trabajo control 2
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Modelado, análisis y control de un evaporador de doble efecto
Jesse Mauricio Beltrán SotoDiego Fernando Carvajal Castrillón
Santiago Lopez RestrepoMichelle Maceas Henao
Profesor:Héctor Botero Castro
Materia:Controles variables de estado
Universidad nacional de ColombiaSede Medellín
Facultad de mecatrónica2012
TABLA DE CONTENIDO
1.Introduccion2.Modelamiento Matemático de la planta
7. Conclusiones
8. bibliografía
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo, se presenta el desarrollo del modelo matemático y el sistema de control de un evaporador de doble efecto.El método general para aumentar la evaporación por kilogramo de vapor de agua utilizando una serie de evaporadores entre el suministro de vapor vivo y el condensador, recibe el nombre de evaporación en múltiple efecto. En el cual el vapor procedente de uno de los evaporadores se introduce como alimentación en el elemento calefactor de un segundo evaporador, y el vapor procedente de éste se envía al condensador, la operación recibe el nombre de doble efecto.En este caso se utiliza este sistema, para concentrar mezclas de trietilen-glicol en agua.A partir de los balances de materia y energía se obtiene el modelo no lineal del proceso, formado por cinco variables de estado , tres entradas de control y tres entradas de perturbación, permitiendo así un análisis de las condiciones de estado estacionario, para obtener el punto de equilibrio, a partir de la cal se obtiene el modelo lineal del proceso.
2. Modelo matemático de la planta
El proceso como tal, se muestra en la figura, está constituido por un evaporador de doble efecto. En el primer efecto (Tanque), se alimenta con una solución de trietilen-glicol y agua con un caudal masaco F, una concentración de soluto C f y una temperatura T f . La solución se concentra en el primer efecto por acción de un caudal de vapor S f, el cual genera un caudal de vapor O1 y un caudal de fondos de soluto concentrado B1, esta corriente de fondos es alimentada al cambiador de calor del segundo efecto por el lado tubos, mientras que el caudal de cabeza O1 alimenta el cambiador del segundo efecto por el lado carcasa. La corriente de salida B2, que es el producto deseado, abandona el segundo efecto con una concentración de soluto C2(% en peso).El caudal producido en el segundo efecto O2 es condensado en el separador de fases, que está a una presión P2 y a una temperatura constante T 2 por la acción del condensador barométrico.
Fig1. Esquema del proceso
La cantidad másica del líquido retenido en el primer efecto y separador de fases son W 1 y W 2 respectivamente, mientras que P1, T 1 y P2, T 2 son las presiones y temperaturas en cada uno de los efectos.Para desarrollar el modelo matemático del sistema han de tenerse en cuenta las siguientes suposiciones.
Las camisas de almacenamiento de vapor, paredes de los tubos y carcasas tienen capacidades caloríficas despreciables, y por tanto no se consideraran en el balance de energía.
El condensador barométrico de vacio mantiene la temperatura T 2 del segundo efecto constante
No hay soluto en las corrientes de vapor O1 y O2que salen de cada uno de los efectos.
El vapor retenido en cada efecto es despreciable.Bajo las suposiciones anteriores, los balances de masa y energía en cada efecto son:
1. Balance total de masa en el primer efecto:
dW 1
dt=F−B1−O1 (1)
2. Balance de soluto en el primer efecto
d(W ¿¿1C1)
dt=FC f−B1C1 ¿ (2)
3. Balance de energía en el primer efecto:
d(W ¿¿1C1)
dt=Fh f−B1h1−O1H v 1+Q1−L1¿ (3)
Donde:
Q1= Calor transmitido por el vapor de calefacción h1 , la entalpia especifica de la solución, H v 1 la entalpia especifica del vapor a la temperatura T 1 y L1, las pérdidas de calor en el primer efecto .Este término puede despreciarse si el
sistema está bien aislado térmicamente. Eliminando dW 1
dt entre las
ecuaciones (1) , (2) y (3) se puede obtener:h1
W 1
dC1
dt=F (C f−C1)+O1C1 (4)
W 1
dh1dt
=F (hf−h1 )−O1 (H v1−h1 )+Q1−L1 (5)
4. Balance total de masa en el segundo efecto:
