2- TEORIAS DE FALLO

Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo

También conocida como Teoría de Tresca. Establece que la fluencia del material se produce por el esfuerzo cortante, surgió de la observación de la estricción que se produce en una probeta cuando es sometida a un ensayo de tensión. La teoría dice:

“La falla se producirá cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante máximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fluencia”

Para un elemento bajo la acción de esfuerzos tenemos el círculo de Mohr:

Figura Círculo de Mohr para un elemento.

El esfuerzo cortante máximo absoluto es entonces:

13max 2

El círculo de Mohr para el ensayo de tensión en el momento de la fluencia es:

Figura Círculo de Mohr para el ensayo de tensión al momento de la fluencia.

El esfuerzo cortante máximo absoluto es entonces para el ensayo de tensión al momento de la fluencia:

max2Sy

Según la teoría de Tresca, igualamos las ecuaciones 2.1 y 2.2 y tenemos: S

2 2

1 3 S yy13

(2.3)

La ecuación 2.3 se utiliza cuando 1 0 3 . En los otros casos:

1 S y , cuando 1 3 0 3 S y , cuando 0 1 3

(2.4)

En el plano 1 3 , la teoría de Tresca se representa gráficamente como:

Figura 2.3. Representación gráfica de la Teoría de Tresca.

La falla se presentará cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentra fuera del área sombreada en la figura 2.3.

2.2.Teoría de la Energía de Distorsión

Propuesta por R. Von Misses al observar que los materiales bajo esfuerzos hidrostáticos soportan esfuerzos mucho mayores que sus esfuerzos de fluencia bajo otros estados de carga. La teoría establece:

“La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los esfuerzos máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de una probeta en el ensayo de tensión en el momento de producirse la fluencia”

La teoría de Von Misses dice que la distorsión del elemento es debida a los esfuerzos

principales restándoles los esfuerzos hidrostáticos (h

1 2 3 ). La energía de

3distorsión es la diferencia entre la energía total de deformación por unidad de volumen y la energía de deformación por unidad de volumen debida a los esfuerzos hidrostáticos.

Figura

Como el material se encuentra en el rango elástico (ya que la falla se produce al llegar a la zona plástica), la energía total de deformación por unidad de volumen para el elemento es

U 1 1 1 1 2 2 3 32 1 2 2

Las deformaciones son:

11 1 1

1

E 2 1 2

3

3

Reemplazando las deformaciones resulta la energía total de deformación:

U 1 12 22 32 2 1 2 2 3 1 3

2E

La energía de deformación debida a los esfuerzos hidrostáticos es:

U h3(1 2 ) 2 3(1 2 ) 1 2 3 2

h 2E 32E

La energía de distorsión es entonces:

U d U U h

U d 1 1

2 22 32 2 1 2 2 3 1 3 3(1 2 )

1

2

32

2E 2E 3

U d 1 122

2 32 122313

3E

En el ensayo de tensión al producirse la fluencia, 2 3 0,1 S y y entonces laenergía de distorsión en la probeta es:

U 1 S 2d 3E y

Igualando las ecuaciones 2.9 y 2.10 como lo dice el enunciado de la teoría, tenemos:

1 12 2

2321223131 S y2

3E 3E

2 2 2 2

3

3 S

y1 2 3 1 2 1

1 2 2 2 3 2 1 3 2 S y

2

Se define el esfuerzo de Von Misses como

2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 3 2 3 31 2 1 2

Entonces, la falla se da cuando

S y

En el caso bidimensional, 2 0 y el esfuerzo de Von Misses es:

2 2 31 3 1

Para el caso bidimensional, en el plano 1 3 , la teoría de Von Misses se representa gráficamente como:

Figura Representación gráfica de la teoría de la energía de distorsión.

La falla se presentará cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se

encuentra fuera del área sombreada en la figura. La línea más gruesa representa las locaciones donde se presentará la falla de acuerdo con Von Misses, las líneas interiores más delgadas representan las locaciones de falla de acuerdo con Tresca.

De la figura puede observarse que la teoría de Von Misses tiene un mayor área en la cual no se presentará falla que la teoría de Tresca, por eso la teoría del esfuerzo cortante máximo es la teoría escogida para hacer cálculos conservadores de falla de un material y tener mayor certeza de que no se producirá falla.

