221

TEMAINTEGRACIN NUMRICA: MTODOSCERRADOS

PROFESOR

ING. RUIZ LIZAMA, EDGAR

2014


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INDICE

INTRODUCCIN 3

OBJETIVOS 4

MARCO TERICO 5

EJERCICIOS 6

CONCLUSIONES 7

BIBLIOGRAFA 8


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INTRODUCCIONLa integracin Numrica nos permite aproximar la Integral de una funcin f(x)definida en el intervalo [a,b] sin necesidad de utilizar un computador o unacalculadora cientfica, sino mediante algoritmos ya establecidos.

()

Este trabajo est enfocado en los Mtodos cerrados de Integracin Numrica,

es decir, aquellos en los que se tiene un intervalo definido de la funcinintegrando. Entre los mtodos se tiene: Regla del trapecio, Regla del trapeciocompuesto, Regla de Simpson 1/3, Regla de Simpson 3/8.


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OBJETIVOS

Aprender a utilizar los mtodos de integracin cerrada para la solucinde distintos problemas en el rubro de la Ingeniera.

Elegir el mtodo de Integracin cerrada que mejor converja enproblemas determinados, o que el estudiante desee utilizar.

Aprender mediante programacin de datos, las funciones que contieneel software MATLAB

Utilizar el software MATLAB como herramienta para la solucin deproblemas de Integracin Numrica de una manera rpida.

Verificar la eficiencia de los mtodos aproximados de Integracin con losresultados obtenidos en el software MATLAB.


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MARCO TERICO

Los mtodos de integracin numrica se pueden utilizar para integrar funcionesdadas, ya sea mediante una tabla o en forma analtica. Incluso en el caso enque sea posible la integracin analtica, la integracin numrica puede ahorratiempo y esfuerzo si slo se desea conocer el valor numrico de la integral.

Los mtodos de integracin numrica se obtienen al integrar los polinomios deinterpolacin.

Por consiguiente, las distintas frmulas de interpolacin darn por resultadodistintos mtodos de integracin numrica.

Los mtodos que se estudiarn se refieren a las frmulas de Newton-Cotes,que se basan en las frmulas de interpolacin con puntos de separacinconstantes y se deducen de integrar las frmulas de interpolacin de Newton,as como la frmula de interpolacin de Lagrange.

A su vez, las frmulas de Newton-Cotes se subdividen en las de tipo cerrado ylas de tipo abierto.

Las reglas del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al tipo cerrado.

Regla del trapecio:

Esta regla es un mtodo de integracin numrica que se obtiene al integrar elpolinomio de interpolacin de primer grado (Lineal). Para obtener una buenaprecisin se necesita un gran nmero de subintervalos.


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() = (() ())+ De donde:

h = b - a

= ()

Regla del Trapecio compuesta:

La regla del trapecio compuesta es ms precisa que la regla del trapecio

simple, debido a que el primero posee ms intervalos de particin de la funcin,y stos se integran, obteniendo as una mejor aproximacin de la integral de lafuncin.

El error aumenta conforme aumentan los intervalos, un error para cadaintervalo, siendo el error total la suma de estos errores individuales. Se cumpleque:

() = () + ()

+ ()

+ + ()

Esta suma de Integrales por partes se expresa por la regla trapezoidal:

() = (() ())

Haciendo un caso general, se tiene para la integral de [a,b], h b-a - () = (() () () () ( ) ( ))

De donde su error total est dado por:

(), donde


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Se deduce por tanto que:

() = (() () ())+

Regla de 1/3 de Simpson:

Esta regla se basa en la interpolacin polinomial cuadrtica (de segundoorden). Obteniendo el polinomio de Newton ajustado a tres puntos eintegrando el resultado se tiene la regla de 1/3 de Simpson.

() (()() ( ))

Regla de Simpson compuesta:

Es la regla de Simpson aplicada a dos subintervalos [,] y [,], con la cualse obtiene la siguiente relacin:

() ()

+ ()

() (()() ( ))+

(() () ())

()

(() () () () ())

Regla de 3/8 de Simpson:

Esta regla de 3/8 se obtiene al integrar una frmula de interpolacin de tercergrado. Para la regla extendida se aplica a un nmero de intervalos que sea

mltiplo de tres.


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() (() () () ( ))

Regla de Boole:

La regla de Boole utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados. Seobtiene al integrar la frmula de interpolacin de cuarto grado.

()

(() () () () ())


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EJERCICIOS

PROBLEMA 1.TEMA: REGLAS DEL TRAPECIO Y DE SIMPSON COMPUESTAS.

Encuentre la integral aproximada de la funcin:

,

que da lugar a la curva normal tipificada, entre los lmites -1 y 1.

a) Utilice la regla trapezoidal con varios trapezoides y compare con elresultado (0.682) obtenido en tablas.

b) Use la regla de Simpson varias veces y compare con el resultado(0.682) obtenido de tablas.

SOLUCIN.

a) REGLA TRAPEZOIDAL SIMPLE Y COMPUESTA.

