texto de matemática para el estuduante

MatemáticaTexto del Estudiante

8ºEducación Básica

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

El Texto del Estudiante Matemática 8, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO:Eugenia Águila Garay

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster

EDICIÓN:Carolina Henríquez Rivas

AUTORES:Eduardo Bórquez AvendañoFlorencia Darrigrandi NavarroMario Zañartu Navarro

CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaGabriela Precht Rojas

DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos

JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:Mariela Pineda Gálvez

DIAGRAMACIÓN:María Macarena Cruz Rencoret

ILUSTRACIONES:Martín Oyarce Gallardo

FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana

CUBIERTA:La Práctica S.P.A.

PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del"Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o

par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella

me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2010, by San ti lla na del Pa cí fi co S.A. de Edi cio nes

Dr. Aní bal Ariz tía 1444, Pro vi den cia, San tia go (Chi le)

PRINTED IN CHILE

Im pre so en Chi le por WorldColor Chile S.A.

ISBN: 978-956-15-1762-2

Ins crip ción N°: 198.045

Se terminó de imprimir esta xx edición

de xx ejemplares, en el mes de xx del año xx.

www.santillana.cl

Referencias de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto punto cl y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8,

Educación Básica, Mineduc, de los autores: Patricia Urzúa Figueroa, Marjorie Benavides Simon, Alexandra Gederlini Gollerino, María José

González Clares, Gladys Sepúlveda Romero, Cristián Vergara Bize, Javiera Setz Mena, Florencia Darrigrandi Navarro.

Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2007 y 2010.

Presentación del TextoTe damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El Texto Matemática 8te invita a comprender que la Matemática es parte del mundo que terodea. A través de sus páginas te enfrentarás a diversas situaciones enlas que podrás desarrollar diversas habilidades para explorar, aprender yconstruir conceptos matemáticos, a partir de los ejes Números, Álgebra,Geometría y Datos y Azar.

En este año, en el eje Números profundizarás tus conocimientos sobreoperaciones con números enteros, descubrirás y emplearás estrategiaspara multiplicar y dividir con números enteros, comprenderás y aplicarás elalgoritmo de la división de números enteros, descubrirás y usarás estrategiaspara calcular potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva yexponente natural y aplicarás sus propiedades.

En el eje Álgebra plantearás ecuaciones, analizarás relaciones por mediode tablas y gráficos, reconocerás y representarás diversas funciones eidentificarás algunos de sus elementos, diferenciarás entre relacionesproporcionales y no proporcionales.

En el eje Geometría realizarás traslaciones, reflexiones y rotaciones de figurasgeométricas planas, construirás teselaciones, aprenderás a caracterizar lacircunferencia y círculo como lugar geométrico, calcularás la longitud deuna circunferencia y estimarás el área de un círculo, comprenderás larelación del número pi con la circunferencia, utilizarás el área de lasuperficie del cilindro, cono y pirámide y el volumen de cilindros yconos rectos en la resolución de problemas.

En el eje Datos y Azar, interpretarás información en diversastablas con datos agrupados en intervalos, aprenderás aconstruir dichas tablas y a determinar la media aritméticay moda en esos casos, comprenderás y analizarásmuestras aleatorias y determinarás probabilidades deocurrencia de eventos en experimentos aleatorios ylas contrastarás con resultados experimentales.

Para resolver problemas, utilizarás diversas estrategias,además, podrás conectar tus conocimientos con temasde actualidad y emplearás herramientas tecnológicas.

Todo esto a través de entretenidas actividades en lasque podrás razonar, reflexionar, analizar y compartir tusconocimientos con tus compañeros y compañeras.

Presentación 3

Estructura del Texto

Páginas de inicio

4 Matemática 8

El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Conversemos de...Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidadque te permitirán exponer tus ideas, dar opinionesy argumentar a partir de tus experiencias.

¿Cuánto sabes?Podrás resolver ejercicios y problemasque te ayudarán a recordar conocimientosque serán la base para el desarrollo de la Unidad.

En esta Unidad podrás...En esta sección conoceráslos principales objetivos quese espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes recordar?Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados enaños anteriores y que te servirán comoapoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.

Estructura del Texto 5

Páginas de desarrollo

AyudaTe recuerda uncontenido o procedimiento.

Para discutirPor medio de preguntas,explorarás el contenidomatemático que aprenderás, pondrás enpráctica lo que ya sabes,compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En equipoDesarrollarás en grupo entretenidas e interesantesactividades que te permitiránprogresar en tu aprendizaje

No olvides que...Encontrarás explicaciones,descripciones o definiciones que destacany precisan lo que vasaprendiendo.

ActividadesResolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzar así su aprendizaje.

Te invitamos a ingresar al hipertexto donde encontrarásdiferentes recursos y actividadesinteractivas que complementarántu aprendizaje.

6 Matemática 8

Herramientas tecnológicasAprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programascomputacionales.

Mi progresoResolverás actividadesque te permitiránevaluar tu progresoen el logro de losaprendizajes.

Estrategia mentalPodrás aprender ypracticar diversas estrategias de cálculomental.

Buscando estrategiasObservarás un problemaresuelto paso a paso através de una determinadaestrategia. Podrás aprendery practicar la estrategia utilizada y buscar otras quete permitan encontrar lasolución.

Estructura del Texto 7

Páginas de cierre

ConexionesA partir de una noticia o tema, desarrollarás enequipo una actividad quete permitirá aplicar lo queaprendiste en la Unidad.Además, te invitamos aevaluar tu actitud y la decada integrante del grupopara que puedas mejorartu forma de trabajar.

¿Qué aprendí?En estas dos páginasresponderás preguntasde selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluarlo que has aprendidoen la Unidad.

¿Qué logré?Evaluarás y reflexionarássobre los aprendizajes queadquiriste en esta Unidad.

SíntesisPodrás organizar y sintetizar lo aprendidoutilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajadosrespondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones.

Índice

8 Matemática 8

1Unidad

¿Cuánto sabes? 12Multiplicación de un número natural por un número entero negativo 14Multiplicación de números enteros 16División exacta de números enteros 18Mi progreso 21División inexacta de números enteros 22Operaciones combinadas 24

Mi progreso 29Buscando estrategias 30Para finalizar 32¿Qué aprendí? 34

Números enteros 10

2Unidad

¿Cuánto sabes? 38Potencias de base entera y exponente natural 40Valor de la potencia 42Multiplicación de potencias de igual base 44División de potencias de igual base 46Multiplicación de potencias de igual exponente 48División de potencias de igual exponente 50Potencia de una potencia 52

Mi progreso 55Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural 56Potencias de base decimal positiva y exponente natural 58Crecimiento exponencial 60Decrecimiento exponencial 62Mi progreso 65Buscando estrategias 66Para finalizar 68¿Qué aprendí? 70

Potencias 36

Geometría y medición 72¿Cuánto sabes? 74Circunferencia y círculo como lugar geométrico 76Elementos de la circunferencia 78Número π y su relación con la circunferencia 80Longitud de la circunferencia 82Área del círculo 84

Mi progreso 87Área del cilindro y cono 88Volumen del cilindro y cono 92Mi progreso 95Buscando estrategias 96Para finalizar 98¿Qué aprendí? 100

3Unidad

Índice 9

Bibliografía 223

4Unidad

¿Cuánto sabes? 104Transformaciones de figuras y objetos 106Traslaciones de figuras planas 108Reflexiones de figuras planas 110Rotaciones de figuras planas 112Mi progreso 117Teselaciones 118

Teselaciones regulares y semirregulares 120Mi progreso 123Buscando estrategias 124Para finalizar 126¿Qué aprendí? 128

Movimientos en el plano 102

5Unidad

¿Cuánto sabes? 132Interpretación de tablas de frecuencias 134Construcción de tablas para datos agrupados 136Media aritmética para datos agrupados 138Moda para datos agrupados 140Censo y muestreo 142Análisis de encuestas 144

Mi progreso 149Espacio muestral y principio multiplicativo 150Sucesos equiprobables 152Regla de Laplace 154Mi progreso 157Buscando estrategias 158Para finalizar 160¿Qué aprendí? 162

Datos y azar 130

6Unidad

¿Cuánto sabes? 166Situaciones con dos variables 168Noción de función 172Variables dependientes e independientes 174Dominio y recorrido 178Mi progreso 181Variaciones proporcionales y no proporcionales 182

Relación de proporcionalidad directa 184Relación de proporcionalidad inversa 188Mi progreso 193Buscando estrategias 194Para finalizar 196¿Qué aprendí? 198

Funciones y relaciones proporcionales 164

Solucionario 200Índice temático 220

Números enteros

Unidad

1

10 Unidad 1

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un

número entero negativo.

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros.

• Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros.

• Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de

números enteros y aplicarlo.

• Calcular operaciones combinadas con números enteros.

• Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan

las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.

En esta Unidad podrás...

La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra.

Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar,sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol seescape al espacio.

Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable,aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche.

La atmósfera se divide en capas, la primera es la tropósfera, en la cual latemperatura disminuye con la altura.

Fuente: Dirección Meteorológica de Chile,

www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.

La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según laaltura, a razón de 6 ºC por kilómetro.

1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura?2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC?3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?

Conversemos de...

Números enteros 11

¿Cuánto sabes?

1. Completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a) –7 –5 c) �–10� �–15� e) �–3� 3

b) �–8� 5 d) 4 –1 f) 8 –8

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 d) –7; –10; –16; –18; 1; 0b) –4; –5; –1; 1; 3; 5 e) –14; –19; 22; –23; 10; –5c) 101; 111; –111; –1; 5; 18 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6

3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus inversos aditivos.

4. Calcula mentalmente:

a) (–2) + 8 = e) 22 – 30 = b) (–14) + 6 = f) –(–4 + 2) – (9 – 5) =c) (–3) + (–8) = g) (5 – 18) – (–8 + 8) =d) –11 – (–4) = h) –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =

5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste.

a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte deluz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente 12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de estadisminución de temperatura?

b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga$ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora en total?

c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia lasuperficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad seencuentra ahora?

d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende 3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.

12 Unidad 1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Unidad 1

6. Calcula mentalmente:

a) 45 : 9 = e) 2 • 3 • 10 =b) 50 • 6 = f) 540 : 60 =c) 13 • 4 = g) 121 : 11 =d) 180 : 6 = h) 12 • 5 =

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

Números enteros 13

• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales (�), el cero y los números negativos. Se simboliza por �.

• La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valorabsoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos �a�.

Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces �–20� = 20.

• En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números queestán a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él.

Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguienterecta numérica:

• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos el signo. Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo: (–3) + (–5) = –86 + (–9) = –3

• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25–18 – 22 = –18 + (–22) = –40

¿Qué debes recordar?

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

� = �…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…�

Para discutir

14 Unidad 1

Multiplicación de un número naturalpor un número entero negativo

Claudia y Juan aprendieron a multiplicar dos números naturalesutilizando diferentes procedimientos. Claudia lo hace como adiciónde sumandos iguales. Juan lo hace descomponiendo el primer factor. Observa.

• ¿Cuál de los dos procedimientos utilizas frecuentemente?, ¿qué otro procedimiento conoces? Explícalo.

• ¿Se puede escribir como multiplicación una adición de sumandosiguales, si el sumando que se repite es un número entero menorque cero?, ¿cómo?, ¿por qué?

• Las expresiones (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) y (–14) • 5¿son equivalentes?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado en cada caso?

• ¿Cuál es el signo del resultado de una multiplicación entre dosnúmeros si uno de los factores es un número natural y el otro esun número entero negativo?

En la situación anterior, si consideramos el procedimiento de Claudia,el sumando 14 se repite 5 veces, lo que, escrito como multiplicación,es 14 • 5.

Luego, para escribir como multiplicación (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14), el sumando (–14) se repite 5 veces, entonces se escribe (–14) • 5.

Podemos calcular (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) apoyándonosen la recta numérica:

Obtenemos: (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = –14 – 14 – 14 – 14 – 14 = –70.Como (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = (–14) • 5, tenemos que (–14) • 5 = –70.

–80 –70–56 –42

–60 –50 –40 –30 –20 –10 0 10–28 –14

Números enteros 15

Unidad 1

Actividades

Ayuda

Propiedad conmutativa de lamultiplicación: a • b = b • a, con a y bnúmeros enteros.

1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, resuelve.

a) (–3) • 5 = c) 4 • (–6) = e) (–1) • 8 = g) 9 • (–4) =b) 2 • 10 = d) (–10) • 3 = f) 1 • (–8) = h) (–13) • 4 =

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.

a) –1 b) –16 c) 8 d) –10 e) –36 f) –7

3. Escribe como una multiplicación cada adición de sumandos iguales.

a) (+14) + (+14) + (+14) + (+14) d) (–4) + (–4) + (–4) + (–4) b) (–1) + (–1) + (–1) + (–1) + (–1) e) (–5) + (–5) c) (–21) + (–21) + (–21) f) (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6)

4. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) En una multiplicación, si los factores son dos números naturales, el producto también lo es.b) La multiplicación de un número natural por un número entero negativo resulta un número

entero positivo o negativo, según el caso.c) En una multiplicación, donde un factor es un número natural y el otro es un número entero

negativo, el producto es siempre menor que cada uno de los factores.d) El doble de un número entero es siempre mayor que ese número.

¿Cómo calcular 5 • (–14)?

En el caso que el número negativo sea el segundo factor, como 5 • (–14), se puede escribir como (–14) • 5, por la propiedadconmutativa de la multiplicación.

Por lo tanto, 5 • (–14) = (–14) • 5 = –70

• Para multiplicar un número natural por un número entero negativo, la expresión se puedeescribir como una adición iterada de sumandos iguales y, luego, calcular la operación. Ejemplos: (–12) • 3 = (–12) + (–12) + (–12) = –12 – 12 – 12 = –36

2 • (–7) = (–7) • 2 = (–7) + (–7) = –7 – 7 = –14

No olvides que...

16 Unidad 1

Multiplicación de números enteros

Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntosal responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, seanotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de 5 etapas.

Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión quepermite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapases: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos.

La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminóCristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es: (–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminócon –50 puntos al final del juego.

Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión quepermite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es: 0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos.

Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión quepermite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es:(–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con –60 puntos.

Beatriz fue quien obtuvo más puntos.La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvoAlejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos,es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dosetapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en estecaso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapasque no jugó, es: (–12) • (–2) = 24. Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

Para discutir

• ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador?• ¿Quién obtuvo más puntos? • Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos

dejaría de perder con las dos etapas que no jugó?

Ayuda

Recuerda que, usualmente,cuando el número es positivo,no se escribe el signo +. Por ejemplo: (+3) se escribe también 3.

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5

Beatriz 15 15 15 15 15

Cristián –10 –10 –10 –10 –10

Gonzalo 0 0 0 0 0

Alejandra –12 –12 –12 –12 –12

Números enteros 17

Unidad 1

Actividades

1. Calcula el resultado de los siguientes productos.

a) 3 • (–5) c) (–11) • 3 e) (–4) • (–1) g) 7 • (–2) b) 0 • (–3) d) (–5) • (–6) f) 1 • (–7) h) (–9) • (–5)

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.

a) –20 b) –16 c) –18 d) +8

3. Completa con el factor que falta.

a) • (–7) = 21 c) • 9 = –72 e) (–4) • = 4b) 5 • = –35 d) 6 • = 18 f) (–4) • = –64

4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de lascasillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala.

• Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0.

• Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultadoanteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo.

• La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos.

• Al multiplicar dos números que tienen igual signo, el resultado es positivo. Por ejemplo:(+5) • (+7) = +35 (–6� • (–2) = +12

• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo,el resultado es negativo. Por ejemplo:(+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24

No olvides que...

Signo del 1er factor

Signo del 2o factor

Signo delproducto

+ + +

– – +

+ – –

– + –

+1080

–12

+6

+3

18 Unidad 1

División exacta de números enteros

Carlos y Francisca tienen una libreta donde ingresan sus transaccionesde dinero mensual. Estas son las anotaciones del mes de abril:

Si asociamos las ganancias con el signo +, y los gastos con el signo –,en la situación anterior, el sueldo se escribirá entonces como +415 000 ó 415 000 y los otros movimientos son gastos, porconsiguiente se escribirán como –80 000, –9000, –12 000 y –55 000,por concepto de arriendo, luz, gas y supermercado, respectivamente.

Para determinar el sueldo que recibieron Carlos y Francisca en abril,si reciben lo mismo, calculamos: 415 000 : 2 = 207 500. Es decir, cadauno recibió un sueldo de $ 207 500 ese mes. Para comprobar que elresultado obtenido es correcto, multiplicamos el divisor por el cociente,que debe ser igual al dividendo, es decir, 415 000 = 2 • 207 500.

Sabemos que el mes de abril tiene 30 días; para determinar cuántodinero gastaron diariamente en gas, calculamos: 12 000 : 30 = 400.Luego, gastaron $ 400 por día en gas. Como asociamos a los gastosel signo –, podemos escribir –12 000 : 30 = –400. Al comprobar eneste caso, tenemos: –12 000 = 30 • (–400). Para determinar el gastodiario en luz, calculamos: –9000 : 30 = –300. Por lo tanto, gastaron $ 300 en luz diariamente. Luego, para verificar que el cálculorealizado es correcto, tenemos: –9000 = 30 • (–300).

Ten presente que en las divisiones realizadas el dividendo es igual aldivisor por el cociente, es decir, las divisiones son exactas.

Para discutir

• ¿Con qué número entero relacionarías cada movimiento dedinero?, ¿por qué?

• Si ambos tienen el mismo sueldo, ¿cuánto recibe cada uno?• Si el consumo diario de gas y luz fue aproximadamente el mismo,

¿cuánto gastaron cada día por concepto?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cómo comprobarías que los resultados obtenidos en cada caso

son correctos?

Ayuda

En una división exacta, el restoes igual a cero. Por ejemplo, en 30 : 5 = 6, significa que 30 = 5 • 6 + 0.

Concepto Arriendo Luz Sueldos Gas Supermercado

Movimiento (en pesos)

80 000 9000 415 000 12 000 55 000

Números enteros 19

Unidad 1

Actividades

1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.

a) 120 : 2 = d) 270 : (–27) = g) 120 : (–2) =b) 164 : (–4) = e) (–333) : 3 = h) (–108) : (–12) =c) (–225) : 5 = f) (–456) : (–6) = i) 300 : ((–30) : 6) =

2. Obtén dos números cuyo cociente sea el indicado.

a) : = 48 b) : = –54 c) : = –1024

3. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.

a) 180 : (–9) = c) : (–9) = 7 e) : (–14) = –9b) 240 : = –24 d) : 12 = 4 f) (–720) : = –6

4. Lee atentamente, comenta y, luego, responde:

a) Considera la expresión: x : y = 2. Si x es un número entero negativo mayor que –11, ¿qué valores pueden tomar x e y?

b) El cociente de dos números enteros ¿es siempre un número natural? Justifica.

• Para calcular el cociente de dos números enteros, se deben dividir sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo + si ambos números, dividendo y divisor, son de igual signo, o el signo – si son de signos diferentes.

• La tabla que se muestra a la derecha te permiterecordar la regla de los signos:

• La división es la operación inversa de lamultiplicación. Cuando la división de númerosenteros es exacta, se verifica que el resultadoobtenido o cociente es correcto, si el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo:

14 : 2 = 7 14 = 2 • 7 (–20) : (–4) = 5 (–20) = (–4) • 515 : (–3) = –5 15 = (–3) • (–5) (–18) : 9 = –2 (–18) = 9 • (–2)

No olvides que...

Signo deldividendo

Signo deldivisor

Signo delcociente

+ + +

– – +

+ – –

– + –

20 Unidad 1

En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcularmentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatrointegrantes y sigan las instrucciones.

1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400.2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5.3. Cada integrante, por turno:

1º Saca una tarjeta azul al azar.2º Saca una tarjeta roja al azar.3º Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos;

de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la tarjeta roja.

4º Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.

4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

En equipo

5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.

6. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:

a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué?b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y �b : a�?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en

estos casos?, ¿por qué?c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones �b� : �a� y �b : a�?, ¿ocurrirá siempre lo

mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones?

7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es untercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respectodel nivel del agua?

a b b : a – (b : a) �b� : �a� �b : a�

5 15

– 3 –18

–2 4

4 –28

Mi progreso

Números enteros 21

m n m • m m : n m • n �m� • �m�

–20 5

48 –6

–450 –90

Criterio Ítem Respuestas correctas

Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros. 1

Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros. 2

Calcular el producto o cociente de dos números enteros. 3

Resolver un problema que requiere multiplicación y división denúmeros enteros.

4 y 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.

1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es:

A. –9 B. 9 C. 6 D. –12

2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande?

A. 4 + x B. 4 • x C. 4 : x D. 4 – x

3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué?b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y �m� • �m�?, ¿ocurrirá siempre lo mismo

en estos casos?, ¿por qué?

4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana lamitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahoraEmilia y Carlos?

5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora. ¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC?

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañerala estrategia utilizada.

Unidad 1

22 Unidad 1

Para discutir

• La división anterior, ¿es exacta?, ¿por qué? • ¿Se puede comprobar que el resultado es correcto en este caso?,

¿cómo lo harías?• Si el dividendo o divisor fuera negativo, ¿se podrá comprobar

que el resultado es correcto de la misma forma anterior?, ¿cómo lo harías?

• En la división –17 : 5, ¿qué sucederá con el resto?, ¿será 2?, ¿por qué?

División inexacta de números enteros

Una profesora recuerda a sus alumnas y alumnos el algoritmo de ladivisión de números naturales, cuando el resto o residuo es mayorque cero. Observa:

17 : 5 = 32

La división que muestra la profesora no es exacta, ya que el residuo oresto es mayor que cero, es 2. Luego, podemos escribir 17 = 5 • 3 + 2.

En general, según el algoritmo de la división de números naturales,el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.

En el caso que el dividendo o divisor sea negativo, debemosconsiderar algunos aspectos nuevos.

En la división: –17 : 5, el dividendo se puede escribir de dosformas. Observa:

a) –17 = 5 • (–3) –2 b) –17 = 5 • (–4) + 3

Si queremos escribir el dividendo como la multiplicación entre divisorpor el cociente más el resto, ¿cuál de las dos formas es correcta?

La respuesta es la letra b, pues según el algoritmo que se extiende a los números enteros, el resto debe ser positivo (y menor que elvalor absoluto del divisor), cuando no es cero. Entonces, para:

17 : –5, significa que 17 = (–5) • (–3) + 2, ya que, 0 < 2 < �–5�–17 : –5, significa que –17 = (–5) • 4 + 3, ya que, 0 < 3 < �–5�

Divisor

Cociente

Resto

Dividendo

Números enteros 23

Unidad 1

Actividades

1. Completa la siguiente tabla, guiándote por el ejemplo.

2. Observa los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior y responde:

a) Observa los casos en que el dividendo es igual, ¿por qué el cociente es distinto?, ¿de qué depende?

b) ¿Existirá otra forma de escribir el dividendo en cada caso?, ¿por qué?

3. Utilizando lo aprendido hasta ahora, responde:

a) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que a : 0 no tiene solución?b) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que 0 : a = 0?

Según el algoritmo de la división:

• El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo.

• Si la división es exacta, el residuo es igual a cero.

• Si la división no es exacta, el residuo es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

No olvides que...

Dividendo Divisor Cociente Resto El dividendo es igual a

30 –6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0

30 6

42 5

–42 –5

–12 8

12 8

27 –6

–27 –6

27 6

–20 4

20 –4

24 Unidad 1

Ayuda

Propiedad distributiva de lamultiplicación respecto de la suma:a • (b + c) = a • b + a • c; con a, b y c números enteros.Ejemplo:(–2) • [(–4) – (+6)] = (–2) • (–4) – (–2) • (+6)= (+8) – (–12)= 20

Para discutir

• ¿Cuál fue la temperatura registrada a mediodía en Temuco?, ¿y a las 15:00 horas?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día?

• Averigua la temperatura mínima y máxima para mañana en tu ciudad.

Operaciones combinadas

Un día de invierno, en Temuco, la temperatura mínima registrada a las 7:00 horas fue de –2 ºC, dos horas más tarde subió 5 ºC. A las 12:00 horas, la temperatura fue el doble de la temperaturaregistrada a las 9:00 horas. La máxima del día se registró tres horasdespués, y subió 7 ºC.

En la situación anterior, una forma de determinar cuál fue latemperatura registrada a las 12:00 horas, es calculando la expresión:(–2 + 5) • 2.

Esta expresión se puede calcular de dos formas: 1º resolver primerolas operaciones entre paréntesis y luego multiplicar; 2º aplicar lapropiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

Forma 1: (–2 + 5) • 2 = 3 • 2= 6

Forma 2: (–2 + 5) • 2 = 2 • (–2) + 2 • 5 = –4 + 10= 6

Así, la temperatura a las 12:00 horas fue 6 ºC.

Para determinar la temperatura registrada a las 15:00 horas, una forma es resolver la expresión: �(–2 + 5) • 2� + 7

Entonces: �(–2 + 5) • 2� + 7= �3 • 2� + 7

= 6 + 7= 13

Luego, la temperatura registrada a las 15:00 horas fue 13 ºC.

Por lo tanto, la amplitud térmica ese día fue 15 ºC, ya que: 13 – (–2) = 15

Glosario amplitud térmica:es la diferencia entre latemperatura más alta y la másbaja registrada en un lugar,durante un período de tiempo.

La temperatura máxima en Temuco se registró

a las 15 horas.

Unidad 1

Actividades

1. Resuelve.

a) (–18 : 6) • –2 d) (–640 : –4) • (12 : 2) g) (24 : –12) • (7 • 0)b) 36 : (–4 : 1) e) (30 • 0) : (–2 • 3) h) (8 • –3) : (4 : –2)c) (–9 : 3) • (10 : –5) f) (10 : –10) • 10 i) (8 : –8) • (–7 : 7)

2. Calcula aplicando la propiedad distributiva.

a) (–5) • (–4 + 8) c) (7 – 9) • (+5) e) (20 –30) • (–10)b) (–10) • (5 + (–3)) d) (–9 – 12) • (+2) f) (–15) • (–2 + 10)

3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a) 16 : (–2) – (–4 + 2) + 5 • (–1) d) 4 • (14 : –2) + 9 • (–3) – 2 : –2)b) 25 : 5 – �(4 – 9) • 3 – (9 –12) : 3� e) –7 – (–49 : 7) + 14 • 2 + 7 c) 2 + (8 : 4) – (–2 • 3) + (9 : –3) f) �–20 : (16 – 12) • –5� – 14


Números enteros 25

• Si al resolver un problema aparecen operaciones combinadas, debes calcular siguiendo el orden:

1º Se resuelven los paréntesis.2º Después se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden, de izquierda a derecha.3º Se efectúan, por último, las sumas y las restas en orden, de izquierda a derecha.

No olvides que...

a b (a + b) • a (a • b) : (a + b) (a + b) • (a – b)

12 –4

– 2 3

–10 –15

26 Unidad 1

5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000 en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando depie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula:

a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto? b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas?

6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años. El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses.

a) ¿Cuánto pagan anualmente?b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual?c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años?

7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día. Hoy tienen un valor de $ 690.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días?b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días?

8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC. Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto.

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas?b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas.

9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.

10. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde:

a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

a b c (b : c) • a b : (c • a) a • (b • c) (a • b) • c

3 –36 6

–2 18 –9

4 –96 8

–10 –50 –5

8 32 –2

Unidad 1

11. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad.

a) 6 : –3 • = –8 e) –5 • –7 • 2 : = –7b) –3 • ( : –5) = 9 f) : –9 • 2 = –10c) (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 g) 100 : (20 : ) = –50d) 45 : : 3 = –3 h) • –6 : 2 = 9

12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que se indican. Luego, resuélvelos.

a) Operaciones: adición y multiplicación.En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC. Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas.Pregunta: Respuesta:

b) Operaciones: adición y división.Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudoguardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total.Pregunta: Respuesta:

Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión: si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo. Observa los ejemplos:

25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3 (–20� : 2 • (–5) • (–2) = –100(2 números negativos) (3 números negativos)

Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.

a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) = g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =

b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) = h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =

c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) = i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =

d) 2500 : (–5) : (–10) = j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =

e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) = k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =

f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) = l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =

Estrategia mental

Números enteros 27

28 Unidad 1

Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Siguelas instrucciones.

1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”, en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”.

2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente.3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2.

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600.4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2.

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30).5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2).

Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + �–30�.6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las

celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /.7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las

celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores delnúmero positivo de su fila correspondiente.

8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezcauna cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultadoscorrespondientes.

9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:

Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde:

a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?Justifica.

b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica.

c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero en la columna “Operación 1”?, ¿por qué?

d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.

Herramientas tecnológicas

Mi progreso

a b c a : b • c a • b : c c • (a – b) + a c • a – c • b + a

–18 2 –12

–28 –7 –14


Representar en lenguaje matemático una situación escrita enlenguaje natural.

1

Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división. 2

Calcular operaciones combinadas con números enteros. 3

Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones connúmeros enteros.

4


1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijomensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcularcuánto ganó Juan el año pasado?

A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6B. 300 000 • 12 + 50 000 D. 300 000 • 12 + 350 000

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. Una división de números enteros es siempre exacta.B. El resto en una división de números negativos, es negativo.C. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo.D. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.

3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde.

• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros,¿qué número representa la profundidad que se encontrará 35 minutos después?

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.


Números enteros 29

Unidad 1

Buscando estrategias

El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió$ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que elprimero, el tercer año ganó el triple que las pérdidasde los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de $ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue elsaldo final de la empresa?

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.• ¿Qué debes encontrar?

La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes aganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos losvalores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.

Resolver• Calculamos los valores correspondientes a cada año:

Año 2005: –12 000 000Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000Año 2008: +18 000 000Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000

Luego, sumamos los valores obtenidos:(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000)= 144 000 000

Responder• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.

Revisar• Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera:

(–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) =(–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) =(–36 000 000) + (+180 000 000) = –36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000

30 Unidad 1

Unidad 1

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendircuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios enmarzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000.En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en larifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso?

b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundomes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuartomes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvoingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final?

c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas, fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?, ¿y a las 00:30 horas?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino seencuentra a 150 m de profundidad. Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada10 minutos, y luego sube hacia la superficie duranteuna hora y media con rapidez de 18 m cada 15 minutos, y durante los siguientes 40 minutossigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las12:10 horas?

b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos desu negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semanavendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000, y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?

Números enteros 31

Para finalizar

32 Unidad 1

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, segúncorresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

Cone

xion

es

Respetó las opiniones de los demás integrantes.

Cumplió con las tareas que se comprometió.

Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

NACIONAL

El cometa Halley (1P/Halley) es un cometa

brillante y grande que orbita alrededor del Sol cada

77 años en promedio. Es uno de lo cometas más

conocidos; a partir de él ha sido posible estudiar las

características de los demás cometas. Este cometa

fue el primero en fotografiarse desde el espacio. La

última vez que pasó por las cercanías de la órbita de

la Tierra fue en 1986. Si bien existen otros cometas,

este se puede observar a simple vista, por lo cual

existen referencias de sus apariciones, incluso antes

de Cristo.

Un cometa visto en el siglo XX

Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias,www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.

1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita?2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años?3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la

solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez.5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años

que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por lascercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué?

6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.

Evaluamos nuestro trabajo

Números enteros 33

Unidad 1

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.

1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo?

3. ¿Cómo multiplicas números enteros?

4. ¿Cómo divides números enteros?

5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas?

6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?

7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?, ¿y qué diferencias?

8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué? Da dos ejemplos.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

OPERACIONES CON

NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

OPERACIONES

COMBINADAS

Síntesis

EXACTA

INEXACTA

¿Qué aprendí?

34 Unidad 1

1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál deestos números es menor que cero?

A. 5 + nB. 2 • nC. n : (–n)D. –2 • (–n)

2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros de profundidad. Si desciende un quinto de la profundidad a la que se encuentra, ¿qué número representa la profundidad queestá con respecto al nivel del mar?

A. –300B. 300C. –200D. 200

3. Un día de julio en Santiago, la temperatura alas 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas mástarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple dela temperatura registrada a las 10:30 horas,¿cuál fue la temperatura máxima del día?

A. –9 ºCB. –8 ºCC. 9 ºCD. 6 ºC

4. Si n, m son números enteros, n es el antecesorde m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es elsucesor de (n • m)?

