UNIVERSIDAD SIMN BOLVARDECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES

COORDINACIN DE FSICA

TCNICAS MODERNAS ON-SHELL APLICADAS ALCLCULO DE AMPLITUDES DE RBOL CON MLTIPLES

QUARKS

Por:Br. Luis Enrique Mendoza

PROYECTO DE GRADOPresentado ante la Ilustre Universidad Simn Bolvar

como requisito parcial para optar al ttulo deLicenciado en Fsica

Sartenejas, Julio de 2014

UNIVERSIDAD SIMN BOLVARDECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES

COORDINACIN DE FSICA

TCNICAS MODERNAS ON-SHELL APLICADAS ALCLCULO DE AMPLITUDES DE RBOL CON MLTIPLES

QUARKS

Por:Br. Luis Enrique Mendoza

Realizado con la asesora de:

Prof. Fernando Febres Cordero

PROYECTO DE GRADOPresentado ante la Ilustre Universidad Simn Bolvar

como requisito parcial para optar al ttulo deLicenciado en Fsica

Sartenejas, Julio de 2014

RESUMEN

Se presentan resultados analticos compactos para amplitudes de rbol en cromodinmi-ca cuntica (QCD) de hasta seis partones con helicidad definida. Se consideran todas lascombinaciones de partculas incluyendo gluones y hasta tres sabores distintos de quarks.Las expresiones obtenidas se presentan en trminos de productos espinoriales de helicidady empleando amplitudes parciales de color, de forma tal de trabajar con objetos mnimosinvariantes de calibre.

Se desarrollan las llamadas recursiones on-shell tipo BCFW, as como soluciones de estarecursin en base a grafos con nodos arraigados. Esto se hace para teoras de Super Yang-Mills N = 4, y luego se realizan proyecciones de los multipletes supersimtricos para obteneramplitudes en QCD.

Se comparan los resultados obtenidos con expresiones calculadas por programas compu-tacionales en la literatura, tanto analticos (GGT) como numricos (BlackHat).

Las tcnicas basadas en unitariedad generalizada para el clculo de amplitudes de choquede mltiples lazos, usan como bloques bsicos amplitudes on-shell de rbol. Por tanto, seespera que las expresiones aqu presentadas sean de utilidad para clculos de precisin aprocesos de alta multiplicidad de partculas en el estado final. Estos resultados son relevantespara los programas cientficos de colisionadores de partculas como el Gran Colisionador deHadrones (LHC) de los laboratorios del CERN en Ginebra.

AGRADECIMIENTOS

Estos agradecimientos estn dirigidos a todas las personas que hicieron que fuera posiblela realizacin de este trabajo. Gracias a mis padres y mi hermano por siempre apoyarme entodo el trayecto de mi licenciatura. Gracias a los profesores del departamento de fsica porensearme y motivarme a estudiar tan increble y amplia ciencia como es la fsica. Y porltimo gracias a todos mis amigos y compaeros que conoc en la Universidad Simn Bolvar.Nada de esto hubiera sido posible sin ustedes.

NDICE GENERAL

1 INTRODUCCIN 1

2 PRELIMINARES 4

2.1 Ecuacin de Dirac y espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Ordenamiento de Color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Formalismo Espinorial de Helicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Algunos clculos explcitos de amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Factorizaciones Suave y Colineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 RECURSIN BRITTO-CACHAZO-FENG-WITTEN 22

3.1 Deformaciones Complejas y Recursin BCFW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Aplicaciones de BCFW a Amplitudes de Gluones . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Subamplitudes Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Amplitudes MHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3 Amplitud NMHV: A6(1+, 2, 3+, 4, 5+, 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Aplicaciones de BCFW a Amplitudes con Gluones y Fermiones . . . . . . . . . 39

3.3.1 Amplitudes MHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Amplitudes NMHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 BCFW PARA SUPER YANG-MILLS N = 4 484.1 Variables de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Supermultipletes y Superamplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Super-BCFW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Superamplitudes NMHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Ecuacin Maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 De Super Yang-Mills N = 4 a QCD de Puros Gluones . . . . . . . . . . . . . . 62

5 AMPLITUDES EN QCD, EVALUACIN Y COMPARACIN 64

6 CONCLUSIONES 69

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 70

A CLCULOS EXPLCITOS 73

B DE SYM N = 4 A QCD CON FERMIONES 78

vii

LISTA DE FIGURAS

2.1 Reglas de Feynman para QCD con ordenamiento de color [13]. . . . . . . . . . . 12

2.2 Diagramas que contribuyen a la amplitud A(1q , 2+q , 3+, 4). . . . . . . . . . . . 17

2.3 Diagramas que contribuyen a la amplitud A(1+e , 2e , 3+q , 4+, 5q ) . . . . . . . . . . 18

3.1 Representacin diagrmatica de la recursin BCFW. . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Subamplitudes nulas bajo la deformacin |i, j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Recursin aplicada al clculo de la frmula de Parke-Taylor . . . . . . . . . . . 34

4.1 Las dos contribuciones de la recursin supersimtrica para el caso de las amplitu-des NMHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 rbol arraigado con todos los caminos hasta p = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Comparacin entre BCFW y GGT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Comparacin entre BCFW y BlackHat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.1 Intercambio escalar no deseado entre fermiones de distinto sabor [18]. . . . . . . 79

B.2 Vrtices nulos, estos pueden ser usados para evitar el intercambio escalar [18]. . 79

B.3 Configuraciones posibles para una y dos lneas ferminicas [18]. . . . . . . . . . 80

B.4 Configuraciones posibles para tres lneas ferminicas [18]. . . . . . . . . . . . . . 81

CAPTULO 1

INTRODUCCIN

El clculo de amplitudes de choque est en el centro de la teora cuntica de campos. Lasmismas son fundamentales, pues para un proceso de choque la seccin eficaz del mismo seobtiene a partir del cuadrado de estas. Por ejemplo, al analizar choques en colisionadoreshadrnicos, se emplea la ecuacin:

(p1p2 X) =ij

dx1dx2f

p1i (x1)f

p2j (x2)(ij X) , (1.1)

donde las fpji (xj) son las llamadas funciones de densidad partnica, que reflejan la probabi-lidad de encontrar el partn i en el hadrn j con una fraccin total de momentum xj. Laseccin eficaz (ij X) se conoce como la seccin partnica fuerte (partonic hard crosssection, en ingls), en la cual intervienen solo partculas puntuales (los partones) y se puedecalcular con teora de perturbaciones en teora cuntica de campos. La ecuacin 1.1 la pro-pone de manera heurstica inicialmente en 1969 Feynman [1], y se prueba en el contexto deQCD en los aos 80 empleando la tcnica de expansin de producto de operadores [2].

En general, escribimos: |A|2 , (1.2)

donde A es la amplitud de choque. En el contexto de cromodinmica cuntica (QCD, porsus siglas en ingls), esta amplitud se expande como una serie de potencia en la constante deacoplamiento fuerte, s, segn:

A = ns(Atree + s2piA

1loop +(s2pi

)2A2loop +

), (1.3)

donde al primer coeficiente Atree se le conoce como la amplitud de rbol, al segundo A1loop

la amplitud de un lazo, etc. Los nombres vienen pues estos coeficientes se relacionan enla cuantizacin de integrales de camino respectivamente con diagramas de Feynman contopologa de rbol, un lazo, etc.

En este trabajo estaremos presentando nuevas tcnicas de cmputo de amplitudes de rbolque no emplean diagramas de Feynman. El algoritmo de reglas de Feynman permite de

2manera sistemtica organizar el cmputo en principio a todos los rdenes de amplitudes dechoque. Esto se obtiene a expensas de introducir muchos estados virtuales que aparecen enpartes intermedias de los cmputos, pero que desaparecen de las expresiones finales de losobservables fsicos (como por ejemplo la seccin eficaz). Adems, debido al mecanismo decuantizacin, cada diagrama de Feynman tiene una dependencia en el calibre particular quese emplee para los campos de calibre. Esta dependencia es por supuesto espuria y tambinse cancela en las expresiones finales fsicas.

Son estas caractersticas las que hacen que los clculos basados en diagramas de Feyn-man sean mucho ms complejos que resultados finales fsicos. Dos ejemplos: se conoce que lacomplejidad computacional del algoritmo de Feynman crece factorialmente con el nmero departculas incluidas y con el nmero de lazos. Por otro lado, recientemente se ha dado eviden-cia de que este comportamiento a nivel de un lazo se puede reducir a un factor polinomial enel nmero de partculas [3]. Por otro lado, un ejemplo central para este trabajo, es el de lasamplitudes de Parke-Taylor [4]. En 1986 Parke y Taylor, estudiando amplitudes de helicidad,ordenadas de color, encontraron que para ciertas configuraciones de helicidad, las llamadasamplitudes con violacin mxima de helicidad (MHV, por sus siglas en ingls), tenan lapropiedad de colapsar a un nico termino al ser expresadas con productos espinoriales. Ellosprobaron esto solo para 4 y 5 gluones, y dieron una conjetura para todo nmero de gluones.La primera prueba de esta conjetura vendra por Berends y Giele [5] usando sus recursionesoff-shell (que hasta el da de hoy son usadas por su eficiencia numrica).

La prueba de Berends y Giele no es muy esclarecedora en cuanto al porque de esta simpli-cidad. No sera sino hasta 2004 cuando Britto, Cachazo y Feng [6] daran una nueva relacinde recursin on-shell para amplitudes de rbol que ayudara a entender de mejor manera estasimplicidad. Esta relacin de recursin se llama BCFW [16] y la estaremos describiendo yempleando en este trabajo. La misma fue obtenida en primera instancia de la llamada uni-teriedad generalizada, que ya desde los 90s haba probado ser muy poderosa en los trabajosde Bern, Dixon y Kosower (ver por ejemplo [7], donde se muestra el clculo de un lazo parala produccin de cuatro partones en choques electrn-positrn). A diferencia de la tcnicade diagramas de Feynman, BCFW permite construir amplitudes de rbol solo con estadoson-shell y para estructuras invariantes de calibre. Esta caracterstica es en parte la fortalezade este algoritmo.

Los ltimos diez aos han visto una revolucin en la forma en que entendemos la teoracuntica de campos. Esto se ha debido a la compresin del uso de unitariedad para la extrac-cin de la serie perturbativa de choque. Se pueden encontrar detalles y referencias relevantesal respecto en los artculos [14,15]. En estas tcnicas las herramientas para construir las am-plitudes son rboles on-shell, y de all la importancia de las expresiones analticas compactasque estaremos presentando en este trabajo.

3Este trabajo est organizado de la siguiente manera. En el Captulo 2 se introduce primerolos espinores de Dirac, luego la idea de ordenamiento de color de amplitudes de choque y elformalismo de productos espinoriales de helicidad. Estos temas dan el contexto central quese emplear para representar las amplitudes de rbol. Se termina el captulo con una brevedescripcin de lmites singulares universales de las amplitudes en QCD. En el Captulo3.1 se presenta la relacin y prueba de la recursin BCFW. A continuacin se presentanlos clculos centrales de este trabajo: las amplitudes de 6 puntos de choques incluyendo 6gluones, 4 gluones y un par de quarks, 2 gluones y 4 quarks (de dos sabores distintos) yfinalmente 6 quarks (de tres sabores distintos). En el Captulo 4 se presenta una solucingeneral de la recursin anloga a BCFW en la teora de Super Yang-Mills con N = 4, queinduce una solucin alternativa a las amplitudes aqu calculadas. As, en el Captulo 5 se haceuna comparacin numrica entre los resultados obtenidos, as como con la librera numricadel cmputo BlackHat [15]. Finalmente en el Captulo 6 se presentan las conclusiones yperspectivas a futuro.

CAPTULO 2

PRELIMINARES

Un uso correcto de variables cinemticas, as como el clculo de subamplitudes invariantesde calibre, fueron ingredientes necesarios para que Parke y Taylor encontraran expresionesanalticas compactas para las amplitudes que violan maximalmente helicidad (MHV, por sussiglas en ingls) [4]. En este captulo presentamos el lgebra de productos de helicidad y ladescomposicin en (sub)amplitudes de color originalmente usadas por Parke y Taylor, y quehoy en da se emplean para clculos ms complejos en teoras perturbativas.