Tabulando para distintos valores de n:

Para n=1.

h=()

= 2

=

() = ( )[(() ())]

() =( )[(() ())]

() = []

()

= 0.484


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Para n=2.

h=()

= 1

=

() = ( )[(() () ())]

() =( )[(() () ())]

() = [ () ]

() = 0.641

Para n=4.

h=()

=

=

() = ()[(() () () () ())]

() =( )[(() () () () ())]

()

=

[ () () () ]

() = 0.672


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Se tiene el cuadro resumen. que contiene los errores absoluto,relativo y relativo porcentual, y con ello se denota que, conformeaumente la cantidad de trapecios formados bajo la curva en elintervalo definido, la precisin de la aproximacin a la integral

aumenta, por tanto, cuando n=4, es decir 5 puntos utilizados, el rea(0.672) es ms aproximada al valor real que es, por tabla, de 0.682.

n Valor real Val. Aprox Eabs Er Er%1 0.682 0.484 0.198 0.2903 29.032 0.682 0.641 0.041 0.0601 6.013 0.682 0.672 0.010 0.0147 1.47

SOLUCIN EN MATLAB.- Definiendo el script trapeciosComp.m:

%Integracion por trapecios compuestafunctionI=trapeciosComp(f,a,b,N,tol)format shortk=2;I=trapecios(f,a,b,10);%tol es la tolerancia para los calculos. Puede ser 0.001,0.0001 o similarincr=tol+1;whilektol

h=(b-a)/(10*k);x=a:h:b;%nodos de la cuadraturay=feval(f,x);p=[1 2*ones(1,10*k-1) 1];%pesos de la cuadraturaint=(h/2)*sum(p.*y);%aproximacion de la integral por trapeciosI=[I int];incr=abs(I(k)-I(k-1));k=k+1;

endplot(I);end


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- GRFICO EN MATLAB.

- Ahora, en el programa principal se llama a las funciones desde valorescreados:

>> f1=inline('exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi)')

f1 =

Inline function:f1(x) = exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi)

>> trapeciosComp(f1,-1,1,1,0.0001)

ans =

0.6811


ans =

0.6811 0.6823


ans =

0.6811 0.6823 0.6825 0.6826


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b) REGLA DE SIMPSON SIMPLE Y COMPUESTA.

Tabulando para distintos valores de n:

Para n=2.

h=()

= 1

=

() = ()[(() () ())]

() =( )[(() () ())]

() = [()]

() = 0.693

Para n=4.

h=()

= 0.5

=

() = ( )[(() () () () ())]

() =( )[(() () () () ())]

() = [() () ()]

() =0.683


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Para n=6.

h= () = 0.333

=

() = ( )[(() () () () () () ())]

() =()[(() () () () () () ())]

() = [() () () () () ]

() =0.6823

Se tiene el cuadro resumen. que contiene los errores absoluto,relativo y relativo porcentual, y con ello se denota que, conformeaumente la cantidad de subintervalos formados bajo la curva en elintervalo definido, la precisin de la aproximacin a la integralaumenta, por tanto, cuando n=6, es decir 5 puntos utilizados, el rea(0.6823) es ms aproximada al valor real que es, por tabla, de 0.682,con un ligero error relativo porcentual de 0.04%.

n Valor real Val. Aprox Eabs Er Er%

2 0.682 0.6930 0.011 0.0161 1.614 0.682 0.6830 0.001 0.0014 0.146 0.682 0.6823 0.0003 0.0004 0.04


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SOLUCIN EN MATLAB.

- Definiendo el script Simpson.m:

%Integracion por Simpson 1/3 o compuesto o solo simpsonfunctionI=Simpson(f,a,b,N)%Datos%f es la funcion%a,b son los limites del espacio de integracion%N es el numero de subintervalos, recuerde que N debe ser parh=(b-a)/N;x=a:h:b;y=feval(f,x);

p=ones(1,N+1);p(2:2:N)=4;p(3:2:N-1)=2;I=(h/3)*sum(p.*y);

end

- Ahora llamando a las funciones desde el programa principal, con valoresdefinidos:

>> f1=inline('exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi)')

f1 =

Inline function:f1(x) = exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi)

>> Simpson(f1,-1,1,2)

ans =

0.6932

>> Simpson(f1,-1,1,4)

ans =

0.6831

>> Simpson(f1,-1,1,6)

ans =

0.6828

>>


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CONCLUSIONES Se entiende que conforme aumente la cantidad de subintervalos

divididos bajo la curva integrando, la precisin para aproximar elvalor de la Integral va a ser mayor.

Existen mtodos cerrados muy importantes que son usados por lascomputadoras, calculadoras, para hacer aproximacionesmatemticas en cuestin de segundos.

El Software MATLAB es una herramienta muy importante para laresolucin de problemas de Ingeniera relacionados conaproximaciones numricas, debido a la gran gama de funciones quetiene, y su sencillo lenguaje que maneja, lo cual lo hace muy til yprctico.


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BIBLIOGRAFA- CHAPRA, Steven & CANALE, Raymond. Mtodos Numricos para Ingenieros 5ta.Edicin. Editorial Mc Graw Hill. 2007

- NIEVES, Antonio & DOMINGUEZ, Federico. Mtodos Numricos aplicados a laIngeniera 2da. Edicin. Editorial CECSA,2006

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