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TOMÓGRAFO DE RESISTIVIDAD ELÉCTRICA APLICADO AL ESTUDIO

DEL CRECIMIENTO DE LOS TUBÉRCULOS DE LA PAPA

Jorge Del Carpio SalinasFernando Pujaico Rivera

Robinson J. Antonio Sierra

TOMÓGRAFO DE RESISTIVIDAD

ELÉCTRICA APLICADO AL ESTUDIO

DEL CRECIMIENTO DE LOS TUBÉRCULOS

DE LA PAPA

Primera edición digital

Julio, 2011

Lima - Perú

© Jorge Del Carpio Salinas

Fernando Pujaico Rivera

Robinson J. Antonio Sierra

PROYECTO LIBRO DIGITAL

PLD 0156

Editor: Víctor López Guzmán

http://www.guzlop-editoras.com/[email protected] [email protected] facebook.com/guzlop twitter.com/guzlopster428 4071 - 999 921 348Lima - Perú

PROYECTO LIBRO DIGITAL (PLD)

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de investigación de las alumnas y alumnos tomando como base el libro digital y las direcciones electró-nicas recomendadas.• Que este proyecto ayude a las universidades nacionales en las acreditaciones internacionales y mejorar la sustentación de sus presupuestos anuales en el Congreso.

En el aspecto legal:• Las autoras o autores ceden sus derechos para esta edición digital, sin perder su autoría, permitiendo que su obra sea puesta en internet como descarga gratuita.• Las autoras o autores pueden hacer nuevas ediciones basadas o no en esta versión digital.

Lima - Perú, enero del 2011

“El conocimiento es útil solo si se difunde y aplica” Víctor López Guzmán Editor

Memorias - XVII CONIMERA

331

1. Introducción

El TRE tiene como objetivo encontrar unagráfica en dos dimensiones de la distribución deresistividad eléctrica, de un área circularperteneciente al corte transversal de un cilindroel cual contiene tierra y el objeto de estudio, untubérculo. Se denominará a esta área como elmedio de trabajo. Para poder encontrar laresistividad en el medio de trabajo, se usaran losdatos de medidas de voltaje realizados en puntosequidistantes del contorno de dicha área. Puestoque el modelo para la detección de la resistividades de 2 dimensiones, se considerará al área detrabajo como un cilindro cerrado cuya resistividadse mantiene constante en el eje axial de dichocilindro.

2. Planteamiento del Problema

En el estudio del crecimiento de raíces comoel tubérculo de la papa, se han usado diversosmétodos, como el uso de sensores próximos alas raíces, o sensores cercanos a la raíz parapoder apreciar su crecimiento, pero estos métodosresultaron poco efectivos, pues la raíz al detectarun objeto cercano cambiaba la dirección de sucrecimiento, destruyendo de esta maneracualquier posibilidad de que los distintos

dispositivos colocados cumplan su objetivo. Estecomportamiento es muy natural pues la raíz realizadicho comportamiento con piedras o algún otrocuerpo que este enterrado en el suelo, en generalla raíz rodeará a dichos obstáculos o si este fuerademasiado grande intentaría introducirse más enel terreno para encontrar los nutrientes quenecesita para su desarrollo. A este tipo de métodos,en el que se colocan objetos cercanos a la raíz,se les denomina métodos invasivos, pues nopermiten un desenvolvimiento natural delcrecimiento, desnaturalizando así el propósitoprincipal de la medición. Ante este problema lasolución nace por si misma, pues es necesariousar un método que no sea invasivo, que permitaun crecimiento natural de la raíz y que sin embargologre tomar los datos de su crecimiento sin alterarel mismo.

3. Propuesta de solución

Establecida la necesidad de usar un métodono invasivo, optamos por la TRE como método demedición, pues este es uno de los máseconómicos en su implementación, si locomparamos con una Tomografía AxialComputarizada, una resonancia magnética o algúnmétodo ultrasónico, todos estos considerados noinvasivos.