2.1. Ecuacin de Dirac y espinores

Consideremos la ecuacin de Dirac, esta es una ecuacin de onda relativista, la cual, en suforma libre describe el comportamiento de partculas de espn 1/2 (ver por ejemplo [11,24]):

(i m)(x) = 0 , (2.1)

donde las matrices se definen en trminos de una relacin de anticonmutacin y de lamtrica usual de Minkowski = diag(1,1,1,1):

{, } = 2 . (2.2)

En este trabajo se trabajar con unidades naturales, donde c = 1 y ~ = 1.

Para esta seccin se utiliz la representacin de Dirac de estas matrices, la cual se escribeen trminos de matrices 2 2, incluyendo la identidad y las matrices de Pauli i segn:

0 = 1 0

0 1

, i = 0 ii 0

. (2.3)Es sencillo verificar que estas matrices cumplen las relaciones de anticonmutacin de laEc. (2.2).

La funcin de onda (x) que aparece en la ecuacin de Dirac (2.1), es un objeto de cuatro

5entradas. Se puede expandir el mismo con una onda plana y un espinor, que denotamos u(p),de la siguiente manera:

(x) = u(p)eipx . (2.4)

Al sustituir este ansatz en la ecuacin de Dirac se obtiene una ecuacin para el u(p):

(p m)u(p) = 0 . (2.5)

Suponiendo en principio que la partcula est en reposo, es decir ~p = 0, se encuentra: E1 00 E1

u(p) = mu(p) , (2.6)donde se ha permitido soluciones con energas E. Esta ecuacin de autovalores retorna final-mente las posibles soluciones:

u1 =

1000

, u2 =

0100

, u3 =

0010

, u4 =

0001

, (2.7)

dando las funciones de onda (E = m):

1 = u1eimt , 2 = u2eimt , 3 = u3e+imt , 4 = u4e+imt . (2.8)

Las dos primeras soluciones representan los dos estados de espn para una partcula conenerga E = m, las dos ltimas los dos estados de espn de una partcula con E = m; estasltimas se interpretarn como las soluciones asociadas a la antipartcula.

Para el caso general de una partcula en movimiento, ~p 6= 0, la ecuacin de Dirac tomaentonces la forma siguiente: E m ~ ~p

~ ~p E m

u(p) = 0 . (2.9)

6Se obtiene entonces las siguientes soluciones para el espinor u(p):

u1 =

10

p3/(E +m)(p1 + ip2)/(E +m)

, u2 =

01

(p1 ip2)/(E +m)p3/(E +m)

,

u3 =

p3/(E +m)

(p1 ip2)/(E +m)10

, u4 =

(p1 + ip2)/(E +m)

p3/(E +m)01

, (2.10)

donde las soluciones u1 y u2 estn asociadas a una partcula de energa E = +m2 + ~p2

y momentum ~p. Las soluciones u3 y u4 a una antipartcula con energa E = m2 + ~p2 ymomentum ~p.

Se definen dos nuevos espinores v1(p) u4(p) y v2(p) u3(p) para describir los estadosde antipartculas, con energas positivas siempre E = +

m2 + ~p2. Estos espinores u y v

tambin pueden definirse por ser soluciones de energa positiva a las ecuaciones:

(ip m)u(p) = 0 , (ip +m)v(p) = 0 . (2.11)

Se define la helicidad de una partcula como la proyeccin de su espn en la direccin desu momentum ~p:

h = 2~S ~p|~p| . (2.12)

Es til tambin definir los proyectores de helicidad de la partcula:

+, = 1 2~S ~p|~p| . (2.13)

Para una partcula de espn 1/2 la helicidad solo puede tomar los valores h = 1. Se les dicepartculas derechas a aquellas con h = +1, y partculas izquierdas a las que tienen h = 1.Los proyectores +, proyectan los espinores en sus componentes de helicidad izquierda oderecha. En general, la helicidad no es invariante de Lorentz. Se puede por otro lado definiruna cantidad relacionada a la misma que si es invariante bajo transformaciones de Lorentz,denominada quiralidad. Esta se define en trminos de lo proyectores quirales:

PR =(1 + 5)

2 , PL =(1 5)

2 , (2.14)

7donde 5 se define a partir de las segn:

5 i0123 , (5)2 = 1 , {5, } = 0 . (2.15)

Ntese que en la representacin de Dirac de las matrices , de la Ec. (2.3), la matriz 5 lucecomo:

0 = 0 11 0

. (2.16)Como los PR y PL son proyectores se pueden descomponer los espinores en su componente

quiral derecha y quiral izquierda:

uR = PRu , uL = PLu . (2.17)

Para los espinores de antipartcula v el momentum tiene direccin opuesta a la de los u, ypor ende sus proyecciones son:

vR = PLv , vL = PRv . (2.18)

En general, la helicidad y la quiralidad son dos cosas distintas, pero en el lmite de partculassin masa , m = 0, |~p| = E, los espinores se vuelven autoestados tanto de los proyectores dehelicidad como de los proyectores quirales, con los mismos autovalores. De ah la identificacinpara partculas sin masa.

Por ejemplo, si se considera el caso m = 0 y p3 = E, de las soluciones en la Ec. (2.10) seobtiene:

u1 =

1010

, u2 =

010-1

, v1 =

0-101

, v2 =

1010

. (2.19)

Ahora, debido a que los proyectores quirales son complementarios, PR + PL = 1, podemosescribir nuestro estado de la manera siguiente:

= RL

, R = PR , L = PL . (2.20)A R se le llama la componente derecha y a L la componente izquierda del espinor . La

8ecuacin de Dirac toma entonces la forma siguiente:

( i

0 11 0

0 + i 0 ii 0

i m1) R

L

= 0 , (2.21)Es decir, queda como un sistema de ecuaciones que acopla R y L:

i0L + iiiL = mR ,i0R + iiiR = mL . (2.22)

Se encuentra que la masa acopla los estados derechos e izquierdos. As, en el caso sin masatenemos ecuaciones desacopladas:

i0L + iiiL = 0 ,i0R + iiiR = 0 . (2.23)

En general R y L tienen la forma siguiente:

R =

a

b

00

, L =

00c

d

. (2.24)

Se pueden entonces tratar como espinores de dos entradas y escribir = R L. Es decir,el espinor de 4 entradas es una suma directa de dos espinores de dos entradas. Es importantetener en mente siempre estas dos representaciones, ya que se emplearn ms adelante.

Otra forma de pensar en estas dos representaciones es considerando los generadores infini-tesimales del grupo de Lorentz, los cuales son seis; tres asociados a rotaciones y tres asociadosa los boosts de Lorentz [26]. El lgebra que estos cumplen es:

[Ki, Kj] = ijkJk , [Ki, Jj] = ijkKk , [Ji, Jj] = ijkJk . (2.25)

Al considerar las combinaciones lineales de estos operadores Lm = Jm iKm, se obtieneque el grupo de Lorentz se puede dividir en dos pedazos independientes, que corresponden alas representaciones que mencionadas anteriormente. De hecho, se cumple:

[Li, Lj] = iijkLk , [Li, Lj] = 0 , (2.26)

lo que son las relaciones de conmutacin de dos pares de generadores de SU(2). Estos dospedazos corresponden a las representaciones (1/2, 0) y (0, 1/2) del grupo de Lorentz. Se

9identifica a los espinores derechos como transformando bajo la representacin (0, 1/2) y losespinores izquierdos bajo la representacin (1/2, 0). Se puede escribir los generadores de estasdos representaciones:

Para la representacin (0, 1/2):

Ji =12i , Ki =

i

2i . (2.27)

Para la representacin (1/2, 0):

Ji =12i , Ki =

i

2i . (2.28)

Estos generadores son matrices 2 2 as que los objetos que transforman bajo esta repre-sentacin son objetos de dos entradas. Para los espinores derechos se usar la notacin con = 1, 2 y para los espinores izquierdos con = 1, 2. La conexin con los espino-res izquierdos y derechos definidos anteriormente con los operadores de proyeccin quiral esinmediata.

2.2. Ordenamiento de Color

El grupo de color SU(Nc) (en QCD Nc = 3) est formado por matrices complejas unitariasU de tamao Nc Nc con detU = 1. De esta manera, una transformacin infinitesimal enSU(Nc) tiene la forma:

U = 1 i2aT a , (2.29)

donde los a son parmetros reales infinitesimales y los T a son los generadores (normalizados)del grupo, los cuales se definen segn las siguientes relaciones:

Tr(T a) = 0 , (T a) = T a , Tr(T aT b) = ab . (2.30)

El espacio de matrices unitarias sin traza tiene dimensin N2c 1, se tienen entonces N2c 1generadores infinitesimales T a que forman una base de este espacio. Su conmutador es:

[T a, T b] = i

2fabcT c . (2.31)

A las fabc se les conocen como constantes de estructura del grupo. Estas constantes se puedenescribir en trminos de los generadores:

fabc = i2

Tr([T a, T b]T c) . (2.32)

10

Al escribir diagramas de Feynman en QCD tendremos un fabc por cada vrtice de tres gluo-nes, un factor (T a)i por cada vrtice glun-quark-antiquark, y un producto de las constantesde estructura fabef cde por cada vrtice de cuatro gluones. Se encuentra que es beneficiosofactorizar estructuras de color de las amplitudes de inters, de forma tal que nos quedentrminos que dependan de trazas de los generadores T a y de productos de generadores conndices abiertos, todo esto con coeficientes en funcin de la cinemtica [13, 21, 30]. En parteesto es de utilidad pues la dependencia en el calibre empleado para los campos vectoriales nomezcla los distintos coeficientes de las estructuras de color.

As entonces, para tratar los vrtices cbicos se utiliza la Ec. (2.32) y para los vrticesglun-quark-antiquark usamos la identidad de Fierz:

(T a)1i1(Ta)2i2 =

2i1

1i2

1Nc1i1

2i2 . (2.33)

La Ec. (2.33) implica que los generadores T a de SU(Nc) forman un conjunto completo dematrices hermticas sin traza. Finalmente, para el vrtice de cuatro gluones se expresa elproducto fabef cde en trminos de las T a. Se tiene:

fabef cde = 12Tr(TaT bT e T bT aT e) Tr(T cT dT e T dT cT e)

= 12[Tr(T aT bT e)Tr(T cT dT e) Tr(T aT bT e)Tr(T dT cT e)

Tr(T bT aT e)Tr(T cT dT e) + Tr(T bT aT e)Tr(T dT cT e)].

Utilizando la identidad de Fierz nos queda entonces

fabef cde = 12Tr(TaT bT cT d T aT bT dT c T bT aT cT d + T bT aT dT c)

=(i

2

)2Tr(T a[T b, [T c, T d]]) . (2.34)

Con estas identidades se pueden reescribir todos los vrtices de las reglas de Feynman deteoras de calibre tipo Yang-Mills (como QCD). Para amplitudes con n gluones, sea V3 elvrtice de tres gluones y V4 el vrtice de cuatro gluones, si se emplean las relaciones de lasEcs. (2.32) y (2.34), estos pueden ser escritos de la forma siguiente:

V3 =(g

2

)Tr(T aT bT c)[(k1 k2) + (k2 k3) + (k3 k1)]

+(g

2

)Tr(T bT aT c)[(k1 k2) + (k2 k3) + (k3 k1)] , (2.35)

11

V4 = g2Tr(T aT bT cT d)( 12

12

)+ g2Tr(T aT bT dT c)

( 12

12

)+ g2Tr(T aT cT dT b)

( 12

12

)+ g2Tr(T aT dT cT b)

( 12

12

)+ g2Tr(T aT cT bT d)

( 12

12

)+ g2Tr(T aT dT bT c)

( 12

12

). (2.36)

Ntese que en ambos vrtices, las reglas se reducen a una sola traza de los generadores porcada trmino cinemtico, estas trazas corresponden a permutaciones no-cclicas de los ndicesde los generadores. Con estas expresiones se puede de manera directa entonces factorizarterminos de color y cinemtico segn lo requerido.

