tesis_pregrado

ESTUDIO SOBRE EL USO DEL MÉTODO DE LA INTEGRAL DE RAYLEIGH EN LA DETERMINACIÓN DEL CAMPO ACÚSTICO DE RADIADORES 3D

ALEXANDER ORTEGA GRIBENCHENKO

UNIVERSIDAD DEL VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS PROGRAMA ACADEMICO DE FÍSICA

Santiago de Cali 2010



Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de Físico

Director: Dr. Jorge Arenas Instituto de Acústica

Universidad Austral de Chile

Codirector: Dr. Otto Vergara

Departamento de Física Universidad del Valle

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

PROGRAMA ACADEMICO DE FÍSICA Santiago de Cali

2010

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

PROGRAMA ACADEMICO DE FÍSICA



TEMAS:

• Acústica Física

• Monopolo acústico

• Dipolo acústico

• Campos de presión acústica

• Integral de Rayleigh

• Matriz de propagación

• Método SVD

NOTA DE APROBACIÓN

El trabajo de grado titulado “Estudio sobre el uso del Método de la Integral de Rayleigh en la determinación del campo acústico de radiadores 3D” presentado por el estudiante ALEXANDER ORTEGA GRIBENCHENKO, para optar al título de físico, fue revisado por el jurado y calificado como: Aprobado. Jorge Arenas Director Otto Vergara Codirector

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al profesor Jorge Arenas por sugerir el tema de tesis y presentarme la

oportunidad de formarme y desarrollar este trabajo en la Universidad Austral de Chile.

Al profesor Otto Vergara por su formación y por aceptar la codirección de este

trabajo en la Universidad del Valle.

A todos quienes desarrollaron las Matemáticas y la Física, y me permitieron hacer

estos malabares con el raciocinio.

A las Letras por justificar las Ciencias y obrar como una geometría paralela.

A mi Universidad del Valle, universidad pública, por entregarme lo valuable e in-

valuable: medios y amigos.

A mis amigos por las piedritas puestas que impidieron que el carro se me fuera

pa’tras, y por la compañía mientras andaba.

A mi Negro, hermano, por las duras y las maduras, por los sonidos, las letras y el

afecto siempre compartido.

A mi familia, por ser la más profunda prueba de amor que he conocido.

1

RESUMEN

En el presente trabajo se desarrolla una implementación numérica basada en la

Integral de Rayleigh para calcular el campo acústico de radiadores 3D.

Dada la representación matricial que presenta el problema, se implementa el Método

de Descomposición en Valores Singulares que permite hacer más eficiente el cálculo

computacional.

En particular, la implementación numérica se evalúa calculando el campo acústico

de estructuras monopolares y dipolares, aunque el código computacional desarrollado

permite calcular el campo de presión en una distribución arbitraria de puntos, cono-

ciendo únicamente la geometría particular de la fuente y su distribución superficial de

velocidades.

Tras comparar los resultados numéricos con los teóricos, se concluye que el método

numérico propuesto resulta eficiente para calcular el campo de presión generado por

frecuencias bajas y medias en el espectro 20Hz-20KHz.

2

OBJETIVOS

Objetivo general

Implementar el Método de la Integral de Rayleigh, mediante una representación

matricial, en problemas de radiación sonora de objetos tridimensionales, deter-

minando sus alcances y limitaciones.

Objetivos especificos

Desarrollo e implementación numérica de un modelo para la discretización de una

superficie esférica en elementos de igual área.

Implementación numérica de una rutina basada en la Integral de Rayleigh que

permita calcular la matriz de propagación, el vector de distribución de velocidades

y el campo de presiones, para sistemas acústicos monopolares y dipolares.

Implementación del método de Descomposición en Valores Singulares (SVD) a la

matriz de propagación con el fin de optimizar recursos computacionales.

Comparación de resultados numéricos con resultados teóricos para las fuentes

acústicas monopolares y dipolares.

3

Índice general

1. Introducción 6

2. Fundamentos de acústica 8

2.1. Conservación de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Fenómeno adiabático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Segunda ley de Newton aplicada al caso acústico . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5. Fuentes acústicas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1. Monopolo acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2. Dipolo acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6. Integral de Kirchoff-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. Integral de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8. Pistón circular acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Implementación numérica del problema de radiación sonora 33

3.1. Representación matricial del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Matriz de propagación G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Discretización de una corteza esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1. Relaciones geométricas puntos fuente - puntos medición . . . . . . . . 41

3.4. Distribución superficial de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1. Distribución de velocidades en un monopolo acústico . . . . . . . . . . 43

3.4.2. Distribución de velocidades en un dipolo acústico . . . . . . . . . . . . 44

4

3.5. Método SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.1. Formulación matemática del método SVD . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.2. Ventajas computacionales asociadas al método SVD . . . . . . . . . . 47

3.6. Desarrollo de algoritmos computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Resultados 50

4.1. Resultados Monopolo Acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1. Variación axial: Monopolo Acústico (20Hz) . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.2. Variación axial: Monopolo Acústico (1KHz) . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.3. Variación axial: Monopolo Acústico (20KHz) . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.4. Error relativo Vs Discretización: Monopolo Acústico (20Hz-500Hz) . . 54

4.1.5. Error relativo Vs Discretización: Monopolo Acústico (1KHz-20KHz) . . 55

4.2. Resultados Dipolo Acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1. Variación axial: Dipolo Acústico (20Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2. Variación axial: Dipolo Acústico (1KHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3. Variación axial: Dipolo Acústico (20KHz) . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.4. Error relativo Vs Discretización: Dipolo Acústico (20Hz-500Hz) . . . . 59

4.2.5. Error relativo Vs Discretización: Dipolo Acústico (1KHz-20KHz) . . . 60

4.2.6. Variación angular: Dipolo Acústico (1KHz) . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Exactitud Vs SVD : Dipolo Acústico (1KHz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Esquema del Dipolo Acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5. Análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Conclusiones 69

6. Perspectivas 71

A. Códigos computacionales

(MATLAB) 72

Bibliografía 90

5

Capítulo 1

Introducción

El estudio de la radiación sonora de estructuras vibratorias, es en la actualidad, uno

de los campos de la acústica con mayor número de publicaciones científicas, debido al

alcance tanto teórico como práctico que presenta su investigación.

La mayor parte de los fenómenos prácticos de radiación sonora incluyen una es-

tructura superficial que vibra producto de alguna fuerza de excitación. Las fuerzas de

excitación, de origen mecánico, inducen una vibración en la estructura, que se traduce

también en una respuesta mecánica de ésta. Debido a que el fluido que rodea la es-

tructura presenta una resistencia a la vibración (carga de radiación), esta respuesta

mecánica se convierte en una respuesta acústica [1]. Lo anterior describe la base del

problema vibro-acústico: la transferencia de energía vibratoria a energía acústica. En

ciertas aplicaciones, nos interesa que la eficiencia de esta transferencia sea alta, como

en el caso de los altavoces, y en la mayoría de los problemas que involucran ruido, nos

interesa que esta eficiencia sea mínima.

La principal complicación en la determinación de la respuesta acústica, radica en

los acoplamientos que se producen entre la estructura y el fluido. Estos acoplamientos

son, en la mayoría de los casos, difíciles de determinar y se debe resolver el problema

mediante aproximaciones analíticas, métodos numéricos o métodos estadísticos.

Bajo ciertos supuestos, el problema de radiación puede ser simplificado, lo que

permite emplear el método de la Integral de Rayleigh. En particular este método se

6

emplea en el caso de fuentes planas radiando en aire libre, y aunque en estricto rigor,

no es aplicable a problemas tridimensionales, bajo ciertas condiciones puede extenderse

su uso a este tipo de estructuras [2].

El uso de la Integral de Rayleigh y el hecho de que el fenómeno acústico pueda

considerarse lineal, permite estudiar estructuras complejas discretizándolas en un con-

junto de elementos superficiales que presentan distintos tipos de contribuciones. Estos

métodos son denominados Métodos de Elementos de Contorno (BEM-Boundary Ele-

ments Method) y generalmente tienen representaciones matriciales. Es común que la

discretización de la superficie de la fuente a analizar se haga en elementos de áreas

iguales, que de modo individual, se asume, vibran con la misma velocidad superficial.

Cada uno de estos elementos se representa de modo equivalente por un pistón circular

para el cual el campo de presión es conocido [3].

Dada la representación matricial en este tipo de métodos, una mayor discretización

de la fuente de estudio se refleja en resultados de valores de presión más exactos, pero ll-

eva asociado un costo computacional relacionado con el aumento de la dimensionalidad

matricial. Es por ello que se emplea el método de Descomposición en Valores Singulares

(SVD-Singular Value Descomposition) que permite extraer parámetros característicos

con los cuales pueden representarse, con un número reducido de elementos, matrices

de gran dimensionalidad [2].

Las publicaciones más recientes implementan la metodología de la Integral de

Rayleigh mediante la representación matricial a estructuras planas [2, 4]. El presente

trabajo constituye una primera aproximación a la evaluación de dicha metodología en

estructuras 3D. Para ello estudia las posibilidades y limitaciones mediante la compara-

ción de simulaciones numéricas con resultados teóricos en estructuras monopolares y

dipolares, para los cuales existen soluciones analíticas. Los resultados permitirán in-

ferir su posible aplicación en estructuras tridimensionales arbitrarias, para las cuales

no existe solución analítica.

7

Capítulo 2

Fundamentos de acústica

El estudio de sistemas acústicos está relacionado de manera directa con las carac-

terísticas del medio en el cual ocurre el fenómeno. Es por ello que la propagación

ondulatoria en medios como líquidos, sólidos o gases, presenta distintos tipos de com-

portamientos.

En el presente documento, el estudio centra su interés en medios tales como el aire

en los cuales el análisis sobre las partículas puede omitir los efectos de la fuerza de

gravedad, y por tanto, asumir constantes los valores de presión en equilibrio y de den-

sidad inicial del medio, que se supone además homogéneo, isotrópico y perfectamente

elástico (es decir, no hay fuerzas de disipación presentes, tales como las derivadas de

la viscosidad o pérdidas por conducción de calor).

Finalmente, el análisis es limitado a ondas de amplitudes pequeñas de tal forma

que los cambios de densidad del medio son pequeños comparados con su valor en

equilibrio estático. Todas las anteriores características permiten considerar el fenómeno

de propagación acústica, en dicho medio, como un fenómeno absolutamente lineal.

Este capítulo expone detalladamente las herramientas acústicas básicas que per-

mitirán implementar un modelo numérico, para el cálculo de presión sonora de una

estructura tridimensional arbitraria.

En adelante, denominaremos elemento de volumen a un fragmento del volumen

total que sea grande, en el sentido de contener millones de moléculas y que pueda

8

asumirse como un fluido continuo, pero suficientemente pequeño, de manera que ciertas

variables acústicas, tales como la presión, densidad y velocidad de partícula, puedan

ser consideradas constantes dentro de este elemento.

Los principios físicos fundamentales empleados en el presente capítulo hacen parte

de las referencias [6, 7]. El desarrollo guiado desde dichos principios hasta las ecuaciones

finales es propuesto por el autor de éste documento.

2.1. Conservación de masa

Cuando una onda plana se mueve a lo largo de un determinado eje de propagación,

los planos adyacentes de las moléculas en el fluido son desplazados de sus posiciones de

equilibrio. En general, este tipo de desplazamientos son funciones de las coordenadas

de posición y del tiempo, y pueden ser representados por una función ξ(x, t).

x x+ xΔ

ξ Δ(x+ x)ξ(x)

Figura 2.1: Elemento de volumen perturbado.

Es de interés en el campo de la acústica deducir una ecuación que relacione dichos

desplazamientos con los cambios de densidad del medio. Al pasar una onda sonora,

el plano originalmente en x es desplazado una magnitud ξ(x) y el plano que estaba

en la posición x + ∆x es desplazado una magnitud ξ(x + ∆x). Consecuentemente,

la densidad del fluido entre los dos planos se altera de modo tal que la masa total

permanece constante, ya que en el fenómeno acústico hay propagación de energía, mas

9

no de materia. Con tal fin, se aplica el principio de conservación de masa a un elemento

de fluido no perturbado contenido entre los planos con posición x y x+∆x, y que tiene

una masa característica ρoS∆x:

ρoVo = ρfVf (2.1)

donde S es el elemento de superficie común a todos los planos, ρo es la densidad del

elemento en equilibrio con Vo como el volumen inicial que ocupa, y ρf y Vf la densidad

y el volumen respectivo del elemento una vez ha ocurrido la perturbación.

De acuerdo con la Fig(2.1) podemos observar que los volúmenes ocupados por

un elemento cualquiera del fluido, sometido a una perturbación en la dirección x,

pueden ser calculados a partir de los valores iniciales y finales de posición de los planos

perpendiculares al eje de propagación, es decir:

ρo(S ∗ (xof − xoi)) = ρf (S ∗ (xf − xi))

donde xof y xoi corresponden a las posiciones de los planos final e inicial, respectiva-

mente, antes de la perturbación, y xf y xi corresponden a las posiciones de los planos

final e inicial, respectivamente, después de la perturbación. Las relaciones para cada

uno de los valores de posición de los planos son:

xoi = x

xof = x+ ∆x

xi = x+ ξ(x)

xf = (x+ ∆x) + ξ(x+ ∆x)

Empleando las anteriores relaciones podemos reescribir la Ec(2.1) como:

ρo

(S ∗(

(x+∆x)− (x)))

= ρf

(S ∗(((

x+∆x)

+ ξ(x+∆x))−(x+ ξ(x)

)))(2.2)

Cuando los cambios de densidad son pequeños (caso del espectro audible) la den-

sidad final ρf puede ser considerada como la suma de la densidad inicial ρo con un

10

pequeño valor de perturbación ρ para el cual ρo >>> ρ, es decir, podemos reescribir

la Ec(2.1) como:

ρo(S ∗∆x) =(ρo + ρ

)∗(S ∗

(∆x+ ξ(x+ ∆x)− ξ(x)

))(2.3)

Desarrollando la Ec(2.3) y despreciando los términos de segundo orden origina-

dos por productos entre variaciones infinitesimales de desplazamiento y de densidad,

obtenemos:

− ρ

ρo=ξ(x+ ∆x)− ξ(x)

∆x(2.4)

Tomando finalmente el límite cuando ∆x→ 0, y escribiendo el resultado para una

dirección de propagación arbitraria, la ecuación anterior puede expresarse como:

∂ξi∂xi

= −ρiρo

(2.5)

La ecuación Ec(2.5) es una forma especial de la ecuación de conservación de masa

empleada continuamente en acústica, y expresa que tanto las expansiones como las

compresiones de un elemento de volumen, vienen acompañadas de un cambio de den-

sidad contrario al proceso de que fueron origen, es decir, cuando existe un aumento

en el volumen debido a que el volumen del elemento tras la perturbación es mayor al

volumen del elemento en equilibrio, la densidad disminuye, y viceversa.

