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UNIVERSIDAD DE SEVILLADEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

OPTIMIZACIN DE FILTROS PASIVOS

PARA LA COMPENSACIN DE REACTIVA

Y MITIGACIN DE ARMNICOS

EN INSTALACIONES INDUSTRIALES

TESIS DOCTORAL

por

Jos Mara Maza Ortega

Ingeniero Industrial por la E.T.S. de Ingenieros Industrialesde la Universidad de Sevilla

Sevilla, Julio de 2001.

UNIVERSIDAD DE SEVILLADEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

OPTIMIZACIN DE FILTROS PASIVOS

PARA LA COMPENSACIN DE REACTIVA

Y MITIGACIN DE ARMNICOS

EN INSTALACIONES INDUSTRIALES

TESIS DOCTORAL

Autor: D. Jos Mara Maza OrtegaDirectores: D. Carlos Izquierdo Mitchell

D. Manuel Burgos Payn

TRIBUNAL CALIFICADOR

Presidente: D. Carlos Lemos AntunesSecretario: D. Mans Fernndez CabanasVocales: D. Antonio Gmez Expsito

D. Manuel Prez DonsinD. Alfredo Quijano Lpez

Obtuvo la calicacin de Sobresaliente Cum Laude por unanimidad

Sevilla, 27 de Septiembre de 2001

A mis padres y a Pilar.

La duda es la base del ingenioGalileo Galilei

Agradecimientos

Sera injusto no comenzar las pginas de esta tesis con el reconocimien-to merecido a todos los que, de alguna manera u otra, han estado presentesen la elaboracin de la misma. La direccin ejercida por D. Carlos IzquierdoMitchell y D. Manuel Burgos Payn ha sido ejemplar y ha supuesto la con-secucin de un periodo formativo que empez hace tiempo, cuando comenca colaborar con el Departamento en mi ltimo ao de carrera. Sin su ayuda,cedida desinteresadamente, hubiera sido impensable estar ahora escribiendoestas lneas.

Por otra parte, tambin ha ayudado al desarrollo de la tesis el extraordina-rio ambiente de optimismo y trabajo que existe en el Departamento de Inge-niera Elctrica de la Universidad de Sevilla, destacando no slo las cualidadestcnicas de mis compaeros, sino tambin el factor humano, tan importanteen el trabajo en equipo.

Finalmente, quisiera agradecer a mi familia el apoyo y la ilusin que, desdeel inicio, me han dado para emprender este proyecto. Y a Pilar, por las muchashoras que le he robado del tiempo que deberamos haber compartido.

Sevilla, Julio de 2001.

ndice General

1 Resumen y objetivos de la tesis 1

2 Introduccin 52.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Los armnicos en el sistema elctrico . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Potencia en sistemas de corriente alterna senoidal en rgimen

permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Sistemas monofsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Sistemas trifsicos equilibrados . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Potencia en sistemas de corriente alterna no senoidales en rgi-men permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1 Sistemas monofsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2 Sistemas trifsicos equilibrados . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Compensacin de reactiva y armnicos . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Resumen del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Estado del Arte 153.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Deniciones de potencia reactiva en sistemas no senoidales . . . 16

3.2.1 Sistemas monofsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.1.1 Dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1.1.1 Budeanu . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.1.1.2 Zakikhani y Shepherd . . . . . . . . . 183.2.1.1.3 Sharon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1.1.4 Slonim y Van Wyk . . . . . . . . . . . 203.2.1.1.5 Czarnecki . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1.2 Dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1.2.1 Fryze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1.2.2 Kusters y Moore . . . . . . . . . . . . 23

i

ndice General

3.2.1.2.3 Page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.1.3 Resumen de las descomposiciones de potencia . 25

3.2.2 Sistemas trifsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2.1 Sistemas trifsicos de tres hilos . . . . . . . . . 26

3.2.2.1.1 Czarnecki . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2.1.2 Akagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2.1.3 Willems . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2.1.4 Ferrero y Superti-Furga . . . . . . . . 31

3.3 Filtros pasivos sintonizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Steeper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1.1 Phipps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.2 Kawann y Emanuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.3 Mattavelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.4 Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.5 Czarnecki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.6 Czarnecki y Ginn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Resumen del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Compensacin mediante ltros pasivos 474.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.1 Potencia reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2 Compensacin de reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.2.1 Carga conectada a un sistema de potencia decortocircuito innita . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.2.2 Carga conectada a un sistema de potencia decortocircuito nita . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3 Algoritmo de punto interior . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Optimizacin mediante tcnicas de punto interior . . . . . . . . 58

4.3.1 Compensacin con ltro pasivo o condensador . . . . . . 594.3.1.1 Determinacin de las resonancias . . . . . . . . 594.3.1.2 Formulacin del problema . . . . . . . . . . . . 60

4.3.2 Compensacin con banco de ltros sintonizados . . . . . 634.3.2.1 Determinacin de las resonancias . . . . . . . . 634.3.2.2 Resonancias: banco de dos ltros . . . . . . . . 644.3.2.3 Determinacin de las zonas factibles . . . . . . 674.3.2.4 Formulacin del problema . . . . . . . . . . . . 70

4.3.3 Restricciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.3.1 Introduccin de resonancias cticias . . . . . . 74

ii

ndice General

4.3.3.2 Restriccin de potencia reactiva en el armnicofundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Diseo del algoritmo de punto interior . . . . . . . . . . . . . . 784.5 Resumen del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Ejemplos de aplicacin 835.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Compensacin con condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3.1 Distorsin de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3.2 Distorsin de tensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.3 Longitud de la lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Compensacin mediante ltro sintonizado . . . . . . . . . . . . 965.4.1 Distorsin de tensin e intensidad . . . . . . . . . . . . . 985.4.2 Variacin de la frecuencia de sintonizacin . . . . . . . . 101

5.5 Compensacin mediante banco de ltros sintonizados . . . . . . 1015.6 Aspectos numricos del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.6.1 Zonas factibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6.2 Nmero de iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.6.3 Funcin lagrangiana, error medio de dualidad y factor

de penalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.6.4 Evolucin de la funcin objetivo con el nmero de itera-

ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7 Resumen del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 Validacin experimental 1136.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Red de distribucin estudiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3 Instrumentacin utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.4 Compensacin con condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4.1 Interaccin red-carga no lineal . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5 Compensacin con banco de ltros sintonizados . . . . . . . . . 137

6.5.1 Optimizacin del banco de ltros . . . . . . . . . . . . . 1376.5.2 Dimensionado de los componentes del ltro . . . . . . . . 1436.5.3 Comparacin de resultados tericos y experimentales . . 1466.5.4 Evaluacin de la compensacin . . . . . . . . . . . . . . 153

6.6 Resumen del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

iii

ndice General

7 Conclusiones y futuras lneas de investigacin 1577.1 Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Sugerencias y futuras lneas de investigacin . . . . . . . . . . . 159

A Modelo de la carga no lineal 161A.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.2 Simplicaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162A.3 Anlisis de los modos de funcionamiento del recticador . . . . . 163A.4 Clculo de los instantes de conduccin . . . . . . . . . . . . . . 169A.5 Aplicacin de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . 170

A.5.0.1 Tensiones equilibradas . . . . . . . . . . . . . . 170A.5.0.2 Tensiones desequilibradas . . . . . . . . . . . . 172

A.6 Ajuste de la tension del condensador . . . . . . . . . . . . . . . 173A.7 Clculo de los armnicos de intensidad . . . . . . . . . . . . . . 174A.8 Validacin experimental del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 178

B Instrumentacin elctrica 185B.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185B.2 Transductores de tensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185B.3 Transductores de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187B.4 Cuadro central de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189B.5 Tarjeta de adquisicin de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190B.6 Descripcin del instrumento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . 192

iv

ndice de Figuras

2.1 Representacin fasorial de la potencia activa y reactiva. . . . . . . . 72.2 Representacin vectorial de la potencia activa, reactiva, distorsionan-

te y aparente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Filtro pasivo sintonizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Circuito equivalente de un sistema de distribucin. . . . . . . . . . . 393.3 (a) Diagrama de impedancia desde la carga. (b) Diagrama de admi-

tancia desde la fuente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Esquema unilar y equivalente armnico de una instalacin industrial. 504.2 Compensacin de reactiva mediante mtodos pasivos. . . . . . . . . 514.3 Descomposicin ortogonal de la intensidad sobre la tensin. . . . . . 524.4 Valor ecaz de la intensidad del sistema en funcin del condensador. 564.5 Proceso iterativo de minimizacin con tensiones constantes. . . . . . 564.6 Fundamento de los mtodos de punto interior de barrera logartmica. 584.7 Posibles rectas de resonancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Regiones que crea una resonancia en el caso bidimensional. . . . . . 674.9 Casos en los que no se produce interseccin de las resonancias. . . . 694.10 Punto de diseo y resonancias.(a) Punto de diseo en el plano CsCi.

(b) Impedancia equivalente desde la carga. . . . . . . . . . . . . . . 754.11 Introduccin de resonancias cticias y zona factible. . . . . . . . . . 764.12 Restriccin de potencia reactiva en el armnico fundamental. . . . . 784.13 Clculo del factor de avance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1 Esquema unilar de la red a estudiar. . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Compensacin con condensador. Valor ecaz de la intensidad frente

a la capacidad del condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Compensacin con condensador. (a) Espectro armnico de intensi-

dad y tensin antes y despus de la compensacin. (b) Intensidad y

tensin de fase antes y despus de la compensacin. . . . . . . . . . 90

i

ndice de Figuras

5.4 Compensacin con condensador. Capacidad del condensador pti-mo y valor ecaz de la intensidad relativo al inicial, respecto a la

distorsin de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5 Compensacin con condensador. Distorsin de tensin e intensidadantes de la compensacin y relativas despus de la misma. . . . . . . 92

5.6 Compensacin con condensador. (a) Intensidad despus de compen-sar respecto a distorsin de tensin e intensidad. (b) Distorsin de

intensidad despus de compensar frente a distorsin de tensin e in-

tensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.7 Compensacin con condensador. Comparacin de las curvas de va-lor ecaz de intensidad frente a la capacidad del condensador para

longitudes de lnea de: (a) 1 (p.u.). (b) 10 (p.u.). . . . . . . . . . . 94

5.8 Compensacin con condensador. (a) Capacidad del condensador p-timo y valor ecaz de la intensidad relativo respecto a la longitud de

la lnea en por unidad. (b) Distorsin de intensidad y tensin antes

y despus de la compensacin respecto a la longitud de la lnea en

por unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.9 Compensacin con ltro sintonizado. Valor ecaz de la intensidadfrente a la capacidad del condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.10 Filtro sintonizado. Espectro armnico de intensidad y tensin antesy despus de la compensacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.11 Compensacin con ltro sintonizado. Valor ecaz de intensidad fren-te a distorsin de tensin e intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.12 Compensacin con ltro sintonizado. Capacidad del condensadorptimo frente a distorsin de tensin e intensidad. . . . . . . . . . . 100

