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7/21/2019 TEXTO2_interferencia

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Optica Fsica: INTERFERENCIA

C. Dib

Depto de Fsica, Universidad Tecnica Federico Santa Mara, Valparaso, Chile

(Dated: Agosto 2006)

Esta es una version preliminar. Lea en forma crtica. Si tiene comentarios o correcciones, hagalassaber a su profesor.

Este artculo introduce los temas de interferencia en general, interferencia de luz coherente enrendijas, difraccion en aperturas lineales y circulares, e interferencia en pelculas delgadas.

I. INTRODUCCION

A. Que es Interferencia

En el caso de las ondas, se llama interferencia a lapropiedad de que dos o mas perturbaciones que llegan aun punto se suman algebraicamente (con sus correspon-dientes signos), dando la posibilidad de que el efecto netosea un aumento o una cancelacion de la perturbacion en

ese punto.

Esto se contrasta con casos en los que los efectos solo sepueden sumar positivamente. Por ejemplo, si uno tiraagua simultaneamente con dos mangueras dentro de unbalde, la cantidad neta de agua que llega al balde essiempre mayor que la de cada chorro por separado; nuncava a ocurrir una cancelacion entre los chorros.

B. Ondas

Una onda se define usualmente como una perturbacionque se propaga por un medio continuo o por el vaco.Las ondas sonoras son perturbaciones de presion quese propagan por un medio elastico (un solido o un flu-ido). Las ondas electromagneticas son campos electricosy magneticos que se propagan por el vaco o por un mediodielectrico no-absortivo (medio transparente).

Matematicamente, las ondas en un medio (o vaco) ocur-ren si la ley dinamica (ley que rige la evolucion tem-poral del sistema) tiene la forma de ecuaci on de onda.Si caracterizamos a la perturbacion en el medio medi-ante la funcion f(r, t) (por ejemplo, en una onda elec-tromagnetica, f(r, t) podra ser el campo electrico en el

punto r y en el instante t), y la ley dinamica para f esuna ecuacion de onda:

2f= 1

c22f

t2 (1)

entonces decimos que f(r, t) es una onda.

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requiere permiso del autor.

C. Onda en una dimension

Si la onda depende solo de una coordenada espacial carte-siana x, decimos que la onda es plana: en cualquier in-stantet, dada la coordenadax, la funcion tiene el mismovalor para todos los valores dey yz , es decir, la funciontiene un mismo valor en todo un plano perpendicular alejeXen el puntox. En tal caso, f=f(x, t) y la ecuacionde onda se reduce a:

2fx2

= 1c2

2ft2

(2)

D. Propagacion e Interferencia

Dos caractersticas principales de una onda son:

Propagacion: lo que ocurre mas adelante es simi-lar a lo que ocurre mas atras, pero despues. Esta

propiedad es debida a la forma diferencial de laecuacion de onda: el orden de la derivada en t (se-gunda derivada) es igual al orden de la derivada enx (tambien segunda derivada).

Interferencia: si hay mas de una fuente emitiendoondas, la perturbacion que hay en cada punto del

espacio es la suma de cada una de las perturba-

ciones que habran llegado a ese punto desde cada

fuente por separado. Esta propiedad es debida aque la ecuacion de onda es lineal: si uno conocedos soluciones de la ecuacion de onda(dos posiblesondas en el medio), la suma de ellas tambien es unasolucion (es otra onda en el medio).

E. Propagacion: Onda viajera

En particular, la funcion fpodra depender de t no enforma independiente de x, sino en la combinacion: (t x/c), es decir f=f(t x/c). En tal caso, se dice que fes una onda viajera, o propiamente una perturbacionque realmente se propaga por el espacio.


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2

EJERCICIO DE ONDAS: compruebe quef=f(t x/c)es en verdad una solucion de la ecuacion de onda,cualquiera que sea la forma de f como funcion de suargumento (con tal de que sea derivable, etc.) y con talde que el parametroc que aparece en fsea precisamenteel que aparece en la ecuacion de onda. El parametro cse denomina velocidad de propagacion. Por que se llamaas?

0

0.5

1

1.5

2

f

1 2 3 4 5 6

x

FIG. 1: Una forma de onda

EJERCICIO DE PROPAGACION: Considere una ondade sonido que se propaga en direccion x positivo (ha-cia la derecha), con velocidad c. En un instante t = 0,

la presion como funcion de la posicion corresponde a lafuncion f(x) de la Fig. 1. Determine la funcion que de-scribe la presion en el espacio en un instantet1posterior.Note que la forma espacial del pulso es una funcion condos maximos locales, donde el de la derecha es mayor queel de la izquierda.

Ahora haga un grafico de la presion en funcion deltiempo, en un punto del espaciox0, mas a la derecha quelos indicados en la figura. indicado en la figura. Fjesebien cual de los dos maximos aparece antes y cual de-spues: el primero debera aparecer en el grafico vs. ta laizquierda del segundo. Compare con el grafico en funcionde x para t fijo. Piense en lo que esto representa en elmundo fsico.

Suponga ahora un pulso similar, pero donde el punto deinteres x0 este a la izquierda de la figura mostrada, yademas la onda viaje hacia la izquierda. Como sera elgrafico de la presion en funcion del tiempo en x = x0?