Como ejemplo, Considere una amplitud a nivel de rbol con n gluones externos, A0n. Sedescompone esta amplitud, comenzando por tomar un glun externo y el primer vrtice alque se conecta, se asocia un generador a cada lnea unida al vrtice y se usan las Ecs. (2.35)y (2.36) para descomponer ese vrtice en especfico. Se obtienen as permutaciones no cclicasen los ndices de los generadores asociados al vrtice. Se siguen a continuacins las otras lneaspegadas al vrtice, si se encuentra un glun externo se termina el proceso. Si no, entonces lalnea corresponde a un propagador y se continua al siguiente vrtice. Este procedimiento serepite recursivamente hasta hasta quedar solo con gluones externos. Todos los trminos quequedan finalmente tendrn una traza de los generadores reflejando el arreglo de los gluonesexternos y un trmino, que llamaremos la amplitud parcial A0n con toda la informacincinemtica de la amplitud. De esta forma queda:

A0n = gn2

Sn/ZnTr(T (1) T (n)

)A0n((11), . . . , (nn)) , (2.37)

donde Sn/Zn es el conjunto de todas las permutaciones no-cclicas del conjunto {1, 2, . . . , n},y i = es la helicidad de la partcula (ntese que los gluones tienen dos helicidades, corres-pondientes a polarizaciones izquierdas y derechas de sus funciones de onda). Las amplitudesparciales son ms sencillas que las amplitudes completas, debido a que solo reciben contri-buciones de diagramas con ciertos ordenamientos cclicos de los gluones. Estas amplitudesparciales cumplen ciertas identidades, tales como:

An(1, . . . , n) = An((1), . . . , (n)) con Zn

12

An(1, . . . , n 1, n) = (1)nAn(n, n 1, . . . , 1)

An(1, . . . , n) + + An(2, . . . , i 1, 1, i, . . . , n) + + An(2, . . . , 1, n) = 0

De manera anloga, se pueden descomponer amplitudes a nivel de rbol con dos quarksexternos y n 2 gluones externos:

A0n = gn2

Sn2

(T (1) . . . T (n)

)1i2A0n(11q , 22q , (33), . . . , (nn)) (2.38)

De esta reduccin se pueden extraer una serie de reglas de Feynman ordenadas de color quese resumen en la Figura 2.1.

=

=

k

p

i

i

2

(

+

)

i

p

2

(p q)

+

(q k)

+

(k p)

i

=p

i

p

2

=

=

i

p

2

i

p

2

=

=

q

Figura 2.1. Reglas de Feynman para QCD con ordenamiento de color [13].

2.3. Formalismo Espinorial de Helicidad

Se considerara el espn de nuestras partculas, pues se quiere ver si es posible organizarlos nmeros cunticos de espn de los estados externos de forma que simplifique el clculo delas amplitudes. La base de estados de helicidad es muy conveniente para este propsito. Enlos procesos de colisionadores a altas energas casi todos los fermiones son ultra-relativistas,comportndose como si no tuvieran masa. La helicidad de fermiones sin masa se conserva alinteractuar con fotones o gluones. Por otro lado, se nota que procesos con fotones y los gluonesexternos no conservan helicidad. Las amplitudes pueden ser segn la cantidad de violacin

13

de helicidad tengan, comenzando por las amplitudes MHV (Maximally Helicity Violating),luego vienen las amplitudes NMHV (Next-to-Maximally Helicity Violating), y as siguen.

Usualmente se emplean invariantes de Lorentz basados en contracciones de cuadri-momentos,pi , tales como las variables de Mandelstam sij = (pi + pj)2, como las variables cinemticasbasicas. Los momentos pertenecen a la representacin (1/2, 1/2) del grupo de Lorentz. Estosse pueden escribir estos pi en trminos de elementos que transformen bajo una representacinms pequea del grupo de Lorentz [13,20,21,25,30].

Se emplea la representacin espinorial del grupo de Lorentz, la cual es bidimensional paravectores sin masa (espinores de Weyl). As, se cambian los cuadri-momentos pi por un parde ndices espinoriales, que corresponden a las representaciones (1/2, 0) (espinor izquierdo)y (0, 1/2) (espinor derecho) del grupo de Lorentz. El mapa se obtiene de manera explcitacomo sigue:

p = p = p01+ ~ ~p = p0 p3 p1 + ip2p1 ip2 p0 + p3

. (2.39)As el momentum p queda expresado como una matriz 2 2, que cumple det(p) = pp.As, en el caso de un momentum tipo luz (sin masa), por tener determinante cero, podemosescribir la matriz correspondiente como el producto exterior de dos espinores de dos entradas:

p = . (2.40)

Para momentos reales en el espacio de Minkowski se tiene que los espinores y tienenentradas complejas y uno es el conjugado del otro. Si se considera el caso de momentoscon entradas complejas entonces y se vuelven independientes. Estos espinores estndeterminados salvo una constante multiplicatoria (asociada con el llamado little group). Unadescomposicin explcita de un cuadri-momentum p es:

= zp0 p3

p0 p3p1 ip2

, = 1zp0 p3

(p0 p3 ,p1 + ip2

). (2.41)

Los ndices espinoriales y pueden ser subidos y bajados utilizando los tensores anti-simtricos ab y ab, y sus inversos ab y ab. Estos tensores adems definen contracciones queson llamadas productos espinoriales:

abab = , (2.42)abab [] = [] . (2.43)

De la antisimetra de estos productos es claro que [ii] = ii = 0. Adems, en el caso en quep y q son momentos tipo luz, se puede escribir el producto p q = 12ababpaaqbb en trminos

14

de los productos espinoriales:p q = 12 [] . (2.44)

Tambin se utilizan las proyecciones de los espinores de Dirac u y v para escribir los productosespinoriales, la correspondencia entre las dos notaciones se ve en la tabla siguiente:

Notacin Weyl Espinor Weyl Notacin Dirac Espinor Dirac Espinor Dirac(E > 0) (E < 0)

|i (pi) |i+ u+(pi) v(pi)|i] (pi) |i u(pi) v+(pi)i| (pi) i| u(pi) v+(pi)[i| (pi) i+| u+(pi) v(pi)

donde u(pi) = 12(1 5)u(pi) y v(pi) = 12(1 5)v(pi) son las proyecciones quirales de losespinores de Dirac.

Ntese que la Ec. (2.44) permite descomponer variables de Mandelstam segn (pi y pj tipoluz):

ij [ij] = 2pi pj = (pi + pj)2 sij . (2.45)

En el caso de entradas reales los productos espinoriales se pueden considerar como racesde invariantes de Lorentz:

ij = sijeiij , [ij] = sijeiij , (2.46)

donde ij es una fase. Para deducir algunas de la identidades siguientes se supone que todoslos momentos son entrantes. As, se puede usar la identidad i pi = 0, que en trminos deespinores se escribej j j = 0, obteniendo as, al contraer a ambos lados con dos espinores,la identidad:

nj=1ij [jk] = 0 . (2.47)

Como los espinores son bidimensionales, cualquiera de ellos se puede expresar en trminosde otros dos linealmente independientes:

|i = ikjk |j+ijjk |k . (2.48)

Al contraer esto con un espinor adicional |l, se obtiene la llamada identidad de Schouten:

ij kl+ ik lj+ il jk = 0 . (2.49)

Al calcular amplitudes usualmente se encuentran matrices contradas con espinores. Es

15

conveniente ver cmo se comportan estos productos:

p| |q] = [q| |p . (2.50)

Este producto es un cuadri-vector, por lo tanto siempre aparece contrado con un cuadri-vector de momentum, o con otra matriz :

p| /k|q] = pk [kq] , (2.51)p| |q] r| |s] = 2[qs] pr . (2.52)

Esta ltima identidad se llama rearreglo de Fierz, y se puede escribir en trminos de matricesde Pauli segn:

()() = 2 . (2.53)

Tambin los vectores de polarizacin para bosones externos sin masa, como para fotonesy gluones, se pueden expresar en trminos de productos espinoriales de la forma siguiente:

+ (ki, q) =q| |i]

2 qi , (ki, q) =

[q| |i2[qi]

. (2.54)

Se tienen aqu escritos los como cuadri-vectores. Para tenerlos en trminos de ndicesespinoriales, utilizamos el mapa de la Ec. (2.39) para escribir los vectores de polarizacincomo matrices 2 2 con sus dos indices espinoriales:

/+(ki, q) =

2q

i

qi , /(ki, q) =

2q

i

[qi] . (2.55)

En estas expresiones ki corresponde al momentum del glun (o fotn), y q es un cuadri-vector sin masa que llamamos el momentum de referencia, y que finalmente estar relacionadocon la libertad de calibre de los gluones externos. Se tiene que ambos momentos cumplen conla ecuacin de Dirac sin masa:

/ki |i = /ki|i] = 0 = /q |q = /q|q] . (2.56)

Estos son transversos al momentum ki (como deben ser):

+ (ki, q) ki =q| |i]

2 qiki =q| /ki|i]

2 qi =qi [ii]

2 qi = 0 ,

(ki, q) ki = [q| |i

2[qi]ki =

[q| /ki |i2[qi]

= [qi] ii2[qi]

= 0 . (2.57)

Un clculo anlogo permite ver que estos tambin son transversos al momentum de referen-

16

cia q: (ki, q)q = 0. Esto nos permite decir que la nica restriccin sobre el momentum dereferencia q es que este sea distinto al momentum ki , es decir q 6= ki q(ki) 6= 0. El qes arbitrario salvo esta restriccin, esta libertad de escoger el momentum de referencia es lainvarianza de calibre, las amplitudes se mantienen invariantes bajo el cambio +

2

[kq]k,lo cual es equivalente al cambio q q + k.Estos se normalizan de la forma siguiente:

(+)(ki, q) ()(ki, q) = 12q| |i][q| |iqi [qi] =

12

(2[qi] qi)qi [qi] = 1 ,

()(ki, q) ()(ki, q) = 12[ii] qqqi2 =

12

[qq] ii[qi]2 = 0 . (2.58)

Ya con esto, ser til calcular de una vez todas las contracciones posibles de estos que nospueden aparecer en nuestras amplitudes, y as tambin corroborar los resultados anteriorescomo casos especiales de las contracciones a calcular:

()(ki, q1) ()(kj, q2) = 12[1| |i [2| |j

[1i][2j] =ij [12][1i][2j] , (2.59)

(+)(ki, q1) (+)(kj, q2) = 121| |i] 2| |j]1i 2j =

12 [ij]1i 2j , (2.60)

()(ki, q1) (+)(kj, q2) = 12[1| |i 2| |j]

[1i] 2j =2i [1j][1i] 2j , (2.61)

()(ki, q1) (kj) = [1| /kj |i2[1i] =[1j] ij

2[1i], (2.62)

(+)(ki, q1) (kj) = 1| /kj|i]2 1i =1j [ji]

2 1i . (2.63)

2.4. Algunos clculos explcitos de amplitudes

Se presentan ahora algunos ejemplos simples de amplitudes a nivel de rbol, empleandodiagramas de Feynman en los productos espinoriales que se introdujeron en la Seccin 2.3.Para empezar, se considera una amplitud de rbol de 4 gluones con todas las helicidadespositivas A04(1+, 2+, 3+, 4+). Ya que todas las helicidades son iguales si se toman todos losmomentos de referencia q iguales se encuentra que todos los productos +i +j son cero.Simplemente, se hace que q sea igual a algn vector nulo distinto de todos los momentosexternos ki. No se necesita una expresin explcita para q, ya que al ser todos iguales lascontracciones de las polarizaciones se hacen cero, y estas contracciones aparecen en todos losdiagramas que contribuyen, por lo tanto la amplitud es cero.