5.13 Compensacin con ltro sintonizado. Distorsin de intensidad frentea distorsin de tensin e intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.14 Compensacin con ltro sintonizado. Valor ecaz de intensidad ycapacidad del condensador ptimo frente a frecuencia de sintonizacin.101

5.15 Compensacin con ltro sintonizado. Distorsin de tensin e inten-sidad frente a frecuencia de sintonizacin. . . . . . . . . . . . . . . 102

5.16 Compensacin con banco de dos ltros sintonizados. Valor ecaz deintensidad frente a capacidad de condensadores. . . . . . . . . . . . 105

5.17 Compensacin con banco de dos ltros sintonizados. Curvas de niveldel valor ecaz de intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.18 Compensacin con banco de dos ltros sintonizados. Rectas de reso-nancia y localizacin de mnimos locales. . . . . . . . . . . . . . . . 106

ii

ndice de Figuras

5.19 Compensacin con banco de dos ltros sintonizados: 5 y 7. (a) Valorecaz de intensidad frente distorsin de intensidad y tensin. (b)

Distorsin de intensidad frente a distorsin de tensin e intensidad. . 1065.20 Compensacin con banco de tres ltros sintonizados: 5, 7 y 11. (a)

Valor ecaz de intensidad frente distorsin de intensidad y tensin.

(b) Distorsin de intensidad frente a distorsin de tensin e intensidad.1075.21 (a) Funciones objetivo y Lagrangiana frente a nmero de iteraciones.

(b) Factor de penalizacin frente a nmero de iteraciones. . . . . . . 1095.22 Curvas de nivel de la funcin lagrangiana. (a) Iteracin 1. (b) Itera-

cin 3. (c) Iteracin 5. (d) Iteracin 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1 Sistema de distribucin estudiado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2 Evolucin de la secuencia positiva y negativa de la componente fun-

damental y de la secuencia negativa del quinto armnico de la tensin

de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Impedancias que simulan el comportamiento de la lnea y transfor-

madores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Carga lineal utilizada. (a) Resistencias. (b) Bobinas. . . . . . . . . 1186.5 Variador de velocidad de alterna utilizado. (a) Exterior. (b) Interior. 1196.6 Grupo motor-generador accionado por el variador de velocidad. . . . 1196.7 Intensidades absorbidas por la carga no lineal. . . . . . . . . . . . . 1206.8 Intensidad absorbida por la carga no lineal en el dominio de Park. . . 1216.9 Armnicos de la intensidad absorbida por la carga no lineal. (a)

Secuencia positiva. (b) Secuencia negativa. . . . . . . . . . . . . . . 1226.10 Efecto de la inductancia de conmutacin en las intensidades del rec-

ticador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.11 Vista general del montaje realizado en el laboratorio. . . . . . . . . 1236.12 Transductor de tensin. (a) Exterior. (b) Interior. . . . . . . . . . 1246.13 Tablero de centralizacin de sensores de intensidad. . . . . . . . . . 1256.14 Ventana principal del instrumento virtual. . . . . . . . . . . . . . . 1266.15 Comparacin de resultados tericos y experimentales. (a) Valor e-

caz de intensidad del sistema relativo al inicial. (b) Distorsin de

intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.16 Valores ecaces de intensidad de distintos armnicos en funcin de

la capacidad del condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.17 Intensidades absorbidas por la fase a de la carga no lineal. (a) Sin

condensadores. (b) 2.5 kVAR de condensadores. . . . . . . . . . . . 129

iii

ndice de Figuras

6.18 Variacin de los armnicos de la carga no lineal con la capacidaddel condensador. (a) Fundamental. (b) (b) Quinto armnico. (c)

Sptimo armnico. (d) Decimoprimer armnico. . . . . . . . . . . . 1306.19 Condensador. Comparacin de las intensidades de la fase b. (a) Sin

condensador. (b) 0.5 kVAR. (c) 1.5 kVAR. (d) 2 kVAR. (e) 2.5 kVAR.

(f) 3 kVAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.20 Condensador. Comparacin de los armnicos en funcin del conden-

sador instalado. (a) Fundamental. (b) Quinto armnico (c) Sptimo

armnico. (d) Decimoprimer armnico. (e) Decimotercer armnico

(f) Decimosptimo armnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.21 Comparacin de resultados tericos y experimentales con interaccin

red-carga no lineal. (a) Valor ecaz de intensidad del sistema relativo

al inicial. (b) Distorsin de intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.22 Representacin de las restricciones con lmites 4.5 y 6.5. . . . . . . . 1406.23 Representacin de las restricciones con lmites 4.2 y 6.2. . . . . . . . 1406.24 Ganancias despus de la instalacin del banco de ltros.(a) Impedan-

cia desde la carga. (b) Admitancia desde la fuente. (c) Ganancia de

intensidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.25 Filtros pasivos instalados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.26 Comparacin de impedancias tericas y experimentales. (a) Fil-

tros quinto y sptimo armnico. (b) Filtro decimoprimer arm-nico. (c) Banco de ltros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.27 Comparacin de los armnicos de la intensidad de la carga no lineal.(a) Secuencia positiva. (b) Secuencia negativa. . . . . . . . . . . . . 148

6.28 Comparacin de los armnicos de la intensidad del sistema. (a) Se-cuencia positiva. (b) Secuencia negativa. . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.29 Comparacin de intensidades tericas y experimentales antes y des-pus de la compensacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.30 Comparacin de resultados experimentales antes y despus de la com-pensacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A.1 Esquema del variador de velocidad utilizado . . . . . . . . . . . . . 161A.2 Simplicaciones del modelo. (a) Carga desde el enlace de continua.

(b) Tensin del condensador constante. (c) Modelo simplicado nal. 163A.3 Intensidades demandadas por el recticador no controlado. . . . . . 164A.4 Intervalo 1. Conduccin fases b y c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 165A.5 Intervalo 2. Conmutacin fases a y c. . . . . . . . . . . . . . . . . 165A.6 Intervalo 3. Conduccin fases a y b. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.7 Intervalo 4. Conmutacin fases b y c. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

iv

ndice de Figuras

A.8 Intervalo 5. Conduccin fases a y b. . . . . . . . . . . . . . . . . . 168A.9 Intervalo 6. Conmutacin fases a y b. . . . . . . . . . . . . . . . . 168A.10 Intervalo 7. Conduccin fases b y c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A.11 Tensin de alimentacin. (a) Tensiones simples. (b) Armnicos. . . . 179A.12 Intensidades absorbidas por el recticador calculadas por el modelo. . 180A.13 Comparacin de intensidades tericas y experimentales. . . . . . . . 181A.14 Comparacin de resultados tericos y experimentales. (a) Valor e-

caz. (b) Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.15 Comparacin de resultados tericos y experimentales. Secuencia in-

versa. (a) Valor ecaz. (b) Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

B.1 Esquema del transductor de tensin. . . . . . . . . . . . . . . . 185B.2 Transductor de tensin. (a) Exterior. (b) Interior. . . . . . . . . . 187B.3 Tablero de centralizacin de sensores de intensidad. . . . . . . . . . 189B.4 Placas de alimentacin de sensores y entrada/salida de la tarjeta de

adquisicin de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190B.5 Cola circular de la tarjeta de adquisicin de datos. . . . . . . . . 191B.6 Muestreo simultneo de dos canales. . . . . . . . . . . . . . . . . 193B.7 Muestreo simultneo de m canales. Referencia de todas las

muestras al mismo punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193B.8 Ventana principal del instrumento virtual. . . . . . . . . . . . . . . 195

v

ndice de Tablas

3.1 Resumen de las descomposiciones de potencia. . . . . . . . . . . . . 25

5.1 Impedancias de la red de distribucin de la Figura 5.1. . . . . . . . 855.2 Niveles mximos de armnicos permitidos en redes de distribucin

pblicas segn EN50160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Contenido armnico de la intensidad no lineal. . . . . . . . . . . . . 875.4 Compensacin con condensador. Resumen de resultados del proceso

de optimizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Compensacin con ltro sintonizado. Resumen de resultados del pro-

ceso de optimizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.6 Compensacin con banco de dos ltros sintonizados. Resumen de

resultados del proceso de optimizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.7 Compensacin con banco de tres ltros sintonizados. Resumen de

resultados del proceso de optimizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.8 Compensacin con banco de cuatro ltros sintonizados. Resumen de

resultados del proceso de optimizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.9 Zonas factibles a estudiar en funcin del nmero de ltros. . . . . . . 1085.10 Nmero de iteraciones en funcin de los ltros instalados para dis-

torsiones pequeas: distorsin de tensin 0.8% e intensidad 20%. . . 1085.11 Nmero de iteraciones en funcin de los ltros instalados para dis-

torsiones altas: distorsin de tensin 4% e intensidad 50%. . . . . . 108

6.1 Valores de impedancias de lneas y transformadores. . . . . . . . . . 1166.2 Valores aproximados de impedancias de lneas y transformadores. . . 1166.3 Valores de impedancia de las bobinas para distintas frecuencias. . . . 1176.4 Comparacin de los resultados tericos y experimentales. . . . . . . 1276.5 Comparacin de los resultados tericos y experimentales consideran-

do la interaccin entre la red y el condensador. . . . . . . . . . . . . 1366.6 Armnicos de la tensin de alimentacin. . . . . . . . . . . . . . . . 1386.7 Armnicos de la intensidad de la carga no lineal. . . . . . . . . . . . 139

i

ndice de Tablas

6.8 Comparacin de dos bancos de ltros. klim1 = 4:5, klim2 = 6:5. . . . 1416.9 Dimensionado previo de los ltros pasivos. . . . . . . . . . . . . . . 1436.10 Dimensionado nal de los ltros pasivos. . . . . . . . . . . . . . . . 1446.11 Medida de la impedancia de los ltros. . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.12 Comparacin de resultados tericos y experimentales. . . . . . . 1476.13 Comparacin de las intensidades de la carga no lineal. Secuencia

positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.14 Comparacin de las intensidades de la carga no lineal. Secuencia

negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.15 Comparacin de las intensidades del sistema. Secuencia positiva. . . 1516.16 Comparacin de las intensidades del sistema. Secuencia negativa. . . 1516.17 Evaluacin de la compensacin realizada. . . . . . . . . . . . . . 1536.18 Comparacin de resultados experimentales antes y despus de la com-

pensacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.1 Constantes de la intensidad ia(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.2 Constantes de la intensidad ib(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.3 Impedancias utilizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178A.4 Armnicos de la tensin de alimentacin. . . . . . . . . . . . . . . . 179A.5 Resultados del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.6 Comparacin de resultados tericos y experimentales. Secuencia po-

sitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.7 Comparacin de resultados tericos y experimentales. Secuencia ne-

gativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.1 Especicaciones tcnicas de los transductores de tensin. . . . . . . 186B.2 Especicaciones tcnicas de los transductores de intensidad de ncleo

continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188B.3 Especicaciones tcnicas de los transductores de intensidad de ncleo

partido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188B.4 Especicaciones tcnicas de la tarjeta de adquisicin de datos. . . . . 190

ii

Captulo 1

Resumen y objetivos de la tesis

El origen del uso de la energa elctrica se remonta al nal del siglo XIX, en elque las primeras mquinas producan corriente continua para alimentar los sis-temas de alumbrado pblico. Poco tiempo despus comenzaron a desarrollarselos sistemas de corriente alterna a partir de la invencin del transformador ydel motor de induccin. Durante un tiempo, el tradicional sistema de corrientecontinua, defendido por personajes de la talla de Edison y Hopkinson, compiticon el nuevo de corriente alterna, apoyado por Westinghouse y Tesla, que fueel que nalmente se impuso, constituyendo la base de los sistemas elctricosde potencia actuales.

La ventaja de los sistemas de corriente alterna frente a los de continua re-sida en la posibilidad de transmitir energa a grandes distancias con prdidasreducidas mediante la utilizacin de transformadores. Sin embargo, uno delos principales inconvenientes de dichos sistemas es la aparicin de la potenciareactiva, consumida por las cargas que necesitaban para su funcionamiento lacreacin de un campo magntico, tales como los propios transformadores y losmotores de induccin. En este sentido, si bien la potencia reactiva es necesariapara generar el campo magntico (sin el cual el receptor no podra funcionar),su media es nula a lo largo de un periodo, por lo que no puede transformarseen trabajo. Desde este punto de vista, el transporte de la potencia reactivadisminuye el rendimiento de la distribucin de la energa elctrica. Esta dismi-nucin se debe a que parte de la intensidad que circula por el sistema, la que esutilizada para alimentar un campo magntico, no puede ser transformada entrabajo pero genera prdidas Joule. Este problema se ha solventado tradicio-nalmente mediante la instalacin de bateras de condensadores en los sistemaselctricos, cuya misin es el aporte local de la potencia reactiva, aumentndosede esta forma el rendimiento de la transmisin.

1

Captulo 1 Resumen y objetivos de la tesis

El crecimiento que la utilizacin de la energa elctrica ha experimentadoen la industria se ha visto reejado en una mejora y adaptacin constante delos receptores elctricos a los nuevos requerimientos productivos, cuyo objeti-vo nal ha sido siempre un incremento de la eciencia. En este sentido, devital importancia ha sido el desarrollo que ha experimentado la electrnicade potencia, y en particular, su aplicacin al campo de los accionamientoselctricos para conseguir aplicaciones de velocidad variable. Sin embargo, lautilizacin de la electrnica de potencia tiene como inconveniente la aparicinde armnicos en el sistema de potencia, debido a que se trata de cargas nolineales.

Los problemas asociados a los armnicos son bien conocidos [5], [41] afec-tando a un amplio conjunto de aspectos relacionados con el sistema elctrico,que abarca desde el aumento de las prdidas del sistema, interferencias elec-tromagnticas, disparo intempestivo de protecciones, etc., hasta fenmenos deresonancia. Sin lugar a dudas, de entre todos ellos, este ltimo es de los msproblemticos. Las resonancias se producen precisamente por la existencia enla red elctrica de condensadores para la compensacin de la potencia reactiva.Dichas resonancias generan una amplicacin de las intensidades armnicasexistentes en el sistema cuyo efecto puede ser devastador, debiendo ser evita-das a toda costa. Adems de estos efectos perjudiciales, el sistema elctricocon la aparicin de armnicos ya no est en rgimen permanente senoidal, porlo que la denicin clsica de potencia reactiva no es de aplicacin.

Por otra parte, un anlisis actual del sector de la energa elctrica cons-tata que la calidad de suministro constituye hoy en da uno de los objetivosprimordiales en las actividades de generacin, transporte y distribucin. Losprocesos de liberarizacin del sector elctrico llevados a cabo en multitud depases, entre los que se encuentra Espaa, conllevan un cambio radical en laconcepcin del mismo. Desde esta nueva perspectiva, la energa elctrica puedeverse como un producto que las compaas distribuidoras ofrecen al consumi-dor nal. Si bien este vnculo existente entre distribuidores y consumidoresya exista previamente, ste adquiere otra signicacin a partir del proceso deliberarizacin. En denitiva, el distribuidor tiene la obligacin de entregar laenerga bajo unas condiciones regladas por las autoridades [24]. Estas condi-ciones se pueden dividir en dos grandes grupos: continuidad de suministro ycalidad de la onda de tensin. Idealmente, la tensin en los sistemas elctri-cos de potencia debera ser senoidal. Sin embargo, existen circunstancias quesacan al sistema de estas condiciones de funcionamiento ideal, afectando, portanto, a la calidad del suministro elctrico, entre las que se pueden destacar[77]: variaciones de frecuencia, variaciones lentas de tensin, uctuaciones de

2

Resumen y objetivos de la tesis

tensin (icker), huecos de tensin e interrupciones breves, impulsos de ten-sin, desequilibrios de tensin y distorsin armnica. Dado que los niveles dedistorsin de tensin en las redes pblicas de distribucin de energa elctricaest limitado [13], es lgico que, de igual forma, las compaas suministradoraselaboren recomendaciones y guas tcnicas para la conexin de clientes pertur-badores a la red. De esta forma, limitando el contenido armnico producidopor estos, se puede ofrecer una tensin con caractersticas admisibles por lanormativa vigente a otros consumidores dentro de la red de distribucin.

Por tanto, ya sea para cumplir la normativa vigente o para evitar los pro-blemas asociados a la presencia de armnicos, es de vital importancia reducir elcontenido armnico producido por las cargas no lineales en las redes elctricas,recurrindose para ello normalmente a tcnicas de ltrado de los armnicosemitidos. Los sistemas de ltrado de armnicos pueden dividirse en dos gran-des grupos: activo y pasivo. Los primeros han tenido un gran desarrollo enlas dos ltimas dcadas, debido a la rpida evolucin conseguida por la elec-trnica de potencia, prueba de ello es la amplia bibliografa existente [42], [2],[7], [80], [8], [57], [69], [72], [88]. El principio de funcionamiento de este tipode ltrado se basa en la inyeccin de corrientes armnicas de igual valor a lasexistentes en el sistema pero con fase contraria, de forma que la resultantees nula. El ltrado pasivo, prctica habitual en las instalaciones industrialescon problemas de armnicos, consiste en la insercin en el sistema de ltrosformados por bobinas dispuestas en serie con condensadores, de forma que sesintonizan a un determinado armnico que se desea eliminar.

Si bien los ltros pasivos se han venido utilizando en la industria para miti-gar el contenido armnico que stas vierten a las redes pblicas de distribucin,no existen procedimientos claros de diseo, sino ms bien un conjunto de re-glas extradas de la experiencia, que conllevan normalmente al diseo de losmismos por procedimientos de prueba y error. Muy recientemente han apare-cido en la literatura especializada criterios de diseo sistemticos, que si bienconstituyen un avance con respecto a las tcnicas existentes, no han tenido encuenta ciertos aspectos que hacen que el problema del diseo de los ltros noest solucionado completamente.

Por estos motivos, el objeto de la presente tesis se centra en el diseo deltros pasivos, pretendindose desarrollar en este trabajo un mtodo sistem-tico para el diseo de los mismos. Adems de conseguir una reduccin de losarmnicos existentes en la red, el objetivo que se pretende es la minimizacinde la potencia reactiva demandada por la instalacin industrial.

3

Captulo 1 Resumen y objetivos de la tesis

La tesis se ha estructurado en los captulos que se enumeran a continuacin:

En el Captulo 2 se realiza una revisin de las deniciones de potenciapara regmenes senoidales y no senoidales, poniendo de maniesto larelacin existente entre stas y los armnicos.

En el Captulo 3 se presenta una revisin de las principales teoras depotencia reactiva para regmenes no senoidales, as como de los mtodosde diseo de ltros pasivos.

En el Captulo 4 se formula el mtodo propuesto en esta tesis para el dise-o de ltros pasivos. El mtodo desarrollado se basa en la minimizacinde la potencia reactiva. La funcin a minimizar tiene como inconvenien-te su carcter no lineal, asociado a la presencia de resonancias, lo cualha llevado a un exhaustivo estudio de la misma. El procedimiento secompleta con la inclusin de unas restricciones adicionales que tienen encuenta aspectos prcticos del diseo de ltros pasivos.

El Captulo 5 contiene una aplicacin del mtodo desarrollado a una redde distribucin concreta para poner de maniesto la inuencia de losdistintos parmetros que intervienen en el proceso de optimizacin.

En el Captulo 6 se presenta la validacin experimental del mtodo dediseo desarrollado. Para ello fue necesario el montaje en el laboratoriode una red de distribucin a escala, en la que la carga generadora dearmnicos es un variador de velocidad.

Por ltimo, el Captulo 7, recoge las principales conclusiones del trabajodesarrollado en el mbito de la presente tesis, proponiendo asimismofuturos desarrollos y lneas de investigacin.

Adems los captulos que brevemente se han expuesto, se incluye la biblio-grafa utilizada y dos apndices:

Apndice A. En este apndice se presenta el modelo de la carga no linealutilizada en la validacin experimental. Dicha carga es un variador develocidad para un motor de induccin. El objeto del modelo es el cl-culo de los armnicos de intensidad demandados por la carga. En dichomodelo se tienen presentes tanto los desequilibrios como los armnicosde las tensiones de alimentacin al recticador.

Apndice B. Se realiza una descripcin detallada de la instrumentacinelctrica utilizada en la validacin experimental de la tesis.

