UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

0100110463

Universidad Po l i t écn i ca de Madrid

T E S I S

OSCILACIONES EN SISTEMAS HIDRÁULICOS

por

Ignacio Esteban Parra Fabián

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos

Madrid, Septiembre de 1981

Universidad Politécnica de Madrid

E. T. S, ds ingenieros Aeronáuticos BIBLIOTECA '

Este übro es obsequio de^L .

T E S I S

OSCILACIONES EN SISTEMAS HIDRÁULICOS

p o r

, A

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T,S. I. AERONÁUTICOS

B I B L I O T E C A FECHA ENTRADA N» DOCUMENTO . . . .tS<?3fl N* EJEMPLAH !?S.Wlíl SIGNATURA XQ4Í3JL . -POR. .OSC

..... Pv

Ignacio Esteban Parra Fabián

.CONSULTA EN BIBLIOTECA gRO&ElA. Sff.N':':* S I IPFRIOR

lC-jJ.q-15- 1 B i e 1 - i ^ ~ e. c A

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos

Madrid, Septiembre de 19 81

a: NIEVES,

ESTEBAN y

CARMEN

R E S U M E N

Se analiza la estabi3.idad del comportamiento estacionario de

un sistema de alimentación de una turbina hidráulica, compuesto

por un conducto en el que se intercala una chimenea de equilibrio

para evitar el golpe de a,riete. Asociado a la turbina hay -un re­

gulador que trata de mantener constante la potencia proporciona­

da por ésta* Se emplean métodos de escalas múltiples para estu­

diar los fenómenos transitorios en el sistema anterior, cuando las

portencias obtenidas son pequeñas frente a la máxima que puede pro

procionar el salto hidráulico, cualquiera que sea el valor del a-

rea de la chimenea; se analiza también la situación para cualquier

valor de la potencia de salida, cuando las áreas de la chimenea

son próximas al valor mínimo que asegura comportamiento estable

del sistema. Se investiga además la posible existencia de solu­

ciones periódicas, así como su estabilidad y su evolución cuan­

do se varían los parámetros que definen el problema. Generalizan

dose los resultados obenidos para el caso en el que la chimenea

de equilibrio es sustituida por una cámara a presión.

•Esta Tesis ha sido realizada bajo la direc­

ción del Catedrático de Mecánica, de Fluidos de

la E,T*S,I* Aeronáuticos D# Amable Liñán Martí­

nez, con el cual siempre estaré en deuda, tanto

por el interés y la dedicación que me lia dispen

sado, como por su indudable influencia en mi vo

caeion investigadora»

©eseo. agradecer a José Manuel Vega, toda, la

ayuda prestada, sobre todo en la búsqueda de

bibliografía matemática»

-i i-

I N D I C E

'á ina

INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO 1 •- Ecuaciones y estabilidad estática

cuando la potencia es constante

1C- Introducción ' 1*1

2.~ Ecuaciones 1«2

3#- Soluciones Estacionarias 1#8

4*- Estabilidad de las soluciones Es­

tacionarias 1*10

CAPITULO 2*- Potencia pequeña, frente a la máxi­

ma de operación»

1#~ Introducción 2.1

2 #- Estudio cerca de la zona £\0-0 con

^ o > 0 2.2

3t~ Estudio cerca de %0~0 con ^c< 0 2*14

4#~ Estudio cerca de < o~0 con o ^ 0 y

£ > > 1 2,17

5#~ Fenómenos transitorios 2.27

CAPÍTULO 3»~ Potencia del orden de la máxima

de operación.

1.- Introducción 3*1

2.- Perdidas nulas en la base de la

chimenea JU-O 3o3

-iii-

3.- Pérdidas no nulas en la base de

la chimenea, u^Q 3*

4»~ Comparación con resultados numé­

ricos 3»

CAPITULO 4«~ Efectos de una cámara, de presión.

1.- Introducción 4

2«~ Ecuaciones 4

3#- Soluciones Estacionarias 4

4*- Estabilidad de las Soluciones Es­

tacionarias 4

5#- Soluciones-con potencias pequeñas

frente a la máxima 4

CAPITULO 5.~ Ecuaciones y Estabilidad del Siste­

ma incluyendo las características del Regula­

dor*

1*~ Introducción 5

2.- Descripción del Regulador 5

3#~ Ecuaciones del Conjunto 5

4«~ Soluciones Estacionarias y Estabi­

lidad 5*

CONCLUSIONES Y RESULTADOS " 6

APÉNDICES

Apéndice 1 A1

-iv-

Página

Apéndice 2

Apéndice.3

Apéndice 4

Apéndice 5

BIBLIOGRAFÍA

•v-

N O M E N C L A T U R A B Á S I C A

Símbolo Significado • Se define

en Tecina

Ap Área de la sección del penstock 5*11

A g Área de la chimenea 1 *3

A j Área de la sección del túnel 1«3

. b¿ Coeficiente adimensional en la

ecuación que da la velocidad adi

mensional en el penstock en fun­

ción de la apertura de la compuer

ta 5*14

Amplitud y fase en primera aproxi

roacion de la solución cercana al

punto de cambio de estabilidad 2 «8

•i Coeficiente con el cual se modifi

ca la velocidad de apertura de la

compuerta de acuerdo con la.posi­

ción de esta en los movimientos

lentos 5*14

r' ídem en los movimientos bruscos 5*14

-vi-

Símbolo Si^iifioardo Se define en

f Coeficiente que engloba.las pérdidas

en el túnel y las producidas por la

descarga del agua en la base de la

chimenea 1#8

Q Aceleración de la gravedad

H Altura del nivel del embalse sobre

la turbina 1 • 3

Vi Altura del nivel del embalse sobre

el punto considerado

I Momento de inercia del conjunto gene

rador-turbina 5*11

L Coeficiente adimensional que rela­

ciona el trabajo generado por la

turbina en el tiempo característico

del túnel y la energía cinética del

conjunto generador-turbina 5«14

J jfcC^-3?) 5.18

J Relación entre la altura del nivel

del embalse sobre la turbina y la

longitud del túnel 5»14

-VD-l-

Símbolo Significado Se define en

K Relación entre las pérdidas produ­

cidas en la base de la chimenea y

la energía cinética en la misma 1.6

L,L i Longitud del túnel 1#3 y 5«

Lt longitud del penstock 5*11

^ L Velocidad de giro adimensional del

conjunto generador-turbina 5*14

yí 'Yv-VYo 5#16

Yi0 Velocidad de giro adimensional en el

funcionamiento estacionario 5*15

P Presión estática en el punto consi­

derado

v<x Presión atmosférica

»T Presión de remanso a la entrada de

la turbina 1.7

« Coeficiente adimensional de pérdi­

das en el eje del conjunto genera­

dor- turb ina 5*14

-VIH-

Símbolo S gratificado Se define en

S Relación entre los tiempos carac­

terísticos del servomotor y del

túnel 5*14

t * Tiempo real

\í Relación entre los tiempos carac­

terísticos del dashpot y del tú­

nel 5*14

v7\/± Velocidad en el túnel 1*3 y 5.11

y^ Velocidad en el penstock • 5«11

W Potencia cedida por el generador

a la red 1«7

)L Variable que indica la posición de

la compuerta (vale Y=0 cuando la

compuerta esta cerrada) 5«3

Yw* Valor de Y cuando la compuerta está

completamente abierta 5*10

*£ Altura del nivel del embalse sobre • *

el nivel de la chimenea 1#3

-IX-

Significado Se defin-

Altura del nivel del embalse sobre

el punto flifl 1.3

ídem sobre el punto ,f1ff 1.3

Coeficiente de pérdidas en el pens-

tock 5#14

L* A T L¿ A,

2 A TL £ ASH

5.14

1.8

Altura adimensioiial de la chimenea 1.8

S ~ 5o 1.10

Altura adimensional en el régimen

estacionario de velocidades altas

(punto puerto)

Altura adimensional en el régimen

estacionario de velocidades bajas 1.9

2i H 5.H

-x~

gj/?nificádo Se define en

Valor de 5 cuando P-Q en el ciclo

límite 3.22

Rendimiento de la turbina 5.10

Coeficiente adimenslonal de perdidas

en la "base de la chimenea 1#8

Velocidad adimensional en el túnel 1#8 y 5*14

^ i ' í * ^ - ^ © 1 - 1 0 y 5 - 1 6

Velcdidad adimensional en el túnel

en el régimen estacionario de velo .

cidades altas (punto puerto)

ídem en el régimen de velocidades

"bajas 1.9

Velocidad adimensional en el pens-

tock 5#14

^ ^ o 5-16

Valor de £> cuando ^-0 en,el ciclo

límite 3#10

•XI-

Significado Se define en

Densidad del agua

t Tiempo adimensional 1.8

CO Potencia suministrada por el genera

dor adimensionalisada 1*8

CO Velocidad de giro del conjunto

generador-turbina 5 • 11

Símbolo

•xii-

í_N_?_R_Q_D_U_C_C_I_0_N

«*

Con el enorme avance realizado en las últimas decadas por la

Electrónica én el campo de los computadores, que motivo paralela

mente un no menos espectacular avance en el campo del Cálculo Nu

rnérico, se pensó en un principio que los métodos analíticos y grá

fieos iban a quedar definitivamente desplazados, sobre todo desde

el punto de vista ingenieril*

No ha sido así sin embargo, y tales métodos son empleados, in

cluso en el campo de la Ingeniería, práctica* La. razón principal

es que unos y otros no se excluyen sino que se complementan, unien

do a la indudable capacidad de cálculo de los métodos computaclo­

ríales, el insustituible valor físico de los analíticos*

En Ingeniería Hidráulica ambos métodos han sido empleados con

gran éxito, como se puede ver en Aronovich (3)> Chaundhry (7),

Jaeger (14), Nekrasov (18), Rich (20), Wylie y Streeter (23)• En

estas referencias se recogen de manera exhaustiva todas las téc­

nicas analíticas, numéricas y gráficas, empleadas actualmente en

el cálcLilo de sistemas hidráulicos» Más particularmente Chaundhry

y Ruus (8), Escande (9), Evangelisti (10), Jaeger (15), Llarris (16)

y Ruus (21) tratan los problemas de estabilidad en una central

eléctrica con chimenea de equilibrio•

El objeto de esta. Tesis es la aplicación de nuevas técnicas

analíticas en el campo de la Ingeniería Hidráulica, estas técni­

cas son las que se engloban bajo el nombre genérico de Métodos de

-.1-

Perturbaciones o Métodos Asintóticos* Una descripción de estos

métodos está dada en Colé (4) Kevorkian y Colé (5) y Nayfeh (17)#

Una de las grandes ventajaos de estas técnicas, es que dan la

posibilidad de estudiar analíticamente problemas de difícil tra­

tamiento numérico* Este es el caso de los problemas que tratare­

mos, en los que buscaremos analizar el comportamiento de las so­

luciones de un sistema, autónomo de ecuaciones diferenciales ordi

narias dependientes de varios parámetros alrededor de sus puntos

singulares, con unos valores de los parámetros cercanos a los que

dan cambio de estabilidad en tales puntos singulares•

El comportamiento de los sistemas hidráulicos está regido mu

chas vece's por ecuaciones diferenciales ordinarias de tipo auto-

nomo, pudiéndose presentar frecuentemente la anterior situación,

Aronovich (3), Chaundhry (7), Jaeger (14)*

Precisamente la teoría de la bifurcación busca describir la

solución de las ecuaciones en las proximidades de la superficie

de cambio de estabilidad en el espacio de los parámetros; al cru

zar esta superficie, la solución estacionaria deja de ser esta­

ble, pudiendo haber bifurcación a una. nueva solución estaciona­

ria o periódica de tipo ciclo límite, (bifurcación de Hopf), -

Keller y Antman (24), Marsden y Me Craken (25), Crandall y

Iíabinov/it z (2 6) •

En esta tesis se mostrará como pueden utilizarse las técni­

cas de escalas múltiples y la teoría de bifurcación, para anali

-2-

zar la respuesta de un sistema hidráulico* Como ejemplo se ana­

liza el sistema de alimentación de una tur-bina hidráulica desde

VJÍ embalse, mediante un conducto en el que se interpone una chi

menea de equilibrio para amortiguar los efectos del golpe de -

ariete (ver figura (1«1)K La turbina va provista, de un regula­

dor, cuya misión es tratar de mantener constante la potencia -

proporcionada por la turbina•

Tanto en el arranque y parada, como en los cambios de regi-

men de la turbina, aparecen transitorios, en los que el nivel

de la chimenea y la velocidad del líquido en el conducto de ali

mentación son oscilatorios• El periodo de estas oscilaciones es

grande frente al tiempo de ida y vuelta de las ondas sonoras;

por ello es posible despreciar los efectos de- compre sibiD-idad

del fluido y de dilatación del conducto en el análisis de estas

oscilaciones en masa*

Los efectos de compresibilidad quedan limitados al penstoele

o conducto a presión que une la chimenea de equilibrio con la

turbina. En ausencia de estos fenómenos, las oscilaciones en ma

sa están descritas como veremos en el Capítulo 1 por el sistema

de ecuaciones

^ s - _ a a + e c o -

Donde las variables son:

-3-

£¡ = velocidad adimensional en el túnel.

S= altura adimensional del nivel de la chimenea•

"C = tiempo adimensional*

Depende además el sistema de tres parámetros

üü = potencia adimensionalizada de la turbina.

* 6 -• relación entre parámetros geométricos e hidráulicos del sis­

tema, inversamente proporcional al área de la chimenea.

JU = coeficiente adimensional de pérdidas en la base de la chime­

nea.

Ante cambios de régimen también se producen en el regulador,

y en particular en las revoluciones de la turbina, oscilaciones

con frecuencias mucho más altas que las de las oscilaciones en

masa, que* solo son amortiguadas, como se verá en el Capítulo 5 ,

si los parámetros que caracterizan el regulador cumplen las con­

diciones adecuadas; si es este el caso, las oscilaciones en masa

de la chimenea pueden analizarse utilizando la hipótesis de poten

cia de la turbina constante o

Las ecuaciones autónomas del tipo (0*1) han sido muy trata­

das en la literatura, matemática., sobre todo en lo que se refiere

al estudio de la estabilidad de las soluciones estacionarias y

la existencia de soluciones periódicas, Arnold (2), Priedrichs

(11), Guzmán (12), Hurewicz (13), Pontriaguine (19)»

En particular el problema (0.1) ha recibido considerable

atención por parte de los investigadores de oscilaciones hidráu

licas, Chaundhry (7), Jaeger (14), Marris (16), Wylie y Streeter

-4-

(23), que han descrito las soluciones estacionarias, dependien­

tes únicamente del parámetro co , y han analizado su estabilidad

ante pequeñas perturbaciones utilizando la teoría linealizada#

Estos análisis se recogen en el Capítulo 1 donde después de

examinar las hipótesis que conducen a las ecuaciones (0.1) se

obtienen las dos"soluciones estacionarias que existen solamen­

te para valores de co < - ^ • De acuerdo con la teoría, lineal

de la estabilidad, una de las soluciones estacionarias es siem

pre inestable y la estabilidad de la otra no depende de>u pero

si del parámetro £ , que caracteriza el área de la chimenea* La.

estabilidad de la respuesta estacionaria se asegura, para £^£^0^);

esto es cuando el área de la chimenea supera a un área denomina

da de Thoma. Ver Chaundhry (7), Jaeger (14) (15), Marris (16),

Wylie y Streeter (23)•

La literatura, científica se ha ocupado también, utilizando

métodos numéricos y métodos aproximados^ del análisis de los

transitorios descritos por las ecuaciones (0*1) asociadas al a-

rranque ( paso de o3 de O a un valor fijo ), a la parada (paso de

Co^O a OJ nulo), o cambios de régimen» Y se ha ocupado además de

la estabilidad de las soluciones estacionarias ante perturbacio­

nes finitas. Evangelisti (10) Marris (16).

•En los Capítulos 2 y 3 se abordan estas cuestiones utilizan­

do técnicas de perturbaciones•

En el Capíttilo 3 se estudia la forma de los transitorios pa~

-5-

ra valores de co del orden de la unidad y de é próximos a los de.

cambio de estabilidad, <£TVx , utilizando los métodos de la Teoría

de la Bifurcación apoyados con las técnicas de escalas múltiples

Colé (4), Kevorkian y Colé (5), Nayfeh (17), en los cuales se su •

pone que cerca del punto de cambio de estabilidad,: las soluciones

próximas a la solución estacionaria son casi periódicas y con un

periodo muy cercano al que se obtiene para la solución de las e-

cuaciones linealizadas en el punto de cambio de estabilidad, que

son las correspondientes a un punto centro y una amplitud que va

ría, solo cuando se espera, un tiempo mucho más largo que el perio

do de oscilación. Esto hace que en primera aproximación (términos

lineales) las solLiciones son periódicas en un tiempo del orden

del periodo de la solución del problema, lineal, pero en las si­

guientes aproximaciones aparecerán los términos no lineales que

determinarán la variación de las amplitudes en la escala larga*

La ecuación que determina la evolución de- la amplitud en la

escala larga, tiene además de la solución estacionaria de ampli

tud nula, inestable para £. >£fU ? otra u otras soluciones es­

tacionarias de amplitud no nula que aparece por bifurcación de

la solución de amplitud nula en el límite de estabilidad. Cuan­

do estas son estables, para £ > £TVx , representan ciclos límites

estables, o modos oscilatorios no amortiguados, del sistema; cuan

do son inestables determinan el dominio de atracción de la solu­

ción estacionaria estable que rodean*

En la literatura sobre el terna es conocida la bifurcación que

se produce en el punto de cambio de estabilidad cuando no hay fric

~6~

ción en la chimenea, apareciendo soluciones periódicas inesta­

bles que rodean la solución estable y que crecen al alejarnos

del punto de cambio de estabilidad, Evangelisti (10), y se co­

noce la existencia de ciclos límites estables que rodean la s_q

lución inestable cuando U4O , Escande (9)> los cuales inicial

mente crecen al separamos del punto de bifurcación» En el Ca­

pítulo 3 se verá que esta bifurcación con M ^ O cambia de senti­

do al llegar a un valor máximo de £ y después crece como solu

eión periódica inestable cuando € decrece.

En el Capítulo 2 se estudian soluciones transitorias del sis

tema (0.1) para valores de co pequeños frente a. la unidad, carac­

terístico de los casos de gran interés práctico en los que la po

tencia es pequeña frente a la máxima que puede proporcionar el

salto, para minimizar las pérdidas por fricción» En las solucio­

nes juega un papel importante el término ~^|^| • el cual da lu­

gar a la existencia de un ciclo límite estable como bifurcación

de la solución estacionaria. Sin embargo un análisis (sección 4)

para £">> i muestra que este ciclo límite está rodeado por otro

ciclo límite inestable, que para valores pequeños de LK coalesce

con el anterior, desapareciendo ambos para £ mayores que uno da­

do.

El Capítiilo 2 contiene, también para oo¿< í * el análisis de

los transitorios del sistema (0.1) y de respuesta del sistema an

te perturbaciones oscilatorias de Oú .

En el Capítulo 4 se considera la respuesta de un sistema hi-

_7_

dráulico en el que la chimenea de equilibrio se sustituye por

una cámara de presión, obteniéndose resultados muy similares a

los de capítulos anteriores*

Por fin en el Capítulo 5 se generaliza el estudio del Capí­

tulo 1 al caso en el que la turbina está gobernada por un regu­

lador, cuya respuesta dinámica se analiza simultáneamente con la

de la turbina, chimenea de equilibrio y conducto de alimentación,

obteniéndose un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias au

tónomo y de primer orden»

. Los Apéndices 1, 2 y 3 dan los detalles del análisis que con

¿Lucen a resultados que son de ayuda en el desarrollo de todos los

demás apartados« En el Apéndice 4 se analizan los efectos que in­

troducen en las oscilaciones en masa la elasticidad del fluido y

el conducto. En el Apéndice 5 se estudia la respuesta del siste­

ma con regulador cuando los parámetros que determinan éste, son

tales que el regulador tiene un comportamiento estable, con la tejo

ria lineal de estabilidad, pero con un ciclo límite inestable que

determina las perturbaciones máximas a que puede someterse para un

funcionamiento correcto en conexión con la chimenea*

C A P I T U L O 1

ECUACIONES Y ESTABILIDAD ESTÁTICA CUANDO LA POTENCIA ES

CONSTANTE

1•- Introducion

Durante muchos años, el sistema aquí estudiado, ha sido de

interés desde el punto de vista de la ingeniería hidráulica,

aun hoy gra.n parte de la energía utilizada proviene del aprove

chamiento de saltos hidráulicos, ésto explica el interés con

que ha sido y es estudiado el presente problema, ya que es uno

de los que más corrientemente se utiliza., debido a que los em­

balses hidráulicos suelen estar en lugares bastante alejados e

inascesibles de los lugares en los que esta, energía es trans­

formada, distribuida, y utilizada•

Asx el agua, es conducida desde su lugar de almacenamiento

a la zona de transformación (central eléctrica) mediante cana­

les que pueden ser abiertos o escavados en roca corno en el ca­

so presente, estos canales cerrados pueden presentar problemas

de golpe de ariete en las diferentes operaciones de la central

(apertura, cierre, cambio de potencia etc#), por lo que al fi­

nal de ellos y antes del conducto final (penstock) que conduce

el agua a la turbina, se coloca una chimenea que pone en comu­

nicación el agua o bien con la atmosfera (chimeneas de equili­

brio) o bien con una cámara de aire a presión (cámaras de pre­

sión) •

La existencia de esta chimenea,- si bien reduce el efecto del

golpe de ariete en la zona entre el embalse y la chimenea, pue-

de dar lugar a oscilaciones inestables en masa,, del fluido del

conducto y del nivel de la chimenea• Se sabe que el sistema es

estable para flujo constante en la turbina, y para apertura coxis

tante del penstock, asi como se conoce la posible existencia de

inestabilidad en el caso de potencia constante (7) (8) (14)«

Es más se sabe que fijadas todas las demás características

del sistema, hay un área límite de la chimenea (Área de Thoma)

por debajo de la cual el sistema no puede operar con potencia

constante, como quiera que la realización de la chimenea es tan

to más cara, cuanto más grande sea su área,, hace que el cálculo

del Área de Thoma de un sistema deba ser lo más exacto posible,

si ¿sto se une al hecho de que pueden presentarse inestabilida­

des para áreas superiores a la de Thoma cuando las perturbacio­

nes al sistema alcanzan un determinado valor (esto es debido a

la existencia de un ciclo límite inestable que rodea la solución

estable; Evangelisti (10) Marris (16)), llegamos a que debe ha­

cerse un estudio exhaustivo cerca de la zona de cambio de esta­

bilidad*

Pasaremos pues al estudio del sistema dibujado en la figura

(1#1) con chimenea abierta, dejando el estudio del que tiene cá

mará de presión para el Capitulo 4*

2.~ Ecuaciones

El sistema en estudio se compone de un embalse, en el cual

suponemos que el nivel de agua se mantiene, constante en el tiem

po de operación, un conducto de descarga de sección constante al

final del cual hay una chimenea de quilibrio, de la que sale un

nuevo conducto (penstock), el cual lo supondremos lo suficiente­

mente pequeño para, no tenerlo en cuenta, y que descarga en una

turbina, que esta dando una. potencia constante W al generador

(Figura (1.1))

Wúo-el ¿ e l emnba.ls<

FIGURA (1#1)

Además en la base de la chimenea se supone que existe un a—

gujero que restringe el paso de liquido de la chimenea a su ba­

se y viceversa,, el efecto de este agujero es beneficioso como lo

han mostrado varios autores (9) (20), pero tal efecto cerca del

límite de estabilidad no ha sido bien estudiado, por lo cual se

incluye aquí.

Si fijamos los valores del flujo a la entrada de la turbina

(Q) y de la presión en ese mismo punto conoceremos el valor de

la potencio, que da la turbina. Si mantenemos constante la ge orne

tría del conducto que va de la. chimenea, a la turbina y el cala­

je de las palas de esta cuando este se pueda variar, la presión

y el flujo vendrán determinados por la altura del agua en la chi

menea y la velocidad en el conducto y en la. chimenea, por tanto

la potencia, que da la turbina instantáneamente estará determina

da por la altura de la chimenea y la velocidad en el conducto y

en la chimenea.

Para mantener esta potencia constante existe un sistema de o

control que generalmente actúa sobre la geometría del "peristock"

o sobre el calaje de las palas de la turbina (turbina Kaplan)^ de

manera que el gasto a través del "penstock" varía hasta adecuar­

se a la presión que hay a la. entrada de la turbina, para que la

potencia que da ésta sea constante.

La variación de la sección se suele hacer de acuerdo a la va

riación de las revoluciones por minuto de la turbina, o a la va­

riación del voltaje y la frecuencia de la corriente de salida en

el generador (15), o incluso esta variación puede estar ligada a

la altura de la chimenea como en algunos modelos experimentales

(16).

En todo caso para este capítulo supondremos que el tiempo de

respuesta de todos estos sistemas de control es lo suficientemen

te pequeño como para considerarlos instantáneos frente al tiempo

-1.4-

característico de operación del sistema*

Además supondremos que este tiempo característico de opera­

ción es mucho mayor que el característico de ida y vuelta de

las ondas de choque en el penstock, que se producirían en el ca

so de haber go3-pe de ariete por un cambio brusco de las condi- .

ciones del sistema (cambio instantáneo de potencia)» Con todas

estas suposiciones tenemos:

(i) Ecuación de la. cantidad de movimiento en el túnel (Embalse-

chimenea) • Se considera movimiento unidimensional:

Se ha considerado que puede ha/ber velocidades negativas en

el túnel, con lo que las perdidas serán proporcionales a v\v\ »

Si tenemos que la sección del túnel es constante, entonces v no

depende de $ (distancia desde ffi?! a la sección considerada) y

al integrar (1#1) entre "i" y fS1!f obtenemos:

/ ) L ^ + (P+P^\^?^)r--/\ l5vWl (-1.2)

Al aplicar en el embalse la ecuación de Bernoulli entre la

superficie y la entrada del conducto

( p 4-p § V\) L 4- ~ p - p A Covx V > O

C p 4 . p ^ U ) L - pe, con V < 0

Y en la chimenea, teniendo en cuentaque las velocidades son

muy pequeñas y que las perdidas son despreciables salvo en el es

trechamiento de la base de la chimenea:

-1o 5-

(1.4) ( P + J ^ M z ¿ ^ Cp4J3<3W)d cosa V > 0

. Donde R es un coef ic ien te de

perdida en e l o r i f i c i o (que

puede v a r i a r de va lo r absolu-

M. ¿«i £.

FIGURA (1.2

to cuando la corriente es ha­

cia arriba o hacia abajo), que

depende del área de éste, del

1 tipo de movimiento (laminar o

turbulento), de la forma.de la boca etc« (18)#

Pero normalmente k va a permanecer constante ( asx se conside­

rará, incluso en el caso de que va.riase con el sentido de la. co­

rriente)* " ' •

Sustituyendo (1.3) y (1*4) en (1*2) y simplificando se obtie­

ne

¿ Jt " L ^ ~ ^ + T ^ " + z i : a t U t i ( 1-5 )

habiendo tomado como altura nula la del nivel del embalse y la Z

positiva cuando el nivel de la chimenea está por debajo del que

tiene el embalse (X es un coeficiente adimensional de pérdidas

en el conducto y D es una longitud característica de la sección

del conducto (18)) C

—1 • 6™

(ii) Ecuación de continuidad en la-base de la chimenea

p \J (\T i masa que entra

-p (á_5. /\¿ : incremento de masa en chimenea

ü Q : masa que sale

Obteniéndose al simplificar

at" As A6 . ( 1 - °

(iii) Ecuación de la energía en la turbina,

U/-- V2 Q (PT- ^) (1.8)

Donde ^ es el rendimiento de la tur-bina y PT es la presión

total a la entrada de la turbina que la hallaremos aplicando Ber

noulli entre el punto "4" (figura 1*2) y la entrada de la turbi­

na,

y la ecuación (1.8) queda

w- « z Q ^ g C H - a - ^ ^ ^ ci.9)

y supondremos |?~{?o (constante, aunque en general b~y(®)).