II. INTERFERENCIA

Suponga que tenemos dos fuentes, S1 y S2, separadas enel espacio, cada una emitiendo una onda en todas direc-

ciones (ondas esfericas). Suponga que la senal emitidapor S1 en la fuente misma es f1(t), y del mismo modof2(t) para la fuenteS2.

Pregunta: cual es la senal que llega a un punto P, queesta a distancias r1 y r2 de S1 y S2, respectivamente?Respuesta: es la interferencia (suma) de las senales quellegan de cada fuente por separado. La senal que llegadesde S1 es simplemente f1, retardada en el tiempo deviaje y atenuada por la distancia (recuerde que la am-plitud en una onda esferica decrece como el inverso de

la distancia a su fuente). Igual cosa ocurre con la senaldesdeS2.

Vamos a suponer que la atenuacion de las senales no esimportante (o bien que la atenuacion de ambas senaleses casi la misma); lo que nos va a importar es el distintoretardo de las senales. Las senales en P desde S1 y S2,respectivamente son:

f1(t r1/c) y f2(t r2/c). (3)

Por lo tanto, la senal que existe en el punto P es simple-mente la suma de estas dos:

fP(t) = f1(t r1/c) +f2(t r2/c). (4)

Conceptualmente, no hay nada mas que agregar en eltema de interferencia. Todo lo que sigue son aplicacionesde esto mismo a diversos casos geometricamente intere-santes.

EJERCICIO: Suponga dos fuentes a una distancia L,cada una emitiendo una misma senal sinusoidalA sin(t).Determine la senal que llega a cada punto del espacio queyace en el segmento de recta que une las dos fuentes.

SOLUCION: Pongamos un punto P arbitrario en la rectaque une las fuentes, de modo que este a una distancia xde la fuente izquierda. Obviamente, estara entonces auna distancia L x de la fuente derecha. La senal en elpunto entonces sera:

fP(t) = A {sin((t x/c)) + sin((t [L x]/c))} (5)

Usando la definicion de numero de ondak = /c, estomismo queda:

fP(t) = A {sin(t kx) + sin(t k(L x))} (6)

Decimos que kx es el desfase que sufre la primera ondaal viajar una distanciax, yk(L x) el desfase que sufrela otra onda al viajar (L x), respectivamente.

En verdad, esta expresion se puede generalizar paratratar la interferencia de dos senales que llegan acualquierpunto del espacio, no solo a uno que este justoen la lnea recta entre las fuentes, simplemente si lla-mamos 1 y 2 a los desfases de cada una de las senalesdebido a sus respectivos viajes:

1 kx, 2 k(L x). (7)

La expresion (6) simplemente se convierte en:

fP(t) = A {sin(t 1) + sin(t 2)} , (8)

la cual, usando la identidad trigonometrica:

sin(a) + sin(b) = 2cos

a b

2

sin

a+b

2

, (9)


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3

se puede convertir en:

fP(t) = 2A cos

2

sin(t ), (10)

donde = (1 + 2)/2 es una fase promedio poco in-teresante, pero donde = (2 1) es la diferencia defases entre las senales, algo de suma importancia, como

veremos.En efecto, sin(t ) en la expresion nos dice simple-mente que la senal en el punto P es sinusoidal, con lamisma frecuencia que las senales incidentes.

Por otro lado, 2A cos(/2) es la amplitud de la per-turbacion en P, que claramente depende de la diferenciade fases entre las senales, y por lo tanto depende de laposicion del punto P en el espacio.

En particular, en los puntos donde sea un multiplode 2, la amplitud sera maxima:

| cos(/2)| = 1 si = 2 n, n Z. (11)

Igualmente, en los puntos donde sea un multiplo im-par de , la amplitud sera cero:

| cos(/2)| = 0 si = (2n+ 1), n Z. (12)

Note que esto no significa que la senal en ese puntoeste instantaneamente pasando por un valor cero (lo cualocurre en toda onda sinusoidal), sino que significa que laamplitudde dicha oscilacion es cero, es decir, la senal enese punto es cero siempre! Los puntos del espacio dondeocurre este tipo de interferencia destructiva se llamannodos.

A. Onda estacionaria como interferencia de dos

ondas viajeras

Volvamos al problema de la interferencia a lo largo delsegmento de recta entre las fuentes. La expresion (8)muestra que la perturbacion no es exactamente una ondaviajera (no es funcion det x/c), sino mas bien lo que sellama unaonda estacionaria: la perturbacion esta en faseen todos los puntos; solo la amplitud difiere de un puntoa otro. Esto es analogo a la vibracion de una cuerda de

guitarra en uno de sus modos normales: todos los puntosde la cuerda se mueven en fase y con la misma frecuencia,salvo que algunos oscilan mas y otros menos, e incluso sise trata de una armonica mayor que la frecuencia funda-mental, algunos puntos de la cuerda seran nodos (puntossiempre en reposo).