Este resultado se puede generalizar para n gluones externos. Cada vrtice no-abeliano

17

contribuye a lo sumo con un momentum ki, y hay a lo sumo n 2 vrtices, es decir, setienen a lo sumo n 2 momentos que contraer con los n vectores de polarizacin i (unopor cada glun externo). As, existe por lo menos una contraccin de la forma i j, y laamplitud debe hacerse cero siempre que podamos hacer que estas contracciones sean cero. Enel caso que todas las helicidades sean iguales simplemente se toman todos los momentos dereferencia iguales. En caso de que se tenga una sola helicidad negativa, que podemos colocaren la particula 1 sin perdida de generalidad, se elige q1 = kn y q2 = q3 = = qn = k1.llegamos entonces al siguiente resultado general [13]:

A0n(1, 2+, 3+, . . . , n+) = 0 . (2.64)

Empleando argumentos anlogos se obtiene el siguiente resultado para amplitudes con n2gluones externos, un quark y un anti-quark:

A0n(1q , 2+q , 3+, . . . , n+) = 0 . (2.65)

Ahora, se calculan algunas amplitudes distintas de cero, empleando productos espinorialesy las reglas de Feynman ordenadas de color mostradas en la Figura 2.1. Considere primeroun proceso relativamente simple a nivel de rbol: qq gg, con helicidades A(1q , 2+q , 3+, 4).Se encuentra que contibuyen dos diagramas, uno donde el propagador es una lnea ferminicay el otro donde el propagador es una linea bosnica (mirar la Figura 2.2). Se le llama a laamplitud de cada diagrama A1 y A2 respectivamente. Se aprovechar la libertad de elegir losmomentos auxiliares de forma tal que solo uno de los diagramas contribuya. Se tiene para elprimer diagrama, usando las reglas de Feynman, lo siguiente:

Figura 2.2. Diagramas que contribuyen a la amplitud A(1q , 2+q , 3+, 4).

A1 = g2u(k1) (k4)i/k

k2+ (k3)u+(p2) , (2.66)

donde k es el momentum a lo largo del propagador, reescribimos en trminos de productosespinoriales:

A1 g2 k1| |k] (k4)[k| |k4 + (k3) . (2.67)

18

Si se toma la contraccin con el primer vector de polarizacin, se obtiene:

k1| |k] (k4) = k1| |k][q4| |k4

2[q4k4]=

2[k1q4] k4k[q4k4] . (2.68)

Tomando el momentum de referencia q4 = k1, entonces esta contraccin se hace cero, y, porlo tanto A1 = 0. Si se explora ahora la amplitud del segundo diagrama:

A2 = g2

2 u(k1)v+(k2)

i(k1 + k2)2

(k4)((k3 k4))+ (k3) (2.69)

se encuentra que al escoger q3 = k2 los ltimos dos trminos del vrtice cbico se hacen ceropor un argumento anlogo al usado en A1. Se tiene entonces:

A2 =ig2

2(k1 + k2)2+ (k3)()(k4)[p1| /p3 /p4 |p2

= ig2

2 k3k4 [k3k4][k2| |k3k2k3

k1| |k4][k4k1]

[k1k4] k4k2

= ig2 242

34 23[13][34] .

Simplificando este resultado al aplicar conservacin del momentum, se obtiene finalmente:

A2 = ig2243

12 23 34 . (2.70)

Se considera ahora un ejemplo con 5 partculas [21], en particular el proceso siguienteee+ qgq, les asignamos las helicidades:

eL(k1)e+R(k2) qR(k3)gR(k4)qL(k5) . (2.71)

O, equivalentemente:

Figura 2.3. Diagramas que contribuyen a la amplitud A(1+e , 2e , 3+q , 4+, 5q )

A05(1+e , 2e , 3+q , 4+, 5q ) A5 . (2.72)

19

Se tiene la siguiente expresin para la amplitud:

A5 = ie2gu+(k1)v+(k2)

(k1 + k2)2v+(k5)

/k3 + /k4(k3 + k4)2

+ (k4)u+(k3)

+ ie2gu+(k1)v+(k2)

(k1 + k2)2v+(k5)+ (k4)

/k4 + /k5(k4 + k5)2

u+(k3) .

Reescribiendo en trminos de productos espinoriales:

A5 = ie2g25s12

1| ( /k3 + /k4)/+4 |3]2s34

+ ie2g [13]s12

[2|( /k4 + /k5)/+4 |52s45

= ie2g 25s12

1| ( /k3 + /k4)|q]s34 4q [43] + ie

2g[13]s12

[2|( /k4 + /k5) |4s45 4q q5 . (2.73)

Al escoger q = k5, se elimina el segundo trmino de la amplitud:

A5 = ie2g25s12

1| ( /k3 + /k4)|5]s34 45 [43] = ie

2g25 [12] 25 [43]12 [21] 34 [43] 45 ,

A5 = ie2g252

12 34 45 . (2.74)

2.5. Factorizaciones Suave y Colineal

Se estudia a continuacin el comportamiento en los lmites suave y colineal de la amplitudpresentada en la Ec. (2.74). Este comportamiento se puede generalizar de manera inmediatapara el resto de las amplitudes en QCD [21]. Primero se presenta el lmite suave.

Considere el lmite en el que el momentum k4 del glun en la Ec. (2.74) va uniformemente acero, k4 0. En este caso se puede factorizar la amplitud en dos pedazos, el primero dependesolo de la energa y del ngulo del glun emitido, y el segundo es la amplitud omitiendo eseglun:

A5 = ie2g252

12 34 45 =3534 45 ie

2g25212 35

= S(3, 4+, 5) A4(1+e , 2e , 3+q , 5q ) . (2.75)

El factor suave S viene dado de manera general por:

S(a, s+, b) = abas sb , S(a, s, b) = [ab][as][sb] , (2.76)

donde s es el glun suave, a y b son los partones duros adyacentes al glun suave en el

20

ordenamiento de color. Con esto es fcil llevar la factorizacin para una amplitud general:

A0n(1, 2, . . . , a, s, b, . . . , n)ks0 S(a, s, b) A0n1(1, 2, . . . , a, b, . . . , n) . (2.77)

El factor suave S no depende de si las partculas a y b son gluones o quarks, dependenicamente de sus direcciones angulares con respecto al glun suave s, por esta misma raznse puede pensar que los dos partones a y b son escalares y calcular el factor suave S a partirde dos diagramas de Feynman, uno correspondiente a la emisin desde la pata de a y el otroa la emisin desde la pata de b, donde se usa un propagador escalar y el propagador internode los diagramas para calcular este factor:

S(a, s+, b) =

2+s ka2ka ks +

2+s kb

2kb ks =aqsq as

bqsq bs =

abas sb . (2.78)

Ahora se presenta el comportamiento en el lmite colineal de la amplitud (2.74). Tomandoel caso en el que los momentos k3 ka y k4 kb se vuelven paralelos, este lmite tiene unasingularidad debido a que el momentum intermedio (el del propagador) kP ka + kb se va acero en el lmite colineal:

k2P = 2ka kbab 0 . (2.79)

Tambin se especifica la fraccin kP que llevan los partones a y b:

ka = zkP , kb = (1 z)kP , (2.80)

donde 0 < z < 1. Se tiene entonces que los espinores asociados a estos momentos cumplencon unas relaciones similares:

a =zP , b =

1 zP (2.81)

a =zP , b =

1 zP . (2.82)

Empleando estas relaciones en la Ec. (2.74) se obtiene:

A5 =1

1 z 34 ie2g25212 P5

= Split(3+q , 4+g ; z) A4(1+e , 2e , P+q , 5q ) , (2.83)

donde se ha introducido un factor de emisin (splitting) en el trmino SplitP (aa , bb ; z),el cual permite escribir de manera general la factorizacin de las amplitudes a nivel de rbol

21

en el lmite colineal:

A0n(. . . , aa , bb , . . . )ab

P=SplitP (aa , bb ; z)A0n1(. . . , P P , . . . ) . (2.84)

Ntese que a diferencia del factor suave de la Ec. (2.77), este factor de emisin si dependede si las partculas a y b son gluones o quarks, as como de su helicidad. Adems, el mismoincluye una suma sobre las helicidades del partn intermedio P . El segundo trmino de lafactorizacin corresponde a la amplitud de rbol con n1 partculas que se obtiene al juntarlos dos partones. En QCD hay cuatro emisiones posibles: g gg, g qq, q qg, q qg.

CAPTULO 3

RECURSIN BRITTO-CACHAZO-FENG-WITTEN

En este captulo se introduce y demuestra la recursin on-shell BCFW para amplitudes depuros gluones. Esta se aplicar para demostrar la frmula de Parke y Taylor, la cual contienetodas las amplitudes MHV, y luego se usar para el clculo de una amplitud NMHV. Luegode se aplica la recursn para el clculo de amplitudes amplitudes con quarks, tanto en el casoMHV como en el caso NMHV. Algunos clculos explcitos se presentan en el Apndice A.

3.1. Deformaciones Complejas y Recursin BCFW

En el siguiente anlisis se aprovecharn las propiedades analticas de las amplitudes on-shell, empleando herramientas del del clculo complejo.

Una amplitud on-shell An de partculas sin masa se caracteriza por los momentos y heli-cidad de las partculas externas. Se tiene p2i = 0 para todo i = 1, 2, .., n, junto a la condicinde conservacin del momentum. As, se introduce entonces un conjunto de n vectores deentradas complejas ri tales que:

ni=1 r

i = 0

ri rj = 0 para todo i, j

pi ri = 0 para cada i

Usando estos ri se definen los n momentos deformados segn [20]:

pi pi + zri z C . (3.1)

Como los pi originales y los ri son on-shell se tiene que estos momentos deformados sontambin on-shell, es decir p2i = 0. Cumplen tambin estos momentos complejos la conservacinde momentum ni=1 pi = 0.Considere un subconjunto genrico no-trivial de los n momentos, {pi}iI . Se define P I =

23

iI p

i , y se tiene entonces:

P 2i =(iI

pi

)2= P 2I + 2zPI RI , RI =

iI

ri . (3.2)

El trmino con z2 es cero debido a que los ri son ortogonales entre s. Se encuentra que:

P 2I = P 2IzI

(z zI) , zI = P2I

2PI RI . (3.3)

Se estudia entonces la amplitud An como funcin de los momentos deformados pi. Enparticular, es til estudiar la amplitud desplazada como funcin de la variable compleja,An(z), la cual es holomrfica por construccin. Para obtener la amplitud original simplementese evalua en z = 0, esto es An(z = 0) = An.

Estudiemos el caso en que An es una amplitud a nivel de rbol. Toda la estructura analticade An viene dada por sus polos, los cuales surgen de los propagadores en los varios diagramasde Feynman que contribuyen a la amplitud. Estos polos dependen de los momentos como1/P 2I , donde los PI son la suma de un subconjunto no-trivial de los momentos deformados.Usando la Ec. (3.3) se encuentra que 1/P 2I produce un polo simple en zI , y en generalzI 6= 0. Para un diagrama de Feynman a nivel de rbol no puede haber ms de una potenciade un propagador dado, y los polos de los diferentes propagadores estn todos en puntosdistintos del plano complejo. Entonces, se concluye que la amplitud deformada An solo tienepolos simples, los cuales vienen determinados por los propagadores, y ninguno de ellos seencuentra en el origen.

Considere la funcin An(z)z

en el plano complejo. Se toma un contorno alrededor del polosimple en el origen. El residuo de este polo es la amplitud original An. Deformando estecontorno para que contenga a todo el resto de los polos de An(z), se obtiene:

An = zI

Resz=zIAn(z)z

+Bn , (3.4)

donde Bn es el residuo del polo en z = . Se tiene que el residuo zI se puede escribiren trminos del momentum PI de las patas asociadas, y el residuo se escribe de la formasiguiente:

Resz=zIAn(z)z

= AL(zI) 1P 2IAR(zI) , (3.5)

donde AL y AR se les llama subamplitudes. Se tiene que el momentum del propagador que lasconecta es 1/P 2I , y por definicin este momentum es on-shell al evaluarlo en el polo zI . Cadasubamplitud tiene necesariamente menos de n partculas, por lo tanto, es posible calcular los

24

residuos en los polos finitos de cada amplitud de manera recursiva.

En general, no se cuenta con una expresin para el residuo en infinitoBn, por esto pediremosque Bn = 0, o equivalentemente, que la amplitud deformada cumpla con:

An(z) 0 si z . (3.6)

Se puede ya escribir la recursin de inters. En la recursin de Britto, Cachazo, Feng y Witten(BCFW) [16] se considera una deformacin de unicamente dos de los momentos externos enla amplitud. Se denotan estas lneas como i y j, en trminos de los momentos se tiene:

ki = ki + zq , kj = kj zq , ki q = kj q = 0 , q2 = 0 , (3.7)

donde el momentum q tiene entradas complejas. Para expresar esta deformacin en terminosde los espinores se utiliza la identidad 2ki = [i| |i para escribir los momentos deformados.Con esto se encuentra que 2q = [j| |i, con lo que se obtiene:

|i] = |i] + z|j] , |j] = |j] , |i = |i , |j = |j z |i . (3.8)

A esta se le llama una deformacin |i, j. Es fcil ver que con esto se cumple que los productos[ik] y jk son lineales en z para k 6= i, j, el resto de los productos espinoriales no cambian.Para que la recursin de BCFW sea valida es necesario que el residuo en z = sea cero, es

decir, debe cumplirse (3.6). Se desea estudiar el comportamiento de An(z) cuando |z| .Para esto se har uso del mtodo de campo de fondo (ver [23, 25]), con lo que se encontrarel escalamiento de la amplitud en dicho lmite.

