oscilaciones amortiguadas
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5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
1/145
Osc. Ondas y Termodinmica
OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINMICA
MDULO ! OSCILACIONES
"i#$ras cedidas en %ar&e %or '.(. "reeman)'or&*, +$e %er&enecena i-ro "/sica, 0a. Ed.1, 2.A. Ti%er, Ed. Re3er&4
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5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinmica
Mdulo 1: Oscilaciones
Leccin 1. Movimiento Armnico Simple
(MAS o MHS)
. Cinem&ica de MAS..5 "$er6a es&ica. Dinmica de MAS..7 E8em%os de MAS.
9masa:m$ee, %4nd$os,sis&emas de m$ees, ...;
.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo
de ener#/a %o&encia..= M4&odo de a conser3aci>n de E.
Leccin 2. Oscilaciones amortiguadas
5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones
amor&i#$adas. "ac&or de caidad.5.< Amor&i#$amien&o cr/&ico y
so-reamor&i#$amien&o.
Leccin 3. Movimiento Armnico or!ado
7. Osciaciones ?or6adas. Ec. di?erencia.7.5 So$ci>n de a ec$aci>n di?erencia.
Es&ados &ransi&orio y es&acionario. 7.7 E8em%o! m+$inas #ira&orias.
7.0 Resonancia en am%i&$d y ener#/a. Im%edancia de osciador.
7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$ra
de a resonancia.
Leccin ". Superposicin de varios MAS
0. 2rinci%io de s$%er%osici>n.
Re%resen&aci>n ?asoria.0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.
0.7 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.
0.0 S$%er%osici>n de dos MAS dedirecciones %er%endic$ares.
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Osc. Ondas y Termodinmica
Mdulo 1: Oscilaciones
Leccin 1. Movimiento Armnico Simple
(MAS o MHS)
. Cinem&ica de MAS..5 "$er6a es&ica. Dinmica de MAS..7 E8em%os de MAS.
9masa:m$ee, %4nd$os,sis&emas de m$ees, ...;
.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo de ener#/a %o&encia.
.= M4&odo de a conser3aci>n de E.
Leccin 2. Oscilaciones amortiguadas
5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones
amor&i#$adas. "ac&or de caidad.5.< Amor&i#$amien&o cr/&ico y
so-reamor&i#$amien&o.
Leccin 3. Movimiento Armnico or!ado
7. Osciaciones ?or6adas. Ec. di?erencia.7.5 So$ci>n de a ec$aci>n di?erencia.
Es&ados &ransi&orio y es&acionario. 7.7 E8em%o! m+$inas #ira&orias.
7.0 Resonancia en am%i&$d y ener#/a. Im%edancia de osciador.
7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$rade a resonancia.
Leccin ". Superposicin de varios MAS
0. 2rinci%io de s$%er%osici>n.
Re%resen&aci>n ?asoria.0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.
0.7 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.
0.0 S$%er%osici>n de dos MAS dedirecciones %er%endic$ares.
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado.
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado
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7/145Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado
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8/145Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado
*&&%!))@@@.sc.e*$.es)s-@e-)?isica)
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ -
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9/145Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado
*&&%!))@@@.yo$&$-e.com)@a&c*3B&+#3CNE
*&&%!))@@@.sc.e*$.es)s-@e-)?isica)
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0Ehttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E -
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10/145Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)
Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado
*&&%!))@@@.yo$&$-e.com)@a&c*3B&+#3CNE
*&&%!))@@@.yo$&$-e.com)@a&c*3B=?MY+AmFG6U
*&&%!))@@@.sc.e*$.es)s-@e-)?isica)
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0Ehttp://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzUhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzUhttp://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E -
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11/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
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12/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fel= k x
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13/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k x
v
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14/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k x
Fosc= FE cos t
v
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15/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k x
Fosc= FE cos t
v
HEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente
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16/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k xLa 2daley de Newton queda:
F= k xb x FE cos t = m x
Fosc= FE cos tHEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente
v
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17/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k xLa 2daley de Newton queda:
F= k xb x FE cos t = m x
x b
m x
k
m x=
FE
m cos t
$c. di#erencial de lasoscilaciones #or!adas
Fosc= FE cos tHEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente
v
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18/145Osc. Ondas y Termodinmica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k xLa 2daley de Newton queda:
F= k xb x FE cos t = m x
x b
m x
k
m x=
FE
m cos t
x 5
x
E
5x=
FE
m cos t
Donde: = b/2m es elparmetro de amortig.