Las ecuaciones (1.5), (1*7) y (1.9) son las necesarias para

resolver el problema•

Utilizando las siguientes variables y parámetros adimensio-

nales:

-1.7-

5 ~ \l 2^ M v ; 5 = -!r ; ^ t H VI I {=.

<*- = Q

í \¡S H f-^-A

Cü- w _ 2. ATL . M^.^_Lli! ; í^¿ + AL 7 A "

Se tiene de (1.5), (1.7) y (1.9)

(1.10)

que se pueden simplificar eliminando q

¿K. ó z. = - ^ ^ 5 + / ü |

e cu i-5-y4^tl

^

(1,11)

Estas ecuaciones son válidas siempre que:

es decir para 2. < 2^ , pues "Z~£¿ significa que la chimenea es­

tá vacía#

3»~ Soluciones Estacionarias"

Se obtienen haciendo nulas las derivadas con respecto al tiem

po:

-1.8-

(1,12)

La ecuación (1•12) ha sido representada dentro de los mar­

genes de validez en la figura (1.3) ( para Co^Oy para g>s 0 ,

puesto que para que las potencias sean positivas deben de ser

las velocidades positivas en el túnel)• Si hiciésemos funcio­

nar la turbina como una bomba, entonces:

€ . - -Gü S> Cü-CoCi + % ^ Cco^ £ o C O , C O ^

En la figura (1.3) se observa:

(a) No hay solución estacionaria para co > —j=~ (Es decir que

el salto puede dar potencia en régimen estacionario hasta

un límite máximo)•

(b) Una sola solución para co~-^~. (Hay una sola solución

que da la máxima potencia, se da para ^o~TnT )

(c) Dos soluciones para 0á CXJ <^-=-(En la primera,la veloci­

dad en el túnel es más baja y la altura en la chimenea es

más alta, porque las pérdidas en el conducto son más bajas

al ser la velocidad menor, sin embargo la segunda solución

no tendría sentido para valores en los que g0 =• D > ~Tj~

porque en estos casos la chimenea estaría vacia, y esto en

el supuesto de que -5~~ > -J~ , porque si ~*~ ^ ~a~ n°

habría más que una solución estacionaria para todo co que

•1.9-

cumpla O á Oü <C \j~¡ U ~ |p. )•

(d) En el hipotético caso de que co < 0 solo habría una solución

válida, con £D< 0 .

4«— Estabilidad de las so3.uciones estacionarias

Se estudiará el comportamiento del sistema alrededor de la,s

soluciones estacionarias (£0 > So )> suponiendo pequeñas perturba­

ciones alrededor de estaos soluciones estacionarias.

En primer lugar hacemos el cambio de variable

5 - 5 ~ So

¥ - l - €o que a l suponer £ o > 0 , So - €o y \%> l?l<l€ol

~\

^ S~ - _ ¿L -a , ^ f o p- , d t

€go d s \dS

4-

4-

~/

(1-13)

y tomando la' parte lineal que es la que domina con pequeñas per-

turbaciones alrededor de la solución estacionaria

di d-ZL

f -

-2-€,

L — e - A (1.14)

-1.10-

Si suponemo s £ 0<0, 5o =- €o y \ € l <\ ío\

41 = ^of+S + ^ V ^ I l a t l *\

ds-a* = -££-l- e

+ e € i+€í i + S i -s -^ fóH

^> O

(1.15)

y linealizando

(41 ]

41 .6* J

2^

L

"=>o

- €.

[g

= A' f"

s (1-.16)

Para estudiar la estabilidad de las soluciones estacionarias

halladas en la sección anterior, hallamos los. autovalores del pro

blema lineal asociado a cada una. de ellas, y si los dos autovalo­

res son negativos entonces la solución es estable y si algún auto

valor en positivo la solución es inestable.

El polinomio característico de A es

X*- TV (A) X -V- A (A) - O

donde: TV (AV traza de A =• - 2 0 4- fLÜLe^

A (AV determinante de A - £ - Z,€ 5?

y e l de A' es

con:

A2- Tr(A ' ) X + A(A") = 0.

T r (A ' ) = 2 g 0 + ^ Í | T

-1.11-

A (A1 ) = £ + 4|||

Í5vcN

y las soluciones serán

\-_ J^±^^f-&W

Las situaciones que se pueden presentar son (2) (11) (13)'

(i) Si A(A)<0entonces A¿ • Áz~ A(Aj< 0 f Ai y A2 sorl reales,por

que (LlliAl) -A(AN)>0 y de distinto signo, con lo que (£c, 5o )

es un punto inestable del tipo llamado "puerto" en el diagra

ma de fases del sistema.

(ii) Si A ( A ) > 0 N, T r ( A ^ < 0 , entonces Re(A^Oy^aC^O,

con lo que el punto es un extractor en el 'diagrama de fases•

Siendo además nodo si:

o espiral si

(TiJA)f - ACÁ) <-0 z

(iii) Si A ( A ) > 0 y TrCA")>0, se tiene

que es un nodo inestable si

y un punto espiral inestable si

(TrL^i) z_ A(/V)<0 -

(iv) Si A (A) > O \j Tr(A)= O en teoría lineal el punto se­

ría un centro, pero en la ecuación general no se podría, decir

-1,12-

a priori»

Ahora bien nosotros tenemos

( I ) A ( A ) = 6 - ^ § > ( c o n 0 S < £ o < \ | ^ < O

como £ > 0 entonces A(A^ = 0 para g0- --= ( O J = - ^ = )

y. ACA^X) cuando 0 < § o ^ ^ y A ( A } < O p a r a -^ < £0<-1

Y A (A') v^ _ 4 4 3 1 ¿ e

COV\ g 0 <. O

por lo tanto A (A') > O V £ 0 < O

( I I ) TV ( A ) - £ 0 2-U-lll i-%

(con O ¿ £ 0 < \ | ^ < i ) ^ .

y entonces

T r ( A ) - 0 para ^ - O ^ p a r a a~2U-g)

T r C A ) < 0 para 6 < 2C-l-§*)

T ^ C A ) > 0 para e > - 2 - U - g o )

Y T r (A') -- g 0 - £ ± ^ X ¿ ~ €o") < O (con € o < o )

<"*> Bis w = cT ^ f - ACM = ? ; ( ^ - i f - e C ^ )

con o < ^0<\|7~'< i • Resulta entonces

De donde t>xs(A^O para '

-1.13-

para Co > -=r como A OV) < 0 el discriminante es mayor

que cero. Y en la zona 0££0<-4=- tenemos

Oís (A) >0 con 0<e<^ i=^^C(4-2^)-\/T¡^cT^iF))

DrsCA^O con Gy< fe <fe2-- 2 a ; t ^ ((Mgo^+^a-^ü-^))

So

D i i (A1) > 0 t o n • 6 > feí

siendo t)í<; (A1) - 0 para

resultando que para ^ ^ 0

DXS(A')>O con o<£<<i^ ?í±±&5((i+2^_\/á+iiF)u+£j) So

bis (A') < O con £lCG^^-^^(Ci+2^)4-\í^^"ÜH?))

DisCA')>0 cov G>£.'¿

En la figura (1,4) se.han dibujado todas las curvas que repre

sentan Tr(A>0, A(A>0 y D i S ( A V 0 para 0<k%D¿L±r

(en el cual 0 co <c —^~ ), ya que para £</> 7f * el punto correas

pondiente a cada co es un punto puerto y no cabe distinguir otraa

clases. Para ^ o < 0 se ha dibujado TrCA')-0, ACÁ1)-0- y

Ms(A')-0 .

-1.14-

En dicha figura (1#4) se pueden distinguir las siguientes zo»

ñas:

(A) cu > —%===- no hay solución estacionaria

(B) ACA^>0 ) TrCAVO c o n t>ÍsM>0 que se tiene para

o < e eá

significa que la solución correspondiente a la primera rama

positiva de la figura (1.3) es un nodo estable.

(C) A(A^)>0 ;Tr(A^<cO con t>ís(A)<0 que es para

Corresponde a l a zona en l a que l a primera solución con Go>0

es ua punto e s p i r a l e s t a b l e .

(D) A ( A ) > 0 ; T r ( A ) > 0 con " D i s C A V O que es para

0<*»Hk

En este caso la primera solución para oo > O es un punto es­

piral inestable.

(E) A CA) > 0 ; TV (A> > 0 con t>ÍS (A) > O se tiene c on

-1.15-

Cuando l a primera solución para/ üú>0 es un nodo inestable*

(P) t M s ( A ' ) > 0 t s e t i ene con

La solución que hay para oo<:0 es un nodo e s t ab l e •

(G) D i s C A f ) < 0 , se t i ene con

e ; < e < £'z

La solución que se tiene para G ü < 0 es un punto espiral

estable•

Se observa que el estrechamiento en la base de la chimenea

no interviene para nada en la estabilidad estática de las solu­

ciones estacionarias del problema.

-1.16-

(A)

IGIJRA ( 1 . 4 )

C A P I T U L O 2

POTENCIA PEQUEÑA FRENTE A LA MAXIM DE OPERACIÓN

!•- Introducción

Habíamos visto en el capítulo anterior que la potencia adi-

mensionalisada en función de la velocidad estacionaria adimen-

sionalizada vale'

Poniendo la ecuación en función de variables dimensionales

La energía total sacada del volumen de agua N/J- será (supo,

niendo que el nivel de agua en el embalse se mantiene):

_ W V/r _ fe0p6 H VA- , . J__„z\

En esta ecuación se observa que la energía total que se pue

de sacar de un volumen de agua V T es tanto menor corno mayor es

la velocidad del régimen con el cual se extrae dicha energía» A

sí contra menor sea la velocidad en el túnel mayor es la energía

que se extrae del embalse por unidad de volumen, es por ello que

en general conviene operar con potencias mucho menores que la ma

xima posible ( C O m — 77^ ) t £sto viene reforzado por el hecho

de que para velocidades más pequeñas el límite de estabilidad se

tiene con áreas menores que para velocidades mayores, ya que

de donde

A « " - T ^ T Í ? *(2-1) 2 ^

-2.1-

Supondremos por tanto que é>D <C< i => co « i *

2.- Estudio cerca de la zona <C~0 con ¿L> 0

Para este estudio emplearemos .un método de escalas, múltiples,

suponiendo que cerca de los puntos de cambio de estabilidad (£o-0),

que en teoria linealizada son centros, las soluciones son perió­

dicas o muy cercanas a ellas, con dos tiempos característicos, uno

•el periodo de estas soluciones, que viene dado por él de la solu­

ción de ecuación linealizada en primera aproximación, el segundo

tiempo es el característico de variación de las amplitudes de ta­

les soluciones cercanas a las periódicas, en'el transcurso de un

periodo• Este segundo tiempo cerca del punto de cambio de estabi­

lidad es mucho mayor que el primero y es por esta razón por la

que en estas zonas es posible emplear los métodos de escalas múl­

tiples (4) (5) (17)/.

Tenemos ahora las ecuaciones (1*11) que estudiaremos alrede­

dor de ( £¿, 5o ) * ( £o* €^)t por lo tanto haremos el cambio f fj-§0, •

5 - 5~So * teniendo en cuenta que aqux ^ ~ 5 + o puede ser nega

tivo, queda entonces:

+ ¿-£ i-<£-*-/* M I

-2.2-

Supondremos ahora que £0~ S < < A f es decir estamos a distan­

cias del orden de S del punto de cambio de estabilidad en el pía

no de los parámetros (é,<-o), puesto que co - £o^~§o^~ €<>•

Buscaremos un desarrollo asintótico de las soluciones cerca­

nas en orden de £ a la solución estacionaria:

£ - S ^ 4- S2vj¿+ —

Estas aproximaciones asintóticas cumplirán:

"3 * dr

.2 En (2,3) no aparecen términos de orden superior a & , si elimi­

namos los términos de orden superior a £> , tenemos:

a*. A

ecuaciones que tienen por solución general

BJL - \T£ (- 6 seva v[£r + A eos \fe O

cuyo periodo es ¿=I1 , que es al límite al que tiende el perio­

do de las soluciones cuando 8—^0 ; por tanto cerca de la zona

de cambio de estabilidad podremos suponer que el periodo es de

la forma ~T~- 4^- 4- S T ^ — , y para que el periodo fuese siem

pre T--?=J? deberíamos hacer un cambio del tipo X - Z (i4-Sx,4-~),

donde Xi lo determinaríamos de forma que el periodo obtenido pa

-2.3-

ra las soluciones en las siguientes aproximaciones sea -==- , si

además suponemos que la determinación de la amplitud del ciclo

limite se producirá en segunda aproximación, la segunda escala de

tiempo deberá ser x -Z.& •

Se puede poner entonces

? ^ £ vfi<*/>0 + S ^ 2 C x / x ) * —

5" - £ ^i Cx/X) + ¿^¿Cx,^ + —

y las ecuaciones (2.3) se transforman en

g Ijü + s2 ( %k + x, SJH + |a i) = & 2 l + &H z* +

en primera aproximación obtenemos

3x - £<

^ - - - ^

que teniendo en cuenta que 2.A - "2, Cxyx) e \jA —\(^ CX/X^sus solu­

ciones serán del tipo

\/A - ACx^ se>n >fl x + B Cx ) cos.NÍe x

2JL - ví& A Cx) eos vle x - ÍG & OO seva \fe x

Estas soluciones son armónicas en x^como era de suponer ya •

que corresponden a las soD-Uciones de la parte lineal del proble­

ma en el punto de cambio de estabilidad, que corresponde a un

punto centro en el que las trayectorias son elipses, estas solu-

-2.4-

ciones son válidas en primera aproximación cerca del punto de

cambio de estabilidad, si bien hay que tener en cuenta que la am

plitud de estas oscilaciones puede variar con la escala larga y,

y dependiendo de que las amplitudes medias crezcan o decrezcan

con la escala larga serán espirales crecientes o decrecientes,

pero también puede ocurrir que la amplitud media se mantenga en

la escala larga., en ese caso estaríamos ante unas oscilaciones

mantenidas en la primera y en las siguientes aproximaciones?has­

ta aquella en la cual se determina la' amplitud que se mantiene

constante en la escala larga, estamos pues ante la primera apro­

ximación de un ciclo límite en el plano de las fases, que bifur­

cará del punto de cambio de estabilidad* En el presente caso ne­

cesitaremos acudir a la- segunda aproximación para determinar la

amplitud media de la solución periódica que tenemos en primera

aproximación y que se mantiene constante con la escala larga•

Asi en segunda aproximación tenemos

r Sx I 3x I I (2.4)

Sustituyendo los resultados obtenidos para \|1 y *2A se tiene

un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, cuya parte horno

genea es exactamente igual que el sistema obtenido para \¡¿ y ^

en primera aproximación* Deberemos imponer ahora condiciones de

periodicidad en x a las soluciones del sistema, para ello apli-

-2.5-

remos los resultados obtenidos en el Apéndice 1 en el cual se

dan condiciones de periodicidad para, las soluciones de un s is te­

ma de dos ecuaciones lineal y no homogéneo. En este caso tenemos

que (empleando la notación del Apéndice 1):

íL ( x ) - - x¿ (\fe A eos V&x -\fé B sen Í£x) - A s e v \ ^ x -G> eos \fex +

+ i - ( l + A s e n í i x + & <ZQSÍ€:Y;S)\4+A s e \ A ^ x + G>eos\íéx\-

- y U e 1 ( A sev\ \fex + ( i c o s { e x " ) l A ^ e n f e x + 6 c o s < e x l

f^Cx) =. v A ¿ C A s e n \Tex + G> cos\Té^ , )+*fé(C)Se\aíév-Acos^x ' ) +

+ € V - A eos \íéx - <£Vz- G> s e n V&x

A *SA O ^ & donde A = 2J± w & - - T ^ T

Además:

¿x -0 ; A = A ; i f ^ - e . ^ v ; 2 - <£

y como 2_ i / lo i ^ 3.^ b_j según el Apéndice 1 son los primeros

términos del desarrollo en serie de Fourier de f^x) y f2(x),

tendremos (apoyándonos en resultados del Apéndice 2):

a j - x l V ré .e>-Á-JL yu£ 2A \í/?+e? - 2 A con AHB 2 < i

2 . ^ Xx \íe G> - A - JL yu e l A \/A*+ B2 -

_ ? / , _ ?=. ^Y- ro<-__L_ . _ ( 7 + _ ! - >\ÍA2+GM ") A con A H & ^ I

b ^ - x ^ A"G>-^-y^e2&\í^^-2.B co^ AN-tf <£1

bA =• -y, Ve A -fe - ^ / ^ S^+tf "\

-ZCi-% ^ c o s ^ ^ U - . ^ ^ ^ T ) ^ ^ ^ A

-2.6-

Ahora bien para que (2.4) tenga soluciones periódicas debe

cumplirse

ex b d -vv< a i -v/3> Wt =.O

ex ax - K bA +/i aíi = o Resultando •

2 € xA B - 2fé A - J ^ y ¿^ A\Rítf •+- e?AA-2\ÍI A = 0 aov\ K*&<{

2 e ^ A + Z l é 6 + | : y u e^&vltfíá*- e 3 / i B-v^ S = 0 ÍTV

2 e x, £ -2\fe A - - £ - / * e.54A\ÍA^ + e3'2A -

2^1(1-^ orcos-¿^ +^U + \CS^1)A=0

2fe v, A +2^S + ^yaé5^ÍM1-fc4&+ 3TÍ

+ Z ^ ( l - - ^ ^ c o s ^ 4 | f ( 2 + >if^6MlB-0

cov\ Al+S^i

-n

Combinando estas dos ecuaciones (multiplicando la primera por

-A y la segunda por B y sumándolas, posteriormente se multiplica

la primera por B y la segunda por A y se suman):

¿Lx 2>TT '

4-z\íé (AVe>*)- O

ZfQ CÁB-BA)-2.ex,CA%G>') l c¿m (A+eVl

-2.7-

Vcoví A2-V6^i

¿A* 3TT/

Si hacemos el cambio A Ser» tffcx-t-fécosféx - C eos (tf£x + M5) ,

tenemos C ' ^ V A W y tg H> = - -A-

obteniéndose las siguientes ecuaciones:

(2.5)

Donde:

f Ce)-- á

íCcW

2. i z i

Con C'< 1

Teniendo en cuenta que C representa la amplitud media de la

solución en primera aproximación del problema (2.2) cerca de £o-0,

la primera ecuación del sistema (2*5) representa la variación con

la escala larga de dicha amplitud media y la segunda es la varia­

ción de la fase de dichas soluciones en primera aproximación en

la misma escala. Si queremos por tanto que: primero esta fjase sea

constante en la escala larga (periodo constante e igual a ~!í- )

debe ser Yx-0 y con ello M -cte y segundo, la amplitud media C sea

constante con la escala larga,representando entonces la amplitud

media de un ciclo límite. Esto es: *

dLC SiX

^0

-2.8-

Es decir

3TT/ 2

Esta ecuación tiene la solución C=0, que corresponde a la solu­

ción estacionaria alrededor de la cual estamos estudiando, el

comportamiento del sistema.

Las otras soluciones corresponden a soluciones periódicas

que cumplen

rcc)^^xx/A &Zc -§ +KO-0 (2.6)

Esta ecuación nos da de manera implicita 0~C(€fju) f que esta di­

bujada en la figura (2*1), en ella se representa C en el eje de

ordenadas y £ en el eje de abeisas, las curvas además están da-

das para diferentes valores de ¿A » En todas las curvas se obser

va que C se anula pa.ra £--Z ( condición de Thoma) y para é-^^o

siempre que JU-^O • Si yu~0 entonces se anula solo para€-2t Es

más cuando u.40todas las curvas tienen un máximo y cuando >u~O

no existe tal máximo tendiendo C a infinito cuando £-*>oo # El má

ximo para /A^O esta situado en £ m que varia su valor entre 2

B oo 9

Para hallarlo calcularemos 4^* — O • Y como:

(se obtiene al derivar la expresión P(C) - 0 con respecto a 6:)

se tiene que <c^^ 11L.. donde C ^ ^ C C e ^ 4 6 MCU X

-2.9-

Sustituyendo esta expresión en (2*6)

y como resulta que

ccm C^i

tenemos que (al ser f(1) = 1)

f ( C) > i covx d > 1

í CO- i Con £<l •

Si 7 A ^ ^ ^ y CvA^£y

y si yu < | ^ -> C ^ - j | ~ ^ donde

Se observa además que para todo valor de XA existe un ciclo lí­

mite para cada valor de e en el intervalo (2,<x>), y no existe, en

esta aproximación, ciclo límite para 0<it^2, como la solución

estacionaria es inestable para 2 ¿ £ < ^ > el ciclo límite rodea

siempre una solución inestable y es a su vez estable, y esto se

descubre al acudir de nuevo a la primera ecuación de (2*5) que

nos da la evolución de C con la escala larga* Si Cc es el valor

que hace P(CG) = 0 y C > C¿ entonces:

Si C £ {

y si C > i - "

(porque ~ ^ 0 si C ^ i )

y por la misma razón si C ¿- ^c ~==? FÍ.C) ^ O

-2.10-

y como

resulta que

si c > c c xi<o

con lo que Cc corresponde a un ciclo límite estable•

A todo lo dicho hay que añadir algunas salvedades cuando M¿<Í,

ya que si M k <=> entonces

con l o que

*2>^ _ 3TT i £tu* ~ J_£> J(A £VAA O i G x7* O

y entonces ya no es válido el desarrollo asintotico hecho al prin

cipio de la sección, es decir que para valores de u^%> (incluso

para ¿A^S ) no se puede asegurar que exista ciclo límite para A i ' valores de e para los cuales este desarrollo da C^-rió C<v~)*

Esta salvedad se vera confirmada en la sección 4 de este mis,

mo capítulo, en el que se estudia el comportamiento para ucc i y

£ » 1 •

Por otra parte en la zona cercana a e-Z.se observa, para,yu«l,

que C varía muy rápidamente con £ , e incluso que en ju-0 sube

con pendiente vertical, conviene entonces estudiar más exactamen-

te lo que pasa cerca de 6^2 para ju« i , así se ha hecho en el

Apéndice 3> en el cual solo se estudia la existencia y amplitud

~2,11~

del ciclo límite, debido a lo engorroso del cálculo que este lí­

mite de parámetros conlleva. En los resultados obtenidos en el

Apéndice 3 se observa que para k\c^i existe "una bifurcación que

para julo primero va hacia la derecha, después gira a la izquier

da llegando a zonas en las que incluso G < Z (figura A3-1) y pos­

teriormente cuando en el ciclo límite existen zonas en las que

la velocidad del túnel se hace negativa, gira de nuevo hacia la

derecha para empalmar eon la solución dada en esta sección (si

u-0 la bifurcación inicialmente va hacia la izquierda en forma

parabólica, volviéndose hacia la derecha cuando se alcanzan ve­

locidades negativas en el túnel)* La estabilidad de los ciclos

límites por extensión de lo ocurrido en esta sección serán esta

bles si rodean soluciones inestables, e inestables si rodean sjo

luciones estables, así en este caso serán estables los que en la

bifurcación crezcan hacia la derecha e inestables los que crez­

can hacia la izquierda* Queda por comprobar que las soluciones

obtenidas en el Apéndice 3 empalman con las obtenidas en la pre

senté sección* Aquí la amplitud del ciclo límite está dada., cuan

do hay velocidades negativas en el túnel, por £>C (con é*-^ í) y

C vale

Corno en el Apéndice 3 tenemos que LA-£>LXÍ y £-2.4& ei y la ampli­

tud de ^ en el ciclo límite es £ C - S Q-V-S^a?) , se debe sus-

tituir en (2.7) C - á + S~¿L , de donde al despreciar términos de

rz orden superior a o queda:

-/\-.:.- (2.8)

-2.12-

por otra parte se sabe que si e ^ i

eos ( a e!/¿- 5jd eVi+ ÜÜ ¿ ^ - W -e *" ^-e?*" ~ TTe

con lo que

1 r- ^V j . S\Í2 o 3 / 2 - . ^ ^ 2 P S / Z ^

^ ^ - ¿ ^ - ^ - e ~ T I e + T G o e 4

y además

a l combinar es tas expresiones

^ ¡4-e ^ u + ( i + e ) l ) H ¿ e e - | 5 T r ^

por tanto en (2#8) con C ~ £> °¿L queda

y de aqui

• ^ 4 ^ 15TT , ^UZ a \

y en el Apéndice 3 obteníamos

que son resultados coincidentes salvo en el término "3J1. , esto

es porque al calcular el resultado de esta sección se han despre

ciado términos de orden superior a S y estos términos aparecen

en el Apéndice 3 para aproximaciones en £> t que es la que deter

mina cL en primera aproximación, por lo tanto en esta sección se

-2.13-

desprecian salvo los términos en uj y ^i que al estar englobados

enuy G. (que son del orden de la -unidad) aparecen siempre, habría

que acudir por lo tanto a siguientes aproximaciones de la solución

obtenida en esta sección para tener un empalme completo»

Conviene hacer notar como conclusión que si bien el estrecha­

miento en la base de la chimenea no tiene efecto alguno en la es­

tabilidad estática del problema, si que lo tiene sin embargo en la

forma de las soluciones periódicas que rodean la solución estacio­

naria, haciendo que aparezca un ciclo límite hacia la derecha, (fi­

gura (2#1)) que rodea la solución inestable y que es estable a su

vez, y que este ciclo límite se hace cada vez más pequeño al tiem

po que el estrechamiento se hace más pequeño•(M crece), este com­

portamiento que será confirmado en la sección 4 de este capítulo

y en el Capítulo 3> da lugar a comportamientos muy complicados co

mo el que aparece en el Apéndice 3 (figura A3-1) donde para LK^ O

yju¿L<l hay para valores £>2 con \&-z\^< í una solución inestable

rodeada de tres ciclos límites, dos de ellos estables (el más ex­

terior y el más interior) y el tercero inestable (el intermedio)•

3»- Estudio cerca de g0-0 con ^ $ O

Se emplea un método similar al empleando en la sección anterior,

con las ecuaciones (1.11) pero en este caso el cambio debe ser:

porque la turbina funciona ahora como bomba y la solución estacio-

-2.14-

cionaria, alrededor de la cual estudiamos las soluciones, es

(£,!"-£o)» c!on ell° las ecuaciones (1.11) quedan:

<á2

(2.9)

Y en este caso tomaremos ^--S con £¿<i , "buscando soluciones del

tipo

Dependiendo \ff y 2j de dos escala.s de tiempo

Sustituyendo en (2.9) obtenemos

&®Mi + ^(^i.^)^ 8 x 9x dx

4 - -

O * o x d x

Con lo que, en primera aproximación , obtenemos lo mismo que

en la sección anterior

93j_ - •* ^ V A Cx) se\n fe >c~ 4 B G O CO£ (£X c9x

3x J

-2#15-

y en segunda aproximación

3x

§** = 9><

(2.10)

^ 2 9^t ^-j

Aplicando los resultados del Apéndice 1, apoyándose en los

resultados del Apéndice 2, para que el sistema (2.10) tenga so­

luciones periódicas:

2 1

COY\ A2+GT¿ ¿

-7.ÍG Á'-|^e5/iAlí^-£^A-^A-0

~\

A^-er^i ^ / ¿

2.\fifc + ~ yu e ^ e V ^ + 6 1 + € / ¿ B +

. + za u- ^ a

Combinando es tas dos ecuaciones y con e l cambio

A «sewfSx + & eos ( e x - C eos C ^ x +H5")

se t i ene que

31Y y U £ * ¿ Z _ § A _ C l i C < 0

y como quiera, que -fC^O^-0 \ / C ^ 0 r e s u l t a que

- 2 . 1 6 -

3TT / 2.

y por tanto para todo O^O ~3r:<0f e s ^ e c i r Que I a solución

nula es estable para todo valor de// y de £ , y no tiene ninguna

solución periódica que la rodee* Esto es lo que habíamos obtenido

al estudiar la estabilidad, con pequeñas perturbaciones de la s.o

lucion estacionaria, ahora sabemos que además no hay solución pe­

riódica que bifurque desde el punto de cambio de estabilidad £o=0»

4#- Estudio cerca de ^ - O c o n ^ O y g » j .