A. 91B. –90C. –89D. 90

5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta?

A. Si se multiplican dos números enterosnegativos, el resultado es mayor que cero.

B. Si se dividen dos números enterosnegativos, el resultado es mayor que cero.

C. Si se multiplica el valor absoluto de unnúmero entero negativo por un númeronatural, el resultado es negativo.

D. Si se multiplica un número natural por unnúmero entero negativo, el resultado es unnúmero entero negativo.

6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a:

A. �a� • �a�B. �a� • aC. a • 1D. –(a • a)

7. Al calcular –9 + 3 : �–2 + (–1 • 1)�, resulta:

A. 10B. –9C. –10D. –6

8. En la expresión –5 • x : –2 = 10, el valor de x es:

A. –4B. –20C. 20D. 4

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.

Unidad 1

Números enteros 35

9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre, la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto?

10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galeríashorizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando,por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad.

a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos?b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes?c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se

encuentra ahora?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

1. Marca según tu apreciación.

2. Reflexiona y responde.

a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 11 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,

¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Multiplicación de un número natural por un númeroentero negativo

Multiplicación de números enteros

División exacta de números enteros

División inexacta de números enteros

Operaciones combinadas

Resolución de problemas

PotenciasUnidad

2

36 Unidad 2

• Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias

de base entera y exponente natural.

• Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de

potencias de base entera y exponente natural.

• Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base

fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

• Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial.

• Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran

potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.


Las bacterias son microorganismos unicelulares de tamaño muy pequeño y sonlos organismos más abundantes del planeta.

Muchas especies bacterianas son tan parecidas que es imposible diferenciarlassolo con el uso del microscopio; para identificarlas, se estudian sus características“sembrándolas” en medios de cultivo especiales, que es un método paramultiplicar los microorganismos.

Los cultivos suelen usarse en medicina para identificar y estudiar las enfermedades.

Si un cultivo de bacterias se inicia con 10 000 bacterias y su número se duplicacada media hora.

1. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 2 horas?, ¿y al cabo de 4 horas?; ¿cómo lo calculaste?

2. ¿Cuántas bacterias hay después de 9 horas?3. ¿Después de cuántos minutos habrán 40 960 000 bacterias?

Conversemos de...

Potencias 37

¿Cuánto sabes?

1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.

a) Tres elevado a dos. d) Tres cuartos al cuadrado.b) Siete elevado a seis. e) Cinco al cubo.c) Cuatro décimos elevado a cuatro. f) Dos tercios elevado a cinco.

2. Escribe el desarrollo de cada potencia.

a) 52 c) 183 e) 28

b) �4

d) (0,2)5 f) (1,3)2

3. Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula su valor.

a) 34 d) (0,4)2 g) 26

b) 153 e) �4

h) 252

c) (0,3)3 f) 64 i) �5

4. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera.

a) 2 = 32 c) 26 = 1 e) � =

b) 11 = 161 051 d) 0,1 = 0,0001 f) 3 = 243

5. Un grupo de 10 amigos organiza una campaña solidaria con el fin derecaudar dinero para un hogar de ancianos. Para ello, cada uno dona $ 500el primer día y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 500 aotras 10 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estaspersonas les pedirán $ 500 a otras 10 personas diferentes el tercer día, y así sucesivamente los siguientes días.

a) ¿Cuántas personas participaron en la campaña solidaria al finalizar elquinto día?; ¿cómo lo calculaste?

b) ¿Cuánto dinero recaudaron al finalizar el tercer día?, ¿y el séptimo día?;¿cómo lo calculaste?

38 Unidad 2

13

56

125216

49

25

Unidad 2

Potencias 39

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En ella se reconocen la base y el exponente.En general:

an ; a es un número positivo y n un número natural.

Se lee: “a elevado a n”.Ejemplo: 34, se lee “tres elevado a cuatro”.

• La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirsedicho factor.

• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí mismatantas veces como lo indica el exponente, es decir:

an = a • a • a • … • a = b

Ejemplo: 43 = 4 • 4 • 4 = 64(0,5)2 = 0,5 • 0,5 = 0,25

• Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1.Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base.Si el exponente de una potencia es 0, el valor de la potencia es 1.En general: 1n = 1 a1 = a a0 = 1 con a = 0

• Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción positiva, se debe calcular elvalor de la potencia del numerador y del denominador y, luego, dividirlos.

Ejemplo: �n

= ; a, b y n son números naturales.

Ejemplo: �3

= = =


6. Un grupo scout formado por 120 personas, organizó una campaña para plantar árboles en 4 plazas de la ciudad. Si el grupo se dividió en 4 subgrupos y cada subgrupo debe plantar 4 árboles por plaza, ¿cuántos árboles plantarán en total?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

ab

an

bn

23

827

23

332 • 2 • 23 • 3 • 3

Base

Exponente

n factores valor de la potencia

Para discutir

40 Unidad 2

• ¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?; ¿cómo lo calculaste?• Para determinar cuántas alternativas de menús hay, se puede

calcular el producto de 3 • 3 • 3 • 3 • 3, ¿por qué?, ¿cómo se escribeen forma abreviada?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente?

• Si en una multiplicación de factores iguales el factor que se repitees un número negativo, ¿cómo lo escribirías en forma de potencia?,¿por qué?

• ¿Cómo escribirías en forma abreviada (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3)?;¿cuál es el resultado?, ¿por qué?

En la situación anterior, cada una de las 5 partes que conforman elmenú tiene 3 opciones. Una forma de determinar cuántos menúsdiferentes se pueden escoger es calculando: 3 • 3 • 3 • 3 • 3.

Como 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, entonces hay 243 opciones para escoger.Verifica con un diagrama de árbol.

Observa que la multiplicación anterior tiene 5 factores iguales, loque se puede escribir en forma abreviada como 35.

Luego, 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243.

En una multiplicación de factores iguales, si estos son negativos,como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), que tiene 5 factores iguales, alescribir como potencia, queda (–3)5.

Al calcular (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), obtenemos: (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = –243.

Como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = (–3)5, tenemos que (–3)5 = –243.

Potencias de base entera y exponentenatural

En un restaurante se ofrece un menú a elección a la hora dealmuerzo, que incluye: entrada, plato de fondo, agregado, postre y algo para beber. Las alternativas para la selección del menú semuestran en la carta.

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales; en ella se reconocen la base y el exponente. Este concepto se puede ampliar para losnúmeros enteros negativos, es decir:

an; con a número entero, distinto de 0, y n un número natural.

No olvides que...

Potencias 41

Actividades

1. Escribe como potencia los siguientes enunciados.

a) Tres al cuadrado. d) Diez elevado a once.b) Menos cinco elevado a cuatro. e) Menos quince elevado a ocho.c) Menos seis al cubo. f) Tres elevado a tres.

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a) 54 b) (–6)5 c) (–10)6 d) 73 e) (–14)3 f) (–2)8

3. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

a) (–4) = 256 c) 8 = 512 e) (–2) = –32

b) (–1) = –1 d) (–10) = 1 000 000 f) 9 = 81


A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a + b)2 y a2 + b2?, ¿por qué?b) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a – b)2 y a2 – b2?, ¿por qué?c) ¿crees que siempre ocurre lo mismo?, ¿existirán casos en que los resultados sean iguales? Explica.

Unidad 2

a b (a + b)2 a2 + b2 (a – b)2 a2 – b2

2 2

–2 3

–4 –6

2 5

• El valor de la potencia se obtiene de la siguiente manera:

an = a • a • a • … • a = b

Ejemplo: 73 = 7 • 7 • 7 = 343 (–7)3 = (–7) • (–7) • (–7) = –343La potencia del ejemplo, (–7)3, se lee: “menos siete elevado a tres” o “menos siete al cubo”.

n factores valor de la potencia

42 Unidad 2

Valor de la potencia

Observa los cálculos realizados por Felipe para cada potencia:

32 = 3 • 3 = 9 (–3)2 = (–3) • (–3) = 9

33 = 3 • 3 • 3 = 27 (–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27

En la situación anterior, podemos observar que el resultado puedeser positivo o negativo, dependiendo de la base y exponente de la potencia.

Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo, pues losfactores que se multiplican son positivos (e iguales), como:

32 = 3 • 3 = 9 ó 33 = 3 • 3 • 3 = 27

Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo,dependiendo del exponente:

Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad defactores es par, como:

(–3)2 = (–3) • (–3) = 9(dos números negativos)

Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad defactores es impar, como:

(–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27(tres números negativos)

Para discutir

• ¿Por qué uno de los resultados obtenidos por Felipe esnegativo?, ¿qué relación tiene con la base y el exponente?

• Si la base de la potencia es negativa, ¿por qué los resultadospueden ser positivos o negativos?, ¿de qué depende?

• Si el exponente de una potencia es impar, ¿el resultado esnegativo?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?

• Si la base de la potencia es positiva, ¿el resultado puede sernegativo?, ¿por qué?

Potencias 43

Unidad 2

Actividades

1. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.

a) (–4)2 = c) 33 = e) (–10)9 = g) (–1)15 =b) (–5)3 = d) 24 = f) 122 = h) (–12)2 =


a) Los valores de las potencias de exponente par son siempre positivos.b) Si el valor de la potencia es un número natural, el exponente de la potencia es siempre impar.c) Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es.d) Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

3. Compara los resultados en cada caso y completa con <, > o =, según corresponda.

a) 23 (–2)2 c) (–1)10 70 e) (–1)6 (–2)1

b) 54 (–5)4 d) (–4)3 (–4)2 f) (–100)4 100

En las calculadoras científicas la tecla o la tecla , dependiendo de la calculadora, se usan

para elevar un número a cualquier exponente. Si la base es un número negativo, utiliza paréntesis

y la tecla . Ejemplo:

(–4)6 4096 o

(–4)6 4096

Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas de los ítems 1 y 3.


• En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente unnúmero natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 23 = 2 • 2 • 2 = 8.

• En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es:– positivo, si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (–2)2 = (–2) • (–2) = 4– negativo, si el exponente es un número natural impar. Ejemplo: (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

No olvides que...

xy

xy

�

�

(–)

(–) 4 6 =

^ �(–) 4 6 =

^

44 Unidad 2

Multiplicación de potencias de igual base

Carolina desea calcular el área del rectángulo de la figura. Observa:

En la situación anterior, para calcular el área del rectángulo semultiplica el largo por el ancho, es decir: 8 • 16 = 128. Entonces, el área del rectángulo es 128 cm2.

Como 8 = 23, 16 = 24 y 128 = 27, podemos escribir el cálculo anteriorutilizando potencias, es decir:

23 • 24 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2) = 27 = 128

Al observar lo anterior, podemos notar que al multiplicarpotencias de igual base (positiva), se puede conservar la base ysumar los exponentes.

¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como(–2)3 • (–2)4?Realizamos la multiplicación de las potencias:

= (–2)7 = –128

Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puedeconservar la base y sumar los exponentes.

Para discutir

• ¿Cómo calcularías el área del rectángulo?, ¿por qué?• Carolina calcula el área de la siguiente manera: 23 • 24 = 27.

¿Consideras correcto el cálculo realizado?, ¿por qué?• ¿Se relacionan los exponentes de los factores y el exponente del

resultado?, ¿cuál es la relación?• Si las bases de los factores fueran números negativos, ¿los

exponentes se relacionarán de la misma forma anterior?, ¿por qué?

16 cm

8 cm

3 factores 4 factores 7 factores

( –2)3 • (–2)4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2


Ayuda

En algunas ocasiones losnúmeros negativos aparecenescritos entre paréntesis, sinembargo, también se puedenescribir sin estos. Ejemplo:(–2) • (–2) = –2 • –2

Pero al trabajar con potenciasde base negativa, siempreconviene escribir los númerosnegativos entre paréntesis. De este modo podemosdistinguir si el signo negativocorresponde a la base o bien,al valor de la potencia.

Unidad 2

Actividades

1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

a) 4 • 42 • 43 = c) (–5)3 • (–5�2 = e) (–1)2 • (–1)3 • (–1)5 =b) 103 • 106 = d) 2 • 2 • 2 • 22 = f) (–6)2 • (–6)5 • (–6) =

2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) (–3) • (–3)4 = (–3)9 c) 113 • 11 = 1112

b) (–2�2 • (–2) • (–2)5 = (–2)10 d) (–10) • (–10) • (–10)2 = (–10)4

3. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia.Guíate por el siguiente ejemplo: 9 • (–27) = (–3)2 • (–3)3 = (–3)5

a) 25 • (–125) = b) 8 • 16 • 64 = c) 64 • (–8) • 16 =

4. Aplica la propiedad de las potencias que corresponde y resuelve.

a) 24 • 23 – 5 • 52 = b) (–3)2 • (–3)3 + 2 • 22 = c) (–2)3 • (–2)2 + (–1)5 • (–1)4 =

5. Lee y resuelve usando las potencias.

a) Una empresa inmobiliaria construirá 4 edificios. Cada edificio tendrá 16 pisos y cada piso tendrá 8 departamentos. ¿Cuántos departamentos habrá en total?

b) Las bailarinas de un grupo folclórico deben elegir la tenida para una de sus presentaciones.Las alternativas son: 3 pañuelos, 9 zapatos de distintos colores, 9 faldas y 27 blusas.¿Cuántas tenidas distintas pueden escoger?

Potencias 45

• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puedeconservar la base y sumar los exponentes.

Ejemplo: (–3)2 • (–3)4 = (–3)2 + 4 = (–3)6 = 729

En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:

an• am = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) = a • a • a • … • a = an + m

• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base.Ejemplo: 22 • 23 • 24 = 22 + 3 + 4 = 29 = 512

No olvides que...

n factores m factores n + m factores

46 Unidad 2

División de potencias de igual base

Un agricultor desea cultivar lechugas en un terreno rectangular de área 4096 m2 y ancho 128 m. Para organizar el cultivo, necesita saber el largo del terreno.

Para discutir

• ¿Es adecuado calcular el largo del terreno de la siguiente manera:4096 : 128 = 32?, ¿por qué?

• Si escribes los números de la división anterior como potencias debases iguales, ¿cómo se relacionan los exponentes?

• Si las bases de las potencias fueran números negativos, ¿cómo serelacionarían los exponentes?

Ayuda

• Las fracciones se puedenrepresentar de diversasformas. Una de ellas esescribir la expresiónfraccionaria como unadivisión.

Por ejemplo: se puede

escribir como 2 : 3.

• Simplificar una fracciónconsiste en dividir elnumerador y denominadorpor un mismo número. Por ejemplo:

Para saber cuánto mide el largo del terreno, podemos calcular 4096 : 128 = 32. Por lo tanto, el largo mide 32 m.

Como 4096 = 212, 128 = 27 y 32 = 25, podemos escribir la divisiónanterior utilizando potencias de igual base, esto es:

212 : 27 = =

= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32

Al observar lo anterior, podemos notar que al dividir potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar los exponentes.

¿Sucederá lo mismo en (–2)12 : (–2)7? Al escribir la expresión como fracción, obtenemos:

=

= –2 • –2 • –2 • –2 • –2 = (–2)5 = –32

Luego, al dividir potencias de igual base (negativa), se puedeconservar la base y restar los exponentes.

212

27

23

1236

13

2 • 2 • 32 • 2 • 3 • 3

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 22 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2

–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2

= =

12 factores

12 factores

7 factores

5 factores

7 factores

5 factores

(–2)12

(–2)7

4096 dividido en 128,resulta 32.

Potencias 47

Unidad 2

1. Resuelve las siguientes divisiones de potencias. Guíate por el ejemplo.

(–4)5 : (–4)3 = (–4)2 = 16

a) (–10)8 : (–10)2 = c) 66 : 65 = e) (–81)12 : (–81)12 =b) (–5)4 : (–5) = d) (–12)20 : (–12)18 = f) 73 : 7 =

• Calcula cada potencia usando calculadora científica, luego divide y comprueba los resultadosobtenidos anteriormente.

2. Completa con el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

a) 7 : 74 = 76 b) 87 : 8 = 82 c) (–2)5 : (–2) = (–2)2

3. Transforma a potencias de igual base y expresa el resultado como una única potencia.

a) (–125) : 25 b) 216 : 36 c) 64 : (–8)

4. Si ambos rectángulos, el amarillo y el azul tienen la misma área, ¿cuánto mide el largo (x) del rectángulo amarillo?

• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puedeconservar la base y restar los exponentes.

Ejemplo: (–5)4 : (–5)2 = (–5)4 – 2 = (–5)2 = 25

En general:

Si a es un número entero distinto de cero, n y m son números naturales y n > m, se tiene:

an : am = = = an – m

• Si n = m y a es distinto de cero, entonces: an : am = = = an – n = a0 = 1Por ejemplo: 23 : 23 = 23 – 3 = 20 = 1

No olvides que...

an

am

an

aman

an

a • a • ... • a • a • ... • aa • a • ... • a

Actividades

23 cm22 cm

24 cmx cm

m factores

m factores

n – m factores

48 Unidad 2

Ayuda

Recuerda que un paralelepípedoes un prisma que tiene sus caras basales cuadradas orectangulares.

Para discutir

• ¿Cómo calcularías el volumen del paralelepípedo?• Si escribes las medidas como potencias, ¿puedes calcular el

volumen de otra manera?, ¿cómo lo harías?• Al calcular (2 • 3 • 4)3, ¿obtienes el mismo resultado que

calculaste al principio?, ¿por qué?• Si en la multiplicación de potencias una de las bases fuera un

número negativo, por ejemplo (–2)3 • 33 • 43, ¿obtienes el mismoresultado que al calcular �(–2) • 3 • 4� 3?, ¿por qué?

Multiplicación de potencias de igualexponente

El paralelepípedo de la figura tiene las siguientes medidas: 8 cm de ancho, 27 cm de largo y 64 cm de alto.

Para saber cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura,debemos multiplicar el ancho por el largo por el alto, es decir, 8 • 27 • 64 = 13 824. Por lo tanto, el volumen es 13 824 cm3.

Como 8 = 23, 27 = 33, 64 = 43 y 13 824 = 243, podemos realizar elcálculo anterior usando potencias, esto es:

23 • 33 • 43 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)

= (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) = (2 • 3 • 4)3 = 243

Luego: 23 • 33 • 43 = (2 • 3 • 4)3 = 243 = 13 824.

¿Qué sucederá en la multiplicación de potencias con igual exponentesi alguna de las bases es un número negativo?

Consideremos el siguiente caso:

(–2)3 • 33 • 43 = �(–2) • (–2) • (–2)� • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4)= �(–2) • 3 • 4� • � (–2) • 3 • 4� • �(–2) • 3 • 4� = �(–2) • 3 • 4� 3 = (–24)3

Luego: (–2)3 • 33 • 43 = �(–2) • 3 • 4� 3 = (–24)3 = –13 824.

Si observas lo realizado anteriormente, podemos concluir que, almultiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar lasbases y conservar el exponente.

3 factores

3 factores

3 factores

3 factores

3 factores 3 factores


Potencias 49

Unidad 2

Actividades

1. Escribe cada expresión como una sola potencia.

a) 34 • 44 = c) 26 • (–5)6 = e) (–6)7 • 117 =b) (–2)8 • (–7)8 = d) 43 • 53 • 63 = f) (–3)2 • (–4)2 • (–2)2 =

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.

(–3)2 • 52 = �(–3) • 5� 2 = (–15)2 = 225

a) 54 • (–2)4 = b) (–10)5 • (–2)5 = c) 22 • 22 • 32 = d) (–25)3 • 43 =

3. Al calcular: (–5)3 • (–5)3, ¿obtienes los mismos resultados si lo resuelves de la siguiente manera:(–5)3 + 3, o bien: �(–5) • (–5)� 3?, ¿por qué?

4. Completa y resuelve en cada caso.

a) b)

Área = • = = cm2 Volumen = • • = = cm3

• Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente.

Ejemplo: (–2)2 • 52 = �(–2) • 5� 2 = (–10)2 = 100

En general:

Si a y b son números enteros y n es un número natural, entonces:

an• bn = (a • a • … • a) • (b • b • … • b) = (a • b) • (a • b) • … • (a • b) = (a • b)n

• Como vimos al inicio, esta propiedad también es aplicable al producto de tres o máspotencias de igual exponente.

Ejemplo: (–2)3 • (–4)3 • (–5)3 = �(–2) • (–4) • (–5)� 3 = (–40)3 = –64 000

No olvides que...

42 cm

43 cm

53 cm

32 cm

22 cm

n factores n factores n factores

50 Unidad 2

División de potencias de igualexponente

Don Luis, un jardinero, desea poner pasto en un parque de formarectangular, cuyo ancho mide 49 m. Para ello, calculó el área delterreno, obteniendo 3136 m2.

En la situación anterior, el área es 3136 m2 y el ancho mide 49 m,entonces para calcular el largo podemos realizar la siguientedivisión: 3136 : 49 = 64. Por lo tanto, el largo mide 64 m.

Al escribir los números como potencias de igual exponente,tenemos: 49 = 72, 3136 = 562 y 64 = 82. Luego, podemos realizar elcálculo anterior de la siguiente manera:

562 : 72 = = = � • � = �2

= (56 : 7)2 = 82

Luego: 562 : 72 = (56 : 7)2 = 82 = 64.

¿Qué sucederá en la división de potencias de igual exponente si unade las potencias tiene como base un número negativo?Calculemos (–56)2 : 72, utilizando el mismo procedimiento anterior:

Entonces: (–56)2 : 72 = (–56 : 7)2 = (–8)2 = 64.

Si observas los cálculos anteriores, podemos concluir que, al dividirpotencias con igual exponente, podemos dividir las bases yconservar el exponente.

(–56)2 : 72 = = = � • � = �2

= (–56 : 7)2 = (–8)2

Para discutir

• ¿Cuánto mide el largo del parque?, ¿cómo lo calculaste?• Si escribes los números como potencias, ¿cómo calcularías?• ¿Qué relación tiene (56 : 7)2 con lo del principio?• Si en la división de potencias anterior una de las bases fuera un

número negativo, por ejemplo (–56)2 : 72, ¿obtienes el mismoresultado que al calcular �(–56) : 7�2

?, ¿por qué?

562

72567

567

567

56 • 56 7 • 7

(–56)2

72

–567

–567

–567

(–56) • (–56)

7 • 7

2 factores

2 factores



¿49 • = 3136?

Potencias 51

Unidad 2

• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden dividir las bases y conservar el exponente.

Ejemplo: (–20)3 : (–5)3 = �(–20) : (–5)�3= 43 = 64

En general:

Si a y b son números enteros, b es distinto de cero y n es un número natural, entonces:

an : bn = = = � • � • ... • � = �n

= (a : b)n

No olvides que...

a • a • ... • ab • b • ... • b

ab

ab

ab

ab

an

bn

Actividades

1. Escribe cada expresión como una sola potencia.

a) 1004 : (–25)4 = c) 816 : 96 = e) (–21)11 : 311 =b) (–36)9 : (–4)9 = d) (–96)3 : 123 = f) 487 : 67 =

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo.

(–18)3 : 93 = �(–18) : 9�3= (–2)3 = –8

a) 2252 : (–25)2 = c) (–200)5 : (–2)5 =b) (–24)3 : 33 = d) 154 : 54 =

3. Calcula aplicando lo aprendido hasta ahora y ten en cuenta la prioridad de las operaciones.

a) 162 : (–8)2 + –2)3 = b) 42 : 42 – 153 : 53 = c) (–36)2 : 92 + 32 • 42 =

4. En un restaurante se ofrece, a la hora de colación, un menú con plato de fondo y postre. Si hay 4 opciones de postre y en total se pueden escoger 36 menús diferentes, ¿cuántos platos de fondo hay para escoger? Usa potencias para resolver.

5. El equipo de básquetbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año. Como propuesta tienen 64 combinaciones, que pueden formar con 16 poleras y una cantidad de pantalones. ¿Cuántos pantalones tienen para escoger? Usa potencias para resolver.

n factores

n factoresn factores

52 Unidad 2

Potencia de una potencia

Marcela y Patricio quieren calcular el volumen del cubo representadoen la imagen, cuya arista mide 25 cm. Observa el procedimientorealizado por cada uno:

Al calcular 1252 = 125 • 125 = 15 625 y 56 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625.Por lo tanto, ambos procedimientos son correctos.

Consideremos el procedimiento de Marcela, que escribió (5 • 5 • 5)2,lo cual se puede escribir como (53)

2, ya que hay 3 factores 5 elevados

a 2. Entonces, al calcular, tenemos:

(53)2

= (5 • 5 • 5�2 = 5 • 5 • 5� • 5 • 5 • 5� = 56

Luego, (53)2

= 56. Esta es otra forma de calcular el volumen.

Notemos que la expresión (53)2

es la potencia de una potencia, ya que su base corresponde a una potencia, en este caso 53.

Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la basey multiplicar los exponentes, es decir: (53)

2= 53 • 2 = 56.

En el caso de que la base sea negativa, tenemos:

�(–5)3�2= �(–5) • (–5) • (–5)�2

= �(–5) • (–5) • (–5)� • �(–5) • (–5) • (–5)� = (–5)6

Por lo tanto: �(–5)3�2= (–5)6 = 15 625.

Marcela Patricio

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52

= (5 • 5 • 5)2 = 1252

V = 1252 cm3

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52

= 52+2+2 = 56

V = 56 cm3

Para discutir

• ¿Son correctos ambos procedimientos?, ¿obtienes los mismosresultados en cada caso?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Podrías utilizar otro procedimiento usando potencias?, ¿cómo lo harías?

• Si encontraste otro procedimiento, ¿lo puedes aplicar parapotencias de base negativa?, ¿por qué?

3 factores

3 factores

6 factores

6 factores

Potencias 53

Unidad 2

• Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base ymultiplicar los exponentes.

Ejemplo: �(–2)3�3= (–2)3 • 3 = (–2)9 = –512

En general:

Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:

(an)m = (a • a • … • a)m = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = an • m

• Esta propiedad también es aplicable a la potencia de una potencia de una potencia,

y así sucesivamente. Ejemplo: �(22)2�

3= 22 • 2 • 3 = 212

No olvides que...

Actividades

1. Si la arista de un cubo mide 9 cm, expresa como potencia:

a) el área de cada cara del cubo.b) el área total del cubo.c) el volumen del cubo.

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) (32)4

= c) �(–3)2�2= e) �(22)

2�2

=

b) �(–2)3�3= d) ��(–1)3 5�2

= f) �(–5)2�4=

3. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.

a) (35)3

= 3 c) �(22) �5 = 220

b) �(–7) �2

= (–7)10 d) �(–7)9�3 = (–7�

4. Escribe cada expresión como una sola potencia de base 2 ó (–2), según el caso, aplicando loaprendido. Guíate por el ejemplo.

(82 : 22)3

= (42)3

= 46 = (22)6

= 212

a) (163 : 23)4

= b) �(–12)5 : 65�3

= c) �(–2)2 • (–2)5�3

= d) �46 : 44�4

=

5. Si b es un número entero, x e y son números naturales, las expresiones (bx)y

y (by)x, ¿tienen el

mismo valor?, ¿por qué? Da dos ejemplos.

n factores a (n • m) factores a

54 Unidad 2

En esta actividad deberán utilizar 64 cubos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones.

1. Armen entre todos, 64 cubos de igual medida. Cada uno de arista 4 cm.2. Comenzando por un cubo y agregando los que sean necesarios, formen cubos de mayor tamaño. 3. A medida que forman los cubos de mayor tamaño, completen la siguiente tabla:

4. Según lo obtenido, comenten y respondan:

a) ¿Cuál es el valor de las potencias de las columnas 3 y 5?b) Si elevaran a 2 las potencias de la última columna, ¿cómo lo expresarían en forma de una sola

potencia?, ¿cómo lo hicieron?c) Escribe como potencia la cantidad de cubos utilizados.

En equipo

Cantidad de cubosutilizados

Medida de la arista (cm)

Área de una cara expresadacomo potencia (cm2)

Área total (cm2)

Volumen expresadocomo potencia (cm3)

1 4 42

8 83

Para calcular en forma rápida el valor de una potencia que tiene como base un númerocualquiera, que la cifra de las unidades es 5 y el exponente es 2 (comenzando por 152, luego, 252, 352, …), multiplica el número de la base que se forma sin la cifra de la unidad (sin el 5) por su sucesor. El valor de la potencia será el número formado por el resultado de lamultiplicación anterior, seguido por 25. Observa los ejemplos:

• Para 152, multiplicamos 1 por su sucesor, es decir por 2, esto es 2. Luego el resultado es 225.• Para 1052, multiplicamos 10 por su sucesor, es decir por 11, esto es 110. Luego el resultado

es 11 025.• Si la base es negativa, utiliza el mismo procedimiento anterior (como si fuera de base

positiva), pues al tener exponente 2, el resultado queda siempre positivo.

Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida.

a) 252 = d) (–35)2 = g) (–85)2 = j) (–95)2 =

b) (–65)2 = e) 952 = h) 552 = k) 10052 =

c) 452 = f) 9952 = i) 2052 = l) (–125)2 =

Estrategia mental

Mi progreso

Potencias 55


Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división depotencias de base entera y exponente natural.

1

Analizar una situación asociada a una potencia de base entera yexponente natural.

2

Aplicar propiedades relativas a la multiplicación de potencias debase entera y exponente natural.

3

Calcular potencias de base entera y exponente natural. 4

Resolver un problema que requiere aplicar propiedades depotencias de base entera y exponente natural.

5 y 6


1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A. (612 : 62)2

= 620 C. �(–9)3 • (–93)�2

= (–9)12

B. 64 : 34 = 24 D. (–2)2 • 42 = (–8)4

2. Para hacer su árbol familiar, Carlos parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos ytatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Carlos?

A. 24 B. 25 C. 44 D. 23

3. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es 44 cm y su ancho 24 cm?

A. 88 cm2 B. 27 cm2 C. 212 cm2 D. 64 cm2

4. ¿En cuál de las siguientes potencias se obtiene el número mayor?

A. (–2)3 B. (–3)2 C. (–2)2 D. (–4)3

5. Paula tiene 2 pares de zapatos, 4 pantalones y un número desconocido de poleras. Si puede formar64 tenidas diferentes combinando su vestuario, ¿cuántas poleras tiene? Usa potencias para resolver.

6. La arista de un cubo mide 16 cm. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresadocomo potencia de base 2?



Unidad 2

56 Unidad 2

Potencias de base fraccionaria positivay exponente natural

Observa las siguientes expresiones:

a) �5

: �2

b) �2

• �2

c) � �2

�3

En las expresiones anteriores, observamos que la primera (a) es unadivisión de potencias de igual base; la segunda (b) es unamultiplicación de potencias de igual exponente y, la tercera (c) es lapotencia de una potencia.

Al calcular la primera expresión, obtenemos:

�5

: �2= = � • � • � = �

3

Luego: �5: �

2= �

3= = . Si observamos lo realizado

anteriormente, podemos notar que, en la división de potencias de igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restanlos exponentes.

Si calculamos la segunda expresión, obtenemos:

�2

• �2= • � • • � = • � • • � = • �

2

12

35

27

23

12

Para discutir

• ¿Podrías escribir como una sola potencia cada expresión?, ¿cómolo harías?

• ¿Qué resultados obtienes al calcular cada expresión?• Las propiedades estudiadas en las páginas anteriores, ¿se pueden

aplicar en estos casos?, ¿por qué?

12

12

12

12

12

12

12

12

13

2318

12

35

35

35

27

27

35

27

35

27

35

27

27

5 factores

2 factores


3 factores

� • � • � • � • �

� • �

12

12

12

12

12

12

12

Potencias 57

Unidad 2

Luego: �2

• �2= • �

2= �

2= = . En este caso,

observamos que en la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias)y se conserva el exponente.

Al calcular la tercera expresión, obtenemos:

� �2

�3

= � • �3= � • � • � • � • � • � = �

6

Por lo tanto: � �2

�3

= �6

= = . En este caso, podemos notar

que, en la potencia de una potencia, se mantiene la base (en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes.

35

35

27

635

62

35236

122527

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

26

3664

729

Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de laspotencias que tienen base entera y exponente natural se pueden aplicar a potencias de basefraccionaria positiva y exponente natural.

En general: Si a, b, c, d, n y m son números naturales y n�m, entonces:

• �n

• �m

= �n + m

• �n

: �m

= �n – m

• � �n

�m

= �n • m

• �n

• �n

= • �n

• �n

: �n

= : �n

No olvides que...