La ecuación Ec(2.5) también puede ser escrita en función de las velocidades de

partícula vi si se deriva temporalmente:

∂2ξi∂t∂xi

= − 1

ρo

∂ρi∂t

(2.6)

Permutando el orden de las derivadas parciales del término izquierdo de la ecuación

anterior obtenemos:∂2ξi∂t∂xi

=1

∂xi

(∂ξi∂t

)=∂vi∂xi

(2.7)

11

con lo que podemos reescribir la Ec(2.5) como:

∂vi∂xi

= − 1

ρo

∂ρi∂t

(2.8)

Tomando sumatorias a cada lado de la ecuación de la Ec(2.8) obtendremos las

siguientes relaciones: ∑i

∂vi∂xi

= div(~v) = ∇ · ~v (2.9)

∑i

∂ρi∂t

=∂ρ

∂t(2.10)

con las que podemos finalmente reescribir Ec(2.8) como:

∇ · ~v =1

ρo

∂ρ

∂t(2.11)

Existe, además, una relación entre la densidad y la presión dada por ρ = p/c2, donde

ρ es la densidad, c la velocidad de propagación del sonido en él, y p su presión. Esta

relación solo se cumple bajo el supuesto de la característica adiabática del fenómeno

que sera discutido en el numeral siguiente. Empleando dicha relación obtenemos:

∇ · ~v = − 1

ρoc2

∂p

∂t(2.12)

Esta es finalmente la ecuación de continuidad en el caso acústico, escrita de manera

generalizada. Aunque la deducción de la ecuación tomó como base el uso de coordenadas

cartesianas, el resultado expresado por la Ec(2.12) es completamente compatible con el

uso de otros sistemas coordenados, en los cuales debe tomarse únicamente la precaución

de escribir los operadores vectoriales de manera adecuada, es decir, acorde al sistema

coordenado elegido.

2.2. Fenómeno adiabático

Otra relación importante, necesaria en la caracterización del campo acústico, es la

que relaciona los cambios de presión con los cambios de densidad del medio. En general

existen muchas relaciones dependiendo del proceso termodinámico involucrado.

12

Cualquier compresión de un elemento de volumen de un fluido requiere disipación

de energía; energía que es convertida en calor incrementando la temperatura, a menos

que el proceso sea muy lento y la energía se disipe en el fluido circundante.

Cuando se transmiten ondas sonoras a través de un fluido, los gradientes de tem-

peratura entre las partes adyacentes al fluido, comprimidas y expandidas, son relativa-

mente pequeños. Consecuentemente, poca energía se disipa en forma de calor antes de

que cese la compresión. Bajo tales circunstancias el proceso termodinámico puede con-

siderarse adiabático, y es por ello el más adecuado para describir cambios de presiones

y de densidad en fluidos [5].

Así, en el caso de compresiones y expansiones alternadas de un pequeño elemento de

volumen S∆x generadas a causa de ondas sonoras, la ecuación que describe la relación

entre presiones y densidades es:ptp

=

(ρtρ

)γ(2.13)

donde pt y ρt son respectivamente las presión y densidad del fluido perturbado, p y ρ

la presión y densidad en reposo, y γ una constante propia para cada tipo de fluido.

2.3. Segunda ley de Newton aplicada al caso acústico

Cuando un medio es deformado tal como fue descrito en la sección dedicada al de-

sarrollo de la ecuación de conservación de masa Ec(2.1), las presiones resultantes en las

dos superficies del elemento de volumen S∆x, serán levemente diferentes, produciendo

una fuerza resultante que acelera el elemento.

La fuerza externa que actúa en cada superficie es igual al producto de la presión

por el área de la superficie. Así, la fuerza resultante sobre el elemento de volumen S∆x

en la dirección x es:

∆Fx = p(x) ∗ S − p(x+ ∆x) ∗ S = m∂2ξ

∂t2(2.14)

13

p(x) p(x+ x)Δ

Figura 2.2: Elemento de volumen sobre el cual se ejerce el gradiente de presión.

En la deducción de la anterior ecuación se ignoraron las fuerzas causadas por la

presión en equilibrio Po (atmosférica), pues éstas siempre se cancelan. El gradiente

de presión sonora es el único elemento que da origen a la fuerza resultante sobre el

elemento de volumen. Empleando la expresión m = ρoS∆x que relaciona la masa del

elemento con su densidad y volumen, podemos reescribir la Ec(2.14) como:

p(x) ∗ S − p(x+ ∆x) ∗ S = ρoS∆x∂2ξ

∂t2(2.15)

−p(x+ ∆x)− p(x)

∆x= ρo

∂2ξ

∂t2(2.16)

Tomando finalmente el límite, cuando ∆x → 0 reescribimos la ecuación anterior

como:∂p

∂x= −ρo

∂2ξ

∂t2(2.17)

La Ec(2.17) también puede ser escrita en función de las velocidades de partícula v

empleando la relación ∂ξ∂x

= vx como:

∂p

∂x= −ρo

∂vx∂t

(2.18)

Esta ecuación es conocida en acústica como ecuación de Euler y puede expandirse al

caso de una dirección de propagación arbitraria representándose por:

∂p

∂xix̂i = −ρo

∂vi∂tx̂i (2.19)

donde x̂i representa un vector unitario en una dirección en particular.

14

Tomando sumatorias a cada lado de la Ec(2.19) obtendremos las siguientes rela-

ciones: ∑i

∂p

∂xix̂i = grad(p) = ∇p (2.20)

∑i

∂vi∂tx̂i =

∂~v

∂t(2.21)

Así, la Ec(2.19) puede escribirse como:

∇p = −ρo∂~v

∂t(2.22)

Esta es finalmente la ecuación de Euler escrita de manera generalizada. De igual modo

que en el caso de la ecuación de conservación de masa, aunque la deducción de la

ecuación tomó como base el uso de coordenadas cartesianas, el resultado expresado por

la Ec(2.22) es completamente compatible con el uso de otros sistemas coordenados, en

los cuales debe tomarse únicamente la precaución de escribir los operadores vectoriales

de manera adecuada, es decir, acorde al sistema coordenado elegido.

2.4. Ecuación de onda

El fenómeno acústico, como cualquier otro tipo de fenómeno ondulatorio, basa su

representación en la ecuación de onda; ecuación que en este caso relaciona las varia-

ciones espaciales y temporales de un campo de presión. En el caso acústico, la ecuación

de onda surge de la combinación de las ecuaciones de conservación de masa y de la

ecuación de Euler.

Aplicando el operador divergencia a la ecuación de Euler Ec(2.22) obtenemos:

div(grad(p)

)= ∇ · (∇p) = ∇ ·

(− ρo

∂~v

∂t

)(2.23)

El operador ∇ · (∇p) es denominado Laplaciano de p, y se representa de manera

concreta como ∇2p. Dado que la divergencia opera únicamente sobre características

15

espaciales, la derivada temporal se puede permutar obteniendo:

∇2p = −ρo∂(∇ · ~v)

∂t(2.24)

La divergencia del campo de velocidades es ya conocida y está representada por la

ecuación de conservación de masa Ec(2.12). Empleando esta relación obtenemos:

∇2p = −ρo1

∂t

(− 1

ρoc2

∂p

∂t

)(2.25)

∇2p =1

c2

∂2p

∂t2(2.26)

La ecuación Ec(2.26) es finalmente la ecuación de onda y junto con las ecuaciones de

conservación de masa Ec(2.12) y la ecuación de Euler Ec(2.22), forman las herramientas

base para el análisis de cualquier tipo de problema acústico.

2.5. Fuentes acústicas elementales

2.5.1. Monopolo acústico

Un monopolo acústico puede ser caracterizado matemáticamente como una esfera

pulsante que desplaza todo el volumen del medio que la circunda, y que tiene además

una frecuencia de oscilación constante con amplitudes pequeñas comparadas con el

radio de la misma (lo que permite considerar el fenómeno como lineal) [6].

Denotaremos en adelante como R el radio de la esfera y como ξ el desplazamiento

radial de la superficie. Así, el comportamiento armónico de compresión y expansión del

monopolo esta caracterizado por:

ξ = ξoejwt (2.27)

donde ξo corresponde a la amplitud compleja de dicho desplazamiento, w a la frecuencia

angular de oscilación, j al número complejo identidad (√−1) y t al tiempo.

16

ξR R

ξ

Figura 2.3: Izquierda: Monopolo acústico en fase de expansión. Derecha: monopolo

acústico en fase de compresión. Tanto los vectores azules como los verdes indican la

distribución de velocidad superficial en ambos casos.

De allí que las expresiones para la velocidad y aceleración de partícula estén respec-

tivamente dadas por:

v =dξ

dt= jwξoe

jwt = jwξ (2.28)

a =dv

dt= −w2ξoe

jwt = jwv (2.29)

Debido a este tipo de oscilación, el monopolo genera un campo con simetría esférica,

pues la velocidad de desplazamiento de cualquier elemento de la superficie es siempre

la misma, con componente únicamente radial, e independiente de cualquier ángulo. De

este modo se genera un frente de onda esférico que se aleja de la fuente y que satisface

evidentemente la ecuación de onda en coordenadas esféricas.

El operador Laplaciano en coordenadas esféricas esta descrito por:

∇2p =1

r2

∂

∂r

(r2∂p

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂p

∂θ

)1

r2 sin2 θ

∂2p

∂φ2(2.30)

y debido a las simetrías ya descritas, en las cuales no existe variación con respecto a

las coordenadas θ ni φ, podemos simplificarlo como:

∇2p =∂2p

∂r2+

2

r

∂p

∂r(2.31)

17

Así, la ecuación de onda asociada a la propagación debida por el monopolo es:

∂2p

∂r2+

2

r

∂p

∂r=

1

c2

∂2p

∂t2(2.32)

Puede corroborarse fácilmente, realizando las derivadas correspondientes, que la

solución que satisface la ecuación anterior en el régimen estacionario está dada por:

p(r) =A

re−jkr (2.33)

donde A es una constante a determinar relacionada con las propiedades del medio, r

representa la distancia al monopolo y k el numero de onda relacionado con la frecuencia

angular como w = ck.

Para determinar la constante A emplearemos la ecuación de Euler, Ec(2.22). El

operador gradiente en coordenadas esféricas está dado por:

∇p =∂p

∂rr̂ +

1

r

∂p

∂θθ̂ +

1

r sin θ

∂p

∂φφ̂ (2.34)

y dadas las simetrías ya descritas, puede simplificarse como:

∇p =∂p

∂r(2.35)

Así, la ecuación de Euler en el caso del monopolo está expresada por la relación:

∂p

∂r= −ρo

∂v

∂t(2.36)

Reemplazando la relación para la presión Ec(2.33) y la relación para la aceleración

Ec(2.29) en la Ec(2.36) obtenemos:

−Ar2e−jkr − jkA

re−jkr = −ρo(jwv) (2.37)

Evaluando sobre la corteza esférica, que representa la condición de frontera, y despe-

jando la amplitud de oscilación obtenemos la expresión:

A =jwρovR

2

(1 + jkR)ejkR (2.38)

18

La relación anterior también puede ser reescrita en términos de una cantidad de-

nominada velocidad de volumen, definida como:

u =

∫S

~v · ~dS (2.39)

donde ~v representa el vector de velocidad y ~dS el vector de superficie.

Dado que en el caso de una esfera pulsante, todos los elementos se mueven única-

mente con componentes de velocidad paralelas al vector de superficie, la velocidad de

volumen queda expresada por:

u = v · 4πR2 (2.40)

De este modo, la amplitud de oscilación expresada en términos de la velocidad de

volumen es:

A =jwρou

4π(1 + jkR)ejkR (2.41)

Reemplazando el valor de amplitud encontrado en la ecuación general de presión

para el monopolo Ec(2.33), obtenemos:

p(r) =

(jwρu

4πr

)(1

1 + jkR

)e−jk(r−R) (2.42)

La ecuación anterior es la expresión general para el campo de presión generado por un

monopolo acústico y puede simplificarse en casos específicos. De la ecuación anterior en

adelante denotaremos a ρo únicamente como ρ para no acarrear el subíndice, recordando

que hace referencia a la densidad del medio.

Para grandes distancias y bajas frecuencias, es decir, para R/r << 1 y kR << 1 la

ecuación Ec(2.42) se reduce a:

p(r) =

(jwρu

4πr

)e−jkr (2.43)

2.5.2. Dipolo acústico

Consideramos un dipolo acústico a un sistema generado por dos monopolos acústi-

cos con un desfase π en su oscilación, separados una distancia d. Este desfase implica

19

que cuando un monopolo se contrae el otro se expande, y viceversa. Dada la carac-

terística lineal del fenómeno acústico, el campo de presión generado por este tipo de

arreglos puede conseguirse sumando las contribuciones individuales de cada uno de los

monopolos [6].

r

1r

2r

θd

l

l

θ

Figura 2.4: Representación del Dipolo Acústico como resultado de una distribución

monopolar en oposición de fase.

Así, para una distribución dipolar como la observada en la Fig(2.4), las contribu-

ciones monopolares individuales representadas por la Ec(2.33) permiten describir el

campo de presión del dipolo como:

p(r, θ) =A

r1

e−jkr1 − A

r2

e−jkr2 (2.44)

A grandes distancias, es decir, para r � d, podemos observar en la Fig(2.4) que se

cumplen las siguientes relaciones:

r1 ≈ r + lcosθ (2.45)

20

r2 ≈ r − lcosθ (2.46)

Las relaciones expresadas por las Ec(2.45) y Ec(2.46) nos permite reescribir la

Ec(2.44) como:

p(r, θ) = A

(e−jk(r+l cos θ)

r + l cos θ− e−jk(r−l cos θ)

r − l cos θ

)(2.47)

que a su vez, puede ser reescrita como:

p(r, θ) =Aejkr

r

((1 +

l cos θ

r

)−1

e−jkl cos θ −(

1− l cos θ

r

)−1

ejkl cos θ

)(2.48)

Dado que la aproximación se considera para grandes distancias, se cumple la relación

l/r � 1. Como además la función | cos θ| < 1, en general se cumple la relación

l cos θ/r � 1. Lo anterior, permite emplear la aproximación en serie de potencias

(a+ x)n ≈ an + nan−1x obteniendo:(1± l cos θ

r

)−1

≈(

1∓ l cos θ

r

)(2.49)

Reemplazando este resultado en la Ec(2.48) se obtiene:

p(r, θ) =Aejkr

r

((1− l cos θ

r

)e−jkl cos θ −

(1 +

l cos θ

r

)ejkl cos θ

)(2.50)

Si se considera la aproximación en bajas frecuencias, es decir cuando kl � 1,

podemos emplear la aproximación en serie de potencias ex = 1 + x obteniendo:

e±jkl cos θ = 1± jkl cos θ (2.51)

Reemplazando este resultado en la Ec(2.50) se obtiene:

p(r, θ) =Aejkr

r

((1− l cos θ

r

)(1− jkl cos θ)−

(1 +

l cos θ

r

)(1 + jkl cos θ)

)(2.52)

Desarrollando cada uno de los términos y recordando que d = 2l, obtenemos:

p(r) =A

r

(1 + jkr

r

)d cos θe−jkr (2.53)

21

Reemplazando el valor de A = jwρu/4π que fue ya determinado para el caso

monopolar (Ec(2.43)), se obtiene finalmente la expresión general del campo de presión

generado por una distribución dipolar en la aproximación para grandes distancias y

bajas frecuencias de oscilación:

p(r) =jwρu

4πr

(1 + jkr

r

)d cos θe−jkr (2.54)

Cabe destacar que en el caso del dipolo acústico, en comparación con el monopolo,

el decaimiento de presión por distancia es mas rápido dada la dependencia de modo

cuadrático y no lineal con su inverso, y que además, la isotropía del campo de presión

se pierde, conservando únicamente las simetría axial (respecto al eje que une los dos

monopolos).