El suponer £.>> i , significa, tener una, chimenea con un área

mucho menor que la de Thoma, y si bien este caso no tiene gran in

teres práctico, si lo tiene desde el punto de vista teórico, ya

que los resultados tienen gran importancia desde el punto de vis­

ta cualificativo*

Como veremos en este caso existe Lina descripción completa, de

todos los ciclos limites que rodean la solución estacionaria i-

nestable, explicando incluso el comportamiento en las proximida­

des del punto puerto (£p*£p ) con r, > J~ , que existe siempre

en conjunción con el punto espiral inestable .( £0, %l ) con ^0C ~r,

siendo £o y %p las soluciones positivas de co -£0G-£o)Para w > 0 •

Al ser ÜÚCCI podremos tomar £>o~S> <£< ¿ por lo que en primera

P L z aproximación Co~& y ^p - L- ~

Utilizamos las ecuaciones (2#2). en las cuales hacemos el si­

guiente cambio

(2.11)

Con estas relaciones (2.2) queda déla forma:

¿|- ¿H^-c¿^')\é'^v^^y gfél )

as i-S - S -fe y* g^ \as

V (2.12)

El dar este cambio viene explicado por el hecho de que si e.s

tudiamos £>>¿ , entonces como vimos en la sección 2 de este Ca~

pítulo, las soluciones en primera aproximación son:

^ S ¿ eos Cféx +4>)

5 ^ -&\f¡= G sev\ c\íex-vM>)

Como además queremos que c^vdepara poder acercarnos en alguna de

las sonas de la trayectoria al punto puerto,que representa en el

plano de las fases a la otra solución estacionaria, y que está a

una distancia del orden de la unidad de la solución estacionaria,

alrededor de la cual estamos trabajando, entonces:

&C ^

por ello Q'v-£= 7 como "z. <v -j= , al hacer el cambio a variables

del orden de la unidad en la segunda ecuación quedaría un tórmi

no no lineal del orden de £>{& , por lo tanto si queremos que

este término aparezca en segunda aproximación debe de ser:

-2.18-

Sfé _4/o

<£ ^ g<3

y por tanto fj^S^3 > ^ ^ ^^ Y S0^ *

>u se toma del orden de 8 3 para que el término en el que influye,

que es no lineal, aparezca en segunda aproximación*

2/a Expansionamos ahora en potencias de S3(podríamos hacerlo en

potencias de -i- , pero se prefiere hacerlo así por ser luego más

fáciles las comparaciones)

Suponemos también dos escalas de tiempo, la primera del orden

de $> , en la cual el periodo de la solución en primera aproxima­

ción es i^I , la segunda de un orden mayor, porque suponemos que

la determinación del ciclo límite se va a hacer en segunda aproxi

***

macion:

X - S £ 3

Sustituyendo en (2.12) obtenemos:

^ 4 £2/3 r §^i . v 9 ^ , Q*o\ 1

eo\n 2D< {

i-^a

Obtenemos en primera aproximación la misma ecuación ojue en la

-2.1-9-

sección 2 con las variables actuales

3x

(2.13)

Cuyas -soluciones son armónicas enx, y son válidas en toda la zo­

na cercana a £D"=0 con E ^ i , siendo además los coeficientes de los

términos en seno y coseno dependientes de la escala larga, cuya

variación se determinará en la segunda aproximación. Tomaremos co

rno soluciones de (2.13)

s¡0- A g í s e v , v f E x 4 B g ) C O S ( E X

^ - o - A « ) eos ( & * - Q6?) s>ewfe*

En segunda aproximación tenemos

9* ' Xi*8^"á^ ^ 0 ^ o l V ^ \ ^ |

? ^ - - Exj4 _x, 3*a - §*fe 4- JE* cov\ "Z0¿ i

3x J -1 3 x 5x A-io J (2.14)

Estas ecuaciones son lineales y no homogéneas en Zx e ^ , obte­

niéndose el termino forzador al sustituir y0 y t> por su valor

obtenido en primera aproximación* Ahora obligaremos a que las ojs

cilaciones sean mantenidas en la escala corta y que solo varien

las amplitudes con la. escala larga, para ello obligaremos a que

las -soluciones de (2,14) sean periódicas en x .utilizando los re

sultados del Apéndice 1 con A °

f i CO - x-j (e> sew\íe x - A eos t fex) - A s e ó l e * - ^ C O S Í E * -

- ~ (A seiAfGy + B c o s f E x ) lA <LGV\ {&* + B eos (ex | ( d + ^ E * )

- 2 . 2 0 -

Í2.GO = Xi (E (A sen \ fe x + 6 eos \fe-x) + 8 sev\ tflx - A eos lÍEx 4-

4. ^ C A eos ^E x -„.B_£&w ÍE x\___ C o n A i + 6 ^ i

1~ (ACOS(GLX - B seviÍE*^)

de donde, apoyándose en e l Apéndice 2 , l o s primeros coef ic ien tes

del desa r ro l lo en s e r i e de Foiirier de f ¿ (x) y f 2 (x ) s e r í a n :

— r - ^

\(i-CA24&2) - i ) A

?-. o2 cow A +G2<í i

por otra parte como c*-0 , Í2>~ i y W-tfE (según la nomenclatura del

Apéndice 1) para que haya soluciones periódicas de (2.14) debe

cumplirse

ÍE b ¿ - .--l^VEA -2. fe- J4£-^ -|- B^(ATÍBT+

-*-

Ve

c 3TT 1

AH8Z V l-CAl4G>2) -i) B-0

combinando estas dos ecuaciones (multiplicando la primera por A y

la segunda por -B y sumando; y después multiplicando la primera

por B y la segunda por A y sumando) queda el sistema equivalente

cL i&B?)^ i4£e*_I . ( A * + t f ) * + 2E0 i

Á6-6A* 2 ^ ^ ( A V B Z )

V¿RA?+G> 2 ) -i)i

\ cov\ ÁW< i

- 2 . 2 1 -

(Los puntos sobre las letras significan al igual que en la sección

2 derivadas con respecto a x)

Al hacer- el cambio

C eos Cf£x 4 ^ ) ^ A s e n ^ x 4 6 eos \Í£ x

tenemos G - \JA2+&~ y " t ¿^ - - ~ y l a s ecuac iones quedan

COV\ C <L i.

^U-ZtfEx, ] (2.15) ax •

En la segunda ecuación al hacer X^-O, la fase V de la solución

del problema en primera, aproximación se mantiene constante, quie

re esto decir que haciendo el cambio X- ¿(i+OCí/3)) en la escala

corta de tiempos, entonces el periodo se mantiene constante in­

cluso en la escala larga»

De la. primera ecuación de (2©15) obtenemos la amplitud de los

ciclos límites sin más que hacer

-O

Es decir

Ecuación que da C en función de E ylu ? y de la cual es solución

C = 0 porque

i»« c-í l—)- I Í - i ^ ) ' ^ - o

como se puede ver sin más que aplicar la regla de L'Hopital.

~2.22~

Además existen soluciones con c^O que están dibujadas en

la figura (2.2). Se observa en esta, figura que para los valores

de TA menores que uno dado T\1 ? existen dos soluciones periódi

cas para valores de E menores que un E¿ , dependiente dez. y pa

ra valores mayores que otro EzC/0 * además G ^ Ez (cumpliendo*

se además que GJL GKO-Ez U¿i)), para valores de E entre Ej y *E2

no existen soluciones periódicas.

Ahora bien para valores de ZT mayores que JujL existen siempre

dos soluciones periódicas para, todo valor de E#

. Para calcular Ej (p) y E¿Cu) (máximo y mínimo de E en (.2.16)

con a fijo ) derivamos en (2.16) con respecto a C y tenemos

^ c¿-cL) de donde se deduce que íí-fe - O cuando

da

(si descartamos E-O y GL-^oo ) y la solución de esta, ecuación

es G - \ I íiJLiLL (eliminando la solución C S O ) , sustituyendo es,

te valor en (2#16) obtendremos II- Z I ( E ) , que está dibujada, en

la figura (2#3)# En esta figura para cada valor de TU se obtiene

E-i y z f y se ve que para M>M¿- 1 •7846406 no existen valores má­

ximo y mínimo de E, pues cambia el carácter de las curvas y apa­

recen un máximo y un mínimo en C^que según la formula (2.16) al

derivar con respecto a E

-2 o23-

se dan en £-\h=r y como se obseva en la figura (2*2) el máximo es

menor q u e y ü ^ y el mínimo mayor que y lililí , con lo que la ra

ma correspondiente al ciclo límite más interior está siempre por

debajo de C-\l^¿r y la correspondiente al ciclo límite más exte- .

rior por encima de este valor*

Si en el segundo miembro de la primera ecuación de (2*15) sus

tituimos £ = W~JX obtenemos

- r-Z

Esta cla.ro que con (Eyu)r-O se obtiene la curva juryu(E) dibujada

en la figura (2.3) y si üyufe) entonces ^ÍBjJu)<0 y si 2Jc/u(E)en

tonces ¿\C£,/A)> O * 3r cuando &>ju1 que es el máximo valor de

•7A(E) entonces <z(.&,j¿)<£0 para todo valor de E.

Quiere decir esto, que si y U ) ^ y C- \i-• • • entonces -~ <cO $

y como £~y:M^ e s ^ valor que es intermedio entre los dos valores

de G, en los cuales el 'segundo miembro de la primera ecuación de

(2,15) se anula, como tal segundo miembro es.continuo para todo

valor de 2, de C y de R salvo para E=0 y paxa C^i porque la.

discontinuidad en C-0 es evitable, resulta que ^¿cO para todo va

lor de C entre esos dos valores en los que se anula la derivada

(qtie corresponden a los ciclos límites), por lo tanto toda trayec­

toria entre tales dos ciclos límites tendera hacia el más interior.

Además si C'-J-^ con V¿c< i y^>0 resulta que

-2.24-

con lo que si E 4 O ^=p ~r=r>0 para un valor de C<i pero que está

por encima del ciclo límite más exterior, luego por razones de con

tinúidad 4 ^ >0 Para todo valor de C por encima del ciclo más ex-

terior, que resulta de esta forma, inestable, pues toda trayectoria

por encima y por debajo de él se aleja»

Y si C¿<£ A resulta que

y entonces ¿£ o si &^G> luego por razones de continuidad todo

valor de C por debajo del valor del ciclo límite más interior da

un valor de d|l>o y resulta que tal ciclo límite es estable«

Resumiendo estos resultados, podemos decir que si T¿>Mi =

= 1 •7846406 existen dos ciclos límites para todo valor de E, uno

más interior que es estable y rodea, la solución inestable y otro

más exterior que es inestable y es exterior ál punto puerto»

Si ZA <IX ± se tiene que para, todo E tal que .0<^E<:Eá 6 E>E 2

se cumple que q(E,lO¿0 Y eB válido todo lo dicho anteriormente

para los dos ciclos límites que aparecen en dichas zonas, pero

si E esta entre EL y E ¿ entonces 5CB^u)>0 y ocurre que g ^ > 0

para todo valor de C con lo que únicamente existe la solución es

taeionaria que es inestable y el punto puerto.

Vemos por tanto que si bien este caso no va a tener gran in~

teres práctico, si va a resulta-r muy útil.para esclarecer como se

comportan las soluciones periódicas, coincidiendo los resultados

-2.25-

aquí obtenidos con los obtenidos en la sección 2 como veremos

más adelante y explicando el comportamiento de la bifurcación pa

ra valores de IX«1 que no habían quedado completamente explica­

dos ni en el Apéndice 3* ni en la sección 2 con valores de ampli

tud del ciclo límite del orden de la unidad*

En esta sección la variación media de 5 viene dada por C¿ y

la de £ por *> " , con C cumpliendo la ecuación

^ ^ - i t é r 0 ' (2-17) y en la sección 2 la variación media de l~ está dada por &C y la

de S por &Í6.CÍ donde C cumple

3IT /^e*C - § + f C c 0 = O ( 2 . 1 8 )

con

K c O =1 I s i C £ L

haciendo Cz-S<¿¡ , & ^ ^ y u^p £> 4 tenemos de (2*18)

3TT/ 2Cj. & A ^ 4 / C:

^ • • _ Cz

S si tomamos d, <^£> 3 entonces d-~ — - >> i y entonces

*- S

con 3.0 que queda

^ a ^ E ^ - ^ - ^ f O ^ ) (2.19)

Haciendo aliora ° !—ti - C2. y s u s t i t u y e n d o en ( 2 . 1 7 ) quede

- 2 . 2 6 -

que coincide en primera aproximación con (2*19) cuando C ^ &

Luego los dos resultados obtenidos en las secciones 2 y 4 coin

ciden en primera aproximación, cuando tomamos amplitudes del or­

den de £> '3 para la variación de ^ •

5#- Fenómenos transitorios

Las ecuaciones halladas en los apartados anteriores nos" per­

miten calcular dentro de cada, aproximación el comportamiento traii

sitorio del sistema ante determinadas perturbaciones*

Supongamos por ejemplo una variación brusca en la potencia de

salida (Auo ) . Es decir el sistema, que operaba con una potencia

Co-f Acó , pasa a tener una demanda de potencia cu , como en esta a-

proximación Co~^ 0 , el sistema pasa de tener una, velocidad esta­

cionaria de operación en el túnel ^0+Aco a tener £~0 •

Luego si estamos en la zona estable ( G<£2.)9 antes del cambio

de potencias las variables ^ ( 5 tienen el valor

^ - o + A co

Por tanto cuando se produce el cambio brusco las condiciones

iniciales para (2.2) son

£¡ - A c ó A "§"* Acó C A t o + 2 É ^

- 2 . 2 7 -

Y corno A c o ^ ' í ^ - S r e s u l t a , que en p r imera aprox imac ión

vfi --^o eos Cféx+U--Af

De donde se s igue C Co > - C 0 ^

&GÜ

Integrando ahora la primera ecuación de (2.5) con la condi­

ción inicial •Oíd) - Co

X = ¿h __

^ - ^ ^ - t f C « (2.20)

que nos da la evolución de la amplitud media de 6j en función de

la escala larga.

La ecuación (2.20) no tiene validez cuando Cu-O > es decir

cuando se produce un corte repentino de la potencia suministra­

da. En este caso las ecuaciones válidas son (haciendo ou O en

(1.11))

¿s.a ÁZ.

«+sv^|é| e^

y eliminando S

siendo las condiciones iniciales

- o

(2.21)

r-o

-2.28-

y tomando Acó ~£<£¿:i con el siguiente desarrollo asintotico de £j

De igual forma que en la sección' 2 hacemos depender y1 e yz de­

dos escalas de tiempo

X *"£ C H *.&*+ — ")

Sustituyendo en (2.21) las relaciones anteriores

/ 9 x

Con lo que en primera aproximación

de donde

V¿- AGO c,evi í e x: + S c ^ ) co¿\ fex y en segunda aproximación

= 3Vé;B s e v \ í £ x ' - I i l e A COSlíéX -

- ( é 2 Ci+A e2) l A se\A fe x + B eos fé* \ (- Bsev\ m* -vAcosfex)

Para que es ta ecuación tenga soluciones per iód icas en x , de ­

be cumplirse que l o s primeros términos d_el d e s a r r o l l o en s e r i e de

Fourier de l segundo miembro sean nu los . Es d e c i r :

^LféB + J ^ líe U + yue^) NÍA^G5" £ - 0

- 2 . 2 9 -

Combinando las dos ecuaciones y teniendo en cuenta el cambio

C eos C\fé X4-1?) = A sen \íex + 6 eos \fex -queda

4^= o dx

( 2 .22 )

con las condiciones iniciales

¿(en - i ^ _ ^ o (2.23)

Integrando entonces (2.22) con las condiciones (2.23) resulta

c -4* -f 0

i

A - ^ U + , M £ Z ) X

y por tanto C-*0 cuando x-^oo ,

Entonces la solución en primera aproximación de (2.21) es

e . A c ° - eos Cíe t +4>0) + O ( W )

Luego cuando las potencias son pequeñas, si se produce un

corte brusco de la potencia, se inicia una oscilación amorti­

guada cuya amplitud tiende a cero en tiempos mucho más grandes

que el periodo de la oscilación, y esta amortiguación crece pa

ra valores mayores del parámetro LK •

Otro tipo de fenómenos son los que sé presentan cuando la po

teneia de salida (o>) varia con el tiempo de una forma periódica.

-2.30-

Supongamos entonces que se proauce varxaciones de la potencia

CO - COo C 1+ £> coA eos \)~t-)

donde S--^¿i y COo -^oCi-^J) - ^o

Sustituyendo la expresión anterior en (1.11) y haciendo £¡ = - ^ 0

y S= S ~^o queda

(2.24)

En primera, aproximación este sistema es lineal:

y tiene una solución oscilatoria de periodo -=r , por lo tan­

to si U es muy diferente de yfs , el sistema tendrá las mismas

soluciones que las encontradas en la sección 2, salvo que ahora

en segunda aproximación tendrá, una nueva componente de periodo

Pero cuando P2f\Í£ se pueden producir fenómenos de resonan

cia en segunda aproximación que cambiarán la forma de los ciclos

límites hallados en la sección 2« Supondremos por tanto

v -fe. +Sv¡

Expasionamos £ y S en potencias de £ :

Tomando también dos escalas de tiempo

x •=• n C i + £ xs + —"}

Sustituyendo en (2.24) y despreciando términos de orden superior

a £ , obtenemos:

+ S coi e ( eos Cv>-iféy/)x cos^fex -c,enCv¡-(6y()y £Gvt<g*)

En primera aproximación obtenemos ima respuesta, oscilatoria

en x, de periodo =±[-. Vfe -

§ 1 L = - 2 , , T ^ , - A G ? ) s e n vfex-v BCx) eosfex

9 l i=-evf \ 2 , - - fé&Cx} s e n íex + féA(30 eos \íex 8 x

= - e y ,

Sustituidos estos resultados en el segundo miembro de las ecua­

ciones obtenidas en segunda aproximación

§3i -9x

-^ + i -a + ^u^^^%^-^ _sa

-2.32-

Y obligando a que las soluciones ssan periódicas de periodo -11-

(Apéndice 1), (siguiendo los mismos pasos que en la sección 2),

se obtiene:

di

Donde f(C) es la dada en.la sección 2 (2,5) y se ha efectuado

el cambio*

d eos C/e x + ~ A £e>n í e x + 6 eos N(&X

Ahora podemos elegir xL de manera que el sistema" (2.25) sea

un sistema autónomo: •

con lo que

d* 3TT ' 2. Z I

lio ,- " (2.26)

Las soluciones estacionarias de este sistema autónomo son las s,o

luciones periódicas del problema (2.24)

-2.33-

eliminando ^QLH^ y Cos^ de estas ecuaciones:

<ÜÍ£= C^C Z + C j/ie'tí + ÍCO-ffc^ (2.27)

Para V-0 (Ia frecuencia forzadora es igual que la propia, del

sistema en primera, aproximación) se tiene que

Esta ecuación cuando €<Z(zona estable con ¿uv~G) da dos solu­

ciones de C, una positiva y otra, negativa y además si Oos <<c i

entonces C¿< i , con lo que f(C)=1 de donde para u - O

z-e Pero la solución negativa no tiene sentido, porque hemos tomado

siempre C^O , y si 1x4-0 el termino en u para C<cO tiene que

cambiar de signo, en realidad el signo más da las soluciones con

£>0 y H ^ — , y el signo menos las daría con C¿0 y ^ - ^ 9 aun

que habría que cambiar los términos en JU y f(C) para que la so­

lución de (2*27) tenga sentido, coincidiendo entonces ambos resul­

tados pues

_ 2 Cuando Vio y C¿<- 1 podremos poner

£ eos ( ^ y + l ) * - c ! coSC\fex + ^ )

CT = aV e ¿ A C p Z + C5fr/ l 6^ + -4í')

-2 .34-

lo que indica que cuando "p -*>oo entonces C-^O * es decir que

cuando nos separamos mucho de la frecuencia propia del sistema

se vuelve a recuperar la solución nula que se tenía con oo{-0.

Que lógicamente será estable para £¿l2L e inestable para é>2*

En cuanto a la solución obtenida para £>2 , con C¡^0(para

Gu<~0), ha.brá que estudiar las ecuaciones (2026) como un sis­

tema autónomo en su plano de las fases (Cf^)f viendo las so­

luciones estacionarias (procedentes de la solución para cv{~0)

que se pueden presentar (que son periódicas para (2.24)) y su

estabilidad, pudiéndose dar el caso d.e que se obtengan ciclos

límites en el plano (C^M3) que representarían soluciones perio

dicas de (2.24), aunque algo más complicadas que una simple so­

lución oscilatoria en x.

¿OH

FIGURA ( 2 . 1 )

(Las lineas de trazos representan ciclos límites inestables)

H

0.5-4

¡¿.2^53$

0A T" 4

ío LOO 2

FIGURA (2.2)

r ^

-C_A_P_I_T_U_L_0 3

' POTENCIA DEL ORDEN DE LA MAXIU'A DE OPERACIÓN

•1.- Introducción

En el capíttilo anterior se estudió el comportamiento del sis

terna cuando las potencias obtenidas eran mucho más pequeñas que

la máxima de operación, en ese caso, el límite de estabilidad se

daba para G=2 , lo que daba una limitación inferior al área de

la chimenea

ASL = ^~ (3.D

Este área, por debajo de la cual el sistema es inestable, es

conocida como área de Thoma (7) (15) y es la que se obtiene al su

poner que las perdidas en el túnel son despreciables* Sin embargo

cuando las potencias de operación son lo suficientemente grandes,

o la fricción en el túnel lo suficientemente importante es necesa

rio modificar la formula (3*1)> teniendo para el arca de Thoma la

formula dada en (2.1) (también dada en (14) pag* 79)

A AT L 1

Z3H

Cuando la velocidad estacionaria en el túnel es grande (o la

fricción es grande) es más dificil que en las. oscilaciones alre­

dedor de la solución estacionaria, 3.a solución oscilatoria alean

ce valores negativos de la velocidad en ""el túnel, esto hace que

la bifurcación que aparece en el punto de cambio de estabilidad

( & ~2 (i- £D ) ) cambie de carácter, con respecto al que tenía

en el capítulo anterior.

-3.1-

En el Apéndice 3 vimos que en el caso de que las pérdidas en

la base de la chimenea fuesen nulas, la bifurcación en el punto

de cambio de estabilidad se iniciaba hacia la izquierda con un ci­

clo limite inestable que rodeaba a la solución estacionaría esta

ble, y posteriormente cuando el cüo límite va aumentando de am­

plitud-al alejarse del punto de cambio de estabilidad, alcanza

una zona en la cual en determinados momentos hay velocidades ne­

gativas en el timel, con lo cual cambia, la tendencia, de crecimien

to, volviendo la bifurcación hacia, la derecha en forma de ciclo

límite estable que rodea la solución periódica inestable anterior

mente hallada y más posteriormente rodea la solución estacionaria

inestable una. vez sobrepasado el punto de cambio de estabilidad.

Más adelante, como se vio en la sección 2 y 4 del capítulo an

terior, el ciclo límite iba creciendo de amplitud hacia la zona de

los é crecientes hasta, llegar a un punto^en el que volvia a. dar

la vuelta hacia los £. decrecientes; como ciclo límite inestable^

que rodeaba los anteriores y que seguía . aumentando de amplitud

hasta alcanzar el punto puerto a partir del cual el ciclo límite

desaparecía, porque un ciclo límite no puede rodear un nodo o pun

to espiral junto con un punto puerto*

En este capítulo veremos que la situación cambia bastante, es

to es debido a que en general al ir aum.enta.ndo de amplitud el ci­

clo límite va a alcanzar zonas cercanas al punto puerto antes de

que en algunas de sus partes haya velocidades negativas en el tú-

riel. Asi veremos que en el caso de KA ~0 (perdidas en la base de

la chimenea nulas) existirá una bifurcación hacia los £. decrecien

tes que no cambiará de sentido antes de llegar al punto puerto,

momento en el cual desaparecerá.

Cuando ju sea distinto de cero habrá una bifurcación inicial

hacia £ crecientes, que dará la vuelta inmediatamente hacia, las

£ decrecientes, y continuará con la misma tendencia hasta desa

parecer.

2«- Pérdidas nulas en la base de la chimenea JU-O

Estudiaremos ahora el caso con perdidas nulas en la base de

la chimenea, aquí las ecuaciones válidas alrededor de la solución

de equilibrio (solución para velocidades bajas en el túnel) son

las dadas en (1.13) para JU - O

2 ^ + s- H2' °\

s z

^ ¿-sí s i-si 1^1

(3.2)

J Estas ecuaciones forman un sistema autónomo de dos ecriaciones,

que además cumplen todas las condiciones de regularidad suficien­

tes como para poder aplicar el teorema de Hopf (11)»

Sabemos que la traza del problema lineal asociado vale

TrCA^íUt-j^T-2)-

y que se hace nula para é-Z(l-f?j) siendo

-3.3-

Si nosotros hacemos

tenemos que

X- (A) = - S €° i-Sí

y que para £ •= O

\o 3S l- ¿

Es un problema en el cual se cumple la condicción de traías-

versalidad y al aplicar el teorema de Hopf antes mencionado, ve

mos que existe bifurcación y que además debemos acudir por lo me

nos a la tercera aproximación para determinar la amplitud del ci

cío límit'e, por otra parte si existe bifurcación esta es simple,

es decir solo la hay hacia uno de los lados, a la izquierda o a

la derecha, aqui como veremos solo la hay hacia la izquierda ( G

decrecientes) que es la zona estable*

Por tanto desarrollamos asintóticamente las soluciones en po

tencias de yS hasta el tercer término (otro de los resultados del

teorema es que la bifurcación es de tipo parabólico, y al mover­

se desde el punto de bifurcación una cantidad S la amplitud va­

ría del orden devS)

Por otro de los resultados del teorema^el periodo varía solo

en segunda aproximación y el ciclo límite corno ya dijimos se de­

termina como muy pronto en tercera aproximación, empleamos en-

-3,, (3.3)

-3.4-

tonces dos escalas de tiempo que en relación con el tiempo real

están dadas por

(3.4)

Sustituyendo (3.3) y (3.4) en (3.2) y despreciando los tér-

minos de orden superior a o tenemos:

(3.