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

cd

cd

ab

ab

cd

cd

ab

ab

Actividades

1. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.

a) �3

• � = c) �10

: �7= e) �

3• � =

b) �2: �

2= d) � �

3

�3

= f) �3: �

3=

2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad.

a) � � �6

= �18

b) � : �3= �

7c) � : �

9= �

9

23

49

29

14

1011

1011

213

213

213

14

23

38

37

1217

1217

14

827

47

47


58 Unidad 2

Para discutir

• ¿Cómo escribirías cada expresión como una sola potencia?• Pedro escribió la primera expresión como 0,3�6 y Macarena

como 0,09�3, ¿cuál consideras correcta?, ¿por qué?• De lo estudiado hasta ahora, ¿con qué puedes relacionar lo

realizado por Pedro y por Macarena?• ¿Las propiedades estudiadas anteriormente se pueden aplicar

en potencias de base decimal positiva?

Potencias de base decimal positiva y exponente natural

Pedro y Macarena quieren escribir como una sola potencia lassiguientes expresiones:

(0,3)3 • (0,3)3 �(1,2)3�3

Sabemos que en matemática, muchas veces hay más de un caminopara resolver problemas. En este caso, Pedro y Macarena utilizaron dos caminos diferentes para escribir como una sola potencia la primeraexpresión. Analicemos el procedimiento de cada uno y, luego,calcularemos ambos resultados para ver cuál es el correcto.

Pedro observó que las bases eran iguales; entonces, conservó la base ysumó los exponentes, es decir: (0,3)3 • (0,3)3 = (0,3)3 + 3 = (0,3)6.

Macarena observó que los exponentes eran iguales; entonces,multiplicó las bases y conservó el exponente, es decir:

(0,3)3 • (0,3)3 = (0,3 • 0,3)3 = (0,09)3

Al calcular la potencia obtenida por cada uno, obtenemos: (0,3)6 = 0,000729 y (0,09)3 = 0,000729. Por lo tanto, ambos, Pedro y Macarena, llegaron al mismo resultado empleandocaminos diferentes.

Calcularemos la segunda expresión:

�(1,2)3�3= �1,2 • 1,2 • 1,2�3

= �1,2 • 1,2 • 1,2� • �1,2 • 1,2 • 1,2� • �1,2 • 1,2 • 1,2�

Luego: �(1,2)3�3= (1,2)9.

Como vimos, en este caso, al ser la potencia de una potencia, se mantiene la base (decimal) y se multiplican los exponentes.


Potencias 59

Unidad 2

Actividades

1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.

• ¿En qué caso puedes utilizar otra propiedad para resolver?, ¿por qué?

2. Escribe cada expresión como una sola potencia y completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a) (0,2)3 : (0,2)3 (0,5)4 : (0,5)3 c) (0,1)5 • 65 �(0,6)2�2

b) 53 • (0,5)3 (2,5)5 : (2,5)2 d) (5,5)8 : (5,5)6 (11)3 • (0,5)3

3. Completa la siguiente tabla, escribiendo el valor de cada potencia.

a) Los resultados obtenidos en las filas 1 y 2, ¿representan el mismo número?, ¿por qué?, ¿y los de las filas 3 y 4?

b) Si escribes un número decimal como fracción o viceversa y elevas ambos al cuadrado, ¿los resultados obtenidos siempre representan el mismo número?, ¿por qué?

Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de laspotencias que tienen base entera y exponente natural también se pueden aplicar a potencias de base decimal positiva y exponente natural. Por ejemplo:

(1,5)5 : (1,5)3 = (1,5)5 – 3 = (1,5)2 = 1,5 • 1,5 = 2,25

No olvides que...

a b a a • b a : b (a : b)4

0,027 0,3

4 (2,5)2

0,0625 (0,5)4

0,0001 (0,1)3

Nº fila a a2 a5 : a2 (a2)2

1 0,5

2

3 0,25

4

12

14

60 Unidad 2

Para discutir

• Si en un comienzo hay una bacteria por mm2, ¿en cuántas horasla hortaliza ya no podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste?

• Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirápara el consumo?, ¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm2?

• ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizandopotencias?, ¿por qué?

• ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias?

Crecimiento exponencial

Un grupo de estudiantes está analizando la descomposición de unahortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir, la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o másbacterias por milímetro cuadrado (mm2). Además, observaron quelas bacterias que producen la descomposición de la hortaliza seduplican cada una hora.

Tiempo transcurrido Número de bacteriasNúmero de bacterias

como potencia

0 1 20

1 hora 2 21

2 horas 4 22

3 horas 8 23

4 horas 16 24

5 horas 32 25

6 horas 64 26

7 horas 128 27

8 horas 256 28

9 horas 512 29

10 horas 1024 210

La situación anterior se puede resumir en la siguiente tabla:

Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm2 en la hortalizatranscurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las 8:30 horas, dicha cantidad estará presente a las 14:30 horas.

Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas 10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será consideradaextensa por los estudiantes.

Unidad 2

Actividades

1. Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de alimentos. Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la campaña, y así, una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y responde.

a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4?b) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?,

¿por qué?

Potencias 61

Como las bacterias se duplican cada una hora,cada vez se multiplica por dos. Entonces, si queremos expresar como potencia, la baseserá 2 y el exponente corresponde a las horas transcurridas.

Además, en este caso observamos dos variables,una dependiente de la otra, ya que el númerode bacterias depende de las horas transcurridas;dicho de otro modo, a medida que el tiempotranscurre, la cantidad de bacterias aumenta.Para analizar la relación entre las variables,observa el gráfico:

Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecenexponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 1. Este tema loestudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

No olvides que...

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Crecimiento de una población de bacterias

No de bacterias

Tiempo transcurrido (h)

0 1 2 3 4 5

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

No de personas

Nivel

Nivel dellamados

Personasinformadas en

el nivel

Potenciarelacionada

0 1 40

1 4

2

3

4

62 Unidad 2

Decrecimiento exponencial

Científicos de diversos países se han reunido con el fin inventar una vacuna para combatir un virus respiratorio. Esperan que, almomento de vacunar a la población, la cantidad de contagiadosdisminuya a un tercio de la población cada día.

Para discutir

• Si se vacunara a la población, ¿en cuánto disminuirían loscontagiados luego de 3 días?, ¿y luego de 6 días?, ¿por qué?

• ¿Podrías explicar la disminución de los contagiados utilizandopotencias?, ¿cómo lo harías?

• Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento devacunar a la población, ¿cuál sería el número de contagiadosluego de 2 y 5 días?; ¿cuál es el gráfico que representa lacantidad de contagiados por día?

• Considerando la información de la pregunta anterior, ¿al cabo decuántos días se contagiará solo una persona?

Suponiendo que se vacunara a la población e inicialmente hubiera19 683 contagiados, la información se resume en la siguiente tabla:

Si observamos la tabla, en tres días los contagiados disminuirían

en �3de su población y en 6 días �

6.

Días transcurridosFactor de

decrecimientoCantidad

de contagiados

0 �0

19 683 • �0

= 19 683

1 �1

19 683 • �1

= 6561

2 �2

19 683 • �2

= 2187

3 �3

19 683 • �3

= 729

4 �4

19 683 • �4

= 243

5 �5

19 683 • �5

= 81

6 �6

19 683 • �6

= 27

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

Potencias 63

Unidad 2

Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de vacunar a la población, lacantidad de contagiados del segundo día sería2187; del quinto día, 81 contagiados y elnoveno día se contagiaría solo una persona.

En esta situación, observamos la relación entredos variables y, al igual que en el crecimientoexponencial, una depende de la otra. En estecaso, la cantidad de contagiados depende de los días transcurridos, pues, a medida que pasan los días, la cantidad de contagiadosdisminuye. Para analizar la relación entrelas variables, observa el gráfico:

1. Una población de aproximadamente 262 144 insectos decrece por acción de un depredador naturala la mitad de su población cada año. Completa la tabla, grafica y responde.

a) ¿En qué año la población es de 32 768?b) ¿Cuántos insectos hay el 4º año?c) Se extinguirá este tipo de insecto, ¿después de cuántos años?

01 2 3 4 5 6 7

2000

4000

6000

8000

10 000

12 000

14 000

16 000

18 000

20 000

Decrecimiento de una población de contagiados

No de contagiados

Tiempotranscurrido (días)

Actividades

Este tipo de relación entre las variables se llama decrecimiento exponencial, o se dice quedecrecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 0 y menorque 1. Este tema también lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

No olvides que...

Años transcurridos

Añostranscurridos

Factor dedecrecimiento

Tamaño de población

0 �0

262 144 • �0

= 262 144

1

2

3

4

12

12

Población en miles de individuos

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

300

64 Unidad 2

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para construir un gráfico:

1º En la columna A escribe el valor de la potencia de base 3 y exponente, partiendo desde 0hasta 10, en orden creciente, es decir, en A1 escribe el valor de la potencia 30, en la celda A2el valor de 31, en A3 el valor de 32, y así sucesivamente.

2º Selecciona los todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”, como se observa en la siguiente imagen:

4º En las opciones de gráficos, selecciona “XY Dispersión”.5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la

planilla. Además, puedes poner el siguiente título al gráfico:Exponentes de la potencia de base 3 y sus respectivos valores.

Finalmente, observa el gráfico y responde:

a) ¿A qué gráfico se parece?, ¿por qué?b) Los valores: 0, 1, 2, 3, … del eje horizontal, ¿qué representan?, ¿y los valores del eje vertical?c) ¿Por qué este gráfico es con puntos y no con líneas?d) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4?, ¿qué tiene en común con el gráfico

que acabas de hacer?e) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base �?, ¿tiene algo en común con el gráfico que

acabas de hacer?, ¿por qué?f) Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 5. Luego, responde las preguntas

a y b.


14

Mi progreso


Aplicar propiedades de potencias que tienen base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

1, 2 y 3

Resolver un problema sobre crecimiento exponencial. 4

Resolver un problema, aplicando propiedades de potencias de baseentera y fraccionaria positiva y exponente natural.

5

Potencias 65


1. La expresión: 0,3 • 0,09 • 0,027, escrita como un sola potencia es:

A. 36 B. 0,36 C. 0,35 D. 0,095

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. � • � = �4

C. �5

• �5= �

10

B. � �6

�2

= �12

D. � : � = �2

3. Para que la igualdad: 0,2�x : 0,2�2 = 0,2�4, sea verdadera, el valor de x, es:

A. 2 B. 4 C. 1 D. 6

4. Las bacterias se reproducen dividiéndose en 2. En un determinado ambiente, la división se produce cada un minuto.

a) ¿Qué tipo de crecimiento representa la relación entre los minutos transcurridos y la cantidad de bacterias?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad de bacterias al término de 12 minutos,considerando que el ciclo de reproducción comienza con una bacteria?

5. Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con un punto y, cada vez quegana, su puntaje se duplica, y si pierde, su puntaje será la mitad de lo que tenía. Jorge ganó 6 vecesy Mario perdió 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Jorge?, ¿y Mario? Expresa cada resultado comouna sola potencia.



18

12

12

49

49

1681

64125

56

56

45

45

Unidad 2


Considera la potencia 415, el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito deeste número?, ¿y de 448?


415 = 4 • 4 • 4 • … • 4 448 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4


• ¿Qué debes encontrar?El valor del último dígito de las potencias anteriores.


En el caso de 415 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el últimodígito del valor de la potencia, pero en 448 la calculadora no puede dar respuesta, ya que lamayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.

Resolver• Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8:

41 = 4 43 = 64 45 = 1024 47 = 16 38442 = 16 44 = 256 46 = 4096 48 = 65 536

Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente:a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.

Responder• Como en 415 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4.• Como en 448 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.

Revisar• Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego,

calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar lasúltimas cifras:

Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 415 = 47 • 48 = 16 384 • 65 536. Entonces, almultiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4.

En el segundo caso, tenemos que: 448 = 410 • 410 • 410 • 415 • 43 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64.

Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456.Entonces, la última cifra es 6.

66 Unidad 2

Unidad 2

1. Aplica la estrategia aprendida para calcular la cifra de las unidades de los valores de lassiguientes potencias.

a) 4289 d) 286 g) 385

b) 4274 e) 2104 h) 352

c) 229 f) 319 i) 3222

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tuscompañeros y compañeras.

3. Calcula la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias, utilizando la estrategiaaprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero ocompañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a) 547 c) 733 e) 919

b) 622 d) 840 f) 10521

4. Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla por lamitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales.

a) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa elexponente en este caso?

b) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel?Utiliza potencias para responder.

c) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían? Utiliza potencias para responder.

d) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta.e) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la cantidad

de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la mitad?, ¿cómo lo supiste?

Potencias 67

Para finalizar

68 Unidad 2



Cone

xion

es


Cumplió con las tareas que se comprometió.


NACIONAL

El alcohol es un depresor del sistema nervioso

central. Sus efectos en el organismo son inmediatos y a

largo plazo. Algunos efectos inmediatos son: afección a

la frecuencia cardiaca, al habla, al entendimiento, al

juicio y, al llegar a la intoxicación alcohólica, puede

provocarse un estado de coma e, incluso, la muerte.

Algunos riesgos a largo plazo son: daño al corazón, al

hígado y su abuso puede generar trastornos mentales.

En Chile, el alcohol es la droga más consumida,

de hecho, un 68,5% de los encuestados, en un estudio

realizado por el Conace, declaró haber consumido alcohol

el año 2008. Su uso genera graves problemas sociales,

entre otros, causando accidentes automovilísticos.

Los efectos del alcohol en el organismo

Fuentes: Ministerio del Interior, www.conacedrogas.cl, septiembre 2009. Octavo Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile, 2008. Informe de principales resultados, Conace, Chile.




1. Un profesor universitario encontró una fórmula para calcular el porcentaje de riesgo de tenerun accidente si se conduce bajo los efectos del alcohol. La fórmula es igual a: 6 • (1,14)x,donde x es el porcentaje de alcohol en la sangre.

• Si una persona tiene un 4% de alcohol en la sangre, ¿cuál es el porcentaje de riesgo detener accidente?, ¿y si tiene un 20% de alcohol en la sangre?

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

Potencias 69

Unidad 2

A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptosestudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Crees qué faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Cómo calculas una potencia de base entera y exponente natural?

3. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual base?,¿y qué diferencias?

4. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual exponente?, ¿y qué diferencias?

5. ¿Cómo calculas la potencia de una potencia de base entera y exponente natural?, ¿y de basedecimal positiva? Da tres ejemplos.

6. Si w, x, y, z son números naturales, ¿podrías afirmar que � �z

�w

= �z •w

?, ¿por qué? Da 2 ejemplos.

7. ¿Qué caracteriza al crecimiento exponencial?, ¿y al decrecimiento exponencial?


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POTENCIAS DE IGUAL BASE

POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA

POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL

POTENCIAS DE BASE DECIMAL

POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTEPOTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIAS DE BASE ENTERA

Y EXPONENTE NATURAL

Síntesis

xy

xy

¿Qué aprendí?

70 Unidad 2

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A. (–15)11 :(–15�8 = –3375

B. � �2

�3

=

C. (0,5)2 • (0,8)2 = (0,4)4

D. �(–2)2�3= �(–2)3�2

2. Una profesora compró lápices de colores pararegalar a sus alumnos y alumnas. Si compró 8 cajas que contienen 16 estuches cada una y cada estuche tiene 4 lápices, ¿cuántos lápicestiene para regalar?

A. 26

B. 29

C. 228

D. 22 • 7

3. Si a, b, c son números naturales mayores que1 y b > c, entonces, es cierto que:

A. aa : aa = aa

B. � �b

�c

= �b •c

C. �b

: �c= �

b +c

D. ab• cb = (a • c)2

4. El volumen de un cubo cuya arista mide 216 cm, es:

A. 66 cm3

B. 63 cm3

C. 65 cm3

D. 69 cm3

5. La directiva de un curso quiere hacer un diariomural rectangular para su sala de clases. Si solo saben que el área disponible es de 19 683 cm2 y el ancho mide 81 cm, ¿cuánto mide el largo?

A. 35 cmB. 39 cmC. 34 cmD. 53 cm

6. El valor de (0,5)13 : (0,5)11, escrito comofracción, es:

A.

B.

C.

D.

7. Un grupo de 78 125 bacterias decrecenexponencialmente a un quinto de su poblacióncada día. ¿Cuántas bacterias quedarán al cabode 5 días?

A. 55

B. 54

C. 52

D. 53

8. Para que la igualdad: (1,3)x • (0,1)9 = (0,13)9,sea verdadera, el valor de x es:

A. 9B. 1C. 0D. 18


ab

ab

ab

ab

ab

14

12

116

14

125

14096

Unidad 2

Potencias 71

9. Una cuerda tiene 16 384 m de longitud y se corta sucesivamente un cuarto de su longitud.

a) ¿Cuánto queda después de 3 cortes?, ¿y después de 6?b) Construye, en tu cuaderno, un gráfico para esta situación.

10. Se sabe que el volumen de un paralelepípedo es 729 cm3. Si su ancho mide 3 cm,su largo 9 cm, ¿cuánto mide el alto? Usa potencias para resolver.




a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 37 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”;


No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Concepto de potencia.

Potencia de base entera y exponente natural.

Multiplicación y división de potencias de igual base.

Multiplicación y división de potencias de igualexponente.

Potencia de una potencia.

Potencias de base fraccionaria positiva y exponentenatural.

Potencias de base decimal positiva y exponentenatural.

Crecimiento y decrecimiento exponencial.

Resolución de problemas.

Geometría ymedición

Unidad

3

72 Unidad 3

• Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlos

mediante lenguaje conjuntista.

• Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

• Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia.

• Calcular la longitud de una circunferencia.

• Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares

inscritos en la circunferencia.

• Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono.

• Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un

procesador geométrico.


Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período detiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conservaalimenticia.

El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos quepodrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se puedenencontrar en envases de vidrio o de hojalata.

El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos de la luz, que deteriora su contenido vitamínico.

La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa.Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientespreguntas.

1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura?2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?,

¿cómo lo supiste?3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas?4. ¿Haz consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?

Conversemos de...

Geometría y medición 73

¿Cuánto sabes?

1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimientoque utilizaste.

a) ABCD cuadrado c) LMNO romboide

b) HGFE trapecio isósceles d) ∅IJK equilátero

2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste.

a) c) ΔEFG isósceles de base EF

b) d)

3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?,¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?

74 Unidad 3

D C O

K

N

MLA B

JIG

FE

H

5 cm

5 cm

6 cm

3,5 cm9 cm

5 cm

4 cm

8 cm

A B

H K L

M NI J

D C G

FE

2,6 cm

2,6 cm

10 cm

12 cm

5 cm12 cm

17,5 cm 4 cm

3 m

5 m4 cm

5,5 cm

5 m

4 cm

Unidad 3

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto midesu perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican?

6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m2, ¿cuántos metros de alambre senecesitan para cercar el terreno con una vuelta?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en:triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc.

• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de suslados, reciben el nombre de polígono regular.

• La apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; es perpendicular a dicho lado.

• El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno, expresada en la misma unidad de longitud.

• El área es la medida de la superficie de una figura. • Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2.• Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b.

• Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula .

• En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base y su altura, ya que son perpendiculares entre sí.

• En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que:

• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos igualesllamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llamancaras laterales.

• Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos, que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caraslaterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámidesregulares son aquellas cuya base es un polígono regular.



apotema del pentágono

b • h2

C

B

A

ac

b

a2 + b2 = c2

(Teorema de Pitágoras)

76 Unidad 3

Para discutir

• ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?,¿cómo lo supiste?

• ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente?

• Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m deldispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde seencontrarían geométricamente?, ¿por qué?

• ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personasque están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?,¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?

En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metrosdel dispositivo emisor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellosque están a 500 metros del dispositivo emisor O, pertenecen a la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de lacircunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia se denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros.

El conjunto de todos los puntos que están en el interior de lacircunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo.Luego, la circunferencia es el contorno del círculo.

Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de lacircunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo).

Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.

Circunferencia y círculo como lugargeométrico

En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisorde Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetasreceptoras en sus computadores personales puedan acceder a laWeb. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patiodonde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que,en ese momento, estaban con sus computadores usando internet.

Glosario conjunto: es toda agrupación deobjetos. Los objetos agrupadostoman el nombre de elementos del conjunto.pertenece: corresponde a todoslos elementos que forman parte deun conjunto dado. Se simboliza �.no pertenece: corresponde atodos los elementos que noforman parte de un conjunto dado.Se simboliza �.

SaraDaniela

Eduardo

Gabriel

TomásHernán

Carolina

Dispositivo

Francisca

Bernardo

Límite de la señal

H

C

F

BS

DEO

G

T


Unidad 3

Actividades

1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y, luego, responde.

a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian?b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura?c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia?

Da 2 ejemplos para cada caso.

2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con:

• pertenecen • radio • no pertenecen• no pertenece • pertenecen • pertenece

a) El de la circunferencia de centro O mide 1 cm.b) El punto C al círculo.c) Los puntos D y E al círculo.d) Los puntos D y E a la circunferencia.e) Los puntos B y F a la circunferencia.f) El punto E al círculo.

• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distanciade un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio.

Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a unacircunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = �p � P / d (p, O) = r �

• El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = �p � P / d (p, O)�r �

La notación d(p, O) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.

No olvides que...

O C

ED

OB

F

C

78 Unidad 3

Para discutir

• Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?• ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia

comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste?• Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB

↔?,

¿y entre AB↔

y CD↔

?• ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador.• ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos

formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferenciaen un solo punto?, ¿cómo lo supiste?

En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden asegmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O;estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia.

La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y Gse denomina arco (FG�), es decir, corresponde a todos los puntospertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferenciade FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Estesegmento se denomina cuerda.

Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que unedos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ellase llama diámetro.

Al observar AB↔

y CD↔

, podemos notar que la primera recta corta a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD

↔, que toca

a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB↔

, la recta se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD

↔, tangente

a la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).

Elementos de la circunferencia

Observa la siguiente circunferencia de centro O y los elementos marcados en ella.

Glosario En Matemática puedes utilizar la siguiente notación:Segmento HI: HI�

Recta AB: AB↔

Arco FG: FG�

Ayuda

El arco de una circunferenciase lee en sentido inverso algiro de los punteros del reloj.

C

D

FE

IO

H

G

A

B


Actividades

1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas.

a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide?b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella.c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto,

utiliza escuadra.d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud?

2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.


a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos.b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio.c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos.d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia.e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida.

En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:

• Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

• Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerdade mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida deldiámetro corresponde al doble de la medida del radio.

• Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

• Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

• Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

No olvides que...

Unidad 3

Cuerda(s)

Diámetro(s)

Radio(s)

Secante(s)

Tangente(s)

Arco(s)

A

B

O

D

C

F

E

80 Unidad 3

Número π y su relación con lacircunferencia

En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido en la última columna de la actividad experimental esaproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismoexperimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente,observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor se representa con la letra griega π, y se pronuncia número pi.

Para discutir

• ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de cada circunferencia?

• Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?,¿por qué?

• Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valoresobtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?,¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?

• ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algúnnúmero especial?, ¿cuál?

En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora paramedir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formengrupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm.2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente

lo mismo que cada una de estas figuras.3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la

longitud de las circunferencias. 4. Completen la tabla.

En equipo

CircunferenciaMedida del diámetro

(cm)Medida de la longitud

(cm)Valor de la razón entre

la longitud y el diámetro

1

2

3

4

Ayuda

Recuerda que el valor de larazón es el cociente entre dos cantidades.


Actividades

1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejoraproximación al número π.

a) c) e)

b) d) f)

2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar π por el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué?

3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?, ¿cómo lo harías?

4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14).

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante quellamamos número π. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primerascifras es:

π � 3,1415926535…

No olvides que...

Unidad 3Unidad 3

355113

227

258

25681

39271250

377120

Circunferencia Medida del radio (cm) Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm)

1 37,68

2 62,8

3 31,4

4 15

5 10,5

6 314

7 6,5

8 125,6

82 Unidad 3

Para discutir

• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los ladosdel hexágono?, ¿por qué?

• Observa el perímetro del hexágono y la longitud de lacircunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste?

• Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitudde la circunferencia con el diámetro y el número π?

En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en lacircunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulosequiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio de la circunferencia.

Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medidaun poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayorque el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia,que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro delhexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que:

longitud de la circunferencia > perímetro del hexágonolongitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio

longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página80 que el número π es igual a la razón entre la longitud de una

circunferencia (l ) y su diámetro (d ), es decir, π = . Entonces:

π = / multiplicamos por d

π • d = • d

Por lo tanto, l = π • d

Longitud de la circunferencia

La siguiente figura muestra un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en elcentro de la circunferencia.

ld

ld

O

E D

CF

BA

ld


Actividades

1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera π = 3,14.

a) r = 4 cm c) r = 4,7 cm e) r = cm g) r = 1000 cm

b) r = 0,5 m d) r = 1,7 km f) r = 9 cm h) r = 10 000 cm

2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera π = 3,14.

a) l = 28,26 cm c) l = 1256 km e) l = 3,14 m g) l = 31,4 cmb) l = 11,304 m d) l = 6,28 cm f) l = 188,4 cm h) l = 50,24 m

3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera π = 3,14.

a) b) c)

Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro esigual a 2 veces el radio (2 • r ), verificamos que:

longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

π • d > 3 • dπ • (2 • r ) > 3 • (2 • r )

Por lo tanto, 2 • π • r > 2 • 3 • r

Lo anterior se confirma con que π > 3.

La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por π por su radio (r ). Es decir,l = 2 • π • r

No olvides que...

Unidad 3

72

G

L

K

5 cm

15 cm

3 cm

84 Unidad 3

Para discutir

• ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígonoregular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta lacantidad de lados del polígono regular?

• ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿quérelación tiene con el número de lados del polígono regular?

• ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de laapotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?

Como puedes observar en las figuras de la situación anterior,mientras más lados tenga el polígono regular, su área será unamejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio del círculo.

Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de unpolígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más ladostenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, elpolígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada ladomide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces:

Área polígono regular = = 48,125 cm2

Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm2.

Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • π • r , y elárea del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular demuchos lados, entonces:

Á = = = π • r 2

Área del círculo

Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Ayuda

Recuerda que la fórmula paracalcular el área de un polígonoregular es:

perímetro • apotema2

(10 • 2,5) • 3,852

perímetro • apotema2

(2 • π • r ) • r2

O


Actividades

El área de un círculo (Á) es igual al producto de π por su radio al cuadrado (r2). Es decir, Á = π • r2

No olvides que...

Unidad 3

1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada. Luego, aproxima el área de cada círculo.

a) b) c)

¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica.

2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos.Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14).

3. Utiliza la fórmula: Área = π • r 2, para calcular el área de los círculos de la pregunta 1 y, luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera π = 3,14.

4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área su duplicas el radio?, ¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso.

Nº lados delpolígono

Medida de la apotema (cm)

Medida del radio (cm) Área polígono (cm2) Área círculo (cm2)

6 1,5 3,14 • 1,52 = 7,065

O C G

86 Unidad 3

Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entreotras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de laizquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones.

Longitud de la circunferencia y área del círculo

1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono Regular . Haz dos clic en puntos

distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y,finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular.

3º Selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos . Haz clic en tres vértices del polígono regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono.

4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados.

5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud.

6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde.

a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de lacircunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué?

b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultadosobtenidos con tus compañeros y compañeras.

Corona circular

1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su Centro y uno de

sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia.3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la

circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe pertenecer a ella), como se observa en la figura.La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a lacorona circular.

4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerásu longitud.

5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.

Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?


AC

B

d

c

Mi progreso

Unidad 3



Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y π. 1

Calcular la longitud de circunferencias. 2

Calcular el área de una corona circular. 3

Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud de circunferencia.

4 y 5


1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.II. El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III

2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm?(Considera π = 3,14)

A. 56,52 cm B. 43,96 cm C. 12,56 cm D. 87,92 cm

3. El área de la corona circular es (considera π = 3,14):

A. 28,26 cm2

B. 172,7 cm2

C. 69,08 cm2

D. 229,22 cm2

4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm2, ¿cuál es el área del círculo inscrito? (Considera π = 3,14).

5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm,¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera π = 3,14).



5 cm3 cm

O

88 Unidad 3

Para discutir

• Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías?• Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en

cada cuerpo geométrico?• Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de

estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulorectángulo en torno a uno de sus catetos?

• ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada una de las redes?, ¿cuáles?

• ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?,¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?

Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar doscuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir uncilindro recto y, con la segunda red, se puede construir un cono recto.

Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes,observamos que el cilindro y cono están compuestos por al menosuna cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio,aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas,como la pirámide, se denominan poliedros.

Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededorde uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de girodeterminan círculos llamados bases.

Área del cilindro y cono

Pedro y Lorena elaboraronlas redes que se muestran acontinuación, para construirdos cuerpos geométricosdiferentes. Observa.

Glosario cilindro recto: cuerpo geométricoobtenido al rotar un rectángulo entorno a uno de sus lados.cono recto: cuerpo geométricoobtenido al rotar un triángulorectángulo en torno a un cateto.

h

r


Unidad 3

El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y halrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculollamado base.

Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debesconocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo enel que el lado a de este coincide con la longitud de lascircunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido.

Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área delrectángulo y el área de las bases circulares, es decir:

Á = área rectángulo + 2 • área círculo = (2 • π • r • h) + (2 • π • r2)

Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, debesconocer la longitud del radio r de la base y la longitud de lageneratriz g (radio del sector circular) para calcular el ángulo αdel sector circular, el que se calcula con la siguiente fórmula:

α =

Con esta información, construyes una circunferencia de radio gy marcas un ángulo α en el centro, de esta forma obtienes el sectorcircular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observaa continuación en la figura.

Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el áreadel sector circular.

Si r es el radio de la base, su área es: Áb = π • r 2

Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Ásc = π • r • g

h: altura

g: generatriz

r : radio

a

r : radio

r

ah: altura h

b: base

cara lateral

r • 360ºg

Unidad 3

g: generatriz

• Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dada por:

Ácilindro = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2)

• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dada por:

Ácono = (π • r 2) + (π • r • g)

No olvides que...

90 Unidad 3

Actividades

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera π = 3,14).

a) c)

b) d)

Luego, el área total del cono es:

Á = área base + área sector circular = (π • r 2) + (π • r • g)

h

α r

g

sector circular

g: generatriz b: base

r: radio

arista de la base = 10 cmaltura = 12 cm

radio de base = 7 cmgeneratriz = 20 cm

radio de la base = 6 cmgeneratriz = 10 cm

altura = 24 cmgeneratriz = 26 cm

Ayuda

Recuerda que el área de unapirámide se obtiene al sumarel área de todas sus caras y elárea de la base.


2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera π = 3,14):

a) el área de la base del cilindro que se genera.b) el área total del cilindro.

3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera π = 3,14).

4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera π = 3,14).

5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º, ¿cuál es el área total del cono?

6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm2

y la altura del cilindro mide 15 cm (considera π = 3,14).

a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base?b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente?c) ¿Cuánto mide el área total?

7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm2, su radio mide 5 cm y su generatriz mide 13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera π = 3,14):

a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro?b) ¿en cuántos cm2 aumenta su área?

8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm, la apotema lateral mide 20 cm. Calcula:

a) la apotema de la base.b) el área de la base.c) el área total.

9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura mide 18 cm (considera π = 3,14).

a) ¿Cuál es su área lateral? b) ¿Cuál es el área total del cilindro?

10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula:

a) la medida de la generatriz. b) ¿cuál es su área total?

Unidad 3

h

r

92 Unidad 3

Para discutir

• ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen delcilindro?, ¿cuál?

• ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste?• ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en

el cilindro?, ¿por qué?• Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula

para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?

Después de realizar la actividad anterior, se debe considerar que elárea de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo delárea de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y,además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula:

área base • altura

Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando π = 3,14):

V = 3,14 • 62 • 8 = 904,32 cm3

Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puedecontener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contenerel cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemosdividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente.

Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm3.

Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).

Volumen del cilindro y cono

En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla, transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego, con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto. El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del sector circular.

b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que elcilindro quede completamente lleno.

