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La Clase De Keener de Funciones en laCircunferencia

Luis Arturo Gama Castañeda

Facultad de Ciencias UAEMéx

Toluca, Méx.

18 de Mayo del 2009

Índice General.

AGRADECIMIENTOS. 3

PREFACIO. 4

1 CONCEPTOS BÁSICOS. 61.1 ESPACIOS TOPOLÓGICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 ESPACIOS MÉTRICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 SISTEMAS DINÁMICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 SEMI-SISTEMAS DINÁMICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5 EJEMPLOS DE SISTEMAS Y SEMISISTEMAS DINÁMICOS. . . . . . . . . . . 49

2 SISTEMAS DINÁMICOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 572.1 LEVANTAMIENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1.1 Procedimiento para trazar la gráfica de una función en la circunferencia S1. 692.1.2 Procedimiento para trazar la gráfica de un levantamiento de una función en

la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2 EL SISTEMA DINÁMICO S1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.3 DINÁMICA DE HOMEOMORFISMOS EN LA CIRCUNFERENCIA. . . . . . . . 1302.4 CONJUNTOS Y NÚMEROS DE ROTACIÓN EN LA CLASE DE KEENER. . . . 148

3 MODELOS DIFERENCIALES DE OSCILADORES ID. 1703.1 Osciladores De Integración Y Disparo (ID). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.2 La Función de Disparo para un Oscilador ID Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . 1733.3 El Modelo KHR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.3.1 Cálculos Numéricos en el Modelo KHR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A Programas para analizar la dinámica de las Funciones de Disparo y Fases deDisparo del Modelo KHR. 183

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 185

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A Dios

A Mi Mamá y mis Hermanos

A Mis Padrinos

Al Dr. Fernando

AGRADECIMIENTOS.

Gracias a Dios que me ha permitido concluir este trabajo y gracias a mi mamá Elvira y mishermanos Jonathan y Paola por su apoyo incondicional. Muchas otras personas han sido parteen la elaboración de esta tesis que me es imposible nombrar a todos, pero para ellos mi totalagradecimeinto y cariño. Estoy en deuda con todos los profesores y amigos que han participadoen este trabajo directa o indirectamente.

Agradezco al Dr. Fernando Alberto Ongay Larios su amistad, sus comentarios y la pacienciaque tuvo durante toda la elaboración de este trabajo, sobretodo por haberme inducido en el áreade los Sistemas Dinámicos. Agradezco también al Dr. Máximo Agüero Granados y al Dr. AlfredoCano Rodríguez por el apoyo moral y económico recibido a partir de sus proyectos de investigaciónasí como por sus comentarios y correciones sobre el trabajo. Un agradecimiento especial para mimaestro y mi amigo M. en C. Ernesto Olvera Sotres quien me ha enseñado todo lo que ha podidoy me ha hecho partícipe en algunos de sus trabajos.

Agradezco los comentarios valiosos del Dr. Humberto Carrillo Calvet y del Dr. Miguel ÁngelMendoza Reyes y aprecio mucho su invitación para seguir con mis estudios de Posgrado y con elaliento de proseguir con este trabajo. Y agradezco a la Mat. Elizabeth Almazán Torres su amistady sus comentarios que siempre son muy interesantes.

Mi reconocimiento personal a la ayuda desinteresada y permanente por parte del M. MiguelÁngel López Díaz quien participó en la elaboración del software utilizado para las simulacionesnuméricas del presente trabajo.

Una palabra final de agradecimiento para quienes ayudaron con alguna palabra de ánimo o conalgún comentario atinado y preciso, en particular a todos los maestros de la Facultad de Cienciasde la UAEMéx.

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PREFACIO.

El objetivo principal del presente trabajo fue el encontrar condiciones para que las funciones enla circunferencia compleja S1 que generan sistemas dinámicos discretos no presenten el fenómenode multiestabilidad, esto es, condiciones para no generar sistemas dinámicos caóticos (el términoCaos es referido aquí como la presencia de múltiples órbitas periódicas estables en un sistemadinámico).

El eje principal para el desarrollo de esta tesis fue la teoría ya conocida sobre homeomorfismosen la circunferencia, por lo cual se procedió a encontrar las condiciones necesarias para asegurarunicidad de órbitas y que las iteradas de las funciones de la circunferencia tuvieran siempre lamisma estructura y propiedades (Inyectividad). A partir de estas ideas fue posible encontrar unaclase de funciones en la circunferencia que cumplieran con estas condiciones y se pudo generalizar lateoría de homeomorfismos ya mencionada en una teoría de la nueva clase de funciones (que tambiéncontiene a los homeomorfismos), llamada Clase de Keener de funciones en la circunferencia S1.

A principios de la década del ochenta, del siglo pasado, J. P. Keener, F. C. Hoppensteadt yJ. Rinzel analizaron el modelo de Oscilador de Integración y Disparo de la actividad eléctrica deuna neurona

dxdt = −σx+ S +H cos(2πt), x = x(t)

donde λ = (σ, s,H) es un vector de parámetros con una condición de salto

limt→τ+

x(t) = 0 para cada tiempo τ ∈ R tal que x(τ) = 1

y al encontrar las funciones de fases de disparo asociadas obtenían funciones inyectivas estricta-mente monótonas y continuas por pedazos, las cuales no habían sido estudiadas hasta ese momento,ya que la teoría estaba centrada en los homeomorfismos. En virtud de este problema y para podersustentar su trabajo sobre el Modelo KHR, J. P. Keener publicó el artículo "Chaotic Behavior inPiecewise Continuous Difference Equations" en 1980, trabajo en el que se describía la dinámicade este tipo de funciones y se enumeraban las propiedades que compartían este tipo de funcionescon los homeomerfismos. A partir de estas ideas se pudieron formalizar los conceptos acerca deesta clase en la circunferencia y se generalizó la teoría para las funciones inyectivas y continuas porpedazos. Un año después Keener, Hoppensteadt y Rinzel publicaron sus resultados en el artículo"Integrate-and-Fire Models of Nerve Membrane Response To Oscillatory Input".

En este trabajo se desarrollan nuevos conceptos para la construcción de levantamientos defunciones en la circunferencia y en base a estos conceptos se define nuestra Clase de Keener. Comoconsecuencia podemos definir el conjunto de rotación y número de rotación para las funciones enla Clase de Keener que preservan orientación, y más aún, en la Clase de Keener se cumplen losmismos resultados y condiciones acerca de la teoría del número de rotación de los homemorfismos.

En la parte final del trabajo se muestra que las funciones de la Clase de Keener aparecencomo modelos de la función de disparo de un Oscilador de Integración y Disparo, concretamenteen el Modelo KHR. Además se presentan las simulaciones numéricas de la función de disparo y elcálculo de números de rotación con la definición propuesta en la Clase de Keener.

A continuación se hace una breve resumen de los principales resultados y el contenido de loscapítulos del trabajo:

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• Capítulo 1. Teoría Básica sobre Espacios Topológicos y en especial sobre Espacios Métricos.Sistemas Dinámicos y Semi-Sistemas Dinámicos: Definiciones y Resultados acerca de sus órbitas.Ejemplos de Sistemas y Semi-Sistemas Dinámicos y algunas de sus características.

• Capítulo 2. El Semi-Sistema Dinámico generado por una función en la Circunferencia S1.Sección 1. Gráficas de funciones en S1 en el Toro y en su cuadrado unitario cociente homeomorfo.Grado de una función en S1. Ramas de Keener e Intervalos de Keener, Función Trozo Fundamentalasociada y Levantamientos de Keener. La Clase de Keener de Funciones en la Circunferencia.Grados en la Clase de Keener. Iteraciones en la Clase de Keener y de sus Levantamientos deKeener. Relación entre la n-ésima Iteración del Levantamiento Principal de Keener de una funciónen la Clase de Keener y el Levantamiento Principal de la n-ésima Iterada de la misma función enla circunferencia.Sección 2. Resultados sobre las órbitas de un sistema o semi-sistema dinámico en la circunferencia,tales como relación entre puntos fijos y órbitas periódicas de la función en la circunferencia y suslevantamientos (de Keener o cualquier otro), envolvencia y característica de una órbita periódica ycriterios de estabilidad e inestabilidad de órbitas periódicas a partir de la estabilidad o inestabilidadde puntos fijos de las iteradas de los levantamientos.Sección 3. Resultados acerca de funciones en la circunferencia y las condiciones de inyectivi-dad, continuidad y sobreyectividad que comparten con sus levantamientos y viceversa. Cualquierhomeomorfismo pertenece a la Clase de Keener. Resultados acerca de homeormorfismos y suslevantamientos de Keener. Grado de un homeomorfismo y relación entre sus levantamientos deKeener y los de su inversa. Resultados sobre las funciones trozos fundamentales asociadas de unhomeomrofismo y de su inversa. Funciones que preservan orientación (FPO’s) y Homeomorfis-mos que preservan la orientación (HPO’s): Definición y algunos resultados. Resultados acerca deconjugaciones topológicas entre funciones de la circunferencia y los Levantamientos de Keener delas funciones y del homeomorfismo que efectúa la conjugación. Las rotaciones de ángulo en lacircunferencia.Sección 4. Conjuntos y Números de Rotación de funciones en la circunferencia y de sus levan-tamientos de Keener. Números de Rotación entre conjugaciones de funciones en la circunferencia.Resultados acerca de Conjuntos de Rotación de funciones en la circunferencia; el conjunto derotación para una función de grado 1 en la circunferencia que es continua o que pertenece a laclase de Keener no depende del levantamiento considerado. Números de Rotación para FPO’s en laclase de Keener y para sus levantamientos de Keener. El número de rotación de una función FPOde grado 1 que esté la clase de Keener es invariante bajo conjugación topológica que preserva elorden. Equivalencia entre órbitas periódicas de un FPO de la Clase de Keener y el que su Númerode Rotación sea un número racional.

• Capítulo 3. Conceptos básicos sobre Osciladores de Integración y Disparo. El Modelo KHR:Definición y resultados sobre su función de disparo (y de fases de disparo) y el espacio de parámetrosdel modelo. Simulaciones numéricas, cálculo de la función de disparo y de fases de disparo delModelo KHR y gráficas de la función de fases de disparo.

• Anexo A. Breve Descripción de los programas utilizados para los cálculos numéricos en elModelo KHR.

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1 CONCEPTOS BÁSICOS.

1.1 ESPACIOS TOPOLÓGICOS.

Definición 1.1.1. Sea X un conjunto y ℘(X) el conjunto potencia de X. Se dice que τ ⊆ ℘(X)es una topología sobre X si y sólo si se cumplen las siguientes propiedades:(i) ∅,X ∈ τ ,(ii) A ∩B ∈ τ para todos A,B ∈ τ ,(iii) Si Σ ⊆ τ entonces ∪Σ = ∪A

A∈Σ∈ τ .

La dupla (X, τ) es conocida como espacio topológico. Si la topología es conocida y usual simple-mente se dice que X es un espacio topológico.

Definición 1.1.2. Sea (X, τ) un espacio topológico.(i) Se dice que Nx0 ⊆ X es una vecindad de x0 ∈ X si y sólo si x0 ∈ Nx0y Nx0 ∈ τ .(ii) Se dice que A ⊆ X es un conjunto abierto (en X) si y sólo si A ∈ τ .(iii) Se dice que F ⊆ X es un conjunto cerrado (en X) si y sólo si X\F ∈ τ .

Definición 1.1.3. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos y sea también f : X → Y una función.(i) Se dice que f es continua si y sólo si f−1(V ) ∈ τ para todo V ∈ σ.(ii) Se dice que f es un homeomorfismo (de X sobre Y ) si y sólo si f es continua e invertible yademás la función inversa f−1 : X → Y es continua.(iii) Se dice que X y Y son conjuntos homeomorfos o topológicamente equivalentes si y sólo siexiste algún homeomorfismo entre ellos.

Definición 1.1.4. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos y f : X → X, g : Y → Y funciones.Se dice que f es topológicamente conjugada a g si y sólo si existe h : X → Y homeomorfismo talque h f = g h (f = h−1 g h).En este caso se dice que h es una conjugación topológica entre f y g.

Teorema 1.1.1. Sea X un conjunto y Γ una colección de subconjuntos de X detal forma que

(i) Para todo x ∈ X existe B ∈ Γ tal que x ∈ B;(ii) Tómense B1,B2 ∈ Γ. Entonces para todo x ∈ B1 ∩B2 existe B3 ∈ Γ tal

que x ∈ B3 y B3 ⊆ B1 ∩B2.Si τ = U ⊆ X| Para x ∈ U Existe C ∈ Γ tal que x ∈ C y C ⊆ U entonces (X, τ)

es un espacio topológico donde Γ ⊆ τ . Se dice que τ es la topología generada por Γ.

Demostración.Parte I) Primero mostraremos que τ es una topología para X.(a) P.d. ∅,X ∈ τEn virtud de la propiedad (i) y como B ⊆ X para cualquier B ∈ Γ se sigue que de inmediato queX ∈ τ .Ahora si ∅ /∈ τ se tendría C = ∅ para cualquier C ∈ Γ, pero esto significaría que para C ∈Γ existe x ∈ X tal que x /∈ C ó C = ∅, lo cual implicaría que para todo C ∈ Γ existe x ∈ X talque x /∈ C ! (propiedad (ii)); así se concluye que ∅ ∈ τ .

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1 CONCEPTOS BÁSICOS. 7

(b) Sean A,B ∈ τ . P.d. A ∩B ∈ τTómese x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A y x ∈ B. En virtud de la propiedad (i) se tiene que existen F1, F2 ∈Γ tales que x ∈ F1 con F1 ⊆ A y x ∈ F2 con F2 ⊆ B, y por la propiedad (ii) se cumple queexiste F ∈ Γ tal que x ∈ F y F ⊆ F1 ∩ F2 ⇒ F ⊆ A ∩B.De donde A ∩B ∈ τ.

(c) Sea Φ ⊆ τ P.d. ∪Φ ∈ τTómese x ∈ ∪Φ ⇔ x ∈ C para algún C ∈ Φ. Dado que C ∈ τ (Φ ⊆ τ) entonces existe F ∈ Γ talque x ∈ F y F ⊆ C, y como C ⊆ ∪Φ⇒ F ⊆ ∪Φ. Así concluimos que ∪Φ ∈ τ .

Parte II) P.d. Γ ⊆ τ⊆) Sea C ∈ Γ. Si C = ∅ es inmediato que C ∈ τ ; si C = ∅ entonces es claro que x ∈ C y C ⊆ Cpara todo x ∈ C, por lo cual C ∈ τ .

Definición 1.1.5. Sea X un conjunto y τ una topología para X.(i) Se dice que Γ ⊆ ℘(X) es una base para alguna topología sobre X si y sólo si

(1) Para cualquier x ∈ X existe B ∈ Γ tal que x ∈ B;(2) Si B1, B2 ∈ Γ entonces para cualquier x ∈ B1 ∩ B2 existe B3 ∈ Γ tal que x ∈ B3 y

B3 ⊆ B1 ∩B2.En este caso todo elemento de Γ es llamado elemento básico.(ii) Se dice que Γ ⊆ ℘(X) es una base para τ si y sólo si

(1) Γ es una base para alguna topología sobre X;(2) τ es la topología generada por Γ.

Teorema 1.1.2. Sea (X, τ) un espacio topológico y β ⊆ X una base para τ . SiA ⊆ X entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) A es abierto,(ii) Para cualquier a ∈ A existe U ∈ β tal que a ∈ U ⊆ A.

Demostración. Como β es base para τ entonces

τ = M ⊆ X|Para m ∈M existe U ∈ β tal que m ∈ U y U ⊆M.

Y como consecuencia se sigue que

A es abierto⇔ A ∈ τ ⇔Para todo a ∈ A existe U ∈ β tal que a ∈ U y U ⊆ A,

lo cual demuestra el teorema.

Teorema 1.1.3. Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado Y ⊆ X defínase τY =Y ∩U |U ∈ τ; entonces la dupla (Y, τY ) es un espacio topológico, donde τY es conocidacomo topología de subespacio y/o topología relativa y se dice que Y es un subespacio(topológico) de X.

Demostración.(a) Como ∅,X ∈ τ es obvio que


∅ = ∅ ∩ Y ∈ τY , Y = X ∩ Y ∈ τY .

(b) Sean A,B ∈ τY . Entonces podemos escribir A = U ∩ Y,B = V ∩ Y para algunos U, V ∈ τ ypor tanto

A ∩B = (U ∩ Y ) ∩ (V ∩ Y ) = (U ∩ Y ) ∩ Y donde U ∩ V ∈ τ ,

(por definición de topología). Esto significa que A ∩B ∈ τY .

(c) Sea Φ ⊆ τY . Dado que para todo C ∈ Φ existe A ∈ τ tal que C = A∩Y entonces existe Γ ⊆ τtal que Φ = A ∩ Y |A ∈ Γ, y así podemos escribir ∪Φ = ∪

A∈Γ(A ∩ Y ) = (∪Γ) ∩ Y donde ∪Γ ∈ τ

(por definición de topología). Esto significa que ∪Φ ∈ τY .

Finalmente se concluye, en virtud de los incisos (a), (b) y (c), que τY es una topología para Y .

Definición 1.1.6. Sea X un conjunto y R una relación de equivalencia sobre X.(i) Definimos el conjunto de clases de equivalencia X/R = [a] ⊆ X | a ∈ X como conjuntocociente X con respecto a la equivalencia R.(ii) La función π : X → X/R, π(x) = [x] para x ∈ X es conocida como la proyección natural sobreel conjunto cociente X/R.

Teorema 1.1.4. Sea (X, τ) un espacio topológico y R una relación de equivalenciasobre X. Si τR = V ⊆ X/R | π−1(V ) ∈ τ donde π : X → X/R es la proyecciónnatural sobre X/R entonces (X/R, τR) es un espacio topológico y τR es conocida comola topología cociente sobre X debida a R.

Demostración.(a) Como ∅,X ∈ τ y ∅ = π−1(∅),X = π−1(X/R) (pues X = ∪

x∈X[x]) entonces es obvio que

∅,X/R ∈ τR.

(b) Sean A,B ∈ τR. Entonces U = π−1(A), V = π−1(B) ∈ τ y por tanto

U ∩ V = π−1(A) ∩ π−1(B) = π−1(A ∩B) ∈ τ donde A ∩B ⊆ X/R,

(por definición de topología). Esto significa que A ∩B ∈ τR.

(c) Sea Φ ⊆ τR. Dado que π−1(A) ∈ τ para todo A ∈ Φ y si Γ = π−1(A) | A ∈ Φ ⊆ τ entonces

∪Φ = ∪A∈Φ

π−1(A) = π−1(∪

A∈ΦA

)= π−1(∪Γ) ∈ τ donde ∪Γ ∈ τ (por definición de topología).

Esto significa que ∪Φ ∈ τR.

Finalmente se concluye, en virtud de los incisos (a), (b) y (c), que τR es una topología para X/R.

Corolario 1.1.1. Sea (X, τ) un espacio topológico. Si ∼ es una relación de equiv-alencia sobre X y consideramos el espacio cociente (X/ ∼, τ∼) entonces la funciónproyección natural π : X → X/ ∼ es continua.


Demostración. Inmediata, pues por definición π−1(U) ∈ τ para cualquier U ∈ τ∼.

Teorema 1.1.5. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos. Si τX×Y = U ×V | U ∈τ, V ∈ σ entonces (X × Y, τX×Y ) es un espacio topológico y τX×Y es conocida comola topología producto entre los espacios X y Y .

Demostración.(a) Como al menos ∅ ∈ τ y X ∈ τ , Y ∈ σ entonces ∅ = ∅× Y,X × Y ∈ τX×Y (por definición).

(b) Sean A,B ∈ τX×Y . Entonces A = U1 × V1, B = U2× V2 donde Ui ∈ τ , Vi ∈ σ para i ∈ 1, 2 ypor tanto

A ∩B = (U1 × V1) ∩ (U2 × V2) = (U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2) donde U1 ∩ U2 ∈ τ, V1 ∩ V2 ∈ σ,

(por definición de topología). Esto significa que A ∩B ∈ τX×Y .

(c) Sea Φ ⊆ τX×Y . Dado que A = UA×VA con algunos UA ∈ τ , VA ∈ σ para todo A ∈ Φ entonces

∪Φ = ∪A∈Φ

(UA × VA) =

(∪

A∈ΦUA

)×(∪

A∈ΦVA

)

donde ∪A∈Φ

UA ∈ τ , ∪A∈Φ

VA ∈ σ (por definición de topología). Esto significa que ∪Φ ∈ τX×Y .

Finalmente se concluye, en virtud de los incisos (a), (b) y (c), que τR es una topología para X×Y .

Proposición 1.1.1. Sean (X, τX), (Y, τY ), (Z, τZ) espacios topológicos. Si f :X → Y y g : Y → Z son funciones continuas entonces g f : X → Z es continua.

Demostración. Sea W ∈ τZ . Entonces V = g−1(W ) ∈ τY (pues g es continua) y U = f−1(V ) ∈τX (pues f es continua). Esto significa que (g f)−1(W ) = f−1(g−1(W )) = f−1(V ) ∈ τX y portanto g f es continua.

Proposición 1.1.2. Sean (X, τX), (Y, τY ) espacios topológicos. Supóngase queexiste ∼ una relación de equivalencia sobre X y por tanto existe τ∼ la topología co-ciente sobre X debida a ∼. Si f : X/ ∼→ Y entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) f es continua,(ii) f π : X → Y es continua donde π : X → X/ ∼ es la proyección natural.

Demostración.P.d. (i) =⇒ (ii)=⇒) Si f es continua entonces por la proposición 1.1.3 y por el corolario 1.1.1 se sigue el resultado.

P.d. (ii) =⇒ (i)


=⇒) Supóngase que f π es continua. Sea U ∈ τY =⇒ π−1(f−1(U)) = (f π)−1(U) ∈ τ∼ (pordefinición de función continua), y esto significa que f−1(U) ∈ τ∼ (por definición de τ∼).

Definición 1.1.7. Sea (X, τ) un espacio topológico y A ⊆ X.(i) El interior de A se define como el conjunto Int(A) = ∪F donde

F = U ⊆ X|U es abierto con U ⊆ A.

(ii) Se dice que x ∈ X es punto frontera de A si y sólo si

V ∩A = ∅ y V ∩ (X\A) = ∅ para toda V ⊆ X vecindad de x.

(iii) La frontera de A se define como el conjunto

Fr(A) = ∂A = x ∈ X|x es punto frontera de A.

Definición 1.1.8. Sea (X, τ) un espacio topológico, E ⊆ X y x ∈ X.(i) Se dice que x es un punto límite de E si y sólo si

V ∩A = ∅ para toda V ⊆ X vecindad de x.

(ii) Se define la cerradura de E (en X) como el conjunto

E = ClX(E) = y ∈ X|y es punto límite de E.

(iii) Se dice que x es un punto de acumulación de E si y sólo si x ∈ ClX(E\x).(iv) Se define el conjunto de puntos de acumulación de E como el conjunto

E′ = x ∈ X|x ∈ ClX(E\x).

Proposición 1.1.3. Sea (X, τ) un espacio topológico y tómense A,B,E ⊆ X.(i) Si A ⊆ B ⇒ ClX(A) ⊆ ClX(B).(ii) E ⊆ ClX(E).(iii) E′ ⊆ ClX(E).(iv) ClX(A ∪B) = ClX(A) ∪ ClX(B).(v) ClX(E) = E ∪E′.(vi) ClX(E) ⊆ X es cerrado.(vii) E es cerrado⇔ ClX(E) = E.(viii) Si Γ = F ⊆ X|F es cerrado y E ⊆ F entonces ClX(E) = ∩Γ.(ix) Si F ⊆ X es cerrado tal que E ⊆ F ⇒ ClX(E) ⊆ F.(x) Sea β ⊆ X una base para τ . Si x ∈ X entonces

x ∈ ClX(E)⇔ B ∩E = ∅ para todo B ∈ β tal que x ∈ B.

Demostración.(i) P.d. ClX(A) ⊆ ClX(B).⊆) Sea z ∈ ClX(A) y tómese V ⊆ X una vecindad cualquiera de z. Por lo tanto A ∩ V = ∅ y envirtud de la hipótesis se sigue que A ∩ V ⊆ B ∩ V ⇒ B ∩ V = ∅. Esto significa que z ∈ ClX(B).


(ii) P.d. E ⊆ ClX(E).⊆) Sea z ∈ E y tómese V ⊆ X una vecindad cualquiera de z ⇒ z ∈ V y V ∈ τ . Por tantoz ∈ E ∩ V ⇒ E ∩ V = ∅. Esto significa que z ∈ ClX(E).

(iii) P.d. E′ ⊆ ClX(E).⊆) Sea x ∈ E′ y tómese V ⊆ X vecindad de x. Como x ∈ ClX(E\x) tenemos que V ∩(E\x) =∅ y como E\x ⊆ E entonces V ∩ (E\x) ⊆ V ∩E. De aquí que V ∩E = ∅ y esto significa quex ∈ ClX(E).

(iv) P.d. ClX(A ∪B) = ClX(A) ∪ ClX(B).⊆) Sea x ∈ ClX(A ∪B) y tómese V ⊆ X vecindad de x. Entonces

(A ∪B) ∩ V = (A ∩ V ) ∪ (B ∩ V ) = ∅⇒ A ∩ V = ∅ o B ∩ V = ∅.

De aquí que x ∈ ClX(A) ó x ∈ ClX(B), es decir x ∈ ClX(A) ∪ ClX(B).

⊇) Sea x ∈ ClX(A) ∪ ClX(B) y tómese V ⊆ X vecindad de x. Entonces como x ∈ ClX(A) o x ∈ClX(B) se cumple que A∩V = ∅ ó B ∩V = ∅ por lo cual (A∪B)∩V = (A∩V )∪ (B ∩V ) = ∅,y así x ∈ ClX(A ∪B).

(v) P.d. ClX(E) = E ∪E′.⊆) Sea x ∈ ClX(E) y tómese V ⊆ X una vecindad de x. Como ClX(E) ⊆ X entonces x ∈ X =E ∪ (X\E) donde E ∩ (X\E) = ∅⇒ x ∈ E únicamente ó x ∈ X\E únicamente.Si x ∈ E entonces x ∈ E ∪E′ (pues E ⊆ E ∪E′).Si x ∈ X\E entonces E\x = E y por lo tanto E∩V = (E\x)∪V = ∅; así x ∈ ClX(E\x)⇔x ∈ E′ y por tanto x ∈ E ∪E′ (pues E′ ⊆ E ∪E′).

⊇) Sea x ∈ E ∪ E′ ⇒ x ∈ E ó x ∈ E′. Tómese V ⊆ X vecindad de x por lo que tenemos dosposibilidades:Si x ∈ E entonces x ∈ E ∩ V ⇒ E ∩ V = ∅ y esto significa que x ∈ ClX(E).Si x ∈ E′ entonces x ∈ ClX(E\x) y dado que E\x ⊆ E en virtud del inciso (i) se sigue quex ∈ ClX(E).

(vi) Tómese β ⊆ X una base para τ . P.d. ClX(E) es cerrado.Sea x ∈ X\ClX(E)⇔ x /∈ ClX(E). En virtud de la definición 1.1.7. se sigue que

Existe U ⊆ X vecindad de x tal que U ∈ β y U ∩E = ∅.

Si U ∩ClX(E) = ∅ entonces existe w ∈ X tal que w ∈ U y w ∈ ClX(E); de aquí tendríamos queU es vecindad de z y por tanto U ∩E = ∅! Por lo tanto U ∩ ClX(E) = ∅⇔ U ⊆ X\ClX(E).Finalmente, como x ∈ U y U ⊆ X\ClX(E) con U ∈ β en virtud del teorema 1.1.2 se concluye queX\ClX(E).

(vii) ⇒) Supongamos que E es cerrado. P.d.ClX(E) = E.⊆) Inmediata por el inciso (ii) de esta proposición.⊇) Sea x ∈ X\E. Como X\E ∈ τ y (X\E) ∩ E = ∅ entonces x /∈ ClX(E); de aquí quex ∈ X\ClX(E) y por tanto X\E ⊆ X\ClX(E). Finalmente esto significa que ClX(E) ⊆ E.

⇐) Inmediata, pues por el inciso (vi) de esta proposición se sigue que E = ClX(E) es cerrado.


(viii) Sea Γ = F ⊆ X|F es cerrado y E ⊆ F. P.d.ClX(E) = ∩Γ.⊆) Como ClX(E) ∈ Γ (pues ClX(E) es un conjunto cerrado con E ⊆ ClX(E)) es inmediato que∩Γ ⊆ ClX(E).⊇) Sea x ∈ X\∩Γ⇒ x /∈ F para algún F ∈ Γ. Como F es cerrado y E ⊆ F entonces X\F es unavecindad para x donde (X\F )∩E = ∅. Esto significa que x /∈ ClX(E)⇒ x ∈ X\ClX(E). Por lotanto X\ ∩ Γ ⊆ X\ClX(E) y así ClX(E) ⊆ ∩Γ.

(ix) Como ClX(E) = ∩Γ donde Γ = F ⊆ X|F es cerrado y E ⊆ F entonces F ∈ Γ y por tantoClX(E) = ∩Γ = ∩

C∈ΓC ⊆ F.

(x) ⇒) Como x ∈ ClX(E) entonces U ∩ E = ∅ para todo U ∈ τ tal que x ∈ U . Dado que β ⊆ τse sigue el resultado.⇐) Tómese U ⊆ X una vecindad de x. Por ser β base para τ se sigue que existe (al menos) B ∈ βtal que x ∈ B y B ⊆ U . En virtud de la hipótesis tenemos que

B ∩E = ∅ donde B ∩E ⊆ U ∩E ⇒ U ∩E = ∅.

Esto significa que x ∈ ClX(E).

Proposición 1.1.4. Sea (X, τ) un espacio topológico y A ⊆ X.(i) Si x ∈ X entonces x ∈ Int(A)⇔Existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A.(ii) Int(A) ⊆ X es abierto.(iii) Int(A) ⊆ A.(iv) A es abierto⇔ Int(A) = A.(v) Si G ⊆ X es abierto tal que G ⊆ A⇒ G ⊆ Int(A).(vi) Fr(A) = ClX(A) ∩ ClX(X\A).(vii) Int(A) ∪ Fr(A) = ClX(A).(viii) Int(A) ∩ Fr(A) = ∅.(ix) Fr(A) = Fr(X\A).(x) X\Int(A) = ClX(X\A).

Demostración. Definimos la familia /G = U ∈ τ |U ⊆ A ⇒ Int(A) = ∪ /G.(i) Inmediata, pues

x ∈ Int(A)⇔ x ∈ U para algún U ∈ /G⇔ x ∈ U para algún U ∈ τ tal que U ⊆ A,

de donde se sigue el resultado.

(ii) A partir de que /G ⊆ τ y en virtud de las propiedades de una topología se concluye queInt(A) = ∪ /G ∈ τ.

(iii) Inmediata, pues Int(A) = ∪ /G = ∪G∈ /G

G ⊆ A (dado que G ⊆ A para todo G ∈ /G).

(iv) ⇒) Supóngase que A ∈ τ . P.d.Int(A) = A.⊆) Inmediata en virtud del inciso (iii) de esta proposición.⊇) Sea x ∈ A. Como A ⊆ A entonces A ∈ /G y así A ⊆ ∪ /G = Int(A).

⇐) Inmediata, ya que por el inciso (ii) de esta proposición se tiene que A = Int(A) ∈ τ .


(v) Por definición se tiene que G ∈ /G y así G ⊆ ∪ /G = Int(A).

(vi) Si x ∈ X entonces x ∈ Fr(A) ⇔ U ∩ A = ∅ y U ∩ (X\A) = ∅ para cualquier U ⊆X vecindad de x ⇔ (U ∩ A = ∅ para cualquier U ⊆ X vecindad de x) y (U ∩ (X\A) = ∅ paracualquier U ⊆ X vecindad de x)⇔ x ∈ ClX(A) y x ∈ ClX(X\A)⇔ x ∈ ClX(A) ∩ ClX(X\A),de donde se sigue el resultado.

(vii) P.d. Int(A) ∪ Fr(A) = ClX(A).⊆) Sea x ∈ Int(A) ∪ Fr(A)⇒ x ∈ Int(A) ó x ∈ Fr(A) y además tómese V ⊆ X una vecindad dex cualquiera.Si x ∈ Int(A) entonces existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A por lo que x ∈ U ∪V , de donde U ∩V = ∅y U ∩ V ⊆ V ∩A⇒ V ∩A = ∅. Esto significa que x ∈ ClX(A).Si x ∈ Fr(A) entonces x ∈ ClX(A) ∩ ClX(X\A) y como ClX(A) ∩ ClX(X\A) ⊆ ClX(A) seconcluye que x ∈ ClX(A).

⊇) Sea x ∈ ClX(A) y tómese V ⊆ X una vecindad de x cualquiera, por lo que V ∩A = ∅.Si V ∩ (X\A) = ∅ entonces x ∈ ClX(A) y x ∈ ClX(X\A) por lo que x ∈ Fr(A) = ClX(A) ∩ClX(X\A).Si V ∩ (X\A) = ∅ entonces V ⊆ A, con lo cual x ∈ V ⊆ A para V ∈ τ y por el inciso (i) de estaproposición se concluye que x ∈ Int(A).En virtud de los resultados anteriores se tiene que x ∈ Fr(A) ó x ∈ Int(A)⇒ x ∈ Fr(A)∪ Int(A).

(viii) P.d. Int(A) ∩ Fr(A) = ∅.Supóngase que Int(A) ∩ Fr(A) = ∅; luego, existe x ∈ X tal que x ∈ Int(A) y x ∈ Fr(A). Ahoraen virtud del inciso (i) de esta proposición existiría U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A⇒ U ∩ (X\A) = ∅.Y como x ∈ Fr(A) = ClX(A)∩ClX(X\A), en particular se sigue que x ∈ ClX(X\A); pero U ⊆ Xes una vecindad de x por lo cual tendríamos U ∩ (X\A) = ∅!Esta contradicción nos lleva a concluir que Int(A) ∩ Fr(A) = ∅.

(ix) Inmediata, pues

Fr(A) = ClX(A) ∩ ClX(X\A) = ClX(X\(X\A)) ∩ ClX(X\A) = Fr(X\A).

(x) P.d. X\Int(A) = ClX(X\A).⊆) Sea x ∈ X\Int(A)⇒ x /∈ Int(A). Ahora tómese V ⊆ X una vecindad de x; si V ∩ (X\A) = ∅entonces x ∈ V ⊆ A con V ∈ τ , y por el inciso (i) de esta proposición tendríamos que x ∈Int(A)! Esto significa que V ∩ (X\A) = ∅ y así x ∈ ClX(A).

⊇) Sea x ∈ ClX(X\A) y tómese V ⊆ X vecindad de x. Si x ∈ Int(A) por el inciso (i) de estaproposición existiría U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A; esto quiere decir que U es una vecindad de x talque U ∩ (X\A) = ∅! De donde x /∈ Int(A)⇒ x ∈ X\Int(A).

Teorema 1.1.6. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos y f : X → Y una función.Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) f es continua,(ii) f(ClX(A)) ⊆ ClY (f(A)) para cualquier subconjunto A de X;(iii) f−1(B) es cerrado (en X) para cualquier subconjunto B cerrado (en Y ).


Demostración.P.d. (i)⇒ (ii).⇒) Sea A ∈ ℘(X) y supóngase que f es continua.P.d. f(ClX(A)) ⊆ ClY (f(A)).⊆) Sea y ∈ f(ClX(A)) ⇒ y = f(x) para algún x ∈ ClX(A). Tómese V ⊆ Y una vecindad de y(por lo que y ∈ V y V ∈ σ). Como f es continua se sigue que f−1(V ) = U ∈ τ donde x ∈ U (puesf(x) = y); así U ⊆ Y es una vecindad para x y por lo tanto U ∩ A = ∅. Esto significa que existez ∈ X tal que z ∈ A y z ∈ U , de donde f(z) ∈ V y f(z) ∈ f(A) ⇒ f(A) ∩ V = ∅. Por lo cualy = f(x) ∈ ClX(f(A)).

P.d. (ii)⇒ (iii).⇒) Sea B ∈ ℘(Y ) cerrado (en Y ) y defínase A = f−1(B) ∈ ℘(X).P.d. ClX(A) = A.⊇) Inmediata, por el inciso (vii) de la proposición 1.1.1.⊆) Sea x ∈ ClX(A) de donde f(x) ∈ f(ClX(A)). Por hipótesis sabemos que f(ClX(A)) ⊆ClY (f(A)) y además f(A) = f(f−1(B)) ⊆ B, por lo cual ClY (f(A)) ⊆ ClY (B) = B (pues B escerrado en Y ). Finalmente se concluye que f(ClX(A)) ⊆ B por lo cual f(x) ∈ B ⇒ x ∈ f−1(B) =A.

P.d. (iii)⇒ (i).⇒) Sea V ∈ σ. P.d. f−1(V ) = U ∈ τ .Defínase B = Y \V ∈ ℘(Y ), que es cerrado (en Y ); luego

f−1(B) = f−1(Y )\f−1(V ) = X\U.

Pero por hipótesis f−1(B) ∈ ℘(X) es cerrado (en X)⇒ U = X\(X\U) = X\f−1(B) ∈ τ .

Teorema 1.1.7. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos y f : X → Y una función.Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) f es continua,(ii) Dado x ∈ X para toda V ⊆ Y vecindad de f(x) existe U ⊆ X vecindad de x

tal que f(U) ⊆ V.

Demostración.P.d. (i)⇒ (ii).⇒) Supongamos que f es continua. Sea x ∈ X y tómese V ⊆ Y una vecindad de f(x) ∈ Y ⇒f(x) ∈ V y V ∈ σ. Pero si U = f−1(V ) entonces x ∈ U y U ∈ τ ⇒ U ⊆ X es una vecindad de x.Y además f(U) = f(f−1(V )) ⊆ V.

P.d. (ii)⇒ (i).⇒) Sea V ∈ σ. P.d. U = f−1(V ) ∈ τ.(1) Tómese x ∈ U cualquiera, por lo que V ⊆ Y es una vecindad de f(x). Por hipótesis existeUx ⊆ X vecindad de x tal que f(Ux) ⊆ V . Luego

Ux ⊆ f−1(f(Ux)) y f−1(f(Ux)) ⊆ f−1(V ) = U ⇒ Ux ⊆ U.


(2) Siguiendo la idea del inciso (1) defínase la familia indizada de conjuntos Γ = Uxx∈U ⊆ ℘(X)donde Ux ⊆ X es una vecindad para x tal que Ux ⊆ U para cualquier x ∈ U .P.d. ∪ Γ = ∪

x∈UUx = U.

⊆) Sea z ∈ ∪Γ⇒ z ∈ Ux p.a. x ∈ U. Como Ux ⊆ U se sigue de inmediato que z ∈ U.⊇) Sea z ∈ U ; por el inciso (1) se sigue que existe Uz ⊆ X vecindad de z tal que Uz ⊆ U ⇒ Uz ∈ Γ.Y como Uz ⊆ ∪Γ y z ∈ Uz ⇒ z ∈ ∪Γ.(3) Dado que Ux ∈ τ para cualquier x ∈ U se sigue que Γ ⊆ τ y por el inciso (2) se concluyefinalmente que U = ∪Γ ∈ τ .

Definición 1.1.9. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos y f : X → Y una función. Se dice quef es continua en x ∈ X si y sólo si para cualquier V ⊆ Y vecindad de f(x) existe U ⊆ X vecindadde x tal que f(U) ⊆ V.

Definición 1.1.10. Sea (X, τ) un espacio topológico.(i) Se dice que Y ⊆ X es denso (en X) si y sólo si ClX(Y ) = X.(ii) Se dice que E ⊆ X es un conjunto perfecto si y sólo si E es cerrado y E′ = E (esto es, todossus puntos son puntos de acumulación).

Definición 1.1.11. Sea (X, τ) un espacio topológico y ℘(X) el conjunto potencia de X.(i) Se dice que Γ ⊆ ℘(X) es una cubierta y/o cubrimiento de Y ⊆ X si y sólo si Y ⊆ ∪Γ = ∪

F∈ΓF.

(ii) Se dice que Γ ⊆ ℘(X) es una cubierta abierta de Y ⊆ X si y sólo si Γ es una cubierta de Y talque Γ ⊆ τ .

(iii) Se dice que Y ⊆ X es compacto si y sólo si toda cubierta abierta de Y contiene una subcubiertaabierta finita de Y .

(iv) Se dice que X es un Espacio de Haussdorff si y sólo si para u, v ∈ X con u = v existeV ⊆ X vecindad de u y U ⊆ X vecindad de v tal que V ∩ U = ∅.

La demostración del siguiente resultado escapa a la teoría propuesta en este trabajo por lo que sepresenta sin prueba. Sin embargo este resultado será útil para deducir algunas propiedades de lasfunciones en la circunferencia (para una prueba véase [26], página 189 ).

Teorema 1.1.8. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos donde X es compacto y Yes un espacio de Haussdorff. Si f : X → Y es una función continua y biyectiva entoncesf es un homeomorfismo.

1.2 ESPACIOS MÉTRICOS.

Definición 1.2.1. Sea X un conjunto. Una distancia en X es una función d : X×X → R tal que(i) d(p, q) ≥ 0 para todo p, q ∈ X;(ii) d(p, q) = 0 para algunos p, q ∈ X ⇔ p = q ∈ X;(iii) d(p, q) = d(q, p) para todo p, q ∈ X;(iv) (Desigualdad del triángulo) d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q) para cualquier p, q, r ∈ X.El número d(p, q) es llamado distancia entre p y q en la distancia d para cualesquiera p, q ∈ X.

Proposición 1.2.1. Sea n ∈ N. La función

dn : Rn ×Rn → R tal que dn((xi)ni=1, (yi)ni=1) =

√∑ni=1(yi − xi)2

es una distancia, llamada distancia euclídea en Rn.

Demostración. Sean (xi)ni=1, (yi)

ni=1, (zi)

ni=1 ∈ Rn.

(i) Como (yi − xi)2 ≥ 0 para i ∈ N, i ≤ n entonces

d((xi)ni=1, (yi)ni=1) =

√n∑

i=1(yi − xi)2 ≥ 0.

(ii) ⇒) Supóngase que d((xi)ni=1, (yi)ni=1) = 0⇒

n∑i=1

(yi − xi)2 = 0. Dado que (yi − xi)

2 ≥ 0 para

i ∈ N, i ≤ n se sigue que yi − xi = 0 para i ∈ N, i ≤ n⇒ (xi)ni=1 = (yi)

ni=1.

⇐) Si (xi)ni=1 = (yi)ni=1 entonces xi = yi para i ∈ N, i ≤ n. Por tanto

n∑i=1

(yi − xi)2 = 0 y así

d((xi)ni=1, (yi)

ni=1) = 0.

(iii) d((xi)ni=1, (yi)

ni=1) =

√n∑

i=1(yi − xi)2 =

√n∑

i=1(−1)2(xi − yi)2

=

√n∑

i=1(xi − yi)2 = d((xi)ni=1, (yi)

ni=1).

(iv) Nótese que si (αi)ni=1, (βi)

ni=1 ∈ Rn entonces (αi)

ni=1 · (βi)ni=1 =

n∑i=1

αiβi. Por tanto, en virtud

de la desigualdad de Schwarz se sigue que

n∑i=1

[(αi + βi)2] = (αi + βi)

ni=1 · (αi + βi)

ni=1 = [(αi)

ni=1 + (βi)

ni=1] · [(αi)

ni=1 + (βi)

ni=1]

= (αi)ni=1 · (αi)

ni=1 + 2(αi)

ni=1 · (βi)

ni=1 + (βi)

ni=1 · (βi)ni=1 ≤

n∑i=1

α2i + 2

√n∑

i=1α2i

√n∑

i=1β2i +

n∑i=1

β2i

= (

√n∑

i=1α2i +

√n∑

i=1β2i )

2,

de donde√

n∑i=1

[(αi + βi)2] ≤

√n∑

i=1α2i +

√n∑

i=1β2i .

16


Por la desigualdad anterior se sigue que

d((xi)ni=1, (zi)

ni=1) =

√n∑

i=1

(zi − xi)2 =

√n∑

i=1

([zi − yi] + [yi − xi])2

≤√

n∑i=1

(zi − yi)2 +

√n∑

i=1(yi − xi)2 = d((yi)

ni=1, (zi)

ni=1) + d((xi)

ni=1, (yi)

ni=1).

(v) En virtud de los resultados (i), (ii), (iii) y (iv) se concluye que d es una distancia.

Definición 1.2.2. Tómese X un conjunto y supóngase que existe d : X×X → R una distancia enX. Dado ǫ ∈ R, ǫ > 0 se define la bola de radio ǫ centrada en un punto x0 ∈ X como el conjunto

Bd(x0, ǫ) = y ∈ X|d(x0, y) < ǫ ⊆ X.

Proposición 1.2.2. Sea d una distancia en un conjunto X. Entonces

τd = U ⊆ X| Para todo y ∈ U existe δ > 0 tal que Bd(y, δ) ⊆ U

es una topología sobre X, llamada topología métrica inducida por d.

Demostración.(i) Supóngase que ∅ /∈ τd. Esto significa que existiría y ∈ ∅ tal que Bd(y, δ) ∩X\∅ = Bd(y, δ) =∅! Esta contradicción nos permite concluir que ∅ ∈ τd.Dado que Bd(y, δ) ⊆ X para y ∈ X y δ > 0 se sigue inmediatamente que X ∈ τd.

(ii) Sean A,B ∈ τd y tómese y ∈ A ∩B ⇒ y ∈ A y y ∈ B.Como y ∈ A entonces existe δ1 > 0 tal que Bd(y, δ1) ⊆ A; análogamente, como y ∈ B entoncesexiste δ2 > 0 tal que Bd(y, δ2) ⊆ B. Luego, sea δ = minδ1, δ2 > 0 por lo que

Bd(y, δ) ⊆ Bd(y, δ1) y Bd(y, δ) ⊆ Bd(y, δ2)

de donde Bd(y, δ) ⊆ A ∩B. Esto significa que A ∩B ∈ τd.(iii) Sea /C ⊆ τd y tómese y ∈ ∪ /C ⇒ y ∈ C para algún C ∈ /C. De aquí que exista δ > 0 tal queBd(y, δ) ⊆ C y como C ⊆ ∪

C∈ /CC = ∪ /C entonces Bd(y, δ) ⊆ ∪ /C. Esto significa que ∪ /C ∈ τd.

(iv) En virtud de los incisos (i), (ii) y (iii) se sigue que τd es una topología para X.

Definición 1.2.3. Sea (X, τ) un espacio topológico.(i) Se dice que X es metrizable si y sólo si existe una distancia d sobre X.(ii) Se dice que la dupla (X, d) es un espacio métrico si y sólo si X es metrizable y d es la distanciaen X tal que τ es la topología métrica inducida por d.

Definición 1.2.4. Sea n ∈ N. La topología usual en Rn es la topología métrica inducida por ladistancia euclídea en Rn.


Corolario 1.2.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Considerando latopología métrica inducida por d entonces A es abierto (en X) si y sólo si para cualquiery ∈ A existe δ > 0 tal que Bd(y, δ) ⊆ A.

Demostración. Inmediata por definición de la topología métrica τd inducida por d.

Definición 1.2.5. Sea A un conjunto. Una sucesión en A es una función f : N → A dondef(N) ⊆ A es llamado el conjunto de términos de la sucesión. Usualmente se denota f(n) = xn paracualquier n ∈ N y f(N) = xnn∈N.

Definición 1.2.6. Sea (X, d) un espacio métrico y pnn∈N ⊆ X una sucesión. Dado p ∈ Xdefinimos

limn→∞

pn = p⇔ Para todo ǫ > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N ⇒ d(pn, p) < ǫ.

En este caso se dice que pnn∈N converge a p (o en símbolos se denota pn → p cuando n→∞).

Proposición 1.2.3. Sea (X, d) un espacio métrico.(i) Si A,B ⊆ X son abiertos entonces A ∩B es abierto.(ii) La intersección de una colección finita de conjuntos abiertos (en X) es abierta.(iii) La unión de una colección de conjuntos abiertos (en X) es abierta.(iv) Si A,B ⊆ X son cerrados entonces A ∪B es cerrado.(v) La unión de una colección finita de conjuntos cerrados (en X) es cerrada.(vi) La intersección de una colección de conjuntos cerrados (en X) es cerrada.

Demostración. Sea τd ⊆ ℘(X) la topología métrica inducida por d.(i) Inmediata, pues si A,B ∈ τd entonces A ∩B ∈ τd.(ii) Sea /C ⊆ τd tal que /C es finita. Luego la demostración es inmediata usando inducción sobre| /C| = n ∈ N y el inciso (i) de esta proposición.(iii) Inmediata, pues si /C ⊆ τd entonces ∪ /C ∈ τd.(iv) Sean A,B ⊆ X cerrados⇒ X\A,X\B ∈ τd. Pero por el inciso (i) sabemos que

(X\A) ∩ (X\B) = X\(A ∪B) ∈ τd.