dW 2
dt=B1−B2−O2 (6)
5. Balance de soluto en el segundo efecto:
d(W ¿¿2C2)
dt=B1C1+(x−B2)C2−xC2¿ (7)
Eliminando dW 2/dtde las ecuaciones (6) y (7, se obtiene:
W 2
dC2
dt=B1(C ¿¿1−C2)+C2O2 ¿ (8)
La temperatura del segundo efecto se mantiene constante por la acción del condensador barométrico, no es necesario realizar el balance de energía en el segundo efecto. Las ecuaciones (1), (4), (5) , (6) y (8) constituyen el modelo matemático general del proceso. A efectos de particularizar, se supondrá que el calor suministrado en el primer efecto es debido a la condensación total del caudal de vapor S f, o sea:
Q1=¿V sS f ¿ (9)
Donde V s es el calor latente de condensación, en las ecuaciones del modelo se especifican los caudales de vapor O1, O2 que salen de cada efecto. El caudal O1 que sale del primer efecto se determina suponiendo que dicho vapor se condensa por completo en el segundo efecto, para lo cual será necesario disponer del area y el coeficiente global de transmisión de calor en el cambiador de calor del segundo efecto, o sea:
Q2=U 2 A2 (T 1−T2 )=O1(H v 1−hc 1) (10)
Sabiendo que H v 1 y H c 1 las entalpias especificas del vapor y del condensado respectivamente. U 2 es el coeficiente global de transmisión de calor del segundo efecto.A2, el área de transmisión de calor del segundo efecto.Los valores de H v 1 y hc1 pueden estimarse a través de correlaciones termodinámicas.
PRIMER PARCIAL DE CONTROL Estructuras SISO 01-2012UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE MINAS(Primera Parte)
La siguiente Figura, muestra un intercambiador de calor, en el cual se hacen circular un fluido caliente y en contraflujo un fluido frío, donde ambos fluidos son agua. El objetivo de
control es controlar la temperatura de salida del flujo frío TCo = T C1 , a través del flujo de
entrada del fluido caliente FHi . Considere que el flujo de entrada del fluido frío FCi , la
temperatura de entrada del fluido frio TCi y la temperatura de entrada del fluido caliente THi son perturbaciones al sistema.
Las ecuaciones del modelo son:
Donde , y
c p Calor específico (4.1813 KJ Kg-1 K-1)
ρ Densidad del agua (1000 Kg / m3 )U Coeficiente de conducción ( 15000W m-2 K-1)A Área de contacto entre los secciones de los ductos (0.1571 m2)V H Volumen de control de fluido caliente ( 0.0118 m3)V C Volumen de control de fluido frio ( 0.0039 m3)
FHiMAX Flujo de control máximo 40 Kg/s (40 l/s)
FHiMIN Flujo de control mínimo 0 Kg/s (0 l/s)
Para este problema planteado tener en cuenta el siguiente punto de operación:
Código TH1 TH2 TC1 TC2 THi FHi TCi FCi20091506
8 79,5040219 77,9649483 29,0701035 26,0781473 81 19 23 9,5
:
SOLUCIÓN
Con el fin de obtener un buen controlador para el intercambiador de calor se opta por la realización de 10 pasos que se muestran a continuación:
1- Linealice y pruebe mediante simulación la linealización del sistema alrededor del punto de operación y obtenga las funciones de transferencia entre la salida controlada Tc1 y la entrada manipulada FHi y entre la salida controlada y las variables de perturbación (TCi,THi, Fci).
Lo primero que se debe hacer es identificar si el modelo el lineal o no, para ello se identifican las variables de estado y demás variables, posteriormente se observa de las ecuaciones del modelo antes planteadas si se tiene o no dicha linealidad.
Debido a que son las variables que poseen razón cambio, las variables de estado seleccionadas son:
X=[T H 1
T H 2
TC 1TC 2
];Posteriormente identificamos de lo planteado, la variable controlada es el flujo caliente FHi, por ende este parte de la entrada a demás tenemos otras tres entradas las cuales no se pueden manipular, por ente las llamaremos perturbaciones del sistema y son (THi, TCi, FCi), de donde obtenemos:
U=[T Hi
FHi
T Ci
FCi];
Y puesto que la variable q se desea controlar en Tc1=Tc0, deducimos la salida como:
Y= [T C 1 ];
Ya habiendo estableciendo las variables del sistema procedemos a observar la linealidad, del sistema, despejando las derivadas de las cuatro variables de estado (buscando así una solución al sistema).