De acuerdo a la expresion (11), la posicion de losmaximos es tal que = 2 n, es decir (ver Ec. 7):

k(L 2x) = 2 n, conn Z. (13)

Resolviendo para x, tenemos:

x=L

2 n

2, conn Z. (14)

Claramente el punto intermedio,x = L/2, es un maximo(corresponde a n = 0. Eso era de esperar, porque elpunto intermedio es equidistante de las fuentes, de modoque ambas senales sufren el mismo retardo, y por lo tantollegan con la misma fase a ese punto.

Los demas puntos estan espaciados regularmente a inter-valos distanciados cada /2. Si lo pensamos bien, estotambien era de esperar: cada vez que nos desplazamoshacia una de las fuentes en una distancia /2, una delas fuentes se nos aleja en esa distancia y la otra se nosacerca en la misma distancia.

En conclusion, la diferencia de caminos que recorren lassenales (que es lo relevante para el cambio de fase) cam-bia en . Cuando la diferencia de camino cambia en unnumero entero de longitudes de onda, la fase cambia enun numero entero de veces 2, que es lo mismo que si lafase no cambiara.

EJERCICIO: Resuelva el problema anterior de las dosfuentes para los casos L = /2, L = y L = 2.

Haga un dibujo en cada caso, ubicando los maximosy nodos a lo largo de la recta entre las fuentes.

Haga lo mismo a lo largo de la prolongacion de larecta mas alla de las fuentes, a cada lado. Primeronote que, por simetra, lo que ocurre a cada lado eslo mismo. Descubra que en estas zonas, la interfer-encia es igual para todos los puntos, independien-temente de la distancia.

Ahora analice el plano perpendicular que pasa porel punto intermedio entre las fuentes. Deduzca queen todo ese plano hay maximos de interferencia (to-dos los puntos son equidistantes a las fuentes).

Encuentre los demas puntos del espacio donde hayamaximos de interferencia. Deduzca que tales pun-tos forman hiperboloides de revolucion, cuyos fo-cos son las fuentes. Ayuda: en el plano XY,ponga las fuentes sobre el eje X, en los puntosx = L/2. Luego, tome un punto P cualquieraen el plano, de coordenadas (x, y). Defina r1 y r2como las distancias de P a cada fuente, respectiva-mente. Demuestre que todos los puntos del planoque mantienen una diferencia de distancias r

1 r

2constante forman una hiperbola (ecuacion de laforma x2/a2 y2/b2 = 1, para ciertas constantesa y b). Una vez encontrada la hiperbola, el hiper-boloide de revolucion aparece simplemente por lasimetra del problema ante rotaciones en torno aleje X.

EJERCICIO: En el mismo problema anterior, para cadacaso, vuelva a analizar la interferencia a lo largo de larecta entre las fuentes, pero esta vez:


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FIG. 2: Zonas de maximos de interferencia en el plano XY.Caso de dos fuentes que emiten en fase, separadas en una dis-tancia L = 3. Note que en el segmento que une las fuentes,hay un maximo central y dos maximos a cada lado, a distan-cias /2 y del centro, correspondientes a una diferencia decamino igual a y 2, respectivamente.

Haga un grafico de la amplitud de la perturbacion

como funcion de x, donde x es la distancia a unade las fuentes.

Imagine la perturbacion en funcion del tiempo entoda esa zona: en cada punto, la perturbacion os-cila en fase, con su correspondiente amplitud. Se leocurre como hacer una representacion grafica, algoque le permita explicar el fenomeno a un amigosuyo para que visualice lo que esta pasando?

0.1

0.05

0

0.05

0.1

Amplitud

0.4 0.2 0 0.2 0.4

x

FIG. 3: Amplitud de la perturbacion ondulatoria que existeel segmento recto entre las fuentes.

EJERCICIO: Cuantos maximos hay entre las fuentes?Sigamos con el mismo problema. Si las fuentes estan enfase, el punto medio siempre corresponde a un maximo.

Demuestre que los demas maximos los podemosencontrar desplazandonos hacia cualquiera de lasfuentes en pasos de largo /2 (por que? -piense encomo cambia la diferencia de camino de las senalesal desplazarse en esa distancia).

Con esto, deduzca que si la separacion entre lasfuentes es aproximadamente N (donde N 1, digamos, N 100), entonces el numero demaximos entre las fuentes es aproximadamente 2N.

Fijandose ahora en el resto del plano XY, pienseen los maximos en el plano (recuerde las hiperbolasvistas en la seccion anterior). Como sera el patronde interferencia (maximos y nodos) en la region le-

jana perpendicular a la lnea que une las fuentes?( piense en los hiperboloides en la zona cercana aleje Y, para puntos lejanos).

B. Interferencia de dos fuentes en un punto muy

lejano

El trabajo cuantitativo con los hiperboloides es engor-roso, pero uno puede hacer buenas aproximaciones enun caso muy especial e interesante: la zona lejana, per-pendicular a la lnea que une las fuentes (ver ejercicioanterior).

P1r

2r

r

a

FIG. 4: Interferencia de dos fuentes en un punto lejano P,dondea es la separacion entre las fuentes, res la diferenciade camino de las ondas que llegan a P y es el angulo dedireccion en el que se encuentra el punto P respecto al sistemaemisor.