Este mismo sistema puede ser modelado matemáticamente, con la misma solución

dada en la Ec(2.54), por una esfera que oscila armónicamente con respecto a un eje

determinado [7]. En este caso la distribución de velocidades normales a la superficie de

la esfera es la que contribuye de manera significativa al campo de presión. Este modelo

se empleará mas adelante en el cálculo de la distribución de velocidades del dipolo

acústico.

2.6. Integral de Kirchoff-Helmholtz

Una vez conocidos los campos de presión de estructuras elementales, el principio

de superposición permite representar estructuras con geometrías complejas mediante

arreglos desarrollados a partir de este tipo de fuentes ya conocidas [7]. Empleando

dicho principio, cada pequeño elemento de superficie de análisis es reemplazado por

distribuciones continuas con contribuciones monopolares y dipolares, lo que permite

expresar el campo de presión total de una determinada estructura cómo:

p(r) = pm(r) + pd(r) (2.55)

22

Para emplear al principio de superposición, resulta conveniente representar los re-

sultados de los campos de presión monopolar y dipolar, en forma diferencial. De manera

común, estas contribuciones quedan expresadas mediante la función de Green, definida

de modo general como:

g(~r|~r′) =e−jk|~r−

~r′|

4π|~r − ~r′|(2.56)

En el caso particular en el cual en vector ~r′ coincide con el origen de coordenadas,

tal como en el caso del monopolo acústico, podremos representar la función de Green

de modo reducido como:

g =e−jkr

4πr(2.57)

Empleando la función de Green, podemos representar la expresión para la presión

monopolar de la Ec(2.43) como:

pm(r) = jwρogu (2.58)

Dado que es necesario conocer la contribución individual de cada monopolo, el

termino de velocidad de volumen se expandirá según su definición inicial u = vnδS

donde el subíndice n hace referencia a la componente en la dirección normal. Lo anterior

nos permite reescribir la Ec(2.58) como:

pm(r) = jwρogvnδS (2.59)

Empleando la ecuación del Euler (Ec(2.22)), que permite relacionar la velocidad de

partícula con el gradiente de presión, se obtiene finalmente la representación diferencial

de la contribución de un único elemento monopolar:

pm(r) = −(∂p

∂n

)S

gδS (2.60)

En el caso dipolar, empleando la función de Green, podemos representar la expresión

del campo de presión (Ec(2.54)) como:

pd(r) = jwρug

(1 + jkr

r

)d cos θ (2.61)

23

Se puede comprobar fácilmente que la siguiente relación se satisface:

∂g

∂r= −g

(1 + jkr

r

)(2.62)

Así, la Ec(2.61) puede reescribirse como:

pd(r) = −jwρud(∂g

∂r

)cos θ (2.63)

Teniendo en cuanta las relaciones vectoriales existentes entre las direcciones de

propagación y las direcciones normales a la superficie oscilatoria, encontramos que:

∂g

∂r=∂g

∂n

(∂n

∂r

)=∂g

∂n

(1

cos θ

)(2.64)

∂g

∂n=

(∂g

∂r

)cos θ (2.65)

Empleando esta relación, la expresión para la presión dipolar de la Ec(2.63) puede

ser reescrita como:

pd(r) = −jwρud(∂g

∂n

)(2.66)

Por otra parte, la fuerza que actúa sobre un pequeño elemento de superficie repre-

sentado mediante un dipolo, puede escribirse como:

F =(p(n+ d)− p(n)

)δS (2.67)

Dado que las variaciones de presión son muy pequeñas respecto a la presión en

equilibrio, esta puede aproximarse mediante series como:

p(n+ d) ≈ p(n) +∂p

∂nd (2.68)

Así, la expresión para la fuerza que actúa sobre el elemento de superficie (Ec(2.67))

puede ser reescrita como:

F =

(p(n) +

∂p

∂nd− p(n)

)δS (2.69)

24

F =∂p

∂ndδS (2.70)

Por la ecuación de Euler (Ec(2.22)) conocemos que, en estado estacionario, en el

cual la velocidad de oscilación varía armónicamente con el tiempo, el gradiente de

presión esta dado por:∂p

∂n= −jwρvn (2.71)

Empleando esta expresión en la Ec(2.70) obtenemos:

F = −jwρvndδS (2.72)

La relación de velocidad de volumen u = vnδS nos permite escribir finalmente la

fuerza que actúa sobre el elemento infinitesimal como:

F = −jwρud (2.73)

La anterior expresión permite reescribir en términos de la fuerza la Ec(2.66) como:

pd(r) = F

(∂g

∂n

)(2.74)

pero por definición la fuerza que actúa sobre un elemento infinitesimal está dada por:

F = p∣∣∣δSδS (2.75)

Así, la contribución dipolar puede escribirse en conclusión como:

pd(r) = p∣∣∣δS

(∂g

∂n

)δS (2.76)

Agrupando finalmente las contribuciones monopolares (Ec(2.60)) y dipolares (Ec(2.76))

y haciendo la integración sobre toda la superficie, podemos representar el campo de

presión generado por una superficie oscilatoria con geometría arbitraria mediante:

p(r, w) =

∫∫S

[p(r′, w)

∂g(r|r′)∂n

− g(r|r′)∂p(r′, w)

∂n

]dS (2.77)

25

En general la frecuencia de oscilación, puede no ser constante y es por ello que el campo

de presión tiene una dependencia directa con w. La variable r′ está asociada a todo

el barrido superficial sobre la fuente, y r al punto donde se desea conocer el valor de

presión.

Esta ecuación es conocida como Ecuación Integral de Kirchoff-Helmholtz y es la

base de una familia de métodos numéricos empleados para el cálculo de campos de

presión sonora conocidos como Métodos de Elementos de Contorno (BEM, Boundary

Element Methods).

2.7. Integral de Rayleigh

Aunque la Ecuación Integral de Kirchoff-Helmholtz representa el tipo de superposi-

ción más general que pueda tenerse para representar campos de presión de elementos

con geometrías arbitrarias en términos monopolares y dipolares, son pocas las estruc-

turas para las cuales pueden obtenerse soluciones analíticas por integración directa.

Es por ello que casos de mayor complejidad tratan de aproximarse a estructuras que

tengan solución analítica, o tratan de implementarse métodos numéricos para poder

conocer su solución.

Un tipo de estructura que permite realizar una primera simplificación de la Ecuación

Integral de Kirchoff-Helmholtz, es el de una placa vibrante superpuesta en un sonode-

flector infinito. Un sonodeflector consiste en una estructura completamente rígida sobre

la cual la función de Green satisface la condición de borde de Neumann [7].

Dado que el sonodeflector es completamente rígido, la velocidad de partícula sobre

el mismo es nula, lo cual conlleva también que ∂g/∂n = 0. Así, en este caso, no existe

contribución del término dipolar de la ecuación de Kirchoff-Helmholtz.

A su vez, dado que la presión generada por cada término monopolar no puede

distribuirse en todo el espacio, pues el sonodeflector constituye un límite donde nece-

26

δg/δnun

Fuentereal

Fuenteimagen

=0=0{

Sonodeflecto

rrí

gid

o

Puntomedición

dd

Figura 2.5: Método de imágenes: la reflexión de la perturbación sobre el sonodeflector

se modela como una fuente adicional, ubicada especularmente.

sariamente debe darse una reflexión de la perturbación, se crean contribuciones adi-

cionales a las que se tendrían en campo libre (sin el sonodeflector). Estas contribuciones

adicionales pueden interpretarse como contribuciones de fuentes imagen ubicadas de

modo especular tomando como frontera el sonodeflector [7]. Cuando la distancia entre

la fuente monopolar y el sonodeflector tiende a cero (d→ 0), es decir, cuando la placa

esta superpuesta al sonodeflector, la fuente real y la fuente imagen coinciden geométri-

camente en un mismo punto y la contribución monopolar simplemente se duplica.

Agrupando los resultados de los dos párrafos anteriores, la Ecuación Integral de

Kirchoff-Helmholtz (Ec(2.77)) puede escribirse, para el caso de la placa montada sobre

un sonodeflector infinito, como:

p(r, w) = −2

∫∫S

g(r|r′)∂p(r′, w)

∂ndS (2.78)

Empleado la definición del la función de Green (Ec(2.56)) y la ecuación de Euler

27

(Ec(2.22)), la Ec(2.78) puede escribirse como:

p(r, w) =jwρ

2π

∫∫S

v(r′, w)e−jkR

RdS (2.79)

donde, recordemos, r hace referencia a la coordenada del punto donde queremos conocer

el valor de presión, r′ al la coordenada de los puntos sobre la superficie de la placa que

son considerados fuentes, R = |r−r′|, w es frecuencia angular de oscilación de la fuente,

k el número de onda asociado a dicha frecuencia, v la velocidad de partícula y dS el

elemento infinitesimal de superficie sobre el cual se encuentran distribuidas las fuentes.

Esta ecuación es conocida como Integral de Rayleigh y constituye una primera

aproximación de la Ecuación Integral de Kirchoff-Helmholtz. Empleando como base

esta integral, se calculan campos de presión para distintas estructuras planares; estruc-

turas que presentan gran relevancia ya que la mayoría de estructuras prácticas están

compuestas de estas mismas [4].

2.8. Pistón circular acústico

Un tipo de estructura en la cual se puede calcular fácilmente el campo de radiación

empleando la Integral de Rayleigh es la de un pistón circular acústico. Un pistón circular

acústico consiste en un elemento circular rígido que presenta la propiedad de tener una

velocidad superficial uniforme en cualquier punto sobre el mismo. Sus características

de simetría geométrica y velocidad superficial uniforme permiten obtener de manera

simple una solución analítica para el campo de presiones generado [5]. Este tipo de

estructura presenta además gran relevancia en el estudio de distintos tipos de superficies

planas, pues con base en ella se extrapolan resultados, por superposición, a otro tipo

de geometrías más complejas [4].

28

a

dS

x

y

dS

a

y

x

z

r

R

θ

;lkj

Φ

dx

Figura 2.6: Vista lateral y frontal del Pistón Acústico.

Para emplear la Integral de Rayleigh debemos encontrar la correspondencia que

tiene cada uno de los términos de la ecuación(2.79) con los de la geometría particular

que estamos tratando. Así, subdividiendo inicialmente el pistón en pequeños elementos

infinitesimales de superficie dS como los que se pueden observar en la Fig(2.6), podemos

corroborar por trigonometría simple que el área de estos elementos corresponde con:

dS = |2a sinφdx| (2.80)

Las coordenadas x y φ están relacionadas mediante x = a cosφ, de donde podemos

concluir a su vez que dx = −a sinφdφ. Así, el elemento de área puede quedar finalmente

reescrito como:

dS = 2a2 sin2 φdφ (2.81)

Para obtener el área total de la superficie del pistón debemos integrar la anterior

ecuación para valores de 0 ≤ φ ≤ π.

29

r

Δr

R

θ

z

x

dS

aC

os

φ

Figura 2.7: Vista del plano perpendicular al Pistón Acústico.

Observando desde un plano perpendicular al pistón (Fig(2.7)), podemos corroborar

que si se toma un punto a una distancia r muy grande (r >> a, r medido desde

el centro del pistón), cada elemento particular de superficie dS se encontrara a una

distancia R = |r −∆r| de dicho punto, donde el elemento ∆r satisface la relación:

∆r = a cosφ sin θ (2.82)

Empleando la propiedad de la velocidad superficial uniforme, la Integral de Rayleigh

puede escribirse en el caso del pistón acústico como:

p(r, w) =jwρ

2π

∫∫S

voe−jkR

RdS (2.83)

donde vo corresponde evidentemente con la constante relacionada a la velocidad uni-

forme en el pistón.

Expresando el término de distancia R, esta relación puede ser reescrita como:

p(r, w) =jwρvo

2π

∫∫S

e−jk(r−∆r)

|r −∆r|dS (2.84)

Dado que el elemento superficial dS no depende la distancia r (Ec(2.81)), y que el

campo que deseamos analizar es el lejano en el cual r >> ∆r, la ecuación(2.84) puede

30

ser reescrita como:

p(r, w) =jwρvo

2π

e−jkr

r

∫∫S

ejk∆rdS (2.85)

Reemplazando ahora las relaciones conocidas para el elemento de superficie dS

(Ec(2.81)) y para el elemento ∆r (Ec(2.82)), la ecuación (2.85) corresponde con:

p(r, w) =jwρvo

2π

e−jkr

r

π∫0

ejka cosφ sin θ(2a2 sin2 φdφ) (2.86)

p(r, w) =jwρa2vo

π

e−jkr

r

π∫0

ejka cosφ sin θ sin2 φdφ (2.87)

La representación exponencial de la integral presente en la ecuación anterior puede

expandirse según:π∫

0

ejka cosφ sin θ sin2 φdφ =

π∫0

[cos(ka cosφ sin θ) + j sin(ka cosφ sin θ)] sin2 φdφ (2.88)

Dados los límites de integración indicados, la integral del segundo término del lado

derecho de la igualdad es nula debido a la simetría, es decir:π∫

0

sin(ka cosφ sin θ) sin2 φdφ = 0 (2.89)

La integral del primer término del lado derecho de la igualdad de la ecuación (2.88)

puede resolverse según la identidad:π∫

0

cos(z cosφ) sin2 φdφ = πJ1(z)

z(2.90)

tomando adecuadamente z = ka sin θ, donde J1 corresponde a la funcion de Bessel de

primera especie y de primer orden [8].