!
2=k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
$c. di#erencial de lasoscilaciones #or!adas
Fosc= FE cos tHEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente
v
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3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:
Fr= b v
Fel= k xLa 2daley de Newton queda:
F= k xb x FE cos t = m x
x b
m x
k
m x=
FE
m cos t
x 5
x
E
5x=
FE
m cos t
Es una ecuacin diferencialdesegundo orden" lineal"a coeficientes constantes#no homognea
Donde: = b/2m es elparmetro de amortig.
!
2=k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
$c. di#erencial de lasoscilaciones #or!adas
Fosc= FE cos tHEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente
v
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20/145Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=F
E
m cos t
-
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21/145Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=F
E
m cos t
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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22/145Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=F
E
m cos t
x 5 x E5
x= E
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
-
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23/145Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=
FE
m cos t
x 5 x E5
x= E
x t=& e t
cos
t
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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24/145Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=
FE
m cos t
x 5 x E5
x= E
x t=& e t
cos
t
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=
FE
m cos t
x 5 x E5
x= E
x t = & cos t
2ro-aremos con!
x t=& e t
cos
t
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=
FE
m cos t
x 5 x E5
x= E
x t = & cos t
2ro-aremos con!
x t=& e t
cos
t
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=
FE
m cos t
x 5 x E5
x= E
x t = & cos t
2ro-aremos con!
x t=& e t
cos
t
&
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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Osc. Ondas y Termodinmica
Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:
De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x=
FE
m cos t
x 5 x E5
x= E
x t = & cos t
2ro-aremos con!
x t=& e t
cos
t
$stadotransitorio
$stadoestacionario
&
Solucin de la
ec diferencial$omog%nea
Solucin particular
de la ec diferencialno $omogenea
Solucin general
de la ec diferencialno $omog%nea % &
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Osc. Ondas y Termodinmica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
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Osc. Ondas y Termodinmica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
l i d l i dif i l
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Osc. Ondas y Termodinmica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
$stadotransitorio
3 2 S l i d l i dif i l
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Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
$stadotransitorio
$stadoestacionario
x t = & cos t
3 2 S l i d l i dif i l
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Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
$stadotransitorio
$stadoestacionario
x t = & cos t
HE es&ado &ransi&orio es m$ycom%e8o.
3 2 S l i d l i dif i l
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Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
$stadotransitorio
$stadoestacionario
x t = & cos t
HE es&ado &ransi&orio es m$ycom%e8o.
HTransc$rrido $n &iem%o ees&ado &ransi&orio desa%arece y
+$eda s>o e MAS es&acionario.
t
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Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
&
$stadotransitorio
$stadoestacionario
x t = & cos t
HE es&ado &ransi&orio es m$ycom%e8o.
HTransc$rrido $n &iem%o ees&ado &ransi&orio desa%arece y
+$eda s>o e MAS es&acionario.
HLa ?rec$encia de MAS es&acionario es a misma +$e a de a ?$er6aoscian&e.
t
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La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x t = & cos t
3 2 S l i d l i dif i l
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La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
3 2 Sol cin de la ec acin diferencial
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La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
3 2 Solucin de la ecuacin diferencial
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La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=
FE
mcos t
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
3 2 Solucin de la ecuacin diferencial
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La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=
FE
mcos t
cos t=cos tcos sin tsin
sin t=sin t coscos t sin
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
3 2 Solucin de la ecuacin diferencial
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La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=
FE
mcos t
usando: cos t=cos tcos sin tsin
sin t=sin t coscos t sin se llega a:
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
sin t&{E5
5sin 5 cos } cos t {& E55 cos5& sin FEm}= E
3 2 Solucin de la ecuacin diferencial
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Osc. Ondas y Termodinmica
La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=
FE
mcos t
usando: cos t=cos tcos sin tsin
sin t=sin t coscos t sin se llega a:
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
(ara poder cumplir esta ecuacinen todo tiempo" lo )ue apareceentre corc$etes debe ser nulo
sin t&{E5
5sin 5 cos } cos t {& E55 cos5& sin FEm}= E
3 2 Solucin de la ecuacin diferencial
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Osc. Ondas y Termodinmica
La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=
FE
mcos t
usando: cos t=cos tcos sin tsin
sin t=sin t coscos t sin se llega a:
&an = 5
E
5
5
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
(ara poder cumplir esta ecuacinen todo tiempo" lo )ue apareceentre corc$etes debe ser nuloFase inicial del mov
es el desfase entreF#x
sin t&{E5
5sin 5 cos } cos t {& E55 cos5& sin FEm}= E
3 2 Solucin de la ecuacin diferencial
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5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinmica
La solucin estacionaria del movimiento es:
3.2 Solucin de la ecuacin diferencial
x 5 x E5
x= F
E
m cos t
x t = & cos t
x =& cost
x= & sin t
x= & I cos t
x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=
FE
mcos t
usando: cos t=cos tcos sin tsin
sin t=sin t coscos t sin se llega a:
&an = 5
E
5
5 &=
FE/ m
E5550 5 5
EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.