4

Captulo 2

Introduccin

2.1 Introduccin

La corriente alterna senoidal trifsica constituye la base de la produccin,transporte y distribucin de la energa elctrica. Hasta hace relativamentepoco tiempo el sistema elctrico poda describirse con suciente aproximacinmediante un modelo lineal, por lo que ante tensiones senoidales las intensidadesque circulan son tambin senoidales y de la misma frecuencia. Sin embargo,con el aumento de la utilizacin de la electrnica de potencia, no slo en elmbito industrial sino tambin en el domstico, esta armacin ha dejado deser cierta. Dada una tensin senoidal de una frecuencia, pueden existir en elsistema elctrico intensidades de otras frecuencias, llamadas armnicas, quepueden inuir de forma notable en los procesos industriales.

A modo de revisin, se van a presentar en este captulo las expresiones depotencia, la denicin del factor de potencia y la compensacin de potenciareactiva para cada uno de los regmenes citados anteriormente, con la intencinde mostrar la estrecha relacin existente entre la compensacin de reactiva ylos armnicos.

2.2 Los armnicos en el sistema elctrico

En general, las mquinas elctricas son productoras de armnicos [5],[41]. Sinembargo, al ser su contenido pequeo, suelen considerarse como cargas lineales.Los armnicos aparecen en la red cuando existen cargas que son no lineales.El gran aporte de armnicos viene producido por el uso de la electrnica depotencia. En la industria, las principales fuentes de armnicos son consecuencia

5

Captulo 2 Introduccin

de las aplicaciones de velocidad variable para motores de corriente continuay alterna. En edicios de ocinas y viviendas la iluminacin y las fuentesde alimentacin presentes en la mayor parte de los electrodomsticos son lasprincipales causas de aparicin de armnicos.Los armnicos producen multitud de problemas cuando estn presentes en elsistema elctrico:

Aumento de prdidas en la transmisin y distribucin de la energa, noslo por el aumento del valor ecaz de la intensidad, sino por el efectopelicular.

Aumento de prdidas en los transformadores de potencia. Los transfor-madores que van a ser utilizados en instalaciones que tienen contenidoarmnico son desclasicados mediante un ndice (factor K ) de forma quedisminuye su potencia asignada al aumentar la distorsin armnica a lacual est expuesto, [26], [6].

Disminucin del rendimiento de motores, no slo por el aumento de lasprdidas sino porque los armnicos de secuencia inversa provocan camposque giran en sentido contrario al del fundamental.

Calentamiento excesivo del neutro por la circulacin de terceros armni-cos de secuencia homopolar.

Interferencias.Por estos motivos ha habido necesidad de establecer normativas que impon-

gan lmites a los contenidos armnicos de tensin e intensidad en el sistemaelctrico, considerando no slo tasas de distorsin globales sino tambin dearmnicos individuales [13],[73].

2.3 Potencia en sistemas de corriente alterna se-noidal en rgimen permanente

2.3.1 Sistemas monofsicos

Si un receptor lineal est sometido a una tensin senoidal, la intensidad queconsume es tambin senoidal y de la misma frecuencia que la tensin:

u(t) =p2U sin!t i(t) =

p2I sin (!t+ ') (2.1)

6

Introduccin

siendo ' el ngulo de la carga. La potencia instantnea que absorbe el receptorse puede expresar como:

p(t) = u(t)i(t) = UI cos'(1 cos(2!t)) + UI sin' sin(2!t) (2.2)Como se puede observar en (2.2), la potencia instantnea est formada por

dos trminos en cuadratura:

El primer sumando tiene una media no nula que coincide con el valormedio de la potencia. A este valor medio se le denomina potencia activa:

P =1

T

Z t0+T=2t0T=2

p(t)dt = UI cos' (2.3)

El segundo sumando tiene una media nula. El valor de pico de estesumando es llamado potencia reactiva:

Q = UI sin' (2.4)

Agrupando de forma diferente (2.2) se llega a la ecuacin:

p(t) = UI cos' UI cos(2!t+ ') (2.5)que consta de dos trminos: uno constante, potencia activa, y otro uctuante.La amplitud de este ltimo se denomina potencia aparente:

S = UI =pP 2 +Q2 (2.6)

Las potencias denidas suelen representarse en diagramas fasoriales comoel de la Figura 2.1.

Figura 2.1: Representacin fasorial de la potencia activa y reactiva.

Por otra parte, la ecuacin (2.2) muestra el carcter oscilatorio de la po-tencia instantnea, si bien su origen tiene diferentes signicados fsicos [29],[28]:

7


Las oscilaciones de potencia del primer sumando de (2.2) son intrnsecas ala corriente alterna y se producen siempre que existe un ujo de potenciaelctrica que puede ser convertida en trabajo.

Las oscilaciones del segundo sumando se producen siempre y cuandoexista un intercambio de energa entre componentes del sistema elctricoque sean capaces de almacenarla (bobinas y condensadores). En el casopropuesto, dicho intercambio se efecta entre la fuente y el receptor.Si la fuente no es ideal, es decir que tiene una impedancia en serie,este intercambio de energa que no produce trabajo estar provocandounas prdidas en la parte resistiva de la impedancia que disminuyen elrendimiento del sistema.

La relacin entre la potencia activa y la aparente se denomina factor de poten-cia e indica la efectividad con la que un receptor est consumiendo potencia.Para sistemas en regimen permanente senoidal, el factor de potencia coincidecon el ngulo de desfase de tensin e intensidad, que a su vez es el ngulo dela carga:

FP =P

S= cos' (2.7)

2.3.2 Sistemas trifsicos equilibrados

Para los sistemas trifsicos, la potencia instantnea total es la suma de las po-tencias para cada una de las fases, cuya expresin es similar a (2.2), particula-rizando los valores de tensin e intensidad de cada fase. Si el sistema trifsicoes adems equilibrado, las tensiones e intensidades constituyen sendos sistemasde magnitudes que estn desfasadas 2=3 radianes entre s, resultando que lapotencia instantnea es constante:

p(t) = pa(t) + pb(t) + pc(t) = 3UI cos' (2.8)

donde U es el valor ecaz de la tensin simple, I es el valor ecaz de la inten-sidad de una de las fases y ' es el ngulo de la carga, o el desfase existenteentre la tensin simple y la intensidad de fase. La potencia activa se deneentonces como:

P = 3UI cos' (2.9)

Sin embargo, aunque el total es constante, existen oscilaciones de potencia encada una de las fases por separado, por lo que la potencia reactiva y la aparentese denen de la siguiente forma:

Q = 3UI sin' (2.10)

8

Introduccin

S = 3UI (2.11)

La denicin del factor de potencia en estas condiciones es idntica a la dadapara sistemas monofsicos y vuelve a estar relacionado con el desfase entre lastensiones e intensidades de la carga.

2.4 Potencia en sistemas de corriente alterna nosenoidales en rgimen permanente


En el rgimen permanente no senoidal, las tensiones e intensidades puede serdescompuestas en series de Fourier:

u(t) =p2Xk

Uk sin(k!t+ h) i(t) =p2Xk

Ik sin(k!t+ h + 'h) (2.12)

por lo que la potencia instantnea es:

p(t) =Xk

UkIk cos'k(1 cos(2k!t+ k)) +

+Xk

UkIk sin'k sin(2k!t+ k) +

+ 2Xk 6=h

Xh

UkIh cos(k!t+ k) cos(h!t+ k + 'k) (2.13)

La potencia activa, que es la media de la potencia instantnea, es:

P =Xk

UkIk cos'k (2.14)

El resto de trminos corresponden a oscilaciones de la potencia que no tienenun claro sentido fsico. Mientras que en rgimen permanente senoidal las de-niciones de potencia, as como su signicado fsico, estn bien establecidas, noocurre lo mismo con magnitudes no senoidales, para los que existen multitudde interpretaciones.

Siguiendo lo establecido en [30],[33],[32] se tienen las siguientes denicionesde potencias:

9


Potencia activa:P =

Xk

UkIk cos'k (2.15)

Potencia reactiva:Q =

Xk

UkIk sin'k (2.16)

Potencia fasorial:S =

pP 2 +Q2 (2.17)

Potencia aparente:SU = UI (2.18)

U =

sXk

U2k I =

sXk

I2k (2.19)

Potencia distorsionante:D =

qS2U S2 (2.20)

Dando a las potencias activa, reactiva y distorsionante una direccin en elespacio segn los ejes de un triedro, se tiene una representacin grca que semuestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2: Representacin vectorial de la potencia activa, reactiva, distorsionantey aparente.

La denicin del factor de potencia vuelve a ser la relacin existente entrela potencia activa y la aparente:

FP =P

S(2.21)

10

Introduccin

Tal y como se mostrar en el siguiente captulo, estas deniciones de poten-cia tienen poca utilidad, pues carecen de un signicado fsico claro y no daninformacin acerca de como mejorar el factor de potencia.

2.4.2 Sistemas trifsicos equilibrados

En el rgimen permanente no senoidal, la potencia instantnea trifsica noes constante. Si se dene una constante m que adquiere los valores 0, 1 y 2para las fases a, b y c respectivamente, dicha potencia se puede expresar de lasiguiente forma:

p(t) = uaia + ubib + ucic = 3Xk

UkIk cos'k +

+ 2Xm

Xk 6=h

Xh

UkIh sin(k(!t+2

3m) + k) sin(h(!t+

2

3m) + h + 'h)

(2.22)

La potencia activa es el valor medio de la expresin anterior:

P = 3Xk

UkIk cos'k (2.23)

Las deniciones de las potencias reactiva y distorsionante trifsicas, de acuerdocon [30], corresponden a la suma de las correspondientes para las fases:

Q =Xm

Qm D =Xm

Dm (2.24)

A partir de estas potencias, se dene la potencia aparente aritmtica y lavectorial como:

SA =Xl=a;b;c

qP 2l +Q

2l +D

2l (2.25)

SV =Xl=a;b;c

pP 2 +Q2 +D2 (2.26)

Resulta evidente que el valor del factor de potencia depender de la denicinde potencia aparente seleccionada.

11


2.5 Compensacin de reactiva y armnicos

Para aumentar el rendimiento del transporte de la energa elctrica en el r-gimen permanente senoidal es conveniente que los receptores tengan un factorde potencia unidad.

Tradicionalmente, el factor de potencia unidad se logra en estos casos me-diante un compensador pasivo, batera de condensadores, que aporte una po-tencia reactiva igual a la demandada por el receptor. Tambin se puede llegara este estado mediante un compensador activo, sin elementos almacenadoresde energa, debido a que la reactiva es una energa que se intercambia entrelas fases, [1], [83].