Si se considera un elemento que se encuentre bajo cortante puro en el momento de la falla, donde el esfuerzo cortante a la fluencia es Ssy el esfuerzo de Von Misses resulta ser de la ecuación

3Ssy

Y la falla se da cuando

3Ssy S yDonde Sy es el esfuerzo de fluencia a la tensión, entonces resulta la importante relación:

Ssy 0.577S y

3- Números Renard Preferido Para American National Standard (ANSI Z17.1-1973, ISO 3-1973)

Números preferidos son una seria de números seleccionados para el uso de estandarizar efectos en las preferencias en cualquier otro número. Estos números son creados por Charles Renard. Estos sistemas se adoptó como ISO 3-1973, ANSI Z17.1-1973 y la norma británica BS2045: 1965. Él descubrió que se estaban utilizando 425 diferentes tamaños de cable para amarrar los globos, una pesadilla logística, y se dedicó a determinar la mejor para reducir estos a un número más pequeño de tamaños. Después de que Él determinó que la característica relevante del cable era su masa por unidad de longitud (Tales como el diámetro, la longitud, el volumen, áreas, etc) Renard tuvo éxito en la sustitución los tamaños de 425 con 17 tamaños que cubren el mismo rango. Estos números preferidos de graves también ayudaría calificaciones de aparatos en kilovatios, caballos de fuerza, tensiones, etc Estos número puede ser utilizado en la métrica, pulgadas o cualquier otra unidades habituales.

Los números de Renard son cinco secuencia geométrica. Una secuencia geométrica toma esta forma:

Para Rn, Por lo tanto: 10b/n,10b/n, 10b/n, 10b/n,10b/n

donde "a" es el factor de escala y n ≠ 0 es la razón común, donde "b" es un número entero en el grave 0,1,2,3, etc Renard números preferidos son llamados los R5, R10, R20, R40 y R80 serie.

Números de serie Renard, Rn, donde a = 1 and r = ax10b/n. Para cada serie, se calculan los valores de 1 a 10, y luego redondeados. Como un ejemplo, si n = 5, y a = 1 (para redondear el número "un" puede ser tomada 10), de modo Rn se pueden calcular de la siguiente manera;

Para R5, Por lo tanto: 100/5 = 1, 101/5 = 1.584... ~ 1.6, 102/5 = 2.511... ~ 2.5, 103/5 = 3.981... ~ 4.0, 104/5 = 6.309... ~ 6.3, 105/5 = 10

Número de la serie Renard se muestra en el siguiente cuadro( for R5, R10, R20, R40 and R80);

0Designación Series Renard Números preferidaR5: 1.00 1.60 2.50 4.00 6.30R10: 1.00 1.25 1.60 2.00 2.50 3.15 4.00 5.00 6.30 8.00

R20:1.00 1.25 1.60 2.00 2.50 3.15 4.00 5.00 6.30 8.001.12 1.40 1.80 2.24 2.80 3.55 4.50 5.60 7.10 9.00

R40: 1.00 1.25 1.60 2.00 2.50 3.15 4.0 5.00 6.30 8.001.06 1.32 1.70 2.12 2.65 3.35 4.25 5.30 6.70 8.50

1.12 1.40 1.80 2.24 2.80 3.55 4.50 5.60 7.10 9.001.18 1.50 1.90 2.36 3.00 3.75 4.75 6.00 7.50 9.50

R80:

1.00 1.25 1.60 2.00 2.50 3.15 4.00 5.00 6.30 8.001.03 1.28 1.65 2.06 2.58 3.25 4.12 5.15 6.50 8.251.06 1.32 1.70 2.12 2.65 3.35 4.25 5.30 6.70 8.501.09 1.36 1.75 2.18 2.72 3.45 4.37 5.45 6.90 8.751.12 1.40 1.80 2.24 2.80 3.55 4.50 5.60 7.10 9.001.15 1.45 1.85 2.30 2.90 3.65 4.62 5.80 7.30 9.251.18 1.50 1.90 2.36 3.00 3.75 4.75 6.00 7.50 9.501.22 1.55 1.95 2.43 3.07 3.87 4.87 6.15 7.75 9.75

Algunos valores redondeados son deseables para su uso en algunas aplicaciones, depende de qué tan alto números exactos o menos exacta querían. Para el número de menos preciso, que puede ser elegido por el uso un primo (R ') o dos prime (R ") de los números de Renard. Por ejemplo;

R10': 1.0 , 1.3 , 1.6 , 2.0 , 2.5 , 3.2 

R10": 1 , 1.2 , 1.5 , 2 , 2.5 , 3

Referencias

[1] BEER, Ferdinand y JOHNSTON E. R.. Mecánica de Materiales. Colombia: McGRAW-HILL, 1993. 2ª edición.

[2] FAIRES, V. M.. Diseño de Elementos de Máquinas. México: Editorial Limusa, 1995. 4ª Reimpresión.

[3] http://www.cobanengineering.com/Tolerancias/ANSI_Numeros_Preferida.asp