(ara poder cumplir esta ecuacinen todo tiempo" lo )ue apareceentre corc$etes debe ser nuloFase inicial del mov
es el desfase entreF#x &mplitud del mov
sin t&{E5
5sin 5 cos } cos t {& E55 cos5& sin FEm}= E
Mdulo 1: Oscilaciones
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Mdulo 1: Oscilaciones
Leccin 1. Movimiento Armnico Simple
(MAS o MHS)
. Cinem&ica de MAS..5 "$er6a es&ica. Dinmica de MAS..7 E8em%os de MAS.
9masa:m$ee, %4nd$os,sis&emas de m$ees, ...;
.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo de ener#/a %o&encia.
.= M4&odo de a conser3aci>n de E.
Leccin 2. Oscilaciones amortiguadas
5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones
amor&i#$adas. "ac&or de caidad.5.< Amor&i#$amien&o cr/&ico y
so-reamor&i#$amien&o.
Leccin 3. Movimiento Armnico or!ado
7. Osciaciones ?or6adas. Ec. di?erencia.7.5 So$ci>n de a ec$aci>n di?erencia.
Es&ados &ransi&orio y es&acionario. 7.7 E8em%o! m+$inas #ira&orias.
7.0 Resonancia en am%i&$d y ener#/a. Im%edancia de osciador.
7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$rade a resonancia.
Leccin ". Superposicin de varios MAS
0. 2rinci%io de s$%er%osici>n. Re%resen&aci>n ?asoria.
0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.
0.7 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.
0.0 S$%er%osici>n de dos MAS dedirecciones %er%endic$ares.
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,- b v
k x
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,- b v
k x
F= m d.
dt. x x /
2dale# de 0e1ton
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
F= m d.
dt. x x /
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
2dale# de 0e1ton
F= m xm d.
dt. a cos t
b v
k x
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
F= m d.
dt. x x /
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
2dale# de 0e1ton
F= m xm d.dt.
a cos t F= m xm a 5
cos t Fuerza de lamquina sobrem
b v
k x
3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
F= m d.
dt. x x /
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
(or la #raley de $e%ton,sobreM-macta una fuerza:
2dale# de 0e1ton
F= m xm d.dt.
a cos t F= m xm a 5
cos t Fuerza de lamquina sobrem
F= m x m a 5
cos tFuerza demsobreM-m
b v
k x
3.3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
F= m d.
dt. x x /
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
(or la #raley de $e%ton,sobreM-macta una fuerza:
2dale# de 0e1ton
F= m xm d.dt.
a cos t F= m xm a 5
cos t Fuerza de lamquina sobrem
)finalmente, la ec. diferencial del movimiento deM-m es:F= k x b x [ m x m a 5 cos t ] = +m x
F= m x m a 5
cos tFuerza demsobreM-m
b v
k x
3.3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
F= m d.
dt. x x /
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
(or la #raley de $e%ton,sobreM-macta una fuerza:
2dale# de 0e1ton
F= m xm d.dt.
a cos t F= m xm a 5
cos t Fuerza de lamquina sobrem
)finalmente, la ec. diferencial del movimiento deM-m es:F= k x b x [ m x m a 5 cos t ] = +m x
F= m x m a 5
cos tFuerza demsobreM-m
b v
k x
3.3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
F= m d.