Sin embargo, en condiciones no senoidales, se tienen dos problemas a lahora de efectuar la compensacin de potencia reactiva, que pone de maniestola relacin entre sta y los armnicos:

La denicin de potencia reactiva en estas condiciones no est consen-suada. En este sentido, se debera usar una denicin que, adems detener un signicado fsico claro, aportase datos para el diseo del com-pensador que maximice el factor de potencia y el valor nal de ste. Amodo de ejemplo, la denicin de potencia reactiva dada anteriormenteno cumple con ninguno de estas caractersticas, [30].

En caso de utilizar elementos pasivos para la compensacin, normalmentebateras de condensadores, pueden aparecer en el sistema elctrico reso-nancias serie o paralelo, perjudiciales para un funcionamiento correctodel sistema [5], [41], [33].

Para mitigar el efecto de estas resonancias se pueden utilizar bancos de ltrospasivos sintonizados a la frecuencia de un armnico determinado. Los ltrospasivos, adems de aportar la potencia reactiva necesaria, deben contribuir adisminuir la distorsin de tensin e intensidad en el sistema. Sin embargo, lautilizacin de los mismos no est exenta de la aparicin de resonancias, ya quepueden existir variaciones de los parmetros del ltro por envejecimiento desus componentes, [85], y de la impedancia de red, debido a reconguraciones.

12

Introduccin

2.6 Resumen del captulo

En este captulo se ha realizado una breve descripcin de los conceptos depotencia para sistemas monofsicos y trifsicos con magnitudes senoidales yno senoidales. El objeto de dicha revisin se fundamenta en la necesidad demostrar la poca solidez de las deniciones de potencia reactiva para regmenesno senoidales como extensin de las deniciones clsicas para regmenes senoi-dales. Por otra parte, se ha mostrado la estrecha relacin existente entre lapotencia reactiva y los armnicos desde dos puntos de vista complementarios:

La denicin de potencia reactiva, por extensin del caso senoidal, debeser tal que su compensacin conlleve un aumento del factor de potencia.

La utilizacin de condensadores para compensar la potencia reactiva yaumentar as el factor de potencia puede provocar peligrosas resonanciasen el sistema, adems de aumentar las distorsiones de tensin e intensi-dad.

Puesto que la extrapolacin del caso senoidal no ofrece resultados satis-factorios cuando se aplica a sistemas con magnitudes distorsionadas, se hacenecesario estudiar convenientemente las diferentes deniciones de potencia re-activa, as como las alternativas existentes para proceder a su compensacin ya la mitigacin de armnicos.

13


14

Captulo 3

Estado del Arte

3.1 Introduccin

La calidad de suministro elctrico es de vital importancia en nuestros das.Debido a que el contenido armnico de la tensin disponible en los suministrosde las compaas distribuidoras est regulada dentro de unos lmites, se debeponer una cota a los niveles de intensidad armnica inyectada en el sistema porcargas no lineales. Una reduccin de los armnicos se puede lograr mediantemejoras efectuadas en las cargas no lineales generadoras de los mismos, deforma que la distorsin de la intensidad consumida es menor, o bien medianteltrado. Por otra parte, el conjunto de cargas lineales y no lineales de unaindustria tiene un determinado factor de potencia que debe ser compensadoidealmente a la unidad para disminuir las prdidas de distribucin de la energaelctrica y evitar as los recargos que de otra manera impondra la compaasuministradora.

La denicin de potencia reactiva en rgimen no senoidal, tal y como seindica en el Captulo 2, es un tema que no est unanimemente aceptado to-dava en nuestros das. Las deniciones de potencia reactiva adoptadas porinstituciones como el IEEE, basada en la teora desarrollada por Budeanu, y laIEC, basada en el trabajo de Fryze, son poco satisfactorias, dado que ni tienenun signicado fsico claro ni aportan datos relevantes para disear dispositivosque ayuden a aumentar el factor de potencia.

Si desea aumentarse el factor de potencia mediante la adicin de bateras decondensadores, extrapolando del caso senoidal, aumentan los armnicos tantode tensin como de intensidad y adems crece el riesgo de resonancia. Porestos motivos, para aumentar el factor de potencia en sistemas no senoidales,se utilizan ltros, ya sean pasivos, activos o hbridos. Independientemente del

15

Captulo 3 Estado del Arte

sistema de ltrado utilizado, ste deber tener una doble funcin: aumentar elfactor de potencia tanto como sea posible y reducir el contenido de armnicosinyectados a la red a un valor adecuado.

Por estos motivos, en el presente captulo se hace una revisin de las teorasde potencia reactiva en rgimen no senoidal ms relevantes y de las principa-les tcnicas de diseo de ltros pasivos, objeto de esta tesis, presentes en laliteratura especializada.

3.2 Deniciones de potencia reactiva en siste-mas no senoidales

Las teoras que van a ser revisadas se pueden agrupar dentro de dos grandesgrupos dependiendo del tipo de sistema al cual se aplican: monofsico o trif-sico. Dentro de cada uno de stos se puede establecer otra divisin en funcindel dominio en el que han sido formuladas: frecuencia y tiempo.

Todas ellas tiene en comn que intentan realizar una descomposicin orto-gonal de intensidades similar al caso senoidal. Dada una magnitud peridicafi(t) de frecuencia fundamental !, se puede expresar mediante su desarrollode Fourier:

fi = Fi0 +ReXn

F inejn!t (3.1)

donde F in es un fasor cuyo mdulo es el valor ecaz del armnico n:

F in = Finejn =

p2

T

Z T0

fi(t)ejn!tdt (3.2)

Se dice que una magnitud fj(t) peridica es ortogonal a fi(t), si su productoescalar es nulo, lo cual se puede expresar en el dominio del tiempo y de lafrecuencia:

(fi; fj) =1

T

Z T0

fifjdt =

= Fi0Fj0 +ReXn

F inFjn = 0 (3.3)

Si la suma de las magnitudes anteriores forma una tercera f(t), se vericala siguiente relacin de valores ecaces:

F 2 = F 2i + F2j (3.4)

16

Estado del Arte

De esta forma, la reduccin del valor ecaz fi(t) o fj(t) conlleva una disminu-cin del valor ecaz de f(t).

Si se realiza una descomposicin ortogonal de intensidad de forma que,mediante algn tipo de compensacin, se reduzca alguna de sus componentes,al tener cada una de dichas intensidades una potencia asociada se incrementael valor del factor de potencia.


3.2.1.1 Dominio de la frecuencia

La expresin de la potencia activa, comn para todas las descomposiciones depotencia que van a ser analizadas, en el dominio de la frecuencia es:

P =Xk

UkIk cos'k (3.5)

Igualmente la potencia aparente es:

S = UI =

sXk

U2k

sXk

I2k (3.6)

3.2.1.1.1 Budeanu

La descomposicin de Budeanu [10] es la adoptada en [30] por el IEEE. Lapotencia reactiva se dene por la expresin:

Q =Xk

UkIk sin'k (3.7)

De esta forma, se dene la potencia distorsionante como:

D =pS2 P 2 Q2 (3.8)

Esta denicin de potencia reactiva no guarda ninguna relacin con el ujode potencia que se establece entre la fuente y la carga con media nula. Ade-ms, no da informacin acerca de como mejorar el factor de potencia de lacarga, [17], [20], [16], [65], [66], [67], [68], [28]. De hecho, es posible que alcompensar la potencia reactiva siguiendo la denicin anterior, el factor depotencia disminuya, debido a que se produzca un incremento de la potenciadistorsionante.

17


La debilidad de esta teora se basa en una inadecuada descomposicin de in-tensidades y denicin de potencia reactiva. Las intensidades activa y reactivadenen unas potencias cuya suma es la potencia instantnea:

ia =p2Xk

Ik cos'k sin(k!t+ k)) pa(t) (3.9)

ir =p2Xk

Ik sin'k cos(k!t+ k)) pr(t) (3.10)

p(t) = pa(t) + pr(t) (3.11)

La potencia instantnea pr(t) que resulta de la intensidad reactiva ir(t) estformada por dos sumandos:

pr =Xk

UkIk sin'k sin 2(k!t+ k) +

+ 2Xk

Xl 6=k

UkIl sin'l sin(k!t+ k) sin(l!t+ l) (3.12)

Denominar potencia reactiva al primer trmino de (3.12) es inadecuado. Deesta forma, la potencia distorsionante, como magnitud derivada de P , Q y S,carece de sentido.

3.2.1.1.2 Zakikhani y Shepherd

El caso ms general que se puede plantear en un sistema que presenta ar-mnicos de tensin e intensidad es aquel en el que pueden existir rdenes dearmnicos de tensin que no coincidan con los de intensidad, rdenes de arm-nicos de tensin e intensidad coincidentes y rdenes de armnicos de intensidadque no estn presentes en los de tensin. Cada uno de estos rdenes de ar-mnicos establecen los conjuntos M , N y P respectivamente, en funcin de losque se realiza la siguiente descomposicin de la potencia aparente, [65]-[68]:

S2 = S2R + S2X + S

2D (3.13)

S2R =Xk2N

U2kXk2N

I2k cos2 'k (3.14)

S2X =Xk2N

U2kXk2N

I2k sin2 'k (3.15)

S2D =Xk2N

U2kXk2P

I2k +Xk2M

U2kXk2P

I2k +Xk2M

U2kXk2N

I2k (3.16)

18

Estado del Arte

El nico trmino compensable mediante elementos almacenadores de energaes SX ; minimizando ste se alcanzar el mximo factor de potencia.

Por otra parte, aunque las formulaciones de los distintos componentes dela potencia puede resultar parecida a los desarrollados por Budeanu, no existeen realidad ninguna conexin entre SR y la potencia activa P , ni entre SX yla potencia reactiva Q, ni entre SD y la potencia distorsionante D.

3.2.1.1.3 Sharon

Esta descomposicin, [62] y [63], se basa en la anterior de Zakikhani y Shep-herd, [65]-[68]. Sharon indica que la funcin SX es discontinua, por lo que sepuede llegar a valores del factor de potencia mayores que el inicial despus deque la compensacin haya sido realizada.