Tomógrafo de resistividad eléctrica aplicado al estudio delcrecimiento de los tubérculos de la papa

Jorge Del Carpio Salinas; Fernando Pujaico Rivera; Robinson J. Antonio [email protected] [email protected] [email protected]

Resumen.- El presente trabajo abarca el diseño y construcción de un tomógrafode resistividad eléctrica aplicado al estudio del crecimiento de los tubérculos dela papa.Este Tomógrafo tiene como propósito principal, reconstruir una imagen que describael interior de un cuerpo en estudio. En general el cuerpo en estudio estará compuestode algún material, por lo tanto se podrá definir en cada punto lo siguiente:temperatura, densidad, resistividad, potencial, etc. Teniendo en cuenta esto,podemos describir el interior del cuerpo, haciendo uso de cualquiera de losparámetros antes mencionados.En este caso de estudio se trabajó con un Tomógrafo de Resistividad Eléctrica (TRE),pues el parámetro que se desea encontrar en cada punto del cuerpo en estudio(Ω ) es la resistividad ( ρ ).

Palabras clave: Tomógrafo de Resistividad Eléctrica (TRE) ,ERT ,EIT ,Regularización de Tikhonov, Ecuaciones De Maxwell ,Método De Elementos Finitos,Mínimos Cuadrados, Calculo Variacional, Problemas Mal Condicionados.

Colegio de Ingenieros del Perú - CDL - Capítulo de Ingeniería Mecánica y Mecánica Eléctrica

332

4. Fundamento Teórico

Antes de la construcción del hardware delTRE, es necesario comprender cual es elfuncionamiento del equipo. La Tomografía deResistividad Eléctrica o ERT por sus siglas eningles, es una técnica que usa la inyección decorrientes eléctricas y la distorsión de los camposelectromagnéticos producidos en el interior delcuerpo en estudio, para describir a un objeto enfunción de su resistividad.

4.1 Modelo Físico

Para comenzar el proceso de modelado denuestro medio de trabajo, se realizarán algunasconsideraciones, en primer lugar daremos porsentado que se tiene un medio circular y cilindrico,y que las propiedades fisicas de este no se alterana lo largo de su eje axial, hecha esta consideracionse usará un modelo en dos dimenciones (2D) paratodos nuestros calculos. Para una mejor referenciadenominaremos al eje axial del cilindro como ejeZ y plano X-Y al plano transversal a este. En elplano X-Y realizaremos el corte virtual propio deuna imagen tomografica y definiremos en cadapunto un valor de resistividad ( ρ ). La Fig. 1.1nos muestra un corte virtual de la region transversalde nuestro medio de trabajo.

será aplicada a Ω de forma secuencial de talmanera que todos los electrodos participen en lainyección, debido a esto tendremos tantasinyecciones de corriente como electrodostengamos, en este caso se tiene «L» electrodose inyecciones de corriente. En cada una de estasinyecciones realizaremos «L» medidas de voltaje,de manera que todos los electrodos intervenganen la tomografía.

Fig. 1.1. Corte virtual a el medio de trabajo

Una vez terminada la especificación delmedio, comenzaremos con la definición de latomografía de resistividad eléctrica. La TRE,consiste en la inyección de corriente en un medioal que definiremos como Ω , la corriente esinyectada a través de unos electrodos dispuestosen la superficie cilíndrica de Ω , de manera quetodos los electrodos estén colocados en el mismoplano X-Y y se encuentren equidistantes entre sí,como se ve en la Fig. 1.2 . Sobre estos electrodosse inyecta una corriente sinusoidal de unafrecuencia y amplitud constante, esta corriente

Fig. 1.2. Electrodos colocados en la superficielateral del cilindro

Terminadas las mediciones obtendremos«LxL» medidas de voltajes, que serán utilizadasen el software de reconstrucción EIDORS2D (Ref.1).

4.2 El problema inverso en el TRE

En la TRE se necesita resolver el siguienteproblema inverso: Encontrar la resistividad ρ enel interior del cuerpo Ω a partir de los datos devoltaje en la superficie.