dt. x x /
La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:
Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-
(or la #raley de $e%ton,sobreM-macta una fuerza:
2dale# de 0e1ton
F= m xm d.dt.
a cos t F= m xm a 5
cos t Fuerza de lamquina sobrem
)finalmente, la ec. diferencial del movimiento deM-m es:F= k x b x [ m x m a 5 cos t ] = +m x
F= m x m a 5
cos t
x b
+ x
k
+x=
m a 5
+cos t
Fuerza demsobreM-m
HEs una oscilacin for*ada conHMes la masa total de la m)uina
Hm es la masa del rotor descentrado
FE = m a 5
b v
k x
3.3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
E"ercicio *#ro!. 2+,$despu&s de colocar un motor el&ctrico demasa m'()*g sobre una viga horizontal, &sta se fle+iona un
+'mm. -eterminar:a" elocidad angular !en rpm" que debemos evitar para que elsistema no entre en resonancia.
b" /i el rotor del motor tiene una masa 0')*g y est descentrado
una distancia a'1.2cm, 3qu& amplitud tendrn las oscilaciones dela viga cuando el motor gire a #21 rpm4 !suponer 55 1"
Solucin:
= 7J= rpm &= .E7 cm
3.3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias
E"ercicio *#ro!. 2+,$despu&s de colocar un motor el&ctrico demasa m'()*g sobre una viga horizontal, &sta se fle+iona un
+'mm. -eterminar:a" elocidad angular !en rpm" que debemos evitar para que elsistema no entre en resonancia.
b" /i el rotor del motor tiene una masa 0')*g y est descentrado
una distancia a'1.2cm, 3qu& amplitud tendrn las oscilaciones dela viga cuando el motor gire a #21 rpm4 !suponer 55 1"
Solucin:
= 7J= rpm &= .E7 cm
FE = m a
5
&= F
E/ m
E5550 5 5
Mdulo 1: Oscilaciones
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
Mdulo 1: Oscilaciones
Leccin 1. Movimiento Armnico Simple
(MAS o MHS)
. Cinem&ica de MAS..5 "$er6a es&ica. Dinmica de MAS..7 E8em%os de MAS.
9masa:m$ee, %4nd$os,sis&emas de m$ees, ...;
.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo
de ener#/a %o&encia..= M4&odo de a conser3aci>n de E.
Leccin 2. Oscilaciones amortiguadas
5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones
amor&i#$adas. "ac&or de caidad.5.< Amor&i#$amien&o cr/&ico y
so-reamor&i#$amien&o.
Leccin 3. Movimiento Armnico or!ado
7. Osciaciones ?or6adas. Ec. di?erencia.7.5 So$ci>n de a ec$aci>n di?erencia.
Es&ados &ransi&orio y es&acionario. 7.7 E8em%o! m+$inas #ira&orias.
7.0 Resonancia en am%i&$d y ener#/a. Im%edancia de osciador.
7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$ra
de a resonancia.
Leccin ". Superposicin de varios MAS
0. 2rinci%io de s$%er%osici>n. Re%resen&aci>n ?asoria.
0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.
0.7 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.