Cuando |z| se tiene que ki y kj , a nivel de rbol solo hay una lneaconectando las partculas i y j. Se puede interpretar entonces este lmite como una partculadura entrando con momentum ki y saliendo con momentum kj, la cual es dispersada porun fondo de partculas suaves (el resto de las partculas en la amplitud). Como interesa elcomportamiento de la amplitud cuando |z| , solo se consideran fluctuaciones cuadrticas.Para esto se separa el campo de calibre de inters W , en una parte dura a y una parte suavede fondo A. As se tiene W = A + a. Se consideran dos transformaciones de calibre, unapara los campos de fondo y otra para las fluctuaciones. Si los campos a transforman bajo larepresentacin adjunta, se puede escribir el tensor de campo como:

G = Da Da [a, a ] + F ,Da = a [A, a ] ,F = F(A) , (3.9)

25

donde F(A) es el tensor de campo de los campos de fondo. No se coloca ninguna constantede acoplamiento porque solo interesa el escalamiento de los campos. Con esto se puede escribirla parte del Lagrangiano que depende cuadrticamente de las fluctuaciones:

La2 Tr(Da Da)2 + cTr[a, a ]F , (3.10)

donde c es una constante. Se fija el calibre sumando un trmino proporcional a (Da)2:

La2 TrDaaDabab + cTr[aa, ab]F ab . (3.11)

Para z muy grandes domina el primer trmino del Lagrangiano debido a que este dependesolo de los campo duros. Se deduce entonces el escalamiento de la amplitud a partir de leEc. (3.11). El primer trmino produce un propagador para el campo duro, que escala como1/z, este mismo trmino es tambin responsable de los vrtices que dependen de z. Aplicandoestos vrtices mltiples veces se obtiene un trmino de la amplitud que es proporcional a z.Entonces, la parte de la amplitud que va como z debe ser proporcional a ab; esto se puedeinterpretar como el hecho de que la helicidad de la partcula dura se conserva al interactuarcon el campo de fondo. El segundo trmino del Lagrangiano contribuye con un vrtice queno depende de z, el cual debe ser antisimtrico, igual que Fab; al aplicar los vrtices a estetrmino se obtienen trminos que van como potencias de 1/z que multiplican matrices. Laamplitud es entonces de la forma A(z) = aiMabbj, donde

Mab = (c1z + c0 + c11z

+ )ab + Aab + 1zBab + . (3.12)

Los demas trminos son de orden O(z2). Para hallar la dependencia en z de la amplitud bajouna deformacin basta con contraer el Mab con los vectores de polarizacin correspondientes:

i (j) q , +i (j) q + zkj ,+j (i) q , j (i) q zki . (3.13)

Para simplificar los clculos es til considerar la identidad de Ward:

kaiMabbj = 0 qaMabbj =

1zkaiMab

bj . (3.14)

Esta permite hacer el cambio i z1ki. Ya con esto se puede ver el comportamiento dela amplitud bajo distintas deformaciones |i, j, las cuales se denotan segn las helicidades de

26

las partculas i, j como (hi, hj). El primer caso a considerar es (,+):

A+(z) = ,ai Mab+,bj

= z1kai [(c1z + c0 + c1z1 + )ab + Aab + z1Bab + ]qb

= z1kaiAabqb +O(z2) 1z, (3.15)

donde se ha usado la propiedad ki q = 0. Para el caso (,) se obtiene:

A(z) = ,ai Mab,bj

= z1kai [(c1z + c0 + )ab + Aab + z1Bab + ](q zki)b= z1kaiAab(q zki)b z2kaiBab(q zki)b + = z1kaiAab(qb) + z1kaiBabkbi +O(z2)

1z. (3.16)

La antisimetra de Aab quita el trmino independiente de z, el trmino lineal es cero debidoa q ki = 0. Para la siguiente configuracin se emplea la identidad de Ward para hacer elcambio +j z1kj. As, se tiene en el caso (+,+):

A++(z) = +,ai Mab+,bj

= (q + zkj)a[(c1z + c0 + c1z1 + )ab + Aab + z1Bab + ]z1kbj= (qa)Aabz1kbj + kajBabz1kbj +O(z2)

1z. (3.17)

Por ltimo, para la configuracin (+,) se tiene:

A+(z) = +,ai Mab,bj

= (q + zkj)a[(c1z + c0 + )ab + Aab + z1Bab + ](q zki)b= c1ki kjz3 +O(z2) z3 . (3.18)

Se encuentra entonces que la nica deformacin que no hace que la amplitud cumpla conla condicion (3.6) es |+,. Se tiene que la recursin entonces es vlida siempre que seconsideren deformaciones de tipo |+,+, |, y |,+.Es til presentar una deduccin ms formal de la relacin de recursin BCFW [16,21,25,30].

Sea A(z) la amplitud con la deformacin |i, j, considere la siguiente integral sobre el planocomplejo:

B = 12pii

CdzA(z)z

, (3.19)

27

donde el contorno de integracin C es:

C = lmR

CR , CR = {z C|z = Rei , 0 < 2pi} . (3.20)

Por el teorema de residuos de Cauchy se tiene que evaluar esta integral es equivalente acalcular los polos z y los residuos del integrando

B =z

Res

(A(z)z

, z

). (3.21)

Claramente se tiene un polo en z = 0. Su residuo corresponde a la amplitud original A = A(0).El resto de los polos vienen de A(z), y en el caso de amplitudes de rbol solo pueden venirde los propagadores. Se puede entonces escribir:

B = A+z 6=0

Res

(A(z)z

, z

). (3.22)

Previamente se demostr que A(z) 0 cuando z , por lo tanto la integral dela Ec. (3.19) es cero y para hallar una expresin para la amplitud A solo se necesita ha-llar los polos de A(z) y sus respectivos residuos. A nivel de rbol los polos solo puedenvenir de propagadores internos. Al considerar solo amplitudes con ordenamiento de co-lor se tiene que el momentum del propagador solo puede ser una suma de los momentosde las partculas externas vecinas. Es decir, el momentum del propagador tiene la forma:kab(z) = ka(z) + ka+1(z) + + kb(z), donde a, b {1, 2, . . . , n}. Se define el conjunto{ab} {a, a + 1, . . . , b}mod(n), recordando que kab = kab(0) y kab = kab(z). Se hallan ahoralos polos: se tiene un polo cuando (kab)2 = 0, es decir, cuando la suma de los momentosexternos est on-shell. Si i, j {ab} se tiene que kab no depende de z y no se encuentra polo.Igualmente si i, j / {ab} tampoco hay polo. Se supone que solamente con i {ab}, tal quekab = kab + zq, el propagador tiene un polo:

(kab)2 = 0 z = zab = (kab)2

2q kab = (kab)2

[j|/kab |i. (3.23)

Para calcular el residuo en zab basta con saber cmo se comporta A(z) cuando (kab)2 0.Si se considera una amplitud de rbol de puros gluones en el lmite que el momentum pabde uno de los propagadores se va a cero se tiene que solo contribuyen los diagramas con unpropagador interno 1/pab. Es decir, la amplitud se factoriza en dos subamplitudes conectadaspor un propagador con momentum pab. Como se est en el limite pab 0 entonces ambas

28

subamplitudes estn on-shell. Esta factorizacin se puede escribir como:

A(1, . . . , n)

AL(a, . . . , b,pab)1

(pab)2AR(pab, b+ 1, . . . , a 1) , (3.24)

donde la suma es sobre las helicidades de la partcula propagada que conecta a las subam-plitudes. Con esto se tiene la siguiente expresin para el residuo en z = zab:

Res

(A(z)z

, zab

)=

AL(a, . . . , b,kab(zab))1

(kab)2AR(kab(zab), b+ 1, . . . , a 1) . (3.25)

El residuo se calcula al evaluar las dos subamplitudes en el polo, y luego multiplicando porel propagador que las conecta. Ntese que el momentum del propagador es kab = kab(0), esdecir, es real en vez de complejo. Con esto se puede entonces escribir la relacin de recursinBCFW:

A =abO

AL(a, . . . , b,kab(zab))1

(kab)2AR(kab(zab), b+ 1, . . . , a 1) , (3.26)

donde O = {{ab}|i {ab} j / {ab}}, es decir, todas las particiones de la amplitud tal quei y j queden en subamplitudes separadas. Si la amplitud a calcular tiene n gluones entoncescada subamplitud tiene a lo sumo n 1 gluones, y entonces se puede aplicar esta relacin deforma recursiva hasta expresar la amplitud completa en trminos de amplitudes de 3 puntos.En la Figura 3.1 se da una representacin diagramtica de esta relacion.

Figura 3.1. Representacin diagrmatica de la recursin BCFW.

Es importante mencionar que a pesar de que en se han mencionado nicamente amplitu-des de puros gluones, la recursin BCFW es igualmente valida par amplitudes con quarks,tomando ciertas precauciones al hacer la deformacion. Ms adelante se darn ms detalles.

3.2. Aplicaciones de BCFW a Amplitudes de Gluones

Aqu vamos a utilizar directamente la recursin BCFW para calcular varias amplitudesa nivel de rbol. Antes de empezar los clculos usando BCFW necesitamos calcular lo que

29

seran nuestros bloques fundamentales, es decir, las amplitudes de 3 puntos, para que seadistinta de cero debe tener 2 gluones con helicidad negativa, tenemos:

A3(1, 2, 3+). (3.27)

Esto es simplemente el vrtice cbico contrado con 3 vectores de polarizacin. Tomaremosel mismo momentum de referencia q para los tres vectores de polarizacin, usando las reglasde Feynman con ordenamiento de color tenemos:

A3(1, 2, 3+) = 12[(k1 k2) + (k2 k3) + (k3 k1) ]

(k1, q)(k2, q)+(k3, q)

= 22

[2 +3 k2 1 1 +3 k1 2 ]. (3.28)

Usando las definiciones de los vectores de polarizacin y el rearreglo de Fierz tenemos:

A3(1, 2, 3+) = 22

([q| |2 [q| |3 [q|/k2 |1

2[q2]

2 q32[q1] [q| |1 [q| |3 [q|/k1 |2

2[q1]

2 q32[q2]

)

= 122 [q3]q3( q2

[q1] 12 +q1

[q2] 12). (3.29)

Queremos quitar a q de esta expresin, usamos contracciones:

[q1] 12 = [q|/k2 + /k3 |2 = [q3] 32 ,[q2] 21 = [q|/k1 + /k3 |1 = [q3] 31 . (3.30)

Nos queda:

A3(1, 2, 3+) =122q3

(q223 +

q131

)= 12

2

q3q2 31+ q1 23

31 23 . (3.31)

Utilizando la identidad de Schouten podemos eliminar q3, nos queda finalmente:

A3(1, 2, 3+) =12331 23 =

12412 23 31 . (3.32)

Un clculo completamente anlogo nos da la otra amplitud de tres puntos de puros gluones:

A3(1+, 2+, 3) = [12]4

[12][23][31] . (3.33)

30

3.2.1. Subamplitudes Nulas

Antes de empezar a usar la recursin de manera explcita para calcular amplitudes vamosa ver que tipos de subamplitudes son cero, son cero todas las que tienen gluones de la mismahelicidad, ya que todas las subamplitudes en la recursin son on-shell, todas las subamplitudesde 4 puntos o mas con un solo glun de helicidad negativa tambien son cero; ahora veremosque las deformaciones utilizadas en la recursin hacen que aparezcan otras subamplitudesque se anulan, [30]. Consideremos una deformacin |i, j, tenemos que:

i = i + zj , i = i, (3.34)

j = j zi , j = j.