En nuestro caso tenemos:

1)( Mxmedido UU ρ= (1.01)

Mmeas

N RUR ∈∈ρ (1.02)

medidoU : Es el potencial eléctrico medido enlos electrodos M

medido RU ∈ .Siendo «M» el numero de medidasen los electrodos receptores.

U( ρ ) : Es el potencial eléctrico calculadoen los electrodos, «N» es el númerode elementos en el que se hadividido el medio.


333

En la ecuación (1.01) se debe de resaltar,que la relación entre la resistividad y el potenciales no-lineal y el sistema es «Ill-Posed» (Ref. 2),por lo tanto para resolver el sistema se tiene querecurrir a una expansión de Taylor, luego trabajarcon una aproximación lineal, usar al regularizaciónde Tikhonov (Ref. 3,4), para después encontrar lasolución mediante un método iterativo.

Haciendo una expansión de Taylor a (1.01)se obtiene:

200

00 //)//()(

)()()( ρρρρ

ρρρρ −+−∂

∂+= o

UUU

(1.03)

Despreciando el último término, puesto que//// 0ρρ − es muy pequeño y elevado al

cuadrado lo es más.

))(()( 000 ρρρρ −+= JUUmeas (1.04)

ρρ

ρ∂

∂=

)()( 0

0

UJ

Luego se procede a regularizar mediante lasiguiente ecuación.

222 //////)(// ραρ RUUE meas +−=(1.05)

Y obtenemos la siguiente relación iterativapara la resistividad ρ .

( ) [ ]iT

imedidoT

Ti

Tiii

RRUUJ

RRJJ

ραραρρρρ

−−

++= −+

)(

)()(1

1 (1.06)

Esta ecuación nos indica que teniendo unsistema de ecuaciones que exprese una relaciónentre el potencial medido en la superficie de Ωy la resistividad ρ en diferentes puntos del interiorde Ω, es posible mediante un método iterativocalcular la solución al sistema.

Si se desea obtener esta relación de tipo

1)( MxU ρ , se debe de modelar el cuerpo enestudio(Ref. 5,6).

4.3 Modelado del Cuerpo en Estudio

Ahora se analizará el cuerpo Ω, aplicandolas ecuaciones de campos electromagnéticos enel dominio de la frecuencia.

Ley de Ampere Maxwell

sJJH +=∇x (1.07)

Ley de Faraday

HiE ωµ−=∇x (1.08)

Donde J es el fasor densidad de corrientey sJ representa el fasor densidad de corrienteproducida por fuentes de corriente. Podemos dividira J en dos tipos de corriente, corriente de difusióny la corriente de conducción, que estánrepresentadas en las ecuaciones (1.09) y (1.10)respectivamente, donde σ es la conductividadeléctrica )/1( ρ , ε es la permitividad eléctrica, µes la permeabilidad magnética y ω es la frecuenciaangular.

EiJ D ωε= (1.09)

EJ C σ= (1.10)

DC JJJ += (1.11)

Remplazando las ecuaciones (1.09) y (1.10)en la ecuación (1.07) se obtiene lo siguiente:

sJEi ++=∇ )(xH ωεσ (1.12)

Ahora se aplicaran las ecuaciones de Maxwellpara medios lineales isotrópicos y cuasi-estáticos.El uso de la aproximación para medios cuasi-estáticos esta justificada pues el TRE usancorrientes de muy baja frecuencia, es decirmenores o muy próximas a 100Khz, en el casodel presente trabajo usaremos una frecuencia de1Khz.

0≈= DJEiωε → sJEH +=∇ σx (1.13)

0x ≈−=∇ HiE ωµ → uE −∇= (1.14)

Aplicando divergencia a ambos miembrosde la ecuación (1.13) y remplazando en esta laecuación (1.14) obtendremos lo siguiente:

SJu .).(0 ∇+∇−∇= σ (1.15)

Esta ultima ecuación es la que describe alcuerpo Ω, en este caso se menciona la relaciónentre la conductividad y el potencial eléctrico u .Si consideramos solo puntos que este dentro deΩ la divergencia del fasor densidad de corrienteproducido por fuentes de corriente es cero, pueseste fasor solo existe para puntos que seencuentran en la frontera de Ω.

