trabajo de karla

8/14/2019 trabajo de karla

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTA DE LA FUERZA

ARMADA NACIONAL

NUCLEO MIRANDA SEDE LOS TEQUESSECCION 102

SISTEMA LINEAL

(TEMA 3 Y 4)

INTEGRADO POR:


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KARLA TOVAR C.I.: 18.235.268

LOS TEQUES, JULIO 2009.


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3.- ANALISIS TEMPORAL DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.

3.1.- Funcin respuesta impulsiva:

La respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que se presenta enla salida frente a una seal muy breve, o impulso, en la entrada. Mientras que un impulso esun concepto difcil de imaginar, y es imposible en la realidad, ste representa el caso lmitede un pulso infintamente corto en el tiempo pero que mantiene su rea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto). Aunque es imposible en cualquiersistema real, es un concepto til como idealizacin.

Bases matemticas

Matemticamente, un impulso puede ser representado por una funcin Delta deDirac. Supongamos que T es un sistema discreto, es decir, que toma una entrada x[n] yproduce una salida y[n]:

Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a travs de los nmerosenteros), produciendo nuevas sucesiones. Tener en cuenta que T no es elsistema, sino unarepresentacin matemtica del sistema. T puede ser no lineal, por ejemplo:

o lineal, como:

.

Supongamos que T es lineal. Entonces

y

Supongamos tambin que T es invariante en el entorno, es decir que si

entonces . En tal sistema cualquier salida puede calcularse en trminos de la entrada y en una sucesin muy especial llamada

respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo. Esto puede verse de lasiguiente manera: Tomando la identidad

y aplicando T en ambos lados
http://es.wikipedia.org/wiki/Amplitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Invariantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirachttp://es.wikipedia.org/wiki/Invariantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Invariantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Invariantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud


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Por supuesto, esto tiene sentido slo si

cae en el dominio de T. Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir

Y como la salida y[k] est dada por

podemos escribir

Reemplazando

obtenemos finalmente

La sucesin es la respuesta a impulso del sistema representado por T. Como

se observa arriba, es la salida del sistema cuando su entrada es un delta de Diracdiscreto. Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo continuo.Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto, ubicado en un punto p.El globo explota y hace un sonido similar a un "pum". Aqu el recinto es un sistema T quetoma el sonido "pum" y lo dispersa a travs de mltiples reflexiones. La entrada p[n] es el"pum", similar (debido en parte a su corta duracin) a un delta de Dirac, y la salida

es la sucesin del sonido afectado por el sistema, y depende de la ubicacin (punto

p) del globo. Si conocemos para cada punto del recinto conocemos la respuesta aimpulso por completo del saln, y es posible predecir la respuesta del mismo a cualquier

sonido producido en l.

3.2.- Respuesta temporal de los sistemas de 1er y 2do orden ante entrada de prueba tipo

escaln y tipo rampa:


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.- Respuesta del sistema a una entrada del tipo escaln

Una seal de entrada del tipo escaln permite conocer la respuesta del sistemafrente a cambios abruptos en su entrada. As mismo, nos da una idea del tiempo deestablecimiento de la seal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estadoestacionario. Otra de las caractersticas de esta seal es que producto de la discontinuidad

del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo cual hace que seaequivalente a aplicar al sistema una gran cantidad de seales senoidales con un intervalo de

frecuencias grande. Matemticamente, esta seal se expresa como: .Donde u(t):escaln unitario;A: constante

En la figura que se muestra a continuacinA = 3 y

.- Respuesta del sistema a una entrada del tipo rampaEsta seal permite conocer cual es la respuesta del sistema a seales de entrada que

cambian linealmente con el tiempo. Matemticamente se representa como: .Donde t:tiempo;A: constante

.- Respuesta temporal

.- Sistema de primer orden

.- Sistema de primer orde n sin retardo

Un sistema de primer orden se puede modelar por la siguiente ecuacin diferencialordinaria.

Para calcular su funcin de transferencia aplicamos transformada de laplace yconsideramos la condicin inicial nula
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformada_de_laplace&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rampa_mod.pnghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformada_de_laplace&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformada_de_laplace&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformada_de_laplace&action=edit&redlink=1


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Una vez aplicada la transformada a cada uno de los trminos de la ecuacindiferencial tenemos.sY(s) y(0) + a0Y(s) = b0U(s)

Factorizando y escribiendo en forma de funcin de transferencia.Y(s)[s + a0] = b0U(s)

La funcin de transferencia tambin puede ser escrita de la siguiente forma

, La constante kes la ganancia de estado estacionario, la cualnos entre a el valor que toma la respuesta del sistema para un tiempo tendiendo a infinito.La constante es la constante de tiempo, la cual nos indicara el tiempo en el cual el sistematiene un 63,21% del valor en estado estado estacionario. Se puede observar que este tipo de

sistemas tiene un polo que es

.- Sistema de primer orden con retardo

.- Sistema de segundo orden

Un sistema de segundo orden tiene como funcin de transferencia a la siguiente ecuacin:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferencia


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Donde: n: frecuencia natural de oscilacin,:Coeficiente de amortiguamiento y k: laganancia de estado estacionario.La ganancia de estado estacionario corresponde al valor constante que toma el sistema paraun tiempo muy grande. Puede ser calculada a travs del teorema final del lmite de lafuncin de transferenciaF(s).