Consideremos entonces una subamplitud de 3 gluones, donde uno de ellos es el glun i,veremos que esta subamplitud es cero cuando hay dos helicidades positivas y una negativa.Sea l la pata adyacente a i, y p el momentum propagado, tenemos:

A3(i+, l+, p) = [il]3

[lp][pi]. (3.35)

Tenemos que el polo asociado a esta subamplitud es:

(Pil)2 = il [li] = il ([il] + zL[jl]) = 0 zL = [li][jl] . (3.36)

De aqu tenemos inmediatamete que:

[il] = [il] + [li][jl] [jl] = 0. (3.37)

Ahora queremos evaluar [lp] y [pi], para esto introducimos un espinor |a que no es mltiplode |p, vemos que:

[lp] = [lp][pa][pa] =[li][ia][pa] = 0,

[ip] = [ip][pa][pa] =[il][la][pa] = 0. (3.38)

Y por conservacin del momentum tenemos ahora que:

ip [pl] = pi [il] = lp [pi] = 0 [ip] = [li] = [pl] = 0. (3.39)

31

Figura 3.2. Subamplitudes nulas bajo la deformacin |i, j

Y ya con esto podemos decir que la subamplitud es cero, debido a que hay tres potencias decero en el numerador y dos en el denominador. Tenemos que por las mismas razones tambindebe anularse cualquier subamplitud de tres gluones con el glun j con dos helicidades nega-tivas y una positiva. Al calcular las amplitudes ms adelante haremos uso de estos resultados.Este resultado se puede extender sin ningn problema a subamplitudes de 3 puntos con unpar quark-antiquark.

3.2.2. Amplitudes MHV

Utilizando estas dos amplitudes de 3 puntos ya estamos listos para empezar a calcularamplitudes con la recursin BCFW. Empezaremos calculando amplitudes de 4 puntos paradistintas configuraciones de helicidad de los gluones externos, empezamos con:

A4(1, 2+, 3+, 4+). (3.40)

En este caso tenemos una sola helicidad negativa, elegimos una deformacin |1, 2 paracalcular esta amplitud.

1 = 1 + z2 , 1 = 1, (3.41)

2 = 2 z1 , 2 = 2.

En este caso tenemos una sola particin de la amplitud, y solo debemos calcular una de lasconfiguraciones de helicidad del propagador, ya que la otra es cero porque la subamplitud de

32

la derecha queda con todas sus helicidades positivas. Para representar las particiones introdu-cimos la notacin 1, 2, ..., i, ..., j 1|j, j + 1, ..., n, donde en el bra tenemos la subamplitudizquierda y en el ket la subamplitud derecha. La particin a calcular es:

41|23 = [54]3

[41][15]1

(P14)2[23]3

[35][52]. (3.42)

Multiplicamos el numerador y el denominador de esta expresin por el producto 253 paraquitarnos el momentum propagado de la amplitud:

41|23 = (25 [54])3[23]3

(25 [51])(25 [52])(25 [53])[41]1

(P14)2. (3.43)

Tenemos las contracciones:

25 [54] = 2| (/1 + /4)|4] = 21 [41],25 [52] = 2| (/2 + /3)|2] = 23 [32],25 [51] = 2| (/1 + /4)|1] = 42 [41],25 [53] = 2| (/2 + /3)|3] = 22 [23] = z 12 [23].

Nos queda:

41|23 = 213 [41]3[23]3

z 12 [23] 23 [32] 42 [41][41]1

(P14)2. (3.44)

Ahora solo nos queda calcular el polo y evaluar la amplitud en el mismo:

(P14)2 = 14 [41] = 14 ([41] + z14[42]) = 0 z14 = [41][42] . (3.45)

Es fcil ver que el producto [41] se hace cero al ser evaluado en el polo, este es el nicoproducto con dependencia en z que nos queda en la expresin de la amplitud, y nos quedaen el numerador, por lo tanto al evaluar la amplitud en el polo z = z14 tenemos el resultadosiguiente:

A4(1, 2+, 3+, 4+) = 0. (3.46)

El cual es el resultado esperado debido a que esta amplitud tiene solo un glun con helicidadnegativa. Vamos ahora con una amplitud MHV de 4 puntos:

A4(1, 2, 3+, 4+). (3.47)

33

Elegimos nuevamente una deformacin |1, 2 para calcular esta amplitud.

1 = 1 + z2 , 1 = 1 (3.48)

2 = 2 z1 , 2 = 2

Otra vez tenemos solo una particin de la amplitud, pero a diferencia del caso anterior aqu sitenemos que considerar ambas helicidades. Es importante mencionar que el polo solo dependede la particin y no de la helicidad del propagador que conecta las subamplitudes, entonceslos dos trminos a calcular en este caso tienen el mismo polo. Una de las configuraciones dehelicidad corresponde a una de las subamplitudes nulas, tenemos un solo trmino a calcularen esta amplitud, la particion 41|23. Calculemos el polo:

(P14)2 = 14 [41] = 14 ([41] + z14[42]) = 0 z14 = [41][42] . (3.49)

La amplitud es entonces:

A4(1, 2, 3+, 4+) = 153

54 411

(P14)2[35]3

[52][23]= 15

3 [53]345 [52][23] 41

1(P14)2

. (3.50)

Vemos que la deformacin usado no afecta ninguno de los productos espinoriales que aparecen,podemos simplificar rapidamente esta expresion, por conservacion del momentum tenemosque (P14)2 = (P23)2, tenemos:

A4(1, 2, 3+, 4+) = 123 [23]3

43 [32][23] 411

23 [32] . (3.51)

Simplificando nos queda la expresin esperada:

A4(1, 2, 3+, 4+) =124

12 23 34 41 . (3.52)

Con estos ejemplos ya estamos listos para obtener una expresin general para todas lasamplitudes MHV, vamos a utilizar la recursin BCFW para probar inductivamente la frmulade Parke-Taylor ( [30], [21], [20]). Ya calculamos algunas amplitudes MHV para el caso den = 3 y n = 4 gluones, para esta prueba se supone que la frmula de Parke-Taylor se cumplepara todo N < n. Tenemos entonces solo dos gluones con helicidad negativa, los cuales,gracias a la invarianza bajo permutaciones cclicas de los gluones, podemos colocar en laposiciones 1 y k, la amplitud tiene entonces la forma siguiente:

An(1, 2+, . . . , k, . . . , (n 1)+, n+). (3.53)

34

Donde todos los gluones excepto 1 y k tienen helicidad positiva. Haremos una deformacin|1, n. Sabemos que para amplitudes con ms de 3 gluones necesitamos que por lo menosdos tengan helicidad negativa para que sea distinta de cero, esto junto con el hecho de quesumamos sobre las helicidades de glun que conecta las subamplitudes nos lleva a que lanica particin que contribuye en este caso es aquella con las siguientes subamplitudes (laparticin que solo tiene a los gluones 1 y 2 en la subamplitud izquierda se anula en el polo):

An(1, . . . , k, . . . , n+) =

AL(1, . . . , k, . . . , (n 2)+, l+) 1l2AR(l, (n 1)+, n+). (3.54)

Figura 3.3. Recursin aplicada al clculo de la frmula de Parke-Taylor

Podemos calcular fcilmente el polo en trminos de los gluones de la subamplitud de laderecha:

l2 = n|n 1 [n 1|n] = 0 n|n 1 zl 1|n 1 = 0,

zl = n 1|nn 1|1 . (3.55)

Como la subamplitud izquierda tiene menos de n gluones tenemos que, por hiptesis, vienedada por la frmula de Parke-Taylor, la subamplitud de la derecha es de 3 gluones y ya lasabemos escribir. La amplitud es:

An(1, . . . , k, . . . , n+) =1k4

12 n 2|l l|1 1n|n 1 [n 1|n]

[n 1|n]3[nl][l|n 1] . (3.56)

Tenemos que la deformacin utilizada en este caso no afecta a ninguno de los productos

35

espinoriales que aparecen en esta amplitud:

An(1, . . . , k, . . . , n+) =1k4

12 n 2|l l|1 1n|n 1 [n 1|n]

[n 1|n]3[nl][l|n 1] . (3.57)

Tenemos:

n 2|l [nl] = n 2|n 1 [n 1|n],l1 [l|n 1] = 1n [n|n 1].

Reemplazando en la expresin para la amplitud obtenemos:

An(1, . . . , k, . . . , n+) =1k4 [n 1|n]3

12 n 3|n 2 n 2|n 1 [n 1|n] 1n [n|n 1] 1n|n 1 [n 1|n] ,

An(1, . . . , k, . . . , n+) =1k4

12 23 n 2|n 1 n 1|n n1 . (3.58)

Con lo cual queda demostrada la formula de Parke-Taylor para todo n. Con esto terminanuestro estudio de las amplitudes MHV de puros gluones. Tambin se puede considerarel conjugado de paridad de las MHV, que llamamos MHV, estas tienen dos partculas dehelicidad positiva y n 2 de helicidad negativa.

An(1+, 2, ..., k+, ..., (n 1), n) = [1k]4

[12][23] [n 1|n][n1] . (3.59)

3.2.3. Amplitud NMHV: A6(1+, 2, 3+, 4, 5+, 6)

Ahora vamos a calcular una amplitud NMHV de 6 gluones.

A6(1+, 2, 3+, 4, 5+, 6). (3.60)

Utilizamos la deformacin |2, 3:

2 = 2 + z3 , 2 = 2, (3.61)

3 = 3 z2 , 3 = 3.

36

Con esto nos quedan 3 particiones, lo cual se traduce en 5 trminos a calcular, de los cualesdos son cero por los resultados de subamplitudes nulas. Tenemos que la amplitud es:

A6 = 612|345+ 12|3456+ 5612|34 . (3.62)

El primer termino a calcular es:

612|345 = 264

12 27 76 611

(P345)2474

34 45 57 73 . (3.63)

Como en este caso estamos trabajando con amplitudes de 4 puntos podemos reescribir lasMHV como MHV, si cambiamos solo la subamplitud de la derecha tenemos que entonces nohay dependencia en el numero complejo z, tenemos:

612|345 = 264

12 27 76 611

(P345)2[35]4

[34][45][57][73] . (3.64)

El propagador que conecta estas subamplitudes es:

(P345)2 = (p3 + p4 + p5)2 = 2p3 p4 + 2p4 p5 + 2p5 p3 = S34 + S45 + S53. (3.65)

Nos queda entonces:

612|345 = 264 [35]4

12 61 [34][45](27 [57])(76 [73])(S34 + S45 + S53) . (3.66)

Estas dos contracciones son:

27 [75] = 2| (/3 + /4 + /5)|5] = 2| (/3 + /4)|5],67 [73] = 6| (/3 + /4 + /5)|3] = 6| (/5 + /4)|3]. (3.67)

Ya tenemos entonces el primer trmino:

612|345 = 264 [35]4

12 61 [34][45] 2| (/3 + /4)|5] 6| (/5 + /4)|3](S34 + S45 + S53) . (3.68)

37

El siguiente trmino es:

12|3456 = 273

71 121

(P12)2464

73 34 56 45 67 . (3.69)

Vamos a calcular el polo para evaluar este trmino:

(P12)2 = 12 [21] = 12 ([21] + zL[31]) = 0 zL = [21][31] . (3.70)

Para simplificar la expresin multiplicamos numerador y denominador por el productoespinorial [73]3:

12|3456 = 273

71 [21] 122464

73 34 56 45 67[73]3[73]3 . (3.71)

Tenemos las contracciones:

27 [73] = 2| (/2 + /1)|3] = 21 [13],67 [73] = 6| (/2 + /1)|3] = 6| /2 + /1|3],17 [73] = 1| (/2 + /1)|3] = 12 [23],37 [73] = 3| (/2 + /1)|3] = 31 [13] zL 21 [13] + 32 [23]

= 31 [13] + 21 [12] + 32 [23] = S12 + S23 + S31. (3.72)

Solo nos falta por evaluar un producto del denominador:

34 = 34 zL 24 = 43 [31] + [12] 24[13] =4| (/2 + /3)|1]

[31] . (3.73)