En equipo

Ayuda

Recuerda que, cuandohablamos de volumen, nosreferimos a la medida delespacio que ocupa un cuerpo.Para calcular el volumen de unprisma recto, puedes utilizarla fórmula:

Volumen = área base • altura


• El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcilindro = área base • altura = π • r 2 • h

• El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcono = • área base • altura = • π • r 2 • h

No olvides que...

Actividades

Considera π = 3,14 en cada caso.

1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen.

2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica?

3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica?

4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm y su generatriz mide 26 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio?

5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura?Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

6. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2; ¿cuánto mide su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

Unidad 3

13

13

7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera π = 3,14).

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

94 Unidad 3

Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerposgeométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a:www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16, haciendo clic sobre este link.

Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7son correctos:

a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerposgeométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda.

b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo .c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos. d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.


15 cm

3,6 cm

4 cm

7 cm

10 cm7,6 cm

7,3 cm

9 cm

15 cm

15 cm

4,5 cm

11,2 cm

39 cm

2,5 cm

8,5 cm

16,3 cm

2 cm

7 cm

15 cm

15 cm

Mi progreso

Unidad 3


12 cm

20 cm


Calcular el área lateral de un cilindro recto. 1

Calcular el volumen de un cono recto. 2

Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal. 3

Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono. 4 y 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera π = 3,14 en todos los casos.

1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura mide 12 m?

A. 340,69 m2 B. 76,93 m2 C. 461,58 m2 D. 263,76 m2

2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radiose triplica?

A. 1017,36 cm3 B. 37,68 cm3 C. 339,12 cm3 D. 942 cm3

3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2, ¿cuánto mide su altura?

A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm

4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula:

a) el área total.b) el volumen.

5. En una empresa de conservas están haciendo una revisión de sus envases para modificar sus dimensiones, si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se muestran a continuación:

a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta al doble?b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica?



4 cm5 cm

8 cm10 cm

Tipo B

Tipo A


Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera π = 3,14).


Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.

• ¿Qué debes encontrar?El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.


Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valoresobtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.

Resolver• Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo:

El volumen del cilindro es π • 62 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm3.

El volumen del cono es = = 1356,48 cm3.

Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3.

Responder• El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm3.

Revisar• Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego,

remplazar los datos correspondientes.

El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (hco) es el triple dela altura del cilindro (hci), es decir, hco = 3 • hci , entonces:

π • r2 • hci + =

=

= = 2 • π • r2 • hci

Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm3

96 Unidad 3

π • 62 • 363

π • r2 • hco

3

3 • π • r2 • hci + π • r2 • hco

3

3 • π • r2 • hci + π • r2 • (3 • hci)

3

6 • π • r2 • hci

3

3,14 • 36 • 363

6 cm

12 cm

Unidad 3

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basalesse mantienen en cada caso (considera π = 3,14).

a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, seconstruye un cono recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro.¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?

b) Sobre la base de un cono recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, seconstruye un cono recto cuya altura es la mitad del otro cono. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?

c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura, se construye un cono recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total del cono?

d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada lacual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si sualtura es 6 cm?


3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor del vértice que se observa en la figura?

b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo?


10 cm

24 cm

14 cm

Para finalizar

98 Unidad 3


2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?

Cone

xion

es


Cumplió con las tareas con las que se comprometió.


NACIONAL

Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y

rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna

figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje.

En nuestro alrededor existen muchos objetos que

podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien,

por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar

que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un

cilindro y un cono.

Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida

que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de

el o los cuerpos asociados al objeto.

Una técnica para obtener dibujos

Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009,biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).




1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuántomide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad?

2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro, cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado.

3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen estatécnica para calcular el volumen de cada uno.


Unidad 3




2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas?

3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen?

4. ¿Qué relación tiene el número π con la circunferencia? Da 3 ejemplos.

5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces?

6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces?

7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro.

8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto?


FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

PERÍMETRO

• ARCO

• CUERDA

• SECANTE

• TANGENTE

ÁREA

CUERPOS GEOMÉTRICOS

CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE

VOLUMEN

MEDICIONES

Síntesis

¿Qué aprendí?

100 Unidad 3

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacionesson correctas?

I. Toda recta secante a una circunferenciadetermina una cuerda.

II. Toda cuerda determina dos arcos de igualmedida.

III. En una circunferencia, si el radio mide 6 m,entonces, su diámetro mide 12 m.

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. I, II y III

2. El número π se define como:

A. la razón entre la longitud de unacircunferencia y su diámetro.

B. la razón entre la longitud de unacircunferencia y su radio.

C. la razón entre el diámetro de unacircunferencia y su longitud.

D. la razón entre el radio de unacircunferencia y su diámetro.

3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m,entonces, su diámetro mide:

A. 8,5 mB. 26,69 mC. 6,28 mD. 17 m

4. Los polígono regulares de la figura estáninscritos en la circunferencia de centro O. La mejor aproximación para el área del círculo es:

A. 45,4 cm2

B. 50 cm2

C. 46,8 cm2

D. 52 cm2

5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el áreade la corona circular es:

A. 153,86 cm2

B. 329,7 cm2

C. 50,24 cm2

D. 379,94 cm2

6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm,entonces, el área total del cilindro generado alrotar el rectángulo respecto de AD es:

A. 10 cm2

B. 87,92 cm2

C. 75,36 cm2

D. 157 cm2

7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotarel triángulo rectángulo RST respecto de SR?

A. 12,56 m3

B. 47,1 m3

C. 37,68 m3

D. 113,04 m3

8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y sualtura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área totaldel cono recto?

A. 1130,4 cm2

B. 2135,2 cm2

C. 816,4 cm2

D. 62,8 cm2

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera π = 3,14, en todos los casos.

O

A B C

4 cm

4,2 cm2,6 cm

3,6 cm

A B

D C

R

TS

4 m 5 m

Unidad 3

9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su alturamide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará?

10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de aguaque tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura.

a) ¿Cuál es el área que pintarán?b) Si cobran $ 860 por m2, ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo?

11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, laapotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total.

12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide4 cm, responde:

a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia?b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Circunferencia y círculo como lugar geométrico.

Elementos de la circunferencia.

Número π y su relación con la circunferencia.

Longitud de la circunferencia.

Área del círculo.

Área del cilindro y cono.

Volumen del cilindro y cono.


Unidad

4

102 Unidad 4

Movimientosen el plano

• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas

por medio de construcciones con regla y compás.

• Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas

por medio de un procesador geométrico.

• Reconocer las invariantes que se generan al realizar transformaciones isométricas.

• Construir teselaciones regulares y semirregulares.

• Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas

en teselaciones regulares y semirregulares.


Maurits Cornelis Escher (1898-1972), artista holandés, es uno de los artistasgráficos más grandes del siglo XX. Sus trabajos han sido del interés de muchosmatemáticos, porque utiliza patrones de figuras que cubren una superficieplana sin superponer las figuras ni dejar espacios libres entre ellas.

Escher trabaja principalmente con figuras obtenidas a partir de cuadriláteros y triángulos, las que modifica para crear un patrón que, al repetirlo, encaja conlos demás, embaldosando una superficie plana.

La imagen corresponde a una de las obras de Escher. Observa y responde.

1. ¿Observas alguna regularidad o patrón?, ¿cuál?2. ¿Qué figuras observas en la imagen?, ¿se repite alguna?, ¿cuál? Comenta con tus

compañeros y compañeras de qué manera se va repitiendo la imagen.3. ¿Te imaginas esta imagen girando alrededor de un punto?, ¿de cuál?

Conversemos de...


Sym

met

ry d

raw

ing

E70,

Mau

rits

Corn

elis

Esch

er.

The

M.C

. Esc

her C

ompa

ny.

¿Cuánto sabes?

104 Unidad 4

1. Calcula las medidas de los ángulos x e y. En cada caso L1 // L2.

a) b)

2. Completa la siguiente tabla. Utiliza regla y transportador para efectuar lasmediciones de lados y ángulos, respectivamente.

3. Sigue las siguientes instrucciones. Usa regla y compás para realizar las construcciones en tu cuaderno.a) Copia los segmentos y el ángulo que aparecen a continuación

para construir un triángulo.b) Construye la circunferencia circunscrita al triángulo.

• ¿Cómo lo hiciste?, ¿cuál es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo?

x 140º

y72º

L1

L2

yx

L1 L2

Figura NombreMedida

de ángulosMedida de lados

βα

γ

α β

δ γ

αβ

γδ

ε

ω

R

J

G

E

D

C

BF

A

I

H

M N

a

αβ

Unidad 4


• Dos rectas son paralelas, cuando no se intersecan en ningún punto o son coincidentes.• Dos rectas son secantes, cuando se cortan en un único punto.• Dos rectas son perpendiculares, cuando al intersecarse forman 4 ángulos rectos.• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados,

que tienen un origen común, llamado vértice. • Un ángulo como el de la figura se puede nombrar utilizando la

notación �BOA, siendo O el vértice del ángulo. La medida de este ángulo es α.

• Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas en: agudo (mide más de 0º y menos de 90º), recto (mide 90º), obtuso (mide más de 90º y menos de 180º), extendido (mide 180º) y completo (mide 360º).

• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º, y suplementariossi la suma de sus medidas es igual a 180º.

• Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados.

En el polígono ABCD:�α, �β,�δ, y �γ son ángulos interiores.

�α´, �β´,�δ´, y �γ´ son ángulos exteriores.

• Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados en: triángulos (3 lados),cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc.

• Si un polígono tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes, se llama polígono regular.

• Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que 180º.• La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados se puede calcular con la

siguiente fórmula: (n – 2) • 180º.• La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.


4. Copia la siguiente recta L en tu cuaderno y construye usando regla y compás:

a) una recta paralela a la recta L. b) una recta perpendicular a la recta L.


αO

A

B

L

α´ α

γ´ γ

β β´

δ δ´D C

A B

Para discutir

106 Unidad 4

• ¿Qué cambió en la figura 1 para obtener la figura 2?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Qué cambió en la figura 3 para obtener la figura 4?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Podrías decir que los cambios corresponden a transformacionesen cada caso?, ¿por qué?, ¿de qué tipo?

• ¿Qué sucede con las medidas de los lados y ángulos en cada caso?

Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnosa algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posiciónde un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de unatransformación cuando un conjunto de puntos se ha movidosiguiendo una regla o condición dada.

Como puedes observar, para obtener la figura 2 a partir de la figura1, fue necesario aplicar una transformación. En este caso, cambió suposición, pero no su tamaño ni su forma, pues las medidas de suslados y ángulos son iguales (congruentes). Esta transformación sedenomina reflexión y corresponde a una transformación isométricaporque los puntos de la figura 1 se han movido de manera tal quese conservan todas sus medidas.

Observa que también se aplicó una transformación a la figura 3para obtener la figura 4; sin embargo, no corresponde a unatransformación isométrica, porque cambia el tamaño de la figura,aunque no su forma. En este caso, las medidas de los lados de lafigura 4 son el doble de los de la figura 3 y las medidas de losángulos correspondientes son las mismas.

Transformaciones de figuras y objetos

A partir de la figura 1 y 3 se obtuvieron las figuras 2 y 4,respectivamente. Obsérvalas.

Glosario isometría: La palabra isometríaes de origen griego y significa“igual medida” (iso = igual o mismo, metría = medir).

Figura 1 Figura 2

Figura 3

Figura 4


Actividades

1. Observa las imágenes de cada recuadro y, luego, responde.

• ¿Podrías decir que corresponden a transformaciones isométricas?, ¿por qué?

2. En cada caso, determina si las siguientes figuras pueden obtenerse a partir de la aplicación deuna transformación isométrica. Justifica.

a) c)

b) d)

Unidad 4

• Cuando se aplica una transformación a una figura u objeto, modificando su posición, sin alterar su tamaño ni su forma, se habla de que se le ha aplicado una transformación isométrica.

• Al aplicar una transformación isométrica a una figura, se obtiene otra figura, que se denomina imagen de la figura inicial. En general, usaremos la misma letra con un apóstrofo para señalar el vértice obtenido luego de una transformación.Por ejemplo: El Δ A B´C´ es la imagen del Δ ABC

No olvides que...

A y A; B y B´; C y C´ son vérticescorrespondientes entre sí.

Figura inicial Imagen

B

CA

C´

B´

A

108 Unidad 4

Traslaciones de figuras planas

Observa el cuadrilátero A B´C´D´ que se obtuvo al aplicar unatransformación isométrica al cuadrilátero ABCD.

En la situación presentada, cada uno de los puntos de la figurainicial (ABCD) se desplazó en la misma magnitud, dirección y sentido para obtener su imagen (A B´C´D´), además, al medir los lados y ángulos correspondientes de ambas figuras, podrásconstatar que dichas medidas se mantienen; esto ocurre cuando la transformación isométrica que se aplica a la figura inicialcorresponde a una traslación.

Para representar gráficamente el movimiento realizado, podemos utilizar una flecha, que se llama vector de traslación.

En las figuras presentadas, al unir sus vértices correspondientes,obtenemos los vectores de traslación que miden lo mismo, tienen el mismo sentido y son paralelos entre sí.

Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás, latraslación de una figura dada conociendo el vector de traslación (EF

→).

1º Realizamos la construcción geométrica de rectas paralelas alvector dado que pasen por cada vértice (A, B, C y D). En estecaso, tenemos que construir 4 rectas paralelas al vector EF, como se observa en la figura 1.

Para discutir

• ¿Cómo describirías la transformación isométrica que se le aplicó?,¿qué cambió?, ¿y qué se mantuvo?

• ¿Cuánto miden los lados y ángulos correspondientes en las figuras?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?

• Si unes los vértices correspondientes (A con A , B con B´, etc.)con una línea y, luego, las mides, ¿cómo son entre sí?, ¿qué otracaracterística observas?

• Si tuvieras solo la figura inicial y la flecha que representa elmovimiento de A hasta A , ¿cómo podrías obtener la imagenusando regla y compás?

Ayuda

Para realizar la construccióngeométrica de una rectaparalela a una recta L quepasa por un punto D, exteriora L, podemos dibujar unacircunferencia con centro encualquier punto de la recta L que contenga a D.

Luego, llamamos F y G a lospuntos de intersección entre L y la circunferencia. Con elcompás, medimos el trazo FDy, luego, dibujamos un arcocon centro en G y radio FDque interseque a lacircunferencia, determinandoel punto J. Finalmente, se uneD con J, obteniendo la rectaDJ, paralela a la recta L.

A

B

C

D

D

AB

C´

AB

C

D

Figura 1

FE


Unidad 4

2º Copiamos la medida del vector en cada recta construida, a partir del vértice en el sentido que indica el vector. De estemodo, obtenemos los vértices de la imagen, como se observa en la figura 2.

3º Unimos los vértices de la imagen, determinando el cuadriláterotrasladado, según el vector dado, como se observa en la figura 3.

Actividades

1. Construye un triángulo isósceles en tu cuaderno y dibuja un vector con la magnitud, dirección y sentido que tú quieras. Luego, usando regla y compás, trasládalo según el vector.

2. Usando regla y compás, traslada el ΔABCsegún el vector DT y, luego, a la imagen obtenida, trasládala según el vector FK.

3. ¿Podrías trasladar el ΔABC del ítem anterior, según un solo vector, obteniendo la segunda imagen?,¿cuál es el vector?, ¿cómo lo construirías manteniendo la magnitud, dirección y sentido?Construye la traslación en tu cuaderno, usando regla y compás.

Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, dirección y sentido.

No olvides que...

AA

B

CC´

D´

B´

D

FE

AA

B

CC´

D´

B´

D

FE

Figura 2

Figura 3

A

BD

C

T F

K

110 Unidad 4

Reflexiones de figuras planas

Observa la figura inicial y suimagen obtenida al aplicarleuna transformación isométrica.

En la situación anterior, el pentágono A B´C´D E´ es la imagen delpentágono ABCDE. Si dobláramos la hoja por la recta L, los vérticesy lados de la figura inicial coinciden con los de la imagen. Además,al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que la recta L es perpendicular a estos trazos (AA ⊥ L, BB´ ⊥ L, etc.) y que los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de larecta L. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicadase llama reflexión.

En esta transformación isométrica, todos los puntos se reflejanrespecto de una línea recta, llamada eje de simetría, ubicándose a la misma distancia del eje, pero al lado contrario. En el ejemploanterior, el eje de simetría es la recta L.

Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás lareflexión de una figura dada respecto de un eje de simetría (recta L).

1º Dibujamos un arco con centro en uno de los vértices (D) de lafigura inicial que interseque al eje de simetría en dos puntos, que denominaremos P y Q, como se observa en la figura 1.

Para discutir

• ¿Qué ocurriría con las figuras si doblaras la hoja por la recta L?• Si se le aplicó una transformación isométrica a la figura inicial,

¿qué se mantiene?, ¿y qué cambia?• Une con una línea recta los puntos correspondientes (A con A ,

B con B , etc.). ¿Cómo son estas líneas en relación a la recta L?• Mide la distancia entre el punto A y la recta y, luego, la distancia

entre el punto A y la recta. ¿Cómo son entre sí?• Haz lo mismo con las medidas de los demás puntos.

¿Se cumple siempre?

Ayuda

Recuerda que, la simetral omediatriz de un segmento esuna recta perpendicular alsegmento que pasa por elpunto medio del segmento.

Todos los puntos de unasimetral están a igual distanciade los extremos del segmento.

A

C

B

E D

L

P

Q

A A

C C´

B BE E´D D

L

Figura 1

Unidad 4

2º Con centro en P y el mismo radio anterior dibujamos unacircunferencia y con centro en Q dibujamos otra circunferenciacon el mismo radio. El vértice D y su imagen D´corresponden a laintersección de las circunferencias con centros P y Q; como seobserva en la figura 2.

La recta DD´ corresponde a la simetral del trazo PQ.

3º Finalmente, realizamos la misma construcción para cadavértice de la figura inicial; de este modo, obtenemos laimagen de cada vértice, los cuales unimos determinandola imagen, como se observa en la figura 3.

Actividades

1. Construye un cuadrilátero en tu cuaderno y dibuja una recta que no interseque al cuadrilátero.Luego, usando regla y compás, aplícale una reflexión con respecto a la recta.

2. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo isósceles MNR (de base MN) respecto de la recta MN.

3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó al reflejar el Δ MNR del ítem anterior respecto de la recta MN?, ¿por qué?, ¿qué otro triángulo podrías reflejar para obtener el cuadrilátero?


Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asociaotro punto, llamado imagen, de modo que:

• El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría.

• El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

No olvides que...

A

C

B

E D D

L

P

Q

A A

C C´

B B´E E´D D

L

Figura 2

Figura 3

R

NM

112 Unidad 4

Rotaciones de figuras planas

A la siguiente pieza de un rompecabezas, se le aplicó la mismatransformación isométrica 2 veces. Observa lo que se obtuvo cada vez.

Para discutir

• ¿Cómo describirías cada movimiento de la pieza?, ¿por qué?• Según los movimientos realizados por la figura, ¿cuántas veces

debes aplicar la misma transformación isométrica para que quedecomo la figura del principio?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Existe algún punto de esta pieza que quede siempre fijo al realizarlos movimientos anteriores?, ¿cuál?

Si observas los movimientos de la pieza de rompecabezas de lasituación anterior, en el siguiente movimiento, la pieza volverá a suposición inicial, siempre y cuando el movimiento realizado sea iguala los anteriores. En esta transformación, todos los puntos de lafigura se mueven en torno a un punto fijo, llamado centro derotación, en un ángulo determinado, que es el ángulo de rotación.

Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada sellama rotación.

El centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura.

El ángulo de rotación puede tener sentido positivo (en sentidocontrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de lospunteros del reloj).

En el ejemplo anterior, el centro de rotación está dentro de lafigura y el ángulo de rotación es de 90º cada vez que rota (ensentido positivo).

Observa ahora cómo realizar, con regla y compás, la rotación del Δ ABC respecto del centro O y en un ángulo de rotación β = 75º(en sentido positivo), como se observa en la figura 1

1º Dibujamos una circunferencia con centro O y radio OCy copiamos el ángulo β (o usamos transportador) en sentidopositivo, respecto al radio OC y con vértice O. Marcar la imagenC´ en la circunferencia, como se observa en la figura 2.

Ayuda

Recuerda que, para copiar unángulo AOB dado, copiamos el trazo OB sobre una recta L.Con centro en O, dibujar unacircunferencia con radio OA.

Luego, con centro en B,dibujar una circunferencia conradio AB. La intersección deambas circunferenciasdetermina el punto A.

Finalmente, unir O con A paraobtener el ángulo requerido.

A

B

C

O

I

K

J

β

A

B

C

C´

O

I

K

J

β

Figura 1

Figura 2

β


Unidad 4

2º Repetimos el mismo procedimiento para los demás vértices y,luego, unimos los puntos, obteniendo la imagen del triángulo,como se observa en la figura 3.

1. Construye un triángulo escaleno en tu cuaderno. Luego, usando regla y compás, rótalo respecto de uno de sus vértices en un ángulo que tú escojas.

2. Usando regla y compás (si es necesario transportador), aplícale una rotación al ΔPQR en torno al punto Oen el ángulo α = 70º y, luego, a la imagen obtenida aplícale otra rotación respecto del mismo punto Oen el ángulo β = 110º.

3. En el ítem anterior, ¿puedes obtener la imagen final mediante una sola rotación de la figura inicialrespecto del punto O?, ¿cómo? Realiza la rotación en tu cuaderno utilizando regla, compás y transportador.

Actividades

Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamadoángulo de rotación.

No olvides que...

A

B

C

C’

O

I

K

J

β

B’ A’

Q

R

P

O

E

D

F C

B

A

α

β

Figura 3

114 Unidad 4

Traslaciones, reflexiones y rotaciones usando software geométrico

Usando el programa Geogebra puedes construir transformaciones isométricas, siguiendo lospasos que se dan a continuación. Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.at yen el menú de la izquierda, selecciona Webstart-TeleInicio y, luego, el botón Webstart.

Traslación de un triángulo

1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho yselecciona Cuadrícula.

2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja untriángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vérticedel primer clic del triángulo.

3º Selecciona la herramienta Vector entre Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic endistintos puntos para dibujar el vector de traslación, con la magnitud y sentido que quieras.

4º Selecciona la herramienta Traslada objeto por un Vector . Haz clic sobre el triángulo y luego, sobre el vector; aparecerá el triángulo trasladado.

5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.

6º Selecciona la herramienta Área . Haz clic sobre cada uno de los triángulos.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde:

a) ¿Cuánto mide el perímetro y área de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?b) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier traslación de figuras?, ¿cómo lo supiste?c) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea un triángulo), realiza

los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a y b.

Reflexión de un cuadrilátero

1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y selecciona Cuadrícula.

2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un cuadrilátero haciendo cuatro clic en distintos puntos, el quinto clic lo debes hacer sobre elvértice del primer clic del cuadrilátero.

3º Selecciona la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en distintos puntos para dibujar el eje de simetría.

4º Selecciona la herramienta Refleja objeto en recta . Haz clic sobre el cuadrilátero y, luego, sobre la recta, aparecerá la imagen.

5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada lado de la figura inicial y, luego, sobre cada lado de la imagen; aparecerán las medidas de todos los lados.



Unidad 4


a) ¿Cuánto mide cada lado de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?b) Calcula el perímetro y área de ambas figuras, usando las herramientas del software.c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier polígono que apliques una reflexión?, ¿cómo lo supiste?d) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea cuadrilátero), realiza

los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a, b y c.

Rotación de un triángulo

1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente elbotón derecho y seleccionar Cuadrícula.

2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja untriángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vérticedel primer clic del triángulo.

3º Selecciona la herramienta Nuevo Punto . Haz clic en cualquier parte de la cuadrículapara dibujar el centro de rotación.

4º Selecciona la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto,

el Ángulo indicado . Haz clic sobre el triángulo y, luego, sobre el centro de rotación. Aparecerá una tabla en la cual debes ingresar el ángulo de rotación, puede ser 70º (o el que tú quieras). Para escribir el símbolo º,selecciónalo en las opciones que aparecen en la tabla que se muestra en la figura. Una vezingresado el ángulo de rotación, presiona OK; aparecerá la imagen rotada en sentido positivo.

5º Selecciona la herramienta Ángulo . Haz clic sobre cada vértice correspondiente al ángulo interior que deseas medir del triángulo de la figura inicial, en sentido antihorario; aparecerán las medidas de los ángulos interiores del triángulo como se muestra en lafigura. Luego, repite el mismo procedimiento para medir losángulos interiores de la imagen.


a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan?b) Calcula el perímetro, área y medidas de cada lado de ambas figuras, usando las herramientas

del software, ¿qué observas?c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier transformación isométrica?, ¿por qué?

C

A

B

a

b

c

β = 85.54º

α = 36.51º

γ = 57.95º

116 Unidad 4

En esta actividad deberán usar el software Geogebra. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho y seleccionen Cuadrícula.

2. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Dibujen un triángulo escalenoobtusángulo haciendo tres clic en distintos puntos, luego, hagan un clic sobre el vértice del primerclic del triángulo.

3. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, hagan dos clicen distintos puntos para dibujar el eje de simetría.

4. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta . Hagan clic sobre el triángulo y, luego,sobre la recta; aparecerá la imagen.

5. Seleccionen la herramienta Recta Paralela . En la cuadrícula, hacer un clic por donde deseenque pase la recta paralela al eje de simetría y, luego, hagan clic sobre dicho eje; aparecerá la rectaparalela al eje de simetría.

6. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenidaanteriormente según la segunda recta dibujada; aparecerá la imagen de la primera imagen.

7. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica esequivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquensus respuestas utilizando el software.

8. En una hoja nueva, presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botónderecho y seleccionen Cuadrícula.

9. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Luego, dibujen el polígono queustedes quieran.

10. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta vertical.

11. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen el polígono respecto de la recta.

12. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta horizontal, perpendicular a la otra recta como se observa en la figura 1.

13. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida respecto de la recta horizontal.

14. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquensus respuestas utilizando el software.

En equipo

B´

C´

G

D´ Ad´

FA

D

B

CH

b´

c´a´ a

db

c

Figura 1

Mi progreso

Unidad 5Unidad 4



Identificar una traslación según un vector. 1

Identificar una reflexión según una recta dada. 2

Analizar expresiones asociadas a la rotación de una figura. 3

Realizar transformaciones isométricas usando regla y compás. 4


1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una traslación según un determinado vector?

A. B. C. D.

2. ¿En cuál de los siguientes casos se representa mejor una reflexión según la recta dada?

A. B. C. D.

3. Al aplicar una rotación a una figura con el centro de rotación en uno de los vértices de ella, siemprese cumple que:

A. un punto de la figura queda fijo.B. ningún punto de la figura queda fijo.C. todos los puntos de la figura cambian de posición.D. los vértices de la figura no cambian de posición.

4. Construye en tu cuaderno un triángulo (ΔMNT ), además, dibuja un vector(DE

→) y una recta (L), como se observa en la figura. Luego, usando regla y

compás, aplica una traslación al triángulo, según el vector. A la imagenobtenida, aplícale una reflexión según la recta. A esta última imagen, rotar concentro de rotación en uno de sus vértices y en un ángulo de rotación de 100º.



L

TM

N E

D

118 Unidad 4

Teselaciones

Observa el siguiente diseño.

El polígono que se repite en el diseño anterior es un triánguloequilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras.

Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizadapor diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico.

Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrirla superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismovector, como se observa a continuación:

Luego, a cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto allado de la base, es decir:

Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igualmagnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cadatriángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:

Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.

Para discutir

• ¿Qué características observas en el diseño anterior?, ¿qué tipo de polígono se repite?, ¿es posible realizar un diseño similar concuadrados?, ¿y con círculos?

• ¿Puedes cubrir una superficie plana con otros polígonos?,¿cuáles?, ¿cómo lo harías?, ¿qué condiciones se deben cumplir?

• ¿Es posible que queden espacios al cubrir una superficie planamuy grande con el diseño anterior?, ¿por qué?

• ¿Se utilizaron transformaciones isométricas para realizar eldiseño anterior?, ¿cuáles?

Glosario mosaico: corresponde a una obrarealizada con fracciones diversasempleando materiales como rocas,vidrios o madera. Diversas culturashan decorado paredes o hanpavimentado pisos incursionandoen este arte. Figura inicial

Unidad 4


Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas paracubrir completamente una superficie plana.

Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a unvértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden 60º cada uno.

• Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimentacompletamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no quedenespacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras.

• Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales.

• Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figurasque concurren a un vértice es 360º.

No olvides que...

Actividades

1. Señala si los siguientes diseños pueden ser parte de una teselación. Explica tu decisión.

a) b) c) d)

2. Indica con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta.

a) b) c) d)

3. Construye teselaciones en tu cuaderno, a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior.Indica las transformaciones isométricas que utilizaste para teselar.

120 Unidad 4

Teselaciones regulares y semirregulares

Observa las siguientes teselaciones.

En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas estánconstruidas con polígonos regulares. La primera está construidausando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llamateselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usandocombinaciones de polígonos regulares (hexágono y triánguloequilátero), por lo que se llama teselación semirregular.

En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo:

Ayuda

Recuerda que un polígonoregular tiene todos sus lados de igual medida y todos susángulos son congruentes.

Cada ángulo interior de unpolígono regular de n lados está dado por:

Para discutir

• ¿Qué diferencias observas en cada teselación?, ¿qué semejanzas?• ¿Qué polígonos se utilizaron para construir cada teselación?,

¿son polígonos regulares?• ¿Con qué polígono regular es posible construir teselaciones?,

¿cómo lo supiste?• ¿Es posible construir teselaciones combinando otros polígonos

regulares?, ¿cuáles?

(n – 2) • 180n

• Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular.

• Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonosregulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación.

No olvides que...

120º

120º120º 60º60º120º

120º

Unidad 4


Actividades

1. Si las bases en las teselaciones de la página anterior, son las que están pintadas, indica lastransformaciones isométricas involucradas en cada una de ellas.

a) b)

2. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un cuadrado y, a partir de esta figura, construyeuna teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

3. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm por lado y, a partir deesta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular para cada caso y,luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con cada combinación de polígonos regulares. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

a) b)

5. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Es posible construir teselaciones con pentágonos regulares?, ¿y con heptágonos?, ¿por qué?

b) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con pentágonos regulares y triángulosequiláteros?, ¿cómo?

c) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con dodecágonos regulares y triángulosequiláteros?, ¿cómo?

122 Unidad 4

En esta actividad deberán utilizar un trozo de cartón piedra de 40 cm por 30 cm, pegamento, tijeras,papeles de colores, regla y compás. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones.

1. Algunas teselaciones se pueden obtener realizando algunas transformaciones sobre unafigura. Observa.

2. Escojan alguna de las teselaciones anteriores o construyan otra usando la misma técnica (para triángulo equilátero o cuadrado), para teselar sobre el cartón utilizando los papeles de colores.

3. Identifiquen y describan las transformaciones isométricas involucradas en su teselación.4. Expongan al resto del curso el trabajo realizado y expliquen acerca de las transformaciones

isométricas utilizadas.

En equipo

M. C. Escher es un artista clave en el tema de las teselaciones. Legó gran cantidad de obras dearte en las cuales se observa la aplicación de teselaciones.

En la página que se sugiere a continuación, podrás observar algunas de las obras de este artista:http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm

Usando la página web anterior, sigue las instrucciones y responde las preguntas.

a) Selecciona una de las teselaciones de Escher, haciendo un clic en el número correspondiente.b) Mueve el deslizador hacia abajo. ¿A partir de qué polígono se genera la teselación?c) ¿Qué transformaciones se aplicaron al polígono para obtener la figura de la teselación?d) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan en la teselación?e) Selecciona otra teselación, repite los pasos anteriores y responde las preguntas.


cuadrado rotación de semicircunferencia teselación

triángulo equilátero rotación de arco teselación

Mi progreso

Unidad 4



Reconocer con qué polígonos se pueden construir teselacionessemirregulares y regulares.

1 y 2

Identificar las transformaciones isométricas en una teselación. 3

Construir una teselación semirregular y argumentar acerca de lastransformaciones isométricas involucradas.

4


1. Se puede teselar el plano combinando:

A. pentágonos regulares y cuadrados.B. octágonos regulares y cuadrados.C. hexágonos y pentágonos regulares.D. Todas las anteriores.

2. ¿Qué polígono no tesela el plano?