De donde se observa un grado de no linealidad debido a la multiplicidad entre variables de estado y entradas, debido a esto se debe realizar su representación lineal a través de un punto de operación, puesto q muchas plantas de este tipo, y en general trabajan alrededor de uno, a demás este sistema linealizado es mucho mas fácil de tratar que el no linealizado debido a propiedades como superposición, manejo en Laplace, entre otras. Así, se procede a linealizarlo mediante la puesta de estas ecuaciones en matrices y aplicándoles el comando Jacobian de Matlab, y evaluando posteriormente en el punto de equilibrio dado, obteniendo la representación del sistema en variables de estado (V.E):
˙∆ X=A∆ X+B ∆U∆Y=C∆ X+D∆U
Donde:
Ya con el sistema linealizado podemos observar el funcionamiento de las entradas, es decir a partir de su función de transferencia en lazo abierto con el modelo de la planta podemos analizar que tanto influye ésta al sistema.
A continuación mostramos las funciones de transferencia de la salida TC1 respecto a las entradas:
De donde la planta es TC1/FHi, la cual se representa en su forma factorizada gracias al comando zpk, como se observa a continuación:
Donde observamos es estable (polos negativos) y o posee ceros de fase no mínima (ceros negativos).
2- Grafique los diagramas de bode de cada función de transferencia y analice los anchos de banda.
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Diagrama de bode Tc1/Thi
Frequency (rad/s)
Se puede apreciar que la perturbación no afecta mucho la planta debido a que ésta en lazo abierto la atenúa bien (la perturbación) en frecuencia bajas y aún más a frecuencias altas.
-120
-100
-80
-60
-40
-20
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Diagrama de bode Tc1/Fhi
Frequency (rad/s)
Se aprecia que la planta atenúa demasiado esta variable, y decimos demasiado, debido a que la atenuación es alta y puesto a que esta es la variable manipulada, con la que queremos controlar, si esta no tiene un buen efecto sobre la planta en comparación con las demás es probable que no tengamos un buen control del intercambiador.
-50
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
90
135
180
Pha
se (
deg)
Diagrama de bode Tc1/Fci
Frequency (rad/s)
De los diagramas de bode tratados hasta el momento este es el que presenta mayor significancia a la planta debido a la poca atenuación que posee la planta sobre ésta, por ende se notaran más los efectos de la perturbación sobre la planta.
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Diagrama de bode Tc1/Tci
Frequency (rad/s)
Esta perturbación, entre todas las entradas es la que más afecta a la planta, puesto que a frecuencias bajas no presenta atenuación para la planta, y es lógico debido a que perturbación pertenece a la temperatura caliente que es la influye directamente a la variable a controlar, al igual que la perturbación FCi tratada anteriormente.
Por otro lado es la que empieza atenuar a mayor frecuencia, por lo exigirá más a la hora del controlador.
3- Simule el sistema en el punto de operación, no olvide inicializar los integradores con las condiciones iniciales.
Para la simulación de la linealización, se tuvo en cuenta la desviación que se presenta al momento de linealizar respecto al punto de equilibrio, y los deltas de las variables que se generan, ya con esto, los resultados de linealización respecto al punto de equilibrio frente a varias perturbaciones es:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5529
29.2
29.4
29.6
29.8
30
30.2
30.4
30.6
30.8
tiempo(s)
T(°
K)
Sistema lineal vs sistema no lineal
No linealLineal
Se puede apreciar que el sistema lineal, sigue muy de cerca al no lineal, y a demás que responde muy bien respecto a las perturbaciones, puesto que posee un tiempo de estabilización corto para el sistema tratado.
Por otro lado, para ver más de cerca el efecto de la perturbación sobre los dos sistemas (tanto el lineal como el no lineal), se muestra más de cerca el efecto de una perturbación:
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4529
29.2
29.4
29.6
29.8
30
30.2
30.4
30.6
30.8
31
tiempo(s)
T(°
K)
Sistema lineal vs sistema no lineal
No linealLineal
NOTA: A continuación se muestran las perturbaciones desde su estado en equilibrio, con un escalón de 1.05 su magnitud.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
tiempo(s)
Escalones de perturbaciones a diferentes tiempo de actuación
THi
FHiTCi
FCi
De la gráfica anterior se aprecia que al momento de la perturbación el sistema lineal se demora en responder frente al no lineal.