Reemplazando esto obtenemos ya la expresin para este trmino

12|3456 = [13]4 464

[12][23] 45 56 6| (/2 + /1)|3] 4| (/2 + /3)|1](S12 + S23 + S31) . (3.74)

Vamos finalmente con el ltimo trmino:

5612|34 = [15]4

[12][27][75][56][61]1

(P34)2[73]3

[34][47]. (3.75)

38

Veamos el polo:

(P34)2 = 34 [43] = (34 zL 24)[43] = 0 zL = 3424 . (3.76)

Nuevamente multiplicamos numerador y denominador por un producto espinorial auxiliar,en este caso 723:

5612|34 = [15]4

[12][27][75][56][61][73]3

43 [34]2[47]723723 . (3.77)

Las contracciones a calcular son:

27 [73] = 2| (/3 + /4)|3] = 24 [43],27 [75] = 2| (/3 + /4)|5] = 2| (/3 + /4)|5],27 [74] = 2| (/3 + /4)|4] = 23 [34],27 [72] = 2| (/3 + /4)|2] = 23 [32] + 24 [42] + zL 24 [43]

= 23 [32] + 24 [42] + 34 [43] = S23 + S34 + S42. (3.78)

Solo nos queda evaluar un producto espinorial en el polo

[12] = [12] + zL[13] =42 [21] + 43 [31]

24 =4| (/2 + /3)|1]24 . (3.79)

Reemplazamos y tenemos:

5612|34 = 244 [15]4

23 34 [56][61] 4| (/2 + /3)|1] 2| (/3 + /4)|5](S23 + S34 + S42) . (3.80)

Finalmente la expresin para la amplitud NMHV de 6 gluones es:

A6(1+, 2, 3+, 4, 5+, 6) =264 [35]4

12 61 [34][45] 2| (/3 + /4)|5] 6| (/5 + /4)|3]S345+ [13]

4 464[12][23] 45 56 6| (/2 + /1)|3] 4| (/2 + /3)|1]S123

+ 244 [15]4

23 34 [56][61] 4| (/2 + /3)|1] 2| (/3 + /4)|5]S234 . (3.81)

Esta expresin coincide con la mostrada en [6]. Es importante mencionar que la expresin

39

obtenida para esta amplitud depende de la deformacin usada, y en el caso de amplitudes con6 o ms partculas externas se puede volver un ejercicio difcil y tedioso ver la equivalencia dedos expresiones analticas para una misma amplitud. El hecho de que se pueda reescribir estaamplitud de muchas maneras distintas es debido a la no-linealidad del lgebra espinorial. Ennuestro caso haremos uso de evaluadores numricos para mostrar la igualdad de las expre-siones obtenidas con aquellas de la literatura, ver captulo 5. Otra cosa que es importantemencionar son los polos de estas expresiones para las amplitudes, las amplitudes a nivel derbol con ordenamiento de color tienen polos fsicos cuando los momentos de lineas externasadyacentes son colineales. En el caso de las amplitudes MHV vemos que solo hay polos de dospartculas, correspondiendo al caso en que las partculas i e i + 1 son colineales. En el casode esta amplitud NMHV de 6 gluones tenemos polos de dos y tres partculas (los polos de3 partculas estan en los trminos de la forma Sijk). Pero en esta amplitud NMHV tenemostambien los trminos de la forma i| (/j + /k)|l], los cuales tambin pueden dar lugar a singu-laridades en la amplitud cuando se van a cero, pero estos no corresponden a un polo fsicode la amplitud, decimos que estos son polos espurios, ya que al sumar todos los trminos dela amplitud estos se cancelan, sin embargo esto es difcil de ver directamente, otra forma dever que estos son polos espurios es tomando en cuenta que a partir de las reglas de Feynmanlas nicas singularidades en la amplitud suceden cuando los invariantes escalares Sij, Sijk,etc; entonces cualquier singularidad que no sea de esta forma corresponde a un polo espurio.En general las expresiones analticas para las amplitudes obtenidas utilizando la recursionBCFW son extremadamente compactas, pero al costo de introducir estos polos espurios enlas expresiones de la amplitud; esto quiere decir que al utilizar BCFW no esta manifiesta lalocalidad de la teora, ahora veremos otra aplicacin de esta recursin.

3.3. Aplicaciones de BCFW a Amplitudes con Gluones y Fermiones

En esta seccin aplicaremos la recursin BCFW para calcular amplitudes con pares quark-antiquark, por convencin el antiquark siempre tendra helicidad negativa, y el quark helicidadpositiva. Las expresiones obtenidas sern comparadas con las de [28] y [29]. Los fermionesen la amplitud siempre deben venir en pares quark-antiquark. Primero debemos calcular lasamplitudes de 3 puntos con un par quark-antiquark, utilizamos las reglas de Feynman conordenamiento de color para calcular:

A3(1q , 2+q , 3+). (3.82)

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Esta amplitud es simplemente el vrtice fermin-antifermin con un glun externo contradocon un vector de polarizacin y con los espinores asociados al par quark-antiquark, tenemos:

A3(1q , 2+q , 3+) = v(k2)

2u+(k1)+(k3, q). (3.83)

En trminos de espinores obtenemos:

A3(1q , 2+q , 3+) =[2| |1

2q| |3]

2 q3 =[23] q1q3 =

[23] 2123 =

[23]2[12] . (3.84)

Donde tomamos el momentum de referencia q = k2 y usamos conservacin del momentumen el ltimo paso, tenemos:

A3(1q , 2+q , 3+) =[23]3[13]

[12][23][31] . (3.85)

Por un clculo totalmente anlogo obtenemos la segunda amplitud de 3 puntos con un parquark-antiquark:

A3(1q , 2+q , 3) =133 2312 23 31 . (3.86)

Al utilizar la recursin con quarks hay que tener cuidado al escoger los dos momentos con loscuales hacer la deformacin, ms especficamente, no podemos escoger dos lneas ferminicasadyacentes del mismo sabor como referencia para la recursin, ni tampoco un fermin y unglun adyacentes con la misma helicidad, para ver esto evaluemos el comportamiento de lasamplitudes de 3 puntos bajo estas deformaciones. Para el caso que tomemos dos fermionesadyacentes como referencia la nica deformacin vlida es |+,, tenemos:

A3(1q , 2+q , 3) =133 2312 23 31 =

13212 . (3.87)

Podemos ver que no hay dependencia en z, por lo tanto esta amplitud no se va a cero enel lmite |z| , y no se cumple la condicin de que el residuo en infinito sea cero. Suce-de lo mismo en el caso que tomemos un fermin y un glun adyacentes con la misma helicidad.

3.3.1. Amplitudes MHV

Con esto ya podemos empezar a calcular las amplitudes con pares quark-antiquark, empe-zamos calculando la amplitud de 4 puntos con un par quark-antiquark:

A4(1q , 2+q , 3, 4+). (3.88)

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Utilizamos la deformacin |1, 4:

1 = 1 + z4 , 1 = 1, (3.89)

4 = 4 z1 , 4 = 4.

Con esto hay dos trminos a calcular, uno de ellos es cero debido a la discusin en laseccin 3.2.1, debemos trabajar entonces solo un trmino para calcular esta amplitud. Vamosa calcular el polo:

(P12)2 = 12 [21] = 12 ([21] + zL[24]) = 0 zL = [21][24] . (3.90)

Por conservacin del momentum tenemos que el polo tambien se puede escribir como:

zL =3431 . (3.91)

El trmino a calcular es:

12|34 = 153 25

12 25 511

(P12)2[45]4

[53][34][45]. (3.92)

Agrupando trminos y simplificando tenemos:

12|34 = 153 [54]3

12 [34] 51 [53] 12 [21] . (3.93)

Vamos a ver las contracciones:

15 [54] = 1| (/1 + /2)|4] = 12 [24],15 [53] = 1| (/1 + /2)|3] = 12 [23]. (3.94)

Tenemos entonces:

12|34 = 123 [24]3

12 [34] 12 [23] 12 [21] =[41][24]3

[12][23][34][41] . (3.95)

Utilizando conservacin del momentum podemos obtener dos expresiones equivalentes paraesta amplitud, una en trminos de los [ij] y otra con los ij

A4(1q , 2+q , 3, 4+) =[41][24]3

[12][23][34][41] =133 23

12 23 34 41 . (3.96)

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Con este resultado podemos ya demostrar un anlogo a la frmula de Parke-Taylor parael caso de amplitudes MHV con un par quark-antiquark y n 2 gluones,procederemos demanera completamente anloga a la del caso de n gluones, se supone que la frmula secumple para N < n, tendremos el antiquark con helicidad negativa y un glun en la posicink con helicidad negativa, el resto de las partculas en la amplitud tendran helicidad positiva.Utilizando la deformacin |1, n hay solamente dos trminos que calcular para esta amplitud,tenemos:

An(1q , 2+q , . . . , k, . . . , n+) =

AL(1q , 2+q , l+)1l2AR(l, 3, . . . , k, . . . , n+)+

AL(1q , 2+q , . . . , k, . . . , (n 2)+, l+)1l2AR(l, (n 1)+, n+). (3.97)

El primero de estos trminos se anula en el polo. Veamos el segundo trmino, tenemos:

An(1q , 2+q , . . . , k, . . . , n+) =k13 k2

12 n 2|l l|1 1n|n 1 [n 1|n]

[n 1|n]3[nl][l|n 1] . (3.98)

Ntese que la deformacin no afecta ninguno de los productos espinoriales que aparecenen esta expresin.

An(1q , 2+q , . . . , k, . . . , n+) =k13 k2

12 n 2|1 l|1 1n|n 1 [n 1|n]

[n 1|n]3[nl][l|n 1] . (3.99)

Haciendo un proceso completamente anlogo al del caso de puros gluones (seccin 3.2.2)llegamos entonces al resultado deseado:

An(1q , 2+q , . . . , k, . . . , n+) =k13 k2

12 23 n 1|n n1 . (3.100)

Con esta ecuacin ya tenemos codificadas todas las amplitudes MHV con un par quark-antiquark. Antes de hacer el clculo de amplitudes NMHV con un par-antiquark vamos acalcular la amplitud MHV de dos pares quark-antiquark (no hay gluones externos en esta

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amplitud):A4(1q , 2+q , 3q , 4+q). (3.101)

Utilizamos la deformacin |1, 4:

1 = 1 + z4 , 1 = 1, (3.102)

4 = 4 z1 , 4 = 4.

Tenemos solo dos trminos en la recursin, estos difieren solo en la helicidad del momentumpropagado. El primero de ellos es cero por que corresponde a una de las subampitudes nulas3.2.1.

