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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

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UNIDAD II

EEQQUUIILLIIBBRRIIOO DDEE CCUUEERRPPOOSS RRÍÍGGIIDDOOSS

1. SISTEMA EQUIVALENTE DE FUERZAS

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden separar en 2 grupos:

Fuerzas internas, mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo

rígido.

Si el cuerpo rígido está constituido estructuralmente por varias partes, las fuerzas

que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.

Ejemplo: para los elementos de madera, las fuerzas internas son RB, RC, RE.

Figura 1

Fuerzas externas, representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el

cuerpo rígido bajo consideración. Causarán que el cuerpo se mueva o

asegurarán que éste permanezca en reposo.

Figura 2

Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

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2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

De acuerdo a este principio, el efecto de una fuerza externa sobre un cuerpo

rígido permanece invariable si dicha fuerza se traslada a lo largo de su línea de

acción.

Las dos fuerzas (F y F’) de la figura, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo

rígido si es que tienen la misma magnitud, la misma dirección, el mismo sentido

y la misma línea de acción. Aquellas fuerzas se dice que son equivalentes.

Figura 3

En el caso de cuerpos rígidos, el punto de aplicación de una fuerza no es

importante, siempre y cuando su línea de acción permanezca inalterada. Estas

fuerzas se representan por una clase de vector diferente, el vector deslizante.

Ejemplo: F = F’.

Figura 4


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2.1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V,

que satisface las siguientes condiciones:

Figura 5

La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y a Q.

La magnitud de V está dada por la siguiente relación:

V = PQ sen ; ≤ 180.

Expresión matemática: V = P x Q

El sentido de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. (Cierre su mano derecha de tal manera que estando ubicado sobre el punto de aplicación de V, pueda observar el alineamiento del vector P con el vector Q, a través de la rotación del ángulo en sentido

antihorario).

Figura 6

Los tres vectores P, Q y V -tomados en ese orden- forman una triada a

derechas.

El producto vectorial no cumple la propiedad conmutativa:

Q x P = - (P x Q)

El producto vectorial cumple la propiedad asociativa:

P x (Q1 + Q2) = P x Q1 + P x Q2

El producto vectorial no cumple la propiedad distributiva:

V = P x Q

P

Q


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(P x Q) x S ≠ P x (Q x S)

2.2. PRODUCTO VECTORIAL EXPRESADO EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES

Partiremos recordando el producto vectorial de los vectores unitarios:

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k , j x k = i , k x i = j , i x k = - j , j x i = - k , k x j

= - i .

El producto de 2 vectores unitarios será positivo si éstos se siguen

uno a otro en sentido antihorario y será negativo si éstos se siguen en

sentido horario.

Las componentes rectangulares del producto vectorial V de 2 vectores P y

Q se determinan como sigue:

Dados:

P = Px i + Py j + Pz k ; Q = Qx i + Qy j + Qz k

Tenemos: V = P x Q = (Px i + Py j + Pz k) x (Qx i + Qy j + Qz k)

Resolviendo: V = (Py Qz - Pz Qy)i + (Pz Qx - Px Qz)j + (Px Qy - Py Qx)k

Pudiendo expresarse también como determinante:

V = P x Q =

zyx

zyx

QQQ

PPP

kji

Componentes rectangulares: V = Vx i + Vy j + Vz k

Donde: Vx = Py Qz - Pz Qy

Vy = Pz Qx - Px Qz

Vz = Px Qy - Py Qx

i k

j


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3. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

El momento de una fuerza F respecto a un punto O es el producto vectorial de

dos vectores, el vector de posición r que multiplica al vector Fuerza F, o sea:

..... (1)

El vector momento Mo es otro vector,

perpendicular al plano formado por los vectores r y

F. El sentido del vector momento está dado por la

regla de la mano derecha.

Figura 7

Para calcular el vector momento se hace uso del siguiente determinante:

...... (2)

Donde:

i, j, k: vectores unitarios de los ejes x, y, z respectivamente.

rx, ry, rz: componentes del vector de Posición.

Fx, Fy, Fz: componentes del vector Fuerza.

La magnitud del momento de la fuerza F respecto al punto O puede expresarse

como:

...... (3)

Donde d es la distancia perpendicular desde el punto O a la línea de acción de F.