4- Construya un controlador usando el método de ubicación de polos, tal que ante un cambio de referencia de 0.5 grados hacia abajo, desde el punto de operación, presente un sobreimpulso menor al 20% y un tiempo de establecimiento de 30 segundos, en lo posible evite que la entrada sature (FHi debe mantenerse entre FHiMIN y FHiMAX).
Para el diseño del controlador se implemento el .m paq de Matlab, el cual consiste en introducir el numerador de la planta en lazo abierto, el denominador de la
planta en lazo abierto y el polinomio deseado, y posteriormente éste (paq.m), por medio de la ecuación Diophantine, halla el controlador, el cuál debe ser una racional propia o al menos bipropia.
Para lograr lo antes mencionado y obtener en sí, un buen controlador el grado del denominador de la planta (n) más el grado del denominador del controlador (m) debe ser siquiera del grado m+n. A demás para obtener un controlador único el grado de éste debe ser 1 unidad menor que el de la planta (m=n-1), en caso de querer un controlador con dinámica arbitraria, es decir, que se pueda recibir mejores especificaciones de diseño, el grado del denominador del controlador (gdc) mayor que lo antes mencionado (m>n-1).
Posteriormente basándonos en lo mencionado con anterioridad (y teniendo en cuenta que las funciones pertenecientes al grado del polinomio característico y al denominador de la planta deben ser monicos), observamos que el grado del denominador de nuestra planta es de orden 4, por ende el grado del controlador debe ser por lo menos de orden 3, debido a esto el polinomio deseado debe ser siquiera de orden 7.
Establecido los órdenes de las funciones a ingresar para el paq.m, falta establecer el polinomio deseado, éste se realiza con las especificaciones del problema (ts<30s y Mp%<20%), del cual se obtiene un polinomio de grado 2, con la sintaxis:
pd=s2+2 ε wn+wn2
Debido a que lo necesito de orden 7, se le dispone a agregársele 5 polos de tal forma que no afecten la dinámica del sistema, colocándolos lejos de los polos del polinomio deseado, aunque no ahí método para decir que tan lejos debe ser estos, lo recomendado es 10 veces la distancia de los polos del polinomio deseado, ya con esto tenemos los parámetros necesarios para un primer controlador.
Después de estimar este controlador, e implementándolo en el sistema, se observo un error de estado estacionario muy grande, a demás como se puede apreciar a continuación en controlador es bipropio.
Posteriormente al captar este error de estado estacionario, se decidió introducir un integrador al controlador, con el fin de quitar este, a demás de hacer del
sistema uno más robusto, aunque más lento debido al desfase de 90°, con él se consiguió el siguiente controlador:
0 10 20 30 40 50 6028.3
28.4
28.5
28.6
28.7
28.8
28.9
29
29.1
29.2
tiempo(s)
T(°
K)
Respuesta al escalón
De este controlador se obtuvo respuestas satisfactorias como se mostraran a continuación, claro que toco disminuir el tiempo de establecimiento en 14.5 al igual que el sobreimpulso a 14.5 igualmente.
Por otro lado se observa que los coeficientes son muy altos, por lo que el esfuerzo de control será elevado, o mejor dicho balo debido a que se debe cerrar la valvula para lograr el enfriado.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
5
10
15
20
25
30
tiempo(s)
Respuesta del sistema vs Esfuerzo de control
Respuesta del sistemaEsfuerzo de control
NOTA: los polos adicionales se implementaron con el comando conv().
5- Con el controlador en lazo cerrado grafique los diagramas de bode entre la salida controlada y las variables de perturbación (TCi,THi, Fci). Compare los resultados con los resultados de lazo abierto. Calcule las sensibilidades To, So, Suo y Sio teniendo en cuenta las funciones de transferencia de las perturbaciones.
El próximo análisis de diagramas de bode del sistema controlado vs el sistema no controlado, se realiza para ver como se comporta la acción de control, en la salida Tc1 respecto a lasperturbacionesy a la entrada.
Del diagrama de bode anterior se observa que el controlador atenúa la señal en todo su dominio, a demás empieza atenuando un factor de 0.005623, en comparación con el sistema en lazo abierto donde este me sigue la referencia.
Por otro lado se aprecia que las frecuencias donde casi no atenúa la señal, son las próximas a la frecuencia de corte.
Del diagrama de bode anterior se puede apreciar un buen control debido que al estar más próximo al 0 que el no controlado (del diagrama de magnitud) sigue mejor la referencia que éste, a demás este seguimiento perdura en un ancho de frecuencia mas alta.