A. Cuadrado. B. Rectángulo. C. Pentágono. D. Hexágono regular.

3. Identifica con cuál o cuáles transformaciones isométricas se realizaron las siguientes teselaciones.

a) b)

4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.




Un grupo de amigos y amigas organizó un juego, que consiste en partir desde un lugar y llegar a otro,pasando a buscar agua al río. Gana la persona queescoge el camino de menor longitud.

Si llamaron punto A al lugar inicial, punto B al lugar de llegada y recta L al río, ¿qué estrategia permiteganar el juego?, ¿por qué?


Que cada jugador estará ubicado en un punto, denominado punto A y debe llegar a otropunto denominado B, pasando a buscar agua a un río, denominado recta L.

• ¿Qué debes encontrar?El camino de menor longitud justificando la estrategia empleada.


Para resolver el problema aplicaremos una reflexión y, luego, justificaremos la estrategiaempleada con la desigualdad triangular.

Resolver• Debemos encontrar un punto C en el río, de

manera que la distancia desde A hasta C y, luego,desde C hasta B, sea la mínima. Para ello, reflejamos el punto A en la recta L, determinandoA . Unimos con una recta A con B. El trazo A Bcorta a la recta L en C. De este modo, el caminodesde A hasta C y, luego, desde C hasta B, es el más corto.

Para justificar la estrategia empleada, consideremos que el trazo A C es el reflejo deltrazo AC, entonces dichos trazos (x) tienen igual medida.

Consideremos cualquier otro camino que vaya de A a B y que recoja agua en un punto D del río.

Por la desigualdad triangular, sabemos que la sumade las longitudes de dos lados de un triángulo essiempre mayor que la longitud del tercer lado,además, A B = x + y, y A D = AD = d. Por lo tanto: x + y < d + e.

Finalmente, podemos concluir que el punto C determina el menor camino.

124 Unidad 4

C 1 C 2

A

B

L

A

C L

B

B

LDC

d

eyx

x

A

A

A

Unidad 4

Responder• Al aplicar una reflexión al punto A, según la recta L, determinamos el punto A .

Luego, unimos A con B, la intersección entre el segmento A B con la recta L es C, que corresponde al punto del río que determina el menor camino.

Revisar• Para comprobar que el punto C determina el menor camino marcamos distintos puntos en

la recta L y, luego, medimos la distancia desde A hasta cada punto y desde el punto(incluido C) hasta B. De este modo verificamos que el punto C determina el menor camino.


a) Luis, Marcela y Paula están jugando en el gimnasio de su colegio, el cual tiene forma rectangular. El juego consiste en partir desde unpunto del gimnasio, tocar una de sus paredes, llegar a otro punto,tocar nuevamente la pared y, finalmente, llegar a otro punto delgimnasio. Gana quien escoge el camino más corto; para ello, Paula es la que determina quién ganó, midiendo con una huincha el camino de cada competidor. ¿Cuál es la estrategia que permite ganar el juego?Justifica tu respuesta.

b) El billar es un juego que se practica en una mesa, generalmente rectangular, rodeada de bandas. El juego se basa en choques de bolas entre sí y con las bandas, impulsadas con un taco.Camilo y Loreto, están jugando billar. Al poco tiempo de jugar, las bolas A y B quedan en la ubicación que se observa en la figura.

Si Loreto está planeando golpear la bola A para dar a la bola B después de tocar en dosbandas, ¿qué recorrido tendrá que hacer la bola A? Justifica tu respuesta.


3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?,¿por qué?

El Tetris es un video juego inventado en 1984, en el cual se deben aplicarrepetidas veces transformaciones isométricas a 4 figuras diferentes parahacerlas encajar. Considerando la jugada que aparece a la derecha, ¿qué transformaciones isométricas debes realizar para hacer encajarcorrectamente la figura 1 en A?, ¿y para encajar la figura 2 en B?

Puedes jugar Tetris online en: www.juegostetris.com/juegos/tetris-ii/


EG

Fpartidallegada

A

B

2

1

BA

Para finalizar

126 Unidad 4



Cone

xion

es




NACIONAL

El viernes 23 de enero de 2009 se realizó la 19ª versión de

la iniciativa que reúne a varios museos y centros culturales de la

capital, que abrieron de 18:00 a 24:00 horas.

Algunos museos y centros culturales que participaron fueron:

el Museo de Artes Visuales (MAVI), el Museo Arqueológico de

Santiago (MAS), el Museo de Arte Contemporáneo (MAC), el

Museo de la Solidaridad Salvador Allende, el Centro de Extensión

de la Universidad Católica, el Centro Cultural Palacio de la

Moneda (CCPLM), la sede de la Sociedad Nacional de Bellas

Artes, que es el palacio La Alhambra, entre otros.

El palacio La Alhambra fue encargado en 1860 por Francisco Ignacio Ossa Mercado al

arquitecto Manuel Aldunate Avaria, quien viajó a España a tomar apuntes para realizar la obra.

En 1940 el palacio fue donado a la Sociedad Nacional de Bellas Artes por Julio Garrido Falcón.

Museos de medianoche

Fuentes: www.portaldearte.cl/agenda/actividades/2009/19_version.htmlwww.snba.cl/paginas/palacio.htm, consultado en febrero de 2010.




1. Busquen fotografías del palacio La Alhambra de Santiago u otro edificio de arquitecturamorisca, como el casino Español de Iquique.

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería serla solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.a) ¿Qué caracteriza a estos diseños?, ¿qué tipo de transformaciones isométricas es

posible identificar?b) ¿En qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?

3. Busquen imágenes de la obra de Matilde Pérez, pintora y escultora chilena. Averigüen y comenten qué relación tiene su obra con la Geometría.

Museo Nacional de Bellas Artes,Santiago.


Unidad 4




2. Cuando se efectúa la transformación isométrica a una figura geométrica plana, ¿qué características observas en su imagen?

3. ¿Cómo trasladas un triángulo con regla y compás?, ¿cómo lo rotas?

4. ¿Qué características tiene la imagen de una figura, luego de aplicar una reflexión?, ¿cómo confirmas que se aplicó dicha transformación?

5. ¿Qué caracteriza a una teselación?, ¿cómo se construye?

6. ¿Qué diferencias observas en las teselaciones regulares y semirregulares?, ¿y qué semejanzas?

7. ¿Con qué polígonos puedes construir una teselación regular?, ¿y una semirregular?


TRASLACIONES

DE FIGURAS PLANAS

REGULARES SEMIRREGULARES

REFLEXIONES

DE FIGURAS PLANAS

TESELACIONES

ROTACIONES

DE FIGURAS PLANAS

TRANSFORMACIONES

ISOMÉTRICAS

Síntesis

¿Qué aprendí?

128 Unidad 4

1. ¿En cuál de las siguientes opciones las figurascorresponden a una reflexión?

A. R y SB. S y VC. S y TD. R y V

2. En la transformación de la imagen se aplicó una rotación con centro en O y ángulo derotación de:

A. 60ºB. 360ºC. 90ºD. 180º

3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la estrella de David?

A. 8B. 2C. 4D. 6

4. ¿Por qué es posible teselar con triángulos equiláteros?

A. Porque la suma de los ángulos queconcurren a un vértice es 180º.

B. Porque la suma de los ángulos queconcurren a un vértice es 360º.

C. Porque la suma de sus ángulos interioreses 180º.

D. Porque la suma de sus ángulos exterioreses 360º.

5. ¿Con cuál de los siguientes polígonos sepuede construir una teselación regular?

A. Cuadrado. C. Rombo.B. Rectángulo. D. Romboide.

6. Para trasladar una circunferencia según un vector dado, con regla y compás, basta con trasladar:

A. el centro de la circunferencia, según dicho vector.

B. dos puntos de la circunferencia, segúndicho vector.

C. un punto cualquiera de la circunferencia,según dicho vector.

D. el centro y un punto cualquiera de lacircunferemcia, según dicho vector.


A. No es posible teselar una superficie planacon romboide.

B. El eje de simetría es perpendicular a lostrazos que unen cada par de puntoscorrespondientes.

C. Al aplicar una rotación, todos los puntosde la figura se mueven en torno a unpunto fijo.

D. Al aplicar una traslación, todos los puntosde la figura se mueven según una flecha.

8. Al aplicar una transformación isométrica seobtiene una figura:

A. que mantiene la posición de la figura original.

B. que mantiene la forma, tamaño y posición original.

C. que mantiene la forma y tamaño original,solo varía su posición.

D. que mantiene el tamaño original y varía suforma y posición.


R S

O

T V

Unidad 4


9. Usando regla y compás, aplica una reflexión al ΔABC respecto de la recta L.Luego, a la imagen obtenida, rotar respecto del vértice C´ y ángulo de rotación de 60º (usa transportador).

10. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Transformaciones de objetos

Traslaciones de figuras planas

Reflexiones de figuras planas

Rotaciones de figuras planas

Teselaciones

Teselaciones regulares y semirregulares


A

B

C

L

Datos y azarUnidad

5

130 Unidad 5

• Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados

en intervalos.

• Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma

manual y mediante herramientas tecnológicas, y determinar la media

aritmética y moda en estos casos.

• Discutir respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos

aleatorios, y analizar su comportamiento usando medidas de tendencia central.

• Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos

aleatorios, mediante el uso de herramientas tecnológicas.

• Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio

multiplicativo para obtener su cardinalidad.

• Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando el

modelo de Laplace.


En Chile, los censos se realizan cada diez años, aproximadamente. El últimose realizó en el año 2002 y el próximo se efectuará en el año 2012.Los siguientes datos corresponden a los resultados del Censo 2002. Observa.

Población de cinco años o más por grupos de edad, según región, provincia, sexo, su nivel de instrucción y el último curso aprobado

Provincia de Valdivia / ambos sexos

1. En Valdivia, ¿cuántas personas terminaron la Educación Media hasta el año 2002?2. ¿Cuál es nivel de Educación Media promedio alcanzado por los jóvenes entre 20

y 29 años?, ¿cómo lo supiste?3. ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿cómo la interpretarías?

Conversemos de...

Datos y azar 131

Grupos de edad

Enseñanza Media común

6 a 14años

15 a 19años

20 a 29años

30 a 49años

50 años omás

1 año 1825 4436 3173 6170 1237

2 años 565 3841 2552 4818 986

3 años 0 3465 1486 3095 709

4 años 0 4323 9529 14 536 3183

Fuente: www.ine.cl/cd2002/index.php, consultado en febrero de 2010.

¿Cuánto sabes?

132 Unidad 5

1. En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registradolas siguientes temperaturas máximas en grados Celsius:

32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29, 32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29

a) Completa la tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC?c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC?d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías

los resultados obtenidos en cada caso?

2. El siguiente gráfico circular representa la cantidad de horas semanales quelos 40 estudiantes del 8ºA de un colegio de Arica destinan a hacer deportes.

a) Completa la tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántos alumnos y alumnas dedican 4 horas semanales a hacerdeportes?, ¿y una hora semanal?

c) ¿Cuántas horas semanales, en promedio, destinan los y las estudiantes ahacer deportes?, ¿cómo lo calculaste?

d) Calcula e interpreta la mediana y moda, en cada caso.

Temperatura(ºC)

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuencia relativaporcentual

28

29

30

31

32

33

34

Nº dehoras

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Frecuencia relativaporcentual

1 2 5%

2

3

4

5

6

5%15%

10%

20%

10%

1 hora2 horas3 horas

4 horas5 horas6 horas

40%

Unidad 5

Datos y azar 133

3. Antonia necesita averiguar la cantidad de horas diarias que los alumnos yalumnas de su colegio destinan a ver televisión. Si tuvieras que realizar lamisma investigación que Antonia:

a) ¿Cuál sería la población?, ¿qué muestra escogerías?, ¿por qué?b) ¿Cuál sería la variable de estudio?, ¿de qué tipo es? Explica tu decisión.

4. Se lanza 50 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se obtiene10 veces uno, 3 veces dos, 6 el tres, 12 el cuatro, 9 el cinco y 10 el seis.

a) Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias.b) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y 4?c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de que se obtenga 3?, ¿y 5?d) ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?


• En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen almenos una característica en común se denomina población. Una muestra es una parte osubconjunto de la población.

• Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de loselementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden sercuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos encategorías que no se pueden expresar con números).

• La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra. La razónentre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra es la frecuencia relativa.

• Las medidas que describen un valor central que representa a un grupo de observaciones sedenominan medidas de tendencia central. Estas son: la media aritmética (x⎯ ), la mediana y lamoda (Mo).

• Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir elresultado por el número total de observaciones.

• La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan lamayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

• El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida queaumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llamaprobabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1.


134 Unidad 5

Para discutir

• ¿Qué puedes deducir del intervalo 2 (5 - 8)?• ¿Cuántos alumnos o alumnas tienen 12 primos o menos?, ¿por qué?• Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la

probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos?, ¿y de que tenga8 primos, o menos?

En la situación anterior, se puede deducir del intervalo 2, que existen6 estudiantes que tienen entre 5 y 8 primos.

También, es posible observar que si sumamos el número deestudiantes de los intervalos 1, 2 y 3, hay 28 alumnos o alumnas quetienen 12 primos o menos. Este valor corresponde a la frecuenciaabsoluta acumulada hasta ese intervalo.

Por otro lado, si preguntamos a un alumno o alumna cualquiera deese colegio que cursa 8º Básico, cuál es la probabilidad de que tengaentre 25 y 28 primos, esta se puede obtener calculando la razónentre su frecuencia absoluta por el total de observaciones, es decir:

� 0,04

Esta razón es la frecuencia relativa. Otra manera de representar estevalor es con porcentajes: si multiplicamos el resultado anterior por100, se obtiene que la probabilidad de tener entre 25 y 28 primos esigual a un 4%.

Interpretación de tablas de frecuencias

Completa la tabla que muestra el número de primos que tienen losy las estudiantes de los 8º Básico de un colegio.

Intervalo(i)

Nº de primos

Frecuenciaabsoluta

F. absoluta acumulada

Frecuencia relativa

F. relativa acumulada

1 1 - 4 4 4 � 0,06

2 5 - 8 6 10 � 0,09

3 9 - 12 18

4 13 - 16 20

5 17 - 20 12

6 21 - 24 5

7 25 - 28 3

8 29 - 32 2

470

670

370

Unidad 5

Actividades

Ahora, la probabilidad de tener 8 primos o menos, es igual a lasuma de frecuencias relativas hasta 8, es decir, 0,06 + 0,09 = 0,15.

Luego, un 15% de los alumnos y las alumnas tiene 8 primos, omenos. Llamamos a ese valor frecuencia relativa acumulada.

1. Responde la siguientes preguntas observando la tabla de la página anterior.

a) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 20 primos?, ¿cómo lo calculaste?b) ¿Cuántos estudiantes tienen 25 primos o más?, ¿por qué?c) Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre

9 y 12 primos?, ¿y 16 primos o menos?

2. Una encuesta referida al día en que 60 personas eligen para ir al cine, dio los siguientesresultados. Completa la tabla.

• La frecuencia absoluta acumulada en el intervalo i es la suma de las frecuencias absolutasobservadas hasta el intervalo i. Se escribe Fi.

• La frecuencia relativa de la categoría i corresponde a la probabilidad de pertenecer a esacategoría. Lo calculamos dividiendo la frecuencia absoluta (f i) por el total de datos de lamuestra. Denotamos este valor por hi.

• La frecuencia relativa acumulada en la categoría i, es la probabilidad de observar un valormenor o igual al mayor valor que toma la variable en estudio en ese intervalo. Lo calculamosdividiendo Fi por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por Hi.

No olvides que...

Datos y azar 135

DíaFrecuencia

absoluta (f i)Frecuencia absoluta

acumulada (Fi)Frecuencia

relativa (hi)Frecuencia relativa

acumulada (Hi)Lunes 5

Martes 7

Miércoles 10

Jueves 3

Viernes 13

Sábado 14

Domingo 8

136 Unidad 5

Para discutir

• ¿Es posible agrupar los datos en intervalos o clases?, ¿cómo?• ¿Cuántos pacientes tienen mediciones menores o iguales que

150 mg/dl?• Si consideramos a las personas que tienen una concentración de

colesterol en la sangre de 200 mg/dl o menos, con bajo riesgocardiovascular y las que tienen colesterol mayor, con riesgo,¿cuántas personas podrían sufrir un evento cardiovascular?

En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además,el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquelloscon similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlosen intervalos o clases.

El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valordel rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener. Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta:

= = 49

Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo).La tabla de frecuencias correspondiente es:

Construcción de tablas para datosagrupados

Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron unexamen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Losresultados obtenidos fueron los siguientes:

184 115 53 174 222 156 185 78

98 80 60 177 228 189 181 194

120 78 100 258 190 166 207 200

184 198 191 175 214 211 206 199

199 206 218 51 296 155 195 96

Glosario rango: diferencia entre el mayory menor valor de una variable.

296 – 515

2455

Nivel decolesterol

F. absoluta (f i)

F. absoluta acumulada(Fi)

F. relativa (hi)

51 - 100 9 9 9 : 40 = 0,225

101 - 150 2 11 2 : 40 = 0,05

151 - 200 19 30 19 : 40 = 0,475

201 - 250 8 38 8 : 40 = 0,2

251 - 300 2 40 2 : 40 = 0,05

Datos y azar 137

Actividades

1. En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entrabanentre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultadosobtenidos fueron los siguientes:

a) Construye una tabla de frecuenciascuyos datos estén agrupados en ocho intervalos.

b) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen entre 31 y 40 años?c) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen 60 o menos años?d) ¿Cuál es la probabilidad de, que al elegir al azar a una persona consultada, esta tenga entre

11 y 20 años?

2. Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas queun grupo de personas realiza durante el día.

0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos.b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?c) ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas?d) ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos?e) ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diarias?

• Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio,es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases.

• La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

No olvides que...

Unidad 5

Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienenmediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamosla frecuencia absoluta acumulada.

Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un eventocardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa.

15 73 1 65 16 3 42

36 42 3 61 19 36 47

30 45 29 73 69 34 23

22 21 33 27 55 58 17

4 17 48 25 36 11 4

54 70 51 3 34 26 10

138 Unidad 5

Para discutir

• ¿Es posible determinar un puntaje “representante” de cadaintervalo?, ¿cuál es ese valor?

• Utilizando el “representante” de cada intervalo, ¿puedes calcularel promedio de puntaje obtenido en el cuestionario por los y lasestudiantes?, ¿cómo lo harías?

• ¿En qué categoría se encuentra el promedio obtenido?

Media aritmética para datos agrupados

La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra lapuntuación obtenida por 1500 estudiantes de 5º a 8º Básico enuna encuesta de 65 preguntas acerca de su desempeño duranteel año.

Como podemos observar en la situación anterior, los datos estánagrupados en intervalos. Para calcular el promedio en estos casos,primero, se busca un representante de cada intervalo o clase. Esterepresentante es el promedio de los extremos del intervalo, y seconoce como marca de clase. Observa y verifica los valores obtenidos:

Luego, el promedio se calcula sumando los productos de cadamarca de clase por su frecuencia absoluta respectiva (cantidad dealumnos y alumnas), y dividiendo por el total de estudiantes, es decir:

= = 22,67

Entonces, el promedio es 22,67. Esto significa que, en promedio, los alumnos y las alumnas consideran que su nivel de desempeño es “regular”.

Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente

Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65

Frecuenciaabsoluta

350 400 420 200 80 50

Categoría Muy bajo Bajo Regular Bueno Muy bueno Sobresaliente

Puntaje 0 - 10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65

Marca de clase 5 16 27 38 49 60

Frecuenciaabsoluta

350 400 420 200 80 50

5 • 350 + 16 • 400 + 27 • 420 + 38 • 200 + 49 • 80 + 60 • 501500

34 0101500

Datos y azar 139

Actividades

• La marca de clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promediode los extremos del intervalo.

• Podemos calcular la media aritmética (x⎯ ) para datos agrupados, sumando todos los productosde marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el númerototal de datos, es decir:

x⎯ =

• Para datos agrupados la media aritmética que se obtiene al calcular corresponde a unaestimación de la media aritmética real.

No olvides que...

1. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la cantidad de horas diarias que ungrupo de personas utiliza Internet.

4, 2, 5, 7, 6, 6, 4, 3, 5, 10, 7, 8, 8, 4, 2, 4, 12, 13, 3, 111, 12, 8, 10, 9, 13, 2, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 4, 2, 10, 12, 13, 5, 8

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en tres intervalos.b) ¿Cuántas personas usan Internet 10 horas diarias, o menos?c) ¿En promedio cuántas horas usan Internet al día?

2. Los alumnos y las alumnas de 8º Básico realizaron una prueba de 24 preguntas. En la siguientetabla aparece el número de respuestas correctas obtenidas.

a) Completa la tabla de frecuencias.b) ¿Cuántos alumnos y alumnas tuvieron 14 o menos respuestas correctas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o alumna tenga 20 o más respuestas correctas?d) Calcula e interpreta la media aritmética.

Unidad 5

suma (marca de clase • frecuencia absoluta)total de datos

Nº de respuestascorrectas

Marca de clase

(f i) (Fi) (hi) (Hi)

0 - 4 3

5 - 9 8

10 - 14 15

15 - 19 15

20 - 24 4

Total estudiantes:

140 Unidad 5

Para discutir

• ¿Cuál es el intervalo que agrupa la menor cantidad de personal?• ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia absoluta?• ¿Podrías estimar la edad que más se repite o representar la moda

en esta situación?, ¿cómo lo harías?

En la situación anterior, observamos que la cantidad menor depersonas tiene entre 20 a 25 años.

Por otra parte, el intervalo que presenta la mayor frecuenciaabsoluta o intervalo modal, corresponde a 32 - 37.

Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir lossiguientes pasos:

1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con unafrecuencia de 45 personas.

2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior yposterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anteriorcorresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y elintervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas.

3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y lafrecuencia del intervalo anterior (d1). Entonces, tenemos que, 45 – 30 = 15.

4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y lafrecuencia del intervalo posterior (d2). Entonces, tenemos que,45 – 40 = 5.

5º Obtener el tamaño de los intervalos (t ; debe ser constante).La amplitud de los intervalos es 5.

Moda para datos agrupados

En una empresa, las edades del personal se resumen en lasiguiente tabla. Observa y completa.

Edades (en años) Marca de clase Frecuencia absoluta

20 - 25 25

26 - 31 30

32 - 37 45

38 - 43 40

44 - 49 35

50 - 55 30

Datos y azar 141

Unidad 5

• Para obtener la moda (Mo) para datos agrupados, podemos utilizar la expresión:

Mo = Li + • t

Li: extremo inferior del intervalo modal.d1: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo anterior.d2: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo posterior.t: amplitud de los intervalos.

• Para datos agrupados la moda que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de la moda real.

No olvides que...

6º Obtener el número que representa el extremo inferior delintervalo modal (Li ). En el ejemplo es 32.

Luego, el cálculo de la moda (Mo) se puede obtener por mediode la expresión:

Mo = Li + • t

En la situación anterior, el valor aproximado de la modacorresponde a 36, ya que:

Mo = 32 + • 5 = 35,75

Esto significa que una estimación de la edad más repetida por elpersonal de la empresa es de 36 años.

Actividades

1. A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnasde un curso: 4,4 5,5 5,0 4,9 5,9 6,0 4,2 6,8 7,0 6,1 7,0 3,7 4,5 4,8 6,3 4,1, 3,45,3 5,0 6,0 2,6 3,8 4,0 2,0 5,6 6,7 6,0 4,9 3,3 7,0 6,3 5,0

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos. b) Determina la media aritmética y moda. Interpreta los valores obtenidos.

2. Las estaturas de los y las estudiantes de un 8º Básico se resumen en la siguiente tabla. Complétala.

• Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

d1

d1 + d2

d1

d1 + d2

1515 + 5

Estatura (m) Frecuencia absoluta Marca de clase1,40 - 1,47 3

1,48 - 1,55 12

1,56 - 1,63 22

1,64 - 1,71 6

1,72 - 1,79 2

142 Unidad 5

Para discutir

• ¿Qué información se necesita en este caso?• ¿Existe una forma de obtener la información necesaria?, ¿cuál?• Si se realizara una investigación respecto de los efectos

posvacunación, ¿es posible estudiar a toda la población vacunada?,¿por qué?

En el caso anterior, para pedir las vacunas se necesita saber lacantidad total de población que hay en Chile, entre los 0 y 4 años, y mayor que 65 años.

Existe un estudio a través del cual podemos obtener estainformación: el Censo.

En Estadística, se conoce como Censo al recuento de todos losindividuos que conforman una población. Un caso particular es elCenso de población y vivienda, cuyo objetivo es determinar elnúmero de personas que componen un grupo (normalmente todoel país). En él se realiza la enumeración de los habitantes de un paíspor sexo, edad, distribución geográfica y características socio-económicas. En Chile, se realiza aproximadamente cada 10 años.

A su vez, hay otros tipos de situaciones que necesitan deinformación que no es entregada por el Censo. En ciertos casos, noes necesario, o bien, no es posible estudiar a toda la población encuestión, pues sería muy costoso. En estos casos se toma unamuestra de la población para llevar a cabo el estudio y, a partir desus características, se deduce el comportamiento de la población.

Censo y muestreo

El Ministerio de Salud está planificando unacampaña de vacunación contra un virusrespiratorio. Debe pedir vacunas allaboratorio, pero no sabe cuántas encargar.Se considera que la población de mayorriesgo son los niños entre 0 y 4 años, y losadultos mayores, entre 65 años y más.

Datos y azar 143

Actividades

1. Pía controla dos máquinas embotelladoras (A y B), en una fábrica de bebidas. Los estándares decalidad establecen que cada botella debe contener 660 cc de bebida, con una desviación de 5 cc.Cada día se envasan 2160 botellas, organizadas en lotes de 40 botellas, cada uno.

a) ¿Cómo puede Pía garantizar que se están cumpliendo los estándares de calidad?, ¿es conveniente analizar diariamente las 2160 botellas?, ¿por qué?

b) Pía decide que, para validar que se estén cumpliendo los estándares de calidad, seleccionaráuna muestra de dos botellas de cada lote producido. Observa:

• Calcula la media aritmética y moda de las muestras de cada máquina. Interpreta losresultados obtenidos en cada caso. ¿Qué le recomendarías a Pía?

• El Censo es un estudio que permite conocer la cantidad de habitantes que pertenece a unapoblación, y sus características.

• Cuando las poblaciones son muy grandes y se quieren estudiar solo algunas de suscaracterísticas, se selecciona una muestra y, a partir de sus características, se deduce elcomportamiento de la población. Dicha muestra debe ser representativa de la población.

• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño deesta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

No olvides que...

Unidad 5

Tabla de frecuencias Máquina A Tabla de frecuencias Máquina B

cc 650 652 658 660 658 659 660 661

Frecuencia absoluta 17 27 6 4 1 19 23 11

En esta actividad, deberán utilizar Internet para averiguar información respecto del Censo 2002.Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Investiguen acerca de la información que pueden obtener a partir del Censo 2002. Para ello,ingresen a la página web del INE: www.ine.cl y en Microdatos, Censos de Población, Censo 2002,Datos Tabulados, allí pueden acceder a los datos del estudio. Identifiquen tres variablesobservadas y comenten situaciones donde podría ser de utilidad manejar dicha información.

2. Seleccionen una muestra representativa para calcular e interpretar la media aritmética y la moda,respecto del nivel de instrucción de la población y el último curso aprobado.

3. Propongan un plan para los casos donde la información no se puede obtener del Censo.

En equipo

144 Unidad 5

Para discutir

• ¿Cómo representarías la información en gráficos?• ¿Cómo interpretarías la información que los gráficos entregan?• ¿Qué pasos crees que debes seguir para realizar una encuesta que

te permita obtener conclusiones?

Análisis de encuestas

Los profesores de educación física de un colegio, que tiene un totalde 1200 estudiantes, decidieron realizar un sondeo sobre loshábitos deportivos de sus alumnos y alumnas. Elaboraron una pautapara diseñar la encuesta y sacar conclusiones de ella.

Se encuestó a 120 alumnos y alumnas escogidos al azar. Observa losresultados que se muestran en las tablas y complétalas.

Edad (años) Marca de clase (f i) (Fi) (hi) (Hi)

5 - 8 22

9 - 12 17

13 - 16 39

17 - 20 42

Distribución de los alumnos y alumnas por edad

Horas Marca de clase (f i) (Fi) (hi) (Hi)

2 - 6 56

7 - 11 29

12 - 16 23

17 - 21 12

Cantidad de horas semanales que destinan a hacer ejercicios

Actividad (f i) (Fi) (hi) (Hi)

Andar en bicicleta 48

Jugar fútbol 21

Trotar 24

Nadar 12

Otro 15

Actividad deportiva preferida

Datos y azar 145

Unidad 5

La información recolectada en las tablas anteriores se puederepresentar en los siguientes gráficos. Observa:

De los gráficos anteriores, podemos interpretar que: la mayor partede los alumnos y alumnas encuestados es mayor de 12 años; lamayoría de los y las estudiantes dedica 11 horas o menos a laactividad deportiva, y solo el 10% realiza por lo menos 17 horas deejercicios; la actividad preferida por los alumnos y alumnas es andaren bicicleta.

Para diseñar una encuesta que te permita recolectar información,interpretarla y sacar conclusiones, en primer lugar, debes establecerlos objetivos de estudio y la población a quien está dirigida; luego,seleccionar una muestra representativa de la población. En segundolugar, plantear un cuestionario que responda a los objetivos deestudio y recolectar la información en tablas. En tercer lugar,representar en gráficos la información obtenida e interpretarlos.

Por último, presentar las conclusiones del estudio.

10

20

30

40

50

5 - 8 9 - 12 13 - 16 17 - 20Años

Nº de estudiantes

10

20

30

40

50

60

2 - 6 7 - 11 12 - 16 17 - 21Horas

Nº de estudiantes

Tiempo en horas que dedicansemanalmente al deporte

Edad de los y las estudiantes

• Las encuestas aplicadas a una muestra son una manera útil de obtener información cuandono podemos acceder a ella desde el total de la población.

• Los pasos que se recomiendan para realizar una encuesta son:

1º Establecer objetivos, población y muestra.2º Plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y agrupar los datos en

tablas de frecuencias.3º Representar la información en gráficos e interpretarlos.4º Presentar las conclusiones.

No olvides que...

Actividad deportiva preferida

4821

2412

15

Bicicleta

OtrosNadarTrotar

Fútbol

Actividades

1. Los siguientes resultados fueron obtenidos de la Sexta Encuesta Nacional de Juventud, 2009(Instituto de la Juventud, Gobierno de Chile) y se refieren a la realidad juvenil del país. Observalas tablas y responde las preguntas relacionadas.

A.

B.

a) ¿Qué tramo etario tiene mayor presencia entre los jóvenes que estudian?, ¿por qué?b) ¿Existe una brecha entre la juventud urbana y rural que estudia?, ¿por qué?c) ¿Quién tiene mayor nivel de endeudamiento entre los jóvenes? Justifica tu respuesta.d) ¿Entre qué edades se encuentran los jóvenes con mayor endeudamiento?, ¿por qué crees

que puede ocurrir?

146 Unidad 5

Grupos de edad(años)

% de jóvenes que estudian

15 – 19 79,9%

20 – 24 44,5%

25 – 29 19,8%

Zona % de jóvenes que estudian

Urbano 51,5%

Rural 36,4%

Jóvenes que hoy estudian, según edad y localidad

Sexo

Hombre Mujer

Sí 48,5% 54,2%

No 48,2% 40,6%

No responde 3,3% 5,2%

Situación de endeudamiento, según sexo y edad

Edad

15 - 19 20 - 24 25 - 29

Sí 16,7% 50,8% 57,6%

No 69,9% 45,7% 40,0%

No responde 13,3% 3,5% 2,4%

Fuente: www.fundacionfuturo.cl, consultado en enero de 2010.

En esta actividad deberán investigar sobre las actividades realizadas durante el tiempo libre y eltiempo dedicado a ello. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Inventen un nombre para su encuesta. Luego, establezcan los objetivos de esta.2. Determinen a quiénes está dirigido el estudio. Seleccionen la muestra de, al menos 40 personas.

Indiquen la fecha en que se realizó la encuesta.3. Diseñen un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Este puede considerar aspectos

como: edad, sexo, días que dedica para ocio, etc. Previo a su aplicación, se deben mencionarlas posibles respuestas. Indiquen cómo se llevó a cabo: por teléfono, Internet o cara a cara.