Supongamos que la separacion entre las fuentes es a, unadistancia bastante mas grande que , (unas 100 vecesmas grande). En nuestra zona de interes (ver Fig. 4),la diferencia de caminos es facil de calcular si el puntoP es lejano. Esta situacion lmite se denomina Inter-ferencia de Fraunhofer, en honor al fsico, optico yvidriero aleman Joseph von Fraunhofer (1787-1826) (leasu biografa en la Wikipedia).

En contraste cuando el punto de observacion no es lejano,se habla de Interferencia de Fresnel, en honor al f sicofrances Augustin Fresnel (1788-1827) (lea su biografa).Aqu vamos a concentrarnos en estudiar solo el caso lmitede Fraunhofer, no de Fresnel.

Vea la figura nuevamente. Si P es lejano, los caminos

desde las fuentes a P son aproximadamente paralelos, demodo que la diferencia de caminos se aproxima a:

r2 r1 r a sin a, (15)

donde la ultima aproximacion es valida si el angulo deobservaciones pequeno (lo que sera el caso en casi todaslas aplicaciones que veamos).

Fsicamente, este problema corresponde al caso de dosrendijas en una placa, iluminadas desde atras con una


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onda monocromatica plana, en el cual el patron de inter-ferencia se observa sobre una pantalla lejana, delante delas rendijas.

La expresion para la interferencia en el punto Pes simi-lar a aquellas en Ecs. (8) y (10), con 1 = kr1 y 2 = kr2,respectivamente:

fP(t) = f1(t r1/c) +f2(t r2/c)

= A {sin(t kr1) + sin(t kr2)} , (16)

De este modo, segun la Ec.(15), ka y, por lotanto, la expresion para la amplitud de la senal en P,como funcion de la direccion , es:

AP() = A0cos

ka

2

(17)

donde hemos llamado A0 simplemente a la amplitud enla direccion = 0.

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud,de modo que el patron de intensidad en la pantalla, enfuncion de , es:

IP() = I0

cos

ka

2

2. (18)

FIG. 5: Intensidad de la onda en una pantalla lejana ilumi-nada por fuentes coherentes: el patron de interferencia dela intensidad (zonas iluminadas y oscuras) obedece a la ex-

presion (18).

Recuerde que aqu es el angulo de direccionamientoespacial, no la fase de una senal sinusoidal (si bien fasesy angulos se miden en radianes, no son fsicamente lomismo).

L

x

FIG. 6: Esquema de las dos fuentes iluminando la pantallalejana. es el angulo espacial entre nodos y x la corre-spondiente separacion de los nodos en la pantalla, a distanciaL de las fuentes.

EJERCICIO: Para el caso en el que las fuentes est anseparadas en a = 0, 1 mm (milmetros), la longitud deonda es 600 nm (nanometros), y la distancia a la pan-talla iluminada con el patron de interferencia es de 2

m, determine la distancia entre nodos consecutivos en lapantalla.

SOLUCION: De acuerdo a la expresion (18), los nodos (oceros) en la intensidad corresponden a valores ka/2 =(n+ 1/2), con n Z. As, la separacion angular entredos nodos consecutivos es = 2/ka, que es igual a/a.

As, por la geometra del problema (ver Fig. 6, la sepa-racion entre nodos en el patron de la pantalla es x =L. Usando los datos del problema, = /a =0, 6/100 = 0, 006 rad, y por lo tanto x = 0, 006 2m = 1, 2 cm.

C. Interferencia de varias fuentes

Si en vez de solo dos, tenemos una hilera de varias (N)fuentes equiespaciadas en una distancia a, el patron deinterferencia que aparece en una pantalla lejan puede ser

obtenido usando el mismo tipo de razonamiamento.

El caso de varias fuentes se puede construir en la pr acticahaciendo incidir un haz coherente (onda monocromaticade fase bien definida) sobre una l amina con una seriede rendijas equiespaciadas. La luz que atraviesa cadarendija actua en ese caso como si fuera emitida por unafuente puntual, coherente con las demas.

P

FIG. 7: Esquema de Nfuentes iluminando la pantalla lejana. es el angulo de direccion de un punto P en la pantalla.

En forma analoga al caso de dos fuentes, si la direcciondel punto P donde se recibe la senal con respecto a ladireccion frontal es , y la separacion entre fuentes con-secutivas esa, entonces la diferencia de camino de la senalde dos fuentes adjacentes, fi yfi+1 es, al igual que en elcaso de dos fuentes,

ri+1 ri r= a sin a (19)

y as, la superposicion de senales en el punto P es:

fP(t) = A

sin(t kr1) + sin(t kr2)

+ . . .+ sin(t krN)

(20)

= A

sin(t kr1) + sin(t kr1 kr)

+sin(t kr1 2kr)

+ . . .+ sin(t kr1 (N 1)kr)


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6

No parece haber una forma simple de hacer esta sumatrigonometrica, sin embargo s hay una forma simple dehacerla si la escribimos como la parte imaginaria de unasuma compleja, es decir, usando sin = I m[ei]. As,

fP(t) = A Im

ei(tkr1) +ei(tr1kr)

+ei(tkr12kr)

+ . . .+ei(tkr1(N1)kr)

Claramente podemos factorizar la faseei(tkr1), dejandosolo una suma geometrica, que es facil de hacer:

fP(t) = A Im ei(tkr1)

1 +eikr

+ ei2kr +. . .+ei(N1)kr

=A Im ei(tkr1)1 eiNkr

1 eikr .