0).( =∇∇ uσ (1.16)


334

4.4 Aplicación del Calculo Variacional

Hasta ahora se han obtenido las ecuaciones(1.15) y (1.16) que muestran la relación entre laconductividad σ , el voltaje y la corriente inyectadaen la superficie de Ω, también se ha visto comose produce la regularización de una función no linealen la que la incógnita es la resistividad ( σρ /1= ),conocidas estas dos ideas se tienen los elementosnecesarios para encontrar una ecuación quedescriba ρ en función del potencial medido y lacorriente inyectada. Como primer paso para laformulación de nuestra ecuación se observa quedadas las incógnitas de voltaje y corriente se puedeobtener una ecuación que expresa la relación entreρ y la potencia inyectada al medio .

a) La ecuación de Potencia

La potencia esta descrita por la siguientefórmula:

∑=

=L

lll IVP

1(1.17)

Donde L es el numero de electrodos y lVe lI son los potenciales y las corrientes medidasen los electrodos de la superficie de Ω .

Si tomamos en cuenta la ecuación (1.16) yasumiendo como soluciones de dicha ecuacióna vu, , e igualando ambos se obtiene losiguiente:

0).().( =∇∇=∇∇ vu σσ (1.18)

Reordenando e Integrando la ecuaciónanterior en todo el volumen de Ω y Aplicando elteorema de Green se obtiene.

∫∑ ∫Ω=

Γ∇∇+−−= vdudSVvUuZ

PL

le ll

ll

.))((1

1

σ

(1.19)

lU y lV son los potenciales medidos enel electrodo le , y lZ es la impedancia delelectrodo.

b) Empleo del Método de Elementos Finitos

Sabemos que por el Método de ElementosFinitos (Ref. 7) podemos discretizar Ω de lasiguiente manera:

∑=

=nN

iiiu

1

φα (1.20)

∑=

=nN

jjjv

1

φα (1.21)

Donde los iφ son las funciones base de cadauno de los elementos finitos, los iα son lospotenciales en los nodos la Fig. 1.3.

Además se crean unas nuevas variables

iβ con el fin de reducir el número de incógnitas,este ahorro es debido a que el potencial eléctricomedido es siempre relativo a un punto, si se escogeadecuadamente este punto de referencia de maneraque:

0

1

=∑=

L

llV (1.22)

Obtenemos:

∑−

=

=1

1

)(L

iilil nV β (1.23)

−−

−−

=

10...00

01...00

.....

.....

.....

00...10

00...01

11...11

),( lin

(1.24)

Fig. 1.3. Elementos Finitos en Ω


335

Siendo 2)( in igual a [ ]T0...101 −

c) Calculo Variacional

Después de introducir (1.20), (1.21) y (1.23)en la ecuación (1.19) se procederá a minimizarla potencia P esto se realizara derivándola conrespecto a los potenciales iα en los nodos dela malla producida por el método de elementosfinitos, estos nodos coinciden con los vértices decada elemento finito. También se derivara conrespecto a los potenciales iβ medidos en loselectrodos, y se creara un modelo completo conestas dos ecuaciones.

0=

∂∂

i

Pα (1.25)

i

L

lll

i

IVP

ββ ∂

∂

=∂∂ ∑

=1 (1.26)

=

=

∂∂∂∂

∑=

L

llili

Ti

ii

i

inIDC

CBP

P

1

).(

0

βα

β

α

(1.27)

fAb = (1.28)

=

DC

CBA

T

=βα

b

=

1

0

ff (1.29)

∫∑ ∫Ω=

Γ∇∇+= ddSZ

jiB ji

L

le ji

ll

φφσφφ .1

),(1

(1.30)

dS

ZdS

ZjiC

e ie ij j

∫∫ −=++ 11 11

11),( φφ (1.31)

dS

ZdS

ZjiC

ie ji

e jT ∫∫

++

+−=11

11

11),( φφ

(1.32)

∑ ∫=

=L

le lilj

l

dSnnZ

jiDl1

)()(1

),( (1.33)

Si se redefine la ecuación (1.28).

fAb 1−=

=−

RQ

PMA ~~

~~1

(1.34)

Y separando el termino β de b obtenemos.