0.0 S$%er%osici>n de dos MAS dedirecciones %er%endic$ares.
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
61/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/k
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
62/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimo
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
64/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
FE
k
E
&
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
65/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
# y &
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
Buscamos la que hace m+imaA:
FE
k
E
&
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
66/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
Buscamos la que hace m+imaA:D
5 = E
555 0 5 5
FE
k
E
&
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
Buscamos la que hace m+imaA:D
5 = E
555 0 5 5
d D5
d = 5
E
5
5
5 J 5
= E
FE
k
E
&
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
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Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
Buscamos la que hace m+imaA:D
5 = E
555 0 5 5
d D5
d = 5
E
5
5
5 J 5
= E
E55 5 5 = E FE
k
E
&
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
69/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
Buscamos la que hace m+imaA:D
5 = E
555 0 5 5
d D5
d = 5
E
5
5
5 J 5
= E
E55 5 5 = E
max=E5
5 5
FE
k
E
&
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
70/145
Osc. Ondas y Termodinmica
-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento
&= FE/ mE
5550 5 5
H2ara &iende a cero
H2ara &iende a F!/m02
=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer
Buscamos la que hace m+imaA:D
5 = E
555 0 5 5
d D5
d = 5
E
5
5
5 J 5
= E
E55 5 5 = E
max=E5
5 5
FE
k
E
&
H"rec$encia %ara a +$e&es mKima.4resonancia en amplitud5
HSi E maxE
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
71/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
72/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
73/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
74/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
75/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
=
5
siendo
v t =& cos t
Velocidad del MAF
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
76/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
=
5
siendo
Hes e des?ase en&reFy vv t =& cos t
Velocidad del MAF
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
77/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
er que adems se cumple:
&an = &an
5
=
5
siendo
Hes e des?ase en&reFy vv t =& cos t
Velocidad del MAF
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
78/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
er que adems se cumple:
&an = &an 5
=
&an
=
5
siendo
Hes e des?ase en&reFy vv t =& cos t
Velocidad del MAF
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
79/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
er que adems se cumple:
&an = 5
E
55
&an = &an 5
=
&an
&an =
5
E5
5
=
5Hes e des?ase en&reFy v
siendo
v t =& cos t
Velocidad del MAF
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
80/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
er que adems se cumple:
&an = 5
E
55
&an = &an 5
=
&an
&an =
5
E5
5
=
5Hes e des?ase en&reFy v
siendo
v t =& cos t
Velocidad del MAF
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
81/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(ara la velocidad del 067 tenemos:
x t = & cos t
v t = dx
dt = & sin t
v t =& cos t
sin a = cosa /5
sin t = cos t /5
er que adems se cumple:
&an = 5
E
55
&an = &an 5
=
&an
&an =
5
E5
5
=
5Hes e des?ase en&reFy vHes cero si = !
Velocidad del MAF
siendo
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
82/145
Osc. Ondas y Termodinmica
v t = & cos t
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
83/145
Osc. Ondas y Termodinmica
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
84/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
85/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
86/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
6= m
E
55 5
0 5
Definimos:Impedancia del oscilador
vE
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
87/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
6= m
E
55 5
0 5 6=
m 5
k
5
b5
e7ercicio: E5=
k
m " 5 =
b
m
Definimos:Impedancia del oscilador
vE
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
88/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
6= m
E
55 5
0 5 6=
m 5
k
5
b5
e7ercicio: E5=
k
m " 5 =
b
m
vE
= F
E
6
Definimos:Impedancia del oscilador
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
89/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
6= m
E
55 5
0 5 6=
m 5
k
5
b5
e7ercicio: E5=
k
m " 5 =
b
m
vE
= F
E
6
Definimos:Impedancia del oscilador
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
90/145
Osc. Ondas y Termodinmica
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
6= m
E
55 5
0 5 6=
m 5
k
5
b5
e7ercicio: E5=
k
m " 5 =
b
m
vE
= F
E
6
Definimos:Impedancia del oscilador
6 8iene un m9nimopara=
!96
minB b5
&dems se cumple:
e7ercicio
v t = & cos t
vE
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=
5m v
E
5
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
91/145
Osc. Ondas y Termodinmica
v t = & cos t
La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
vE= & =
FE
mE5
5
50
5
5
vE=
FE
m
E
5
5
5
0 5
vE
5
65
E
6= m
E
55 5
0 5 6= m 5k
5
b5
e7ercicio: E5=
k
m " 5 =
b
m
vE
= F
E
6
Definimos:Impedancia del oscilador
v!es mximo
cuando = EvE
6 8iene un m9nimopara=
!96
minB b5
&dems se cumple:
e7ercicio
v t = & cos t
vE
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
92/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
i
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
93/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
i
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
94/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/ i
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
95/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/ i
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
96/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
= E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/ i
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
97/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/ i ( )
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
98/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/ i ( )
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
99/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia ( )
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
100/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*ado
est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia ( )
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
101/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia ( )
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
102/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia ( )
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
103/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
v= F
E
6cos t
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
104/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
105/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
106/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
107/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
108/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cos E t 5
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
109/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cos E t 5F= F
Ecos
Et
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
110/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cos E t 5F= F
Ecos
Et
F
Representacin fasorial
'esonancia
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
111/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cos E t 5F= F
Ecos
Et
v
F
Representacin fasorial
'esonancia
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
112/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cos E t 5F= F
Ecos
Et
v
xF
Representacin fasorial
'esonancia
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
113/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cosE t 5F= F
Ecos
Et
F
Representacin fasorial
oresonancia
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
114/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cosE t 5F= F
Ecos
Et
x
F
Representacin fasorial
oresonancia
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
vE
5
65
E
3. /esonancia en am#litud y ener&0a.