Esto significa que A ∪B ⊆ X es cerrado.(v) Sea /C ⊆ ℘(X) una colección finita de conjuntos cerrados y sea | /C| = n ∈ N. Luego podemosescribir /C = Cini=1 y por el inciso (ii) de esta proposición sabemos que Γ = X\Cini=1 ⊆ τd por

lo que ∩Γ =n∩

i=1(X\Ci) ∈ τd. Finalmente ∪ /C =

n∪i=1

Ci = X\( n∩i=1

(X\Ci)) es cerrado.

(vi) Sea /C ⊆ ℘(X) una colección de conjuntos cerrados. Por el inciso (iii) de esta proposicióntenemos que Γ = X\C|C ∈ /C ⊆ τd por lo cual ∪Γ = ∪

C∈ /C(X\C) ∈ τd y por lo tanto ∩ /C =

∩C∈ /C

C = X\( ∪C∈ /C

(X\C)) es cerrado.

Lema 1.2.1. Sea (X, d) un espacio métrico, E ⊆ X y x ∈ X. Entonces(i) x ∈ ClX(E) si y sólo si Bd(x, ǫ) ∩E = ∅ para cualquier ǫ ∈ R, ǫ > 0.(ii) x ∈ Fr(E) si y sólo si Bd(x, ǫ)∩E = ∅ y Bd(x, ǫ)∩ (X\E) = ∅ para cualquier

ǫ > 0.


Demostración. (i)⇒) Supongamos x ∈ ClX(E) y sea ǫ > 0. Dado que x ∈ Bd(x, ǫ) y Bd(x, ǫ) ∈τd, donde τd es la topología métrica inducida por d, entonces Bd(x, ǫ) ⊆ X es una vecindad parax por lo que Bd(x, ǫ) ∩E = ∅.⇐) Tómese V ⊆ X una vecindad de x⇒ V ∈ τd (τd es la topología métrica inducida por d). Peropor definición de τd entonces existe δ > 0 tal que Bd(x, δ) ⊆ V y como

Bd(x, δ) ∩E ⊆ V ∩E y Bd(x, δ) ∩E = ∅ (por hipótesis)⇒ V ∩E = ∅.

Finalmente esto significa que x ∈ ClX(E).

(ii) Sea x ∈ X fijo.⇒) Si x ∈ Fr(E) entonces V ∩ E = ∅ y V ∩ (X\E) = ∅ para cualquier V ⊆ X vecindad de x.Dado que Bd(x, ǫ) ⊆ X es una vecindad de x para cualquier ǫ > 0 el resultado es inmediato.⇐) Tómese V ⊆ X una vecindad cualquiera de x de donde existe δ > 0 tal que Bd(x, δ) ⊆ V .Por hipótesis Bd(x, δ) ∩ E = ∅ y Bd(x, δ) ∩ (X\E) = ∅ y como Bd(x, δ) ∩ E ⊆ V ∩ E y ademásBd(x, δ) ∩ (X\E) ⊆ V ∩ (X\E) se concluye que V ∩ E = ∅ y V ∩ (X\E) = ∅. Finalmente estosignifica que x ∈ ClX(E) y x ∈ ClX(X\E)⇒ x ∈ Fr(E).

Definición 1.2.7. Sean (X, d), (Y, d∗) espacios métricos y f : X → Y una función. Dado a ∈ Xse define el límite de f cuando x tiende a a como

limx→a

f(x) = L ∈ X

si y sólo si

Para ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si d(x, a) < δ con x ∈ X ⇒ d∗(f(x), L) < ǫ.

Teorema 1.2.1. (Lema de la sucesión) Sea (X, d) un espacio métrico y tómenseA ⊆ X, a ∈ X.

(i) Si existe ann∈N ⊆ A sucesión tal que limn→∞

an = a entonces a ∈ ClX(A).

(ii) Si a ∈ ClX(A) entonces existe ann∈N ⊆ A sucesión tal que limn→∞

an = a.

Demostración. Sea τd la topología métrica en X inducida por d.(i) Tómese V ⊆ X una vecindad de a. Como V ∈ τd entonces existe ǫ > 0 tal que Bd(a, ǫ) ⊆ V .Ahora como lim

n→∞an = a se sigue que

Existe ǫ > 0 tal que si n ∈ N, n ≥ N ⇒ d(a, an) < ǫ⇒ an ∈d (a, ǫ)⇒ an ∈ V.

Esto significa que V ∩A = ∅ (dado que an ∈ A para todo n ∈ N) y así a ∈ ClX(A).

(ii) Suponga que a ∈ ClX(A). Luego Bd(a,1n) ∩ A = ∅ para todo n ∈ N (pues Bd(a,

1n) ⊆ X es

vecindad de a para todo n ∈ N) por lo que en virtud del axioma de elección podemos definir unasucesión bnn∈N ⊆ X de tal forma que

bn ∈ Bd(a,1n) ∩A para todo n ∈ N⇒ bnn∈N ⊆ A.


P.d. limn→∞

bn = a.

Sea ǫ > 0. Luego existe N ∈ N tal que Nǫ > 1 por lo que si n ∈ N, n ≥ N entonces

⇒ d(bn, a) <1n ≤ 1

N < ǫ.

Teorema 1.2.2. Sean (X, d), (Y, d∗) espacios métricos y f : X → Y una función.Entonces

(i) f es continua en a ∈ X ⇔ limx→a

f(x) = f(a) ∈ Y ;

(ii) f es continua en p ∈ X si y sólo si dada una sucesión pnn∈N ⊆ X tal quelimn→∞

pn = p ∈ X entonces limn→∞

f(pn) = f(p) ∈ X.

Demostración. Sean τd la topología métrica inducida por d en X y τd∗ la topología métricainducida por d∗ en Y .(i) ⇒) Supongamos que f es continua y sea a ∈ X y ǫ > 0. Dado que U = Bd∗(f(a), ǫ) ∈ τd∗entonces V = f−1(U) ∈ τd donde a ∈ V (pues f(a) ∈ U); así que V es una vecindad para a por loque existe δ > 0 tal que Bd(a, δ) ⊆ V . Luego si d(x, a) < δ con x ∈ X entonces x ∈ Bd(a, δ) y así

x ∈ V ⇔ f(x) ∈ U ⇒ d(f(a), f(x)) < ǫ.

⇐) Sea V ∈ τd∗ . P.d. f−1(V ) = U ∈ τd.Tómese a ∈ U ⇒ f(a) ∈ V . Luego existe ǫ > 0 tal que Bd∗(f(a), ǫ) ⊆ V . Por hipótesis existeδ > 0 tal que si x ∈ Bd(a, δ) ⇒ f(x) ∈ Bd∗(f(a), ǫ); esto significa que f(Bd(a, δ)) ⊆ Bd∗(f(a), ǫ)de donde

Bd(a, δ) ⊆ f−1(f(Bd(a, δ))) y f−1(Bd∗(f(a), ǫ)) ⊆ f−1(V ) = U,

por lo que Bd(a, δ) ⊆ U . Finalmente esto significa que U ∈ τd.

(ii) ⇒) Supongamos que f es continua y sea ǫ > 0. Luego V = Bd∗(f(p), ǫ) ⊆ Y es una vecindadde f(p) ∈ Y por lo que U = f−1(V ) ⊆ X es una vecindad de p ∈ X. Luego existe δ > 0 tal queBd(p, δ) ⊆ U y además

Existe N ∈ N tal que si n ∈ N, n ≥ N ⇒ d(pn, p) < δ⇔ pn ∈ Bd(p, δ)⇒ pn ∈ U ⇔ f(pn) ∈ V.

De aquí que si n ∈ N, n ≥ N ⇒ d∗(f(pn), f(p)) < ǫ. Esto significa que limn→∞

f(pn) = f(p).

⇐) Sea A ∈ ℘(X). En virtud del teorema 1.1.4. basta probar que f(ClX(A)) ⊆ ClY (f(A)).⊆) Sea y ∈ f(ClX(A))⇒ y = f(x) con x ∈ ClX(A). Por el lema de la sucesión existe una sucesiónxnn∈N ⊆ A tal que lim

n→∞xn = x, y en virtud de la hipótesis se sigue que lim

n→∞f(xn) = f(x) = y.

Pero la sucesión f(xn)n∈N ⊆ Y satisface f(xn) ∈ f(A) para cualquier n ∈ N; de aquí quef(xn)n∈N ⊆ f(A). Finalmente, usando de nuevo el lema de la sucesión se concluye que y ∈ClY (f(A)).


Lema 1.2.2. Sea (X, d), (Y, d∗), (Z, d∗∗) espacios métricos y f : X → Y, g : Y → Zfunciones. Entonces si f es continua en a ∈ X y g es continua en f(a) ∈ Y entonces lafunción g f : X → Z tal que (g f)(x) = g(f(x)) para cualquier x ∈ X es continuaen a ∈ X.

Demostración. Sea h : X → Z, h = g f. P.d. limx→a

h(x) = h(a).

Sea ǫ > 0. Como g es continua en f(a) entonces

Existe δ0 > 0 tal que si d∗(f(a), y) < δ0 con y ∈ Y ⇒ d∗∗(g(f(a)), g(y)) < ǫ.

Pero f es continua en a por lo cual

Existe δ > 0 tal que si d(a, x) < δ con x ∈ X ⇒ d∗(f(a), f(x)) < δ0.

Por tanto, si x ∈ X es tal que d(a, x) < δ

⇒ d∗(f(a), f(x)) < δ0 ⇒ d∗∗(h(a), h(x)) = d∗∗(g(f(a)), g(f(x))) < ǫ.

Corolario 1.2.2. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Entonces

A es cerrado (en X) si y sólo si existe ann∈N ⊆ A sucesión tal que limn→∞

an = a ∈ X ⇒ a ∈ A.

Demostración.⇒) Supongamos que A es cerrado (en X). Por hipótesis ann∈N ⊆ A satisface que lim

n→∞an = a ∈

X. En virtud del lema de la sucesión se sigue que a ∈ ClX(A) = A.

⇐) P.d. ClX(A) = A.⊇) Inmediata, en virtud de la proposición 1.1.1.⊆) Sea x ∈ ClX(A). Por el lema de la sucesión existe xnn∈N ⊆ A tal que lim

n→∞xn = x ⇒ x ∈

A (por hipótesis).

1.3 SISTEMAS DINÁMICOS.

Definición 1.3.1. Un Sistema Dinámico (SD) es una terna (X,T, φ) de tal forma que(i) X es un conjunto, llamado Espacio de Estados;(ii) T ⊆ R es un Conjunto de Tiempos donde (T,+) es un grupo abeliano (esto es, T con la sumausual en R es un grupo);(iii) El Operador φ : T ×X → X tal que φ(t, x) = φt(x) para todo (t, x) ∈ T ×X es llamado elOperador de Flujo del Sistema Dinámico, función que satisface las siguientes propiedades:

(1) φ0 : X → X tal que φ0 = IdX (función identidad en X);(2) φt1+t2 = φt1 φt2 para cualesquiera t1, t2 ∈ T .

Así podemos escribir φ = φtt∈T , conjunto conocido como el Flujo del Sistema Dinámico.

Proposición 1.3.1. Sea (X,T, φ) un SD. Entonces φt : X → X es invertible yademás (φt)

−1 = φ(−t) para todo t ∈ T .

Demostración. Sea t ∈ T . Como (T,+) es un grupo existe (−t) ∈ T tal que t+(−t) = 0 = (−t)+tpor lo que φt, φ(−t) : X → X son operadores tales que

φt φ(−t) = φt+(−t) = φ0 = IdX = φ0 = φ(−t)+t = φ(−t) φt,

lo cual significa que φt es invertible y (φt)−1 = φ(−t).

Definición 1.3.2. Un SD (X,T, φ) es llamado de clase Ck para algún k ∈ N ∪ 0 si y sólo siφt : X → X es una función de clase Ck para cualquier t ∈ T .

Definición 1.3.3. (Clasificación de Sistemas Dinámicos)Sea (X,T, φ) un SD.(i) Se dice que (X,T, φ) es un Sistema Dinámico Discreto (SDD) si y sólo si T = Z.(ii) Se dice que (X,T, φ) es un Sistema Dinámico Continuo (SDC) si y sólo si T = R.

Proposición 1.3.2. (i) Sea (X,Z, φ) un SDD. Entonces existe una función invert-ible f : X → X de tal forma que φn = fn para todo n ∈ Z (f es llamada funcióngeneradora del SDD).

(ii) Sea X un conjunto y f : X → X una función invertible. Entonces f determinaun SDD (X,Z, f).

Demostración.(i) Sea f = φ1 : X → X. Por la proposición 1.3.1 sabemos que f es invertible, de donde existe lafunción f−1 : X → X la cual satisface que f f−1 = IdX = f−1 f .

P.d. φn = fn para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 el resultado es inmediato por definición.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que φk = fk para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

φk+1 = φk φ1 = fk f = fk+1.

22


P.d.φ(−n) = f (−n) = (f−1)n para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Sea n = 1. Por la proposición 1.3.1 se sigue que φ(−1) = (φ1)

−1 = f−1.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que φ(−k) = f (−k) = (f−1)k para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

φ−(k+1) = φ(−k)+(−1) = φ(−k) φ(−1) = f (−k) f−1 = f−(k+1).

Finalmente y en virtud de que φ0 = IdX = f0 se concluye que φn = fn para todo n ∈ Z.

(ii) Por hipótesis existe la función f−1 : X → X la cual satisface que f f−1 = IdX = f−1 f .Consideremos el grupo abeliano (Z,+) y definamos el operador

φ : Z×X → X tal que φ(n, x) = fn(x) para todo x ∈ X.

En virtud de que las siguientes propiedades se cumplen:

φ0 = f0 = IdX ,φt1 φt2 = f t1 f t2 = f t1+t2 = φt1+t2 para todo t1, t2 ∈ Z,

se concluye que (X,Z, φ) es un SDD.

Definición 1.3.4. Sea un SD (X,T, φ), D ⊆ X y x0 ∈ X.(i) La semiórbita positiva de x0 es el conjunto

O+(x0) = φt(x0)t≥0 = φt(x0)|t ∈ T, t ≥ 0.

(ii) La semiórbita negativa de x0 es el conjunto

O−(x0) = φt(x0)t≤0 = φt(x0)|t ∈ T, t ≤ 0.

(iii) La órbita, trayectoria y/o puntos fases de x0 es el conjunto

O(x0) = O+(x0) ∪O−(x0) = φt(x0)t∈t.

(iv) El Retrato Fase del SD es el conjunto O = O(x)x∈X que consta de todas las posiblestrayectorias del sistema.(v) Se dice que D es un conjunto positivamente invariante bajo φ si y sólo si φt(D) ⊆ D para todot ∈ T, t > 0.(vi) Se dice que D es un conjunto negativamente invariante bajo φ si y sólo si φt(D) ⊆ D paratodo t ∈ T, t < 0.(vii) Se dice que D es un conjunto invariante bajo φ si y sólo si φt(D) ⊆ D para todo t ∈ T .(viii) Se dice que D es un conjunto fuertemente invariante bajo φ si y sólo si φt(D) = D para todot ∈ T .


Proposición 1.3.3. Sea (X,T, φ) un SD y tómese x, y ∈ X y D ⊆ X.(i) D ⊆ ∪

x∈DO(x).

(ii) Si O(x) ∩O(y) = ∅ entonces O(x) = O(y).(iii) D es positivamente invariante si y sólo si D = ∪

x∈DO+(x).

(iv) D es negativamente invariante si y sólo si D = ∪x∈D

O−(x).

(v) D es invariante si y sólo si D = ∪x∈D

O(x).

(vi) D es fuertemente invariante si y sólo si D = ∪x∈D

O(x) y D ⊆ φt(D) para todo

t ∈ T.

Demostración.(i) ⊆) Sea z ∈ D. Como z ∈ O(z) (pues z = φ0(z)) y dado que O(z) ⊆ ∪

x∈DO(x)⇒ z ∈ ∪

x∈DO(x).

(ii) Como O(x)∩O(y) = ∅ entonces existe u ∈ X tal que u ∈ O(x) y u ∈ O(y). Esto significa queφt1(x) = u = φt2(y) para algunos t1, t2 ∈ T ⇒ y = φt0(x) donde t0 = t1+ (−t2) ∈ T . De la mismaforma observamos que φ(−t0)(y) = φ(−t0)(φt0(x)) = φ0(x) = x con (−t0) ∈ T.P.d. O(x) = O(y).⊆) Sea z ∈ O(x)⇒ z = φt(x) para algún t ∈ T . Luego

z = φt(x) = φt(φ(−t0)(y)) = φt+(−t0)(y) donde t+ (−t0) ∈ T,

y por lo tanto se sigue que z ∈ O(y).⊇) Sea z ∈ O(y)⇒ z = φt(y) para algún t ∈ T . Luego

z = φt(y) = φt(φt0(x)) = φt+t0(x) donde t+ (−t0) ∈ T,

y por lo tanto se sigue que z ∈ O(x).

(iii) ⇒) P.d. D = ∪x∈D

O+(x).

⊆) Sea z ∈ D. Como z ∈ O+(z) (pues φ0(z) = z) y dado queO+(z) ⊆ ∪x∈D

O+(x)⇒ z ∈ ∪x∈D

O+(x).

⊇) Sea z ∈ ∪x∈D

O+(x)⇒ z ∈ O+(x) para algún x ∈ D. De aquí z = φt0(x) para algún x ∈ D con

t0 ∈ T, t0 ≥ 0; si t0 = 0 se sigue que z = x ∈ D y si t0 > 0 entonces z ∈ φt0(D) ⊆ D (pues D espositivamente invariante bajo φ)⇒ z ∈ D.

⇐) Sea t ∈ T, t > 0. P.d. φt(D) ⊆ D⊆) Sea z ∈ φt(D)⇒ z = φt(x0) para algún x0 ∈ D. Esto significa que

z ∈ O+(x0) ⊆ ∪x∈D

O+(x) = D⇒ z ∈ D.

(iv) ⇒) P.d. D = ∪x∈D

O−(x).

⊆) Sea z ∈ D. Como z ∈ O−(z) (pues φ0(z) = z) y dado queO−(z) ⊆ ∪x∈D

O−(x)⇒ z ∈ ∪x∈D

O−(x).

⊇) Sea z ∈ ∪x∈D

O−(x)⇒ z ∈ O−(x) para algún x ∈ D. De aquí z = φt0(x) para algún x ∈ D con

t0 ∈ T, t0 ≤ 0; si t0 = 0 se sigue que z = x ∈ D y si t0 < 0 entonces z ∈ φt0(D) ⊆ D (pues D esnegativamente invariante bajo φ)⇒ z ∈ D.

⇐) Sea t ∈ T, t < 0. P.d. φt(D) ⊆ D⊆) Sea z ∈ φt(D)⇒ z = φt(x0) para algún x0 ∈ D. Esto significa que


z ∈ O−(x0) ⊆ ∪x∈D

O−(x) = D⇒ z ∈ D.

(v) ⇒) Inmediata, pues

D es invariante (bajo φ)⇔ D es positiva y negativamente invariante (bajo φ)⇔ D = ∪

x∈DO+(x) y D = ∪

x∈DO−(x)⇒ ∪

x∈DO(x) = ( ∪

x∈DO−(x)) ∪ ( ∪

x∈DO+(x)) = D ∪D = D.

⇐) Sea t ∈ T. P.d. φt(D) ⊆ D.⊆) Sea z ∈ φt(D) ⇒ z = φt(x0) para algún x0 ∈ D. De aquí que z ∈ O(x0) y como O(x0) ⊆∪

x∈DO(x) = D⇒ z ∈ D.

(vi) Inmediata, pues en virtud del inciso (v) se sigue que

D es fuertemente invariante (bajo φ)⇔ D es invariante (bajo φ) y D ⊆ φt(D) para todo t ∈ T⇔ D = ∪

x∈DO(x) y D ⊆ φt(D) para todo t ∈ T.

Definición 1.3.5. Sea un SDC (X,R, φ).(i) Se dice que x0 ∈ X es un punto fijo y/o estado estacionario si y sólo si φt(x0) = x0 para todot ∈ R.(ii) Supongamos que L ∈ R|L > 0 y φt+L(x0) = φt(x0) para todo t ∈ R = ∅. Se dice quex0 ∈ X es un punto periódico de periodo P ∈ R, P > 0 si y sólo si φt+P (x0) = φt(x0) para todot ∈ R (donde P = minL ∈ R|L > 0 y φt+L(x0) = φt(x0) para todo t ∈ R).(iii) Se dice que C ⊆ X es un ciclo, órbita cerrada y/u órbita periódica si y sólo si se satisfacenlas siguientes propiedades:

(1) Existe x0 ∈ X punto periódico tal que O(x0) = C,(2) C = O(x) para todo x ∈ C.

Definición 1.3.6. Sea un SDD (X,Z, f).(i) Se dice que x0 ∈ X es un punto fijo y/o estado estacionario si y sólo si f(x0) = x0.(ii) Supongamos que L ∈ N|fL(x0) = x0 = ∅. Se dice que x0 ∈ X es un punto periódico deperiodo P ∈ N si y sólo si fP (x0) = x0.(iii) Se dice que C ⊆ X es un ciclo y/u órbita periódica si y sólo si se satisfacen las siguientespropiedades:

(1) Existe x0 ∈ X punto periódico tal que O(x0) = C,(2) C = O(x) para todo x ∈ C.

Lema 1.3.1. Sea (X,T, f) un SDD y suponga que existe x0 ∈ X un punto periódico.(i) x0 es punto periódico de f de periodo P ∈ N (en el SDD (X,T, f)) si y sólo si

x0 es un punto fijo de fP (en el SDD(X,T, fP )).(ii) fnP (x0) = x0 para cualquier n ∈ Z.

Demostración. (i) Inmediata, pues

x0 es un punto periódico de periodo P para f ⇔ fP (x0) = x0⇔ h(x0) = x0 con h = fP ⇔ x0 es un punto fijo para h donde h = fP .


(ii) P.d. fnP (x0) = x0 para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se tiene que f (1)P (x0) = fP (x0) = x0.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que fkP (x0) = x0 para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

f (k+1)P (x0) = fkP+P (x0) = fkP (fP (x0)) = fkP (x0) = x0.

P.d. f (−n)P (x0) = x0 para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Sea n = 1. Como fP (x0) = x0 entonces se sigue que

f (−1)P (x0) = f−P (x0) = f−P (fP (x0)) = f0(x0) = x0.

(Hipótesis de Inducción) Supóngase que f (−k)P (x0) = x0 para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

f−(k+1)P (x0) = f−kP−P (x0) = f−kP (f−P (x0)) = f−kP (x0) = x0.

Finalmente y en virtud de que f (0)P (x0) = IdX(x0) = x0 se concluye que fnP (x0) = x0 para todon ∈ Z.

Lema 1.3.2. Sea (X,T, φ) un SD y suponga que existe O ⊆ X órbita tal queO(x) = O para todo x ∈ O. Entonces O es fuertemente invariante.

Demostración. Sea t ∈ T . P.d. φt(O) = O.⊆) Sea x ∈ φt(O) ⇒ x = φt(y) para algún y ∈ O. Pero φt(y) ∈ O(y) = O (por hipótesis) por loque se concluye que x ∈ O.⊇) Sea x ∈ O. Si O\x = ∅ entonces O = x por lo que x = φt(x) ∈ φt(O); ahora supóngase queO\x = ∅ de donde existe x0 ∈ O tal que x0 = x. Defínase y = φt(x0) ∈ O (pues O(x0) = O);como x ∈ O = O(y) ⇒ x = φt0(y) para algún t0 ∈ T . De donde x = φt0(φt(x0)) = φt0+t(x0) =φt(φt0(x0)) = φt(z) donde z = φt0(x0) ∈ O.Esto significa que x ∈ φt(O).

Lema 1.3.3. Sea (X,T,φ) un SD. Si x0 ∈ X es un punto periódico de periodoP ∈ T, P > 0 entonces todo punto de la órbita O(x0) ⊆ X es un punto periódico deperiodo P .

Demostración. Por hipótesis se tiene que φt+P (x0) = φt(x0) para todo t ∈ T . Tómese x ∈ O(x0)por lo que x = φt0(x0) para algún t0 ∈ T .P.d. φt(x) = φt+P (x) para todo t ∈ T.Sea t ∈ T . Entonces

φt(x) = φt(φt0(x0)) = (φt φt0)(x0) = φt+t0(x0) = φt+t0+P (x0)= φt+P+t0(x0) = (φt+P φt0)(x0) = φt+P (φt0(x0)) = φt+P (x).


Definición 1.3.7. Sea un SD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable y supongamos queexiste x0 ∈ X punto fijo.(i) Se dice que x0 es estable (en el sentido de Liapunov) si y sólo si para toda U ⊆ X vecindad dex0 existe V ⊆ X vecindad de x0 tal que φt(V ) ⊆ U para cualquier t ∈ T, t > 0.(ii) Se dice que x0 es inestable si y sólo si no es estable.(iii) Se dice que x0 es un atractor y/o sumidero si y sólo si existe U ⊆ X vecindad de x0 tal quelimt→∞

φt(x) = x0 para cualquier x ∈ U.

(iv) Se dice que x0 es un repulsor y/o fuente si y sólo si existe U ⊆ X vecindad de x0 tal quelimt→∞

φ(−t)(x) = x0 para cualquier x ∈ U.

(v) Se dice que x0 es asintóticamente estable si y sólo si es estable y atractor.(vi) Se dice que x0 es neutralmente estable si y sólo si es estable y no atractor.

Definición 1.3.8. Sea un SD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable y D ⊆ X. Se dice queU ⊆ X es una vecindad de D si y sólo si U es vecindad de cualquier x ∈ D (D ⊆ U).

Definición 1.3.9. Sea un SDC (X,R, φ) donde X es un espacio metrizable.(i) Un conjunto D ⊆ X positivamente invariante se llama estable si y sólo si para toda U ⊆ Xvecindad de D existe V ⊆ X vecindad de D tal que φt(V ) ⊆ U para todo t ∈ R, t > 0.(ii) Se dice que un conjunto D ⊆ X es inestable si y sólo si no estable.(iii) Un conjunto D ⊆ X positivamente invariante se denomina atractor y/o sumidero si y sólo siexiste U ⊆ X vecindad de D tal que lim

t→∞φt(y) ∈ D para todo y ∈ U.

(iv) Un conjunto D ⊆ X negativamente invariante se denomina repulsor y/o fuente si y sólo siexiste U ⊆ X vecindad de D tal que lim

t→∞φ(−t)(y) ∈ D para todo y ∈ U.

Definición 1.3.10. Sea un SDD (X,Z, f) donde X es un espacio metrizable.(i) Un conjunto D ⊆ X positivamente invariante se llama estable si y sólo si para toda U ⊆ Xvecindad de D existe V ⊆ X vecindad de D tal que fn(V ) ⊆ U para todo n ∈ N.(ii) Se dice que un conjunto D ⊆ X es inestable si y sólo si no estable.(iii) Un conjunto D ⊆ X positivamente invariante se denomina atractor y/o sumidero si y sólo siexiste U ⊆ X vecindad de D tal que lim

n→∞fn(y) ∈ D para todo y ∈ U.

(iv) Un conjunto D ⊆ X negativamente invariante se denomina repulsor y/o fuente si y sólo siexiste U ⊆ X vecindad de D tal que lim

n→∞f−n(y) ∈ D para todo y ∈ U.

Definición 1.3.11. Sea un SD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable.(i) Un conjunto D ⊆ X positivamente invariante se denomina asintóticamente estable si y sólo sies estable y atractor.(ii) Un conjunto D ⊆ X positivamente invariante se denomina neutralmente estable si y sólo si esestable y no atractor.

Definición 1.3.12. Sea un SD (X,T, φ) donde (X, d) es un espacio métrico y tómese D ⊆ X.(i) Supóngase que D es un conjunto positivamente invariante. Se dice que D satisface la condiciónde atractividad si y sólo si existe W ⊆ X vecindad de D tal que lim

t→∞d(φt(ξ),D) = 0 para cualquier

ξ ∈W donde

d(φt(ξ),D) = infd(φt(ξ), ω)|ω ∈ D para ξ ∈W.

En este caso se dice que D es un conjunto atractivo (para φ).


(ii) Supóngase queD es un conjunto negativamente invariante. Se dice queD satisface la condiciónde repulsividad si y sólo si existeW ⊆ X vecindad deD tal que lim

t→∞d(φ−t(ξ),D) = 0 para cualquier

ξ ∈W donde

d(φ−t(ξ),D) = infd(φ−t(ξ), α)|α ∈ D para ξ ∈W.

En este caso se dice que D es un conjunto repulsivo (para φ).

Definición 1.3.13. Sea un SDD (X,Z, f) donde X es un espacio metrizable y supóngase queexiste x0 ∈ X punto periódico de periodo P ∈ T, P > 0.(i) Se dice que x0 es estable si y sólo si para toda V ⊆ X vecindad de x0 existe U ⊆ X vecindadde x0 tal que fnP (U) ⊆ V para cualquier n ∈ N.(ii) Se dice que x0 es inestable si y sólo si no es estable.(iii) Se dice que x0 es atractor ⇔ Existe U ⊆ X vecindad de x0 tal que lim

n→∞fnP (x) = x0 para

cualquier x ∈ U.(iv) Se dice que x0 es repulsor ⇔Existe U ⊆ X vecindad de x0 tal que lim

n→∞f−nP (x) = x0 para

cualquier x ∈ U.(v) Se dice que x0 es asintóticamente estable si y sólo si es estable y atractor.(vi) Se dice que x0 es neutralmente estable si y sólo si es estable y no atractor.

Definición 1.3.14. Sea un SDD (X,Z, f) donde X es un espacio metrizable y supóngase queexiste una órbita periódica O ⊆ X.(i) Se dice que O es estable si y sólo si existe x0 ∈ X punto periódico estable tal que O = O(x0).(ii) Se dice que O es inestable si y sólo si no es estable.(iii) Se dice que O es atractor (periódico) si y sólo si existe x0 ∈ X punto periódico atractor talque O = O(x0).(iv) Se dice que O es repulsor (periódico) si y sólo si existe x0 ∈ X punto periódico repulsor talque O = O(x0).(v) Se dice que O es asintóticamente estable si y sólo si es estable y atractor.(vi) Se dice que O es neutralmente estable si y sólo si es estable y no atractor.

Definición 1.3.15. Sea un SD (X,T, φ) donde (X, d) es un espacio métrico. Supongamos queexisten un punto fijo atractor x0 ∈ X y una órbita atractiva O ⊆ X.(i) La cuenca de atracción para x0 se define como el conjunto

CA(x0) = x ∈ X| limt→∞

φt(x) = x0.

(ii) La cuenca de atracción para O se define como el conjunto CA(O) ⊆ X que satisface lassiguientes propiedades:(1) CA(O) es una vecindad deO tal que si α ∈ O⇒ lim

t→∞d(φt(ξ), α) = 0 para cualquier ξ ∈ CA(O).

(2) Si V ⊆ X es una vecindad de O que satisface la condición de atractividad anterior entoncesV ⊆ CA(O).(iii) Se dice que el flujo φ tiene la propiedad de continuidad con respecto a condiciones iniciales siy sólo si dado x ∈ X fijo entonces para cualquier t ∈ T y ǫ > 0 fijos existe δ = δ(t, ǫ) > 0 tal quesi y ∈ Bd(x, δ)⇒ φ(y) ∈ Bd(φt(x), ǫ).

Proposición 1.3.4. Sea (X,T, φ) un SD donde X es un espacio metrizable ysupongamos que existe un punto fijo atractor x0 ∈ X. Si φ tiene la propiedad decontinuidad con respecto a condiciones iniciales entonces CA(x0) ⊆ X es un conjuntoabierto.


Demostración. Sea d una distancia en X. P.d. CA(x0) ⊆ X es abierto.(i) Sea x ∈ CA(x0) y tómese ǫ > 0; luego existe M = M(ǫ) > 0 tal que si t > M, t ∈ T ⇒d(φt(x), x0) <

ǫ2 .

Además, por hipótesis tenemos que si t > M, t ∈ T entonces existe δ = δ(t, ǫ) > 0 tal que sid(x, y) < δ con y ∈ X ⇒ d(φt(x), φt(y)) <

ǫ2 .

P.d. Bd(x, δ) ⊆ CA(x0).Sea y ∈ Bd(x, δ)⇒ φt(y) ∈ Bd(φt(x),

ǫ2). Por tanto para t > M, t ∈ T tenemos que

d(φt(y), x0) ≤ d(φt(y), φt(x)) + d(φt(x), x0) <ǫ2 +

ǫ2 = ǫ.

Esto implica que limt→∞

φt(y) = x0 con lo cual y ∈ CA(x0).

(ii) Sea τd la topología métrica inducida por d. En virtud del inciso (i) se sigue que CA(x0) ∈ τd(véase la proposición 1.2.2).

Definición 1.3.16. Sea un SD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable y tómese x0 ∈ X.Supongase además que existe C ⊆ X una órbita cerrada.(i) Se dice que z es punto α−límite de x si y sólo si existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = −∞ tal que

limn→∞

φtn(x) = z.

(ii) El α−límite de x se define como el conjunto

Lα(x) = Lα(x, φ) = z ∈ X|z es punto α−límite de x.

(iii) Se dice que z es punto ω−límite de x si y sólo si existe tnn∈N ⊆ T con limn→∞

tn = ∞ tal

que limn→∞

φtn(x) = z.

(iv) El ω−límite de x se define como el conjunto

Lω(x) = Lω(x, φ) = z ∈ X|z es punto ω−límite de x.

(v) Denotamos Λ = Λ(φ) = ∪x∈X

Lω(x).

(vi) Se dice que C es un ciclo límite si y sólo si C ⊆ Lα(x) ó C ⊆ Lω(x) para algún x ∈ X\C.

Proposición 1.3.5. Sea (X,T, φ) un SD y D ⊆ X.(i) Lα(x), Lω(x) ⊆ X son conjuntos cerrados para cualquier x ∈ X.(ii) Lα(x), Lω(x) ⊆ X son conjuntos invariantes bajo φ para cualquier x ∈ X.(iii) Sean x, y ∈ X tales que O(x) ∩O(y) = ∅. Entonces Lα(x) = Lα(y), Lω(x) =

Lω(y).(iv) Si D es cerrado y positivamente invariante (bajo φ) entonces Lω(z) ⊆ D para

cualquier z ∈ D.(v) Si D es cerrado y negativamente invariante (bajo φ) entonces Lα(z) ⊆ D para

cualquier z ∈ D.(vi) Si D es cerrado e invariante (bajo φ) entonces Lω(z), Lα(z) ⊆ D para cualquier

z ∈ D.

Demostración. Sea d una distancia en X.(i) Sea x ∈ X y consideremos los conjuntos Lω(x), Lα(x) ⊆ X.


P.d. ClX(Lω(x)) = Lω(x).⊇) Inmediata, en virtud de la proposición 1.1.1.⊆) Sea z ∈ ClX(Lω(x)). En virtud del lema de la sucesión existe znn∈N ⊆ Lω(x) tal quelimn→∞

zn = z, pero por definición para cualquier n ∈ N existe tn,kk∈N ⊆ T con limk→∞

tn,k =

∞ tal que limk→∞

φtn,k(x) = zn.

De donde existe tn,nn∈N ⊆ T con limn→∞

tn,n =∞ tal que limn→∞

φtn,n(x) = z ⇒ z ∈ Lω(x).

P.d. ClX(Lα(x)) = Lα(x).⊇) Inmediata, en virtud de la proposición 1.1.1.⊆) Sea z ∈ ClX(Lα(x)). En virtud del lema de la sucesión existe znn∈N ⊆ Lα(x) tal quelimn→∞

zn = z, pero por definición para cualquier n ∈ N existe tn,kk∈N ⊆ T con limk→∞

tn,k =

−∞ tal que limk→∞

φtn,k(x) = zn.


tn,n = −∞ tal que limn→∞

φtn,n(x) = z ⇒ z ∈ Lα(x).

(ii) Tómese x ∈ X y sea t ∈ T fijo.

P.d. φt(Lω(x)) ⊆ Lω(x).⊆) Sea z ∈ φt(Lω(x)) ⇒ z = φt(y) con y ∈ Lω(x). Luego existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = ∞

tal que limn→∞

φtn(x) = y; de aquí que exista t∗nn∈N ⊆ T con t∗n = t+ tn para todo n ∈ N, la cual

satisface que limn→∞

t∗n = limn→∞

(t+ tn) =∞ y además

limn→∞

φt∗n(x) = limn→∞

φt+tn(x) = limn→∞

φt(φtn(x)) = φt( limn→∞φtn(x)) = φt(y) = z ⇒ z ∈ Lω(x).

P.d. φt(Lα(x)) ⊆ Lα(x).⊆) Sea z ∈ φt(Lα(x)) ⇒ z = φt(y) con y ∈ Lα(x). Luego existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = −∞

tal que limn→∞

φtn(x) = y; de aquí que exista t∗nn∈N ⊆ T con t∗n = t+ tn para todo n ∈ N, la cual

satisface que limn→∞

t∗n = limn→∞

(t+ tn) = −∞ y además

limn→∞



φt(φtn(x)) = φt( limn→∞

φtn(x)) = φt(y) = z ⇒ z ∈ Lα(x).

(iii) Sabemos que O(x) = O(y). Por lo que x = φt0(y) para algún t0 ∈ T (pues x ∈ O(x)) y así

φ(−t0)(x) = φ(−t0)(φt0(y)) = φ0(y) = y.

P.d. Lω(x) = Lω(y).⊆) Sea z ∈ Lω(x).Entonces existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn =∞ tal que lim

n→∞φtn(x) = z; de aquí

que exista t∗nn∈N ⊆ T tal que t∗n = tn + t0 para todo n ∈ N, la cual satisface que

limn→∞

t∗n = limn→∞

(tn + t0) =∞ y limn→∞

φt∗n(y) = limn→∞

φtn(φt0(y)) = limn→∞

φtn(x) = z ⇒ z ∈ Lω(y).

⊇) Sea z ∈ Lω(y). Entonces existe tnn∈N ⊆ T con limn→∞

tn =∞ tal que limn→∞

φtn(y) = z; de aquí

que exista t∗nn∈N ⊆ T tal que t∗n = tn + (−t0) para todo n ∈ N, la cual satisface que

limn→∞

t∗n = limn→∞

(tn + (−t0)) =∞ y

limn→∞


φtn(φ(−t0)(x)) = limn→∞

φtn(y) = z ⇒ z ∈ Lω(x).


P.d. Lα(x) = Lα(y).⊆) Sea z ∈ Lα(x). Entonces existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = −∞ tal que lim

n→∞φtn(x) = z y de

aquí que exista t∗nn∈N ⊆ T tal que t∗n = tn + t0 para todo n ∈ N, la cual satisface que

limn→∞

t∗n = limn→∞

(tn + t0) = −∞ y limn→∞



φtn(x) = z ⇒ z ∈ Lα(y).

⊇) Sea z ∈ Lα(y). Entonces existe tnn∈N ⊆ T con limn→∞

tn = −∞ tal que limn→∞

φtn(y) = z; de

aquí que exista t∗nn∈N ⊆ T tal que t∗n = tn + (−t0) para todo n ∈ N la cual satisface que

limn→∞

t∗n = limn→∞

(tn + (−t0)) = −∞ y

limn→∞



φtn(y) = z ⇒ z ∈ Lα(x).

(iv) Tómese z ∈ D. P.d. Lω(z) ⊆ D.⊆) Sea x ∈ Lω(z) por lo que existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = ∞ tal que lim

n→∞φtn(z) = x,

y de donde existe N ∈ N tal si n ∈ N, n ≥ N ⇒ tn > 0. Pero como D es positivamenteinvariante (bajo φ) tenemos que φtn(z) ∈ D para n ∈ N, n ≥ N ; de esta forma podemos definirla (sub)sucesión znn∈N ⊆ D tal que zn = φtn+N (z) para cualquier n ∈ N, la cual satisfaceque lim

n→∞zn = lim

n→∞φtn+N (z) = x. En virtud del lema de la sucesión se sigue finalmente que

x ∈ ClX(D) = D.

(v) Tómese z ∈ D. P.d. Lα(z) ⊆ D.⊆) Sea x ∈ Lα(z) por lo que existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = −∞ tal que lim

n→∞φtn(z) = x,

y de donde existe N ∈ N tal si n ∈ N, n ≥ N ⇒ tn < 0. Pero como D es negativamenteinvariante (bajo φ) tenemos que φtn(z) ∈ D para n ∈ N, n ≥ N ; de esta forma podemos definirla (sub)sucesión znn∈N ⊆ D tal que zn = φtn+N (z) para cualquier n ∈ N, la cual satisfaceque lim

n→∞zn = lim

n→∞φtn+N (z) = x. En virtud del lema de la sucesión se sigue finalmente que

x ∈ ClX(D) = D.

(vi) Como D invariante (bajo φ), entonces D es cerrado, positiva y negativamente invariante. Envirtud de los incisos (iv) y (v) se sigue inmediatamente el resultado.

Definición 1.3.17. Sea (X,Z, f) un SDD donde X es un espacio metrizable.(i) Se dice que x∗ ∈ X es un punto recurrente (para f) si y sólo si para cualquier N ⊆ X vecindadde x∗ existe m ∈ N tal que fm(x∗) ∈ N.(ii) Se dice que x∗ ∈ X es un punto no errante (para f) si y sólo si para cualquier N ⊆ X vecindadde x∗ existe m ∈ N tal que fm(N)∩N = ∅, obien, si y sólo si para cualquier N ⊆ X vecindad dex∗ existe m ∈ N tal que fm(y) ∈ N para algún y ∈ N.(iii) Denotamos

P = P (f) = x ∈ X|x es punto periódico (para f),R = R(f) = x ∈ X|x es punto recurrente (para f),Ω = Ω(f) = x ∈ X|x es punto no errante (para f).

Proposición 1.3.6. Sea (X,Z, f) un SDD donde X es un espacio metrizable.(i) Sea x ∈ X. Entonces x ∈ R⇔ x ∈ Lω(x).(ii) f(P ) = P (esto es, P ⊆ X es fuertemente invariante bajo f).


(iii) Si f es homeomorfismo entonces f(R) = R (esto es, R ⊆ X es fuertementeinvariante bajo f).

(iv) Si f es continua entonces f(Lω(x)) = Lω(x) para cualquier x ∈ X (es decir,cualquier ω−límite es fuertemente invariante bajo f).

(v) Si f es continua entonces f(Λ) = Λ (esto es, Λ ⊆ X es fuertemente invariantebajo f).

(vi) Si f es continua entonces f(Ω) ⊆ Ω (esto es, Ω ⊆ X es fuertemente invariantebajo f).

(vii) P ⊆ R.(viii) R ⊆ Λ.(ix) Si f es continua entonces Λ ⊆ f(Ω).(x) Ω ⊆ X es cerrado.

Demostración. Sea d una distancia en X.(i) Sea x ∈ X.⇒) Supongamos que x ∈ R. P.d. x ∈ Lω(x).Entonces para cada k ∈ N existe mk ∈ N tal que fmk(x) ∈ Bd(x,

1k ) y así podemos construir una

(sub)sucesión m∗kk∈N ⊆ mkk∈N tal que lim

n→∞m∗

k =∞.

P.d. limn→∞

fmk(x) = x.

Sea ǫ > 0. Entonces existe N ∈ N tal que Nǫ > 1. Luego si k ∈ N, k ≥ N tenemos que

d(fmk(x), x) < 1k ≤ 1

N < ǫ.

Y por el resultado anterior se sigue que x ∈ Lω(x).

⇐) Supongamos que x ∈ Lω(x) y sea V ⊆ X una vecindad de x. Entonces existe ǫ > 0 tal queBd(x, ǫ) ⊆ V , y como existe mkk∈N ⊆ Z tal que lim

n→∞mk =∞ y lim

n→∞fmk(x) = x podemos tomar

N ∈ N tal que si k ∈ N, k ≥ N

⇒ d(fmk(x), x) < ǫ⇔ fmk(x) ∈ Bd(x, ǫ)⇒ fmk(x) ∈ V .

Esto significa que x ∈ R.

(ii) P.d. f(P ) = P.⊆) Sea x ∈ f(P ), por lo que existe p ∈ P tal que x = f(p). Supongamos que n ∈ N es el periodode p y así

x = f(p) = f(fn(p)) = fn+1(p).

De donde

fn(x) = fn(fn+1(p)) = f2n+1(p) = fn+1(fn(p)) = fn+1(p) = x.

Esto significa que x ∈ P.

⊇) Sea x ∈ P ⇒Existe n ∈ N tal que fn(x) = x. Luego definimos m = 2n − 1 ∈ N y hágaseω = fm(x) ∈ X, por lo que


f(ω) = f(fm(x)) = fm+1(z) = f2n(z) = z,fm+n(ω) = fm(fn(z)) = fm(z) = ω con m+ n ∈ N⇒ ω ∈ P.

De donde z = f(ω) con ω ∈ P ⇒ z ∈ f(P ).

(iii) P.d. R = f(R).⊆) Sea x ∈ R⇒ x ∈ Lω(x) (por el inciso (i) de esta proposición). De aquí que exista mkk∈N ⊆ Zcon lim

k→∞fmk(x) = x. Dado que f es sobreyectiva por teoría elemental de conjuntos se sigue

que f−1(fmk(x)) = ∅ para cualquier k ∈ N. Esto implica que podemos definir la sucesiónxkk∈N ⊆ X de tal forma que xk ∈ f−1(fmk(x)) para cualquier k ∈ N. Hágase x∗ = lim

k→∞xk =

limk→∞

fmk−1(x) ∈ X por lo que

f(x∗) = f( limk→∞

xk) = limk→∞

f(xk) = limk→∞

fmk(x) = x (pues f es continua).

Tómese U ⊆ X una vecindad de x∗. Como f−1 es continua entonces V = f(U) ⊆ X es unavecindad de x y por tanto existe m ∈ N tal que fm(x) ∈ f(U) = V con lo cual

fm(x∗) = fm(f−1(x)) = fm−1(x) = f−1(fm(x)) ∈ U.

Esto significa que x∗ ∈ R y así x ∈ f(R).

⊇) Sea x ∈ f(R) ⇒ x = f(y) para algún y ∈ R. Tómese V ⊆ X vecindad de x por lo queU = f−1(V ) ⊆ X es una vecindad de y (pues f es continua), y de aquí tenemos que existe m ∈ Ntal que fm(y) ∈ f−1(V ) = U . Por lo cual fm(x) = fm(f(y)) = fm+1(y) ∈ V y esto significa quex ∈ R.

(iv) Sea x ∈ X. P.d. Lω(x) = f(Lω(x)).⊆) Sea z ∈ Lω(x); entonces existe mkk∈N ⊆ Z con lim

k→∞mk = ∞ tal que lim

k→∞fmk(x) = z. De

esta forma podemos definir la sucesión m∗kk∈N ⊆ Z tal que m∗

k = mk − 1 para todo k ∈ N. Porlo tanto lim

k→∞m∗

k = limk→∞

(mk − 1) =∞ y si u = limk→∞

fm∗

k(x) ⇒ u ∈ Lω(x). Y como f es continua

tenemos que

f(u) = f( limk→∞

fm∗

k(x)) = limk→∞

fm∗

k+1(x) = limk→∞

fmk(x) = z.

En virtud del resultado anterior z ∈ f(Lω(x)).

⊇) Por una proposición anterior sabemos que Lω(x) ⊆ X es invariante (bajo f). En particularf(Lω(x)) ⊆ Lω(x).

(v) Nótese que

z ∈ Λ⇔ z ∈ Lω(x) para algún x ∈ X ⇔ z ∈ f(Lω(x)) para algún x ∈ X⇔(Existe u ∈ Lω(x) tal que z = f(u)) para algún x ∈ X⇔(Existe u ∈ Lω(x) para algún x ∈ X) tal que z = f(u)

⇔Existe u ∈ Λ tal que z = f(u)⇔ z ∈ f(Λ).

En virtud de la teoría elemental de conjuntos se sigue que Λ = f(Λ).

(vi) P.d. f(Ω) ⊆ Ω.⊆) Sea z ∈ f(Ω) de donde z = f(u) para algún u ∈ Ω. Si tomamos V ⊆ X una vecindad de zentonces U = f−1(V ) ⊆ X es una vecindad de u (pues f es continua). En tal caso existe m ∈ Ntal que fm(y) ∈ U para algún y ∈ U y así


fm(α) = fm+1(y) = f(fm(y)) ∈ V donde α = f(y) ∈ V.

Esto significa que z ∈ Ω.

(vii) P.d. P ⊆ R.⊆) Sea x ∈ P de donde existe n ∈ N tal que fn(x) = x. Tómese V ⊆ X una vecindad de x así quefn(x) = x ∈ V ; esto significa que x ∈ R.

(viii) P.d. R ⊆ Λ.⊆) Sea x ∈ R⇔ x ∈ Lω(x) ⊆ Λ. Esto implica que x ∈ Λ.

(ix) P.d. Λ ⊆ f(Ω).⊆) Sea z ∈ Λ de donde z ∈ Lω(x) para algún x ∈ X. Por definición sabemos que existe nkk∈N ⊆ Zcon lim

k→∞nk =∞ tal que lim

k→∞fnk(x) = z. Dado que f es sobreyectiva tenemos que f−1(x) = ∅

de donde existe x∗ ∈ f−1(x)⇒ f(x∗) = y. Hágase u = limk→∞

fnk(x∗) por lo que

f(u) = f( limk→∞

fnk(x∗)) = limk→∞

fnk(f(x∗)) = limk→∞

fnk(y) = x.