Empleando los resultados obtenidos en las ecuaciones (2.89) y (2.90), la ecuación

(2.87) puede ser reescrita como:

p(r, w) =jwρa2vo

π

e−jkr

r

(πJ1(ka sin θ)

ka sin θ

)(2.91)

31

Recordando que el término u = πa2vo corresponde con el término de velocidad de

volumen u, y que la frecuencia guarda relación con el número de onda como w = ck,

entonces la anterior ecuación puede reescribirse como:

p(r, w) =jρcu

πa

J1(ka sin θ)

r sin θe−jkr (2.92)

Podemos observar que la presión en un medio con densidad homogénea ρ, en un

punto r y a una frecuencia w determinada, depende de parámetros geométricos del

pistón, y de su velocidad de volumen u. Así, podemos reescribir la presión separando

estos términos como:

p(r, w) = Gu (2.93)

donde el elemento de propagación G esta definido como:

G =jρc

πa

J1(ka sin θ)

r sin θe−jkr (2.94)

Las expresiones dadas por las ecuaciones (2.93) y (2.94) son de gran importancia

en el campo de la acústica, pues son la herramienta base para conocer los campos de

presión de fuentes con estructuras más complejas empleando los Métodos de Elementos

de Contorno. El modo en el cual se emplean estos resultados para tal cálculo, se explica

en detalle en el capítulo siguiente.

32

Capítulo 3

Implementación numérica del

problema de radiación sonora

El estudio de estructuras acústicas con geometrías complejas, presenta la dificul-

tad de no poder obtener, como en el caso de estructuras con algún tipo de simetrías,

soluciones analíticas para el campo de presión que generan. Esta dificultad puede so-

brellevarse discretizando la estructura compleja en pequeñas subestructuras para las

cuales se conocen soluciones analíticas. De este modo, bajo condiciones para las cuales

se puede considerar el fenómeno acústico como un fenómeno lineal, puede conocerse

el campo de presión generado por la fuente completa, como resultado de la superposi-

ción de los campos debidos a cada una de las subestructuras en las cuales se hace la

discretización.

Un modo común de realizar dicha discretización es dividiendo la superficie en ele-

mentos de igual área, lo que permite representarlos de manera posterior por pistones

circulares equivalentes con radios iguales pero con orientaciones distintas de oscilación

dependientes de la distribución de velocidades sobre la superficie de la fuente. Un

modo eficiente de agrupar la información que debe emplearse para calcular el campo

de presión como resultado de una superposición, es implementando la representación

matricial.

Dado que este documento presenta interés por el estudio del caso monopolar y

33

dipolar acústico, la geometría para la cual se desarrolla la discretización, es la geometría

esférica.

Este capítulo expone detalladamente la implementación matricial del problema de

radiación sonora, describiendo uno a uno los elementos necesarios para su cálculo,

así como la implementación del Método de Descomposición en Valores Singulares que

permite que el método matricial sea mucho más eficiente.

3.1. Representación matricial del problema

De modo análogo a la ecuación (2.93), caso de un único pistón, en la cual se podía

conocer la presión en un punto particular r para una frecuencia w; una vez discretizada

la superficie en pistones equivalentes, puede representarse la distribución de presión

para un conjunto i-ésimo de puntos como un vector columna de presión pi, que surge

como resultado del producto matricial entre una matriz de propagación Gik con un

vector de distribuciones de velocidades uk, característico de un conjunto k-ésimo de

elementos en que se ha discretizado la fuente, es decir:

pi = Gikuk (3.1)p1

...

pβ

=

G11 · · · G1α

... . . . ...

Gβ1 · · · Gβα

u1

...

uα

(3.2)

Puede observarse que cada uno de los elementos del vector pi, es decir, cada uno

de los valores de presión en un punto de medición externo a la fuente, surge como

resultado de la combinación lineal que se obtiene a partir del producto punto entre una

fila determinada de la matriz Gik y el vector de distribución de velocidades uk respecto a

dicho punto. Cada uno de los elementos contenidos en tal combinación lineal representa

la contribución individual, a la presión en un punto determinado, de cada uno de los

elementos en los cuales se ha discretizado la fuente.

34

3.2. Matriz de propagación G

La expresión general, extendida de la ecuación (2.94), en el caso matricial, permite

obtener la matriz de propagación Gik en términos de relaciones geométricas entre los

puntos en los cuales queden ubicados los pistones equivalentes con los que se represen-

tará la fuente y la distribución de puntos donde se desea conocer el valor de presión,

es decir:

Gik = jρc

πrp

J1(krpsinθik)

riksinθikexp(−jkrik) (3.3)

donde, recordemos, j es el complejo identidad, k el número de onda asociado a una

frecuencia determinada de evaluación, ρ la densidad del aire, c la velocidad del sonido

en el aire, rp el radio del pistón equivalente (que será constante en nuestro caso), J1

la función de Bessel de primera especie y de primer orden, rik es la distancia entre el

centro de del k-ésimo pistón equivalente y el i-ésimo punto de medición, y θik el ángulo

formado entre el vector normal al plano generado por el k-ésimo pistón equivalente y

el i-ésimo punto de medición. Cabe aclarar que la variable k, también empleada como

subíndice, no tiene relación alguna con el número de onda, por lo cual no debe prestarse

a confusión alguna.

Para determinar de modo especifico cada uno de los elementos rik y θik de la matriz

de propagación, es necesario conocer inicialmente la manera en la cual se discretiza la

superficie de la fuente de estudio.

3.3. Discretización de una corteza esférica

Aunque en el caso del dipolo y monopolo acústicos las distribuciones de velocidad

sobre su superficie sean distintas, ambos pueden ser modelados matemáticamente a par-

tir de esferas con características geométricas idénticas. Es por ello que la discretización

de una esfera es importante en el estudio de campos acústicos generados por estos dos

35

tipos de fuentes.

Por la simetría que presenta la esfera, basaremos nuestro análisis a un octante de

la misma y extenderemos los resultados a su totalidad cuando se considere necesario.

θi

Φim

Pistónequivalente

z

x

y

Figura 3.1: Esquema representativo de la discretización de un octante de esfera.

Tomemos la superficie del primer octante de una esfera de radio R (r = R, 0 ≤ θ ≤

π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2).

Dividamos inicialmente el ángulo θ en N intervalos angulares iguales de valor π/2N

donde los θn = πn/2N con (n = 0, 1, ..., N) corresponderán a cada uno de los N + 1

valores angulares que determinarán los límites de cada semicorteza que se obtiene tras la

división. Así cada semicorteza i-ésima (i = 1, 2, ..., N) caracterizada por θn ≤ θi ≤ θn+1

tendrá un área Si. Recordemos que tenemos N+1 valores angulares correspondientes a

los limites de todas la semicortezas yN intervalos correspondientes a lasN semicortezas

obtenidas tras la división. Así, cada vez que i tome un valor, n tomara el correspondiente

valor n = i− 1.

El elemento de área en coordenadas esféricas esta dado por dS = r2 sin θdθdφ.

36

Realizando la integración podemos obtener una expresión para el área Si de cada una

las N semicortezas esféricas. Así:

Si = R2

∫ θn+1

θn

sin θdθ

∫ π/2

0

dφ (3.4)

Si = R2 (cos θn − cos θn+1)π

2(3.5)

donde el area de la semicorteza fundamental (i = 1, 0 ≤ θ1 ≤ π/2N) estara represen-

tado por:

S1 = R2(

1− cosπ

2N

) π2

(3.6)

Como ya fue mencionado, en el método de elementos de contorno representaremos

cada elemento que resulte tras la división de la esfera en áreas iguales, por un pistón

circular de área equivalente. Así, el radio que debe tener este pistón para tener un área

igual al de la semicorteza fundamental, debe ser:

rp =√S1/π (3.7)

rp = R

√1

2

(1− cos

π

2N

)(3.8)

Dado que todos los elementos en los cuales se discretiza la superficie esférica deben

tener áreas iguales, dividimos cada semicorteza i-ésima en un número m-ésimo de partes

iguales entre sí, e iguales además al área S1 de la corteza fundamental. El número Mi

de divisiones en que habrá que fraccionar la semicorteza i-ésima estará descrito por:

Mi =SiS1

=cos θn − cos θn+1

1− cos π2N

(3.9)

Mi =cos(πn2N

)− cos

(π(n+1)

2N

)1− cos

(π

2N

) (3.10)

En general los valores que toma Mi en el problema de la superficie esférica, no son

valores enteros, pero se tomarán como el valor entero más próximo al mismo. El error

asociado a la diferencia entre las áreas de los elementos pertenecientes a la semicorteza

37

i-ésima y el área Si de la corteza fundamental tiende a minimizarse con el aumento

del número N de divisiones angulares que se haga de θ, es decir, haciendo más fina

discretización.

El valorMi nos entrega entonces información acerca de la cantidad de elementos que

debe tener cada semicorteza i-ésima, y por consiguiente, información sobre el número

de intervalos angulares en que deberemos dividir el ángulo φ para cada una de ellas.

Así, el número total de elementos en que quedara discretizado el primer octante de

esfera será:

α1oct =N∑i=1

Mi (3.11)

Entreguemos ahora la coordenada del centro del elemento m-ésimo de la n-ésima

corteza esférica.

Cada semicorteza i-ésima está caracterizada por θn ≤ θi ≤ θn+1. Así, tomaremos θi

como el valor correspondiente al centro del intervalo angular de i-ésima semicorteza, es

decir:

θi =1

2

π

2N+ (i− 1)

π

2N(3.12)

donde i = 1, 2, ..., N . Este ángulo será compartido por todos los elementos que hagan

parte de la semicorteza i-ésima

Ahora, el valor angular central de la coordenada φim del m-ésimo elemento de la

i-ésima semicorteza estará dado por:

φim =1

2

π

2Mi

+ (m− 1)π

2Mi

(3.13)

donde m = 1, ...,Mi.

Evidentemente por tratarse de elementos de superficie de una esfera, la coordenada

r para todos los elementos, resulta ser r = R.

De este modo están completamente definidas las coordenadas asociadas a cada uno

de los puntos centrales de los elementos en que se ha hecho la discretización del primer

octante de esfera.

38

Una vez obtenidos los elementos y las coordenadas respectivas que resultan tras la

discretización del primer octante de esfera, cada uno de los elementos se r de acuerdo

a la siguiente convención:

1. Se parte del elemento con menor valor angular θi y se enumeran en orden respec-

tivo los elementos de dicha semicorteza comenzando por los elementos de menor

valor de angular de φ y continuando sucesivamente con los de mayor valor.

2. Una vez agotados todos los elementos de la semicorteza i-ésima siguiendo el nu-

meral anterior, se toma el siguiente valor angular de θi y se continúa enumerando

hasta completar el total de elementos de dicha corteza. El proceso se sigue iterati-

vamente hasta completar la totalidad de las semicortezas, y con ello, de elementos

del octante.

En resumen, los elementos se contabilizan de la semicorteza con menor cantidad

de elementos a la de mayor cantidad de elementos, siguiendo siempre un barrido en el

sentido horario, hasta completar el total de elementos del octante.

Así, cada elemento queda representado ahora por un valor α = (α1, α2, α3) donde

α1, α2, α3 corresponden a cada una de las coordenadas cartesinas x, y, z respectiva-

mente. Eventualmente α1, α2, α3 podrán también representar cada una de las coorde-

nadas esféricas r, θ, φ. En cada caso será indicado que tipo de relación se empleará por

considerarse de mayor utilidad.

Extendiendo ahora el resultado a la esfera en general, los elementos para los octantes

restantes podemos obtenerlos de acuerdo a las siguientes relaciones:

En el primer octante ( x > 0 , y > 0 , z > 0 ) los elementos corresponden a los

encontrados en la descripcion anterior

En el segundo octante ( x < 0 , y > 0 , z > 0 ) los elementos corresponden a la

reflexión de los elementos del primer octante respecto al plano yz.

39

En el tercer octante ( x < 0 , y < 0 , z > 0 ) los elementos corresponden a

reflexiones de los elementos del primer octante respecto a los planos yz y xz

respectivamente.

En el cuarto octante ( x > 0 , y < 0 , z > 0 ) los elementos corresponden a la

reflexión de los elementos del primer octante respecto al plano xz.

En el quinto octante ( x > 0 , y > 0 , z < 0 ) los elementos corresponden a la

reflexión de los elementos del primer octante respecto al plano xy.

En el sexto octante( x < 0 , y > 0 , z < 0 ) los elementos corresponden a

reflexiones de los elementos del primer octante respecto a los planos xy y yz

respectivamente.

En el séptimo octante ( x < 0 , y < 0 , z < 0 ) los elementos corresponden a

reflexiones de los elementos del primer octante respecto a los planos xy, yz y xz

respectivamente.

En el octavo octante ( x > 0 , y < 0 , z < 0 ) los elementos corresponden a

reflexiones de los elementos del primer octante respecto a los planos xy y xz

respectivamente.

La numeración de los elementos de cada uno de los octantes restantes se completa

siguiendo el orden de los mismos. Dentro de cada octante se numera continuando

respectivamente con el orden del elemento del cual se obtuvieron como resultado de la

reflexión sobre los planos.

Así, el número total de elementos con áreas equivalentes en que se discretiza una

esfera esta dado por:

αesf =8∑i=1

αioct (3.14)

donde cada elemento α tiene coordenadas α = (α1, α2, α3) con α = 1, 2, ..., αesf .

40

3.3.1. Relaciones geométricas puntos fuente - puntos medición

Dada una distribución arbitraria de puntos externos a la superficie de una esfera,

caracterizados por β = (β1, β2, β3) donde β1, β2, β3 corresponden respectivamente a las

coordenadas x, y, z de cada uno de los puntos β, la distancia rβα entre cualquier par

de puntos fuente-campo puede encontrarse mediante la relación :

rβα =

(3∑i=1

(βi − αi)2

)1/2

(3.15)

Otro elemento que es necesario conocer es el ángulo θβα formado entre el vector

normal a la superficie de la esfera en el elemento α y el vector que une el centro de

dicho elemento con el punto de medición β.

θβα

r

u

βα

x

y

z

Figura 3.2: Relaciones geométricas puntos fuente - puntos medición necesarias para el

cálculo de la matriz de propagación.