Aqu podemos extraer un factor de fase del numer-

ador y denominador para dejar una razon de funcionessenoidales:

fP(t) = A Im ei(tkr1)

eiNkr/2

eikr/2

sin(N kr/2)

sin(kr/2) . (21)

De esta expresion, podemos identificar la amplitud dela senal en P, que es todo aquello que no es una fasecompleja, es decir:

AP() = A0sin(N kr/2)

sin(kr/2)

. (22)

Recordando que r a, hemos llamado A0 simple-mente a la amplitud en el punto central, correspondientea = 0.

As, analogo al caso de dos fuentes, la intensidad de lasenal es proporcional al cuadrado de la amplitud, es decir:

IP() = I0

sin(Nka/2)

sin(ka/2)

2. (23)

Es facil ver que esta expresion para N= 2 se reduce alcaso de dos fuentes, dado en Ec (18), si usamos la iden-

tidad sin 2x= 2 sin x cos x. Para N >2, sin embargo, laforma grafica de esta distribucion no es muy conocida.Analicemos entonces la funcion:

FN(x) =

sin(N x)

sin(x)

2, para N >2. (24)

Es facil ver que esta funcion, en el lmite x 0, esN2. Ademas, claramente la funcion es periodica conperodo (correspondiente al perodo del denominador,que es mas largo) de modo que la funcion tambien vale

N2 en x = n, para n Z. Por otro lado, en-tre x = 0 y la funcion tiene ceros (mnimos) enx = /N, 2/N,... , (N 1)/N, que son los puntosdonde solo el numerador se anula, pero no el denomi-nador. En resumen, la funcion tiene maximos enx = n(n Z), y entre cada par de maximos tiene N 1 cerosyN 2 maximos locales. La grafica para el caso N= 5se muestra en la Fig. 8.

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

x

FIG. 8: Funcion de intensidad (Ec. 24) para el caso N = 5.Note que entre cada par de maximos absolutos hayN1 = 4ceros y N 2 = 3 maximos locales.

EJERCICIO: En el patron de interferencia de N fuentesque iluminan una pantalla lejana,

Determine la separacion angular entre dosmaximos absolutos, como funcion de N, de a (laseparacion entre fuentes) y (la longitud de onda).

Determine el ancho angular que tiene cada unode los maximos absolutos, en funcion deN, a y .Defina el ancho del maximo simplemente como elangulo entre los dos ceros adyacentes al maximo.

Compare las respuestas para distintoN, en especialcompare con N = 2. Hay alguna ventaja practica

en usarNgrande (o pequeno)?

EJERCICIO: Para el caso de una red deN= 100 rendijasseparadas en a = 0, 1 mm, y luz de longitud de onda= 600 nm, iluminando una pantalla a 2 m de distancia,determine:

la separacion entre maximos en la pantalla (enmm),

el ancho de esos maximos en la pantalla (en mm).

D. Interferencia en pelculas delgadas

Cuando hay parafina, bencina u otro lquido aceitoso so-bre una poza de agua, se puede observar algunas franjasde colores como del arcoiris. Si mira con cuidado el re-flejo de la luz en la mayora de los lentes opticos masmodernos, notara un color verdoso en la luz reflejada. Sihace una pompa de jabon, notara tambien algunas zonasde distintos colores. Todos estos son casos de reflexion


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en pelculas delgadas. Lo que ocurre basicamente es que,siendo la luz blanca una mezcla de luz de todas las longi-tudes de onda del espectro visible, las pelculas delgadasreflejan mas luz de algunas longitudes de onda que deotras, debido a la distinta interferencia que sufren las on-das que se reflejan en las dos paredes de una pelculadelgada.

Considere una pelcula delgada de un cierto materialtransparente, puesto sobre otro material. Por ejemplo,una capa delgada de aceite sobre agua quieta, o unapelcula plastica delgada pegada sobre un vidrio (ver Fig.9). Llamemos d al espesor de la pelcula.

Considere ahora un haz de luz de cierta longitud de ondaque incide normalmente sobre la pelcula (haz 1). Unaparte del haz se reflejara en la superficie superior (haz 2),y otra parte del haz penetrara la pelcula (haz 3), hastaincidir en la superficie del fondo. All nuevamente el hazse separara en una parte que se refleja de vuelta por lapelcula (haz 4) y otra parte que atraviesa hacia el otromaterial que esta debajo. El haz que se refleja hacia ar-riba (haz 4) volvera a incidir sobre la superficie superior,pero esta vez desde adentro del material. Aqu nueva-mente habra una parte transmitida hacia afuera (haz 5)y una reflejada de vuelta hacia abajo. Podemos en gen-eral esperar que haya una larga serie de rebotes internos,sin embargo la intensidad de cada haz reflejado interna-mente se va atenuando, de modo que solo consideraremosel primero de los caminos de ida y vuelta por dentro delmaterial. As, podemos ver que la luz reflejada hacia elexterior consistira en la interferencia de los haces 2 y 5.Dependiendo de la diferencia de fases entre esos haces, lainterferencia sera constructiva o destructiva.