Del diagrama de bode anterior se puede apreciar que aunque a acción de control atenúa la perturbación para frecuencias bajas, cuando las frecuencias superan la frecuencia de corte el controlador y la planta en lazo cerrado actúan de forma muy parecida frente a esta perturbación, es decir, la acción de control no la afecta a altas frecuencias, lo cual era esperado debido a que esta señal es la que más afecta directamente la variable a controlar.
A demás de las perturbaciones es la menos atenuada con un -40db, en el inicio del diagrama de magnitud, lo cual es equivalente en afectar al sistema en un factor de 0.01.
Del diagrama anterior de aprecia que esta señal es la más atenuada con un factor de ganancia de 0.001, lo cual es lo más lógico ya que la variable manipulada es Fhi, la cual influye directamente a esta variable (Thi).
Funciones de sensibilidad de la de la salida Tc1 respecto Fhi
6- Aplique una referencia tipo paso que baje la temperatura de salida a 25 oK, ¿qué sucede?
Debido a que mi punto de operación se encuentra en 29.0701035oK, para que este valor pase a 25oK, para un sistema de intercambiador de calor con un tiempo de establecimiento de 30 segundos se necesita una acción de control muy alta, se podría decir que lo normal fuera la saturación de la acción de control (la cual es hecha por una valvula) como se aprecia en la figura de U (esfuerzo de control), donde se satura junto en el momento donde ve el escalón, generando así una acción de control muy rápida, casi que instantánea, lo cual es muy duro para una electroválvula, y se observa que posteriormente se vuelva asaturar, en la acción del segundo sobreimpulso del sistema.
0 20 40 60 80 100 120 14023
24
25
26
27
28
29
30
tiempo(s)
T(°
K)
Respuesta al escalón de -5.07°K
ReferenciaRespuesta del sistema
0 20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
tiempo(s)
Respuesta del sistema vs Esfuerzo de control
Respuesta del sitemaEsfuerzo de control
Por estos motivos podemos decir que no resulta duro entender porque el sistema se estabilizo en casi 85 segundos, aunque el sobreimpulso este entre los parámetros especificados, a demás cabe resaltar que aunque demora mas, aun sigue la referencia y con sobreimpulsos menores del 10% (el sobre impulso requerido fue del 20%).
7- Aplique una referencia tipo rampa (con pendiente 0.05 oC/s) que baje la temperatura de salida a 25 oC, ¿Qué sucede? (Visualice el espectro de las dos referencias).
Como se aprecia de la figura perteneciente al controlador, debido a que la referencia es una rampa de pendiente 0.05 (tiene una inclinación muy pequeña por cada segundo transcurrido), por lo cual no presenta cambios bruscos en la mayoría de su trayectoria, tanto solo en los picos que se hallan al comienzo y al final de dicha rampa, lo cual no es muy notorio en la figura de la rampa completa (debido a que la pendiente es tan pequeña, para llegar a los 25°K demora 80s aproximadamente y los picos se generan en un instante), por lo tanto también se muestra un zoom a esos sobreimpulsos a continuación.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10024
25
26
27
28
29
30
tiempo(s)
T(°
K)
Respuesta a una rampa de pendiente 0.05
Referencia Respuesta del sistema
8 10 12 14 16 18
28.6
28.7
28.8
28.9
29
29.1
29.2
tiempo(s)
T(°
K)
Respuesta a una rampa de pendiente 0.05- Zoom impulso 1.
Referencia Respuesta del sistema
90 90.5 91 91.5 92 92.5 93 93.5 94
24.9
24.95
25
25.05
tiempo(s)
T(°
K)
Respuesta a una rampa de pendiente 0.05- Zoom impulso 2.
Referencia Respuesta del sistema
De lo anterior es lógico lo que muestra el esfuerzo de control U (figura siguiente), donde empieza alto para seguir los 29.0701035oKdel estado estacionario de Tc1, posteriormente
al llegar a la rampa muestra un sobreimpulso pequeño hacia abajo, pero al mismo tiempo empieza a decaer debido a la rampa negativa de poca pendiente, hasta el punto que llega a casi cero, y por ultimo muestra otro sobre impulso pequeño hacia arriba al llegar al final de la rampa.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100
5
10
15
20
25
30
tiempo(s)
Respuesta del sistema vs Esfuerzo de control
NOTA:
Cabe destacar que el sobreimpulso pequeño hacia abajo es debido a que como estamos controlando el flujo caliente, necesitamos cerrar la válvula para enfriar la temperatura del agua, que es lo que se hace con la rampa negativa de referencia, de forma análoga se ve el sobreimpulso hacia arriba al final de la rampa, donde se necesita abrirla un poco para mantener la temperatura de 25°K.