La respuesta del sistema depende de las races del denominador (polos del sistema). Para unsistema de segundo orden los polos se expresan como:

Dependiendo del valor , los sistemas de segundo orden presentan distintos

comportamientos.

Tal como se observa en la figura cuando = 0 (curva de color azul) las oscilacionescontinuarn indefinidamente. Para valores mayores de se obtiene un decaimiento msrpido de las oscilaciones, pero con un ascenso ms lento de la respuesta (La curva en

verde tiene un valor = 0.1, mientras que para la roja = 0.5. En el caso en el que = 1, elsistema se torna crticamente amortiguado a tal punto que desaparecen las oscilaciones (Vercurva rosada).
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Amortiguacion.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferencia


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3.3.- Respuesta temporal basada en la ubicacin de los polos y ceros de la funcin de

transferencia.

Es muy difcil analizar cualitativamente la transformada de Laplace y la

transformada Z, ya que al graficar su magnitud y ngulo a su parte real e imaginaria dacomo resultado varias graficas de superficies de dos dimensiones en espacios de tresdimensiones. Por esta razn, es comn el examinar la grafica de la funcin de transferenciacon sus polos y ceros y tratar una vez ms una idea cualitativa de lo que hace el sistema.

Dada a una funcin de transformacin continua, en el dominio de Laplace, H(s), oen el dominio discreto de Z, H(z), un cero es cualquier valor de s o zpara los cuales lafuncin de transferencia es cero, un polo es cualquier valor de s ozpara la cual la funcinde trasferencia es infinita. Lo siguiente da a una definicin precisa:

Ceros

1. El valor(es) para zdonde el numerador de la funcin de trasferencia es igualacero

2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la funcin detransferencia del filtro sea cero.

Polos

1. El valor(es) parazdonde el denominadorde la funcin de transferencia es igual acero

2. Las frecuencias complejas que hacen de la ganancia de la funcin detransferencia del filtro se infinita.

.- Graficas de los Polos y Ceros

Cuando graficamos estos en su plano s o z, representamos los ceros con o y lospolos con x. Vea este modulo para observa detalladamente como graficar los ceros ypolos en la transformada-z en el plano-z.

Repeticiones de Polos y CerosEs posible obtener mas de un polo lo cero en el mismo punto. Por ejemplo, la

funcin de transferencia discretaH(z) =z2 tendr dos ceros en el origen y la funcinH(s) =

1

s25

Tender 25 polos en el origen.
http://cnx.org/content/m10110/latest/http://cnx.org/content/m12951/latest/http://cnx.org/content/m0028/latest/http://cnx.org/content/m10556/latest/http://cnx.org/content/m10110/latest/http://cnx.org/content/m10110/latest/http://cnx.org/content/m10110/latest/http://cnx.org/content/m12951/latest/http://cnx.org/content/m12951/latest/http://cnx.org/content/m12951/latest/http://cnx.org/content/m0028/latest/http://cnx.org/content/m0028/latest/http://cnx.org/content/m0028/latest/http://cnx.org/content/m10556/latest/http://cnx.org/content/m10556/latest/http://cnx.org/content/m10556/latest/


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La Cancelacin de Polos y Ceros

Un error comn es el pensar que la funcin

(s+ 3 ) (s 1 )s1

Es la misma que s+3. En teora son equivalentes, ya que el polo y el cero que seencuentra ens=1 se cancelan mutuamente lo que es conocido como la cancelacin de polosy ceros. Sin embargo, piense lo que pasara si esto fuera una funcin de transferencia de unsistema que fue creado fsicamente con un circuito. En este caso, no es comn que el polo yel cero permanezca en un mismo lugar. Un cambio de temperatura, podra causar que ellosse movieran. Si esto pasara se creara volatilidad en esa rea, ya que ocurri un cambio deinfinito en un polo a cero en el cero en una regin de seales. Generalmente es una malamanera de eliminar un polo. Una mejor manera de mover el polo a otro lugar es usando lateora de control

3.4.- Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz.

El teorema de RouthHrwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemasdinmicos.

Tal criterio busca las races del denominador de la funcin de transferencia delsistema y las coloca en el semiplano izquierdo o derecho, determinando as la estabilidaddel mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos lospolos estn en el

semiplano izquierdo, el sistema es estable.Este criterio solo vale si la funcin de transferencia del sistema est en lazo cerrado,

si no lo esta, hay que realimentarlo haciendo:

Procedimiento

Dado el sistema:
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Polohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Criterio_de_Routh_00.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Polohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polo


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donde G (s) es la ecuacin caracterstica de un sistema.

El nmero de cambios de signo de: an, an-1, 1, 1, , 1, 1 (primera columnaresultante del criterio de Routh Hrwitz), nos da la cantidad de elementos que estn en elsemiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema serasintticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema serasintticamente inestable. Como est indicado arriba, tendremos tantos polos en elsemiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.