Para encontrar el ángulo θβα, consideramos inicialmente (como herramienta geomé-

trica) vectores normalizados orientados en dirección radial en cada uno los elementos

41

de la superficie esférica. Las coordenadas origen de estos vectores corresponden a las

coordenadas del elemento α = (α1, α2, α3) que hace parte de la superficie, y las coorde-

nadas fin η = (η1, η2, η3) son propias para cada elemento. El hecho de que los vectores

estén normalizados garantiza que la distancia rηα entre su punto origen y su punto fin

(lo que es evidentemente su norma) cumpla siempre la relación:

rηα =

(3∑i=1

(ηi − αi)2

)1/2

= 1 (3.16)

Ahora, las distancias rβη entre los puntos distribuidos externamente a la superficie

β = (β1, β2, β3) y los puntos fin de los vectores normalizados sobre la superficie η =

(η1, η2, η3) se calculan según:

rβη =

(3∑i=1

(βi − ηi)2

)1/2

(3.17)

Relacionado trigonométricamente las tres ecuaciones anteriores podemos concluir:

r2βη = r2

ηα + r2βα − 2rηαrβα cos θβα (3.18)

Despejando la anterior ecuación se encuentra finalmente el ángulo de interés θβα:

θβα = cos−1

(1 + r2

βα − r2βη

2rβα

)(3.19)

Aunque en este aparte se emplean los subíndices α y β para hacer referencia a los

puntos de medición y a los pistones equivalentes respectivamente, este uso corresponde

de manera idéntica a los subíndices i y k del la sección (3.2). Se había omitido la misma

notación en la presente sección, para que no llevara a confusión con algunos subíndices

empleados en otro tipo de conteos. De este modo, empleando las Ec.(3.8,3.15,3.19),

junto con un valor de frecuencia determinado (k fijo), tenemos todas las entradas

necesarias para el cálculo de la Matriz de Propagación Gik dada por la ecuación (3.3).

42

3.4. Distribución superficial de velocidades

El segundo elemento importante en el cálculo del campo de presión acústico ex-

puesto en la ecuación (3.1), es el vector de distribuciones de velocidad uk. Dicho vector

da cuenta de la componente de velocidad de cada uno de los elementos en que fue

discretizada la fuente, vista desde un punto de medición arbitrario.

3.4.1. Distribución de velocidades en un monopolo acústico

Como fue descrito, el monopolo acústico se modela como una esfera que oscila ra-

dialmente de manera armónica. Así, cada elemento de superficie se mueve con una

velocidad normal idéntica al de todos los demás elementos resultantes tras la dis-

cretización, presentándose una distribución de velocidad uniforme en toda la superficie

de la esfera.

θik

Figura 3.3: Distribución de velocidades en un monopolo acústico.

Por la simetría que presenta la esfera, y además la distribución de velocidades en el

caso del monopolo, cualquier punto externo al mismo, a una distancia dada, tendrá un

valor de presión independiente del ángulo tanto axial como acimutal en que se haga la

43

medición. De este modo la componente de velocidad del pistón i-ésimo que influye en

el campo de presión en el punto k-ésimo está únicamente determinada por el ángulo

θik formado entre el vector normal a la superficie del pistón y el punto de medición.

Así, las componentes de velocidad de cada uno de los elementos i-ésimos vistos desde el

punto de medición k-ésimo están descritas por el vector de distribuciones de velocidad

uk como:

uk = uo cos(θik) (3.20)

donde uo corresponde a la amplitud del vector velocidad .

3.4.2. Distribución de velocidades en un dipolo acústico

En el caso del dipolo acústico, el sistema es representado por una esfera que oscila

armónicamente respecto a un eje determinado. Así, cada elemento i-ésimo de superficie,

resultante de la discretización, se mueve con una velocidad normal ui dependiente del

ángulo θi formado entre el vector normal al elemento de superficie y el eje de oscilación:

ui = uo cos(θi) (3.21)

Además de ello, del mismo modo que en el caso del monopolo acústico, la compo-

nente de velocidad del pistón i-ésimo que influye en el campo de presión en el punto

k-ésimo, está determinada por el ángulo θik formado entre el vector normal a la super-

ficie del pistón y el punto de medición. De acuerdo a ello, el vector de distribuciones de

velocidad uk presenta únicamente simetría respecto al eje de oscilación del dipolo, mas

no a simetría angular respecto al eje polar, lo que hace que el vector uk sea diferente

en cada punto de medición, pues siempre se observará una distribución de velocidades

distinta en cada punto de medición, contrario al caso monopolar.

44

θik

Figura 3.4: En azul y verde se encuentran representados los ciclos de de ascenso y

descenso del dipolo respecto al eje de oscilación. El esquema izquierdo representa la

distribución de velocidades lineales en el dipolo, y en el derecho la distribución de

velocidades radiales, distribución que presenta mayor interés, pues a ella es debido el

gradiente de presión.

Así, las componentes de velocidad de cada uno de los elementos i-ésimos vistos

desde el punto de medición k-ésimo están descritas por el vector de distribuciones de

velocidad uk como:

uk = ui cos(θik) = uo cos(θi) cos(θik) (3.22)

Con las ecuaciones (3.20,3.22) completamos las herramientas necesarias para repre-

sentar matricialmente el problema del cálculo del campo de presión acústica monopolar

y dipolar, planteado en la ecuación (3.1).

45

3.5. Método SVD

Dada la representación matricial propuesta para el cálculo del campo de presión

sonora en una distribución particular de puntos, puede intuirse, de modo evidente, que

la exactitud en el cálculo de los valores de dicho campo guarda relación directa con el

grado de discretización de la fuente que se desea estudiar. A mayor discretización, el

orden de las matrices aumenta, y con ello, la cantidad de información que es necesario

almacenar, lo cual puede llegar a ser un inconveniente para la eficiencia del cálculo

numérico. El Método de Descomposición en Valores Singulares (SVD) permite extraer

parámetros representativos de matrices de gran orden, y con ello, representar de modo

aproximado, con un número reducido de elementos, el conjunto total de valores [9].

En nuestro caso de estudio, el método SVD se emplea para caracterizar la matriz

de propagación Gik que depende únicamente de la geometría propia de la fuente y de

los puntos donde se desee conocer el valor de presión. Esta matriz puede almacenarse

para estudiar distintas distribuciones de velocidad de una misma fuente, optimizando

de este modo recursos computacionales.

3.5.1. Formulación matemática del método SVD

El método SVD establece que dada una matriz Am×n, existen entonces matrices

ortogonales U y V tales que U ′AV = D donde D es una matriz diagonal de ordenm×n

cuyas entradas di son llamadas Valores Singulares de la matriz A y están organizados

en orden decreciente, es decir d1 > d2 > ...dr > 0 donde r es el rango de la matriz A.

Los valores restantes, que pueden incluir también valores de la diagonal de la matriz

A por encima del valor del rango de A, son idénticamente cero [9].

U es una matriz cuadrada de ordenm×m que contiene en sus columnas (u1, u2, ..., um)

los vectores singulares izquierdos de la matriz A, es decir los vectores propios de la ma-

46

triz AA′.

(AA′)U = D2U (3.23)

A su vez, V es una matriz cuadrada de orden n × n que contiene en sus columnas

(v1, v2, ..., vn) los vectores singulares derechos de la matriz A, es decir los vectores

propios de la matriz A′A.

(A′A)V = D2V (3.24)

De la ecuación anterior podemos observar que los valores singulares de A son las raíces

cuadradas de los autovalores de A′A.

Así, podemos reconstruir A a partir de sus valores singulares, y de sus vectores

singulares derechos e izquierdos como:

A =r∑i=1

diuivHi (3.25)

donde r es el rango de la matriz A.

En nuestro caso la matriz A representa la matriz de propagación Gik sobre la que

se implementa el método SVD.

3.5.2. Ventajas computacionales asociadas al método SVD

Dado que los valores singulares di están organizados de modo decreciente, puede

obtenerse una buena aproximación de la matriz A desarrollando la sumatoria hasta

un valor k menor que r, elegido de acuerdo al grado de exactitud con que se desee

representar la matriz A. La organización de los valores singulares di en modo decreciente

garantiza que al realizar la sumatoria, los primeros elementos que se sumen sean los

que tengan contribuciones mayores [4].

Así una matriz A de orden m × n que contiene evidentemente m × n elementos,

puede representarse de modo aproximado por k(1+m+n) elementos, correspondientes

a k valores singulares, k vectores singulares izquierdos de longitud m (k∗m elementos),

y por k vectores singulares derechos de longitud n (k ∗ n elementos).

47

Computacionalmente este hecho se ve reflejando en la cantidad de memoria que debe

emplearse para almacenar información, reduciéndola de este modo en gran número.

3.6. Desarrollo de algoritmos computacionales

En esta sección presentamos el diagrama de flujo que representa de manera gene-

ral el funcionamiento del algoritmo desarrollado para la implementación matricial del

problema de radiación sonora monopolar y dipolar. El algoritmo está basado en las

relaciones descritas en el presente capítulo, y fue desarrollado en el software MATLAB

R2008a.

El programa macro para el cálculo del campo de presión sonora emplea subpro-

gramas que desarrollan rutinas específicas dentro del mismo, con el fin de presentar

los ciclos de trabajo con mayor claridad. La rutina con que se implementa el Método

SVD, es una rutina propia incorporada dentro del mismo software MATLAB, denom-

inada svds. Tanto el programa, como cada uno de los subprogramas, encuentran una

descripción detallada de su funcionamiento en el Anexo (A) del presente documento.

El software MATLAB se emplea debido a las ventajas que presenta, en tiempo de

cómputo y herramientas particulares, en el desarrollo de problemas matriciales.

Los resultados de toda la implementación numérica descrita en el presente capítulo

se encuentran expuestos en el capítulo siguiente.

48

Coordenadas de los puntos donde se desea conocer el

valor de presión

Tipo de superficie y número de elementos en que se desea discretizar

Distribución de velocidad sobre la superficie

Relación de

distancias rik

Relaciones

angulares θik

Matriz de propagación

Gik

Discretización de la superficie

(Coordenadas y dirección de los pistones equivalentes)

Componentes de velocidad que influyen en el campo

de presión

uikRepresentación SVD

Gik

Vector de presión con componentes para cada

punto de medición

pi

Figura 3.5: Diagrama de flujo representativo del código computacional presentado como

anexo, que permite calcular la distribución de presiones para un conjunto de puntos,

implementando el método de la integral de Rayleigh y la representación matricial.

49

Capítulo 4

Resultados

El código implementado para el cálculo del campo de presión sonora presentado

en el Anexo (A) del presente documento, permite evaluar comparativamente la repre-

sentación numérica para el monopolo y dipolo acústico, respecto al resultado teórico

ya conocido para ambos tipos de estructuras.

Los resultados que a continuación se presentan buscan encontrar la relación entre el

grado de discretización de las fuentes y la exactitud con que se conoce el valor del campo

mediante la representación numérica. Además, observar para qué rango de frecuencias

la representación es más exacta respecto al resultado analítico.

Para lograr este objetivo se comparan los resultados teóricos y numéricos de las

distribuciones de presión axial para el monopolo y dipolo; en el caso del dipolo se

compara además la distribución angular de presión respecto al eje de oscilación dada

la anisotropía característica de su campo.

La eficiencia de la representación matricial mediante valores singulares (método

SVD) también es evaluada presentando resultados para distintas cantidades de ele-

mentos, estableciendo con ello, el porcentaje de valores que es necesario emplear para

obtener una representación confiable.

Todas las figuras que muestran estos resultados son presentadas en conjunto a

continuación, y posterior a las mismas se expone de modo detallado el análisis que les

corresponde.

50

4.1. Resultados Monopolo Acústico

4.1.1. Variación axial: Monopolo Acústico (20Hz)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100E

rror

rel

ativ

o (%

)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Distancia relativa al monopolo (r/R)

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100


Err

or r

elat

ivo

(%)

N=2

N=3

N=1

N=2

N=3

N=4

N=1

N=4

Figura 4.1: Amplitudes de presión y errores relativos en la aproximación numérica de

un monopolo acústico para una frecuencia de 20Hz y distintos valores de discretización

N . Los gráficos de la columna izquierda corresponden a las amplitudes normalizadas

de presión teórica (línea azul) y numérica (línea roja), para distintos valores de N , en

función de la distancia relativa al radio de la esfera r/R. Los gráficos de la columna

derecha corresponden a los errores relativos de la amplitud numérica calculada, respecto

a la amplitud teórica, en función de la distancia r/R.

51

4.1.2. Variación axial: Monopolo Acústico (1KHz)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100


Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100


Err

or r

elat

ivo

(%)

N=1N=1

N=2 N=2

N=3N=3

N=4 N=4


un monopolo acústico para una frecuencia de 1KHz y distintos valores de discretización






52

4.1.3. Variación axial: Monopolo Acústico (20KHz)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

150

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−2

10−1

100


Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100


Err

or r

elat

ivo

(%)

N=1 N=1

N=2 N=2

N=3N=3

N=4 N=4

Figura 4.3: Amplitudes de presión y errores relativos en la aproximación numérica de un

monopolo acústico para una frecuencia de 20KHz y distintos valores de discretización






53

4.1.4. Error relativo Vs Discretización: Monopolo Acústico (20Hz-

500Hz)

0 5 10 150

10

20

30

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

10

20

30

0 5 10 150

10

20

30

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

10

20

30

40

0 5 10 150

50

100

150

Número de discretizaciones (N)

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

10

20

30

40


500Hz250Hz

63Hz 125Hz

31Hz20Hz

Figura 4.4: Error relativo promedio de presión en función del valor de discretización N,

para distintas frecuencias en el caso de un monopolo acústico. En todas las figuras, el eje

vertical representa el porcentaje de error relativo promedio, y el eje horizontal, el valor

de discretización N para el cual se obtiene. Los promedios de errores son calculados

sobre el intervalo [10,100] de la variable R/r, en el cual, las amplitudes de presión

toman sus valores más significativos. Las frecuencias presentadas en ésta figura hacen

parte del rango 20Hz-500Hz.

54

4.1.5. Error relativo Vs Discretización: Monopolo Acústico (1KHz-

20KHz)

0 5 10 150

10

20

30

40

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

20

40

60

80

0 5 10 150

50

100

150

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

50

100

0 5 10 150

50

100


Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

20

40

60

80


20KHz16KHz

8KHz4KHz

2KHz1KHz


para distintas frecuencias en el caso de un monopolo acústico. En todas las figuras, el eje





parte del rango 1KHz-20KHz.

55

4.2. Resultados Dipolo Acústico

4.2.1. Variación axial: Dipolo Acústico (20Hz)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 100

60

80

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100E

rror

rel

ativ

o (%

)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Distancia relativa al dipolo (r/R)

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100


Err

or r

elat

ivo

(%)

N=1

N=2

N=3

N=4 N=4

N=3

N=2

N=1


un dipolo acústico para una frecuencia de 20Hz y distintos valores de discretización






56

4.2.2. Variación axial: Dipolo Acústico (1KHz)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100


Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100


Err

or r

elat

ivo

(%)

N=1

N=2

N=3

N=4 N=4

N=3

N=2

N=1


un dipolo acústico para una frecuencia de 1KHz y distintos valores de discretización






57

4.2.3. Variación axial: Dipolo Acústico (20KHz)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100

Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100

Err

or r

elat

ivo

(%)

0 20 40 60 80 10010

−4

10−2

100


Am

p. d

e pr

esió

n (L

og)

0 20 40 60 80 1000

50

100


Err

or r

elat

ivo

(%)

N=1

N=2

N=3

N=4 N=4

N=3

N=2

N=1


un dipolo acústico para una frecuencia de 20KHz y distintos valores de discretización






58

4.2.4. Error relativo Vs Discretización: Dipolo Acústico (20Hz-

500Hz)

0 5 10 150

20

40

60

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

20

40

60

80

0 5 10 150

20

40

60

80

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

20

40

60

80

0 5 10 150

50

100

150

200


Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 1520

40

60

80


20Hz 31Hz

125Hz63Hz

250Hz 500Hz


para distintas frecuencias en el caso de un dipolo acústico. En todas las figuras, el eje





parte del rango 20Hz-500Hz.