1

~fR=β ( ) 11~ −−−= CBCDR T (1.35)

βnV = InRnV T~= (1.36)

La ecuación anterior es el último pasonecesario para encontrar una relación entre laresistividad ρ y el voltaje medido en loselectrodos.

4.5 Método Adyacente

También llamado «Neighboring Method» o«adjacent method», funciona de la siguientemanera:

La fuente de corriente «I» se inyecta por elelectrodo 2 y sale por el 1, y luego se miden losvoltajes diferenciales en los electrodos que no parti-cipan en la inyección: V4-3, V5-4, V6-5, ...y V16-15,como se ve en la Fig. 1.4 a. Luego se conmuta lainyección de la fuente de corriente «I» (ahora ingresapor el electrodo 3 y sale por el electrodo 2).Ytambién se procede a la medición de los voltajesdiferenciales en los electrodos que no participan deesta nueva inyección: V5-4, V6-5, ... V16-15 y V1-16,Y así sucesivamente, hasta inyectar la fuente decorriente por el electrodo 1 y saliendo por el 16,y medir los voltajes diferenciales correspondientes.

Fig. 1.4. Método inyección de corriente llamado«adjacent method» .


336

5. Descripción del Sistema

El tomógrafo que se desarrolló e implementópara monitorear el crecimiento del tubérculo de lapapa, tiene las siguientes características:

• Número de electrodos:16.

• Método de inyección de corriente:Método Adyacente

• Frecuencia de inyección de corriente a loselectrodos: 1 kHz.

• Mínima y máxima corriente aplicada:0.1mA –5 mA

• Fuente de alimentación:2 Baterías YUASA de 12 Vcc.

• Control del sistema mediante PIC16F877A.

• Comunicación a la PC mediante el puertoserie, usando el protocolo RS232 a unavelocidad de 19200 bps, 8 bits, sin paridad.

El TRE está dividido en tres secciones:

a) El sistema de inyección de corriente,control y adquisición de datos

Es el conjunto de circuitos implementadospara la creación del TRE, usando el métodoadyacente para la inyección de la corriente.

La etapa de transmisión está dividida en:• Fuente de corriente• Distribuidor de corriente

La etapa receptora está dividida en:• Amplificador multiplexor• Control y adquisidor de datos

a.1) La fuente de Corriente

Este circuito comprende tres partes, el circuitooscilador a 1Khz, el filtro pasa banda a 1Khz yel conversor voltaje a corriente. La salida de lafuente de corriente esta entre los pines 1 y 2 delOPAMP, el medio de trabajo al que se deseainyectar la corriente ofrece una carga representadapor la resistencia R, ver fig. 1.7.