Ejemplo: G(s) =s4 + 5s3 + 3s2 +s + 2

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 28, -257, 2, con lo quepor haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en elsemiplano derecho.

3.5.- Anlisis de error en estado estacionario.

El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y lasalida de un sistema en el lmite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuestaha alcanzado el estado estacionario). El error de estado estacionario depender del tipo deentrada (escaln, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II,... .
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Criterio_de_Routh_02.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Criterio_de_Routh_01.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Criterio_de_Routh_05.JPG


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Nota: el anlisis del error de estado estacionario slo es til para sistemas estables.Es responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de desarrollar un anlisisdel error de estado estacionario. Muchas de las tcnicas que se presentan devolvern unarespuesta an cuando el sistema es inestable; obviamente esta respuesta carece de sentidopara un sistema inestable

Clculo de errores de estado estacionarioAntes de exponer acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo

del sistema, se mostrar cmo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entradaempleada. Entonces, derivaremos las frmulas a aplicar en el anlisis de error de estadoestacionario. El error de estado estacionario puede calcularse de la funcin de transferenciaa lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentacin unitaria. Por ejemplo, digamosque tenemos el siguiente sistema:

el cual es equivalente al siguiente sistema:

Podemos calcular el error de estado estacionario para este sistema ya sea de lafuncin de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final(recuerde que este teorema solo puede aplicarse s el denominador no tiene polos en elsemiplano derecho):


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Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas parahallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a partir delas funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas:

Entrada Escaln (R(s) = 1/s):

Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):

Entrada Parablica (R(s) = 1/s^3):

Cuando se disea un controlador, normalmente se quiere compensar el sistemafrente a perturbaciones. Digamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbacin:

podemos encontrar el error de estado estacionario para una entrada perturbacin de unescaln con la siguiente ecuacin:

Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas conrealimentacin no unitaria:


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Manipulando los bloques, podemos modelar el sistema como sigue:

Ahora, simplemente aplique las ecuaciones que mencionramos arriba.

Tipo del sistema y error de estado estacionario

Si se refiere de nuevo a las ecuaciones para el clculo de errores de estadoestacionario para sistemas con realimentacin unitaria, hallar que tenemos definidas

ciertas constantes ( conocidas como las constantes estticas de error). Estas constantes sonla constante de posicin (Kp), la constante de velocidad (Kv), y la constante de aceleracin(Ka). Sabiendo el valor de estas constantes adems del tipo del sistema, podemos predecirsi el sistema va a tener un error de estado estacionario finito.Primero, hablemos de el tipo sistema. el tipo del sistema se define como la cantidad deintegradores puros en un sistema. Esto es, el tipo del sistema es igual al valor de n cuandoel sistema se representa de la siguiente forma:

Por lo tanto, un sistema puede ser de tipo 0, de tipo 1, etc. Ahora, observemos cmose relaciona un error de estado estacionario con el tipo de los sistemas:

Entrada

Escaln

Entrada

Rampa

Entrada

Parablica

Formula de error de estado

estacionario1/(1+Kp) 1/Kv 1/Ka

Constante Esttica del Error Kp = constante Kv = 0 Ka = 0Error 1/(1+Kp) infinito infinito

sistemas de tipo 1Entrada

Escaln

Entrada

Rampa

Entrada

Parablica


http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/ess2.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/ess2.html


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Constante Esttica del Error Kp = infinito Kv = constante Ka = 0Error 0 1/Kv infinito

sistemas de tipo 2Entrada

Escaln

Entrada

Rampa

Entrada

Parablica



Constante Esttica del Error Kp = infinito Kv = infinito Ka = constanteError 0 0 1/Ka

Encontrar los requerimientos de error de estado estacionario

Dado el siguiente sistema,

donde G(s) es:

K*(s + 3)(s + 5)

--------------------------

s (s + 7)(s + 8)

encontrar el valor de K de modo que hay un error de estado estacionario a lazo abierto del10%. Ya que este sistema es de tipo 1, no habr error de estado estacionario frente a entradaescaln y un error infinito frente a entrada parablica. La nica entrada que arrojar unerror de estado estacionario finito en este sistema es un entrada rampa. Observemos larespuesta frente a entrada rampa para una ganancia de 1:

num = conv( [1 5], [1 3]);

den = conv([1,7],[1 8]);

den = conv(den, [1 0]);

[clnum,clden] = cloop(num,den);

t = 0:0.1:50;

u = t;

[y,x] = lsim(clnum,clden,u,t);
http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/ess3.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/lsim.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/ess3.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/lsim.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/lsim.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/lsim.html


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plot(t,y,t,u)

xlabel('Tiempo(seg)')

ylabel('Amplitud')

title('entrada-magenta, salida-amarillo')

El error de estado estacionario para este sistema es muy largo, ya que podemos verque la entrada en el tiempo = 20 proporciona una salida con amplitud de aproximadamente