- * ¿ ^ 2 § » ^ ~ S Nf^ - ^ ^ 2 . ^ ^ +VéB, + S ^ + S ^ 2 3

(3.6) En primera aproximación obtenemos

que es un sistema lineal con la traza nula y cuyas soluciones

no nulas representan soluciones periódicas que rodean a la nula

en el plano de la fases, estas soluciones representan en prime

ra aproximación las soluciones cerca del" punto de cambio de es

tabilidad, "tínicamente estarán modificadas ligeramente por los

términos no lineales que aparecen en las siguientes aproxima­

ciones. Según el Apéndice 1 las soluciones de este sistema son:

-3.5-

\ j i =. ACxO se-y\ k x 4 BCxO C-OS k x

"ZL - C ^ o ACí?> - k GCx)") sev\VCx 4 O ^ B t x ^ k A C x V ) eos Ve

donde k - \j2ií-2>$'¿) (que t i ene sent ido porque estaraos en l a zona

en l a que ^ f f )

x

En segunda aproximación tenemos:

^ - - - - 2 ^ ^ + S 2 - ( A s e ^ K x + B eos k x f —\

9x 3^2 , 2^o 1" (3.7)

4- C2. 0B4KA") coskx) J

Este sistema de ecuaciones tiene soluciones periódicas y de

periodo 2/rr k

siempre, y p0r tanto también en segunda aproxima­

ción las -soluciones cerca del punto de cambio de estabilidad son

periódicas, para hallarlas acudiremos a los restiltados de Apén­

dice 1? teniendo en cuenta que en este caso

c x - - 2 ^ 0 ; /2>-A j r ^ - Z C l - ^ J ) 0 k-\f2C¿^cf)

y obtenemos

^ ~ A0 + Aj sev\ Icx 4- B A d o s k x 4 A2. sev\ Zvcx + B 2 eos 2 K x z z - A'0 4- Cz^oAi-KíSa") sev\ k x 4- O ^ B i 4K Ax^ e o s k x +

4- A'z S e \ A 2 K x 4 G ' 2 , c o s 2 k x

Donde

Ao" r^í -2 \0 2.

A' - i ± M l A^tf (3 .8)

- ^ i ^ £ l l _ A e 5 + J ^ ) C ^ ^ A^ 3Cl-OCl-3^J)

. . 3 .6 -

AL y B¿ son arbitrarios y dependerán de las condiciones inicia­

les, o de las condiciones de periodicidad que se impusiesen en a-

proximaciones sucesivas y como no van-a intervenir en tercera a-

proximación para la determinación del ciclo límite, podremos to­

mar' condiciones iniciales de manera que Ai=BJi~0 , aunque si

quisiéramos calcular una segunda aproximación de la amplitud del

ciclo límite, tendríamos que ir a la cuarta aproximación y ahí

tendrían importancia los términos en A L y Bá y no se podrían con

siderar nulos•

En tercera aproximación obtenernos:

g>>¿ ~ _ 9 r i - C 2 \ w i_ ->r_ -> J_ ^ o , •>-> -^_ J _ 2 ^ O _ _ ^ 3 ^ = -m-S.1)» + 2í„-a3 + 1 % *».** +pry ~2. *=i

y sustituyendo los valores de ^ J ^ J \/2 y 2¿ obtenidos anterior

mente tenemos una, ecuación lineal no homogénea én NJ3 y "£3 que tie

ne como columna de términos independientes una función periódica

en x de periodo £ii . Este sistema tendrá soluciones periódicas

cuando los primeros términos del desarrollo en serie de Fourier

•3.7-

de la columna de términos independientes cumpla las condiciones

del Apéndice 1. Así.tenemos que los primeros términos del desa­

rrollo en serie de Pourier de los términos independientes son:

cLj -. - Á - -§£- ¿V 2-^?. A CAZ+ B2) + Xx B +

3 ve i -<^0

a ' ^ - i ^ Á +VCG + iSLíl=ÍS¿) ACA2+ tf) -

b' - - 2 £ 0 B - I C Á + g^oZ (3-4%,*) feCA2ie2) +

(aonae Á- % y 6 » ¿f )

Y según el Apéndice 1 para que existan soluciones periódicas

se deoe cumplir que:

3 o .o-

por lo que sustituyendo se obtiene:

4-

+ _fsiSzñlÜ_ A CAN- B2) + 2 ^ x ^ - 0

^ Ve é H - i f ^ ^ A + - 5 ? ^ * - B + 2. ^ 4 ^ ^ ACA%B2)-•< í

Combinando es t a s dos ecuaciones y haciendo e l cambio

C eos CWx + <4>") - A Se\n Kx +- G> eos k x

de donde C^V/AHG2- y ^ = cxretc; - ^

^o(s -q^ j c ^ ~\

•t^SÍ -L + Jdfil^ji^M¿_ d2

*' ~" ' Xi + ^ 2 K 6 CL-^)d-q¿)K

(3.9)

J

Si integramos la primera ecuación con la condición inicial

C^-Cio) obtenemos CÜCx^o^ ¡7 al sustituir en la segunda se tiene:

No es posible mantener la fase constante en cualquier solu­

ción del sistema (3*9) dando un valor a x¿ adecuado, lo que si

es posible hacer es dar un valor a x^ dependiendo de 0 de manera

que la fase se mantenga constante para el ciclo límite.

Los ciclos límites se obtienen haciendo 4^ = o dx

-3.9-

Por tanto deben ser

£ - O ó c -

Es decir para que la solución sea periódica en x con amplitud,

constante en la escala larga x (ciclo límite), debe ser o la solu

cion. nula o una solución con amplitud \[& \/ y^Qgi clue e s e^ verda--

dero ciclo límite* Representando esta amplitud (que es el valor de

^ para^-0 ; l?(o)) en función de £- €-lCl-(£) para -un 0 fijo se

obtiene una parábola como la dada en la figura (3«1) (curva para

yu-0 ), que nos da idea de corno se produce la bifurcación a solu

ciones periódicas en el punto de cambio de estabilidad» Si quere

mos que ¿fe en el ciclo límite debemos tomar

Xi - -

Para estudiar el comportamiento de las soluciones, integramos

la primera ecuación de (3*9) que es de variables separada^ y re­

sulta.

e*p (- Js * } = -£-*C1-^)

l -

l -2 - 6 ^

siendo

Cuando

tíl£ _ ¿¡a )c^-|^|^)^o d * 2LCl-^¿,

Por lo tanto cuando partimos de un valor de C entre cero y

el ciclo límite, la trayectoria tiende hacia la solución nula que

-3*10-

es estable, y esta solución nula se alcanza en un tiempo infini­

to porque

lim C-*> O ^o i 5 - ^ 0 ^ z

¿-^o¿ c

= O

es decir

Cuando

es

x —^> 001

£ >

44 >0 dx

z

Luego cuando C 0 es mayor que el valor de la amplitud media

del ciclo límite entonces G-±-*><?o y además C se hace infinita­

mente grande en tiempos finitos porque

lim c0

y de aquí

C 2Cl-tf) ,

A la derecha del punto de cambio de estabilidad (paraG cre­

cientes), no existe ciclo límite, teniéndose únicamente la solu-

•3.11-

ción es tac ionar ia que es i ne s t ab l e •

3 # - Perdidas no nulas en l a base de l a .chimenea

En este caso deberíamos emplear l a s ecuaciones (1 * 13) pero

con JU-4- O .

¿ Í U - Z É ¡ O Í ¡ +-S"- ? Z +/x ^ S i ¿S d^ d * c c\-£~

"A

í + S5JL 5 + M ego Js l¿T I +

(3-10)

En este caso no es posible aplicar el teorema de bifurcación

mencionado en la sección 2, porque aquí no se cumplen las condi­

ciones .de regularidad que se cumplían allí* Pero podremos hacer

u tan pequeña que al expansionar asintóticamente las variables,

de la forma que lo hicimos en la sección 2, los términos en u que

son los no regulares aparezcan en tercera aproximación*

Vale entonces la expansión asintotica hecha, en (3*3)* pero a

quí en ves de VS utilizaremos ju como parámetro pequeño, pone­

mos entonces:

í VA*' y^^ y^^Jr"

x = *£ C ¿-4- yiyU^f-- ")

* - ^ u2-

-3.12-

Sustituyendo en (3.10) y despreciando términos de orden supe.

r i o r a ¡x3 :

- -s?^-^^-y^^^^vlí^^M(3-11)

En primera y en segunda aproximación se obtienen l o s misinos

resu l tados que se obtuvieron en l a sección 2 para e s t a s ap rox i ­

maciones, puesto que sa len i dén t i ca s ecuaciones*

\ji - A seviWx 4 fecos Wx

\ j z ~ A0 + Ai Se^Wx + Bi cosWx + Az &ev\2Kx + B z eo s 2vex

^ 2 ^ A'0 + C Z ^ A A - K G J ^ sewvcx + C2^ 0 G>A vk A ^ c o s k * +

+ A(¿ ¿ e n i K x + B ^ o o s l v c x

Donde K =.\]2-G>G£' y A 0 , Az , B z , A'0 , A'z y B^ es tán dardos

en l a s expresiones (3*8)• Por o t r a par te como no van a i n t e r v e ­

n i r para l a determinación del c i c l o l ím i t e en l a t e r c e r a ap rox i ­

mación, podremos tomar Ai=Bi=0»

- 3 . 1 3 -

En la tercera aproximación aparecen nuevos términos (los debi­

dos a las perdidas en la chimenea) con respecto a' los que tenía­

mos en la sección 2:

Imponiendo ahora condiciones de periodicidad en x a la so Ili­

ciones de esta ecuación, resulta que los primeros coeficientes

del desarrollo en serie de Fourier de los términos independientes

deben cumplir (Apéndice 1):

-2-^1^4 ka! + bi=0 1 (3^13)

Los valores de a { , bA , a¿ y b[ resultan ser (apoyándose en

resultados del Apéndice 2)\

a.,-- A - - ^ - i ^ 2 ^ A CAVtf) + - i f ^ G C A W ) - .

-3.H-

- eAA + e¿ 2^

A - ^ ._£oK 6^0 3TT

^4, l- Í¡ * ' * ^T-^T B ~ a " 3 ^ ) a"^o) A«5^.

Sustituyendo en (3•13) y combinando las ecuaciones resultan­

tes de manera que queden en función de las nuevas variables (C,^) t

donde

C~- \/A2+62 \¡

Que son las ecuaciones que provienen del cambio C COSCKX-I-^) =

= A sen le* 4 & eos kx

4. JL¿*zlí¿L_ c*

V, 1(3.14)

Al igual que en la sección 2 no es posible dar iin valor a x ,

de manera que la fase se mantenga constante para toda solución de

-3.15-

(3.14), poro si es posible dar un valor a x ¿ dependiendo de o y

(?j de modo que la fase £ea constante para la solución periódica

que se obtiene para esos valores de 0 y €j • Ese valor de xí es:

*. -Q + m* c H ^ 4 c i-^)/¿ cP -

Donde cTp es el valor que toma el C correspondiente al ciclo

límite que aparece cuando los parámetros valen 0 y ei • Es decir

se obtiene haciendo nulo el segundo miembro de la, primera ecua­

ción de (3.H)

Y (3.16)

(Nota: al ser 0< ^0^-~- , entonces Cl-^o ) A¿-¿¡^) - 0 5 " ^ )

y Ci+Lníj0 -£0^ o} son positivos)

Ahora bien cuando Q± se mueve en el rango de valores

0^ ^ I ^ ^ Í O ? c o n lo valiendo

entonces existen dos soluciones positivas de C que hacen nulo el

segundo miembro de la primera ecuación de (3»14)* luego en este

caso habría que sustituir en (3«15) el valor de C correspondien­

te al del ciclo límite del que se quiere,calcular el periodo,

porque x L es la cantidad necesaria, que se debe poner en el cam-

bio X -"£ (¿ + /XXJ + -- ) para mantener el periodo constante e

-3.16-

igual a -=-2 f así tenemos que si el periodo de la solución ob­

tenida es 231 en la variable x* en el tiempo adimensional real K

su periodo será:

La amplitud de £j en el ciclo límite estará dada por z*£p-É[(0),

donde Cp esta dado en la ecuación (3*16) en función de *0 y

Q ~ €~¿^~5rJ f podremos entonces dibujar, como en la sección 2, el

comportamiento de la bifurcación cerca del punto de cambio de es­

tabilidad, así se ha hecho en la figura (3»1) para, el mismo valor

de £]Q tomado en la sección 2 y para, un valor determinado de ,u£0

con el fin de comparar los resultados con U-0 j ulQ •

La estabilidad de los ciclos límites se estudia con la pri­

mera, ecuación de (3*14), la cual se puede integrar, dando como

soluciones las siguientes:

(i) Para ^i^Cio > la ecuación (3»1b) da dos raices reales y dis

tintas C¿ y C2 , y la solución de (3#14) es

* , - l

Se debe distinguir el caso €.¡-0 porque en ese caso una de las

raices es nula^-O y por tanto queda la solución:

i

ev

-3.17-

(ii) Con Qs~ Qs0 , aquí hay una raiz de (3*16) que es doble C4 ,

la solución de-(3*14) es

(3.19)

(iii) Cuando ^i>e,i0 * (3.16) no tiene raices reales y (3.14) tie­

ne de solución

(3.20) donde

3 Tí <U < * - * # )

R - e . £a-3>ql) 1 <5»^f)

s iendo F - f ^ > 0 porque e i > &io

Además hemos tornado

1'z

C 0 - C ( o )

- 3 . 1 8 -

Tenemos entonces que cuando £j<0 , la ecuación (3• 16) solo

tiene una raiz real .positiva C¿ , la cual representa (figura

(3#1)) un solo ciclo límite a la izquierda del punto de cambio

de estabilidad, este ciclo límite es inestable y rodea la solu­

ción estacionaria que es estable porque:

Si CCCi entonces en(3«14) queda que

cix <o

y si C > Q resulta ^ ~ > 0 • Luego la, solución nula es estable

y el ciclo límite inestable* De la ecuación (3*17) se sigue que

cuando Cid)- Ca <£ Cx la solución nula se alcanza en un tiempo

infinito, o lo que es lo mismo se alcanza en una escala aun más

larga que x# Y si C0>C± » 0 se hace infinitamente grande en tiem

•pos finitos, es decir:

Í3.21)

Cuando 6i^0 la situación es la misma que en el caso anterior

salvo que aquí la ecuación que rige es la (3*18) y que cuando

C-^CXD se obtiene

En él caso 0 < ^ <£ (?10 tenemos dos ciclos límites uno interior

de amplitud C z y otro exterior de amplitud C¿ , cuando C<CZ

entonces Q^L > o f si C Z ¿ C < C. " -=£> 2-^ < O y por d x dtx:

fin si C ^ ^ > 2£>o, con lo que resulta que la solución nula

«ay-

OS inestable (estamos a la derecha del punto de cambio de esta­

bilidad), el ciclo límite interior es estable y el exterior inejs

-3.19-

table. Al estudiar la ecuación (3*17), se obtiene que si CQ<C:L

ó C z <C C 0 <¿-Cx el ciclo límite interior se alcanza en una es­

cala mucho más larga que x (porque para C-^ C 2 > X—^oo ) y si

Co>CÁ ; C se hace infinitamente grande para tiempos finitosv

"siendo x ¿^ el dado en (3•SI).

Si tenernos et ~ e{Q , entonces CS = CZ es decir los dos ciclos

límites coalescen y dan lugar a un ciclo límite que es inestable

por arriba pero estable por debajo, porque si C^CX > —=r > o

y si C > C¿ entonces Ó £ > Q , pero resulta que para C-CiJ^S^-

y además si (T0 <<Ti el valor C-Ci se alcanza en un tiempo mu

cho más largo que x ( x ~*>oo para C ~-> Cx ) y si Ca>Ci , C se

hace infinitamente grande en tiempos finitos, deduciéndose de la

ecuación (3.19) que

Y por £in si et > 8xo no existe ningún ciclo límite y solo

prevalece la solución estacionaria que es inestable porque para,

todo C > 0 ^> jr > O y además C se hace infinitamente gran

de en tiempos finitos, siendo en este caso

XTco

Los resultados aquí obtenidos coinciden con los que se obtie

nen en el Apéndice 3 cuando no hay velocidades negativas en el

túnel* Aquí obtenemos que la variación media de £* es uC (j¿«J)y

C cumple la ecuación

-3.20

como «£-ZCI-%o) -M2, ^i > si hacemos XA£=C5 se obtiene

(despreciando términos de orden superior a 6 - 0 )

(c')2- ^5- A- C' + % C e - 2 . ^ £ 2 ) ^ o (3.22)

En el Apéndice 3 obteníamos que la variación media de Q es­

tá dada por £>C (con ^ 0 ~ S ^ ^ 1 ) .donde C cumple

Donde JU -uK £> y G-2L-& e¿ , luego sustituyendo £>C~C'

queda

(c'f - £ÍL ytt. c 1 + % Cé-2 + ^ £ ^ - O v y 3rr ¿ b

que coincide plenamente con la ecuación (3«22).

4«- Comparación con resultados numéricos

Los resultados obtenidos en las secciones anteriores son vá­

lidos únicamente cerca del punto de cambio de estabilidad, es dje

cir para valores de € cercanos a 2-Ci-r^) , se deben por tanto

extender tales resultados numéricamente •

A título de ejemplo se ha integrado el sistema (1.11) para

algunos valores de £¡0 y LA buscando tínicamente las soluciones

periódicas. Y después se han comparado con los resultados ana­

líticos.

-3.21-

El método seguido ha sido el siguiente: fijados los valores

de los parámetros, se parte con condiciones iniciales í~~ 0 y

5 -5(0) > O (: suponiendo que ^ S ^ ) ) y s e integran las ecua

ciones ("K11-) por un método Runge-Kutta de cuarto orden hasta que

Sj alcance de nuevo el valor cero siendo ^ > Ü , se toma el va­

lor que 5 *fciene e n e s e instante y se compara con el inicial, si

el último valor es mayor que el inicial estamos en la zona ines­

table y £ debe ser menor para que la trayectoria empiece y aca­

be en S-S^ 0)* B^ Por e^ contrario el 5 obtenido es menor quo

el inicial, debemos aumentar el valor de £ •

Asi por un método de aproximaciones sucesivas (se emplea el

de la "regula falsi"), se llega a a justar el valor de e necesa­

rio (fijados los demás parámetros) para que la solución empiece

y termine en S ~ S^0)*

Cuando se prevée que la variación de la amplitud del ciclo

límite con e va a ser muy pequeña, entonces se emplea un méto­

do alternativo que con similares ideas ajusta 5C0) para \nn valor

fijo de € •

En cualquiera de los casos lo que se hace es hallar la solu

ción periódica para, un valor de <£ determinado (fijando los de­

más parámetros), más concretamente hallamos un punto de esa so­

lución periódica en el plano de las fases, esto' es suficiente

para describir la bifurcación de soluciones periódicas, porque

el valor de S^°) está en relación directa con la amplitud me­

dia del ciclo límite• Así si en primera aproximación:

-3.22-

q C eos Cvc*^),

resulta que ^Cü^-^CÍ «

En la figura (3*2a) están dibujadas las curvas teóricas para

u-0 Con £¡0=0.2; 0.3; 0.4, para LK =0.05 con ^ 0 =0.2 y para A =

=0.1 con ^0=0.3, estas curvas han sido dibujadas según las for­

mulas dadas en este capítulo (secciones 2 y 3) en las cuales se

supone ^¿v¿ o

En la misma figura se han reflejado los valores obtenidos nu

médicamente para las mismas situaciones paramétricas (circuios o

triángulos).

Se observa que los resultados numéricos y teóricos coinciden

cerca del punto de bifurcación, separándose los valeres según

se hace mayor. Esto se debe principalmente a que nos alejamos del

punto de bifurcación y por tanto el desarrollo asintotico deja de

ser válido, además el desarrollo teórico se ha hecho para la pri­

mera aproximación de y 5 , y al alejamos del punto de bifurca­

ción las siguientes aproximaciones empiezan a ser importantes

En la figura (3»2b) se han dibujado los resulta-dos teóricos

para ^0=0.05 y M =0, según las formulas dadas en el Capítulo 2

(secciones 2 y 4) y el Apéndice 3, en los cuales se supone ^ 0 « 1,

hay dos ramas dibujadas, la primera para, valores de 5Í0) más pe­

queños que se obtendría de los resultados de la sección 2 del Ca

pítulo 2 y del Apéndice 3> y la segunda para (0) mayores que se

~3^23-

obtendría de los resultados de la sección 4 del Capítulo 2.

Los resultados numéricos se aproximan bastante, aunque se ob­

servan descrepancias algo mayores en la zona de ^co) más altas, que

-se explican por el hecho de que el límite estudiado en la sección

4 de Capítulo 2, era para valores de G >> L 9 siendo aquí G^í •

Finalmente en la figura (3*2c) se comparan los resultados nu­

méricos para ÁA =0»1 con £j0-0.1 con los teóricos de la. sección 2

(Capítulo 2) donde se supone que £*0« í ? la discrepancia puede

ser explicada, porque ^0 =0«1 resulta algo grande.

3.24-

i gCoWO

<H

(Las lineas de trazos representan ciclos linites inestables)

(NOTA*- La representación dada para /¿so-i es válida para todo valor de j**o

ás que leer %& encordonadas y 6~ i"** en abcisas) sin mas que /*

FIGÜEA (3*1) /**

f(o>

o.*H

0.2.-4

( a )

gto)

0.<o-\

oA-{

o.l-X

5Co)

&é H /A- O.'l

o.<í-J (c)

0.1-

3 -€*r

FIGURA ( 3 * 2 )

C_A„P_I_T_y_L_0 4

EFECTOS DE UNA CÁMARA DE PRESIÓN

^•- Introducción

En el sistema cuyas ecuaciones estudiamos en los capítulos an

teriorés, se puede sustituir la chimenea de equilibrio por una cá

mará a presión. En esta situación se presentan nuevas condiciones

al problema de las oscilaciones en masa con potencia constante.

El resultado obtenido para esta disposición es peor que el pb

tenido con chimenea de equilibrio, porque el área de cámara nece­

saria para tener condiciones de estabilidad resulta ser mayor que

el área de Thoma para la misma potencia de operación* Esto no qui

ta sin embargo interés al problema, porque en determinadas ocasio»

nes esta situación puede ser más factible que otras y además la

cámara de presión es un elemento que se presenta, con mayor fre­

cuencia en otro tipo de circuitos hidráulicos (circuitos con acu­

muladores, calderines, etc.).

Las ecuaciones que rigen el fenómeno de oscilaciones en masa,

son prácticamente las mismas que con chimenea de equilibrio, con

la excepción de que en este caso al no estar la cámara abierta,

la presión que hay sobre la superficie del agua no es la atmos­

férica, sino que aquí la presión depende de la altura del agua

en la cámara de presión, siguiendo una ley que se supone en gene

ral politrópica (14) (23). •m

Mantendremos también la existencia de un estrechamiento en la

-4.1-

base de la chimenea, lo que da bastante generalidad al problema,

porque en algunos casos el agua, suele acceder a la cámara de pre

sión mediante un conducto más estrecho que la propia cámara*

2*~ Ecuaciones

El sistema esta representado esquemáticamente en la figura

(4.D

FIGURA (4.1)

Las ecuaciones empleadas son las mismas que las usadas en el

Capítulo 1, continuidad en la base de la chimenea,, cantidad de

movimiento en el túnel y energía en la turbina, la única diferen

cia es que las condiciones de contorno cambian en las dos últi­

mas •

La presión en la cámara de aire varia según una politrópica

de grado n, resultando

C.OY\ v\^a

-4*2-

Donde P¿, es la presión en la cámara de aire en el instante consi­

derado, V^ su volumen y \7o. el volumen del aire encerrado en la

cámara cuando% está a la presión atmosfericao

Como el área de la cámara es fija, podremos poner

con "2o. la altura de la co3.umna de aire a la "presión atmosférica..

Resultando que la presión en el punto ,f1fl es

Pi ±f<% C i j - ^ - -^/>k ^ \ | | | con v > 4

Pi- c^^g c^-^ -ir/1* ^ í l^H- i f^ ccm V<1

de donde queda

( p+J,5 K^ - ^ ¿ -J>^ - ip* ¿|\¿t\ - i ^ con 1

Expresiones que al ser sustituidas con (1.3) en (1.2) dan lu

gar a

P***1 YX (4.1) JD LJC^-^TV

Por otra parte tenemos que en el punto de entrada a la turbi

na la presión total vale:

PT = Pc+j=i CH.-a-^^HH)

-4.3-

que al ser sustituida en (1*8) da lugar a

y>sCi-vy ) (4.2)

Y la ecuación de la continuidad en la "base de la chimenea (1.7)

sigue siendo válida

(4.3) a.t Ac

En las ecuaciones (4*1) y (4*2) se ha despreciado la presión

atmosférica frente a la que hay en la'cámara de presión*

Utilizando ahora las adimensionalizaciones hechas en el Capí­

tulo 1y añadiendo las nuevas variables adimensroñales

S T" •a-r H

obtenemos de (4.1) (4.2) y (4.3)

a*

= — e e + e ^ + € .

oo - ^^-^^^l^h-c i^)

De donde eliminando q

w°» CS-Sr^

~\

a_? - < ^ € ¡ +•• G cu

4-Wi

(5-^r J

(4.4)

-4.4-

3#- S oluc ione s c stac i onarias

Al hacer nulas las derivadas con respecto al tiempo tenemos

(con co > O )

So

^o ^

WA Vi

4> c^^0c¿-£¿) (4.5)

v\n

• Vemos que se obtiene la misma relación entre co y ^c que se ob

tenía en el Capítulo 1# Pero ahora la relación entre la altura de

la chimenea y la velocidad en el conducto es distinta, como se de

duce de la primera ecuación de (4»5)• La relación entre 0 y <T0 da

da por esta ecuación es biunivoca para la zona. <g0>¿rT f que es la

zona de valides de las ecuaciones, ya que al derivar con respecto

a *Zo

^ yr) cx>v\ v\yyí C ^ O - S T )

YH1

resulta que la derivada es mayor que uno para todo valor de S O > 5 T

y además

l i m C So - — ^ ) ^-oo

l'iw ( cr 3QÜ ^ = O O

Lue¿;o tenemos pa ra ^"0>c;_. que

S o ~ vr> CSo-SrT

4 . 5 . .

es una función monótona creciente que alcanza todos los valores

entre-oo y^oo , y por tanto para cada valor de ^ 0 tenemos un

único valor de <r0 mayor que S T Que cumpla

^o - vn ,vi "~ no (4.6) cso-sTy Así dada una potencia de operación ( oo ) se obtienen las veloci­

dades estacionarias en el túnel de la figura (1#3) y la altura

de la chimenea correspondiente se halla al sustituir los valores

de £¡a obtenidos en (4#6)#

Y habrá o no solución estacionaria, dependiendo de que el valor

de cu sea menor o mayor que 3^3

como ya se vio en el Capítulo 1

4«~ Estabilidad de las soluciones estacionarias

Para estudiar el comportamiento de las soluciones alrededor

de las soluciones estacionarias hacemos el cambio

5 ^S-^o

Donde 0 y So son soluciones del sistema (4.5).