59

4.2.5. Error relativo Vs Discretización: Dipolo Acústico (1KHz-

20KHz)

0 5 10 150

20

40

60

80

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

50

100

150

0 5 10 150

50

100

150

200

Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

50

100

150

0 5 10 150

50

100

150


Err

or r

elat

ivo

prom

edio

(%

)

0 5 10 150

50

100

150


1KHz 2KHz

4KHz 8KHz

20KHz16KHz

Figura 4.10: Error relativo promedio de presión en función del valor de discretización

N, para distintas frecuencias en el caso de un dipolo acústico. En todas las figuras, el eje





parte del rango 1KHz-20KHz.

60

4.2.6. Variación angular: Dipolo Acústico (1KHz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ/ π

Am

plitu

d de

pre

sión

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ/ πA

mpl

itud

de p

resi

ón

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ/ π

Am

plitu

d de

pre

sión

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ/ π

Am

plitu

d de

pre

sión

N=1 N=2

N=4N=3

Figura 4.11: Amplitudes de presión para una variación angular, respecto al eje de

oscilación, en la aproximación numérica de un dipolo acústico para una frecuencia

de 1KHz y distintos valores de discretización N . En los gráficos las amplitudes se

encuentran normalizadas y corresponden con la presión teórica (línea azul) y numérica

(línea roja).

61

4.3. Exactitud Vs SVD : Dipolo Acústico (1KHz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ/ π

Am

plitu

d de

pre

sión

NuméricoSVD(1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ/ πA

mpl

itud

de p

resi

ón

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ/ π

Am

plitu

d de

pre

sión

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θ/ π

Am

plitu

d de

pre

sión

NuméricoSVD(3)

NuméricoSVD(2)

NuméricoSVD(4)

Figura 4.12: Amplitudes de presión para una variación angular, respecto al eje de osci-

lación, en la aproximación numérica de un dipolo acústico para una frecuencia de 1KHz,

una discretización N=4, y distintos números de valores singulares en la representación

SVD. En los gráficos la línea roja corresponde con el representación numérica que em-

plea la matriz Gik de manera completa, y la línea verde la que emplea su representación

SVD para un número de valores singulares determinado (1, 2, 3 y 4 valores singulares

respectivamente).

62

4.4. Esquema del Dipolo Acústico

Figura 4.13: Esquema representativo de discretización de un dipolo acústico. Los puntos

azules corresponden con los puntos donde se ubican los pistones circulares equivalentes,

los puntos verdes con los puntos finales de los vectores que caracterizan la distribución

de velocidad sobre la superficie, y las cruces rojas, con una distribución arbitraria de

puntos de medición.

63

4.5. Análisis de resultados

El análisis correspondiente a los resultados encontrados puede exponerse del siguien-

te modo:

1. Figuras 4.1, 4.2, 4.3: Comparando las tres figuras puede corroborarse cómo

para los mismos grados de discretización N , las tres frecuencias presentan errores

relativos distintos en el caso del monopolo acústico. Como era de esperarse, pues

fue descrito en el desarrollo teórico del Capitulo (2), la aproximación numéri-

ca presenta mejores resultados para bajas frecuencias. Las frecuencias de 20Hz,

1KHz y 20KHz son empleadas como patrón en todos los resultados, pues son

representativas de las bandas de bajas, medias y altas frecuencias, en el espectro

acústico audible, respectivamente.

Puede corroborarse además cómo la aproximación numérica se hace más fiable

en la medida en que el grado de discretización N aumenta, sin importar el tipo

de frecuencia para el cual se evalúe.

En particular, para frecuencias bajas y medias, el error relativo es inferior al

10% para un grado de discretización N=4, para distancias mayores a 20 veces

el radio del monopolo. Para frecuencias altas, el mismo error puede alcanzarse

sobre distancias mayores a 40 veces el radio del monopolo para el mismo grado

de discretización.

2. Figuras 4.4, 4.5: Estas figuras nos permiten corroborar cómo el grado de dis-

cretización de la esfera influye en el error relativo promedio para cada valor de fre-

cuencia. Puede observarse que, en general, a medida que el valor de discretización

incrementa, el error relativo promedio disminuye, hasta un determinado valor,

tras el cual una mayor discretización no se ve reflejada en valores mas exactos de

presión. Dado que una mayor discretización requiere mayores recursos computa-

64

cionales en capacidad de procesamiento y almacenamiento, este valor frontera,

tras el cual no existe mayor aporte es de gran importancia en la implementación

del algoritmo.

Puede observarse que en el caso del monopolo, el valor que representa de mejor

modo la relación discretización-error relativo, es el grado de discretización N=4.

De acuerdo a las ecuaciones presentadas en el Capítulo (3), implementadas en el

código computacional, podemos deducir que los grados de discretizaciónN=1,2,3,4

corresponden con 8, 24, 64, y 104 pistones equivalentes para representar la esfera

respectivamente.

Puede observarse también, que a medida que las frecuencias aumentan, el in-

cremento en los valores de discretización, en ciertos casos, no beneficia en modo

alguno resultados más precisos en los valores de presión, dado que como ya fue des-

crito de modo teórico, la aproximación numérica tiene un mejor comportamiento

en bajas frecuencias.

3. Figuras 4.6, 4.7, 4.8: Estas figuras, de manera análoga al comportamiento de

las figuras 4.1, 4.2, y 4.3 del caso del monopolo, permiten corroborar, en el caso

del dipolo, cómo para los mismos grados de discretización N , las tres frecuencias

presentan errores relativos distintos.

Nuevamente, se corrobora que la aproximación numérica presenta mejores resul-

tados para bajas frecuencias y que además se hace más fiable en la medida en

que el grado de discretización N aumenta, sin importar el tipo de frecuencia para

el cual se evalúe.

Aunque el comportamiento en general es análogo al del monopolo, los errores en

el caso del dipolo son mayores. Para frecuencias bajas y medias, el error relativo

es inferior al 20% para un grado de discretización N=4, para distancias mayo-

res a 20 veces el radio del dipolo. Para frecuencias altas, manejando la misma

65

discretización, el error no logra ser menor al 25% sobre distancias mayores a 40

veces el radio del dipolo.

4. Figuras 4.9, 4.10: De modo análogo a las figuras 4.4 y 4.5 del caso monopolar,

estas figuras nos permiten corroborar cómo el grado de discretización de la esfera

influye en el error relativo promedio para cada valor de frecuencia.

En el caso del dipolo los errores son mayores a los del monopolo y no se encuentra

un comportamiento tan predecible de decaimiento del error con el incremento de

la discretización. Para frecuencias inferiores a 1KHz se encuentra que el mejor

grado de discretización es N=2, y para las frecuencias sobre 1KHz es de N=4.

5. Figura 4.11: Dado que el dipolo acústico no presenta únicamente un decaimiento

de presión de modo axial, sino también angular, esta figura nos permite eva-

luar la manera en la que influye el grado de discretización en la exactitud de la

representación dipolar.

Para valores angulares fuera del intervalo [3π/10, 7π/10] la aproximación numéri-

ca para la discretización N=4 presenta errores relativos inferiores al 1%. En el

intervalo restante, aunque el ajuste respecto a los valores teóricos no es tan exac-

to, asemeja el comportamiento cosenoidal que describe la representación teórica

de la variación angular de presión del dipolo.

Aunque no se presentan valores de discretización mayores a N=4, los resultados

superiores a este valor no presentan mayor exactitud.

6. Figura 4.12: El cálculo de la matriz Gik para un dipolo acústico fue desarrollado

empleando una esfera discretizada en 104 elementos de aéreas iguales y 51 puntos

externos de medición, dando como resultado una matriz de orden 51 × 104 con

5304 elementos. Los 51 puntos de medición corresponden a un barrido angular

0 < θ < π respecto al eje de oscilación. La frecuencia de oscilación fue f=1KHz.

66

El cálculo se desarrolló hasta completar 4 valores singulares, pues ello ya permitió

que el error relativo promedio fuera inferior al 1%.

En el cuadro (4.1) se presenta un resumen de valores comparativos entre la can-

tidad de elementos necesarios para la representación SVD y el error asociado

a la implementación del método. En la columna (1) se presenta la cantidad de

valores singulares usados, en la columna (2) el número total de elementos que se

necesita para hacer la representación SVD de la matriz Gik, en la columna (3) el

porcentaje de elementos que se necesitan para representar la matriz Gik mediante

el SVD respecto al número total de elementos de Gik, y en la columna (4) el error

relativo promedio para cada caso.

Cuadro 4.1: Valores comparativos de eficiencia de la representación SVD para una

matriz de 5304 elementos.

SVD # Elem.Nec. %Elem.Nec. %Er.Rel.Prom.

1 156 2.95 30.62

2 312 5.89 5.69

3 624 11.76 1.02

4 1248 24.21 0.13

En el caso concreto del dipolo acústico discretizado en 104 elementos, podemos

observar que con 25% de los valores de entrada de la matriz de propagación Gik

se puede representar el campo presión con un error relativo promedio inferior al

1%.

7. Figura 4.13: Este esquema se desarrolla únicamente con el fin de ilustrar, gráfi-

camente, un tipo de distribución física que representa una medición en particular.

La corteza esférica esta discretizada en 104 pistones equivalentes (N=4) y tiene

67

una distribución superficial de velocidades característica de un dipolo acústico.

Respecto a esta distribución, se presentan puntos de medición para corroborar

cual es la distribución angular de presión.

68

Capítulo 5

Conclusiones

1. Se revisaron de manera detallada todos los fundamentos teóricos necesarios del

problema vibroacústicos y la bibliografía mas reciente referida al problema.

2. Se desarrolló un modelo analítico para la discretización de una corteza esférica;

estructura base para el estudio del monopolo y dipolo acústico.

3. Se implementaron eficientemente códigos computaciones para medir el campo

de presión acústica para estructuras monopolares y dipolares en distribuciones

espaciales arbitrarias empleado el Método de la Integral de Rayleigh.

4. La comparación entre los modelos teóricos y los resultados numéricos de los cam-

pos de presión presentan buena concordancia en el caso monopolar y resultados

aceptables en el caso dipolar.

5. Se pudo comprobar, que si bien el grado de discretización de la fuente influye

en la exactitud del valor de presión que se desea conocer, tras un determinado

grado de discretización, una discretización mayor no necesariamente se ve refleja-

da en resultados más exactos. Se conocieron de manera concreta estos valores de

discretización y pudieron fijarse como límites para hacer más eficiente el método

numérico.

69

6. La implementación del método SVD a la matriz de propagación, permitió repre-

sentar con una cantidad mínima de términos, una matriz en su totalidad, re-

duciendo con ello de manera satisfactoria recursos computaciones de almace-

namiento y procesamiento. Ello permite concluir que el método SVD entrega

buenos resultados en problemas vibroacústicos.

70

Capítulo 6

Perspectivas

A futuro pueden tenerse en cuenta las siguientes propuestas para continuar con el

desarrollo de tema:

1. Crear una interfaz gráfica de usuario para la implementación numérica desarro-

llada, que permita a cualquier persona hacer cálculos de distribuciones de presión

de un modo más simple, sin conocer a fondo el código que lo genera.

2. Evaluar el método con otro tipo de estructuras distintas a la monopolar y dipo-

lar, y corroborar si sus resultados numéricos corresponden con las expresiones

analíticas. Para ello se propone la estructura de un cilindro oscilante, y esferas

con otros tipos de distribuciones de velocidad, tales como las dadas por los es-

féricos armónicos.

3. Medir experimentalmente una distribución de presión generada por la vibración

de una estructura física, y comparar los resultados obtenidos con la implementación

numérica de la misma.

71

Apéndice A

Códigos computacionales

(MATLAB)

72

27/07/09 03:36 PM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Defi...\ARCHIVO_PROGRAMA_MACRO.m 1 of 2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ARCHIVO_PROGRAMA_MACRO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %El actual programa permite calcular al campo de presión generado por estructuras tipo %monopolo o dipolo acústico, para distribuciones angulares y radiales empleando la matriz%de propagación y el vector de distribución de velocidades. %Este, el archivo macro, está comprendido a su vez se sub-programas que%desarrollan rutinas particulares y que son descritas (junto con las entradas y salidas%de cada uno maneja) de manera detallada en cada uno de los documentos que son presentados%por programa. % En la estructura de cada una de las subrutinas que se encuentra a% continuación, se presenta en forma resumida la siguiente información:%1.Proposito general de la rutina. (Comentario)%2.Nombre del programa que emplea. (Comentario)%3.Salidas del programa. %4.Entradas del programa.%5.Nombre de entradas del programa. (Comentario) clcclose allclear alltic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%COORDENADAS_ELEMENTOS_DISCRETIZACION_ESFERA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PROGRAMA:"Elementos_esfera"%%%%%%%%%%%[S_1,r_p,alpha_esf,esfe_r_theta_phi_alpha_esf,carte_x_y_z_alpha_esf]...=Elementos_esfera(1,10)%=Elementos_esfera(R,N)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%COORDENADAS_VECTORES_NORMALES_UNITARIOS%%%%%%%%%%PROGRAMA:"Vec_nor_uni_esf"%%%%%%%%%%%%%%%%%%[esfe_r_theta_phi_vec_nor_uni, carte_x_y_z_vec_nor_uni]...=Vec_nor_uni_esf(esfe_r_theta_phi_alpha_esf)%=Vec_nor_uni_esf(esfe_r_theta_phi_alpha_esf)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%COORDENADAS_PUNTOS_MEDICION%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PROGRAMAS: BARRIDO RADIAL "Pm_barrido_r" (Activar con opcion=1)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BARRIDO ANGULAR "Pm_barrido_theta" (Activar con opcion=2)%%%%%%opcion=1;if opcion==1 %%%%%COORDENADAS_PUNTOS_MEDICION_BARRIDO_R%%%%%%%%%[esfe_r_theta_phi_beta_med,carte_x_y_z_beta_med,beta_med]...=Pm_barrido_r(10,100,10,0,0)%=Pm_barrido_r(val_in_r_med,val_fin_r_med,N_med_r_beta,theta_unico_med,phi_unico_med)