16. Hablaremos de esto con mayores detalles en seguida.Sabemos por lo que establece nuestro problema que el error de estado estacionario debe ser0.1. Por lo tanto, podemos resolver el problema siguiendo estos pasos:

Veamos la respuesta frente una entrada rampa para K = 37.33:k =37.33 ;

num =k*conv( [1 5], [1 3]);

den =conv([1,7],[1 8]);

den = conv(den,[1 0]);

http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/plot.html


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t = 0:0.1:50;

u = t;


plot(t,y,'y',t,u,'m')xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Amplitud')

title('entrada-magenta, salida-amarillo')

Para obtener una mejor visin, debemos agrandar la respuesta. Elegimos paraacercar entre 40 y 41 seg. porque seguramente que para entonces el sistema habralcanzado su estado estacionario y adems podremos obtener una buena apreciacin de laentrada y la salida.

axis([40,41,40,41])

La amplitud es 40 en t = 40 para nuestro entrada, y para nuestra salida en t = 40.1.Sin embargo, como estas son lneas paralelas en estado estacionario, podemos decirtambin que cuando t = 40 la salida tiene una amplitud de 39.9, dndonos un error deestado estacionario de 10%. Magnifiquemos ms esta figura y confirmemos esaaseveracin:

axis([39.9,40.1,39.9,40.1])

Ahora modifiquemos el problema un poco ms y digamos que nuestro sistema se vecomo sigue:


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Nuestro G(s) es el mismo, pero ahora queremos error de estado estacionario cerofrente a entrada rampa.

De las tablas, sabemos que un sistema de tipo 2 nos da error de estado estacionariocero frente a entrada rampa. Por lo tanto, podemos tener error de estado estacionario cerosimplemente agregando un integrador (un polo en el origen). Veamos la respuesta frente aentrada rampa unitaria si agregamos un integrador y usamos una ganancia unitaria:

num =conv( [1 5], [1 3]);

den =conv([1,7],[1 8]);

den = conv(den,[1 0]); %un integrador...den = conv(den,[1,0]); % ms el otro

%(pudiera haber puesto conv(den,[1 0 0]) una sola vez...)


t = 0:0.1:250;

u = t;


plot(t,y,t,u)

xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Amplitud')

title('entrada-purple, salida-yellow')

% N. del T.:colores vlidos para la versin 4.2

como puede ver, la respuesta no es de las ms deseables (podemos ver oscilaciones a los100 seg. , pero debera hacer zoom in para verlo). Sin embargo, en estado estacionariotenemos error cero. Magnifiquemos en la zona de los 240 seg. (confe, no se haba llegadoal estado estacionario hasta entonces):


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axis([239.9,240.1,239.9,240.1])

como puede ver, el error de estado estacionario es cero. Sintase libre para acercar endiferentes reas del diagrama y observe cmo la respuesta se aproxima al estadoestacionario.

4.- MTODO DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES.

4.1.- Introduccin

El lugar de las races es el lugar geomtrico de lospolos y ceros de una funcin detransferencia a medida que se vara la ganancia del sistemaKen un determinado intervalo.

El mtodo del lugar de races permite determinar la posicin de los polos de lafuncin de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia Ka partir dela funcin de transferencia a lazo abierto.

El lugar de races se puede decir que es tambin una herramienta til para analizarsistemas dinmicos lineales tipo SISO ( single input single output) y su estabilidad.

(Recurdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplanoizquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del crculo unitario delplanoz(para sistemas discretos).)

El mtodo del L.G.R. es una tcnica grfica para determinar los polos de la F. de T.en L.C. h(s) a partir de la F. de T. en L.D. l(s) conforme vara uno de los parmetros delsistema. Este mtodo proporciona un grfico que permite estudiar,

- estabilidad ------ polos en el S.P.I./S.P.D..- dinmica ------ ubicacin de polos en el diagrama (complejos: oscilaciones).

- estado estacionario ------ error en estado estacionario en el diagrama (polos en el origen).

- sensibilidad ------- variacin del L.G.R. en funcin de algn parmetro.

- diseo ------- ubicacin de los polos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom?tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polo_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Cero_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din?micohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estabilidad_BIBO&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_s&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_s&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom?tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom?tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom?tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polo_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Polo_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Polo_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Cero_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Cero_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Cero_(an?lisis_complejo)http://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_de_transferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din?micohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din?micohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din?micohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci?n_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estabilidad_BIBO&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estabilidad_BIBO&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estabilidad_BIBO&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_s&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_s&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_s&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo


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4.2.- Diagrama de lugar de las races.