(4.7)

Tomando ahora ^ O > o y l^"| <C^ 0 y s u s t i t u y e n d o ( 4 . 7 ) en

(4.4)

g f ^ - £ S - e ^ 0 4 - fe-^o C ¿ ~ 5 * ) (4.8)

W \

4.6-

Y al linealizar alrededor de la solución estacionaria queda:

2-^0 i + YN wn C5«-sT^

Yl-t-i

\A YY1 %o r A + — — — — "i

5 (4.9)

'Resultando que

e TrCA-)-^oC-^. + 7^zC A +- y\ YYI

CSO-STJ v\+i) )

Xuego los puntos de cambio de estabilidad son para £j0~C)

(como en el Capítulo 1) y

•y el área mínima necesaria en la cámara para que haya estabili­

dad es

As = AT L 1 +

Y\ VY1 H n-vl

f H U-ü-O^

1-

•con H

Z3H

^ f vn H vi

v

V

'Deduciéndose que el área de cámara necesaria para asegurar la

estabilidad es mayor que el área de Thoma calculada para chime­

neas de equilibrio, por lo que el comportamiento de una cámara a

presión va a ser en general peor, a estos efectos, que ¿1 de una

chimenea abierta.

-4.7-

Además

que como en el caso con chimenea de equilibrio es negativo para

valores de £*o>-L , y por tanto la solución estacionaria•• corres,

pondiente es un punto puerto, que esta siempre aparejada a una

solución con £0C-T=- , que tendrá entonces AC&) > 0 y será un

punto espiral o un nodo dependiendo del discriminante, y por o-

tra parte estable o inestable dependiendo del valor de la trasa*

5«- Soluciones con potencias -pequeñas frente a-la máxima

Como caso más interesante se va a estudiar él de potencias

pequeñas frente a la máxima de operación, en paralelo con lo lie

cho en la sección 2 del Capítulo 2 para chimeneas de equilibrio

supondremos que co<¿: i y estudiaremos las soluciones a.lredédor

de la solución estacionaria ( 0, ^o ) con ^ 0c<] , ya que la o~

tra solución ( p, £ p ) con ^ p ~ ¿ ~ ^ 4 — *es u n punto puerto

y no puede haber bifurcación a soluciones periódicas en el0 To­

mamos pues £¡0-S «- i y al igual que hicimos en la sección 2

del Capítulo 2 expansionamos las soluciones cercanas a la esta­

cionaria en potencias de S

_ o . (4.10)

Dependiendo \/¿ y ^¿ de dos escalas de tiempo, una más cor­

ta en la cual el periodo de las soluciones va a ser constante y

-4.8-

del orden unidad y otra más larga, en la cual van a ser del or­

den unidad las variaciones de la amplitud de las soluciones* por

lo visto en el Capítulo 2 esta escala es para, tiempos del orden

(4.11)

de -- • Tomamos entonces

x ^ S (por lo visto en'el Capítulo 2 no hacía falta variar la primera

escala en primera aproximación para mantener el periodo constan­

te) •

Sustituyendo (4*10) y (4»11) en (4*4) teniendo en cuenta (4*6)

y (4.5) y despreciando términos de orden superior a & :

"A

4- (i 4-Üo-STj

r»+ l)(S^^+ Vi^l" (4.12)

Si exceptuamos el término en ^ d.e la primera ecuación, que

no interviene en la determinación del ciclo límite, pues aparece

en segunda aproximación y dará lugar a términos cuadráticos en

S€v\(£X y eos Me x , se tiene que las ecuaciones (4^12) son

del todo similares a las ecuaciones obtenidas para \/¿ y Zj en la

sección 2 del Capítulo 2, puesto que haciendo el cambio:

\¿i - ^ i ( L -+ Y> vn feo-Sr}

Y\+i ) con í-l,2.,~

- 4 . 9 -

€' - e <* + -!£%*>

r /*

llegamos a:

¿ ^ + 6 2 C ^ + = S 2 ( 1-^^114^0 + 3x 3;

dx S

Siguiendo las mismas etapas que en el Capítulo 2 se tiene que

en primera aproximación

\fi - C c ^ eos C\Í£' X -t- CxV) !?i = ~fé' Ccs?) sen (tfe'x + Ve*))

Donde C(s?)y *£Cv) son determinadas en segunda aproximación, dando

lugar a:

<=*¿^- Í L / A ' e ' Z G 2 + ^ g -c!fCc)

^-r- - o 1 con

Í ( C ) = ¿ - ^ . a r c o s -L + | ~ CZ-v-^) \ fc r -¿ c5 > J-

f C C ^ i C ^ K

- 4 . 1 0 -

y los ciclos límites que se obtienen para ¿ r - O « est¿m dibu-dtxr

jados en la figura (2,1) con la salvedad de que habrá que poner

^ y /*' n vez de G. y U • Observándose que al ser

u'-- ¿t

los valores de >u necesarios para, obtener una misma amplitud media

de las oscilaciones de . en el ciclo límite, en este caso son ma­

yores que los calculados con chimenea de equilibrio*

Como conclusión se sigue que los valores de área de la cáma­

ra- y de amortiguamiento en la base de la chimenea, deben de ser

mayores con el presente sistema que para la solución con chime­

nea de equilibrio,si se quieren obtener los mismos resultados,

de estabilidad de la solución estacionaria cuando ésta es esta­

ble, y-de amplitud del ciclo límite que rodea la solución esta­

cionaria cuando ésta es inestable*

-4.11

C_A_P_I_T_U_L_0 5

ECUACIONES Y ESTABILIDAD DEL SISTEIfiA INCLUYENDO LAS CARACTERÍS­

TICAS DEL REGULADOR

¿*~* T'r-v-

''?'>,

1• - Introducción

En los anteriores capítulos, al estudiar las oscilaciones en

masa de un sistema con chimenea de equilibrio, se hicieron varias

suposiciones simplifieativas, entre las que se encuentran las si­

guientes:

(a) Longitud del penstock nula o despreciable*

(b) Sistema regulador fiel e instantáneo, manteniendo siempre

constante la potencia de salida del generador.

(c) No se producen perdidas en el penstock*,

(d) Aceleraciones en la chimenea despreciables*

En la práctica ninguna de estas condiciones será totalmente

cierta, sobre todo la segunda, porque si bien la longitud del con

ducto chimenea-turbina (penstock) es apreciable, siempre se pue­

de suponer que es muy pequeña frente a la longitud del túnel em­

balse-chimenea, y también las aceleraciones en la chimenea son

despreciables, pues ésta suele ser lo suficientemente grande pa­

ra cumplir la condición de Thoma, solo en algunos casos (chimene­

as diferenciales) pueden ser importantes•

Con respecto al regulador, tenemos que en la. práctica no es

lo suficientemente rápido como para considerarlo instantáneo, una

de las razones es que un regulador demasiado rápido daría proble­

mas de golpe de ariete• Por ésto la potencia que da la turbina no

es constante, y ello da lugar a que el generador, el cual debo dar

-5.1

una potencia, constante a la red, se acelere o decelere según que

la potencia que reciba de la turbina sea mayor o menor que la ne

cesarla.

En general los reguladores actúan sobre el flujo de agua en

el penstock, abriendo o cerrando una compuerta (o modificando el

calaje de las palas de la turbina) de acuerdo con la variación

de las revoluciones del generador* En otros casos se pued.e hacer

de acuerdo con la alttira de la chimenea, o con el voltaje y la

frecuencia de la corriente de salida del generador, como en al­

gunos modelos experimentales (15) (16)*

2#— Descripción del re.-qralador

El regulador estudiado en este capítulo es de características

hidráulico-mecánicas y está descrito en varias referencias (8)

(20) (23). Si bien no es el único utilizado, el estudio hecho con

él se puede extender a otros ya que posee todos les elementos ñor

males de este tipo de reguladores»

En la figura (5*1) está dibujado esquemáticamente el regula­

dor, especificándose en ella los parámetros más importantes, que

serán necesarios en el cálculo*

-5.2-

ñ

X T

-JL

C<w

JL

•T V

Í=333LL Sn»\ í

1 r

2=0 n—

-»

FIGURA (5.1)

El funcionamiento es el siguiente, dado un aumento (disminu­

ción) en las revoluciones del conjunto generador-turbina, el pun

to C permanece fijo y se elevan (descienden) los puntos A y B,

con lo que se mueve la válvula de corredera y el pistón del ser­

vomotor se mueve hacia la izquierda (derecha) para cerrar (abrir)

la compuerta, asi disminuye (aumenta) el flujo en el penstock y

da menor (mayor) potencia la turbina al generador» Al mismo tiem­

po los puntos E, F descienden (se elevan) y por tanto desciende

(se eleva) el punto C junto con el B, porque ahora es el A el que

sirve de pivote, cerrándose la válvula de corredera»

Con respecto al último párrafo hay que decir que la pendien­

te en el punto E es mayor que en el punto P, asi si e3. servomotor

se mueve hacia la izquierda (derecha), el punto E (y por tanto el

C) desciende (se eleva) más que el F, que es solidario con G, y

-5.3-

entonces el muelle C-G tira hacia arriba (abajo), entrando en

funcionamiento el elemento H (dashpot), que hace que el punto C

se una con el G en un tiempo determinado, el cual se puede hacer

mayor o menor según sea el agujero más pequeño o más grande*

La misión de este último despositivo es estabilizar el regu

lador en operación, sin que sea lo suficientemente "brusco para

que se produzca golpe de ariete* Si no existiese el "dashpot"

(H), al querer hacer la respuesta del sistema, amortiguada y no

oscilatoria, se necesitaría un tiempo de respuesta del servomo- ,

tor demasiado rápido, agravándose el problema del golpe de arie

te (20)• La existencia del "dashpot" hace que inicialmente (al

ser la pendiente de E mayor que la de P) se trabaja con corre­

cciones a las velocidades de operación del servomotor mucho más

fuertes con las pertuh3,c iones bruscas de la velocidad de giro

que con las más suaves*

Para poder describir el comportamiento del sistema de la fi­

gura (5»1), se estudiará el regulador elemento a elemento, para

después conjuntar las diferentes ecuaciones y encontrar las ecua

ciones diferenciales que rigen el movimiento del dispositivo*

(a) Tacornetro de masas

Para poder medir las variaciones de velocidad de giro en el

conjunto generador-turbina, se debe disponer de un tacóme-

tro, aquí se trata de un tacómetro de masas que esta dibuja

do esquemáticamente en la figura (5.2).

-5.4-

R^ C,ajzsen8

Se compone de -unas varillas

de longitud R^ en cuyos extre­

mos hay dos masas de magnitud m,

•girando e3~ conjunto a una velo­

cidad proporcional a 3.a del gene

rador ( C^-cD )•

Si llamamos Oco a la distan­

cia entre el punto 0 y el punto

A, resulta que

6co = 2 r 9 eos 0

pero al tomar momentos con respecto a 0 se sigue que

(con ¿o la velocidad de giro del generador)

Qiieda entonces

&"= ~t^ (5.D R5¿gcu

2

Suponemos que la respuesta de este dispositivo es lo sufi­

cientemente rápida frente a las variaciones en co , para po

der despreciar el tiempo característico de este elemento

frente a los demás tiempos del sistema*

FIGURA (5«3)

Este elemento; lo único

que hace es relacionar los

movimientos de los puntos A,

B jrC, para calcular esta re

lacián suponemos que la vari

-5*5-

lia es totalmente rígida•

Mediremos todos los desplazamientos con respecto a una linea

que pasando por el punto 0 es paralela al eje del servomotor.

De la figura (5»3) obtenemos la relación

u ^-^r- gp + _Jk-. Seo (5-2) li+l* ^ 1¿+ li

Válvula de corredera

El punto B es solidario con el eje de una válvula de correde­

ra, que esta alimentada por una bomba de presión constante' P0 $

y que supondremos que no tiene ni huelgo ni solape» Si además

tenemos que las ventanas de paso del líquido son rectangula­

res, tendremos un coeficiente, de pcfrdidas inversamente propor

cional al cuadrado de las aperturas de las ventanas $ si Q es

el gasto por los conductos:

( Af _ es el incremento de presión necesario para mover el em

bolo del servomotor, U c es la distancia del punto B al eje

de referencia con la válvula en posición neutra.).

Si Ager es el área del embolo en el servomotor, resulta que

la velocidad de cierre de la compuerta es

1*1= <3 Aser

(Y es la posición de la compuerta, siendo Y=0 cuando está ce

rrada).

Sustituyendo Q despejada de (5#3) y teniendo en cuenta que Y

es positivo cuando va a abrir la compuerta, y U es positivo

cuando B es ta por debajo de l eje de r e fe renc ia (pasa por 0

y es para le lo a l eje del servomotor) , se obtiene que

. ^ - C z C U - U o ) con C^>0 (5*4)

Esta ecuación es vá l i da siempre y

cuando lU-U0 l ¿ b , siendo b l a

a l t u r a de l a s ventanas de l a v á l ­

vula de corredera» Si lU-Uo\> l o

entonces

\[ ^ C? b co^ U - u D •> b

*í ^ - C ^ b c o n U-Uo<~V>

—R o FIGURA ( 5 . 4 )

d) Conjunto muelle~amorti£"iiador (dashpot)

Se designa por este nombre a todo el conjunto de elementos

cuya, misión es variar la posición del extremo C de la vari­

lla proporcionalmente a la posición de la compuerta (Y)*

De la figura (5*1) se deduce:

l~l"-S<^ 1-1'"-Svrt- Scx-QV

Donde Ci y C¿ son los coeficientes de proporcionalidad que

relacionan el movimiento del punto C de 3.a figura (5*1) con

la posición de la, compuerta, la diferencia entre ambos es

que la variación debida a CL es permanente, y la debida a C

es temporal hasta que el muelle, venciendo la resistencia

del amortiguador, ha.ce que el punto" Cy«16 coincidan•

De la figura (5*1) se puede deducir que:

KáCS^-SfO-CP^-P^ A B (5.6) Con \<;<¡ la constante del muelle, Ag, el área del embolo del

-5.7-

amortiguador y ( R»""^i ) a diferencia de presiones entre la

cara de abajo y la. cara de arriba. de3. embolo.

Ahora bien si el taladro practicado en el embolo tiene diá­

metro !ty>y longitud 1 0 > si suponemos además que a través del

taladro hay corriente laminar (con ,Ua la viscosidad del lí­

quido del interior del embolo) entonces la diferencia de pre

siones estará dada, por:

(despreciando el efecto de los extremos del conducto)

que sustituida en (5*6) da lugar a:

K¿ (Í^-Sp) = Ü | ^ A * ( ¿p- íc) •• (5.7)

(los puntos so"bre las letras significan derivadas con respecto al

tiempo).

Como de (5.5) se puede despejar

SOL = - C ¿ ^ + 1-1'"- £ m

Se = - C¡ \í +1-1'

3- de (5.1), (5.2) y (5.4) se obtiene

^P C l , * 1, l^^cfoo2 li °

Que sustituida -junto con (5.8) en (5.7) queda

1 2.2 ¿Ag, Q Ag. li±2i V 4 C Kc 5¿±i> 4- í 2 2 /^lo A& r' \ Y + K< C. V + . TT t£ c,.i4 ^ ^ s ^ i i rr D^ • ' ;

^ s a ^ . U o . ^ ( l - l - - g ^ V - W s ^ - ^ ^ -

¿29 ^..loAe l^ !iJh3. ¿L. (5.9) rrt>f i i «scj CAJ3

(5 .8)

- 5 . 8 -

Esta ecuación diferencial de segundo grado es la que represen

ta el funcionamiento del regulador, relacionando el movimiento de

la compuerta con la velocidad de giro del conjunto generador-tur­

bina*

3»— Ecuaciones del conjunto

En primer lugar ya se ha estudiado la ecuación del regulador

(5#9), ahora debemos añadir las distintas ecuaciones de los ele­

mentos que componen el sistema de la central eléctrica (embalse $

túnel, chimenea, etc*)#

1 J

ir

o.<H

o.í-1

oaH

Necesitamos también una tabla de características de la turbi

na, que se suelen dar en forma de figura (5»5), en la cual se re

lacionan un gasto característico con una velocidad de giro carao

terística, para diferentes valores de apertura de compuerta y del

rendimiento (carta de Hill) (7) (23)« Para nuestro proposito este

diagrama se traduce en una relación entre la velocidad en el pens

tock y las revoluciones de la

turbina para diferentes porcen­

tajes de apertura de compuerta

y rendimientos.

En la figura (5o) se pue­

de apreciar que el gasto varia

muy poco con las revoluciones,

.y si además suponemos que la i-o.

nercia del conjunto generador-

}o.s

loo 2 o o T - »

FIGURA ( 5 . 5 ) M-ni.ta.ria.

- 5 , 9 -

turbina es lo suficientemente grande, la variación de las revolu

ciones será muy pequefía frente a su valor inicia-I, se tendrá en­

tonces que el gasto (y por tanto la velocidad en el penstock) va

riará únicamente con la apertura de compuerta, y esa variación^

la supondremos lineal por simplificación:

V z ^ B 0 + G>A (5.10)

( Vwv. es el recorrido del servo para la apertura máxima del pens

tock, Y~0 para el cierre completo)»

Por otra parte el rendimiento también varía con las revolucio

nes y el gasto, pero varía mucho más con las revoluciones de la

turbina, sobre todo para rendimientos altos, revoluciones que he­

mos supuesto antes que van a ser muy poco variablesf por ello y

aun con menos justificación que en el caso anterior supondremos

que el rendimiento es constante, tomando como valor el del rendi

miento correspondiente a la situación.:estacionaria que estamos'

estudiando

fc= ¿ (55o, - f ) (5.11)

La potencia cedida por la turbina se dedica en parte a cre­

ar la tensión e intensidad en la red suficientes para satisfacer

la potencia de demanda (W), que suponemos constante, y en parte

a vencer el par resistente en el eje del conjunto y en acelerar

el generador• El par resistente se supone proporcional a la ve­

locidad de giro (eje lubricado) y en general será muy pequeño

frente al par total que da la turbina. La potencia que da la tur

bina será entonces:

-5.10-

,—;2.

¿¡j = velocidad de giro del conjunto

I = momento de inercia del conjunto

\¿J = potencia cedida a la red

kr Oü- V&r resistente en el eje

p-j-s presión de remanso a la entrada de la turbina

loQ (PT-Pcx) = potencia de la turbina (1.8)

donde

(5-12)

Quedan por fin las ecuaciones correspondientes al movimiento

del fluido en el túnel, la chimenea y en el penstock, en los cua

les se considera movimiento unidimensional, y por tanto las ecua

clones se desarrollan de manera similar a como se hizo en el Ca

pítulo 1• La figura (5*6) representa esquemáticamente todo el sis

tema y las ecuaciones se dan a continuación:

FIGURA {5.6)

-5.11-

(i) Continuidad en la base de la chimenea

j¡r - - k v> - fe v> (5-13)

(ii) Cantidad de movimiento en el túnel.

(igual que en el Capítulo 1)

¿ H

Pero s i y,>0 (1 .3)

Cp4^pg \a \ - P ^ - - ^ J5 ViWi\

y s i y, ¿ o ( e l túne l descarga en e l embalse) (5* 14b)

Cp+p^M i - C p + p ^ ^ ^ ^ + ^ p ^ vi\yl\ Siendo en este caso (aplicando la eeua.ció*n de movimiento uni

dimensional en la chimenea, para no despreciar las acelera­

ciones) :

que sustituida en (5.14b) y el resultado en (5.14) se obtie­

ne:

d t Li Li a t z 2LL¡ *at l"3t

^-.(A. + i \ VLWÜ. (5.15)

(iii) Continuidad en el conducto chimenea-turbina (penstock)

5.12-

PLi ^r + tp+f^s'^J3^^

= - ^ ¥ ^ ^ (5.16)

donde

Cp+/^vo 5^P 5-j^M ^ (5;17)

(suponemos que siempre V2>0 ? es decir la turbina no puede

funcionar como bomba)»

Como'en la ecuación (5*12) PT es la presión total en el pun

to "5" (Entrada de la turbina) se puede despejar P 5 de (5*12)

-L O V? (5.18)

•z J

(se ha tomado Q = \4Ap )

Y sust i tuyendo (5.17) y (5 .18) en ( 5 . 1 6 ) :

ég + —_—i———- ( 1- I 4 ^ 1 ) + W4krG3*) +

A z U x/2-^'J* -TK V¿ (5.19)

Las ecuaciones (5.9) (5.10) (5.13) (5.15) y (5.19) forman un

sistema de -cinco ecuaciones diferenciales con cinco incógnitas

(" , co /VZ/ /Vj ). Este sistema se puede .convertir en otro de cin

co ecuaciones diferenciales, pero que es autónomo y de primer or

den, pero antes de transformarlo adimensionalizaremos con las si

guientes relaciones:

-5O13-

S z - V 2 e H V] / 1 2 2^H 2 AT

^ c7)2 R r s ^ V _ V Vi - co Wi

2 /-*£•£; *=' o t o

Oü -2 f t H

u/ t j 0 ^ HA-, ; e

. 2 A T L t

f A<H

D o< =. . XzU A*

f t>¿ AS ' R=- £VOY

izarlo A&

V„ i ^ ^ H t , •. b 0 - 6 ^ ; br- B, C A¿

y S = Ji±_k

Yf vTi J

- JL i¿ • £ - -L Z A T

2 L\ 2. V LA fcP

Con es tas r e lac iones s u s t i t u i d a s en (5*9) (5o 10) (5*13) (5• 15)

y (5#19) y eliminando Y del sistema queda:

<u J_ ohn. - > a e ^ , - ^ ^ , i q ; i + s ^ 3 l l ^ i | ) - C ü -

- ( S + i f< J \ ) p + (t - ¿a ) fr - R -n

- 5 . 1 4 -

4»- Soluciones estacionarias y estabilidad

Las soluciones estacionarias se obtienen de (5«20) sin más

que hacer nulas todas las derivadas con respecto al tiempo, y re

solviendo el sistema de cinco ecuaciones que queda* La solución

es

y^o =• r= L —

Luego para un valor de ¿o dado se tienen dos soluciones de ^ 0

como en el Capítulo 1, con Oü^co^^ ya que como <x y R son coe.

ficientes de perdidas los suponemos muy- pequeños *

En realidad podremos emplear la figura, (1»3) sin más que po­

ner en abcisas el valor \/l+<x 0 y en ordenadas \/ITó< (aj4^no) •

Estas ecuaciones son una extensión de las dadas en (1#12) pxieS es,

tas últimas se recuperan cuando oc'M^-0 . Como en capítulos an­

teriores sustituyendo al parámetro co, emplearemos como nuevo pa­

rámetro la velocidad estacionaria, adimensional con bajas pérdidas

en el túnel ^0 , que coincide con la velocidad estacionaria adi­

mensional en el penstock#

* - j

Dado entonces ^0 y especificados los parámetros Cil^olhi que

dan fijados los valores que toman las variables adimensionales en

(5.21)

-5.15-

el estado estacionario, que hemos visto que pueden ser dos, uno

donde los valores de. velocidad en el túnel y penstock hacen que

las pérdidas sean más bajas y otro en el cual se producirán per

didas más altas• El estado más interesante será el primero, por

que es él que puede ser, para determinados valores de los pará­

metros,' estable, pues el otro es siempre inestable cuando exis­

te • También hay que recordar que hay un va,lor .máximo de co a par

tir del cual no existen soluciones estacionarias^porque el sis­

tema no es capas de dar una potencia mayor*

Para estudiar la estabilidad de las soluciones estacionarias,

se estudia el comportamiento alrededor de las soluciones estacio

narias haciendo el cambio

Tí W - Vio

llegarnos al sistema

(5.22)

-5.16-

v ál-

- í ( c', v7 + Si - & tv / T + 3e(;,-g-sb,: v .

+ H v v^l CA^0)2

(5.22)

^ 0 + ^ 2

(5-t/*&l£l-

Linealizando el sistema anterior alrededor de la solución es

tacionaria, considerada (suponiendo ( (|<J 0 ), queda el sistema:

¿I

/'V

<

d.vT

, A

3 A

Y (5.23)

%

V Y V

-5.17-

donde A es l a matriz cuadrada de orden 5 s i g u i e n t e :

2<?<> O O H-J 1+S H-J

-a o o . £ o

O A ' O O

. i -£ W -/'-fe -^oCS*^ tu^i-^D -tR

(Donde. J ^ j e ( S r ^ ) )

Para estudiar el sistema (5*23) s e deben estudiar como son

los autovalores de 'la matriz A, si todos tienen parte real nega

tiva el sistema es estable, si alguno de esos autovalores tiene

parte real positiva el sistema es inesta,ble« Los autovalores de

la matriz A son las raices de su polinomio característico:

-5.18-

+ \Tí¡o ( 2 01-^-3^0- € Ci + S V) X* + ( (€(£'ytSH

+ 2 ^ 0 Q ^ R + *t*£L + V e U - 3 ^ - 3 o ^ + (2(1-^-^0,0-b¿ L

b¿

(5.24)

Para el estudio de las cinco raices de este polinomio en X ,

haremos algunas suposiciones con respecto a los parámetros que

arjarecen en (5*24) •

En primer lugar la zona de validez de los parámetros es la si­

guiente :

O < 0 ^y'ft (para que no se vacie la chimenea)

Y10>0 (n es oo2, adimensionalizada que es positiva)

J > 0 (como consecuencia de ser ^ 0 <£y-~ )

bj>0 (lógicamente a mayor apertura de la compuerta la veloci­

dad en el penstock será mayor) ~

S>0 / vr>0/J>oy 6^0, t> O (porque todos los elementos que intervie­

nen en su definición son positivos)

Por otra parte estos últimos parámetros tienen un sentido físico

-5.19-

claro:

tienvDo característico del servo S=

tiempo característico en el túnel \Ij - = \[&\

2»

j . • ' J- • -i -i i j . • ¿ 2 3 ^ l o .Aja,

tiempo c a r a c t e r í s t i c o en e l dashpot - s rv~iv¿ V= - — 7 — = • TTPo ¿ ^ j

tiempo característico en el túnel \fl- . L_j_ _ Vi N^H

J - JL Ü. < x ¿ (la longitud del túnel es mucho mayor que la al tu

ra de la chimenea)

g* - •^fil^ x (la chimenea está mucho más cerca de la turbina

que del embalse)

L " 2rsg J ~ ÍI - ¿ reo/ ^

(es la rela.ci<5n entre el trabajo generando por la turbina en el

tiempo caracteristico del túnel y la energia cinética del conjun

to generador-turbina)

tiempo característico en el túnel i v¥ -,—i=-R_ „ J_ _ Y í foH

= tiempo del orden de lo que tarda en pararse el conjunto

generador-turbina cuando gira libremente

Luego R <<c ~ <c<c i L

Se tiene además que V no puede ser mucho menor que S, porque

si el tiempo característico del dashpot-es mucho menor que él del

servomotor entonces el efecto del dashpot sería nulo»

Estudiaremos entonces las siguientes situaciones paramétricas:

-5.20-

(A) + > > £ y dentro de este caso:

Al S~V

Aj, S c<- V ; i. ~- V

M S«V ;-£¿< V

(B) 4- <V S en donde distinguiremos:

B2 S^<V

(C) -v- <<. S con los subeasos:

Cl S^V

C2 S¿<V

Caso A1

Tenemos que 4~"» S« -V probando con soluciones del tipo

X -- - con Xj del orden unidad, al despreciar términos de or

den menor que -^ se obtiene: S3

para que las soluciones de esta ecuación tengan parte real ne

gativa, se debe cumplir:

£'1 + f > ^ S o C T + 5 ) (5.25)

Este requisito, fijadas las características hidráulico-mecáni

cas del sistema, supone la limitación de la inercia del con­

junto generador-turbina, que debe ser mayor que un deterrnina-

~5*21~

do valor•

Existe además -una solución del orden de i> que será A-\¿L ,

que sustituido en (5*24) da lugar a

qué resulta ser negativa para la zona de validez de los pará­

metros •

Existen además las soluciones que son del orden unidad y que

son válidas para todos los ca,sos parame trie os $ en primera a-

proximación valen

A* +«;„ ( Z - _ § i - _ ) A + 6 ± i | ¿ 4 í í | í = 0 (5.26)

y para que tengan parte real negativa debe cumplirse que

&<Z CL-£; ó-Zoc^0), y en general para oc^O se recuperan las

mismas condiciones de estabilidad que se obtuvieron en el Ca

pítulo 11

Caso A2

Para los casos A2, A3 y A4 aparte de las raices dadas en'pri

mera aproximación por (5*26), se tiene una ra.iz real de orden

-5- , que vale en primera aproximación (al sustituir X~~f-) S

Y para que sea negat iva debe cumplirse:

Cj > Si-i2 i C&+J) (5.27)

que es la misma condición (5.25) con S^<V

Aparte en este caso particular con i- > > V existen dos raices

-5.22-

I reales de orden ~~ e Lf cumpliendo:

x a » V» 2 C _

X» - -

con X- -+- y X ~ A2 L +-- y para que sean negativa? se de, y

"be cumplir como condición adicional

Ci > ^ l i l c l + J) (5-28)

La cual es más restrictiva que la (5*27)' por ser en general

Cí < CA , ya que sino no tendría sentido la existencia del

dashpot.