Vamos a calcular el polo:

(P12)2 = 12 [21] = 12 ([21] + zL[24]) = 0 zL = [21][24] . (3.103)

Utilizando conservacin del momentum el polo se puede escribir como:

zL =3431 . (3.104)

Ahora, el trmino a calcular es:

12|34 = 153 25

12 25 511

(P12)2[45]3[35]

[34][45][53]. (3.105)

La deformacin usada no afecta ninguno de los productos espinoriales que aparecen aqu,entonces tenemos

12|34 = 152

121

(P34)2[45]2[34] =

132 [34]212 [34]2 34 =

13212 34 . (3.106)

Podemos usar conservacin del momentum para obtener dos expresiones equivalentes dela amplitud, una en trminos de los [ij] y otra en trminos de los ij, tenemos:

A4(1q , 2+q , 3q , 4+q) =132 23 4112 23 34 41 =

[24]2[23][41][12][23][34][41] . (3.107)

Esta expresin puede ser generalizada para tener todas las amplitudes MHV con dos pares

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quark-antiquark de sabor distinto y n 4 gluones de helicidad positiva:

An(1q , 2+, . . . , i+q , . . . , jq , . . . , k+q , . . . , n+) =1j2 ij 1k12 23 n1 . (3.108)

3.3.2. Amplitudes NMHV

Con esto ya podemos calcular la amplitud NMHV de 6 puntos con un par quark-antiquarky 4 gluones

A6(1+q , 2q , 3+, 4, 5+, 6) (3.109)

Usamos la deformacin |2, 3

2 = 2 + z3 , 2 = 2 (3.110)

3 = 3 z2 , 3 = 3

Con esto nos salen 5 trminos a calcular en la recursin, tenemos que dos de ellos son ceropor los resultados de las subamplitudes nulas, el primero a calcular es:

12|3456 = 722

121

(P12)2464

73 34 45 56 67 . (3.111)

Calculamos el polo de una vez:

(P12)2 = 12 [21] = 12 ([12] + zL[31]) = 0 zL = [21][31] . (3.112)

Para simplificar este trmino multiplicamos por el producto [73]2 arriba y abajo en la expre-sin de 12|3456, nos quedan los siguiente trminos a evaluar:

67 [73] = 6| (/1 + /2)|3] = 6| (/1 + /2)|3],27 [73] = 2| (/1 + /2)|3] = 12 [13],37 [37] = 3| (/1 + /2)|3] = 31 [13] + 32 [23] = (31 zL 21)[13] + 32 [23]

= 31 [13] + 21 [12] + 32 [23] = S456,

34 = 34 zL 14 = 43 [31] + 41 [12][13] =4| /2 + /3|1]

[13] . (3.113)

Reemplazando obtenemos la expresin para el primer trmino:

12|3456 = [13]3 464

S456[12] 45 56 6| (/1 + /2)|3] 4| (/2 + /3)|1] . (3.114)

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El siguiente trmino a calcular es:

612|345 = 623 61

12 27 76 611

(P345)2[35]4

[34][45][57][73]. (3.115)

Es fcil ver que en este caso la deformacin no afecta los productos espinoriales que aparecenen este trmino. Tenemos:

27 [75] = 2| (/3 + /4)|5]67 [73] = 6| (/1 + /2)|3]. (3.116)

Nos queda as:

612|345 = 623 [35]4

S345 12 [34][45] 2| (/3 + /4)|5] 6| (/1 + /2)|3] . (3.117)

El ultimo trmino a calcular es:

5612|34 = [15]3[25]

[12][27][75][56][61]1

(P34)2[73]3

[34][47]. (3.118)

El polo en este caso es:

(P34)2 = 34 [43] = (34 zL 24)[43] = 0 zL = 3424 . (3.119)

Para simplificar multiplicamos arriba y abajo por el producto 273 en la expresion de5612|34, nos quedan los siguientes trminos por evaluar:

27 [73] = 2| (/3 + /4)|3] = 24 [43],27 [75] = 2| (/3 + /4)|5],27 [74] = 2| (/3 + /4)|4] = 23 [34],27 [72] = 2| (/3 + /4)|2] = 23 [32] + 24 [42]

= 23 [32] + 34 [43] + 24 [42] = S234. (3.120)

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Y evaluamos los productos con dependencia en z en el polo:

[25] = [25] + 3424 [35] =4| (/1 + /6)|5]24 ,

[12] = [12] + 3424 [13] =4| (/3 + /2)|1]24 . (3.121)

Y tenemos ya la expresin para el ltimo trmino:

5612|34 = 423 [15]3 4| (/1 + /6)|5]

S234 23 34 [56][61] 2| (/3 + /4)|5] 4| (/3 + /2)|1] . (3.122)

Nos queda finalmente la expresin para la amplitud:

A6(1+q , 2q , 3+, 4, 5+, 6) = [13]3 464

S456[12] 45 56 6| (/1 + /2)|3] 4| (/2 + /3)|1]

+ 623 [35]4

S345 12 [34][45] 2| (/3 + /4)|5] 6| (/1 + /2)|3]

+ 423 [15]3 4| (/1 + /6)|5]

S234 23 34 [56][61] 2| (/3 + /4)|5] 4| (/3 + /2)|1] . (3.123)

Podemos ver que esta expresin es menos simtrica que en el caso de puros gluones, tambienntese que aqu aparecen los mismos polos espurios que en el caso anterior. En este trabajohemos calculado todas las amplitudes de seis puntos con helicidades alternantes con quarksy gluones. Los clculos estn en el apndice, a continuacin listamos los casos restantes.

Para la amplitud NMHV de seis puntos con dos pares quark-antiquark de distinto sabortenemos:

A6(1+q , 2, 3+, 4q , 5+q , 6q ) = 462 [13]3 4| (/1 + /2)|3]

S123[12][23] 45 6| (/1 + /2)|3] 4| (/1 + /2)|3]

263 [35]3

S345 61 [45] 2| (/3 + /4)|5] 6| (/4 + /5)|3] (3.124)

243 [15]2 2| (/3 + /4)|1]

S234 23 34 [61] 4| (/2 + /3)|1] 2| (/3 + /4)|5] .

La amplitud NMHV de seis puntos con tres pares quark-antiquark de distinto sabor (sin

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gluones externos) es:

A6(1q , 2+q , 3q , 4+q , 5q , 6+q ) = 152 [26]2 1| (/3 + /4)|2]

S234 61 [23] 1| (/2 + /3)|4] 5| (/3 + /4)|2]

+ 132 [46]2 3| (/1 + /2)|4]

S123 23 [45] 3| (/1 + /2)|6] 1| (/2 + /3)|4] (3.125)

352 [26]2 5| (/1 + /2)|6]

S345 45 [61] 3| (/1 + /2)|6] 5| (/6 + /1)|2]

En el captulo 4 se desarrollar una tcnica alternativa de cmputo de estas amplitudes.Usando esto junto con libreras de cmputo numrico se realizar, en el captulo 5, unarevisin exhaustiva de los resultados presentados.

CAPTULO 4

BCFW PARA SUPER YANG-MILLS N = 4

En este captulo se extender la recursin BCFW a la teora de Super Yang-Mills enN = 4,se usar este Super-BCFW para deducir una frmula general con todas las amplitudes a nivelde rbol en la teoria, la cual luego ser proyectada sobre QCD de puros gluones, y en otrasconfiguraciones siguiendo [18] y [19].

4.1. Variables de Grassmann

Antes de construir los supermultipletes necesarios para hacer este anlisis es convenienteintroducir las variables de Grassmann, las cuales son variables anticonmutativas. Sean y variables de Grassmann:

= {, } = 0. (4.1)

Esto dice que 2 = 0, entonces para cualquier funcin f() se cumple que es lineal en yaque su expansin en serie de Taylor siempre termina en el segundo trmino:

f() = f0 + f1. (4.2)

Donde f0 es funcin de variables conmutativas y f1 funcin de variables de Grassmann, perono de . Para definir la integracin se considera el caso con lmites de a , tal que laintegral sea invariante bajo traslaciones, se tiene que:

d(f0 + f1) =

d(f0 + f1 + f1). (4.3)

Con esto definimos las siguientes reglas para integrales de variables de Grassmann:d = 0,

d = 1. (4.4)

Para el caso de dos variables de Grassmann:dd =

d = 1. (4.5)

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Se puede definir tambin la diferenciacin:

d

= 1. (4.6)

Es fcil ver que estas definiciones son consistentes entre s. Esto da la relacin:

df()

= 0. (4.7)

La invarianza traslacional que impusimos en la integracin permite definir la delta de Diracpara variables de Grassmann:

d( )f() = f() ( ) = . (4.8)

Esta delta de Grassmann escala de la siguiente forma:(a)d =

a()d (a) = a(). (4.9)

Donde a es una variable conmutativa. Esto se puede extender fcilmente a deltas en variasdimensiones. Se puede extender inmediatemente al caso de N variables de Grassmann:

i1 ...iN = i1...iN1...N i1 ...iN = i1...iN . (4.10)

Ahora se va a generalizar al caso que las variables de Grassmann sean complejas, se definenlas variables de Grassmann complejas:

= 1 + i22

, = 1 i22

. (4.11)

Al integrar se toman y como variables independientes, adoptando la convencindd =

1, y la conjugacin compleja se define tal que () = . Las integrales tipo gaussianasquedan:

ddeb =dd(1 b) = b. (4.12)

Finalmente, para el caso de N variables se tiene:

k

dkdkeA = det(A). (4.13)

Donde A es una matriz invertible N N , y T = (1, ..., N), = (1, ..., N).

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4.2. Supermultipletes y Superamplitudes

El supermultiplete de Super Yang-Mills conN = 4 contiene dos estados bosnicos (gluones)G con helicidad 1, ocho estados ferminicos (gluinos) A y A de helicidades 1/2 y 1/2respectivamente, y seis escalares (estados sin espn) SAB = SBA. Aqu A,B,C,D = 1, 2, 3, 4son los ndices que representan el grupo de simetra de la teora. Para construir este supermul-tiplete se utilizan los generadores supersimtricos que conectan los distintos tipos de estados,se definen entonces los generadores supersimtricos:

{qA , qB} = ABp = ABp(). (4.14)

Como solo interesa el caso sin masa (pp = 0) podemos colocarnos en un referencial dondep = (p, 0, 0, p) y el anticonmutador es:

{qA , qB} = AB(1 + 3)p. (4.15)

El lgebra se reduce a:{qA1 , qB1} = 2ABp. (4.16)

Y todos los dems anticonmutadores son cero. En este referencial los estados estn etique-tados por su helicidad. Se define el estado del vaco |h con helicidad h, con la condicin queeste sea aniquilado por todos los generadores supersimtricos que anticonmutan entre s (loscuales llamamos operadores de aniquilacin):

qA1 |h = qA2 |h = qA2 |h = 0. (4.17)

Se construye el supermultiplete de estados aplicando los cuatro operadores de creacin qA1al vaco:

Estado Helicidad Multiplicidad|h h 1

qA1 |h h 1/2 4qA1qB1 |h h 1 6

ABCDqA1qB1qC1 |h h 3/2 4ABCDqA1qB1qC1qD1 |h h 2 1

(4.18)

En el caso de SYMN = 4 se escoge h = 1 de forma tal que las helicidades de los estados vandesde +1 hasta 1, as, este supermultiplete describe partculas de helicidad 1 (gluones),1/2 (gluinos) y 0 (escalares).Esta construccin tiene la desventaja de no ser invariante de Lorentz, ya que se escoge unreferencial en especfico. Ahora pueden usarse las variables espinoriales para reproducir el

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supermultiplete de una forma que sea invariante de Lorentz. Se reescribe la relacion deanticonmutacin en trminos de las variables espinoriales:

{qA , qB} = AB. (4.19)

El espinor de dos componentes qA tiene dos proyecciones invariantes de Lorentz, una pa-ralela a los , qA = qA, y otra ortogonal qA = qA , lo mismo para los qA. Es fcil verque las proyecciones ortogonales anticonmutan entre s y con el resto de los generadores. Conesto la relacin de anticonmutacin queda:

{qA, qB} = AB. (4.20)

Donde qA y qA son los operadores de aniquilacin y creacin, respectivamente. Se puedereparametrizar esta lgebra en trminos de variables de Grassmann:

qA = A, qA =

A, {A, B} = 0. (4.21)

Como el operador de creacin tiene helicidad 1/2 las variables A tienen helicidad 1/2. Conestos generadores se construir el supermultiplete de manera compacta en una super funcinde onda:

(p, ) =G+(p) + AA(p) +12

ABSAB +13!

ABCABCDD(p)

+ 14!ABCDABCDG

(p). (4.22)

Se identifica el primer trmino G+(p) = (p, 0) como el estado de vaco con h = 1. Lostrminos siguiente se obtienen aplicando el operador de creacin al estado de vaco. Nteseque la helicidad de cada trmino se balancea con la de las variables de Grassmann, por lotanto cada trmino de (p, ) tiene helicidad +1.

Se pueden escribir ahora los generadores en su forma invariante de Lorentz:

qA = A, qA =

A. (4.23)

El aplicar estos generadores supersimtricos en la funcin de onda permite generar los nue-vos estados de la teora, esto puede pensarse como traslaciones en un superespacio (haciendoanaloga con el momentum p como generador de traslaciones en el espacio), con esto en mentellamamos a los q los super-momenta. Entonces para cualquier amplitud a calcular en la teora,

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aparte de imponer la conservacin del momentum p, se impone tambien la conservacin delsuper-momentum q. Vale la pena mencionar que tambin es posible escribir la super funcinde onda en trminos de las variables de Grassmann conjugadas A:

(p, ) =G(p) + AA(p) +12 ABS

AB + 13! AB CABCDD(p)

+ 14! AB C DABCDG+(p). (4.24)

Estas dos super funciones de onda estn relacionadas a travs de una transformada de Fouriersobre las variables de Grassmann:

(p, ) =d4e