Si de nuevo se engloban a los armnicos de tensin e intensidad en losconjuntos designados en la seccin anterior (N armnicos comunes a tensin eintensidad, M armnicos de tensin no presentes en intensidad y P armnicosde intensidad no presentes en la tensin), se propone:

S2 = P 2 + S2Q + S2C (3.17)

P =Xk2N

UkIkcos'k (3.18)

SQ = U

(Xk2N

I2kcos2'k

)1=2(3.19)

SC = fXk2M

U2kXk2N

I2kcos2'k + U

2Xk2P

I2k +

+1

2

Xk2N

Xl2N

(UkIl cos'l UlIk cos'k)2g1=2 (3.20)

donde P es la potencia activa, SQ es la potencia reactiva en cuadratura y SCes la potencia reactiva complementaria. El trmino SQ es igual a SX , denidoen [65], salvo un sumando que pertenece a la potencia SD. Sin embargo, segnShepherd y Zakikhani, este sumando no tiene naturaleza de potencia reactiva,ya que no puede ser compensado mediante un elemento pasivo almacenadorde energa, siendo slo un articio matemtico para asegurar la continuidadde la potencia reactiva [67].

19


3.2.1.1.4 Slonim y Van Wyk

Estos autores, [70] y [71], critican la falta de signicado fsico de las compo-nentes de potencia denidas en [10], si bien no dejan claro en sus trabajosel signicado de las mismas, limitndose slo a establecer unas expresionesmatemticas que ligan aquellas con los parmetros de la carga.

Considrese el caso ms general, en el que los armnicos de tensin estncontenidos en los conjuntos M y N y los de intensidad en N y P. Para losarmnicos comunes a tensin e intensidad, N , se puede denir una impedanciapara cada orden de armnico en dicho conjunto:

Zk = R + jXk =UkIk

k 2 N (3.21)

a partir de las cuales se expresan las potencias relacionadas con los armnicoscontenidos en N : activa, reactiva y distorsionante:

P 2 = R2Xk2N

I4k (3.22)

Q2 =Xk2N

X2kI4k (3.23)

D2c =Xk2N

Xl2N

(Xk Xl)2I2kI2l (3.24)

Tal y como se deduce de estas ecuaciones, si slo existen armnicos en elconjunto N , la potencia distorsionante tiene una carcter puramente reactivo.Los componentes de potencia resultantes de trminos cruzados entre armni-cos de diferentes conjuntos, que se agrupan bajo la potencia distorsionanteimaginaria Di, pueden dividirse en una parte activa y otra reactiva:

D2i = R2hXk2M

Xl2N

I2kI2l +

Xk2M

Xl2P

I2kI2l +

Xk2N

Xl2P

I2kI2l

i+

+Xk2M

Xl2N

X2kI2kI

2l +

Xk2M

Xl2P

X2kI2kI

2l +

Xk2N

Xl2P

X2kI2kI

2l =

= P 2i +Q2i (3.25)

Con estas deniciones, la potencia aparente se puede expresar o bien a par-tir de las potencias activa, reactiva, distorsionante y distorsionante imaginaria,o, dado que para cada una de ellas se ha hecho una descomposicin en parte

20

Estado del Arte

activa y reactiva, como suma de trminos activos y reactivos:

S2 = P 2 +Q2 +D2c +D2i =

= P 2 + P 2i +Q2 +D2c +Q

2i =

= P 2 +Q2 (3.26)

La teora expuesta no aporta puntos de vista alternativos a los presentadoshasta el momento, y arrastra deciencias de otras anteriores:

El signicado fsico de los diferentes trminos de la potencia reactiva ydistorsionante no es claro.

No se indican qu trminos pueden ser compensados para aumentar elfactor de potencia.

3.2.1.1.5 Czarnecki

Este autor propone una descomposicin ortogonal de intensidades en un sis-tema en el que los armnicos de tensin pertenecen a un grupo Nu y los deintensidad a Ni, de forma que existen armnicos en Ni no presentes en Nu [15],[16].

Si se separan en ig(t) a los armnicos de intensidad no contenidos en latensin, y en io(t) a los contenidos en tensin e intensidad, la siguiente des-composicin es ortogonal, pues se trata de armnicos de diferente frecuencia:

i(t) = io(t) + ig(t) (3.27)

La intensidad io(t) se puede descomponer en otras intensidades que son orto-gonales entre s. Se dene una intensidad activa que tiene la misma forma deonda que la tensin:

ia(t) = Geu(t) (3.28)

Ge es la conductancia equivalente que consumira la potencia que est deman-dando la carga con la tensin u(t):

Ge =P

U2(3.29)

La intensidad restante, i ia, puede ser descompuesta en dos, dispersa yreactiva:

is(t) =p2Xk

(Gk Ge)Uk cos(k!t) (3.30)

21


ir(t) =p2Xk

BkUk sin(k!t) (3.31)

Todos estos componentes de intensidad son ortogonales, por lo que se verica:

I2 = I2a + I2r + I

2s + I

2g (3.32)

As, la disminucin de uno de ellos implica una disminucin del valor ecaz de laintensidad ecaz, aumentando el factor de potencia. Multiplicando los valoresecaces anteriores por el de la tensin se obtienen las potencias asociadas acada una de la intensidades, que toman el nombre de stas.

Los signicados fsicos de las intensidades y sus potencias asociadas seexplican de la siguiente forma:

Intensidad activa. Es la necesaria para transferir la potencia activa Phasta la carga.

Intensidad dispersa. Centrndose en un armnico in(t), la intensidadque es necesaria para transportar la potencia activa a la conductanciaequivalente es la intensidad activa, pero en realidad est circulando otracantidad:

iRn =p2GnUn cos(n!t) (3.33)

La diferencia entre las dos magnitudes es la intensidad dispersa que,aunque no contribuye al transporte de potencia activa, aumenta el valorecaz de la intensidad y disminuye el factor de potencia. Por otra parte,dado que los valores GeGn pueden ser positivos o negativos, no puedencompensarse mediante un elemento pasivo.

Intensidad reactiva. Aparece siempre que haya un desfase entre la tensiny la intensidad de la carga. Esta intensidad puede minimizarse medianteelementos pasivos.

3.2.1.2 Dominio del tiempo

3.2.1.2.1 Fryze

La principal objecin de Fryze, [34]-[35], a la teora desarrollada por Budeanues la necesidad de realizar la descomposicin de las tensiones e intensidadesantes de calcular la potencia reactiva. Su denicin de potencia reactiva es laadoptada por la Comisin Electrotcnica Internacional (IEC ).

Fryze descompone la intensidad en dos componentes ortogonales:

i(t) = ia(t) + ib(t) (3.34)

22

Estado del Arte

El primero de ellos es el responsable del transporte de la potencia activa,teniendo la misma forma de onda de la tensin:

ia =P

U2u(t) (3.35)

ib = i ia (3.36)Al ser estas dos intensidades ortogonales los valores ecaces satisfacen la si-guiente ecuacin:

I2 = I2a + I2b (3.37)

La potencia reactiva es la asociada a la intensidad ib:

Q = UIb ) S2 = P 2 +Q2 (3.38)El principal inconveniente de esta denicin es que Q no tiene ninguna relacincon las propiedades de la carga, por lo que ni se tiene ninguna informacin depor qu existe ni de cmo se puede compensar [16].

3.2.1.2.2 Kusters y Moore

Se realiza una descomposicin de la potencia aparente en potencia activa,reactiva y reactiva residual [44]. Tomando la tensin como referencia se tienenlas siguientes intensidades:

Activa. Es la que tiene la misma forma que la tensin y es la responsablede la aparicin de la potencia activa:

ip =P

U2u =

1

T

Z T0

uidt

u

U2Ip =

P

U=

1

T

Z T0

uidt

1

U(3.39)

Reactiva. Es la que resulta de restar la intensidad activa a la total:iq = i ip Iq =

qI2 I2p (3.40)

Esta intensidad resultante se puede dividir en dos componentes: induc-tiva o capacitiva y residual. Las componentes inductiva y capacitiva sedenen de la siguiente forma:

Inductiva. Componente que tiene la misma forma de onda que laintensidad que circula por una bobina con la misma tensin aplica-da. Denominando u a la integral indenida de la tensin y U a suvalor ecaz:

iql =

1

T

Z T0

uidt

uU2

Iql =

1

T

Z T0

uidt

1U

(3.41)

23


Capacitiva. Esta intensidad tiene la misma forma de onda que laque circula por un condensador sometido a la tensin aplicada. Sise llama _u a la derivada de la tensin y _U a su valor ecaz:

iqc =

1

T

Z T0

_uidt

_u_U2

Iqc =

1

T

Z T0

_uidt

1_U

(3.42)

Residual. Se obtiene de restar a la intensidad total la intensidad activay reactiva. Puede ser inductiva o capacitiva, en funcin de la intensidadreactiva elegida:

iqlr = i ip iql Iqlr =qI2 I2p I2ql (3.43)

iqcr = i ip iqc Iqcr =qI2 I2p I2qc (3.44)

Las intensidad reactiva, ya sea inductiva o capacitiva, puede ser compen-sada completamente mediante un condensador o una bobina. De hecho, losvalores del condensador coinciden con aquellos calculados usando una adecuadaformulacin de la potencia reactiva en el dominio de la frecuencia. El problemafundamental que se presenta es que las deniciones dadas se circunscriben a lacompensacin del factor de potencia mediante bobinas o condensadores [56] y[16].

3.2.1.2.3 Page

La denicin que realiza de las intensidades es idntica a la propuesta porKusters y Moore, si bien aade ciertos aspectos que stos no tienen en cuentapara el caso de compensacin de potencia reactiva mediante elementos pasivosen sistemas con tensin no senoidal [56]. Para este caso, la intensidad reactivainductiva y capacitiva no tienen por qu ser iguales, por lo que es posiblemejorar la compensacin de potencia reactiva utilizando una denicin de estaintensidad que contenga a la vez a ambos trminos:

iq = adu

dt+ b

Zudt+ ir (3.45)

donde los coecientes a y b se eligen de forma que el valor ecaz de la intensidadresidual se minimice. Los coecientes toman por tanto este valor:

a =Iqc_U

b =IqlU

(3.46)

24

Estado del Arte

De esta forma se consigue una posibilidad de compensacin de energa reactivamediante elementos pasivos. Si los coecientes a y b anteriormente calculadosson negativos, los valores del condensador y bobina en paralelo que se tienenque aadir para anular la componente reactiva son:

C = a L = 1b

(3.47)

3.2.1.3 Resumen de las descomposiciones de potencia

En la Tabla 3.1 se muestran los aspectos ms relevantes de las descomposicionesque han sido tratadas en los apartados anteriores.

Tabla 3.1: Resumen de las descomposiciones de potencia.

