teoria_probabilidad_2x2

102 - Introduccin a la teora de probabilidad

Diego Andrs Alvarez MarnProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Contenido Repaso de teora de conjuntos Fenmenos determinsticos vs. fenmenos aleatorios Definicin de probabilidad Interpretacin frecuentista y Bayesiana de la probabilidad Espacio muestral, eventos Sigma-lgebra Medida de probabilidad, definicin, propiedades Axiomas de Kolmogorov Probabilidad conjunta, marginal, condicional Eventos independientes Teorema de las probabilidades totales, teorema de Bayes Tcnicas de conteo: factorial, permutacin, combinatoria

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Repaso de la teora de conjuntos

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Operaciones con conjuntos

5Diagramas de Venn

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Propiedades

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9Conjunto potencia (power set)

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Ejemplos de teora de conjuntos

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Teora de la probabilidadLa teora de la probabilidad es la teora matemtica que modela los fenmenos aleatorios.

Un fenmeno (o experimento) aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas (el llamado espacio muestral), como el lanzamiento de un dado o de una moneda.

Estos deben contraponerse a los fenmenos determinsticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado nico o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor.

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Probabilidad

La probabilidad es una forma de expresar el conocimiento o la creencia que un evento ha ocurrido o va a ocurrir.

Existen dos formas de interpretar la probabilidad:Interpretacin frecuentistaInterpretacin BayesianaLa comunidad cientfica est dividida entre personas que apoyan una interpretacin o la otra.

Interpretacin frecuentista de probabilidad

Los frecuentistas hablan sobre probabilidades solo cuando se trata de experimentos que son aleatorios y estn bien definidos.

La probabilidad de un evento se refiere a la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento aleatorio.

De este modo para un frecuentista, la definicin de probabilidad sera:

Definicin: si un experimento que est sujeto al azar resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes (es decir que ocurren bajo las mismas condiciones), y su n

A de estos

resultados tienen un atributo A, la probabilidad del atributo A es:

Interpretacin frecuentista de probabilidad

Interpretacin Bayesiana de probabilidad

Los Bayesianos utilizan la probabilidad como un medio subjetivo para representar el grado de creencia en una afirmacin, dada la evidencia. Ellos asignan probabilidades a cualquier afirmacin, incluso cuando no hay un experimento aleatorio involucrado.

Ejemplo: la probabilidad que el Once Caldas gane el prximo partido es del 80% (o la probabilidad que pierda o empate es del 20%). Esto quiere decir que una apuesta justa sera 8 a 2 a que el Once ganara.

Ganancia = -8 x 0.2 + 2 x 0.8 = 0

Nota 1: A veces el futuro no se puede predecir y solo se puede calcular la probabilidad de que algo suceda.

Nota 2: En el lanzamiento de un dado los resultados son mutuamente excluyentes y mutuamente probables. La probabilidad de obtener un 4 es 1/6. Esto no significa que en 6 tiradas tengamos necesariamente que obtener un 4.

Nota 3: El desarrollo inicial de la teora de probabilidades se asocia al estudio de los juegos de azar.

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Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Los elementos del conjunto se denominan puntos muestrales.

Un evento (o suceso) del espacio muestral es un subconjunto de cuyos miembros tienen una caracterstica comn.

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El espacio muestral puede ser Discreto (cardinalidad finita o infinita contable: los

resultados pueden ponerse uno a uno con los nmeros naturales)

Continuo (cardinalidad infinita no contable: los resultados consisten de intervalos de los nmeros reales)

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Espacio muestral discreto Las caras de un dado forman el espacio

muestral

Cada uno de los cuatro bits transmitidos se clasifica como con error o sin error.

s = sin error, c = con error

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Las especificaciones de un computador pueden especificarse en 1, 2 o 4 Gb de memoria y en 200, 300 o 400 Gb de disco duro, tienen el espacio muestral:

= {(1,200); (2,200); (4,200); (1,300);

(2,300); (4,300); (1,400); (2,400); (4,400)}

El nmero de lanzamientos de una moneda hasta obtener caras tiene el espacio muestral

= {1, 2, 3, 4, ..., }

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Espacio muestral continuo

El espacio muestral que representa la altura de una persona se puede especificar por el espacio muestral = [0, 3] metros.

El espacio muestral que representa el tiempo que se debe esperar la buseta se puede especificar por el espacio muestral = [0, ) minutos.

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Eventos El espacio muestral es un evento que se le

llama el evento seguro El conjunto vaco es un evento llamado el

evento imposible Sean dos eventos A y B, si ambos son

conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos mutuamente excluyentes.

A una coleccin de eventos A1, A

2, A

3... (sea

finita o infinita contable) se le conoce como eventos exhaustivos si su unin es el espacio muestral .

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Espacio muestral en experimentoscon reemplazo y sin reemplazo

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Diagrama del rbol

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Sigma-algebra: motivacin

Cuando analizamos eventos aleatorios, generalmente no estamos interesados en sino en un subconjunto E .

Cuando analizamos las probabilidades de ocurrencia del evento E, tambien nos interesan las probabilidades de la no ocurrencia del evento E.