Por otro lado para este proceso el meter una rampa de referencia en vez del escalón, es más lógico, puesto que en un intercambiador de calor la temperatura no cambia abruptamente (lo cual no significa despreciar el análisis con la referencia igual al escalón, lo cual es muy implementado para diseños de control).
A continuación mostramos los espectros tanto de la rampa como del escalón que llegan hasta 25°K.
Escalón
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
Como se aprecia de la figura, el controlador empieza atenuando un factor de 0.1 a las perturbaciones, pero como estamos refiriéndonos a la entrada Fhi, lo que realiza el controlador es que la salida siga la referencia, como se observa entre el espectro de salida y de entrada, además podemos apreciar que las perturbaciones con la que viene la entrada, son atenuadas por el sistema.
Rampa
100
101
102
103
104
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
De forma análoga al análisis del espectro anterior, el espectro de salida y de entrada están sobre la misma curva, pero mucho mejor (el espectro limpio) esto se debe al poco esfuerzo de control por la entrada fácil de tratar.
0 20 40 60 80 100 1200
20
40
60
80
100
tiempo(s)
Perturbaciones
THiTCiFCi
8- Manteniendo la referencia en su valor nominal varíe: a. el valor de la THi en un 10% (1.1xTHi*)b. el valor de la Tci en un 10% (1.1xTci*)c. el valor de la Fci en un 10% (1.1xFci*)
Analice las respuestas del sistema mirando la acción de control y la respuesta del sistema
Ya habiendo analizado el sistema controlado frente a varios set point, ahora procedemos a ver su dinámica frente a perturbaciones, para esto me meterán escalones con valores del 1.1*(valor en el punto de equilibrio de cada perturbación), y con un tiempo de desaparición entre cada escalón de 30s, puesto que este es el tiempo permitido para la estabilización del sistema, tal y como se aprecia de la figura anterior.
0 20 40 60 80 100 120 14027
27.5
28
28.5
29
29.5
30
30.5
tiempo(s)
T(°
K)
Respuesta del sistema frente a perturbaciones y seguimiento de referencia
TCi FCiTHiReferencia
Como se observa el controlador responde de forma satisfactoria frente a todas las perturbaciones (cumpliendo las especificaciones establecidas), presentando un sobre impulso que a la vista es exagerado en el momento en el que entra la perturbación Tci, de la cual ya hemos mencionado, era la mas propicia de exigir al controlador esfuerzo de control, lo cual queda ratificado en esta simulación.
0 20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
35
40
tiempo(s)
Respuesta del sistema vs Esfuerzo de control
Respuesta del sistema
Esfuerzo de control
Como era de esperar presenta un buen aceptable esfuerzo de control, aunque ahí 4 cosas que resaltar:
Presenta una saturación (en un corto periodo de tiempo) en la estabilización respecto a la referencia.
Presenta una saturación (en un alto periodo de tiempo) en la estabilización respecto a la perturbación Tci.
Debido a que la estabilización respecto a Tci es tediosa para el controlador, alcanza a afectar la dinámica de la perturbación Fci, la cual entra a los 100s, donde se ve un impulso alto, que aunque no se satura, demanda mucha velocidad al actuador, lo cual es el mundo real no es viable.
Las saturaciones q se presentan se dan de forma muy rápida, lo cual demanda un actuador con una resolución y exactitud muy elevadas, a tal punto que tal vez no se encuentre en el comercio, o al menos al alcance de operario.
9- Cargue el archivo perturb.mat y sume a los valores nominales las señales de perturbación THi_pert, TCi_pert y FCi_pert, calcule el espectro de las señales, aplíquelas una a una a la planta, en lazo abierto (sin controlador) y en lazo cerrado (con controlador) y calcule el espectro de las distintas señales de salida. Explique el comportamiento observado (Clave: use los diagramas de Bode calculados previamente). Conociendo estas perturbaciones ¿cómo diseñaría el sistema de control?