/esonancia (en energa)
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
115/145
Osc. Ondas y Termodinmica
/esonancia (en energa)
6= m
E
555
0
5 = E
En resonancia se cumple:
Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a
de la fuer*a impulsora = !
6= m 5 =b
&an = 5
E
5
5=
=
5
= 5 = E
v= F
E
6cos t v=
FE
b cos
Et
x= & cos t
&= F
E/ m
E5
5
5
0 5
5&=
FE
m 5 E
= F
E
b E
x= F
E
b E
cosE t 5F= F
Ecos
Et
v
x
F
Representacin fasorial
5=
oresonancia
vE
5
65
E
E"ercicios
E"ercicio$ un ob8eto de masa m'9*g oscila su8eto a un muelle de
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
116/145
Osc. Ondas y Termodinmica
E"ercicio$un ob8eto de masa m'9*g oscila su8eto a un muelle deconstante *')11 $m y con un parmetro de amortiguamiento'1.( s(. /i aplicamos al sistema una fuerza oscilante
7!t"'92cos!(1t" !en unidades /
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
117/145
Osc. Ondas y Termodinmica
Leccin 1. Movimiento Armnico Simple(MAS o MHS)
. Cinem&ica de MAS..5 "$er6a es&ica. Dinmica de MAS..7 E8em%os de MAS.
9masa:m$ee, %4nd$os,sis&emas de m$ees, ...;
.0 Ener#/a %o&encia es&ica.
.< Osciaciones arededor de $n m/nimo de ener#/a %o&encia..= M4&odo de a conser3aci>n de E.
Leccin 2. Oscilaciones amortiguadas
5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.
5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones
amor&i#$adas. "ac&or de caidad.5.< Amor&i#$amien&o cr/&ico y
so-reamor&i#$amien&o.
Leccin 3. Movimiento Armnico or!ado
7. Osciaciones ?or6adas. Ec. di?erencia.7.5 So$ci>n de a ec$aci>n di?erencia.
Es&ados &ransi&orio y es&acionario. 7.7 E8em%o! m+$inas #ira&orias.
7.0 Resonancia en am%i&$d y ener#/a. Im%edancia de osciador.
7.< 2o&encia s$minis&rada a osciador.
7.= "ac&or de caidad y anc*$rade a resonancia.
Leccin ". Superposicin de varios MAS
0. 2rinci%io de s$%er%osici>n. Re%resen&aci>n ?asoria.
0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.0.7 S$%er%osici>n de dos MAS!
I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.0.0 S$%er%osici>n de dos MAS de
direcciones %er%endic$ares.
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
118/145
Osc. Ondas y Termodinmica
3. (otencia suministrada al oscilador.
En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
119/145
Osc. Ondas y Termodinmica
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
3. (otencia suministrada al oscilador.
En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
120/145
Osc. Ondas y Termodinmica
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
3. (otencia suministrada al oscilador.
En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
121/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(otencia suministrada al oscilador:
(s= Fv
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
3. (otencia suministrada al oscilador.
H En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
122/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(otencia suministrada al oscilador:
(s = Fv= FEcos tF
E
6cos t
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
3. (otencia suministrada al oscilador.
H En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
123/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(otencia suministrada al oscilador:
(s = Fv= FEcos tF
E
6cos t
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
(s =
FE
5
6 cos cos5
t sin cos t sin t
cosab = cos a cosb sin a sin b
3. (otencia suministrada al oscilador.
H En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
124/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(otencia suministrada al oscilador:
(s = Fv= FEcos tF
E
6cos t
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
(s =
FE
5
6 cos cos5
t sin cos t sin t
(s = F
E
5
6cos cos5 t
5 sin
5sin 5 t
cosab = cos a cosb sin a sin b
cos5 a=
cos 5a
5
sin 5a =5 sin a cosa
3. (otencia suministrada al oscilador.
