Tipos de funciones29 de enero de 2013 Publicado por LauraYa hemos visto en anteriores ocasiones, algunas de las funciones que hay; incluso, hemos estudiado las características de algunas de ellas, como las rectas, parábolas o hipérbolas, entre otras.En esta ocasión daremos una clasificación propiamente dicha de los distintos tipos de funciones que nos podemos encontrar en las matemáticas.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE X:En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente x en dos tipos: algebraicas y trascendentes.*Funciones algebraicas: Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas , donde se pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:- Funciones constantes: donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y=f(x)=k-Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y=mx+n.-Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y= mx-Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómica de segundo grado, como era de esperar, y su representación es una parábola.-Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios.-Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica.-Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo (o trozo) que se considere.*Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, como puede ser en la trigonometría, entonces hablamos de funciones trascendentes.Dentro de las funciones trascendentes están:-Función exponencial: Como su nombre indica es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.-Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente. (En este caso la variable independiente nos da el valor de la función exponencial)-Funciones trigonométricas:Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y=senx, y=cosx, y=sec x, etc.En la siguiente imagen, tenemos una clasificación de lo que acabamos de estudiar.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA DEFINICIÓNSegún nos venga dada la definición de la función también podemos establecer una clasificación:-Función explícita: Cuando podemos obtener los valores de y directamente dando valores a nuestra variable independiente, es decir, cuando la variable y está despejada.-Función implícita: Cuando, al contrario que en el caso anterior, tenemos que realizar operaciones para halla el valor de la y una vez que le hemos dado un valor a la x: 3x+2y=1

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1. Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable

independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y

radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es

preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

 

1.1 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

1.1.1 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

 

1.1.2 Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

 

1.1.3 Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

 

1.2 Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan

el denominador.

 

1.3 Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los

valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

 

1.4 Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se

consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

2. Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se

halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la

trigonometría.

 

2.1 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia ax se llamafunción exponencial de base a y exponente x.

 

2.2 Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 

2.3 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

CLASES DE FUNCIONESA continuación se presenta un vídeo donde se gráfica una función en el programa geogebra, de tal manera que puedes recurrir a programas informáticos para obtener la gráfica de cualquier función real.

las funciones reales se pueden clasificar de acuerdo a su estructura en tres grupos:

FUNCIONES POLINOMICAS

    FUNCIÓN LINEAL

Es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

EJEMPLO:

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La grafica que se origina es una línea recta paralela al eje x.El dominio de la función constante son todos los números reales  y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio.

EJEMPLO:

  FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx +c, donde a,b,c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba y si a es negativa la grafica abre hacia abajo.La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO: 

    FUNCIÓN POLINOMICA

Una función Polinómica es de la forma f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que an≠0.

Ejemplo: 

 

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto se define como:

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es  una curva en forma de v. 

EJEMPLO: 

  

 FUNCIÒN RAIZ CUADRADA

Es una función que asigna a un argumento su raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) = √x , donde  el dominio de la función son los valores de x que hacen que el radicando sea positivo y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente que está por encima del eje x

Ejemplo: 

     FUNCiÓN RACIONAL

Es una función de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠0. La función racional no está definida para valores de x en el cual q(x) se hace diferente de cero, este valor al representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota.

Ejemplo: 

  FUNCIONES TRASCENDENTALES

    FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es una función de la forma f(x) = ax, donde a>o y a≠1 .cuyo  dominio son los números reales y el rango son los reales mayores que cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente si a>1 y descendente si  o<a<1.

Ejemplos:

  FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función inversa a la función exponencial, es de la forma 

f(x) = logax, donde a>o y a≠1. La grafica que se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial.

Ejemplos:

  FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triangulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del valor de los ángulos del triangulo. Se distinguen seis tipos de funciones trigonométricas, Las cuales cada una de ellas tiene su dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta, como son:

Ejemplos: 

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tan x

f(x) = cot x

f(x) = sec x

f(x) = cscx