Tómese U ⊆ X vecindad de u⇒Existe ǫ > 0 tal que Bd(u, ǫ) ⊆ U ; también existe N ∈ N tal quesi k ∈ N, k ≥ N entonces d(fnk(x∗), u) < ǫ⇒ fnk(x∗) ∈ U . En virtud de tales resultados podemoselegir m ∈ N tal que nN+m ∈ nkk≥N (esto es posible pues lim

k→∞nk =∞), y por lo tanto

fm(α) ∈ U con α = fnN (x∗) ∈ U ⇒ fm(U) ∩ U = ∅.

Esto significa que u ∈ Ω y así x ∈ f(Ω).

(x) P.d. ClX(Ω) = Ω.⊆) Inmediata en virtud de la proposición 1.1.1.⊇) Sea y ∈ ClX(Ω). Por el lema de la sucesión sabemos que existe ynn∈N ⊆ Ω tal que lim

k→∞yn = y.

Tómese U ⊆ X vecindad de y por lo cual existe δ > 0 tal que Bd(u, ǫ) ⊆ U y así también existeN ∈ N tal que si n ∈ N, n ≥ N entonces d(yn, y) < ǫ ⇒ yn ∈ U . Luego U es vecindad de yN porlo que existe mN ∈ N tal que fmN (zN) ∈ U con zN ∈ U (pues yN ∈ Ω) y por tanto (al menos)fmN (U) ∩ U = ∅. Finalmente esto significa que y ∈ Ω.

Definición 1.3.18. Sea (X,T, φ) un SD donde X es un espacio topológico. Se dice que C ⊆ X esun Conjunto de Cantor si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades:(i) C es un conjunto perfecto;(ii) C es invariante (bajo φ);(iii) C es denso en ninguna parte, es decir, Int(C) = ∅.

Definición 1.3.19. Sean (X,T,φ), (Y, T,ψ) SD’s donde X,Y son espacios topológicos. Se diceque X y Y son sistemas (dinámicos) topológicamente conjugados si y sólo si φ y ψ son funcionestopológicamente conjugadas.

Proposición 1.3.7. Sean (X,Z, f), (Y,Z, g) SDD’s y supóngase que X y Y sonsistemas topológicamente conjugados.

(i) Sea h : X → Y la conjugación topológica entre f y g. Entonces gn h =h fn para cualquier n ∈ Z.


(ii) Dos mapeos topológicamente conjugados tienen la misma estructura bajo itera-ciones. Esto es,

(1) Los puntos fijos de f se corresponden con los puntos fijos de g.(2) Las órbitas periódicas de f van a dar en órbitas periódicas de g.(3) Si x0 ∈ X es un punto fijo atractor para f entonces h(x0) ∈ Y es un punto

fijo atractor para g.(4) Si x0 ∈ X es un punto fijo repulsor para f entonces h(x0) ∈ Y es un punto

fijo repulsor para g.(5) Si x0 ∈ X es un punto fijo estable para f entonces h(x0) ∈ Y es un punto

fijo estable para g.(6) Si x0 ∈ X es un punto fijo asintóticamente estable para f entonces h(x0) ∈

Y es un punto fijo asintóticamente estable para g.(7) Si x0 ∈ X es un punto fijo neutralmente estable para f entonces h(x0) ∈ Y

es un punto fijo neutralmente estable para g.(8) Si x ∈ X entonces h(Lω(x, f)) = Lω(h(x), g) y h(Lα(x, f)) = Lα(h(x), g).

Demostración.(i) P.d. gn h = h fn para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se sigue que g1 h = g h = h f = h f1 (pues h es conjugación topológica entre f yg).(Hipótesis de Inducción) Supongamos que gk h = h fk para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

gk+1 h = (g gk) h = g (gk h) = g (h fk) = (g h) fk = (h f) fk = h fk+1.

P.d.g(−n) h = h f (−n) para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Sea n = 1. Como g h = h f (pues h es conjugación topológica entre f y g) entonces

h = IdX h = (g−1 g) h = g−1 (g h) = (g−1 h) f ⇒ g−1 h = h f−1.

(Hipótesis de Inducción) Supongamos que g(−k) h = h f (−k) para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

g−(k+1) h = (g−1 g−k) h = g−1 (g−k h) = g−1 (h f−k)= (g−1 h) f−k = (h f−1) f−k = h f−(k+1).

Finalmente y en virtud de que g0 h = h = h f0 se concluye que gn h = h fn para cualquiern ∈ Z.

(ii) Sea h : X → Y una conjugación topológica entre f y g.(1) Supongamos que existe (al menos) x ∈ X tal que x = f(x). Si y = h(x) ∈ Y entonces

g(y) = g(h(x)) = (g h)(x) = (h f)(x) = h(f(x)) = h(x) = y.

Esto significa que existe (al menos) y ∈ Y tal que y = g(y). Y como existe x ∈ X único tal quef(x) = y entonces


h(f(x)) = (h f)(x) = (g h)(x) = g(h(x)) = g(y) = y = h(x)⇒ f(x) = x.

(2) Supongase que f tiene (al menos) un punto periódico; denotemos por x ∈ P (f) a dicho puntoy sea n ∈ N su periodo. Si y = h(x) ∈ Y entonces

gn(y) = gn(h(x)) = (gn h)(x) = (h fn)(x) = h(fn(x)) = h(x) = y,

por lo que y ∈ P (g).Ahora supongamos que g tiene (al menos) un punto periódico; denotemos por y ∈ P (f) a dichopunto y sea n ∈ N su periodo. Luego existe x ∈ X único tal que y = h(x) por lo que

h(fn(x)) = (h fn)(x) = (gn h)(x) = gn(h(x)) = gn(y) = y = h(x)⇒ fn(x) = x,

y así x ∈ P (f).

(3) Supongamos que x0 es un punto fijo atractor para f ; entonces existe U ⊆ X vecindad de x0tal que lim

n→∞fn(x) = x0 para cualquier x ∈ U.

Por el inciso (ii) (1) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo para g.Además sabemos que V = h(U) ⊆ Y es una vecindad de y0 (pues h−1 : Y → X es continua).P.d. lim

n→∞gn(y) = y0 para cualquier y ∈ V.

Sea y ∈ V y considere al único x ∈ X tal que h(x) = y. Como h es continua se tiene que

limn→∞

gn(y) = limn→∞

gn(h(x)) = limn→∞

(gn h)(x) = limn→∞

(h fn)(x)= lim

n→∞h(fn(x)) = h( lim

n→∞fn(x)) = h(x0) = y0.

En virtud de los resultados anteriores se concluye que y0 ∈ Y es un punto fijo atractor para g.

(4) Supongamos que x0 es un punto fijo repulsor para f ; entonces existe U ⊆ X vecindad de x0tal que lim

n→∞f−n(x) = x0 para cualquier x ∈ U.

Por el inciso (ii) (1) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo para g.Además se sabe que V = h(U) ⊆ Y es una vecindad de y0 (pues h−1 : Y → X es continua).P.d. lim

n→∞g−n(y) = y0 para cualquier y ∈ V.

Tómese y ∈ V y considere al único x ∈ X tal que h(x) = y. Como h es continua se tiene que

limn→∞

g−n(y) = limn→∞

g−n(h(x)) = limn→∞

(g−n h)(x) = limn→∞

(h f−n)(x)

= limn→∞

h(f−n(x)) = h( limn→∞

f−n(x)) = h(x0) = y0.

En virtud de todos los resultados anteriores se concluye que y0 ∈ Y es un punto fijo repulsor parag.

(5) Supongamos que x0 es un punto fijo estable para f .Por el inciso (ii) (1) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo para g.Sea V ⊆ Y una vecindad de y0 por lo que U = h−1(V ) ⊆ X es una vecindad de y0 (pues h escontinua)⇒Existe Ux0 ⊆ X vecindad de x0 tal que fn(Ux0) ⊆ U para cualquier n ∈ N (en virtudde que x0 es estable). Entonces Vy0 = h(Ux0) ⊆ Y es una vecindad de y0, vecindad que satisface

gn(Vy0) = gn(h(Ux0)) = (gn h)(Ux0) = (h fn)(Ux0)= h(fn(Ux0)) ⊆ h(U) = V para cualquier n ∈ N.


Esto significa que y0 es un punto fijo estable para g.

(6) Inmediata, en virtud de los incisos (ii) (5) y (6) de esta proposición.

(7) Supongamos que x0 es un punto fijo neutralmente estable para f . Luego por los incisos (ii)(1) y (5) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo estable para g.Si y0 fuera un atractor existiría V ⊆ X vecindad de y0 tal que lim

n→∞gn(y) = y0 para cualquier

y ∈ V y así U = h−1(V ) ⊆ X sería una vecindad de x0 (pues h es continua).

P.d. h( limn→∞

fn(x)) = y0 para cualquier x ∈ U.

Sea x ∈ U por lo que y = h(x) ∈ V . En tal caso

h( limn→∞

fn(x) = limn→∞

h(fn(x)) = limn→∞

(h fn)(x)= lim

n→∞(gn h)(x) = lim

n→∞gn(h(x)) = lim

n→∞gn(y) = y0.

Por la propiedad anterior se seguría que

h( limn→∞

fn(x)) = h(x0) para x ∈ U ⇒ limn→∞

fn(x) = x0 para x ∈ U (pues h es inyectiva)

Y esto significaría que x0 es un atractor para f ! Esta contradicción nos permite concluir quey0 = h(x0) es un punto fijo neutralmente estable para g.

(8) Sea x ∈ X y hágase y = h(x) ∈ Y.P.d. h(Lα(x, f)) = Lα(y, g).⊆) Sea z ∈ h(Lα(x, f)) ⇒ z = h(A) donde A ∈ Lα(x, f). Entonces existe mkk∈N ⊆ Z conlimk→∞

mk = −∞ tal que limk→∞

fmk(x) = A y como h es continua se tiene que

limk→∞

gmk(y) = limk→∞

gmk(h(x)) = limk→∞

(gmk h)(x) = limk→∞

(h fmk)(x)

= limk→∞

h(fmk(x)) = h( limk→∞

fmk(x)) = h(A) = z,

lo cual significa que z ∈ Lα(y, g).

⊇) Sea z ∈ Lα(y, g). Entonces existe mkk∈N ⊆ Z con limk→∞

mk = −∞ tal que limk→∞

gmk(y) = z y

hágase u = limk→∞

fmk(x) ∈ Lα(x, f). Por lo tanto

h(u) = h( limk→∞

fmk(x)) = limk→∞

h(fmk(x)) = limk→∞

(h fmk)(x)

= limk→∞



gmk(y) = z,

lo cual significa que z ∈ h(Lα(x, f)).

P.d. h(Lω(x, f)) = Lω(y, g).⊆) Sea z ∈ h(Lω(x, f)) ⇒ z = h(A) donde A ∈ Lω(x, f). Entonces existe mkk∈N ⊆ Z conlimk→∞

mk =∞ tal que limk→∞


limk→∞

gmk(y) = limk→∞



(h fmk)(x)

= limk→∞


fmk(x)) = h(A) = z,


lo cual significa que z ∈ Lω(y, g).

⊇) Sea z ∈ Lω(y, g). Entonces existe mkk∈N ⊆ Z con limk→∞

mk = ∞ tal que limk→∞

gmk(y) = z y


fmk(x) ∈ Lω(x, f). Por lo tanto




(h fmk)(x)

= limk→∞



gmk(y) = z,

lo cual significa que z ∈ h(Lω(x, f)).

1.4 SEMI-SISTEMAS DINÁMICOS.

Definición 1.4.1. Un semi-Sistema Dinámico (sSD) es una terna (X,T, φ) de tal forma que(i) X es un conjunto, llamado Espacio de Estados;(ii) T ⊆ R+∪0 es un Conjunto de Tiempos donde (T,+) es un semigrupo abeliano con identidad(esto es, T con la suma usual en R es un semigrupo con identidad);(iii) El Operador φ : T ×X → X tal que φ(t, x) = φt(x) para cualquier (t, x) ∈ T ×X es llamadoel Operador de Flujo del semi-Sistema Dinámico, función que satisface las siguientes propiedades:

(1) φ0 : X → X tal que φ0 = IdX (función identidad en X);(2) φt1+t2 = φt1 φt2 para cualesquiera t1, t2 ∈ T .

Así podemos escribir φ = φtt∈T conjunto conocido como el Flujo del semi-Sistema Dinámico.

Definición 1.4.2. Un sSD (X,T, φ) es llamado de clase Ck para algún k ∈ N ∪ 0 si y sólo siφt : X → X es una función de clase Ck para cualquier t ∈ T .

Proposición 1.4.1. Todo SD es un sSD.

Demostración. Sea (X,φ, T ) un SD. Hágase T ∗ = t ∈ T |t ≥ 0 =

0 ∪N0 ∪R+

(pues

T =

ZR

) por lo que (T ∗,+) es un semigrupo abeliano con identidad y así podemos definir el

operador ψ : T ∗ ×X → X,ψ = φ|T∗ que satisface las siguientes propiedades: ψ0 = φ0 = IdX yψt1+t2 = φt1+t2 = φt1 φt2 = ψt1 ψt2 para cualesquiera t1, t2 ∈ T .Por la definición 1.4.1 se concluye que (X,ψ, T ∗) es un sSD.

Definición 1.4.3. (Clasificación de Semi-Sistemas Dinámicos)Sea (X,T, φ) un sSD.(i) Se dice que (X,T, φ) es un Semi-Sistema Dinámico Discreto (sSDD) si y sólo si T = 0 ∪N.(ii) Se dice que (X,T, φ) es un Semi-Sistema Dinámico Continuo (sSDC) si y sólo si T = 0∪R+.

Proposición 1.4.2. (i) Sea (X, 0 ∪N, φ) un sSDD. Entonces existe una funciónf : X → X de tal forma que φn = fn para cualquier n ∈ 0∪N (f es llamada funcióngeneradora del sSDD).

(ii) Sea X un conjunto y f : X → X una función. Entonces f determina un sSDD(X, 0 ∪N, f).

Demostración.(i) Sea f = φ1 : X → X.

P.d. φn = fn para cualquier n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 el resultado es inmediato por definición.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que φk = fk para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

φk+1 = φk φ1 = fk f = fk+1.

39


Finalmente y en virtud de que φ0 = IdX = f0 se concluye el resultado.

(ii) Consideremos el semigrupo abeliano (N ∪ 0,+) y definamos el operador

φ : N ∪ 0 ×X → X tal que φ(n, x) = fn(x) para cualquier x ∈ X.

En virtud de que las siguientes propiedades se cumplen:

φ0 = f0 = IdX ,φt1 φt2 = f t1 f t2 = f t1+t2 = φt1+t2 para cualesquiera t1, t2 ∈ N ∪ 0,

se concluye que (X,N ∪ 0, φ) es un sSDD.

Definición 1.4.4. Sea un sSD (X,T, φ), D ⊆ X y x0 ∈ X.(i) La órbita, trayectoria y/o puntos fases de x0 es el conjunto

O(x0) = φt(x0)t∈T = φt(x0)|t ∈ T.

(ii) El Retrato Fase del sSD es el conjunto O = O(x)x∈X que consta de todas las posiblestrayectorias del sistema.(iii) Se dice que D es un conjunto invariante bajo φ si y sólo si φt(D) ⊆ D para cualquier t ∈ T .(iv) Se dice que D es un conjunto fuertemente invariante bajo φ si y sólo si φt(D) = D paracualquier t ∈ T .

Proposición 1.4.3. Sea (X,T, φ) un sSD y tómese x, y ∈ X y D ⊆ X.(i) Si x ∈ O(y) entonces O(x) ⊆ O(y).(ii) D ⊆ ∪

x∈DO(x).

(iii) D es invariante si y sólo si D = ∪x∈D

O(x).

(iv) D es fuertemente invariante si y sólo si D = ∪x∈D

O(x) y D ⊆ φt(D) para

cualquier t ∈ T.

Demostración.(i) Como x ∈ O(y) entonces x = φt0(y) para algún t0 ∈ T. P.d. O(x) ⊆ O(y).⊆) Sea z ∈ O(x)⇒ z = φt(x) para algún t ∈ T. Por lo cual

z = φt(x) = φt(φt0(y)) = φt+t0(y) con t+ t0 ∈ T ⇒ z ∈ O(y).

(ii) ⊆) Sea z ∈ D. Como z ∈ O(z) (pues z = φ0(z)) y dado que O(z) ⊆ ∪x∈D

O(x)⇒ z ∈ ∪x∈D

O(x).

(iii) ⇒) P.d. D = ∪x∈D

O(x).

⊆) Inmediata por el inciso (ii) de esta proposición.⊇) Sea z ∈ ∪

x∈DO(x) ⇒ z ∈ O(x) para algún x ∈ D. De aquí z = φt0(x) para algún x ∈ D con

t0 ∈ T ; si t0 = 0 se sigue que z = x ∈ D y si t0 > 0 entonces z ∈ φt0(D) ⊆ D (pues D es invariantebajo φ)⇒ z ∈ D.

⇐) Sea t ∈ T, t > 0. P.d. φt(D) ⊆ D⊆) Sea z ∈ φt(D)⇒ z = φt(x0) para algún x0 ∈ D. Esto significa que


z ∈ O(x0) ⊆ ∪x∈D

O(x) = D⇒ z ∈ D.

(iv) Inmediata, pues en virtud del inciso (iii) se sigue que

D es fuertemente invariante (bajo φ)⇔ D es invariante (bajo φ) y D ⊆ φt(D) para cualquier t ∈ T⇔ D = ∪

x∈DO(x) y D ⊆ φt(D) para cualquier t ∈ T.

Definición 1.4.5. Sea un sSDC (X, 0 ∪R+, φ).(i) Se dice que x0 ∈ X es un punto fijo y/o estado estacionario si y sólo si φt(x0) = x0 paracualquier t ∈ 0 ∪R+.(ii) Supongamos que el conjunto L ∈ R+|φt+L(x0) = φt(x0) para cualquier t ∈ R = ∅. Se diceque x0 ∈ X es un punto periódico de periodo P ∈ R+ si y sólo si φt+P (x0) = φt(x0) para cualquiert ∈ R (donde P = minL ∈ R+|φt+L(x0) = φt(x0) para cualquier t ∈ R).(iii) Se dice que C ⊆ X es un ciclo, órbita cerrada y/u órbita periódica si y sólo si se satisfacenlas siguientes propiedades:

(1) Existe x0 ∈ X punto periódico tal que O(x0) = C,(2) C = O(x) para cualquier x ∈ C.

Definición 1.4.6. Sea un sSDD (X,Z, f).(i) Se dice que x0 ∈ X es un punto fijo y/o estado estacionario si y sólo si f(x0) = x0.(ii) Supongamos que L ∈ N|fL(x0) = x0 = ∅. Se dice que x0 ∈ X es un punto periódico deperiodo P ∈ N si y sólo si fP (x0) = x0 con P = minL ∈ N|fL(x0) = x0.(iii) Se dice que C ⊆ X es un ciclo y/u órbita periódica si y sólo si se satisfacen las siguientespropiedades:

(1) Existe x0 ∈ X punto periódico tal que O(x0) = C,(2) C = O(x) para cualquier x ∈ C.

Lema 1.4.1. Sea (X,T, f) un sSDD y suponga que existe x0 ∈ X un puntoperiódico.

(i) x0 es punto periódico de f de periodo P ∈ N en el sSDD (X,T, f) si y sólo si x0es un punto fijo de fP en el sSDD (X,T, fP ).

(ii) fnP (x0) = x0 para cualquier n ∈ N.

Demostración. (i) Inmediata, pues

x0 es un punto periódico de periodo P para f ⇔ fP (x0) = x0⇔ h(x0) = x0 con h = fP ⇔ x0 es un punto fijo para h donde h = fP .

(ii) P.d. fnP (x0) = x0 para todo n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se tiene que f (1)P (x0) = fP (x0) = x0.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que fkP (x0) = x0 para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

f (k+1)P (x0) = fkP+P (x0) = fkP (fP (x0)) = fkP (x0) = x0.


Finalmente y en virtud de que f (0)P (x0) = IdX(x0) = x0 se concluye el resultado.

Lema 1.4.2. Sea (X,T, φ) un sSD y suponga que existe O ⊆ X órbita tal queO(x) = O para cualquier x ∈ X.Entonces O es fuertemente invariante.

Demostración. Sea t ∈ T . P.d. φt(O) = O.⊆) Sea x ∈ φt(O) ⇒ x = φt(y) para algún y ∈ O. Como φt(y) ∈ O(y) = O (por hipótesis) seconcluye de inmediato que x ∈ O.⊇) Sea x ∈ O cualquiera.Si O\x = ∅ entonces O = x por lo que x = φt(x) ∈ φt(O) y el resultado es inmediato.Si suponemos que O\x = ∅ entonces existe x0 ∈ O tal que x0 = x, luego defínase y = φt(x0) ∈ O(pues O(x0) = O) y como x ∈ O = O(y)⇒ x = φt0(y) para algún t0 ∈ T . De donde

x = φt0(φt(x0)) = φt0+t(x0) = φt(φt0(x0)) = φt(z) donde z = φt0(x0) ∈ O.

Esto significa que x ∈ φt(O).

Lema 1.4.3. Sea (X,T, φ) un sSD. Si x0 ∈ X es un punto periódico de periodoP ∈ T, P > 0 entonces todo punto de la órbita O(x0) ⊆ X es un punto periódico deperiodo P .

Demostración. Por hipótesis se tiene que φt+P (x0) = φt(x0) para cualquier t ∈ T . Tómesex ∈ O(x0) por lo que x = φt0(x0) para algún t0 ∈ T .P.d. φt(x) = φt+P (x) para cualquier t ∈ T.Sea t ∈ T fijo, por lo cual

φt(x) = φt(φt0(x0)) = (φt φt0)(x0) = φt+t0(x0) = φt+t0+P (x0)= φt+P+t0(x0) = (φt+P φt0)(x0) = φt+P (φt0(x0)) = φt+P (x).

Definición 1.4.7. Sea un sSD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable y supongamos queexiste x0 ∈ X un punto fijo.(i) Se dice que x0 es estable (en el sentido de Liapunov) si y sólo si para cualquier U ⊆ X vecindadde x0 existe V ⊆ X vecindad de x0 tal que φt(V ) ⊆ U para cualquier t ∈ T, t > 0.(ii) Se dice que x0 es inestable si y sólo si no es estable.(iii) Se dice que x0 es un atractor y/o sumidero si y sólo si existe U ⊆ X vecindad de x0 tal quelimt→∞

φt(x) = x0 para cualquier x ∈ U.

(iv) Se dice que x0 es asintóticamente estable si y sólo si es estable y atractor.(v) Se dice que x0 es neutralmente estable si y sólo si es estable y no atractor.

Definición 1.4.8. Sea un sSD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable y D ⊆ X. Se dice queU ⊆ X es una vecindad de D si y sólo si U es vecindad de x para cualquier x ∈ D (D ⊆ U).

Definición 1.4.9. Sea un sSDC (X, 0 ∪R+, φ) donde X es un espacio metrizable.(i) Un conjunto D ⊆ X invariante se llama estable si y sólo si para cualquier U ⊆ X vecindad deD existe V ⊆ X vecindad de D tal que φt(V ) ⊆ U para cualquier t ∈ R, t = 0.(ii) Se dice que un conjunto D ⊆ X es inestable si y sólo si no estable.


(iii) Un conjunto D ⊆ X invariante se denomina atractor y/o sumidero si y sólo si existe U ⊆ Xvecindad de D tal que lim

t→∞φt(y) ∈ D para cualquier y ∈ U.

Definición 1.4.10. Sea un sSDD (X,Z, f) donde X es un espacio metrizable.(i) Un conjunto D ⊆ X invariante se llama estable si y sólo si para cualquier U ⊆ X vecindad deD existe V ⊆ X vecindad de D tal que fn(V ) ⊆ U para cualquier n ∈ N.(ii) Se dice que un conjunto D ⊆ X es inestable si y sólo si no estable.(iii) Un conjunto D ⊆ X invariante se denomina atractor y/o sumidero si y sólo si existe U ⊆ Xvecindad de D tal que lim

n→∞fn(y) ∈ D para cualquier y ∈ U.

Definición 1.4.11. Sea un sSD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable.(i) Un conjunto D ⊆ X invariante se denomina asintóticamente estable si y sólo si es estable yatractor.(ii) Un conjunto D ⊆ X invariante se denomina neutralmente estable si y sólo si es estable y noatractor.

Definición 1.4.12. Sea un sSD (X,T, φ) donde (X, d) es un espacio métrico y supongamos queexiste algún D ⊆ X conjunto invariante. Se dice que D satisface la condición de atractividad si ysólo si existe W ⊆ X vecindad de D tal que lim

t→∞d(φt(ξ),D) = 0 para cualquier ξ ∈W donde

d(φt(ξ),D) = infd(φt(ξ), w)|w ∈ D para ξ ∈W.

En este caso se dice que D es un conjunto atractivo (para φ).

Definición 1.4.13. Sea un sSDD (X,Z, f) donde X es un espacio metrizable y supóngase queexiste x0 ∈ X punto periódico de periodo P ∈ N.(i) Se dice que x0 es estable si y sólo si para toda V ⊆ X vecindad de x0 existe U ⊆ X vecindadde x0 tal que fn(U) ⊆ V para cualquier n ∈ N.(ii) Se dice que x0 es inestable si y sólo si no es estable.(iii) Se dice que x0 es atractor si y sólo si existe U ⊆ X vecindad de x0 tal que lim

n→∞fPn(x) = x0

para cualquier x ∈ U.(iv) Se dice que x0 es asintóticamente estable si y sólo si es estable y atractor.(v) Se dice que x0 es neutralmente estable si y sólo si es estable y no atractor.

Definición 1.4.14. Sea un sSDD (X,Z, f) donde X es un espacio metrizable y supóngase queexiste una órbita periódica O ⊆ X.(i) Se dice que O es estable si y sólo si existe x0 ∈ X punto periódico estable tal que O = O(x0).(ii) Se dice que O es inestable si y sólo si no es estable.(iii) Se dice que O es atractor (periódico) si y sólo si existe x0 ∈ X punto periódico atractor talque O = O(x0).(iv) Se dice que O es asintóticamente estable si y sólo si es estable y atractor.(v) Se dice que O es neutralmente estable si y sólo si es estable y no atractor.

Definición 1.4.15. Sea un sSD (X,T, φ) donde (X, d) es un espacio métrico. Supongamos queexisten un punto fijo atractor x0 ∈ X y una órbita atractiva O ⊆ X.(i) La cuenca de atracción para x0 se define como el conjunto

CA(x0) = x ∈ X| limt→∞

φt(x) = x0.


(ii) La cuenca de atracción para O se define como el conjunto CA(O) ⊆ X que satisface lassiguientes propiedades:(1) CA(O) es una vecindad deO tal que si α ∈ O⇒ lim

t→∞d(φt(ξ), α) = 0 para cualquier ξ ∈ CA(O).

(2) Si V ⊆ X es una vecindad de O que satisface la condición de atractividad anterior entoncesV ⊆ CA(O).(iii) Se dice que el flujo φ tiene la propiedad de continuidad con respecto a condiciones iniciales siy sólo si dado x ∈ X fijo se cumple la siguiente propiedad:

Para t ∈ T y ǫ > 0 existe δ = δ(t, ǫ) > 0 tal que si y ∈ Bd(x, δ)⇒ φ(y) ∈ Bd(φt(x), ǫ).

Proposición 1.4.4. Sea (X,T, φ) un sSD donde X es un espacio metrizable ysupongamos que existe un punto fijo atractor x0 ∈ X. Si φ tiene la propiedad decontinuidad con respecto a condiciones iniciales entonces CA(x0) ⊆ X es un conjuntoabierto.

Demostración. Sea d una distancia en X. P.d. CA(x0) ⊆ X es abierto.(i) Sea x ∈ CA(x0) y tómese ǫ > 0. Luego

Existe M =M(ǫ) > 0 tal que si t > M, t ∈ T ⇒ d(φt(x), x0) <ǫ2 .

Además, por hipótesis tenemos que si t > M, t ∈ T entonces

Existe δ = δ(t, ǫ) > 0 tal que si d(x, y) < δ con y ∈ X ⇒ d(φt(x), φt(y)) <ǫ2 .

P.d. Bd(x, δ) ⊆ CA(x0).Sea y ∈ Bd(x, δ)⇒ φt(y) ∈ Bd(φt(x),

ǫ2). Por tanto para t > M, t ∈ T tenemos que

d(φt(y), x0) ≤ d(φt(y), φt(x)) + d(φt(x), x0) <ǫ2 +

ǫ2 = ǫ.

Esto implica que limt→∞

φt(y) = x0 con lo cual y ∈ CA(x0).

(ii) Sea τd la topología métrica inducida por d. En virtud del inciso (i) se sigue que CA(x0) ∈ τd(véase la proposición 1.2.2 ).

Definición 1.4.16. Sea un sSD (X,T, φ) donde X es un espacio metrizable y tómese x ∈ X yC ⊆ X una órbita cerrada.(i) Se dice que z es punto ω−límite de x si y sólo si existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = ∞ tal

que limn→∞

φtn(x) = z.

(ii) El ω−límite de x se define como el conjunto

Lω(x) = Lω(x, φ) = z ∈ X|z es punto ω−límite de x.

(iii) Denotamos Λ = Λ(φ) = ∪x∈X

Lω(x).

(iv) Se dice que C es un ciclo límite si y sólo si C ⊆ Lω(x) para algún x ∈ X\C.


Proposición 1.4.5. Sea (X,T, φ) un sSD y D ⊆ X.(i) Lω(x) ⊆ X es un conjunto cerrado para cualquier x ∈ X.(ii) Lω(x) ⊆ X es un conjunto invariante bajo φ para cualquier x ∈ X.(iii) Sean x, y ∈ X tales que x ∈ O(y) y y ∈ O(x). Entonces Lω(x) = Lω(y).(iv) Si D es cerrado y invariante (bajo φ) entonces Lω(z) ⊆ D para cualquier z ∈ D.

Demostración. Sea d una distancia en X.(i) Sea x ∈ X y considere el conjunto Lω(x) ⊆ X.P.d. ClX(Lω(x)) = Lω(x).⊇) Inmediata, en virtud de la proposición 1.1.1.⊆) Sea z ∈ ClX(Lω(x)). En virtud del lema de la sucesión existe znn∈N ⊆ Lω(x) tal quelimn→∞

zn = z, y por definición para cualquier n ∈ N existe tn, kk∈N ⊆ T con limk→∞

tn,k =

∞ tal que limk→∞

φtn,k(x) = zn.


tn,n =∞ tal que limn→∞

φtn,n(x) = z ⇒ z ∈ Lω(x).

(ii) Tómese x ∈ X y sea t ∈ T fijo.P.d. φt(Lω(x)) ⊆ Lω(x).⊆) Sea z ∈ φt(Lω(x)) ⇒ z = φt(y) con y ∈ Lω(x). Luego existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = ∞

tal que limn→∞

φtn(x) = y. De aquí que exista también t∗nn∈N ⊆ T con t∗n = t + tn para cualquier

n ∈ N, la cual satisface que limn→∞

t∗n = limn→∞

(t+ tn) =∞ y además

limn→∞



φt(φtn(x)) = φt( limn→∞φtn(x)) = φt(y) = z ⇒ z ∈ Lω(x).

(iii) En virtud del inciso (i) de la proposición 1.5.3 sabemos que O(x) = O(y). Por lo quex = φt0(y) para algún t0 ∈ T (pues x ∈ O(x)). P.d. Lω(x) = Lω(y).⊆) Sea z ∈ Lω(x).Entonces

Existe tnn∈N ⊆ T con limn→∞


φtn(x) = z.

De aquí que también exista t∗nn∈N ⊆ T tal que t∗n = tn+t0 para cualquier n ∈ N, la cual satisfaceque

limn→∞

t∗n = limn→∞

(tn + t0) =∞ y limn→∞



φtn(x) = z ⇒ z ∈ Lω(y).

⊇) Sea z ∈ Lω(y). Entonces

Existe tnn∈N ⊆ T con limn→∞


φtn(y) = z.

De aquí que también exista t∗nn∈N ⊆ T tal que t∗n = tn + (−t0) para cualquier n ∈ N, la cualsatisface que

limn→∞

t∗n = limn→∞

(tn + (−t0)) =∞ y

limn→∞



φtn(y) = z ⇒ z ∈ Lω(x).


(iv) Tómese z ∈ D. P.d. Lω(z) ⊆ D.⊆) Sea x ∈ Lω(z) por lo que existe tnn∈N ⊆ T con lim

n→∞tn = ∞ tal que lim

n→∞φtn(z) = x. De

donde existe N ∈ N tal si n ∈ N, n ≥ N ⇒ tn > 0. Pero como D es invariante (bajo φ) tenemosque φtn(z) ∈ D para n ∈ N, n ≥ N . De esta forma podemos definir la (sub)sucesión znn∈N ⊆ Dtal que zn = φtn+N (z) para cualquier n ∈ N, la cual satisface que lim

n→∞zn = lim

n→∞φtn+N (z) = x. En

virtud del lema de la sucesión se sigue finalmente que x ∈ ClX(D) = D.

Definición 1.4.17. Sea (X,Z, f) un sSDD donde X es un espacio metrizable.(i) Se dice que x∗ ∈ X es un punto recurrente (para f) si y sólo si para cualquier N ⊆ X vecindadde x∗ existe m ∈ N tal que fm(x∗) ∈ N.(ii) Se dice que x∗ ∈ X es un punto no errante (para f) si y sólo si para cualquier N ⊆ X vecindadde x∗ existe m ∈ N tal que fm(N) ∩ N = ∅, o bien, si y sólo si N ⊆ X vecindad de x∗ existem ∈ N talque fm(y) ∈ N para algún y ∈ N.(iii) Denotamos

P = P (f) = x ∈ X|x es punto periódico (para f),R = R(f) = x ∈ X|x es punto recurrente (para f),Ω = Ω(f) = x ∈ X|x es punto no errante (para f).

Definición 1.4.18. Sea (X,T, φ) un sSD donde X es un espacio topológico. Se dice que C ⊆ Xes un Conjunto de Cantor si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades:(i) C es un conjunto perfecto;(ii) C es invariante (bajo φ);(iii) C es denso en ninguna parte, es decir, Int(C) = ∅.

Definición 1.4.19. Sean (X,T, φ), (Y, T, ψ) sSD’s donde X,Y son espacios topológicos. Se diceque X y Y son semi-sistemas (dinámicos) topológicamente conjugados si y sólo si φ y ψ sonfunciones topológicamente conjugadas.

Proposición 1.4.6. Sean (X,N ∪ 0, f), (Y,N ∪ 0, g) sSDD’s y supóngase queX y Y son semi-sistemas topológicamente conjugados.

(i) Sea h : X → Y la conjugación topológica entre f y g. Entonces gn h = h fnpara cualquier n ∈ N.

(ii) Dos mapeos topológicamente conjugados tienen la misma estructura bajo itera-ciones. Esto es,

(1) Los puntos fijos de f se corresponden con los puntos fijos de g.(2) Las órbitas periódicas de f van a dar en órbitas periódicas de g.(3) Si x0 ∈ X es un punto fijo atractor para f entonces h(x0) ∈ Y es un punto

fijo atractor para g.(4) Si x0 ∈ X es un punto fijo estable para f entonces h(x0) ∈ Y es un punto

fijo estable para g.(5) Si x0 ∈ X es un punto fijo asintóticamente estable para f entonces h(x0) ∈

Y es un punto fijo asintóticamente estable para g.(6) Si x0 ∈ X es un punto fijo neutralmente estable para f entonces h(x0) ∈ Y

es un punto fijo neutralmente estable para g.(7) Si x ∈ X entonces h(Lω(x, f)) = Lω(h(x), g).


Demostración.(i) P.d. gn h = h fn para cualquier n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se sigue que g1 h = g h = h f = h f1 (pues h es conjugación topológica entre f yg).(Hipótesis de Inducción) Supongamos que gk h = h fk para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 tenemos que

gk+1 h = (g gk) h = g (gk h) = g (h fk) = (g h) fk = (h f) fk = h fk+1.

(ii) Sea h : X → Y una conjugación topológica entre f y g.(1)Si suponemos que existe (al menos) x ∈ X tal que x = f(x) y hacemos y = h(x) ∈ Y entonces

g(y) = g(h(x)) = (g h)(x) = (h f)(x) = h(f(x)) = h(x) = y.

Si ahora suponemos que existe (al menos) y ∈ Y tal que y = g(y) y como existe x ∈ X único talque h(x) = y entonces

h(f(x)) = (h f)(x) = (g h)(x) = g(h(x)) = g(y) = y = h(x)⇒ f(x) = x.

(2) Supóngase que f tiene (al menos) un punto periódico; denotemos por x ∈ P (f) a dicho puntoy sea n ∈ N su periodo. Si y = h(x) ∈ Y entonces

gn(y) = gn(h(x)) = (gn h)(x) = (h fn)(x) = h(fn(x)) = h(x) = y,

por lo que y ∈ P (g).Si ahora suponemos que g tiene (al menos) un punto periódico y lo denotamos por y ∈ P (g) conn ∈ N su periodo entonces existe x ∈ X único tal que y = h(x) por lo que

h(fn(x)) = (h fn)(x) = (gn h)(x) = gn(h(x)) = gn(y) = y = h(x)⇒ fn(x) = x,

por lo que x ∈ P (f).

(3) Supongamos que x0 es un punto fijo atractor para f . Entonces existe U ⊆ X vecindad de x0tal que lim

n→∞fn(x) = x0 para cualquier x ∈ U.

Por el inciso (ii) (1) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo para g. Ademásse sabe que V = h(U) ⊆ Y es una vecindad de y0 (pues h−1 : Y → X es continua).P.d. lim

n→∞gn(y) = y0 para cualquier y ∈ V.

Sea y ∈ V y considere al único x ∈ X tal que h(x) = y. Como h es continua se tiene que

limn→∞

gn(y) = limn→∞

gn(h(x)) = limn→∞

(gn h)(x) = limn→∞

(h fn)(x)= lim

n→∞h(fn(x)) = h( lim

n→∞fn(x)) = h(x0) = y0.

En virtud de todos los resultados anteriores se concluye que y0 ∈ Y es un punto fijo atractor parag.

(4) Supongamos que x0 es un punto fijo estable para f .Por el inciso (ii) (1) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo para g.Si V ⊆ Yes una vecindad de y0 entonces U = h−1(V ) ⊆ X es una vecindad de y0 (pues h es continua), ypor tanto existe Ux0 ⊆ X vecindad de x0 tal que fn(Ux0) ⊆ U para cualquier n ∈ N (en virtud deque x0 es estable). Entonces Vy0 = h(Ux0) ⊆ Y es una vecindad de y0, la cual satisface


gn(Vy0) = gn(h(Ux0)) = (gn h)(Ux0) = (h fn)(Ux0)= h(fn(Ux0)) ⊆ h(U) = V para cualquier n ∈ N.

Esto significa que y0 es un punto fijo estable para g.

(5) Inmediata, en virtud de los incisos (ii) (4) y (5) de esta proposición.

(6) Supongamos que x0 es un punto fijo neutralmente estable para f . Luego por los incisos (ii)(1) y (4) de esta proposición sabemos que y0 = h(x0) ∈ Y es punto fijo estable para g.Si y0 fuera un atractor existiría V ⊆ X vecindad de y0 tal que lim

n→∞gn(y) = y0 para cualquier

y ∈ V y así U = h−1(V ) ⊆ X sería una vecindad de x0 (pues h es continua).P.d. h( lim

n→∞fn(x)) = y0 para cualquier x ∈ U.

Sea x ∈ U por lo que y = h(x) ∈ V . En tal caso

h( limn→∞

fn(x) = limn→∞

h(fn(x)) = limn→∞

(h fn)(x)= lim

n→∞(gn h)(x) = lim

n→∞gn(h(x)) = lim

n→∞gn(y) = y0.

Por la propiedad anterior se seguiría que h( limn→∞

fn(x)) = h(x0) para cualquier x ∈ U , lo cual

implicaría que limn→∞

fn(x) = x0 para cualquier x ∈ U (pues h es inyectiva), y esto significaría que

x0 es un atractor para f ! Esta contradicción anterior se concluye que y0 = h(x0) es un punto fijoneutralmente estable para g.

(7) Sea x ∈ X y hágase y = h(x) ∈ Y.P.d. h(Lω(x, f)) = Lω(y, g).⊆) Sea z ∈ h(Lω(x, f)) ⇒ z = h(A) donde A ∈ Lω(x, f). Entonces existe mkk∈N ⊆ Z conlimk→∞

mk =∞ tal que limk→∞


limk→∞

gmk(y) = limk→∞



(h fmk)(x)

= limk→∞


fmk(x)) = h(A) = z,

lo cual significa que z ∈ Lω(y, g).

⊇) Sea z ∈ Lω(y, g). Entonces existe mkk∈N ⊆ Z con limk→∞

mk = ∞ tal que limk→∞

gmk(y) = z y


fmk(x) ∈ Lω(x, f). Por lo tanto




(h fmk)(x)

= limk→∞



gmk(y) = z,

lo cual significa que z ∈ h(Lω(x, f)).

1.5 EJEMPLOS DE SISTEMAS Y SEMISISTEMAS DINÁMICOS.

Ejemplo 1. Construcción de SDC’s y sSDC’s generados por Ecuaciones Diferenciales.

Proposición 1.5.1. Tómese n ∈ N fijo, consideremos la ecuación diferencial

dudt = F (u) para alguna F : Rn → Rn

y supóngase que satisface las condiciones necesarias para la existencia y unicidadde soluciones en Rn.

Si T ∈ R,R+ ∪ 0 y definimos el operador

ϕ : T ×Rn → Rn, ϕ(t, x) = ϕt(x) = u(t)

donde u es la única solución del problema con condición inicial

dudt = F (u), u(0) = x

entonces:(i) ϕ0 = 1R,(ii) ϕt1+t2 = ϕt1 ϕt2 para cualesquiera t1, t2 ∈ T .

Demostración. Sea x ∈ Rn fijo.(i) Como ϕ0(x) = u(0) donde u es la única solución del problema con condición inicial tal queu(0) = x es inmediato que

ϕ0(x) = u(0) = x = 1R(x).

(ii) Tómense t1, t2 ∈ T fijos.Luego ϕt1+t2(x) = u(t1 + t2) donde u es la única solución del problema con condición inicial

dudt = F (u), u(0) = x.

Si hacemos α = u(t2) ∈ Rn entonces

u∗ = u∗(t) = u(t+ t2)

es la única solución del problema con condición inicial

dudt = F (u), u(0) = α

de donde u∗(t1) = ϕt1+t2(x).Notamos que ϕt2(x) = u∗∗(t2) donde u∗∗ es la única solución del problema con condición inicial

dudt = F (u), u(0) = x

por lo que se sabe que u∗∗∗ = u, y si hacemos ω = ϕt2(x) ∈ Rn entonces

ω = u∗∗(t2) = u(t2) = u∗(0).

49


Y notemos también que ϕt1(ω) = u∗∗∗(t1) donde u∗∗∗ es la única solución del problema concondición inicial

dudt = F (u), u(0) = ω

de donde u∗∗∗ = u∗.Finalmente y en virtud de todos los resultados anteriores se concluye que

ϕt1 ϕt2(x) = ϕt1

(ϕt2(x)

)= ϕt1(ω) = u∗∗∗(t1) = u∗(t1) = ϕt1+t2(x).

Corolario 1.5.1. Tómese n ∈ N fijo, consideremos la ecuación diferencial



Considérese T ∈ R,R+ ∪ 0 y el operador

ϕ : T ×Rn → Rn, ϕ(t, x) = ϕt(x) = u(t)


dudt = F (u), u(0) = x.

(i) Si T = R entonces la terna (Rn, T, ϕ) es un SDC;(ii) Si T = R+ ∪ 0 entonces la terna (Rn, T, ϕ) es un sSDC.

Demostración. Inmediata a partir de las definiciones de SDC’s y sSDC’s y en virtud de laproposición 1.5.1.

Observación 1.5.1. Tómese n ∈ N fijo, consideremos la ecuación diferencial


y supóngase que satisface las condiciones necesarias para la existencia y unicidad de soluciones enRn. Considerando T ∈ R,R+ ∪ 0 y el operador

ϕ : T ×Rn → Rn, ϕ(t, x) = ϕt(x) = u(t)


dudt = F (u), u(0) = x.

Entonces para cada x0 ∈ Rn nótese que su órbita (en el SDC ó sSDC (Rn, T, ϕ))

O(x0) = ϕt(x0)t∈T

es el conjunto de todos los valores de la única solución del problema con condición inicial

dudt = F (u), u(0) = x0.


Definición 1.5.1. Tómese n ∈ N fijo y consideremos la ecuación diferencial

dudt = F (u) para alguna F : Rn → Rn.

Un punto x0 ∈ Rn es un equilibrio de la ecuación diferencial si y sólo si

F (x0) = 0 ∈ Rn.

Observación 1.5.2. Tómese n ∈ N fijo. Considerando la ecuación diferencial

dudt = F (u) para alguna F : Rn → Rn,

el conjunto T ∈ R,R+ ∪ 0 y el operador

ϕ : T ×Rn → Rn, ϕ(t, x) = ϕt(x) = u(t)


dudt = F (u), u(0) = x

entonces cualquier equilibrio de la ecuación diferencial es precisamente un punto fijo (en el SDC ósSDC (Rn, T, ϕ)).

Teorema 1.5.1. (Liapunov, 1892)Tómese n ∈ N fijo. Consideremos el SDC definido por la ecuación diferencial

dudt = F (u) para alguna F : Rn → Rn de clase C2


Supóngase también que x0 ∈ Rn es un equilibrio de la ecuación diferencial y con-struyamos la matriz jacobiana del operador F evaluada en el equilibrio x0 denotadapor A = Fx(x0) ∈Mn(R). Si Re(λi) < 0 para cada i ∈ N, i ≤ n donde λii∈N,i≤n ⊂ Res el conjunto de eigenvalores de la matriz A entonces x0 es estable.

Como un ejemplo explícito, consideremos el sistema

dxdt = −xdydt = −2y

y construyamos el SDC asociado (R2,R, φ). Su campo direccional es


543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

Figura 1.5.1. Campo Direccional del sistema de ecuaciones diferenciales


.

Dado que el sistema de EDO’s es una pareja no acoplada de ecuaciones lineales es fácil encontrarsu solución general:

x(t) = c1e

−t

y(t) = c2e−2t

para cualquier t ∈ R con parámetros c1, c2 ∈ R.

Así, la órbita del punto (1, 1) en el SDC es la solución particular

x(t) = e−t

y(t) = e−2t

para cualquier t ∈ R.

3210-1

50

37.5

25

12.5

0

X

Y

X

Y

Figura 1.5.2. La órbita O((1, 1)) en el SDC asociado al sistema de ecuaciones diferencialesdxdt = −xdydt = −2y

.


El único equilibrio de


es el punto (0, 0) y por tanto (0, 0) es un punto fijo del SDC

asociado, es decir,

φt(0, 0) = (0, 0) para cualquier t ∈ R.

La matriz jacobiana del operador F : R2 → R2, F (x, y) = (−x,−2y) evaluado en el equilibrio (0, 0)es

A =

(−1 00 −2

)

y los eigenvalores asociados de A que se obtienen al resolver la ecuación característica

det(A− λIn) = 0

son λ1 = −1, λ2 = −2. Como

Re(λ1) = −1 < 0 y Re(λ2) = −2 < 0

se sigue que (0, 0) es estable (en el SDC asociado).Más aún, dado que

limt→∞

φt(x0, y0) = limt→∞

(x0e−t, y0e

−t) = (0, 0) para cualquier (x0, y0) ∈ R2

entonces (0, 0) también es un punto fijo asintóticamente estable.

Ejemplo 2. Sea T = 0 ∪N y definamos el operador

ψ : R× T → R, ψ(t, n) = ψn(t) = fn(t) donde f : R→ R, f(t) = cos(−0.5t) + 2 sen(t).

Entonces la terna (R, 0∪N, ψ) es un sSDD con función generadora f (en virtud de la proposición1.4.2 ).

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

Figura 1.5.3. Gráfica de la Función Generadora del sSDD y de la Función Identidad.


Para encontrar puntos fijos y órbitas periódicas en un sSDD generado por una función f debemosresolver la ecuación

fn(t) = t donde n ∈ N es el periodo de la órbita a encontrar.

En el ejemplo considerado el único punto fijo se obtiene al resolver la ecuación

cos(−0.5t) + 2 sen(t) = t

cuya única solución y por ende su único punto fijo es x0 = 2.1498144785625515777.Para encontrar puntos periódicos de periodo 2 debemos resolver la ecuación

cos(0.5(cos(0.5t) + 2 sen(t)) + 2 sen(cos(0.5t) + 2 sen(t)) = t

cuyas raíces son

x0 = 2.1498144785625515777 (el punto fijo ya encontrado),x1 = 1.151879114865870385,x2 = 2.665740814297931101.

Entonces en el sSDD existen una órbita periódica de periodo 2, a saber:

O(1.151879114865870385) = 1.151879114865870385, 2.665740814297931101 =O(2.665740814297931101).

Figura 1.5.4. Órbita periódica de periodo 2 de la función generadora.