Exterior

Pelcula

Fondo

(1)

(2)

(3) (4)

(5)

FIG. 9: Interferencia de los haces reflejados hacia el exterior(haces 2 y 5) en una pelcula delgada.

Supongamos que el medio exterior es aire (ndice de re-fraccion 1), la pelcula es un material con ndice derefraccion np > 1, y el fondo es nuevamente aire.

La luz viaja a velocidad c 3 108 m/s en el vaco, peroen general en un medio dielectrico la velocidad de la luzes menor. El ndice de refraccion de un medio se definecomo la razon entre la velocidad de la luz en el vaco, c,

y la velocidad de la luz en el medio en cuestion, cm:

n c

cm(25)

y es en general una cantidad adimensional mayor que launidad.

En nuestro analisis de la luz en la pelcula delgada, debe-

mos considerar dos fenomenos importantes relacionadoscon el ndice de refraccion: cambio de longitud de ondaen la onda transmitida y posible cambio de signo (fase) en la onda reflejada.

Al pasar la luz de un medio a otro, la frecuencia de laonda se mantiene, pero si la velocidad cambia, la longitudde onda debe cambiar en la misma raz on: siendo lalongitud en el vaco, al pasar a un medio de ndice n, lalongitud de onda decrece a =/n.

Por otro lado, cuando una onda incide desde un mediode ndice de refraccion menor a uno de ndice mayor, laonda reflejada sufre una inversion de signo (cambio defase en radianes). La onda transmitida no sufre talefecto, como tampoco ocurre con la onda reflejada si laincidencia es desde el medio con ndice mayor a menor.

De este modo definamos, en un instante dado, la fase dela onda incidente (haz 1), justo en el punto de encuentrocon la superficie superior, por el valor 1. De acuerdo alo anterior, la fase de la onda reflejada en ese punto y enese mismo instante, cambia en respecto a 1:

2 = 1+ en la superficie superior. (26)

El haz 3, que penetra, tiene en ese mismo instante undesfase en el punto de encuentro con la superficie inferior

debido al camino recorrido d (con longitud de onda

):

3 = 1 kd en la superficie inferior. (27)

A su vez el haz 4, reflejado en el fondo, tiene esta mismafase 3 (el medio de mas abajo tiene un ndice de re-fraccionmenorque el de la pelcula, de modo que no hayinversion de signo en esta reflexion). Ese mismo haz 4,en el punto de llegada a la superficie superior tiene undesfase adicional debido al camino d recorrido de vuelta:

4 = 3 kd en la superficie superior. (28)

Finalmente, el haz 5, en ese punto y ese mismo instante,tiene esta misma fase: 5 = 4.

La interferencia entre los haces 2 y 5, por lo tanto, estadeterminada por la diferencia de fases entre estos hacesen la superficie superior (y en rigor en todos los demaspuntos por encima de la superficie, porque de ah haciaarriba, los haces siguen juntos cambiando su fase en unmismo valor, manteniendo fija su diferencia de fase):

2,5 = 2 5 = + 2kd. (29)


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Por lo tanto, obtendremos interferencia destructiva en laluz reflejada (el reflejo se eliminara completamente parala luz de esa longitud de onda) si 2,5 = + 2 m, conm Z. Esta condicion depende de la longitud de onday del espesor de la pelcula: para una longitud de ondadada, los posibles espesores para obtener una eliminaciondel reflejo son:

d = m

2, conm = 0, 1, 2, . . . (30)

=

2, ,

3

2 , 2,

5

2 , . . .

EJERCICIO: Demuestre que la luz reflejada es m aximasi el espesor de la pelcula tiene valores posibles:

d=

4,

3

4 ,

5

4 ,

7

4 , . . .

EJERCICIO: Los lentes opticos estan cubiertos con unapelcula delgada de espesor tal que elimine el reflejo dela luz amarilla ( = 550 nm, luz a la que el ojo es m as

sensible), y de este modo aumentar la cantidad de luztransmitida hacia el ojo. Determine los posibles espesoresde la pelcula, considerando que su ndice de refraccionesnp = 1, 38 y el ndice del cristal del lente es nL= 1, 5.Note que en este caso, el medio del fondo tiene ndicemayorque el de la pelcula, de modo que ponga atenciona las inversiones por reflexion. Por supuesto, el fenomenodepende de la longitud de onda, de modo que no se puedeeliminar el reflejo de todos los colores. Por eso es que elreflejo en los lentes se ve un tanto verdoso (le falta lacomponente rojo-amarilla de la luz blanca).

EJERCICIO: En el platillo de una taza de te, disuelvaun poco de detergente en agua. Ponga la taza invertida

sobre el lquido, para que se forme una pompa de jabonen la apertura de la taza. Coloque la taza de modo que lasuperficie de la pompa quede en un plano vertical. As,esta empezara a escurrir, adelgazandose gradualmente enla parte de arriba. Note como se forman bandas de col-ores, que se ven bajar a medida que la pompa se adel-gaza...hasta que se forma una zona negra en la parte su-perior, justo antes de romperse. En ese momento, elespesor de la pompa all es menor que /2, de modo quese forma interferencia destructiva para todos los colores!