Caso A3

En este caso las raices A* y A3 son las dos del mismo orden

y están dadas por la ecuación

A? + —^A M ° z ^ -q D c¿43) ^ - ^oCS+a)

6 i t no E;I

que da una condición nueva de estabi3.idad

^ + %r- U-<£-3«#) > 5i^ 0CS+3) (5.29) V^o Vio

que es menos restrictiva que la condición (5»28)

-5.23-

Caso A4

Existen dos raices reales de nuevo de ordenes í, y -rz que cum

p3.en

siendo A-A2 L+~ y A- X3 — 4

Y son siempre negativas si se cumple (5 «27) , para la zona de

validez de parámetros asumida*

Caso B1

De nuevo existen aquí las raices de orden unida.d dadas en pri

mera aproximación por (5*26), y existen tres raices de orden \ * l -g- ^ L J — que cumplen

vvo Vvo V

con Xr . ^ 4 — S

Esta ecuación de tercer grado para que de las tres soluciones

negativas además de cumplir las condiciones (5*25) y (5^29)

se debe cumplir

> ^ | S ( J - ^ - 3 « ^ 2 ) ' (5.30)

-5.24-

Caso B2

En este caso 4 ^ S <¿< V

Aparte de las raices de orden unidad existen dos tipos de rai

ees A - _t-f— ^ X - i ^ ^ — qUe cumplen

Las cuales son negativas o tienen parte real negativa cuando

se cumple (5.27).

Caso 01

Con 4- <¿<- S-^V (es decir -J— ^ -J— <¿<c_ i )

Aparte de las raices del orden de la unidad existen dos tipos

de raices X-A,Vj-~H-- y \ - A^-y que cumplen

x 2 -- - i

Y para que todas las soluciones sean negativas se debe cum­

plir la condición (5^25)

Caso C2

En es te caso ~ ^ ^ S ¿C V (con lo que ——* <c< 1 )

y ex is ten dos t i p o s de rapices A-A(t[í. y \ - \ z — que cum~

píen l a s ecuaciones»

- 5 . 2 5 -

Gon lo que obliga a que se caspia la condición (5•27) para

que todas las soluciones sean negativas.

En todos- los casos estudiados se ha supuesto que

porque en todos los casos se exigen las condiciones (5»25), (5*27),

(5.28) 6 (5*29), para cuyo cumplimiento es necesario que como mu­

cho (£>+<5) sea del orden de -*- (siempre y cuando C^^j sean de or

den unidad)

Gomo conclusión y a la vista de todos los resultados, si nos

mantenemos dentro de les limites de valides impuestos a les para

metros, se puede asegurar que la ecuación (5•2.4) tiene todas sus

raices negativas (y por tanto la solución estacionaria del siste

ma (5*22) es estable) cuando se cumplan las condiciones (5*25) y

Í5»29), que son más completas que las (5*27) y (5»28) y además

que

con

íl Estas últimas condiciones son para que las raices del orden

de la unidad de la ecuación (5*24), que cumplen la ecuación

(5*26) en primera aproximación, tengan parte real negativa las

dos, y el estudio que se puede hacer a la ecuación (5*26) es i-

gual al que se hizo a la ecuación característica de la matriz A

de (1.14) en el Capítulo 1.

El sistema (5.20) se reduce al sistema (1.11) cuando se anu-

-5.26-

lan todos los parámetros nuevos introducidos en el sistema

( V S X. £ j P oc ), es por tanto (1.11) un caso particular

de (5*22) cuando los tiempos característicos del regulador son lo

suficientemente pequeños como para despreciarlos, asi como las

pérdidas en penstock y turbina, la longitud del penstock y las ace

leraeiones en la chimenea.

En cuanto a la existencia de soluciones periódicas, tenemos

las halladas en los capítulos 2 y 3 para el problema (1.11), que

es un caso particular del (5#20) en un determinado límite, y se­

guirán valiendo siempre y cuando los parámetros que se anulan en

ese límite sean lo suficientemente pequeños, pueden éstos sin em

bargo modificar en parte el comportamiento de las soluciones ha­

lladas en- los capítulos 2 y, 3, los cuales se podrían hallar si­

guiendo un procedimiento similar, sin más que tener en cuenta el

teorema de la va.riedad central, el cual nos permitiría estudiar

el movimiento relacionado con los autovalores de orden unidad de

la ecuación (5.24)* siempre y cuando todos los restantes fuesen

negativos, como si nos moviésemos en una variedad de dos dimen­

siones (variedad central) inmersa en el espacio de las fases

(que en este caso es de cinco dimensiones) en vez de movernos en

un plano de fases, que era lo que teníamos en los capítulos 1, 2

y 3.

Otros movimientos más complicados, por existir más de dos au­

tovalores que sean imaginarios conjugados, es decir cuando hay mo

vimientos que envuelven dos movimientos oscilatorios, desacoplados

en primera, aproximación, pueden ser estudiados según el método da-

-5 #27-

do en el Apéndice 5 para un caso muy particular del problema es­

tudiado en este capítulo.

~5*28~

CONCLUSIONES Y RESULTADOS

En el Capítulo 1 se reduce el estudio general del complejo

hidráulico dado en la figura (1*1) al sistema autónomo de dos e-

cuaciones (1#11), dependiendo de tres parámetros adimensipnales:

co = potencia adimensional

él = relación entre el volumen de agua en el túnel y el producto

área de la chimenea por altura del nivel del embalse.

U = coeficiente adimensional de pérdidas en la base de la chime

nea.

Para todo valor de co positivo por debajo de uno dado, se tie

nen dos soluciones estacionarias que solo dependen de co , una que

siempre es inestable y se da con valores de la velocidad en el con

clucto grandes (de hecho con 0, velocidad adimensional en el túnel,

mayor que -L- ) y otra que puede ser estable o inestable dependien

do del valor de é , en concreto la solución es estable si £<c2.Ci~í )

e inestable para £ > 2C l~%o) ? en la práctica estas condiciones

se reducen a que el área de la chimenea sea mayor o menor que el

valor de Thoma (2,1) respectivamente*

Se comprueba además, en el supuesto de pequeñas perturbacio­

nes alrededor de la solución estacionaria, que el valor de yu no

interviene en el cálculo de la solución estacionaria ni en la de

terminación de su estabilidad*

El cambio de estabilidad de la solución estacionaria se pro­

duce en dos zonas del plano de los parámetros ( £ , Cü ), paraco~o

-6.1-

(con €>2 ) y Pa^a £-2.Ci-^í) (pa^a "todo valor de O S C o ^ 3 ^ )•

En el Capítulo 2 se estudia la zona cercana a OÜ-G , observan

dose que existe una bifurcación a soluciones periódicas en la zo­

na de cu>Of cuando £>2 , que es una. zona en la que la solución e,s

tacionaria es inestable,hiendo los ciclo límites que aparecen es­

tables. Para <£¿2 la solución estacionaria se hace indiferente pa­

ra cu^o pero es estable para cej>0 y co¿0 •

Esta bifurcación puede ser vista como partiendo de é>2.£l-£2)

(que es €-20-^)p&ra ^-£¿¿1), es como se estudia en e3. Apéndice 3?

y se observa que para JU40 (pero con ucci) existe una bifurcación

desde &-~2.(\- £*) , que va hacia la zona inestable ( £> 2X1-^) ) has­

ta llegar a un máximo, donde se vuelve en forma, de ciclo límite i~

nestable hacia la zona estable, volviendo a cambiar de sentido ha­

cia la zona inestable como ciclo límite estable, al alcanzar en a3.

guna de sus partes velocidades negativas en el túnel (figuras

(A3.1) y (2.1))';

La evolución que sigue el ciclo límite, cuando en alguna de

sus partes alcanza velocidades negativas en el túnel, depende del

valor que tomeyu (que suponemos todavía yU¿<ci ), como se puede

ver en la sección 4 del Capítulo 2, para kx por debajo de un va-

lor (yU^y^S 3 ) la bifurcación gira de nuevo en forma de ciclo lí

mite inestable que crece hacia la zona estable y que desaparece

cuando en alguna de sus partes alcanza el otro punto singular en

el plano de las fases, que representa la otra solución estaciona

ria, y es un punto puerto (figura (2.2)), por la derecha, aparece

-6.2-

desde £~o¿> otro ciclo límite estable (que rodea la primera solu­

ción, inestable para este valor de los parámetros) que da la vuel

ta en forma de ciclo límite inestable, el cual desaparece para

&-*>oo al encontrarse con el punto puerto.

Cuando JU >UL £> , para £-»2 existen siempre dos ciclos

límites rodeando la solución uno estable que es más interior y

otro inestable que rodea al anterior y que se encuentra con el

punto puerto para &^L y para G-*>&o (figura (2c2))e

Cuando estamos cerca de €.- ^Ci-^) si ^ 0^ i y^M^O f e~

xiste una bifurcación de un ciclo límite estable hacia <~>2(i-£>¿)

hasta llegar a un valor máximo de G ~2Xl-^*) +MZ 10 * e n el cual

da la vuelta como ciclo límite inestable hacia, los £ decrecientes

(si yU-0 la bifurcación se inicia y continua sin dar la vuelta ha

cia G<20-^)) (Capítulo 3, figura (3.1))•

Esta tendencia se ve que sigue siendo la mismoa cuando toma­

mos valores de 6 más alejados del punto de bifurcación, asi pa­

rece indicarlo los resultados numéricos dados (figura (3#2)), la

razón es que al ser la velocidad estacionaria lo suficientemente

alta, la otra solución estacionaria que va aparejada con ella es

ta más cercana (figura (1*3)) y además para que en el ciclo lími

te aparezcan velocidades negativas en el túnel debe ser la ampli

tud mayor que en el caso con co¿xi f resultando que el ciclo lími­

te alcanza zonas cercanas al punto puerto, antes que zonas en las

que haya velocidades negativas en el túnel, siendo más importante

la tendencia, de la bifurcación de ir a zonas de G decrecientes,

~6,3~

como se deduce del comportamiento seguido en los límites estudia­

dos en el Capitulo 2é

El que existe un ciclo límite inestable rodeando una solución

estable, significa que existe una zona de estabilidad alrededor

de 3.a solución estacionaria, y si bien la solución es estable pa­

ra pequeñas perturbaciones, puede no serlo cuando las perturbació

nes alcancen un determinado valor* Así en la práctica una bifur­

cación hacia la zona estable significa im corrimiento del límite

de estabilidad empequeñeciendo la zona en la que la solución es

estable»

El que exista un ciclo límite estable rodeando una solución

inestable, si la amplitud es lo suficientemente pequeña, signifi­

ca que la zona de estabilidad se amplía hasta que se alcance la

máxima, amplitud de oscilación que permite el sistema o

Como conclusión por tanto se ve que paxa u-0 el límite de es­

tabilidad dedo por Tlioma (7) (14) (15) * es algo optimista cuando

Co<c<£ L y bastante optimista para co< l # Sin embargo cuando

jd^i el límite resulta pesimista, pero los problemas que surgen

con motivo del golpe de ariete si el agujero en la base de la chi

menea es muy pequeño, pueden hacer la solución inviable*

En el Capítulo 4 se concluye que pperacionaimente, para las

mismas áreas de la chimenea y la cámara de presión, el comporta-

miento de esta, última es peor que el de la chimenea de equilibrio,

pero en ocasiones puede resulta,r más ventajoso la realización de

6.4-

una cámara de presión ancha que la de una chimenea de equilibrio

más estrecha^

Por último en el Capitulo 5 aparece unas nuevas condiciones

de estabilidad del sistema que son (5*25) y (5*29)> las cuales

se pueden traducir en un valor máximo para el parámetro L , que

depende inversamente de la inercia del conjunto turbina—genera­

dor I, es decir que las partes rotatorias de la central deben te

ner un momento de inercia mínimo, como quiera que el aumentar tal

inercia resulta caro, el estudio de este límite de estabilidad

es sumamente importante.

Se podría acudir a modificar otros parámetros, pero todos tie

ríen un límite, como por ejemplo aumentar los tiempos caracterís­

ticos del regulador (V,S), esto podría suponer un regulador dema­

siado lento que no daría un funcionamiento uniforme • Cj yC± depen­

den de características mecánicas del regulador que no van a tener

un gran margen de variación, ¿f0 esta fijado por la potencia de

funcionamiento, y todos los demás parámetros que intervienen en

(5.25) y (5©29) salvo L dependen únicamente de las característi­

cas hidráulicas del sistema.

-6 •5-

• A P É N D I C E S

Apéndice 1

Sea el sistema de ecuaciones:

at \ (AI-0

con (xz4Í/3>< O estrictamente, supondremos que f¿(t) y f2(t) son

funciones periódicas de periodo -rr- , con K-V* «**-*/*•

Queremos ver en que condiciones el problema (A1-1) tiene so

luciones periódicas y cuales son esas soluciones, para ello ye ZTT

remos que cuando existen, tienen el periodo -£* y son desarró­

llateles en serie de Pourier, con desarrollo uniformemente con­

vergente, con lo que hallando los coeficientes del desarrollo

de Pourier de la solución, esta estará determinada, pues coin­

cide Vt a (R con la suma de la serie»

Se debe sin embargo imponer condiciones adicionales a f¿(t)

y f^t) para asegurar la existencia de las series de Pourier y

su convergencia uniforme, estas condiciones son: continuidad

VtelR , tener derivada continua a trozos en todo IR y cumplir:

'o ^o Esto nos asegura l a ex i s tenc ia de s e r i e s de Pour ier u n i f o r ­

memente convergentes para f ¿ ( t ) y f 2 ( t ) , Vt e IR ( 22) #

f \ ( t ) =* a D + I (2Ln sevx - nk+ + b n eos n k t ) ( A 1 _ 2 )

f i C O -- 2 L o + í l aV s e a n K t + b fn «>s ^ ^ ^

Dadas unas condiciones iniciales u.0i^>el problema (A1-1),

por el Teorema de existencia global de Picard-Lindeloff (12),

tiene solución continua y con derivada continua .Vt £lR f sien­

do además esta solución única ( utilizamos el hecho de que

f*(t) y ffc(t) son continuas ), si nos restringimos ahora a las

soluciones periódicas, estas por ser solución son de clase C (ÍRJ

con lo que cumplen las condiciones suficientes para tener de­

sarrollos en serie de Pourier uniformemente convergentes VteR:

-A1.1 ~

U = An + ^ ( A n sen n Vc-t + 8^ eos r\ k±) ^ (A1-3)

o- = Ao + £ ( A'n Sen V)kt + BV, eos n fc-O

Las series de funciones dadas en (A1-2) y (A1-3) se pueden sustituir en (A1-1), obteniéndose como combinación lineal de ellas las series de Pourier de -p¿ ¡J~TT> <lue s o n uniformemente convergentes VtélR por ser combinación lineal finita de series uniformemente convergentes Vte!R#

Y la integral de la suma, de la serie en cualquier interva­lo de IR coincide con la suma de las integrales, por integra -ción de series uniformemente convergentes ( 6 ) 9

a^i si:

Z 1 Í ü £ > ¿U = LU-t) - U 0 - £ í VpwCO «A <i

pero ü. VÍ o- tienen desarrollos en serie -únicos dados por (A1-3)

U W . u , + 4 / o % „ ( r ) d x = A 0 4 | ( A „ icn <nWt+6Kcos nKt)

CU + í N a C ^ d t - An ^ «Vct + a„cosnVct /O

c t e + /* \f„Ct) ¿ * - A'n se«. ^ t v B ' . « * « « /o

j V n. € JM . í t

y der ivando V n. é. IN vp ( t^ = - VI W T2>n S€.n n. Vct + VL K Avr^oS vi Vct.

?aCt)= -vil* G>'vx sevx n k t + ¿.KA'* eos viKt

es decir que los desarrollos en serie de j~=£ 3 ^L^ se obtie

nen por derivación directa, término a término de los desarro­llos (A1-3).

Resumiendo, si el problema (A1-1) tiene soluciones periodi

-A1.2-

cas, de periodo - r~ , éstas tienen desarrollo en serie de Pou—

rier uniformemente convergente, y por tanto tales soluciones es

taran definidas VtéR si conocemos sus coeficientes del desarro

lio, además estas soluciones son únicas si se fijan unas condi­

ciones iniciales u.0v O"0 • Como resultado final se tiene el si -

guíente:

Lerna,- Sean fi(t) y f2(t) funciones reales de variable re~ *» *} Tí

al, continuas Vt <=. R, periódicas de periodo •=•— , con deriva­

das continuas a trozos, tales que:

fo J0

( con ello tienen desarrollos en serie uniformemente convergen­

tes dados en (Ai-2))*

Entonces el problema (A1-1) tiene soluciones periódicas de

periodo 2JX f continuamente derivables Vt^tRy 'con desarrollos . V e

en serie uniformemente convergentes

L L ( t ) ^ A 0 + H. C AY I Sevi v x K t i l i ^ eos n \ c t )

L J ( t ) = . A i + i í A U e a n K t ^ ^ c o s Y i K t )

( estas soluciones son únicas si fijamos las condiciones ini­

ciales u 0 vj &0) si y solo si los coeficientes de 1 e r orden del

desarrollo en serie de Pourier de f¿(t) y f^Ct) cumplen

oc bj + Ve a 4 + / 3 b; O I (Á1__4)

Demostración

Por todo lo dicho anteriormente si existen soluciones pe

riódicas de periodo —|t serán del tipo (Á1-3)> por lo que

sustituyendo en (A1-1) esas expresiones, asi como (A1-2), se ojb

tiene

ex A 0 -+y2>.A0 + a_o - o* ^ (A1-5) ¡T Ao - o( A'0 + a ' 0 - 0

-A1.3-

lf (3>n - K A'"--,KA' n-^V - - bV \ ^ >

El sistema (A1~5) es compatible y determinado pues

y su solución es

A0 = "%* a° + *& a'° (A1_7)

A', - -£i *. - .-£ a'0 El sistema (Al-6) es compatible y determinado V n ^ i ya que su

determinante vale (Vi?* i) {roe2-— % J*>) y las soluciones son:

pero para n=1 el sistema (A1-6) tiene el determinante nulo, es

más la matriz de los coeficientes tiene rango 2.

En-efecto tenemos el sistema:

ex A4 + K &! + /3 A4 - - a i

- K Ai + oc B 4 + /^ &'i - - b * y- A i - c* AV + K B'i =• - a i ir e>d - K A'd - ^ B ; -- - Wi

sustituimos la 3 ecuación por la combinación, lineal siguiente

— K (I-) + ex ( 1~) Arp> (?>*) ( esto es valido porque sienprey3*0)

y la 4" ecuación por ex (I") + K (. i~\ •+ fb CLi~) y queda:

c* A4 + K t5d + / i AV = - a-i - k A i + < * e>4+ /s B'i —- W

0 =. - K ^4 4- <x a i 4 p a \ 0 - <x b 4 + k a i 4- fh b'4

- A 1 . 4 -

luego para que el sistema sea compatible debe cumplirse

que son las condiciones (A'l-4) y el sistema tiene de soluciones

que quedaran fijadas al fijar unas condiciones iniciales del pro

blema (A1-1). Reciprocamente si se cumple (A1-4) entonces existen

soluciones periódicas de (A1-1), la condición de existencia de s£

luciones periódicas viene dada por: ( ver (11))

/ * $Tlct) • JcO dLx - O (At-10)

donde <JÓ íi.) es una matriz fundamental del sistema (A1~1) y f(t)

es el vector (f¿(t), f2(t))* Podemos tomar (J Ct) de tal manera que

o5(o}-I( la matriz unidad) esto es

fe- sen Kt + ccsVct ¿~ se.n \<±

.96 CHb> ^

siendo

(^(tW

X sen Kt - f i L S e n k t + cflsv<t

1 * . s e n k t + c o s k t - -^se^Vc-t

^ X c,enKt £L sen K t + coS k-t K K

y de la condición (A1-10) se obtiene

oca.4. - kb¿ +yiaii =01 (A1_11} -Ui+ota'i 4-kb'r-0J

teniendo en cuenta que a^b^a^ vj b^ son los coeficientes de Fou-

rier de 1 orden de f¿(t) y £^(t) respectivamemente.

Las condiciones (A1-11) son equivalentes a la,s (A1-4) pues la

primera ecuación de (A1-11) coincide con la segunda de (A1-4) y

si multiplicamos la primera de (A1-11) por - - ~ y le sumamos la

segunda multiplicada por J~ se obtiene la primera de (A1~4)« Con

eluyendoylas condiciones (A1-4) equivalen a decir que existen BO

luciones periódicas de periodo =~~- , que son por tanto de clase

C (IR) y con desarrollos en serie de Pourier uniformemente con­

vergentes •

~A1*5~

Apéndice 2

A.- Primeros términos del de sa r ro l l o en s e r i e de Four ier de

(A sevA Kx + & c o s k x ) \ j\s>e.Y\ Kx + G> eos Vwl

Podemos poner /\ s e v i K x -\- G> c o s k x - d e o s H*

donde C--\!^& , H>-k*+M> s, ^ a * ^ t = | }

e> *. d eos f A - - d sevi H>

y los primeros términos del d e s a r r o l l o de C coS*V l C-OS T \ son

^ 7 / c o s H ^ t c o s V l e o s H M V >, ^ / c o s a c o s H > \ s e w S M ^ O

ya que eosMM c ó s a l e s una función par y

pero

o

luego C c o s f I c o s ^ l - A o ^ ^ p C eos 4* 4- ( términos de orden super ior )

de donde (A s e n Kx 4- G> c o s k x ) 1 A sen Kx+£> cos te* ! - A o + J ^ \ f / £ ^ C c o s f +

+(términos de orden s u p e r i o r ) = = Ao^—r^A^G^ (¿I cos*f cosVcx-C sen1? senW*)+( términos de orden super ior) :

n / \ 0 4 J L AVA^O1 senWx 4-—- GWA^B2, coskx+( términos de orden super ior ) 3TT 3TT

(A2-1)

B.- Primeros términos del desarrollo en serie de Pourier de

( i + A s e n k x + B c o s K x ) \ i + A se^nKx + e > c o s \ * x l

8

-A2.1

haciendo e l cambio A se.n K x •+- G> e o s K*. - C e o s ^

y l o s té rminos en senM^ ^ cosV de (!•*• C e o s ^V) l i +• O cosH*!

son 1 - / ( i + C co^)\UCco^\ senHMH* = 0 3

por s e r ( ¿ + d cosH>) 1 1 + tícosH^ ¿° U + C COSC-HO)\*+C cosC-4>)(una función p a r .