Adems si nos interesa la probabilidad de ocurrencia de los eventos A

1 y A

2 tambin nos

interesara la probabilidad de su unin.

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Sigma-lgebra

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Ejemplos

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Algunas definicionesUn par ordenado (X,

X), donde X es un conjunto y

X una -lgebra sobre ste, se denomina espacio

medible.

Una funcin entre dos espacios medibles se denomina funcin medible si la preimagen de todo conjunto medible es tambin medible; esto es, si (X,

X) y (Y,

Y) son dos espacios medibles, una funcin

f:XY es medible si para todo E Y, f1(E)

X.

Una medida es una cierta clase de funcin que mapea puntos de una -lgebra al intervalo [0,).

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Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Abril 25, 1903 Octubre 20, 1987)

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Axiomas de probabilidad de Kolmogorov

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Axiomas de probabilidad de Kolmogorov

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Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad

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Ejemplos

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Probabilidad conjunta

14 1740 29

B1 (hombre) B2 (mujer)A1 (fumador)

A2 (no fumador)

Cual es la probabilidad de ser mujer fumadora?

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Probabilidad marginal

14 1740 29


A2 (no fumador)

Cual es la probabilidad de ser fumador?

Suma sobre todos los j Suma sobre todos los i

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Probabilidad condicional

14 1740 29


A2 (no fumador)

Cual es la probabilidad de ser fumador dado que se es mujer?

Probabilidad condicional de Ai dada la ocurrencia de B

j

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Probabilidad condicional

14 1740 29


A2 (no fumador)

Cual es la probabilidad de ser mujer dado que se es fumador?

Probabilidad condicional de Bj dada la ocurrencia de A

i

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Diagrama del rbol

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En general, tenemos la

regla de la multiplicacin:

Para definir las probabilidades conjuntas, marginales y condicionales se ha empleado un ejemplo especfico en el que el espacio muestral contiene un nmero finito de resultados. Sin embargo, las definiciones dadas aqu son completamente generales y pueden extenderse para cualquier espacio muestral, ya sea discreto o continuo.

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EjemploEn una encuesta de televisin se determina que al 20% de las personas les gusta el programa A, al 16% de las personas les gusta el programa B y al 1% de les gusta ambos programas. Si se selecciona al azar un televidente de B(A), cual es la probabilidad que tambin le guste A(B)?

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La paradoja del falso positivo

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49 50

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Propiedades de la probabilidad condicional

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Ejemplos

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Probabilidad condicional con varias variables aleatorias

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Ejemplo

Una bolsa tiene 10 bolas blancas y 30 rojas. Cul es la probabilidad de muestrear BBRB?

Muestreo sin reemplazo

Muestreo con reemplazo

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Ejemplo

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Arboles de decisin

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Ejemplo

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EjemploUna pareja planifica utilizando DemoProvera (confiabilidad = 99.7%/ao) y condn de latex masculino (confiabilidad = 98%/ao) simultneamente. Si la probabilidad de quedar en embarazo al tener relaciones sin proteccin es del 85%/ao, cul es la probabilidad de un embarazo no deseado?

Porcentajes sacados de: http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_birth_control_methods

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Eventos independientes

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Eventos independientes

Esto quiere decir que si la ocurrencia de B no tiene ningn efecto sobre la probabilidad de A, entonces se tiene que P(A|B)=P(A), a pesar que ha ocurrido el evento B.

Dentro de la teora matemtica, slo podemos probar la independencia de eventos obteniendo P(A), P(B) y P(AB) y demostrando que se verifica una de las ecuaciones anteriores marcadas en el recuadro. En la prctica de ingeniera, normalmente se confa en el conocimiento de la situacin fsica para afirmar que en el modelo dos eventos particulares se supondrn (o no) independientes.

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Ejemplo

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EjemploSuponga que se quiere disear el acueducto de un parque industrial que tendr dos fbricas. Supongamos que existen dos niveles de demanda de agua: W

1 = 1 m3/min y W

2 = 2 m3/min. La probabilidad

que cualquier fbrica requiera dichos niveles de demanda son 0.3 y 0.7 respectivamente (P(W

1)=0.3,

P(W2)=0.7). Dichos niveles de demanda de ambas

fbricas son estdsticamente independientes.

Cul es la combinacin de niveles de demanda menos probable? ms probable?

Fabrica 1 Fabrica 2

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P(W1W

1) = P(W

1)P(W

1)=0.3 x 0.3 = 0.09 2

P(W1W

2) = P(W

1)P(W

1)=0.3 x 0.7 = 0.21 3

P(W2W

1) = P(W

2)P(W

1)=0.7 x 0.3 = 0.21 3

P(W2W

2) = P(W

2)P(W

2)=0.7 x 0.7 = 0.49 4

1.00

Nivel totalde demanda

0.42

2 = W1W1 3 = W2W13 = W1W2 4 = W2W2

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Si los costos de instalacin inicial y de ensanche son los siguientes:

Costos de instalacin inicial:Dos unidades = $2500Tres unidades = $3000Cuatro unidades = $4000

Costo de ensanche:Dos a tres unidades = $1200Tres a cuatro unidades = $1500Dos a cuatro unidades = $2000

Que capacidad inicial instalara usted de modo que el costo total esperado del proyecto sea el mnimo?