III. DIFRACCION

Un caso muy importante de interferencia es la llamadadifraccion, propiedad que tienen las ondas de desparra-marse direccionalmente al pasar junto a objetos.

Por ejemplo, al pasar la luz por una rendija, el haz quecruza no viaja unidireccionalmente, sino que se abrecomo un abanico. El efecto es mayor mientras menor seael tamano de la rendija en comparacion con la longitudde onda.

En forma similar, cuando una onda plana pasa junto aun obstaculo, esta, en vez de pasar recta y dejar unasombra ntida hacia adelante, se desparrama, tendiendoa rodear al obstaculo. Nuevamente, el efecto es mayormientras menor sea el tamano del objeto en comparacioncon la longitud de onda.

Por ejemplo, si un haz de luz visible ( 107 m) es ob-staculizado parcialmente por una persona (tamano 1m) produce sombras ntidas, pero si la misma personaobstaculiza la onda sonora de la voz humana ( 101

m), esta rodea a la persona, y se sigue propagandopracticamente como si la persona no estuviera en su paso.Por esta razon, no podemos ver a alguien tras una esquina(la luz emitida por la persona no llega a nuestros ojos),pero s podemos escuchar su voz (el sonido dobla laesquina).

Esta tambien es la razon por la cual no podemos veratomos (diametro 1010 m) con luz visible: no es unproblema de que al ser tan pequenos forman imagenesdiminutas que nuestros ojos no pueden ver; incluso si

usaramos microscopios muy poderosos no podramos ver-los: el problema es simplemente que con luz visible no seforman imagenes de los atomos; la luz los rodea como sino estuvieran en su camino. Claro esta que si son muchos(un objeto macroscopico), s pueden reflejar o absorberla luz, pero esto es un fenomeno colectivo: no se puedendistinguir unos de otros. Para ver atomos, deberamosalumbrarlos con luz de longitud de onda mucho menorque el tamano atomico, pero esa luz (rayos X, en ver-dad), no es visible a nuestros ojos.

A. Difraccion por una rendija

Consideremos una rendija en una lamina, de ancho bpequeno (pero de un largo mucho mayor, para que noparezca un hoyito). Alumbremos la lamina con una ondamonocromatica plana, tal como lo hicimos en los casosde interferencia previamente analizados. La diferenciacon esos casos, es que antes las rendijas eran supuestasmuy finas, en cambio ahora la consideramos de un anchopequeno pero finito (finito en este caso significa noinfinitesimal).

Nos interesa ver la luz que pasa por la rendija y quellega a una pantalla lejana. Para tratar el calculo, pode-

mos usar el resultado de la interferencia de N fuentesequiespaciadas, considerando a la rendija finita de anchob como un conjunto infinito de fuentes (N ) sepa-radas en distancias infinitesimales (a 0), de modo talque el ancho total de la secuencia de fuentes es b (Na= bfinito).

As, tomando la expresion (23) para la intensidad de lasN fuentes sobre la pantalla, ponemosN a= b en el argu-mento del numerador (finito) y ponemos el lmite de laexpresion en el denominador sin(ka/2) ka/2 cuando


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a 0, escrita como kb/(2N):

Idif() = I0N2

sin(kb/2)

kb/2

2. (31)

Note el factor N proveniente del denominandor quequedo frente a la expresion. Podemos redefinir la intensi-

dad central de la difraccion simplemente como un nuevovalor: I0N2 I0:

Idif() = I0

sin(kb/2)

kb/2

2. (32)

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

x

FIG. 10: Funcion de intensidad de difraccion [sinx/x]2, se-mejante a la Ec.32), para luz monocromatica que pasa poruna rendija.

De la Ec. (32) y de la Fig. 10 se desprende que laintensidad es maxima en la direccion frontal ( = 0) ycae a cero para una desviacion angular = /b, que esel valor de para el cual el numerador de la expresion seanula por primera vez a partir del origen. De este modo,la difraccion produce una dispersion lateral del haz en unangulo= 2/b, dondeb es el ancho de la rendija.

Claramente se concluye, como habamos dicho, que elefecto de difraccion es mayor mientras mas pequena seala rendija en comparacion con la longitud de onda.

EJERCICIO: Suponga que tenemos una lamina con unarendija de ancho b, alumbrada por detras con un hazde luz monocromatico coherente, y una pantalla por de-lante, donde llega la luz que pasa por la rendija. Si b esgrande, el efecto de difraccion se hace despreciable, y lazona alumbrada en la pantalla es simplemente igual alancho de la rendija. Si vamos reduciendo b, tambien sereducira el ancho de la zona alumbrada, hasta que, si bse achica mas alla de cierto valor, la zona iluminada seempezara a ensanchar nuevamente debido a la difraccion.Para una pantalla a una distancia L de la lamina rendi-

jada, determine el ancho mnimo que puede tener la zonailuminada.