Sea un sistema para el que se conoce su funcin de transferencia de lazo abierto (GH),habiendo sido obtenida, por ejemplo, mediante el diagrama de Bode de forma experimental.Se aade al sistema un trmino proporcional (Kc) como parmetro variable para determinarel diagrama del lugar de las races, siendo entonces la funcin de transferencia de lazocerrado la que se indica en la siguiente figura. El denominador de la funcin detransferencia de lazo cerrado, igualado a 0, recibe el nombre de "ecuacin caracterstica", y,como pronto veremos, es la referencia para determinar el lugar de las races. La funcin delazo abierto puede estar compuesta por factores y retardos de primero y segundo orden,factores integrales y derivativos, un factor proporcional o ganancia (Kg), y, si existe y sequiere tener en cuenta, un tiempo muerto. Excepto el trmino proporcional (Kg) y el tiempomuerto, todos los dems pueden expresarse en funcin de sus races como se indica en latabla de la figura, aunque en los casos de factores integrales y derivativos sus races son 0.Los factores y retardos de primero y segundo orden aaden un factor de conversin paraque su ganancia se mantenga igual a 1 cuando se expresan en funcin de sus races. Estosfactores de conversin coinciden con sus correspondientes frecuencias de cruce si son deprimer orden, o con el cuadrado de sus frecuencias naturales si son de segundo orden. Losfactores de conversin se multiplican o dividen (segn corresponda) para determinar unasola constante, llamada C en la figura. Las races del numerador de la funcin de lazoabierto reciben el nombre de "ceros" y han sido identificadas como z1, z2, etc. Las racesdel denominador reciben el nombre de "polos" y han sido identificadas como p1, p2, etc.

Con los conceptos que acaban de ser definidos, ya podemos decir que el lugar de las racesse forma con las trayectorias que siguen los polos de lazo cerrado, a medida que la gananciaKc vara desde 0 hasta infinito. Ntese que los polos de lazo cerrado son las races de laecuacin caracterstica, ya que por ser el denominador de la funcin de lazo cerrado, sus

races se consideran polos. La ecuacin caracterstica, expresada en funcin del numeradory denominador de la funcin de lazo abierto y haciendo comn denominador, resulta uncociente de polinomios, que, al ser igual a 0, puede quitarse el denominador y quedar en laforma recuadrada segn la figura anterior, es decir: den+Kcnum = 0.

El lugar de las races comienza en las races de la ecuacin caracterstica cuando Kces igual a 0, de lo que resultar: den+0num = 0 y por lo tanto: den = 0. Como den es eldenominador de la funcin de lazo abierto, se concluye que el lugar de las races comienza


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en los polos de la funcin de lazo abierto (p1, p2...), ya conocidos. El lugar de las racesfinalizar cuando Kc sea infinito, de lo que resultar: den+infinitonum = 0. Cualquier valorde "s" que no coincida con una raz del polinomio num, har a num distinto de 0 y por lotanto, infinitonum ser infinito o -infinito. Este resultado, sumado a den, no puede ser ceroy no cumplir la ecuacin caracterstica. Por lo tanto, las races cuando Kc llegue a infinito

solo pueden ser las del polinomio num, es decir, los ceros de la funcin de lazo abierto (z1,z2...), ya conocidos. El primer paso para construir el lugar de las races ser dibujar lospolos y ceros de la funcin de lazo abierto, puesto que, como se ha dicho, comenzar en lospolos y terminar en los ceros.

Cada valor intermedio de Kc entre 0 e infinito hace que la ecuacin caractersticacambie y ser muy costoso resolver una cantidad suficiente de "ecuaciones caractersticas"como para definir con claridad los recorridos que siguen sus races. Adems, si el grado dela ecuacin caracterstica es elevado, se aade otra dificultad porque es difcil resolverecuaciones con grado superior a 3. Estas dificultades pueden superarse si los clculos loshace un ordenador, de modo que se aade un programa que har el trabajo pesado por

nosotros:Anlisis de una funcin de transferencia

Supongamos que se desea interpretar la funcin de transferencia que se muestra enla siguiente figura, obtenida experimentalmente con diagrama de Bode o bien por otroprocedimiento, como un modelo matemtico, un diagrama de bloques, etc. Los factores quela forman se describen en la columna izquierda: Un integrador, al que corresponder unpolo (p1) en el origen. Un retardo de segundo orden del que se conoce su frecuencia naturaly su relacin de amortiguamiento, resultando los polos p2 y p3. Un retardo de primer ordendel que se conoce su frecuencia de cruce, resultando el polo p4. Un factor de segundo orden

del que se conoce su frecuencia natural y su relacin de amortiguamiento, resultando losceros z1 y z2. Una ganancia del sistema igual a 1, por lo que no tiene efecto en la funcinde transferencia. Por ltimo, un parmetro Kc variable, con el que construir el lugar de lasraces.

Aunque el factor Kc quedar multiplicado por la ganancia del sistema, resultando un solo

factor, se ha preferido distinguirlos porque Kc no forma parte del sistema sino delcontrolador. El programa de clculo que se ha utilizado tambin los diferencia, de modoque el valor de Kc, que se calcula cuando se pulsa con el ratn en un punto del diagrama,ya es igual a la ganancia que se debe aadir con el controlador, a fin de que el sistema secomporte con las caractersticas del punto pulsado.