Al querer encontrar puntos periódicos de periodo 3 y por ende resolviendo la ecuación

cos(0.5(cos(0.5(cos(0.5t) + 2 sen(t)) + 2 sen(cos(0.5t) + 2 sen(t)))) + 2 sen(cos(0.5(cos(0.5t) +2 sen(t)) + 2 sen(cos(0.5t) + 2 sen(t))) = t

sólo encontramos como solución al punto fijo x0 = 2.1498144785625515777, de donde concluimosque en el sSDD no existen puntos periódicos de periodo 3.

Ejemplo 3. Dinámica Simbólica, un ejemplo de sSDD.

Sea Ω2 el conjunto de todas las posibles sucesiones infinitas de dos símbolos (denotados por A yB). Entonces

ω = ωii∈0∪N tal que ωi ∈ A,B para cada i ∈ 0 ∪N

para cualquier ω ∈ Ω2.

Definimos la función Corrimiento ó Desplazamiento en Ω2, denotada como σ : Ω2 → Ω2, de talforma que

σ(ωii∈0∪N) = θii∈0∪N tal que θi = ωi+1 para cada i ∈ 0 ∪N.

Es fácil ver que la función

m : Ω2 ×Ω2 → R,m(ωii∈0∪N, θii∈0∪N) =∑∞

i=0

(δωiθi2i

)

donde

δωiθi =

0, si ωi = θi1, si ωi = θi

para cada i ∈ 0 ∪N

es una métrica en Ω2 y por tanto Ω2 es un espacio métrico.

Entonces por la proposición 1.4.2 podemos construir el sSDD (Ω2, 0 ∪ N, σ) y así analizaremosalgunas propiedades de este sistema:a) El sSDD tiene dos puntos fijos:

ωA = ωii∈0∪N tal que ωi = A para todo i ∈ 0 ∪N, ó bienωB = ωii∈0∪N tal que ωi = B para todo i ∈ 0 ∪N.

b) Definimos el conjunto C = λ, θ ⊂ Ω2 donde

λ = λii∈0∪N es tal que λ2i = A,λ2i+1 = B para cualquier i ∈ 0 ∪N, yθ = θii∈0∪N es tal que θ2i = B, θ2i+1 = A para cualquier i ∈ 0 ∪N.

Entonces C es fuertemente invariante (ya que σn(C) = C para cualquier n ∈ 0 ∪N). Más aún,C es una órbita periódica de periodo 2 donde Lω(λ) = Lω(θ).c) Notamos que

λii∈0∪N|Existe N ∈ N tal que λN+i = A para cada i ∈ 0 ∪N ⊂ Lω(ωA).

También


ωPar ∈ Lω(ωA) donde ωPar = ωii∈0∪N ∈ Ω2 es tal que ω2i = A para cualquier i ∈ 0 ∪N

y además

ωImpar ∈ Lω(ωA) donde ωImpar = ωii∈0∪N ∈ Ω2 es tal que ω2i+1 = A para cualquieri ∈ 0 ∪N.

d) Para cualquier k ∈ N la sucesión

ωpalabra,k = ωii∈0∪N ⊂ Ω2 tal que ωi+k = ωi para cualquier i ∈ 0 ∪N

es un k-ciclo u órbita periódica de periodo k en el sSDD.Nótese que para cada k ∈ N existen exactamente 2k órbitas de periodo k.

2 SISTEMAS DINÁMICOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

2.1 LEVANTAMIENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

Teorema 2.1.1. Sea (X,Z, f) un sSDD de clase C1 donde X ⊆ R y supóngase quef tiene un punto fijo x∗ ∈ X.

(i) Si |f ′(x∗)| < 1⇒ x∗ es asintóticamente estable.(ii) Si |f ′(x∗)| > 1⇒ x∗ es inestable.

Demostración. Las funciones h : X → R, h(t) =

(f(t)− x∗)/(t− x∗), si t = x∗

f ′(x∗), si t = x∗

y ϕ : X →

R, ϕ(t) = |t| son continuas entonces

limt→x∗

∣∣f(t)−x∗

t−x∗

∣∣ = limt→x∗

ϕ(h(t)) = ϕ(h(x∗)) = |f ′(x∗)| .

(i) Como |f ′(x∗)| < 1 entonces existe δ > 0 tal que si t ∈ X, |t− x∗| < δ (t = x∗)

⇒∣∣∣∣∣f(t)−x∗

t−x∗

∣∣− |f ′(x∗)|∣∣∣ < 1−|f ′(x∗)|

2 ⇒∣∣f(t)−x∗

t−x∗

∣∣ < a, 0 < a =1+|f ′(x∗)|

2 < 1.

Esto significa que

Si t ∈ X con t = x∗ y |t− x∗| < δ ⇒ |f(t)− x∗| < a |t− x∗| (I)

Definimos el conjunto U = B(x∗, δ), el cual es una vecindad de x∗.

P.d. fn(U) ⊆ U para cualquier n ∈ N−−− (II)La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Sea n = 1. P.d. f(U) ⊆ U.⊆) Tómese z ∈ f(U) ⇒ z = f(t) con t ∈ U . Por (I) se sigue de inmediato que z = f(t) ∈B(x∗, δ) = U.(Hipótesis de Inducción) Supongamos que fk(U) ⊆ U para k ∈ N, k > 1.P.d. fk+1(U) ⊆ U.⊆) Sea z ∈ fk+1(U)⇒ z = fk+1(u) = f(u0) donde u0 = fk(u) ∈ fk(U) con u ∈ U .Por lo cual u0 ∈ U (pues fk(U) ⊆ U) y así z = f(u0) ∈ f(U) ⊆ U ⇒ z ∈ U.

Sea V ⊆ X una vecindad de x∗, por lo cual existe δ0 > 0 tal que B(x∗, δ0) ⊆ V .Si δ0 ≥ δ se sigue que U ⊆ B(x∗, δ0) y en virtud de (II) se tendría que fn(U) ⊆ V para cualquiern ∈ N. En el caso de que δ0 < δ, como f es continua en x∗ entonces existe δ∗ > 0 tal que

Si t ∈ X con |t− x∗| < δ∗ ⇒ |f(t)− x∗| < δ −−− (III)

Ahora definimos el conjunto U ′ = B(x∗, δ∗), el cual también es una vecindad de x∗.

P.d. fn(U ′) ⊆ U para cualquier n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.

57

2 SISTEMAS DINÁMICOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 58

Sea n = 1. P.d. f(U ′) ⊆ U.⊆) Sea z ∈ f(U ′) ⇒ z = f(u′) con u′ ∈ U ′. En virtud de (III) se sigue inmediatamente quez = f(u′) ∈ B(x∗, δ) = U.(Hipótesis de Inducción) Supongamos que fk(U ′) ⊆ U para k ∈ N, k > 1.P.d. fk+1(U ′) ⊆ U.⊆) Sea z ∈ fk+1(U ′)⇒ z = fk+1(u′) con u′ ∈ U ′. Así podemos escribir

z = fk(u′0) donde u′0 = f(u′) ∈ f(U ′)⇒ u′0 ∈ U (pues f(U ′) ⊆ U).

Pero esto significa que z ∈ fk(U) ⊆ U ⇒ z ∈ U.

En virtud de la exposición anterior se concluye que x∗ es estable.

P.d. Si t ∈ U ⇒ |fn(t)− x∗| < anδ para cualquier n ∈ N−−− (IV )Sea t ∈ U fijo⇒ |t− x∗| < δ. La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Sea n = 1. Por la fórmula (I) se concluye que

∣∣f1(t)− x∗∣∣ = |f(t)− x∗| < a |t− x∗| < aδ = a1δ.

(Hipótesis de Inducción) Supongamos que∣∣fk(t)− x∗

∣∣ < akδ para k ∈ N, k > 1.Sea n = k + 1. Se sabe que fk(t) ∈ U (pues fk(U) ⊆ U , en virtud de la fórmula (II))⇒∣∣fk(t)− x∗

∣∣ < δ. Luego utilizando la hipótesis de inducción∣∣fk+1(t)− x∗

∣∣ =∣∣f(fk(t))− x∗

∣∣ < a∣∣fk(t)− x∗

∣∣ < aakδ = ak+1δ.

Por la expresión (IV ) tenemos que

0 ≤ limn→∞

|fn(t)− x∗| ≤ limn→∞

anδ = 0 para todo t ∈ U (pues 0 < a < 1),

por lo cual limn→∞

|fn(t)− x∗| = 0 para todo t ∈ U ⇔ limn→∞

fn(t) = x∗ para todo t ∈ U . Esto

significa finalmente que x∗ es asintóticamente estable.

(ii) Como |f ′(x∗)| > 1 entonces existe δ > 0 tal que si t ∈ X, |t− x∗| < δ (t = x∗)

⇒∣∣∣∣∣f(t)−x∗

t−x∗∣∣− |f ′(x∗)|

∣∣∣ < 1−|f ′(x∗)|2 ⇒ a <

∣∣f(t)−x∗

t−x∗

∣∣, 1 < a =1+|f ′(x∗)|

2 .

Esto significa que

Si t ∈ X, (t = x∗) |t− x∗| < δ ⇒ |f(t)− x∗| > a |t− x∗| − −− (V )

Supóngase que x∗ es estable, por lo cual

Existe U ⊆ X vecindad de x∗ tal que fn(U) ⊆ B(x∗, δ) para todo n ∈ N−−− (V I)

Sea t ∈ U, t = x∗. En virtud de la expresión (V I) se cumple que |fn(t)− x∗| < δ para todo n ∈ N.

P.d. |fn(t)− x∗| > an |t− x∗| para todo n ∈ N−−− (V II)La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Sea n = 1. Por la expresión (V I) sabemos que


f(t) ∈ B(x∗, δ)⇒ |f(t)− x∗| < δ (con f(t) = x∗).

Y por la fórmula (V ) se sigue que∣∣f2(t)− x∗

∣∣ = |f(f(t))− x∗| > a |t− x∗| = a1 |t− x∗| .

(Hipótesis de Inducción) Supongamos que∣∣fk+1(t)− x∗

∣∣ > ak |t− x∗| para k ∈ N, k > 1.Sea n = k + 1. Como fk+1(t) ∈ B(x∗, δ) (por la fórmula (V I)) en virtud de (V ) se sigue que

∣∣fk+2(t))− x∗∣∣ =

∣∣f(fk+1(t))− x∗∣∣ > a

∣∣fk+1(t)− x∗∣∣ > aak |t− x∗| = ak+1 |t− x∗| .

Dado que a > 1 entonces limn→∞

an =∞. De modo que existiría N ∈ N tal que aN |t− x∗| > δ y por

(V II) se cumpliría que∣∣fN+1(t))− x∗

∣∣ > aN |t− x∗| > δ ⇒ fN+1(t) /∈ B(x∗, δ)! (por (V )).

Como el suponer que x∗ es estable nos lleva a una contradicción se concluye que x∗ no es estable,es decir, x∗ es inestable.

Definición 2.1.1. (Representación Polar de los Números Complejos)Sea z ∈ C cualquiera y hagamos a = Re(z), b = Im(z) ∈ R.(i) La Norma ó Magnitud de z se define como el número |z| =

√a2 + b2.

(ii) Si z = 0 se define el argumento principal de z como el único ángulo Arg(z) ∈ R que formael vector z (dentro del plano complejo) con la dirección positiva del eje real (por lo que Arg(z) ∈[0, 2π)). Esto es,

CIzsia

b ∈,arctan

=)( zArg

CIIzsia

b ∈− ,arctanπ

CIIIzsia

b ∈+ ,arctanπ

CIVzsia

b ∈− ,arctan2π

0, ≠baCuando

0,2

>bsiπ

0,2

3 <bsiπ 0=aCuando

0, <asiπ0,0 >asi

0=bCuando

(iii) Si z = 0 entonces al número complejo z con norma r = |z| y argumento principal θ = Arg(z)puede ser escrito mediante las siguientes relaciones:

a = r cos θ, b = sen θ, z = r(cos θ + i sen θ) = reθi.


Esta manera distinta de escribir un número complejo utilizando su norma y su argumento principalse le llama Representación Polar del número complejo.

Figura 2.1 Representacion Polar de un Número Complejo

Definición 2.1.2. (Argumento de un Número Complejo No Nulo)Sea z ∈ C\0 cualquiera y hagamos a = Re(z), b = Im(z) ∈ R. El argumento del número z sedefine como el conjunto

arg(z) = Arg(z)mod 2π = θ ∈ R | θ ≡ Arg(z)mod 2π.

Observación 2.1.1. Si z ∈ C\0 donde a = Re(z), b = Im(z) ∈ R entonces Arg(z) ∈ arg(z)(pues Arg(z) ≡ Arg(z)mod 2π) y por lo tanto arg(z) = ∅.

Lema 2.1.1. Sea z ∈ C\0 y fijemos un intervalo de la forma R = [2πα, 2πα+2π)para algún α ∈ R. Entonces existe un ángulo θ ∈ R tal que θ ≡ Arg(z)mod 2π y esúnico.

Demostración. La demostración se divide en dos partes:(Existencia del Ángulo)Definimos θ = Arg(z) + 2πα por lo cual θ ∈ [2πα, 2πα + 2π) = R y es inmediato que θ ≡Arg(z)mod 2π.(Unicidad del Ángulo)Sean θ1, θ2 ∈ R tales que θ1 ≡ Arg(z)mod 2π y θ2 ≡ Arg(z)mod 2π. Como la operación móduloes una relación de equivalencia se sigue que θ1 ≡ θ2mod2π ⇔ θ1 = θ2+2πµ con µ ∈ Z. Pero estoimplica |θ1 − θ2| = 2π |µ| < 2π ⇔ µ = 0.Y de aquí concluimos que θ1 = θ2.

Definición 2.1.3. (Ramas del Argumento de Números Complejos)(i) Se dice que un intervalo de la forma R = [2πα, 2πα+ 2π) para algún α ∈ R fijo es una Ramadel Argumento (en el plano complejo) si y sólo si para cualquier complejo z ∈ C\0 consideramosel ángulo que forma con la rama positiva del eje real (en el plano complejo) como el único ángulo


θ ∈ R tal que θ ≡ Arg(z)mod 2π; se dice que θ ≡ argR(z) es el argumento del complejo z en larama R.Básicamente una rama del argumento (en el plano complejo) es un intervalo semiabierto de númerosreales con tamaño 2π donde sólo consideraremos los valores del argumento de cualquier complejono nulo que están contenidos dentro de dicho intervalo.(ii) Se dice que una rama del argumento R = [2πk, 2πk + 2π) para algún k ∈ R es una RamaEntera (en el plano complejo) si y sólo si k ∈ Z.(iii) Definimos la Rama Principal del Argumento (en el plano complejo) como el intervalo [0, 2π) ⊆R.(iv) Se dice que fijamos una rama del argumento si y sólo si se elije una rama del argumento ysólo consideramos los valores del argumento de complejos no nulos en esa rama.La elección de una rama del argumento es la especificación de un rango particular (rama) para elargumento de complejos no nulos (en el plano complejo).

Observación 2.1.2. (i) Si α ∈ R se dice que el intervalo [2πα, 2πα+2π) ⊆ R es la α−ésima ramadel argumento y denotamos Rα = [2πα, 2πα+ 2π).(ii) Si ya se ha elegido una rama R del argumento podemos definir (en forma correcta) una función

f : C\0 → R, f(z) = argR(z),

y en este caso decimos que f = argR es el argumento en la rama R (dentro del plano complejo).(iii) Sea α ∈ R. Si ya hemos definido las funciones argRα

: C\0 → Rα, argR0: C\0 → R0

entonces

argRα= argR0

+2πα.

(iv) Sean α, β ∈ R. Si ya hemos definido las funciones argRα: C\0 → Rα, argRβ

: C\0 → Rβ

entonces

argRα= argRβ

+2π(α− β).

Definición 2.1.4. Identificamos al círculo unitario y/o circunferencia de radio 1 y centro en elorigen en el plano complejo como el conjunto

S1 = z ∈ C| |z| = 1.


Figura 2.2 La Circunferencia Unitaria S1 en el plano complejo

Observación 2.1.3. Fijemos una rama entera del argumento R = [2πk, 2πk + 2π) para k ∈ Z.(i) Sea z ∈ C\0. Dado que argR(z) ≡ Arg(z)mod 2π podemos escribir argR(z) = Arg(z) + 2πµdonde µ ∈ Z. Entonces

eargR(z)i = eArg(z)ie2πµi = eArg(z)i.

(ii) Si z ∈ S1 entonces podemos escribir

z = |z| eArg(z)i = eArg(z)i = eargR(z)i.

Definición 2.1.5. La función Π : R → S1 tal que Π(t) = e2πti para t ∈ R es conocida como laProyección Canónica (en la circunferencia).

Definición 2.1.6. Cualquier función f : S1 → S1 será denominada como Función en la Circun-ferencia (Compleja) S1.

Proposición 2.1.1. (Propiedades de la proyección canónica) Consideremos laproyección canónica Π : R→ S1.

(i) (Periodicidad) Π es una función periódica con periodo 1.(ii) (Continuidad) Π es una función continua.(iii) Π(R) = S1 (esto es, Π es sobre).(iv) Sea t0 ∈ R fijo. Entonces Π|[t0,t0+1) : [t0, t0 + 1) ⊆ R→ S1 es invertible.(v) Sean t, s ∈ R. Entonces Π(t) = Π(s)⇔ t ≡ smod(1)⇔ t− s ∈ Z.(vi) Sean t, s ∈ R. Entonces Π(t) = Π(s)⇔ t− s /∈ Z.

Demostración. Recordemos la fórmula de Euler para los números complejos:

eiθ = cos θ + i sen θ para cualquier θ ∈ R.


(i) Nótese que

Π(t+ 1) = e2π(t+1)i = e(2πt+2π)i = cos(2πt+ 2π) + i sen(2πt+ 2π)= cos 2πt+ i sen 2πt = e2πti = Π(t)

para cualquier t ∈ R y defínase el conjunto A = T ∈ R+|Π(t + 1) = Π(t) para t ∈ R. ComoA = ∅ (pues 1 ∈ A) entonces existe L = minA ∈ R+ ⇒ L ≤ 1. Pero como

cos 2πt = Re(Π(t)) = Re(Π(t+ L)) = cos 2π(t+ L) = cos(2πt+ 2πL) para t ∈ R

entonces debe ser L = 1 (pues f(t) = cos 2πt para cualquier t ∈ R es una función periódica deperiodo 1).

(ii) Podemos escribir Π = f + ig donde f, g : R→ R son tales que

f(t) = Re(Π(t)) = cos 2πt y g(t) = Im(Π(t)) = sen 2πt para todo t ∈ R.

Como f y g son continuas (en R) entonces

limt→a

Π(t) = limt→a

(f(t) + ig(t)) = (limt→a

f(t)) + i(limt→a

g(t)) = f(a) + ig(a) = Π(a) para a ∈ R.

Finalmente esto significa que Π es continua (en R).

(iii) P.d. Π(R) = S1.⊆) Inmediata, pues Π(R) = Π(t)|t ∈ R ⊆ S1.⊇) Sea x ∈ S1 ⇒ x = a + ib para algunos a, b ∈ R. Utilizando coordenadas polares podemosescribir a = |x| cos θ = cos θ, b = |x| sen θ = sen θ donde θ ∈ R, 0 ≤ θ < 2π es el ángulo que formael número complejo x con la dirección positiva del eje real en el plano complejo. Por lo cual

x = e2παi = Π(α) donde α = θ2π ∈ R⇒ x ∈ Π(R).

(iv) Sea t0 ∈ R y hágase Π∗ = Π|[t0,t0+1).P.d. Π∗ es inyectiva.Sean t, s ∈ [t0, t0 + 1) tales que Π∗(t) = Π∗(s). Entonces

e2πt(t−s)i = e2πtie−2πsi = e0i = 1⇔ 2π(t− s)i = 2πn para algún n ∈ Z⇔ n = t− s ∈ Z.

Pero como |t− s| < 1⇒ t− s = n = 0⇔ t = s.

P.d. Π∗([t0, t0 + 1)) = S1.⊆) Inmediata, pues Π([t0, t0 + 1)) = Π(t)|t ∈ [t0, t0 + 1) ⊆ S1.⊇) Sea x ∈ S1. Podemos escribir x = a+ ib para algunos a, b ∈ R. Utilizando coordenadas polaresse observa que a = cos θ, b = sen θ donde θ ∈ R es el ángulo que forma el número complejo xcon la dirección positiva del eje real en el plano complejo. Más aún, podemos elegir θ en la rama2πt0 ≤ θ < 2π(t0 + 1) de tal forma que

x = cos θ + i sen θ = e2παi = Π(α) donde α = θ2π ∈ [t0, t0 + 1)⇒ x ∈ Π∗([t0, t0 + 1)).


(v) Sean t, s ∈ R.⇒) Como Π(t) = Π(s) entonces e2π(t−s)i = 1 ⇔ t − s = n(1) = n para algún n ∈ Z ⇔ t ≡smod(1).⇐) Supóngase que t ≡ smod(1)⇒ t = s+ n para algún n ∈ Z. Por tanto

Π(t) = Π(s+ n) = e2π(s+n)i = e2πsi+2πni = e2πsie2πni = e2πsi = Π(s).

(vi) Inmediata, a partir del inciso (v) de esta proposición.

Proposición 2.1.2. (i) La relación ∼⊆ [0, 1]× [0, 1] tal que t ∼ s donde t, s ∈ R⇔t ≡ smod(1) es una relación de equivalencia.

(ii) Sea X = [0, 1]× [0, 1] (Cuadrado Unidad en el plano real). La relación R sobreX definida por la regla:

(t, s)R(r,m) ⇐⇒ t ≡ rmod(1) y s ≡mmod(1) para t, s, r,m ∈ [0, 1].

Esto es, R satisface las siguientes propiedades:

(I) (t, s)R(t, s) para t, s ∈ [0, 1],

(II) (0, s)R(1, s) y (1, s)R(0, s) para s ∈ [0, 1],

(III) (t, 0)R(t, 1) y (t, 1)R(t, 0) para x ∈ [0, 1],

Entonces R es una relación de equivalencia.

Demostración.Parte 1) P.d. ∼ es una relación de equivalencia sobre el intervalo [0, 1] ⊂ R.(i) (Reflexividad) Sea t ∈ [0, 1]. Como t− t = 0⇒ t ≡ tmod(1). Esto significa que t ∼ t.(ii) (Simetría) Sean t, s ∈ [0, 1] tales que t ∼ s⇒ t ≡ smod(1). Por lo tanto

t = s+ n para algún n ∈ Z⇒ t+m = s,m = −n ∈ Z.

De aquí que s ≡ tmod(1)⇔ s ∼ t.(iii) (Transitividad) Sean t, s, r ∈ [0, 1] tales que t ∼ s y s ∼ r ⇒ t ≡ smod(1) y s ≡ rmod(1).Luego

t = s+ n y s = r +m para algunos n,m ∈ Z⇒ t = (r +m) + n = r + l donde l =m+ n ∈ Z.

De aquí que t ≡ rmod(1)⇔ t ∼ r.

Parte 2) P.d. R es una relación de equivalencia sobre el conjunto X.(i) (Reflexividad) Es inmediata de acuerdo a la propiedad (I) de la definición de R.(ii) (Simetría) Sean ti, si ∈ [0, 1] para i ∈ 1, 2 tales que (t1, s1)R(t2, s2) ⇒ t1 ≡ t2mod(1) ys1 ≡ s2mod(1). Por lo tanto t2 ≡ t1mod(1) y s2 ≡ s1mod(1) (pues la relación módulo entero esde equivalencia) y así (t2, s2)R(t1, s1).(iii) (Transitividad) Sean ti, si ∈ [0, 1] para i ∈ 1, 2, 3 tales que (t1, s1)R(t2, s2) y (t2, s2)R(t3, s3).Entonces


t1 ≡ t2mod(1) y s1 ≡ s2mod(1), t2 ≡ t3mod(1) y s2 ≡ s3mod(1)=⇒ t1 ≡ t3mod(1) y s1 ≡ s3mod(1) (pues la relación módulo entero es de equivalencia).

Y esto significa que (t1, s1)R(t3, s3).

Definición 2.1.7. (i) La relación de equivalencia ∼⊆ [0, 1]× [0, 1] tal que t ∼ s donde t, s ∈ R⇔t ≡ smod(1) es llamada relación módulo entero.(ii)Sea X = [0, 1]× [0, 1] (Cuadrado Unidad en el plano real). La relación de equivalencia R sobreX definida por las siguientes propiedades:

(i) (x, y)R(x, y) para x, y ∈ [0, 1],

(ii) (0, y)R(1, y) y (1, y)R(0, y) para y ∈ [0, 1],

(iii) (x, 0)R(x, 1) y (x, 1)R(x, 0) para x ∈ [0, 1],

es conocida como la relación de equivalencia del toro.

Proposición 2.1.3. (i) La función

h : S1 → [0, 1]/ ∼, h(z) = [Arg(z)/2π] para z ∈ S1

es invertible, donde ∼ es la relación de equivalencia módulo entero.(ii) Sea X = [0, 1]× [0, 1]. La función

h : S1 × S1 → X/R, h(z1, z2) =[(Arg(z1)

2π , Arg(z2)2π )

]para z1, z2 ∈ S1

es invertible, donde R es la relación de equivalencia del Toro.(iii) La función d : S1×S1 → R, d(e2πti, e2πsi) = 2πα con t, s ∈ [0, 1) y α = |t− s| ∈

[0, 1) es una métrica, llamada Distancia en S1; es decir, S1 es un espacio métrico.

Demostración.(i) Probaremos que la función h : S1 → [0, 1]/ ∼, h(z) = [Arg(z)/2π] para z ∈ S1es biyectiva.P.d. h es inyectiva.Sean x, y ∈ S1 tales que h(x) = h(y)⇒ [Arg(x)

2π ] = [Arg(y)2π ] = U . Como Arg(x)

2π ∈ U entonces

Arg(x)2π ≡ Arg(y)

2π mod(1)⇔ Arg(x)2π − Arg(y)

2π ∈ Z.

Pero como 0 ≤ Arg(x)2π , Arg(y)

2π < 1 (en el argumento principal) tenemos que∣∣∣Arg(x)

2π − Arg(y)2π

∣∣∣ < 1⇒ Arg(x) = Arg(y),

y así x = eArg(x)i = eArg(y)i = y.

P.d. h(S1) = [0, 1]/ ∼ .⊆) Inmediata, pues por definición h(S1) = h(x)|x ∈ S1 ⊆ [0, 1]/ ∼ .⊇) Sea U ∈ [0, 1]/ ∼⇒ U = [α] para algún α ∈ R. Hágase x = Π(α) ∈ S1 por lo cual

Π(α) = x = eArg(x)i = Π(Arg(x)2π )⇔ α ≡ Arg(x)

2π mod(1)⇒ [Arg(x)2π ] = [α] = U,


y así h(x) = [Arg(x)2π ] = U para x ∈ S1 ⇒ U ∈ h(S1).

(ii) Probaremos que la función h : S1 × S1 → X/R, h(z1, z2) =[(Arg(z1)

2π , Arg(z2)2π )

]para z1, z2 ∈

S1es biyectiva.P.d. h es inyectiva.Sean (xi, yi) ∈ S1 × S1 para i ∈ 1, 2 tales que h(x1, y1) = h(x2, y2) ⇒ [(Arg(x1)

2π , Arg(y1)2π )] =

[(Arg(x2)2π , Arg(y2)

2π )] = U . Como (Arg(x1)2π , Arg(y1)

2π ) ∈ U entonces

(Arg(x1)2π , Arg(y1)

2π ) ∈ [(Arg(x2)2π , Arg(y2)

2π )]⇔ Arg(x1)2π ≡ Arg(x2)

2π mod(1) y Arg(y1)2π ≡ Arg(y2)

2π mod(1)

⇔ Arg(x1)2π − Arg(x2)

2π , Arg(y1)2π − Arg(y2)

2π ∈ Z.

Pero como 0 ≤ Arg(xi)2π , Arg(yi)

2π < 1 para i ∈ 1, 2 (en el argumento principal) tenemos que∣∣∣Arg(x1)

2π − Arg(x2)2π

∣∣∣ < 1 y∣∣∣Arg(y1)

2π − Arg(y2)2π

∣∣∣ < 1⇒ Arg(x1) = Arg(x2) y Arg(y1) = Arg(y2),

y así (x1, y1) = (eArg(x1)i, eArg(y1)i) = (eArg(x2)i, eArg(y2)i) = (x2, y2).

P.d. h(S1 × S1) = X/R.⊆) Inmediata, pues por definición h(S1 × S1) = h(x)|(x, y) ∈ S1 × S1 ⊆ X/R.⊇) Sea U ∈ X/R ⇒ U = [(α, β)] para algunos α, β ∈ R. Hágase x = Π(α), y = Π(β) ∈ S1 por locual

Π(α) = x = eArg(x)i = Π(Arg(x)2π ) y Π(β) = y = eArg(y)i = Π(Arg(y)

2π )⇔ α ≡ Arg(x)2π mod(1) y

β ≡ Arg(y)2π mod(1)

⇒ [(α, β)] = [(Arg(x)2π , Arg(y)

2π )] = U,

y así h(x, y) = [(Arg(x)2π , Arg(y)

2π )] = U para x, y ∈ S1 ⇒ U ∈ h(S1 × S1).

(iii) P.d. d : S1 × S1 → R es una métrica.Tómense x, y, z ∈ S1 ⇒ x = e2πti, y = e2πsi, z = e2πri para algunos t, s, r ∈ [0, 1). Luego:1) d(x, y) = 2π |t− s| ≥ 0.2) P.d. d(x, y) = 0⇔ x = y.⇒) Como 2π |t− s| = d(x, y) = 0 ⇒ t = s. Y considerando una rama R del argumento debemostener que

argR(x) = 2πt = 2πs = argR(y)⇒ x = eargR(x)i = eargR(y)i = y.

⇐) Inmediata por la definición de la función d.3) d(x, y) = 2π |t− s| = 2π |s− t| = d(y, x).4) En virtud de la desigualdad del triángulo en R se sigue que

d(x, y) = 2π |t− s| ≤ 2π[|t− r|+ |r − s|] = 2π |t− r|+ 2π |r − s| = d(x, z) + d(z, y).

En virtud de los resultados anteriores se concluye que d es una métrica en S1.

Proposición 2.1.4. Considérese el subespacio S1 (con la topología usual en elplano complejo) y el espacio cociente [0, 1]/ ∼ (con la topología cociente), donde ∼ esla relación de equivalencia módulo entero. Entonces los conjuntos S1 y [0, 1]/ ∼ sonhomeomorfos.


Demostración.La función proyección canónica restricción Π|[0,1] : [0, 1] → S1 es continua (Proposición 2.1.1 ) yla función h : S1 → [0, 1]/ ∼, h(z) = [Arg(z)/2π] para z ∈ S1es invertible (Proposición 2.1.3 ).Luego la función g : [0, 1]/ ∼→ S1, g = h−1 es también invertible y por tanto biyectiva.

P.d. g π = Π|[0,1] donde π : [0, 1]→ [0, 1]/ ∼ es la proyección natural.Sea t ∈ [0, 1]. Hágase ω = g([t]) ∈ S1 por lo que

[t] = h(ω) = [Arg(ω)2π ]⇔ Arg(ω)

2π − t ∈ Z con t ∈ [0, 1]

Entonces

(g π)(t) = g(π(t)) = g([t]) = ω = eArg(ω)i = Π(Arg(ω)2π ) = Π(t).

Ahora como gπ = Π|[0,1] es continua en virtud de la proposición 1.1.2 se sigue que g es una funciónbiyectiva y continua donde [0, 1]/ ∼ es un compacto (pues π([0, 1]) = [0, 1]/ ∼, π es continua y[0, 1] ⊆ R es un compacto en la topología usual) y S1 es un espacio de Haussdorff. En virtud delteorema 1.1.8 se sigue que g es un homeomorfismo.

Definición 2.1.8. La superficie T = S1xS1 es conocida como el Toro.

Figura 2.3 El Toro T = S1 × S1

Proposición 2.1.5. Sea X = [0, 1] × [0, 1]. Entonces el toro T = S1 × S1 puedeser obtenido como espacio cociente, es decir, los conjuntos T y X/R son homeomorfos,donde R es la relación de equivalencia del Toro.

Demostración.

Parte 1) Sea la función−Π : X → S1×S1,

−Π(t1, t2) = (Π|[0,1](t1),Π|[0,1](t2)). Probaremos que

−Π es

continua.Consideremos la topología usual de subespacio τ [0,1] para el intervalo [0, 1], la topología de sube-spacio τS1 sobre S1, la topología producto τ sobre S1 × S1 y τX la topología producto sobre X.Si V ∈ τ entonces V = V1 × V2 para V1, V2 ∈ τS1 , por lo cual Π|−1[0,1](V1),Π|−1[0,1](V2) ∈ τ [0,1] (puesΠ|[0,1] es continua).


P.d. Π|−1[0,1](V1)×Π|−1[0,1](V2) =−Π−1

(V1 × V2).

Sea (t1, t2) ∈ X. Entonces

(t1, t2) ∈−Π−1

(V1 × V2) ⇐⇒−Π(t1, t2) = (Π|[0,1](t1),Π|[0,1](t2)) ∈ V1 × V2

⇐⇒ Π|[0,1](t1) ∈ V1 y Π|[0,1](t2) ∈ V2 ⇐⇒ t1 ∈ Π|−1[0,1](V1) y t2 ∈ Π|−1[0,1](V2)⇐⇒ (t1, t2) ∈ Π|−1[0,1](V1)×Π|−1[0,1](V2).

Finalmente y como−Π−1

(V ) = Π|−1[0,1](V1)×Π|−1[0,1](V2) ∈ τX entonces−Π es continua.

Parte 2) La función−Π : X → S1 × S1 es continua y la función h : S1 × S1 → X/R, h(z1, z2) =[

(Arg(z1)2π , Arg(z2)

2π )]para z1, z2 ∈ S1es invertible (Proposición 2.1.3 ). Luego la función g : X/R→

S1 × S1, g = h−1 es también invertible y por tanto biyectiva.

P.d. g π =−Π donde π : X → X/R es la proyección natural.

Sea (t1, t2) ∈ X. Hágase (ω1, ω2) = g([(t1, t2)]) ∈ S1 × S1 por lo que

[(t1, t2)] = h(ω1, ω2) = [(Arg(ω1)2π , Arg(ω1)

2π )]⇔ Arg(ωi)2π − ti ∈ Z para i ∈ 1, 2

Entonces

(g π)(t1, t2) = g(π(t1, t2)) = g([(t1, t2)]) = (ω1, ω2) = (Π(Arg(ω1)2π ),Π(Arg(ω2)

2π )) =

(Π(t1),Π(t2)) =−Π(t1, t2).

Ahora como g π =−Π es continua en virtud de la proposición 1.1.2 se sigue que g es una función

biyectiva y continua donde X/R es un compacto (pues π(X) = X/R, π es continua y X ⊆ R2 esun compacto en la topología usual) y S1 × S1 es un espacio de Haussdorff. En virtud del teorema1.1.8 se sigue que g es un homeomorfismo.


2.1.1 Procedimiento para trazar la gráfica de una función en la circunferencia S1.

Dado que los espacios S1 y [0, 1]/ ∼ son homeomorfos (donde ∼ es la relación módulo entero), cadapunto en T = S1 × S1 se puede representar por un punto en un "cuadrado" [0, 1]/ ∼ ×[0, 1]/ ∼identificando (y preservando la orientación) los lados opuestos obteniendo la superficie llamadaToro.

La gráfica de una función en la circunferencia es un subconjunto de T y se puede trazar entonces enel "cuadrado" [0, 1]/ ∼ ×[0, 1]/ ∼ de modo que cada punto de los lados del cuadrado represente unaclase de equivalencia de [0, 1]/ ∼ y que al cruzar la gráfica un lado del "cuadrado" debe continuarsepor el lado opuesto.

[0,1]/~x [0,1]/~[1]

[0] [1][0]=[1]

El Toro como Espacio Cociente

[0,1]/~x [0,1]/~[1]

[0] [1][0]=[1]

El Toro como Espacio Cociente

Figura 2.4 Equivalencia Topológica entre el Toro T y el espacio cociente [0, 1]/ ∼

Algunas gráficas de la circunferencia trazadas de esta forma se muestran a continuación.


Figura 2.5 Gráficas de Funciones en la

Circunferencia en el espacio cociente del Toro

Figura 2.5 Gráficas de Funciones en la

Circunferencia en el espacio cociente del Toro

Lema 2.1.2. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia. Entonces existeuna función F : R→ R tal que el siguiente diagrama conmuta:

Es decir, Π F = f Π donde Π es la proyección canónica.

Demostración. Sea una rama (entera) del argumento R por lo que la función argR : C\0 → Resta bien definida. De esta forma podemos definir la función F : [0, 1) → R, F (t) = 1

2π argR(f Π(t)) = 1

2π argR(f(e2πti)) para cualquier t ∈ [0, 1). Entonces

(Π F )(t) = Π(F (t)) = Π( 12π argR(f Π(t))) = earg(fΠ(t))i = (f Π)(t) para cualquier t ∈ [0, 1),

y así se concluye que Π F = f Π.

Proposición 2.1.6. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y tómesek ∈ Z fijo. Entonces existe una función F : R→ R tal que

(i) F (t+ 1) = F (t) + k para cualquier t ∈ R,(ii) El siguiente diagrama conmuta:


Es decir, Π F = f Π donde Π es la proyección canónica.

Demostración.Consideremos una rama entera del argumento de la forma R = [2πk, 2πk + 2π) para algún k ∈ Zfijo.En virtud del lema 2.1.2 existe una función G : [0, 1)→ R tal que ΠG = f Π. A partir de dichafunción G y considerando []Ent : R→ [0, 1) la función parte entera (en R) y 1R : R→ R la funciónidentidad (en R) definimos una nueva función F : R→ R como

F = G (1R − []Ent) + []Entk.

P.d. Π F = f Π.Sea t ∈ R. Entonces t = [t]Ent + αt donde αt = (1R − []Ent)(t) = t− [t]Ent ∈ [0, 1) y así

(Π F )(t) = Π(F (t)) = Π(G(t− [t]Ent) + [t]Entk) = Π(G(αt)) = (Π G)(αt)= (f Π)(αt) = f(Π(αt)) = f(Π([t]Ent + αt)) = f(Π(t)) = (f Π)(t).

P.d. F (t+ 1) = F (t) + k para cualquier t ∈ R.Tómese t ∈ R. Entonces t = [t]Ent + αt donde αt = (1R − []Ent)(t) ∈ [0, 1) y así

(t+ 1)− [t+ 1]Ent = t+ 1− [t]Ent − 1 = t− [t]Ent = αt.

Entonces

F (t+ 1) = G((t+ 1)− [t+ 1]Ent) + [t+ 1]Entk = (G(αt) + [t]Entk) + k = F (t) + k.

Definición 2.1.9. Se dice que una función F : R→ R es un Levantamiento de una función en lacircunferencia f : S1 → S1 si y sólo si existe algún k ∈ Z tal que(i) F (t+ 1) = F (t) + k para cualquier t ∈ R,(ii) El siguiente diagrama conmuta:


Es decir, ΠF = f Π (o bien, f(e2πti) = e2πF (t)i para t ∈ R) donde Π es la proyección canónica.

Proposición 2.1.7. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia.(i) Si F1, F2 : R→ R son levantamientos de f entonces la función m : R→ R,m =

F1 − F2 satisface que m(t) ∈ Z para cualquier t ∈ R.(ii) Si m ∈ Z y F : R → R es un levantamiento de f entonces F +m : R → R es

otro levantamiento de f .

Demostración. (i) Como F1 y F2 son levantamientos de f entonces

Π(F1(t)) = (Π F1)(t) = (f Π)(t) = (Π F2)(t) = Π(F2(t)) para cualquier t ∈ R,

y así m(t) = F1(t)− F2(t) ∈ Z para cualquier t ∈ R (en virtud de la proposición 2.1.1 ).

(ii) Definamos la función G : R→ R, G = F +m.Por hipótesis existe k ∈ Z tal que F (t+ 1) = F (t) + k para cualquier t ∈ R.

P.d. Π G = f Π.Sea t ∈ R cualquiera. Entonces

(Π G)(t) = Π(G(t)) = Π(F (t) +m) = Π(F (t)) = (Π F )(t) = (f Π)(t).

P.d. G(t+ 1) = G(t) + k para cualquier t ∈ R.Tómese t ∈ R cualquiera. Luego

G(t+ 1) = F (t+ 1) +m = (F (t) + k) +m = (F (t) +m) + k = G(t) + k.

Definición 2.1.10. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y tomemos un levantamientoF : R→ R para f . El Trozo Fundamental del levantamiento F es la gráfica de F en el plano condominio en el intervalo [0, 1) ⊂ R.


2.1.2 Procedimiento para trazar la gráfica de un levantamiento de una función en lacircunferencia.

Sean f : S1 → S1 y F : R→ R un levantamiento de f . Para trazar la gráfica de F se realizan lossiguientes pasos:(1) Trazar el trozo fundamental de F .(2) El punto P1(1, F (1)) de la gráfica de F se encuentra a |k| unidades en la dirección vertical delpunto P0(0, F (0)) (pues F (0) + k = F (1)). Entonces comenzando en el punto P1 se repite el trozofundamental sobre el intervalo adyacente [1, 2) ⊆ R.(3) Repitiendo el trozo fundamental sobre intervalos adyacentes de longitud 1 con extremos en Zse obtiene toda la gráfica de F sobre la recta real.

A continuación se presenta la gráfica de una función en la circunferencia (figura 2.7 ) y la construc-ción de la gráfica de uno de sus levantamientos a lo largo del plano real (en la figura 2.8 ).


Figura 2.7 Funcion de la Circunferencia base para trazar el levantamiento

Figura 2.8 Un Levantamiento de la funcion mostrada en la figura 2.7


Observación 2.1.4. Si f : S1 → S1 es una función en la circunferencia continua podemos obtenerlevantamientos continuos ó discontinuos.

Figura 2.9 Función Continua en la Circunferencia

Figura 2.10 Levantamiento Continuo de la función en la figura 2.9


Figura 2.11 Levantamiento Discontinuo de la función en la figura 2.9


Observación 2.1.5. La gráfica de una función en la circunferencia también se puede obtener apartir de la gráfica de cualquiera de sus levantamientos en la siguiente forma:(1) Consideremos la banda infinita B = [0, 1] × R en el plano como un rectángulo formado porcuadrados cuyos lados tienen longitud 1 y trazar el trozo fundamental del levantamiento en cuestión.(2) Observemos los cuadrados de lado de longitud 1 de la banda B que intersecta la gráfica dellevantamiento dado, los cuales forman un rectángulo R de base de longitud 1 y altura de longitudigual al número de cuadrados de la banda B que intersecta la gráfica del levantamiento.(3) Cortando el rectángulo R en cuadrados de lado de longitud 1 y sobreponiéndolos obtenemos lagráfica de f (en [0, 1]/ ∼ ×[0, 1]/ ∼).

Proposición 2.1.8. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia y F : R→ Run levantamiento de f . Si k ∈ Z es tal que F (t + 1) = F (t) + k para cualquier t ∈ Rentonces:

(i) F (t− 1) = F (t)− k para cualquier t ∈ R.(ii) F (t+m) = F (t) +mk para cualquier t ∈ R y m ∈ Z.

Demostración.(i) Sea t ∈ R cualquiera. Por tanto

F (t) = F ((t− 1) + 1) = F (t− 1) + k ⇒ F (t− 1) = F (t) + k.

(ii) Sea t ∈ R cualquiera. La demostración se divide en tres casos:

Caso 1) P.d. F (t+m) = F (t) +mk para cualquier m ∈ N.El resultado se prueba usando inducción sobre m ∈ N.Para n = 1 el resultado es inmediato por definición de levantamiento.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que F (t+ r) = F (t) + rk para algún r ∈ N, r > 1.Para m = r + 1 tenemos que

F (t+ (r + 1)) = F ((t+ r) + 1) = F (t+ r) + k = (F (t) + rk) + k = F (t) + (r + 1)k.

Caso 2) P.d. F (t−m) = F (t)−mk para cualquier m ∈ N.Para n = 1 el resultado es inmediato por el inciso (i) de esta proposición.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que F (t− r) = F (t)− rk para algún r ∈ N, r > 1.Para m = r + 1 tenemos que

F (t− (r + 1)) = F ((t− r)− 1) = F (t− r)− k = (F (t)− rk)− k = F (t)− (r + 1)k.

Caso 3) F (t+ 0) = F (t) = F (t) + 0 = F (t) + (0)k.

Finalmente y en virtud de los casos 1),2) y 3) se concluye el resultado.

Proposición 2.1.9. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia. Existe (almenos) un levantamiento F : R→ R de f tal que F (0) ∈ [0, 1).


Demostración.Tómese cualquier levantamiento F ∗ : R→ R de f y hágase F0 = F ∗(0) ∈ R. Entonces existe λ ∈Z tal que F0 + λ ∈ [0, 1) y por la proposición 2.1.7 la función F ∗ : R → R, F ∗ = F + λ es unlevantamiento de f que satisface

F ∗(0) = F (0) + λ = F0 + λ ∈ [0, 1).

Proposición 2.1.10. (Todo levantamiento determina una única función de la cir-cunferencia) Si F : R → R es una función tal que F (t + 1) = F (t) + k para cualquiert ∈ R con k ∈ Z fijo entonces existe una única función f : S1 → S1 tal que F es unlevantamiento de f .

Demostración. Notamos que Π−1(x = ∅ para cualquier x ∈ S1 (pues la proyección canónicaes una función sobreyectiva).

(a) (Existencia de la función)Definimos la función f : S1 → S1, f(x) = (Π F ) (t) = Π(F (t)) para cualquier t ∈ Π−1(x). Lafunción f esta bien definida, pues si tomamos x ∈ S1 y t, t∗ ∈ Π−1(x) entonces Π(t) = Π(t∗) =x⇔ t = t∗ + µ para algún µ ∈ Z; por lo cual

f(t) = Π(F (t)) = Π(F (t∗ + µ)) = Π(F (t∗) + µk) = Π(F (t∗)) = f(t∗).

Ahora sólo basta probar que efectivamente F es levantamiento de f.P.d. Π F = f Π.Sea t ∈ R y hágase Π(t) = x ∈ S1 ⇒ t ∈ Π−1(x). Entonces

(f Π)(t) = f(Π(t)) = f(x) = Π(F (t)) = (Π F )(t).

(b) (Unicidad de la función).Supóngase que existe una función g : S1 → S1 tal que F es levantamiento de g. P.d. f = g.Sea x ∈ S1 y tómese t ∈ R tal que t ∈ Π−1(x). Entonces

f(x) = Π(F (t)) = (Π F )(t) = (g Π)(t) = g(Π(t)) = g(x).

Proposición 2.1.11. Sea f ∈ S1 → S1 una función en la circunferencia, F : R→ Run levantamiento de f y tómese algún k ∈ Z tal que F (t + 1) = F (t) + k para cadat ∈ R. Si n ∈ N entonces:

(i) La función Fn : R → R es un levantamiento de la función en la circunferenciafn : S1 → S1,

(ii) Fn(t+ 1) = Fn(t) + kn para cada t ∈ R.

Demostración. La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.

Para n = 1 el resultado es obvio.(Hipótesis de Inducción) Supóngase que F r : R→ R es un levantamiento de fr : S1 → S1tal que


F r(t+ 1) = F r(t) + kr para cualquier t ∈ R

con algún r ∈ N, r > 1.Sea n = r + 1. Nótese que la función F r+1 : R → R, F r+1 = F r F satisface las siguientespropiedades:

Π F r+1 = (Π F r) F = fr (Π F ) = (fr f) Π = fr+1 Π,F r+1(t+ 1) = F r(F (t+ 1)) = F r(F (t) + k) = F r(F (t)) + (kr)k = F r+1(t) + kr+1 para cualquier

t ∈ R

(en virtud de la proposición 2.1.8 ).De donde concluimos que F r+1 es levantamiento de fr+1 tal que F r+1(t + 1) = F r+1(t) + kr+1

para cada t ∈ R.

Lema 2.1.3. La función identidad (en R) 1R : R → R es un levantamiento de lafunción identidad (en S1) 1S1 : S1 → S1.

Demostración. La función 1R : R→ R satisface las siguientes condiciones:

Π 1R = Π = 1S1 Π,1R(t+ 1) = t+ 1 = 1R(t) + 1 para cualquier t ∈ R.

Por definición de levantamiento se sigue el resultado.

Proposición 2.1.12. (i) Sean f, g : S1 → S1 funciones en la circunferencia conlevantamientos F,G : R→ R, respectivamente. Supongamos que

F (t+ 1) = F (t) + k,G(t+ 1) = G(t) + k para cualquier t ∈ R

con algún k ∈ Z fijo. Entonces la función Hn : R→ R,Hn = Fn −Gn es periódicacon periodo 1 para cualquier n ∈ N.

(ii) Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y F : R→ R un levantamientode f . Supongamos que

F (t+ 1) = F (t) + 1 para cualquier t ∈ R.

Entonces la función Hn : R → R,Hn = Fn − 1R es periódica con periodo 1 paracualquier n ∈ N (donde 1R : R→ R es la función identidad en R).