4. Recolecten y ordenen la información obtenida en tablas de frecuencias, indicando el nombre decada una.

5. Representen la información en gráficos, interpretando la información que ellos entregan.6. Presenten las conclusiones al resto del curso.

En equipo

Datos y azar 147

Unidad 5

En esta actividad deberás usar una planilla de cálculo para construir tablas de frecuencias con datosagrupados en intervalos. Sigue las instrucciones.

1º Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.

2º Ingresa los siguientes datos en la columna Datos, que corresponden al número de pasajerosque en los últimos días tomó un bus de Santiago a Puerto Montt.

3º Selecciona todos los datos desde A2 hasta A43; ordénalos de menor a mayor, haciendo

clic en . 4º Observa que el dato menor es 48, y el mayor es 102. Por lo tanto, el rango es 54. Agrupa los

datos en 6 intervalos. Cada intervalo es de amplitud 9. Escribe en la columna Intervalos, lasclases correspondientes partiendo por 45 - 54; en la columna Marca de clase, escribe lainformación correspondiente.

5º Con la ayuda de una función, determinaremos la frecuencia absoluta acumulada de cadaintervalo. Para el intervalo 45 - 54, haz un clic en la celda D2 y escribe la función:=CONTAR.SI(A2:A43; “<55”), luego, presiona enter. Para el intervalo 55 - 64, haz clic en lacelda D3 y escribe la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<65”), luego, presiona enter. Repite elprocedimiento hasta el último intervalo.

6º La frecuencia absoluta de cada clase se puede calcular restando las frecuencias acumuladasconsecutivas. Por ejemplo, la frecuencia del intervalo 95 - 104 es igual a la frecuenciaacumulada de dicho intervalo, menos la frecuencia acumulada del intervalo anterior; es decir:42 – 39 = 3. Así, hasta obtener la frecuencia de cada intervalo.

7º Para calcular la frecuencia relativa de cada intervalo, haz clic en F2 y escribe la función: =E2/42, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. Deberías obtener:


68 71 77 83 79 80 48

72 74 57 67 69 84 102

50 60 75 66 76 91 80

70 84 59 75 94 101 63

65 72 85 79 71 86 69

83 84 74 82 97 51 78

148 Unidad 5

8º Para determinar el promedio, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G1 yescribe la función: =PROMEDIO(A2:A43). Luego, presiona enter.

9º Para determinar la moda, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G2 yescribe la función: =MODA(A2:A43). Luego, presiona enter.

Luego de realizar los pasos anteriores, haz la siguiente actividad en una nueva planilla de cálculo.

1. Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 60 alumnos y alumnas de un colegiode Concepción:

2. Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada,en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa.

3. Ingresa la información en la columna Datos. Luego, selecciónalos desde A2 hasta A61 y

ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en .4. Calcula el rango para agrupar los datos en 7 intervalos. Escribe en la columna Intervalos, las

clases correspondientes. En la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente.5. Determina la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer

intervalo es 34 - 41, debes ingresar, en la celda D2, la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<42”) y presionar enter. Repite el procedimiento hasta el último intervalo.

6. Calcula la frecuencia absoluta de cada intervalo, restando las frecuencias acumuladas decada clase y la anterior, salvo la primera.

7. Calcula la frecuencia relativa de cada intervalo, haciendo clic en F2 y escribiendo la función:=E2/60, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho ycuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer lasfrecuencias relativas correspondientes.

8. Determina el promedio haciendo clic en la celda G1 y escribe la función:=PROMEDIO(A2:A61). Luego, presiona enter.

9. Finalmente, determina la moda haciendo clic en la celda G2 y escribe la función:=MODA(A2:A61). Luego, presiona enter.

10. En tu cuaderno, interpreta los resultados obtenidos en los puntos 8 y 9. Determina einterpreta la frecuencia relativa porcentual de cada intervalo.

45 74 81 49 56 50 59 80 75 60

51 36 66 52 67 54 56 44 63 85

40 85 59 50 60 41 52 57 64 79

38 72 48 62 70 39 50 67 50 59

55 70 39 55 73 80 65 77 55 56

69 65 38 54 82 50 63 74 54 43

Mi progreso

Unidad 5

Datos y azar 149


Analizar una tabla de frecuencias con datos agrupados. 1

Determinar la media aritmética de una tabla con datos agrupados. 2

Determinar la moda de una tabla con datos agrupados. 3

Construir una tabla con datos agrupados y analizarla. 4


1. En una clase de Educación Física, los alumnos y las alumnas del 8ºA, 8ºB y 8ºC realizaron una carreradesde el colegio hasta una plaza cercana, ida y vuelta. Los profesores de la asignatura registraron eltiempo de llegada de cada estudiante, y organizaron la información en la siguiente tabla:

• ¿Qué porcentaje de los y las estudiantes tardó 31 minutos o menos en llegar?

A. 20% C. 53%B. 27% D. 73%

2. En la situación anterior, ¿en promedio, cuántos minutos tardaron en llegar a la meta?

A. 27 min aprox. B. 47 min aprox. C. 25 min aprox. D. 37 min aprox.

3. En la tabla presentada en el ítem 1, el valor aproximado de la moda corresponde a:

A. 28,6 min B. 25,3 min C. 26,6 min D. 26 min

4. En una empresa hay 280 trabajadores. Para realizar un estudio respecto del nivel de satisfacción delpersonal, se consideró una muestra que es igual al 10% de la población. Los resultados de laencuesta se expresan y se muestran a continuación:

4, 12, 15, 20, 25, 2, 6, 18, 20, 23, 11, 5, 16, 232, 9, 13, 19, 25, 24, 15, 3, 6, 6, 10, 20, 21, 30

a) Construye una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos.b) Si las categorías de los intervalos son: “No conforme”, “Medianamente conforme”,

“Conforme” y “Muy conforme”, ¿qué porcentaje de trabajadores se encuentra “Muy conforme”?c) Determina e interpreta la media aritmética y la moda.



Tiempo de llegada(minutos)

Nº alumnos yalumnas

10 - 20 28

21 - 31 74

32 - 42 38

150 Unidad 5

Para discutir

• La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ¿por qué?• Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán?• Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas

categorías existirán?• Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas,

¿cuántas categorías existirán?

Efectivamente, la situación que observó Camila corresponde a unexperimento aleatorio, pues si bien sabe cuál puede ser el color delauto que pasará o su número de puertas, no sabe con exactitudcómo será el auto.

Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espaciomuestral es Ω = �rojo, azul, verde, gris�. En consecuencia, el tamañodel espacio muestral es 4.

Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es Ω = �3, 4, 5�. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3.

Si observa color y número de puertas, conviene realizar undiagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral, como semuestra a continuación:

Si contamos el total de ramas, vemos que hay 12, es decir, hay 12 maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas.

Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12.

Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores deautos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.

Espacio muestral y principiomultiplicativo

Camila se encuentra en una plaza mirando el color de los autosque van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verdey gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene,y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.

3

4

5

3

4

5

3

4

5

3

4

5

Rojo Azul Verde Gris

Ayuda

Recuerda que aquellassituaciones en que no sepuede predecir con certezacierto resultado se denominanexperimentos aleatorios.

Datos y azar 151

Actividades

1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos e indica su tamaño.

a) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 5.b) Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 2 ó 3.c) Lanzar dos dados, uno rojo y uno verde.d) Lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos.

2. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que: puede levantar los cimientos deconcreto o block de cemento; las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techopuede ser de concreto o lámina galvanizada; y por último, los acabados los puede realizar de unasola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?, ¿cómo lo supiste?

3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras dedoble sentido. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al C y de regreso al pueblo A?Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

4. En el casino de una Universidad a la hora de almuerzo se ofrece un menú con plato de fondo,bebida o jugo y postre. Las opciones del plato de fondo son: arroz con carne, puré con pollo olegumbre. De postre puede ser: helado, jalea, flan o fruta.

a) ¿Cuántas opciones de menú se pueden escoger?b) ¿Cuáles son todas las posibilidades de menú? Anótalas en tu cuaderno.

• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espaciomuestral (Ω).

• La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.

• El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y esseguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras deque puedan ocurrir ambos simultáneamente.

No olvides que...

El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo,el cual establece que si un evento puede ocurrir de m manerasdistintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro quepuede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, querepresenta la cantidad de puertas), entonces hay m • n manerasde que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el casoanterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).

Unidad 5

152 Unidad 5

Para discutir

• El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?,¿por qué?

• ¿Cuál es el espacio muestral en este caso?• ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?

En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es unexperimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemoscuál será el resultado.

El espacio muestral de este experimento corresponde a:

Ω = �Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto, Rosita�, ya que,

son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar

el sorteo.

Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la mismaprobabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecidoo desfavorecido con el sorteo.

Cuando sucesos elementales tienen la misma probabilidad deocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.

Sucesos equiprobables

Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto yRosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca dealgunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo loobservado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía enanotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno,sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.

Glosario sucesos elementales:corresponden a cada uno de losresultados de un espacio muestral.

• Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que lossucesos son equiprobables.

No olvides que...

Datos y azar 153

Unidad 3Actividades

1. Dados los siguientes experimentos, escribe el espacio muestral de cada uno y, luego, determina si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión.

a) Extraer, sin mirar, una bolita de una caja que contiene tres blancas y dos rojas y observar su color.

b) Lanzar una moneda.c) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños.d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés y observar su pinta.e) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares.

2. Romina dice: si en un experimento los sucesos elementales están en igualdad de condiciones,entonces hablamos de sucesos equiprobables. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?

3. Carlos dice: si un experimento no es aleatorio, entonces los sucesos no tienen la mismaprobabilidad de ocurrir. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?

Unidad 5

En esta actividad, deberán utilizar una bolsa, hojas blancas, regla, tijeras y lápices rojo, azul y amarillo.Junto a un compañero o compañera, realicen el siguiente experimento.

1. Recorten 9 rectángulos de papel de 3 cm por 5 cm.2. Pinten 3 papeles de color rojo, 2 de color azul y 4 de color amarillo. Luego, deposítenlos en la

bolsa doblados de igual forma.3. Extraigan un papelito, sin mirar. Registren en una tabla (en sus cuadernos) el color del papelito

que sacaron y obtengan su frecuencia absoluta. Vuelvan a meter el papelito en la bolsa.4. Realicen la misma extracción 50 veces, registrando los resultados obtenidos en la tabla.5. Repitan lo mismo para 100 extracciones y, luego, respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?b) ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? Expliquen.

En equipo

154 Unidad 5

Para discutir

• ¿Los resultados de la elección corresponden a sucesosequiprobables?, ¿por qué?

• ¿Podrías calcular la probabilidad de escoger a Daniela comopresidenta?, ¿cómo lo harías?

• ¿La probabilidad de que una mujer sea presidenta es de 60%?, ¿o es de 0,6?, ¿cuál es la correcta?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cómo obtienes la probabilidad de que ocurra un suceso?, ¿sepuede expresar de diversas formas?, ¿cómo?

Como puedes observar, en la situación anterior, todos los candidatostienen la misma probabilidad de salir electos, por lo que podemosdecir que los resultados corresponden a sucesos equiprobables.

Cuando esto sucede, la probabilidad se puede obtener medianteuna fracción, donde su numerador representa el número de casosfavorables, mientras que el denominador representa a todos losposibles resultados. Por ejemplo:

• La probabilidad de escoger a Daniela de presidenta es , puescorresponde a un candidato de un total de 5.

• La probabilidad de escoger a una mujer presidenta corresponde

a , pues son 3 las mujeres, de un total de 5 candidatos.

• También podemos decir que, la probabilidad de que una mujer sea presidenta es 0,6 ó 60%, ya que entregan la mismainformación, mediante distintas representaciones: fracción,número decimal y porcentaje, respectivamente.

Regla de Laplace

En un curso se realizará la elección de presidente, entre lossiguientes candidatos:

Cada estudiante del curso puede votar por un solo candidato.

15

35

Ayuda

Una fracción se puederepresentar como númerodecimal y como porcentaje. Por ejemplo:

= 0,25 = 25%14

Datos y azar 155

Actividades

1. Dado el siguiente experimento: “poner en una caja las letras de la palabra PARALELEPÍPEDO, y sacar una”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada caso.Calcula su probabilidad expresándola como fracción, número decimal y porcentaje.

a) Obtener una vocal. b) Obtener una consonante. c) Obtener una P.

2. Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultadosfavorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola comofracción, número decimal y porcentaje.

a) Obtener un número impar.b) Obtener un número menor o igual a 5.c) Obtener un número mayor que 5.

3. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar, una bolita. Calcula la probabilidad de:

a) extraer una bolita de color verde.b) extraer una bolita que no sea de color verde.c) extraer una bolita que no sea de color rojo.d) extraer una bolita que no sea de color azul.

• La probabilidad de un suceso A, se denota por P(A).

• Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad deocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puedecalcular utilizando:

P(A) =

Ejemplo:

Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es deó 0,5 ó 50%, ya que,Suceso A: obtener un número que sea primoCasos favorables: �2, 3, 5� 3 casos favorablesCasos totales: �1, 2, 3, 4, 5, 6� 6 casos totales

P(A) = = ó 0,5 ó 50%

No olvides que...

Unidad 5

número de casos favorables al suceso Anúmero de casos totales

12

36

12

156 Unidad 5

En esta actividad deberán usar una planilla de cálculo para simular el lanzamiento de un dado. Sigue lassiguientes instrucciones.

1º Seleccionar la secuencia Herramientas - Complementos -Herramientas para análisis; haz clic en Aceptar.

2º Selecciona nuevamente Herramientas y, luego, en lasecuencia , Análisis de datos - Generación de númerosaleatorios, haz clic en Aceptar. Aparecerá una tabla en la que simularemos el lanzamiento de un dado.

3º En Número de variables debes poner 1, al igual que enCantidad de números aleatorios, pues estamos simulando el lanzamiento de un dado.

4º En Distribución debes seleccionar Uniforme; esto significaque los sucesos son equiprobables.

5º En Parámetros, anota entre 1 y 6, pues son los valores que se pueden obtener al lanzar el dado.6º En Opciones de salida, selecciona Rango de salida y escribe A1 (como se observa a

continuación), que corresponde a la celda de la planilla donde quedará el dato.7º Finalmente, haz clic en Aceptar. Observa que el número obtenido no es entero, por lo tanto

debemos utilizar una función que redondee el número, de tal forma que aparezca 1, 2, 3, 4,5 ó 6. Escribe la siguiente función en la celda B1: =REDONDEAR(A1;0). A1 corresponde a lacelda donde está el número que queremos redondear, y 0 es la cantidad de decimales queconsideramos; en nuestro caso, necesitamos solo números enteros. Luego, presiona enter.Aparecerá el número equivalente al lanzamiento de un dado. Por ejemplo:

8º Repite el mismo procedimiento para simular más lanzamientos, pero en Rango de salida escribe A2, A3, …, hasta A20. Además, redondea cada número obtenido, cambiando la celda donde está el número a redondear. Por ejemplo: =REDONDEAR(A2;0), hasta B20.Obtendrás algo similar a la imagen de la derecha.

Luego de realizar los pasos anteriores, construye, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias paraesta situación y responde:

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 3?, ¿cuál es la probabilidad deque salga 3?, ¿se relacionan ambos valores?

b) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?, ¿los resultados son equiprobables?, ¿por qué?c) En una nueva planilla repite el mismo procedimiento hasta las celdas A50 y B50. ¿Qué sucede

con la frecuencia relativa y la probabilidad en cada caso?


Mi progreso

Unidad 5


Identificar el espacio muestral en un experimento aleatorio. 1

Determinar la cardinalidad de un espacio muestral. 2

Analizar situaciones donde los resultados pueden o no serequiprobables.

3

Identificar el espacio muestral, su cardinalidad y calcular laprobabilidad de una situación.

4


1. El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda (C: cara, S: sello) y un dado deseis caras”, es:

A. Ω = �C1, S2, C3, S4, C5, S6�B. Ω = �C, S, 1, 2, 3, 4, 5, 6�C. Ω = �C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6�D. Ω = �C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6, C, S�

2. Considera el experimento: “lanzar un dado dos veces”. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

A. 4 B. 11 C. 12 D. 36

3. Determina si en cada experimento los sucesos son equiprobables. Explica tu decisión.

a) Lanzar un dado dos veces y sumar los resultados.b) Lanzar una moneda al aire.c) Sacar, sin mirar, una bola de una urna que tiene 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas.d) Escoger una persona al azar, de un curso con 15 niños y 15 niñas.

4. Eduardo tiene 5 poleras de distintos colores (amarilla, azul, blanca, negra y roja) y tres pantalones:uno negro, uno café y uno gris. El fin de semana asistirá a una fiesta y no sabe qué ropa elegir.

a) ¿Cuántas tenidas puede escoger?, ¿cuáles son?b) Si escoge una tenida al azar, ¿cuál es la probabilidad que salga polera blanca y pantalón gris?,

¿cómo lo supiste?



Datos y azar 157


Loreto se está preparando para correr en una competencia anual de su colegio. Para ello,investigó sobre la vida de Felipe, el ganador del último año. La información que obtuvo es la siguiente:

¿Cuál o cuáles de estos gráficos le sirven a Loreto para su preparación física?


Los gráficos corresponden a aspectos de la vida de Felipe.

• ¿Qué debes encontrar?Seleccionar aquellos gráficos cuya información le sirva a Loreto.


Debemos interpretar cada gráfico y sacar conclusiones de ello.

Resolver• Interpretamos cada uno de los gráficos.

En el gráfico 1, observamos que cada lunes, Felipe entrena 1 hora 40 minutos. Los martes, 2 horas con 5 minutos; los miércoles 2 horas y media; los jueves 3 horas con 20 minutos, y los viernes, 2 horas y media.El gráfico 2, nos dice que el 57% de los días de una semana, es decir 4 días, Felipe duerme 8 horas; el 29% de los días duerme 10 horas, que equivale a dos días; y un 14% de los díasduerme 7 horas, es decir un día de la semana.El gráfico 3, nos dice que Felipe tiene 2 hermanos, uno de 10 y otro de 8 años, y unahermana de 5 años.

Responder• Los gráficos 1 y 2 le sirven a Loreto para imitar a Felipe y comenzar a entrenar. En cambio,

la información obtenida del gráfico 3 no es relevante para su preparación.

158 Unidad 5

Tiempo en minutos que entrenadiariamente

Horas que duerme diariamente

Edad de sus hermanos

50

108

5100

150

200

Tiempo (minutos)

Día

10 horas (29% de los días)

Lune

s

Martes

Miércol

esJue

ves

Vierne

s

7 horas (14% de los días)

57% de los díasduerme 8 horas

Edad

Hermanos

Unidad 5

Revisar• Para comprobar las interpretaciones de los gráficos 1 y 2, puedes utilizar calculadora

cuando sea necesario.

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver la siguiente situación.

Álvaro necesita información sobre la frecuencia con la que leemos los chilenos. Para obtenerla,recurre a la “Encuesta de Consumo Cultural”, realizada a 600 personas mayores de 18 añospor El Mercurio / Opina, en diciembre de 2009. De allí obtuvo la siguiente información:

• ¿Cuál o cuáles gráficos le sirven a Álvaro para conocer cada cuánto leemos los chilenos?


3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimientoque utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué?

Ana está realizando un estudio comparativo sobre la deserción escolar en Chile a través de losaños. Recurrió al estudio “Estadísticas de Educación, Cultura y Medios de Comunicación”,realizado por el Ministerio de Educación en el año 2008. Allí encontró lo siguiente:

• ¿Cuál gráfico le sirve a Ana para averiguar sobre la deserción escolar?

Datos y azar 159

¿Usted lee libros?¿Usted asiste a obras de teatro?

Alumnos matriculados en la educaciónregular (Incluye educación de adultos)

Alumnos matriculados en la educación regularpor sexo en el año 2007

Asistencia al teatro

No ha asistido en los últimos12 meses

No recuerda en los últimos12 meses

1 vez

De 2 a 5 veces

6 o más vecesNº de personas

100

200

300

400

500

Frecuencia

Nº de personas

Período mayor

Una vez al mes

Una vez por semana

Casi todos los días

Todos los días

30

60

90

120

150

4 250 0004 300 0004 350 0004 400 0004 450 0004 500 0004 550 000

20032004 2006

2005 2007

Nº de alumnos

Año

Nº de alumnos

Región

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII R.M.

100 000200 000

0

300 000400 000500 000600 000700 000800 000

1 000 000900 000

Hombres Mujeres

Para finalizar

160 Unidad 5


2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?

Cone

xion

es




NACIONAL

Internet tiene cada vez más presencia en la vida de todos.

Considerando esto, fue que la empresa AyerViernes realizó el

estudio “Soy Digital 2010”, sobre el consumo de Internet en el

país y cómo este ha cambiado.

El reporte concluyó que los usuarios se conectan principal-

mente por entretención, siendo sus principales actividades revisar

correos electrónicos (93%), buscar información (91%) y leer noticias

(81%).

Otra tendencia, es que el 80,2% de los usuarios ha realizado una compra online, lo que

confirma que es un medio válido para adquirir algo, en su mayoría un artículo tecnológico (65,4%).

También se destaca que el 41,4% cree que la publicidad es invasiva.

Un desafío pendiente para las empresas que prestan servicios online tiene relación con

crear espacios donde se pueda escuchar a los clientes para saber qué ofrecer, cómo y cuándo.

Algunas de las principales tendencias de Internet en Chile

Fuente: Adaptado de www.emol.com/noticias/tecnologia/detalle/detallenoticias.asp?idnoticia=392589Publicado el miércoles 6 de enero de 2010.




1. Hagan un listado de las 5 actividades que consideran principales a la hora de conectarse aInternet. Luego, realicen una encuesta considerando una muestra de 30 personas, querespondan: ¿cuál de estas 5 actividades son las que más utilizas cuando te conectas aInternet?

2. Organicen los resultados obtenidos en una tabla, construyan un gráfico y confronten susresultados con los del estudio “Soy Digital 2010”.

3. ¿Piensan que el estudio “Soy Digital 2010” se realizó mediante censo o muestreo?Justifiquen sus respuestas.

Datos y azar 161

Unidad 5




2. ¿Cómo calculas la media aritmética para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.

3. ¿Cómo determinas la moda para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo.

4. ¿Qué diferencias observas entre el Censo y el muestreo?, ¿qué utilidad tienen?

5. ¿Qué aspectos debes considerar para el diseño de una encuesta? Realiza una encuesta, entu cuaderno, sobre el tema que tú quieras.

6. ¿Cuándo los sucesos son equiprobables? Da un ejemplo.

7. ¿Cómo puedes obtener la cantidad de elementos de un espacio muestral? Da un ejemplo.

8. ¿Cómo determinas la probabilidad de ocurrencia del evento?, ¿de qué formas se puederepresentar? Da un ejemplo.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tucurso e intenten aclararla en conjunto.

TABLAS DE

FRECUENCIA

MEDIA ARITMÉTICA

Y MODA

DATOS NO

AGRUPADOS

DATOS

AGRUPADOS

ESPACIO

MUESTRAL

PROBABILIDAD

SUCESOS

EQUIPROBABLES

REGLA DE

LAPLACE

PRINCIPIO

MULTIPLICATIVO

DATOS AZAR

Síntesis

¿Qué aprendí?

162 Unidad 5

1. La cardinalidad del espacio muestral delexperimento “lanzar cuatro monedassimultáneamente” es:

A. 2B. 6C. 8D. 16

2. En una caja hay 7 bolitas rojas, 10 negras, 9amarillas y 4 azules. Si se extrae una bolita, sinmirar, la probabilidad de que sea amarilla es:

A. 30%B. 70%C. 3%D. 9%

3. Se ha determinado la masa de 100 estudiantesde un colegio, obteniéndose la tabla adjunta.¿Qué porcentaje de estudiantes tiene unamasa menor de 71 kg?

A. 7%B. 20%C. 70%D. 93%

4. De la situación anterior, ¿qué porcentaje deestudiantes pesa más de 60 kg?

A. 28%B. 45%C. 55%D. 93%

5. De la tabla del ítem 3, la frecuencia absolutaacumulada en el intervalo 56 - 60, corresponde a:A. 45B. 30C. 15D. 19

6. De tabla del ítem 3, ¿qué clase tiene laprobabilidad 0,2?

A. 51 - 55B. 66 - 70C. 71 - 75D. 76 - 80

7. De la tabla del ítem 3, el valor aproximado de la moda corresponde a:

A. 58 kgB. 59,6 kgC. 61,6 kgD. 60,5 kg

8. De la tabla del ítem 3, la media aritmética es:

A. 4,11 kgB. 63 kgC. 58 kgD. 61,6 kg


Masas (kg)Nº de

estudiantes

46 - 50 4

51 - 55 11

56 - 60 30

61 - 65 28

66 - 70 20

71 - 75 5

76 - 80 2

Unidad 5

Datos y azar 163

9. El siguiente gráfico, corresponde a una encuesta realizada por el Consejo Nacionalde Televisión, en el año 2009.

• ¿Cuántas personas ven TV abierta 5 días a la semana, o más?, ¿y los que ventodos los días?, ¿qué puedes concluir?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Construcción e interpretación de tablas de frecuenciapara datos agrupados

Media aritmética y moda para datos agrupados

Censo y muestreo

Análisis de encuestas

Espacio muestral y principio multiplicativo

Sucesos equiprobables y regla de Laplace


¿Con qué frecuencia ve TV abierta chilena?

Porcentaje

Frecuencia (TV)10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00% Todos los días

5-6 días a la semana3-4 días a la semana

1-2 días a la semanaMenos de 1 vez a la semana

Nunca o casi nuncaNo sabe / no contesta

Hombres (2419 en total)

Mujeres (2589 en total)

Funciones y relacionesproporcionales

Unidad

6

164 Unidad 6


• Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlas

a través de tablas y gráficos.

• Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlos

para representar variadas situaciones.

• Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones,

e identificar el dominio y recorrido de estas.

• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional.

• Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa.

• Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales

y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos.

• Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.


En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de lapoblación, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporteregularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicoscomo psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y lahipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso,se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de formaregular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan.

La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente.Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde.

1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrerCarlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?

2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demoraaproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento?

3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va enbicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué horallegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana?

4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?

Conversemos de...

¿Cuánto sabes?

166 Unidad 6

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número.b) El doble de la suma de 3 y –8c) La tercera parte del doble de un número.d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número.e) El valor de n paltas a t pesos cada una.f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una.g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno.h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.

2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de lassiguientes figuras.

a) b) c)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12 d) z + 2 = 62

b) 3x – 6 = x + 2 e) 1,4a – 0,72 = 11,28 – 0,6a

c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x f) – 3 = 5 + x

4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos.

a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77.b) La suma de un número y su antecesor es 49.c) La suma de tres números impares consecutivos es 177. d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del

número aumentado en 12.

5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el restodel curso obtuvo nota inferior a 4,0.

a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0?b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba?c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?

37

23

25

s

r

ta + 3

a + 3

y

x

Unidad 6

• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.

Ejemplo:

• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su

valor es el mismo. Ejemplo: es equivalente a , ya que = 0,5 y = 0,5.

• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades

a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien = y se lee “a es a b, como c es a d”.

• En toda proporción se cumple que = , si y solo si a • d = b • c.

• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje esuna razón cuyo consecuente es 100.

• Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego,calcular el cociente.

Ejemplo: • 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”.

• En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y.

• Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocidollamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidospara los cuales se cumple la igualdad.


6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado.

a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene 35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno?

b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaronde igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado?

c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3%sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercaderíapara el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento?



ab

antecedenteconsecuente

510

ab

cd

510

48

48

ab

cd

45

4005

168 Unidad 6

En esta situación, si representamos con x cada kilogramo demandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad dekilogramos de mandarinas que Tomás compró es:

650x + 500 = 4400

Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos:

650x + 500 = 4400 / – 500650x = 3900 / : 650

x = 6

Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas.

Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg demandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo demandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kgde mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg demandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450.

Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datosen una tabla o representarlos en un gráfico.

Ayuda

• En una ecuación se debeverificar que la soluciónobtenida sea correcta. Por ejemplo:

5x + 5 = 2x + 20 / – 2x3x + 5 = 20 / – 5

3x = 15 / : 3x = 5

Verificamos que la solución x = 5 es correctaremplazando:

5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 2030 = 30

• Si se trata de un problema,además se debe verificar sila solución es pertinente.

kilogramo demandarinas

gasto total

pimentón

Situaciones con dos variables

Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.

Para discutir

• ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación?• ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué?• ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los

kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?


Unidad 6

Actividades

1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita.

a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene $ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?

b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es $ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón?

c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto midecada lado?, ¿cuánto mide su área?

• Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representarplanteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión.

• Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio dediversos registros, como una tabla o un gráfico.

No olvides que...

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos demandarinas y su precio.

Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver latabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, paradeterminar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicaren el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tieneen dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de lasordenadas. En este caso es 3250.

Glosario eje de las abscisas: correspondeal eje horizontal o eje X.eje de las ordenadas:corresponde al eje vertical o eje Y.

Kilogramos demandarinas

Precio($)

1 650 • 1 = 650

2 650 • 2 = 1300

3 650 • 3 = 1950

4 650 • 4 = 2600

5 650 • 5 = 3250

6 650 • 6 = 3900

7 650 • 7 = 4550

8 650 • 8 = 5200

Precio ($)

Kilogramos de mandarinas1 2 3 4 5 6 7 8

650

0

1300

1950

2600

3250

3900

4550

5200

170 Unidad 6

2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizarllamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, hablócon su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada.

a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela.b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló? c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?,

¿y si habla 5 minutos?d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo.

e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes?f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan.

g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría? h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan

aparecen en la siguiente tabla:

Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar?i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente,

el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?

Minutos hablados

Precio ($)

5 10 15 20 25 30 35

1000

2000

3000

4000

5000

Segundos Precio ($)

1 2,5

10

60

90

180

300

Cargo fijo ($) Minutos incluidos Valor del segundo adicional ($)

14 490 100 2


Unidad 6

3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó $ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costode $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color.

a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución?

b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta?c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total?d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado.

e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?,¿cuánto gastaría?

f) Completa el siguiente gráfico.

g) ¿Cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 másque el anterior?

Cantidad de claveles

Precio ($)

2 4 6 8 10 12

250

500

750

1000

1250

1500

Cantidad de claveles Precio ($)

2 260

4

12

20

30

50

80

114

172 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles duranteun mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué?

• Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?,¿cuántas variables tiene?

• ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?,¿cómo lo supiste?

Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuálserá el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemoscalcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000, es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000.

Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al venderx automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresióny = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e yde manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le correspondeun único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función.

Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación:

530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000350 000 = 35 000 • x / : 35 000

10 = x

Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

Noción de función

Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000.

Observa la tabla de valores:

Ayuda

Recuerda que la expresiónalgebraica 35 000x tambiénpuede escribirse como 35 000 • x.

Cantidad de automóviles vendidos Sueldo recibido ($)

1 180 000 + 35 000 • 1 = 215 000

2 180 000 + 35 000 • 2 = 250 000

3 180 000 + 35 000 • 3 = 285 000

4 180 000 + 35 000 • 4 = 320 000


Actividades

1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior.

2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función.Justifica tus respuestas.

a) Un número natural y su opuesto aditivo.b) Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso. c) La longitud del lado de un cuadrado y su área.d) La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.

3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular.

a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad deminutos que va a utilizar.

b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué?c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa

el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?

Unidad 6

• Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con unaecuación, una tabla de valores o un gráfico.

No olvides que...

Tarifas Cargo fijo Minutos incluidos en el plan Valor minuto adicional

Plan A 9490 60 220

Plan B 12 990 80 160

Plan C 14 490 100 120

Minutos 60 80 100 120 150

Costo plan A 9490

Costo plan B 12 990

Costo plan C 14 490

174 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?,¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa lavariable x y la variable y, en este caso?

• ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste?• ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?

Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica quemodela esta situación es:

y = 850x, o bien f (x) = 850x

donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e yrepresenta el valor total a pagar por las empanadas compradas.

Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que,para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150.

Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200.

Variables dependientes eindependientes

En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una.Observa y completa la siguiente tabla.