Comparación entre espectro en lazo abierto (con la planta) y en lazo cerrado (con la planta y el controlador) de la perturbación THi
10-1
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la planta
Espectro de la entrada
Espectro de la salida
En lazo abierto
Como era de esperar, la mera planta en lazo abierto logra controlar la perturbaciónTHi la cual es la mas fácil de maniobrar, como lo observamos en los diagramas de bode anteriormente. Se dice esto, puesto que la salida respecto a la entrada sale atenuada, lo cual debería ser en un factor de 0.1, debido a que el bode empieza en -20db.
10-2
10-1
100
101
-100
-80
-60
-40
-20
0
X: 0.02307Y: -52.31
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
En lazo cerrado
Esta gráfica muestra mayor atenuación de la perturbación entrante, en comparación con la del lazo abierto, lo cual es coherente debido a que para ello se realizo el controlador, para no se viera muy afectado por las perturbaciones, con el fin de seguir la referencia.
Dicha mayor atenuación es clara al mirar el diagrama de bode de la planta en lazo cerrado, la cual atenúa aproximadamente en un factor de 0.00242 y la mínima atenuación es superior a 0.1, que es donde mayor ancho de frecuencia tiene el bode de lazo abierto.
Comparación entre espectro en lazo abierto (con la planta) y en lazo cerrado (con la planta y el controlador) de la perturbación TCi
10-1
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
En lazo abierto
Se observa que en lazo abierto aunque la planta no logra atenuar la perturbación le realiza un filtrado quitándole ruido, esto se debe a que como el bode esta prácticamente sobre 0, el factor de ganancia es de 1, lo cual significa que lo entra es prácticamente lo que sale (no atenuación).
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
X: 0.04663Y: -0.9483System: Bode de la plantaFrequency (rad/s): 0.0466Magnitude (dB): -27.5
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
En lazo cerrado
Aunque esta es la peor perturbación entre todas, no es coherente lo mostrado en la grafica puesto que la señal de entrada se encuentra mas atenuada que la salida para altas frecuencias, y como se puede ver el bode del lazo cerrado muestra que la entrada debería haber sido atenuada inicialmente un factor de 0.04 lo cual sucede, posteriormente al aumentar la frecuencia el diagrama de bode, éste tiende a 0, y los espectro tienen a ser el mismo (como es normal), el inconveniente es para frecuencias superiores de 10 rad/s donde debería volverse a atenuar el espectro de salida y no ocurre asi.
Comparación entre espectro en lazo abierto (con la planta) y en lazo cerrado (con la planta y el controlador) de la perturbación FCi
10-2
10-1
100
101
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
En lazo abiertoPuesto que el diagra de bode se encuentra muy cerca del cero, por la parte de abajo, significa que la salida debería ser un poco atenuada, lo cual no ocurre.
10-1
100
101
102
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Bode de la plantaEspectro de la entradaEspectro de la salida
En lazo cerrado
El desempeño de controlador frente a esta perturbación es análogo a la anterior, presentando así incoherencias de la salida.
10- Diseñe una mejora al controlador y analice y justifique el desempeño.
La planta tratada no presenta ceros de fase no mínima ni retrasos, como se aprecia de las simulaciones (no presenta subimpulos) y en la función de transferencia,
donde gracias al comando zpk(), podemos observar los polos, ceros y la ganancia perteneciente a la función introducida.
Debido a esto no se opto por mejorar el controlador implementando PID (a demás nuestro sistema no presenta error de estado estacionario, a demás de hacerme el sistema mas robusto lo cual no es tan necesario) o predictor Smith, por otro lado puesto que se intento aplicar con anti wind-up, puesto a que como se le agrego un integrador al controlador (lo cual hizo que mejorase su respuesta), esto genera el efecto wind-up donde el integrador sigue afectando cuando ahí saturación, lo cual hace ser mas grande el efecto de control, pero al implementarse se produjo un error de estado estacionario (aunque mejoraba el esfuerzo de control), por lo cual se decidió no aplicar esta mejora al controlador.
Posteriormente gracias al análisis hecho sobre los diagramas de bode se noto que el FHi no afectaba tanto el sistema como se espera de una entrada manipulada, por lo que se decidió tomar otra variable, la pregunta ahora es saber cual variable seleccionar. Después de un análisis se encontró que para el sistema de intercambiador de calor lo lógico es manipular una variable de la chaqueta, y no de las perturbaciones que se generan dentro el tambor, y puesto que la única perturbación que cumple con este requisito es THi, se opto por éste.