Mo = r x F

i j k

Mo = rx ry rz

Fx Fy Fz

Mo = rF sen = Fd


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3.1. COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

Las componentes rectangulares del momento Mo de una fuerza F pueden

escribirse en forma de determinante:

Figura 8

Donde: Mx = yFz - zFy

My = zFx - xFz

Mz = xFy - yFx

En el caso más general, para calcular el momento respecto a un punto B

de una fuerza F aplicada en A, se debe reemplazar el vector de posición r

por un vector trazado desde B hasta A. Este vector es el vector de

posición de A relativo a B y se representa por rA/B, el mismo que puede

obtenerse restando rB de rA.

Figura 9

A (x A, yA, z

A)

i j k

Mo = r x F = x y z = Mx i + My j + Mz k

Fx Fy Fz

i j k

MB = rA/B x F = xA/B yA/B zA/B = (rA - rB) x F

Fx Fy Fz

x

y

Fx i

Fz k

Fy j

O

r

z

B (x B, yB, z B)


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Donde:

rA/B = xA/B i + yA/B j + zA/B k

con: xA/B = xA - xB yA/B = yA - yB zA/B = zA - zB

3.1.1. MOMENTO DE UN PAR

Se dice que 2 fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud,

líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par o

cupla. Obviamente, la suma del as componentes de las 2

fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la

suma de los momentos de las 2 fuerzas con respecto a un

punto dado no es cero. Aunque las 2 fuerzas no originarán una

traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas si

tenderán a hacerlo rotar.

El momento M de una cupla es independiente del punto en el

cual se aplica, es un vector libre.

Su magnitud está dada por: M = Fd;

donde d es la distancia perpendicular entre

las líneas de acción de F y -F.

Figura 10

(a) fuerzas que forman el par o cupla.

(b) el momento M es un vector perpendicular al plano que

Contiene las 2 fuerzas.

(c) el punto de aplicación de M puede ser desplazado sin

Afectar su magnitud.

(d) el momento M se puede descomponer en sus componentes

Rectangulares.


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3.1.2. SISTEMA FUERZA – PAR

Cualquier fuerza F que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser

trasladada a un punto arbitrario O siempre y cuando se

agregue un par cuyo momento sea igual al momento de F con

respecto a O. El sistema fuerza-par obtenido consta de un

vector de fuerza F y de un vector de par Mo perpendicular a F.

Figura 11

Por el contrario, cualquier sistema fuerza-par que conste de una

fuerza F y de un vector de par Mo que sean mutuamente

perpendiculares, puede ser reemplazado por una sola fuerza

equivalente. Esto se logra moviendo la fuerza F en el plano

perpendicular hacia Mo hasta que su momento con respecto a

O, sea igual al momento del par que se desea eliminar.

Ejemplo: Determine el momento de la tensión TCD = 343 N de

la figura respecto al apoyo "B".

Figura 12


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4. REACCIONES EN LOS APOYOS

Todo punto de apoyo de un cuerpo rígido por acción del peso propio o de cargas

externas, produce fuerzas de reacción en virtud de la tercera ley de Newton. Es

muy importante poder reconocer de acuerdo al tipo de apoyo, las reacciones que

estarán presentes.

Figura 13 APOYOS Y CONEXIONES BIDIMENSIONALES


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Figura 14 APOYOS Y CONEXIONES TRIDIMENSIONALES


31

5. SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

En la unidad 01 se desarrolló la primera condición de equilibrio como una

condición necesaria pero no suficiente en el caso de fuerzas en el plano o en el

espacio. Para garantizar el equilibrio en un cuerpo rígido también se debe cumplir

con LA SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO que fundamenta que para que un

cuerpo se encuentre en equilibrio estático la suma de todos los momentos que

actúan sobre él debe ser nula.

...... (4)

Esta expresión vectorial se puede descomponer en tres expresiones equivalentes:

...... (5)

6. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Un cuerpo rígido para estar en equilibrio estático completo debe cumplir con las

dos condiciones de equilibrio:

Las cuales se pueden descomponer en seis ecuaciones equivalentes (y

lógicamente el máximo de incógnitas que pueden existir son seis):

Existe una desventaja aparente en el momento de realizar el análisis de la

estática en forma vectorial, porque quedará un sistema de 6 ecuaciones

simultáneas con 6 incógnitas y eso puede ser engorroso y llevarnos a errores

durante el procedimiento de cálculo si se hacen las operaciones en forma

manual; pero si se hace uso de una calculadora para resolver el sistema en

M = 0

Mx = 0

My = 0

My = 0

M = 0 F = 0

Mx = 0

My = 0

My = 0

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0


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forma directa entonces el método vectorial realmente mostrará toda su potencia

y simplicidad.