73

27/07/09 03:36 PM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Defi...\ARCHIVO_PROGRAMA_MACRO.m 2 of 2

else%%%%%COORDENADAS_PUNTOS_MEDICION_BARRIDO_THETA%%%%%[esfe_r_theta_phi_beta_med,carte_x_y_z_beta_med,beta_med]...=Pm_barrido_theta(0,pi,101,10,0)%=Pm_barrido_theta(val_in_theta_med,val_fin_theta_med,N_med_theta_beta,r_unico_med,...% phi_unico_med)end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%DISTANCIAS_PUNTO_MEDICION-PUNTO_FUENTE%%%%%%%%%%PROGRAMA:"distancia"%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[r_beta_alpha]...=distancia(carte_x_y_z_beta_med,carte_x_y_z_alpha_esf)%=distancia(carte_x_y_z_beta_med,carte_x_y_z_alpha_esf)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ANGULO_VECTOR_NORMAL_PUNTO_MEDICION-PUNTO_FUENTE%%%%%%%%%%PROGRAMA:"theta_beta_alpha"%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[theta_beta_alpha]...=theta_beta_alpha(r_beta_alpha,carte_x_y_z_beta_med,carte_x_y_z_vec_nor_uni)%=theta_beta_alpha(r_beta_alpha,carte_x_y_z_beta_med,carte_x_y_z_vec_nor_uni)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%MATRIZ_DE_PROPAGACION%%%%%%%%%%%%%%%%PROGRAMA:"G_beta_alpha"%%%%%%%%%[G_beta_alpha]...=G_beta_alpha(r_beta_alpha,theta_beta_alpha,r_p,100)%=G_beta_alpha(r_beta_alpha,theta_beta_alpha,r_p,f)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%DISTRIBUCION_DE_VELOCIDADES%%%%%%%%%%%%%%%%%PROGRAMA:"dis_vel_beta_alpha"%%%%%%%%%[dis_vel_beta_alpha]...=dis_vel_beta_alpha(1,1,esfe_r_theta_phi_alpha_esf,theta_beta_alpha)%=dis_vel_beta_alpha(opc_mon1_dip2,v_max,esfe_r_theta_phi_alpha_esf,theta_beta_alpha)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%VECTOR_PRESION%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PROGRAMA:"vect_pres_beta"%%%%%%%%%[vect_pres_beta]...=vect_pres_beta(G_beta_alpha,dis_vel_beta_alpha)%=vect_pres_beta(G_beta_alpha,dis_vel_beta_alpha)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% toc

74

27/07/09 11:11 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\Elementos_esfera.m 1 of 4

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ELEMENTOS_ESFERA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "Elementos_esfera" permite dividir una superficie esférica en elementos de % igual área, entregando información acerca de cada uno de los parámetros de % discretización. El fundamento teórico del desarrollo de los cálculos aquí presentados % se encuentra descrito en el documento de tesis. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "Elementos_esfera" son: % R = Radio de la esfera. % N = Numero de semicortezas esféricas que se desea tener en un octante de esfera. % Las salidas de "Elementos_esfera" son:% S_1 = Área de la semicorteza fundamental% r_p = Radio del pistón circular equivalente. % alpha_esf = Número total de elementos en que se discretizo la esfera. % esfe_r_theta_phi_alpha_esf = Matriz de coordenadas esféricas (r,theta,phi)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento,)% para cada uno de los elementos en que fue discretizada la esfera % organizados según la convención descrita en el documento de tesis.% carte_x_y_z_alpha_esf = Matriz de coordenadas cartesianas (x,y,z)(Cada columna % representa una coordenada y cada fila un elemento), para cada uno de los% elementos en que fue discretizada la esfera organizados según la convención % descrita en el documento de tesis.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [S_1,r_p,alpha_esf,esfe_r_theta_phi_alpha_esf,carte_x_y_z_alpha_esf]... =Elementos_esfera(R,N) % i = Sub-índice para cada elemento de semicorteza esféricai=1:1:N; % n = Sub-índice para cada valor angular de thetan=0:1:N; % S_1 = Área de la semicorteza fundamental (i=1,0<=theta_1<=pi/2N)S_1=(R^2)*(1-cos(pi/(2*N)))*(pi/2); % r_p = Radio del pistón circular de área equivalente S_1r_p=(S_1/pi)^(1/2); % M_i = # de elementos en que debe dividirse la i-ésima semicorteza esférica % para que cada uno de ellos tenga un área igual al de la semicorteza% fundamental. % (NOTA: el valor de K_i en general no es un entero, por lo cual se% aproximara al entero más próximo renombrándolo del mismo modo "M_i". % Por lo anterior, el área de los elementos las cortezas i-ésimas no será % idéntica a la fundamental, pero diferirá en un factor que decrementara % entre mayor sea el numero N de cortezas esféricas)

75


xxx=0:1:N-1;M_i=(cos(pi*xxx/(2*N))-cos(pi*(xxx+1)/(2*N)))/(1-cos(pi/(2*N))); M_i=round((M_i)'); % alpha_1oct = # total de elementos en que sera dividido el octante de esfera.alpha_1oct=sum(M_i); % alpha_esf = # total de elementos en que se dividió la esfera completa.alpha_esf=8*alpha_1oct; % theta_i = coordenada theta de los puntos centrales de los elementos % de la i-esima semicorteza.theta_i=(1/2)*(pi/(2*N))+(i-1)*(pi/(2*N));theta_i=(theta_i)'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%COORDENADAS_CENTRALES_DE_ELEMENTOS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%COORDENADA_PHI_PRIMER_OCTANTE%%%%%% phi_im = coordenada central phi del m-ésimo elemento de la i-ésima % semicorteza. Cada columna de phi_im corresponde a cada corteza i-ésima. for i=1:1:N; for m=1:1:M_i(i); phi_im(m,i)=(1/2)*(pi/(2*M_i(i)))+(m-1)*(pi/(2*M_i(i))); endendphi_im; %Matriz de orden (M_i x N)% Dado que la matriz contiene muchos elementos que son cero, pues no todos% las semicortezas tienen igual número de elementos, reorganizamos la% matriz phi_im en una única columna superponiendo todas las columnas en% orden respectivo. Posteriormente utilizamos la función find, que nos% permite encontrar los elementos que son distintos de cero y para luego % escribirlos con un ciclo "for" en un único vector. % (Los nombres de las variables B y a0 son arbitrarias y solo se emplean % como herramientas emergentes en esta parte del cálculo) B = reshape(phi_im,[],1); a0=find(B);for i=1:length(a0); eee(i)=B(a0(i));end % phi_alpha = Coordenada phi de los elementos del primer octante% organizados según la convención descrita en el documento de tesis. phi_alpha=eee'; %%%%%COORDENADA_THETA_PRIMER_OCTANTE%%%%%% theta_alpha = Coordenada phi de los elementos del primer octante% organizados según la convención descrita en el documento de tesis. % (El proceso de cálculo es completamente análogo al desarrollado para el% cálculo de phi_alpha)

76


for xxx=1:1:length(M_i); for ppp=1:1:M_i(xxx); theta_alpha(ppp,xxx)=theta_i(xxx); endendtheta_alpha;C = reshape(theta_alpha,[],1);c0=find(C);for i=1:length(c0); sss(i)=C(c0(i));end theta_alpha=sss'; %%%%%COORDENADA_R_PRIMER_OCTANTE%%%%%% r_alpha = Coordenada r de los elementos del primer octante% organizados según la convención descrita en el documento de tesis. r_alpha=R*(ones(length(phi_alpha),1)); %%%%%RELACION_ESFERICAS_CARTESIANAS_PRIMER_OCTANTE%%%%%x_alpha=r_alpha.*sin(theta_alpha).*cos(phi_alpha);y_alpha=r_alpha.*sin(theta_alpha).*sin(phi_alpha);z_alpha=r_alpha.*cos(theta_alpha); %%%%%COORDENADAS_CARTESIANAS_PRIMER_OCTANTE%%%%%carte_x_y_z_alpha=[x_alpha y_alpha z_alpha]; %%%%%COORDENADAS_CARTESIANAS_OCTANTE_POR_OCTANTE%%%%%OC1_carte_x_y_z_alpha=[x_alpha y_alpha z_alpha];OC2_carte_x_y_z_alpha=[(-1)*x_alpha y_alpha z_alpha];OC3_carte_x_y_z_alpha=[(-1)*x_alpha (-1)*y_alpha z_alpha];OC4_carte_x_y_z_alpha=[x_alpha (-1)*y_alpha z_alpha];OC5_carte_x_y_z_alpha=[x_alpha y_alpha (-1)*z_alpha];OC6_carte_x_y_z_alpha=[(-1)*x_alpha y_alpha (-1)*z_alpha];OC7_carte_x_y_z_alpha=[(-1)*x_alpha (-1)*y_alpha (-1)*z_alpha];OC8_carte_x_y_z_alpha=[x_alpha (-1)*y_alpha (-1)*z_alpha]; %%%%%COORDENADAS_CARTESIANAS_ESFERA_TOTAL%%%%%% carte_x_y_z_alpha_esf = Matriz de coordenadas (x,y,z)(Cada columna % representa una coordenada y cada fila un elemento),para cada uno de los% elementos en que fue discretizada la esfera organizados según la % convención descrita en el documento de tesis.carte_x_y_z_alpha_esf=[OC1_carte_x_y_z_alpha; OC2_carte_x_y_z_alpha; OC3_carte_x_y_z_alpha; OC4_carte_x_y_z_alpha; OC5_carte_x_y_z_alpha; OC6_carte_x_y_z_alpha; OC7_carte_x_y_z_alpha; OC8_carte_x_y_z_alpha;];

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%%%%%COORDENADAS_ESFERICAS_PRIMER_OCTANTE%%%%%polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha theta_alpha phi_alpha]; %%%%%COORDENADAS_ESFERICAS_OCTANTE_POR_OCTANTE%%%%%OC1_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha theta_alpha phi_alpha];OC2_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha theta_alpha pi-(phi_alpha)];OC3_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha theta_alpha pi+(phi_alpha)];OC4_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha theta_alpha 2*pi-(phi_alpha)];OC5_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha pi-(theta_alpha) phi_alpha];OC6_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha pi-(theta_alpha) pi-(phi_alpha)];OC7_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha pi-(theta_alpha) pi+(phi_alpha)];OC8_polar_r_theta_phi_alpha=[r_alpha pi-(theta_alpha) 2*pi-(phi_alpha)]; %%%%%COORDENADAS_ESFERICAS_ESFERA_TOTAL%%%%%% esfe_r_theta_phi_alpha_esf = Matriz de coordenadas (r,theta,phi)(Cada columna % representa una coordenada y cada fila un elemento,)para cada uno de los% elementos en que fue discretizada la esfera organizados según la % convención descrita en el documento de tesis.esfe_r_theta_phi_alpha_esf=[OC1_polar_r_theta_phi_alpha; OC2_polar_r_theta_phi_alpha; OC3_polar_r_theta_phi_alpha; OC4_polar_r_theta_phi_alpha; OC5_polar_r_theta_phi_alpha; OC6_polar_r_theta_phi_alpha; OC7_polar_r_theta_phi_alpha; OC8_polar_r_theta_phi_alpha;];

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27/07/09 11:39 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\Vec_nor_uni_esf.m 1 of 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%VECT_NOR_UNI_ESF%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "Vec_nor_uni_esf" permite encontrar las coordenadas tanto esféricas % como cartesianas de los vectores unitarios normales ubicados sobre los elementos % de superficie en que fue discretizada la esfera. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% La entrada de "Vec_nor_uni_esf" es: % esfe_r_theta_phi_alpha_esf = Matriz de coordenadas esféricas (r,theta,phi)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento,)% para cada uno de los elementos en que fue discretizada la esfera % organizados según la convención descrita en el documento de tesis.% (Esta entrada, es una de las salidas del programa "Elementos_esfera") % Las salidas de "Vec_nor_uni_esf" son: % esfe_r_theta_phi_vec_nor_uni = Matriz de coordenadas esféricas (r,theta,phi)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento,)% para cada uno de los vectores unitarios normales ubicados sobre la % superficie en que fue discretizada la esfera, organizados según la % convención descrita en el documento de tesis.% carte_x_y_z_vec_nor_uni = Matriz de coordenadas cartesianas (x,y,z)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento,)% para cada uno de los vectores unitarios normales ubicados sobre la % superficie en que fue discretizada la esfera, organizados según la % convención descrita en el documento de tesis.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [esfe_r_theta_phi_vec_nor_uni, carte_x_y_z_vec_nor_uni]... =Vec_nor_uni_esf(esfe_r_theta_phi_alpha_esf) %%%%%COORDENADAS_ESFERICAS_VECTORES_NORMALES_UNITARIOS%%%%%% Los vectores unitarios normales en cada uno de los puntos de la esfera se % pueden encontrar tomando únicamente la coordenada esférica "r" del respectivo punto y% agregándole el valor de 1. r_vec_nor_uni=esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,1)+1;theta_vec_nor_uni=esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,2);phi_vec_nor_uni=esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,3); esfe_r_theta_phi_vec_nor_uni=[r_vec_nor_uni theta_vec_nor_uni phi_vec_nor_uni] %%%%%COORDENADAS_CARTESIANAS_VECTORES_NORMALES_UNITARIOS%%%%%x_vec_nor_uni=r_vec_nor_uni.*sin(esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,2)).*cos(esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,3));y_vec_nor_uni=r_vec_nor_uni.*sin(esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,2)).*sin(esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,3));z_vec_nor_uni=r_vec_nor_uni.*cos(esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,2)); carte_x_y_z_vec_nor_uni=[x_vec_nor_uni y_vec_nor_uni z_vec_nor_uni]

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27/07/09 11:31 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\Pm_barrido_r.m 1 of 2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PM_BARRIDO_R%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "Pm_barrido_r" permite encontrar las coordenadas tanto esféricas % como cartesianas de puntos de medición externos a la esfera, generados por un barrido % discretizado en intervalos iguales de r. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "Pm_barrido_r" son: % val_in_r_med = Valor inicial de r. % val_fin_r_med = Valor final angular de theta. % N_med_r_beta = # de puntos en los que se desea hacer la medición, en el % intervalo [val_in_r_med,val_in_r_med]. % theta_unico_med = Valor (único) de ángulo theta para el que se desea hacer el barrido. % phi_unico_med = Valor (único) de ángulo phi para el que se desea hacer el barrido. % Las salidas de "Pm_barrido_theta" son:% esfe_r_theta_phi_beta_med = Matriz de coordenadas esféricas (r,theta,phi)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento), para cada uno de % los puntos de medición en el intervalo [val_in_r_med,val_in_r_med] % organizados en orden creciente.% carte_x_y_z_beta_med = Matriz de coordenadas cartesianas (x,y,z)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento), para cada uno de % los puntos de medición en el intervalo [val_in_r_med,val_in_r_med] % organizados en orden creciente.% beta_med = Sera en este caso idénticamente N_med_theta_beta, sin embargo se escribe % pues es necesaria como entrada de otros programas. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [esfe_r_theta_phi_beta_med,carte_x_y_z_beta_med,beta_med]... =Pm_barrido_r(val_in_r_med,val_fin_r_med,N_med_r_beta,... theta_unico_med,phi_unico_med) % beta_med = número total de puntos de medición. beta_med=N_med_r_beta, %%%%%COORDENADAS_ESFERICAS_PUNTOS MEDICION%%%%%% r_beta = Vector columna de coordenadas r de cada uno de los N_med_r_beta % puntos de medición, obtenidos con divisiones iguales del intervalo elegido. r_beta=val_in_r_med:(val_fin_r_med-val_in_r_med)... /((N_med_r_beta)-1):val_fin_r_med;r_beta=(r_beta)'; % phi_beta = Vector columna de coordenadas phi de cada uno de los N_med_r_beta % puntos de medicion.phi_beta=phi_unico_med*(ones(beta_med,1)); % theta_beta = Vector columna de coordenadas theta de cada uno de los N_med_r_beta % puntos de medicion.theta_beta=theta_unico_med*(ones(beta_med,1));