Con el programa abierto, ya solo falta introducir los ceros y polos que se handeterminado y pulsar "Ejecutar trazado", resultando el diagrama que se ha mostrado en la


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figura anterior. Pulsando con el ratn en cualquier punto de las trayectorias, el programaindica las coordenadas (sigma y omega) del punto pulsado y la ganancia Kc quecorresponde al punto. As se ha comprobado los puntos marcados en rojo en la figura, y conlos valores de Kc resultantes se han sacado las conclusiones que muestra la figura en lacolumna derecha. Hay que tener claro que para cada valor de Kc habr 4 polos de lazo

cerrado que se corresponden con ese valor, ya que existen 4 trayectorias que comienzan enlos polos de lazo abierto que se han introducido. Recordar igualmente que cada trayectoriacomienza en un polo de lazo abierto con Kc igual a 0, que los polos de lazo cerrado vanrecorriendo las trayectorias a medida que aumenta Kc, y que llegarn al final de lastrayectorias cuando Kc se haga infinito, siempre en los ceros introducidos, o bien en elinfinito si no existan suficientes ceros. En el ejemplo hay dos trayectorias que se dirigen alinfinito porque haba 4 polos pero solo dos ceros, de modo que los otros dos ceros estn enel infinito.

Las posiciones de los polos de lazo cerrado (4 en el ejemplo) para un valor de Kc,tienen las propiedades que ya conocemos sobre estabilidad, frecuencia natural y relacin de

amortiguamiento. Sin embargo, habr un solo polo, o dos en caso de ser conjugados, losque dominan el comportamiento del sistema, y sern los que ms cerca se encuentren deleje imaginario. En el ejemplo, se han marcado en rojo los 4 polos de lazo cerrado quecorresponden con Kc = 27.52, resultando dominantes los dos conjugados que coinciden enel eje imaginario, por lo tanto, un valor de Kc igual a 27.52 llevar al sistema al lmite de laestabilidad.

La conclusin final solo puede ser que este sistema necesita una compensacin ocambio que mejore su comportamiento. El controlador que se aplique necesitar algo msque una ganancia (Kc) para conseguir resultados en un sistema que demuestra ser"desastroso" a efectos de regulacin. Naturalmente, el lugar de las races puede serampliado con nuevas acciones en el controlador que modifiquen las trayectorias y dencomo resultado un mejor comportamiento. Otra posibilidad, en lugar de modificar lastrayectorias, es que el controlador anule o "cancele" ciertas caractersticas negativas delsistema y aada otras mejores.

Correcciones en el sistema:

La primera parte de la siguiente figura muestra el efecto de aadir dos cerosprximos al origen. Demuestra un cambio radical en la estabilidad del sistema, ya que lastrayectorias que antes pasaban a la derecha del eje imaginario, ahora se distancian por laizquierda y el sistema ser estable para cualquier valor de Kc. Se consigue un

desplazamiento a la izquierda aadiendo uno o ms ceros y el efecto es mayor cuanto msse acerquen hacia la derecha los ceros aadidos. Este tipo de compensacin es en adelanto yse consigue con factores que aaden ceros como es el caso de los factores derivativos y losfactores de primero y segundo orden. El desplazamiento a la izquierda aumenta(generalmente) la distancia al origen y con ello la velocidad de respuesta tambin aumenta.El caso contrario de aadir polos es una compensacin en atraso y tiene el efecto dedesplazar las trayectorias hacia la derecha.


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La compensacin en atraso acerca a la inestabilidad y disminuye la velocidad derespuesta, pero mejora la precisin esttica. La compensacin en adelanto aumenta lavelocidad y estabilidad, pero disminuye la precisin esttica. Por lo tanto, no es posiblemejorar a la vez la velocidad y la precisin, sino que debemos buscar el mejor equilibrioposible entre ambas. Un controlador puede disearse para que trabaje como compensador

en atraso o en adelanto de forma configurable, por ejemplo con un cero y un polo cuyasposiciones dependan de algn parmetro, se puede hacer que el cero quede a la derecha o ala izquierda del polo y, lgicamente, compensar en adelanto si el cero queda a la derechadel polo y compensar en atraso en caso contrario. As mismo, la distancia al origen delcero y del polo determinar la intensidad en el atraso o adelanto.

La compensacin en adelanto que ha sido aadida en el ejemplo, a pesar de haberhecho al sistema estable, no es la ms adecuada porque todava est limitada la relacin deamortiguamiento, ya que el ngulo beta no puede ser menor que el dibujado en la figura.Adems, la proximidad al origen de uno de los ceros, prcticamente cancela el polo en elorigen y por ello quedar muy resentida la precisin esttica. Un cero y un polo muycercanos o coincidentes hace que sus acciones se contrarresten y que apenas tengan efectoen la respuesta. Esto puede ser otra forma de corregir un sistema (cancelando polosperjudiciales) y demuestra ser ms acertado en el ejemplo que seguimos, ya que comovemos en la segunda parte de la figura anterior, al aadir dos ceros coincidentes con los dospolos conjugados, se consigue un cambio radical del comportamiento: Aumenta la distanciaal origen y, por lo tanto, tambin aumenta la velocidad. Se mantiene estable para cualquiervalor de Kc, y la relacin de amortiguamiento ser perfectamente ajustable porque elngulo beta mnimo puede llegar a cero grados. En la figura se ha marcado un punto quecorresponde a una relacin de amortiguamiento igual a 0.7 aproximadamente (coseno de beta igual a 0.7), siendo beta igual al arco cuya tangente es el cociente entre lascoordenadas del punto (omega y sigma).