Demostración. (i) Sea n ∈ N fijo. Entonces por la proposición 2.1.11 se sabe que Fn, Gn : R→ Rson levantamientos de las funciones en la circunferencia fn, gn : S1 → S1 tales que Fn(t + 1) =Fn(t) + kn, Gn(t+ 1) = Gn(t) + kn para cualquier t ∈ R.Entonces

Hn(t+ 1) = Fn(t+ 1)−Gn(t+ 1) = (Fn(t) + kn)− (Gn(t) + kn) = Fn(t)−Gn(t) = Hn(t)

para cualquier t ∈ R, por lo que Hn : R→ R es periódica con periodo 1.

(ii) Inmediata, en virtud del lema 2.1.3 y por el inciso (i) de esta proposición.


Definición 2.1.11. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia.(i) Denotamos

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π.

Figura 2.12 Conjunto T de una función de la circunfererencia, donde T = ∅ y |T | = 3

(ii) Supóngase que T = ∅.(a) El intervalo I1 = [0, 1) es llamado el Intervalo de Keener para f .(b) El intervalo R1,t = [2πα, 2πα+2π) = Rα con algún α ∈ R fijo para cualquier t ∈ I1 es llamadola Rama de Keener del Argumento para f ; si α ∈ Z la rama de Keener se denomina Entera y siα /∈ Z se llamará No Entera.

(iii) Supóngase que T = ∅ y que T es finito. En este caso y si |T | = n ∈ N entonces podemosescribir T = tii∈N,i≤n ⊂ [0, 1) donde ti < ti+1 para i ∈ N, i < n.(a) El conjunto de intervalos Iii∈N,i≤n+1 ⊂ [0, 1) construidos en forma inductiva de la siguientemanera:

(a) I1 = [0, t1); (b) Ii+1 = [ti, ti+1) para i ∈ N, i < n; (c) In+1 = [tn + 1)


son llamados los Intervalos de Keener para f .

Figura 2.13 Intervalos de Keener para la función de la circunfererencia de la figura 2.12, dondeT = ∅ y |T | = 3

(b) El conjunto de intervalos Ri,ti∈N,i≤n+1 ⊂ R construido en forma inductiva de la siguientemanera:

(∗) R1,t = [2πα, 2πα+ 2π) = Rα con algún α ∈ R fijo para cualquier t ∈ I1;

(∗∗) Si i ∈ N, i ≤ n+ 1 esta fijo y Ri,t = Rµ con µ ∈ R para cualquier t ∈ Ii entonces

Ri+1,t =

Rµ+1, si limt→t−i

argRµ(f Π(t)) = 2πµ+ 2π

Rµ−1, si limt→t−i

argRµ(f Π(t)) = 2πµ

para cualquier t ∈ Ii+1;

son llamados las Ramas de Keener del Argumento para f ; si α ∈ Z las ramas de Keener sedenominan Enteras y si α /∈ Z se llamarán No Enteras.


Figura 2.14 Ramas Enteras de Keener para la función de la circunfererencia de la figura2.12, donde T = ∅ y |T | = 3

Definición 2.1.12. (Función Trozo Fundamental Asociada a una función en la circunferencia)Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y consideremos el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π.

(i) Si T = ∅ entonces argR0(f Π(t)) ∈ (0, 2π) ⊂ R para cualquier t ∈ [0, 1), y así definimos la

Función Trozo Fundamental f asociada a la función f como

f : [0, 1)→ R, f(t) = 12π argR0

(f Π(t)) para cualquier t ∈ [0, 1).

(ii) Supóngase que T = ∅ y que T es finito. Si hacemos |T | = n ∈ N podemos escribir T =tii∈N,i≤n ⊂ [0, 1) donde ti ≤ ti+1 para i ∈ N, i < n y así podemos definir la Función TrozoFundamental f asociada a la función f como

f : [0, 1)→ R, f(t) = 12π argRi,t

(f Π(t)) para cualquier t ∈ [0, 1).


Figuras 2.15 Función Trozo Fundamental de una función f : S1 → S1 donde T = ∅


Figuras 2.16 Función Trozo Fundamental de una función f : S1 → S1 donde T = ∅ y T esfinito


Observación 2.1.6. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia. Consideremos el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

donde Π : R→ S1 es la proyección canónica y constrúyase la función Trozo Fundamental Asociadaf : R→ R de f . Supongamos también que T = ∅.(i) f puede ser continua en todo el conjunto T ;

Figuras 2.17 Función en la circunferencia y su función Trozo Fundamental asociada continua ensu conjunto T = ∅, |T | = 1

(ii) f tiene puntos de discontinuidad simples en T ; en este caso elegimos ǫ > 0 de tal forma que alconstruir el nuevo conjunto

T ∗ = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argRǫ(f Π(t)) ∈ 2πǫ, 2πǫ+ 2π

ahora f no tenga discontinuidades en T ∗, esto es, f es continua en T ∗ (esto es posible porque seelije una nueva Rama de Keener inicial para la construcción de f).


Figuras 2.18 Función en la circunferencia, su función Trozo Fundamental asociada discontinua enalgunos puntos del conjunto T = ∅ y su función Trozo Fundamental asociada continua en el

nuevo conjunto T ∗


De acuerdo a lo expuesto en la observación 2.1.6 se deduce que siempre es posible considerarfunciones en la circunferencia que no tengan discontinuidades en los bordes del cuadrado unitariocociente homeomorfo al toro, por lo que a partir de este momento y sin pérdida de generalidad parael presente trabajo sólo consideraremos funciones en la circunferencia f : S1 → S1 tal que su funcióntrozo fundamental asociada f : R→ R sea continua en el conjunto T = t∗ ∈ (0, 1)| lim

t→t−∗

argR0(f

Π(t)) ∈ 0, 2π donde Π : R→ S1 es la proyección canónica (siempre y cuando T = ∅).

Definición 2.1.13. (Grado de una Función en la Circunferencia)Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia y T = t∗ ∈ (0, 1)| lim

t→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈

0, 2π. Si T = ∅ ó T = ∅ y finito entonces se define el Grado de f (en S1) se define como elúnico k = k(f) ∈ Z tal que k − 1 < lim

t→1−f(t) − f(0) ≤ k (si es que existe lim

t→1−f(t) ∈ R), donde

f : [0, 1)→ R es la función trozo fundamental asociada.

Figuras 2.19 Función en la circunferencia de grado k(f) = 1

Proposición 2.1.13. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia tal que elconjunto T = t∗ ∈ (0, 1)| lim

t→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π es finito o vacío. Entonces el

siguiente diagrama conmuta:


S1 S1

RRRR[0,1)f~

f

P P

Es decir, Π f = f Π donde f : [0, 1)→ R es la función trozo fundamental asociadade f y Π : R→ S1 es la proyección canónica.

Demostración. Sea t ∈ [0, 1) cualquiera.Caso 1) Si T = ∅ entonces

(Π f)(t) = Π(f(t)) = Π( 12π argR0(f Π)(t)) = eargR0(fΠ(t))i = (f Π)(t).

Caso 2) Si T = ∅ podemos escribir T = tii∈N,i≤n ⊂ [0, 1) para algún n ∈ N. Si eligimos la ramade Keener Ri,t ⊂ R con i ∈ N, i ≤ n+ 1 de la forma adecuada se sigue que

(Π f)(t) = Π(f(t)) = Π( 12π argRi,t(f Π)(t)) = e

argRi,t (fΠ(t))i = (f Π)(t).

Proposición 2.1.14. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia y supón-gase que el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

es finito o vacío. Si µ ∈ Z esta fijo definimos la función F : R → R, F = f (1R − []Ent) + []Entµ donde f : [0, 1) → R es la función trozo fundamental asociada,1R : R → R es la función identidad en R y []Ent : R → Z es la función parte entera.Entonces

(i) F es un levantamiento para f ,(ii) F (0) ∈ [0, 1).

Demostración. (i) Para demostrar que F es levantamiento se prueban dos condiciones:P.d. F (t+ 1) = F (t) + µ para cualquier t ∈ R.Sea t ∈ R. Entonces

F (t+ 1) = f((1R − []Ent)(t+ 1)) + [t+ 1]Entµ = f(t+ 1− [t+ 1]Ent) + ([t]Ent + 1)µ

= f(t− [t]Ent) + ([t]Entµ+ µ) = (f (1R − []Ent)(t) + [t]Entµ) + µ = F (t) + µ.

P.d. Π F = f Π.Sea t ∈ R y hágase α = 1R − []Ent)(t) = t− [t]Ent ∈ [0, 1). Entonces:


(Π F )(t) = Π(f(α) + [t]Entµ) = Π(f(α)) = (Π f)(α) = (f Π)(α) = f(Π(α)) =f(Π(α+ [t]Ent)) = f(Π(t) = (f Π)(t).

(ii) Inmediata, pues

F (0) = f((1R − []Ent)(0)) + [0]Entµ = f(0) = 12π arg[0,2π)(f Π)(0) ∈ [0, 1).

Definición 2.1.14. (Levantamientos de Keener y Tipo Keener para una Función de la Circun-ferencia)Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia. Supóngase que el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

es finito o vacío y constrúyase la función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R. Sea tambiénk = k(f) ∈ Z el grado de f (en S1) y consideremos las funciones 1R : R→ R (función identidad enR) y []Ent : R→ Z (función parte entera).

(i) El Levantamiento Representación Principal de Keener para f es la función

F : R→ R, F (t) = f (1R − []Ent) + []Entk.

(ii) Se dice que F : R→ R es un Levantamiento de Keener para f si y sólo si F es un levantamientopara f tal que F = F +λ para algún λ ∈ Z, donde F : R→ R es el Levantamiento RepresentaciónPrincipal de Keener para f .

(iii) El levantamiento

F : R→ R, F = f (1R − []Ent) + []Entµ

para algún µ ∈ Z es llamado Levantamiento Tipo Keener (para f) de tamaño µ.

Observación 2.1.7. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado k = k(f) ∈ Z.Supóngase que el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

es finito o vacío y constrúyase la función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R. Entonces ellevantamiento tipo Keener de tamaño k para f es precisamente el levantamiento RepresentaciónPrincipal de Keener F : R→ R para f.


0Figuras 2.20 Función en la circunfererencia con su función trozo fundamental asociada y su

levantamiento principal de Keener.


Figuras 2.21 Levantamiento tipo Keener de tamaño −2 para la función de la circunferencia de lasfiguras 2.20.


Proposición 2.1.15. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de gradok = k(f) ∈ Z. Supóngase que el conjunto T = t∗ ∈ (0, 1)| lim

t→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈

0, 2π es finito o vacío, constrúyase la función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→R y consideremos las funciones 1R : R → R (función identidad en R) y []Ent : R → Z(función parte entera). Ahora construyamos al levantamiento Representación Principalde Keener F : R→ R para f .

(i) F |[0,1) = f .(ii) Sea F : R → R un levantamiento de Keener para f . Si F = F + λ con λ ∈ Z

entonces F |[0,1) = f + λ.(iii) Sea G : R → R un levantamiento tipo Keener de tamaño µ ∈ Z. Entonces

G|[0,1) = f .

Demostración. Recordemos que F : R → R, F (t) = f (1R − []Ent) + []Entk y G = f (1R −[]Ent) + []Entµ.(i) Sea t ∈ [0, 1) cualquiera. Luego

F (t) = f(t− [t]Ent) + [t]Entk = f(t− 0) + (0)k = f(t).

(ii) Inmediata, pues

F |[0,1) = (F + λ)|[0,1) = F |[0,1) + λ = f + λ.

(iii) Sea t ∈ [0, 1) cualquiera. Luego

G(t) = f(t− [t]Ent) + [t]Entµ = f(t− 0) + (0)µ = f(t).

Lema 2.1.4. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y constrúyase lafunción trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R.

(i) Si existen t1, t2 ∈ [0, 1) con t1 = t2 tales que f(t1)− f(t2) ∈ Z entonces f no esinyectiva.

(ii) Si f es inyectiva entonces f(t1)− f(t2) /∈ Z para cualesquiera t1, t2 ∈ [0, 1) talesque t1 = t2.

Demostración.(i) Por hipótesis x = Π(t1), y = Π(t2) ∈ S1 son puntos tales que x = y (porque t1 − t2 /∈ Z) yademás

f(x) = f(Π(t1)) = Π(f(t1)) = Π(f(t2)) = f(Π(t2)) = f(y).

Esto implica que f no debe ser inyectiva.(ii) Inmediata por el inciso (i) de este lema.


Figuras 2.22 Función No Inyectiva en la Circunferencia y su Función Trozo Fundamental Asociada

Lema 2.1.5. Sea f : S1 → S1 una función inyectiva en la circunferencia. Consid-eremos el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

donde Π : R→ S1 es la proyección canónica y constrúyase la función Trozo Funda-mental Asociada f : R→ R de f . Si |T | = n ∈ N ∪ 0 entonces n ∈ 0, 1.

Demostración. Supóngase que n ≥ 2; entonces podemos escribir T = tii∈N,i≤n ⊂ [0, 1) yademás existen al menos t1, t2 ∈ T con t1 < t2. La demostración se dividirá en dos partes:

Parte 1) limt→t−

1

argR0(f Π(t)) = 2π.

Luego

f(t1) = limt→t1

f(t) = 12π lim

t→t−1

argR1,t(f Π)(t) = 12π lim

t→t−1

argR0(f Π)(t) = 1 (pues f es continua en

T ).


La siguiente Rama de Keener es R2,t = R1 = [2π, 4π) para t ∈ [t1, t2).Caso (a) lim

t→t−2


Así,

f(t2) = limt→t2

f(t) = 12π lim

t→t−2


t→t−2

argR1(f Π)(t)

= 12π lim

t→t−2

(argR0(f Π)(t) + 2π) = 2 (pues f es continua en T ).

Entonces

f(Π(t1)) = Π(f(t1)) = Π(1) = Π(2) = Π(f(t2)) = f(Π(t2)),

y como f es inyectiva entonces Π(t1) = Π(t2) ⇔ t1 = t2 + µ con µ ∈ Z. Pero como t1, t2 ∈ [0, 1)entonces |t2 − t1| = |µ| < 1 =⇒ µ = 0, y así t1 = t2!Caso (b) lim

t→t−2

argR0(f Π(t)) = 0.

Así,

f(t2) = limt→t2

f(t) = 12π lim

t→t−2


t→t−2

argR1(f Π)(t)

= 12π lim

t→t−2

(argR0(f Π)(t) + 2π) = 1 (pues f es continua en T ).

Entonces

f(Π(t1)) = Π(f(t1)) = Π(1) = Π(f(t2)) = f(Π(t2)),

y como f es inyectiva entonces Π(t1) = Π(t2) ⇔ t1 = t2 + µ con µ ∈ Z. Pero como t1, t2 ∈ [0, 1)entonces |t2 − t1| = |µ| < 1 =⇒ µ = 0, y así t1 = t2!

Parte 2) limt→t−

1

argR0(f Π(t)) = 0.

Luego

f(t1) = limt→t1

f(t) = 12π lim

t→t−1


t→t−1

argR0(f Π)(t) = 0 (pues f es continua en

T ).

La siguiente Rama de Keener es R2,t = R−1 = [−2π, 0) para t ∈ [t1, t2).Caso (a) lim

t→t−2


Así,

f(t2) = limt→t2

f(t) = 12π lim

t→t−2


t→t−2

argR−1(f Π)(t)

= 12π lim

t→t−2

(argR0(f Π)(t)− 2π) = 0 (pues f es continua en T ).

Entonces

f(Π(t1)) = Π(f(t1)) = Π(0) = Π(f(t2)) = f(Π(t2)),

y como f es inyectiva entonces Π(t1) = Π(t2) ⇔ t1 = t2 + µ con µ ∈ Z. Pero como t1, t2 ∈ [0, 1)entonces |t2 − t1| = |µ| < 1 =⇒ µ = 0, y así t1 = t2!Caso (b) lim

t→t−2

argR0(f Π(t)) = 0.

Así,


f(t2) = limt→t2

f(t) = 12π lim

t→t−2


t→t−2

argR−1(f Π)(t)

= 12π lim

t→t−2

(argR0(f Π)(t)− 2π) = −1 (pues f es continua en T ).

Entonces

f(Π(t1)) = Π(f(t1)) = Π(1) = Π(f(t2)) = f(Π(t2)),

y como f es inyectiva entonces Π(t1) = Π(t2) ⇔ t1 = t2 + µ con µ ∈ Z. Pero como t1, t2 ∈ [0, 1)entonces |t2 − t1| = |µ| < 1 =⇒ µ = 0, y así t1 = t2!

Como el suponer que n ≥ 2 siempre nos lleva a una contradicción el resultado queda demostrado.

Figuras 2.23 Función Inyectiva en la Circunferencia y su Función Trozo Fundamental Asociadadonde n = 0.


Figuras 2.24 Función Inyectiva en la Circunferencia y su Función Trozo Fundamental Asociadadonde n = 1.

Observación 2.1.8. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia.Supóngase que f es continua en x ∈ S1 (es decir, lim

y→xf(y) = f(x)) y tómese el único s ∈ Π−1(y)∩

[0, 1).(a) Cuando x = Π(0) entonces s ∈ (0, 1) y así existe el límite lim

t→s(f Π) (t) ∈ S1 y más aún

limt→s

(f Π) (t) = limt→s−

(f Π) (t) = limt→s+

(f Π) (t) = f(x).

(b) Cuando x = Π(0) entonces s = 0 y así existen los límites limt→0+

(f Π) (t), limt→1−

(f Π) (t) ∈ S1

y más aún

limt→0+

(f Π) (t) = limt→1−

(f Π) (t) = (f Π) (0).


Observación 2.1.9. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia tal que

x ∈ S1|f tiene una discontinuidad simple en x = ∅.

Por lo cual existe (al menos) y ∈ S1 tal que y ∈ x ∈ S1|f tiene una discontinuidad simple en xy tómese el único s ∈ Π−1(y) ∩ [0, 1).(a) Cuando y = Π(0) entonces s ∈ (0, 1) y así existen los límites lim

t→s−(f Π) (t), lim

t→s+(f Π) (t) ∈

S1, los cuales cumplen una de las siguientes condiciones:

limt→s−


(f Π) (t), o bien,

limt→s



(f Π) (t) pero limt→s

(f Π) (t) = f(y).

(b) Cuando y = Π(0) entonces s = 0 y así existen los límites limt→0+

(f Π) (t), limt→1−

(f Π) (t) ∈ S1,

los cuales cumplen una de las siguientes condiciones:

limt→0+

(f Π) (t) = limt→1−

(f Π) (t), o bien,

x = limt→0+

(f Π) (t) = limt→1−

(f Π) (t) ∈ S1 pero x = f(Π(0)).

Definición 2.1.15. (La Clase de Keener en la Circunferencia)Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia.(i) Se dice que f es una Función de la Clase de Keener si y sólo si satisface las siguientes condiciones:

(K1) f es inyectiva (en S1);

(Con lo cual el conjunto T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π satisface

T = ∅ ó T = ∅, |T | = 1);

(K2) Definamos el conjunto

Disc(f) = x ∈ S1|f tiene una discontinuidad simple en x.

Entonces Disc(f) = ∅ (es decir, f es continua) ó Disc(f) = ∅ y es finito (es decir, ftiene a lo más un número finito de discontinuidades simples);

(K3) Constrúyase la función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R. Entoncesexisten los límites lim

t→s−f(t) ∈ R para s ∈ (0, 1] y los límites lim

t→s+f(t) ∈ R para s ∈ [0, 1).

(ii) La Clase de Keener en la Circunferencia es

K(S1) =< f : S1 → S1|f es de la Clase de Keener>.


Figuras 2.25 Ejemplos de una Función de la Clase de Keener y su Función Trozo FundamentalAsociada.


Figuras 2.26 Otro ejemplo de Funciones de la Clase de Keener y sus Funciones TrozoFundamental Asociadas.

En la Clase de Keener también podemos encontrar funciones en la circunferencia inyectivas ycontinuas, o los homeomorfismos en la circunferencia.


Figuras 2.27 Un ejemplo más de una Función de la Clase de Keener y su Función TrozoFundamental Asociada.

Observación 2.1.10. Sea f ∈ K(S1) y constrúyase la función trozo fundamental asociada f :R→ R para f .(i) Como Π : R→ S1 es una función continua entonces existen los límites

limt→L−

(f Π) (t), limt→L+

(f Π) (t) ∈ S1 para cualquier L ∈ R.

(ii) Si limt→s+

f(t) = f(s) para algún s ∈ [0, 1) entonces

limt→s+


(Π f

)(t) = Π

(limt→s+

f(t)

)=(Π f

)(s) = (f Π) (s).

(iii) Si limt→s−

f(t) = f(s) para algún s ∈ (0, 1) entonces

limt→s−


(Π f

)(t) = Π

(limt→s−

f(t)

)=(Π f

)(s) = (f Π) (s).


Observación 2.1.11. Sea f ∈ K(S1). Constrúyase la función trozo fundamental asociada f :R→ R para f y supóngase que

Disc(f)x ∈ S1|f tiene una discontinuidad simple en x = ∅.

Por lo cual existe (al menos) y ∈ S1 tal que y ∈ x ∈ S1|f tiene una discontinuidad simple en xy tómese el único s ∈ Π−1(y) ∩ [0, 1).(a) Para el caso en que y = Π(0) tenemos que s ∈ (0, 1) y así pueden ocurrir dos cosas:1) Si lim

t→s−(f Π) (t) = lim

t→s+(f Π) (t) entonces

Π

(limt→s−

f(t)

)= lim

t→s−

(Π f

)(t) = lim

t→s+

(Π f

)(t) = Π

(limt→s+

f(t)

)

=⇒ limt→s−

f(t)− limt→s+

f(t) /∈ Z,

y en particular esto implica que limt→s−

f(t) = limt→s+

f(t) (es decir, f tiene una discontinuidad simple

en t = s).2) Si lim

t→s(f Π) (t) = f(y) entonces

Π(limt→s

f(t))= lim

t→s

(Π f

)(t) = f(y) = f(Π(s)) = Π

(f(s)

)

=⇒ limt→s

f(t)− f(s) /∈ Z,

y en particular esto implica que limt→s

f(t) = f(s) (es decir, f tiene una discontinuidad simple en

t = s).(b) Para el caso en que y = Π(0) tenemos que s = 0 y así pueden ocurrir dos cosas:1) Si lim

t→0+(f Π) (t) = lim

t→1−(f Π) (t) entonces

Π

(limt→0+

f(t)

)= lim

t→0+

(Π f

)(t) = lim

t→1−

(Π f

)(t) = Π

(limt→1−

f(t)

)

=⇒ limt→0+

f(t)− limt→1−

f(t) /∈ Z,

y en particular esto implica que limt→0+

f(t) = limt→1−

f(t).

2) Si limt→0+

(f Π) (t) = limt→1−

(f Π) (t) = x ∈ S1 pero x = f(Π(0)) entonces

Π

(limt→0+

f(t)

)= Π

(limt→1−

f(t)

) = f(Π(0)) = Π

(f(0)

)

=⇒ limt→0+

f(t)− f(0) /∈ Z, limt→1−

f(t)− f(0) /∈ Z y(

limt→0+

f(t)

)≡(

limt→1−

f(t)

)mod(1),

y en particular esto implica que limt→0+

f(t) = f(0) y (es decir, f tiene una discontinuidad simple por

la derecha en t = 0).

Proposición 2.1.16. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de gradok = k(f) ∈ Z y tómese un levantamiento de Keener F : R→ R para f . Entonces:

(i) F (t+ 1) = F (t) + k para cualquier t ∈ R;(ii) F ∗ : R→ R es un levantamiento de Keener para f si y sólo si F = F ∗+µ para

algún µ ∈ Z.


Demostración. Consideremos el levantamiento Representación Principal F : R→ R para f .(i) Tómese t ∈ R cualquiera. Como F = F + µ para algún µ ∈ Z (por definición) tenemos que

F (t+ 1) = F (t+ 1) + µ = f(t+ 1− [t+ 1]Ent) + [t+ 1]Entk + µ =

f(t− [t]Ent) + [t]Entk + k + µ = (F (t) + µ) + k = F (t) + k.

(ii) =⇒ ) Podemos escribir F = F + µ1, F∗ = F + µ2 para algunas µ1, µ2 ∈ Z (pues F y F ∗ son

levantamientos de Keener). Si hacemos µ = µ1 − µ2 ∈ Z entonces

F = F + µ1 = (F + µ2) + µ = F ∗ + µ.

⇐= ) Como F es un levantamiento de Keener entonces F = F + µ′ para alguna µ′ ∈ Z. EntoncesF ∗ : R→ R es una función que cumple las siguientes condiciones:a) F ∗ = F −µ, lo cual significa que F ∗ es un levantamiento para f (por la proposición 2.1.7 (ii));b) Si µ0 = µ′ − µ ∈ Z podemos escribir F ∗ = (F + µ′)− µ = F + µ0.La definición 2.1.14 (ii) nos permite concluir que F ∗ es un levantamiento de Keener.

Proposición 2.1.17. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia.(i) El Levantamiento Representación Principal F : R → R para F es el único

levantamiento de Keener para f tal que F (0) ∈ [0, 1).(ii) Sea F0 ∈ R y supóngase que existe un levantamiento de Keener F : R→ R para

f tal que F (0) = F0. Entonces F es único.

Demostración. (i) Supongamos que G : R → R es otro levantamiento de Keener para f talque G(0) ∈ [0, 1). Por definición podemos escribir F = G + µ para algún µ ∈ Z, de donde

|µ| =∣∣∣F (0)−G(0)

∣∣∣ < 1 =⇒ µ = 0. Pero esto significa que F (0) = G(0).(ii) Supongamos que G : R → R es otro levantamiento de Keener para f tal que G(0) = F0. Porla proposición 2.1.16 sabemos que G = F + µ para algún µ ∈ Z, de donde |µ| = |F (0)−G(0)| =|F0 − F0| = 0 =⇒ µ = 0. Y esto significa que F = G.


Figuras 2.28 Función de la Clase de Keener, su función trozo fundamental asociada y sulevantamiento representación principal de Keener.


Proposición 2.1.18. Sea f ∈ S1 → S1 una función inyectiva en la circunferenciay considerando el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

construyamos su función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R.(i) Si T = ∅ entonces Ran(f) ⊆ [0, 1).(ii) Supóngase que T = ∅ con |T | = 1. Si I1, I2 son los intervalos de Keener para

f entonces ocurre una de las siguientes afirmaciones:(a) f(I1) ⊆ [0, 1), f(I2) ⊆ [1, 2) y por tanto Ran(f) ⊆ [0, 2);(b) f(I1) ⊆ [0, 1), f(I2) ⊆ [−1, 0) y por tanto Ran(f) ⊆ [−1, 1).

Demostración.(i) Cuando T = ∅ entonces f = 1

2π argR0(f Π). Por consecuencia 0 ≤ f(t) < 1 para cualquier

t ∈ [0, 1) y así Ran(f) = f([0, 1)) ⊆ [0, 1).

(ii) Sabemos que podemos escribir T = t1 para algún t1 ∈ [0, 1) y además I1 ∪ I2 = [0, 1) yI1 ∩ I2 = ∅.Existen dos posibilidades:Caso a) Si lim

t→t−1

argR0(f Π(t)) = 2π entonces

f(t) =

12π argR0

(f Π(t)) para t ∈ I112π argR1

(f Π(t)) para t ∈ I2

por lo cual

0 ≤ f(t) < 1 para t ∈ I1,

1 ≤ f(t) < 2 para t ∈ I2.

Caso b) Si limt→t−

1

argR0(f Π(t)) = 0 entonces

f(t) =

12π argR0

(f Π(t)) para t ∈ I112π argR−1(f Π(t)) para t ∈ I2

por lo cual

0 ≤ f(t) < 1 para t ∈ I1,

−1 ≤ f(t) < 0 para t ∈ I2.

En virtud de los casos anteriores se concluye el resultado.

Corolario 2.1.1. Sea f ∈ S1 → S1 una función inyectiva en la circunferencia yconsiderando el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π


construyamos su función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R.(i) Si T = ∅ entonces

0 <∣∣∣f(t)− f(s)

∣∣∣ < 1 para cualesquiera t, s ∈ [0, 1) con t = s.

(ii) Supóngase que T = ∅ con |T | = 1. Si I1, I2 son los intervalos de Keener paraf entonces

0 <∣∣∣f(t)− f(s)

∣∣∣ < 2 para cualesquiera t, s ∈ [0, 1) con t = s,

y más aún,

0 <∣∣∣f(t)− f(s)

∣∣∣ < 1 para cualesquiera t, s ∈ I1 ó t, s ∈ I2 donde t = s.

Demostración. Sean t, s ∈ [0, 1) cualesquiera con t = s.(i) Si T = ∅ entonces f(t), f(s) ∈ Ran(f) ⊆ [0, 1) de donde −1 < f(t) − f(s) < 1 y de aquí sesigue el resultado.(ii) Cuando T = ∅ con |T | = 1 entonces f(t), f(s) ∈ Ran(f) ⊆ [0, 2) ó bien f(t), f(s) ∈ Ran(f) ⊆[−1, 1); en ambos casos tenemos que −2 < f(t)− f(s) < 2.Si t, s ∈ I1 entonces f(t), f(s) ∈ f(I1) ⊆ [0, 1) y así −1 < f(t) − f(s) < 1; para el caso de quet, s ∈ I2 entonces f(t), f(s) ∈ f(I2) y como f(I2) ⊆ [1, 2) ó f(I2) ⊆ [−1, 0) (por la proposición2.1.18 ) tenemos −1 < f(t)− f(s) < 1.

Proposición 2.1.19. Sea f ∈ K(S1) y considerando el conjunto

T = t∗ ∈ (0, 1)| limt→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π

construyamos su función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R.(i) Si f(0) = 0 entonces T = ∅.(ii) Si T = ∅ entonces f(0) > 0.

Demostración.(i) Si T = ∅ entonces existe t1 ∈ (0, 1) tal que lim

t→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π. Esto implica que

f(t∗) =

0, si limt→t−∗

argR0(f Π(t)) = 0

1, si limt→t−∗

argR0(f Π(t)) = 2π

Por lo cual

f(Π(0)) = Π(f(0)) = Π(0) = Π(f(t∗)) = f(Π(t∗))=⇒ Π(0) = Π(t∗) (pues f es inyectiva)⇐⇒ t∗ ≡ 0mod(1), es decir, t∗ ∈ Z!


De donde se concluye el resultado.

(ii) Sabemos que f(0) ≥ 0 y por el inciso (i) de esta proposición debe ser f(0) = 0, de donde sesigue el resultado.

Proposición 2.1.20. Sea f : S1 → S1 una función inyectiva en la circunferencia.Entonces su función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R es inyectiva, y más aún,es monótona en sentido estricto por tramos (es decir, es monótona en sentido estrictoen cada uno de los (sub)intervalos del [0, 1) donde es continua la función f).

Demostración. Dado que cualquier función inyectiva y continua en un intervalo de R es monó-tona en sentido estricto dentro del intervalo considerado basta con probar que f es inyectiva.Consideremos el conjunto T = t∗ ∈ (0, 1)| lim

t→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π donde Π : R→ S1 es la

proyección canónica y sean s, t ∈ [0, 1) tales que existen f(s), f(t) y donde f(s) = f(t). P.d. s = t.Caso (a) Si T = ∅ entonces

argR0(f Π(t)) = 2πf(t) = 2πf(s) = argR0

(f Π(s)) ∈ [0, 2π).

Así que

f(Π(s)) = eargR0(fΠ(s))i = eargR0 (fΠ(t))i = f(Π(t))=⇒ Π(t) = Π(s) (pues f es inyectiva)⇔ s = t+ µ para algún µ ∈ Z.

Pero |s− t| = |µ| < 1 (porque s, t ∈ [0, 1))=⇒ µ = 0, y así s = t.Caso (b) Supóngase que |T | = 1 por lo que escribimos T = t1.Si s, t ∈ Ij para j ∈ 1, 2 fijo entonces

f(Π(t)) = eargRj,t (fΠ(t))i = e2πf(t)i = e2πf(s)i = e

argRj,t (fΠ(s))i = f(Π(s))=⇒ Π(t) = Π(s) (pues f es inyectiva)⇔ s = t+ µ para algún µ ∈ Z.

Pero |s− t| = |µ| < 1 (porque s, t ∈ [0, 1))=⇒ µ = 0, y así s = t.Ahora sólo queda el caso en el que los puntos s y t están en intervalos distintos de Keener. Sinpérdida de generalidad, en el caso de que t ∈ I1 y s ∈ I2 entonces

f(t) = 12π argR0

(f Π(t)), f(t) =

12π argR1

(f Π(s)), si limt→t−

1

argR0(f Π(s)) = 2π

12π argR−1

(f Π(s)), si limt→t−

1

argR0(f Π(s)) = 0

Nótese que argRj(f Π(t)) = argR0

(f Π(t)) + 2πj para j ∈ −1, 1, por lo cual

f(Π(s)) = Π(f(s)) = Π( 12π argRj(f Π(s))) = Π( 12π argR0

(f Π(t)) + j) = Π(f(t)) = f(Π(t))=⇒ Π(t) = Π(s) (pues f es inyectiva)⇔ s = t+ µ para algún µ ∈ Z.

Pero |s− t| = |µ| < 1 (porque s, t ∈ [0, 1))=⇒ µ = 0, y así s = t.


Figuras 2.29 Función Inyectiva en la circunferencia con función trozo fundamental asociada nomonótona en sentido estricto del mismo tipo en todos los subintervalos

Corolario 2.1.2. Sea f : S1 → S1 una función inyectiva en la circunferencia degrado k = k(f) ∈ Z y con función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R. Supóngaseque f es monótona en sentido estricto del mismo tipo en todos los (sub)intervalos del[0, 1) donde es continua.

(i) Si k > 0 entonces f es estrictamente creciente en [0, 1),(ii) Si k < 0 entonces f es estrictamente decreciente en [0, 1).

Demostración.(i) Si k > 0 entonces para ǫ = k

2 > 0 existe δ > 0 tal que si t ∈ (1− δ, 1) con t ∈ [0, 1) entonces

f(t) > f(0) + k − ǫ = f(0) + k2 > f(0).

Y como f es monótona en sentido estricto entonces f es estrictamente creciente.(ii) Si k < 0 entonces para ǫ = −k

2 > 0 existe δ > 0 tal que si t ∈ (1− δ, 1) con t ∈ [0, 1) entonces

f(t) < f(0) + k + ǫ = f(0) + k2 < f(0).

Y como f es monótona en sentido estricto del mismo tipo entonces f es estrictamente creciente.


Lema 2.1.6. Sea f ∈ K(S1) con grado k(f) ∈ Z y con función trozo fundamentalasociada f : [0, 1)→ R.

(i) Si limt→1−

f(t) = f(0)− 1 entonces k(f) = −1.(ii) Supóngase que T = ∅ donde |T | = 1 y consideremos los intervalos de Keener

I1, I2 para f . Entonces(a) f(I1) ∩ (f(I2) + 1) = ∅ ó f(I1) ∩ (f(I2)− 1) = ∅,(b) Si lim

t→t−1

argR0(f Π(s)) = 2π y 2 ≥ lim

t→1−f(t) > f(0) + 1 entonces k(f) = 2.

Demostración. (i) Inmediata de la definición del grado de una función porque f(0) − 2 <

limt→1−

f(t) = f(0)− 1.

(ii) Por la proposición 2.1.18 sabemos que ocurre una de las siguientes afirmaciones:

f(I1) ⊆ [0, 1), f(I2) ⊆ [1, 2) y por tanto Ran(f) ⊆ [0, 2), o bien,f(I1) ⊆ [0, 1), f(I2) ⊆ [−1, 0) y por tanto Ran(f) ⊆ [−1, 1).

(a) Para el caso en que Ran(f) ⊆ [0, 2), si f(I1)∩ (f(I2)− 1) = ∅ entonces existiría s ∈ R tal ques ∈ f(I1) y s ∈ f(I2)− 1 de donde

Existen t∗ ∈ I1, t∗∗ ∈ I2 tales que f(t∗) = f(t∗∗)− 1.

Y así

f(Π(t∗)) = Π(f(t∗)) = Π(f(t∗∗)− 1) = Π(f(t∗∗)) = f(Π(t∗∗))=⇒ Π(t∗) = Π(t∗∗) (pues f es inyectiva)⇐⇒ t∗ ≡ t∗∗mod(1) con t∗ ∈ I1, t∗∗ ∈ I2

=⇒ t∗ = t∗∗! (pues I1 ∩ I2 = ∅)

Para el caso en que Ran(f) ⊆ [−1, 1), si f(I1) ∩ (f(I2) + 1) = ∅ entonces existiría s ∈ R tal ques ∈ f(I1) y s ∈ f(I2) + 1 de donde

Existen t∗ ∈ I1, t∗∗ ∈ I2 tales que f(t∗) = f(t∗∗) + 1.

Y así

f(Π(t∗)) = Π(f(t∗)) = Π(f(t∗∗) + 1) = Π(f(t∗∗)) = f(Π(t∗∗))=⇒ Π(t∗) = Π(t∗∗) (pues f es inyectiva)⇐⇒ t∗ ≡ t∗∗mod(1) con t∗ ∈ I1, t∗∗ ∈ I2

=⇒ t∗ = t∗∗! (pues I1 ∩ I2 = ∅)

De donde se sigue el resultado.

(b) Por la proposición 2.1.18 y como limt→t−

1

argR0(f Π(s)) = 2π debemos tener que Ran(f) ⊆ [0, 2).

Como 0 < f(0) (pues T = ∅) entonces

f(0) + 1 < limt→1−

f(t) ≤ 2 < f(0) + 2

y por la definición del grado se tiene k(f) = 2.


Figuras 2.30 Función de la Clase de Keener de grado −1.

Proposición 2.1.21. Sea f ∈ K(S1) con grado k = k(f) ∈ Z y con función trozofundamental asociada f : [0, 1)→ R. Entonces k(f) ∈ −1, 0, 1, 2.

Demostración.Consideremos el conjunto T = t∗ ∈ (0, 1)| lim

t→t−∗

argR0(f Π(t)) ∈ 0, 2π, el intervalo de Keener

I1 ⊆ [0, 1) y el intervalo de Keener I2 ⊂ [0, 1) (si es que existe).Sea L = lim

t→1−f(t) ∈ R. Entonces para cualquier ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para t ∈ (1− δ, 1) con

t > 0 tenemos∣∣∣f(t)− L

∣∣∣ < ǫ, o bien, L− ǫ < f(t) < ǫ+ L.

Supongamos ahora que k /∈ −1, 0, 1, 2.


Figuras 2.31 Función de la Clase de Keener de grado 2.

Parte 1) Consideremos que k < −1.Caso a) Cuando L < f(0) + k hacemos ǫ = f(0)+k−L

2 > 0. Entonces para δ > 0 adecuado y sit ∈ (1− δ, 1) con t > 0 se tendría que

f(t) < ǫ+ L ≤ f(0) + k < 1 + k ≤ −1.

Es decir,

f(t) /∈ [−1, 1) ∪ [0, 2) para cualquier t ∈ (1− δ, 1) con t > 0! (en virtud de la proposición 2.1.18 ).

Caso b) Cuando L = f(0) + k hacemos ǫ = −1−L2 > 0 (pues L ≤ f(0)− 2 < −1). Entonces para

δ > 0 adecuado y si t ∈ (1− δ, 1) con t > 0 se tendría que

f(t) < ǫ+ L = L−12 < −1.


Es decir,


Parte 2) Consideremos que k > 2.

Caso a) Cuando T = ∅ hacemos ǫ = L−(f(0)+k−1)2 > 0. Entonces para δ > 0 adecuado y si

t ∈ (1− δ, 1) con t > 0 se tiene que

f(t) > L− ǫ = L+f(0)+k−12 > f(0) + k − 1 ≥ f(0) + 1 ≥ f(0).

Y así tendríamos para t ∈ (1− δ, 1) con t > 0 que

1 = (f(0) + 1)− f(0) < f(t)− f(0) ≤∣∣∣f(0)− f(t)

∣∣∣ < 1!

Caso b) Cuando T = ∅ sabemos que 0 < f(0) < 1, y así definimos hacemos ǫ = L−(f(0)+k−1)2 > 0.

Entonces para δ > 0 adecuado y si t ∈ (1− δ, 1) con t > 0 se tendría que

f(t) > L− ǫ = L+f(0)+k−12 > f(0) + k − 1 ≥ f(0) + 2 > 2.

Es decir,


Como el suponer que k /∈ −1, 0, 1, 2 nos lleva a una contradicción entonces se concluye elresultado.

Observación 2.1.12. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia.(i) Considerando la función f2 : S1 → S1 entonces Dom(f2) = Dom(f) ∩Ran(f).(ii) Sea n ∈ N. Entonces Dom(fn+1) = Dom(f) ∩

(n∩

k=0Ran(fk)

).

Proposición 2.1.22. Sea µ ∈ R. Entonces la función

g : S1 → S1 → 12πRµ = [µ, µ+ 1), g(x) = 1

2π argRµ(x) para x ∈ S1

es continua.

Demostración. Tómese x ∈ S1 cualquiera. P.d. limy→x

g(y) = g(x).

Sea ǫ > 0 y hágase δ = 2πǫ > 0. Para y ∈ S1 se tiene que

d(x, y) = d(eargR0 (x), eargR0 (y)) =∣∣argR0

(x)− argR0(y)∣∣ .

(donde d : S1×S1 → R es la distancia en S1). Si y ∈ Bδ(x)∩S1 entonces∣∣argR0

(x)− argR0(y)∣∣ <

2πǫ y por lo tanto

=⇒ |g(x)− g(y)| =∣∣∣ 12π argRµ(x)− 1

2π argRµ(y)∣∣∣ =

∣∣∣argRµ(x)−argRµ (y)∣∣∣

2π =|argR0 (x)−argR0 (y)|

2π < ǫ.


Las iteraciones de funciones en la circunferencia son necesarias para observar la dinámica de susórbitas. Sin embargo, el trazo de estas funciones puede ser realmente difícil de acuerdo a laspropiedades de inyectividad y continuidad de la función original.


Figuras 2.32 Gráficas de una función en la circunferencia y de su segunda y tercer iterada.

Pero las iteraciones de funciones de la Clase de Keener mantienen las características de inyectividady continuidad por tramos de la función original de una forma idéntica.

Proposición 2.1.23. Sea f ∈ K(S1). Entonces la función f2 ∈ K(S1).

Demostración. Sea(i) Es obvio que f2 = f f es una función inyectiva.(ii) Nótese que

Disc(f2) = Disc(f) ∪ f−1(Disc(f)) donde f−1(Disc(f)) = x ∈ S1|f(x) ∈ Disc(f)

Si Disc(f) = ∅ entonces f−1(Disc(f)) = ∅ y por lo tanto Disc(f2) = ∅ ∪∅ = ∅.En el caso de que Disc(f) ⊆ S1 es finito no vacío y como f es inyectiva entonces f(x1) = f(x2)para x1, x2 ∈ Disc(f) tales que x1 = x2 y esto implica que el conjunto f−1(Disc(f)) es finito, detal suerte que Disc(f2) es finito (pues la unión de conjuntos finitos es finita).(iii) Para s ∈ (0, 1] tenemos que

limt→s−

f2(t) = limt→s−

12π argRµ

(f2 Π

)(t) = 1

2π limt→s−

argRµ(f Π)

(f(t)

)

= 12π argRµ

(limt→s−

(f Π)(f(t)

))donde µ ∈ −1, 0, 1

y como existen los límites limt→s−

f(t), limt→s−

(f Π) (t) ∈ R se sigue que existe el límite limt→s−

f2(t) ∈ R.Análogamente, para s ∈ [0, 1) tenemos que


limt→s+

f2(t) = limt→s+

12π argRλ

(f2 Π

)(t) = 1

2π limt→s+

argRλ(f Π)

(f(t)

)

= 12π argRλ

(limt→s+

(f Π)(f(t)

))donde λ ∈ −1, 0, 1

y como existen los límites limt→s+

f(t), limt→s+

(f Π) (t) ∈ R se sigue que existe el límite limt→s+

f2(t) ∈ R.

En virtud de los resultados (i), (ii) y (iii) el resultado queda demostrado.

Figuras 2.33 Gráficas de una función de la Clase de Keener y de su segunda iterada.


Corolario 2.1.3. Sea f ∈ K(S1) con grado k = k(f) ∈ Z y con función trozofundamental asociada f : [0, 1) → R. Entonces la función fn ∈ K(S1) para cualquiern ∈ N.

Demostración. Inmediata, a partir de la proposición 2.1.23 y usando inducción sobre n.

Figuras 2.34 Gráfica de la tercer iterada de la función de la Clase de Keener en las figuras 2.33.

Proposición 2.1.24. Consideremos las funciones Π|[0,1) : [0, 1) → S1 proyeccióncanónica restringida y g : S1 → [0, 1), g(z) = 1

2π argR0(z) para z ∈ S1.

(i) Π|[0,1) y g son funciones inversas.(ii) Si f : S1 → S1 es una función de la circunferencia y f : [0, 1)→ R es su función

trozo fundamental asociada entonces

f = g f Π|[0,1), o bien, f = Π|[0,1) f g.

Demostración.(i) Si x ∈ S1 y hacemos t = g(x) ∈ [0, 1) entonces

Π|[0,1) g(x) = Π|[0,1)(g(x)) = Π|[0,1)( 12π argR0(x)) = eargR0(x)i = x.

Si ahora tomamos t ∈ [0, 1) entonces

g Π|[0,1)(t) = g(Π|[0,1)(t)) = g(e2πti) = 12π argR0

(e2πti) = 12π (2πt) = t


(esto último ya que argR0(e2πti) = arctan(tan 2πt) = 2πt ∈ [0, 2π)).

Por lo tanto y ya que Π|[0,1) g = 1S1 y g Π|[0,1) = 1[0,1) (donde 1S1 : S1 → S1 y 1[0,1) : [0, 1)→

[0, 1) son las funciones identidad en S1 y en [0, 1), respectivamente) se concluye que Π|[0,1) y g sonfunciones inversas.

(ii) Inmediata, pues f(t) = 12π argR0

(f Π(t)) = g(f Π(t)) = g f Π(t) = g f Π|[0,1)(t) paracualquier t ∈ [0, 1).

Definición 2.1.16. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y tómese n ∈ N fijo. Con-struyamos las funciones trozo fundamental asociadas fn, fn+1 : [0, 1)→ R. La Función Diferencia(Entera) entre Ramas asociada a fn y fn+1 es

Dif(fn, fn+1) : [0, 1)→ Z,Dif(fn, fn+1)(t) = µ1 − µ2

para t ∈ [0, 1) donde:

(i) Si Ii(fn)i∈N,i≤r+1 ⊂ [0, 1) son los intervalos de Keener y Ri,s(fn)i∈N,i≤r+1 sonlas ramas de Keener para la construcción de fn con algún r ∈ N entonces µ1 ∈ Z es talque (1R− []Ent) fn(t) ∈ Ij(fn) y Rj,s(fn) = Rµ1 para s ∈ Ij(fn) (con el j ∈ N, j ≤ radecuado);

(ii) Si Ii(fn+1)i∈N,i≤m+1 ⊂ [0, 1) son los intervalos de Keener y Ri,s(fn)i∈N,i≤m+1

son las ramas de Keener para la construcción de fn+1 con algún m ∈ N entonces µ2 ∈ Zes tal que t ∈ Ik(f

n+1) y Rk,s(fn+1) = Rµ2 para s ∈ Ik(f

n+1) (con el k ∈ N, k ≤ radecuado).

Observación 2.1.13. (i) En la Clase de Keener a lo más existen dos ramas de Keener distintas(en virtud del lema 2.1.5 ).(ii) Sea f ∈ K(S1) y constrúyase la función Trozo Fundamental Asociada f : R → R de f .Entonces Dif(fn, fn+1)(t) ∈ −2,−1, 0, 1, 2 para cualquier t ∈ [0, 1) y n ∈ N.

Proposición 2.1.25. Sea f ∈ K(S1) una función de la circunferencia y f : [0, 1)→R su función trozo fundamental asociada. Entonces

f2 +Dif(f, f2) = f (1R − []Ent) f =(f (1R − []Ent)

)2

donde f2 : [0, 1) → R es la función trozo fundamental asociada a f2 ∈ K(S1),Dif(f, f2) : [0, 1)→ Z es la función diferencia entre ramas asociada a f y f2, 1R : R→R es la identidad en R y []Ent : R→ Z es la función parte entera.

Demostración. Sea t ∈ [0, 1). Luego:(i) Si Ii(f)i∈N,i≤r+1 ⊂ [0, 1) son los intervalos de Keener y Ri,s(f)i∈N,i≤r+1 ⊂ R son las ramasde Keener para la construcción de f con algún r ∈ N entonces µ1 ∈ Z es tal que (1R− []Ent) f(t) ∈Ij(f) y Rj,s(f) = Rµ1 para s ∈ Ij(f) (con el j ∈ N, j ≤ r adecuado);(ii) Si Ii(f2)i∈N,i≤m+1 ⊂ [0, 1) son los intervalos de Keener y Ri,s(f

2)i∈N,i≤m+1 ⊂ R son lasramas de Keener para la construcción de f2 con algún m ∈ N entonces µ2 ∈ Z es tal que t ∈ Ik(f

2)y Rk,s(f2) = Rµ2 para s ∈ Ik(f2) (con el k ∈ N, k ≤ r adecuado).Entonces


(f (1R − []Ent)

)2(t) = f (1R − []Ent) f(t− [t]Ent) = f (1R − []Ent) f(t) (pues [t]Ent = 0

porque t ∈ [0, 1))

= f (1R− []Ent)(f(t)

)= f

(f(t)−

[f(t)

]Ent

)= 1

2π argRµ1(f Π f(t)) = 1

2π argRµ1(f2 Π(t)).