En e l caso de que C í i en tonces

(i + C cosM>) U +CíeosVI - C4+C c o s ^ f - i + 2CcosH,4C2cos iVf

cos4 ?clvV=2C oon l o que

(A+ A senK* - f G> eos k x ) U + A sen K x + G>cos K x \ = A0-+

+ 2 A s e n K x + 2 . B e o s V < : x •+• ( t é rminos de orden s u p e r i o r )

(A2-2) con N/AVG? ^ 4.

y en e l caso de C > i l a func ión i-l-CcosV se hace n e g a t i v a pa ra

cúreos r i . < 4? < 2TT- a rcos ^ , . . _ _ <3 C (tomando pa ra e l a r c o coseno l a d e ­

te rminac ión de CO,Tfj) luego '•2/n . ,xTt

^ f (A+C cosH») 1 i+C eosH>| cosH> ¿H» = X Í ( U C cosH'fcosH' d f -

2.n - a r c o s ^ - 2LTÍ - a r c o s ^ ~

(d + cí c o s a c o s 4 » d ^ = 2 4 - — /(cos^4Z^cos2H?+02eos3 f)df

-eos T.I_ 7<jLtxos -cl­á r e o s ZJL 'CLíXoS

= 2 ¿ - — senH ) + C ^ + C sen ZM> + c * s e n V - ¿ 2 s e g 3 ^ T¿Tr~áf£üS~l

4

<xrcoS ~

- A 2 . 2 -

por lo tanto

( L + A se\n k x 4- £> e o s K y ) I 1 + A s e n VCx + £> e o s K x \ -

con C - V^4G>2 > 4 (A2-3)

C - Primeros términos del desarrollo en serie de Fourier de:

A Sen l e * -V B e o s W x ' c o n ^ A * + ^ 2 ^ ^

i - A s e n K x - B c o s K x

haciendo el mismo cambio que en A y B queda

.-gcosV Co n C<i J-Ccos^

al ser esta una función par en T solo tiene término en eos V que vale:

/2.TT / t i J- f C cos^V ¿y? - * ¿coszy ¿4/ rr / i-CcosV *rc / A-dcosV

sis .. <ir

_CÜ¿H!_ ¿H» - -i— /" Cl-frdy n J L fl&-Z2±JLLA2L •=.

con cos^V- >J~^-

luego K

Jo con lo que

A sen VC* + B eos W ^ _ A , 2_ ( - - L - \\(A senWx + Bcoskx) + -i-(Asenkx + e>cosKx) - " o + t f ^ - C *

+(términos de orden superior)

r- , * (A2-4)

-A2.3-

Apéndice 3

Cálculo del ciclo límite cuando cu «: 1, &- -2. ¿-^ A y /* ^ 4

A#- Sin velocidades negativas en el túnel

Tenemos entonces las ecuaciones (1 * 13)

suponemos que £ - £ <c ¿ => co ==• SC4-&) y hacemos — z r 3 C¿L

g - S ^ + S y^-i-S ^ 4 - b ^ / 5• = S ^ , •+ &1 2 4 S -2.3 4 á Xi» <E ~ z + e, £z ; / * -y^i r = x ( ¿+ x, £>z4- Xa. S3+ — )

-¡ -r o • -•••• - i - o -7— t o __

- 5*2 -s4* - sV- s3 z^ -sV^^+^ls^h

4-S22^1 + g3z^+^z^3+ S^. + S ^ + S^B^+sW-

a

1 aproximación

¿Vi __ ^

el =2., 7 \

- A 3 . 1 -

como buscamos el ciclo limite suponemos \fx - C eos V2 X con C < 1

puesto que g = £ 0+ g - S + & Ü, + S*^- S Cl + C cosflx 4 $ ^ - ) y si suponemos £^0 "=> G ¿ i en 1" aproximación y por tanto zd = -\Tz £ se^iV^x

2 aproximacj-on

- ^ H , - ^ ( - ^ N z.-ZC:cosNrzx - % - % - eo^iflx

d l i = - zvj 2L 4 2-fc» - - 2- v(z - -Zíz C s ew \fz x

al aplicar el apéndice 1 tenemos

a j ^O ; bd=-2.<d ; ¿Í--2.N/2: C ; b ' d = 0 con cx=0;/3 = 4 $=.-2. ;'K*V¿

con lo que ^ ¿ ¿ + ^ = 0 N, -vf! b ^ a ^ = 2/IC-2\Í2C¡ = O

es decir que para todo C este problema nos da soluciones periódi cas. _ ^ Además a 0 = - - 4 - ; a 2 ^ 0 ; ^2. = - % ) <5L* bn^O Vn>3

a.'0- o ; a'n-b'n-o Vnn y teniendo en cuenta (A1-7) , (A1-8) y (A1~9)

además podemos suponer con las condiciones iniciales adecuadas A¿ - &¿- O con lo que

A'^-a^o

A = -^- b - —41. r*2-

^ - a - ^ L B2 — á = a z - % - - O

^ /W- Bv.-A'v.-^-O V*>/2>

-A3.2-

obtenemos entonces la solución

y , = - ^ | - Q^SQ-YI z \ f l x

* z - CL +2.C eos\T2 X - 4 - eos 2-VT

3 g aproximación

¿i x . ^

¿ ^ ~ -2.vj342?.2.+ 2 ^z -<2V^ -2x1síi=. -^x^ + C cosV2x4- C 2-

3 y por tanto aplicando apéndice 1

aA=v|c3-V2:x4C ; V-o

y yfca.j+b'jx %-2x , c +qc-e i c-2x i C= o 3

-\íz bi + aí^.o j . . i e,.. j£

haciendo pues ^ z í - £ i + S - hay soluciones periódicas para todo

c. H ÍZ

Teniendo en cuenta (A1-7) , (A1-8) y (A1-9)

como 3L 0 =0 ; a ^ ^ - G ^ V z C x ^ ; 2 L ^ ^ CZ ; <2_3 - ^ C 3

Ao= | Cz j A'0= 0 ;

tomando condiciones iniciales de manera que A¿ - Í2>¿-0

A'^cU- f - - -^ ) • B ! - 0

-A3.3-

A',-- í | c 3 • > B3-0

con l o que

"Z* = V I C ( ¿ - - ^ - - ^ } Sen \fzx - dZSen ^ x + ' ^ ^ 3 4-i-C3se.3^Ix

4- aproximación

-2X2.NJÍ

en este caso

3 \f2.a.J-+b,1^-4£x2^o —> <^Q o' x^O

o u / *—

de donde

Es decir para que exista una solución periódica distinta de la

trivial en 4- aproximación debe de ser :

-A3.4-

Esta curva está dibujada en la figura A3«1> dando para, diver­

sos valores de M± ,C en función de e^- -—, se aprecia en esta fi

gura que cerca de €- z para^u <<. i y co ce 1 la bifurcación no va e~

xactamente hacia las e. crecientes sino que para C < 1 y para

existen soluciones periódicas para£CZ# Además por extensión del

caso en el que €>^ i se ve que cuando la solución periódica rodea

una solución estable, o una inestable con un ciclo límite esta­

ble, es inestable, siendo estable la solución periódica en el res¡

to de los cansos *

Para hacer concordar este resultado con los obtenidos para los

casos de potencia pequeña y chimenea estrecha debemos sixponer que

0>if esto naturalmente hace que pueda haber velocidades negati­

vas en el túnel, por lo que se deben emplear las ecuaciones ( 2«2 )

en vez de las ( 1,13)* Vamos a suponer además que \C~4|¿x 1 (pero

d-¿>0) concretamente tomaremos C-4-+S o. con cxyO. Tenemos enton­

ces

|t) / c ¿q f2l/5 cZí/5 clwS clH^

+ & 5 + ¿> Ü4 + & > . / 5 + *> > v 5 + & 3*Va

+ ° 3M/5

6 - 2 4 S e, 4 S e¿ y ytt-yUt b ^ , 1 r7- ¿,4,/5 í-,b/S ^ ,8/5 \

t - x C U x , S 4-*2. b -t-x3 b 0+xi1 S + - - )

S'¿ *!i + ¿* é*&. + é3 + - - + S2% é*«* a ^ x d x d)( dix.

- S ^ ^ ^ Z ^ + S ^ f + s^*M/6 + ( & v ? + ¿ M l 4 s i ) -

- é ^ ( U Z c c S ^ 5 ) ^ , ¿i C O & > Í 2 X U O S ^ K | - ¿ ,X | ( 2 C O S ^ . X 4 C O S Z \ Í 2 X , ) ~

*" á /5Xd(2c». c o s a x •+-2<x eos2 \IIx) - S3x,\5. s e * VI x - ó'^x.fé a senv/Z* +

4 &x, ^.z + S ^ x , -2,tt</6- S**"^ C£ eos \T2.x 4 eos2yflx") - ¿ ><Z^¡1 sen\ í tx -

- £> /sx;z \ÍZ a. s e n fex 4- S2 / 5 x z 2 . z "" ^ ^ V i s e w V I x - S ^ V E sen\Í2x

-A3.5-

s * ^ 4- sW5 éii^ + ¿*4*i + 4- &2% á i ^ ~ c ix d x : d y ¿ ^ ~~

= - 6 Z 2 . N Í Í - S 'V / 52.^ | i J / 5- S 3 2v , 3 ^ Z ^ * , ^ - S^2\f2 s e v > \ í l x -

- ¿4/52\TIa savi^x +S 32iz+ S,V52 *(4/5 + ¿12¿i+S?"?/52^,/5-f a*** z^ / 5-+ + ^ z ^ + ¿ ^ s e ^ V l x + S* ' 5 ** S e ^ x - ^ C U ? - ^ * ! sen í l x +

+ 6l3*¿{ a2 Sen2 VTx - SZ"/S (¿1\ÍZ 2IH/6 Sen a x 4- ¿dVi a 0+V) Sen VZ x) -

- S*ei eos a* - S** e, a eos a x - e¿ NJ2 - SzV/5

ei ^N/6- £ % a sen -- S^e.^ Awftx- g^e, cos^-S^^a eos ax -S2%v - g"* e^tl s e m f l x - S 3 x » Z c o s t f i x - S ^ ' 5 2x , a c o s í l x - S Zvj vja-

- S2^5 2. x-j vjw/ - £? 2 Xá \fl s e n a x - SW/5ZXi \1 a. sevi vlx - S* *x2cos-íLx-

- S ^ Z X Í ex e o s VÍX - S 2 V 5 l x 2 v j r S ^ 5 2x2>ÍI sen Í Z x - £t/sZx¿ cosfix-

- S*Vs 2xM c o s ü x

Aproximación &

Como s2- (£¡+S)l?+S\ - ^(-ZcosVlx-coS2VIx,)+"

ajustando las condiciones iniciales de manera, que \¡¿ no tenga ter minos en seno y en coseno.

\¡z n - ^ s e n Z\ZIx ^iL-z. 2, - 2 c o s a x - cosNfix ¿ y

¿ 2 Í - - Z N U - ? * Z s e n W T x J B i - 2 c o s s f 2 x + l - - i c o s 2 \ í z :

d x

Aproximación b

+ ¿ q / 5 ( - 2 < x COSNÍIX - Z o . cosz\/2:x) + —

- j ^ = 2 w / 5 - 2 a c o s \ í i x - 2 * . c o s z \ Í 2 l x | ^ - a É se«zfcx

a x J,H/5 -> -f a - ^ eos 2.VÍ1K

Aproximación S

£ z - ( g + S ) l l* - tS | - ¿*( -2 .cos \ /z>c - c o s ^ x ) +

+ 8 , V 6 ( - 2 a coS\Í2 x - 2 o . e o s ^ x ) - $? 2.\j r ( i + cos>TIx> - '

-A3.6-

eZl±. - -2. ^ í L s ew z f l x ( i + c o s í i x ) - y j f z s e n ^ í l y <d x

-3 3

d ? 3 . _ 2 u + ¿ i Cos Í2x + 1 - 4 - eos 2 \íi x-+¿i sev\2\íH* - ejcostf lx-

- yx 2. cüS\íi><r

a l imponer c o n d i c i o n e s pa ra l a e x i s t e n c i a de s o l u c i o n e s p e r i ó d i ­

cas

V - . - % 4 -4 : COS " 2 - ^ K - -~- COS 3.\féx ° 2. G 1G

Aproximación o

+• 2 . ^ c o s 2 - ^ * ) - ^ 3 , 2 . ^ Q + cosvfl.x') + £,7/5 g ( ^ s e ^ vnlx-*-VUtt0

4- b n c o s VI \Z2.>0 con n o >> 3 luego

^ 2 . a / í , 4 - £ ( a * sevt v i \ / I *4b n cos>ni íW)

e s t o s t é rminos pueden a p a r e c e r en l a s aproximaciones s u b s i g u i e n ­

t e s pero no se t e n d r á n en c u e n t a , a l i g u a l que a q u í , porque no

a f e c t a n a l o s t é rminos de pr imer orden de l a aproximación S que

es l a que de te rmina l a ampl i tud d e l c i c l o l í m i t e .

Aproximación o

S2- (£+s)iH+si = - £~ C2cos^: x + coszn-x) - s 5 u * eos vi* +

+ 2 ex c o ^ ^ x ) - S3 Zv|, C¿4 cOSyfl'x^H- S 5 ¿. Ca.* £e\n vi fL->

+ bv, cos Y) ( f l x ) - ^ 2 / 5 (o? co<^\ f Ix 4 £ - , - - ) * ° " v\l» 3

- A 3 . 7 -

áJ^¿ s a.v5 -o? eos* *íx + ¿ ¡ - 1 s ^ . & á se«2«x4£¿-

f>2/5

, « / 5

- * * - 2 , -

Aproximación £

El té rmino en & de S - C^+S) \ ^+ & \ e s

—Í2& = 2I<V 4-GL ^ Se\n 2.\flx ( i + cos^x-) 4- a % se\r\2.\flx- cosílx-

- X, \fz ex. í>^vi \fzx - x 2 tfZ sev\ ( i x + £ ;

ci X '5 3

- GA ex cosv'Xx - e^cos \T2 x -Zxj a eos \T£x - Z ^ c o s ü x

mH?

& - -2Ls/ iq/c+ i [ a eos Vá:x 4 l - | eos 2.\f£x 4 S a. Sevi2i/¿x

a l imponer cond i c iones de p e r i o d i c i d a d a l a s s o l u c i o n e s obtene­

mos que

\1£ , . =. 3CL 4 % eos 2-tfzx - T^- eos Svflx + £ - ~

*«* = (^ " t t - &) "««* - *-*§* "«*«* * 4- - i i - c,evi 3.V2.X 4 ^_

Aproximación &.

El té rmino en £** de &2- ( £ 4 S ) l £ ,46 I e s

- ( ¿ 4 ^ 3 U+eos tfZx ))-=*!§• Cuneos Vlx4 g^--

^--^-^-2v j 3U4-cos«ax^- l |p-^e-OS^x4v J^-

co

- ^ CZcos Vüx 4 cos^if lx) - *±MX cos\ílx\eos\íIxl 4 ±Q- -

-A3.8-

¿UM - „Z\¡H + l i 3 - z i Ci + "2-2.) \Í2- s e n \n x - ¿1 \n sevn3 \Í2v l+

a * ~ ~JM

+ 2/2 se/i f l x - e, y^ - e, tfl. seytvfXx - 2 x i y2 -

- Zxj /z sevo \ f l x

obligando que no haya términos seculares

Aproximación G

El término en £ ''de £ - (£+ £")!£+S| es

? £ a?^ seva 2. x 4- £^—'

- ^ - V 5 + | § ^ sen \fl x -X3\Í2. sevifix+^--

~H^T "~ z ^ * r z * 3 e o s a x

para que haya soluciones periódicas

Aproximación o

^ q^

22/ ^

El término en £ 5de S - ( £ + S M § + ^ l es ao

- Z i f iV5 (d+eos t fzx )4 - £¿

<X>

V o

¿l )JZZ/ .-¿H* . £w/ 5 - 2 ^ U + eos Vz.>0 + I

los términos del segundo miembro son de"mucho mayor orden que e l t e rce ro luego es t a aproximación da soluciones per iód icas •

-A3.9-

^ Ve Aproximación a

El término en S /5 de £*- 0£+S) l " |+£ I es

Vi o

d ~ ^ - ~ 2 z 3 < < . - z ^ l 2 / 5 C d + Oos^x)~2v j l q / 5 cx c o s K I x -

- X7 VH £i sevi\fzx -Xi¿ \fZ S^Yi f i x + £-j¡—

dtx 5

- 2 X ¿ CLCos\T2-X - Z X 4 C Q S V^X

para que haya soluciones periódicas

z Aproximación b

x^.^+giJÍ

El término en £ 5 de £*"- ( £ + S ) 1 § + S | éi

-^)i^U^cos:íl^) + Z)i5c.coS^y+^^2.^s)^l^^^<LO^x^

4- Í M Í I Q^COSfZx -UA2 a. e o s tflx I c o s \ nx \ + X L 2.2.-J05TT /

— x 1 C2a.cos \ |2x +2<xcosz\fZx)+X1^W/(-~X2 .C2coStf2.x-v-

v»;v"

*-i2Vla. se\a3*íXx-i-Z\/2. a. s e \ a \ i íx -e , ^ - £ 1 ^ 2 . -— e,Vz. CL seva f i x - e^íz se vi-Vil x -2.Xj Vw/5-

- 2Xj Vz a <>evi \fl x - z x 2 ^ - 2 x¿ Nfz s e n {1 x

y para que tenga soluciones periódicas debe ser

3TT / Á -?TT

-A3.10-

tenemos entonces

, ifcfc

IH/5 r Z

,«4

W (A3-2 por o t ra par te de (A3-1) cuando no hay velocidades negat ivas en e l t úne l :

£-2= s'C-Z-fc'+^c» Cái

por tanto esta fórmula sera válida con d - i +S 5 C L V CX£ 0

asi teníamos que

' (A3-3)

con lo que se ve, que las fórmulas obtenidas para casos con velo­

cidades negativas en el túnel y las obtenidas cuando-las velocida

des en el túnel son siempre positivas, ccncuerdan en valor de la

función y en derivada, en el punto de transición (cL-O), es decir

que la función que da la amplitud del ciclo límite dependiendo de

£, M y <£ es de clase uno, lo cual es de esperar de las condicio

nes de regularidad en el segundo miembro de las ecuaciones ( 2«2 )• .

Podremos asi completar las curvas dibujadas en la figura A3»1

para d ^ ¿ f viendo como es el comportamiento cuando C es algo ma

yor que la unidad, además este resultado explica el porque de la

existencia en yx<ci de bifurcación hacia £> 2.Q-£0)cuando cu <:< 1

y hacia £ < 2.C4-§*}cuando G J ~ ¿ , puesto que si Co<^l, entonces

^ i , y la amplitud del ciclo límite es pequeña (cerca del cam­

bio de estabilidad € =• 2. Cd-C^)) entonces £ ~ £,+£o>0 con lo que vio

hay velocidades negativas en el túnel,rigiendo las ecuaciones

(1#13)* y aunque cuando >u<<i pero distinto de cero, la bifurca-.

ción va hacia G>2Cl-^*) llega hasta un valor máximo de £ y lúe,

go va hacia los valores de £. mas pequeños, si se siguiese aumen

-A3.11-

tando la amplitud del ciclo limite llegaría un momento en el que

£-f^+^0 pudiese ser negativo, rigiendo entonces las ecuaciones

( 2«2)> cambiando en ese momento la tendencia de la bifurcación

hacia las £ crecientes. Asi ocurre que si cu no es lo suficien­

temente grandp, la velocidad en el túnel en el caso estacionario

es lo suficientemente pequeña para que oscilaciones alrededor de

la solución puedan alcanzar velocidades negativas en el túnel pa

-ra algunas de BVLS partes, sin que se haya dado el caso de vaciar

se la chimenea en otras (o alcanzar el pinito puerto) con lo que

aparece la rama hacia £ creciente en la bifurcación. Esta rama

hacia las G crecientes corresponderá a una solución periódica

estable, como se puede deducir al rodear siempre a una solución

inestable, sea periódica o constante.

-A3.12-

-u

<3

M p4

Apéndice 4

Estudiaremos aquí, en primera aproximación, los efectos elás­ticos en el túnel y en el agua cuando estos son muy pequeños (ya que asi ocurre en casos normales), al igual que se hizo en el a-péndice 3 solamente se buscaran las amplitudes medias de los ci­clos límites, asi como sus periodos, sin tratar de estudiar feno menos transitorios*

Las ecuaciones a utilizar son las siguientes (la notación empleada es la de las figuras 1*1y1*2)

Continuidad en el túnel

Cantidad de movimiento en el túnel

— 4- Ur ,— •— -+- — — '--• «+ —-Ci-—* — ~- — —

Continuidad en la base de la chimenea (suponemos que la presión en la base de la chimenea es la misma en todas partes y vale lo que vale la presión hidrostatica de la chimenea)

43. •=. . (A-r ir\ , i , A / . . _ J > T •+ ~^p* ( M $ no varia con la presión)

A * A á (M-3)

Variación de la densidad lineal del -agua en el túnel con la presión

y> M = (/> A V ( i + £ ^ - ) (¿4-4)

Variación de la densidad del agua con la presión

f> - Pe (4 +- ¿L £ ^ ^ ) a.4$i (A4-5)

de estas dos ectiaciones y en primera aproximación se obtiene

-A4.1-

A T- Aa U -+(¿-¿0 ^ 5 ^ ) (A4-6)

Para integrar(A4-2) necesitamos conocer las condiciones de

contorno en el túnel. Las cuales se obtienen integrando la e-

cuaeion de la cantidad de movimiento a lo largo de lineas de

corriente en el embalse y en la chimenea

Teniendo en cuenta (A4-5) e integrando entre la superficie

del embalse y la entrada al túnel, llegamos a:

P<¡

de donde

U ( 1 + C L

^

^ - S ^ L - 0 si o-<iO

(M-7) ercO

Integrando ahora entre la superficie de la chimenea y la sj;

cción-2 (ver figura 1.2 ):

y entre las secciones 2 y 4 (figura A4-1)

¿L

FIGURA (A4-1)

además ^

-A4.2-

es decir

y entonces

i. p. O"2- v3-<.0 " z J (A4-8)

/i -/ex ( i + C P- P-Ms.L.)

Si suponemos ahora que la longitud del " penstock "es nula

y por tanto que la entrada de la turbina es el punto 3 ¿le la

figura A4«1, y que por tanto 2^- H tenernos que (ecuación (1#8 ))

es decir

Ahora bien de (A4-1) se tiene

y al utilizar (A4-4)

_L S^. -_ ^ ( 2£. + er £ £ ) * (A4-10)

de (A4-2) al tener en cuenta (A4-5) se sigue

-A4.3-

3t £ 3S. + a/a 3 ^ ~ + 3 s " 1 0

(A4-11)

.de (A4-3) a l t ener en cuenta (A4-9) y (A4-6)

W -4-

(A4-12)

Efectuamos las siguientes adimensionalizaciones

- V ^ 1 5 ; *~Us ; ***L; M T Y - ^ ;

./ £ W

con lo que partiendo de (A4-10), (M-11), (A4-12), (A4-7) y (A4-8) se obtiene:

(A4-14)

+ ^ : _,—-— (A4-15)

donde

V (A4-16)

-A4.4-

_ \ f V (A4-17)

0

(A4-18)

Las soluciones estacionarias para ex-O cumplirán

¿"So

vroi - a - ^ ] ^=P oo — So

es decir co - g0( i-§0 ) al igual que se obtuvo cuando no se

contemplaba la elasticidad del líquido y de los materiales•

Además

que es la distribución de presiones en el túnel cuando estamos

en régimen estacionario para oí-0*

Si suponemos <x <£<c i, se puede presumir que las soluciones

estacionarias se separan del orden de ex^de estos valores9 co

mo además para oí •=- O

-A4.5-

con lo que al integrar (A4-14) de 0 a 1 y contando con (A4-17) y

(A4-18)

y de (M-15)

es decir que es el mismo problema que se tenía en las ecuaciones (1.11) de la memoria, y el problema lineal asociado a éste tiene traza nula para £ 0- O y para e -2. C ¿ - ¿í) (con ^ ~ ^oC^-^oV? al tener ex40pero oc <c< i también, cerca de estos valores, habrá traza nula para el problema lineal asociado a las ecuaciones (A4-13) hasta (A4-18).

Si suponemos 00 <-<• 1 (%o-£> ^^ O N <=-rvjl se puede poner

' g^ S-Ci + O + S via.

5 = 6 i -ézC4+^2,)

« = £ Y x U + Sxd+—)

(A4-19)

y al despreciar términos de orden superior que S en la ecua­ciones (A4-13) hasta (A4-18)

¿ | ^ + 6l 8 ^ s g * ( * d £ + i r> í l <i£ -* i . 9&) (A4-2o )

= &Z (4- U + ^ U + ^ i D (A4-21)

-2fCí-a.)CA-HMil)) (A4-22)

-M.6-

donde

3 ¡ í = i i j l a , i ; Kw = ^ 1 ^ ; vJio-^l3ao ') ^ ° * y i U ^

(A4-23)

donde (A4-24)

P¿o- pi\r_0 ; p^o- p^l^o ; p44= PiV-i .; Pu^ P * W

además se toma como nivel nulo el del embalse y por tanto

K(Ó) = -K-l v, IAU^-1 (A4-25) En primera, aproximación de (A4-20)

y de (A4-21)

^ + §LBL _ í* áí*!l ~ O (A4-26)

integrando con respecto a "y" de O a 1

^ Í+T>ii-Pi0- % U - ^ U > - ° Por (AA-25)

y por (A4-23) y (M-24)

con lo que

=> 4^-Í Í-O

-A4.7-

es decir

y de (A4-22)

con lo que en 1 § aproximación

^ B c o s í l x ; zL¿^-{£ £> s e n ^ x (A4-27)

(se puede cambiar el origen de tiempos para obtener esta solución

siempre)

asi en (A4-26)

- \fé 6 Sen '/éX + §-& - Í£_ 4Ü2l) r=.Q

integrando entre 0 e "y"

-OféB seviVfcx*^ + P i Cx / \ { ) - P ío - ^ - ( K ( ^ ) - K?)=-0

y por tanto

p d C x , v / ) r : * £ l ^ ) +\T6 ^ B s e v ^ f l x (A4-28)

y e n segunda a-proximacion de (A4-20)

a l i n t eg ra r entre 0 e "y" -2. •J

y i - ^ z o ^ + t f U + B c o s f é x ) ( £ + £ ¡ . V ^ - ^ v/1 BcostfÉX (A4-29)

de (A4-21)

9V i +xA ^ü . 4- ¿ ^ +JL ? M i + ty^3CpA\;) TfVjcgl)^

= ^ p ( i - U+^Yw+^l)

susti tuyendo (A4-27) y (A4-28)

-A4.8-

integrando con respecto a "y11 de 0 a 1

c^v. so

- X-gt Ü Ü L ) - £ z l ( ¿ - ( i + G> eos | e x ) U 4 - B c o s í ? x | ) 3 ¿i^ £

.de (a4-23) y ( M - 2 4 )

p: >2-A~ ^c!~-'2-i~ tf<%^~/* <¿2i 1 d"2L, ¿Ax i c£x

r» - " ' 4. * " * 1 I A 3

U+^KO

->

con l o que

p -Pzo- %?u-K>)- z*-yc^-^&i&l-i

- f U - U + 3 J ) U + > J I I ) CCm C A - 4 ^ ^ 0

t en i endo é s t o en c u e n t a , con (A4-28) se l l e g a a

^ - 2 * + C ¿ - U + & c o s t é x ) U + B c o s t e x | ) -Clx

- y u ^ t f o o s ^ x Icos *Sx\ 4- ( ,r /0 CS + K ^ ^ - ^ r - +

+ V J ) ( 6 e > s e n í é x (A4-30) y por f i n de (A4-22)

con l o que por (A4-29) y (A4-27)

que con (A4-30) forma un sistema de ecuaciones en 22. e ^2.0 »

-A4.9-

que para tener soluciones periódicas debe cumplir según el apén­

dice 1, (junto con los resultados del apéndice 2)

yféaj + b'^o ; -v ib i + a ' ^o donde

a^CXi + Y^CR + R O d y - I í ^ j < i B

j - 2 6 - J j f y W e 2 BZ con Q.-sl

de donde

y por tanto

lo que nos da un nuevo periodo para los cielos límites frente al

hallado en el límite cc<c{9 sin tener en cuenta la elasticidad de

los materiales, allí se obtenía X^ - 0 , y aquí el nuevo periodo

será

y en cuanto a

'i tenemos

con ¿(g> = ^ ™ B OT

la cual es la misma solución que la obtenida en el caso de no

-A4.10-

haber tenido en cuenta, la elasticidad del liquido y las paredes (ver ecuación (1.13)), por tanto estos efectos no influyen en primera aproximación en la amplitud del ciclo límite.

Si tenemos ahora en cuenta el caso de chimeneas estrechas en el cual co <<u 1 , é>> 1 e hicimos la siguiente expansión

%-- £'No + S U + *)

£>x- tCí+ ^V,) KA. - /A b °

v3

y ahora además para que los efectos elásticos aparezcan en 2§

aproximac i ón:

<X = 0 b

de donde sale, al despreciar términos de orden superior a b ^

de (M-13) ?^o , £2/3 9if, _ _ rv3 £ £ 3 W (M-31)

de (M-14)

9 * ^ £ (A4-32)

de (A4-15) i.. ,

4 82/¿ tr ^o (A4-33) ^ 1-TLO-

x3

de (A4-16) ^ , Ah

poo + o p i 0 — V>¿ con ^0£)<0

(A4-34)

-M.11-

de (A4-17)

P d + S** p i d - A--Eo + S** C - ^ - / ; ^ | ^ l ) cevi V o i > 0

P o i + ^ P i , - l - ^ S ^ ( ^ , - ^ ^ \ ^ 4 ^ ) con ^

(A4-35)

(poo-?o<:x%0 ) po4= PoC*)^ ) pio-PiGrt^o) P Ü = - P * ^ W )

al tener como nivel nulo para, h , él del embalse las ecuaciones

(A4~25) siguen siendo validas.