Ejemplo: Un letrero de 480lb está apoyado en una rótula en "A" y sujetado por

dos cables como se muestra en la figura. Determine la reacción en "A" y las

tensiones en los cables.

Figura 15

7. ANÁLISIS POR PLANOS

Una forma de realizar el análisis estático de un cuerpo rígido sin recurrir al

método de la mecánica vectorial es realizar un análisis por planos y luego sumar

los efectos conjuntos de las reacciones aplicando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo 1: Un árbol se apoya dos cojinetes en "A" y "D" Los carretes en "B" y

"C" tienen 40mmy 55mm de radio respectivamente. Si sabe que la tensión TB =

150N, determine la tensión Tc y las reacciones en los cojinetes "A" y "D".

Figura 16


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8. TAREA 2 .- PROBLEMAS 1-9

Problema 1

Un tensor AB se usa para tensar cables a un poste. Sabiendo que la tensión en el

cable BC es de 1040N y que la longitud d es de 1,90m determine el momento

con respecto al punto D, de la fuerza ejercida por el cable en C mediante la

descomposición en sus componentes horizontal y vertical de la fuerza aplicada

en:

El punto C.

El punto E.

Figura 17

Problema 2

Tres trabajadores tratan de mover una caja de madera de 1x1x1,2m aplicando

las 3 fuerzas horizontales mostradas en la figura.

Si P = 240N, reemplace las 3 fuerzas por un sistema equivalente fuerza-par

en A.

Reemplace el sistema fuerza-par del inciso a) por una sola fuerza resultante y

determine en qué lugar del lado AB se debe aplicar.

Determine la magnitud de P, de tal forma que las 3 fuerzas puedan ser

reemplazadas por una sola fuerza resultante aplicada en B.

Figura 18


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Problema 3

Un mecánico está reemplazando el sistema de escape de un automóvil sujetando

firmemente el convertidor catalítico FG a los soportes de sujeción ubicados en H

e I para aflojar el ensamble del mofle y el tubo de escape. Para colocar el tubo

terminal AB, el mecánico lo empuja hacia adentro y hacia arriba en A mientras

tira hacia abajo en B.

Reemplace el sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente fuerza-par

en D.

Determine si el tubo CD tiende a rotar a favor o en contra del movimiento de

las manecillas del reloj relativo al mofle DE, tal y como lo ve el mecánico.

Figura 19

Problema 4

Un carretón se emplea para mover dos barriles con 40kg de masa cada uno. Sin

tomar en cuenta la masa del carretón, determínese:

La fuerza vertical P que debe aplicarse en el manubrio del carretón para

mantener el equilibrio cuando =35°.

La reacción correspondiente en cada una de las 2 ruedas.

Figura 20


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Problema 5

Una ménsula movible se mantiene en reposo mediante un cable unido a E y los

rodillos sin fricción mostrados en la figura. Sabiendo que el ancho del poste FG

es ligeramente menor que la distancia entre los rodillos, determínese las fuerzas

ejercidas sobre el poste por cada rodillo cuando =20°.

Figura 21

Problema 6

Determínense las reacciones en A y B cuando =50°.

Figura 22

Problema 7

Dos bandas de transmisión pasan sobre discos soldados a un eje que se sostiene

mediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radio de 2,5in y el disco en

C tiene un radio de 2in y si se conoce que el sistema gira con una velocidad

angular constante, determínese:

La tensión T.

Las reacciones en B y D. Supóngase que el cojinete en D no ejerce ninguna

fuerza de empuje axial e ignórese el peso del eje y de los discos.


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Figura 23

Problema 8

La placa ABCD, de 50kg de peso se sostiene por medio de bisagras a lo largo del

lado AB y mediante un alambre CE. Sabiendo que la placa es uniforme,

determínese la tensión en ele alambre.

Figura 24

Problema 9

Una fuerza P se aplica sobre la barra doblada ABC la cual puede sostenerse en 4

formas diferentes como se muestra en la figura. De ser posible, determínense las

reacciones en los apoyos para cada caso.

Figura 25

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