Y como argRµ1(f2 Π(t)) = argRµ2

(argRµ1(f2 Π(t)) + 2π(µ1 − µ2) entonces

(f (1R − []Ent) f)(t) = 12π argRµ1

(f2 Π(t)) = 12π argRµ2

(f2 Π(t)) + (µ1 − µ2) =

f2(t) +Dif(f, f2)(t) = (f2 +Dif(f, f2))(t).

Proposición 2.1.26. Sea f ∈ K(S1) con f : [0, 1) → R su función trozo funda-mental asociada. Entonces

fn+1 +Dif(fn, fn+1) = fn (1R − []Ent) f para cualquier n ∈ N.

Demostración. Tómese n ∈ N fijo y sea t ∈ [0, 1). Si µ1, µ2 ∈ Z son tales que Rµ1 es la ramade Keener considerada en el valor t para la función fn+1 : S1 → S1 y Rµ2 es la rama de Keenerconsiderada en el valor (1R − []Ent) (f(t)) = f(t)− [f(t)]Ent ∈ [0, 1) para la función fn : S1 → S1

entonces(fn+1 +Dif(fn, fn+1)

)(t) = fn+1(t) +Dif(fn, fn+1)(t) =

12π argRµ1

(fn+1 Π(t)) +Dif(fn, fn+1)(t)

= 12π argRµ2

(fn Π(f(t))) = 12π argRµ2

(fn Π(f(t)− [f(t)]Ent))) = fn (1R − []Ent) f(t).

Lema 2.1.7. (Algunas propiedades de la función parte entera)Sea []Ent : R → Z la función parte entera y 1R : R → R la función identidad en R.

Entonces(i) []Ent(t+ µ) = []Ent(t) + µ para cualquier t ∈ R, µ ∈ Z,(ii) []Ent (1R − []Ent)(t) = 0 para cualquier t ∈ R,(iii) (1R − []Ent)

2 = 1R − []Ent,(iv) []2Ent = []Ent,(v) 1R − []Ent : R→ [0, 1) es una función periódica de periodo 1.

Demostración. Sea t ∈ R.(i) Tómese µ ∈ Z fijo. Luego []Ent(t) = [t]Ent ∈ Z es el único entero que satisface [t]Ent ≤ t <[t]Ent+1 y así [t]Ent+µ ∈ Z es el único entero tal que [t]Ent+µ ≤ t+µ < ([t]Ent+1) = ([t]Ent+µ)+1,por lo que debe ser []Ent(t+ µ) = [t+ µ]Ent = [t]Ent + µ = []Ent(t) + µ.(ii) []Ent (1R − []Ent)(t) = []Ent(t− [t]Ent) = [t− [t]Ent] = [t]Ent − [t]Ent = 0.(iii) (1R−[]Ent)

2(t) = (1R−[]Ent)(1R−[]Ent)(t) = (1R−[]Ent)(t−[t]Ent) = (t−[t]Ent)−[t−[t]Ent] =t− [t]Ent = (1R − []Ent)(t).(iv) []2Ent(t) = []Ent([t]Ent) = [0]Ent + [t]Ent = [t]Ent = []Ent(t).(v) (1R − []Ent)(t+ 1) = (t+ 1)− [t+ 1]Ent = t+ 1− ([t]Ent + 1) = t− [t]Ent = (1R − []Ent)(t).


Lema 2.1.8. Sea f : S1 → S1 una función de la circunferencia y f : [0, 1)→ R sufunción trozo fundamental asociada. Si 1R : R→ R es la identidad en R y []Ent : R→ Zes la función parte entera entonces

(i) f = f (1R − []Ent|[0,1)),(ii)

(f (1R − []Ent)

)n (1R − []Ent) f =

(f (1R − []Ent)

)n+1para cualquier

n ∈ N.

Demostración.(i) P.d. f = f (1R − []Ent|[0,1)).Sea t ∈ [0, 1). Entonces

f (1R − []Ent)(t) = f(t− [t]Ent) = f(t),

en virtud de que [t]Ent = 0, ya que 0 ≤ t < 1.

(ii) La demostración se efectuará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se cumple que

(f (1R − []Ent)

)1 (1R − []Ent) f = f (1R − []Ent)2 f = f (1R − []Ent) f (1R − []Ent) =

(f (1R − []Ent)

)2.

(Hipótesis de Inducción) Supongamos que

(f (1R − []Ent)

)r (1R − []Ent) f =

(f (1R − []Ent)

)r+1para algún r ∈ N, r > 1.

Entonces para r + 1 ∈ N se tiene que

(f (1R − []Ent)

)r+1 (1R − []Ent) f =

(f (1R − []Ent)

)r(f (1R − []Ent)

) (1R − []Ent) f

=(f (1R − []Ent)

)r(f (1R − []Ent)

)2=(f (1R − []Ent)

)r+2.

Proposición 2.1.27. Sea f ∈ K(S1) con f : [0, 1) → R su función trozo funda-mental asociada. Entonces

(f (1R − []Ent)

)n= fn +

n−2∑

i=0

(Dif(fn−i−1, fn−i)

((1R − []Ent) f

)i)para cualquier

n ∈ N, n ≥ 2

(donde fn : [0, 1)→ R es el levantamiento principal para fn ∈ K(S1))

Demostración. La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 2 y en virtud de la proposición 2.1.25 se sigue que

f2 +2−2∑

i=0

(Dif(f1−i, f2−i)

((1R − []Ent) f

)i)= f2 +Dif(f, f2) 1R =

(f (1R − []Ent)

)2.


(Hipótesis de Inducción) Supongamos que

(f (1R − []Ent)

)r= fr +

r−2∑

i=0

(Dif(fr−i−1, fr−i)

((1R − []Ent) f

)i)

para algún r ∈ N, r > 2.Luego para k + 1 ∈ N tenemos que

fr+1 +Dif(fr, fr+1) = fr (1R − []Ent) f =((f (1R − []Ent)

)r−

r−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i)) (1R − []Ent) f

=(f (1R − []Ent)

)r (1R − []Ent) f −

r−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i+1)

=(f (1R − []Ent)

)r+1−

r−1∑

j=1

(Dif(fr−j , fr+1−j)

((1R − []Ent) f

)j).

Entonces

fr+1 +

(r+1)−2∑

j=0

(Dif(f (r+1)−j−1, f (r+1)−j)

((1R − []Ent) f

)j)

= fr+1 +Dif(fr, fr+1) +r−1∑

j=1

(Dif(fr−j , fr+1−j)

((1R − []Ent) f

)j)

=(f (1R − []Ent)

)r+1.

Proposición 2.1.28. Sea f ∈ K(S1) de grado k(f) = k ∈ Z con f : [0, 1)→ R sufunción trozo fundamental asociada y F : R→ R su levantamiento principal de Keener.Entonces para cada t ∈ R existe µ = µ(f, 2, t) ∈ Z tal que F 2(t) = F 2(t) + µ(f, 2, t),donde F 2 : R→ R es el levantamiento principal de Keener para f2 ∈ K(S1).

Demostración. Por definición sabemos que F = f (1R − []Ent) + []Entk(f) y así

F 2 = f2(1R − []Ent)+[]Entk(f2) =

((f (1R − []Ent)

)2−Dif(f, f2)

)(1R − []Ent)+[]Entk(f

2),

F 2 =(f (1R − []Ent)

)2+ []Entk(f

2)−Dif(f, f2) (1R − []Ent) −−−−−−−−−−(∗)

También tenemos que

F 2 =(f (1R − []Ent) + []Entk(f)

)2=

f (1R − []Ent) f (1R − []Ent) +([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f) + []Entk

2(f),

F 2 =(f (1R − []Ent)

)2+ []Entk

2(f) +([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f) −−−−−−−−−−(∗∗)

Sea t ∈ R y defínase


µ = µ(f, 2, t) =([]Ent(k

2(f)− k(f2)) +([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f) +Dif(f, f2) (1R − []Ent)

)(t) ∈ Z.

Entonces a partir de (∗) y (∗∗) se cumple que

F 2(t)− F 2(t) =

[]Entk2(f)(t) +

([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f)(t)− []Entk(f

2)(t) +Dif(f, f2) (1R − []Ent) (t)

= []Ent(k2(f)− k(f2))(t) +

([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f)(t) +Dif(f, f2) (1R − []Ent) (t)

=([]Ent(k2(f)− k(f2)) +

([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f) +Dif(f, f2) (1R − []Ent)

)(t) =

µ(f, 2, t).

Proposición 2.1.29. Sea f ∈ K(S1) de grado k(f) = k ∈ Z con f : [0, 1)→ R sufunción trozo fundamental asociada y F : R→ R su levantamiento principal de Keener.Entonces

Fn =(f (1R − []Ent)

)n+

n−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kn−i(f))

para n ∈ N, n ≥ 2.

Demostración. La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 2 tenemos que

F 2 = F F =(f (1R − []Ent) + []Entk(f)

)(f (1R − []Ent) + []Entk(f)

)

= f (1R − []Ent) (f (1R − []Ent) + []Entk(f)

)+ []Entk(f)

(f (1R − []Ent) + []Entk(f)

)

= f (1R − []Ent) (f (1R − []Ent)

)+([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f) + []Entk

2(f)

=(f (1R − []Ent)

)2+ []Entk2(f) +

([]Ent f (1R − []Ent)

)k(f)

=(f (1R − []Ent)

)2+

1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kn−i(f)).

(Hipótesis de Inducción) Supóngase que

F r =(f (1R − []Ent)

)r+

r−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kr−i(f))

para algún r ∈ N, r > 2.Entonces para r + 1 ∈ N se tiene que

F r+1 = F F r =(f (1R − []Ent) + []Entk(f)

)((

f (1R − []Ent))r

+r−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kr−i(f)))

= f (1R − []Ent) ((

f (1R − []Ent))r

+r−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kr−i(f)))


+[]Entk(f) ((

f (1R − []Ent))r

+r−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kr−i(f)))

= f (1R − []Ent) (f (1R − []Ent)

)r+ []Ent

(f (1R − []Ent)

)rk(f) +

r−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

ikr−i+1(f)

)

=(f (1R − []Ent)

)r+1+

r∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i k(r+1)−i(f)).

Proposición 2.1.30. Sea f ∈ K(S1) de grado k(f) = k ∈ Z con f : [0, 1)→ R sufunción trozo fundamental asociada. Entonces

Fn =(f (1R − []Ent)

)n+

n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)

)+ []Entk(fn)

donde Fn : R → R es el levantamiento principal de Keener de fn ∈ K(S1) paracualquier n ∈ N, n ≥ 2.

Demostración. En virtud de la proposición 2.1.27 se tiene que

Fn = fn (1R − []Ent) + []Entk(fn)

=((f (1R − []Ent)

)n−

n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i))(1R − []Ent)+[]Entk(fn)

=(f (1R − []Ent)

)n (1R − []Ent)−

(n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i))

(1R − []Ent) + []Entk(fn)

=(f (1R − []Ent)

)n+

n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)

)+ []Entk(f

n)

para cualquier n ∈ N, n ≥ 2.

Proposición 2.1.31. Tómese n ∈ N, n ≥ 2. Sea f ∈ K(S1) de grado k(f) = k ∈ Zcon f : [0, 1)→ R su función trozo fundamental asociada y F : R→ R su levantamientoprincipal de Keener. Entonces para cada t ∈ R se cumple:

(i) Para cada t ∈ R existe µ = µ(f, n, t) ∈ Z tal que Fn(t) = Fn(t) + µ(f, n, t),donde Fn : R→ R es el levantamiento principal de Keener para fn ∈ K(S1);

(ii) µ(f, n, t + 1) = µ(f, n, t) + kn(f) − k(fn) donde k(fn) ∈ Z es el grado de lafunción fn ∈ K(S1).

Demostración. Tómese n ∈ N, n ≥ 2 fijo y sea t ∈ R. Defínase


µ(f, n, t) =n−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kn−i(f))(t)

+

(n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)

)− []Entk(f

n)

)(t) ∈ Z,

razón por lo cual se cumple en virtud de las proposiciones 2.1.29 y 2.1.30 que

Fn(t)− Fn(t) = µ(f, n, t).

Además

µ(f, n, t+ 1) =n−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i (t+ 1)kn−i(f))+

n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)(t+ 1)

)− []Ent(t+ 1)k(fn)

= []Ent(t+ 1)kn(f) +n−1∑

i=1

([]Ent (f (1R − []Ent))

i (t+ 1)kn−i(f))+

n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)(t)

)− []Ent(t)k(fn)− k(fn)

= []Ent(t) +n−1∑

i=1

([]Ent (f (1R − []Ent))

i (t+ 1)kn−i(f))+

n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)(t)

)− []Ent(t)k(fn) + kn(f)− k(fn)

= µ(f, n, t) + kn(f)− k(fn).

En algunas funciones de la Clase de Keener no es posible encontrar una relación entre su grado yel grado de sus iteraciones.


Figuras 2.35 Gráfica de una función de la Clase de Keener con grado 1, gráfica de su segundaiterada con grado −1 y gráfica de su tercer iterada con grado −1.

Sin embargo, en funciones de la Clase de Keener donde su función trozo fundamental poseamonotonía estricta en todos los subintervalos donde es continua existe una relación entre su gradoy el grado de sus iteraciones.

Proposición 2.1.32. Sea f ∈ K(S1) de grado k(f) = 2 con f : [0, 1) → R sufunción trozo fundamental asociada monótona estricta del mismo tipo en todos lossubintervalos donde es continua. Entonces el grado de la función fn ∈ K(S1) es

k(fn) = kn(f)

para cualquier n ∈ N, n ≥ 2.

Demostración. Sea n ∈ N, n ≥ 2 fijo y considérese F : R → R el levantamiento principal deKeener para la función f . Entonces para cualquier t ∈ R se tiene que

Fn(t) + k(fn) = Fn+1(t) = Fn(t+1)+ µ(f, n, t+1) = Fn(t) + kn(f) + µ(f, n, t) + kn(f)− k(fn)

=(Fn(t) + µ(f, n, t)

)+ 2kn(f)− k(fn) = Fn(t) + 2kn(f)− k(fn),

de donde k(fn) = 2kn(f)− k(fn) =⇒ k(fn) = kn(f).

Corolario 2.1.4. (Las iteraciones de los levantamientos de Keener en cada puntotambién son levantamientos de Keener para las iteraciones de una función de la clase deKeener) Sea n ∈ N, n ≥ 2. Si f ∈ K(S1) es de grado k(f) = k ∈ Z con f : [0, 1) → Rsu función trozo fundamental asociada y F : R → R su levantamiento principal deKeener entonces para cada t ∈ R existe un levantamiento de Keener Fn∗ : R→ R parafn ∈ K(S1) tal que Fn∗ (t) = Fn(t).


Demostración. Para cada t∗ ∈ R fijo definimos

λ∗ = µ(f, n, t∗) =n−1∑

i=0

([]Ent (f (1R − []Ent))

i kn−i(f))(t∗)

+

(n−2∑

i=0


((1R − []Ent) f

)i (1R − []Ent)

)− []Entk(fn)

)(t∗) ∈ Z.

Entonces la función Fn∗ : R→ R, Fn∗ = Fn − λ∗ es un levantamiento de Keener para fn ∈ K(S1)tal que

Fn∗ (t∗) = Fn(t∗)− λ∗ = Fn(t∗)− µ(f, n, t∗) = Fn(t∗).

Corolario 2.1.5. Sea f ∈ K(S1) una función de la circunferencia y f : [0, 1)→ R sufunción trozo fundamental asociada. Consideremos las funciones 1R : R→ R identidaden R y []Ent : R→ Z función parte entera.

(i) Si f2 : [0, 1) → R es la función trozo fundamental asociada a f2 ∈ K(S1)entonces

f2 ≡(f (1R − []Ent) f

)mod(1) =

(f (1R − []Ent)

)2mod(1).

(ii) Para cualquier n ∈ N, n ≥ 2 fijo y si fn : [0, 1) → R es la función trozofundamental asociada para fn ∈ K(S1) entonces

(f (1R − []Ent)

)n≡ fnmod(1).

Demostración. Inmediata a partir de las proposiciones 2.1.25 y 2.1.27.

Corolario 2.1.6. Tómese n ∈ N, n ≥ 2. Sea f ∈ K(S1) con F : R → R sulevantamiento principal de Keener. Entonces

Fn ≡ Fnmod(1)

donde Fn : R→ R es el levantamiento principal de Keener para fn ∈ K(S1).

Demostración. Inmediata a partir de la proposición 2.1.31.

2.2 EL SISTEMA DINÁMICO S1.

Proposición 2.2.1. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia .(i) (S1, 0 ∪N, f) es un sSDD.(ii) Si f es invertible entonces (S1,Z, f) es un SDD.

Demostración. (i) Inmediata, en virtud de la proposición 1.5.2 (ii).(ii) Inmediata, en virtud de la proposición 1.4.2 (ii).

Proposición 2.2.2. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia, F : R→ Run levantamiento para f y tómese t∗ ∈ R tal que Π(t∗) = x∗ ∈ S1. Para n ∈ N fijo lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) x∗ es un punto periódico de periodo n (es decir, fn(x∗) = x∗),(ii) Existe µ = µ(t∗, F ) ∈ Z tal que Fn(t∗) = t∗ + µ.

Demostración.P.d. (i)⇒ (ii).⇒) En virtud de la proposición 2.1.11 se sabe que Fn : R→ R es un levantamiento de la funciónen la circunferencia fn : S1 → S1 por lo cual

Π(Fn(t∗)) = (Π Fn)(t∗) = (fn Π)(t∗) = fn(Π(t∗)) = fn(x∗) = x∗ = Π(t∗),

y así Fn(t∗) ≡ t∗mod(1). Esto significa que existe µ = µ(t∗, F ) ∈ Z tal que Fn(t∗)− t∗ = µ(1) =µ.

P.d. (ii)⇒ (i).⇒) Sabemos que Fn : R→ R es un levantamiento de la función fn : S1 → S1. Por lo cual

fn(x∗) = fn(Π(t∗)) = (fn Π)(t∗) = (Π Fn)(t∗)= Π(Fn(t∗)) = Π(t∗ + µ) = Π(t∗) = x∗,

es decir, x∗ es punto periódico de periodo n.

Proposición 2.2.3. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia y F : R→ Run levantamiento para f .

(i) Si F tiene un punto fijo (en el sSDD (R, 0 ∪N, F )) entonces f tiene un puntofijo (en el sSDD (S1, 0 ∪N, f)).

(ii) Supóngase que f tiene un punto fijo x ∈ S1 (en el sSDD (S1, 0 ∪ N, f)). Sitomamos t ∈ R tal que Π(t) = x entonces existe F ∗ : R→ R un levantamiento de f talque t es punto fijo de F ∗ (en el sSDD (R, 0 ∪N, F ∗)).

Demostración.(i) Supóngase que existe t∗ ∈ R tal que F (t∗) = t∗. Si hacemos x∗ = Π(t∗) ∈ S1 entonces

x∗ = Π(t∗) = Π(F (t∗)) = (Π F )(t∗) = (f Π)(t∗) = f(Π(t∗)) = f(x∗),

125


de donde f tiene un punto fijo.

(ii) Supongamos que existe x∗ ∈ S1 tal que f(x∗) = x∗. Podemos tomar t∗ ∈ R tal que t∗ ∈Π−1(x) (pues Π−1(x) = ∅, por ser Π una función sobreyectiva)⇒ Π(t∗) = x∗. Entonces

Π(t∗) = x∗ = f(Π(t∗)) = (f Π)(t∗) = (Π F )(t∗) = Π(F (t∗))⇔ F (t∗) = t∗ + µ para algún µ ∈ Z.

Definimos la función F ∗ : R→ R, F ∗ = F − µ; entonces F ∗ es otro levantamiento de f (en virtudde la proposición 2.1.7 ), el cual satisface que

F ∗(t∗) = F (t∗)− µ = t∗,

es decir, F ∗ tiene un punto fijo.

Proposición 2.2.4. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 ytómense F1, F2 : R→ R levantamientos de Keener para f . Supóngase que x ∈ S1 es unpunto periódico para f con periodo q ∈ N, por lo que existen t1, t2 ∈ R y m1,m2 ∈ Ztales que

(a) Π(ti) ∈ O(x)

(b) F qi (ti) = ti +mi

para i ∈ 1, 2.

Entonces m1 ≡m2mod(q).

Demostración. Por ser levantamientos de Keener para f sabemos que existe l ∈ Z tal queF1 = F2 + l

⇒ Fn1 = Fn

2 + nl para cualquier n ∈ N.

Luego hágase

xr = Π(t1) = fr(x), xs = Π(t2) = fs(x)

donde xr, xs ∈ O(x) y r, s ∈ N ∪ 0. Sin pérdida de generalidad supóngase que r ≥ s ⇒ k =r − s ∈ Z, k ≥ 0. Por tanto

xr = fr(x) = f (r−s)+s(x) = fk(fs(x)) = fk(xs).

Con lo cual

Π(t1) = xr = fk(xs) = fk(Π(t2)) = Π(F k2 (t2))

⇔ t1 = F k2 (t2) +m para algún m ∈ Z.

Entonces

m1 = F q1 (t1)− t1 = F q

2 (t1) + ql − t1 = F q2 (F

k2 (t2) +m) + ql − t1

= F q+k2 (t2) +m+ ql − t1 = F k

2 (Fq2 (t2)) +m+ ql − t1 = F k

2 (t2 +m2) +m+ ql − t1= (F k

2 (t2) +m) +m2 + ql − t1 = t1 +m2 + ql − t1 = m2 + ql,

de donde m1 ≡ m2mod(q).


Proposición 2.2.5. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y supong-amos que O ⊆ S1 es una órbita periódica de f . Si q ∈ N entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) O es una órbita de periodo q,(ii) Existe un único levantamiento de Keener F : R→ R para f tal que F q(t) = t+p

para algunos t ∈ R y p ∈ Z tales que x = Π(t) ∈ S1, O(x) = O y 0 ≤ p < q.

Demostración.P.d. (i)⇒ (ii)1) (Existencia del levantamiento).⇒) Tómese algún levantamiento de Keener F : R→ R para f , elijamos x ∈ O cualquiera y tómesealgún t ∈ Π−1(x) (Π−1(x) = ∅ puesto que Π es sobreyectiva). Como fq(x) = x (lema 1.5.3 )se sigue de la proposición 2.2.2 que

F q(t) = t+m para algún m ∈ Z.

Por el algoritmo de la división en Z podemos escribir

m = cq + p para algunos c, p ∈ Z donde 0 ≤ p < q.

Entonces la función F ∗ : R→ R, F ∗ = F − c es un levantamiento de Keener para f que satisface

(F ∗)q(t) = F q(t)− cq = t+m− cq = t+ p.

2) (Unicidad del levantamiento).Sea F ∗∗ : R → R otro levantamiento de Keener f que satisface la condición dada. En virtud deque existe l ∈ Z tal que F ∗∗ = F ∗+ l (Proposición 2.1.16 ) y si tomamos t ∈ R cualquiera entonces

t+ p = (F ∗∗)q(t) = (F ∗)q(t) + lq = t+ p+ lq ⇔ lq = 0 con q ∈ N⇒ l = 0.

Y esto significa que F ∗∗ = F ∗.

P.d. (ii)⇒ (i).⇒) Inmediata, pues

fq(x) = fq(Π(t)) = Π(F q(t)) = Π(t+ p) = Π(t) = x,

y así O(x) = O es de periodo q.

Definición 2.2.1. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia y F : R → R un levan-tamiento de Keener para f . Supongamos que O ⊆ S1 es una órbita periódica de f de periodoq ∈ N y tómese t ∈ R tal que Π(t) = x ∈ O, lo cual implica que exista m ∈ Z tal que F q(t) = t+m.(i) Definimos la envolvencia de la órbita O como p = mmod(q) ∈ Z.(ii) Definimos la característica de la órbita O como la pareja (p, q) donde p ∈ Z es la envolvenciade la órbita O y q es el periodo de ella.

Definición 2.2.2. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia. Se dice que f es diferenciable(en S1) si y sólo si cualquier levantamiento para f es diferenciable.


Corolario 2.2.1. (Las derivadas de los levantamientos de Keener de una funciónen la circunferencia diferenciable son iguales) Si f : S1 → S1 es una función en lacircunferencia diferenciable y F,G : R → R son levantamientos de Keener para fentonces d

dtF (s) = ddtG(s) para cualquier s ∈ R.

Demostración. Por la proposición 2.1.16 sabemos que F = G+ l para algún l ∈ Z de donde

dFdt (s) =

ddt(G+ l)(s) = dG

dt (s)

para cualquier s ∈ R.

Proposición 2.2.6. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y tómeseF : R → R un levantamiento para f . Supongamos que x∗ ∈ S1 es un punto periódicode f de periodo q ∈ N y tómese t∗ ∈ R tal que Π(t∗) = x∗. Supóngase además quefq : S1 → S1 es diferenciable (en S1). Entonces

(i) Si |(F q)′(t∗)| < 1 entonces la órbita O(x∗) ⊆ S1 es (asintóticamente) estable.(ii) Si |(F q)′(t∗)| > 1 entonces la órbita O(x∗) ⊆ S1 es inestable.

Demostración. Por la proposición 2.2.2 sabemos que existe µ ∈ Z tal que F q(t∗) = t∗ +µ. Considérese la función G : R → R, G = F q − µ; por tanto G es un levantamiento para fq

diferenciable (pues F q : R→ R es diferenciable, por hipótesis) y además

G(t∗) = F q(t∗)− µ = t∗ ⇒ t∗ es punto fijo de G.

En virtud de la proposición 2.1.11 sabemos que Gn : R→ R es un levantamiento de la función enla circunferencia fnq : S1 → S1 para cualquier n ∈ N; además nótamos que dG

dt = d(F q)dt .

(i) Supongamos que |(F q)′(t∗)| < 1. Por el teorema 2.1.1 se sigue que t∗ es asintóticamente estable(en el sSDD (R,N ∪ 0, G)).

P.d. x∗ es estable.Sea V ⊆ S1 una vecindad de x∗. Como Π es continua entonces V ∗ = Π−1(V ) ⊆ R es una vecindadde t∗

⇒Existe U∗ ⊆ R vecindad de t∗ tal que Gn(U∗) ⊆ V ∗ para cualquier n ∈ N.

Por definición de vecindad sabemos que existe δ > 0 tal que B(t∗, δ) ⊆ U∗; ahora tomamos U ⊆ S1

vecindad de x∗ tal que U ⊆ Π(B(t∗, δ)) por lo cual

fnq(U) ⊆ fnq(Π(B(t∗, δ))) = Π(Gn(B(t∗, δ))) ⊆ Π(Gn(U∗)) ⊆ Π(V ∗) = Π(Π−1(V )) = V

para cualquier n ∈ N (pues Π es sobre).

P.d. x∗ es atractor.Sabemos que existe U∗ ⊆ R vecindad de t∗ tal que lim

n→∞Gn(t) = t∗ para cualquier t ∈ U∗. Tómese

U ⊆ S1 vecindad de x∗ tal que U ⊆ Π(U∗); por tanto, dado x ∈ U entonces Π(t) = x para algúnt ∈ U y así

limn→∞

fnq(x) = limn→∞

fnq(Π(t)) = limn→∞

Π(Gn(t)) = Π( limn→∞

Gn(t)) = Π(t∗) = x∗.


Esto significa que x∗ es atractor.

Finalmente, por los resultados anteriores se concluye que el punto periódico x∗ ∈ S1 es (asintóti-camente) estable (en el sSDD (S1,N ∪ 0, f)) y así la órbita O = O(x∗) es (asintóticamente)estable.

(ii) Supongamos que |(F q)′(t∗)| > 1. Por el teorema 2.1.1 se sigue que t∗ es inestable (en el sSDD(R,N ∪ 0, G)).Si x∗ ∈ S1 fuera estable (en el sSDD (S1,N ∪ 0, f)), dada V ⊆ R cualquier vecindad de t∗

tomamos V ∗ ⊆ S1 vecindad de x∗ tal que Π−1(V ∗) ⊆ V por lo cual

Existiría U∗ ⊆ R vecindad de x∗ tal que fnq(U∗) ⊆ V ∗ para que n ∈ N.

En tal caso sea U = Π−1(U∗), que es vecindad de t∗ ⇒ Π(U) = U∗. Así,

Π(Gn(U)) = fnq(Π(U)) = fnq(U∗) ⊆ V ∗ ∀n ∈ N⇒ Gn(U) ⊆ Π−1(Π(Gn(U))) ⊆ Π−1(V ∗) ⊆ V ∀n ∈ N.

Pero esto implicaría que t∗ es estable (en el sSDD (R,N ∪ 0, G))!Esta contradicción nos lleva a concluir que x∗ es inestable (en el sSDD (S1,N ∪ 0, f)).Como O = O(x∗) se concluye que O ⊆ S1 es inestable.

Proposición 2.2.7. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia y tómeseF : R→ R un levantamiento de f . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) F q(t) = t+ p para algún t ∈ R con p ∈ Z y n ∈ N,(ii) Existen t ∈ R y (al menos) m,n ∈ 0 ∪N (con m > n) tales que

Fm(t)− [Fm(t)]Ent = Fn(t)− [Fn(t)]Ent ,m− n = q ∈ N y [Fm(t)]Ent − [Fn(t)]Ent = p ∈ Z.

Demostración.⇒) Notamos que [F q(t)]Ent = [t+ p]Ent = [t]Ent + p, por lo cual

t+ p− [F q(t)]Ent = F q(t)− [F q(t)]Ent = (t+ p)− ([t]Ent + p) = t− [t]Ent

⇒ [F q(t)]Ent − [t]Ent = p.

El resultado se obtiene al elegir m = q, n = 0.

⇐) Hágase t∗ = Fn(t) ∈ R. Entonces

F q(t∗) = F q(Fn(t)) = Fn+q(t) = Fm(t) = Fn(t) + [Fm(t)]Ent − [Fn(t)]Ent = t∗ + p.

2.3 DINÁMICA DE HOMEOMORFISMOS EN LA CIRCUNFEREN-CIA.

Observación 2.3.1. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado k(f) ∈ Z yconsideremos su función f : [0, 1)→ R trozo fundamental asociada. Si f es continua en Π(0) ∈ S1

entonces

Π(f(0)) = f(Π(0)) = limt→0+

f(Π(t)) = limt→1−

f(Π(t)) = limt→0+

Π((f(t)

)= Π

(limt→1−

f(t)

)

=⇒ limt→1−

f(t) ≡ f(0)mod(1).

Y como

f(0) + k(f)− 1 < limt→1−

f(t) ≤ f(0) + k(f)

entonces debe ser

limt→1−

f(t) = f(0) + k(f).

Proposición 2.3.1. Sea f : S1 → S1 una función continua. Entonces la funcióntrozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R para f es continua (en [0, 1)).

Demostración.Caso a) Si T = ∅ entonces f = 1

2π argR0(f Π) es una función continua.

Caso b) Supóngase que T = ∅ con |T | = n ∈ N. Podemos escribir T = tii∈N,i≤n para algunosti ∈ (0, 1) con i ∈ N, i ≤ n y así

f |I1 = 12π argR0

(f Π),Si Ri = Rµ para algún µ ∈ Z entonces

f |Ii+1 =

12π argRµ+1

(f Π) si limt→t−i

argR0(f Π)(t) = 2π

12π argRµ−1

(f Π) si limt→t−i

argR0(f Π)(t) = 0

con i ∈ N, i ≤ n.

Y como f es continua en T entonces se concluye que f es continua.

Proposición 2.3.2. Sea f : S1 → S1 una función continua de grado k(f) ∈ Zy con función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R y levantamiento principal deKeener F : R→ R. Entonces:

(i) F es continua en R.(ii) (Cualquier levantamiento de Keener para f es continuo) Si F : R → R es un

levantamiento de Keener para f entonces F es continuo en R.

Demostración. Notamos que:a) Las funciones []Ent, 1R − []Ent : R→ Z son continuas en R− Z;b) Ran(1R − []Ent) = [0, 1).

Parte I) P.d. F es continua en R− Z.Tómese s ∈ R→ Z por lo que (1R − []Ent)(s) ∈ (0, 1) y así

130


limt→s

F (t) = limt→s

(f (1R − []Ent) (t) + [t]Entk(f)

)=(limt→s

f (1R − []Ent) (t))+(limt→s

[t]Entk(f))

= f (1R − []Ent) (s) + [s]Entk(f) = F (s)

(pues la función f (1R − []Ent) |R−Z : R− Z→ R es continua).

Parte II) P.d. limt→µ

F (t) = F (µ) para cualquier µ ∈ Z.Sea µ ∈ Z cualquiera. Como

limt→µ+

[t]Ent = µ, limt→µ+

(1R − []Ent) (t) = 0 y limt→µ−

[t]Ent = µ− 1

entonces

limt→µ+

F (t) = limt→µ+

(f (1R − []Ent) (t) + [t]Entk(f)

)=

(limt→µ+

f (1R − []Ent) (t)

)+

(limt→µ+

[t]Entk(f)

)

= f

(limt→µ+

(1R − []Ent) (t)

)+

(limt→µ+

[t]Entk(f)

)= f(0) + µk(f) = F (0) + µk(f) = F (µ).

Al hacer el cambio de variable continuo u = u(t) = t− (µ− 1) = t−µ+1 obtenemos también que

limt→µ−

F (t) = limu→1−

F (u+ µ− 1) = limu→1−

(F (u) + (µ− 1)k(f)

)=

(lim

u→1−F (u)

)+ (µ− 1)k(f)

=

(lim

u→1−f(u)

)+(µ− 1)k(f) = f(0)+k(f)+ (µ− 1)k(f) = f(0)+µk(f) = F (0)+µk(f) = F (µ).

Finalmente, como existen los límites laterales

limt→µ+

F (t), limt→µ−

F (t) ∈ R

y además

limt→µ+

F (t) = limt→µ−

F (t) = F (µ)

entonces existe el límite

limt→µ

F (t) = F (µ) ∈ R.

Lema 2.3.1. (Los levantamientos continuos de una función continua en la circun-ferencia son precisamente sus levantamientos de Keener)

Sea f : S1 → S1 una función continua en la circunferencia. Si F : R → R es unlevantamiento continuo para f entonces F es de Keener.

Demostración. Como

Π F = f Π = Π F ⇔ F ≡ F mod(1)

entonces la función continua F − F : R→ Z debe ser constante. Así,


F = F + λ para algún λ ∈ Z,

y por definición F es de Keener.

Proposición 2.3.3. Sea f : S1 → S1 una función inyectiva en la circunferenciacon función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R. Entonces f es inyectiva y portanto invertible en Ran(f) ⊂ R.

Demostración.P.d. f es inyectiva.Sean s, t ∈ [0, 1) tales que f(s) = f(t). Entonces

f Π(s) = Π f(s) = Π f(t) = f Π(t) =⇒ Π(s) = Π(t) (pues f es inyectiva)⇔ s ≡ tmod(1) con s, t ∈ [0, 1) =⇒ s = t.

Proposición 2.3.4. Sea f : S1 → S1 una función inyectiva de grado k(f) ∈Z, k(f) = 0 y con función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R y levantamientoprincipal de Keener F : R→ R. Entonces

(i) F es inyectivo y por tanto invertible en Ran(F ) ⊆ R.(ii) Si F : R→ R es un levantamiento de Keener para f entonces F es inyectivo e

invertible en Ran(F ) ⊆ R.

Demostración.(i) P.d. F es inyectiva.Sean s, t ∈ R tales que F (s) = F (t). Entonces

f(s− [s]Ent) + [s]Entk(f) = f(s− [s]Ent) + [s]Entk(f).

Así

f Π(s) = f Π(s− [s]Ent) = Π f(s− [s]Ent) = Π f(t− [t]Ent) = f Π(t− [t]Ent) = f Π(t)=⇒ Π(s) = Π(t) (pues f es inyectiva)

⇔ s ≡ tmod(1) con s, t ∈ R

Ahora podemos escribir s = t+ µ para algún µ ∈ Z por lo cual

F (t) = F (s) = F (t+ µ) = F (t) + µk(f) =⇒ µk(f) = 0 con k(f) = 0 =⇒ µ = 0.

Y esto significa que s = t.

(ii) Inmediata, ya que F = F + λ para algún λ ∈ Z.

Lema 2.3.2. Sea f : S1 → S1 una función continua en la circunferencia de gradok(f) ∈ Z, k(f) = 0 y consideremos el levantamiento principal de Keener F : R → Rpara f . Para cada t ∈ R fijo


Existe (al menos) λ = λ(t) ∈ Z tal que t ∈< F (t), F (t) + λk(f) >=< F (t), F (t+ λ) >

(esto es, t está en el intervalo cerrado en R que tiene por extremos a F (t) y F (t+λ)).

Demostración. Sea t ∈ R.Caso a) Si k(f) > 0 definimos

N = minn ∈ N ∪ 0|∣∣∣t− F (t)

∣∣∣k(f) ≤ n.

Entonces

t ∈ [F (t)−Nk(f), F (t)] si t ≤ F (t), o bien,t ∈ [F (t), F (t) +Nk(f)] si t > F (t).

Caso b) Si k(f) < 0 definimos

N = minn ∈ N ∪ 0|∣∣∣t− F (t)

∣∣∣ k(f) ≥ −n.

Entonces

t ∈ [F (t), F (t)−Nk(f)] si t > F (t), o bien,t ∈ [F (t) +Nk(f), F (t)] si t ≤ F (t).

En virtud de ambos casos se concluye el resultado.

Proposición 2.3.5. Sea f : S1 → S1 una función continua de grado k(f) ∈Z, k(f) = 0. Entonces f es sobreyectiva.

Demostración. Consideremos el levantamiento principal de Keener F : R→ R para f .P.d. f(S1) = S1.⊆) Inmediata por definición.⊇) Sea x ∈ S1 y tómese t ∈ Π−1(x) ⊆ R (Π−1(x) = ∅ pues Π es sobreyectiva). Por el lema2.3.2 sabemos que

Existe λ = λ(t) ∈ Z tal que t ∈< F (t), F (t) + λk(f) >=< F (t), F (t+ λ) >.

Dado que F es continua en virtud del teorema del valor intermedio para funciones continuas sesigue que

Existe t∗ ∈< t, t+ λ > tal que F (t∗) = t.

Pero esto significa que

Existe x∗ = Π(t∗) ∈ S1 tal que f(x∗) = f(Π(t∗)) = Π(F (t∗)) = Π(t) = x.

De donde x ∈ f(S1).


Proposición 2.3.6. Sea f : S1 → S1 una función continua de grado k(f) ∈Z, k(f) = 0 y con función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R y levantamientoprincipal de Keener F : R→ R. Entonces:

(i) F es sobreyectivo.(ii) (Cualquier levantamiento de Keener para f es sobreyectivo) Si F : R → R es

un levantamiento de Keener para f entonces F es sobreyectivo.

Demostración.(i) P.d. F (R) = R.⊆) Inmediata por definición.⊇) Sea t ∈ R. Por el lema 2.3.2 sabemos que

Existe λ = λ(t) ∈ Z tal que t ∈< F (t), F (t) + λk(f) >=< F (t), F (t+ λ) >.

Dado que F es continua en virtud del teorema del valor intermedio para funciones continuas sesigue que

Existe t∗ ∈< t, t+ λ > tal que F (t∗) = t.

De donde t ∈ F (R).

(ii) Inmediata, ya que F = F + λ para algún λ ∈ Z.

Proposición 2.3.7. Si f : S1 → S1 es una función en la circunferencia continua einyectiva entonces f ∈ K(S1).

Demostración. Constrúyase la función trozo fundamental asociada f : [0, 1)→ R.Es inmediato que f es inyectiva y claramente Disc(f) = ∅ porque f es continua.Por la proposición 2.3.1 sabemos que f es continua en [0, 1) por lo que

Existen los límites limt→s−

f(t), limt→s+

f(t) ∈ R para cada s ∈ (0, 1)

y además

limt→s

f(t) = limt→s−

f(t) = limt→s+

f(t) para cada s ∈ (0, 1).

Y en virtud de la observación 2.3.1 también deben existir los límites limt→0+

f(t), limt→1−

f(t) ∈ R.Por todos los resultados anteriores se concluye finalmente que f ∈ K(S1).

Corolario 2.3.1. Si f : S1 → S1 es un homeomorfismo en la circunferencia entoncesf ∈ K(S1).

Demostración. Inmediata a partir de la proposición 2.3.7 dado que cualquier homeomorfismoes (al menos) una función continua e inyectiva.


Lema 2.3.3. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo y consideremos los levantamientosprincipales de Keener F , F−1 : R → R para f y f−1 ∈ K(S1), respectivamente.Entonces existen µ1, µ2 ∈ Z tales que

F F−1 = 1R + µ1 y F−1 F = 1R + µ2.

Demostración. Por definición de levantamiento

Π (F F−1) =(Π F

) F−1 = f

(Π F−1

)=(f f−1

)Π = Π = Π 1R,

Π (F−1 F ) =(Π F−1

) F = f−1

(Π F

)=(f−1 f

)Π = Π = Π 1R.

Y de tal forma las funciones continuas 1R − F F−1, 1R − F−1 F : R→ Z deben ser constantes,de donde se sigue que

F F−1 = 1R + µ1 y F−1 F = 1R + µ2 para algunos µ1, µ2 ∈ Z.

Proposición 2.3.8. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo de grado k(f) ∈ Z. En-tonces:

(i) k(f) = 0,(ii) k(f−1) = k(f) ∈ −1, 1 donde k(f−1) ∈ Z es el grado de f−1 ∈ K(S1).

Demostración. Consideremos los levantamientos principales de Keener F , F−1 : R → R paraf, f−1 respectivamente. En virtud del lema 2.3.3 sabemos que

Existe µ ∈ Z tal que F−1 F = 1R + µ.

Entonces para cualquier t ∈ R se cumple que

t+ 1 + µ = (1R + µ)(t+ 1) = F−1 F (t+ 1) = F−1(F (t+ 1)

)= F−1

(F (t) + k(f)

)

= F−1(F (t)

)+ k(f−1)k(f) = F−1 F (t) + k(f−1)k(f) = (1R + µ)(t) + k(f−1)k(f) =

t+ µ+ k(f−1)k(f)=⇒ k(f−1)k(f) = 1.

Esto significa que(i) k(f) = 0 y k(f−1) = 0;(ii) k(f−1) = 1

k(f) ∈ Z⇔ k(f−1) = k(f) ∈ −1, 1.

Corolario 2.3.2. (i) No pueden existir funciones en la circunferencia biyectivas ycontinuas de grado k(f) = 0.

(ii) No pueden existir funciones en la circunferencia inyectivas y continuas de gradok(f) ∈ Z− −1, 0, 1.


Demostración. (i) Si existiera f : S1 → S1 una función en la circunferencia continua y biyectivade grado k(f) = 0 entonces por el teorema 1.1.8 f sería un homeomorfismo y por la proposición2.3.8 tendríamos que k(f) ∈ −1, 1!.(ii) Si existiera f : S1 → S1 una función en la circunferencia continua e inyectiva de gradok(f) ∈ Z − −1, 0, 1 por la proposición 2.3.5 f sería sobreyectiva; luego por el teorema 1.1.8 fsería un homeomorfismo y por la proposición 2.3.8 tendríamos que k(f) ∈ −1, 1!.

En virtud del corolario 2.3.2 una función en la circunferencia no puede ser al mismo tiempocontinua, inyectiva, sobreyectiva y de grado k(f) ∈ Z− −1, 1.

Proposición 2.3.9. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo de grado k(f) ∈ Z conlevantamiento principal de Keener F : R→ R.

(i) F es invertible;

(ii) Existe F−1∗ : R → R un levantamiento de Keener para f−1 ∈ K(S1) tal que(F)−1

= F−1∗ ;

Demostración. (i) Como k(f) = 0 en virtud de la proposición 2.3.7 se sabe que F es sobreyectivoy como f es inyectiva se sigue la proposición 2.3.5 que F es inyectiva en Ran(F ) = F (R) = R.Por lo cual F es biyectiva y en consecuencia es invertible.(ii) Consideremos el levantamiento principal de Keener F−1 : R → R para f−1 ∈ K(S1). Por ellema 2.3.3 sabemos que

Existe µ ∈ Z tal que F−1 F = 1R + µ.

Entonces la función F−1∗ : R → R, F−1∗ = F−1 − µ es un levantamiento de Keener para f−1 talque

F−1∗ F =(F−1 − µ

) F =

(F−1 F

)− µ = 1R.

De donde

F−1∗ = F−1∗ 1R = F−1∗ (F

(F)−1)

=(F−1∗ F

)(F)−1

= 1R (F)−1

=(F)−1

.

Corolario 2.3.3. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo de grado k(f) ∈ Z conlevantamiento principal de Keener F : R→ R. Si µ1, µ2 ∈ Z son tales que

F F−1 = 1R + µ1 y F−1 F = 1R + µ2

donde F−1 : R→ R es el levantamiento principal de Keener para f−1 entonces:(i) Cuando k(f) = 1 se cumple que µ1 = µ2;(ii) Cuando k(f) = −1 se cumple que µ1 + µ2 = 0.

Demostración. El levantamiento de Keener F−1∗ : R→ R, F−1∗ = F−1 − µ2 para f−1 satisface


F−1∗ F =(F−1 − µ2

) F =

(F−1 F

)− µ2 = 1R.

Entonces para cualquier t ∈ R se cumple:

F−1(t) =(1R F−1

)(t) =

(F−1∗ F

) F−1(t) = F−1∗

(F F−1(t)

)(t) = F−1∗ (1R + µ1) (t)

= F−1∗ (t+ µ1) = F−1(t+ µ1)− µ2 = F−1(t) + k(f)µ1 − µ2=⇒ k(f)µ1 = µ2.

De donde se sigue el resultado.

Corolario 2.3.4. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo de grado k(f) ∈ Z conlevantamiento principal de Keener F : R→ R. Si µ1, µ2 ∈ Z son tales que

F F−1 = 1R + µ1 y F−1 F = 1R + µ2

donde F−1 : R→ R es el levantamiento principal de Keener para f−1 entonces:(i) Cuando k(f) = 1 se cumple que F F−1 = F−1 F ;(ii) Cuando k(f) = −1 se cumple que F F−1 + F−1 F = 21R.

Demostración. Como

F F−1 − F−1 F = µ1 − µ2 y F F−1 + F−1 F = µ1 + µ2 + 1R,

el resultado se sigue de inmediato por el corolario 2.3.2.

Corolario 2.3.5. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo de grado k(f) ∈ Z. Consid-eremos las funciones trozos fundamentales asociadas f , f−1 : [0, 1) → R y los levan-tamientos principales de Keener F , F−1 : R → R para f y f−1 respectivamente. Siµ1, µ2 ∈ Z son tales que

F F−1 = 1R + µ1 y F−1 F = 1R + µ2

entonces:(i) Cuando k(f) = 1 se cumple que

F f−1 (1R − []Ent) = F−1 f (1R − []Ent) ;

(ii) Cuando k(f) = −1 se cumple que(F f−1 + F−1 f

) (1R − []Ent) = 2 (1R − []Ent) .

Demostración.Utilizando la definición del levantamiento principal de Keener para una función de la circunferencia:


F F−1 = F (f−1 (1R − []Ent) + k(f)[]Ent

)= F

(f−1 (1R − []Ent)

)+ k(f)k(f−1)[]Ent

= F (f−1 (1R − []Ent)

)+ []Ent,

F−1 F = F−1 (f (1R − []Ent) + k(f)[]Ent

)= F−1

(f (1R − []Ent)

)+ k(f−1)k(f)[]Ent

= F−1 (f (1R − []Ent)

)+ []Ent.

Por lo cual

F F−1 − F−1 F = F (f−1 (1R − []Ent)

)− F−1

(f (1R − []Ent)

),

F F−1 + F−1 F = F (f−1 (1R − []Ent)

)+ F−1

(f (1R − []Ent)

)+ 2[]Ent.

Y como

F F−1 − F−1 F = µ1 − µ2 y F F−1 + F−1 F = µ1 + µ2 + 21R,

el resultado se sigue de inmediato por el corolario 2.3.3.

Corolario 2.3.6. Sea f ∈ K(S1) un homeomorfismo de grado k(f) ∈ Z conlevantamiento principal de Keener F : R→ R.

(i) F es un homeomorfismo;(ii) (Cualquier levantamiento de Keener para un homeomorfismo es un homeomor-

fismo) Si F : R → R es un levantamiento de Keener para f entonces F es un homeo-morfismo.

Demostración. Consideremos al levantamiento principal de Keener F−1 : R → R para f−1 ∈K(S1)

(i) Por la proposición 2.3.9 sabemos que F es continua e invertible y su inversa(F)−1

: R → R

es un levantamiento de Keener para f−1, por lo que también es continua (pues f−1 es continua).Esto significa que F es homeomorfismo.(ii) Inmediata, ya que F = F + λ para algún λ ∈ Z.

Observación 2.3.2. Nótese que

f ∈ K(S1)|f es invertible y f−1 ∈ K(S1) = f ∈ K(S1)|f es un homeomorfismo.