Primera aproximación

De (A4-3D

podremos entonces integrar entre 0 y 1 la primera aproximación de (A4-32)

de donde resulta (junto con (A4-33) , (A4-34)y (A4-35))

(tomando el origen de tiempos adecuado)

£ 0-- 8 sen^ÍE x (A4-37)

integrando (A4-36) ent re 0 e "y" queda

p ^ C x , ^ ) - CB sevnvfE x ) y - K Of) (M-38)

Segunda aproximación

De (A4-3D

e^ ~ 2 a x 2. J

al integrar entre 0 e "y"

y A ^ v j ) - N , Í O OO - l | p ^ Z e> eos fe x

-A4.12-

y al sustituir en la segunda aproximación de (A4-32)

susti tuyendo (A4-37) y (A4-38) e integrando ent re 0 y 1 con res­pecto a"yff

~ ( T F +/^ ^ ) B Z eos \ f tx Icos \Te x l (A4-39)

y de (A4-33)

d S L ^ - E V Í A O + c*d + ? - L i ) VE B C O S \ Í E X -x ¿z

— E E> S e r > >Tex (A4-40)

y si queremos que el sistema formado por (A4-39) y (A4-40) de soluciones periódicas, según los apéndices 1 y 2 se debe cumplir que

>fe a¿+ b'd = o ; - f i ^ + a ' ^ o donde

luego de la primera ecuación

6 fEa1 + bi= C2.^+í^).\ÍEe>=o =>

- > * = - « Í E 12

es decir que al igual que en el caso A el periodo del ciclo lí­mite varía,y si al no tener en cuenta la elasticidad del medio, este periodo en ti era en segunda aproximación:

-A4.13-

ahora será

en cuanto a la amplitud del ciclo límite la situación que tenía­

mos para fluido no compresible, se mantiene puesto que de la se­

gunda ecuación, se obtiene:

_ c 2u t.. l , - i\ - 0 ^ E e> kVT=ig^ 4 >

y de aquí

que es la misma ecuación para B que la que obteníamos en (2,1 ó)

para la amplitud media d En este caso pues, pasa algo similar

al caso anterior en el que la amplitud del ciclo límite no se ve

afectada por compresibilidades del liquido pequeñas, aunque si

se modifica su periodo* . ;

Ahora como en el límite u ce i con ^0°^ i , hacernos la expansión

asintótica:

X ^ *£ C 1 4/A2 *i + )

€ - ^Ci-g^ + e ^

Tr po y* pi p* y*3 Pa

(con p0=ip0C>() pues es la distribución de presiones en el con­

ducto para régimen estacionario)

Sustituyendo en las ecuaciones (A4-13) a (A4-18) inclusive, y

teniendo en cuenta que /vi y £0> 4 con lo que se puede suponer

que £>0 en este límite:

y & c - ^ ^ - * & ^ - ^ i ^ ) (A4-41)

-A4.14-

i - i -37

• 3 á - f = ^ £+/* £ €0 1 V a 4^ Z ^ ^ + ^ ^r tf^^r2^* + 7 A a ¿ - í

^ i ^ z (A4-42)

^ ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ ^ ^ - ^ Z a - ^ ^

~V^ ? ^? j |> V * «i Sil ~/¿ ^ r *1 : (M-43)

~ /^ 3 C^+ ^ . j ^ i j + Ka.C-l-§2-)21) (A4-45)

El valor de p 0 viene dado por

á^e + 3^

1£ aproximación

l ^ ^0 = - K + ¿ ( ( 4 - O 3 - 0

de (A4-41) ^ - = 0 => 3 Í = - 3 I O < V 3 ^ 1 1 = ^ 4 0 = ^ 1

-A4.15-

por lo que de (A4-42)

¿ H i g - ¥ ^ '.. '<*-*> al integrar desde y=0 a y=1

y como de (A4-44) y (A4-45)

Pu = - *i

se deduce

y de (A4-43)

^ = . 2 ( 1 - ^ ) ^ + 2 1 , ^

tomando como solución de este problema (buscamos solo la ampli­

tud del ciclo límite)

vjA - fe eos Ve x

^A " ~ K 6 sevo Kx + 2.£c£> eos Kx

i n t eg rando ahora (A4-46) de 0 a ftyff

luego

P i - ^ r 2 ( ( i - f ) y - O k cosk.x + V<v/ B sewVcx

2^ aproximación

de(M-4D | & . =, - * g0 á&»

al integrar entre 0 e "y"

^=- ^zo+ *§o C « + ^ 0 - * S O 3 . (A4-47)

coví K = "2-Ci-3§^)

•A4.16-

de (A4-42)

sustituyendo (A4-47) e integrando de 0 a 1 con respecto a "y":

de (A4-44) y (A4-45)

P*o- -y Yzo x +"z^ u¿*'T)

PZI= ~ ^ + % Ci-^o^2" 2L

obteniéndose

• d^2_

y de (A4-43)

con lo que al tener en cuenta (A4-47) queda

,1 *

-A4.17-

Sustituyendo ¿ y 2.4 por su valor se tiene como solución par­

ticular de este sistema de* ecuaciones a:

y * o ^ Ao + A 2. s e n 2-VCx + B T . eos Z K x

*ZZ ~ A'o^"" A ¿ s e n Z k x -4- V i n c o s 2.Wx

donde (por el apéndice 2)

+ ^ SÍ- f Ci-s?)l+2 i ^ Si [^ dy)

A*"~ 3WC1-ÍÍ1) B ' * 6Cl-fí)C¿-3gn

3- aproximación

de (A4-41)

sustituyendo p y p0 por su valor e integrando entre 0 § "y"

obtenemos

*>* i/3o~ í C- C¿ + «O + T Ci-3CoZ) 3* + 3£ * ) B eoskv-

- y^SoC2-:/- - ^ Z)& se. Kx (A4-48)

de (A4-42)

-A4.18-

sustituyendo la expresiones obtenidas en (A4-48) y (A4-47) e in­tegrando entre 0 y 1 con respecto a "y11:

á

4" C^i - o ) + P31 - Pao - «a. C po, p„ - ?oo PÍO') =

y por lo tanto al agrupar términos (^y Pao se obtienen de (A4-44)

y (A4-45))

(A4-49) y de (A4-43) se obtiene

-A4.19-

al utilizar (A4-48) y sustituir p A / p 0 / Nf20/£¿ t y± /"^j por sus expresiones queda:

(M-50)

Las ecuaciones (A4-49) y (A4-50) constituyen un sistema de dos

ecuaciones diferenciales en las incógnitas y3oO>0 y "2-3Cx) , ya

que se puede sustituir ^ \j 1 x e ^ Í O por sus expresiones en

función de x, además para que no aparezcan términos seculares en

la solución de este sistema, según los apéndices 1 y 2 se debe cum

plir: - 2 . § o b ¿ 4 V C a * * W¿ = 0

- zgoax-^bi + a'^o siendo

a-i» ¿ T ^ B 3 - ^ C1-3.SJ)** (*-£)**£.* B^+x, B+

+ K y ( /< R+ ROdj - Í C ' ~ | g ° % ^ + ^ ) B

A ~ ¿ 5 0 * Jo

+ — _ ^o + — _ ^ — £o j ^

- A 4 . 2 0 -

1 (i-agíKi-S.1) i - s í " ^ Ü-ss^f1 ( i-SÍ)4* Bl-+ ^ f g C"( i -£)U-a£) K£ -

U-So)U-5S?)+i-C 1-3 ' | ) U"^>-i-í j iegj1 í-iídy +<x

de donde resulta

- Be 1 ( i f f | ° , ) + 2K>Í1B+ i fA iS=0 1 ~ So

« i - a í . ' ) ^ ) 6 ^ 1 ° (i-í.) B-y.geiB-

'CM-so

^ Cí-3^)"H¿-^B^yA,B = o

hiendo

A * = l ^ i ; (a CCi-56.1)- ^ ü £ ) ) / L J + a a - ^ ) C 3 - u $ ) -

. De la segunda de las ecuaciones se objtiene la amplitud del ci­

clo límite, que será la solución de la ecuación:

2 U-3 Sí) U-SÍ) 3Tr

A"" So

-A4.21-

lo que dará como soluciones

.?*.. -»XV¿

y de la primera ecuación se obtiene:

Al comparar estos resultados con los obtenidos sin tener en

cuenta los efectos elásticos, se ve que como en los casos an­

teriores queda afectado el periodo del ciclo límite al introdu

cir la elasticidad del fluido y los materiales, pero en este ca

so además se produce una modificación en la amplitud del ciclo

límite para cada valor de e¿ ~ (6-iO^So))/^ que se puede re

sumir a la vista de la figura 3#1 en un desplazamiento de las

parábolas dibujadas, a la izquierda c a la derecha según sea

J\2<0 o A¿>0 • En realidad sirven las mismas curvas sin mas que

poner la cantidad 6¿ ~ ft A 2 ÍLLÍE en vez del valor Q,x .

Como resumen se puede decir que en todos los casos se ve a—

fectado el periodo de los ciclos límites, con respecto a los

valores hallados sin tener en cuenta efectos elásticos, no ocu

rre así con las amplitudes de los ciclos límites, ya que estas

para valores iguales de los parámetros permanecen inalteradas,

incluso en el ultimo caso donde lo que realmente se observa es

un desplazamiento del límite de estabilidad en el plano de los

parámetros {€ ,°->), debido a la elasticidad de los materiales*

-A4.22-

Apéndice 5

Se estudiará aquí, para el límite de potencias pequeñas, un

caso particular del modelo estudiado en el capítulo 5, en el

cual se presentan soluciones periódicas de un tipo distinto al

que se presentaban en los capítulos 2 y 3«

Por simplicidad supondremos en este caso:

b4

^O > > 1

0

£ = & -

h R

0 0

- 0 = o = 0

de manera que » \

c¡¿ K.

Con e l l o de (5 .22 ) obtenemos

"\

y ( A 5 - 1 )

dt tf 2

^ V T Z ^ - Lti-g-z~£)íiMg^¿s-í«&%^M; j

Si suponemos p o t e n c i a s pequeñas / G>0-£><<i y tomamos

L = L ~r- ; v - 1/ a C cov\ L ^ ¿ j V 'v 1 ) , pa ra t iempos muy

pequeños ^ - S ¿ Ccova 2 ^ i ) tenemos:

(A5-2)

- A 5 . 1 -

+ |X U + ?1) ? + | ^ U Í3S + 0 €; (A5-2) C| no c¿ vio

Buscaremos soluciones del tipo

donde las variables \(^ > i. / v¿ ' u¿- dependen del tiempo medido

con tres escalas, asociadas a los tiempos de respuesta del re­

gulador, chimenea y amortiguamiento de la chimenea

X - S C i + S Vj + ¿LY¿ + ) ;

X t = . g S U + S * i + — ) (A5-4)

Supondremos además para poder describir las soluciones perió dicas con la teoría de bifurcación, que

|j^-|^<i-fi*-3«6»)+6 v^+S*^ (A5-5)

puesto que la traza del problema, lineal asociado a las dos ul­

timas ecuaciones de (A5-2) se hace nula para

Esto obliga a movernos cerca de valares C{<0 ., lo cual no

se da en la realidad, pero la posible bifurcación que aparezca

en este punto puede alcanzar la zona de validez de los parámetros,

aparte de que el método utilizado en este apéndice puede ser se­

guido cerca de cualquier otro punto de cambio de estabilidad esté

o no esté dentro de la zona de validez de las ecuaciones.

Tornando entonces (A5-3), (A5-4) y (A5-5) y sustituyendo en

(A5-2) obtenemos

-A5.2-

• > , \ " " " " ' * . \ \

£ t ^ + £(§£+Xi^ 3 x 3 x

•^IMf)-^^ + | % ) 4 S 3 ( ^ + x , ^ i + * a ^ i + 3 * L +

(A5-7)

5 + *?c£* +*. %* 4-^y+ s \ 8 £ + « ^ + * * £ + | | + 3x • w v ©x • "• ex " ©x ' ~ v Sx " "• 9x ' "¿ ex ax

bi t C\*i Zi*tí + | f ^ C S ¿ ^ Vd + S* ^ ^ + $ % V2 )

CiV»o (A5-8)

<9x v 3 x A 3 x 3 / y v 9 x J 8 x 2 8x Sx

- T S3o< C& + V4) V i 2 - 1 ( S ^ + S 3 * * ) - t ( S ^ v/A + fe3 ^ +

+ ^ 2 i V 2 ) (A5-9)

c o n

1S aproximación

De (A5-6) y (A5-7)

8x J y de (A5-8) y (A5-9)

£ > * 7*'. v.2. x7 *

3K t v4

^ - . ^ C x ^ ) * - Z L j ^ i C X , * ) (A5-10)

u, =• ^ - C<3> sevi K x - A eos Vcx)

(A5-11)

- A 5 . 3 -

donde por el apéndice 1 : K ~ * L , „

En esta escala el regulador responde armónicamente , por ha­

llarnos cerca del límite de estabilidadf y no se observan cambios

en la chimenea y conducto de alimentación*

2S aproximación

De (A5-6) y (A5-7) con (A5-10)

Bx 3x

8x 39 J

(A5-12)

integrando los dos miembros de las dos ecuaciojnes-dé''(A5~12) en­tre 0 y ^=^ > y obligando a que yz y " z sean periódicas de

ü ve K periodo 2U * se tiene:

K

c9x vj i - AC*^ Sevn \T£x + B G O cosvfex ( A ^

2.j - - \ f e C "5 se\r> \fex — A e o s ^íex)

y teniéndolo en cuenta en (A5-12)

(A5-H)

- ' i , Cx,m +• §• CB sev>Kx-A cosWx) K

Por otra parte de (A5-8) y (A5-9)

9x 2 Bx 9x

(A5-15.)

y para que tenga soluciones periódicas en x," por el Apéndice 1:

Ka-¿Vvb'^° -i *io ^ - • ¿ t * * a i * ° (A5-16)

-A5.4-

con

a.j - x v< e> - A - v^ A + !§iX B A A

bA ^ - x , K A - é - ^ B + !§¿I ^ B

Si llamamos C e o s ( k x +*f ) - A se.v\ k x + B cosVcx

de (A5-16) se o b t i e n e que s i :

Xi = O /v U a = O \ (A5-17)

en tonces

^ , h o (A5-18)

Con las condiciones (A5-17) se tiene

&! * - Á + |f\ "El A • cité

y las ecuaciones (A5-16)

¿ - - ¿ § ^ A + T * S

Con ello las ecuaciones (A5-15) tienen las soluciones

-A5.5-

Vz - 2.J. 4- A i Sen Wx 4- SJL eos Wx

U z - t v ? ^ + X ( & s e n Vcx - A i c o s k ^ ) + U5-19)

Donde A¿ y Bj estarán determinados por las condiciones ini­ciales o condiciones de periodicidad en aproximaciones sucesivas.

3- aproximación

De (A5-6) y (A5-7)

Integrando entre 0 y =~r y obligando a que "B e ^3 sean pe, riódicas y de periodo 23$ f queda:

-•S (A5-20)

y de la sección 2 del capítulo 2 ( 2.5) tenemos que si X^-Q entonces P - ¿te y que

4JJ ^ £J3 _ c • J-Cc) (A5-21)

con

í c c ) = ' ' - * — o s - g f +3n.C2 + é i ) V E ^ G>'1

C £ l

donde

Y de (A5-8) y (A5-9) .

- A 5 . 6 -

9 x QhjC" 3 z 9x 3"? 8x

l i íá . =. T v3 - ^ ?Üi _ Sii? - i H i - t Ci +ioO Vi -toe C a-kv/W?--o x 9x Q* 9><

Al imponer condiciones necesarias y suficientes para la exis­

tencia de soluciones periódicas en estas ecuaciones, teniendo

en cuenta (A5-10), (A5-11), (A5-14), (A5-15) y el Apéndice 1:

4^4A + ¿+2>cx .+ f¡-ot Cz+ £z) B 0

(El punto sobre la letra significa -r r y el apostrofo -—=~ )

Combinando adecuadamente las anteriores ecuaciones y teniendo en cuenta las obtenidas en (A5-16) junto con (A5-17):

dCM^) __ fe tAAi + B B 0 _¿ d_^> +

Sabiendo que * _

y llamando Q - A A¿ 4 B B¿ queda:

+ f-o<kj; U y e e,tó (A5-22)

teniendo que la solución general de

B i Q + ¿Cx)

£> V f *•» Cri <Ar y / k £ f^U-bJclp i iL f l i r t <Ar

Q - c, c°} e*-J° ' + (/ e IW J° . iCp> d P ) e*!«* 'Ó

Si obligamos a que sea periódica en x y de periodo -j=r (que es el periodo de l^C*) )f entonces se d.ebe cumplir

' fzvr p

/¿> *

Luego para que Q - A A A + B B4 sea periódica en ic y de periodo 2£L , según (A5-22) se debe cumplir

Jo (A5-23)

Y por (A5-13) /^,dx =. j, + efe y si la constante se en­globa en U , podremos poner f^tdx ~yi , resultando además

^ . (A5-24)

'* ÍAC>n d x ^ O O í

-A5.8-

Se tiene también que: ,2TT

%, (?) a x - 21T A 0

Y\=-t iendo £ Ao + <¿L ( A * S e n Y\ \ féx + &v\ CoS n ( 6 K )

y por e l Apéndice 1, de la,s ecuac iones (A5-20)

A 0 - - a . D

siendo

— i / 2 T r -= "¿r / ( A- C í + 2 " c o s H í ) | l + C c o s V O dH'

siendo C W Á 2 - M 5 Z "3 M ^ ^ x + H ? >con T^ __-jr

4e donde • = *

| r U + § 0 c r c o S - L . - j ^ V ^ T " n C * d a ° r " >a + Tr v a ' .2 ; ~" c

y

Z5* C o n G £ ¿

¿ L 0 -'O f $ ( ' ? + &V3T-&U*í )*«*£) c>,l

- A

,y por otra parte :

c£ i (A5-25)

^ V f £ Ct e^C^^)ax

= / exp c f e ^ S e y i \ r § ^ + B c o s ^ x ) ) ^ x :

- A 5 . S -

= 4= I e«?(^C eos Y) 4? - ^ fexpC^cos^ dV = Vé CJirto.

_ 2-Tr T / S. Vi

IoC^c) (A5-26)

•Donde

.!««>-£ ¿ / _ eos 9 aé

'es una función modificada de Bessel de orden nulo, que viene re­

presentada aproximadamente en la figura (A5-1) ( 1 )

FIGURA (A5-1)

o i <i fe 8 lo 2

•Susti tuyendo (A5-24) , (A5-25) y (A5-26) en (A5-23)

(A5-27)

con

G C c ) ^ ^

— ( l + ~ ) cxrcos-4: cov\ G >s i

do vi C <A

•La de r ivada ele 6 CC^ es

G'CC) - 'C U - | - C ^ ^ - g ^ f )) C J Q V \ OÍ

- A 5 . 1 0 -

y como 2,. a r C 0 s ¿ ¿: i \ / d ^ C < o o TT G

resulta que & (C) es monótona creciente y continua siendo G(o)=0 y Q¿vn GCZ!) -oo

Las ecuaciones (A5-21) y (A5-27) determinan el comportamiento en primera aproximación de la amplitud de ^i / S ; ¿ v " siendo esta primera aproximación

?i =• S 5" eos M*

S = - S 5 í i sen M7

? - - £ U evep (i- |¿£ ^ eos ÑP ) e o s V

Las ecuaciones (A5-21) y (A5-27) forman un sistema autónomo, con las variables dependientes C y "U y variable independiente

Los puntos singulares de ese sistema serían los correspondien tes a valores de G y U constantes, que darían lugar'a soluciones periódicas en el sistema inicial (A5-2).

Así de (A5-21)

^=0 - f._N , (A5-28)

y de (A5-27)

\J - O

^+e TL iit G(c) V (A5-29) ^* =. Z _.jfe cVtá

2(é c\w| - ^ 2 ^

con G^O como loí0^- ¿ y 6 (&} - O ^ la segunda ecuación de (A5-29) queda

~A5.11.

que tendrá solución para \)¿ >^ - é (A5-30)

La ecuación ~ =. 4-CC ) , tiene solución para £>Z como se vio en ( 2.6) • Luego la segunda ecuación de ('A5-29) tendrá solu ción cuando

Podremos distinguir entonces cinco casos:

(A) 0<-&¿ 2. y y ¿ < - £ En este caso tendremos un solo punto singular

(B) 0<fe¿2. y V¿>-£ En este caso habrá dos puntos singulares

/ V 6

(C) e > Z y V) z<-é v

Dos puntos singulares en la zona de validez C > o , U > O e± (2,U)= (o, o)

2 a C^u)-cs:c^o) con K^V-

(D) 6 >2 y - € 5. \)¿ < - é. + ^ Í £ - G C ¿ C ^ ) \fé civil

Tres puntos singulares en la zona de validez C > 0 ; U >0

&i C£, U) - Co, o)

_ / Vj.+ & k

V V& Z!M

(E) € > z y v>z> - é + %S^ S¿£, (S CGCO)

Cuatro puntos singulares en la zona de validez C>0 , U > 0 Ei C^,V^) co, cO

-A5.12-

£2, C 5,U) - Ce: Ce), O) cem j-CCCe^a ¿|

Ve S.KIS

fe^!^) La matriz caracteristica del sistema lineal asociado al pro­

blema (A5-21) y (A5-27) cerca de los puntos singulares es:

y los autovalores del sistema son:

Donde los valores que se dan a C y U son los del punto sin­

gular en consideración* Por lo que en las diferentes casos tene­

mos:

(A) Un solo punto singular que es inestable porque

A x — > 0 .

porque £ < 2. y V^ < • * - £ •

y la solución trivial es inestable porque en el plano ( C , XJ ) es

un punto puerto, con -un autovalor X¿>0 • Bsto significa que do los dos movimientos desacoplados ( G^, 5 ) y ( %¿t ) e^ segundo

-A5.13-

es inestable y el primero estable, en conjunto el problema resul­

ta inestable.

(B)

B1 En este caso la solución trivial es un nodo estable por­

que

B2 Rodeando a la solución trivial del movimiento (%Z9 ^ ) existe una solución periódica que es inestable porque para ella.:

Lo cual representa un punto puerto en el diagrama de fases del sistema formado (A5-21) y (A5-27)

(C)

01 En este caso la solución trivial es un nodo inestable

puesto que los dos autovalores son negativos

X, €-2, ^ 0 porque G > 2.

02 Rodeando a la solución trivial del movimiento (%[9 S ) existe una solución periódica que es estable pero que aparejada

a la solución trivial del segundo movimiento ( %t, V\ ) que es inejs table, da en conjunto "una solución inestable, puesto que

Ai -— £ ¿* C4CC)) ^ Q p 0 r x a s características de ^CQ) d c

(D)

D1 La solución trivial es un punto puerto porque la solu-

-A5.14-

ción nula del movimiento (C y ) se hace estable, en conjunto

la solución es inestable:

X, . €¿2= >o

D2 Es inestable porque:

D3 Es una solución que es nodo inestable porque

La situación es entonces una solución trivial inestable rodea­

da de una solución periódica estable (D2) asociadas al primer mo­

vimiento (£¡(, "S ) Y 'una solución trivial en el segundo movimiento

(ÉJ^, V\ ) que es estable y está rodeada de una solución periódica

inestable cuando está asociada a la solución trivial inestable del

primer movimiento y es inestable y única cuando está asociada a la

solución periódica del primer movimiento• En conjunto esta situa­

ción parametrica da lugar a una solución inestable*

(E)

E1 Solución nula inestable

*• ~ szr>°

aunque sea estable en el segundo movimiento (%l9 ^ )

E2 Solución estable, porque:

-A5.15-

E¡3 Solución ine s t ab l e

1L >,- ^ >o

X, * v^+fcXD '2.

E4 Solución inestable

dlci

V e c'.Kb

Las soluciones en el primer movimiento (^» ^ ) son dos, la

trivial que es inestable y la periódica que la rodea que es es­

table, y ambas pueden estar asociadas a las dos del segundo mo­

vimiento ( ¿, Vn ) la trivial que es estable y las periódicas que

son inestables.

Las dos únicas soluciones estables se dan para (B) con G <Z

y ^ i > - £ » 7 Para (E) con €>2L y

En el primer ca,so tal solución es la trivial que además para el

segundo movimiento (C?. >"^ ) está rodead-a de una solución perió­

dica inestable, dando una zona de estabilidad alrededor de la

solución estable• En el segundo caso tal solución es una no nu­

la, compuesta por una periódica que rodea la trivial inestable

del primer movimiento (4\i S ) y por la-trivial estable del se­

gundo movimiento ( , V\ ) que está rodeada a su vez por una pe­

riódica inestable, que delimita una zona-de estabilidad alrededor

de la solución nula. Conviene hacer notar además que la bifurca­

ción en el segundo movimiento ( ¿, v\ ) se produce hacia las V¿

crecientes, que es zona de estabilidad de la solución nula, luego

-A5.16-

si la bifurcación siguiese en este sentido podría, alcanzar la zo­

na de las C¿ positivas delimitando una zona de estabilidad al­

rededor de la solución nula que es esta.ble para estos valores de

^ i .

En la figura A5-1 está representado el plano de los parámetros

(é,^2), con las zonas delimitadas en los párrafos anteriores para

-un valor determinado de ——*> •

-A5.17-

4. H

2 H

- Z H

- 1 -J

FIGURA (A5.1)

t.>. M

B I B L I O G R A F Í A

(1) Abramowitz M.; Stegun I. A* "Handbook of Mathematical

Functions" Pub. Dover. New York 1.965o

(2) Arnold V. "Equations Différentielles Ordinaires"

Pub. Mir. Moscú 1.974o

(3) Aronovich G.V. y otros "Water Hammer and Surge Tanks"

Israel Program for Scientifie Translatidns. 1.968.

(4) Colé J. D. ffPerturbation Methods in Applied Mathematics"

Pub. Blaisdell 1.968

(5) Kevorkian J#; Colé J.D. "Perturbation Methods in Applied

Mathematics" Pub. Springer-Verlag. 1.981

(6) Courant R.; Jolin F. "Introduction to Calculus and

*Analysis" Pub. Interscience 1#965o

(7) Chaundhry M. H. "Applied Hydraulic Transients"

Pub. Van Nostramd Reinliold. New York 1.979.

(8) Chaundhry M. H.; Ruus E. "Surge Tank Stability by Phase

Plañe Method" Journal of the Hydráulics División,

Proceedings of the A. S. C E . . Abril 1.971.

(9) Escande L. "The Stability of Throttled Surge Chambers"

Water Power. Junio 1.952.

(10) Evangelisti G. "Sopra la stabilitá delle grandi oscillazione

nei pozzi piezometrici" LfEnergia Elettrica. Diciembre 1«951•

(11) Priedrichs ICO. "Advanced Ordinary Differential Equations"

Pub. Gordon and Breach. 1.965*

(12) Guzman M. de "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Teoría

de la Estabilidad y Control" Pub. Alhambra. Madrid 1.975*

(13) Hurewicz W. "Sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias"

Pub. Rialp. 1.966.

(14) Jaeger Ch. "Fluid Transients" Pub. Blackie 1.977

(15) Jaeger Ch. "A Review of Surge-Tank Stability Criteria"

Journal of Basic Engineering^Transactions of the A. S. M. E.

Diciembre 1.960.

016). Karris A.W. " Large Water-Level Displacements in the

Simple Surge Tank" Journal of Basic Engineering.

Transactions of the A, 3. M. E. . Diciembre 1.959*

(-17) Nayfeh A.H. "Perturbations Methods" Pub. John Wiley and

Sons. 1.973.

(18) Nekrasov B. "Cours d* Hydraulique" Pub. Mir Moscú. 1.967Í

(19) Pontriaguine L. "Equations Differentielles Ordinaires"

Pub. Mir. Moscú 1.975.

(20) Rich G.R. "Hydraulic Transiente" Pub. Dover. 1.963.

(21) Ruus E. "Stability of Oscillations in Simple Surge Tank"

Journal of de Hydraulics División. Proceedings of the

A. S. C. E. Septiembre 1.969

(22) Weinberger H.P. "Ecuaciones Diferenciales en Derivadas

Parciales" Pub. Reverte. 1.970.

(23) Wylie E.B.; Streeter V.L. "Fluid Transients"

Pub. Me. Graw-Hill. 1.978.

(24) Keller J. B.; Antman S. "Bifurcation Theory and Nonlinear

Eigenvalue Problems" Pub. W.A. Benjamin 1.969.

(25) Marsden J. E.j Me Cracken M. "The Hopf Bifurcation and its

Applications" Pub. Springer-Verlag 1.976.

<26) Crandall M. G.; Rabinowitz P. H. "The Hopf Bifurcation

Theorem" University of Wisconsin., M.' R. C. Technical

Summary Report nS 1604. Abril 1.976.