Teora Compensacin Q Signicado Objecionesaumenta FP fsico

Frecuencia

Budeanu No No Deniciones de Q y DZakikhani S No SR formada por P y DShepherd SX no continuaSharon S No Parte de SQ no compensableSlonim No No Denicin de Q

TerminologaCzarnecki S S -

Tiempo

Fryze No No No se conoce por qu hay QKusters S S Compensacin slo conMoore condensadores o bobinasPage S S -

3.2.2 Sistemas trifsicos

Las descomposiciones de potencia monofsica, tratadas anteriormente, podranser utilizadas para el caso trifsico siempre y cuando ste fuese equilibrado. Sinembargo, existen razones para utilizar otro tipo de descomposicin para estetipo de sistemas:

25


Los circuitos desequilibrados en carga y tensiones no podran ser anali-zados.

En el caso senoidal la potencia instantnea es constante, es decir, noexiste uctuacin de potencia global entre la fuente y la carga. Sinembargo, esta uctuacin existe en cada una de las fases. Por este motivola potencia reactiva sigue siendo de utilidad para evaluar la eciencia dela transferencia de energa. Dicha potencia se compensa tradicionalmentemediante elementos almacenadores de energa, condensadores o bobinas,para aumentar el factor de potencia.

Por otra parte, es interesante observar que las oscilaciones de potenciadebidas a la potencia reactiva tienen igual amplitud en cada una de lasfases y existe un desfase de 2=3 radianes entre ellas. Esto implica que lapotencia reactiva en una de las fases es la suma de las potencias reactivasde las otras dos. Es decir, que, de forma instantnea, se produce entrelas fases un intercambio de potencia reactiva. Por tanto, para compensaresta reactiva, no tendramos por qu tener un elemento almacenador deenerga, tal y como ocurra en el caso monofsico. Dicho compensador,que ha de ser activo, debera tomar la potencia reactiva de dos de las fasese inyectarla en la otra. Esta es la idea en la que se basa la teora de lapotencia reactiva instantnea [1],[83]. En el caso de utilizar extensionesdel caso monofsico, se estara perdiendo este importante aspecto de latransmisin de potencia de los sistemas trifsicos, que introduce la ideade la compensacin activa sin elementos almacenadores de energa.

Las principales teoras que han sido desarrolladas se pueden dividir en dos:sistemas trifsicos sin conductor neutro (tres hilos) y sistemas trifsicos conneutro (cuatro hilos), si bien estas ltimas no se encuentran todava comple-tamente cerradas.

3.2.2.1 Sistemas trifsicos de tres hilos

3.2.2.1.1 Czarnecki

Este autor propone una descomposicin ortogonal de intensidades anloga a larealizada en el caso monofsico, pero aplicada al trifsico, [18]. En concreto,se analiza una carga trifsica no lineal con desequilibrio, alimentada medianteuna tensin no senoidal equilibrada. Las magnitudes en cada una de las fasesse pueden expresar en serie de Fourier mediante una expresin similar a laecuacin (3.1). Agrupando las magnitudes de cada una de las fases se obtiene

26

Estado del Arte

un vector:f = [fR; fS; fT ]

t (3.48)

Los vectores as denidos forman un espacio L2 , en el que se pueden establecerlas siguientes operaciones:

Producto escalar entre dos vectores fff i y fff j:

(f i;f j) =1

T

Z T0

f tif jdt =

= ReXk

F ikRF

jkR + F ikSF

jkS + F ikTF

jkT

(3.49)

Norma de un vector fff :

k f k=p(f ;f) =

sXk

(F 2kR + F2kS + F

2kT ) (3.50)

Esta norma puede entenderse como un valor ecaz generalizado, equi-valente a una cantidad en corriente continua que tiene el mismo efectotrmico que en el sistema trifsico las cantidades fR, fS y fT .

Dos vectores f i y f j son ortogonales si su producto escalar es cero:

(f i;f j) = 0 (3.51)

en cuyo caso cumplen la siguiente relacin de normas:

k f i + f j k2=k f i k2 + k f j k2 (3.52)

Si los armnicos de tensin estn incluidos en el conjunto Nu, al ser la carga nolineal, la intensidad de la fuente contendr armnicos de este conjunto ms losproducidos por la carga, contenidos en el conjunto Ni, que no estn presentesen Nu. Por tanto, la intensidad puede descomponerse en dos componentesortogonales por tratarse de armnicos de diferente frecuencia:

i = io + ig (3.53)

donde io es la componente con armnicos en el conjunto Nu e ig es la compo-nente con armnicos en el conjunto Ni.

27


Dada la potencia activa y reactiva de la carga para una armnico, puede cal-cularse la conductancia y susceptancia equivalentes de una carga simtrica quetuviera las mismas potencias que sta:

Gne =Pn

k un k ; Bne =Qn

k un k (3.54)

Con estos parmetros, la intensidad io puede descomponerse en sus compo-nentes activa, dispersa, reactiva y de desequilibrio:

ia = Geu Ge =P

k u k (3.55)

is =Xk2Nu

Gkeuk Geu (3.56)

ir =Xk2Nu

jBkeuk (3.57)

iu = i ia is ir (3.58)Al ser estas componentes ortogonales, se verica:

k i k2=k ia k2 + k is k2 + k ir k2 + k iu k2 (3.59)

Resulta evidente que la ltima intensidad es la que aparece en el caso de que lacarga fuese desequilibrada. En caso contrario la intensidad io que demandarala carga sera:

io =Xk2Nu

(Gk + jBk)u (3.60)

y las intensidades activa ms dispersa y la reactiva:

ia + is =Xk2Nu

Gku ir =Xk2Nu

jBku (3.61)

por lo que se verica que:

iu = i ia is ir = 0 (3.62)

28

Estado del Arte

3.2.2.1.2 Akagi

Este autor propone la teora de la potencia reactiva instantnea, [1]. Dadoun sistema trifsico, en el que por simplicidad se excluyen las componentes desecuencia cero, se dene el cambio de coordenadas siguiente:

ff

=p2=3

1 1=2 1=20p3=2 p3=2

24 fafbfc

35 (3.63)

f = Tfabc (3.64)

siendo fabc tensiones o intensidades de fase del sistema trifsico, f la trans-formacin de las mismas en el nuevo sistema de coordenadas y T la matrizde cambio de coordenadas. Puede observarse que la transformacin realizadaes la de Park, por lo que, en ausencia de componente homopolar, el sistematrifsico puede ser representado slo mediante las dos magnitudes en los ejes , siendo stos ortogonales.

La potencia instantnea se dene en las nuevas coordenadas como:

p = eaia + ebib + ecic = ei + ei (3.65)

La potencia reactiva instantnea q, es el mdulo del vector de potencia instan-tnea imaginaria q, denido como:

q = e i + e i (3.66)

q = ei ei (3.67)Por tanto, la potencia activa y reactiva instantneas se pueden expresar segn:

pq

=

e ee e

ii

(3.68)

Invirtiendo la relacin (3.68), se obtiene una expresin de las intensidadesque puede separarse en dos sumandos dependiendo de la potencia activa yreactiva instantneas respectivamente:

ii

=

e ee e

p0

+

e ee e

0q

=

=

ipip

+

iqiq

(3.69)

29


La potencia activa instantnea (3.65), es la suma de las potencias en cada unode los ejes , que puede expresarse en funcin de las intensidades de (3.69):

p = p + p = ei + ei = eip + eip = pp + pp (3.70)

vericndose adems que:

0 = eiq + eiq = pq + pq (3.71)

Es decir, que las potencias pq y pq, que aparecen por la existencia de lapotencia imaginaria instantnea, no contribuyen al ujo de potencia activa,ya que se cancelan mutuamente. La novedad de esta teora se basa en eldiseo de compensadores activos sin almacenamiento de energa que eliminanlos trminos que depende de la potencia imaginaria instantnea: pq y pq.En [1], el autor hace la extensin a casos en los que se encuentre presentela componente homopolar, incluyendo su potencia e0i0 dentro de la potenciainstantnea que, como posteriormente se comprobar es inadecuada, [83].

3.2.2.1.3 Willems

La teora de Willems, [83], se basa en una nueva interpretacin de la teorade Akagi. Se arma que no es necesario realizar un cambio de coordenadaspara calcular las potencias instantneas activa y reactiva, pudiendo estas sercalculadas a partir de tensiones e intensidades en las fases. As, dados los vec-tores de tensin, u(t), e intensidad, i(t), la potencia instantnea es el productoescalar de ambos:

p(t) = u(t)ti(t) (3.72)

Si ip(t) es la proyeccin ortogonal de la intensidad i(t) sobre el vector detensin u(t), se debe vericar:

u(t)ti(t) = u(t)tip(t) (3.73)

por lo que el trmino ip(t) es el responsable de la transmisin de la potenciap(t), y se puede expresar a partir de sta:

ip(t) =u(t)ti(t)

ju(t)j u(t) =p(t)

ju(t)ju(t) (3.74)

La componente no activa de la intensidad, que no contribuye a la transmisinde potencia, es:

iq(t) = i(t) ip(t) (3.75)

30

Estado del Arte

y adems es ortogonal al vector de tensin:

v(t)tiq(t) = 0 (3.76)

La potencia imaginaria instantnea puede ser asociada a la cantidad:

jq(t)j = jv(t)jjiq(t)j (3.77)Los sistemas trifsicos sin secuencia homopolar pueden ser representados me-diante dos variables, tenindose una representacin bidimensional del proble-ma. En este caso, a la potencia imaginaria instantnea jq(t)j se le puede asociarun signo, estando entonces ligada con el producto vectorial de tensin e inten-sidad, tal y como fue denido en [1] por Akagi. Con este nuevo punto de vista,no existe ningn problema a la hora de tratar la componente homopolar y,como puede demostrarse, estar contenida tanto en la potencia activa comoen la imaginaria instantnea.

3.2.2.1.4 Ferrero y Superti-Furga

Estos autores aplican la transformacin de Park a sistemas trifsicos de treshilos para obtener una descomposicin de los trminos de potencia ms generalque la propuesta por Akagi, [31].