B. Difraccion por una apertura circular

Si en vez de una rendija larga, se tiene un agujero circular,tambien aparece el fenomeno de difraccion, excepto queesta vez la geometra es distinta, y por lo tanto el patronde difraccion no contiene funciones sinusoidales, sino defunciones de Bessel.

FIG. 11: Haz monocromatico que, al pasar por la aperturacircular de una lamina deja un patron de difraccion en unapantalla.

Como resultado, la zona de difraccion iluminada es unmanchon circular que desde el centro al primer nodo tieneuna desviacion angular 1, 22 /b(en vez de /b,como en el caso de la rendija lineal).

EJERCICIO: Considere una estrella muy lejana comouna fuente puntual de luz visible. Al mirar esa estrella,la luz pasa por la pupila del ojo humano e ilumina laretina, en el fondo del ojo.

Cual es el mnimo diametro de la zona iluminadaen la retina?

Del mismo modo, cual es el mnimo tamano angularque tienen las estrellas, segun el ojo humano?

Considere una estrella como el Sol (diametro deaprox. un millon de km) a unos 100 ano-luz dedistancia y una galaxia semejante a la nuestra(diametro de aprox. cien mil ano-luz) a una distan-cia de 5 millones de ano-luz. Deduzca si es posibledistinguir a simple vista (sin instrumentos) si unpuntito luminoso en el cielo es una estrella o unagalaxia. Nota: 1 ano-luz es una medida de distan-cia (aquella que recorre la luz durante 1 ano).

C. Poder de resolucion

El poder de resolucion es la capacidad de un instrumentooptico para distinguir a dos objetos cercanos, es decir, de-tectarlos como objetos separados, sin confundirlos comouna sola mancha de luz.

Basado en el resultado anterior para la difraccion, sepuede concluir que cualquier instrumento optico que


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necesite construir una imagen al pasar la luz por unaapertura (por ejemplo, el ojo construye en la retina unaimagen del mundo exterior) tiene un poder de resolucionlimitado.

Sigamos con el ejemplo del ojo. Suponga que tenemos dosfuentes de luz puntuales, separadas lateralmente. Cadafuente producira una mancha luminosa en la retina conel patron dado por la difraccion (ver Fig. 10). Si lasfuentes estan lateralmente muy cerca, las dos manchasluminosas en la retina quedaran superpuestas, y el ojosolo detectara una sola mancha, que si bien sera un pocomas grande que la de una sola fuente, no sera capaz dediscriminar si se trata de dos fuentes muy cercanas o deuna sola fuente mas intensa.

Pero cuan cerca deben estar los dos patrones de difraccionpara considerarlos como uno o como dos?

D. Criterio de Rayleigh

El fsico ingles William Strutt (1842-1919), mas conocidopor su ttulo de nobleza como Lord Rayleigh, y quienademas recibiera el premio Nobel de Fsica en 1904 porsus estudios de densidad en gases y el descubrimiento delgas Argon en la atmosfera, definio un criterio para decidiren que caso dos patrones de difraccion estan lo suficiente-mente separados como para atribuirse a dos fuentes: lasimagenes de las dos fuentes se pueden discriminar una deotra si el maximo central de uno de los patrones cae enel primer nodo del otro o mas lejos (ver Fig. 12).

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

FIG. 12: Dos patrones de difraccion, donde el maximo de unocoincide con el primer nodo del otro.

Sabemos que, en el patron de difraccion de la luz a travesde una apertura circular de diametro b, el primer nodoesta en un angulo = 1, 22 /brespecto al maximo cen-tral ( = 0). Por lo tanto, de acuerdo al criterio deRayleigh, dos imagenes de objetos puntuales se puedendiscriminar entre s cuando el angulo de separacion entreellas medido desde la pupila es a lo menos 1, 22 /b.

EJERCICIO: Use Maple, Mathematica o su programacomputacional grafico favorito, para graficar dos pa-trones de difraccion separados en una distancia ajustable,es decir, grafique

sin(x)

x

2+

sin((x a))

(x a)

2(33)

para distintos valores de a. Note que en estas unidadespara x, el ancho del patron es x = 2. Por lo tanto,los patrones deberan verse separados si a > 1. Vayavariando a desde a = 0, 5 hasta a = 1, 5 y compruebeque, en efecto, para a 1 se distinguen.

EJERCICIO: Considerando solo la difraccion, determinea que distancia maxima uno podra leer el diario, sinque se le confundan las letras. Para ello, debe medir ladistancia de separacion entre las letras y debe estimarel diametro de la pupila de su ojo. Despues, haga elexperimento. Coincide su calculo con su experiencia?Puede encontrar una explicacion posible?

[1] Paul Tipler, Physics for Sceintists and Engineers, thirded., extended, Worth Publishers, 1991. Captulo 33: In-

terference and Diffraction.[2] Paul Tipler, Fsica para la Ciencia y la Tecnologa, cuartaed., editorial Reverte, 2001. Captulo 35: Interferencia y

Difraccion.[3] D. Halliday, R. Resnick and K. Krane, Physics, fourth ed.,

John Wiley & Sons, Inc., 1992. Captulo 45: Interference;captulo 46: Diffraction; captulo 47: Gratings and Sp ec-tra.

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