H En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
125/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(otencia suministrada al oscilador:
(s = Fv= FEcos tF
E
6cos t
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
(s =
FE
5
6 cos cos5
t sin cos t sin t
(s = F
E
5
6cos cos5 t
5 sin
5sin 5 t
( s = F
E
5
5 6 cos cos cos5 t sin sin 5 t
cosab = cos a cosb sin a sin b
cos5 a=
cos 5a
5
sin 5a =5 sin a cosa
3. (otencia suministrada al oscilador.
H En el estado estacionario la energa del oscilador es cte
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
126/145
Osc. Ondas y Termodinmica
(otencia suministrada al oscilador:
(s = Fv= FEcos tF
E
6cos t
HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.
HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora
(s =
FE
5
6 cos cos5
t sin cos t sin t
(s = F
E
5
6cos cos5 t
5 sin
5sin 5 t
( s = F
E
5
5 6 cos cos cos5 t sin sin 5 t
( s = F
E
5
5 6 cos cos 5 t
cosab = cos a cosb sin a sin b
cos5 a=
cos 5a
5
sin 5a =5 sin a cosa
otencia suministrada aloscilador por unidad de tiempo
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
127/145
Osc. Ondas y Termodinmica
g
Potencia promediosuministrada al oscilador:
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
128/145
Osc. Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
129/145
Osc. Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
(s = 5
FE
5
5 6[
E
5 /
cosdt E
5 /
cos5 tdt]
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
130/145
Osc Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
(s = 5
FE
5
5 6[
E
5 /
cosdt E
5 /
cos5 tdt]
(s = 5
FE5
cos5 6
E
5 / dt
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
131/145
Osc Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
(s = 5
FE
5
5 6[
E
5 /
cosdt E
5 /
cos5 tdt]
(s = 5
FE5
cos5 6
E
5 / dt
(s = F
E
5cos
5 6
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
132/145
Osc Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
(s = 5
FE
5
5 6[
E
5 /
cosdt E
5 /
cos5 tdt]
(s = 5
FE5
cos5 6
E
5 / dt
(s = F
E
5cos
5 6
(s = F
E
5b
5 65
cos =b / 6
otencia promedio
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
133/145
Osc Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
(s = 5
FE
5
5 6[
E
5 /
cosdt E
5 /
cos5 tdt]
(s = 5
FE5
cos5 6
E
5 / dt
(s = F
E
5cos
5 6
(s
El comportamiento de C(ses similar al de laE
(s = F
E
5b
5 65
cos =b / 6
otencia promedio
La magnitud realmente interesante es la
3. (otencia suministrada al oscilador.
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
134/145
Osc Ondas y Termodinmica
Potencia promediosuministrada al oscilador:
(s = 8E5
/ FE5
5 6 cos cos 5 t dt
(s = 5
FE
5
5 6[
E
5 /
cosdt E
5 /
cos5 tdt]
(s = 5
FE5
cos5 6
E
5 / dt
(s = F
E
5cos
5 6
6= b " =E
(s =
5
FE
5
b
(s
El comportamiento de C(ses similar al de laE
(s = F
E
5b
5 65
cos =b / 6
$n resonancia es m*+ima(s
otencia promedio
(odemos representar normalizada.
3. -nc4ura de la resonancia.
(s
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
135/145
Osc Ondas y Termodinmica
es mKima
(s ;ES (s
(s;ES
es&arnormai6ada
(odemos representar normalizada.
3. -nc4ura de la resonancia.
(s
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
136/145
Osc Ondas y Termodinmica
es mKima
(s ;ES (s
(s;ES
es&arnormai6ada
(odemos representar normalizada.
3. -nc4ura de la resonancia.
(s
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
137/145
Osc Ondas y Termodinmica
es mKima
(s ;ES (s
(s;ES
es&arnormai6ada
& medida )ue disminu#e laresonancia se $ace ms estrec$a
(odemos representar normalizada.
3. -nc4ura de la resonancia.
(s
-
5/25/2018 oscilaciones amortiguadas
138/145
Osc Ondas y Termodinmica
es mKima
(s ;ES (s
(s;ES
es&arnormai6ada
& medida )ue disminu#e laresonancia se $ace ms estrec$a
-nchura de la resonancia
Es a anc*$ra de %ico %ara(s
(s ;ES= E.