4.3.- Reglas generales para el mtodo del lugar de las races.

Las reglas que se detallan a continuacin permiten graficar el lugar de races sinresolver la ecuacin caracterstica, permitiendo que el mtodo sea aplicable a sistemascomplejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente selas conoce comoReglas de Evans.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=R._Evans&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/1948http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=R._Evans&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=R._Evans&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=R._Evans&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/1948http://es.wikipedia.org/wiki/1948http://es.wikipedia.org/wiki/1948


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Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de races para valores de kpositivos.Para valores negativos de kse utiliza un conjunto de reglas similar.

En lo que sigue, nos referimos a la funcin de transferencia a lazo abierto.

1. Nmero de ramas. El nmero de ramas del lugar de races es igual al orden de la

ecuacin caracterstica de la funcin de transferencia a lazo cerrado. Para sistemasracionales, esto equivale al orden de la ecuacin caracterstica de la funcin detransferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la funcin de transferenciaa lazo abierto.

2. Simetra. Dado que la ecuacin caracterstica es de coeficientes reales, las racescomplejas deben sercomplejas conjugadas. Por tanto, el lugar de races es simtricorespecto al eje real.

3. Polos de lazo abierto. Los polos de la funcin de transferencia a lazo abiertopertenecen al lugar de races y corresponden a k= 0.

4. Ceros de lazo abierto. Los polos de la funcin de transferencia a lazo abierto

pertenecen al lugar de races y corresponden a . Si haytpolos msque ceros, entonces tposiciones se harn infinitas a medida que k se aproxime ainfinito.

5. Asntotas. Si la funcin de transferencia de lazo cerrado tiene t polos ms que

ceros, entonces el lugar de races tiene t asntotas equiespaciadas, formando entre

ellas un ngulo de , donde . El lugar de races seaproxima a estas asntotas a medida que ktiene a infinito.

6. Centroide de las asntotas. El punto del eje real donde las asntotas se intersecan sesuele llamar el centroide de las asntotas, se denota mediante 0, y se calcula

mediante , donde t = n m, siendo n la cantidad de polos y m lacantidad de ceros.
http://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra?z_de_una_funci?nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/As?ntotahttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra?z_de_una_funci?nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra?z_de_una_funci?nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra?z_de_una_funci?nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/As?ntotahttp://es.wikipedia.org/wiki/As?ntotahttp://es.wikipedia.org/wiki/As?ntota


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7. Lugar de races sobre el eje real. Si la funcin de transferencia a lazo abierto tienems de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un nmeroimpar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de races.

8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares,indican la presencia de races mltiples de la ecuacin caracterstica, y se dan en los

valores des para los cuales se verifica .

9. Interseccin con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario seencuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuacincaracterstica paras =j.

10. Pendiente del lugar de races en polos y ceros complejos. La pendiente del lugarde races en polos y ceros complejos de la funcin de transferencia a lazo abierto sepuede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relacin

.

11. Clculo de k en un punto del lugar de races. El valor absoluto de k quecorresponde a un punto dado del lugar de races puede determinarse midiendo el

mdulo de cada segmento que une cada polo y cero de la funcin de transferencia a

lazo abierto y el punto en cuestin, y evaluando as .


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EJERCICIO 1 TEMA 3.Respuesta escaln unitario con MATLAB

Tenemos dos sistemas con las siguientes funciones de transferencia:

sys1: y sys2: .

Realizar con MATLAB una grfica donde veamos la respuesta de los dos sistemas ante unescaln unitario con un tiempo de simulacin de 30s. Tambin representar en la mismagrfica, la funcin escaln unitario.

%----------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB

%En este ejemplo veremos el uso del comando step%----------------------------------------------------------------------

%Definicin de los sistemas:sys1=tf([1],[1 0.5 1]);sys2=tf([1],[1 0.5 4]);

%Representacin de la respuesta:t=0:0.01:30; %Respuesta hasta los 30 s.step(sys1,'r', sys2,'g',t);%Representacin en la misma grafica

%Aplicaremos rejilla y pondremos un titulo con text:

gridtext(5, 1.4,'Respuesta de dos sistemas','FontSize',13);

%Representacin de la entradat0 = -2.0:0.01:-0.01; % definicin u(t)=0, -2


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EJERCICIO 2TEMA 3 Polos y Ceros.

Encuentre los polos y ceros de la funcin de trasferencia H(s) =s2+6s+8

s2+2

y grafique los resultados en el plano-s.

Lo primero que tenemos que reconocer que la funcin de transferencia ser igual acero cuando lo de arriba, s2+6s+8, sea igual a cero. Para encantar que esto iguala a cerofactorizamos esto para obtener, (s+2) (s+4. Esto da a ceros en s=-2 ys=-4. Si esta funcinhubiera sido mas complicada, talvez tendramos que usar la formula cuadrtica.