Cantidad de empanadas Precio ($)

1 850 • 1 = 850

2

3

4

5

6


Actividades

1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.

a) El volumen de un cubo y su arista.b) Un número y su sucesor.c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total.

Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio.

En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas).

Además, el valor total de las empanadas compradas depende de lacantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y dependedel valor de la variable x.

Unidad 6

• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación talque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende delvalor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.

• Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente serepresentan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependientese representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.

• La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000x, también se puede escribir como f x� = 150 000 + 25 000x.

No olvides que...

Precio ($)

Cantidad deempanadas1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1000

2000

30004000

5000

6000

7000

80009000

2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500.

a) ¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?d) Completa la siguiente tabla según corresponda.

e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala.

a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm?b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costocompleto del trabajo.

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué?d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado

pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico.

5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

a) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la independiente?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm, ¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?

176 Unidad 6

x 1 Z3 7 10 12 20

y

m2 1 2 3 4 5 6

Total a pagar

Lado del cuadrado (cm) 2 3 4 5 6

Perímetro del cuadrado (cm) 8

Lado triánguloequilátero (cm)

Perímetro (cm)

1 2 3 4 5

5

10

15

20


Unidad 6

6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero queConsuelo puede reunir durante un mes.

a) ¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis?b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?d) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.

Cantidad declases

1 4 6 16

Dineroreunido ($)

4500 40 500 54 000

En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos decuatro integrantes y sigan las instrucciones.

1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo.2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura.

3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayanagregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez.

4. Según lo obtenido, comenten y respondan:

a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué?b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos

utilizados en cada caso, ¿qué observan?c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?,

¿por qué?d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

En equipo

Dos triángulosUn triángulo

178 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la

variable y?, ¿por qué?

Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamenteen las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamosque no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría quepartir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad.

Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la

variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos.

Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar lavariable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.

El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de lafunción y son todos aquellos valores que la variable independientex puede tomar.

En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores deldominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1.

Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todosaquellos valores que toma la variable dependiente y.

Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función

f (x) = son:

Dom ( f ) = �1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160�Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}

Dominio y recorrido

Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla.

Cantidad de cajas 8 10 12 16 20 30

Cantidad dealfajores por caja

20 16 13,3 10 8 5,3

160x

160x


Actividades

1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione larapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia,considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio y el recorrido de la función.

2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima espara ciento cincuenta personas.

a) ¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres?b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles lamisma cantidad de dulces a cada uno.

a) ¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco?b) Determina la expresión algebraica que representa esta situación.c) Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos?d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por lafunción y = 90 – x.

a) ¿Qué representa la variable independiente x en este caso?b) ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?c) ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isósceles?d) Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.

• Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que lavariable independiente x puede tomar en la función f .

• Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar losvalores del dominio en la función f .

No olvides que...

Unidad 6

180 Unidad 6

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar laexpresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido.

Gráfico de una función en Excel

1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente, es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3, así sucesivamente, hasta A7.

2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”. 4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”.5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que

aparece a continuación:

6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble.

Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades.

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?

b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene comomedida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en ordencreciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores.

c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno.

• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?• Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo.• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?• ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?


1614121086420

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Mi progreso

Unidad 6


x 1 2 3 4 5 6 7

y 5 7 9 11 13 15 17

1200x


Reconocer la función que representa una situación dada. 1

Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones. 2

Resolver un problema que requiere analizar una función. 3

Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente. 4


1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e ysu costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas?

A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =

2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?

A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variabledependiente.

B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales, el recorrido está compuesto por los divisores de tres.

C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se

representa como y = 2x.

3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) desopaipillas vendidas en una panadería.

a) Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron?b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?c) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.d) Grafica esta función en tu cuaderno.

4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla?



182 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso?• ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las

fotografías forman una proporción?, ¿por qué?• ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?

En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de lafotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3,obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografíaoriginal y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantieneconstante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamenteampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 sonproporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no sonproporcionales, ya que sus razones no forman una proporción, es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.

Variaciones proporcionales y noproporcionales

Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuentade que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no seve igual que la fotografía original.

Completa la tabla.

Glosario constante: es un valor de tipopermanente, que no se modifica,en una situación dada.

Fotografía 2

Largo (cm) Ancho (cm)Razón entrelargo y ancho

Fotografía (1) 4 2

Fotografía (2) 6 2

Fotografía (3) 6 3

Fotografía 3

Fotografía original (1)


Actividades

• Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variablesson proporcionales.

No olvides que...

1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a la fotografía original.

a) c)

b)

2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde.

• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?, ¿por qué?

3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera.

a) ¿Cuáles son las variables que intervienen?b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué?c) Construye el gráfico correspondiente.

Unidad 6

Tiempo transcurrido en años

1 5 10 15

Padre 41

Hijo 21

Hora (h) 8 9 10 11 12 13 14

Temperatura (ºC) 37,5 37 38 38,5 39 37,5 38

Fotografía original

184 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su

dominio y recorrido?• ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos

vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?

La situación presentada se puede modelar mediante la función f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de lacantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el totalcorresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a lavariable independiente. Además, dado que se trata de cantidad deboletos, podemos notar que los valores que puede tomar lavariable x, son el conjunto de los números naturales, es decir, Dom ( f ) = � y los valores que resultan al remplazar los númerosnaturales en la función son múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = �430, 860, 1290, 1720, …�.

Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos: f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150.

Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletoscalculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.

Relación de proporcionalidad directa

En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción públicacuesta $ 430.

El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio.Completa la tabla.

Cantidad de boletos

Total por pagar($)

1 430 • 1 = 430

2 430 • 2 = 860

3

4

5

6

7

Cantidadde boletos

Precio ($)

1 2 3 4 5

500

1000

1500

2000


Actividades

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tus respuestas.

a) El número de hojas de un libro y su peso.b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.c) Las longitudes de los lados de un triángulo y su área.d) El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada.e) El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo.f) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente

proporcionales si el valor de la razón es constante, es decir, = k, donde k es la constante

de proporcionalidad.

• Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una mismarecta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas.

• En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra tambiénaumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuyeen un mismo factor.

No olvides que...

Unidad 6

En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y lacantidad de boletos vendidos es constante, ya que,

= = = 430.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta

forma, es decir, si el valor de la razón es constante, las variables

son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemospagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa siuna de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumentao disminuye en la misma razón.

4301

8602

12903

yx

yx

yx

2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla conlos posibles pedidos. Complétala.

a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué?d) Completa el gráfico de esta función.

3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde.

a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye?b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.

186 Unidad 6

Cantidad de helados 1 2 5 8 12 17

Precio ($) 360

Cantidad de helados

Precio ($)

1 2 3 4 5 6 7

400

800

1200

1600

2000

x 3x Perímetro rectángulo (y)

1

2

3

4

5

3x

x

Ancho (x)

Perímetro (y)

1 2 3 4 5

10

20

30

40

4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en untiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo.

a) Completa las tablas según el gráfico.b) ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué?c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km?d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde?e) ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más?f) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km?g) ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?


Unidad 6

120110

1009080

706050

403020

100

1 2 3Tiempo (h)

Distancia (km) Trayectoria de 2 autos

Tiempo (h) Distancia (km)

1 30

Tiempo (h) Distancia (km)

2 80

Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder las siguientes preguntas.

a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora entre cada estación.

b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro enllegar a esa ciudad si no realizara detenciones?

c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?

d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrióaproximadamente sin considerar las detenciones?

En equipo

188 Unidad 6

Para discutir

• ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todosal mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y sicontratara a la mitad de obreros considerados inicialmente?

• ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días quetardan en terminar el edificio?, ¿es constante?

• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominioy su recorrido?

En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinteobreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues alduplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían lamitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contratarana cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar eltrabajo, ya que como corresponden a la mitad de los consideradosinicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo.

Notemos que la variable independiente x es el número de obreros y la variable dependiente y es el número de días.

Observa que, el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio es constante, pues 5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de estaforma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables soninversamente proporcionales.

Relación de proporcionalidad inversa

Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo hacalculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajandoen las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.

El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan larelación entre el número de obreros y los días que tardan enterminar el edificio. Completa la tabla.

Número deobreros

5 10 20 30 50

Número dedías

30 6

Nº de días

Nº de obreros10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

70


• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversacuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es laconstante de proporcionalidad.

• Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma

y = . La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva,

llamada hipérbola.

• En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otradisminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en unmismo factor.

No olvides que...

Actividades

1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas.

a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetrob) El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias.c) El número de dulces del mismo tipo que compró y lo que pagó por ellos.d) La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre.e) Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde.f) El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.

Unidad 6

Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros,disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo enla misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta lacantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón.

Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x

corresponde al número de obreros y son números naturales e ycorresponde a los días, por lo que son números naturales también.

Los valores que puede tomar la variable x son números naturalesdivisores de 300, es decir, Dom ( f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300� ylos valores que resultan al remplazar estos números correspondenal recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = �300, 150, 100, …, 2, 1�.

300x

kx

190 Unidad 6

2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que ellugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h,tardarían 6 horas en llegar al lugar.

a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad?b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que

tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente.

c) ¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio?d) ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar?e) Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino?f) Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una

persona en realizar el mismo viaje?g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes?

3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas,determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno.

a) El área de un rectángulo es 6 cm2.

b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante?

c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la mismacantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que seindican en la tabla?

Tiempo (h)

Rapidez (km/h)

2 4 6 8 10 12 14 16

20

40

60

80

100

120

100

80

60

40

20

Tiempo (h) Rapidez (km/h)

4

6 80

60

10

12

Área 6 cm2base (cm) 1 1,5 2 3 4 6

altura (cm)

Rapidez constante (km/h) 40 50 60 100 120

Tiempo (h) 6

Cantidad de alfajores por caja 6 12 18 24

Cantidad de cajas

0

Unidad 6

4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cadacaso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe lafunción que modela los datos en cada tabla.

k = k = k = k =

5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla.

ProblemaTipo de

proporcionalidadFunción que la

representaRespuesta al

problema

Quince máquinas iguales hacen sutrabajo en cinco días. ¿Cuántasmáquinas se necesitan para hacer el trabajo en un día?

Una persona acumula en promedio 1 kg de basura diaria. ¿Cuántoskilogramos juntará en diez días?

Si van doce niños a un campamento,los alimentos durarán seis días. Si todos comen la misma cantidad,¿cuántos días durará la comida si vanseis niños más?

Dos ciclistas demoran cuatro horas en llegar a la playa viajando con unarapidez de 30 km por hora. ¿Con quérapidez tendrían que viajar para tardartres horas?

La impresora de un colegio reproducecincuenta y cuatro informes de notas en tres minutos. ¿Cuántos informesimprime en cinco minutos?

x y

4 5

2 10

1 20

0,5 40

x y

7 21

2 6

10 30

0,5 1,5

x y

3 525

5 875

2 350

10 1750

x y

3 8

6 4

12 2

1 24


192 Unidad 6

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidaddirecta e inversa.

Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales

1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en lacolumna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12,15 y 18.

2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficosselecciona “XY Dispersión”.

4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente:

Luego de realizar los pasos anteriores:

a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor.b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de

vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para trespersonas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad.

c) Escribe función que modela cada situación. d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido?e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica.f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias?g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?


02468

101214161820

10 2 3 4 5 6 7

Mi progreso

Unidad 6

x200


200x


Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionalesy no proporcionales.

1

Analizar una situación de proporcionalidad inversa. 2

Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita enlenguaje algebraico.

3

Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa. 4



A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta lacantidad de pan.

B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra también aumenta.

C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren los años.

D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante.

2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/hdurante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje?

A. 2 h y 5 m B. 4 h C. 2 h y 50 m D. 2 h y 30 m

3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es:

A. y = B. y = C. y = 200x D. y = 2 • 100

4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos.

a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas?b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?c) Construye el gráfico que representa esta situación.




En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según lasiguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguientecuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. SiDiego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?


Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que laanterior, y así sucesivamente.

• ¿Qué debes encontrar?El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.


Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación.Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de lafunción, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente, evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.

Resolver• En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto

por pagar:

Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerandocuántas ya se han comprado:

y = 5000 – 100(x – 1)

donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja.Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:

y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100

Responder• El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.

Revisar• Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la

tabla hasta la caja número 20.

194 Unidad 6

Cajas de galletas 1 2 3 4 5 6

Costo de la caja ($) 5000 4900 4800 4700 4600 4500

Unidad 6


a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total delcrédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto por pagardespués de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función querepresenta esta situación?

b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g enlas distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuáles la función que representa esta situación?

c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo completo a un perro. Si se asean más perros, se efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350 menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro.Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros:

• ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto pagó en total?

• ¿cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

• ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en docecuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, eltercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa.

• ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo?• ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga?• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para suelaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunasquedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?


Para finalizar

196 Unidad 6

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla, escribiendo Sí, A veces y No, segúncorresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.


Cone

xion

es


Cumplió con las tareas comprometidas.


NACIONAL

La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada

por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal

de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial.

Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas

personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los

fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año

ocurren se atribuyen al consumo de tabaco.

La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin

Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a

tomar conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles

alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de

la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo

de tabaco en Chile).

Día Mundial sin Tabaco

Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 ,publicada el 29 de mayo de 2009.




1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan.a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las

consecuencias a corto y largo plazo de fumar?b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país parapromover la vida sana libre del tabaquismo.

Gent

ileza

MIN

SAL.


Unidad 6

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.



2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa unafunción en lenguaje algebraico?

3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas?

4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido?

5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales?

6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo.

7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo.


VARIABLES DEPENDIENTES

FUNCIONES

VARIABLES INDEPENDIENTES

VARIACIONES PROPORCIONALES

DIRECTA INVERSA

VARIACIONES NO

PROPORCIONALES

SITUACIONES CON

DOS VARIABLES

Síntesis

¿Qué aprendí?

198 Unidad 6

1. En una librería, el precio de cada cuaderno esde $ 890. La función que relaciona la cantidadde cuadernos y su costo es:

A. y = 890 + x

B. y =

C. y = 890 – xD. y = 890x

2. ¿Cuál de las siguientes situaciones nocorresponde a una función?

A. Un número natural y su mitad.B. La cantidad de pasajes de metro

comprados y su costo.C. Los kilómetros recorridos por un automóvil

(va a velocidad constante) y el tiempo que tarda.

D. Los deportes que practican los integrantesde un curso.

3. Si cinco pintores logran pintar una casa en cuatro días, ¿cuántos días se demoran diez pintores, trabajando en las mismas condiciones?

A. Dos días.B. Veinte días.C. Cuarenta días.D. Ocho días.

4. En la función: “el doble de un número natural”,¿cuál es el recorrido?

A. Rec ( f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …�B. Rec ( f ) = �1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …�C. Rec ( f ) = �2, 4, 6, 8�D. Rec ( f ) = �2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …�

5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es proporcional?

A. Distancia recorrida y tiempo utilizado (a velocidad constante).

B. El peso de una mochila y la cantidad decuadernos que lleva dentro.

C. El lado de un cuadrado y su área.D. La velocidad de un automóvil y el tiempo

utilizado en un recorrido de 40 km.

6. En una chocolatería, el precio de un tipo debombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es lavariable dependiente?

A. La cantidad de bombones.B. El precio a pagar por los bombones.C. El tipo de bombón.D. La cantidad de bombones y su costo.

7. El sueldo fijo mensual de un vendedor decomputadores es $ 150 000 más una comisiónde $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de lassiguientes expresiones algebraicas representael sueldo del vendedor?

A. y = 150 000x + 9000B. y = 159 000 + xC. y = 9000x + 150 000D. y = 159 000x

8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos de 150 g se necesitan para envasar 1200 g de mermelada?

A. Ocho frascos.B. Treinta y tres frascos.C. Cincuenta frascos.D. Trece frascos.


890x

Unidad 6


9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa.Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico.

• ¿Cuál es la expresión algebraica querepresenta esta situación?

10. El gráfico representa la relación entre la cantidad de secretarias y el tiempo que se demoran en organizar un archivo (días), trabajando todas en igualdad de condicionesy la misma cantidad de tiempo.

a) ¿Qué tipo de función representa el gráfico?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?






No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Análisis de relaciones entre variables.

Noción de función.

Variables dependientes e independientes.

Dominio y recorrido.

Variaciones proporcionales y no proporcionales.

Relación de proporcionalidad directa.

Relación de proporcionalidad inversa.

Resolución de problemas.

x 1 16 32

y 5 10 320

1 2 3 4 5 6

Tiempo (días)

20406080

100120

Cantidad desecretarias

Solucionario

200 Matemática 8

Número Inverso Aditivo–6 6

–4 47 –7

–5 5–1 13 –3

–2 2

Página 11

1. 12 km 2. 4 km 3. 8 km

Página 12

1. a) –7 < –5 d) 4 > –1b) �–8� > 5 e) �–3� = 3c) �–10 � < �–15� f) 8 > –8

2. a) –29 < –28 < –14 < 20 < 29 < 49 b) –5 < –4 < –1 < 1 < 3 < 5c) –111 < –1 < 5 < 18 < 101 < 111d) –18 < –16 < –10 < –7 < 0 < 1e) –23 < –19 < –14 < –5 < 10 < 22f) –40 < –20 < –18 < –6 < 2 < 6

3.

4. a) 6 c) –11 e) –8 g) –13b) –8 d) –7 f) –2 h) 5

5. a) –7 ºCb) $ 3200c) A 10 m bajo el nivel del mar.d) A 2 m bajo el nivel del mar.

Página 13

6. a) 5 c) 52 e) 60 g) 11b) 300 d) 30 f) 9 h) 60

Página 15

1. a) –15 c) –24 e) –8 g) –36b) 20 d) –30 f) –8 h) –52

2. Puede ser:

a) 1 • (–1) c) 2 • 4 e) 4 • (–9)b) 8 • (–2) d) 2 • (–5) f) 7 • (–1)

3. a) 14 • 4 c) 3 • (–21) e) 2 • (–5)b) 5 • (–1) d) 4 • (–4) f) 6 • (–6)

4. a) Verdaderob) Falso, el resultado de la multiplicación de un

número natural (positivo) por un númeroentero negativo siempre es un númeronegativo, por la regla de los signos.

c) Falso, ya que 1 • –1 = –1.d) Falso, porque el número puede ser negativo

y si se multiplica por dos el resultado es menorque el factor.

Página 17

1. a) –15 c) –33 e) 4 g) –14b) 0 d) 30 f) –7 h) 45

2. a) Puede ser –4 • 5. c) Puede ser –6 • 3.b) Puede ser 8 • –2. d) Puede ser 8 • 1.

3. a) –3 c) –8 e) –1b) –7 d) 3 f) 16

4.

Página 19

1. a) 60 d) –10 g) –60b) –41 e) –111 h) 9c) –45 f) 76 i) –60

2. Puede ser:

a) 96 : 2 b) –162 : 3 c) 4096 : (–4)

3. a) –20 c) –63 e) 126b) –10 d) 48 f) 120

Unidad 1 Números enteros 10

1080

–12 –90

–2 6 –15–1 +2 3 –5

Solucionario 201

• 150 200 –250 300 –350 400–25 3750 –5000 6250 –7500 8750 –10 000

–10 1500 –2000 2500 –3000 3500 –4000

–5 750 –1000 1250 –1500 1750 –2000

–1 150 –200 250 –300 350 –400

2 –300 400 –500 600 –700 800

5 –750 1000 –1250 1500 –1750 2000

: 150 200 –250 300 –350 400–25 6 –8 10 –12 14 –16

–10 15 –20 25 –30 35 –40

–5 30 –40 50 –60 70 –80

–1 150 –200 250 –300 350 –400

2 –75 100 –125 150 –175 200

5 –30 40 –50 60 –70 80

x y–10 –5

–8 –4

–6 –3

–4 –2

–2 –1

3 –3 3 36 –6 6 6

–2 2 2 2– 7 7 7 7

4. a)

b) No, por ejemplo en la operación 6 : 5 = 1,2;el número 1,2 no es un número entero sinoque un racional.

Página 20

5.

6. a) No, porque uno es el inverso aditivo del otro.b) No, porque el valor absoluto de un número es

siempre positivo.c) Sí, porque ambas expresiones son siempre

positivas. Además, �b� • �a� = �b� • �a�.

7. –4

En equipo

Las posibilidades

Página 21

1. B 2. D

3.

a) Los signos del cociente y producto,respectivamente.

b) Sí, pues en ambos casos el resultado essiempre positivo.

4. Emilia 120 puntos y Carlos 20 puntos.

5. 5 horas y 4 horas, respectivamente.

Página 23

1.

2. a) Del dividendo y divisor.b) En algunos casos, pero según el algoritmo de

la división, el cociente y resto son únicos encada caso.

3. a) Si a : 0 = x, se tendría que a = 0 • x, pero no existe un número entero x que multiplicado por cero resulte a.

b) Si 0 : a = 0, se tiene que 0 = a • 0. Luego,todo número entero multiplicado por cero es cero.

400 –4 –100 4002304 –8 –288 2304

202 500 5 40 500 202 500

–6 –5 0 30 = (–6) • (–5) + 0

6 5 0 30 = 6 • 5 + 0

5 8 2 42 = 5 • 8 +2

–5 9 3 –42 = (–5) • 9 + 3

8 –2 4 –12 = 8 • (–2) + 4

8 1 4 12 = 8 • 1 + 4

–6 –4 3 27 = (–6) • (–4) + 3

–6 5 3 –27 = (–6) • 5 + 3

6 4 3 27 = 6 • 4 + 3

4 –5 0 –20 = 4 • (–5) + 0

–4 –5 0 20 = (–4) • (–5) + 0

202 Matemática 8

96 –6 128–2 –6 –5

250 –6 –125

–

–18 –2 –648 –648

4 1 324 324

–48 –3 –3072 –3072

–100 –1 –2500 –2500

–128 –2 –512 –512

Página 25

1. a) 6 d) 960 g) 0b) –9 e) 0 h) 12c) 6 f) –10 i) 1

2. a) –20 c) –10 e) 100b) –20 d) –42 f) –120

3. a) –11 c) 7 e) 35b) 19 d) –54 f) 11

4.

Página 26

5. a) $ 43 750 d) $ 258 750

6. a) $ 600 000b) $ 50 000c) $ 3 000 000

7. a) 690 – 12 • 8b) $ 594 y $ 510, respectivamente.

8. a) 20 – 2 • 18 b) –16 ºC

9.

10. a) No, serán iguales solo si a es 1 ó –1.b) Sí, pues se trata de la propiedad asociativa.

Página 27

11. a) 4 c) –2 e) –10 g) –10b) 15 d) –5 f) 45 h) –3

12. a) Pregunta: ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 h?Respuesta: La temperatura a las 11:00 h fue de 10 ºC

b) Pregunta: ¿Cuánto dinero retiró en agosto Patricio?Respuesta: Patricio retiró $ 32 500.

Estrategia mental

a) –32 g) –75b) 8 h) –180c) 10 000 000 000 i) –1d) 50 j) 2e) –2 k) –10f) 16 l) 1

Página 28


9. a) Ocurre siempre lo mismo ya que A2 • B2 = B2 • A2.

b) Ocurre lo mismo siempre que B2 sea unnúmero entero negativo.

c) Síd) No

Página 29

1. C 2. D

3.

¿Obtiene los mismos resultados en las columnas4 y 5? No, ¿y en las 6 y 7? Sí ¿Ocurrirá siempre los mismo en estos casos?Ocurre siempre lo mismo en las columnas 6 y 7,ya que en la columna 7 se aplica la propiedad distributiva.

4. –53

Página 31


1. a) $ 196 000b) $ 1 605 000c) 5 ºC y 3 ºC, respectivamente.

3. a) A 34 m bajo el nivel del mar.b) $ 377 000

Página 32

1. 2063

2. 3 y 2063, 2140, 2217

5. No coincide, ya que el cometa tiene comopromedio pasar cada 77 años, pero este rangopuede variar entre 74 y 79 años.

–

108 3 222 222–56 –14 266 266

Solucionario 203

16 8 0 01 13 25 –5

100 52 4 –2049 29 9 –21

Página 34

1. C 3. C 5. C 7. C2. A 4. A 6. A 8. D

Página 35

9. Aumenta 238 ºC por minuto.

10. a) Galería 5. c) Galería 10. e) Galería 4.

Página 37

1. 160 000 bacterias, 2 560 000 bacterias, 10 000 • 2n, donde n es el tiempo transcurrido.

2. 2 621 440 000 bacterias.

3. Después de 6 horas.

Página 38

1. a) 32 c) (0,4)4 ó �4

e) 53

b) 76 d) �2

f) �5

2. a) 5 • 5

b)

c) 18 • 18 • 18d) 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 e) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2f) 1,3 • 1,3

3. a) 81 d) 0,16 g) 64

b) 3375 e) h) 625

c) 0,027 f) 1296 i)

4. a) 5 c) 0 e) 3b) 5 d) 4 f) 5

5. a) 100 000 personas.b) $ 500 000 y $ 5 000 000 000

Página 39

6. 64 árboles.

Página 41

1. a) 32 c) (–6)3 e) (–15)8

b) (–5)4 d) 1011 f) 33

2. a) 625 c) 1 000 000 e) –2744b) –7776 d) 343 f) 256

3. a) 4 c) 3 e) 5b) Puede ser 3 d) 6 f) 2

4.

a) Nob) No, solo cuando a = b.c) Existen casos en que los resultados son

iguales.

Página 43

1. a) 16 e) –1 000 000 000b) –125 f) 144c) 27 g) –1d) 16 h) 144

2. a) Verdadero c) Falsob) Falso d) Verdadero

3. a) 8 > 4 d) –64 < 16b) 625 = 625 e) 1 > –2c) 1 = 1 f) 100 000 000 > 100

Página 45

1. a) 46 = 4096b) 109 = 1 000 000 000c) (–5)5 = –3125d) 25 = 32e) (–1)10 = 1f) (–6)8 = 1 679 616

2. a) 5 b) 3 c) 9 d) 1

3. a) (–5)5 b) 213 c) (–2)13

4. a) 3 b) –235 c) –33

5. a) 512 departamentos.b) 6561 tenidas.

Unidad 2 Potencias 36

410

34

23

4 • 4 • 4 • 49 • 9 • 9 • 9

181

323125

204 Matemática 8

Página 47

1. a) 1 000 000 c) 6 e) 1b) –125 d) 144 f) 49

2. a) 10 b) 5 c) 3

3. a) (–5)1 b) 61 c) (–2)3

4. 25 cm

Página 49

1. a) 124 c) (–10)6 e) (–66)7

b) 148 d) 1203 f) (–24)2

2. a) 10 000 c) 144b) –3 200 000 d) –1 000 000

3. Sí, porque se pueden aplicar ambas propiedades.

4. a) Área = 8000 cm2

b) Volumen = 576 cm3

Página 51

1. a) (–4)4 c) 96 e) (–7)11

b) 99 d) (–8)3 f) 87

2. a) 81 c) 10 000 000 000b) –512 d) 81

3. a) –4 b) –26 c) 160

4. 32 platos de fondo. 5. 22 pantalones.

Página 53

1. a) 92 cm2 b) 6 • 92 cm2 c) 93 cm3

2. a) 6561 c) 81 e) 256b) –512 d) 1 f) 390 625

3. a) 15 b) 5 c) 2 d) 27

4. a) 236 b (–2)15 c) (–2)21 d) 216

5. Sí, porque x • y = y • x.

Página 54

Estrategia mental

a) 625 e) 9025 i) 42 025b) 4225 f) 990 025 j) 9025c) 2025 g) 7225 k) 1 010 025d) 1225 h) 3025 l) 15 625

En equipo

3.

4. a)

b) 46, 86, 126, 166

c) 13, 23, 33, 43

Página 55

1. D 4. B2. A 5. 8 poleras.3. C 6. Volumen = 215 cm3

Página 57

1. a) c) e)

b) d) f) 1

2. a) 3 b) 10 c) 9

Página 59

1.

2. a) 1 > 0,5 c) (0,6)5 < (0,6)4

b) (2,5)3 = (2,5)3 d) (5,5)2 < (5,5)3

322436481

10001331

81728

19 68340 352 607

0,33 0,34 0,32 0,38

22 52 0,82 0,88

0,54 0,58 ó 0,254 1 14

0,14 0,17 0,11 0,14

1 4 42 96 43

8 8 82 384 83

27 12 122 864 123

64 16 162 1536 163

Columna 3 Columna 5

16 64

64 512

144 1728

256 4096

Solucionario 205

41

16 42

64 43

256 44

0 1 2 3 4 5

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

No de personas

Nivel

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

300

Población en miles de individuos

Años transcurridos

12

�1

131 072

�2

65 536

�3

32 768

�4

16 384

12

12

12

12

3.

a) Sí. b) Sí.

Página 61

1.

a) 256 personas.b) El número de personas depende del nivel de

llamados, porque a medida que aumentan losniveles, aumenta la cantidad de personasinformadas.

Página 63

1.

a) En el 3º año.b) 16 384c) En 19 años.

Página 65

1. B2. C3. D

4. a) El tipo de crecimiento es crecimiento exponencial, ya que a medida que transcurre el tiempo aumenta exponencialmente el número de bacterias.

b) 212

5. Jorge: 26 puntos; Mario: �5

puntos.

0,25 0,125 0,0625

0,0625 0,015625 0,00390625

18

14

164

116

116

1256

206 Matemática 8

Página 67


1. a) 4 d) 4 g) 3b) 6 e) 6 h) 1c) 2 f) 7 i) 9

3. a) 5 b) 6 c) 7 d) 6 e) 9 f) 0

4. a) La base es 2 y el exponente representa la cantidad de veces que se dobla la hoja por la mitad. El valor de la potencia representa la cantidad de rectángulos.

b) 23 = 8 rectángulosc) 25 = 32 rectángulose) 8

Página 68

1. El porcentaje de riesgo es de 10,13% y 82,46%,respectivamente.

Página 70

1. C 3. B 5. A 7. C2. B 4. D 6. C 8. A

Página 71

9. a) 256 m y 4 m, respectivamente.b)

10. 27 cm

Página 73

1. El radio de los envases.

2. Si la altura aumenta al doble, el volumen tambiénaumenta al doble.

3. Con los cilindros.

4. Sí, duraznos en conserva.

Página 74

1. a) 20 cm c) 28 cmb) 22 cm d) 10,5 cm

2. a) 6,76 cm2 b) 210 cm2 c) 48 cm2 d) 6 cm2

3. a) Área = 120 cm2, volumen = 88 cm3

b) Área = 64 cm2, volumen = 25 cm3

4. Perímetro = 27 cm. No sigue siendo equilátero,ya que al aumentar uno de sus lados, dos de ellosmedirán 8 cm y el otro 11 cm, por lo tanto eltriángulo es isósceles.

Página 75

5. Perímetro = 36 cm y su área = 54 cm2.Si sus catetos se duplican, cada uno medirá 18cm y 24 cm, su perímetro será de 72 cm y su áreade 216 cm2.

6. 40 m

Página 77

1. a) En que ambas tienen el mismo perímetro. Se diferencian en que una tiene área y la otra no.

b) Que una considera el interior y la otra solo elcontorno. Ambas tienen un centro y radio.

c) Cuando el punto se encuentra en contornodel círculo, y cuando el punto se encuentra en el interior de la circunferencia.

2. a) Radio. d) No pertenecen.b) No pertenece. e) Pertenecen.c) Pertenecen. f) Pertenece.

Página 79

2.

3. a) F b) F c) V d) F e) V

0 1 2 3 4 5

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

Longitud de la cuerda

Cortes de la cuerda

Unidad 3 Geometría y medición 72

Cuerda(s) FE⎯, CD⎯

y AB⎯Diámetro(s) CD⎯Radio(s) OC⎯

, OD⎯y OA⎯

Secante(s) AB↔

Tangente(s) Recta EArco(s) BA, AC, CF, FE, ED y DB� � � � � �

Solucionario 207

Página 81

1. a) 3,1428b) 3,14159, es la mejor aproximación al número π. c) 3,1604d) 3,125e) 3,1466f) 3,1416

2. Sí, ya que el perímetro se puede calcular usandola fórmula 2 • π • r. Luego, 2 • r = d.

3. Sí es posible.

4.