Ya el diseño del controlador basado en esta perturbación se realizo de forma fui fácil, puesto que el grado del denominador de la planta el lazo abierto es del mismo orden que la de las otras perturbaciones (tiene las mismas propiedades de estabilidad), por esto elorden de controlador y del polinomio característico no cambia, lo único es al momento de introducir los polinomios al paq.m meter el nuevo numerador de la función de transferencia de la salida respecto a la perturbación.
Ya establecido el nuevo controlador, sólo es intercambiar la perturbación THi por FHi, observando así el las siguientes graficas:
Respuesta a un escalón que llega hasta los 25°K
0 20 40 60 80 100 120 14023
24
25
26
27
28
29
30
tiempo(s)
Respuesta de controladores vs entrada escalon de -4.07
Como se puede apreciar el nuevo controlador posee un tiempo de establecimiento mucho menor al controlador1, a demás no presenta un sobreimpulso tan grande y extendido.
Esfuerzos de control ante un escalón que llega a los 25°K
0 20 40 60 80 100 120 1400
20
40
60
80
100
120
tiempo(s)
Esfuerzos de control
Esfuerzod e control- Controlador mejoradorEsfuerzo de control- Controlador1
A parte de que este controlador mejora la respuesta ante un escalón de referencia, el esfuerzo de control exigido es bajo en comparación con el esfuerzo del controlador1, a demás de sólo presentar una saturación en un despreciable lapso de tiempo en comparación con el controlador1 que se satura casi todo el tiempo.
Respuesta a una rampa con pendiente 0.05que llega hasta los 25°K
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10024
25
26
27
28
29
30
tiempo(s)
Respuesta de controladores vs entrada rampa de pendiente 0.05
ReferenciaRespuesta controlador mejoradoRespuesta controlador1
Es este caso el controlador mejorado posee un leve error durante la dinámica del sistema (en estado estacionario sigue la referencia).
Esfuerzo de control generado por una rampa con pendiente 0.05que llega hasta los 25°K
0 20 40 60 80 100 120 1400
20
40
60
80
100
tiempo(s)
Esfuerzos ante una entrada rampa
Esfuerzo de control-Controlador mejoradoEsfuerzo de control-Controlador1
Como se aprecia de la figura a parte que el controlador mejorado no genera saturación sobre el sistema, no le exige al actuador una respuesta rápido ante la perturbación como si lo hace el controlador1.
Respuesta del sistema ante perturbaciones (con ambos controladores)
0 20 40 60 80 100 120 14027
27.5
28
28.5
29
29.5
30
30.5
tiempo(s)
Respuesta del sistema controlado frente a perturbaciones
ReferenciaRespuesta del controlador mejoradoRespuesta del controlador1
Puesto que cambiamos una perturbación (inicial) THi por la entrada FHi, el análisis al comparar las perturbaciones uno a uno daría un resultado erróneo, por ende sólo observamos las dos últimas perturbaciones correspondientes Tci y Fci respectivamente, donde Tci (la perturbación del segundo 70) que es la que más me afecta el sistema se ve altamente reducida en comparación con la atenuación que le da el controlador1.
0 20 40 60 80 100 120 1400
20
40
60
80
100
tiempo(s)
Esfuerzo de control frente a perturbaciones
Esfuerzo de control-Controlador mejoradoEsfuerzod e control-Controlador1
Como se aprecia el esfuerzo de control generado por el controlador1 presenta saturaciones prolongas, es decir es tan fuerte el descenso de la temperatura que es necesario cerrar la válvula (actuador) para mermar la temperatura, mientras
que en el esfuerzo de control del controlador mejorado las saturaciones aunque se deben presenta de forma muy rápida son casi instantáneas, es decir, no consumen tiempo por ende no exige tanto al actuador.
CONCLUSIONES
Para el análisis del controlador mejorado la variable manipula es temperatura y no flujo, es lógico que los valores máximos del saturador cambien, ya con esto, definido se observo que los valores máximos del saturador perteneciente al flujo se encuentran en (FHinominal-FHinominal) <FHinominal<(FHinominal+FHinominal), por lo cual se tomo los valores del saturador de temperatura de forma análoga.
Para el controlador mejorado inicialmente se opto por seleccionar dos variables manipuladas pero el cambio era poco y se daban dos esfuerzos de control, lo cual genera costo a demás del generado por el nuevo sensor.