Para los polos, tenemos que reconocer que la funcin de transferencia ser infinitacuando la parte de abajo es cero. Esto sucede cuando s2+2 es cerro para encontrar esto,

tenemos que factorizar la funcin esto nos da (s+ 2) (s 2.

Lo que significa que tenemos races imaginarias de + 2 y (

2.

Al graficar esto nos da:

Figura 1: Muestra de la Grafica


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Ya que hemos encontrado y graficado los polos y cero, tenemos que preguntarnosque es lo que nos dice esta grafica. Lo que podemos deducir es que magnitud de la funcinde trasferencia ser mayor cuando se encuentre cerca de los polos y menos cuando seencuentre cerca de los ceros. Esto nos da un entendimiento cualitativo de lo que el sistemahace en varias frecuencias y es crucial para la funcin de estabilidad.
http://cnx.org/content/m12834/latest/http://cnx.org/content/m12834/latest/http://cnx.org/content/m12834/latest/http://cnx.org/content/m12834/latest/


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EJERCICIO 3 TEMA 4.Error Estacionario

Sea el sistema de realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es:

Calcular :

a) los tres primeros coeficientes estticos de error.

b) Los tres primeros coeficientes dinmicos de error.

c) El error estacionario del sistema al ser excitado por la seal x(t) = e-3t.

RespuestaPuesto que el sistema tiene realimentacin unitaria tendremos H(s) = 1, y segn lasdefiniciones podremos escribir:

Coeficiente esttico de error de posicin

Coeficiente esttico de error de velocidad:

Coeficiente esttico de error de aceleracin


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Para obtener los coeficientes dinmicos de error consideramos la funcin:

y a partir de ah tenemos:

El error estacionario del sistema vendr dado por:


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donde representan los valores estacionarios de la excitacin y de sus

derivadas. En nuestro caso, el valor estacionario de la excitacin y sus derivadas es nulopor tenerse:

As pues, el error estacionario ser nulo.


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EJERCICIO 4 TEMA 4:Lugar de las races.

Segn el diagrama de la figura,

a)Obtener el lugar de las races

b) Determinar el valor de K, a partir del cual:

el sistema es inestable

el sistema presenta sobre oscilacin para una entrada escaln unitario

a) El primer paso es definir las funciones de transferencia G(s), H(s) y G(s)H(s).Llamaremos a estas funciones sis_g, sis_h y sis_gh,respectivamente. A continuacin utilizaremos el sistema sis_ghrecin creado como argumento para la instruccin rlocus.

Matlab generar un grfico como el siguiente:

Interpretar el grfico resultante es sencillo: Muestra la situacin en el planocomplejo de los polos del sistema realimentado o en cadena cerrada W(s). Cada ramarepresenta la situacin de uno de los polos; en este caso aparecen tres ramas dibujadas contres colores distintos para mayor claridad. Los puntos de comienzo (K=0) de cada ramacoinciden con los polos en cadena abierta (cruces sobre el grfico) y puntos de finalizacin(K=inf ) de cada rama tienden a infinito en este caso.

Si no se aade ningn parmetro extra, MATLAB elegir automticamente los valores de Kentre 0 e infinito para los cuales calcular el lugar de las races. En determinadas ocasionesinteresa elegir manualmente el rango de valores deseado para K. Para ello basta conintroducir un nuevo parmetro en rlocus:

rlocus(sis_gh, [0:.1:100]) %K de 0 a 100 a intervalos de 0.1El resultado:


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Si no se desea un resultado grfico, sino que se desea conocer los valores numricos de lospolos en cadena cerrada para cada valor de K la instruccin a teclear ser:

[r, k] = rlocus(sis_gh);

La variable k contendr los valores del parmetro K utilizados para el clculo del lugar delas races; la variable r contendr los polos del sistema para cada valor de K.

Tambin es posible comprobar sobre el propio grfico los valores del parmetro K

correspondientes a cada punto del lugar de las races. Para ello se emplea la instruccinrlocfind. Esta instruccin, ejecutada a continuacin de rlocus, permite pinchar con el ratnsobre un punto cualquiera del lugar de las races y obtener el valor del polo ms cercano alpunto donde se ha pinchado, el valor de K correspondiente a ese polo y la situacin delresto de polos para ese valor de K (aparecen marcados en rojo sobre el diagrama):

rlocus(sis_gh)

rlocfind(sis_gh)

Select a point in the graphics window

A continuacin se debe pinchar con el ratn sobre un punto cualquiera del lugar de lasraces:

La repuesta que aparece en la ventana de comandos indica el valor de s en elpunto del lugar de las races donde se ha pinchado (selected point) y el valor de K

correspondiente (ans):

selected_point =

-1.2558 + 2.3509i

ans =


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30.6040

Tal y como indica MATLAB, en este caso el punto donde se ha pinchado ess = 1.2558+2.3509j y el valor de K para el cual el sistema presenta ese polo es K = 30.604.


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trabajo de karla

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