Proposición 2.3.10. Sea f ∈ K(S1) una función invertible tal que f−1 ∈ K(S1)

y constrúyanse las funciones trozos fundamentales f , f−1 : [0, 1) → R para f y f−1

respectivamente. Si t, s ∈ [0, 1) y x, y ∈ S1 son tales que

Π(s) = y,Π(t) = x y f(x) = y

entonces(i) f(t) ≡ smod(1), y más aún, s = f(t)− [f(t)]Ent = (1R − []Ent)(f(t));(ii) f−1(s) ≡ tmod(1), y más aún, t = f−1(s)− [f−1(s)]Ent = (1R− []Ent)(f−1(s)).


Demostración.Como f(x) = y y f−1(y) = x tenemos que

Π(s) = y = f(x) = f(Π(t)) = Π(f(t))⇔ s ≡ f(t)mod(1),Π(t) = x = f−1(y) = f−1(Π(s)) = Π(f−1(s))⇔ t ≡ f−1(s)mod(1).

De donde

s = f(t) + λ1 y t = f−1(s) + λ2 con λ1, λ2 ∈ Z.

Por lo que

0 = [s]Ent = [f(t)]Ent + λ1 =⇒ λ1 = −[f(t)]Ent,

0 = [t]Ent = [f−1(s)]Ent + λ2 =⇒ λ2 = −[f−1(s)]Ent.

Proposición 2.3.11. Sea f ∈ K(S1) una función invertible tal que f−1 ∈ K(S1)

y constrúyanse las funciones trozos fundamentales f , f−1 : [0, 1) → R para f y f−1

respectivamente. Entonces la función (1R − []Ent) f : [0, 1) → [0, 1) es invertible yademás

((1R − []Ent) f

)−1= (1R − []Ent) f−1.

Demostración.P.d.

((1R − []Ent) f−1

)((1R − []Ent) f

)= 1R.

Sea t ∈ [0, 1) cualquiera y hágase s = f(t)− [f(t)]Ent = (1R − []Ent)(f(t)) ∈ [0, 1). Entonces

f(Π(t)) = Π(f(t)) = Π(f(t)− [f(t)]Ent

)= Π(s).

Y así

Π(t) = f−1(Π(s)) = Π(f−1(s)

)=⇒ t ≡ f−1(s)mod(1).

De donde

t = f−1(s) + λ con λ ∈ Z =⇒ λ = −[f−1(s)]Ent;t = f−1(s)− [f−1(s)]Ent = (1R − []Ent)(f−1(s)) ∈ [0, 1).

En virtud de los resultados anteriores observamos que((1R − []Ent) f−1

)((1R − []Ent) f

)(t) =

((1R − []Ent) f−1

)(f(t)− [f(t)]Ent

)

=((1R − []Ent) f−1

)(s) = f−1(s)− [f−1(s)]Ent = t = 1R(t).

P.d.((1R − []Ent) f

)((1R − []Ent) f−1

)= 1R.

(ii) Sea s ∈ [0, 1) cualquiera y hágase t = f−1(s) − [f−1(s)]Ent = (1R − []Ent)(f−1(s)) ∈ [0, 1).Entonces


f−1(Π(s)) = Π(f−1(s)) = Π(f−1(s)− [f−1(s)]Ent

)= Π(t).

Y así

Π(s) = f(Π(t)) = Π(f(t)

)=⇒ s ≡ f(t)mod(1).

De donde

s = f(t) + λ con λ ∈ Z =⇒ λ = −[f(t)]Ent;s = f(t)− [f(t)]Ent = (1R − []Ent)(f(t)) ∈ [0, 1).

En virtud de los resultados anteriores observamos que((1R − []Ent) f

)((1R − []Ent) f−1

)(s) =

((1R − []Ent) f

)(f−1(s)− [f−1(s)]Ent

)

=((1R − []Ent) f

)(t) = f(t)− [f(t)]Ent = s = 1R(s).

Finalmente, como((1R − []Ent) f−1

)((1R − []Ent) f

)= 1R =

((1R − []Ent) f

)((1R − []Ent) f−1

)

el resultado queda demostrado.

Proposición 2.3.12. Sea f : S1 → S1 una función continua en la circunferenciade grado k(f) ∈ Z, k(f) = 0. Entonces

f es inyectiva si y sólo si f es un homeomorfismo.

Demostración. En virtud de la proposición 2.3.6 como k(f) = 0 entonces f es sobreyec-tivo.⇒) Si f es inyectiva por consecuencia también es biyectiva. Por el teorema 1.1.8 se sigue deinmediato que f es un homeomorfismo.⇐) Si f es un homeomorfismo en particular f es invertible y por tanto biyectiva. De aquí que fes inyectiva.

Proposición 2.3.13. Sea f : S1 → S1 una función continua en la circunferencia degrado k(f) ∈ Z, k(f) = 0 y supóngase que existe F : R → R levantamiento de Keenerpara f tal que F es homeomorfismo. Entonces:

(i) Cualquier levantamiento de Keener para f es homeomorfismo;(ii) f es un homeomorfismo.

Demostración. (i) Sea F ∗ : R→ R cualquier otro levantamiento de Keener para f . Como existeµ ∈ Z tal que F ∗ = F + µ inmediatamente se sigue que F ∗ también es homeomorfismo.

(ii) Basta probar que f es inyectiva (en virtud de la proposición 2.3.12 ).Sean x, y ∈ S1 tal que f(x) = f(y). P.d. x = y.Como x = Π(t), y = Π(s) para algunos t, s ∈ R entonces


Π(F (t)) = f(Π(t)) = f(x) = f(y) = f(Π(s)) = Π(F (s))⇔ F (t) = F (s) + λ para algún λ ∈ Z.

De donde

t = F−1(F (t)) = F−1(F (s) + λ) = F−1(F (s)) + λk(f) = s+ λk(k).

Finalmente esto significa que

x = Π(t) = Π(s+ λk(f)) = Π(s) = y (pues Π es periódica de periodo 1).

Proposición 2.3.14. Sea f : S1 → S1 una función continua en la circunferenciade grado k(f) ∈ −1, 1 cuyos levantamientos de Keener son estrictamente monótonos.Entonces f es un homeomorfismo.

Demostración. Tómese un levantamiento de Keener F : R → R cualquiera para f , el cuales estrictamente monótono y continuo y sobreyectivo (pues k(f) = 0). Además, como cualquierfunción real estrictamente monótona es inyectiva también se sabe que F es inyectivo y por lo tantoinvertible; esto es, existe la función inversa F−1 : R→ R.

Caso I). Supóngase que F es estrictamente creciente. Entonces

F (t) + k = F (t+ 1) > F (t) para cualquier t ∈ R⇔ k(f) > 0⇒ k(f) = 1.

P.d. F−1es estrictamente creciente.Sean t1, t2 ∈ R tales que t1 < t2 y hágase

s1 = F−1(t1) y s2 = F−1(t2)⇒ t1 = F (s1) y t2 = F (s2).

Si s1 = s2 entonces t1 = F (s1) = F (s2) = t2!; en el caso de que s1 > s2 como F es estrictamentecreciente entonces t1 = F (s1) > F (s2) = t2!. Entonces por tricotomía en R sólo puede ser s1 < s2.

P.d. F−1 es continua.Sea b ∈ R y hágase a = F−1(b) ∈ R⇔ b = F (a). Pd. lim

t→F (a)F−1(t) = a

Tómese ǫ > 0. Como F es estrictamente creciente entonces F (a − ǫ) < F (a) < F (a + ǫ); de estaforma sea δ = minF (a+ ǫ)− F (a), F (a)− F (a− ǫ) > 0. Por consiguiente

F (a− ǫ) ≤ F (a)− δ y F (a) + δ ≤ F (a+ ǫ).

De donde

Si |t− F (a)| < δ, t ∈ R⇒ F (a− ǫ) ≤ F (a)− δ < t < F (a) + δ ≤ F (a+ ǫ).

Y como F−1es estrictamente creciente entonces

a− ǫ = F−1(F (a− ǫ)) < F−1(t) < F−1(F (a+ ǫ)) = a+ ǫ⇒∣∣F−1(t)− a

∣∣ < ǫ.


Finalmente, como F es invertible y su inversa F−1 es continua entonces F es un homeomorfismo.En virtud de la proposición 2.3.12 se concluye que f es un homeomorfismo.

Caso II). Supóngase que F es estrictamente decreciente. Entonces

F (t) + k = F (t+ 1) < F (t) para cualquier t ∈ R⇔ k(f) < 0⇒ k(f) = −1.

Por lo tanto la función F ∗ = −F es creciente y por el caso I) F ∗ es una función invertible y suinversa (F ∗)−1 = (−F )−1 = −(F−1) es continua. De donde F ∗ es un homeomorfismo y obviamentetambién F es homeomorfismo. Por la proposición 2.3.12 se concluye que f es un homeomorfismo.

Definición 2.3.1. (i) Se dice que una función f : S1 → S1 es una función que preserva orientación(FPO) en S1 si y sólo si existe algún levantamiento de Keener para f es estrictamente creciente.(ii) Se dice que una función f ∈ K(S1) es un homeomorfismo que preserva orientación (HPO)en S1 si y sólo si f es un FPO y es un homeomorfismo.

Lema 2.3.4. (i) Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1. Sif tiene algún levantamiento F : R→ R inyectivo entonces f es inyectiva.

(ii) Sea f : S1 → S1 un FPO de grado 1. Entonces f es inyectiva.(iii) Sea f : S1 → S1 un FPO continuo de grado 1. Entonces f es un HPO.

Demostración.(i) P.d. f es inyectiva.Sean x, y ∈ S1 tales que f(x) = f(y) y tomemos s, t ∈ R tales que Π(t) = x,Π(s) = y. Si x = ytendríamos que t− s /∈ Z pero como

Π(F (t)) = f(Π(t)) = f(Π(s)) = Π(F (s))=⇒ F (t) = F (s) + µ = F (s+ µ) para algún µ ∈ Z

=⇒ t = s+ µ para algún µ ∈ Z

Es decir, t− s ∈ Z! De donde debe ser x = y.

(ii) Por hipótesis existe algún F : R→ R levantamiento de Keener para f estrictamente creciente ypor tanto F es inyectivo. El resultado se sigue de inmediato por el inciso (i) de esta proposición.

(iii) El resultado se sigue de inmediato por el inciso (ii) de esta proposición y por la proposición2.3.12.

Lema 2.3.5. Si f : S1 → S1 es un FPO entonces cualquier otro levantamiento deKeener para f es estrictamente creciente.

Demostración. Por definición existe F : R→ R levantamiento de Keener estrictamente crecientepara f .Tómese cualquier otro levantamiento de Keener F∗ : R → R por lo que existe λ ∈ Z tal queF∗ = F + λ.P.d. F∗ es estrictamente creciente.Sean t, s ∈ R tales que t < s. Entonces F (t) < F (s) y así


F∗(t) = F (t) + λ < F (s) + λ = F∗(s).

Proposición 2.3.15. (i) El grado de un FPO es positivo.(ii) El grado de un HPO es 1.(iii) El grado de un FPO en la Clase de Keener es 1 ó 2.

Demostración. (i)Sea f : S1 → S1 un FPO y k(f) ∈ Z el grado de f . Si F : R → R es unlevantamiento de Keener para f estrictamente creciente, por lo cual

F (t) < F (t+ 1) = F (t) + k(f) para cualquier t ∈ R⇔ k(f) > 0.

(ii)Sea f ∈ K(S1) un HPO por lo que k(f) ∈ −1, 1 (donde k(f) ∈ Z es el grado de f). SiF : R→ R es un levantamiento de Keener para f entonces es estrictamente creciente, por lo cual

F (t) < F (t+ 1) = F (t) + k(f) para cualquier t ∈ R⇔ k(f) > 0,

y así k(f) = 1.(iii) Inmediata a partir de la proposición 2.1.21 y por el inciso (i) de esta proposición.

Corolario 2.3.7. Sea f : S1 → S1 una función continua en la circunferencia.Entonces:

(i) f es inyectiva de grado 1 si y sólo si f es un HPO.(ii) f es un homeomorfismo de grado 1 si y sólo si f es un HPO.

Demostración.(i) ⇒) Como f es inyectiva de grado distinto de cero entonces f es un homeomorfismo (proposición2.3.12 ). Tómese F : R → R cualquier levantamiento de Keener para f por lo que F es unhomeomorfismo. Así, F es invertible y en particular inyectivo por lo cual F es estrictamentedecreciente o estrictamente creciente. Y como

F (t+ 1) = F (t) + 1 > F (t) para cualquier t ∈ R

entonces debe ser que F es estrictamente creciente de donde se concluye que f es un HPO.

⇐) Inmediata, en virtud de la proposición 2.3.15.

(ii) ⇒) En particular se sigue que f es inyectiva y el resultado se obtiene a partir del inciso (i) deeste corolario.

⇐) Inmediata por la proposición 2.3.15.

Proposición 2.3.16. Sean f, g : S1 → S1 funciones en la circunferencia tales quef y g son topológicamente conjugadas por un homeomorfismo h ∈ K(S1). Si t∗ ∈ R esfijo y tomamos un levantamiento de Keener H : R→ R para h entonces


Existe λ = λ(t∗,H) ∈ Z tal que(H F

)(t∗) =

(G H

)(t∗) + λ

donde F , G : R → R son los levantamientos principales de Keener para f y grespectivamente.

Demostración. Por hipótesis sabemos que hf = g h y además el grado de h es k(h) ∈ −1, 1(por la proposición 2.3.10 ).Tómense t∗ ∈ R fijo y H : R → R un levantamiento de Keener cualquiera para h, el cual es unhomeomorfismo (en virtud del corolario 2.3.5 ). Entonces

Π (H F ) = (Π H) F = (h Π) F = h (Π F ) = h (f Π) = (h f) Π= (g h) Π = g (h Π) = g (Π H) = (g Π) H = (Π G) H = Π (G H),

por lo cual(H F

)≡(G H

)mod(1)⇔

((H F

)−(G H

))(s) ∈ Z para cualquier s ∈ R.

En particular,

λ = λ(t∗,H) =((

H F)−(G H

))(t∗) ∈ Z

Y así,(H F

)(t∗) =

(G H

)(t∗) + λ con λ = λ(t∗,H) ∈ Z.

Corolario 2.3.8. Sean f, g : S1 → S1 funciones en la circunferencia tales que f y gson topológicamente conjugadas por un homeomorfismo h ∈ K(S1). Para cada t∗ ∈ Rfijo y cualquier levantamiento de Keener H : R→ R para h existen levantamientos deKeener F,G : R→ R para f y g respectivamente tales que

(H F ) (t∗) = (G H) (t∗).

Demostración. Por hipótesis sabemos que hf = g h y además el grado de h es k(h) ∈ −1, 1(por la proposición 2.3.10 ). Tómense t∗ ∈ R fijo y H : R → R un levantamiento de Keenercualquiera para h, el cual es un homeomorfismo (en virtud del corolario 2.3.5 ). En virtud de laproposición 2.3.16 se sabe que

Existe λ = λ(t∗,H) ∈ Z tal que(H F

)(t) =

(G H

)(t) + λ

donde F , G : R→ R son los levantamientos principales de Keener para f y g respectivamente.(i) Si k(h) = 1 entonces los levantamientos de Keener F, G : R → R, F = F − λ para f y gsatisfacen

(H F ) (t∗) = H(F (t∗)− λ

)=(H F

)(t∗)− λ =

(G H

)(t∗).

(ii) Si k(h) = −1 entonces los levantamientos de Keener F, G : R → R, F = F + λ para f y gsatisfacen


(H F ) (t∗) = H(F (t∗) + λ

)=(H F

)(t∗)− λ =

(G H

)(t∗).

Proposición 2.3.17. Sean f, g : S1 → S1 funciones continuas en la circunferenciatales que f y g son topológicamente conjugadas por un homeomorfismo h ∈ K(S1). SiH : R→ R es un levantamiento de Keener para h entonces

Existe λ ∈ Z tal que(H F

)=(G H

)+ λ

donde F , G : R → R son los levantamientos principales de Keener para f y grespectivamente.

Demostración. Por hipótesis sabemos que h f = g h, que el grado de h es k(h) ∈ −1, 1 (porla proposición 2.3.10 ) y además que los levantamientos principales de Keener F , G : R → R soncontinuos (por la proposición 2.3.2 ).Tómese H : R → R un levantamiento de Keener cualquiera para h, el cual es un homeomorfismo(en virtud del corolario 2.3.5 ). Entonces

Π (H F ) = (Π H) F = (h Π) F = h (Π F ) = h (f Π) = (h f) Π= (g h) Π = g (h Π) = g (Π H) = (g Π) H = (Π G) H = Π (G H),

por lo cual(H F

)≡(G H

)mod(1).

Entonces la función continua(H F

)−(G H

): R→ Z debe ser contante:

(H F

)−(G H

)= λ ∈ Z

Y así,(H F

)=(G H

)+ λ.

Corolario 2.3.9. Sean f, g : S1 → S1 funciones continuas en la circunferencia talesque f y g son topológicamente conjugadas por un homeomorfismo h ∈ K(S1). Paracualquier levantamiento de Keener H : R→ R para h existen levantamientos de KeenerF,G : R→ R para f y g respectivamente tales que

H F = G H

(esto es, F y G son topológicamente conjugadas por H).

Demostración. Por hipótesis sabemos que hf = g h y además el grado de h es k(h) ∈ −1, 1(por la proposición 2.3.10 ). Tómese H : R→ R un levantamiento de Keener cualquiera para h, elcual es un homeomorfismo (en virtud del corolario 2.3.5 ). En virtud de la proposición 2.3.17 sesabe que


Existe λ ∈ Z tal que(H F

)=(G H

)+ λ

donde F , G : R→ R son los levantamientos principales de Keener para f y g respectivamente.(i) Si k(h) = 1 entonces los levantamientos de Keener F, G : R → R, F = F − λ para f y gsatisfacen

H F = H(F − λ

)=(H F

)− λ = G H.

(ii) Si k(h) = −1 entonces los levantamientos de Keener F, G : R → R, F = F + λ para f y gsatisfacen

H F = H(F + λ

)=(H F

)− λ = G H.

Definición 2.3.2. La función

rα : S1 → S1 tal que rα(x) = e2π(t+α)i con t ∈ Π−1 (x) para x ∈ S1

donde α ∈ [0, 1) está fijo es llamada rotación de ángulo 2πα (en S1).

Proposición 2.3.18. (Propiedades de las rotaciones de ángulo en S1) Tómeseα ∈ [0, 1) fijo.

(i) rα es continua (en S1).(ii) Si Rα : R→ R es un levantamiento de Keener para rα entonces existe j ∈ Z tal

que Rα = 1R + α+ j.(iii) rα es invertible, y más aún, (rα)−1 = r−α.(iv) rα es un homeomorfismo.(v) Los levantamientos de Keener para rα son estrictamente crecientes.(vi) rα es un HPO.

Demostración. (i) Tomemos la rama principal R0 = [0, 2π) del argumento en C. Entonces lasfunciones

argR0: S1 → R0 tal que f(z) = argR0

(z) para z ∈ S1 yg : R0 → S1 tal que g(t) = e2π(t+α)i para t ∈ R0 (es decir, g = Π (1R + α))

son continuas por lo que la función rα : S1 → S1, rα = g f es continua.

(ii) La función 1R + α : R→ R satisface

(1R + α) (t+ 1) = (t+ 1) + α = (t+ α) + 1 = (1R + α) (t) + 1 para cualquier t ∈ R.

P.d. Π (1R + α) = rα Π.Sea t ∈ R fijo. Entonces

(Π (1R + α)) (t) = Π((1R + α) (t)) = Π(t+ α) = e2π(t+α)i = rα(Π(t)) = (rα Π)(t).


Lo expuesto anteriormente implica que la función 1R + α : R → R es un levantamiento continuopara rα : S1 → S1 y en virtud del lema 2.3.1 se sigue que 1R + α : R → R también es unlevantamiento de Keener. De aquí se sigue el resultado.

(iii) P.d. rα r−α = 1S1 = rα r−α donde 1S1 : S1 → S1 es la función identidad en S1.

Sea x ∈ S1 y tómese t ∈ Π−1 (x). Entonces las funciones continuas rα, r−α : S1 → S1 donderα = Π (1R + α) y r−α = Π (1R − α) satisfacen:

(rα r−α)(x) = (rα r−α)(Π(t)) = rα(r−α(e2πti)) = rα(e

2π(t−α)i) = e2πti = x = 1S1(x) y(r−α rα)(x) = (r−α rα)(e2πti) = r−α(rα(e

2πti)) = r−α(e2π(t+α)i) = e2πti = x) = 1S1(x).

(iv) Por el inciso (iii) de esta proposición sabemos que rα es una función invertible y continua, yen virtud del teorema 1.1.8 se sigue que rα es un homeomorfismo.

(v) Tómese cualquier Rα : R→ R levantamiento de Keener para rα ∈ K(S1); por el inciso (ii) deesta proposición sabemos que

Existe µ ∈ Z tal que Rα(t) = t+ α+ µ para cualquier t ∈ R.

P.d. Rα es estrictamente creciente.Sean t, s ∈ R tal que t < s. Por tanto

Rα(t) = t+ α+ µ < s+ α+ µ = Rα(s).

(vi) Sea k(rα) ∈ Z el grado de rα =⇒ k(rα) ∈ −1, 1. Luego para cualquier levantamiento deKeener Rα : R→ R para rα se cumple:

Rα(t) < Rα(t+ 1) = Rα(t) + k(rα) para cualquier t ∈ R (pues Rα es estrictamente creciente)=⇒ k(rα) > 0 y así k(rα) = 1.

Finalmente, como rα es un homeomorfismo de grado 1 en virtud del corolario 2.3.6 se sigue querα es un HPO.

2.4 CONJUNTOS Y NÚMEROS DE ROTACIÓN EN LA CLASE DEKEENER.

Definición 2.4.1. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 y F : R→ R unlevantamiento de Keener para f .(i) El número de rotación de F en t ∈ R se define como

ρ(F, t) = lim sup 1n(F

n(t)− t).

(ii) El conjunto de rotación de F se define como el conjunto

ρ(F ) = ClR(ρ(F, t)|t ∈ R).

Observación 2.4.1. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 y F : R→ R unlevantamiento de Keener para f .Entonces para cada t ∈ R se tiene que

ρ(F, t) ∈ R, ρ(F, t) = +∞ ó ρ(F, t) = −∞.

Proposición 2.4.1. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1tal que f es continua o f ∈ K(S1). Si F : R→ R es un levantamiento de Keener paraf entonces

Existen lim sup(Fn(t)−t

n

), lim inf

(Fn(t)−t

n

)∈ R para cualquier t ∈ R.

Demostración. Tómese t ∈ R y sea F : R→ R un levantamiento de Keener para f . Si definimosla sucesión de funciones

Hn : R→ R,Hn = Fn − 1R para cualquier n ∈ N

entonces Hn es periódica de periodo 1 para cualquier n ∈ N, de donde

Existe Ann∈N ⊆ R tal que sup|Hn(t)| |t ∈ R ≤ An para cualquier n ∈ N

(pues toda función periódica continua ó continua por tramos es acotada).Hágase H : R→ R,H = H1 y A1 = A.

P.d. Hn(t) =n−1∑i=0

H(F i(t)) para cualquier n ∈ N.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.

Sea n = 1. Entonces H1(t) = H(t) = H(F 0(t)) =0∑

i=0H(F i(t)) =

(1)−1∑i=0

H(F i(t)).

(Hipótesis de Inducción) Supóngase que Hk(t) =k−1∑i=0

H(F i(t)) para algún k ∈ N, k > 1.

Ahora sea α = F k(t). Para n = k + 1 se cumple que

148


Hk+1(t) = F k+1(t)− t = F (F k(t)) = F (α)− t = (H(α) + α)− t =(F k(t)− t

)+H(Fk(t))

= Hk(t) +H(F k(t)) =k−1∑i=0

H(F i(t)) +H(F k(t)) =k∑

i=0H(F i(t)) =

(k+1)−1∑i=0

H(F i(t)).

Por el resultado anterior se sigue que Fn(t)− t =n−1∑i=0

H(F i(t)) para cualquier n ∈ N y así

|Fn(t)− t| = |Hn(t)| =∣∣∣∣n−1∑i=0

H(F i(t))

∣∣∣∣ ≤n−1∑i=0

∣∣H(F i(t))∣∣ ≤ n sup|H(t)| |t ∈ R = nA para

cualquier n ∈ N⇒∣∣∣F

n(t)−tn

∣∣∣ = |Fn(t)−t|n ≤ A para cualquier n ∈ N

=⇒−A ≤ Fn(t)−tn ≤ A para cualquier n ∈ N.

Así la sucesión Fn(t)−tn n∈N ⊆ R esta acotada, por lo cual lim sup

(Fn(t)−t

n

), lim inf

(Fn(t)−t

n

)∈

R.

Proposición 2.4.2. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1tal que f es continua o f ∈ K(S1).

(i) Si F1, F2 : R→ R son levantamientos de Keener para f entonces

Existe µ ∈ Z tal que ρ(F1, t) = ρ(F2, t) + µ para cualquier t ∈ R,

y así

ρ(F1) = ρ(F2) + µ.

(ii) Sean t, t∗ ∈ R tales queΠ(t) = Π(t∗) ∈ S1 y tómese F : R→ R un levantamientode Keener para f . Entonces

ρ(F, t) = ρ(F, t∗).

Demostración. Sabemos que F1 = F2 + µ para algún µ ∈ Z ⇒ Fn1 = Fn

2 + nµ para cualquiern ∈ N.

(i) P.d. ρ(F1, t) = ρ(F2, t) + µ para cualquier t ∈ R.Sea t ∈ R fijo. Entonces

ρ(F1, t) = lim sup 1n (Fn

1 (t)− t) = lim sup 1n (Fn

2 (t) + nµ− t)= lim sup 1

n (Fn2 (t)− t) + lim supµ = ρ(F2, t) + µ.

(ii) Como Π(t) = Π(t∗)⇒ t = t∗ + µ para algún µ ∈ Z (pues t ≡ t∗mod(1)). En virtud de que fes de grado 1 entonces

ρ(F, t) = lim sup 1n (Fn(t)− t) = lim sup 1

n (Fn(t∗ + µ)− (t∗ + µ))= lim sup 1

n (Fn(t∗) + µ− t∗ − µ) = lim sup 1n (Fn(t∗)− t∗) = ρ(F, t∗).


Lema 2.4.1. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 talque f es continua o f ∈ K(S1). Si F : R → R es un levantamiento de Keener para fentonces la función

h : R→ R, h(t) = ρ(F, t) para cualquier t ∈ R

es periódica de periodo 1.

Demostración. Inmediata en virtud de la proposición 2.4.2, pues

h(t+ 1) = ρ(F, t+ 1) = ρ(F, t) = h(t) para cualquier t ∈ R

(porque Π(t+ 1) = Π(t) para cualquier t ∈ R).

Lema 2.4.2. Sean f, g : S1 → S1 funciones en la circunferencia de grado 1 talesque f y g son continuas o f, g ∈ K(S1). Supongamos que f y g son conjugadastopológicamente por un homeomorfismo h ∈ K(S1) y para cada t∗ ∈ R fijo y cualquierlevantamiento de Keener H : R → R para h sean F,G : R → R los levantamientos deKeener para f y g respectivamente tales que

(H F ) (t∗) = (G H) (t∗).

Entonces

lim sup((ϕGn)(t∗)

n

)= lim sup

(ϕ(t∗)n

)= 0

donde ϕ : R→ R, ϕ = H − 1R (con 1R : R→ R la función identidad en R).

Demostración. Por hipótesis sabemos que hf = g h y además el grado de h es k(h) ∈ −1, 1(por la proposición 2.3.10 ).Tómense t∗ ∈ R fijo y H : R → R un levantamiento de Keener cualquiera para h, el cual es unhomeomorfismo (en virtud del corolario 2.3.5 ). Además

(H Gn) (t∗) = (Fn H) (t∗) para cualquier n ∈ N.

Entonces la función ϕ : R → R, ϕ = H − 1R es continua y periódica de periodo 1 (proposición2.1.12 ) por lo que ϕ está acotada, es decir,

Existe M ∈ R tal que |ϕ(t∗)| ≤M y |(ϕ Gn) (t∗)| ≤M para cualquier n ∈ N.

Luego las sucesiones ϕ(t∗)n n∈N, (ϕGn)(t∗)n n∈N ⊆ R están acotadas por lo que

Existen lim sup((ϕGn)(t∗)

n

), lim sup

(ϕ(t∗)n

)∈ R,

y más aún,

lim sup(ϕ(t∗)n

)= lim

n→∞

(ϕ(t∗)n

)= 0.


P.d. limn→∞

((ϕGn)(t∗)

n

)= lim

n→∞

(ϕ(t∗)n

).

Sea ǫ > 0 cualquiera. Por la propiedad arquimediana existe N ∈ N tal que 2M < Nǫ y sin ∈ N, n ≥ N entonces

∣∣∣ (ϕGn)(t∗)n − ϕ(t∗)

n

∣∣∣ = |(ϕGn)(t∗)−ϕ(t∗)|n ≤ 2M

n ≤ 2MN < ǫ.

Finalmente, en virtud de los resultados (i) y (ii) se concluye que


n

)= lim

n→∞

((ϕGn)(t∗)

n

)= 0.

Proposición 2.4.3. Sean f, g : S1 → S1 funciones en la circunferencia de grado 1tales que f y g son continuas o f, g ∈ K(S1) y supongamos que f y g son conjugadastopológicamente por un homeomorfismo h ∈ K(S1). Para cada t∗ ∈ R fijo y cualquierlevantamiento de Keener H : R → R para h existen levantamientos de Keener F,G :R→ R para f y g respectivamente tales que

ρ(G, t∗) = ρ(F,H(t∗)).

Demostración. Por hipótesis sabemos que hf = g h y además el grado de h es k(h) ∈ −1, 1(por la proposición 2.3.10 ).Tómense t∗ ∈ R fijo y H : R → R un levantamiento de Keener cualquiera para h, el cual es unhomeomorfismo (en virtud del corolario 2.3.5 ). Por el corolario 2.3.8 existen levantamientos deKeener F,G : R→ R para f y g respectivamente tales que

(H F ) (t∗) = (G H) (t∗)⇒ (H Gn) (t∗) = (Fn H) (t∗) para cualquier n ∈ N.

Entonces la función ϕ : R→ R, ϕ = H−1R es continua y periódica de periodo 1 (por la proposición2.1.12 ), por lo cual es acotada. De acuerdo al lema 2.4.2 se sigue que


n

)= lim sup

(ϕ(t∗)n

)= 0.

Ahora:

(Gn + ϕ Gn) (t∗) = ((1R + ϕ) Gn) (t∗) = (H Gn) (t∗) = (Fn H) (t∗) para cualquier n ∈ N⇒ (Gn + ϕ Gn − 1R − ϕ) (t∗) = (Gn + ϕ Gn −H) (t∗)

= (Fn H −H) (t∗) = ((Fn − 1R) H) (t∗) para cualquier n ∈ N⇒ (Gn − 1R + ϕ Gn) (t∗) = ((Fn − 1R) H + ϕ) (t∗) para cualquier n ∈ N−−− (∗)

Usando (∗) finalmente se concluye que

ρ(G, t∗) = lim sup 1n (Gn(t∗)− t∗) = lim sup 1

n(Gn − 1R)(t∗)

= lim sup 1n(G

n − 1R)(t∗) + lim sup (ϕGn)(t∗)n = lim sup 1

n(Gn − 1R + ϕ Gn)(t∗)

= lim sup 1n ((Fn − 1R) H) (t∗) = lim sup 1

n (Fn(H(t∗))−H(t∗)) = ρ(F,H(t∗)).


Observación 2.4.2. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 tal que f escontinua ó f ∈ K(S1), F : R → R un levantamiento de Keener para f , p ∈ Z, q ∈ N y supóngaseque existe t∗ ∈ R que satisface F q(t∗)− t∗ = p. Entonces:(i) Fnq(t∗) = np+ t∗ para cada n ∈ N;(ii) La subsucesión

Fnq(t∗)−t∗

nq

n∈N

⊆ R satisface

limn→∞

(Fnq(t∗)−t∗

nq

)= lim

n→∞

(pq

)= p

q ∈ Q.

Si

Et∗ =

x ∈ R|x es un límite subsecuencial de la sucesión

Fn(t∗)−t∗

n

n∈N

⊆ R

sabemos que existen

lim sup(Fn(t∗)−t∗

n

)= sup(Et∗) = max(Et∗), lim inf

(Fn(t∗)−t∗

n

)= inf(Et∗) =mın(Et∗) ∈ R

(pues E es cerrado en la topología usual). Por lo tanto

lim inf(Fn(t∗)−t∗

n

)≤ p

q ≤ lim sup(Fn(t∗)−t∗

n

)= ρ(F, t∗).

Proposición 2.4.4. Sean f ∈ K(S1) de grado 1, F : R→ R un levantamiento deKeener para f y p ∈ Z, q ∈ N. Si no existe t ∈ R con F q(t)− t = p tal que ρ(F, t) = p

q

entonces ρ(F ) ⊆ R− pq .

Demostración. Se sabe por hipótesis que F q(t)− t = p para todo t ∈ R por lo cual:

Para cada t ∈ R se cumple que F q(t)− t > p ó bien F q(t)− t < p.

P.d. Para cada t ∈ R existe ǫ > 0 tal que F q(t)− t > p+ ǫ ó bien F q(t)− t < p− ǫ.Sea t ∈ R fijo. Si |F q(t)− (t+ p)| ≤ γ para cualquier γ > 0 entonces F q(t) = t + p! Estacontradicción nos indica que

Existe ǫ > 0 tal que |F q(t) + (t+ p)| > ǫ.

Y esto implica que

F q(t)− (t+ p) > ǫ ó bien F q(t)− (t+ p) < −ǫ⇒ F q(t)− t > p+ ǫ ó bien F q(t)− t < p− ǫ.

P.d.Para cada t ∈ R se cumple que Fnq(t) > t + n(p + ǫ) ó Fnq(t) < t + n(p − ǫ) para cualquiern ∈ N.Sea t ∈ R fijo. La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se sigue de inmediato por el resultado anterior.(Hipótesis de Inducción) Supongamos que


F kq(t) > t+ k(p+ ǫ) ó F kq(t) < t+ k(p− ǫ)

para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 se tiene que

F (k+1)q(t) = F kq(F q(t)) > F q(t) + k(p+ ǫ) > t+ (p+ ǫ) + k(p+ ǫ) = t+ (k + 1)(p+ ǫ) ó bienF (k+1)q(t) = F kq(F q(t)) < F q(t) + k(p− ǫ) < t+ (p− ǫ) + k(p− ǫ) = t+ (k + 1)(p− ǫ).

En virtud de todos los resultados anteriores para cada t ∈ R fijo se tiene que

ρ(F, t) = lim sup((Fn(t)−t)

n

)≥ lim sup

((Fnq(t)−t)

nq

)> lim sup

(n(p+ǫ)

nq

)= p+ǫ

q ó bien

lim sup (Fnq(t)−t)nq < lim sup

(n(p−ǫ)

nq

)= p−ǫ

q =⇒ ρ(F, t) = lim sup((Fn(t)−t)

n

)≤ p−ǫ

q .

Y esto finalmente significa que

ρ(F ) = ClR(ρ(F, t)|t ∈ R) ⊆ ClR((−∞, p−ǫq ] ∪ [p+ǫq ,∞)) = (−∞, p−ǫ

q ] ∪ [p+ǫq ,∞).

Corolario 2.4.1. Sean f ∈ K(S1) de grado 1, F : R → R un levantamiento de

Keener para f y p ∈ Z, q ∈ N. Si ρ(F ) =

pq

entonces ρ(F, t) = p

q para algún t ∈ R y

f tiene un punto periódico x ∈ S1 de periodo q.

Demostración.Si no existiera t ∈ R con F q(t) − t = p tal que ρ(F, t) = p

q entonces por la proposición 2.4.4 setendría que ρ(F ) ⊆ R−pq , lo cual no es posible por la hipótesis. Por tal motivo existe t∗ ∈ R conF q(t∗)− t∗ = p tal que ρ(F, t∗) =

pq y entonces x = Π(t∗) ∈ S1 satisface

fq(x) = fq(Π(t∗)) = Π(F q(t∗)) = Π(t∗ + p) = Π(t∗) = x,

es decir, x es un punto periódico para f de periodo q.

Proposición 2.4.5. Sean f : S1 → S1 continua de grado 1, F : R → R unlevantamiento de Keener para f y p ∈ Z, q ∈ N. Si no existe t ∈ R con F q(t)− t = ptal que ρ(F, t) = p

q entonces ρ(F ) ⊆ x ∈ R|x < pq ó ρ(F ) ⊆ x ∈ R|x > p

q.

Demostración. Dado que F q(t)−t = p para todo t ∈ R y en virtud del teorema de la conservacióndel signo para funciones continuas se sigue que

Hq(t)− p > 0 para cualquier t ∈ R ó bienHq(t)− p < 0 para cualquier t ∈ R.

P.d. Existe ǫ > 0 tal que F q(t) − t > p + ǫ para cualquier t ∈ R ó bien F q(t) − t < p − ǫ paracualquier t ∈ R.Si |F q(t)− (t+ p)| ≤ γ para cualquier γ > 0 y t ∈ R entonces F q(t) = t+ p para cualquier t ∈ R!Esta contradicción nos indica que


Existe ǫ > 0 tal que |F q(t) + (t+ p)| > ǫ para cualquier t ∈ R.

Y esto implica que

=⇒ F q(t)− (t+ p) > ǫ para cualquier t ∈ R ó bien F q(t)− (t+ p) < −ǫ para cualquier t ∈ R⇒ F q(t)− t > p+ ǫ para cualquier t ∈ R ó bien F q(t)− t < p− ǫ para cualquier t ∈ R.

P.d. Si n ∈ N entonces Fnq(t) > t+n(p+ ǫ) para cualquier t ∈ R ó bien Fnq(t) < t+n(p− ǫ) paracualquier t ∈ R.La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se sigue de inmediato por el resultado anterior.(Hipótesis de Inducción) Supongamos que existe k ∈ N, k > 1 tal que

F kq(t) > t+ k(p+ ǫ) para cualquier t ∈ R,ó bien, F kq(t) < t+ k(p− ǫ) para cualquier t ∈ R.

Para n = k + 1 se tiene que

F (k+1)q(t) = F kq(F q(t)) > F q(t) + k(p+ ǫ)> t+ (p+ ǫ) + k(p+ ǫ) = t+ (k + 1)(p+ ǫ) para cualquier t ∈ R,

ó bien, F (k+1)q(t) = F kq(F q(t)) < F q(t) + k(p− ǫ)< t+ (p− ǫ) + k(p− ǫ) = t+ (k + 1)(p− ǫ) para cualquier t ∈ R.

En virtud de todo lo anterior:

ρ(F, t) = lim sup((Fn(t)−t)

n

)≥ lim sup

((Fnq(t)−t)

nq

)> lim sup

(n(p+ǫ)

nq

)= p+ǫ

q para cualesquierat ∈ R

ó bien, lim sup (Fnq(t)−t)nq < lim sup

(n(p−ǫ)

nq

)= p−ǫ

q para cualesquiera t ∈ R=⇒ ρ(F, t) = lim sup

((Fn(t)−t)

n

)≤ p−ǫ

q para cualesquiera t ∈ R.

Y esto finalmente significa que

ρ(F ) = ClR(ρ(F, t)|t ∈ R) ⊆ ClR((−∞, p−ǫq ]) = (−∞, p−ǫq ] ⊂ (−∞, pq ) ó

ρ(F ) = ClR(ρ(F, t)|t ∈ R) ⊆ ClR([p+ǫq ,∞)) = [p+ǫq ,∞) ⊂ (pq ,∞, ).

Corolario 2.4.2. Sean f : S1 → S1 una función continua en la circunferencia degrado 1 y F : R→ R un levantamiento de Keener para f .

(i) Tómense α, β ∈ ρ(F ) tales que α ≤ pq ≤ β para algunos p ∈ Z, q ∈ N. Entonces

ρ(F, t) = pq para algún t ∈ R, f tiene un punto periódico x ∈ S1 de periodo q y

pq ∈ ρ(F ).

(ii) ρ(F ) ⊆ R es un intervalo cerrado ó es un sólo punto.

Demostración. (i) Si no existiera t ∈ R con F q(t) − t = p tal que ρ(F, t) = pq entonces por la

proposición 2.4.4 se tendría que

ρ(F ) ⊆ s ∈ R|s < pq = (−∞, pq ) ó ρ(F ) ⊆ s ∈ R|s > p

q = (pq ,∞).


Si ρ(F ) ⊆ (−∞, pq ) entonces β ∈ (−∞, pq ) y así se tendría que pq ≤ β y β < p

q !

Si ρ(F ) ⊆ (pq ,+∞) entonces α ∈ (pq ,∞) y así se tendría que α ≤ pqy

pq < α!

Por lo tanto debe existir t∗ ∈ R con F q(t∗)− t∗ = p tal que ρ(F, t∗) =pq . Entonces x = Π(t∗) ∈ S1

satisface

fq(x) = fq(Π(t∗)) = Π(F q(t∗)) = Π(t∗ + p) = Π(t∗) = x,

con lo que x es punto periódico para f de periodo q. Además

pq = ρ(F, t∗) ∈ ρ(F, t)|t ∈ R ⊆ ρ(F ) =⇒ p

q ∈ ρ(F ).

(ii) En virtud de la proposición 2.4.1 y como ρ(F ) ⊆ R es cerrado tenemos que

Existe Ω = sup (ρ(F )) = max (ρ(F )) , α = inf (ρ(F )) = mın (ρ(F )) ∈ R⇒ α ≤ Ω.

Cuando α = Ω entonces se cumple que ρ(F ) = α = Ω.Ahora supóngase que α < Ω. P.d. ρ(F ) = [α,Ω].⊆) Sea z ∈ ρ(F ). Por definición α ≤ z y z ≤ Ω⇔ z ∈ [α,Ω].⊇) Sea z ∈ [α,Ω].Si z = α ó z = Ω el resultado es inmediato, por lo que se supone que α < z < Ω;si z ∈ Q en virtud del inciso (i) de este corolario debe ser que z ∈ ρ(F ) por lo que sin pérdida degeneralidad suponemos también que z /∈ Q.P.d. z ∈ ρ(F ) = ClR(ρ(F, t)|t ∈ R).Sea V ⊆ R una vecindad cualquiera de z ∈ R, por lo cual existe δ > 0 tal que B(z, δ) = (z− δ, z+δ) ⊆ V . Defínase

ǫ = minz − α, z − δ, z + δ,Ω− z > 0.

Por lo tanto

B(z, ǫ) ⊆ B(z, δ)⇒ B(z, ǫ) ⊆ V y B(z, ǫ) ⊆ (α,Ω).

Ahora dado que ClR(Q) = R entonces existe q ∈ Q tal que q ∈ B(z, ǫ). Por lo tanto se sigue queq ∈ V y q ∈ (α,Ω) y como α < q < Ω en virtud del inciso (i) de este corolario

q = ρ(F, t∗) para algún t∗ ∈ R⇒ q ∈ ρ(F, t)|t ∈ R.

Finalmente, hemos probado que

q ∈ V y q ∈ ρ(F, t)|t ∈ R ⇒ V ∩ ρ(F, t)|t ∈ R = ∅.

Gracias a los esfuerzos de Newhose, Palis y Takens (quienes probaron que la cerradura del conjuntode rotación de una función continua en la circunferencia de grado uno es un intervalo cerrado oun punto) y a la colaboración de Ito (quien probó que el conjunto de rotación de una funcióncontinua en la circunferencia de grado uno es un conjunto cerrado) se logró probar que el conjuntode rotación de una función continua en la circunferencia de grado uno es un intervalo cerrado oun punto.

Definición 2.4.2. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 tal que f escontinua ó f ∈ K(S1). El conjunto de rotación de f se define como el conjunto


ρ(f) = ρ(F )mod(1) ⊆ [0, 1)

donde F : R→ R es algún levantamiento de Keener para f .

Proposición 2.4.6. El conjunto de rotación para una función de grado 1 en lacircunferencia que es continua o que pertenece a la clase de Keener no depende dellevantamiento considerado.

Demostración. Sean F1, F2 : R→ R levantamientos de Keener para f . En virtud de la proposi-ción 2.4.2 se sigue que

Existe λ ∈ Z tal que ρ(F1) = ρ(F2) + λ.

Por lo tanto

ρ(F1)mod(1) = (ρ(F2) + λ)mod(1) = ρ(F2)mod(1).

Observación 2.4.3. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 tal que fes continua ó f ∈ K(S1). Constrúyase la función trozo fundamental asociada f : [0, 1) → R y ellevantamiento Representación Principal de Keener F : R→ R para f .(i) El conjunto

Disc(f) = t ∈ [0, 1)|f tiene una discontinuidad simple en t

es vacío o no vacío finito (en virtud de las observaciones 2.1.9 y 2.1.11 ).(ii) El conjunto

Disc(F |[0,1)) = t ∈ [0, 1)|F tiene una discontinuidad simple en t

es vacío o no vacío finito (por la proposición 2.1.15 ).(iii) El conjunto

Disc(F |[0,1)) = t ∈ [0, 1)|F tiene una discontinuidad simple en t

es vacío o no vacío finito para cualquier levantamiento de Keener F : R → R para f (puesF |[0,1) = F |[0,1) + µ para algúm µ ∈ Z).(iv) El conjunto

Disc(Fm|[0,1)) = t ∈ [0, 1)|Fm tiene una discontinuidad simple en t yDisc(Hm|[0,1)) = t ∈ [0, 1)|Hm tiene una discontinuidad simple en t para

Hm : R→ R,Hm = Fm − 1Rpara cualquier m ∈ N

es vacío o no vacío finito donde F : R→ R es algún levantamiento de Keener para f .(v) El conjunto

Disc(Hm|[0,1)) = t ∈ [0, 1)|Hm tiene una discontinuidad simple en tHm : R→ R,Hm = Fm − 1R para cualquier m ∈ N


es vacío o no vacío finito para cualquier levantamiento de Keener F : R→ R para f .

Observación 2.4.4. Sean f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 tal que fes continua ó f ∈ K(S1). En virtud de la observación 2.4.3 consideremos el número finito deintervalos Cii∈N,i ≤n ⊆ [0, 1) para algún n ∈ N en los cuales la función Fm|[0,1) : [0, 1) → R escontinua y así Cii∈N,i ≤n ⊆ [0, 1) también son los intervalos en donde las funciones Hm|[0,1) :[0, 1)→ R,Hm = Fm − 1R para cualquier m ∈ N son continuas.

Lema 2.4.3. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 y tómeseF : R→ R un levantamiento de Keener para f . Definimos las funciones

Hm : R→ R,Hm = Fm − 1R con 1R : R→ R la función identidad para cada m ∈ N.

Supóngase también que f no tiene puntos periódicos.(i) Si f ∈ K(S1) entonces existe una sucesión pmm∈N ⊆ Z y un entero λ ∈ Z tales

que

pm < Hm(t) < pm + λ para cualesquiera t ∈ [0, 1),m ∈ N.

(ii) Si f es continua entonces existe una sucesión pmm∈N ⊆ Z tales que

pm < Hm(t) < pm + 1 para cualquier t ∈ [0, 1),m ∈ N.

Demostración. Tómese cualquier m ∈ Z fijo.Como f no tiene puntos periodicos entonces

Hm(t) = Fm(t)− t /∈ Z para cualquier t ∈ R.

Consideremos el número finito de intervalos Cii∈N,i≤l ⊆ [0, 1) para algún l ∈ N en los cuales lafunción Fm|[0,1) : [0, 1)→ R es continua. Así:(a) Cii∈N,i≤n ⊆ [0, 1) también son los intervalos en donde las funciones Hm|[0,1) : [0, 1)→ R paracualquier m ∈ N son continuas;(b) Las funciones Hm : R→ R son periódicas de periodo 1 para cualquier m ∈ N.

Si m ∈ Z está fijo defínanse

pm(t) = maxk ∈ Z|k < Hm(t), λm(t) = mınλ ∈ N|Hm(t) < pm(t) + λ ∈ Z para cadat ∈ [0, 1).

(esto es posible dado que toda función periódica continua ó continua por tramos es acotada).

1a. Parte) Tómese m ∈ N fijo y cualquier intervalo Ci ⊂ [0, 1) para algún i ∈ N, i ≤ l.P.d. Existen pm,i ∈ Z, λm,i ∈ N tales que pm,i = pm(r), λm,i = λm(r) para cualquier r ∈ Ci.Si s, t ∈ Ci tales que s < t entonces

pm(t) < Hm(t) < pm(t) + λm(t) y pm(s) < Hm(s) < pm(s) + λm(s).

Luego,

Hm(t) = pm(s) y Hm(t) = pm(s) + λm(s) (pues Hm(t) /∈ Z).