0

CIRCUITOTRANSMISOR

1KHz

ELECTRODO 10

ELECTRODO 15SERIE

-12V C C

ELECTRODO 16

ELECTRODO 06

ELECTRODO 03

R 1

10k V ari ab le

ELECTRODO 12

ELECTRODO 09

1KHz

ELECTRODO 07

L 1

3 9m H

5 VC C

MEDIO

0

CLK

ELECTRODO 11

GND

C 1

67 0 n

ELECTRODO 02

-I

FPB

ELECTRODO 04

ELECTRODO 08V 1

F RE Q = 1k hz

VA M P L = 0 .5V

VO F F = 0

ELECTRODO 05

ELECTRODO 01

CON RELAY

C LK

+I

RESONADOR

+5VCC

ELECTRODO 14

MULTIPLEXOR

0

U 1 A

TL 0 82

3

2

84

1

+

-

V+

V-

OU T

ANALOGICO

12V C C

ELECTRODO 13

Fig. 1.5. Etapa transmisora

ELECTRODO 07

ELECTRODO 09

ELECTRODO 13

FPB

ELECTRODO 06

ELECTRODO 15

1KHz

1 2V C C

ELECTRODO 04

ELECTRODO 02

V 3

P E R = 1 / 10f

V 1 = 5 V d c

V 2 = 0

- 12V C C

ELECTRODO 12

ELECTRODO 01

0

ELECTRODO 03

ELECTRODO 11

-12VCC

GND

C LK

+5VCC

+12VCC

fELECTRODO 08

MEDIOADC 16 BIT

ELECTRODO 10

CIRCUITORECEPTOR

0

ELECTRODO 16

+ 5V C C

MAX232uC

ELECTRODO 14

MULTIPLEXOR

ANALOGICO

ELECTRODO 05

CON CD4067

P 1

C O NN E C TO R D B 9

594837261

CLK

Fig. 1.6. Etapa receptora

U 3A

TL082

3

2

84

1

+

-

V+

V-

OU T

-VC C

Zo

FR EQ = 1Khz

VAMPL = Vm

VOF F = 0

R

e(i)

e(i-1)

Ro

0

0

+VC C

FiltroPasaBanda

C

L

Fig. 1.7. Circuito de la fuente de corriente.

a.2) Distribuidor de corriente

Este circuito se encarga de distribuir lacorriente a inyectar al medio de trabajo, la corrienteentra por los pines (+I , –I) y es distribuida segúnel método adyacente de inyección de corriente,a los 16 canales. El cambio del canal a inyectarse realiza mediante los pines de clock (CLK) yclear (CLR). Ver fig. 1.8.

Fig. 1.8. Distribuidor de corriente.

a.3) Amplificador multiplexor

El circuito amplificador multiplexor se encargade medir los voltajes producidos en cada uno delos 16 electrodos y enviarlos a un único canalllamado (S), la selección del canal a medir se hacemediante A, B, C, D. ver fig. 1.9.


337

Fig.1.9. Circuito amplificador multiplexor

a.4) Control y adquisidor de datos

Este circuito se encarga del muestreo de laseñal proveniente del multiplexor y el envío de estosdatos a la computadora mediante un puerto serie.El circuito controla al multiplexor mediante los pinesA, B, C y D y al circuito distribuidor mediante lospines CLK y CLR. Ver fig. 1.10.

contacto posible con el medio como se ve en lafig. 1.11

Fig. 1.10. Circuito de control y adquisición dedatos.

b) El medio de trabajo en el cual se hancolocado 16 electrodos.

El medio de trabajo es un cilindro cerradoel cual contiene tierra o arena, para una buenaaproximación a un modelo 2D se deberá escogerun cilindro cuyo contenido sea homogéneo a lolargo de su eje axial, esto se hace así para asegurarque la distribución de corriente sea igual a lo largodel eje del cilindro, también se puede obtener unabuena aproximación a un modelo 2D si usamosun cilindro de un alto muy pequeño puesto quede esta manera nos aseguramos que la corrientesolo viaje en un solo plano.

Los electrodos estarán colocados igualmenteespaciados, procurando que tengan el mejor

Fig. 1.11. Electrodos en el medio de trabajo.

c) Una PC para el control de la adquisiciónde datos, con el software EIDORS 2Dinstalado

El software de reconstrucción para laTomografía De Impedancia Eléctrica Y ÓpticaDifusa – 2D (EIDORS2D), es un programa quenos permite realizar la tomografía a nuestro mediode trabajo. El EIDORS consiste en un códigoescrito en MATLAB y es el encargado de aplicarlas ecuaciones explicadas en 4.2, 4.3 y 4.4, elprograma es de libre distribución y puede serencontrado en (Ref. 1).

Para que el EIDORS2D funcione,necesitamos tener instalado el MATLAB 6.X osuperior, y luego agregar al mismo el archivo quecontiene las 256 medidas de voltaje, que fueronproducidas debido a las 16 medidas de voltaje decada una de las 16 inyecciones de corriente.