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2 unidades 2500 3984

3 unidades 3000 0 3750

4 unidades 4000 0 0 4000

Capacidad inicial

Costo inicial

Prdida esperada si se necesitan 3 unidades

Prdida esperada si se necesitan 4 unidades

Costo total esperado

(0,21 + 0,21) x 1200 = 504

0.49 x 2000 = 980

0.49 x 1500 = 735

Lo mejor ser instalar 3 unidades = 3 m3/min

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Regla de la multiplicacin para eventos independientes

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Ejemplo

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Condere una red de acueducto. En el grfico se muestra la configuracin de la misma junto con la posicin de las bombas A, B, C y D. Dado que la probabilidad de falla de dichas bombas es 0.2, 0.3, 0.1 y 0.05 respectivamente, calcule la probabilidad con la que el agua puede efectivamente transportarse desde el punto 1 hasta el punto 2. Tenga en cuenta que:

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73 74

serie

paralelo

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Propiedad de Markov

P(A|B,C) = P(A|B) independientemente de la ocurrencia de C

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_Markov_chains

http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property

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Relacin entre eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes

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Teorema de las probabilidades totales

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Para un chip se sabe que:

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Thomas Bayes (aprox. 1702 Abril 7, 1761)

Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1764)

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Teorema de Bayes

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EjercicioSuponga que tenemos dos urnas: A y B. Las cuales se muestran en la figura. En A hay siete bolas rojas (red - R) y tres bolas blancas (white - W). En B hay una bola roja y nueve blancas. Se lanza una moneda. Si caen caras se saca una bola de la urna A y si cae en sellos se saca una bola de la urna B. Si se lanz la moneda y se sac una bola roja, cual es la probabilidad que esta bola provenga de la urna A?

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Problema de Monty Hallhttp://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Supn que ests en el concurso de televisin Let's make a deal, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrs de una de ellas hay un coche, y detrs de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la n1, y el presentador, llamado Monty Hall, que sabe lo que hay detrs de las puertas, abre otra, digamos la n3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "No prefieres escoger la n2?". Es mejor para ti cambiar tu eleccin?

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Problema de Monty Hall

El jugador tiene inicialmente la probabilidad 1/3 de seleccionar inicialmente un carro, la cabra A o la cabra B. Cambiar incrementa la posibilidad de ganar a 2/3.

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Redes bayesianas

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Ejercicios

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Conteo de datos con la ayuda del factorial

Para calcular las probabilidades de varios eventos es necesario contar el nmero de resultados posibles de un experimento o contar el nmero de resultados que son favorables a un evento dado. El proceso de conteo puede simplificarse mediante el empleo de dos tcnicas de conteo denominadas permutaciones y combinaciones.

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Factorial

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Factorial

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Factorial en MS EXCEL

Se calcula utilizando la funcin FACT

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Factorial en MATLAB

FACTORIAL(N): como los nmeros de doble precision solo almacenan 15 dgitos, la respuesta es exacta para N21. Si N>21, la respuesta solo ser aproximada.

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La funcin gamma

La funcin gamma en MS EXCEL y en MATLAB

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Es el nmero de arreglos en un orden en particular de los elementos que forman un conjunto.

De cuantas formas diferentes se pueden ubicar a, b y c?a b ca c bb a cb c ac a bc b a

Permutacin P(n,r)

Para la primera posicin se escoje cualquiera de las letrasPara la segunda posicin se puede escoger dos letras para la primera posicin

Para la ltima posicin se escoje la letra restante

En este caso tenemos 3x2x1 = 6 posibilidades

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Permutacin P(n,r)

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Combinatoria C(n,r)

De los objetos de un conjunto, es una seleccin de estos sin importar el orden.

Se divide por r! ya que en cada combinacin existen r! permutaciones

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Ejemplo

Supongamos que el grupo de probabilidad y estadstica est formado por 35 estudiantes. Cuantos grupos de tres estudiantes podran formarse para hacer un trabajo?

La solucin es

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Combinatoria vs Permutacin

La diferencia entre una permutacin y una combinatoria es que en la primera el inters se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas, mientras que en la segunda el inters slo recae en contar el nmero de selecciones diferentes.

Ejemplo: abc y acb son diferentes permutacionespero son iguales combinacin de las letras

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Permutacin y combinacin en MS EXCEL y MATLAB

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Ejemplo

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Ejemplo

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Ejemplo

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Ejemplo

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Problema del cumpleaoshttp://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

Un grupo de n personas est reunido en una habitacin, qu tan probable es que dos o ms de ellas cumplan aos el mismo da?

Supongamos que: no existen aos de 366 das (bisiestos) los cumpleaos se distribuyen uniformemente a

lo largo del ao

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Problema del cumpleaos

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Problema del cumpleaos

De acuerdo con este grfico y para las hiptesis dadas, en un grupo de al menos 23 personas es probable encontrar con una probabilidad mayor del 50% dos personas que cumplan aos el mismo da

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