Si pm(s) + λm(s) < Hm(t) entonces pm(s) + λm(s) ∈ (Hm(s),Hm(t)) y por el teorema del valorintermedio existiría t∗ ∈ [s, t] ⊂ Ci tal que Hm(t∗) = pm(s) + λm(s) ∈ Z! De donde Hm(t) <pm(s) + λm(s).Si Hm(t) < pm(s) entonces pm(s) ∈ (Hm(t),Hm(s)) y por el teorema existiría t∗∗ ∈ [t, s] ⊂ Ci talque Hm(t∗∗) = pm(s) ∈ Z! De donde pm(s) < Hm(t).Analogamente tenemos

Hm(s) = pm(t) y Hm(s) = pm(t) + λm(t) (pues Hm(s) /∈ Z).

Y por los mismos argumentos se sigue que pm(t) < Hm(s) < pm(t) + λm(t).Los resultados anteriores implican que pm(s) ≤ pm(t) y pm(t) ≤ pm(s) (por su definición), dedonde pm(t) = pm(s).

P.d. λm,i = 1.Supóngase que λm,i > 1.Sean t, s ∈ Ci con t = s. Si pm,i + 1 ∈< Hm(t),Hm(s) > entonces existiría t∗ ∈< t, s >⊂ Ci talque Hm(t∗) = pm,i + 1 ∈ Z! Esto significaría que

pm,i + 1 < Hm(t) para cada t ∈ Ci ó bien pm,i + 1 > Hm(t) para cada t ∈ Ci.

Si pm,i+1 < Hm(t) para cada t ∈ Ci por la construcción tendría que ser pm,i+1 ≤ pm,i =⇒ 1 ≤ 0!;ahora, si pm,i + 1 > Hm(t) para cada t ∈ Ci por la construcción tendría que ser 1 ≥ λm,i! (porhipótesis).Como el suponer que λm,i > 1 nos lleva siempre a una contradicción se sigue el resultado.

2a. Parte) Tómese m ∈ N fijo.El conjunto Disc(Hm|[0,1)) ⊂ [0, 1) es vacío o no vacío finito. Entonces existen

pm =mın(pm,ii∈N,i≤l ∪ pm(t)|t ∈ Disc(Hm)

)∈ Z,

p∗m = max(pm,i + 1i∈N,i≤l ∪ pm(t) + 1|t ∈ Disc(Hm)

)∈ Z.

Y así,

pm < Hm(t) < p∗m para cualesquiera t ∈ [0, 1).

Podemos reescribir

p∗m = pm + km con km ∈ N.

(i) Si f ∈ K(S1) entonces Fm es inyectiva y Hm = Fm − 1R es acotada para cualquier m ∈ N.Por lo cual debe existir λ ∈ Z tal que

km ≤ λ para cualquier m ∈ N

(pues si no existiera la sucesión kmm∈N ⊆ N sería no acotada y por tanto tendría una subsucesiónque diverge, contradiciendo la acotación de Hm para cualquier m ∈ N).Finalmente esto significa que

pm < Hm(t) < pm + km ≤ pm + λ para cualesquiera m ∈ N, t ∈ [0, 1).


(ii) Si f es continua entonces l = 1 (pues hay un sólo (sub)intervalo [0, 1) ⊆ [0, 1) donde Hm escontinua) y Disc(Hm) = ∅ y por tanto

pm = mın(pm,ii∈N,i≤1

)= mın (pm,1) = pm,1,∈ Z

p∗m =max(pm,i + 1i∈N,i≤1

)= max (pm,1) + 1 = pm,1 + 1 = pm + 1 ∈ Z

para cualquier m ∈ N.Finalmente esto significa que

pm < Hm(t) < pm + 1 para cualesquiera m ∈ N, t ∈ [0, 1).

Corolario 2.4.3. Sea f : S1 → S1 una función en la circunferencia de grado 1 ytómese F : R→ R un levantamiento de Keener para f . Definimos las funciones

Hm : R→ R,Hm = Fm − 1R con 1R : R→ R la función identidad para cada m ∈ N.

Supóngase también que f no tiene puntos periódicos.(i) Si f ∈ K(S1) entonces existe una sucesión pmm∈N ⊆ Z y un entero λ ∈ Z tales

que

pm < Hm(t) < pm + λ para cualesquiera t ∈ R,m ∈ N.

(ii) Si f es continua entonces existe una sucesión pmm∈N ⊆ Z tales que

pm < Hm(t) < pm + 1 para cualquier t ∈ R,m ∈ N.

Demostración. Inmediata a partir del lema 2.4.3 ya que las funciones

Hm : R→ R,Hm = Fm − 1R para cada m ∈ N

son periódicas de periodo 1 (pues f es de grado 1).

Proposición 2.4.7. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1 y tómese F : R → R unlevantamiento de Keener para f .

(i) Existe limn→∞

Fn(t)n ∈ R para cualquier t ∈ R.

(ii) limn→∞

Fn(t)n = lim

n→∞Fn(s)

n ∈ R para cualesquiera t, s ∈ R.

Demostración. Notemos que las funcionesHm : R→ R son periódicas de periodo 1 para cualquierm ∈ N.

(i) Primero probaremos que al menos un límite en particular existe.

Caso (I) Supóngase que f tiene un punto periódico x ∈ S1 de periodo q ∈ N.En virtud de la proposición 2.2.2 sabemos que


Existe t∗ ∈ R tal que Π(t∗) = x y F q(t∗) = t∗ + p para algún p ∈ Z.

Por lo cual Fnq(t∗) = t∗ + np para cualquier n ∈ N (pues el grado de f es 1) y por lo tanto

limn→∞

(Fnq(t∗)

nq

)= p

q .

P.d. limk→∞

Fk(t∗)k = p

q .

Sea ǫ > 0. Entonces existe N ∈ N tal que si n ≥ N,n ∈ N

⇒∣∣∣F

nq(t)nq − p

q

∣∣∣ < ǫ2 .

Defínase

M = max|Hm(t∗)| |m ∈ Z, 0 ≤ m < q ∈ R

(pues toda función periódica continua ó continua por tramos es acotada).Y así,

Existe K ∈ N tal que M < ǫK.

En virtud de algoritmo de la división en Z para cada k ∈ N podemos escribir

k = nkq +mk donde nk,mk ∈ Z con 0 ≤mk < q.

Por lo tanto:∣∣∣F

k(t∗)−Fnkq(t∗)k

∣∣∣ = |Fmk (Fnkq(t∗))−Fnkq(t∗)|k =

|Hmk(Fnkq(t∗)|k

=|Hmk

(t∗+nkp)|k =

|Hmk(t∗)|

k ≤ Mk .

Entonces para cada k ≥ K, k ∈ N se tiene que∣∣∣F

k(t)k − p

q

∣∣∣ =∣∣∣(F

k(t)k − Fnkq(t)

nkq) + (F

nkq(t)nkq

− pq )∣∣∣

≤∣∣∣F

k(t)k − Fnkq(t)

nkq

∣∣∣+∣∣∣F

nkq(t)nkq

− pq

∣∣∣ < Mk + ǫ

2 ≤ MK + ǫ

2 < ǫ.

Caso (II) Supóngase que f no tiene puntos periódicos.Tómese cualquier t ∈ R fijo. Para la sucesión de funciones

Hm : R→ R,Hm = Fm − 1R con m ∈ N

tenemos que

Hm(t) = Fm(t)− t /∈ Z para cualquier m ∈ N.

Por el lema 2.4.3 existe una sucesión

pmm∈N ⊆ Z tal que pm < Hm(t) < pm + λ para cualquier m ∈ N−−− (I)

Tómense n,m ∈ N tales que n ≥ m. Luego:

pm + t < Fm(t) < pm + t+ 1 para cualquier t ∈ R−−− (II) (en virtud del resultado (I))


En particular, a partir del resultado (II) y para cada t ∈ F km(0)|0 ≤ k < n con k ∈ Z ⊂ Robtenemos las desigualdades

pm + Fmk(0) < Fm(k+1)(0) < pm + Fmk(0) + λ para cada k ∈ Z, 0 ≤ k < n−−(III)

(pues Fm(k+1)(0) = Fm(Fmk(0)) para cada k ∈ Z, 0 ≤ k < n).Restando y sumando las n desigualdades (descritas en el resultado (III)) obtenemos

npm < Fmn(0) =n−1∑k=0

(Fm(k+1)(0)− Fmk(0)

)< n(pm + λ).

Por tanto

pmm < Fmn(0)

mn < pm+λm −−− (IV )

Sustituyendo t = 0 en el resultado (II) obtenemos

pm < Fm(0) < pm + λ

y así

−(pm+λm ) < −Fm(0)m < −pm

m −−− (V )

Sumando (IV ) y (V ) obtenemos

− λm < Fmn(0)

mn − Fm(0)m < λ

m ⇔∣∣∣F

mn(0)mn − Fm(0)

m

∣∣∣ < λm −−− (V I)

Análogamente y por simetría también se sigue que

−λn < Fmn(0)

mn − Fn(0)n < λ

n ⇔∣∣∣F

mn(0)mn − Fn(0)

n

∣∣∣ < λn −−− (V II)

P.d. Fn(0)n n∈N ⊆ R es una sucesión de Cauchy.

Sea ǫ > 0. Luego

Existe N ∈ N tal que 2λ < Nǫ.

Para n,m ∈ N tal que n ≥ m ≥ N entonces (por los resultados (V I) y (V II)) se cumple∣∣∣F

n(0)n − Fm(0)

m

∣∣∣ ≤∣∣∣F

n(0)n − Fmn(0)

mn

∣∣∣+∣∣∣F

m(0)m − Fmn(0)

mn

∣∣∣ < λm + λ

n = λ(1n + 1

m

)≤ 2λ

N < ǫ.

Finalmente, como la sucesión Fn(0)n n∈N es de Cauchy entonces converge en R, es decir, existe

limn→∞

Fn(0)n ∈ R.

(ii) Ahora probaremos que suponiendo la existencia de los límites, no importa el valor en dondese evalúa el límite.

Recordemos que F es estrictamente creciente (pues f es un FPO).P.d. |Fn(t)− Fn(s)| ≤ 1 para cualesquiera t, s ∈ R tales que |t− s| < 1.Si tomamos t, s ∈ R tales que |t− s| < 1 entonces s− 1 ≤ t ≤ s+ 1 y por tanto

Fn(s)− 1 = Fn(s− 1) ≤ Fn(t) ≤ Fn(s+ 1) = Fn(s) + 1


y esto significa que |Fn(t)− Fn(s)| ≤ 1.

P.d. Para cualesquiera t, s ∈ R existe k = k(t, s) ∈ N tal que |Fn(t)− Fn(s)| < 2 + k.Tómense t, s ∈ R cualesquiera. Entonces

Existe k = k(t, s) ∈ N tal que |t− s| ≤ k.

Podemos escribir

t = [t]Ent + αt donde αt = (1R − []Ent)(t) = t− [t]Ent ∈ [0, 1),s = [s]Ent + αs donde αs = (1R − []Ent)(s) = s− [s]Ent ∈ [0, 1).

Y para cada n ∈ N se cumple que

|Fn(t)− Fn(s)| = |(Fn(t)− t)− (Fn(s)− s) + (t− s)| ≤ |Hn(t)−Hn(s)|+ |t− s|= |Hn(αt)−Hn(αs)|+ k = |(Fn(αt)− Fn(αs)) + (αs − αt)|+ k < |Fn(αt)− Fn(αs)|+ 1 + k.

Y por el resultado anterior se sigue que

|Fn(t)− Fn(s)| < |Fn(αt)− Fn(αs)|+ 1 + k < 2 + k.

P.d. limn→∞

(Fn(t)n − Fn(s)

n

)= 0 para cualesquiera t, s ∈ R.

Tómense t, s ∈ R y sea ǫ > 0. Luego

Existe k = k(t, s) ∈ N tal que |Fn(t)− Fn(s)| < 2 + k.

En consecuencia

Existe N ∈ N tal que 2 + k < ǫN.

Por lo cual si n ∈ N, n ≥ N entonces∣∣∣F

n(t)n − Fn(s)

n

∣∣∣ = |Fn(t)−Fn(s)|n < 2+k

n ≤ 2+kN < ǫ.

Corolario 2.4.4. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1. Si F : R→ R es cualquierlevantamiento de Keener para f entonces

(i) ρ(F, t) = limn→∞

Fn(t)n ∈ R para cualquier t ∈ R,

(ii) ρ(F, t) = ρ(F, s) para cualquier t, s ∈ R.

Demostración. (i) Sea t ∈ R fijo. En virtud de la proposición 2.4.7 la sucesión

Fn(t)n

n∈N

⊆ R

es convergente, por lo cual

lim sup(Fn(t)n

)= lim

n→∞

(Fn(t)n

)∈ R.

Y como


lim sup(tn

)= lim

n→∞

(tn

)= 0 ∈ R,

se concluye que

ρ(F, t) = lim sup 1n (Fn(t)− t) = lim sup

(Fn(t)n

)− lim sup

(tn

)= lim

n→∞Fn(t)n .

(ii) Inmediata, en virtud del inciso (i) de este corolario y por la proposición 2.4.7.

Definición 2.4.3. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1. Si F : R→ R es cualquier levantamientode Keener para f el número de rotación de F se define como

ρ(F ) = limn→∞

Fn(t)n para cualquier t ∈ R.

Definición 2.4.4. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1. El número de rotación de f se definecomo

ρ(f) =(limn→∞

Fn(t)n

)mod(1) para cualquier t ∈ R

donde F : R→ R es cualquier levantamiento de Keener para f.

Proposición 2.4.8. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1 y tómense F1, F2 : R→ Rlevantamientos de Keener para f . Entonces

ρ(F1) ≡ ρ(F2)mod(1).

Demostración. Por definición existe µ ∈ Z tal que F1 = F2 + µ de donde

Fn1 = Fn

2 + µn para cualquier n ∈ N.

Por tanto

ρ(F1) = limn→∞

(Fn1 (0)n

)= lim

n→∞

(Fn2 (0)+nµ

n

)=(limn→∞

(Fn2 (0)n

))+ µ = ρ(F2) + µ,

lo cual significa que ρ(F1) ≡ ρ(F2)mod(1).

Corolario 2.4.5. Sea α ∈ [0, 1) y considérese el HPO rα ∈ K(S1) (Rotación deÁngulo 2πα) . Entonces ρ(rα) = α.

Demostración. Sea Rα : R→ R un levantamiento de Keener para rα. En virtud de la proposición2.3.18 tenemos que Rα = 1R + α+ j para algún j ∈ Z

⇒ Rnα = 1R + n(α+ j) para cualquier n ∈ N.

Luego, para cada t ∈ R fijo tenemos que

ρ(rα) =(limn→∞

(Rnα(t)n

))mod(1) =

((limn→∞

(tn

))+ α+ j

)mod(1) = (α+ j)mod(1) = α.


Proposición 2.4.9. Sean f, g ∈ K(S1) FPO’s de grado 1 topológicamente conju-gados por un HPO h ∈ K(S1). Entonces

Existen F,G : R→ R levantamientos de Keener para f y g respectivamente tales queρ(F ) = ρ(G).

Demostración. Por hipótesis sabemos que h g = f h. Tómese H : R → R el levantamientoprincipal de Keener para h el cual es un homeomorfismo (en virtud del corolario 2.3.6 ). Por elcorolario 2.3.8 existen levantamientos de Keener F,G : R → R para f y g respectivamente talesque

(H F

)(0) =

(G H

)(0).

Entonces

Fn(0) =(H−1 Gn H

)(0) para cualquier n ∈ N.

Definimos la función continua ϕ : R → R, ϕ = H−1 − 1R. Entonces ϕ es periódica de periodo 1(pues h−1 es de grado 1).

P.d. |ϕ(t)| ≤ 2 para cualquier t ∈ [0, 1].

Sea t ∈ [0, 1] =⇒−1 ≤ −t ≤ 0. Como H−1 es estrictamente creciente entonces

0 ≤ H−1(0) ≤ H−1(t) ≤ H−1(1) = H−1(0) + 1 ≤ 2.

De donde

−1 ≤ H−1(t)− t = ϕ(t) ≤ 2⇒ |ϕ(t)| ≤ 2.

P.d. |ϕ(t)| ≤ 2 para cualquier t ∈ R.Sea t ∈ R. Podemos escribir t = [t]Ent + αt donde αt = (1R − []Ent)(t) = t− [t]Ent ∈ [0, 1), por locual

|ϕ(t)| = |ϕ(αt)| ≤ 2.

P.d.∣∣∣Fn(0)−Gn(H(0))

∣∣∣ ≤ 2 para cualquier n ∈ N.Sea n ∈ N fijo y hágase γ = Gn(H(0)). Entonces

∣∣∣Fn(0)−Gn(H(0))∣∣∣ =

∣∣∣H−1(Gn(H(0)))−Gn(H(0))∣∣∣ =

∣∣∣H−1(γ)− γ∣∣∣ = |ϕ(γ)| ≤ 2.

P.d. limn→∞

(Fn(0)

n − Gn(H(0))n

)= 0.

Sea ǫ > 0. Luego

Existe N ∈ N tal que 2 < Nǫ.

Por lo cual si n ∈ N, n ≥ N entonces


∣∣∣Fn(0)n − Gn(H(0))

n

∣∣∣ = |Fn(0)−Gn(H(0))|n ≤ 2

n ≤ 2N < ǫ.

Finalmente, en virtud de los resultados anteriores y por la proposición 2.4.7 se concluye que

ρ(F ) = limn→∞

Fn(0)n = lim

n→∞Gn(H(0))

n = limn→∞

Gn(0)n = ρ(G).

Corolario 2.4.6. (El número de rotación de una función FPO de grado 1 queesté en la clase de Keener es invariante bajo conjugación topológica que preserva elorden). Sean f, g ∈ K(S1) FPO’s de grado 1 topológicamente conjugados por un HPOh ∈ K(S1). Entonces ρ(f) = ρ(g).

Demostración. En virtud de la proposición 2.4.9 sabemos que

Existen F,G : R→ R levantamientos de Keener para f y g respectivamente tales queρ(F ) = ρ(G).

Y así,

ρ(f) = ρ(F )mod(1) = ρ(G)mod(1) = ρ(g).

Lema 2.4.4. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1.(i) fn ∈ K(S1) es un FPO de grado 1 para cualquier n ∈ N.(ii) Si m ∈ N, k ∈ Z y F : R → R es un levantamiento de Keener para f entonces

ρ(Fm + k) =mρ(F ) + k.

Demostración. (i) Sea n ∈ N.Si f es continua entonces fn es una FPO continua de grado 1 lo cual que implica que fn es unHPO.Si f ∈ K(S1) y es FPO entonces fn ∈ K(S1) es de grado 1 y Fm : R → R es un levantamientoestrictamente creciente para f , con el cual podemos construir un levantamiento de Keener parafn estrictamente creciente quitando las discontinuidades simples de Fm en donde la diferencia delímites laterales sea entera ó mayor a 1. De aquí que fn sea FPO.

(ii) Sean m ∈ N, k ∈ Z fijos. Entonces

ρ(Fm + k) = limn→∞

((Fm+k)n(0)

n

)= lim

n→∞

(Fmn(0)+nk

n

)=(limn→∞

Fmn(0)n

)+ k.

Hágase u =mn⇒ n = um . Así, cuando n→∞ también u→∞, por lo que

limn→∞

(Fm(0)

n

)= lim

u→∞

(Fu(0)u/m

)=m lim

u→∞

(Fu(0)

u

)= mρ(F ).

Y finalmente esto significa que

ρ(Fm + k) = mρ(F ) + k.


Proposición 2.4.9. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1. Supóngase que todos loslevantamientos de Keener para f son continuos por la izquierda. Entonces

f tiene un punto fijo (en el SDD (S1, 0 ∪N, f)) si y sólo si ρ(f) = 0.

Demostración.⇒) Supongamos que existe x ∈ S1 tal que f(x) = y y tómese t ∈ R tal que Π(t) = x. Entonces

Π(t) = f(Π(t)) = Π(F (t))⇔ F (t) = t+ µ para algún µ ∈ Z.

Por lo cual Fn(t) = t+ nµ para cualquier n ∈ N y entonces

ρ(F ) = limn→∞

(Fn(t)n

)= lim

n→∞

(t+nµn

)= µ⇒ ρ(f) = µmod(1) = 0.

⇐) Tómese F ∗ : R→ R un levantamiento de Keener para f . Entonces

0 = ρ(f) = ρ(F ∗)mod(1)⇒ ρ(F ∗) = µ para algún µ ∈ Z.

Así, la función F : R→ R, F = F ∗ − µ es un levantamiento de Keener para f que satisface

ρ(F ) = ρ(F∗ − µ) = ρ(F ∗)− µ = 0.

Supóngase que f no tiene puntos fijos. Entonces la función H : R → R,H = F − 1R satisfaceH(t) = 0 para t ∈ R (pues si existiera t0 ∈ R tal que H(t0) = 0 entonces t0 sería un punto fijo deF y así f también tendría un punto fijo!). De donde

F (0) > 0 ó F (0) < 0 (pues H(0) = F (0)).

Dado que f es un FPO entonces F es estrictamente creciente, por lo cual

Fn(0) > Fn−1(0) para cualquier n ∈ N−−− (∗)

Si F k(0) > 1 para algún k ∈ N entonces en virtud de la desigualdad (∗) se cumpliría que

Fnk(0) > n para cualquier n ∈ N.

Y se tendría también que

Fnk(0)nk > 1

k para cualquier n ∈ N.

Pero en este caso (dado que si una sucesión converge todo límite subsecuencial de la sucesiónconverge al mismo valor) tendríamos que

ρ(F ) = limu→∞

Fu(0)u = lim

n→∞Fnk(0)

nk > 1k > 0!

Por lo cual

Fn(0) ≤ 1 para cualquier n ∈ N−−− (∗∗)


En virtud de los resultados (∗) y (∗∗) se deduce que la sucesión Fn(0)n∈N ⊆ R es acotada yestrictamente creciente. Entonces

Existe α = limn→∞

Fn(0) = supFn(0)|n ∈ N ∈ R, α ≤ 1.

Y así:

F (α) = limt→α−

F (t) = F(limn→∞

Fn(0))= lim

n→∞Fn+1(0) = lim

n→∞Fn(0) = α.

Es decir, F tendría un punto fijo y por consecuencia f tendría también un punto fijo!

Como el suponer la no existencia de puntos fijos para f nos lleva a una contradicción entonces seconcluye que (al menos) f tiene un punto fijo.

Teorema 2.4.1. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1. Supóngase que todos loslevantamientos de Keener para f son continuos por la izquierda. Entonces

(i) f tiene puntos periódicos si y sólo si ρ(f) ∈ Q.(ii) f no tiene puntos periódicos si y sólo si ρ(f) /∈ Q.

Demostración.(i) ⇒) Supongamos que existe (al menos) x ∈ S1 tal que fq(x) = x para algún n ∈ N. Tómeset ∈ R tal que Π(t) = x por lo que

F q(t) = t+ p para algún p ∈ Z =⇒ F qn(t) = t+ pn para cualquier n ∈ N.

Luego, como en una sucesión convergente todos sus límites subsecuenciales de la sucesión convergenal mismo valor entonces

ρ(F ) = limn→∞

(Fn(0)

n

)= lim

n→∞

(Fnq(0)

nq

)= lim

n→∞

(t+npnq

)= p

q ∈ Q.

Y así ρ(f) = ρ(F )mod(1) ∈ Q.

⇐) Sea F : R → R un levantamiento de Keener para f . Como ρ(f) = ρ(F )mod(1) ∈ Q entoncesρ(F ) ∈ Q y así podemos escribir ρ(F ) = p

q donde p ∈ Z y q ∈ N. Luego, fq es un FPO yG : R→ R, G = F q − p es un levantamiento para fq. Como

ρ(G) = ρ(F q − p) = qρ(F )− p = 0⇒ ρ(fq) = ρ(G)mod(1) = 0 =⇒ ρ(fq) = 0.

En virtud de la proposición 2.4.9 fq tiene (al menos) un punto fijo; es decir, f tiene (al menos)un punto periódico de periodo q.

(ii) Inmediata, por el inciso (i) de este teorema.

Teorema 2.4.2. Sea f ∈ K(S1) una FPO de grado 1, y además ρ(f) = pq para

algunos p ∈ Z, q ∈ N tales que (p, q) = 1.(i) Toda órbita periódica de f tiene periodo múltiplo de q.(ii) f tiene una órbita periódica de periodo q y envolvencia p.


Demostración.(i) Sea O ⊆ S1 una órbita periódica de f de periodo n ∈ N y tómese F : R→ R un levantamientode Keener para f . Luego existe x∗ ∈ S1 tal que fn(x∗) = x y O(x∗) = O; en virtud de laproposición 2.2.2 se sigue que

Existen t∗ ∈ R,m ∈ Z tales que Fn(t∗) = t∗ +m y Π(t∗) = x∗.

De aquí que

Fnk(t∗) = t∗ + km para cualquier k ∈ N

y por lo tanto

pq = ρ(f) = ρ(F )mod(1)⇒ p

q = ρ(F ) + l para algún l ∈ Z.

Por la proposición 2.4.7 se sigue que

pq =

(limk→∞

(Fk(t∗)

k

))+ l =

(limk→∞

(Fnk(t∗)

nk

))+ l =

(limk→∞

(t∗+km

k

))+ l = m

n + l = m+nln

⇔ pn = (m+ nl)q ⇒ q | pn con (p, q) = 1⇒ q | n.

(ii) Tómese F ∗ : R→ R un levantamiento de Keener para f . Entonces

pq = ρ(f) = ρ(F ∗)mod(1)⇒ ρ(F ∗) = p

q + µ para algún µ ∈ Z.

Luego la función F : R→ R, F = F∗−µ es también un levantamiento de Keener para f y además

ρ(F ) = ρ(F ∗ − µ) = ρ(F ∗)− µ = pq .

Supóngase que f no tiene puntos periódicos de periodo q y envolvencia p. EntoncesComo F q(t)− t = p para todo t ∈ R entonces

Para cada t ∈ R se cumple que F q(t)− t > p ó bien F q(t)− t < p.

P.d. Para cada t ∈ R existe ǫ > 0 tal que F q(t)− t > p+ ǫ ó bien F q(t)− t < p− ǫ.Sea t ∈ R fijo. Si |F q(t)− (t+ p)| ≤ γ para cualquier γ > 0 entonces F q(t) = t + p! Estacontradicción nos indica que

Existe ǫ > 0 tal que |F q(t) + (t+ p)| > ǫ.

Y esto implica que

F q(t)− (t+ p) > ǫ ó bien F q(t)− (t+ p) < −ǫ⇒ F q(t)− t > p+ ǫ ó bien F q(t)− t < p− ǫ.

P.d.Para cada t ∈ R se cumple que Fnq(t) > t + n(p + ǫ) ó Fnq(t) < t + n(p − ǫ) para cualquiern ∈ N.Sea t ∈ R fijo. La demostración se realizará por inducción sobre n ∈ N.Para n = 1 se sigue de inmediato por el resultado anterior.(Hipótesis de Inducción) Supongamos que


F kq(t) > t+ k(p+ ǫ) ó F kq(t) < t+ k(p− ǫ)

para algún k ∈ N, k > 1.Para n = k + 1 se tiene que

F (k+1)q(t) = F kq(F q(t)) > F q(t) + k(p+ ǫ) > t+ (p+ ǫ) + k(p+ ǫ) = t+ (k + 1)(p+ ǫ) ó bienF (k+1)q(t) = F kq(F q(t)) < F q(t) + k(p− ǫ) < t+ (p− ǫ) + k(p− ǫ) = t+ (k + 1)(p− ǫ).

Finalmente para cada t ∈ R tendríamos que:Si existe ǫ > 0 tal que F q(t)− t > p+ ǫ entonces

pq = ρ(F ) = lim

n→∞

(Fnq(t)nq

)> lim

n→∞

(t+n(p+ǫ)

nq

)= p+ǫ

q > pq !

Si existe ǫ > 0 tal que F q(t)− t < p− ǫ entonces

pq = ρ(F ) = lim

n→∞

(Fnq(t)nq

)< lim

n→∞

(t+n(p−ǫ)

nq

)= p−ǫ

q < pq !

Como el suponer la no existencia de puntos periódicos de periodo q y envolvencia p nos lleva a unacontradicción se concluye el resultado.

3 MODELOS DIFERENCIALES DE OSCILADORES ID.

En cualquier fenómeno de la naturaleza básicamente podemos observar dos comportamientos y/odinámicas del sistema: una dinámica en la cual se presentan comportamientos cíclicos (llamadasOscilaciones), o bien, dinámicas que son más o menos impredecibles (llamados Sistemas Caóticos).

En la investigación de un fenómeno en particular, los científicos tienen por objetivo poder crearmodelos que describan dicha dinámica para que de esta forma se pueda predecir o analizar elcomportamiento del fenómeno en cuestión.

Actualmente la modelación de cualquier sistema dinámico es un objetivo primordial en la investi-gación científica actual; en particular, la modelación de una dinámica oscilatoria ha sido un granreto pues la mayoría de los fenómenos son no lineales y cualquier intento de modelación producesistemas matemáticos muy complejos.

Un Oscilador es un sistema dinámico en el cual después de cierta evolución el sistema retorna asu configuración original (esto es, se presentan comportamientos "periódicos").

Al tratar de modelar una dinámica podemos numerar ciertas dificultades que se encuentran enel camino, como obtener el modelo del oscilador ó determinar qué puede suceder cuando el sis-tema es sometido a ciertos forzamientos (perturbaciones o estímulos) efectuados sobre la dinámicaestudiada.

Considerando un sistema oscilador que recibe un estímulo periódico, una de las interrogantes es elpoder determinar condiciones para que la respuesta del sistema esté sincronizada con el estímuloconsiderado. Sin embargo la complejidad que puede tener el sistema estudiado es la razón por laque todavía no es posible tener modelos científicamente satisfactorias o que sean realmente útiles.

Desde el punto de vista del análisis matemático, la complejidad de los modelos de osciladores sedebe a que estos suelen ser no lineales y de dimensión mayor a uno.

3.1 Osciladores De Integración Y Disparo (ID).

Definición 3.1.1. Un Oscilador de Integración y Disparo (ID) es un proceso ó sistema de acu-mulación e integración de una variable de estado hasta que un valor umbral es alcanzado y luegoel sistema dispara una respuesta para relajarse hasta un valor de reposo por medio de algunacondición de disparo ó "salto"; este proceso se repite de forma constante.

170

3 MODELOS DIFERENCIALES DE OSCILADORES ID. 171

Figura 3.1 Un ejemplo de Oscilador de Integración y Disparo.

Definición 3.1.2. Un Oscilador de Integración y Disparo Diferencial es aquel oscilador ID quepuede ser modelado por una ecuación diferencial de la forma

dxdt = F (t, x), x = x(t) para alguna F : R2 → R

la cual satisface una condición de salto

limt→τ+

x(t) = xr para cada tiempo τ ∈ R tal que x(τ) = xu

donde xr, xu ∈ R (con xu = xr) son los valores de reposo y umbral, respectivamente.

Definición 3.1.3. (i) Un oscilador ID diferencial modelado por una ecuación de la forma

dxdt = F (x), x = x(t) para alguna F : R→ R

es llamado Oscilador Autónomo.(ii) Un oscilador ID diferencial modelado por una ecuación de la forma

dxdt = F (x) +G(t), x = x(t) para algunas F,G : R→ R

es llamado Oscilador Autónomo Forzado (por la función G).


Figura 3.2 Oscilador de Integración y Disparo Diferencial.

Observación 3.1.1. Consideremos un oscilador ID diferencialdxdt = F (t, x), x = x(t) para alguna F : R2 → R

con la condición de salto

limt→τ+


donde xr ∈ R es el valor de reposo y xu ∈ R es el valor umbral del oscilador.(i) Cualquier solución del oscilador es discontinua (presentan discontinuidades de salto).(ii) Tómese x = x(t) una solución del oscilador y supóngase que (al menos) existe τ ∈ R tal quex(τ) = xu. Si

τ∗ = mins ∈ R|τ < s y x(s) = xupara cada t∗ ∈ (τ , τ∗] fijo tenemos que

xr ≤ x(t) ≤ xu con t ∈ [t∗, τ∗].

Así, x = x(t) es solución en el intervalo (τ, t∗] ⊂ R de la ecuación diferencial con condición inicialdydx = F (t, y), y(τ) = xr.

(iii) Sean τ, η ∈ R. La solución x = x(t) del oscilador que satisface la condición inicial x(τ) = η sedenota como

xτ,η = x(t, τ , η).


3.2 La Función de Disparo para un Oscilador ID Diferencial.

Definición 3.2.1. Consideremos un oscilador ID diferencial



limt→τ+


donde xr ∈ R es el valor de reposo y xu ∈ R es el valor umbral del oscilador.Decimos que el sistema dispara a partir de un tiempo inicial s ∈ R si y sólo si

Existe un tiempo t∗ ∈ R, t∗ > s tal que xs,xr (t∗) = x(t∗, s, xr) = xu.

En este caso se dice que t∗ es un tiempo de disparo del sistema.

Figura 3.3 Un Tiempo de Disparo de un Oscilador ID Diferencial a partir de una condición inicialdada.

Observación 3.2.1. Consideremos un oscilador ID diferencial

dxdt = F (t, x), x = x(t) para alguna F : R2 → R.


(i) El valor de reposo más común para el oscilador es 0 (siempre y cuando exista una solución dela ecuación diferencial que satisfaga esta condición).(ii) Pueden existir tiempos para los cuales el sistema no dispare.

Definición 3.2.2. (La Función de Disparo de un oscilador ID diferencial).Consideremos un oscilador ID diferencial



limt→τ+


donde xr ∈ R es el valor de reposo y xu ∈ R es el valor umbral del oscilador.(i) El tiempo de disparo el sistema a partir del tiempo (inicial) s ∈ R es

as = mint ∈ R|t > s y x s,xr (t) = x(t, s, xr) = xu.

(ii) Si

Da = s ∈ R|El sistema dispara a partir del tiempo inicial s= s ∈ R|Existe t ∈ R, t > s tal que x(t, s, xr) = xu ⊆ R

entonces la función a : Da ⊆ R→ R tal que

a(s) = mint > s|t es tiempo de disparo a partir de s = as para cada s ∈ Da,

es llamada función de disparo del oscilador.

Figura 3.4 Función Tiempo de Disparo de un Oscilador ID Diferencial.


Nótese que si el dominio de la función de disparos del oscilador es un subconjunto propio de Rentonces en algunos tiempos el sistema no dispara y en este caso las sucesiones de disparo puedenno definir un sSSD.

Definición 3.2.3. Consideremos un oscilador ID diferencial y sea a : Da ⊆ R → R su funciónde disparos. Decimos que tnn∈0∪N ⊆ R es la sucesión de tiempos de disparo a partir de unacondición inicial s ∈ Da si y sólo si(i) t0 = s,(ii) tn = an(s) para cualquier n ∈ N tal que an−1(s) ∈ Da.Nótese que la repetición sucesiva del proceso de acumulación y relajación mediante la condiciónde disparo genera la sucesión de tiempos de disparo a partir de una condición inicial.

Figura 3.5 Sucesión de Tiempos de Disparo de un Oscilador ID Diferencial a partir de unacondición inicial dada.

Corolario 3.2.1. Consideremos un oscilador ID diferencial y sea a : Da ⊆ R→ Rsu función de disparos. Si a(Da) ⊆ Da entonces las sucesiones de tiempos de disparosdel oscilador son las órbitas del sSDD (Da, 0 ∪N, a).

Demostración. Como la función generadora satisface a : Da → Da entonces por la proposición1.4.2 el sSDD (Da, 0 ∪N, a) está bien definido, y para cada s ∈ Da su órbita es el conjunto

O(s) = an(s)n∈0∪N = tnn∈0∪N,

donde tnn∈0∪N es la sucesión de tiempos de disparo a partir de s.

Observación 3.2.2. Consideremos un oscilador ID diferencial



y sea a : Da → R su función de disparo.(i) Por definición se cumple que

a(t) > t para cualquier t ∈ Da

y por tanto la función de disparo no puede tener puntos fijos.(ii) Si a(Da) ⊆ Da cualquier sucesión de tiempos de disparo del oscilador ID diferencial es estric-tamente creciente; esto es,

tn+1 > tn para cualquier n ∈ 0 ∪N

donde tnn∈0∪N es alguna sucesión de tiempos de disparo a partir de alguna condición inicial.

Definición 3.2.4. Consideremos un oscilador ID diferencial


Se dice que el oscilador tiene forzamiento periódico si y sólo si existe T ∈ R tal que

F (t+ T, x) = F (t, x) para cualesquiera t, x ∈ R.

Proposición 3.2.1. Consideremos un oscilador ID diferencial



limt→τ+

x(t) = xr para cualquier tiempo τ ∈ R tal que x(τ) = xu

donde xr, xu ∈ R son los valores de reposo y umbral, respectivamente.Si el oscilador tiene forzamiento periódico de periodo T ∈ R y a : Da ⊆ R → R es

su función de disparo entonces:(i) Da + T = Da,(ii) a(t+ T ) = a(t) + T para cualquier t ∈ Da.

Demostración. Nótese que si x = x(t) es una solución de la ecuación del oscilador entoncesx∗(t) = x(t+ kt) es también solución de la ecuación para cualquier k ∈ Z (pues el forzamiento esperiódico de periodo T ).Sea λ ∈ Da + T =⇒ λ = s + T para algún s ∈ Da. Tomemos una solución del oscilador xs,xr =x(t, s, xr) y definamos

x1 = x1(t, s, xr) donde x1(t) = x(t− T ).

Entonces x1 es una solución del oscilador que satisface

x1(s+ T ) = x(s) = xr, x1(a(s) + T ) = x(a(s)) = xu=⇒ s+ T < a(s+ T ) ≤ a(s) + T.

Si suponemos que a(s + T ) < a(s) + T y como x1 = x(t, s + T, xr) entonces x1(a(s + T )) = xu;definimos x2(t) = x1(t+ T ), solución que satisface


x2(s) = x1(s+ T ) = xr =⇒ x2 = x2(t, s, xr),x2(a(s+ T )− T ) = x1(a(s+ T )) = xu.

Por lo cual existiría a(s+T )−T ∈ R con s < a(s+T )−T < a(s) tal que x2(a(s+T )−T ) = xu! (porla definición de a(s) ∈ R).Esta contradicción indica que debe ser a(s+ T ) = a(s) + T y por tanto λ = s+ T ∈ Da.

Corolario 3.2.2. Consideremos un oscilador ID diferencial periódicamente forzado

dxdt = F (t, x) para alguna F : R2 → R

de periodo 1 , el cual tiene la función de disparo a : Da → R.Si Da = R entonces a es un levantamiento de alguna función en la circunferencia.

Demostración. Como a(t + 1) = a(t) + 1 para cualquier t ∈ Da = R (por la proposición 2.5.1 )el resultado se sigue de inmediato por la proposición 2.1.10.

Definición 3.2.5. Consideremos un oscilador ID diferencial periódicamente forzado de periodo 1

F (t, x), x = x(t) para alguna F : R2 → R.

Si tnn∈0∪N ⊆ R es una sucesión de tiempos de disparo del oscilador se define la sucesión defases de disparo asociada a tnn∈0∪N como

xnn∈0∪N ⊆ [0, 1) tal que xn = tnmod(1) para cualquier n ∈ 0 ∪N.

Definición 3.2.6. Consideremos un oscilador ID diferencial periódicamente forzado

dxdt = F (t, x) para alguna F : R2 → R

de periodo 1 , el cual tiene la función de disparo a : Da → R y supóngase que Da = R. La funciónen la circunferencia

α : S1 → S1, α = Π a donde Π : R→ S1 es la proyección canónica

es llamada función de fases de disparo del oscilador.

Proposición 3.2.2. La proyección en la circunferencia de las sucesiones de fasesde disparo de un oscilador ID diferencial periódicamente forzado de periodo 1 donde sufunción de disparo tiene dominio en R son las órbitas del sSDD formado por la funciónde fases de disparo del oscilador.

Demostración. Consideremos un oscilador ID diferencial peródicamente forzado


de periodo 1 , el cual tiene la función de disparo a : Da → R tal que Da = R; por lo cualα : S1 → S1, α = Π a es la función de fases de disparo del oscilador (donde Π : R → S1 es laproyección canónica).Consideremos el sSDD (S1, 0 ∪N, α) y tómese x0 ∈ S1. Así


O(x0) = αn(x0)n∈0∪N ⊆ S1.

Entonces para cualquier t0 ∈ Π−1(x0) construyamos la sucesión de tiempos de disparo

an(t0)n∈0∪N ⊆ R

del oscilador a partir de la condición inicial t0 y su sucesión de fases de disparo asociada

xnn∈0∪N ⊆ [0, 1) tal que xn ≡ an(t0)mod(1) para cualquier n ∈ 0 ∪N.

Por lo tanto

Π(xn) = Π(an(t0)) = (Π an) (t0) = (αn Π) (t0) = αn(x0) para cualquier n ∈ 0 ∪N.

De donde

O(x0) = Π(xn)n∈0∪N = Π(xnn∈0∪N

).

Definición 3.2.7. Un Modelo de Acumulación Lineal (MAL) es un oscilador ID diferencial mod-elado por una ecuación diferencial de la forma

dxdt = −σx+ g(t), x = x(t)

donde σ ∈ R y g : R → R es una función analítica llamada forzamiento del oscilador autónomo,con la condición de salto

limt→τ+


donde xr, xu ∈ R (con xu = xr) son los valores de reposo y umbral, respectivamente.

3.3 El Modelo KHR.

J. P. Keener, F. C. Hoppensteadt y J. Rinzel analizaron un modelo de oscilador ID diferencial de larespuesta de una membrana nerviosa a un forzamiento periódico. El modelo describe la evolucióndel potencial de membrana en su proceso de acumulación hasta alcanzar un valor umbral y emitirun disparo (potencial de acción); después del disparo el potencial de membrana regresa a un valorde reposo y el proceso se repite.

Definición 3.3.1. El Modelo Keener-Hoppensteadt-Rinzel (KHR) es el oscilador ID diferencialautónomo sujeto a un forzamiento armónico


donde λ = (σ, s,H) ∈ R3 es un vector de parámetros con la condición de salto

limt→τ+

x(t) = 0 para cada tiempo τ ∈ R tal que x(τ) = 1.


Observación 3.3.1. El modelo KHR es un MAL periódicamente forzado donde el forzamiento esla función g : R→ R, g(t) = H cos(2πt) para algún H ∈ R.

Los siguientes resultados escapan a la teoría propuesta en este trabajo; para una referencia veáse[29].

Proposición 3.3.1. La solución periódica asintóticamente estable del modelo KHR


con vector de parámetros λ = (σ, s,H) ∈ R3 es

ϕ(t) = Sσ + Hσ

σ2+4π2 cos (2πt) +2πH

σ2+4π2 sen (2πt) ,

o bien,

ϕ(t) = Sσ + H√

σ2+4π2sen (2πt+ β) donde senβ = σ√

σ2+4π2.

Proposición 3.3.2. Consideremos el modelo KHR


con vector de parámetros λ = (σ, s,H) ∈ R3 y su solución periódica asintóticamenteestable

ϕ(t) = Sσ + H√

σ2+4π2sen (2πt+ β) donde senβ = σ√

σ2+4π2.

Entonces

Max(ϕ) = Sσ + H√

σ2+4π2

y más aún:(i) Si Max(ϕ) > 1 el sistema dispara una vez que ha sido establecida cualquier

condición inicial (es decir, el dominio de la función de disparo del oscilador es R);(ii) Si Max(ϕ) ≤ 1 para algunas condiciones el sistema no dispara o produce se-

cuencias finitas de disparos (es decir, el dominio de la función de disparo del osciladores un subconjunto propio de R).

Teorema 3.3.1. Consideremos el modelo KHR


con vector de parámetros λ = (σ, S,H) ∈ R3 y sea a : Da ⊆ R → R su función dedisparo asociada.

(i) a es un homeomorfismo en R si y sólo si Sσ + H√

σ2+4π2> 1 y S − σ ≥ H;

(ii) a es discontinua e inyectiva en R si y sólo si Sσ + H√

σ2+4π2> 1 y S ≥ H;

(iii) a es discontinua y no inyectiva en R si y sólo si Sσ + H√

σ2+4π2> 1 y S < H.


3.3.1 Cálculos Numéricos en el Modelo KHR.

Para analizar la dinámica de la función de disparos y la función fase de disparos asociadas alModelo KHR utilizaremos el paquete de programas "La Clase de Keener" que se anexa al trabajo,programas que se han creado junto al trabajo para encontrar gráficas en el toro, órbitas y númerosde rotación de acuerdo a los parámetros elegidos para el modelo.

(a) La Función de Disparo asociada al Modelo KHR es un homeomorfismo.Elegimos los valores de los parámetros:

σ = 0.23, S = 0.8,H = 0.4.

Como

Sσ + H√

σ2+4π2= 0.8

0.23 +0.4√

(0.23)2+4π2= 3. 541 9 ≥ 1 y

S − σ = 0.8− 0.23 = 0.57 ≥ 0.4 = H

entonces en virtud del teorema 2.5.1 la función de disparo del Modelo KHR es un homeomorfismo.La gráfica de su función de fases de disparo es:

Figura 2.36 Gráfica de la función de Fases de Disparo del Modelo KHR con parámetrosσ = 0.23, S = 0.8,H = 0.4.

Y el número de rotación de su función de disparo (evaluado en 0) es:

Rot(a, 0) = 1.4755 (en 5000 iteraciones).


(b) La Función de Disparo asociada al Modelo KHR es discontinua e inyectiva.Elegimos los valores de los parámetros:

σ = 0.23, S = 0.4,H = 0.3.

Como

Sσ + H√

σ2+4π2= 0.4

0.23 +0.3√

(0.23)2+4π2= 1. 786 8 ≥ 1 y

S = 0.4 ≥ 0.3 = H

entonces en virtud del teorema 2.5.1 la función de disparo del Modelo KHR es discontinua einyectiva. La gráfica de su función de fases de disparo es:


Y el número de rotación de su función de disparo (evaluado en 0) es:

Rot(a, 0) = 3.714 (en 1400 iteraciones).

(c) La Función de Disparo asociada al Modelo KHR es discontinua y no inyectiva.Elegimos los valores de los parámetros:


σ = 4.5, S = 2.3,H = 4.

Como

Sσ + H√

σ2+4π2= 2.3

4.5 +4√

(4.5)2+4π2= 1. 028 7 ≥ 1 y

S = 2.3 < 4 = H

entonces en virtud del teorema 2.5.1 la función de disparo del Modelo KHR es discontinua y noinyectiva. La gráfica de su función de fases de disparo es:


A Programas para analizar la dinámica de las Funciones deDisparo y Fases de Disparo del Modelo KHR.

En el trabajo se incluye un programa principal y varios subprogramas que pueden utilizarse porseparado. A continuación presentamos una descripción breve de cada uno de estos programas.

a) La Clase de Keener 1.0.exe.Programa principal desde el cual podemos accesar a todos los demás subprogramas. Consta de unmenu principal llamado Modelo KHR en el que podemos elegir la opción deseada.

b) Tiempo Disparo Variables.exe.Programa DOS que calcula el Tiempo de Disparo del Modelo KHR modificado por valores dereposo y umbral a elección del usuario, a partir de un tiempo inicial y con la tolerancia que sedesee. El cálculo se realiza mediante el Método Clásico de Runge-Kutta de Cuarto Orden por lo quetambién se pide al usuario que introduzca el paso con el cual el método calcula las aproximacionesal tiempo de disparo.

c) Criterio Parametros.exe.Programa que procesa los criterios del espacio de valores de los parámetros del Modelo KHR paraindicar las cualidades de continuidad e inyectividad de la función de disparo del Modelo, ademásde su dominio.

d) Menú "Modelo KHR" Opción "Tiempo y Fase de Disparo..." del programa La Clase de Keener1.0.exe.Cuadro de Diálogo que calcula el Tiempo de Disparo y la Fase de Disparo del Modelo KHR convalor de reposo 0 y umbral 1 a partir de un valor inicial con la tolerancia de error deseada por elusuario.

e) Numero Rotacion.exe.Programa DOS que calcula el número de rotación de la función de disparo del Modelo KHRcon valor de reposo 0 y umbral 1 a partir en cualquier valor inicial con una tolerancia de errorpredefinida (0.000001).

f) Sucesiones Tiempos De Disparo.exePrograma DOS que encuentra un número finito (indicado por el usuario) de elementos de la sucesiónde disparos del Modelo KHR con valor de reposo 0 y umbral 1 a partir de un tiempo inicial contolerancia de error deseada.

g) Sucesiones Fases De Disparo.exePrograma DOS que encuentra un número finito (indicado por el usuario) de elementos de la sucesiónde fases de disparo del Modelo KHR con valor de reposo 0 y umbral 1 a partir de un valor inicialen el cuadrado cociente homeomorfo a S1 × S1 con tolerancia de error deseada.

h) Valores Tiempos Y Fases De Disparo.exePrograma DOS que encuentra valores de la Función de Disparo y la Función Fases de Disparoutilizando el cuadrado cociente homeormofo a S1 × S1 mediante una partición del intervalo [0, 1)en 100 partes iguales. Este programa es útil para encontrar una aproximación de la gráfica de la

183

función Fases de Disparo del Modelo KHR en el Toro (utilizando los valores generados por esteprograma y otro programa para graficar los puntos, como MATHEMATICA o MATLAB).

Posteriormente se tratará de mejorar la interfaz creada para poder graficar los datos en una ventanadel programa o trasladar los programas DOS elaborados a códigos en interfaces de Windows.

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