Página 83

1. a) 25,12 cm e) 21,98 cmb) 3,14 m f) 56,52 cmc) 29,516 cm g) 6280 md) 10,676 km h) 62 800 cm

2. a) 4,5 cm c) 200 cm e) 0,5 cm g) 5 cmb) 1,8 cm d) 1 cm f) 30 cm h) 8 cm

3. a) 18,84 cm b) 47,1 cm c) 15,7 cm

Página 85

1. a) Apotema = 1,1 cm. Área = 3,79 cm2.b) Apotema = 0,8 cm. Área = 2,01 cm2.c) Apotema = 0,6 cm. Área = 1,3 cm2.

2.

4. Aumenta 4 veces (113,04 cm2).Aumenta 9 veces (254,34 cm2).

Página 87

1. C 2. B 3. B

4. 12,56 cm2 5. 3768 cm de plástico.

Página 90

1. a) 360 cm2 e) 1186,92 cm2

b) 301,44 cm2 f) 1130,4 cm2

Página 91

2. a) 2826 cm2 b) 14 130 cm

3. 1808,64 cm2

4. 122,46 cm2

5. 351,68 cm2

6. a) 40 cm b) 1884 cm2 c) 4396 cm2

7. a) 879,2 cm2 b) 314 cm2

8. a) 5,2 cm b) 93,6 cm2 c) 453,6 cm2

9. a) 1130,4 cm2 b) 1758,4 cm2

10. a) 13 cm b) 282,6 cm2

Página 93

1. 384,65 cm3

2. a) 552,64 cm3

b) El volumen también se duplicaría y si la alturase triplica el volumen también aumenta tres veces.

3. a) 314 cm3

b) Su volumen aumenta 4 veces y si el radio se triplica el volumen aumenta 9 veces.

4. a) 2512 cm3

b) El volumen también disminuye a la mitad y si su altura se reduce a un tercio el volumen disminuye un tercio.

6 12

10 20

5 10

7,5 47,1

21 65,94

50 100

13 40,82

20 40

1,3 5,8

8 1,4 1,5 6,72 7,065

4 1 1,5 4,47 7,065

10 1,4 1,5 7

7. a) Área = 172,7 cm2 y Volumen = 166,81 cm3.b) Área = 129,67 cm2 y Volumen = 94,95 cm3.c) Área = 185,5 cm2 y Volumen = 167,47 cm3.d) Área = 229,85 cm2 y Volumen = 204,73 cm3.e) Área = 967,12 cm2 y Volumen = 2307,9 cm3.f) Área = 678,24 cm2 y Volumen = 1017,36 cm3.g) Área = 1022,32 cm2 y Volumen = 2509,96 cm3.h) Área = 2128,92 cm2 y Volumen = 5369,4 cm3.i) Área = 234,14 cm2 y Volumen = 237,38 cm3.j) Área = 2543,4 cm2 y Volumen = 8478 cm3.

Página 95

1. D 2. C 3. A

4. a) Á = 1205,76 cm2 b) V = 2411,52 cm3

5. a) Necesitaría el doble de material.b) La capacidad del envase es de 376,8 cm3.

Página 97


1. a) 6363,73 cm3 c) 282,6 cm2

b) 452,16 cm3 d) 116,4 cm2

3. a) 5024 cm3 b) 1829,3 cm3

Página 98

1. V = 589 535 cm3

Página 100

1. C 3. D 5. B 7. C2. A 4. D 6. B 8. A

Página 101

9. 791,28 cm2

10. a) 942 m2 b) 810 120

11. 259,81 cm2 y 1099,81, respectivamente.

12. a) 25,12 cm y 75,36 cmb) 50,24 cm2 y 452,16 cm2. La razón entre sus

áreas es 1 : 9.

Página 103

1. Sí, se puede observar un hexágono.

2. Mariposas, se repiten en toda la imagen.

3. La imagen gira alrededor del punto que seencuentra en un ala de la mariposa.

Página 104

1. a) x = 72º, y = 108º b) x = 140º, y = 40º

2.

3. El centro es el centro de las simetrales, es decir, elcircuncentro.

Página 107

1. • Sí, porque cambia la posición de las figuras,no su tamaño ni forma.

2. a) No b) Sí c) Sí d) No

Página 109

1. Por ejemplo:

2.

3. Si se puede trasladar con un solo vector.

208 Matemática 8

Unidad 4 Movimiento en el plano 103

C

A

B

B´

C´ B´

A´

C´

K

FT

D

A

Triánguloα = 140ºβ = 20ºγ = 20º

NR = 4,8 cmMN = 2,5 cmRM = 2,6 cm

Rectánguloα = β = γ = δ= 90º

JL = GH = 4,4 cmIH = JG = 1,5 cm

Hexágonoα = β = γ = δ= ε = ω = 120º

AB = BC = CD = DE= EF = FA = 1,1 cm

1. Por ejemplo: 2.

3. Un rombo. Un triángulo equilátero.

Página 113

1. Por ejemplo:

2.

3. Sí, haciendo una rotación en torno al punto O enun ángulo de 180º.

Página 117

1. A 2. B 3. A

4.

Página 119

1. a) No b) Sí c) Sí d) No

2. a) Si es posible teselar. c) No es posible teselar.b) Sí es posible teselar. d) Sí es posible teselar.

3. a) Se puede construir aplicando traslación.

b) Se puede construir aplicando reflexión.

c) No se puede teselar el plano con esa figura.

d) Se puede construir aplicando simetría y traslación.

Página 121

1. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.

2. Se puede construir aplicando traslación.

3. Se puede construir aplicando traslación y reflexión.

4. a) b)

5. a) No b) No c) Sí

Página 123

1. B 2. C

3. a) Traslación. b) Traslación y reflexión.

Solucionario 209

A

B

D

C

D´

C´

A´

B´

R

NM

R

A

O´

B´

A´B

OR´

Q´

P´ RQ

P

R´ Q´

P´

N´

T

T´M´

M

N

L

T´´

M´´

N´´

T´

M´

D

E

–

4 13%

6 19%

10 32%

4 13%

3 10%

3 10%

1 3%

431

631

1031

431

331

331

131

4. Se puede construir aplicando traslación y rotación.

Página 125


1. a)

El reflejo de E en una de las paredes (E´) se une con F, obteniendo P1. El reflejo de F en lamisma pared (F´) se une con G, obteniendo P2.Entonces, se parte en E, luego ir a P1, luego aF, después a P2 y, finalmente, llega a G.

b)

El reflejo de la bola A en uno de los bordes se une con el reflejo de la bola B en la otra paredque es perpendicular a la pared anterior, obteniendo los puntos P1 y P2. Entonces, el recorrido de la bola A será a P1, luego a P2 y, finalmente, golpeará a B.

3. Para encajar la figura 1 en A, se debe realizartraslación y rotación y, para encajar 1 en B,también.

Página 128

1. C 3. D 5. A 7. A2. D 4. B 6. D 8. C

Página 129

9.

10. Traslación.

Página 131

1. 31 571 personas.

2. E años en promedio.

3. Una estimación del nivel de instrucción másrepetido es de 4 años (31 571 personas).

Página 132

1. a)

b) 6 días.c) 13%d) x = 30,29, mediana: 30, Moda: 30.

210 Matemática 8

E

F

G

P2P1

F´

E´

A

B

A´

B´

P2

P1

A´

B

A

C

C´ A

B

L

B´

Unidad 5 Datos y azar 131

HorasMarca

de claseF.

absolutaF. Absolutaacumulada

F. Relativa

F. relativaPorcentual

1 - 5 3 19 19 0,475 47,5%

6 - 10 8 14 33 0,35 35%

11 - 15 13 7 40 0,175 17,5%

Solucionario 211

65016

950

Nº decaras

F. absoluta F. RelativaF. relativaPorcentual

1 10 0,2 20%

2 3 0,06 6%

3 6 0,12 12%

4 12 0,24 24%

5 9 0,18 18%6 10 0,2 20%

LlamadasF.


F.Relativa


0 - 5 8 8 0,27 27%

6 - 11 10 18 0,33 33%

12 - 17 9 27 0,3 30%

18 - 23 3 30 0,1 10%

2. a)

b) 8 alumnos y 2 alumnos, respectivamente.c) 4 h y 21 min.d) Mediana: 4,5; Moda: 6.

Página 133

3. a) Población: alumnos y alumnas del colegio.Muestra: pueden ser los compañeros de curso.

b) Variable cuantitativa: horas destinadas a ver TV.

4. a)

b) 3 y 12, respectivamente.

c) y , respectivamente.

d)

Página 135

1. a) 60b) 5c) 26% y 69%, respectivamente.

2.

Página 137

1. a)

b) 6 c) 36 d) 14,28%

2. a)

b) 5 c) 8 d) 27 e) 10%

Página 139

1. a)

b) 33 c) x = 6,5

–

2 5%

6 15%

4 10%

8 20%

4 10%

16 40%

240

640

440

840

440

1640 Edad

F.absoluta

F. Absolutaacumulada

F.Relativa


1 - 10 7 7 0,17 17%

11 - 20 6 13 0,14 14%

21 - 30 8 21 0,19 19%

31 - 40 6 27 0,14 14%

41 - 50 5 32 0,12 12%

51 - 60 4 36 0,1 10%

61 - 70 4 40 0,1 10%

71 - 80 2 42 0,05 5%

5 0,08 0,08

12 0,12 0,2

22 0,17 0,37

25 0,05 0,4238 0,22 0,6452 0,23 0,8760 0,13 1

1,40 - 1,47 3 1,435

1,48 - 1,55 12 1,515

1,56 - 1,63 22 1,595

1,64 - 1,71 6 1,675

1,72 - 1,79 2 1,755

212 Matemática 8

NotasMarca

de claseF.


F. Relativa


2,0 -3,0 2,5 2 2 0,06 6%

3,1 -4,1 3,6 6 8 0,19 19%

4,2 -5,2 4,7 9 17 0,28 28%

5,3 -6,3 5,8 10 27 0,31 31%

6,4 -7,4 6,9 5 32 0,16 16%

Máquina A Máquina B

Mediaaritmética

652,63 659,81

Moda 652 660

2. a)

b) 26 c) 9% d) x = 13

Página 141

1. a)

b) x = 5,0 Mo = 5,5

2. •

x = 1,58 Mo = 1,59

Página 143

1. a) Seleccionando una muestra. No esconveniente analizar las 2160 botellas, ya quele tomaría demasiado tiempo y es unprocedimiento costoso.

b)

La máquina A está debajo del nivel de calidad,es recomendable revisarla.

Página 146

1. a) 15 a 19 años.b) Sí

c) Las mujeres jóvenes tienen mayor nivel deendeudamiento.

d) Entre 25 a 29 años.

Página 149

1. D 2. A 3. C

4. a)

b) 14% c) x = 14,07Mo = 5,5

Página 151

1. a) Ω = �TBPR50, TBPR51, TBPR52, TBPR53, TBPR54, TBPR55, TBPR56, TBPR57, TBPR58, TBPR59�. Tamaño 10.

b) Ω = �TBPR20, TBPR21, TBPR22, TBPR23, TBPR24, TBPR25, TBPR26, TBPR27, TBPR28, TBPR29, TBPR30, TBPR31, TBPR32, TBPR33, TBPR34, TBPR35, TBPR36, TBPR37, TBPR38, TBPR39�. Tamaño 20.

c) Ω = �1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)�. Tamaño 36.

d) Ω = �2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12�. Tamaño 11.

2. 12 maneras. 3. De 4 formas distintas.

4. a) 24 tipos de menú.

CategoríaMarca Clase

F. Absoluta

F. Absolutaacumulada

No conforme 0 - 7 3,5 8 8

Medianamenteconforme

8 - 15 11,5 7 15

Conforme 16 - 23 19,5 9 24

Muy conforme 24 - 31 27,5 4 28

F. relativa


0,29 29%

0,2525%

0,32 32%

0,14 14%

2 3 0,07 7%

7 11 0,18 18%

12 26 0,33 33%

17 41 0,33 33%

22 45 0,09 9%

Solucionario 213

b) Las opciones de plato de fondo son: arroz concarne (A), puré con pollo (P), legumbre (L).Las opciones para beber son: bebida (B) ojugo (J). Las opciones de postre son: helado (1), jalea (2), flan (3) o fruta (4). Entonces, todaslas posibilidades de menú son:�AB1, AB2, AB3, AB4, AJ1, AJ2, AJ3, AJ4,PB1, PB2, PB3, PB4, PJ1, PJ2, PJ3, PJ4, LB1,LB2, LB3, LB4, LJ1, LJ2, LJ3, LJ4�

Página 153

1. a) Ω = �Blanca, Roja�. No son equiprobables.b) Ω = �Cara, Sello�. Sí son equiprobables.c) Ω = �niña, niño�. No son equiprobables.d) Ω = �13 cartas , 13 cartas , 13 cartas ,

13 cartas �. Sí son equiprobables.e) Ω = �par, impar�. Sí son equiprobables.

2. Es correcto lo que dice Romina, ya que si estánen igualdad de condiciones, tienen la mismaprobabilidad de salir (son equiprobables).

3. Sí es correcto.

En equipo

1. a) Ω = {Rojo, azul, amarillo}.b) No son equiprobables.

Página 155

1. a) b) c)

2. a) ó 0,5 ó 50% c) ó 0,17 ó 17%

b) ó 0,83 ó 83%

3. a) 47% b) 53% c) 80% d) 67%

Página 157

1. C 2. D

3. a) No. b) Sí. c) Sí. d) Sí.

4. a) 15 tenidas, estas son:Polera Amarilla, pantalón Negro.Polera Amarilla, pantalón Café.Polera Amarilla, pantalón Gris.Polera Azul, pantalón Negro.Polera Azul, pantalón Café.Polera Azul, pantalón Gris.

Polera Blanca, pantalón Negro.Polera Blanca, pantalón Café.Polera Blanca, pantalón Gris.Polera Negra, pantalón Negro.Polera Negra, pantalón Café.Polera Negra, pantalón Gris.Polera Roja, pantalón Negro.Polera Roja, pantalón Café.Polera Roja, pantalón Gris.

b) La probabilidad es 0,07.

Página 159


1. Le sirve el gráfico “¿Usted lee libros?”3. Ambos gráficos le permiten extraer la

información que necesita.

Página 162

1. D 3. D 5. A 7. B2. A 4. C 6. B 8. D

Página 163

9. • La mayoría de las personas encuestadas(hombres y mujeres) ven TV abierta 5 días a lasemana, o más.A pesar que son más mujeres que hombreslos que ven TV abierta todos los días, sonsimilares los porcentajes, pues la diferencia esde 3% aproximadamente.

Página 165

1. 105 km 2. 1 h y 30 min

3. Tardaría 4 h y llagaría a las 10 de la mañana.

4. Sí, y = 21 • x, donde x son horas.

Página 166

1. a) 3x e) t • nb) 2 • (3 + (–8)) f) 15 • x

c) g) 750 • y

d) + 3y h)

12

12

16

56

12

314

Unidad 6 Funciones y relaciones proporcionales 165

2x3

x4

x12

260

520

1560

2600

3900

6500

10 400

14 820

2,5

25

150

225

450

750

214 Matemática 8

2. a) P = t + r + s, A =

b) P = 4 • a + 12, A = (a + 3)2

c) P = 2x + 2y, A = x • y

3. a) y = 2 d) z = 140b) x = 4 e) a = 6

c) x = 5 f) a = –

4. a) x – 27 = 77, x = 104b) x + (x – 1) = 49, x = 25c) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 177,

los números son: 57, 59, 61.d) 4x – 3 = 3x + 12, x = 15

5. a) 8 b) 6 c) 26

Página 167

6. a) Padre: 60 años, hijo: 25 años, madre: 83 años.

b) Matías: $ 62 000, Josefa: $ 93 000c) $ 45 600

Página 169

1. a) En un bolsillo hay $ 1500 y en el otro $ 4500.b) $ 1450 cada jarrón.c) 12 cm y 24 cm. Área = 288 cm2

Página 170

2. a) 2,5 • 60 • x = 900b) 2 minc) $ 450d)

e) $ 9750f)

g) $ 630h) $ 26 490i) El plan de Francisca es más conveniente,

porque Camila pagaría $ 27000 y Francisca$ 24 090.

Página 171

3. a) 200 claveles. La ecuación es: 1250 + 140x + 120x = 27250

b) $ 3900 y $ 5200c) $ 12 430d)

e) No, porque debe comprar la misma cantidadde claveles de cada color.

f)

g) $ 4260

Página 173

2. a) Sí es función.b) No es función.c) Sí es función.d) Sí es función.

t • r2

553

2000

3000

1000

0

4000

Precio ($)

Minutos hablados0 5 10 15 20 25 30 35

0

250

0 2 4 6 8 10 12

500

750

1000

1250

1500

1750

Precio

Cantidad de claveles

9 12

18 000 27 000 72 000

11 800 16 800 21 800 26 800 31 800 36 800

10 500 31 500 73 500 105 000 126 000 210 000

13 890 18 290 22 690 29 290

12 990 16 190 19 390 24 190

14 490 14 490 16 890 20 490

Solucionario 215

3. a)

b) Para 80 min, el Plan B, y para 120 min, el Plan C.

c) Plan A y = 9460 + 220xPlan B y = 12 990 + 160xPlan C y = 14 490 + 120x

Página 175

1. a) Independiente: arista.Dependiente: volumen.

b) Independiente: número.Dependiente: sucesor.

c) Independiente: kilogramos de pan.Dependiente: precio total.

Página 176

2. a) $ 73 500 y $ 126 000, respectivamente.b) y = 10 500xc) Variable dependiente: precio total recaudado.

Variable independiente: número de entradas.d)

e)

3.

a) 36 cm y 60 cm, respectivamente.b) f (x) = 4xc) Variable dependiente: perímetro.

Variable independiente: lado del cuadrado.

4. a)

b) f (x) = 5000x + 6800c) Variable dependiente: total a pagar.

Variable independiente: m2.d) f (x) = 6000x

5. a) Variable dependiente: perímetro. Variable independiente: lado del triangulo.

b) f (x) = 3xc) Cada uno de sus lados mide 14 cm, porque

es equilátero.

Página 177

6.

a) $ 27 000 y $ 72 000, respectivamente.b) f (x) = 4500xc) Variable dependiente: dinero reunido.

Variable independiente: cantidad de clases.d)

y

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 1 2 3 4 5 6 7

x

12 16 20 24

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

03 4210 5 6 7

Total a pagar

m2

00

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

Dinero reunido ($)

1 2 3 4 5 6 7Cantidad de clases

Rapidez constante (km/h)

30 40 50 60 80 100 120

Tiempo (h) 12 9 7,2 6 7,2 3,6 3

TriángulosNumero

de palitos

1 3

2 5

3 7

4 9

5 11

216 Matemática 8

300x

x (grados) y (grados)89 1

10 80

20 70

35 55

45 45

50 40

89 1

En equipo

4. a) Triángulos equiláteros, porque como lospalitos representan los lados, cada palito midelo mismo (aproximadamente).

b)

Se observa que cada triángulo nuevo, sesuman dos palitos.

c) 15 palitos, 41 palitos y 207 palitos,respectivamente.

d) f (x) = 2x + 1e) Variable dependiente: número de palitos.

Variable independiente: número de triángulos.

Página 179

1.

Dominio: números positivos entre 30 y 120.Recorrido: números positivos entre 3 y 12.

2. a) $ 387 000 y $ 598 500, respectivamente.b) f (x) = 4500xc) Variable dependiente: dinero recaudado.

Variable independiente: cantidad de personas.d) Dominio: desde 0 a 150 (personas).

Recorrido: �4500 • 1, 4500 • 2, 4500 • 3, …,4500 • 150�

3. a) 20 caramelos y 12 caramelos, respectivamente.

b) f (x) =

c) A 60 niños.d) Dom (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,

30, 50, 60, 75, 100, 150, 300�Rec (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25,30, 50, 60, 75, 100, 150, 300�. En amboscasos, divisores de 300.

4. a) La medida de un ángulo agudo.b) 0º < x < 90º y el ángulo y es el complemento

de x.c) Mide 45º.

d)

Página 180


a) y = 2xDom (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7�Rec (f ) = �2, 4, 6, 8, 10, 12, 14�

b) y = x 2

Dom (f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6�Rec (f ) = �1, 4, 9, 16, 25, 36�

c) • y = 40x• Variable dependiente: precio.

Variable independiente: número de masticables.• Dom (f ) = �0

Rec (f ) = �40 • n /n ∈ �0�• $ 680

Página 181

1. C 2. D

3. a) 97 sopaipillas.b) Dependiente: dinero recaudado en un día.

Independiente: cantidad de sopaipillas.c) Dom (f ) = �0

Rec (f ) = �130 • n /n ∈ �0�d)

00 1 2 3 4 5 6 7

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Dinero recaudado ($)

Cantidad de sopaipillas

45 50 5525 30 35

Solucionario 217

0

3737.5

3838.5

3939.5

Temperatura (ºC)

Horas2 4 6 8 10 12 14 16

3 8

6 16

9 24

12 32

15 40

10

0

20

30

40

Perímetro (y)

Ancho (x)0 1 2 3 4 5

2 60

3 90

1 40

3 120

4. y = 2x + 3

Página 183

1. a) No b) No c) Sí

2.

• No son proporcionales, ya que la razón entrelas edades no se mantiene con el tiempo.

3. a) Las horas y la temperatura.b) No son proporcionales, ya que la razón entre

las variables no es constante.c)

Página 185

1. a) Sí c) No e) Nob) Sí d) Sí f) Sí

Página 186

2.

a) 360 : 1El valor de la razón es constante y su valor es 360.

b) f (x) = 360xc) $ 6480 y $ 12 600, respectivamente.d)

3.

a) Si aumenta x el perímetro aumenta, mientrasque si x disminuye el perímetro tambiéndisminuye.

b) f (x) = 8x

Página 187

4. a)

b) El auto rojo, porque recorre más distancia enmenos tiempo.

c) En 2 horas.d) 40 : 1 para el auto rojo y 30 : 1 para el auto

verde.e) A 300 km.f) 12 horas.g) f (x) = 40x y g (x) = 30x, respectivamente.

Página 189

1. a) No c) No e) Nob) Sí d) Sí f) Sí

Página 190

2. a) A 480 km.400

0

800

1200

1600

2000

2400

Precio ($)

10 2 3 4 5 6 7Cantidad de helados

360 720 1800 2880 4320 6120

Tipo deproporcionalidad

Función que larepresenta

Respuesta alproblema

Inversa y = 75 máquinas

Directa y = x 10 kg

Inversa y = 4 días

Inversa y = 40 km/h

Directa y = 18x 90 informes

75x

72x

120x

6 4 3 2 1,5 1

848

40

218 Matemática 8

b)

c) y = . El dominio son los números positivos

menores o iguales a 480.d) Debe ir a 96 km/h.e) Tardaría 9 h y 36 min en llegar.f) Demoraría 96 horas.g) Una hipérbola.

3. a) y =

b) y =

c) y =

Página 191

4. a) Proporcionalidad inversa. k = 20. f (x) =

b) Proporcionalidad directa. k = 3. f (x) = 3xc) Proporcionalidad directa. k = 175. f (x) = 175x

d) Proporcionalidad inversa. k = 24. f (x) =

5.

Página 192


c) f (x) = x + 1, g(x) =

d) En la primera función: Dom (f ) = � y

Rec (f ) = �2, 3, 4, 5, …� o Rec (f ) = � – {1}En la segunda función: Dom (f ) = �1, 2, 3, 4,6, 12� y Rec (f ) = �1, 2, 3, 4, 6, 12�

e) En la función f (x) = x + 1 no se relacionan en

forma proporcional, mientras que en g(x) = ,sí se relacionan proporcionalmente.

Página 193

1. C 2. D 3. A

4. a) 7 huevos.b) f (x) = 3x. Dom (f ) = �0 y

Rec (f ) = �3 • n /n ∈ �0�

00 2 4 6 8 10 12 14 16

20

40

60

100

80

120

Rapidez (km/h)

Tiempo(h)

480x

6x

600x

144x

Altura (cm)

76543210

0 1 2 3 4 5 6 7Base(cm)

15 12 10 6 5

24 12 8 6

Rapidez (km/h)

Tiempo(h)

140120100

80604020

00 2 4 86 10 12 14 16

30

Cantidad de cajas

Cantidad de alfajores

2520151050

0 5 10 15 20 25 30

20x

24x

12x

12x

Solucionario 219

Cantidad de personas

25

20

15

10

5

00 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidadde huevos

b)

Página 195


1. a) $ 2 800 000 y $ 1 100 000, respectivamente. La función es f (x) = 3 600 000 – 100 000x

b) 14 kg y 400 g. La función es: f (x) = 20 000 – 400x

c) • $ 4550 y $ 46 200, respectivamente.• f (x) = 7000 – 350(x – 1)• Dom f (x) �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, 19, 20�

y Rec f (x) = �7000, 6650, 6300, 5950,..., 700, 350�.

3. a) • $ 13 200 y $ 15 300, respectivamente.• $ 154 200• f (x) = 9000 + 700(x – 1)

b) Quedaron 200 gramos de aceitunas.

Página 198

1. D 3. A 5. C 7. C2. D 4. D 6. B 8. A

Página 199

9.

• f (x) = 5x

10. a) De proporcionalidad inversa, ya que el gráfico es una hipérbola.

b) k = 120

c) f (x) =

00

510

15

2025

30

3540

y

x1 2 3 4 5 6 7 8

120x

x 2 64y 80 160

220 Matemática 8

Índice temáticoA

Adición con números enteros, 13

Algoritmo de la división, 23

Amplitud - de un intervalo, 137- térmica, 24

Análisis de encuestas, 144, 145

Ángulo, 105- de rotación, 112- interior de un polígono regular, 120

Apotema de un polígono, 75

Arco de una circunferencia, 78, 79

Área, 75- del cilindro 88, 89, 90- del círculo, 84, 85- del cono 88, 89, 90- de un cuadrado, 75- de un polígono regular, 84- de un rectángulo, 75- de un triángulo, 75- de una pirámide, 90

B

Base de una potencia, 39

C

Cardinalidad del espacio muestral, 151

Centro- de una circunferencia, 76, 77- de rotación, 112

Censos, 131, 142, 143- Censo y muestreo, 142

Circunferencia y círculo como lugar geométrico,76, 77

Construcción geométrica- copiar un ángulo, 112- de rectas paralelas, 108- de simetral de un trazo, 111

Crecimiento exponencial, 60, 61

Cuerpos geométricos- cilindro recto, 88- cono recto, 88- paralelepípedo, 48- pirámides, 75- poliedros, 88- prisma recto, 75- redondos, 88

Cuerda, 78, 79

D

Datos y azar, 130

Decrecimiento exponencial, 62, 63

Diámetro de una circunferencia, 78, 79

División- de potencias de igual base, 46, 47- de potencias de igual exponente, 50, 51- exacta de números enteros, 18, 19- inexacta de números enteros, 22

Dominio de una función, 178, 179

E

Ecuación, 168- verificación, 168

Eje- de las abscisas, 169- de las ordenadas, 169- de simetría, 110

Elementos de una circunferencia, 78, 79

Encaje (técnica), 98

Encuestas, 145

Índice temático 221

Espacio muestral, 150, 151

Experimentos aleatorios, 150

Exponente de una potencia, 39

Expresión algebraica, 172

F

Fracciones (representación), 46, 154

Frecuencia- absoluta, 133, 134, 135- absoluta acumulada, 135- relativa, 133, 134, 135- relativa acumulada, 135

Funciones y relaciones proporcionales, 164- proporcionalidad directa, 184, 185- proporcionalidad inversa, 188, 189

G

Generatriz, 89, 90Geometría y medición, 72

H

Hipérbola, 189

I

Intervalos, 137

Intervalo modal, 140

Isometría, 106

L

Longitud de una circunferencia, 82, 83

Lugar geométrico, 77

M

Marca de clase, 139

Medidas de tendencia central- media aritmética, 133- media aritmética para datos agrupados,

138, 139- mediana, 133- moda, 133- moda para datos agrupados, 140, 141

Mosaico, 118

Movimientos en el plano, 102

Muestra, 133, 143

Multiplicación- de números enteros, 16, 17- de potencias de igual base, 44, 45- de potencias de igual exponente, 48, 49- de un número natural por un número entero

negativo, 14, 15

N

Noción de función, 172, 173

Número(s)- enteros, 10- y su relación con la circunferencia, 80, 81- positivo, 16

O

Operaciones combinadas, 24, 25

P

Perímetro de un polígono, 75

Población, 133

Polígono, 75, 105- regular, 75, 105

Porcentaje, 167

Potencia(s), 36, 39- de base decimal positiva y exponente natural,

58, 59

222 Matemática 8

- de base entera y exponente natural, 40, 42, 43

- de base fraccionaria positiva y exponentenatural, 56, 57

- de una potencia, 52, 53

Principio multiplicativo, 150, 151

Probabilidad, 133- regla de Laplace, 154, 155

Propiedad- conmutativa de la multiplicación, 15- distributiva de la multiplicación respecto de la

suma, 24

Proporción, 167

R

Radio de una circunferencia, 76, 77, 78, 79

Rango, 136, 137

Razón, 167

Recorrido de una función, 178, 179

Recta(s)- numérica, 13- paralelas, 105- perpendiculares, 105- secantes, 105- secante a una circunferencia, 78, 79- tangente a una circunferencia, 78, 79

Reflexiones de figuras planas, 110, 111

Regla de los signos, 17, 19

Representatividad de una muestra, 143

Resto, 18, 22

Rotaciones de figuras planas, 112, 113

S

Simetral de un segmento, 110

Simplificación de fracciones, 46

Situaciones con dos variables, 168, 169

Sucesos- elementales, 152- equiprobables, 152

Sustracción con números enteros, 13

T

Tablas de frecuencia, 134- construcción para datos agrupados, 136, 137- interpretación, 134, 135

Teselaciones, 118, 119- regulares y semirregulares, 120

Tetris (juego), 125

Transformaciones- de figuras y objetos, 106- isométricas, 106, 107

Traslaciones de figuras planas 108, 109

Triángulo rectángulo, 75

V

Valor- absoluto, 13- de la potencia, 39, 41, 54- de la razón, 80, 167

Variable- dependiente, 174, 175- independiente, 174, 175- estadística cuantitativa y cualitativa, 133

Variaciones proporcionales y no proporcionales,182, 183

Vector de traslación, 108

Volumen, 92- del cilindro 92, 93- del cono, 92, 93

Bibliografía 223

BibliografíaDOCUMENTOS OFICIALES

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MATERIAL CRA

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• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. EdicionesPirámide, España, 1995, 2ª ed.El objetivo de la obra es mostrar cómo laexploración de los propios métodos depensamiento es una tarea que puede mejorar lacalidad del pensar y los aportes de la Matemáticaen este ámbito.

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• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática ydesarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia,1997, 1ª ed.El autor propone una estrategia pedagógica queimplica la comprensión del desarrollo de los sujetos,el proceso de construcción y estructuración lógicade los conceptos y de los saberes específicosabordados con los alumnos y alumnas.

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RECURSOS TECNOLÓGICOS

• Software geométrico GeoGebra. En este sitioencontrará un programa geométrico libre, paradescargar, que le permitirá enseñar y trabajar consus alumnos y alumnas.http://www.geogebra.org

• Software geométrico Limix Geometric. En estesitio encontrará un programa gratuito que podrádescargar, permite obtener el área y volumen dedistintos cuerpos geométricos.http://www.limix.net

PÁGINAS WEBS

• Ministerio de Educación de Chilehttp://www.mineduc.cl

• Centro Comenius. Software educativos, enespecial de matemáticas, recursos y muchas cosasmás. Patrocinado por la USACH.http://www.comenius.usach.cl

• Recursos matemáticos Redemathttp://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Base de datos de documentos para Educación.http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm

• REDUC. Red Latinoamericana de información ydocumentación en educación. Contiene base dedatos sobre investigaciones, textos completos,recortes de prensa.http://www.reduc.cl

• Sociedad de Matemática de Chilehttp://www.sochiem.cl

• Recursos matemáticos Redemathttp://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Instituto Nacional de Estadísticas.http://www.ine.cl

• Ministerio de salud.http://www.redsalud.gov.cl

• Consejo Nacional para el Control deEstupefacientes (Conace).http://www.conacedrogas.cl

• Fundación Futuro.http://www.fundacionfuturo.cl/

BUSCADOR RECOMENDADO

• Sitio educativo con diversos recursos,planificaciones e información de todas las áreas.Incluye buscador.http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

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