Dadas unas magnitudes del sistema trifsico, se dene la transformacinde Park como:

ydqo = Tyabc (3.78)

donde T es la matriz ortogonal:

T =

26664q

23

q

16

q

16

0q

12

q

12q

13

q13

q13

37775 (3.79)

En ausencia de componente homopolar, el sistema trifsico puede denirsemediante el vector de Park:

y(t) = yd + jyq (3.80)

Si las seales son peridicas, este vector puede descomponerse en una seriecompleja de Fourier:

y(t) =+1X1

Y kejk!t (3.81)

31


Cada sumando es un vector de Park, Y k, con amplitud constante, Yk, que giraa una velocidad proporcional a su orden de armnico respecto al fundamental.Cada frecuencia armnica est formada por dos componentes, positiva y nega-tiva, que giran a la misma velocidad pero con sentidos contrarios. El trminopositivo est asociado con el fasor de la componente directa del armnico, ~Y1k,mientras que el negativo lo est con el conjugado del fasor de la inversa, ~Y2k:

Y k = ~Y1k k > 0 Y k = ~Y2k k < 0 (3.82)

La potencia instantnea compleja de Park se puede denir como:

ap(t) = pp(t) + jqp(t) = u(t)i(t) (3.83)

donde:pp(t) = Re [ap(t)] = udid + uqiq (3.84)

qp(t) = Im [ap(t)] = uqid udiq (3.85)La potencia reactiva instantnea de Park, qp(t), puede ser compensada com-pletamente mediante elementos activos no almacenadores de energa y tiene elmismo valor que el mdulo de la potencia instantnea imaginaria denida en[1] por Akagi.

Si en lugar de expresar los trminos de potencia de Park en funcin delas magnitudes temporales de tensin e intensidad, se hace en funcin de susdesarrollos en serie, se llega a otra expresin de la potencia:

ap(t) =+1X1

UkIk +

Xk 6=h

U kIhe

j(kh)!t (3.86)

Denida la potencia instantnea de Park en funcin de los armnicos de tensine intensidad, es posible obtener el valor medio de la misma, que ser unamagnitud compleja, mediante la integracin en un periodo:

Ap(t) = Pp + jQp =1

T

Z T0

u(t)i(t)dt =

=+1X1

UkIk (3.87)

La parte real de esta magnitud corresponde a la potencia activa consumida,por lo que si se dene la potencia aparente como el producto de los valores

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Estado del Arte

ecaces de los vectores Park de tensin e intensidad, se puede expresar el factorde potencia para un sistema trifsico como:

=PpS

(3.88)

Se puede demostrar que el valor medio de la potencia compleja de Park, Ap, essiempre inferior a la potencia aparente, S, por lo que se dene una cantidad,que no es la potencia distorsionante denida por Budeanu, que verica:

D2p = S2 A2p (3.89)

De esta forma, la expresin de la potencia aparente se escribe:

S2 = A2p +Q2p +D

2p (3.90)

A los vectores de Park se les puede aplicar las descomposiciones tanto en eldominio del tiempo como de la frecuencia:

Dominio del tiempo. La parte activa de la intensidad, como aquellacomponente responsable de la potencia media, es:

ia(t) =PpU2v(t) (3.91)

Por tanto, la parte no activa se puede obtener por diferencia:

ix(t) = i(t) ia(t) (3.92)

Dominio de la frecuencia. Aplicando esta descomposicin se pueden ob-tener expresiones de las potencias medias denidas anteriormente en fun-cin de tensiones e intensidades.Al realizar el desarrollo en serie de Fourier, se puede aplicar una des-composicin de intensidades similar a la realizada en [18]. Para ello, enprimer lugar se denen los conjuntos en los que se engloban los arm-nicos de intensidad: Nu, armnicos comunes a tensin e intensidad, yNf , armnicos presentes slo en intensidad. Para el grupo Nu se puededenir una admitancia:

Gk + jBk =Ik

Uk(3.93)

a partir de la cual se pueden expresar las potencias medias de Park:

Pp =Xk2Nu

GkU2k Qp =

Xk2Nu

BkU2k (3.94)

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Se dene una conductancia equivalente, que es la que demanda la poten-cia activa Pp:

Ge =PpU2

(3.95)

de forma que la intensidad activa es:

ia = Geu(t) (3.96)

La intensidad dispersa es la diferencia de la componente real de la inten-sidad y la activa:

is =Xk2Nu

(Gk Ge)Ukejk!t (3.97)

De igual forma, se puede denir una susceptancia equivalente, que seraresponsable de la aparicin de la potencia media imaginaria de Park:

Be =QpU2

(3.98)

cuya intensidad asociada es:

iq = jBeu(t) (3.99)a partir de la cual se dene la intensidad imaginaria dispersa:

irs = ir iq =Xk2Nu

(Bk +Be)Ukejk!t (3.100)

Una vez que han sido denidas todas las componentes de intensidad queestn contenidas en el conjunto Nu en funcin de las admitancias de lacarga y la tensin de alimentacin, basta caracterizar los armnicos deintensidad no presentes en la tensin:

if =Xk2Nf

Ifejk!t (3.101)

el conjunto de intensidades denidas conforman la intensidad total:

i = ia + is + iq + irs + if (3.102)

Adems se puede comprobar que todas son ortogonales entre s, por loque verican la siguiente ecuacin:

I2 = I2a + I2s + I

2q + I

2rs + I

2f (3.103)

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Estado del Arte

La relacin existente entre estas intensidades y los trminos de potenciaanteriormente denidos es clara. La intensidad ia es la relacionada conla aparicin de la potencia activa Pp, la intensidad iq es la responsable dela potencia reactiva Qp, mientras que el resto de componentes conformanel trmino Dp:

D2p = U2I2s + U

2I2rs + U2I2f (3.104)

Por ltimo, aunque en el captulo siguiente se har hincapi en ello, esconveniente resaltar que la minimizacin de la potencia media imagina-ria de Park mediante elementos almacenadores de energa no lleva a unfactor de potencia mximo, lo cual es evidente por (3.104), en la que eltrmino U2I2rs est presente. Para obtener un factor de potencia mximola funcin que se tendr que minimizar es U2(I2q + I

2rs).

3.3 Filtros pasivos sintonizados

La utilizacin de ltros pasivos sintonizados en los sistemas de distribucinpara la reduccin de la distorsin armnica es una prctica comn en el mbitoindustrial. Un ltro pasivo sintonizado est compuesto en cada fase por unabobina conectada en serie con un condensador, tal y como se muestra en laFigura 3.1. Idealmente, la impedancia del ltro es nula para la frecuenciaa la cual el ltro ha sido sintonizado, si bien siempre existe una pequearesistencia debida fundamentalmente a la bobina del ltro. Dicha resistenciase puede obtener a partir del factor de calidad de la bobina, que se dene comoel cociente entre la reactancia a 50 Hz y la resistencia:

Q =!L

R(3.105)

La frecuencia de sintonizacin del ltro, para la cual presenta una impe-dancia nula en el caso ideal, est relacionada con los valores del condensadory la bobina mediante la expresin:

fs =1

2pLC

(3.106)

El comportamiento del ltro pasivo depende de la frecuencia. As, para va-lores inferiores a la frecuencia de sintonizacin, el ltro se comporta como uncondensador; para la frecuencia de sintonizacin es un cortocircuito, mientras

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Figura 3.1: Filtro pasivo sintonizado.

que para frecuencias superiores a sta, se comporta como una bobina. Ade-ms de reducir el contenido de armnicos, estos ltros pueden utilizarse paracompensar la potencia reactiva.

Hasta hace relativamente poco tiempo, el diseo de ltros pasivos para lareduccin del contenido armnico en las redes de distribucin de energa elc-trica ha sido poco estudiado. Muchas son las publicaciones existentes acerca dela instalacin de dichos ltros en las que se indica el problema previo, se enu-meran los requerimientos o condicionantes existentes en las instalaciones bajoestudio, se propone un ltro que cumple con los mismos y una comparacin delas situaciones inicial y nal, [54], [75], [47], [45], [11], [4], [3], [55]. Sin embar-go, todos adolecen de no presentar una forma sistemtica de diseo de dichosltros. Bsicamente, ste consiste en un proceso de prueba y error apoyadoen simulaciones y diagramas impedancia-frecuencia, que permiten evaluar laintroduccin de nuevas resonancias en el sistema.

La funcin primordial de los ltros es eliminar los armnicos que excedende los valores recomendados, que son funcin de la norma aplicada. De estaforma, las frecuencias de sintonizacin de los mismos pueden establecerse apriori. Sin embargo, queda otro parmetro por jar en el caso de tener variosltros formando un banco: la capacidad del condensador o la potencia reactivaque debe aportar cada uno de ellos. Normalmente, los ltros se calculan paraaportar una cierta cantidad de potencia reactiva en el armnico fundamental,si bien la forma en la que dicha potencia es repartida entre los ltros depen-de del sistema utilizado en su clculo. Con estos dos valores, frecuencia desintonizacin y potencia reactiva o capacidad del condensador, cada ltro delbanco queda determinado, ya que la inductancia es funcin de ambos.

A continuacin se describen los mtodos ms relevantes encontrados en laliteratura especializada para el diseo de ltros pasivos.

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3.3.1 Steeper

Es una de las publicaciones ms antiguas existentes sobre la materia [74]. Enella no se indica la forma de repartir la potencia reactiva entre los ltros, sedice que es arbitraria, dependiendo de la experiencia. El mtodo de diseo sebasa en un proceso de prueba y error. Con esta forma de proceder, se tiene unacompensacin total de la potencia reactiva del armnico fundamental y unadisminucin de los armnicos cuya frecuencia de sintonizacin coincide con lade los ltros, pero se pierde el control sobre los dems armnicos.

En la misma lnea justicativa y con los mismos problemas asociados seencuentra [39], en la que la potencia reactiva de cada ltro se ajusta en funcindel porcentaje de armnicos que cada ltro puede absorber.

3.3.1.1 Phipps

Este autor establece un procedimiento de diseo mediante la utilizacin defunciones de transferencia, si bien realmente no es ms que una forma grcade representar los resultados de un proceso de diseo por prueba y error [58].La idea bsica propuesta consiste en la representacin grca de la funcin detransferencia compuesta por la intensidad del sistema frente a la intensidaddemandada por la carga. Dicha funcin puede ser expresada en trminos delas impedancias del sistema y de los ltros, ya que estos forman un divisor deintensidad para las corrientes armnicas, tal y como se muestra en la Figura3.2:

H =IsIg

=Zf

Zf + Zs(3.107)

Como es lgico, las condiciones de ltrado han ser tales que la normativaconcerniente a lmites de emisin de armnicos se cumpla. Si la intensidadmaxima que se permite para el armnico h-esimo es Ihlim, puede ser denidala siguiente funcin de transferencia:

G(h) =IhlimIg

(3.108)

Dicha funcin constituye un lmite superior a la caracterstica de ltrado de-nida en (3.107), siendo sta la herramienta utilizada para el diseo de losltros. Un valor superior a la unidad en (3.108) implica que los armnicosestn dentro de los lmites estab

tesis_jose_maria_maza_ortega.pdf

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