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27/07/09 11:31 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\Pm_barrido_r.m 2 of 2

esfe_r_theta_phi_beta_med=[r_beta theta_beta phi_beta]; %%%%%COORDENADAS_CARTESIANAS_PUNTOS MEDICION%%%%%% Coordenadas cartesianas de cada uno de los puntos de medición.x_beta=r_beta.*sin(theta_beta).*cos(phi_beta);y_beta=r_beta.*sin(theta_beta).*sin(phi_beta);z_beta=r_beta.*cos(theta_beta); carte_x_y_z_beta_med=[x_beta y_beta z_beta];

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27/07/09 11:33 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\Pm_barrido_theta.m 1 of 2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PM_BARRIDO_THETA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "Pm_barrido_theta" permite encontrar las coordenadas tanto esféricas % como cartesianas de puntos de medición externos a la esfera, generados por un barrido % discretizado en intervalos angulares iguales de theta. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "Pm_barrido_theta" son: % val_in_theta_med = Valor inicial angular de theta. % val_fin_theta_med = Valor final angular de theta. % N_med_theta_beta = # de puntos en los que se desea hacer la medición, en el % intervalo [val_in_theta_med,val_in_theta_med]. % r_unico_med = Valor (único) de radio para el que se desea hacer el barrido. % phi_unico_med = Valor (único) de ángulo phi para el que se desea hacer el barrido. % Las salidas de "Pm_barrido_theta" son:% esfe_r_theta_phi_beta_med = Matriz de coordenadas esféricas (r,theta,phi)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento), para cada uno de % los puntos de medición en el intervalo [val_in_theta_med,val_in_theta_med] % organizados en orden creciente.% carte_x_y_z_beta_med = Matriz de coordenadas cartesianas (x,y,z)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento), para cada uno de % los puntos de medición en el intervalo [val_in_theta_med,val_in_theta_med] % organizados en orden creciente.% beta_med = Sera en este caso idénticamente N_med_theta_beta, sin embargo se escribe % pues es necesaria como entrada de otros programas. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [esfe_r_theta_phi_beta_med,carte_x_y_z_beta_med,beta_med]... =Pm_barrido_theta(val_in_theta_med,val_fin_theta_med,N_med_theta_beta,... r_unico_med,phi_unico_med) % beta_med = número total de puntos de medición. beta_med=N_med_theta_beta, %%%%%COORDENADAS_ESFERICAS_PUNTOS MEDICION%%%%%% theta_beta = Vector columna de coordenadas theta de cada uno de los N_med_theta_beta % puntos de medición, obtenidos con divisiones angulares iguales del intervalo elegido. theta_beta=val_in_theta_med:(val_fin_theta_med-val_in_theta_med)... /((N_med_theta_beta)-1):val_fin_theta_med;theta_beta=(theta_beta)'; % theta_beta = Vector columna de coordenadas phi de cada uno de los N_med_theta_beta % puntos de medición.phi_beta=phi_unico_med*(ones(beta_med,1)); % theta_beta = Vector columna de coordenadas theta de cada uno de los N_med_theta_beta % puntos de medición.r_beta=r_unico_med*(ones(beta_med,1));

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27/07/09 11:33 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\Pm_barrido_theta.m 2 of 2

esfe_r_theta_phi_beta_med=[r_beta theta_beta phi_beta]; %%%%%COORDENADAS_CARTESIANAS_PUNTOS MEDICION%%%%%% Coordenadas cartesianas de cada uno de los puntos de medición.x_beta=r_beta.*sin(theta_beta).*cos(phi_beta);y_beta=r_beta.*sin(theta_beta).*sin(phi_beta);z_beta=r_beta.*cos(theta_beta); carte_x_y_z_beta_med=[x_beta y_beta z_beta];

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27/07/09 11:44 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\distancia.m 1 of 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%DISTANCIA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "distancia" calcula la distancia cartesiana entre los elementos de una % matriz A con componentes filas (xia,yia,zia) y una matriz B con componentes en sus filas% (xib,yib,zib) donde "i" hace referencia al número del elemento en cada matriz.% Las matrices A y B deben tener el mismo orden. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "distancia" son: % B = Matriz de coordenadas cartesianas con elementos fila (xib,yib,zib).% A = Matriz de coordenadas cartesianas con elementos fila (xia,yia,zia). % La salida de "distancia" es:% C = Matriz con componentes fila correspondientes a las distancias entre el elemento % i-ésimo de la Matriz B respecto a cada uno de los elementos de la matriz A.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [C]=distancia(B,A) [b,rrr]=size(B);[a,ttt]=size(A); for fff=1:b for xxx=1:a C(fff,xxx)=... (((B(fff,1)-A(xxx,1))^2)... +((B(fff,2)-A(xxx,2))^2)... +((B(fff,3)-A(xxx,3))^2))^(1/2); endend

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27/07/09 11:50 AM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\theta_beta_alpha.m 1 of 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%THETA_ALPHA_BETA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "theta_beta_alpha" permite encontrar el ángulo formado entre los vectores % normales en cada punto sobre la corteza esférica y cada uno de los puntos externos de % medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "theta_beta_alpha" son: % r_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a las distancias entre el % i-ésimo elemento de medición respecto a cada uno de los elementos de la superficie % de la esfera.% carte_x_y_z_beta_med = Matriz de coordenadas cartesianas (x,y,z)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento), % para cada uno de los puntos externos de medición). % (Salida del programa "Pm_barrido_theta" o del programa "Pm_barrido_r").% carte_x_y_z_vec_nor_uni = Matriz de coordenadas cartesianas (x,y,z)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento,)% para cada uno de los vectores unitarios normales ubicados sobre la % superficie en que fue discretizada la esfera. % Las salidas de "Pm_barrido_theta" son:% theta_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a los ángulos formados % entre el i-ésimo elemento de medición respecto a cada uno de los vectores normales % a los elementos de superficie de la esfera.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [theta_beta_alpha]=... theta_beta_alpha(r_beta_alpha,carte_x_y_z_beta_med,carte_x_y_z_vec_nor_uni) [r_beta_eta]=distancia(carte_x_y_z_beta_med,carte_x_y_z_vec_nor_uni) [beta_med,rrr]=size(carte_x_y_z_beta_med);[alpha_esf,ttt]=size(carte_x_y_z_vec_nor_uni); % El desarrollo teórico del cálculo se explica de manera detallada en el documento tesis.for xxx=1:beta_med for ppp=1:alpha_esf theta_beta_alpha(xxx,ppp)=... acos((1+(r_beta_alpha(xxx,ppp))^2-(r_beta_eta(xxx,ppp))^2)/(2*r_beta_alpha(xxx,ppp))); endend

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27/07/09 12:01 PM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\G_beta_alpha.m 1 of 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%G_BETA_ALPHA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "G_beta_alpha" permite encontrar la matriz de propagación con elementos % fila correspondientes a la contribución de todos los elementos fuente en el i-ésimo % punto de medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "G_beta_alpha" son: % r_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a las distancias entre el % i-ésimo elemento de medición respecto a cada uno de los elementos de la superficie % de la esfera.% theta_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a los angulos fomados % entre el i-ésimo elemento de medición respecto a cada uno de los vectores normales % a los elementos de superficie de la esfera.% r_p = radio del pistón equivalente (Salida del programa "Elementos_esfera").% f = Frecuencia de oscilación del pistón equivalente. % NOTA IMPORTANTE: El programa tiene dos elementos predefinidos que no se establecen como% entradas debido a que los cálculos siempre serán estimados para condiciones en que el % medio sea el aire. Estos son ro=1.18(Densidad del aire Kg/m3) y c=340(Velocidad del % sonido en el aire m/s). % Las salida de "G_beta_alpha" es:% G_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a la contribución de todos % los elementos fuente en el i-ésimo punto de medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [G_beta_alpha]= G_beta_alpha(r_beta_alpha,theta_beta_alpha,r_p,f) % Valores predefinidos para la velocidad del sonido y la densidad del aire respectivamente c=340;ro=1.18; % k = Numero de onda asociado a la frecuencia de oscilación elegida.k=2*pi*f/c; %%%%%MATRIZ_DE_PROPAGACION%%%%%% El desarrollo teórico del cálculo se explica de manera detallada en el documento tesis.[beta_med,alpha_esf]=size(r_beta_alpha);for xxx=1:beta_med for ppp=1:alpha_esf G_beta_alpha(xxx,ppp)=... abs((j*ro*c/(pi*r_p))*... (besselj(1,k*r_p*sin(theta_beta_alpha(xxx,ppp)))/... (r_beta_alpha(xxx,ppp)*sin(theta_beta_alpha(xxx,ppp))))*... exp(-j*k*r_beta_alpha(xxx,ppp))); endend

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27/07/09 12:37 PM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\dis_vel_beta_alpha.m 1 of 2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%DIS_VEL_BETA_ALPHA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "dis_vel_beta_alpha" permite encontrar la matriz de distribución de % velocidades con elementos columna correspondientes a la componente de velocidad vista% desde el i-ésimo punto de medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "dis_vel_beta_alpha" son: % opc_mon1_dip2 = Esta variable permite elegir entre la distribución de velocidades de % un monopolo o un dipolo, definiéndola como 1 o 2 respectivamente. % v_max = Valor máximo de velocidad de la distribución en (m/s). % esfe_r_theta_phi_alpha_esf = Matriz de coordenadas esféricas (r,theta,phi)% (Cada columna representa una coordenada y cada fila un elemento,)% para cada uno de los elementos en que fue discretizada la esfera % theta_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a los ángulos formados % entre el i-ésimo elemento de medición respecto a cada uno de los vectores normales % a los elementos de superficie de la esfera. % La salida de "dis_vel_beta_alpha" es:% dis_vel_beta_alpha = matriz de distribución de velocidades con elementos columna % correspondientes a la componente de velocidad vista desde el i-ésimo % punto de medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dis_vel_beta_alpha]=... dis_vel_beta_alpha(opc_mon1_dip2,v_max,esfe_r_theta_phi_alpha_esf, theta_beta_alpha) [alpha_esf,rrr]=size(esfe_r_theta_phi_alpha_esf); %%%%%DISTRIBUCION_DE_VELOCIDADES_MONOPOLO_SOBRE_SUPERFICIE%%%%%% dis_vel_mono_alpha = vector columna de distribución de velocidades para cada uno de los% elementos sobre la esfera en el caso de un monopolo acustico independiente del punto % desde el cual sea visto (es decir, sobre la superficie). La distribución de velocidades% es uniforme en este caso para todos los elementos de superficie.dis_vel_mono_alpha=v_max.*ones(alpha_esf,1); %%%%%DISTRIBUCION_DE_VELOCIDADES_DIPOLO_SOBRE_SUPERFICIE%%%%%% dis_vel_dipo_alpha = vector columna de distribución de velocidades para cada uno de los% elementos sobre la esfera en el caso de un dipolo acústico independiente del punto desde % el cual sea visto (es decir, sobre la superficie). La distribución de velocidades % radiales tiene en este caso una dependencia con el coseno del ángulo formado entre el % centro del vector al elemento y el eje de oscilación de la esfera. dis_vel_dipo_alpha=v_max.*abs(cos(esfe_r_theta_phi_alpha_esf(:,2))); % opc_mon1_dip2 = matriz relacionada con la variable de entrada del mismo nombre que % permite elegir en adelante el cálculo de las distribuciones de velocidad vistas % desde los puntos de medición. opc_mon_dip=[dis_vel_mono_alpha dis_vel_dipo_alpha];

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27/07/09 12:37 PM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\dis_vel_beta_alpha.m 2 of 2

[beta_med,alpha_esf]=size(theta_beta_alpha); %%%%%MATRIZ_DISTRIBUCION_VELOCIDADES%%%%%% dis_vel_beta_alpha = matriz de distribución de velocidades. Cada columna representa % la magnitud de velocidad vista desde el i-ésimo punto de medición de cada uno de los % elementos sobre la esfera. Los ángulos de la matriz theta_beta_alpha>=(pi/2) no % contribuirán a la presión en el punto que cumpla dicha propiedad. La exposición % teórica se presenta en el documento tesis. for ppp=1:beta_med; for xxx=1:alpha_esf; if theta_beta_alpha(ppp,xxx)>=(pi/2); dis_vel_beta_alpha(xxx,ppp)=0; else dis_vel_beta_alpha(xxx,ppp)=... opc_mon_dip(xxx,opc_mon1_dip2)*(cos(theta_beta_alpha(ppp,xxx))); end endend

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27/07/09 12:52 PM C:\Users\Alexander\Desktop\M_T\Definitivos\vect_pres_beta.m 1 of 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%VECT_PRES_BETA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El programa "vect_pres_beta" permite encontrar el vector columna con elementos de % presión asociados a cada uno de los puntos de medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Las entradas de "dis_vel_beta_alpha" son: % G_beta_alpha = Matriz con componentes fila correspondientes a la contribución de todos % los elementos fuente en el i-ésimo punto de medición. % dis_vel_beta_alpha = matriz de distribución de velocidades con elementos columna % correspondientes a la componente de velocidad vista desde el i-ésimo % punto de medición. % La salida de "dis_vel_beta_alpha" es:% vect_pres_beta = vector columna con elementos de presión asociados a cada uno de los % puntos de medición. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [vect_pres_beta]=vect_pres_beta(G_beta_alpha,dis_vel_beta_alpha) [beta_med,alpha_esf]=size(G_beta_alpha); %%%%%VECTOR_DE_PRESION%%%%%% El desarrollo teórico del cálculo se explica de manera detallada en el documento tesis.for ppp=1:beta_medvect_pres_beta(ppp,1)=G_beta_alpha(ppp,:)*dis_vel_beta_alpha(:,ppp);end

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tesis_pregrado

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