Fig. 1.12. Diagrama de bloques del sistema


338

Fig. 1.13. Vista final del TRE

6. Pruebas realizadas

A continuación se muestran algunas pruebasrealizadas con el TRE en los siguientes medios:agua potable, tierra y arena. El envase usado entodas las pruebas tiene un diámetro de 28cm yusa 16 electrodos. En la reconstrucción se puedeidentificar el lugar de mayor y menor resistividadpor el color rojo y azul oscuro respectivamente.

La Fig. 1.14 nos muestra una papa que estaen el lado izquierdo del envase, la fig. 1.15.representa la reconstrucción de la Fig. 1.14.

apreciar la gran diferencia de tamaños entre losobjetos.

Fig. 1.14. Unapapa en el agua

Fig. 1.15. Tomografía de la papa.

La Fig. 1.16. nos muestra un envase cilíndricoel cual contiene tierra, una papa muy delgada ydos papas. la Fig. 1.17 es la reconstrucciónproducida por el TRE en donde se puede

Fig. 1.16. Una papa delgada y dos papas.

Fig. 1.17. Tomografía de las tres papas.

La Fig. 1.18. nos muestra un envase cilíndricoel cual contiene arena húmeda y una papa, la Fig.1.19. es la reconstrucción producida por el TRE.Se debe notar que el lugar de más alta resistividades donde se encuentra la papa, pero en algunossectores del medio la resistividad es comparablecon la papa.

Fig. 1.18. Una papa en arena.

Fig. 1.19. Tomografía de la papa.


339

7. Conclusiones y Recomendaciones

1. El Tomógrafo de Resistividad Eléctricaimplementado en este trabajo es unequipo que nos permite hacerreconstrucciones a objetos de dosdimensiones, o en su defecto que seaproximen a ser objetos de formacilíndrica que presenten las mismaspropiedades físicas a lo largo de su ejeaxial.

2. El TRE permite detectar objetos quepresenten una apreciable diferencia deresistividad con el medio que los rodea.

3. La detección de los tubérculos en lareconstrucción producida por el TREestará supeditado a que los objetos quese quieran detectar cumplan laconclusión 1.

4. La amplitud máxima de la fuente decorriente de 1Khz empleada en el TREesta limitada por el voltaje de la fuentede alimentación de los circuitosanalógicos y por el modelo de fuente decorriente usado.

5. Cuando se construye el circuitotransmisor distribuidor de corriente sedebe de escoger correctamente elmétodo de inyección de corriente puessegún el método que se elija se obtendráuna mejor resolución en la reconstrucciónde los objetos.

6. Cuando se construye el circuito receptormultiplexor en el TRE es importante antesde amplificar y multiplexar la señal hacerque todos los canales pasen por uncircuito de desacoplo para que pierdanla componente continua que puedeperjudicar seriamente al circuito.

7. La resolución en la reconstrucción en elTRE depende de la amplitud de lacorriente inyectada, de la posición delobstáculo, del numero de bits deladquisidor de datos y del numero deelementos finitos usados en lareconstrucción.

8. El tomógrafo debe ser usado en medioshúmedos para evitar una saturación enel voltaje de salida, puesto que se trabaja

con fuentes de corriente y a mayorresistencia se obtendrán mayores nivelesde voltaje.

9. Los medios en los que puede trabajar elTRE son agua, tierra, arena y todos losmedios que presenten una resistividad lossuficientemente baja para no saturar loscircuitos de inyección de corriente.

10. Cuanto mayor sea la amplitud de lacorriente elegida para la inyección mejorserá la posibilidad de detectar un objetoen el medio.

11. Dada la limitación del TRE para detectarobjetos en 3D que no cumplan lacondición 1, es necesario continuar lainvestigación para el estudio decrecimiento de raíces en equipos detomografía en 3D, en este caso elsoftware también es de libre acceso ytiene por nombre EIDORS3D.

Agradecimientos

El «Tomógrafo de resistividad Eléctrica» fueconstruido gracias al financiamiento del CentroInternacional de la Papa, a través de surepresentante Dr. Roberto Quiroz, a quien leagradecemos por todo el apoyo brindado.

Bibliografía

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